[推荐学习]2018高考数学一轮复习第6章不等式及其证明第4节绝对值不等式课时分层训练

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近年高考数学一轮复习第6章不等式及其证明第4节绝对值不等式课时分层训练(2021年整理)

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课时分层训练(三十三）绝对值不等式A组基础达标（建议用时:30分钟）一、选择题1．若函数f(x）＝｜x＋1|＋|2x＋a｜的最小值为3，则实数a的值为( )【导学号:51062195】A．5或8 B．－1或5C．－1或－4 D．－4或8D［当a〉2时，－错误!〈－1，f（x）＝错误!其图象如图所示：由图象知f（x）的最小值为f错误!＝－错误!＋a－1＝错误!－1，依题意得错误!－1＝3,解得a＝8，符合题意．当a＝2时，f（x）＝3｜x＋1|，其最小值为0，不符合题意．当a<2时,－错误!〉－1，f(x）＝错误!得f（x）的最小值为f错误!，因此－错误!＋1＝3，解得a＝－4，符合题意．故选D.］2．（2017·金华十校一联）已知f（x)＝a｜x－2｜，若f(x）〈x恒成立，则a的取值范围为( )A．a≤－1 B．－2<a〈0C．0<a〈2 D．a≥1A［依题意，f（x）＝错误!易知当a≥0时，f(x）<x不恒成立，故a<0.在同一直角坐标系中作出y＝f（x)与y＝x的图象如图所示，观察可知f(x)<x⇔－a≥1，即a≤－1，故选A.］3．不等式|x－5|＋｜x＋3|≥10的解集是( ）A．［－5，7] B．［－4,6]C．(－∞，－5］∪[7，＋∞）D．（－∞，－4]∪［6,＋∞）D[|x－5｜＋|x＋3｜表示数轴上的点到－3，5的距离之和，则不等式|x－5｜＋|x＋3｜≥10的解集是(－∞，－4]∪［6，＋∞）．]4．不等式|x－1|－｜x－5|<2的解集是（)A．(－∞，4) B．(－∞，1)C．(1,4）D．（1,5)A［①当x<1时，原不等式等价于1－x－（5－x)<2,即－4<2，∴x<1.②当1≤x≤5时，原不等式等价于x－1－（5－x）<2，即x〈4，∴1≤x<4.③当x〉5时，原不等式等价于x－1－(x－5)<2,即4<2，无解．综合①②③知x<4.]5．对任意x,y∈R,｜x－1|＋｜x|＋｜y－1｜＋|y＋1｜的最小值为( ）A．1 B．2C．3 D．4C［|x－1|＋|x|≥1，当且仅当0≤x≤1时等号成立；|y－1｜＋｜y＋1|≥2,当且仅当－1≤y≤1时等号成立．故|x－1|＋|x｜＋|y－1|＋｜y＋1|≥3。

配套K122018高考数学一轮复习第6章不等式及其证明重点强化课3不等式及其应用教师用书

重点强化课(三) 不等式及其应用[复习导读] 本章的主要内容是不等式的性质，一元二次不等式及其解法，简单的线性规划问题，基本不等式绝对值不等式及其应用，针对不等式具有很强的工具性，应用广泛，解法灵活的特点，应加强不等式基础知识的复习，要弄清不等式性质的条件与结论；一元二次不等式是解决问题的重要工具，如利用导数研究函数的单调性，往往归结为解一元二次不等式问题；函数、方程、不等式三者密不可分，相互转化，因此应加强函数与方程思想在不等式中应用的训练．重点1 一元二次不等式的综合应用(1)(2017·舟山市一模)函数y ＝1－x22x 2－3x －2的定义域为( )A ．(－∞，1]B ．[－1,1]C ．[1,2)∪(2，＋∞)D.⎣⎢⎡⎭⎪⎫－1，－12∪⎝ ⎛⎦⎥⎤－12，1(2)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋1，x ≥0，1，x <0，则满足不等式f (1－x 2)>f (2x )的x 的取值范围是__________. 【导学号：51062198】(1)D (2)(－1，2－1)[(1)由题意得⎩⎪⎨⎪⎧1－x 2≥0，2x 2－3x －2≠0，解得⎩⎪⎨⎪⎧－1≤x ≤1，x ≠2且x ≠－12，即－1≤x ≤1且x ≠－12，所以函数的定义域为－1，－12∪－12，1，故选D.(2)由题意得⎩⎪⎨⎪⎧1－x 2>0，2x <0或⎩⎪⎨⎪⎧1－x 2>2x ，2x ≥0，解得－1<x <0或0≤x <2－1. 所以x 的取值范围为(－1，2－1)．] [规律方法]一元二次不等式综合应用问题的常见类型及求解方法(1)与函数的定义域、集合的综合，此类问题的本质就是求一元二次不等式的解集． (2)与分段函数问题的综合．解决此类问题的关键是根据分段函数解析式，将问题转化为不同区间上的不等式，然后根据一元二次不等式或其他不等式的解法求解．(3)与函数的奇偶性等的综合．解决此类问题可先根据函数的奇偶性确定函数的解析式，然后求解，也可直接根据函数的性质求解．[对点训练1] 已知f (x )是定义在R 上的奇函数．当x >0时，f (x )＝x 2－4x ，则不等式f (x )>x 的解集用区间表示为__________．(－5,0)∪(5，＋∞) [由于f (x )为R 上的奇函数，所以当x ＝0时，f (0)＝0；当x <0时，－x >0，所以f (－x )＝x 2＋4x ＝－f (x )，即f (x )＝－x 2－4x ，所以f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－4x ，x >0，0，x ＝0，－x 2－4x ，x <0.由f (x )>x ，可得⎩⎪⎨⎪⎧x 2－4x >x ，x >0或⎩⎪⎨⎪⎧－x 2－4x >x ，x <0，解得x >5或－5<x <0，所以原不等式的解集为(－5,0)∪(5，＋∞)．]重点2 线性规划问题(1)(2017·杭州市二次调研)若实数x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －1≥0，x －1≤0，4x －y ＋1≥0，则目标函数z ＝y ＋1x ＋3的最大值为( ) A.14 B.23 C.32D ．2(2)当实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y －4≤0，x －y －1≤0，x ≥1时，1≤ax ＋y ≤4恒成立，则实数a 的取值范围是__________. 【导学号：51062199】(1)C (2)⎣⎢⎡⎦⎥⎤1，32 [(1)画出不等式组满足的平面区域为以点A (1,5)，B (1,0)，C (0,1)为顶点的三角形区域(包含边界)，目标函数z ＝y ＋1x ＋3表示为可行域内的点(x ，y )和点(－3，－1)连线的斜率，由图可知点A (1,5)与点(－3，－1)的连线的斜率最大，即z max ＝y ＋1x ＋3＝5＋11＋3＝32，故选C.](2)作出题中线性规划条件满足的可行域如图阴影部分所示，令z ＝ax ＋y ，即y ＝－ax ＋z .作直线l 0：y ＝－ax ，平移l 0，最优解可在A (1,0)，B (2,1)，C ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，32处取得．故由1≤z ≤4恒成立，可得⎩⎪⎨⎪⎧1≤a ≤4，1≤2a ＋1≤4，1≤a ＋32≤4，解得1≤a ≤32.][规律方法] 本题(2)是线性规划的逆问题，这类问题的特点是在目标函数或约束条件中含有参数，当在约束条件中含有参数时，那么随着参数的变化，可行域的形状可能就要发生变化，因此在求解时也要根据参数的取值对可行域的各种情况进行分类讨论，以免出现漏解．[对点训练2] 已知a >0，x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ≥1，x ＋y ≤3，y ≥a x －若z ＝2x ＋y 的最小值为1，则a ＝( )A.14 B.12 C ．1D ．2B [作出不等式组表示的可行域，如图(阴影部分)．易知直线z ＝2x ＋y 过交点A 时，z 取最小值，由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝ax －，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝－2a ，∴z min ＝2－2a ＝1，解得a ＝12.]重点3 基本不等式的综合应用已知函数f (x )＝a x ＋b x(a >0，b >0，a ≠1，b ≠1)．设a ＝2，b ＝12.(1)求方程f (x )＝2的根；(2)若对于任意x ∈R ，不等式f (2x )≥mf (x )－6恒成立，求实数m 的最大值． [解] 因为a ＝2，b ＝12，所以f (x )＝2x ＋2－x.2分(1)方程f (x )＝2，即2x ＋2－x ＝2，亦即(2x )2－2×2x ＋1＝0，所以(2x －1)2＝0，即2x＝1，解得x ＝0.6分(2)由条件知f (2x )＝22x＋2－2x＝(2x ＋2－x )2－2＝(f (x ))2－2.因为f (2x )≥mf (x )－6对于x ∈R 恒成立，且f (x )>0，所以m ≤f x 2＋4f x 对于x ∈R 恒成立.10分而f x 2＋4f x＝f (x )＋4f x≥2f x4f x＝4，且f 2＋4f＝4，所以m ≤4，故实数m 的最大值为4.14分 [规律方法]基本不等式综合应用中的常见类型及求解方法(1)应用基本不等式判断不等式是否成立或比较大小．解决此类问题通常将所给不等式(或式子)变形，然后利用基本不等式求解．(2)条件不等式问题．通过条件转化成能利用基本不等式的形式求解．(3)求参数的值或范围．观察题目特点，利用基本不等式确定相关成立条件，从而得到参数的值或范围．[对点训练3] (1)设a ，b ，c ∈(0，＋∞)，则“abc ＝1”是“1a＋1b＋1c≤a ＋b ＋c ”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件(2)已知正数x ，y 满足x ＋2y ＝2，则x ＋8yxy的最小值为__________. 【导学号：51062200】(1)A (2)9 [(1)当a ＝b ＝c ＝2时，有1a＋1b＋1c≤a ＋b ＋c ，但abc ≠1，所以必要性不成立．当abc ＝1时，1a ＋1b ＋1c＝bc ＋ac ＋ababc＝bc ＋ac ＋ab ，a ＋b ＋c ＝a ＋b ＋b ＋c ＋a ＋c2≥ab ＋bc ＋ac ，所以充分性成立．故“abc ＝1”是“1a＋1b＋1c≤a ＋b ＋c ”的充分不必要条件．(2)由已知得x ＋2y2＝1.则x ＋8y xy ＝1y ＋8x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1y ＋8x ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋2y 2 ＝12⎝⎛⎭⎪⎫10＋x y ＋16y x ≥12(10＋2 16)＝9，当且仅当x ＝43，y ＝13时取等号．]重点4 绝对值不等式(2017·浙江高考冲刺卷)已知函数f (x )＝|2x －1|＋|2x ＋a |，g (x )＝x ＋3. (1)当a ＝－2时，求不等式f (x )<g (x )的解集；(2)设a >－1，且当x ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫－a 2，12时，f (x )≤g (x )，求a 的取值范围．[解] (1)当a ＝－2时，不等式f (x )<g (x )可化为|2x －1|＋|2x －2|－x －3<0.2分设函数y ＝|2x －1|＋|2x －2|－x －3，则y ＝⎩⎪⎨⎪⎧－5x ，x <12，－x －2，12≤x ≤1，3x －6，x >1.4分其图象如图所示，由图象可知，当且仅当x ∈(0,2)时，y <0，所以原不等式的解集是{x |0<x <2}.6分(2)当x ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫－a 2，12时，f (x )＝1＋a ，不等式f (x )≤g (x )化为1＋a ≤x ＋3，所以x ≥a －2对x ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫－a 2，12都成立，故－a 2≥a －2，即a ≤43.从而a 的取值范围是⎝⎛⎦⎥⎤－1，43.14分 [规律方法] 利用数形结合法解形如|f (x ，a )|＋|g (x ，a )|≤h (x )的不等式(其中x 是主变元，a 是参数)的具体思路如下：(1)设F (x )＝|f (x ，a )|＋|g (x ，a )|－h (x )．(2)确定关于x 的函数f (x ，a )，g (x ，a )的零点是否存在．(3)若不存在，根据函数值的符号去掉绝对值；若存在，用参数a 表示出来． [变式训练4] 设函数f (x )＝x 2－2x －|x －1－a |－|x －2|＋4. (1)当a ＝1时，求f (x )的最小值；(2)对∀x ∈R ，若f (x )≥0恒成立，求a 的取值范围．[解] (1)当a ＝1时，f (x )＝x 2－2x －2|x －2|＋4＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－4x ＋8，x ≥2，x 2，x <2.4分当x ≥2时，f (x )＝x 2－4x ＋8＝(x －2)2＋4≥4；当x <2时，f (x )＝x 2≥0.故当x ＝0时f (x )取得最小值，最小值为0.6分 (2)由f (0)≥0，f (1)≥0，即|1＋a |≤2， |a |≤2，得－2≤a ≤1. 当－2≤a ≤1时，8分①若x ≥2，则f (x )＝x 2－4x ＋a ＋7＝(x －2)2＋3＋a ≥3＋a >0； ②若1＋a ≤x <2，则f (x )＝x 2－2x ＋a ＋3＝(x －1)2＋2＋a ≥2＋a ≥0； ③若x <1＋a ，则f (x )＝x 2－a ＋1≥1－a ≥0.13分综上可知，当－2≤a ≤1时，对∀x ∈R ，f (x )≥0恒成立，故a ∈[－2,1].14分重点强化训练(三) 不等式及其应用A 组基础达标(建议用时：30分钟)一、选择题1．下列不等式一定成立的是( )A ．lg ⎝⎛⎭⎪⎫x 2＋14>lg x (x >0)B ．sin x ＋1sin x≥2(x ≠k π，k ∈Z ) C ．x 2＋1≥2|x |(x ∈R ) D.1x 2＋1>1(x ∈R ) C [取x ＝12，则lg ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋14＝lg x ，故排除A ；取x ＝32π，则sin x ＝－1，故排除B ；取x ＝0，则1x 2＋1＝1，排除D.] 2．设变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋2≥0，2x ＋3y －6≥0，3x ＋2y －9≤0，则目标函数z ＝2x ＋5y 的最小值为( )A ．－4B ．6C ．10D ．17B [由约束条件作出可行域如图所示，目标函数可化为y ＝－25x ＋15z ，在图中画出直线y ＝－25x ，平移该直线，易知经过点A 时z 最小．又知点A 的坐标为(3,0)， ∴z min ＝2×3＋5×0＝6.故选B.]3．(2016·浙江高考)在平面上，过点P 作直线l 的垂线所得的垂足称为点P 在直线l上的投影．由区域⎩⎪⎨⎪⎧x －2≤0，x ＋y ≥0，x －3y ＋4≥0中的点在直线x ＋y －2＝0上的投影构成的线段记为AB ，则|AB |＝( ) 【导学号：51062201】A ．2 2B ．4C ．3 2D ．6C [由不等式组画出可行域，如图中的阴影部分所示．因为直线x ＋y －2＝0与直线x ＋y ＝0平行，所以可行域内的点在直线x ＋y －2＝0上的投影构成的线段的长|AB |即为|CD |.易得C (2，－2)，D (－1,1)，所以|AB |＝|CD |＝＋2＋－2－2＝3 2.故选C.]4．不等式4x －2≤x －2的解集是( ) A ．[－∞，0)∪(2,4] B ．[0,2)∪[4，＋∞) C ．[2,4)D ．(－∞，2]∪(4，＋∞)B [①当x －2>0，即x >2时，不等式可化为(x －2)2≥4，解得x ≥4； ②当x －2<0，即x <2时，不等式可化为(x －2)2≤4，解得0≤x <2.综上，解集为[0,2)∪[4，＋∞)．]5．若函数f (x )＝2x＋12x －a 是奇函数，则使f (x )>3成立的x 的取值范围为( )A ．(－∞，－1)B ．(－1,0)C ．(0,1)D ．(1，＋∞)C [因为函数y ＝f (x )为奇函数，所以f (－x )＝－f (x )，即2－x＋12－x －a ＝－2x＋12x －a .化简可得a ＝1，则2x＋12x －1＞3，即2x＋12x －1－3＞0，即2x＋1－x－2x－1>0，故不等式可化为2x－22x －1＜0，即1＜2x＜2，解得0＜x ＜1，故选C.]二、填空题6．设x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧2x －y ＋1≥0，x －2y －1≤0，x ≤1，则z ＝2x ＋3y －5的最小值为________．－10 [画出不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示．由题意可知，当直线y ＝－23x ＋53＋z3过点A (－1，－1)时，z 取得最小值，即z min ＝2×(－1)＋3×(－1)－5＝－10.] 7．若关于实数x 的不等式|x －5|＋|x ＋3|<a 无解，则实数a 的取值范围是________． (－∞，8] [法一：令f (x )＝|x －5|＋|x ＋3|，则去掉绝对值符号后可得f (x )＝|x －5|＋|x ＋3|＝⎩⎪⎨⎪⎧2x －2，x ≥5，8，－3<x <5，2－2x ，x ≤－3.当x ≥5时，可得f (x )≥8；当－3<x <5时，可得f (x )＝8；当x ≤－3时，可得f (x )≥8. 综上可知f (x )min ＝8.欲使|x －5|＋|x ＋3|<a 无解，只需使(|x －5|＋|x ＋3|)min ≥a 即可，由此可得a ≤8. 法二：∵|x －5|＋|x ＋3|＝|5－x |＋|x ＋3|≥|5－x ＋x ＋3|＝8， ∴(|x －5|＋|x ＋3|)min ＝8.要使|x －5|＋|x ＋3|<a 无解，只需a ≤8.]8．设0≤α≤π，不等式8x 2－(8sin α)x ＋cos 2α≥0对x ∈R 恒成立，则α的取值范围为__________．⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π6∪⎣⎢⎡⎦⎥⎤5π6，π [由题意，要使8x 2－(8sin α)x ＋cos 2α≥0对x ∈R 恒成立，需Δ＝64sin 2α－32cos 2α≤0，化简得cos 2α≥12.又0≤α≤π，∴0≤2α≤π3或5π3≤2α≤2π，解得0≤α≤π6或5π6≤α≤π.]三、解答题 9．已知不等式ax －1x ＋1>0(a ∈R )． (1)解这个关于x 的不等式；(2)若x ＝－a 时不等式成立，求a 的取值范围． [解] (1)原不等式等价于(ax －1)(x ＋1)>0.1分 ①当a ＝0时，由－(x ＋1)>0，得x <－1；②当a >0时，不等式化为⎝⎛⎭⎪⎫x －1a (x ＋1)>0.解得x <－1或x >1a；3分③当a <0时，不等式化为⎝⎛⎭⎪⎫x －1a (x ＋1)<0；若1a <－1，即－1<a <0，则1a<x <－1；若1a ＝－1，即a ＝－1，则不等式解集为空集；若1a>－1，即a <－1，则－1<x <1a.6分综上所述，当a <－1时，解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x | －1<x <1a ；当a ＝－1时，原不等式无解；当－1<a <0时，解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x | 1a<x <－1；当a ＝0时，解集为{x |x <－1}；当a >0时，解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x <－1或x >1a .9分 (2)∵x ＝－a 时不等式成立， ∴－a 2－1－a ＋1>0，即－a ＋1<0，12分 ∴a >1，即a 的取值范围为(1，＋∞).15分 10．已知函数f (x )＝|x ＋1|－2|x －a |，a ＞0. (1)当a ＝1时，求不等式f (x )＞1的解集；(2)若f (x )的图象与x 轴围成的三角形面积大于6，求a 的取值范围.【导学号：51062202】[解] (1)当a ＝1时，f (x )>1化为|x ＋1|－2|x －1|－1>0. 当x ≤－1时，不等式化为x －4>0，无解；当－1<x <1时，不等式化为3x －2>0，解得23<x <1；当x ≥1时，不等式化为－x ＋2>0，解得1≤x ＜2.所以f (x )>1的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪23<x <2.7分 (2)由题设可得f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x －1－2a ，x <－1，3x ＋1－2a ，－1≤x ≤a ，－x ＋1＋2a ，x >a .所以函数f (x )的图象与x 轴围成的三角形的三个顶点分别为A ⎝⎛⎭⎪⎫2a －13，0，B (2a ＋1,0)，C (a ，a ＋1)．因此△ABC 的面积S ＝12|AB |·(a ＋1)＝23(a ＋1)2.12分由23(a ＋1)2>6，故a >2. 故a 的取值范围为(2，＋∞).15分B 组能力提升(建议用时：15分钟)1．已知a ，b 为正实数，且ab ＝1，若不等式(x ＋y )·⎝ ⎛⎭⎪⎫a x ＋b y >m 对任意正实数x ，y 恒成立，则实数m 的取值范围是( )A ．[4，＋∞)B ．(－∞，1]C ．(－∞，4]D ．(－∞，4)D [因为a ，b ，x ，y 为正实数，所以(x ＋y )⎝ ⎛⎭⎪⎫a x ＋b y ＝a ＋b ＋ay x ＋bx y≥a ＋b ＋2≥2ab ＋2＝4，当且仅当a ＝b ，ay x ＝bx y，即a ＝b ，x ＝y 时等号成立，故只要m <4即可．]2．若不等式|2x －1|＋|x ＋2|≥a 2＋12a ＋2对任意实数x 恒成立，则实数a 的取值范围是________． ⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1，12 [设y ＝|2x －1|＋|x ＋2|＝⎩⎪⎨⎪⎧ －3x －1，x <－2，－x ＋3，－2≤x <12，3x ＋1，x ≥12.当x <－2时，y＝－3x －1>5；当－2≤x <12时，y ＝－x ＋3>52；当x ≥12时，y ＝3x ＋1≥52.故函数y ＝|2x －1|＋|x ＋2|的最小值为52.因为不等式|2x －1|＋|x ＋2|≥a 2＋12a ＋2对任意实数x 恒成立，所以52≥a 2＋12a ＋2.解不等式52≥a 2＋12a ＋2，得－1≤a ≤12，故a 的取值范围为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1，12.] 3．已知f (x )是定义在[－1,1]上的奇函数，且f (1)＝1，若m ，n ∈[－1,1]，m ＋n ≠0时，f m ＋f n m ＋n>0. (1)用定义证明f (x )在[－1,1]上是增函数；(2)解不等式f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋12<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x －1；(3)若f (x )≤t 2－2at ＋1对所有x ∈[－1,1]，a ∈[－1,1]恒成立，求实数t 的取值范围.【导学号：51062203】[解] (1)证明：任取x 1<x 2，且x 1，x 2∈[－1,1]，则 f (x 1)－f (x 2)＝f (x 1)＋f (－x 2)＝f x 1＋f －x 2x 1－x 2·(x 1－x 2).2分 ∵－1≤x 1<x 2≤1，∴x 1－x 2<0.又已知f x 1＋f －x 2x 1－x 2>0， ∴f (x 1)－f (x 2)<0，即f (x )在[－1,1]上为增函数，7分(2)∵f (x )在[－1,1]上为增函数，∴⎩⎪⎨⎪⎧ －1≤x ＋12≤1，－1≤1x －1≤1，x ＋12<1x －1，解得⎩⎨⎧⎭⎬⎫x | －32≤x <－1.10分 (3)由(1)可知f (x )在[－1,1]上为增函数，且f (1)＝1，故对x ∈[－1,1]，恒有f (x )≤1， ∴要f (x )≤t 2－2at ＋1对所有x ∈[－1,1]，a ∈[－1,1]恒成立，即要t 2－2at ＋1≥1成立，故t 2－2at ≥0，记g (a )＝－2ta ＋t 2.13分对a ∈[－1,1]，g (a )≥0恒成立，只需g (a )在[－1,1]上的最小值大于等于0， ∴g (－1)≥0，g (1)≥0，解得t ≤－2或t ＝0或t ≥2.∴t 的取值范围是{t |t ≤－2或t ＝0或t ≥2}.15分。

高三数学一轮复习第六章第四节绝对值不等式课件理新人教A版

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(2)由x＋|2x－1|＜3，得|2x－1|＜3－x. ∴原不等式化为22xx－－11≥ ＜03，－x或21x－－21x＜＜03，－x，解得12≤x＜43或－2＜x＜12. 所以原不等式的解集是{x|－2＜x＜43}．【答案】 (1){x|－32≤x≤32} (2){x|－2＜x＜43}
(2012·江苏高考)已知实数x，y满足：|x＋y|<
1 3
，|2x－
y|<16，求证：|y|<158.
【证明】因为3|y|＝|3y|＝|2(x＋y)－(2x－y)|≤2|x＋y| ＋|2x－y|，
由题设知|x＋y|<13，|2x－y|<16，从而3|y|<23＋16＝56，所以|y|<158.
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1．第(2)问求解的关键是转化为求f(x)＋f(x＋5)的最小值，法一是运用分类讨论思想，利用函数的单调(dāndiào) 性；法二是利用绝对值不等式的性质(应注意等号成立的条
件)． 2．将绝对值不等式与函数以及不等式恒成立交汇、渗透，解题时强化函数、数形结合与转化化归思想方法的灵活
5
·
|x－2y＋1| 5
，亦
可由点(x，y)到直线x－2y＋1＝0的距离求解．
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(2012·陕西高考)若存在实数x使|x－a|＋|x－1|≤3成立，则实数a的取值范围是________．
【解析(jiě xī)】 ∵|x－a|＋|x－1|≥|(x－a)－(x－1)|＝|a －1|，
第四节绝对值不等式
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1．绝对值三角不等式定理1：如果a，b是实数(shìshù)，则|a＋|ab|＋|≤_|b_|_____，当且仅当ab_≥_0______时，等号成立．定理2：如果a，b，c是实数(shìshù)，那么 ____|_a_－_c_|_≤_|a_－__b_|＋__|_b_－__c_| ___，当且仅当__(_a_－__b_)(_b_－__c_)_≥_0时，等号成立．

2018届高考数学一轮复习：(理数)第6章不等式、推理与证明

理数第6章不等式、推理与证明 6-1a[A 级基础达标](时间：40分钟)1．[2017·浙江抽测]已知a ，b ∈R ，则“b ≥0”是“a 2＋b ≥0”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件答案 A解析当b ≥0时，a 2＋b ≥0，反之不一定成立，因此“b ≥0”是“a 2＋b ≥0”的充分不必要条件．2．[2017·烟台模拟]如果a ，b ，c 满足c acB ．bc >acC ．cb 2<ab 2D ．ac (a －c )<0 答案 C解析因为c 0，c <0.所以ab －ac ＝a (b －c )>0，bc －ac ＝(b －a )c >0，ac (a －c )<0，所以A ，B ，D 均正确．因为b 可能等于0，也可能不等于0，所以cb 2<ab 2不一定成立．3．设a >b >0，下列各数小于1的是( )A ．2a －b B.⎝ ⎛⎭⎪⎫a b 12C.⎝ ⎛⎭⎪⎫a b a －bD.⎝ ⎛⎭⎪⎫b a a －b 答案 D解析解法一：(特殊值法)取a ＝2，b ＝1，代入验证．解法二：y ＝a x (a >0且a ≠1)．当a >1，x >0时，y >1；当0<a <1，x >0时，0<y <1.∵a >b >0，∴a －b >0，a b >1,01，所以a 1>b >－1，则下列不等式中恒成立的是( )A ．a >b 2B.1a >1bC.1a <1b D ．a 2>2b 答案 A解析对于A ，∵－11，∴a >b 2，故A正确；对于B ，若a ＝2，b ＝12，此时满足a >1>b >－1，但1a <1b ，故B错误；对于C ，若a ＝2，b ＝－12，此时满足a >1>b >－1，但1a >1b ，故C 错误；对于D ，若a ＝98，b ＝34，此时满足a >1>b >－1，但a 2<2b ，故D 错误．6．已知－π2<α<β<π，则α－β2的取值范围是________．答案 ⎝ ⎛⎭⎪⎫－3π4，0 解析由－π2<α<β<π，得－π2<α<π，－π<－β<π2，∴－3π2<α－β<3π2，即－3π4<α－β2<3π4.又∵α－β<0，∴－3π4<α－β2<0，故α－β2的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫－3π4，0. 7．[2017·西安模拟]已知存在实数a 满足ab 2>a >ab ，则实数b 的取值范围是________．答案 (－∞，－1)解析 ∵ab 2>a >ab ，∴a ≠0，当a >0时，有b 2>1>b ，即⎩⎪⎨⎪⎧ b 2>1，b <1，解得b <－1；当a <0时，有b 2<11，无解．综上可得b <－1.8．[2017·遵义模拟]已知下列结论：①若a >|b |，则a 2>b 2；②若a >b ，则1a <1b ；③若a >b ，则a 3>b 3；④若a <0，－1a .其中正确的是________(只填序号即可)．答案 ①③④解析对于①，因为a >|b |≥0，所以a 2>b 2，即①正确；对于②，当a ＝2，b ＝－1时，显然不正确；对于③，显然正确；对于④，因为a <0，－10，所以ab 2>a ，即④正确．9．[2017·大连段考]若a >b >0，c <d <0，e <0.求证：e a －c 2>e b －d 2. 证明 ∵c <d <0，∴－c >－d >0.又∵a >b >0，∴a －c >b －d >0，∴(a －c )2>(b －d )2>0，∴0<1 a －c 2<1 b －d 2. 又∵e <0，∴e a －c 2>e b －d 2. 10．[2017·昆明模拟]设f (x )＝ax 2＋bx ，若1≤f (－1)≤2，2≤f (1)≤4，求f (－2)的取值范围．解解法一：设f (－2)＝mf (－1)＋nf (1)(m ，n 为待定系数)，则4a －2b ＝m (a －b )＋n (a ＋b )，即4a －2b ＝(m ＋n )a ＋(n －m )b .于是得⎩⎪⎨⎪⎧ m ＋n ＝4，n －m ＝－2，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝3，n ＝1， ∴f (－2)＝3f (－1)＋f (1)．又∵1≤f (－1)≤2,2≤f (1)≤4，∴5≤3f (－1)＋f (1)≤10，故5≤f (－2)≤10.解法二：由⎩⎪⎨⎪⎧f －1 ＝a －b ，f 1 ＝a ＋b ，得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝12[f －1 ＋f 1 ]，b ＝12[f 1 －f －1 ]，∴f (－2)＝4a －2b ＝3f (－1)＋f (1)．又∵1≤f (－1)≤2,2≤f (1)≤4， ∴5≤3f (－1)＋f (1)≤10，故5≤f (－2)≤10.[B 级知能提升](时间：20分钟)11．已知a 1，a 2∈(0,1)，记M ＝a 1a 2，N ＝a 1＋a 2－1，则M 与N 的大小关系是( )A ．M <NB ．M >NC ．M ＝ND ．不确定答案 B解析 M －N ＝a 1a 2－(a 1＋a 2－1)＝a 1a 2－a 1－a 2＋1＝(a 1－1)(a 2－1)，又∵a 1∈(0,1)，a 2∈(0,1)，∴a 1－1<0，a 2－1<0.∴(a 1－1)(a 2－1)>0，即M －N >0，∴M >N .12．[2017·广西模拟]若a ，b 为实数，则1a <1b 成立的一个充分而不必要的条件是( )A ．b <a <0B ．a <bC ．b (a －b )>0D ．a >b答案 A解析由a >b ⇒1a <1b 成立的条件是ab >0，即a ，b 同号时，若a >b ，则1a <1b ；a ，b 异号时，若a >b ，则1a >1b .13．[2017·汕头模拟]若x >y ，a >b ，则在①a －x >b －y ，②a ＋x >b＋y ，③ax >by ，④x －b >y －a ，⑤a y >b x 这五个式子中，恒成立的不等式的序号是 ________.答案 ②④解析令x ＝－2，y ＝－3，a ＝3，b ＝2，符合题设条件x >y ，a >b ，∵a －x ＝3－(－2)＝5，b －y ＝2－(－3)＝5，∴a －x ＝b －y ，因此①不成立．∵ax ＝－6，by ＝－6，∴ax ＝by ，因此③也不成立．∵a y ＝3－3＝－1，b x ＝2－2＝－1， ∴a y ＝b x ，因此⑤不成立．由不等式的性质可推出②④成立．14．已知1≤lg (xy )≤4，－1≤lg x y ≤2，求lg x 2y 的取值范围．解由1≤lg (xy )≤4，－1≤lg x y ≤2，得1≤lg x ＋lg y ≤4，－1≤lg x －lg y ≤2，而lg x 2y ＝2lg x －lg y ＝12(lg x ＋lg y )＋32(lg x －lg y )，所以－1≤lg x 2y ≤5，即lg x 2y 的取值范围是[－1,5]．理数第6章不等式、推理与证明 6-2a[A 级基础达标](时间：40分钟)1．[2017·潍坊模拟]函数f (x )＝1ln －x 2＋4x －3的定义域是( )A ．(－∞，1)∪(3，＋∞)B ．(1,3)C ．(－∞，2)∪(2，＋∞)D ．(1,2)∪(2,3)答案 D 解析由题意知⎩⎪⎨⎪⎧ －x 2＋4x －3>0，－x 2＋4x －3≠1，即⎩⎪⎨⎪⎧1<x <3，x ≠2，故函数 f (x )的定义域为(1,2)∪(2,3)．2．[2017·青海质检]不等式x 2－4>3|x |的解集是( )A ．(－∞，－4)∪(4，＋∞)B ．(－∞，－1)∪(4，＋∞)C ．(－∞，－4)∪(1，＋∞)D ．(－∞，－1)∪(1，＋∞)答案 A解析 ∵|x |2－3|x |－4>0，∴(|x |－4)(|x |＋1)>0，∴|x |>4，x >4或x <－4，选A 项．3．[2017·江西模拟]下列选项中，使不等式x <1x <x 2成立的x 的取值范围是( )A ．(－∞，－1)B ．(－1,0)C ．(0,1)D ．(1，＋∞) 答案 A解析当x >0时，原不等式可化为x 2<1<x 3，解得x ∈∅，当x <0时，原不等式可化为⎩⎪⎨⎪⎧x 2>1，x 3<1，解得x <－1，选A. 4．[2017·郑州模拟]已知关于x 的不等式ax －1x ＋1>0的解集是(－∞，－1)∪⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞，则a 的值为( ) A ．－1 B.12 C ．1 D ．2答案 D解析由题意可得a ≠0且不等式等价于a (x ＋1)·⎝⎛⎭⎪⎫x －1a >0，由解集的特点可得a >0且1a ＝12，故a ＝2.故选D. 5．已知不等式ax 2＋bx ＋2>0的解集为{x |－1<x <2}，则不等式2x 2＋bx ＋a <0的解集为( )A.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪ －1<x <12 B.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪x <－1或x >12 C ．{x |－2<x <1}D ．{x |x <－2或x >1}答案 A解析由题意知x ＝－1，x ＝2是方程ax 2＋bx ＋2＝0的根，且a <0.由韦达定理⎩⎪⎨⎪⎧ －1＋2＝－b a ，－1 ×2＝2a ⇒⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1，b ＝1. ∴不等式2x 2＋bx ＋a <0，即2x 2＋x －1<0，可知x ＝－1，x ＝12是对应方程的根，∴选A.6．[2017·甘肃模拟]不等式(a －2)x 2＋2(a －2)x －4<0对一切x ∈R 恒成立，则实数a 的取值范围是________．答案 (－2,2]解析当a －2＝0，即a ＝2时，不等式即为－4<0，对一切x ∈R 恒成立，当a ≠2时，则有⎩⎪⎨⎪⎧ a －2<0，Δ＝4 a －2 2＋16 a －2 <0，即⎩⎪⎨⎪⎧a <2，－2<a <2，∴－2<a <2. 综上，可得实数a 的取值范围是(－2,2]．7．[2017·上海模拟]不等式x ＋1x ≤3的解集为________．答案 ⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪x <0或x ≥12解析 x ＋1x ≤3，即x ＋1－3x x≤0， 1－2x x ≤0⇔⎩⎨⎧ x 1－2x ≤0，x ≠0⇔⎩⎨⎧ x 2x －1 ≥0，x ≠0.解得x ≥12或x <0.故原不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪x <0或x ≥12. 8．[2017·西安质检]在R 上定义运算：⎪⎪⎪⎪⎪⎪a b c d ＝ad －bc .若不等式⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪x －1 a －2a ＋1 x ≥1对任意实数x 恒成立，则实数a 的最大值为________．答案 32解析原不等式等价于x (x －1)－(a －2)(a ＋1)≥1，即x 2－x －1≥(a ＋1)(a －2)对任意x 恒成立，x 2－x －1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122－54≥－54，所以－54≥a 2－a －2，解得－12≤a ≤32.9．已知关于x 的不等式kx 2－2x ＋6k <0(k ≠0)．(1)若不等式的解集为{x |x <－3或x >－2}，求k 的值；(2)若不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪x ∈R ，x ≠1k ，求k 的值； (3)若不等式的解集为R ，求k 的取值范围；(4)若不等式的解集为∅，求k 的取值范围．解 (1)由不等式的解集为{x |x <－3或x >－2}可知k <0，且－3与－2是方程kx 2－2x ＋6k ＝0的两根，∴(－3)＋(－2)＝2k ，解得k ＝－25.(2)由不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪x ∈R ，x ≠1k 可知⎩⎪⎨⎪⎧ k <0，Δ＝4－24k 2＝0，解得k ＝－66. (3)依题意知⎩⎪⎨⎪⎧ k <0，Δ＝4－24k 2<0，解得k <－66. (4)依题意知⎩⎪⎨⎪⎧k >0，Δ＝4－24k 2≤0，解得k ≥66. 10．[2017·池州模拟]已知函数f (x )＝ax 2＋2ax ＋1的定义域为R .(1)求a 的取值范围；(2)若函数f (x )的最小值为22，解关于x 的不等式x 2－x －a 2－a <0.解 (1)∵函数f (x )＝ax 2＋2ax ＋1的定义域为R ，∴ax 2＋2ax ＋1≥0恒成立，当a ＝0时，1≥0恒成立．当a ≠0时，则有⎩⎪⎨⎪⎧a >0，Δ＝ 2a 2－4a ≤0，解得0<a ≤1，综上，a 的取值范围是[0,1]．(2)∵f (x )＝ax 2＋2ax ＋1＝a x ＋1 2＋1－a ，∵a >0，∴当x ＝－1时，f (x )min ＝1－a ，由题意，得1－a ＝22，∴a ＝12.∴x 2－x －⎝ ⎛⎭⎪⎫122－12<0，即(2x ＋1)(2x －3)<0，－12<x <32.故不等式的解集为⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，32. [B 级知能提升](时间：20分钟)11．[2017·重庆模拟]关于x 的不等式x 2－2ax －8a 2<0(a >0)的解集为(x 1，x 2)，且x 2－x 1＝15，则a ＝( ) A.52 B.72 C.154 D.152答案 A解析由条件知x 1，x 2为方程x 2－2ax －8a 2＝0的两根，则x 1＋x 2＝2a ，x 1x 2＝－8a 2.故(x 2－x 1)2＝(x 1＋x 2)2－4x 1x 2＝(2a )2－4×(－8a 2)＝36a 2＝152，得a ＝52，故选A. 12．某商场若将进货单价为8元的商品按每件10元出售，每天可销售100件，现准备采用提高售价来增加利润．已知这种商品每件销售价提高1元，销售量就要减少10件．那么要保证每天所赚的利润在320元以上，销售价每件应定为( )A ．12元B ．16元C ．12元到16元之间D ．10元到14元之间答案 C解析设销售价定为每件x 元，利润为y ，则：y ＝(x －8)·[100－10(x －10)]，依题意有(x －8)[100－10(x －10)]>320，即x 2－28x ＋192<0，解得12<x <16，所以每件销售价应定为12元到16元之间．13．若关于x 的不等式4x －2x ＋1－a ≥0在[1,2]上恒成立，则实数a 的取值范围为________．答案 (－∞，0]解析因为4x －2x ＋1－a ≥0在[1,2]上恒成立，所以4x －2x ＋1≥a 在[1,2]上恒成立．令y ＝4x －2x ＋1＝(2x )2－2×2x ＋1－1＝(2x －1)2－1.因为1≤x ≤2，所以2≤2x ≤4.由二次函数的性质可知：当2x ＝2，即x ＝1时，y 有最小值0，所以a 的取值范围为(－∞，0]．14．已知函数f (x )＝ax 2＋(b －8)x －a －ab ，当x ∈(－∞，－3)∪(2，＋∞)时，f (x )<0.当x ∈(－3,2)时，f (x )>0.(1)求f (x )在[0,1]内的值域；(2)若ax 2＋bx ＋c ≤0的解集为R ，求实数c 的取值范围．解 (1)因为当x ∈(－∞，－3)∪(2，＋∞)时，f (x )<0，当x ∈(－3,2)时，f (x )>0，所以－3,2是方程ax 2＋(b －8)x －a －ab ＝0的两根，可得⎩⎨⎧－3＋2＝－b －8a ，－3×2＝－a －ab a ，所以a ＝－3，b ＝5，f (x )＝－3x 2－3x ＋18＝－3⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋122＋18.75，函数图象关于x ＝－12对称，且抛物线开口向下，所以在区间[0,1]上f (x )为减函数，所以函数的最大值为f (0)＝18，最小值为f (1)＝12，故f (x )在[0,1]内的值域为[12,18]．(2)由(1)知，不等式ax 2＋bx ＋c ≤0化为－3x 2＋5x ＋c ≤0，因为二次函数y ＝－3x 2＋5x ＋c 的图象开口向下，要使－3x 2＋5x ＋c ≤0的解集为R ，只需⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－3<0，Δ＝b 2－4ac ≤0，即25＋12c ≤0⇒c ≤－2512，所以实数c 的取值范围为⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，－2512.理数第6章不等式、推理与证明 6-3a[A 级基础达标](时间：40分钟)1．[2016·北京高考]若x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧2x －y ≤0，x ＋y ≤3，x ≥0，则2x ＋y 的最大值为( )A ．0B ．3C ．4D ．5答案 C解析画出可行域，如图中阴影部分所示，令z ＝2x ＋y ，则y ＝－2x ＋z ，当直线y ＝－2x ＋z 过点A (1,2)时，z 最大，z max ＝4.故选C.2．设关于x ，y 的不等式组⎩⎪⎨⎪⎧2x －y ＋1>0，x ＋m <0，y －m >0表示的平面区域内存在点P (x 0，y 0)，满足x 0－2y 0＝2，则m 的取值范围是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，43 B.⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，13 C.⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－23 D.⎝⎛⎭⎪⎫－∞，－53 答案 C解析图中阴影部分表示可行域，要求可行域内包含y ＝12x －1上的点，只需要可行域的边界点(－m ，m )在y ＝12x －1下方，也就是m <－12m －1，即m <－23.故选C.3．已知z ＝2x ＋y ，x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧y ≥x ，x ＋y ≤2，x ≥m ，且z 的最大值是最小值的4倍，则m 的值是( )A.17B.16C.15D.14 答案D解析画出线性约束条件 ⎩⎪⎨⎪⎧y ≥x ，x ＋y ≤2，x ≥m的可行域，如图阴影部分所示．由可行域知：目标函数z ＝2x ＋y 过点(m ，m )时有最小值，z min ＝3m ；过点(1,1)时有最大值，z max ＝3，因为z 的最大值是最小值的4倍，所以3＝12m ，即m ＝14.4．[2017·江西模拟]某农户计划种植黄瓜和韭菜，种植面积不超过50亩，投入资金不超过54万元，假设种植黄瓜和韭菜的产量、成本和售价如下表：最大，那么黄瓜和韭菜的种植面积(单位：亩)分别为( )A ．50,0B ．30,20C ．20,30D ．0,50 答案B解析设种植黄瓜x 亩，种植韭菜y 亩，因此，原问题转化为在条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≤50，1.2x ＋0.9y ≤54，x ≥0，y ≥0下，求z ＝0.55×4x ＋0.3×6y －1.2x －0.9y ＝x ＋0.9y 的最大值．画出可行域如图．利用线性规划知识可知，当x ，y 取⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝50，1.2x ＋0.9y ＝54的交点(30,20)时，z 取得最大值．故选B.5．变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧y ≥－1，x －y ≥2，3x ＋y ≤14，若使z ＝ax ＋y 取得最大值的最优解有无穷多个，则实数a 的取值集合是( )A ．{－3,0}B ．{3，－1}C ．{0,1}D ．{－3,0,1} 答案 B解析作出不等式组所表示的平面区域，如图所示．易知直线z ＝ax ＋y 与x －y ＝2或3x ＋y ＝14平行时取得最大值的最优解有无穷多个，即－a ＝1或－a ＝－3，∴a ＝－1或a ＝3.6．[2014·安徽高考]不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －2≥0，x ＋2y －4≤0，x ＋3y －2≥0表示的平面区域的面积为________．答案 4解析作出不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示，可知S △ABC ＝12×2×(2＋2)＝4.7．[2017·厦门模拟]设变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －2≥0，x －y －2≤0，y ≥1，则目标函数z ＝x ＋2y 的最小值为________．答案 3解析画出不等式组所确定的可行域(如图阴影部分)．由z ＝x ＋2y ，得y ＝－12x ＋12z ，作直线l ：y ＝－12x ，平移l ，由图形可知当l 经过可行域中的点A (1，1)时，z 取最小值，所以z min ＝1＋2×1＝3.8．[2017·辽宁模拟]设变量x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x －y ≤10，0≤x ＋y ≤20，0≤y ≤15，则2x ＋3y的最大值为________．答案55解析不等式组表示的区域如图所示，令z ＝2x ＋3y ，目标函数变为y ＝－23x ＋z3，因此截距越大，z 的取值越大，故当直线z ＝2x ＋3y 经过点A 时，z 最大，由于⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋y ＝20，y ＝15⇒⎩⎪⎨⎪⎧x ＝5，y ＝15，故点A 的坐标为(5,15)，代入z ＝2x ＋3y ，得到z max ＝55，即2x ＋3y 的最大值为55.9．当x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，y ≤x ，2x ＋y ＋k ≤0，(k 为负常数)时，能使z ＝x ＋3y 的最大值为12，试求k 的值．解在平面直角坐标系中画出不等式组所表示的平面区域(如图所示)．当直线y ＝－13x ＋13z 经过区域中的点A 时，截距最大．由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ，2x ＋y ＋k ＝0，得x ＝y ＝－k 3.∴点A 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫－k3，－k 3，则z 的最大值为－k 3＋3⎝⎛⎭⎪⎫－k 3＝－43k ，令－4k3＝12，得k ＝－9. ∴所求实数k 的值为－9.10．变量x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x －4y ＋3≤0，3x ＋5y －25≤0，x ≥1.(1)设z ＝yx ，求z 的最小值； (2)设z ＝x 2＋y 2，求z 的取值范围；(3)设z ＝x 2＋y 2＋6x －4y ＋13，求z 的取值范围．解由约束条件 ⎩⎪⎨⎪⎧x －4y ＋3≤0，3x ＋5y －25≤0，x ≥1作出(x ，y )的可行域如图所示．由⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝1，3x ＋5y －25＝0，解得A ⎝⎛⎭⎪⎫1，225. 由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，x －4y ＋3＝0，解得C (1,1)．由⎩⎪⎨⎪⎧x －4y ＋3＝0，3x ＋5y －25＝0，解得B (5,2)．(1)因为z ＝y x ＝y －0x －0，所以z 的值即是可行域中的点与原点O 连线的斜率．观察图形可知z min ＝k OB ＝25.(2)z ＝x 2＋y 2的几何意义是可行域上的点到原点O 的距离的平方．结合图形可知，可行域上的点到原点的距离中，d min ＝|OC |＝2，d max ＝|OB |＝29，所以2≤z ≤29.(3)z ＝x 2＋y 2＋6x －4y ＋13＝(x ＋3)2＋(y －2)2的几何意义是可行域上的点到点(－3,2)的距离的平方．结合图形可知，可行域上的点到(－3,2)的距离中，d min ＝1－(－3)＝4，d max ＝－3－5 2＋ 2－2 2＝8.所以16≤z ≤64.[B 级知能提升](时间：20分钟)11．设x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ≥2，3x －y ≥1，y ≥x ＋1，则下列不等式恒成立的是( )A ．x ≥3B ．y ≥4C ．x ＋2y －8≥0D ．2x －y ＋1≥0答案 C解析不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示．由图象可知x ≥2，y ≥3，A 、B 错误；点(3,8)在可行域内，但不满足2x －y ＋1≥0，D 错误；设z ＝x ＋2y ，y ＝－12x ＋12z ，由图象可知当其经过点(2,3)时，z 取得最小值8.12．[2017·太原模拟]设不等式组⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y ≥2，x －2y ≥－4，3x －y ≤3所表示的平面区域为M ，若函数y ＝k (x ＋1)＋1的图象经过区域M ，则实数k 的取值范围是( )A ．[3,5]B ．[－1,1]C ．[－1,3] D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，1 答案D解析画出不等式组 ⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y ≥2，x －2y ≥－43x －y ≤3，所表示的平面区域M ，如图中阴影部分所示，函数y ＝k (x ＋1)＋1的图象表示一条经过定点P (－1,1)的直线，当直线经过区域M 内的点A (0,2)时斜率最大，为1，当直线经过区域M 内的点B (1,0)时斜率最小，为－12，故实数k 的取值范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，1，选D.13．[2017·山西质检]若变量x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧|x |＋|y |≤1，xy ≥0，则2x ＋y 的取值范围为________．答案 [－2,2]解析作出满足不等式组的平面区域，如图中阴影部分所示，平移直线2x ＋y ＝0，经过点(1,0)时，2x ＋y 取得最大值2×1＋0＝2，经过点(－1,0)时，2x ＋y 取得最小值2×(－1)＋0＝－2，所以2x ＋y 的取值范围为[－2,2]．14．[2016·天津高考]某化肥厂生产甲、乙两种混合肥料，需要A ，B ，C 三种主要原料．生产1车皮甲种肥料和生产1车皮乙种肥料所需三种原料的吨数如下表所示：现有A 种原料200吨，B 种原料360吨，C 种原料300吨，在此基础上生产甲、乙两种肥料．已知生产1车皮甲种肥料，产生的利润为2万元；生产1车皮乙种肥料，产生的利润为3万元．分别用x ，y 表示计划生产甲、乙两种肥料的车皮数．(1)用x ，y 列出满足生产条件的数学关系式，并画出相应的平面区域；(2)问分别生产甲、乙两种肥料各多少车皮，能够产生最大的利润？并求出此最大利润．解 (1)由已知，x ，y 满足的数学关系式为 ⎩⎪⎨⎪⎧4x ＋5y ≤200，8x ＋5y ≤360，3x ＋10y ≤300，x ≥0，y ≥0.该二元一次不等式组所表示的平面区域为图1中的阴影部分：(2)设利润为z 万元，则目标函数为z ＝2x ＋3y .考虑z ＝2x ＋3y ，将它变形为y ＝－23x ＋z 3，这是斜率为－23，随z 变化的一族平行直线.z 3为直线在y 轴上的截距，当z3取最大值时，z 的值最大．又因为x ，y 满足约束条件，所以由图2可知，当直线z ＝2x ＋3y 经过可行域上的点M 时，截距z3最大，即z 最大．解方程组⎩⎪⎨⎪⎧4x ＋5y ＝200，3x ＋10y ＝300，得点M 的坐标为(20,24)．所以z max ＝2×20＋3×24＝112.答：生产甲种肥料20车皮、乙种肥料24车皮时利润最大，且最大利润为112万元．理数第6章不等式、推理与证明 6-4a[A 级基础达标](时间：40分钟)1．已知x ，y ∈R ＋，则“xy ＝1”是“x ＋y ≥2”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件答案 A解析若xy ＝1，由基本不等式，知x ＋y ≥2xy ＝2；反之，取x ＝3，y ＝1，则满足x ＋y ≥2，但xy ＝3≠1，所以“xy ＝1”是“x ＋y ≥2”的充分不必要条件．故选A.2．[2015·湖南高考]若实数a ，b 满足1a ＋2b ＝ab ，则ab 的最小值为( )A. 2 B ．2 C ．2 2 D ．4 答案 C 解析由ab ≥22ab ，得ab ≥22，当且仅当1a ＝2b 时取“＝”，选C.3．已知a >0，b >0,2a ＋b ＝1，则2a ＋1b 的最小值是( ) A ．4 B.92 C ．8 D ．9 答案 D解析 ∵2a ＋b ＝1，又a >0，b >0， ∴2a ＋1b ＝⎝⎛⎭⎪⎫2a ＋1b ·(2a ＋b )＝5＋2b a ＋2a b ≥5＋22b a ×2ab ＝9，当且仅当⎩⎨⎧2b a ＝2a b ，2a ＋b ＝1，即a ＝b ＝13时等号成立．故选D. 4．函数y ＝x 2＋2x －1(x >1)的最小值是( )A ．23＋2B ．23－2C ．2 3D ．2答案 A解析 ∵x >1，∴x －1>0. ∴y ＝x 2＋2x －1＝x 2－2x ＋2x ＋2x －1＝x 2－2x ＋1＋2 x －1 ＋3x －1＝ x －1 2＋2 x －1 ＋3x －1＝x －1＋3x －1＋2≥2x －1 ⎝ ⎛⎭⎪⎫3x －1＋2＝23＋2.当且仅当x －1＝3x －1，即x ＝1＋3时取等号．5．[2017·浙江考试院抽测]若正数x ，y 满足x 2＋3xy －1＝0，则x ＋y 的最小值是( )A.23B.223C.33D.233 答案 B解析对于x 2＋3xy －1＝0可得y ＝13⎝⎛⎭⎪⎫1x －x ，∴x ＋y ＝2x 3＋13x≥229＝223(当且仅当x ＝22时等号成立)．6．[2017·广州模拟]已知实数x ，y 满足x 2＋y 2－xy ＝1，则x ＋y的最大值为________．答案 2解析因为x 2＋y 2－xy ＝1，所以x 2＋y 2＝1＋xy .所以(x ＋y )2＝1＋3xy ≤1＋3×⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋y 22，即(x ＋y )2≤4，解得－2≤x ＋y ≤2. 当且仅当x ＝y ＝1时等号成立，所以x ＋y 的最大值为2.7．函数y ＝2x ＋1x －1(x >1)的最小值为________．答案 22＋2解析因为y ＝2x ＋1x －1(x >1)，所以y ＝2x ＋1x －1＝2(x －1)＋1x －1＋2≥2＋22 x －1 1x －1＝22＋2.当且仅当x ＝1＋22时取等号，故函数y ＝2x ＋1x －1(x >1)的最小值为22＋2.8．函数f (x )＝ x ＋1 1－2x ( －1<x <12 )的最大值为________．答案324解析 f (x )＝ x ＋1 1－2x ＝12 2x ＋2 1－2x ，因为－1<x <12，所以2x ＋2>0,1－2x >0，且(2x ＋2)＋(1－2x )＝3. 由基本不等式可得(2x ＋2)＋(1－2x )≥2 2x ＋2 1－2x ( 当且仅当2x ＋2＝1－2x ，即x ＝－14时等号成立 )，即 2x ＋2 1－2x ≤32. 所以f (x )＝12 2x ＋2 1－2x ≤12×32＝324.9．已知x >0，y >0，且2x ＋8y －xy ＝0，求： (1)xy 的最小值； (2)x ＋y 的最小值．解 (1)由2x ＋8y －xy ＝0，得8x ＋2y ＝1，又x >0，y >0，则1＝8x ＋2y ≥28x ·2y ＝8xy ，得xy ≥64，当且仅当x ＝16，y ＝4时，等号成立．所以xy 的最小值为64.(2)由2x ＋8y －xy ＝0，得8x ＋2y ＝1，则x ＋y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫8x ＋2y ·(x ＋y )＝10＋2x y ＋8y x≥10＋22x y ·8yx ＝18.当且仅当x ＝12且y ＝6时等号成立， ∴x ＋y 的最小值为18.10．[2016·郑州模拟]若a >0，b >0，且1a ＋1b ＝ab . (1)求a 3＋b 3的最小值；(2)是否存在a ，b ，使得2a ＋3b ＝6？并说明理由．解 (1)因为a >0，b >0，且1a ＋1b ＝ab ，所以ab ＝1a ＋1b ≥21ab ，所以ab ≥2，当且仅当a ＝b ＝2时取等号．因为a 3＋b 3≥2 ab 3≥223＝42，当且仅当a ＝b ＝2时取等号，所以a 3＋b 3的最小值为4 2. (2)由(1)可知，2a ＋3b ≥22a ·3b ＝26ab ≥43>6，故不存在a ，b ，使得2a ＋3b ＝6成立．[B 级知能提升](时间：20分钟)11．[2017·安庆模拟]设实数m ，n 满足m >0，n <0，且1m ＋1n ＝1，则4m ＋n ( )A ．有最小值9B ．有最大值9C ．有最大值1D ．有最小值1 答案 C解析因为1m ＋1n ＝1，所以4m ＋n ＝(4m ＋n )( 1m ＋1n )＝5＋4m n ＋n m ，又m >0，n <0，所以－4m n －nm ≥4，当且仅当n ＝－2m 时取等号，故5＋4m n ＋n m ≤5－4＝1，当且仅当m ＝12，n ＝－1时取等号，故选C.12．设a >0，b >1，若a ＋b ＝2，则2a ＋1b －1的最小值为( )A ．3＋2 2B ．6C ．4 2D ．2 2 答案 A解析由题可知a ＋b ＝2，a ＋b －1＝1，∴2a ＋1b －1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2a ＋1b －1(a＋b －1)＝2＋2 b －1 a ＋ab －1＋1≥3＋22，当且仅当2 b －1 a ＝ab －1，即a ＝2－2，b ＝2时等号成立，故选A. 13．已知a >b >0，则a 2＋16b a －b的最小值是________．答案 16解析因为a >b >0，所以b (a －b )≤⎝⎛⎭⎪⎫b ＋a －b 22＝a 24，当且仅当a ＝2b 时等号成立．所以a 2＋16b a －b≥a 2＋16a 24＝a 2＋64a 2≥2a 2·64a 2＝16，当且仅当a ＝22时等号成立．所以当a ＝22，b ＝2时，a 2＋16b a －b 取得最小值16.14．已知lg (3x )＋lg y ＝lg (x ＋y ＋1)． (1)求xy 的最小值； (2)求x ＋y 的最小值．解由lg (3x )＋lg y ＝lg (x ＋y ＋1)，得⎩⎪⎨⎪⎧x >0，y >0，3xy ＝x ＋y ＋1.(1)∵x >0，y >0，∴3xy ＝x ＋y ＋1≥2xy ＋1， ∴3xy －2xy －1≥0，即3(xy )2－2xy －1≥0， ∴(3xy ＋1)(xy －1)≥0， ∴xy ≥1，∴xy ≥1，当且仅当x ＝y ＝1时，等号成立． ∴xy 的最小值为1. (2)∵x >0，y >0，∴x ＋y ＋1＝3xy ≤3·⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋y 22， ∴3(x ＋y )2－4(x ＋y )－4≥0， ∴[3(x ＋y )＋2][(x ＋y )－2]≥0，∴x ＋y ≥2，当且仅当x ＝y ＝1时取等号， ∴x ＋y 的最小值为2.理数第6章不等式、推理与证明 6-5a[A 级基础达标](时间：40分钟)1．下列说法正确的有( )①演绎推理是由一般到特殊的推理；②演绎推理得到的结论一定是正确的；③演绎推理的一般模式是“三段论”；④演绎推理的结论的正误与大前提、小前提和推理形式有关．A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个答案 C解析只有②是错误的，因为演绎推理的结论的正误受大前提、小前提和推理形式正确与否的影响．2．[2017·上海模拟]某西方国家流传这样一个政治笑话：“鹅吃白菜，参议员先生也吃白菜，所以参议员先生是鹅．”结论显然是错误的，是因为( )A．大前提错误 B．小前提错误C．推理形式错误D．非以上错误答案 C解析∵大前提的形式：“鹅吃白菜” 不是全称命题，大前提本身正确；小前提“参议员先生也吃白菜”本身也正确，但是不是大前提下的特殊情况，鹅与人不能类比．∴不符合三段论推理形式，∴推理形式错误．3．[2016·浙江模拟]观察下列等式，13＋23＝32,13＋23＋33＝62,13＋23＋33＋43＝102根据上述规律，13＋23＋33＋43＋53＋63＝()A．192B．202C．212D．222答案 C解析因为13＋23＝32,13＋23＋33＝62，13＋23＋33＋43＝102等式的右端依次为(1＋2)2，(1＋2＋3)2，(1＋2＋3＋4)2，所以13＋23＋33＋43＋53＋63＝(1＋2＋3＋4＋5＋6)2＝212，故选C.4．将自然数0,1,2，…按照如下形式进行摆列：根据以上规律判定，从2016到2018的箭头方向是()答案 A解析从所给的图形中观察得到规律：每隔四个单位，箭头的走向是一样的，比如说，0→1，箭头垂直指下，4→5，箭头也是垂直指下，8→9也是如此，而2016＝4×504，所以2016→2017也是箭头垂直指下，之后2017→2018的箭头是水平向右，故选A.5．[2017·湖北八校二联]有6名选手参加演讲比赛，观众甲猜测：4号或5号选手得第一名；观众乙猜测：3号选手不可能得第一名；观众丙猜测：1,2,6号选手中的一位获得第一名；观众丁猜测：4,5,6号选手都不可能获得第一名．比赛后发现没有并列名次，且甲、乙、丙、丁中只有1人猜对比赛结果，此人是( )A ．甲B ．乙C ．丙D ．丁答案 D解析根据题意，6名选手比赛结果甲、乙、丙、丁猜测如下表：6．[2017·广东三校联考]已知f (n )＝1＋12＋13＋…＋1n (n ∈N *)，经计算得f (2)＝32，f (4)>2，f (8)>52，f (16)>3，f (32)>72，…，观察上述结果，可归纳出的一般结论为________．答案 f (2n)≥n ＋22(n ∈N *) 解析由题意f (2)＝32可化为f (21)＝1＋22，f (4)>2可化为f (22)>2＋22，f (8)>52可化为f (23)>3＋22，f (16)>3可化为f (24)>4＋22，…，由归纳推理可得f (2n)≥n ＋22(n ∈N *)． 7．[2017·重庆模拟]在等差数列{a n }中，若公差为d ，且a 1＝d ，那么有a m ＋a n ＝a m ＋n ，类比上述性质，写出在等比数列{a n }中类似的性质：______________________.答案在等比数列{a n }中，若公比为q ，且a 1＝q ，则a m ·a n ＝a m ＋n解析等差数列中两项之和类比等比数列中两项之积，故在等比数列中，类似的性质是“在等比数列{a n }中，若公比为q ，且a 1＝q ，则a m ·a n ＝a m ＋n .”8．下面图形由小正方形组成，请观察图1至图4的规律，并依此规律，写出第n 个图形中小正方形的个数是 .答案 n n ＋1 2解析由题图知第n 个图形的小正方形个数为1＋2＋3＋…＋n .∴总个数为n n ＋1 2. 9．在锐角三角形ABC 中，求证：sin A ＋sin B ＋sin C >cos A ＋cos B ＋cos C .证明 ∵△ABC 为锐角三角形，∴A ＋B >π2，∴A >π2－B ，∵y ＝sin x 在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2上是增函数， ∴sin A >sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－B ＝cos B ，同理可得sin B >cos C ，sin C >cos A ，∴sin A ＋sin B ＋sin C >cos A ＋cos B ＋cos C .10．定义“等和数列”：在一个数列中，如果每一项与它的后一项的和都为同一常数，那么这个数列叫做等和数列，这个常数叫做该数列的公和．已知数列{a n }是等和数列，且a 1＝2，公和为5.求：(1)a 18的值；(2)该数列的前n 项和S n .解 (1)由等和数列的定义，数列{a n }是等和数列，且a 1＝2，公和为5，易知a 2n －1＝2，a 2n ＝3(n ＝1,2，…)，故a 18＝3.(2)当n 为偶数时，S n ＝a 1＋a 2＋…＋a n＝(a 1＋a 3＋…＋a n －1)＋(a 2＋a 4＋…＋a n )当n 为奇数时，S n ＝S n －1＋a n ＝52(n －1)＋2＝52n －12.综上所述，S n ＝⎩⎪⎨⎪⎧ 52n ，n 为偶数，52n －12，n 为奇数.[B 级知能提升](时间：20分钟)11．[2017·重庆模拟]某种树的分枝生长规律如图所示，第1年到第5年的分枝数分别为1,1,2,3,5，则预计第10年树的分枝数为( )A ．21B ．34C ．52D ．55答案 D解析因为2＝1＋1,3＝2＋1,5＝3＋2，即从第三项起每一项都等于前两项的和，所以第10年树的分枝数为21＋34＝55.12．[2016·北京高考]袋中装有偶数个球，其中红球、黑球各占一半，甲、乙、丙是三个空盒．每次从袋中任意取出两个球，将其中一个球放入甲盒，如果这个球是红球，就将另一个球放入乙盒，否则就放入丙盒，重复上述过程，直到袋中所有球都被放入盒中，则() A．乙盒中黑球不多于丙盒中黑球B．乙盒中红球与丙盒中黑球一样多C．乙盒中红球不多于丙盒中红球D．乙盒中黑球与丙盒中红球一样多答案 B解析若袋中有两个球，则红球、黑球各一个，若红球放在甲盒，则黑球放在乙盒，丙盒中没有球，此时乙盒中黑球多于丙盒中黑球，乙盒中黑球比丙盒中红球多，故可排除A、D；若袋中有四个球，则红球、黑球各两个，若取出两个红球，则红球一个放在甲盒，余下一个放在乙盒，再取出余下的两个黑球，一个放在甲盒，则余下一个放在丙盒，所以甲盒中一红一黑，乙盒中一个红球，丙盒中一个黑球，此时乙盒中红球比丙盒中红球多，排除C.故选B.13．若f(n)为n2＋1(n∈N*)的各位数字之和，如：142＋1＝197,1＋9＋7＝17，则f(14)＝17；记f1(n)＝f(n)，f2(n)＝f(f1(n))，f3(n)＝f(f2(n))，…，f k＋1(n)＝f(f k(n))，k∈N*，则f2015(9)＝________.答案11解析92＋1＝82，f1(9)＝10；102＋1＝101，f2(9)＝f(f1(9))＝f(10)＝2；22＋1＝5，f3(9)＝f(f2(9))＝f(2)＝5；52＋1＝26，f4(9)＝f(f3(9))＝f(5)＝8；82＋1＝65，f5(9)＝f(f4(9))＝f(8)＝11；112＋1＝122，f6(9)＝f(f5(9))＝f(11)＝5，所以{f n(9)}从第3项开始是以3为周期的循环数列，因为2015＝2＋671×3，所以f2015(9)＝f5(9)＝11.14．在Rt△ABC中，AB⊥AC，AD⊥BC于D，求证：1AD2＝1 AB2＋1AC2，那么在四面体A－BCD中，类比上述结论，你能得到怎样的猜想，并说明理由．解如图，由射影定理得AD2＝BD·DC，AB2＝BD·BC，AC2＝DC·BC，故1AB2＋1AC2＝1BD·BC＋1DC·BC＝DC＋BDBD·DC·BC＝1BD·DC＝1AD2.在四面体A－BCD中，AB，AC，AD两两垂直，AH⊥底面BCD，垂足为H.则1AH2＝1AB2＋1AC2＋1AD2.证明：连接BH并延长交CD于E，连接AE. ∵AB，AC，AD两两垂直，∴AB⊥平面ACD，又∵AE⊂平面ACD，∴AB⊥AE，在Rt△ABE中，1 AH2＝1AB2＋1AE2①又易证CD⊥AE，故在Rt△ACD中，1AE2＝1AC2＋1AD2②把②式代入①式，得1AH2＝1AB2＋1AC2＋1AD2.理数第6章不等式、推理与证明6-6a[A级基础达标](时间：40分钟)1．[2017·绵阳周测]设t＝a＋2b，s＝a＋b2＋1，则下列关于t和s的大小关系中正确的是()A．t>s B．t≥sC．t<s D．t≤s答案 D解析s－t＝b2－2b＋1＝(b－1)2≥0，∴s≥t，选D项．2．设f(x)是定义在R上的奇函数，且当x≥0时，f(x)单调递减，若x1＋x2>0，则f(x1)＋f(x2)的值()A．恒为负值B．恒等于零C．恒为正值D．无法确定正负答案 A解析由f(x)是定义在R上的奇函数，且当x≥0时，f(x)单调递减，可知f(x)是R上的单调递减函数，由x1＋x2>0，可知x1>－x2，f(x1)<f(－x2)＝－f(x2)，则f(x1)＋f(x2)<0.3．[2017·东城模拟]在△ABC中，sin A sin C＜cos A cos C，则△ABC 一定是()A．锐角三角形 B．直角三角形C．钝角三角形 D．不确定答案 C解析由sin A sin C ＜cos A cos C ，得cos A cos C －sin A sin C ＞0，即cos(A ＋C )＞0，所以A ＋C 是锐角，从而B ＞π2，故△ABC 必是钝角三角形．4．[2017·郑州模拟]设x >0，P ＝2x ＋2－x ，Q ＝(sin x ＋cos x )2，则( )A ．P >QB ．P <QC ．P ≤QD ．P ≥Q答案 A解析因为2x ＋2－x ≥22x ·2－x ＝2(当且仅当x ＝0时等号成立)，而x >0，所以P >2；又(sin x ＋cos x )2＝1＋sin2x ，而sin2x ≤1，所以Q ≤2.于是P >Q .故选A.5．设x ，y ，z ＞0，则三个数y x ＋y z ，z x ＋z y ，x z ＋x y ( )A ．都大于2B ．至少有一个大于2C ．至少有一个不小于2D ．至少有一个不大于2答案 C解析因为x ＞0，y ＞0，z ＞0，所以⎝ ⎛⎭⎪⎫y x ＋y z ＋( z x ＋z y )＋⎝ ⎛⎭⎪⎫x z ＋x y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫y x ＋x y ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y z ＋z y ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫x z ＋z x ≥6，当且仅当x ＝y ＝z 时等号成立，则三个数中至少有一个不小于2，故选C.6．下列条件：①ab >0，②ab <0，③a >0，b >0，④a <0，b <0，其中能使b a ＋a b ≥2成立的条件的序号是________．答案 ①③④解析要使b a ＋a b ≥2，只需b a >0且a b >0成立，即a ，b 不为0且同号即可，故①③④都能使b a ＋a b ≥2成立．7．[2016·兰州调研]已知a ，b 是不相等的正数，x ＝a ＋b 2，y ＝a ＋b ，则x ，y 的大小关系是________．答案 x ＜y解析 ∵a ＋b 2>ab (a ≠b )⇒a ＋b >2ab ⇒2(a ＋b )>a ＋b ＋2ab⇒a ＋b > a ＋b 22⇒a ＋b >a ＋b 2，即x <y .8．已知点A n (n ，a n )为函数y ＝x 2＋1图象上的点，B n (n ，b n )为函数y ＝x 图象上的点，其中n ∈N *，设c n ＝a n －b n ，则c n 与c n ＋1的大小关系为________．答案 c n ＋1＜c n解析由条件得c n ＝a n －b n ＝n 2＋1－n ＝1n 2＋1＋n ，∴c n 随n 的增大而减小，∴c n ＋1＜c n . 9．[2017·唐山模拟]已知a ＞0，1b －1a ＞1，求证：1＋a ＞11－b. 证明由已知1b －1a >1及a >0可知011－b，只需证1＋a ·1－b >1，只需证1＋a －b －ab >1，只需证a －b －ab >0，即a －b ab >1，即1b －1a >1，这是已知条件，所以原不等式得证．10．等差数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＝1＋2，S 3＝9＋3 2.(1)求数列{a n }的通项a n 与前n 项和S n ；(2)设b n ＝S n n (n ∈N *)，求证：数列{b n }中任意不同的三项都不可能成为等比数列．解 (1)由已知得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝2＋1，3a 1＋3d ＝9＋32，则d ＝2，故a n ＝2n －1＋2，S n ＝n (n ＋2)．(2)证明：由(1)得b n ＝S n n ＝n ＋ 2.假设数列{b n }中存在三项b p ，b q ，b r (p ，q ，r 互不相等)成等比数列，则b 2q ＝b p b r ，即(q ＋2)2＝(p ＋2)(r ＋2)，所以(q 2－pr )＋2(2q －p －r )＝0.因为p ，q ，r ∈N *，所以⎩⎪⎨⎪⎧q 2－pr ＝0，2q －p －r ＝0，所以⎝ ⎛⎭⎪⎫p ＋r 22＝pr ，(p －r )2＝0. 所以p ＝r ，这与p ≠r 矛盾，所以数列{b n }中任意不同的三项都不可能成为等比数列．[B 级知能提升](时间：20分钟)11．若1a <1b <0，则下列结论不正确的是( )A ．a 2|a ＋b |答案 D解析 ∵1a <1b <0，∴0>a >b .∴a 21，a ＝m ＋1－m ，b ＝m －m －1，则以下结论正确的是( )A ．a >bB ．a <bC ．a ＝bD ．a ，b 大小不定答案 B解析 ∵a ＝m ＋1－m ＝1m ＋1＋m， b ＝m －m －1＝1m ＋m －1.而m ＋1＋m >m ＋m －1>0(m >1)， ∴1m ＋1＋m <1m ＋m －1，即a <b . 13．[2017·邯郸模拟]设a ，b 是两个实数，给出下列条件：①a ＋b ＞1；②a ＋b ＝2；③a ＋b ＞2；④a 2＋b 2＞2；⑤ab ＞1.其中能推出：“a ，b 中至少有一个大于1”的条件是________．(填序号) 答案 ③解析若a ＝12，b ＝23，则a ＋b ＞1，但a ＜1，b ＜1，故①推不出；若a ＝b ＝1，则a ＋b ＝2，故②推不出；若a ＝－2，b ＝－3，则a 2＋b 2＞2，故④推不出；若a ＝－2，b ＝－3，则ab ＞1，故⑤推不出；对于③，反证法：假设a ≤1且b ≤1，则a ＋b ≤2与a ＋b ＞2矛盾，因此假设不成立，故a ，b 中至少有一个大于1.14．已知a ，b ，m 为非零实数，且a 2＋b 2＋2－m ＝0，1a 2＋4b 2＋1－2m ＝0.(1)求证：1a 2＋4b 2≥9a 2＋b2； (2)求证：m ≥72.证明 (1)要证1a 2＋4b 2≥9a 2＋b2成立，只需证⎝ ⎛⎭⎪⎫1a 2＋4b 2(a 2＋b 2)≥9，即证1＋4＋b 2a 2＋4a 2b 2≥9，只需证b 2a 2＋4a 2b 2≥4，根据基本不等式，有b 2a 2＋4a 2b 2≥2b 2a 2·4a 2b2＝4成立．当且仅当2a 2＝b 2时等号成立，所以原不等式成立．(2)因为a 2＋b 2＝m －2，1a 2＋4b 2＝2m －1，由(1)知(m －2)(2m －1)≥9，即2m 2－5m －7≥0，解得m ≤－1或m ≥72.又a 2＋b 2＝m －2＞0，1a 2＋4b 2＝2m －1＞0，所以m ≥72.理数第6章不等式、推理与证明 6-7a[A 级基础达标](时间：40分钟)1．用数学归纳法证明1＋12＋14＋…＋12n －1>12764(n ∈N *)成立，其初始值至少应取( )A ．7B ．8C ．9D ．10答案 B解析左边＝1＋12＋14＋…＋12n －1＝1－12n 1－12＝2－12n －1，代入验证可知n 的最小值是8.故选B.2．一个关于自然数n 的命题，如果验证当n ＝1时命题成立，并在假设当n ＝k (k ≥1且k ∈N *)时命题成立的基础上，证明了当n ＝k ＋2时命题成立，那么综合上述，对于( )A ．一切正整数命题成立B ．一切正奇数命题成立C ．一切正偶数命题成立D ．以上都不对答案 B解析本题证的是对n ＝1,3,5,7，…命题成立，即命题对一切正奇数成立．3．用数学归纳法证明12＋22＋…＋(n －1)2＋n 2＋(n －1)2＋…＋22＋12＝n 2n 2＋1 3时，由n ＝k 的假设到证明n ＝k ＋1时，等式左边应添加的式子是( )A ．(k ＋1)2＋2k 2B ．(k ＋1)2＋k 2C ．(k ＋1)2D. 13(k ＋1)[2(k ＋1)2＋1] 答案 B解析由n ＝k 到n ＝k ＋1时，左边增加(k ＋1)2＋k 2，故选B.4．[2017·陕西模拟]用数学归纳法证明“(n ＋1)(n ＋2)·…·(n ＋n )＝2n ·1·2…(2n －1)”(n ∈N ＋)时，从“n ＝k 到n ＝k ＋1”时，左边的式子之比是( )A.12k ＋1B.2k ＋3k ＋1C.2k ＋1k ＋1D.12 2k ＋1答案 D解析当n ＝k 时，左边为(k ＋1)(k ＋2)…2k ，当n ＝k ＋1时，左边为(k ＋2)(k ＋3)…2k (2k ＋1)(2k ＋2)，所以从“n ＝k 到n ＝k ＋1”时，左边的式子之比是k ＋1 k ＋2 ·…·2k k ＋2 k ＋3 ·…·2k 2k ＋1 2k ＋2＝ k ＋1 2k ＋1 2k ＋2 ＝12 2k ＋1，选D. 5．用数学归纳法证明1＋2＋3＋…＋2n ＝2n －1＋22n －1(n ∈N ＋)时，假设n ＝k 时命题成立，则当n ＝k ＋1时，左端增加的项数是( )A ．1项B ．k －1项C ．k 项D ．2k 项答案 D解析运用数学归纳法证明1＋2＋3＋…＋2n ＝2n －1＋22n －1(n ∈N ＋)．当n ＝k 时，则有1＋2＋3＋…＋2k ＝2k －1＋22k －1(k ∈N ＋)，左边表示的为2k 项的和．当n ＝k ＋1时，则左边＝1＋2＋3＋…＋2k ＋(2k ＋1)＋…＋2k ＋1，表示的为2k ＋1项的和，增加了2k ＋1－2k ＝2k 项．6．[2017·郑州模拟]用数学归纳法证明不等式1n ＋1＋1n ＋2＋…＋1n ＋n >1324的过程中，由n ＝k 推导n ＝k ＋1时，不等式的左边增加的式子是________．答案 1 2k ＋1 2k ＋2解析不等式的左边增加的式子是12k ＋1＋12k ＋2－1k ＋1＝1 2k ＋1 2k ＋2 ，故填1 2k ＋1 2k ＋2. 7．用数学归纳法证明：(n ＋1)＋(n ＋2)＋…＋(n ＋n )＝n 3n ＋1 2(n ∈N *)的第三步中，当n ＝k ＋1时等式左边与n ＝k 时的等式左边的差等于________．答案 3k ＋2解析 n ＝k ＋1比n ＝k 时左边变化的项为(2k ＋1)＋(2k ＋2)－(k ＋1)＝3k ＋2.8．设数列{a n }的前n 项和为S n ，且对任意的自然数n 都有(S n －1)2＝a n S n ，通过计算S 1，S 2，S 3，猜想S n ＝______________________ __________________________________________________.答案 n n ＋1解析由(S 1－1)2＝S 21，得S 1＝12；由(S 2－1)2＝(S 2－S 1)S 2，得S 2＝23；。

2018年高考数学总复习教师用书第6章第4讲绝对值不等式 Word版含解析

第讲绝对值不等式最新考纲.理解绝对值的几何意义，并了解下列不等式成立的几何意义及取等号的条件：＋≤＋(，∈)；－≤－＋－(，∈)；.会利用绝对值的几何意义求解以下类型的不等式：＋≤；＋≥；－＋－≥.知识梳理.绝对值不等式的解法()含绝对值的不等式<与>的解集①＋≤⇔－≤＋≤；②＋≥⇔＋≥或＋≤－；()－＋－≥(＞)和－＋－≤(＞)型不等式的解法①利用绝对值不等式的几何意义求解，体现了数形结合的思想；②利用“零点分段法”求解，体现了分类讨论的思想；③通过构造函数，利用函数的图象求解，体现了函数与方程的思想..含有绝对值的不等式的性质()如果，是实数，则－≤±≤＋，当且仅当≥时，等号成立.()如果，，是实数，那么－≤－＋－，当且仅当(－)(－)≥时，等号成立.诊断自测.判断正误(在括号内打“√”或“×”)()若＞的解集为，则≤.( )()不等式－＋＋＜的解集为∅.( )()对＋≥－当且仅当＞＞时等号成立.( )()对－≤－当且仅当≥时等号成立.( )()对－≤＋当且仅当≤时等号成立.( )答案()×()√()×()×()√.若函数()＝＋＋＋的最小值为，则实数的值为( )或 .－或.－或－ .－或解析分类讨论：当≤时，()＝显然，＝－时，()＝＋－＝，∴＝－，当>时，()＝显然＝－时，()＝－－＋＝，∴＝.答案.(·山东卷改编)不等式－－－<的解集为.解析①当≤时，原不等式可化为－－(－)<，∴－<，不等式恒成立，∴≤.②当<<时，原不等式可化为－－(－)<，∴<，∴<<，③当≥时，原不等式可化为－－(－)<，该不等式不成立.综上，原不等式的解集为(－∞，).答案(－∞，) .若不等式－≤的解集为{≤≤}，则实数＝.解析∵－≤，∴－≤－≤，∴≤≤.∵不等式的解集为{≤≤}，∴＝.答案.(·杭州调研)设函数()＝－＋，其中>.()当＝时，则不等式()≥＋的解集为.()若不等式()≤的解集为{≤－}，则的值为.解析()当＝时，()≥＋可化为－≥.由此可得≥或≤－.故当＝时，不等式()≥＋的解集为{≥或≤－}.()由()≤得－＋≤.此不等式化为不等式组或即或。

2018年秋高考数学一轮总复习课件：第六章不等式、推理与证明 6.1

10
2.一元二次不等式ax2+bx+c>0(a>0)的解集与其对应的函数y=ax2+bx+c的图像有什么关系?
提示:ax2+bx+c>0(a>0)的解集就是其对应函数y=ax2+
bx+c的图像在x轴上方的部分所对应的x的取值范围.
11
3.一元二次不等式ax2+bx+c>0(<0)恒成立的条件是什么?
6
Δ>0
Δ=0
Δ<0
判别式
Δ=b2-4ac 一元二次方 NhomakorabeaΔ>0
Δ=0
Δ<0
程ax2+bx+c
=0(a>0)的根
有两个相异实有两个相等实
根x1,x2(x1<x2) 根x1=x2=
没有实
数根
b 2a
7
判别式
Δ=b24ac ax2+bx+c >0 (a>0)的 Δ>0
{x|x<x1或x >x2}
(
)
世纪金榜导学号99972181
A. b = b m B. a > a m b bm C. a < a m b bm D. 与的大小关系不确定 a am b bm a am
23
【解题指南】(1)先比较a2+1,a-1,2a的大小,再由函数的单调性求解(或用特值法求解).
m>p>n.
26
(2)选C. b b m b(a m) a(b m) m(b a) . a am a(a m) a(a m) 因为a>b>0,m>0.

(浙江专版)2018高考数学一轮复习第6章不等式及其证明(精)

2，故选 B.
(2)如图，当直线 y＝a 位于直线 y＝5 和 y＝7 之间(不含 y＝7)时满足条件，故选 C.]
[规律方法] 1.可用“直线定界、特殊点定域”的方法判定二元一次不等式表示的平面区域，若直线不过原点，特殊点常选取原点．
2．不等式组表示的平面区域是各个不等式所表示的平面区域的交集，画出图形后，面积关系结合平面几何知识求解．
(1)C (2)－1，13 [(1)作出不等式组表示的平面区域，如图中阴影部分所示．x2＋y2 表示平面区域内的点到原点距离的平方，由2x＋x－y＝3y＝2，9 得 A(3，－1)，由图易得(x2＋y2)max＝|OA|2＝32＋(－1)2＝10.故选 C.
(2)作出不等式组xy≥ ≥－ x，1， 3x＋5y≤8
2．(教材改编)不等式组xx－－y3＋y＋2≥6<00，表示的平面区域是(
)
C [x－3y＋6<0 表示直线 x－3y＋6＝0 左上方的平面区域，x－y＋2≥0 表示直线 x－y＋2＝0 及其右下方的平面区域，故选 C.]
3．若 x，y 满足约束条件xx－－y2＋y≤1≥0，0， x＋2y－2≤0，
所表示的区域，如图中△ABC 所表示的区域
(含边界)，
其中点 A(1,1)，B(－1，－1)，C－1，151.z＝x－y 2表示△ABC 区域内的点与
点
M(2,0)的连线的斜率，显然
kMA≤z≤kMB
，
即
1 1－2
≤z≤－－1－1 2，
化
简
得
－
1≤z≤13.]
☞角度 3 线性规划中的参数问题
由 x＋y＝0，x－y－4＝0 得 C(2，－2)，
∴|AB|＝2，∴S△ABC＝12×2×1＝1.]

2018高考数学一轮复习第6章不等式推理与证明课件文北师大版

3．重视数学思想方法的复习．明确不等式的求解和推理证明就是一个把条件向结论转化的过程；加强函数与方程思想在不等式中的应用训练，不等式、函数与方程三者密不可分，相互转化．
编后语
• 同学们在听课的过程中，还要善于抓住各种课程的特点，运用相应的方法去听，这样才能达到最佳的学习效果。 • 一、听理科课重在理解基本概念和规律 • 数、理、化是逻辑性很强的学科，前面的知识没学懂，后面的学习就很难继续进行。因此，掌握基本概念是学习的关键。上课时要抓好概念的理解，
第六章不等式、推理与证明
[五年考情]
[重点关注] 1．从近五年全国卷高考试题来看，涉及本章知识的既有客观题，又有解答题．客观题主要考查不等关系与不等式，一元二次不等式的解法，简单线性规划，合情推理与演绎推理，解答题主要考查不等式的证明、基本不等式与直接证明． 2．不等式具有很强的工具性，应用十分广泛，推理与证明贯穿于每一个章节，因此，不等式往往与集合、函数、导数的应用、数列交汇考查，对于证明，主要体现在不等式证明和不等式恒成立证明以及几何证明． 3．从能力上，突出对函数与方程、转化与化归、分类讨论等数学思想的考查．
同时，大家要开动脑筋，思考老师是怎样提出问题、分析问题、解决问题的，要边听边想。为讲明一个定理，推出一个公式，老师讲解顺序是怎样的，为什么这么安排？两个例题之间又有什么相同点和不同之处？特别要从中学习理科思维的方法，如观察、比较、分析、综合、归纳、演绎等。 • 作为实验科学的物理、化学和生物，就要特别重视实验和观察，并在获得感性知识的基础上，进一步通过思考来掌握科学的概念和规律，等等。 • 二、听文科课要注重在理解中记忆 • 文科多以记忆为主，比如政治，要注意哪些是观点，哪些是事例，哪些是用观点解释社会现象。听历史课时，首先要弄清楚本节教材的主要观点，然后，弄清教材为了说明这一观点引用了哪些史实，这些史料涉及的时间、地点、人物、事件。最后，也是关键的一环，看你是否真正弄懂观点与史料间的关系。最好还能进一步思索：这些史料能不能充分说明观点？是否还可以补充新的史料？有无相反的史料证明原观点不正确。 • 三、听英语课要注重实践 • 英语课老师往往讲得不太多，在大部分的时间里，进行的师生之间、学生之间的大量语言实践练习。因此，要上好英语课，就应积极参加语言实践活动，珍惜课堂上的每一个练习机会。

[推荐学习]2018高考数学一轮复习第6章不等式及其证明重点强化训练3不等式及其应用教师用书

重点强化训练(三) 不等式及其应用A 组基础达标 (建议用时：30分钟)一、选择题1．下列不等式一定成立的是( )A ．lg ⎝⎛⎭⎪⎫x 2＋14>lg x (x >0)B ．sin x ＋1sin x≥2(x ≠k π，k ∈Z ) C ．x 2＋1≥2|x |(x ∈R ) D.1x 2＋1>1(x ∈R ) C [取x ＝12，则lg ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋14＝lg x ，故排除A ；取x ＝32π，则sin x ＝－1，故排除B ；取x ＝0，则1x 2＋1＝1，排除D.] 2．设变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋2≥0，2x ＋3y －6≥0，3x ＋2y －9≤0，则目标函数z ＝2x ＋5y 的最小值为( )A ．－4B ．6C ．10D ．17B [由约束条件作出可行域如图所示，目标函数可化为y ＝－25x ＋15z ，在图中画出直线y ＝－25x ，平移该直线，易知经过点A 时z 最小．又知点A 的坐标为(3,0)， ∴z min ＝2×3＋5×0＝6.故选B.]3．(2016·浙江高考)在平面上，过点P 作直线l 的垂线所得的垂足称为点P 在直线l上的投影．由区域⎩⎪⎨⎪⎧x －2≤0，x ＋y ≥0，x －3y ＋4≥0中的点在直线x ＋y －2＝0上的投影构成的线段记为AB ，则|AB |＝( ) 【导学号：51062201】A ．2 2B ．4C ．3 2D ．6C [由不等式组画出可行域，如图中的阴影部分所示．因为直线x ＋y －2＝0与直线x ＋y ＝0平行，所以可行域内的点在直线x ＋y －2＝0上的投影构成的线段的长|AB |即为|CD |.易得C (2，－2)，D (－1,1)，所以|AB |＝|CD |＝＋2＋－2－2＝3 2.故选C.]4．不等式4x －2≤x －2的解集是( ) A ．[－∞，0)∪(2,4] B ．[0,2)∪[4，＋∞) C ．[2,4)D ．(－∞，2]∪(4，＋∞)B [①当x －2>0，即x >2时，不等式可化为(x －2)2≥4，解得x ≥4； ②当x －2<0，即x <2时，不等式可化为(x －2)2≤4，解得0≤x <2.综上，解集为[0,2)∪[4，＋∞)．]5．若函数f (x )＝2x＋12x －a 是奇函数，则使f (x )>3成立的x 的取值范围为( )A ．(－∞，－1)B ．(－1,0)C ．(0,1)D ．(1，＋∞)C [因为函数y ＝f (x )为奇函数，所以f (－x )＝－f (x )，即2－x＋12－x －a ＝－2x＋12x －a .化简可得a ＝1，则2x＋12x －1＞3，即2x＋12x －1－3＞0，即2x＋1－x－2x－1>0，故不等式可化为2x－22x －1＜0，即1＜2x＜2，解得0＜x ＜1，故选C.]二、填空题6．设x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧2x －y ＋1≥0，x －2y －1≤0，x ≤1，则z ＝2x ＋3y －5的最小值为________．－10 [画出不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示．由题意可知，当直线y ＝－23x ＋53＋z3过点A (－1，－1)时，z 取得最小值，即z min ＝2×(－1)＋3×(－1)－5＝－10.]7．若关于实数x 的不等式|x －5|＋|x ＋3|<a 无解，则实数a 的取值范围是________．(－∞，8] [法一：令f (x )＝|x －5|＋|x ＋3|，则去掉绝对值符号后可得f (x )＝|x －5|＋|x ＋3|＝⎩⎪⎨⎪⎧2x －2，x ≥5，8，－3<x <5，2－2x ，x ≤－3.当x ≥5时，可得f (x )≥8；当－3<x <5时，可得f (x )＝8；当x ≤－3时，可得f (x )≥8. 综上可知f (x )min ＝8.欲使|x －5|＋|x ＋3|<a 无解，只需使(|x －5|＋|x ＋3|)min ≥a 即可，由此可得a ≤8. 法二：∵|x －5|＋|x ＋3|＝|5－x |＋|x ＋3|≥|5－x ＋x ＋3|＝8， ∴(|x －5|＋|x ＋3|)min ＝8.要使|x －5|＋|x ＋3|<a 无解，只需a ≤8.]8．设0≤α≤π，不等式8x 2－(8sin α)x ＋cos 2α≥0对x ∈R 恒成立，则α的取值范围为__________．⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π6∪⎣⎢⎡⎦⎥⎤5π6，π [由题意，要使8x 2－(8sin α)x ＋cos 2α≥0对x ∈R 恒成立，需Δ＝64sin 2α－32cos 2α≤0，化简得cos 2α≥12.又0≤α≤π，∴0≤2α≤π3或5π3≤2α≤2π，解得0≤α≤π6或5π6≤α≤π.]三、解答题 9．已知不等式ax －1x ＋1>0(a ∈R )． (1)解这个关于x 的不等式；(2)若x ＝－a 时不等式成立，求a 的取值范围． [解] (1)原不等式等价于(ax －1)(x ＋1)>0.1分 ①当a ＝0时，由－(x ＋1)>0，得x <－1；②当a >0时，不等式化为⎝⎛⎭⎪⎫x －1a (x ＋1)>0.解得x <－1或x >1a；3分③当a <0时，不等式化为⎝⎛⎭⎪⎫x －1a (x ＋1)<0；若1a <－1，即－1<a <0，则1a<x <－1；若1a ＝－1，即a ＝－1，则不等式解集为空集；若1a>－1，即a <－1，则－1<x <1a.6分综上所述，当a <－1时，解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x | －1<x <1a ；当a ＝－1时，原不等式无解；当－1<a <0时，解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x | 1a<x <－1；当a ＝0时，解集为{x |x <－1}；当a >0时，解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x <－1或x >1a .9分 (2)∵x ＝－a 时不等式成立， ∴－a 2－1－a ＋1>0，即－a ＋1<0，12分 ∴a >1，即a 的取值范围为(1，＋∞).15分 10．已知函数f (x )＝|x ＋1|－2|x －a |，a ＞0. (1)当a ＝1时，求不等式f (x )＞1的解集；(2)若f (x )的图象与x 轴围成的三角形面积大于6，求a 的取值范围.【导学号：51062202】[解] (1)当a ＝1时，f (x )>1化为|x ＋1|－2|x －1|－1>0. 当x ≤－1时，不等式化为x －4>0，无解；当－1<x <1时，不等式化为3x －2>0，解得23<x <1；当x ≥1时，不等式化为－x ＋2>0，解得1≤x ＜2.所以f (x )>1的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪23<x <2.7分 (2)由题设可得f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x －1－2a ，x <－1，3x ＋1－2a ，－1≤x ≤a ，－x ＋1＋2a ，x >a .所以函数f (x )的图象与x 轴围成的三角形的三个顶点分别为A ⎝⎛⎭⎪⎫2a －13，0，B (2a ＋1,0)，C (a ，a ＋1)．因此△ABC 的面积S ＝12|AB |·(a ＋1)＝23(a ＋1)2.12分由23(a ＋1)2>6，故a >2. 故a 的取值范围为(2，＋∞).15分B 组能力提升 (建议用时：15分钟)1．已知a ，b 为正实数，且ab ＝1，若不等式(x ＋y )·⎝ ⎛⎭⎪⎫a x ＋b y >m 对任意正实数x ，y 恒成立，则实数m 的取值范围是( )A ．[4，＋∞)B ．(－∞，1]C ．(－∞，4]D ．(－∞，4)D [因为a ，b ，x ，y 为正实数，所以(x ＋y )⎝ ⎛⎭⎪⎫a x ＋b y ＝a ＋b ＋ay x ＋bx y≥a ＋b ＋2≥2ab ＋2＝4，当且仅当a ＝b ，ay x ＝bx y，即a ＝b ，x ＝y 时等号成立，故只要m <4即可．]2．若不等式|2x －1|＋|x ＋2|≥a 2＋12a ＋2对任意实数x 恒成立，则实数a 的取值范围是________．⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1，12 [设y ＝|2x －1|＋|x ＋2|＝⎩⎪⎨⎪⎧－3x －1，x <－2，－x ＋3，－2≤x <12，3x ＋1，x ≥12.当x <－2时，y＝－3x －1>5；当－2≤x <12时，y ＝－x ＋3>52；当x ≥12时，y ＝3x ＋1≥52.故函数y ＝|2x －1|＋|x ＋2|的最小值为52.因为不等式|2x －1|＋|x ＋2|≥a 2＋12a ＋2对任意实数x 恒成立，所以52≥a 2＋12a ＋2.解不等式52≥a 2＋12a ＋2，得－1≤a ≤12，故a 的取值范围为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1，12.]3．已知f (x )是定义在[－1,1]上的奇函数，且f (1)＝1，若m ，n ∈[－1,1]，m ＋n ≠0时，f m ＋f nm ＋n>0.(1)用定义证明f (x )在[－1,1]上是增函数；(2)解不等式f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋12<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x －1；(3)若f (x )≤t 2－2at ＋1对所有x ∈[－1,1]，a ∈[－1,1]恒成立，求实数t 的取值范围. 【导学号：51062203】[解] (1)证明：任取x 1<x 2，且x 1，x 2∈[－1,1]，则f (x 1)－f (x 2)＝f (x 1)＋f (－x 2)＝f x 1＋f －x 2x 1－x 2·(x 1－x 2).2分∵－1≤x 1<x 2≤1，∴x 1－x 2<0. 又已知f x 1＋f －x 2x 1－x 2>0，∴f (x 1)－f (x 2)<0，即f (x )在[－1,1]上为增函数，7分 (2)∵f (x )在[－1,1]上为增函数，∴⎩⎪⎨⎪⎧－1≤x ＋12≤1，－1≤1x －1≤1，x ＋12<1x －1，解得⎩⎨⎧⎭⎬⎫x | －32≤x <－1.10分(3)由(1)可知f (x )在[－1,1]上为增函数，且f (1)＝1，故对x ∈[－1,1]，恒有f (x )≤1， ∴要f (x )≤t 2－2at ＋1对所有x ∈[－1,1]，a ∈[－1,1]恒成立，即要t 2－2at ＋1≥1成立，故t 2－2at ≥0，记g (a )＝－2ta ＋t 2.13分对a ∈[－1,1]，g (a )≥0恒成立，只需g (a )在[－1,1]上的最小值大于等于0， ∴g (－1)≥0，g (1)≥0，解得t ≤－2或t ＝0或t ≥2. ∴t 的取值范围是{t |t ≤－2或t ＝0或t ≥2}.15分。

2018年高考数学一轮复习第六章不等式、推理与证明课时达标32 不等关系与不等式理

2018年高考数学一轮复习第六章不等式、推理与证明课时达标32不等关系与不等式理[解密考纲]主要考查不等式及其性质，以选择题或填空题的形式出现，位于选择题或填空题的中间位置，难度较易或中等．一、选择题1．设a ，b 为实数，则“a <1b 或b <1a”是“0<ab <1”的( D )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：可通过举反例说明，当a ＝b ＝－10时，a ＜1b ，b ＜1a，但ab ＝100＞1，所以不是充分条件；反之，当a ＝－1，b ＝－12时，0＜ab ＜1，但a ＞1b ，b ＞1a ，所以不是必要条件．综上可知“a ＜1b 或b ＜1a”是“0＜ab ＜1”的既不充分也不必要条件．2．若1a <1b<0，则下列结论不正确的是( D )A ．a 2|a ＋b |解析：令a ＝－1，b ＝－2，代入选项验证可知选项D 错误，故选D ．3．(2017·浙江富阳模拟)如果a ，b ，c 满足c acB ．bc >acC ．cb 2<ab 2D ．ac (a －c )<0解析：因为c ＜b ＜a ，且ac ＜0，所以a ＞0，c ＜0，所以ab －ac ＝a (b －c )＞0，bc －ac ＝(b －a )c ＞0，ac (a －c )＜0，所以A ，B ，D 均正确．因为b 可能等于0，也可能不等于0，所以cb 2＜ab 2不一定成立．4．(2017·广东实验中学模拟)已知0<a 1a B ．⎝ ⎛⎭⎪⎫12a <⎝ ⎛⎭⎪⎫12 b C ．(lg a )2<(lg b )2D ．1lg a >1lg b解析：因为0＜a ＜b ＜1，所以1b －1a ＝a －b ab ＜0，可得1b ＜1a ；⎝ ⎛⎭⎪⎫12a ＞⎝ ⎛⎭⎪⎫12b；(lg a )2＞(lg b )2；lg a ＜lg b ＜0，可得1lg a ＞1lg b.综上可知，只有D 正确．5．(2017·四川成都模拟)已知a ，b 为非零实数，且a a 2bC ．1ab 2<1a 2bD ．b a <a b解析：若a ＜b ＜0，则a 2＞b 2，故A 错；若0＜a ＜b ，则b a ＞ab，故D 错；若ab ＜0，即a ＜0，b ＞0，则a 2b ＞ab 2，故B 错．6．(2017·陕西西安检测)设α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，β∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，那么2α－β3的取值范围是( D )A ．⎝ ⎛⎭⎪⎫0，5π6B ．⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6，5π6C ．(0，π)D ．⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6，π解析：由题设得0＜2α＜π，0≤β3≤π6，∴－π6≤－β3≤0，∴－π6＜2α－β3＜π.二、填空题7．(2017·山西四校联考)已知a ＋b >0，则a b2＋b a2与1a ＋1b的大小关系是a b2＋b a2≥1a ＋1b.解析：a b2＋b a2－⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋1b ＝a －b b 2＋b －a a2＝(a －b )⎝ ⎛⎭⎪⎫1b 2－1a 2＝a ＋b a －b 2a 2b 2.因为a ＋b ＞0，(a －b )2≥0，所以a ＋ba －b2a 2b2≥0，所以a b2＋b a2≥1a ＋1b.8．(2017·江苏模拟)若－1<a ＋b <3,2<a －b <4，则2a ＋3b 的取值范围为⎝ ⎛⎪⎫－92，132. 解析：设2a ＋3b ＝x (a ＋b )＋y (a －b )，则⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝2，x －y ＝3，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝52，y ＝－12.又因为－52＜52(a ＋b )＜152，－2＜－12(a －b )＜－1，所以－92＜52(a ＋b )－12(a －b )＜132，即－92＜2a ＋3b ＜132.9．(2017·贵州遵义模拟)已知下列结论： ①若a >|b |，则a 2>b 2；②若a >b ，则1a <1b；③若 a >b ，则a 3>b 3；④若a <0，－1a . 其中正确的是①③④(只填序号即可)．解析：对于①，因为a ＞|b |≥0，所以a 2＞b 2，即①正确；对于②，当a ＝2，b ＝－1时，显然不正确；对于③，显然正确；对于④，因为a ＜0，－1＜b ＜0，ab 2－a ＝a (b 2－1)＞0，所以ab 2＞a ，即④正确．三、解答题10．若实数a ≠1，比较a ＋2与31－a 的大小．解析：∵a ＋2－31－a ＝－a 2－a －11－a ＝a 2＋a ＋1a －1，∴当a ＞1时，a ＋2＞31－a ；当a ＜1时，a ＋2＜31－a.11．已知x ，y 为正实数，满足1≤lg xy ≤2,3≤lg xy≤4，求lg(x 4y 2)的取值范围．解析：设a ＝lg x ，b ＝lg y ，则lg xy ＝a ＋b ，lg x y＝a －b ，lg x 4y 2＝4a ＋2b ，设4a ＋2b ＝m (a ＋b )＋n (a －b )，∴⎩⎪⎨⎪⎧m ＋n ＝4，m －n ＝2，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝3，n ＝1.∴lg x 4y 2＝3lg xy ＋lg xy.∵3≤3lg xy ≤6,3≤lg xy≤4，∴6≤lg(x 4y 2)≤10，即lg(x 4y 2)的取值范围是[6,10]．12．已知函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c 满足f (1)＝0，且a >b >c ，求c a的取值范围．解析：∵f (1)＝0，∴a ＋b ＋c ＝0，∴b ＝－(a ＋c )．又a ＞b ＞c ，∴a ＞－(a ＋c )＞c ，且a ＞0，c ＜0， ∴1＞－a ＋c a ＞c a ，即1＞－1－c a ＞ca ，∴⎩⎪⎨⎪⎧2c a ＜－1，ca ＞－2，解得－2＜c a ＜－12，即c a 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫－2，－12.。

2018版高中数学一轮全程复习(课件)第六章不等式、推理与证明 6.6

第十三页，编辑于星期六：二十二点二十四分。
第十四页，编辑于星期六：二十二点二十四分。
考向一综合法[自主练透型] [例 1] 已知 a，b，c 为正实数，a＋b＋c＝1，求证：a2＋ b2＋c2≥31.
[证明] 法一因为 a＋b＋c＝1，所以(a＋b＋c)2＝a2＋b2＋c2＋2ab＋2ac＋2bc≤a2＋b2＋c2 ＋a2＋b2＋a2＋c2＋b2＋c2＝3(a2＋b2＋c2)．所以 a2＋b2＋c2≥31.
第十五页，编辑于星期六：二十二点二十四分。
法二设 a＝13＋α，b＝31＋β，c＝31＋γ. 则由 a＋b＋c＝1 可知 α＋β＋γ＝0，所以 a2＋b2＋c2＝13＋α2＋13＋β2＋13＋γ2 ＝13＋23(α＋β＋γ)＋α2＋β2＋γ2 ＝13＋α2＋β2＋γ2 ≥13.
第十六页，编辑于星期六：二十二点二十四分。
———————[悟·技法]———————
第十七页，编辑于星期六：二十二点二十四分。
———————[通·一类]——————— 1．在△ABC 中，角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，已知 sin Asin B＋sin Bsin C＋cos 2B＝1. 求证：a，b，c 成等差数列．
证明：由已知得 sin Asin B＋sin Bsin C＝2sin2B，因为 sin B≠0，所以 sin A＋sin C＝2sin B，由正弦定理，有 a＋c＝2b，即 a，b，c 成等差数列．
第二十页，编辑于星期六：二十二点二十四分。
———————[通·一类]——————— 2．在锐角三角形 ABC 中，求证：tan A·tan B>1.
证明：要证
tan
A·tan
B>1，只需证csoins

2018届高考数学一轮复习第六章不等式、推理与证明6.2一元二次不等式及其解法课件理

a>0， a＝b＝0， (1)不等式 ax ＋bx＋c>0 对任意实数 x 恒成立⇔ 或 c>0 Δ<0。
2
a<0， a＝b＝0， (2)不等式 ax ＋bx＋c<0 对任意实数 x 恒成立⇔ 或 c<0 Δ<0。
2
• 小|题|快|练 • 一、走进教材 • 1．(必修5P80A组T4改编)已知集合A＝{x|x2－16<0}，B＝ {x|x2－4x＋3>0}，则A∪B＝( ) • A．(－4,4) B．R • C．{x|x>3或x<1} D．{x|－4<x<1或3<x<4} • 【解析】 A＝{x|x2－16<0}＝(－4,4)，B＝{x|x2－4x＋ 3>0}＝{x|x>3或x<1}，所以A∪B＝R。故选B。 • 【答案】 B
)
B．(1，＋∞)
1 D.－∞，－2∪(1，＋∞)
C．(－∞，1)∪(2，＋∞)
【解析】 ∵2x2－x－1＝(x－1)(2x＋1)＞0， 1 ∴x＞1 或 x＜－， 2
1 故原不等式的解集为－∞，－2∪(1，＋∞)。故选 D。
【答案】 D
1 3．若不等式 ax ＋bx－2＜0 的解集为{x|－2＜x＜ }，则 ab＝( 4
x－1 (2)不等式 ≤1 的解集为________。 2x＋1 (3)求不等式 12x2－ax>a2(a∈R)的解集。
第六章
数列
第二节一元二次不等式及其解法
微知识微考点微考场小题练大课堂新提升
•☆☆☆2017考纲考题考情☆☆☆ 考纲要求 1.会从实际情境中抽象出一元二次不等式模型； 2.通过函数图象了解一元二次不等式与相应的二次函数、一元二次方程的联系； 3.会解一元二次不等式，对给定的一元二次不等式，会设计求解的程序框图。真题举例 2016，全国卷Ⅲ， 1,5分(一元二次不等式的解法) 2015，天津卷， 4,5分(一元二次不等式的解法) 2014，全国卷Ⅰ， 1,5分(一元二次不等式的解法) 2014，全国卷Ⅱ， 1,5分(一元二次不等式的解法) 命题角度

精选浙江专版2018高考数学一轮复习第6章不等式及其证明第4节绝对值不等式教师用书

第四节绝对值不等式1．绝对值三角不等式定理1：如果a ，b 是实数，则|a ＋b |≤|a |＋|b |，当且仅当ab ≥0时，等号成立．定理2：如果a ，b ，c 是实数，那么|a －c |≤|a －b |＋|b －c |，当且仅当(a －b )(b －c )≥0时，等号成立．2．绝对值不等式的解法(1)含绝对值的不等式|x |<a 与|x |>a 的解法：(2)|ax ①|ax ＋b |≤c ⇔－c ≤ax ＋b ≤c ； ②|ax ＋b |≥c ⇔ax ＋b ≥c 或ax ＋b ≤－c .(3)|x －a |＋|x －b |≥c ，|x －a |＋|x －b |≤c (c ＞0)型不等式的解法 ①利用绝对值不等式的几何意义求解； ②利用零点分段法求解；③构造函数，利用函数的图象求解．1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)|x －a |＋|x －b |的几何意义是表示数轴上的点x 到点a ，b 的距离之和．( ) (2)不等式|a |－|b |≤|a ＋b |等号成立的条件是ab ≤0.( ) (3)不等式|a －b |≤|a |＋|b |等号成立的条件是ab ≤0.( ) (4)当ab ≥0时，|a ＋b |＝|a |＋|b |成立．( ) [答案] (1)√ (2)× (3)√ (4)√ 2．(教材改编)若关于x 的不等式|ax －2|＜3的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪－53＜x ＜13，则实数a ＝________.－3 [依题意，知a ≠0.又|ax －2|＜3⇔－3＜ax －2＜3， ∴－1＜ax ＜5.由于|ax －2|＜3的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪－53＜x ＜13， ∴a ＜0，5a ＝－53且－1a ＝13，则a ＝－3.]3．(教材改编)若关于x 的不等式|a |≥|x ＋1|＋|x －2|存在实数解，则实数a 的取值范围是________. 【导学号：51062193】(－∞，－3]∪[3，＋∞) [由于|x ＋1|＋|x －2|≥|(x ＋1)－(x －2)|＝3， ∴|x ＋1|＋|x －2|的最小值为3，要使|a |≥|x ＋1|＋|x －2|有解，只需|a |≥3，∴a ≥3或a ≤－3.] 4．解不等式x ＋|2x ＋3|≥2.[解] 当x ≥－32时，原不等式化为3x ＋3≥2，4分解得x ≥－13.8分当x ＜－32时，原不等式化为－x －3≥2，解得x ≤－5.12分综上，原不等式的解集是⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x ≤－5或x ≥－13.14分 5．设a >0，|x －1|<a 3，|y －2|<a3，求证：|2x ＋y －4|<a .[证明] 因为|x －1|<a 3，|y －2|<a3，所以|2x ＋y －4|＝|2(x －1)＋(y －2)|≤2|x －1|＋|y －2|<2a 3＋a3＝a .故原不等式得证.14分(1)画出y ＝f (x )的图象； (2)求不等式|f (x )|>1的解集．图641[解] (1)由题意得f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x －4，x ≤－1，3x －2，－1＜x ≤32，－x ＋4，x ＞32，3分故y ＝f (x )的图象如图所示．6分(2)由f (x )的函数表达式及图象可知，当f (x )＝1时，可得x ＝1或x ＝3；当f (x )＝－1时，可得x ＝13或x ＝5.8分故f (x )＞1的解集为{x |1＜x ＜3}，f (x )＜－1的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x ＜13或x ＞5. 所以|f (x )|＞1的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x ＜13或1＜x ＜3或x ＞5.14分 [规律方法] 1.本题用零点分段法画出分段函数的图象，结合图象的直观性求出不等式的解集，体现数形结合思想的应用．2．解绝对值不等式的关键是去绝对值符号，零点分段法操作程序是：找零点，分区间，分段讨论．此外还常利用绝对值的几何意义求解．[变式训练1] (2017·吉林实验中学模拟)设函数f (x )＝|x －a |. (1)当a ＝2时，解不等式f (x )≥4－|x －1|；(2)若f (x )≤1的解集为[0,2]，1m ＋12n ＝a (m ＞0，n ＞0)，求证：m ＋2n ≥4.[解] (1)当a ＝2时，不等式为|x －2|＋|x －1|≥4，3分 ①当x ≥2时，不等式可化为x －2＋x －1≥4，解得x ≥72；②当12＜x ＜72时，不等式可化为2－x ＋x －1≥4，不等式的解集为∅；③当x ≤12时，不等式可化为2－x ＋1－x ≥4，解得x ≤－12.5分综上可得，不等式的解集为⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，－12∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫72，＋∞.6分 (2)证明：因为f (x )≤1，即|x －a |≤1，解得a －1≤x ≤a ＋1，而f (x )≤1的解集是[0,2]．所以⎩⎪⎨⎪⎧a －1＝0，a ＋1＝2，解得a ＝1，8分所以1m ＋12n＝1(m ＞0，n ＞0)，所以m ＋2n ＝(m ＋2n )⎝ ⎛⎭⎪⎫1m ＋12n ＝2＋m 2n ＋2nm≥2＋2m 2n ·2nm＝4，12分当且仅当m ＝2，n ＝1时取等号.14分数M 的最大值是m .(1)求m 的值；(2)解不等式|x －1|＋|x －2|≤m . 【导学号：51062194】 [解] (1)不等式|a ＋b |＋|a －b |≥M ·|a |恒成立，即M ≤|a ＋b |＋|a －b ||a |对于任意的实数a (a ≠0)和b 恒成立，只要左边恒小于或等于右边的最小值.2分因为|a ＋b |＋|a －b |≥|(a ＋b )＋(a －b )|＝2|a |，当且仅当(a －b )(a ＋b )≥0时等号成立，|a |≥|b |时，|a ＋b |＋|a －b ||a |≥2成立，也就是|a ＋b |＋|a －b ||a |的最小值是2，即m ＝2.6分(2)|x －1|＋|x －2|≤2.法一：利用绝对值的意义得：12≤x ≤52.8分法二：①当x ＜1时，不等式为－(x －1)－(x －2)≤2，解得x ≥12，所以x 的取值范围是12≤x ＜1.②当1≤x ≤2时，不等式为(x －1)－(x －2)≤2，得x 的取值范围是1≤x ≤2.12分③当x ＞2时，原不等式为(x －1)＋(x －2)≤2,2＜x ≤52.综上可知，不等式的解集是⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪12≤x ≤52.14分 [规律方法] 1.(1)利用绝对值不等式性质定理要注意等号成立的条件：当ab ≥0时，|a ＋b |＝|a |＋|b |；当ab ≤0时，|a －b |＝|a |＋|b |；当(a －b )(b －c )≥0时，|a －c |＝|a －b |＋|b －c |.(2)对于求y ＝|x －a |＋|x －b |或y ＝|x ＋a |－|x －b |型的最值问题利用绝对值三角不等式更方便．2．第(2)问易出现解集不全或错误．对于含绝对值的不等式，不论是分段去绝对值符号还是利用几何意义，都要不重不漏．[变式训练2] 对于任意实数a ，b ，已知|a －b |≤1，|2a －1|≤1，且恒有|4a －3b ＋2|≤m ，求实数m 的取值范围．[解] 因为|a －b |≤1，|2a －1|≤1，所以|3a －3b |≤3，⎪⎪⎪⎪⎪⎪a －12≤12，4分所以|4a －3b ＋2|＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪a －3b ＋⎝⎛⎭⎪⎫a －12＋52≤|3a －3b |＋⎪⎪⎪⎪⎪⎪a －12＋52≤3＋12＋52＝6，10分则|4a －3b ＋2|的最大值为6，所以m ≥|4a －3b ＋2|max ＝6，m 的取值范围是[6，＋∞).14分(1)若|a |≤1，求证：|f (x )|≤54；(2)求a 的值，使函数f (x )有最大值178.[解] (1)证明：法一：因为－1≤x ≤1，所以|x |≤1.2分又因为|a |≤1，所以|f (x )|＝|a (x 2－1)＋x |≤|a (x 2－1)|＋|x |≤|x 2－1|＋|x |＝1－|x |2＋|x | ＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫|x |－122＋54≤54.5分所以若|a |≤1，则|f (x )|≤54.6分法二：设g (a )＝f (x )＝ax 2＋x －a ＝(x 2－1)a ＋x . 因为－1≤x ≤1，所以当x ＝±1.2分即x 2－1＝0时，|f (x )|＝|g (a )|＝1≤54.当－1<x <1即x 2－1<0时，g (a )＝(x 2－1)a ＋x 是单调递减函数．因为|a |≤1，所以－1≤a ≤1，所以g (a )max ＝g (－1)＝－x 2＋x ＋1＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋54.g (a )min ＝g (1)＝x 2＋x －1＝⎝⎛⎭⎪⎫x ＋122－54.所以|f (x )|＝|g (a )|≤54.6分(2)当a ＝0时，f (x )＝x ，当－1≤x ≤1时，f (x )的最大值为f (1)＝1，不满足题设条件，所以a ≠0.9分又f (1)＝a ＋1－a ＝1，f (－1)＝a －1－a ＝－1. 故f (1)和f (－1)均不是最大值，所以f (x )的最大值178应在其对称轴上的顶点位置取得，所以命题等价于⎩⎪⎨⎪⎧a <0，－1<－12a <1，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12a ＝178，解得⎩⎪⎨⎪⎧a <－12，a ＝－2或a ＝－18，13分所以a ＝－2，即当a ＝－2时，函数f (x )有最大值178.15分[规律方法] 1.研究含有绝对值的函数问题时，根据绝对值的定义，分类讨论去掉绝对值符号，将原函数转化为分段函数，然后利用数形结合解决问题，这是常用的思想方法．2．f (x )<a 恒成立⇔f (x )max <a .f (x )>a 恒成立⇔f (x )min >a .[变式训练3] (2017·浙江杭州调研)已知二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c . (1)若a ＝2，当x ∈[－1,3]时，f (x )的最大值不大于7，求b ＋c 的最大值；(2)若当|f (x )|≤1对任意的x ∈[－1,1]恒成立时，都有|ax ＋b |≤M 对任意的x ∈[－1,1]恒成立，求M 的最小值．[解] (1)由题意知，f (x )＝2x 2＋bx ＋c ，当x ∈[－1,3]时，f (x )≤7恒成立，即f (x )max ≤7.2分(ⅰ)当－b4≤1，即b ≥－4时，f (x )max ＝f (3)＝18＋3b ＋c ≤7，得3b ＋c ≤－11，故b ＋c ＝(3b ＋c )＋2(－b )≤－11＋8＝－3.5分(ⅱ)当－b4>1，即b <－4时，f (x )max ＝f (－1)＝2－b ＋c ≤7，得－b ＋c ≤5，故b ＋c ＝(－b ＋c )＋2b <5－8＝－3. 综上可得，(b ＋c )max ＝－3.8分 (2)当|x |≤1时，易知⎪⎪⎪⎪⎪⎪x ＋12≤1，⎪⎪⎪⎪⎪⎪x －12≤1，故由题意知⎪⎪⎪⎪⎪⎪f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋12≤1，⎪⎪⎪⎪⎪⎪f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －12≤1，10分所以|ax ＋b |＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪f ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋12－f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －12≤⎪⎪⎪⎪⎪⎪f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋12＋⎪⎪⎪⎪⎪⎪f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －12≤1＋1＝2，14分故M ≥2，所以M 的最小值为2.15分[思想与方法]1．绝对值不等式的三种常用解法：零点分段法，几何法(利用绝对值几何意义)，构造函数法．前者体现了分类讨论思想，后者体现了数形结合思想的应用．2．不等式恒成立问题、存在性问题都可以转化为最值问题解决． [易错与防范]1．利用绝对值三角不等式定理|a |－|b |≤|a ±b |≤|a |＋|b |求函数最值，要注意其中等号成立的条件．2．形如|x －a |＋|x －b |≥c (c ＞0)的不等式，在讨论时应注意分类讨论点处的处理及c 的符号判断，若c ≤0，则不等式解集为R .课时分层训练(三十三) 绝对值不等式A 组基础达标 (建议用时：30分钟)一、选择题1．若函数f (x )＝|x ＋1|＋|2x ＋a |的最小值为3，则实数a 的值为( )【导学号：51062195】A ．5或8B ．－1或5C ．－1或－4D ．－4或8D [当a >2时，－a2<－1，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋a ＋1，x >－1，x ＋a －1，－a 2≤x ≤－1，－3x －a －1，x <－a2.其图象如图所示：由图象知f (x )的最小值为f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－a 2＝－a2＋a －1＝a 2－1，依题意得a2－1＝3，解得a ＝8，符合题意．当a ＝2时，f (x )＝3|x ＋1|，其最小值为0，不符合题意．当a <2时，－a2>－1，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋a ＋1，x >－a2，－x －a ＋1，－1≤x ≤－a 2，－3x －a －1，x <－1，得f (x )的最小值为f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－a 2，因此－a2＋1＝3，解得a ＝－4，符合题意．故选D.]2．(2017·金华十校一联)已知f (x )＝a |x －2|，若f (x )<x 恒成立，则a 的取值范围为( )A ．a ≤－1B ．－2<a <0C ．0<a <2D ．a ≥1A [依题意，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ax －，x ≥2，a －x ，x <2，易知当a ≥0时，f (x )<x 不恒成立，故a <0.在同一直角坐标系中作出y ＝f (x )与y ＝x 的图象如图所示，观察可知f (x )<x ⇔－a ≥1，即a ≤－1，故选A.]3．不等式|x －5|＋|x ＋3|≥10的解集是( ) A ．[－5,7]B ．[－4,6]C ．(－∞，－5]∪[7，＋∞)D ．(－∞，－4]∪[6，＋∞)D [|x －5|＋|x ＋3|表示数轴上的点到－3,5的距离之和，则不等式|x －5|＋|x ＋3|≥10的解集是(－∞，－4]∪[6，＋∞)．]4．不等式|x －1|－|x －5|<2的解集是( ) A ．(－∞，4) B ．(－∞，1) C ．(1,4)D ．(1,5)A [①当x <1时，原不等式等价于1－x －(5－x )<2，即－4<2， ∴x <1.②当1≤x ≤5时，原不等式等价于x －1－(5－x )<2，即x <4， ∴1≤x <4.③当x >5时，原不等式等价于x －1－(x －5)<2，即4<2，无解．综合①②③知x <4.]5．对任意x ，y ∈R ，|x －1|＋|x |＋|y －1|＋|y ＋1|的最小值为( ) A ．1 B ．2 C ．3D ．4C [|x －1|＋|x |≥1，当且仅当0≤x ≤1时等号成立；|y －1|＋|y ＋1|≥2，当且仅当－1≤y ≤1时等号成立．故|x －1|＋|x |＋|y －1|＋|y ＋1|≥3.]二、填空题6．(2017·舟山调研)不等式|2－x |＋|x ＋1|≤a 对任意x ∈[－2,1]恒成立，则实数a 的取值范围为________．[5，＋∞) [令f (x )＝|2－x |＋|x ＋1|，x ∈[－2,1]，则f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1－2x ，－2≤x ≤－1，3，－1<x ≤1，可知f (x )的最大值为5，所以a ≥5.]7．(2017·宁波质检)已知不等式|x ＋2|＋|x |≤a 的解集不是空集，则实数a 的取值范围是________. 【导学号：51062196】[2，＋∞) [|x ＋2|＋|x |≥|x ＋2－x |＝2，a ≥|x ＋2|＋|x |有解，即a ≥(|x ＋2|＋|x |)min ，∴a ≥2.]8．(2017·金华十校联考)若不等式|x ＋1|＋|x －3|≥a ＋4a对任意的实数x 恒成立，则实数a 的取值范围是________．(－∞，0)∪{2} [当a <0时，显然成立；当a >0时，∵|x ＋1|＋|x －3|的最小值为4， ∴a ＋4a≤4.∴a ＝2.综上可知a ∈(－∞，0)∪{2}．] 三、解答题9．已知|2x －3|≤1的解集为[m ，n ]． (1)求m ＋n 的值；(2)若|x －a |＜m ，求证：|x |＜|a |＋1.[解] (1)由不等式|2x －3|≤1可化为－1≤2x －3≤1，得1≤x ≤2，3分∴m ＝1，n ＝2，m ＋n ＝3.6分(2)证明：若|x －a |＜1，则|x |＝|x －a ＋a |≤|x －a |＋|a |＜|a |＋1.14分 10．(2016·全国卷Ⅲ)已知函数f (x )＝|2x －a |＋a . (1)当a ＝2时，求不等式f (x )≤6的解集；(2)设函数g (x )＝|2x －1|.当x ∈R 时，恒有f (x )＋g (x )≥3，求实数a 的取值范围． [解] (1)当a ＝2时，f (x )＝|2x －2|＋2. 解不等式|2x －2|＋2≤6得－1≤x ≤3. 因此f (x )≤6的解集为{x |－1≤x ≤3}.4分(2)当x ∈R 时，f (x )＋g (x )＝|2x －a |＋a ＋|1－2x |≥|(2x －a )＋(1－2x )|＋a ＝|1－a |＋a ，6分当x ＝12时等号成立，所以当x ∈R 时，f (x )＋g (x )≥3等价于|1－a |＋a ≥3. ①8分当a ≤1时，①等价于1－a ＋a ≥3，无解．当a >1时，①等价于a －1＋a ≥3，解得a ≥2. 所以a 的取值范围是[2，＋∞).10分B 组能力提升 (建议用时：15分钟)1．已知定义在[0,1]上的函数f (x )满足： ①f (0)＝f (1)＝0；②对所有x ，y ∈[0,1]，且x ≠y ，有|f (x )－f (y )|<12|x －y |.若对所有x ，y ∈[0,1]，|f (x )－f (y )|<k 恒成立，则k 的最小值为( ) A.12 B.14 C.12πD.18B [当x ＝y 时，|f (x )－f (y )|＝0.当x ≠y 时，若|x －y |≤12，依题意有|f (x )－f (y )|<12|x －y |≤14；若|x －y |>12，不妨设x <y ，依题意有|f (x )－f (y )|＝|f (x )－f (0)＋f (1)－f (y )|≤|f (x )－f (0)|＋|f (1)－f (y )|<12|x －0|＋12|1－y |＝12－12(y －x )，又y －x >12，∴|f (x )－f (y )|<12－12×12＝14.综上所述，对所有x ，y ∈[0,1]，都有|f (x )－f (y )|<14.因此，k ≥14，即k 的最小值为14，故选B.]2．(2017·绍兴调研)对于任意实数a (a ≠0)和b ，不等式|a ＋b |＋|a －b |≥|a ||x －1|恒成立，则实数x 的取值范围是________. 【导学号：51062197】－1≤x ≤3 [因为a ≠0，所以不等式等价于|x －1|≤|a ＋b |＋|a －b ||a |恒成立，则|x －1|≤⎝ ⎛⎭⎪⎫|a ＋b |＋|a －b ||a |min，又|a ＋b |＋|a －b ||a |≥|2a ||a |＝2，∴|x －1|≤2，∴－1≤x ≤3.]3．已知a >0，b ∈R ，函数f (x )＝4ax 3－2bx －a ＋b . (1)证明：当0≤x ≤1时，①函数f (x )的最大值为|2a －b |＋a ；②f (x )＋|2a －b |＋a ≥0.(2)若－1≤f (x )≤1对x ∈[0,1]恒成立，求a ＋b 的取值范围． [解] (1)证明：①f ′(x )＝12ax 2－2b ＝12a ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2－b 6a .1分当b ≤0时，有f ′(x )≥0，此时f (x )在[0，＋∞)上单调递增．当b >0时，f ′(x )＝12a ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋b 6a ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －b 6a ，此时f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，b 6a 上单调递减，在⎣⎢⎡⎭⎪⎫b 6a ，＋∞上单调递增．所以当0≤x ≤1时，f (x )max ＝max{f (0)，f (1)}＝max{－a ＋b,3a －b }＝⎩⎪⎨⎪⎧3a －b ，b ≤2a ，－a ＋b ，b >2a＝|2a －b |＋a .3分②由于0≤x ≤1，故当b ≤2a 时，f (x )＋|2a －b |＋a ＝f (x )＋3a －b ＝4ax 3－2bx ＋2a ≥4ax 3－4ax ＋2a ＝2a (2x 3－2x ＋1)．当b >2a 时，f (x )＋|2a －b |＋a ＝f (x )－a ＋b ＝4ax 3＋2b (1－x )－2a >4ax 3＋4a (1－x )－2a ＝2a (2x 3－2x ＋1)．设g (x )＝2x 3－2x ＋1,0≤x ≤1，则g ′(x )＝6x 2－2＝6⎝ ⎛⎭⎪⎫x －33⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋33，于是g ′(x )，g (x )随x 的变化情况如下表：所以当0≤x ≤1时，2x 3－2x ＋1>0.7分故f (x )＋|2a －b |＋a ≥2a (2x 3－2x ＋1)≥0.8分 (2)由①知，当0≤x ≤1，f (x )max ＝|2a －b |＋a ，所以|2a －b |＋a ≤1.若|2a －b |＋a ≤1，则由②知f (x )≥－(|2a －b |＋a )≥－1.所以－1≤f (x )≤1对任意0≤x ≤1恒成立的充要条件是⎩⎪⎨⎪⎧|2a －b |＋a ≤1，a >0，即⎩⎪⎨⎪⎧2a －b ≥0，3a －b ≤1，a >0或⎩⎪⎨⎪⎧2a －b <0，b －a ≤1， a >0.12分在直角坐标系aOb中，(*)所表示的平面区域为如图所示的阴影部分，其中不包括线段BC.作一组平行直线a＋b＝t(t∈R)，得－1<a＋b≤3，所以a＋b的取值范围是(－1,3].15分。

2018年高考数学总复习：第6章第4讲绝对值不等式含解析

第4讲绝对值不等式最新考纲 1.理解绝对值的几何意义，并了解下列不等式成立的几何意义及取等号的条件：|a＋b|≤|a|＋|b|(a，b∈R)；|a－b|≤|a－c|＋|c－b|(a，b∈R)；2.会利用绝对值的几何意义求解以下类型的不等式：|ax＋b|≤c；|ax＋b|≥c；|x－c|＋|x－b|≥a.知识梳理1.绝对值不等式的解法(1)含绝对值的不等式|x|<a与|x|>a的解集不等式a>0a＝0a<0|x|<a (－a，a)∅∅|x|>a (－∞，－a)∪(a，＋∞)(－∞，0)∪(0，＋∞)R①|ax＋b|≤c⇔－c≤ax＋b≤c；②|ax＋b|≥c⇔ax＋b≥c或ax＋b≤－c；(3)|x－a|＋|x－b|≥c(c＞0)和|x－a|＋|x－b|≤c(c＞0)型不等式的解法①利用绝对值不等式的几何意义求解，体现了数形结合的思想；②利用“零点分段法”求解，体现了分类讨论的思想；③通过构造函数，利用函数的图象求解，体现了函数与方程的思想.2.含有绝对值的不等式的性质(1)如果a，b是实数，则|a|－|b|≤|a±b|≤|a|＋|b|，当且仅当ab≥0时，等号成立.(2)如果a，b，c是实数，那么|a－c|≤|a－b|＋|b－c|，当且仅当(a－b)(b－c)≥0时，等号成立.诊断自测1.判断正误(在括号内打“√”或“×”)(1)若|x|＞c的解集为R，则c≤0.()(2)不等式|x－1|＋|x＋2|＜2的解集为∅.()(3)对|a＋b|≥|a|－|b|当且仅当a＞b＞0时等号成立.()(4)对|a |－|b |≤|a －b |当且仅当|a |≥|b |时等号成立.( ) (5)对|a －b |≤|a |＋|b |当且仅当ab ≤0时等号成立.( ) 答案 (1)× (2)√ (3)× (4)× (5)√2.若函数f (x )＝|x ＋1|＋|2x ＋a |的最小值为3，则实数a 的值为( ) A.5或8 B.－1或5 C.－1或－4D.－4或8解析分类讨论：当a ≤2时，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－3x －1－a ，x <－1，－x ＋1－a ，－1≤x ≤－a2，3x ＋1＋a ，x >－a2，显然，x ＝－a 2时，f (x )min ＝a2＋1－a ＝3，∴a ＝－4，当a >2时，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－3x －1－a ，x <－a2，x －1＋a ，－a 2≤x ≤－1，3x ＋1＋a ，x >－1，显然x ＝－a 2时，f (x )min ＝－a2－1＋a ＝3，∴a ＝8. 答案 D3.(2015·山东卷改编)不等式|x －1|－|x －5|<2的解集为________. 解析 ①当x ≤1时，原不等式可化为1－x －(5－x )<2， ∴－4<2，不等式恒成立，∴x ≤1.②当1<x <5时，原不等式可化为x －1－(5－x )<2， ∴x <4，∴1<x <4，③当x ≥5时，原不等式可化为x －1－(x －5)<2，该不等式不成立. 综上，原不等式的解集为(－∞，4). 答案 (－∞，4)4.若不等式|kx －4|≤2的解集为{x |1≤x ≤3}，则实数k ＝________. 解析 ∵|kx －4|≤2，∴－2≤kx －4≤2，∴2≤kx ≤6. ∵不等式的解集为{x |1≤x ≤3}，∴k ＝2.答案 25.(2017·杭州调研)设函数f (x )＝|x －a |＋3x ，其中a >0. (1)当a ＝1时，则不等式f (x )≥3x ＋2的解集为________. (2)若不等式f (x )≤0的解集为{x |x ≤－1}，则a 的值为________. 解析 (1)当a ＝1时，f (x )≥3x ＋2可化为|x －1|≥2. 由此可得x ≥3或x ≤－1.故当a ＝1时，不等式f (x )≥3x ＋2的解集为{x |x ≥3或x ≤－1}. (2)由f (x )≤0得|x －a |＋3x ≤0.此不等式化为不等式组⎩⎨⎧x ≥a ，x －a ＋3x ≤0或⎩⎨⎧x <a ，a －x ＋3x ≤0，即⎩⎪⎨⎪⎧x ≥a ，x ≤a 4或⎩⎪⎨⎪⎧x <a ，x ≤－a 2. 因为a >0，所以不等式组的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ≤－a 2. 由题设可得－a2＝－1，故a ＝2. 答案 (1){x |x ≥3或x ≤－1} (2)26.若不等式|2x －1|＋|x ＋2|≥a 2＋12a ＋2对任意实数x 恒成立，则实数a 的取值范围为________.解析设y ＝|2x －1|＋|x ＋2|＝⎩⎪⎨⎪⎧－3x －1，x ＜－2，－x ＋3，－2≤x <12，3x ＋1，x ≥12，当x ＜－2时，y ＝－3x －1＞5；当－2≤x ＜12时，5≥y ＝－x ＋3＞52；当x ≥12时，y ＝3x ＋1≥52，故函数y ＝|2x －1|＋|x ＋2|的最小值为52.因为不等式|2x －1|＋|x ＋2|≥a 2＋12a ＋2对任意实数x 恒成立，所以52≥a 2＋12a ＋2.解不等式52≥a 2＋12a ＋2，得－1≤a ≤12，故实数a 的取值范围为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1，12.答案 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1，12考点一含绝对值不等式的解法【例1】解不等式|x －1|＋|x ＋2|≥5.解法一如图，设数轴上与－2，1对应的点分别是A ，B ，则不等式的解就是数轴上到A ，B 两点的距离之和不小于5的点所对应的实数.显然，区间[－2，1]不是不等式的解集.把A 向左移动一个单位到点A 1，此时A 1A ＋A 1B ＝1＋4＝5.把点B 向右移动一个单位到点B 1，此时B 1A ＋B 1B ＝5，故原不等式的解集为(－∞，－3]∪[2，＋∞).法二原不等式|x －1|＋|x ＋2|≥5⇔⎩⎨⎧x ≤－2，－（x －1）－（x ＋2）≥5或⎩⎨⎧－2＜x ＜1，－（x －1）＋x ＋2≥5 或⎩⎨⎧x ≥1，x －1＋x ＋2≥5，解得x ≥2或x ≤－3， ∴原不等式的解集为(－∞，－3]∪[2，＋∞). 法三将原不等式转化为|x －1|＋|x ＋2|－5≥0. 令f (x )＝|x －1|＋|x ＋2|－5，则f (x )＝⎩⎨⎧－2x －6，x ≤－2，－2，－2＜x ＜1，2x －4，x ≥1.作出函数的图象，如图所示.由图象可知，当x ∈(－∞，－3]∪[2，＋∞)时，y ≥0， ∴原不等式的解集为(－∞，－3]∪[2，＋∞).规律方法形如|x －a |＋|x －b |≥c (或≤c )型的不等式主要有三种解法：(1)分段讨论法，利用绝对值号内式子对应方程的根，将数轴分为(－∞，a ]，(a ，b ]，(b ，＋∞)(此处设a ＜b )三个部分，在每个部分上去掉绝对值号分别列出对应的不等式求解，然后取各个不等式解集的并集；(2)几何法，利用|x －a |＋|x －b |＞c (c ＞0)的几何意义：数轴上到点x 1＝a 和x 2＝b 的距离之和大于c 的全体；(3)图象法：作出函数y 1＝|x －a |＋|x －b |和y 2＝c 的图象，结合图象求解. 【训练1】 (2016·全国Ⅰ卷)已知函数f (x )＝|x ＋1|－|2x －3|.(1)在图中画出y ＝f (x )的图象； (2)求不等式|f (x )|>1的解集.解 (1)f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x －4，x ≤－1，3x －2，－1<x ≤32，－x ＋4，x >32，y ＝f (x )的图象如图所示.(2)由f (x )的表达式及图象，当f (x )＝1时，可得x ＝1或x ＝3；当f (x )＝－1时，可得x ＝13或x ＝5，故f (x )>1的解集为{x |1<x <3}；f (x )<－1的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x <13或x >5. 所以|f (x )|>1的解集为⎩⎨⎧x |x <13或 }1<x <3或x >5.考点二含参数的绝对值不等式问题【例2】 (1)对任意x ，y ∈R ，求|x －1|＋|x |＋|y －1|＋|y ＋1|的最小值. (2)对于实数x ，y ，若|x －1|≤1，|y －2|≤1，求|x －2y ＋1|的最大值. 解 (1)∵x ，y ∈R ，∴|x －1|＋|x |≥|(x －1)－x |＝1，∴|y －1|＋|y ＋1|≥|(y －1)－(y ＋1)|＝2， ∴|x －1|＋|x |＋|y －1|＋|y ＋1|≥1＋2＝3. ∴|x －1|＋|x |＋|y －1|＋|y ＋1|的最小值为3.(2)|x －2y ＋1|＝|(x －1)－2(y －1)|≤|x －1|＋|2(y －2)＋2|≤1＋2|y －2|＋2≤5，即|x －2y ＋1|的最大值为5.规律方法求含绝对值的函数最值时，常用的方法有三种：(1)利用绝对值的几何意义；(2)利用绝对值三角不等式，即|a |＋|b |≥|a ±b |≥|a |－|b |；(3)利用零点分区间法.【训练2】 (1)若关于x 的不等式|2 014－x |＋|2 015－x |≤d 有解，求实数d 的取值范围.(2)不等式⎪⎪⎪⎪⎪⎪x ＋1x ≥|a －2|＋sin y 对一切非零实数x ，y 均成立，求实数a 的取值范围.解 (1)∵|2 014－x |＋|2 015－x |≥|2 014－x －2 015＋x |＝1， ∴关于x 的不等式|2 014－x |＋|2 015－x |≤d 有解时，d ≥1. (2)∵x ＋1x ∈(－∞，－2]∪[2，＋∞)， ∴⎪⎪⎪⎪⎪⎪x ＋1x ∈[2，＋∞)，其最小值为2. 又∵sin y 的最大值为1，故不等式⎪⎪⎪⎪⎪⎪x ＋1x ≥|a －2|＋sin y 恒成立时，有|a －2|≤1，解得a ∈[1，3]. 考点三含绝对值的不等式的应用【例3】 (2016·全国Ⅲ卷)已知函数f (x )＝|2x －a |＋a . (1)当a ＝2时，求不等式f (x )≤6的解集；(2)设函数g (x )＝|2x －1|.当x ∈R 时，f (x )＋g (x )≥3，求实数a 的取值范围. 解 (1)当a ＝2时，f (x )＝|2x －2|＋2. 解不等式|2x －2|＋2≤6得－1≤x ≤3. 因此f (x )≤6的解集为{x |－1≤x ≤3}. (2)当x ∈R 时，f (x )＋g (x )＝|2x －a |＋a ＋|1－2x |≥|2x －a ＋1－2x |＋a ＝|1－a |＋a ，当x ＝12时等号成立，所以当x ∈R 时，f (x )＋g (x )≥3等价于|1－a |＋a ≥3.① 当a ≤1时，①等价于1－a ＋a ≥3，无解. 当a >1时，①等价于a －1＋a ≥3，解得a ≥2. 所以实数a 的取值范围是[2，＋∞).规律方法 (1)解决与绝对值有关的综合问题的关键是去掉绝对值，化为分段函数来解决.(2)数形结合是解决与绝对值有关的综合问题的常用方法. 【训练3】 (2015·全国Ⅰ卷)已知函数f (x )＝|x ＋1|－2|x －a |，a >0. (1)当a ＝1时，求不等式f (x )>1的解集；(2)若f (x )的图象与x 轴围成的三角形面积大于6，求实数a 的取值范围. 解 (1)当a ＝1时，f (x )>1化为|x ＋1|－2|x －1|－1>0. 当x ≤－1时，不等式化为x －4>0，无解；当－1<x <1时，不等式化为3x －2>0，解得23<x <1；当x ≥1时，不等式化为－x ＋2>0，解得1≤x <2. 所以f (x )>1的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪23<x <2. (2)由题设可得，f (x )＝⎩⎨⎧x －1－2a ，x <－1，3x ＋1－2a ，－1≤x ≤a ，－x ＋1＋2a ，x >a .所以函数f (x )的图象与x 轴围成的三角形的三个顶点分别为A ⎝ ⎛⎭⎪⎫2a －13，0，B (2a＋1，0)，C (a ，a ＋1)， △ABC 的面积为23(a ＋1)2. 由题设得23(a ＋1)2>6，故a >2. 所以实数a 的取值范围为(2，＋∞).[思想方法]1.绝对值不等式的三种常用解法：零点分段法，数形结合法，构造函数法.2.不等式恒成立问题、存在性问题都可以转化为最值问题解决. [易错防范]1.可以利用绝对值三角不等式定理|a |－|b |≤|a ±b |≤|a |＋|b |求函数最值，要注意其中等号成立的条件.2.掌握分类讨论的标准，做到不重不漏.基础巩固题组 (建议用时：40分钟)一、选择题1.不等式|x －5|＋|x ＋3|≥10的解集是( ) A.[－5，7]B.[－4，6]C.(－∞，－5]∪[7，＋∞)D.(－∞，－4]∪[6，＋∞)解析 |x －5|＋|x ＋3|表示数轴上的点到－3，5的距离之和，不等式|x －5|＋|x ＋3|≥10的解集是(－∞，－4]∪[6，＋∞). 答案 D2.已知全集U ＝R ，集合M ＝{x ||x －1|≤2}，则∁U M ＝( ) A.{x |－1<x <3}B.{x |－1≤x ≤3}C.{x |x <－1或x >3}D.{x |x ≤－1或x ≥3}解析 M ＝{x |－1≤x ≤3}，又知全集是R ，所以其补集为∁U M ＝{x |x <－1或x >3}. 答案 C 3.已知集合M ＝{x ||2x －1|<2}，N ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x |x －2x －1<1，则M ∩N 等于( )A.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |1<x <32 B.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |12<x <1 C.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |－12<x <32D.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |－12<x <32，且x ≠1 解析由|2x －1|<2得－2<2x －1<2，则－12<x <32；由x －2x －1<1得（x －2）－（x －1）x －1<0，即－1x －1<0，则x >1.因此M ∩N ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |1<x <32.答案 A4.不等式|x －2|－|x －1|>0的解集为( ) A.⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，32 B.⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－32 C.⎝ ⎛⎭⎪⎫32，＋∞D.⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，＋∞ 解析不等式可化为|x －2|>|x －1|，两边平方化简得2x <3，∴x <32. 答案 A5.不等式1≤|2x －1|<2的解集为( ) A.⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，0∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫1，32 B.⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，32 C.⎝ ⎛⎦⎥⎤－12，0∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫1，32 D.(－∞，0]∪[1，＋∞)解析不等式等价于不等式组⎩⎨⎧|2x －1|<2（1），|2x －1|≥1（2）由(1)得－12<x <32，由(2)得x ≤0或x ≥1，故原不等式的解集为⎝ ⎛⎦⎥⎤－12，0∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫1，32.答案 C 二、填空题6.不等式|x ＋3|－|x －2|≥3的解集为________. 解析原不等式等价于⎩⎨⎧x ≤－3，－x －3＋x －2≥3或⎩⎨⎧－3<x <2，x ＋3＋x －2≥3或⎩⎨⎧x ≥2，x ＋3－x ＋2≥3，解得1≤x <2或x ≥2，故原不等式的解集为{x |x ≥1}. 答案 {x |x ≥1}7.若存在实数x 使|x －a |＋|x －1|≤3成立，则实数a 的取值范围是________. 解析 |x －a |＋|x －1|≥|a －1|，则只需要|a －1|≤3，解得－2≤a ≤4. 答案 [－2，4]8.(2017·金华调研)已知不等式|x ＋1|－|x －3|>a . (1)若不等式有解，则实数a 的取值范围为________. (2)若不等式的解集为R ，则实数a 的取值范围为________.解析由||x ＋1|－|x －3||≤|x ＋1－(x －3)|＝4.可得－4≤|x ＋1|－|x －3|≤4.(1)若不等式有解，则a <4； (2)若不等式的解集为R ，则a <－4. 答案 (1)(－∞，4) (2)(－∞，－4) 三、解答题9.设函数f (x )＝|2x ＋1|－|x －4|. (1)解不等式f (x )＞2； (2)求函数y ＝f (x )的最小值.解 (1)法一令2x ＋1＝0，x －4＝0分别得x ＝－12，x ＝4. 原不等式可化为：⎩⎪⎨⎪⎧x ＜－12，－x －5＞2或⎩⎪⎨⎪⎧－12≤x ＜4，3x －3＞2或⎩⎨⎧x ≥4，x ＋5＞2.即⎩⎪⎨⎪⎧x ＜－12，x ＜－7或⎩⎪⎨⎪⎧－12≤x ＜4，x ＞53或⎩⎨⎧x ≥4，x ＞－3，∴x ＜－7或x ＞53.∴原不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪x ＜－7或x ＞53. 法二 f (x )＝|2x ＋1|－|x －4|＝⎩⎪⎨⎪⎧－x －5 ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＜－123x －3 ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12≤x ＜4x ＋5 （x ≥4）画出f (x )的图象，如图所示.求得y ＝2与f (x )图象的交点为(－7，2)，⎝ ⎛⎭⎪⎫53，2.由图象知f (x )＞2的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪x ＜－7或x ＞53.(2)由(1)的法二图象知：当x ＝－12时，知：f (x )min ＝－92.10.已知函数f (x )＝|2x －a |＋|2x ＋3|，g (x )＝|x －1|＋2.(1)解不等式：|g (x )|＜5；(2)若对任意的x 1∈R ，都有x 2∈R ，使得f (x 1)＝g (x 2)成立，求实数a 的取值范围. 解 (1)由||x －1|＋2|＜5，得－5＜|x －1|＋2＜5，所以－7＜|x －1|＜3，解不等式得－2＜x ＜4，所以原不等式的解集是{x |－2＜x ＜4}.(2)因为对任意的x 1∈R ，都有x 2∈R ，使得f (x 1)＝g (x 2)成立，所以{y |y ＝f (x )}⊆{y |y ＝g (x )}，又f (x )＝|2x －a |＋|2x ＋3|≥|2x －a －(2x ＋3)|＝|a ＋3|，g (x )＝|x －1|＋2≥2，所以|a ＋3|≥2，解得a ≥－1或a ≤－5，所以实数a 的取值范围是{a |a ≥－1或a ≤－5}.能力提升题组(建议用时：25分钟)11.(2016·天津卷)已知f (x )是定义在R 上的偶函数，且在区间(－∞，0)上单调递增，若实数a 满足f (2|a －1|)>f (－2)，则a 的取值范围是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，12 B.⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，12∪⎝ ⎛⎭⎪⎫32，＋∞ C.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，32 D.⎝ ⎛⎭⎪⎫32，＋∞ 解析因为f (x )是定义在R 上的偶函数，且在区间(－∞，0)上单调递增，所以f (－x )＝f (x )，且f (x )在(0，＋∞)上单调递减.由f (2|a －1|)>f (－2)，f (－2)＝f (2)可得2|a －1|<2，即|a －1|<12，所以12<a <32.答案 C12.若不等式|2x －1|－|x ＋a |≥a 对任意的实数x 恒成立，则实数a 的取值范围是( )A.⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，－13 B.⎝ ⎛⎦⎥⎤－12，－14 C.⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，0 D.⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，－14解析当－a <12时，|2x －1|－|x ＋a |＝⎩⎪⎨⎪⎧－3x ＋1－a ，x <－a ，－x ＋1＋a ，－a ≤x ≤12，x ＋1－a ，x >12.当x ＝12时取最小值为－12－a .∵不等式|2x －1|－|x ＋a |≥a 对任意的实数x 恒成立，∴－12－a ≥a ，∴a ≤－14，∴－12<a ≤－14；当－a ＝12时，|2x －1|－|x ＋a |＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪x －12≥－12恒成立；当－a >12时，同理可得x ＝12时，|2x －1|－|x ＋a |最小值为12＋a ，∵不等式|2x －1|－|x ＋a |≥a 对任意的实数x 恒成立，∴12＋a ≥a 恒成立，∴a <－12，综上所述实数a 的取值范围是⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，－14. 答案 D13.(2016·镇江模拟)已知a 和b 是任意非零实数.(1)求|2a ＋b |＋|2a －b ||a |的最小值； (2)若不等式|2a ＋b |＋|2a －b |≥|a |(|2＋x |＋|2－x |)恒成立，求实数x 的取值范围. 解 (1)∵|2a ＋b |＋（2a －b ）|a |≥|2a ＋b ＋2a －b ||a |＝|4a ||a |＝4，∴|2a ＋b |＋|2a －b ||a |的最小值为4.(2)若不等式|2a ＋b |＋|2a －b |≥|a |(|2＋x |＋|2－x |)恒成立，即|2＋x |＋|2－x |≤|2a ＋b |＋|2a －b ||a |恒成立，故|2＋x |＋|2－x |≤⎝ ⎛⎭⎪⎫|2a ＋b |＋|2a －b ||a |min. 由(1)可知，|2a ＋b |＋|2a －b ||a |的最小值为4. ∴x 的取值范围即为不等式|2＋x |＋|2－x |≤4的解集.解不等式得－2≤x ≤2.故实数x 的取值范围为[－2，2].14.(2017·广州二测)已知函数f(x)＝log2(|x＋1|＋|x－2|－a).(1)当a＝7时，求函数f(x)的定义域；(2)若关于x的不等式f(x)≥3的解集是R，求实数a的最大值.解(1)由题设知|x＋1|＋|x－2|＞7，①当x＞2时，得x＋1＋x－2＞7，解得x＞4.②当－1≤x≤2时，得x＋1＋2－x＞7，无解.③当x＜－1时，得－x－1－x＋2＞7，解得x＜－3.∴函数f(x)的定义域为(－∞，－3)∪(4，＋∞).(2)不等式f(x)≥3，即|x＋1|＋|x－2|≥a＋8，∵当x∈R时，恒有|x＋1|＋|x－2|≥|(x＋1)－(x－2)|＝3，又不等式|x＋1|＋|x－2|≥a ＋8的解集是R，∴a＋8≤3，即a≤－5，∴a的最大值为－5.。

2018年秋高考数学一轮总复习课件：第六章不等式、推理与证明 6-6 精品

【解析】选B.因为等式中的n∈N*,所以n0=1.
2.用数学归纳法证明:首项是a1,公差是d的等差数列的
前n项和公式是Sn=na1+ n(n 1) d时,假设当n=k时,公式 2 成立,则S = ( )
k
A.a1+(k-1)d C.ka1+ d
k(k 1) 2
k(a1 a k ) D.(k+1)a 2 1+
所有正整数n
【教材拓展微思考】 1.用数学归纳法证题时,证明当n取第一个值n0(n0∈N*)
时命题成立.因为n0∈N*,所以n0=1.这种说法对吗?
提示:不对,n0也可能是2,3,4,„.如用数学归纳法证明多边形内角和定理(n-2)π 时,初始值n0=3.
2.有人认为数学归纳法的第一个步骤可以省略,你认为
【解析】选D.由条件知,左边从20,21到2n-1都是连续的, 因此当n=k+1时,左边应为1+2+22+„+2k-1+2k,而右边应
为2k+1-1.
考向一
用数学归纳法证明等式
▲提能互动
【典例】(2017·西安模拟)已知-1=(-1)1×1
-1+3=(-1)2×2
-1+3-5=(-1)3×3
-1+3-5+7=(-1)4×4
可以吗?
提示:不可以,数学归纳法的两个步骤相辅相成,缺一不
可.
3.有人说,数学归纳法是合情推理,这种说法对吗?
提示:不对,数学归纳法是一种证明与自然数有关的命
题的方法,它是演绎推理.
【教材母题巧变式】
题号
1
2
3
4
源自

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重点强化训练（三）不等式及其应用A组基础达标(建议用时：30分钟）一、选择题1．下列不等式一定成立的是( ）A．lg错误!〉lg x(x>0)B．sin x＋错误!≥2(x≠kπ,k∈Z）C．x2＋1≥2|x｜（x∈R)D。

错误!>1（x∈R）C［取x＝错误!,则lg错误!＝lg x,故排除A；取x＝错误!π,则sin x＝－1,故排除B；取x＝0，则错误!＝1,排除D。

]2．（2016·天津高考)设变量x，y满足约束条件错误!则目标函数z＝2x＋5y的最小值为（)A．－4 B．6C．10 D．17B[由约束条件作出可行域如图所示,目标函数可化为y＝－错误!x＋错误!z，在图中画出直线y＝－错误!x，平移该直线,易知经过点A时z最小．又知点A的坐标为(3,0），∴z min＝2×3＋5×0＝6.故选B。

］3．(2016·浙江高考）在平面上,过点P作直线l的垂线所得的垂足称为点P在直线l上的投影．由区域错误!中的点在直线x＋y－2＝0上的投影构成的线段记为AB，则｜AB|＝（）A．2错误!B．4C．3错误!D．6C［由不等式组画出可行域,如图中的阴影部分所示．因为直线x＋y－2＝0与直线x＋y＝0平行，所以可行域内的点在直线x＋y－2＝0上的投影构成的线段的长|AB|即为｜CD|。

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