北京市朝阳区2019届高三上学期期中考试数学理试题(图片版)
2019-2020学年北京市朝阳区高三(上)期中数学试卷试题及答案
2019-2020学年北京市朝阳区高三（上）期中数学试卷一、选择题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．已知集合2{|4}A x Z x =∈<，{1B =-，2}，则(A B = )A ．{1}-B ．{1-，2}C ．{1-，0，1，2}D ．{2-，1-，0，1，2}2．已知(,)2παπ∈，且3sin 5α=，则tan (α= )A ．34B ．43 C ．34-D ．43-3．下列函数中，既是奇函数又在区间(0,1)上单调递增的是( ) A ．3y x =-B ．sin()y x =-C ．2log ||y x =D ．22x x y -=-4．关于函数()sin cos f x x x =+有下述三个结论： ①函数()f x 的最小正周期为2π； ②函数()f x 的最大值为2；③函数()f x 在区间(,)2ππ上单调递减．其中，所有正确结论的序号是( ) A ．①②B ．①③C ．②③D ．①②③5．已知α，β是两个不同的平面，直线m α⊂，下列命题中正确的是( ) A ．若αβ⊥，则//m β B ．若αβ⊥，则m β⊥ C ．若//m β，则//αβD ．若m β⊥，则αβ⊥6．已知函数()|2|1f x x kx =--+恰有两个零点，则实数k 的取值范围是( ) A ．1(0,)2B ．1(2，1)C ．(1,2)D ．(2,)+∞7．已知*{}()n a n N ∈为等比数列，则“12a a >”是“{}n a 为递减数列”的( ) A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件8．设1F ，2F 为椭圆22:195x y C +=的两个焦点，M 为C 上一点且在第二象限．若△12MF F 为等腰三角形，则点M 的横坐标为( )A ．32B C ． D ．32-9．在ABC ∆中，90BAC ∠=︒，2BC =，点P 在BC 边上，且()1AP AB AC +=，则||AP 的取值范围是( )A ．1(,1]2B ．1[,1]2C ．,1]D ．[] 10．已知集合A ，B 满足： （ⅰ）AB Q =，AB =∅；（ⅱ）1x A ∀∈，若2x Q ∈且21x x <，则2x A ∈； （ⅲ）1y B ∀∈，若2y Q ∈且21y y >，则2y B ∈． 给出以下命题：①若集合A 中没有最大数，则集合B 中有最小数； ②若集合A 中没有最大数，则集合B 中可能没有最小数； ③若集合A 中有最大数，则集合B 中没有最小数； ④若集合A 中有最大数，则集合B 中可能有最小数． 其中，所有正确结论的序号是( ) A ．①③B ．②③C ．③④D ．①④二、填空题共6小题，每小题5分，共30分．11．已知向量(1,1)a =-，(3,)b m =，且//a b ，则m = ．12．某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积为 ，最长棱的长度为 ．13．已知直线20x y a -+=与圆22:2O x y +=相交于A ，B 两点(O 为坐标原点），且AOB ∆为等腰直角三角形，则实数a 的值为 ．14．已知a ，b 是实数，给出下列四个论断：①a b >；②11a b<；③0a >；④0b >． 以其中两个论断作为条件，余下的论断中选择一个作为结论，写出一个正确的命题： ．15．已知函数21,,()(,x a x x a f x a x x a e -⎧<⎪=⎨⎪⎩…为常数）．若1(1)2f -=，则a = ；若函数()f x 存在最大值，则a 的取值范围是 ．16．2019年7月，中国良渚古城遗址获准列入世界遗产名录，标志着中华五千年文明史得到国际社会认可．良渚古城遗址是人类早期城市文明的范例，实证了中华五千年文明史．考古科学家在测定遗址年龄的过程中利用了“放射性物质因衰变而减少”这一规律．已知样本中碳14的质量N 随时间t （单位：年）的衰变规律满足5730002(t N N N -=表示碳14原有的质量），则经过5730年后，碳14的质量变为原来的 ；经过测定，良渚古城遗址文物样本中碳14的质量是原来的12至35，据此推测良渚古城存在的时期距今约在 年到5730年之间．（参考数据：2log 3 1.6≈，2log 5 2.3)≈三、解答题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程． 17．（13分）在ABC ∆中，AB =P 在BC 边上，且60APC ∠=︒，2BP =． （Ⅰ）求AP 的值；（Ⅱ）若1PC =，求sin ACP ∠的值．18．（13分）已知*{}()n a n N ∈是各项均为正数的等比数列，116a =，322332a a +=． （Ⅰ）求{}n a 的通项公式；（Ⅱ）设23log n n b a =，求数列{}n b 的前n 项和n S ，并求n S 的最大值．19．如图，在四棱锥P ABCD -中，侧面PAD 是等边三角形，且平面PAD ⊥平面ABCD ，E 为PD 的中点，//AD BC ，CD AD ⊥，2BC CD ==，4AD =． （Ⅰ）求证：//CE 平面PAB ； （Ⅱ）求二面角E AC D --的余弦值；（Ⅲ）直线AB 上是否存在点Q ，使得//PQ 平面ACE ？若存在，求出AQAB的值；若不存在，说明理由．20．（13分）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>经过两点(1,)P ，(Q ．（Ⅰ）求椭圆C 的标准方程；（Ⅱ）过椭圆的右焦点F 的直线l 交椭圆C 于A ，B 两点，且直线l 与以线段FP 为直径的圆交于另一点E （异于点)F ，求||||AB FE 的最大值．21．已知函数()(0)lnxf x a x a=>+． （Ⅰ）求曲线()y f x =在点(1，f （1）)处的切线方程； （Ⅱ）当1a =时，证明：1()2x f x -…； （Ⅲ）判断()f x 在定义域内是否为单调函数，并说明理由．22．（13分）已知无穷数列{}n a ，{}n b ，{}n c 满足：*n N ∀∈，1||||n n n a b c +=-，1||||n n n b c a +=-，1||||n n n c a b +=-．记{||n n d max a =，||n b ，||}({n c max x ，y ，}z 表示3个实数x ，y ，z 中的最大值）．（Ⅰ）若11a =，22b =，33c =，求1b ，1c 的可能值； （Ⅱ）若11a =，12b =，求满足23d d =的1c 的所有值；（Ⅲ）设1a ，1b ，1c 是非零整数，且1||a ，1||b ，1||c 互不相等，证明：存在正整数k ，使得数列{}n a ，{}n b ，{}n c 中有且只有一个数列自第k 项起各项均为0．2019-2020学年北京市朝阳区高三（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．已知集合2{|4}A x Z x =∈<，{1B =-，2}，则(A B = )A ．{1}-B ．{1-，2}C ．{1-，0，1，2}D ．{2-，1-，0，1，2} 【解答】解：集合2{|4}{1A x Z x =∈<=-，0，1}，{1B =-，2}， {1AB ∴=-，0，1，2}．故选：C ．2．已知(,)2παπ∈，且3sin 5α=，则tan (α= )A ．34B ．43 C ．34-D ．43-【解答】解：已知3sin 5α=， 根据22sin cos 1αα+= 解得：4cos 5α=±由于：(,)2παπ∈所以：4cos 5α=-则sin 3tan cos 4ααα==- 故选：C ．3．下列函数中，既是奇函数又在区间(0,1)上单调递增的是( ) A ．3y x =-B ．sin()y x =-C ．2log ||y x =D ．22x x y -=-【解答】解：根据题意，依次分析选项：对于A ，3y x =-，是奇函数在区间(0,1)上单调递减，不符合题意；对于B ，sin()sin y x x =-=-，是奇函数在区间(0,1)上单调递减，不符合题意； 对于C ，2log ||y x =，有()()f x f x -=，是偶函数不是奇函数，不符合题意；对于D ，22x x y -=-，既是奇函数又在区间(0,1)上单调递增，符合题意； 故选：D ．4．关于函数()sin cos f x x x =+有下述三个结论： ①函数()f x 的最小正周期为2π； ②函数()f x 的最大值为2；③函数()f x 在区间(,)2ππ上单调递减．其中，所有正确结论的序号是( ) A ．①②B ．①③C ．②③D ．①②③【解答】解：函数()sin cos )4f x x x x π=+=+，所以函数的周期为：2π，所以①正确；②不正确； 函数的单调减区间为：[24k ππ+，2]k ππ+，k Z ∈，所以函数()f x 在区间(,)2ππ上单调递减．正确； 故选：B ．5．已知α，β是两个不同的平面，直线m α⊂，下列命题中正确的是( ) A ．若αβ⊥，则//m β B ．若αβ⊥，则m β⊥ C ．若//m β，则//αβD ．若m β⊥，则αβ⊥【解答】解：对于选项A ：若αβ⊥，则//m β也可能m β⊥，故错误． 对于选项B ：若αβ⊥，则m β⊥也可能//m β，故错误． 对于选项C ：若//m β，则//αβ也可能α与β相交，故错误．对于选项D ，直线m α⊂，m β⊥，则αβ⊥是面面垂直的判定，故正确． 故选：D ．6．已知函数()|2|1f x x kx =--+恰有两个零点，则实数k 的取值范围是( ) A ．1(0,)2B ．1(2，1)C ．(1,2)D ．(2,)+∞【解答】解：令()0f x =得，1|2|kx x -=-， 设11y kx =-，2|2|y x =-，画出这两个函数的图象， 如右图，黑色曲线为1y 的图象，红线为2y 的图象，且12y 的图象恒过(0,1)-，要使()f x 有两个零点，则1y 和2y 的图象有两个交点， 当1k =时，1y x =（红线）与2y 图象的右侧(1)x >平行， 此时，两图象只有一个交点，12PA k =， 因此，要使1y 和2y 的图象有两个交点，则112k <<， 故选：B ．7．已知*{}()n a n N ∈为等比数列，则“12a a >”是“{}n a 为递减数列”的( ) A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件【解答】解：{}n a 为等比数列，由12a a >，不能说明{}n a 为递减数列，如数列：1，12-，14；反之，由{}n a 为递减数列，得12a a >．∴ “12a a >”是“{}n a 为递减数列”的必要而不充分条件．故选：B ．8．设1F ，2F 为椭圆22:195x y C +=的两个焦点，M 为C 上一点且在第二象限．若△12MF F 为等腰三角形，则点M 的横坐标为( )A ．32B C ． D ．32-【解答】解：设(,)M m n ，0m <，0n >，椭圆22:195x y C +=中3a =，b =，2c =， 椭圆的左准线方程为：292a x c =-=-，23c e a ==， 由于M 为C 上一点且在第二象限，可得12||||MF MF <， △12MF F 为等腰三角形，可得2||24MF c ==，1||2MF =， 由椭圆的第二定义，可得292()32m =⨯+，解得32m =-， 故选：D ．9．在ABC ∆中，90BAC ∠=︒，2BC =，点P 在BC 边上，且()1AP AB AC +=，则||AP 的取值范围是( )A ．1(,1]2B ．1[,1]2C ．,1]D ．[] 【解答】解：以BC 的中点O 为原点，过O 垂直于BC 的直线为y 轴，建立如图直角坐标系则(1,0)B -，(1,0)C ，设(,0)P x ，(,)A a b ，||1x …，由1OA =，221a b +=， 则由()1AP AB AC +=，得(x a -，)(b a --，1)2b -=，化简12ax =， 所以2222222||()2AP x a b x ax a b x =-+=-++=， 由221a b +=，因为1a ≠±，所以||1a <，所以11|||2|2x a =>，所以||||AP x =的取值范围为1(2，1]，故选：A ．10．已知集合A ，B 满足：（ⅰ）AB Q =，AB =∅；（ⅱ）1x A ∀∈，若2x Q ∈且21x x <，则2x A ∈； （ⅲ）1y B ∀∈，若2y Q ∈且21y y >，则2y B ∈． 给出以下命题：①若集合A 中没有最大数，则集合B 中有最小数； ②若集合A 中没有最大数，则集合B 中可能没有最小数； ③若集合A 中有最大数，则集合B 中没有最小数； ④若集合A 中有最大数，则集合B 中可能有最小数． 其中，所有正确结论的序号是( ) A ．①③B ．②③C ．③④D ．①④【解答】解：：由（ⅰ）AB Q =，AB =∅；（ⅱ）1x A ∀∈，若2x Q ∈且21x x <，则2x A ∈； （ⅲ）1y B ∀∈，若2y Q ∈且21y y >，则2y B ∈． 可判断集合A 中的元素都小于集合B 中的元素，若集合A 的元素没有最大数，则必然存在一个数x ，使得1x A ∀∈，1x x <； 如果x 是有理数，则x B ∈，且1y B ∀∈，1y x …，则B 有最小数为x ； 如果x 是无理数，则x B ∉，且1y B ∀∈，1y x >，则B 没有最小数； 故②正确；若集合A 的元素有最大数，则必然存在一个有理数x ，使得1x A ∀∈，1x x …； 1y B ∀∈，1y x >，则B 没有最小数；故③正确； 故选：B ．二、填空题共6小题，每小题5分，共30分．11．已知向量(1,1)a =-，(3,)b m =，且//a b ，则m = 3- ． 【解答】解：//a b ，30m ∴+=， 3m ∴=-．故答案为：3-．12．某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积为6，最长棱的长度为 ．【解答】解：由三视图还原原几何体如图，该几何体为三棱锥P ABC -，底面三角形ABC 为等腰直角三角形， 1AB BC ==，90ABC ∠=︒，高1PO =，则111111326P ABC V -=⨯⨯⨯⨯=；最长棱长为PB ==故答案为：16． 13．已知直线20x y a -+=与圆22:2O x y +=相交于A ，B 两点(O 为坐标原点），且AOB ∆为等腰直角三角形，则实数a 的值为【解答】解：||||OA OB =；又AOB ∆为等腰直角三角形；所以2AB =，则三角形AOB 斜边上的高为1； 即圆心O 到直线的距离为1；∴1d ==，即||a =故答案为：a =；14．已知a ，b 是实数，给出下列四个论断：①a b >；②11a b<；③0a >；④0b >． 以其中两个论断作为条件，余下的论断中选择一个作为结论，写出一个正确的命题： 若a b >，0b >，则a b<．（答案不唯一） ． 【解答】解：①a b >；②11a b<；③0a >；④0b >． 以其中两个论断作为条件，余下的论断中选择一个作为结论，写出一个正确的命题：若a ，b 满足a b >，0b >，则11a b<，即由①④⇒②． （答案不唯一）．故答案为：由a ，b 满足：a b >，0b >，则11a b<． 15．已知函数21,,()(,x a x x a f x a x x a e -⎧<⎪=⎨⎪⎩…为常数）．若1(1)2f -=，则a = 2 ；若函数()f x 存在最大值，则a 的取值范围是 ． 【解答】解：（1）①1a >-时，1(1)2f a -==，12a ∴=， ②1a -…时，2211(1)2f e e ---==-≠， 12a ∴=． （2）111()x x xxe e ---'=， 1x x y e-∴=在(,1)-∞递增，在(1,)+∞递减；又0a >时2y ax =在(,0)-∞递减，()f x ∴不会存在最大值． 0a =时，()f x 的最大值即1x x y e -=的最大值； 0a <时，()f x 的最大值即1x x y e-=的最大值；故答案为：(-∞，0]．16．2019年7月，中国良渚古城遗址获准列入世界遗产名录，标志着中华五千年文明史得到国际社会认可．良渚古城遗址是人类早期城市文明的范例，实证了中华五千年文明史．考古科学家在测定遗址年龄的过程中利用了“放射性物质因衰变而减少”这一规律．已知样本中碳14的质量N 随时间t （单位：年）的衰变规律满足5730002(tN N N -=表示碳14原有的质量），则经过5730年后，碳14的质量变为原来的 2；经过测定，良渚古城遗址文物样本中碳14的质量是原来的12至35，据此推测良渚古城存在的时期距今约在 年到5730年之间．（参考数据：2log 3 1.6≈，2log 5 2.3)≈【解答】解：生物体内碳14的量N 与死亡年数t 之间的函数关系式为：573002tN N -=；5730t =时，10022N N N -==； 所以每经过5730年衰减为原来的12； 由于良渚古城遗址文物样本中碳14的质量是原来的12至35， ∴573013225t-剟； 两边同时取以2为底的对数，得： 221(log 3log 5)0.75730t---=-剟 40115730t ∴剟；故推测良渚古城存在的时期距今约在4011年到5730年之间． 故答案为：12，4011． 三、解答题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．17．（13分）在ABC ∆中，AB =P 在BC 边上，且60APC ∠=︒，2BP =． （Ⅰ）求AP 的值；（Ⅱ）若1PC =，求sin ACP ∠的值．【解答】解：（Ⅰ）因为60APC ∠=︒，所以120APB ∠=︒．在ABP ∆中，AB =，120APB ∠=︒，2BP =，由余弦定理2222cos AB AP BP AP BP APB =+-∠，得22240AP AP +-=．所以4AP =．（Ⅱ）在APC ∆中，4AP =，1PC =，60APC ∠=︒，由余弦定理2222cos AC AP PC AP PC APC =+-∠，得AC =由正弦定理sin sin AP ACACP APC=∠∠，得4sin ACP =∠所以sin ACP ∠=． 18．（13分）已知*{}()n a n N ∈是各项均为正数的等比数列，116a =，322332a a +=． （Ⅰ）求{}n a 的通项公式；（Ⅱ）设23log n n b a =，求数列{}n b 的前n 项和n S ，并求n S 的最大值． 【解答】解：（Ⅰ）设{}n a 的公比为q ，因为116a =，322332a a +=， 所以22320q q +-=． 解得2q =-（舍去）或12q =． 因此{}n a 的通项公式为15116()22n n n a --=⨯=．（Ⅱ）由（Ⅰ）得23(5)log 2153n b n n =-=-，当2n …时，13n n b b --=-， 故{}n b 是首项为112b =，公差为3-的单调递减等差数列． 则21312(1)(3)(9)22n S n n n n n =+--=--．又50b =，所以数列{}n b 的前4项为正数，所以当4n =或5时，n S 取得最大值，且最大值为4530S S ==．19．如图，在四棱锥P ABCD -中，侧面PAD 是等边三角形，且平面PAD ⊥平面ABCD ，E 为PD 的中点，//AD BC ，CD AD ⊥，2BC CD ==，4AD =． （Ⅰ）求证：//CE 平面PAB ； （Ⅱ）求二面角E AC D --的余弦值；（Ⅲ）直线AB 上是否存在点Q ，使得//PQ 平面ACE ？若存在，求出AQAB的值；若不存在，说明理由．【解答】解：（Ⅰ）如图，取PA中点F，连结EF，BF．因为E为PD中点，4AD=，所以//EF AD，122EF AD==．又因为//BC AD，2BC=，所以//EF BC，EF BC=，所以四边形EFBC为平行四边形．所以//CE BF．又因为CE⊂/平面PAB，BF⊂平面PAB，所以//CE平面PAB．（Ⅱ）取AD中点O，连结OP，OB．因为PAD∆为等边三角形，所以PO OD⊥．又因为平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD⋂平面ABCD AD=，所以PO⊥平面ABCD．因为//OD BC，2OD BC==，所以四边形BCDO为平行四边形．因为CD AD⊥，所以OB OD⊥．如图建立空间直角坐标系O xyz-，则(0,2,0),(2,0,0),(2,2,0),A B C E P -．所以(2,4,0),AC AE ==．设平面ACE 的一个法向量为1(n x =，y ，)z ， 则110,0,n AC n AE ⎧=⎪⎨=⎪⎩即240,30.x y y +=⎧⎪⎨+=⎪⎩ 令2x =-，则1(2,1,n =-．显然，平面ACD 的一个法向量为2(0n =，0，1)，所以1212123cos ,||||2n n n n n n -<>===． 由题知，二面角E AC D --为锐角， 所以二面角E AC D --（Ⅲ）直线AB 上存在点Q ，使得//PQ 平面ACE ．理由如下： 设AQ AB λ=．因为(2,2,0)AB =，(0,2,PA =--，所以(2,2,0)AQ AB λλλ==，(2,22,PQ PA AQ λλ=+=--． 因为PQ ⊂/平面ACE ，所以//PQ 平面ACE 当且仅当10PQ n =． 即(2,22,(2,1,3)0λλ----=，解得2λ=． 所以直线AB 上存在点Q ，使得//PQ 平面ACE ，此时2AQAB=．20．（13分）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>经过两点(1,)P，(Q ．（Ⅰ）求椭圆C 的标准方程；（Ⅱ）过椭圆的右焦点F 的直线l 交椭圆C 于A ，B 两点，且直线l 与以线段FP 为直径的圆交于另一点E （异于点)F ，求||||AB FE 的最大值．【解答】解：（Ⅰ）因为椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>过点(1,)P，(Q ，所以22111,2a ab ⎧=⎪⎨+=⎪⎩得1,a b ⎧=⎪⎨=⎪⎩ 故椭圆C 的标准方程为2212x y +=，（Ⅱ）由题易知直线l 的斜率不为0，设:1l x ty =+，由221,1,2x ty x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩得22(2)210t y ty ++-=，显然△0>． 设1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y ， 则12122221,22t y y y y t t --+==++．又12|||AB y y =-． 以FP为直径的圆的圆心坐标为，半径为r =， 故圆心到直线l的距离为d ==．所以2||81FEt ===+所以122|||||AB FE y y =-=因为211t +…，所以221(1)21t t +++…，即221114(1)21t t ++++…． 所以||||21AB FE =…．当0t =时，直线与椭圆有交点，满足题意，且||||1AB FE =， 所以||||AB FE 的最大值为1． 21．已知函数()(0)lnxf x a x a=>+． （Ⅰ）求曲线()y f x =在点(1，f （1）)处的切线方程； （Ⅱ）当1a =时，证明：1()2x f x -…； （Ⅲ）判断()f x 在定义域内是否为单调函数，并说明理由．【解答】解：函数()f x 的定义域为(0,)+∞，21()()a lnx x f x x a -++'=+． （Ⅰ）因为f （1）0=，1(1)1f a '=+， 所以曲线()y f x =在点(1，f （1）)处的切线方程为10(1)1y x a -=-+， 即(1)10x a y -+-=；（Ⅱ）证明：当1a =时，()1lnxf x x =+． 欲证1()2x f x -…， 即证112lnx x x -+…， 即证2210lnx x -+…． 令2()21h x lnx x =-+， 则22(1)(1)()2x x h x x x x--+'=-=． 当x 变化时，()h x '，()h x 变化情况如下表：所以函数()h x 的最大值为h （1）0=，故()0h x …． 所以1()2x f x -…； （Ⅲ）函数()f x 在定义域内不是单调函数．理由如下： 令()1ag x lnx x=-++，因为221()0a x ag x x x x+'=--=-<，所以()g x 在(0,)+∞上单调递减． 注意到g （1）10a =+>． 且11111()1(1)0a a a a a g e lne a e e ++++=-++=-<．所以存在1(1,)a m e +∈，使得()0g m =．当(0,)x m ∈时，()0g x >，从而()0f x '>，所以函数()f x 在(0,)m 上单调递增； 当(,)x m ∈+∞时，()0g x <，从而()0f x '<，所以函数()f x 在(,)m +∞上单调递减． 故函数()f x 在定义域内不是单调函数．22．（13分）已知无穷数列{}n a ，{}n b ，{}n c 满足：*n N ∀∈，1||||n n n a b c +=-，1||||n n n b c a +=-，1||||n n n c a b +=-．记{||n n d max a =，||n b ，||}({n c max x ，y ，}z 表示3个实数x ，y ，z 中的最大值）．（Ⅰ）若11a =，22b =，33c =，求1b ，1c 的可能值； （Ⅱ）若11a =，12b =，求满足23d d =的1c 的所有值；（Ⅲ）设1a ，1b ，1c 是非零整数，且1||a ，1||b ，1||c 互不相等，证明：存在正整数k ，使得数列{}n a ，{}n b ，{}n c 中有且只有一个数列自第k 项起各项均为0． 【解答】解：（Ⅰ）由211||||b c a =-，得1||12c -=，所以13c =±； 由322||||c a b =-，得2||23a -=，所以25a =±，又2111||||||33a b c b =-=--…，故25a =，1||8b =，18b =±．所以1b ，1c 的所有可能值为18b =，13c =；18b =，13c =-；18b =-，13c =；18b =-，13c =-． （Ⅱ）若11a =，12b =，记1c x =，则22||a x =-，2||1b x =-，21c =-，232||,0||1,1,1||2,|||1|1||1,||2,x x d x a x x x -<⎧⎪=<=--⎨⎪-⎩………，31|2|||b x =--，3|2||||||1|c x x =---，当0||1x <…时，3||a x =-，3||1b x =-，31c =，31d =，由32d d =，得||1x =，不符合；当1||2x <…时，3||2a x =-，3||1b x =-，332||c x =-，32||,1|| 1.5,||1,1.5||2,x x d x x -<⎧=⎨-<⎩……由32d d =，得||1x =，符合；当||2x …时，3||2a x =-，33||b x =-，31c =-，31,2||3,||2,||3,x d x x <⎧=⎨-⎩…… 由32d d =，得||2x =，符合；综上，1c 的所有取值是2-，1-，1，2．（Ⅲ）先证明“存在正整数3k …，使k a ，k b ，k c 中至少有一个为0”． 假设对任意正整数3k …，k a ，k b ，k c 都不为0， 由1a ，1b ，1c 是非零整数，且1||a ，1||b ，1||c 互不相等，得*1d N ∈，*2d N ∈．若对任意3k …，k a ，k b ，k c 都不为0，则*k d N ∈， 即对任意1k …，*k d N ∈． 当1k …时，1||||||||{||k k k k a b c max b +=-<，||}k k c d …，1||||||||k k k k b c a d +=-<，1||||||||k k k k c a b d +=-<，所以，11{||k k d max a ++=，1||k b +，1||}k k c d +<． 所以，{}k d 严格单调递减， 由2d 为有限正整数，所以，必存在正整数3m …，使得0m d …，矛盾． 所以，存在正整数3k …，使k a ，k b ，k c 中至少有一个为0． 不妨设0k a =，且10a ≠，20a ≠，⋯，10k a -≠， 则11||||k k b c --=，且111||||||k k k b c a ---=≠， 否则，若111||||||k k k b c a ---==，因为1110k k k a b c ---++=，则必有1110k k k a b c ---===，矛盾．于是，11||||0k k k b c a --=-≠，11||||0k k k c a b --=-≠，且k k b c =-， 所以，10k a +=，1||k k b c +=，1||||k k k c b c +=-=-，依次递推，即有：对n k ∀…，0n a =，1||n k b c +=，1||n k c c +=-，且||0k c ≠， 此时有且仅有一个数列{}n a 自第k 项起各项均为0． 综上，结论成立．。
2018-2019学年北京市朝阳区高三(上)期中数学试卷(理科)
2018-2019学年北京市朝阳区高三（上）期中数学试卷（理科）副标题题号一二三总分得分一、选择题（本大题共8小题，共40.0分）1.已知集合A={x|x（x-2）≤0}，B={x|0＜x≤1}，则A∩B=（）A. {x|0≤x≤1}B. {x|0＜x≤1}C. {x|0＜x≤2}D. ?2.执行如图所示的程序框图，输出的s值为（）A. -10B. -2C. 2D. 103.设平面向量=（1，1），=（1，2），=+k．若⊥，则实数k的值等于（）A. B. C. 0 D.4.已知x＞y＞0，则下列不等关系中正确的是（）A. cosx＞cosyB. log3x＜log3yC.D.5.“”是“”的（）A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件6.已知函数f（x）=|2x-2|．若f（a）=f（b）（a≠b），则a+b的取值范围是（）A. （-∞，1）B. （-∞，2）C. （1，+∞）D. （2，+∞）7.已知函数当时，方程的根的个数为（）A. 1B. 2C. 3D. 48.将正奇数数列1，3，5，7，9，…依次按两项、三项分组，得到分组序列如下：（1，3），（5，7，9），（11，13），（15，17，19），…，称（1，3）为第1组，（5，7，9）为第2组，依此类推，则原数列中的2019位于分组序列中（）A. 第404组B. 第405组C. 第808组D. 第809组二、填空题（本大题共6小题，共30.0分））=______．9.已知，，则cosα=______；tan（π+α10.已知x，y满足，则z=x+2y的最大值为______．11.已知函数y=f（x）满足下列条件：①定义域为R；②函数y=f（x）在（0，1）上单调递增；③函数y=f（x）的导函数y=f'（x）有且只有一个零点，写出函数f（x）的一个表达式______．12.如图，在平行四边形ABCD中，E，F分别为边AB，BC的中点，连接CE、DF，交于点G，若=+（λ，μ∈R），则=______．13.海水受日月的引力，在一定的时候发生的涨落现象叫潮．港口的水深会随潮的变化而变化．某港口水的深度y（单位：米）是时刻t（0≤t≤24，单位：小时）的函数，记作y=f（t）．下面是该港口某日水深的数据：t03691215182124y8.011.07.95.08.011.08.05.08.0经长期观察，曲线y=f（t）可以近似地看成函数y=Asinωt+b（A＞0，ω＞0）的图象．根据以上数据，函数y=f（t）的近似表达式为______．14.从标有数字a，b，c，d（a≤b≤c≤d，且a，b，c，d∈{1，2，3，…，9}）的四个小球中任选两个不同的小球，将其上的数字相加，可得4种不同的结果；将其上的数字相乘，可得3种不同的结果．那么这4个小球上的不同的数字恰好有______个；试写出满足条件的所有组a，b，c，d______．三、解答题（本大题共6小题，共80.0分）15.设{a n}（n∈N*）是各项均为正数的等比数列，且a2=3，a4-a3=18．（Ⅰ）求{a n}的通项公式；（Ⅱ）若b n=a n+log3a n，求b1+b2+…+b n．16.已知函数f（x）=2sinxcosx+sin2x-cos2x．（Ⅰ）求f（x）的最小正周期及单调递增区间；（Ⅱ）若对任意，f（x）≤m（m为实数）恒成立，求m的最小值．17.在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，A=，tanB=-4，b=8．（Ⅰ）求a；（Ⅱ）求点A到边BC的距离．18.已知函数f（x）=2mx3-3x2+1（m∈R）．（Ⅰ）当m=1时，求f（x）在区间[-1，2]上的最大值和最小值；（Ⅱ）求证：“m＞1”是“函数f（x）有唯一零点”的充分而不必要条件．19.已知函数．（Ⅰ）求曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；（Ⅱ）试判断函数f（x）的单调性并证明；（Ⅲ）若函数f（x）在x=1处取得极大值，记函数f（x）的极小值为g（a），试求g（a）的最大值．20.设m，n为正整数，一个正整数数列a1，a2，…，a n满足m=a1≥a2≥…≥a n≥１．对i=1，2，…，m，定义集合B i={j∈{1，2，…，n}|a j≥i}．数列b1，b2，…，b m中的b i（i=1，2，…，m）是集合B i中元素的个数．（Ⅰ）若数列a1，a2，…，a n为5，3，3，2，1，1，写出数列b1，b2，…，b m；（Ⅱ）若n=2m，m≥３，b1，b2，…，b m为公比为的等比数列，求a1+a2+…+a n；（Ⅲ）对j=1，2，…，n，定义集合C j={i∈{1，2，…，m}|b i≥j}，令c j是集合C j中元素的个数．求证：对j=1，2，…，n，均有a j=c j．答案和解析1.【答案】 B【解析】解：A={x|0≤x≤2}，B={x|0＜x≤1}；∴A∩B={x|0＜x≤1}．故选：B．可以求A，然后进行交集的运算即可．考查描述法的定义，以及交集的运算．2.【答案】 C【解析】解：根据程序框图的循环结构：在执行循环前：s=0，k=1，由于：k＜4，执行下一次循环，则：k=2，s=-1+2=1，由于k＜4，执行下一次循环，则：k=3，s=1-3=2，由于k＜4，执行下一次循环，则：k=4，s=-2+4=2，由于k=5＞4，则：输出s=2．故选：C．直接利用程序框图的循环结构，进一步利用k的范围，进一步求出结果．本题考查的知识要点：程序框图的循环结构的应用，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于基础题型．3.【答案】 A【解析】解：；∵；∴；。
北京市朝阳区2019~2020学年度第一学期高2020届高三年级期中质量检测数学试题(word版,含答案)
高三数学试卷 第1页（共13页）北京市朝阳区2019~2020学年度第一学期高三年级期中质量检测 数学试卷 2019．11（考试时间120分钟 满分150分）本试卷分为选择题（共40分）和非选择题（共110分）两部分考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.第一部分（选择题 共40分）一、选择题共10小题，每小题4分，共40分。
在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。
（1）已知集合2{4}A x x =∈<Z ，{1,2}B =-，则AB =（A ）{1}-（B ）{1,2}-（C ）{1,0,1,2}- （D ）{2,1,0,1,2}--（2）已知π(,π)2α∈，且3sin 5α=，则tan α= （A ）34 （B ）43 （C ）34-（D ）43-（3）下列函数中，既是奇函数又在区间(0,1)上单调递增的是（A ）3y x =- （B ）sin()y x =-（C ）2log y x =（D ）22x xy -=-（4）关于函数()sin cos f x x x =+有下述三个结论：①函数()f x 的最小正周期为2π； ②函数()f x 的最大值为2；③函数()f x 在区间π(,π)2上单调递减. 其中，所有正确结论的序号是 （A ）①②（B ）①③ （C ）②③（D ）①②③（5）已知α，β是两个不同的平面，直线m α⊂，下列命题中正确的是（A ）若αβ⊥，则//m β （B ）若αβ⊥，则m β⊥ （C ）若//m β，则//αβ （D ）若m β⊥，则αβ⊥高三数学试卷 第2页（共13页）（6）已知函数()|2|1f x x kx =--+恰有两个零点，则实数k 的取值范围是（A ）1(0,)2 （B ）1(,1)2（C ）(1,2) （D ）(2,)+∞ （7）已知*{}()n a n ∈N 为等比数列，则“12a a >”是“{}n a 为递减数列”的（A ）充分而不必要条件 （B ）必要而不充分条件 （C ）充分必要条件（D ）既不充分也不必要条件（8）设1F ，2F 为椭圆C ：22195x y +=的两个焦点，M 为C 上一点且在第二象限.若12△MF F 为等腰三角形，则点M 的横坐标为 （A ）32 （B（C） （D ）32-（9）在△ABC 中，90BAC ∠=，2BC =， 点P 在BC 边上，且()1AP AB AC ⋅+=，则AP 的取值范围是 （A ）1(,1]2（B ）1[,1]2（C）2 （D）[2（10）已知集合A ，B 满足：（ⅰ）A B =Q ，A B =∅；（ⅱ）1x A ∀∈，若2x ∈Q 且21x x <，则2x A ∈； （ⅲ）1y B ∀∈，若2y ∈Q 且21y y >，则2y B ∈. 给出以下命题：① 若集合A 中没有最大数，则集合B 中有最小数； ② 若集合A 中没有最大数，则集合B 中可能没有最小数； ③ 若集合A 中有最大数，则集合B 中没有最小数； ④ 若集合A 中有最大数，则集合B 中可能有最小数. 其中，所有正确结论的序号是（A ）①③ （B ）②③ （C ）③④ （D ）①④高三数学试卷 第3页（共13页）第二部分（非选择题 共110分）二、填空题共6小题，每小题5分，共30分。
2019-2020学年北京市朝阳区高三(上)期中数学试卷
2019-2020学年北京市朝阳区高三（上）期中数学试卷一、选择题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1. 已知集合A＝{x∈Z|x2<4}，B＝{−1, 2}，则A∪B＝（）A.{−1}B.{−1, 2}C.{−1, 0, 1, 2}D.{−2, −1, 0, 1, 2}【答案】C【考点】并集及其运算【解析】先求出集合A，再利用并集定义直接求解．【解答】∵集合A＝{x∈Z|x2<4}＝{−1, 0, 1}，B＝{−1, 2}，∴A∪B＝{−1, 0, 1, 2}．2. 已知α∈(π2,π)，且sinα=35，则tanα＝（）A.3 4B.43C.−34D.−43【答案】C【考点】同角三角函数间的基本关系【解析】首先根据三角函数的恒等变换关系式sin2α+cos2α＝1，求出cosα，进一步利用角的范围和tanα=sinαcosα求出结果．【解答】已知sinα=35，根据sin2α+cos2α＝1解得：cosα=±45由于：α∈(π2,π)所以：cosα=−45则tanα=sinαcosα=−343. 下列函数中，既是奇函数又在区间(0, 1)上单调递增的是（）A.y＝−x3B.y＝sin(−x)C.y＝log2|x|D.y＝2x−2−x【答案】D【考点】奇偶性与单调性的综合【解析】根据题意，依次分析选项中函数的奇偶性与单调性，综合即可得答案．【解答】根据题意，依次分析选项：对于A，y＝−x3，是奇函数在区间(0, 1)上单调递减，不符合题意；对于B，y＝sin(−x)＝−sinx，是奇函数在区间(0, 1)上单调递减，不符合题意；对于C，y＝log2|x|，有f(−x)＝f(x)，是偶函数不是奇函数，不符合题意；对于D，y＝2x−2−x，既是奇函数又在区间(0, 1)上单调递增，符合题意；4. 关于函数f(x)＝sinx+cosx有下述三个结论：①函数f(x)的最小正周期为2π；②函数f(x)的最大值为2；③函数f(x)在区间(π2,π)上单调递减．其中，所有正确结论的序号是（）A.①②B.①③C.②③D.①②③【答案】B【考点】命题的真假判断与应用【解析】利用两角和与差的三角函数化简函数的解析式，求解函数的周期，最值以及判断函数的单调性，找出正确结论即可．【解答】函数f(x)＝sinx+cosx=√2sin(x+π4)，所以函数的周期为：2π，所以①正确；函数的最大值为：√2，所以②不正确；函数的单调减区间为：[2kπ+π4, 2kπ+π]，k∈Z，所以函数f(x)在区间(π2,π)上单调递减．正确；5. 已知α，β是两个不同的平面，直线m⊂α，下列命题中正确的是（）A.若α⊥β，则m // βB.若α⊥β，则m⊥βC.若m // β，则α // βD.若m⊥β，则α⊥β【答案】D【考点】命题的真假判断与应用【解析】直接利用线面垂直和平行的判定和性质的应用求出结果．【解答】对于选项A：若α⊥β，则m // β也可能m⊥β，故错误．对于选项B：若α⊥β，则m⊥β也可能m // β，故错误．对于选项C：若m // β，则α // β也可能α与β相交，故错误．对于选项D ，直线m ⊂α，m ⊥β，则α⊥β是面面垂直的判定，故正确．6. 已知函数f(x)＝|x −2|−kx +1恰有两个零点，则实数k 的取值范围是（ ）A.(0, 12) B.(12, 1)C.(1, 2)D.(2, +∞) 【答案】B【考点】函数的零点与方程根的关系 【解析】先构造两函数y 1＝kx −1，y 2＝|x −2|，问题等价为y 1和y 2的图象有两个交点，再数形结合得出k 的范围． 【解答】令f(x)＝0得，kx −1＝|x −2|，设y 1＝kx −1，y 2＝|x −2|，画出这两个函数的图象， 如右图，黑色曲线为y 1的图象，红线为y 2的图象， 且y 12的图象恒过(0, −1)，要使f(x)有两个零点，则y 1和y 2的图象有两个交点， 当k ＝1时，y 1＝x （红线）与y 2图象的右侧(x >1)平行， 此时，两图象只有一个交点，k PA =12，因此，要使y 1和y 2的图象有两个交点，则12<k <1，7. 已知{a n }(n ∈N ∗)为等比数列，则“a 1>a 2”是“{a n }为递减数列”的( ) A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件 【答案】 B【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断 【解析】举例说明不充分，由递减数列的概念说明必要． 【解答】解：{a n }为等比数列，由a 1>a 2，不能说明{a n }为递减数列，如数列：1，−12，14； 反之，由{a n }为递减数列，得a 1>a 2．∴ “a 1>a 2”是“{a n }为递减数列”的必要而不充分条件． 故选B .8. 设F 1，F 2为椭圆C:x 29+y 25=1的两个焦点，M 为C 上一点且在第二象限．若△MF 1F 2为等腰三角形，则点M 的横坐标为（ ） A.32 B.√152C.−√152D.−32【答案】D【考点】椭圆的离心率 【解析】设M(m, n)，m <0，n >0，求得椭圆的a ，b ，c ，e ，由于M 为C 上一点且在第二象限，可得|MF 1|<|MF 2|，△MF 1F 2为等腰三角形，|MF 1|＝2c ，运用椭圆的第二定义，可得所求点的横坐标． 【解答】设M(m, n)，m <0，n >0，椭圆C:x 29+y 25=1中a ＝3，b =√5，c ＝2，椭圆的左准线方程为：x =−a 2c=−92，e =ca =23，由于M 为C 上一点且在第二象限，可得|MF 1|<|MF 2|， △MF 1F 2为等腰三角形，可得|MF 2|＝2c ＝4，|MF 1|＝2， 由椭圆的第二定义，可得2=23×(92+m)，解得m =−32，9. 在△ABC 中，∠BAC ＝90∘，BC ＝2，点P 在BC 边上，且AP →⋅(AB →+AC →)=1，则|AP →|的取值范围是（ ） A.(12,1]B.[12,1]C.(√22,1]D.[√22,1]【答案】 A【考点】平面向量数量积的性质及其运算 【解析】以BC 的中点O 为原点，过O 垂直于BC 的直线为y 轴，建立直角坐标系，利用向量的坐标法，求出ax =12，|AP →|=|x|，根据题意求出x 的范围，代入即可． 【解答】以BC 的中点O 为原点，过O 垂直于BC 的直线为y 轴，建立如图直角坐标系则B(−1, 0)，C(1, 0)，设P(x, 0)，A(a, b)，|x|≤1，由OA ＝1，a 2+b 2＝1， 则由AP →⋅(AB →+AC →)=1，得(x −a, −b)(−a, −b)=12，化简ax =12， 所以|AP →|2=(x −a)2+b 2＝x 2−2ax +a 2+b 2＝x 2，由a2+b2＝1，因为a≠±1，所以|a|<1，所以|x|=1|2a|>12，, 1]，所以|AP→|=|x|的取值范围为(1210. 已知集合A，B满足：(ⅰ)A∪B＝Q，A∩B＝⌀；(ⅱ)∀x1∈A，若x2∈Q且x2<x1，则x2∈A；(ⅲ)∀y1∈B，若y2∈Q且y2>y1，则y2∈B．给出以下命题：①若集合A中没有最大数，则集合B中有最小数；②若集合A中没有最大数，则集合B中可能没有最小数；③若集合A中有最大数，则集合B中没有最小数；④若集合A中有最大数，则集合B中可能有最小数．其中，所有正确结论的序号是（）A.①③B.②③C.③④D.①④【答案】B【考点】命题的真假判断与应用【解析】根据集合中元素的特点进行判断A，B的关系．【解答】：由(ⅰ)A∪B＝Q，A∩B＝⌀；(ⅱ)∀x1∈A，若x2∈Q且x2<x1，则x2∈A；(ⅲ)∀y1∈B，若y2∈Q且y2>y1，则y2∈B．可判断集合A中的元素都小于集合B中的元素，若集合A的元素没有最大数，则必然存在一个数x，使得∀x1∈A，x1<x；如果x是有理数，则x∈B，且∀y1∈B，y1≥x，则B有最小数为x；如果x是无理数，则x∉B，且∀y1∈B，y1>x，则B没有最小数；故②正确；若集合A的元素有最大数，则必然存在一个有理数x，使得∀x1∈A，x1≤x；∀y1∈B，y1>x，则B没有最小数；故③正确；二、填空题共6小题，每小题5分，共30分．已知向量a→=(1, −1)，b→=(3, m)，且a→ // b→，则m＝________．【答案】−3【考点】平行向量（共线）【解析】根据a→∥b→即可得出m+3＝0，解出m即可．【解答】∵a→∥b→，∴m+3＝0，∴m＝−(3)某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积为________，最长棱的长度为________．【答案】16,√3【考点】由三视图求体积【解析】由三视图还原原几何体，可知该几何体为三棱锥P−ABC，底面三角形ABC为等腰直角三角形，再由棱锥体积公式求体积，由勾股定理求最长棱长．【解答】由三视图还原原几何体如图，该几何体为三棱锥P−ABC，底面三角形ABC为等腰直角三角形，AB＝BC＝1，∠ABC＝90∘，高PO＝1，则V P−ABC=13×12×1×1×1=16；最长棱长为PB=√12+12+12=√3．已知直线x−2y+a＝0与圆O:x2+y2＝2相交于A，B两点（O为坐标原点），且△AOB为等腰直角三角形，则实数a的值为________±√5．【答案】a=±√5；【考点】直线与圆的位置关系【解析】△AOB为等腰直角三角形，则AB边上的高为1，即圆心O到直线的距离为1，用点到直线的距离公式可求a；【解答】∵|OA|=|OB|=√2；又△AOB为等腰直角三角形；所以AB＝2，则三角形AOB斜边上的高为1；即圆心O到直线的距离为1；∴d=√1+22=1，即|a|=√5；已知a，b是实数，给出下列四个论断：①a>b；②1a <1b；③a>0；④b>0．以其中两个论断作为条件，余下的论断中选择一个作为结论，写出一个正确的命题：________>________，________>0，则1a <1b．（答案不唯一）．【答案】若a,b,b【考点】不等式的基本性质【解析】利用不等式的基本性质可得由①④⇒②．（答案不唯一）．【解答】①a>b；②1a <1b；③a>0；④b>(0)以其中两个论断作为条件，余下的论断中选择一个作为结论，写出一个正确的命题：若a，b满足a>b，b>0，则1a <1b，即由①④⇒②．（答案不唯一）．已知函数f(x)={ax2,x<a,xe x−1,x≥a（a为常数）．若f(−1)=12，则a＝________；若函数f(x)存在最大值，则a的取值范围是________．【答案】12,(−∞, 0]【考点】分段函数的应用【解析】本题（1）利用分段函数求值分类讨论a的取值后分别代入每一段函数中求值；（2）结合二次函数以及xe x−1的函数的图象特点分析求解．【解答】又∵a>0时y＝ax2在(−∞, 0)递减，∴f(x)不会存在最大值．a＝0时，f(x)的最大值即y=xe x−1的最大值（1）a<0时，f(x)的最大值即y=xe x−1的最大值（2）故答案为：(−∞, 0]．2019年7月，中国良渚古城遗址获准列入世界遗产名录，标志着中华五千年文明史得到国际社会认可．良渚古城遗址是人类早期城市文明的范例，实证了中华五千年文明史．考古科学家在测定遗址年龄的过程中利用了“放射性物质因衰变而减少”这一规律．已知样本中碳14的质量N随时间t（单位：年）的衰变规律满足N=N⋅2−t5730（N 0表示碳14原有的质量），则经过5730年后，碳14的质量变为原来的 12 ；经过测定，良渚古城遗址文物样本中碳14的质量是原来的12至35，据此推测良渚古城存在的时期距今约在________年到5730年之间．（参考数据：log 23≈1.6，log 25≈2.3） 【答案】 4011 【考点】根据实际问题选择函数类型 【解析】根据生物体内碳14的质量N 与死亡年数t 之间的函数关系式，t ＝5730代入，得N =N 02，故每经过5730年衰减为原来的一半；利用碳14的残余量约占原来的12至35，建立不等式，即可推算良渚古城的年代． 【解答】∵ 生物体内碳14的量N 与死亡年数t 之间的函数关系式为：N =N 0⋅2−t5730； t ＝5730时，N =N 0⋅2−1=N 02；所以每经过5730年衰减为原来的12；由于良渚古城遗址文物样本中碳14的质量是原来的12至35， ∴ 12≤2−t5730≤35；两边同时取以2为底的对数，得： −1≤−t5730≤(log 23−log 25)＝−0.7∴ 4011≤t ≤5730；故推测良渚古城存在的时期距今约在4011年到5730年之间．三、解答题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．在△ABC 中，AB ＝2√7，点P 在BC 边上，且∠APC ＝60∘，BP ＝2． (Ⅰ)求AP 的值；(Ⅱ)若PC ＝1，求sin∠ACP 的值． 【答案】（1）因为∠APC ＝60∘，所以∠APB ＝120∘．在△ABP 中，AB ＝2√7，∠APB ＝120∘，BP ＝2，由余弦定理AB 2＝AP 2+BP 2−2AP ⋅BPcos∠APB ，得AP 2+2AP −24＝（0） 所以AP ＝（4）（2）在△APC 中，AP ＝4，PC ＝1，∠APC ＝60∘，由余弦定理AC 2＝AP 2+PC 2−2AP ⋅PCcos∠APC ，得AC =√13． 由正弦定理APsin∠ACP =ACsin∠APC ，得4sin∠ACP =√13sin60， 所以sin∠ACP =2√3913．【考点】余弦定理解三角形正弦定理【解析】(Ⅰ)在△ABP中，利用余弦定理转化求解AP的值；(Ⅱ)在△APC中，利用余弦定理求出AC，然后利用正弦定理求sin∠ACP的值．【解答】（1）因为∠APC＝60∘，所以∠APB＝120∘．在△ABP中，AB＝2√7，∠APB＝120∘，BP＝2，由余弦定理AB2＝AP2+BP2−2AP⋅BPcos∠APB，得AP2+2AP−24＝（0）所以AP＝（4）（2）在△APC中，AP＝4，PC＝1，∠APC＝60∘，由余弦定理AC2＝AP2+PC2−2AP⋅PCcos∠APC，得AC=√13．由正弦定理APsin∠ACP =ACsin∠APC，得4sin∠ACP=√13sin60，所以sin∠ACP=2√3913．已知{a n}(n∈N∗)是各项均为正数的等比数列，a1＝16，2a3+3a2＝32．(Ⅰ)求{a n}的通项公式；(Ⅱ)设b n＝3log2a n，求数列{b n}的前n项和S n，并求S n的最大值．【答案】（1）设{a n}的公比为q，因为a1＝16，2a3+3a2＝32，所以2q2+3q−2＝（0）解得q＝−2（舍去）或q=12．因此{a n}的通项公式为a n=16×(12)n−1=25−n．（2）由(Ⅰ)得b n＝3(5−n)log22＝15−3n，当n≥2时，b n−b n−1＝−3，故{b n}是首项为b1＝12，公差为−3的单调递减等差数列．则S n=12n+12n(n−1)(−3)=−32(n2−9n)．又b5＝0，所以数列{b n}的前4项为正数，所以当n＝4或5时，S n取得最大值，且最大值为S4＝S5＝3(0)【考点】数列的求和【解析】(Ⅰ)直接利用已知条件求出数列的通项公式．(Ⅱ)直接利用数列的通项公式求出数列的和，进一步利用关系式求出最值．【解答】（1）设{a n}的公比为q，因为a1＝16，2a3+3a2＝32，所以2q2+3q−2＝（0）解得q＝−2（舍去）或q=12．因此{a n}的通项公式为a n=16×(12)n−1=25−n．（2）由(Ⅰ)得b n＝3(5−n)log22＝15−3n，当n≥2时，b n−b n−1＝−3，故{b n}是首项为b1＝12，公差为−3的单调递减等差数列．则S n=12n+12n(n−1)(−3)=−32(n2−9n)．又b5＝0，所以数列{b n}的前4项为正数，所以当n＝4或5时，S n取得最大值，且最大值为S4＝S5＝3(0)如图，在四棱锥P−ABCD中，侧面PAD是等边三角形，且平面PAD⊥平面ABCD，E 为PD的中点，AD // BC，CD⊥AD，BC＝CD＝2，AD＝4．(Ⅰ)求证：CE // 平面PAB；(Ⅱ)求二面角E−AC−D的余弦值；(Ⅲ)直线AB上是否存在点Q，使得PQ // 平面ACE？若存在，求出AQAB的值；若不存在，说明理由．【答案】（1）如图，取PA中点F，连结EF，BF．因为E为PD中点，AD＝4，所以EF // AD，EF=12AD=2．又因为BC // AD，BC＝2，所以EF // BC，EF＝BC，所以四边形EFBC为平行四边形．所以CE // BF．又因为CE平面PAB，BF⊂平面PAB，所以CE // 平面PAB．（2）取AD中点O，连结OP，OB．因为△PAD为等边三角形，所以PO⊥OD．又因为平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD＝AD，所以PO⊥平面ABCD．因为OD // BC，OD＝BC＝2，所以四边形BCDO为平行四边形．因为CD ⊥AD ，所以OB ⊥OD ． 如图建立空间直角坐标系O −xyz ，则A(0,−2,0),B(2,0,0),C(2,2,0),E(0,1,√3),P(0,0,2√3)． 所以AC →=(2,4,0),AE →=(0,3,√3)． 设平面ACE 的一个法向量为n 1→=(x, y, z)，则{n 1→⋅AC →=0,n 1→⋅AE →=0, 即{2x +4y =0,3y +√3z =0. 令x ＝−2，则n 1→=(−2,1,−√3)．显然，平面ACD 的一个法向量为n 2→=(0, 0, 1)， 所以cos <n 1→,n 2→>=n 1→⋅n 2→|n 1→||n 2→|=√322=−√64． 由题知，二面角E −AC −D 为锐角， 所以二面角E −AC −D 的余弦值为√64．(Ⅲ)直线AB 上存在点Q ，使得PQ // 平面ACE ．理由如下： 设AQ →=λAB →．因为AB →=(2,2,0)，PA →=(0,−2,−2√3)，所以AQ →=λAB →=(2λ,2λ,0)，PQ →=PA →+AQ →=(2λ,2λ−2,−2√3)．因为PQ 平面ACE ，所以PQ // 平面ACE 当且仅当PQ →⋅n 1→=0． 即(2λ,2λ−2,−2√3)⋅(−2,1,−√3)=0，解得λ＝（2） 所以直线AB 上存在点Q ，使得PQ // 平面ACE ，此时AQAB =2．【考点】直线与平面平行二面角的平面角及求法 【解析】(Ⅰ)取PA 中点F ，连结EF ，BF ．推出EF // AD ，证明CE // BF ．利用直线与平面平行的判断定理证明CE // 平面PAB ．(Ⅱ)取AD 中点O ，连结OP ，OB ．说明PO ⊥OD ．推出PO ⊥平面ABCD ．得到OB ⊥OD ．建立空间直角坐标系O −xyz ，求出平面ACE 的一个法向量，平面ACD 的一个法向量，利用空间向量的数量积求解二面角E −AC −D 的余弦值．(Ⅲ)直线AB 上存在点Q ，使得PQ // 平面ACE ．设AQ →=λAB →．通过PQ // 平面ACE 当且仅当PQ →⋅n 1=0．转化求解即可． 【解答】（1）如图，取PA 中点F ，连结EF ，BF ．因为E 为PD 中点，AD ＝4， 所以EF // AD ，EF =12AD =2．又因为BC // AD ，BC ＝2， 所以EF // BC ，EF ＝BC ，所以四边形EFBC 为平行四边形． 所以CE // BF ．又因为CE 平面PAB ，BF ⊂平面PAB ， 所以CE // 平面PAB ．（2）取AD 中点O ，连结OP ，OB ．因为△PAD 为等边三角形，所以PO ⊥OD ． 又因为平面PAD ⊥平面ABCD ，平面PAD ∩平面ABCD ＝AD ， 所以PO ⊥平面ABCD ．因为OD // BC ，OD ＝BC ＝2， 所以四边形BCDO 为平行四边形． 因为CD ⊥AD ，所以OB ⊥OD ． 如图建立空间直角坐标系O −xyz ，则A(0,−2,0),B(2,0,0),C(2,2,0),E(0,1,√3),P(0,0,2√3)． 所以AC →=(2,4,0),AE →=(0,3,√3)． 设平面ACE 的一个法向量为n 1→=(x, y, z)，则{n 1→⋅AC →=0,n 1→⋅AE →=0, 即{2x +4y =0,3y +√3z =0. 令x ＝−2，则n 1→=(−2,1,−√3)．显然，平面ACD 的一个法向量为n 2→=(0, 0, 1)， 所以cos <n 1→,n 2→>=n 1→⋅n 2→|n 1→||n 2→|=√32√2=−√64． 由题知，二面角E −AC −D 为锐角， 所以二面角E −AC −D 的余弦值为√64．(Ⅲ)直线AB 上存在点Q ，使得PQ // 平面ACE ．理由如下： 设AQ →=λAB →．因为AB →=(2,2,0)，PA →=(0,−2,−2√3)，所以AQ →=λAB →=(2λ,2λ,0)，PQ →=PA →+AQ →=(2λ,2λ−2,−2√3)．因为PQ 平面ACE ，所以PQ // 平面ACE 当且仅当PQ →⋅n 1→=0． 即(2λ,2λ−2,−2√3)⋅(−2,1,−√3)=0，解得λ＝（2） 所以直线AB 上存在点Q ，使得PQ // 平面ACE ，此时AQAB =2．已知椭圆C:x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)经过两点P(1,√22)，Q(−√2,0)． (Ⅰ)求椭圆C 的标准方程；(Ⅱ)过椭圆的右焦点F 的直线l 交椭圆C 于A ，B 两点，且直线l 与以线段FP 为直径的圆交于另一点E （异于点F ），求|AB|⋅|FE|的最大值． 【答案】 （1）因为椭圆C:x 2a2+y 2b 2=1(a >b >0)过点P(1,√22)，Q(−√2,0)，所以{a =√2,1a2+12b2=1,得{a =√2,b =1, 故椭圆C 的标准方程为x 22+y 2=1，（2）由题易知直线l 的斜率不为0，设l:x ＝ty +1， 由{x =ty +1,x 22+y 2=1, 得(t 2+2)y 2+2ty −1＝0，显然△>(0) 设A(x 1, y 1)，B(x 2, y 2)， 则y 1+y 2=−2t t +2,y 1y 2=−1t +2． 又|AB|=√1+t 2|y 1−y 2|．以FP 为直径的圆的圆心坐标为(1,√24)，半径为r =√24，故圆心到直线l 的距离为d =|1−√24t−1|√1+t 2=|√24t|√1+t 2．所以|FE|=2√r 2−d 2=2√18−18⋅t 2t 2+1=√22√1t 2+1． 所以|AB|⋅|FE|=√22|y 1−y 2|=√22√(y 1+y 2)2−4y 1y 2=√22√4t 2(t 2+2)2+4t 2+2=√22√8t 2+8(t 2+2)2=2√t 2+1(t 2+2)2=2√1(t 2+1)+1t 2+1+2，因为t 2+1≥1，所以(t 2+1)+1t 2+1≥2，即1(t 2+1)+1t 2+1+2≤14．所以|AB|⋅|FE|≤2√14=1．当t ＝0时，直线与椭圆有交点，满足题意，且|AB|⋅|FE|＝1， 所以|AB|⋅|FE|的最大值为（1） 【考点】 椭圆的应用直线与椭圆的位置关系 【解析】(Ⅰ)将两点的坐标代入求出a ，b 的值即可；(Ⅱ)设直线方程为x ＝ty +1，与椭圆方程联立，利用根与系数关系表示出|AB|，根据条件可以求出以FP 为直径的圆的圆心坐标为(1,√24)，半径为r =√24，故圆心到直线l 的距离为d =|1−√24t−1|√1+t2=|√24t|√1+t 2．进而表示出|EF|，因为|AB|⋅|FE|=√22|y 1−y 2|，结合基本不等式即可求出范围．【解答】 （1）因为椭圆C:x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)过点P(1,√22)，Q(−√2,0)， 所以{a =√2,1a+12b=1, 得{a =√2,b =1, 故椭圆C 的标准方程为x 22+y 2=1，（2）由题易知直线l 的斜率不为0，设l:x ＝ty +1， 由{x =ty +1,x 22+y 2=1, 得(t 2+2)y 2+2ty −1＝0，显然△>(0) 设A(x 1, y 1)，B(x 2, y 2)， 则y 1+y 2=−2t t 2+2,y 1y 2=−1t 2+2． 又|AB|=√1+t 2|y 1−y 2|．以FP 为直径的圆的圆心坐标为(1,√24)，半径为r =√24，故圆心到直线l 的距离为d =|1−√24t−1|2=|√24t|2．所以|FE|=2√r 2−d 2=2√18−18⋅t 2t +1=√22√1t +1． 所以|AB|⋅|FE|=√22|y 1−y 2|=√22√(y 1+y 2)2−4y 1y 2=√22√4t 2(t 2+2)2+4t 2+2=√22√8t 2+8(t 2+2)2=2√t 2+1(t 2+2)2=2√1(t 2+1)+1t 2+1+2，因为t 2+1≥1，所以(t 2+1)+1t 2+1≥2，即1(t 2+1)+1t 2+1+2≤14．所以|AB|⋅|FE|≤2√14=1．当t＝0时，直线与椭圆有交点，满足题意，且|AB|⋅|FE|＝1，所以|AB|⋅|FE|的最大值为（1）已知函数f(x)=lnxx+a(a>0)．(Ⅰ)求曲线y＝f(x)在点（1, f(1)）处的切线方程；(Ⅱ)当a＝1时，证明：f(x)≤x−12；(Ⅲ)判断f(x)在定义域内是否为单调函数，并说明理由．【答案】函数f(x)的定义域为(0, +∞)，f′(x)=−lnx+ax+1(x+a)2．（1）因为f(1)＝0，f′(1)=1a+1，所以曲线y＝f(x)在点（1, f(1)）处的切线方程为y−0=1a+1(x−1)，即x−(a+1)y−1＝0；（2）证明：当a＝1时，f(x)=lnxx+1．欲证f(x)≤x−12，即证lnxx+1≤x−12，即证2lnx−x2+1≤(0)令ℎ(x)＝2lnx−x2+1，则ℎ(x)=2x −2x=−2(x−1)(x+1)x．当x变化时，ℎ′(x)，ℎ(x)变化情况如下表：所以函数ℎ(x)的最大值为ℎ(1)＝0，故ℎ(x)≤(0)所以f(x)≤x−12；(Ⅲ)函数f(x)在定义域内不是单调函数．理由如下：令g(x)=−lnx+ax+1，因为g′(x)=−1x −ax2=−x+ax2<0，所以g(x)在(0, +∞)上单调递减．注意到g(1)＝a+1>(0)且g(e a+1)=−lne a+1+ae a+1+1=a(1e a+1−1)<0．所以存在m∈(1, e a+1)，使得g(m)＝（0）当x∈(0, m)时，g(x)>0，从而f′(x)>0，所以函数f(x)在(0, m)上单调递增；当x∈(m, +∞)时，g(x)<0，从而f′(x)<0，所以函数f(x)在(m, +∞)上单调递减．故函数f(x)在定义域内不是单调函数．【考点】利用导数研究函数的单调性利用导数研究曲线上某点切线方程【解析】(Ⅰ)求出函数的导数，计算f(1)，f′(1)的值，求出切线方程即可；(Ⅱ)代入a的值，问题转化为证明2lnx−x2+1≤(0)令ℎ(x)＝2lnx−x2+1，根据函数的单调性证明即可；(Ⅲ)令g(x)=−lnx+ax+1，求出函数的导数，判断函数是否单调即可．【解答】函数f(x)的定义域为(0, +∞)，f′(x)=−lnx+ax+1(x+a)2．（1）因为f(1)＝0，f′(1)=1a+1，所以曲线y＝f(x)在点（1, f(1)）处的切线方程为y−0=1a+1(x−1)，即x−(a+1)y−1＝0；（2）证明：当a＝1时，f(x)=lnxx+1．欲证f(x)≤x−12，即证lnxx+1≤x−12，即证2lnx−x2+1≤(0)令ℎ(x)＝2lnx−x2+1，则ℎ(x)=2x −2x=−2(x−1)(x+1)x．当x变化时，ℎ′(x)，ℎ(x)变化情况如下表：所以函数ℎ(x)的最大值为ℎ(1)＝0，故ℎ(x)≤(0)所以f(x)≤x−12；(Ⅲ)函数f(x)在定义域内不是单调函数．理由如下：令g(x)=−lnx+ax+1，因为g′(x)=−1x −ax2=−x+ax2<0，所以g(x)在(0, +∞)上单调递减．注意到g(1)＝a+1>(0)且g(e a+1)=−lne a+1+ae a+1+1=a(1e a+1−1)<0．所以存在m ∈(1, e a+1)，使得g(m)＝（0）当x ∈(0, m)时，g(x)>0，从而f ′(x)>0，所以函数f(x)在(0, m)上单调递增；当x ∈(m, +∞)时，g(x)<0，从而f ′(x)<0，所以函数f(x)在(m, +∞)上单调递减． 故函数f(x)在定义域内不是单调函数．已知无穷数列{a n }，{b n }，{c n }满足：∀n ∈N ∗，a n+1＝|b n |−|c n |，b n+1＝|c n |−|a n |，c n+1＝|a n |−|b n |．记d n ＝max{|a n |, |b n |, |c n |}（max{x, y, z}表示3个实数x ，y ，z 中的最大值）．(Ⅰ)若a 1＝1，b 2＝2，c 3＝3，求b 1，c 1的可能值； (Ⅱ)若a 1＝1，b 1＝2，求满足d 2＝d 3的c 1的所有值；(Ⅲ)设a 1，b 1，c 1是非零整数，且|a 1|，|b 1|，|c 1|互不相等，证明：存在正整数k ，使得数列{a n }，{b n }，{c n }中有且只有一个数列自第k 项起各项均为0． 【答案】（1）由b 2＝|c 1|−|a 1|，得|c 1|−1＝2，所以c 1＝±3； 由c 3＝|a 2|−|b 2|，得|a 2|−2＝3，所以a 2＝±5，又a 2＝|b 1|−|c 1|＝|b 1|−3≥−3，故a 2＝5，|b 1|＝8，b 1＝±(8)所以b 1，c 1的所有可能值为b 1＝8，c 1＝3；b 1＝8，c 1＝−3；b 1＝−8，c 1＝3；b 1＝−8，c 1＝−(3)（2）若a 1＝1，b 1＝2，记c 1＝x ，则a 2＝2−|x|，b 2＝|x|−1，c 2＝−1，d 2={2−|x|,0≤|x|<1,1,1≤|x|<2,|x|−1,|x|≥2, a 3＝||x|−1|−1，b 3＝1−|2−|x||，c 3＝|2−|x||−||x|−1|，当0≤|x|<1时，a 3＝−|x|，b 3＝|x|−1，c 3＝1，d 3＝1，由d 3＝d 2，得|x|＝1，不符合；当1≤|x|<2时，a 3＝|x|−2，b 3＝|x|−1，c 3＝3−2|x|，d 3={2−|x|,1≤|x|<1.5,|x|−1,1.5≤|x|<2, 由d 3＝d 2，得|x|＝1，符合；当|x|≥2时，a 3＝|x|−2，b 3＝3−|x|，c 3＝−1，d 3={1,2≤|x|<3,|x|−2,|x|≥3,由d 3＝d 2，得|x|＝2，符合；综上，c 1的所有取值是−2，−1，1，（2）(Ⅲ)先证明“存在正整数k ≥3，使a k ，b k ，c k 中至少有一个为0”． 假设对任意正整数k ≥3，a k ，b k ，c k 都不为0，由a 1，b 1，c 1是非零整数，且|a 1|，|b 1|，|c 1|互不相等，得d 1∈N ∗，d 2∈N ∗． 若对任意k ≥3，a k ，b k ，c k 都不为0，则d k ∈N ∗， 即对任意k ≥1，d k ∈N ∗．当k ≥1时，|a k+1|＝||b k |−|c k ||<max{|b k |, |c k |}≤d k ，|b k+1|＝||c k |−|a k ||<d k ，|c k+1|＝||a k |−|b k ||<d k ，所以，d k+1＝max{|a k+1|, |b k+1|, |c k+1|}<d k ． 所以，{d k }严格单调递减， 由d 2为有限正整数，所以，必存在正整数m ≥3，使得d m ≤0，矛盾．所以，存在正整数k ≥3，使a k ，b k ，c k 中至少有一个为（0） 不妨设a k ＝0，且a 1≠0，a 2≠0，…，a k−1≠0， 则|b k−1|＝|c k−1|，且|b k−1|＝|c k−1|≠|a k−1|，否则，若|b k−1|＝|c k−1|＝|a k−1|，因为a k−1+b k−1+c k−1＝0，则必有a k−1＝b k−1＝c k−1＝0，矛盾． 于是，b k ＝|c k−1|−|a k−1|≠0，c k ＝|a k−1|−|b k−1|≠0，且b k ＝−c k ， 所以，a k+1＝0，b k+1＝|c k |，c k+1＝−|b k |＝−|c k |，依次递推，即有：对∀n ≥k ，a n ＝0，b n+1＝|c k |，c n+1＝−|c k |，且|c k |≠0， 此时有且仅有一个数列{a n }自第k 项起各项均为（0） 综上，结论成立． 【考点】 数列的应用 【解析】（I ）由b 2＝|c 1|−|a 1|，c 3＝|a 2|−|b 2|，a 2＝|b 1|−|c 1|得出即可；(II)求出分段函数d 2，d 3，再分类讨论，求出c 1的所有值；(III)先证明存在正整数k ≥3，使a k ，b k ，c k 中至少有一个为0，再得出对∀n ≥k ，a n ＝0，b n+1＝|c k |，c n+1＝−|c k |，且|c k |≠0，所以有且仅有一个数列{a n }自第k 项起各项均为（0） 【解答】（1）由b 2＝|c 1|−|a 1|，得|c 1|−1＝2，所以c 1＝±3； 由c 3＝|a 2|−|b 2|，得|a 2|−2＝3，所以a 2＝±5，又a 2＝|b 1|−|c 1|＝|b 1|−3≥−3，故a 2＝5，|b 1|＝8，b 1＝±(8)所以b 1，c 1的所有可能值为b 1＝8，c 1＝3；b 1＝8，c 1＝−3；b 1＝−8，c 1＝3；b 1＝−8，c 1＝−(3)（2）若a 1＝1，b 1＝2，记c 1＝x ，则a 2＝2−|x|，b 2＝|x|−1，c 2＝−1，d 2={2−|x|,0≤|x|<1,1,1≤|x|<2,|x|−1,|x|≥2, a 3＝||x|−1|−1，b 3＝1−|2−|x||，c 3＝|2−|x||−||x|−1|，当0≤|x|<1时，a 3＝−|x|，b 3＝|x|−1，c 3＝1，d 3＝1，由d 3＝d 2，得|x|＝1，不符合；当1≤|x|<2时，a 3＝|x|−2，b 3＝|x|−1，c 3＝3−2|x|，d 3={2−|x|,1≤|x|<1.5,|x|−1,1.5≤|x|<2, 由d 3＝d 2，得|x|＝1，符合；当|x|≥2时，a 3＝|x|−2，b 3＝3−|x|，c 3＝−1，d 3={1,2≤|x|<3,|x|−2,|x|≥3,由d 3＝d 2，得|x|＝2，符合；综上，c 1的所有取值是−2，−1，1，（2）(Ⅲ)先证明“存在正整数k ≥3，使a k ，b k ，c k 中至少有一个为0”． 假设对任意正整数k ≥3，a k ，b k ，c k 都不为0，由a 1，b 1，c 1是非零整数，且|a 1|，|b 1|，|c 1|互不相等，得d 1∈N ∗，d 2∈N ∗． 若对任意k ≥3，a k ，b k ，c k 都不为0，则d k ∈N ∗， 即对任意k ≥1，d k ∈N ∗．当k ≥1时，|a k+1|＝||b k |−|c k ||<max{|b k |, |c k |}≤d k ，|b k+1|＝||c k |−|a k ||<d k ，|c k+1|＝||a k |−|b k ||<d k ，所以，d k+1＝max{|a k+1|, |b k+1|, |c k+1|}<d k ． 所以，{d k }严格单调递减， 由d 2为有限正整数，所以，必存在正整数m ≥3，使得d m ≤0，矛盾．所以，存在正整数k≥3，使a k，b k，c k中至少有一个为（0）不妨设a k＝0，且a1≠0，a2≠0，…，a k−1≠0，则|b k−1|＝|c k−1|，且|b k−1|＝|c k−1|≠|a k−1|，否则，若|b k−1|＝|c k−1|＝|a k−1|，因为a k−1+b k−1+c k−1＝0，则必有a k−1＝b k−1＝c k−1＝0，矛盾．于是，b k＝|c k−1|−|a k−1|≠0，c k＝|a k−1|−|b k−1|≠0，且b k＝−c k，所以，a k+1＝0，b k+1＝|c k|，c k+1＝−|b k|＝−|c k|，依次递推，即有：对∀n≥k，a n＝0，b n+1＝|c k|，c n+1＝−|c k|，且|c k|≠0，此时有且仅有一个数列{a n}自第k项起各项均为（0）综上，结论成立．。
北京朝阳区2019届高三数学上学期期中试卷理科含解析范文整理
北京朝阳区2019届高三数学上学期期中试卷（理科含解析）北京市朝阳区XX～2019学年度学期高三年级期中统一检测数学试卷第Ⅰ卷一、选择题：本大题共8个小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.已知集合，，则A.B.c.D.【答案】B【解析】【分析】先把集合A解出来，然后求A∪B即可．【详解】因为集合合，所以，故选：B．【点睛】本题主要考查集合的交集，属于基础题．执行如图所示的程序框图，输出的值为A.-10B.-2c.2D.10【答案】【解析】【分析】由已知中的程序语句可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量S的值，模拟程序的运行过程，可得答案．【详解】模拟程序的运行过程，次运行：，第二次运行：第三次运行：第四次运行：此时，推出循环，输出输出.故选c.【点睛】本题考查了程序框图的应用问题，解题时应模拟程序框图的运行过程，以便得出正确的结论，是基础题．设平面向量，，，，则实数的值等于A.B.c.0D.【答案】A【解析】【分析】根据平面向量的坐标运算与共线定理，列方程求出的值．【详解】向量，，，∴故选A.【点睛】本题考查了平面向量的坐标运算与共线定理的应用问题，是基础题．已知，则下列不等关系中正确的是A.B.c.D.【答案】D【解析】【分析】利用指函数的单调性得出结论．【详解】A.，显然不成立；B.错误，因为函数在上为增函数，由，可得；同理c.，因为函数在上为增函数，由，可得；D.，正确，因为函数在上为减函数，由，可得；故选D.【点睛】本题考查函数单调性的应用，属基础题.“”是“”的A.充分而不必要条件B.必要而不充分条c.充分必要条件D.既不充分也不必要条【答案】A【解析】观察两条件的互推性即可求解．【详解】由“”可得到“”，但“”不一定得到“”，故“”是“”的充分而不必要条件.故応A.已知函数，若，则的取值范围是A.B.c.D.【答案】B【解析】【分析】由，可知由可得根据基本不等式可求的取值范围.【详解】若由，则与矛盾；同理也可导出矛盾，故而即故选B【点睛】本题考查分段函数的性质以及基本不等式的应用，属中档题.已知函数当时，方程的根的个数为A.1B.2c.3D.4【答案】c【解析】画出函数的图像，由图像可得结论.【详解】画出函数的图像，有图可知方程的根的个数为3个.故选c.【点睛】本题考查分段函数的性质、方程的根等知识，综合性较强，考查利用所学知识解决问题的能力，是中档题．将正奇数数列1,3,4,5,7,9，…依次按两项、三项分组，得到分组序列如下：，，，，…，称为第1组，为第2组，依此类推，则原数列中的2019位于分组序列中A.第404组B.第405组c.第808组D.第809组【答案】A【解析】【分析】求出2019为第1010个证奇数，根据富足规则可得答案.【详解】正奇数数列1,3,4,5,7,9，的通项公式为则2019为第1010个奇数，因为按两项、三项分组，故按5个一组分组是有202组，故原数列中的2019位于分组序列中第404组选A.【点睛】本题考查闺女是推理，属中档题.第Ⅱ卷二、填空题已知，，则_________，__________．【答案】..--【解析】【分析】利用同角三角函数基本关系式和诱导公式可解.【详解】由题，，则即答案为..【点睛】本题考查同角三角函数基本关系式和诱导公式，属基础题.0.已知，满足则的最大值为__________．【答案】【解析】【分析】作出题中不等式组表示的平面区域，得如图的△ABc及其内部，再将目标函数z=x+2y对应的直线进行平移，可得当x=3，y=1时，z=x+2y取得最大值为5．【详解】作出不等式组表示的平面区域，得到如图的△ABc及其内部，其中A，B，c设z=x+2y，将直线l：z=x+2y进行平移，当l经过点A时，目标函数z达到最大值∴z最大值=3故答案为：3【点睛】本题给出二元一次不等式组，求目标函数z=x+2y 的最大值，着重考查了二元一次不等式组表示的平面区域和简单的线性规划等知识，属于基础题．1.已知函数满足下列条件：①定义域为；②函数在上单调递增；③函数的导函数有且只有一个零点，写出函数的一个表达式__________．【答案】【解析】【分析】利用已知条件，直接推出结果即可．【详解】①定义域为；②函数在上单调递增；③函数的导函数有且只有一个零点，满足条件一个函数可以为：．或+2等等．故答案为：．【点睛】本题考查函数的简单性质的应用，函数的解析式的求法，考查判断能力．如图，在平行四边形中，，分别为边，的中点，连接，，交于点，若，则__________．【答案】【解析】【分析】根据平行线分线段成比例解答即可.【详解】根据平行线分线段成比例可得而故即答案为.【点睛】本题考查平面向量基本定理的应用，属中档题.3.海水受日月的引力，在一定的时候发生的涨落现象叫潮.港口的水深会随潮的变化而变化.某港口水的深度是时刻的函数，记作.下面是该港口某日水深的数据：03691215182124011.07.95.08.011.08.05.08.0经长期观察，曲线可近似地看成函数的图象，根据以上数据，函数的近似表达式为__________．【答案】【解析】【分析】设出函数解析式，据最大值与最小值的差的一半为A；最大值与最小值和的一半为h；通过周期求出ω，得到函数解析式．【详解】根据已知数据数据可以得出A=3，b=8，T=12，φ=0，由，得ω=，所以函数的近似表达式即答案为【点睛】本题考查通过待定系数法求函数解析式、属基础题.从标有数字，，，的四个小球中任选两个不同的小球，将其上的数字相加，可得4种不同的结果；将其上的数字相乘，可得3种不同的结果，那么这4个小球上的不同的数字恰好有__________个；试写出满足条件的所有组，，，__________．【答案】.3.1,2,2,4;1,3,3,9;2,4,4,8;4,6,6,9【解析】【分析】由，且个小球中任选两个不同的小球，将其上的数字相加，可得4种不同的结果；将其上的数字相乘，可得3种不同的结果，则必有两个数字相等，分析可得个小球上的不同的数字恰好有3个，在逐一分析可得满足条件的所有组，，，.【详解】由，且个小球中任选两个不同的小球，将其上的数字相加，可得4种不同的结果；将其上的数字相乘，可得3种不同的结果，则必有两个数字相等，分析可得个小球上的不同的数字恰好有3个，若两个相等的数为1，如1，1,2，4，则四个小球中任选两个不同的小球，将其上的数字相加，可得3种不同的结果，不符合题意，若若两个相等的数为2，则符合题意的为1,2,2,4;推理可得1,3,3,9;2,4,4,8;4,6,6,9符合题意.即答案.3.1,2,2,4;1,3,3,9;2,4,4,8;4,6,6,9【点睛】本题考查归纳推理，属难题.三、解答题设是各项均为正数的等比数列，且，.求的通项公式；若，求.【答案】，.【解析】【分析】设为首项为，公比为，则依题意，解得，，即可得到的通项公式；因为，利用分组求和法即可得到.【详解】设为首项为，公比为，则依题意，解得，，所以的通项公式为，.因为，所以【点睛】本题考查等比数列的基本量计算，以及分组求和法属基础题.已知函数.求的最小正周期及单调递增区间；.若对任意，恒成立，求的最小值【答案】最小正周期为,单调递增区间为，.的最小值为2【解析】【分析】根据二倍角公式及辅助角公式求得f的解析式，根据正弦函数的性质即可求得f的最小正周期及其单调递增区间； II）由.可得.由此可求的最小值.【详解】由已知可得所以最小正周期为.令，.所以，所以，即单调递增区间为，.因为.所以，则，所以，当，即时，.因为恒成立，所以，所以的最小值为2【点睛】本题考查三角恒等变换，正弦函数的单调性及最值，考查转化思想，属于中档题．在中，角，，的对边分别为，，，，，.求；求的面积.【答案】证明见解析【解析】【分析】利用同角三角函数基本关系式求得.，利用正弦定理可求；；在中，由知为钝角，所以.利用，可求求的面积.【详解】证明：因为，即，又，为钝角，所以.由，即，解得.在中，由知为钝角，所以.所以所以【点睛】此题考查了正弦、余弦定理，三角形面积公式，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握定理是解本题的关键．已知函数当时，求在区间上的最大值和最小值；求证：“”的“函数有唯一零点”的充分而不必要条件.【答案】；.“”是“有唯一零点”的充分不必要条【解析】【分析】先求导，再由导函数为0，求出极值，列表解得即可；根据分类讨论，分别利用导数和函数的零点的关系以及充分不必要条件的定义即可证明．【详解】，当时，，当在内变化时，，的变化如下表：-1012+0-0+-4↗极大值1↘极小值0↗5当时，；.若，.当变化时，，的变化如下表：+0-0+↗极大值↘极小值↗因为，所以.即.且，所以有唯一零点.所以“”是“有唯一零点”的充分条件.又时，当变化时，，的变化如下表：-0+0-↘极小值↗极大值↘又，，.所以此时也有唯一零点.从而“”是“有唯一零点”的充分不必要条【点睛】本题考查了导数和函数的极值和零点的关系，考查了学生的运算能力和转化能力，属于难题．已知函数.求曲线在点处的切线方程；试判断函数的单调性并证明；若函数在处取得极大值，记函数的极小值为，试求的最大值.【答案】.函数在和上单调递增，在上单调递减.函数的最大值为.【解析】【分析】函数的定义域为，且.易知，，代入点斜式即可得到曲线在点处的切线方程；令，得，，分类讨论可得函数的单调性，由可知，要使是函数的极大值点，需满足.此时，函数的极小值为.，利用导数可求的最大值.【详解】函数的定义域为，.且易知，所以曲线在点处的切线方程为.即.令，得，①当时，.当变化时，，变化情况如下表：+0-0+↗极大值↘极小值↗所以函数在和上单调递增，在上单调递减.②当时，恒成立.所以函数在上单调递增.③当时，.当变化时，，变化情况如下表：+0-0+↗极大值↘极小值↗所以函数在和上单调递增，在上单调递减.由可知，要使是函数的极大值点，需满足.此时，函数的极小值为.所以.令得.当变化时，，变化情况如下表：+0-↗极大值↘所以函数的最大值为.【点睛】本题考查函数的导数的应用，函数的单调性以及切线方程的求法，考查转化思想以及计算能力．0.设，为正整数，一个正整数数列，，…，满足，对，定义集合，数列，，…，中的是集合中元素的个数.若数列，，…，为5,3,3,2,1,1，写出数列，，…，；若，，，，…，为公比为的等比数列，求；对，定义集合，令是集合中元素的个数.求证：对，均有.【答案】数列，，…，是6,4,3,1,1.【解析】【分析】根据数列，，…，数列，，…，是6,4,3,1,1.由题知，由于数列，，…，是项的等比数列，因此数列，，…，为，，…，2，利用反证法证明；对，表示，，…，中大于等于的个数，首先证明.再证对，即可.【详解】解：数列，，…，是6,4,3,1,1.由题知，由于数列，，…，是项的等比数列，因此数列，，…，为，，…，2下面证明假设数列中有个，个，…，个2，个1，显然.所以由题意可得，，…，，…，.所以故即对，表示，，…，中大于等于的个数由已知得，，…，一共有项，每一项都大于等于1，故，由于故由于，故当时，即.接下来证明对，则，即1,2，…，，从而故，从而1,2，…，，故，从而，故有设，即，根据集合的定义，有.由知，1,2，…，，由的定义可得，而由，故因此，对，【点睛】本题考查新定义数列的理解与求法，考查不等式的证明，是中档题，解题时要认真审题，注意反证法的合理运用．属难题.。
北京市朝阳区2019学年度高三年级第一学期期中统一考试数学试卷(理科)
北京市朝阳区2019学年度高三年级第一学期期中统一考试 数学试卷（理科） 2019.11 1．设集合2{|20}P x x x ≤，0.53m ，则下列关系中正确的是 （A ）m P （B ）P m ∉ （C ）P m ∈ （D ）m P2．命题“存在0x R ∈，使得02x ≤0”的否定是.（A ）不存在0x R ∈，使得02x 0> （B ）存在0x R ∈，使得02x ≥0（C ）对任意的x R ∈，有2x ≤0 （D ）对任意的x R ∈，有2x 0>3．已知函数2 (0),() (0).x x f x x x ≥ 则[(1)]f f =（A ）1 （B ）1- （C ）3- （D ）54．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若4518a a =-，则8S =（A ）54 （B ）68 （C ）72 （D ）905．已知非零向量a ，b ，则“a b ”是“+=0a b ”的（A ）充分不必要条件 （B ）必要不充分条件（C ）充分必要条件 （D ）既不充分也不必要条件 6．若关于x 的方程||220x x a 有两个不等的实数解，则a 的取值范围是 （A ）(,1) （B ）1(,)2 （C ）1[,)2 （D ）(1,) 7．已知(2cos , 2sin )a，(, )2，(0,1)b ，则向量a 与b 的夹角为 （A ）θπ-23 （B ）θπ+2 （C ）2πθ- （D ）θ8.若函数2(12)()2()a x f x x a -=+的图象如图所示，则a 的取值范围是 (A) （1，+∞） (B) （0，1） (C) （0，12） (D) 1(, )2二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.把答案填在题中横线上.9．已知1sin2，则cos(π2)= .10．由直线x y =与曲线2x y =所围图形的面积=S ． 11．函数x x f ln )(=的图象在点(,())e f e 处的切线方程是 .12.已知O 是ABC ∆内部一点，OA OB OC 0，2AB AC ，且60BAC ，则||||AB AC ； OBC ∆的面积为 .13．已知某程序框图如图所示，则执行该程序后输出的结果是 ．开始 a =2，i =1 i ≥2010?1输出a是否 xy 1 -1 O14．一个计算装置有两个数据输入端口I ，Ⅱ与一个运算结果输出端口Ⅲ，当Ⅰ，Ⅱ分别输入正整数, m n 时，输出结果记为(, )f m n ，且计算装置运算原理如下：①若Ⅰ，Ⅱ分别输入1，则(1,1)1f ；②若Ⅰ输入固定的正整数m ，Ⅱ输入的正整数增大1，则输出的结果比原来增大3；③若Ⅱ输入固定的正整数n ，Ⅰ输入正整数增大1，则输出结果为原来的3倍.则(, 1)f m = ，若由(, 1)f m 得出(, )f m n ，则满足(, )30f m n 的平面上的点(, )m n 的个数是 .三、解答题：本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.15．（本小题满分13分）在ABC ∆中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，满足sin2A =，且5=bc ． （Ⅰ）求cos 2A 的值和ABC ∆的面积；（Ⅱ）若2226b c ，求a 的值．16．（本小题满分13分）已知各项均为正数的等比数列{}n a 中，124a a +=，39a =.（Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；（Ⅱ）设数列{}n b 满足9log n n b a =， 求数列{}n b 的前n 项和n S .17．（本小题满分13分）设函数3()f x ax bx c =++(0)a ≠是定义在R 上的奇函数，其图象在点(1,(1))f 处的切线方程是640x y ++=. （Ⅰ）求a ，b ，c 的值；（Ⅱ）求函数()f x 的单调递增区间，并求函数()f x 在[1,3]-上的最大值和最小值.18．（本小题满分13分） 已知函数.cos sin )32cos()(22x x x x f -+-=π（I ）求出)(x f 的最小正周期及函数()f x 图象的对称中心；（II ）设()()g x f x ϕ=+，若函数()g x 为偶函数，求满足条件的最小正数ϕ的值.19．（本小题满分14分）已知函数bx ax x f +=2)(（b a ,为常数，且0≠a ）满足条件(1)(1)f x f x -=+，且函数()()g x f x x 只有一个零点．（Ⅰ）求函数)(x f 的解析式；（Ⅱ）求实数, m n （n m <），使得)(x f 的定义域为[, ]m n 时，()f x 的取值范围是[3, 3]m n .20．（本小题满分14分）已知函数()ln f x x ，21()2g x ax bx （0a ）.（I ）若2a 时，函数()()()h x f x g x 在其定义域上是增函数，求实数b 的取值范围；（II ）在（I ）的结论下，设函数2()e e x x x b ，[0,ln 2]x ，求函数()x 的最小值（用含b 的式子表示最小值）；（III ）设函数)(x f 的图象1C 与函数)(x g 的图象2C 交于点P ，Q ，过线段PQ 的中点R 作x 轴的垂线分别交1C ，2C 于点M ，N ，问是否存在点R ，使1C 在M 处的切线与2C 在N 处的切线平行？若存在，求出R 的横坐标；若不存在，请说明理由.。
2019北京朝阳高三(上)期中数学 (1)
2019北京朝阳高三（上）期中数学2019.11(考试时间120分钟满分150分)本试卷分为选择越(共40分)和非选择题(共110分)两部分考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效，考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.第一部分(选择题共40分)选择题共10小题，每小题4分，共40分。
在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项1.已知集合A={x∈Z|x2<2}，B={−1,2}，则A∪B=A. {-1}B. {-1,2}C. {-1,0,1,2}D. {-2，-1,0,1,2}2.已知α∈(π2,π)，且sinα=35则tanα=A. 34B. 43C. −34D. −433.下列函数中，既是奇函数又在区间（0,1）上单调递增的是A. y=−x3B. y=sin(−x)C. y=log2|x|D. y=2x−2−x(4)关于函数f(x)=sinx+cos有下述三个结论:①函数f(x)的最小正周期为2π;②函数f(x)的最大值为2;③函数f(x)在区间(π2,π)上单调递减.其中，所有正确结论的序号是A. ①②B. ①③C. ②③D. ①②③5.已知α，β是两个不同的平面，直线m⊂α，下列命题中正确的是A. 若α⊥β，则m∥βB. 若α⊥β，则m⊥βC. 若m∥β，则α∥βD. 若m⊥β，则α⊥β6.已知函数f(x)=|x−2|−kx+1恰有两个零点，则实数k的取值范围是A. (0,12) B. (12,1) C. （1,2） D. （2，+∞）7.已知{a n}（n∈N∗）为等比数列，则“a1>a2”是“{a n}为递减数列”的A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件8.设F1，F2为椭圆C：x29+y25=1的两个焦点，M为C上一点且在第二现象.若△MF1F2位等腰三角形，则点M的横坐标为A. 32B. √152C. −√152D.−329. 在∆ABC 中，∠BAC=90°，BC=2，点P 在BC 边上，且AP⃗⃗⃗⃗⃗ ·(AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AC ⃗⃗⃗⃗⃗ )=1，则|AP ⃗⃗⃗⃗⃗ |的取值范围是 A. (12,1] B. [12,1] C. (√22，1] D.[√22，1] 10.已知集合A ，B 满足：（i ）A ∪B=Q ，A ∩B=φ；（ii ）∀x 1∈A ，若x 2∈Q 且x 2<x 1,则x 2∈A ； （iii ）∀y 1∈A ，若y 2∈Q 且y 2>y 1,则y 2∈B给出以下命题:①若集合A 中没有最大数，则集合B 中有最小数;②若集合A 中没有最大数，则集合B 中可能没有最小数;③若集合A 中有最大数，则集合B 中没有最小数;④若集合A 中有最大数，则集合B 中可能有最小数.其中，所有正确结论的序号是A. ①③B. ②③C. ③④D. ①④第二部分(非选择题共110分)二、填空题共6小题，每小题5分，共30分。
2019-2020学年北京市朝阳区高三(上)期中数学试卷1 (含答案解析)
2019-2020学年北京市朝阳区高三（上）期中数学试卷1一、选择题（本大题共8小题，共40.0分）1.已知集合A={x|4−x>0}，B={x|x>1}，则A∩B=()A. φB. (1,4)C. (1,+∞)D. (4,+∞)2.已知函数f(x)=sinx−x，则下列错误的是()A. f(x)为奇函数B. f(x)在R上单调递减C. f(x)在R上无极值点D. f(x)在R上有三个零点3.已知向量a⃗=(2,−1)，a⃗+b⃗ =(5,k)，且a⃗⊥b⃗ ，则k=()A. 5B. −5C. 52D. −524.执行如图所示的程序图，输出的S值为()A. −1B. 12C. 1D. 25.已知向量a⃗=(−2,m)，b⃗ =(1,m2)，m∈R，则“a⃗⊥b⃗ ”是“m=2”的()A. 充要条件B. 必要不充分条件C. 充分不必要条件D. 既不充分也不必要条件6.设α、β、γ为平面，m、n、l为直线，则能推出m⊥β的是()A. α⊥β，α∩β=l，m⊥lB. α∩γ=m，α⊥γ，β⊥γC. α⊥γ，β⊥γ，m⊥αD. n⊥α，n⊥β，m⊥α7.某三棱锥的三视图如图所示，则其体积为()A. 4B. 8C. 43D. 838.已知函数y=f(x)的周期为2，当x∈[0,2]时，f(x)=(x−1)2,如果g(x)=f(x)−log5|x+1|，则函数g(x)的所有零点之和为()A. −10B. −8C. 0D. 8二、填空题（本大题共6小题，共30.0分）9.已知sinα=35，且α∈(π2,π)，则cosα=______ ．10.已知等差数列{a n}的公差为3，且a2=−2，则a6=______．11.已知{2x+3y≤6x−y≥0y≥0则z=3x+y的最大值为______ ．12.一天晚上，甲、乙、丙、丁四人要过一座吊桥，这座吊桥只能承受两个人的重量，且过桥需要手电筒照明，其中甲过桥要1min，乙过桥要2min，丙过桥要5min，丁过桥要8min，而且只有一个手电筒，所以过去的人要把手电筒再送过去，则最快过桥需要____________min．13.如图，某港口一天6时到18时的水深变化曲线近似满足函数y=3sin(π6x+φ)+k的图象，据此函数可知，这段时间水深(单位：m)的最大值为__________．14.已知函数f(x)={3|x−1|x>0−x2−2x+1x≤0，若关于x的方程f2(x)+(a−1)f(x)=a有7个不等的实数根，则实数a的取值范围是______ ．三、解答题（本大题共6小题，共80.0分）15.已知函数f(x)=2√3sinωxcosωx−2sin2ωx(其中ω>0)图象的两条相邻对称轴之间的距离为π2．(1)求ω的值及f(x)的单调减区间；(2)若f(x0)=15,x0∈[−π12,π4]，求f(x0+π6)的值．16.等比数列{a n}的各项均为正数，且a2=2,a4=12．(Ⅰ)求数列{a n}的通项公式；(Ⅱ)设b n=log2a n，求数列{b n}的前n项和T n．17.如图，在四棱锥P−ABCD中，侧棱PA⊥底面ABCD，底面ABCD为矩形，AD=2AB=2PA=2，E为PD的上一点，且PE=2ED．(Ⅰ)若F为PE的中点，求证：BF//平面AEC；(Ⅱ)求三棱锥P−AEC的体积．18.在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知sin(A+B)a+b =sinA−sinBa−c，b=3．(Ⅰ)求角B；(Ⅱ)若cosA=√63，求△ABC的面积．19.设f(x)=e x(ax2+x+1)，且曲线y=f(x)在x=1处的切线与x轴平行．(Ⅰ)求a的值，并求f(x)的极值；(Ⅱ)k(k∈R)如何取值时，函数y=f(x)+kx2e x存在零点，并求出零点．20.已知二次函数ℎ(x)=ax2+bx+2，其导函数y=ℎ′(x)的图象如图，f(x)=6lnx+ℎ(x)．(1)求函数f(x)的解析式；(2)若函数f(x)在区间(1,m+12)上是单调函数，求实数m的取值范围．-------- 答案与解析 --------1.答案：B解析：解：∵A={x|x<4}；∴A∩B={x|1<x<4}=(1,4)．故选：B．可解出集合A，然后进行交集的运算即可．考查描述法的定义，以及交集的运算．2.答案：D解析：解：∵f(x)=sinx−x，∴f(−x)=sin(−x)+x=−sinx+x=−(sinx−x)，故f(x)为奇函数，即A正确；又∵f′(x)=cosx−1≤0恒成立，故f(x)在R上单调递减，即B正确；故f(x)在R上无极值点，即C正确；故f(x)在R上有且只有一个零点，即D错误；故选：D由已知中函数的解析式，分析出函数的奇偶性，单调性，是否存在极值及零点个数，可得答案．本题考查的知识点是函数的奇偶性，单调性，是否存在极值及零点个数，是函数图象和性质的综合应用，难度不大，属于基础题．3.答案：A解析：解：b⃗ =a⃗+b⃗ −a⃗=(3,k+1)；∵a⃗⊥b⃗ ；∴a⃗⋅b⃗ =2⋅3+(−1)⋅(k+1)=0；解得k=5．故选：A．根据a⃗,a⃗+b⃗ 的坐标即可求出b⃗ =(3,k+1)，而由a⃗⊥b⃗ 即可得出a⃗⋅b⃗ =0，这样进行数量积的坐标运算即可求出k的值．考查向量坐标的减法和数量积运算，向量垂直的充要条件．4.答案：A解析：【分析】本题考查的知识要点：程序框图的应用，属于基础题．直接利用程序框图得循环结构求出结果．【解答】解：在执行循环前：k=1，S=2，在执行第一次循环时：由于k<9，，所以：k=2，S=12在执行第二次循环时，k=3，S=−1，在执行第三次循环时，k=4，S=2，，在执行第四次循环时，k=5，S=12在执行第五次循环时，k=6，S=−1，在执行第六次循环时，k=7，S=2，在执行第七次循环时，k=8，S=1，2当k=9时，S=−1，不满足k<9，直接输出S=−1．故选：A．5.答案：B解析：【分析】本题考查了向量的坐标运算，考查充分必要条件的定义，是基础题．由向量垂直的坐标表示求得m值，再根据充分必要条件的定义判断即可．【解答】)，m∈R，a⃗⊥b⃗ ，解：∵向量a⃗=(−2,m)，b⃗ =(1,m2=0，解得m=±2．∴a⃗⋅b⃗ =0，即−2+m22∴“a⃗⊥b⃗ ”是“m=2”的必要不充分条件．故选：B．6.答案：D解析：【分析】本题主要考查空间线面关系、面面关系等知识，考查空间想象能力、推理论证能力，属于基础题．逐一进行判断即可．【解答】解：对于A，α⊥β，α∩β=l，m⊥l，根据面面垂直的性质定理可知，缺少条件m⊂α，故不正确；对于B，α∩γ=m，α⊥γ，β⊥γ，而α与β可能平行，也可能相交，则m与β不一定垂直，故不正确；对于C，α⊥γ，β⊥γ，m⊥α，而α与β可能平行，也可能相交，则m与β不一定垂直，故不正确；对于D，n⊥α，n⊥β⇒α//β，而m⊥α，则m⊥β，故正确．故选D．7.答案：C解析：【分析】本题主要考查了棱锥的体积，空间几何体的三视图，属于基础题．【解答】解：由已知中的三视图，可得该几何体是一个三棱锥，如图所示，则体积为13×12×22×2=43．故选C．8.答案：B解析：【分析】本题考查了函数的周期性和函数零点与方程根的关系，根据函数f(x)的周期性可画出函数f(x)的图象，在同一坐标系中再画出函数y=log5|x+1|的图象，根据两函数图象的交点情况可以判断出零点的个数．【解答】解：由题意可得g(x)=f(x)−log 5|x +1|，根据周期性画出函数f(x)=(x −1)2的图象以及y =log 5|x +1|的图象，根据y =log 5|x +1|在(−1,+∞)上单调递增函数，当x =6时，log 5|x +1|=1，∴当x >6时，y =log 5|x +1|>1，此时与函数，y =f(x)无交点．再根据y =log 5|x +1|的图象和f(x)的图象都关于直线x =−1对称，结合图象可知有8个交点，则函数g(x)=f(x)−log 5|x +1|的零点个数为− 8，故选B ．9.答案：−45 解析：解：∵sinα=35，且α∈(π2,π)，∴cosα=−√1−sin 2α=−45． 故答案为：−45．本题考查同角三角函数基本关系的运用，利用同角三角函数的平方关系，即可得出结论． 10.答案：10解析：解：在等差数列{a n }中，∵公差为3，且a 2=−2，∴a 1+d =−2，即a 1=−5．则a 6=a 1+5d =−5+5×3=10．故答案为：10．由已知条件求解得到a 1的值，然后利用等差数列的通项公式化简代值即可得答案．本题考查了等差数列的通项公式，是基础题．11.答案：9解析：解：作出不等式组{2x +3y ≤6x −y ≥0y ≥0表示的平面区域得到如图的△AB0及其内部，其中A(3,0)，B(65,65)，O(0,0)设z =F(x,y)=3x +y ，将直线l ：z =3x +y 进行平移，当l 经过点A 时，目标函数z 达到最大值∴z 最大值=F(3,0)=3×3+0=9故答案为：9作出题中不等式组表示的平面区域，得如图的△ABO及其内部，再将目标函数z=3x+y对应的直线进行平移，可得当x=3，y=0时，z=3x+y取得最大值为9．本题给出二元一次不等式组，求目标函数z=3x+y的最大值，着重考查了二元一次不等式组表示的平面区域和简单的线性规划等知识，属于基础题．12.答案：15解析：【分析】此题主要考查了应用类问题，结合实际发现用时最少的两人先过桥往返送灯会节省时间是解题关键，关键是此题的条件中必须有一人来回送手电筒，回来的时间越短，则总时间就越短．【解答】解：根据要求出四个人过桥最少时间，即可得出应首先让用时最少的两人先过桥，让他们往返送灯会节省时间，故：(1)1分钟的甲和2分钟的乙先过桥(此时耗时2分钟)．(2)1分钟的甲回来，(此时共耗时2+1=3分钟)．(3)5分钟的丙和8分钟的丁过桥(共耗时2+1+8=11分钟)．(4)2分钟的乙回来(共耗时2+1+8+2=13分钟)．(5)1分钟的甲和2分钟的乙过桥(共耗时2+1+8+2+2=15分钟).此时全部过桥，共耗时15分钟．故答案为15．13.答案：8解析：【分析】本题考查三角函数的图象和性质，涉及三角函数的最值，属基础题．由题意和最小值易得k的值，进而可得最大值．【解答】x+φ)取最小值−1时，解：由题意可得当sin(π6函数取最小值y min=−3+k=2，解得k=5，x+φ)+5，∴y=3sin(π6x+φ)取最大值3时，∴当3sin(π6函数取最大值y max=3+5=8，故答案为8．14.答案：(−2,−1)解析：解：函数f(x)={3|x−1|x >0−x 2−2x +1x ≤0，的图象如图： 关于x 的方程f 2(x)+(a −1)f(x)=a ，即f(x)=−a 或f(x)=1f(x)=1时有3个不等的实数根，f(x)=−a 时，有4个不等的实数根，由函数f(x)图象，可得−a ∈(1,2)，∴a ∈(−2,−1)．故答案为(−2,−1)．画出函数的图象，f(x)=1时有3个不等的实数根，f(x)=−a 时，有4个不等的实数根，利用函数的图象，求解a 的范围．本题考查函数与方程的应用，函数的零点个数的判断与应用，考查数形结合以及计算能力． 15.答案：解：(1)函数f(x)=2√3sinωxcosωx −2sin 2ωx ， =√3sin2ωx −(1−cos2ωx)， =2sin(2ωx +π6)−1，(ω>0)由于函数的图象的两条相邻对称轴之间的距离为π2．故，解得ω=1，所以f(x)=2sin(2x +π6)−1．令π2+2kπ≤2x +π6≤2kπ+3π2(k ∈Z)， 解得：π6+kπ≤x ≤kπ+2π3，(k ∈Z)， 所以f(x)的单调减区间为[π6+kπ,kπ+2π3](k ∈Z)．(2)由于f(x 0)=15,x 0∈[−π12,π4]， 所以：f(x 0)=2sin(2x 0+π6)−1=15，解得：sin(2x 0+π6)=35，由于x 0∈[−π12,π4]，所以：2x 0+π6∈[0,2π3]， 则：cos(2x 0+π6)=45，则：cos2x 0=cos[(2x 0+π6)−π6]=cos(2x 0+π6)cos π6+sin(2x 0+π6)sin π6 =4√3+310 所以f(x 0+π6)=2sin(2x 0+π2)−1=2cos2x 0−1=4√3−25．解析：本题考查的知识要点：两角和与差的三角函数公式，二倍角公式，函数y =Asin(ωx +φ)性质的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力，属于中档题．(1)首先利用三角函数关系式的恒等变换，把函数的关系式变形成正弦型函数，根据周期求得ω，得到函数解析式，进一步求出函数的单调区间．(2)利用(1)的函数解析式将f(x 0)=15化简整理，根据cos2x 0=cos[(2x 0+π6)−π6]展开求值，最后代入f(x 0+π6)即可求出结果．16.答案：解：(Ⅰ)设数列a n 的公比为q ，则{a 2=a 1q =2a 4=a 1q 3=12 解得q =12,a 1=4(负值舍去)．所以a n =a 1q n−1=4⋅(12)n−1=2−n+3．(Ⅱ)因为a n =2−n+3，b n =log 2a n ，所以b n =log 22−n+3=−n +3，b n −b n−1=(−n +3)−[−(n −1)+3]=−1，因此数列{b n }是首项为2，公差为−1的等差数列，所以T n =n(2+3−n)2=−n 2+5n 2．解析：(Ⅰ)由a 2=2,a 4=12，利用等比数列的通项公式得{a 2=a 1q =2a 4=a 1q 3=12，解得q =12,a 1=4，由此能求出数列{a n }的通项公式．(Ⅱ)因为a n =2−n+3，b n =log 2a n ，所以b n =log 22−n+3=−n +3，由此能求出数列{b n }的前n 项和T n ．本小题主要考查等差数列、等比数列等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想．17.答案：(Ⅰ)证明：连接BD 交AC 于O ，连接OE ，∵E 为PD 的上一点，且PE =2ED ，F 为PE 的中点∴E 为DF 中点，OE//BF又∵BF ⊄平面AEC ，∴BF//平面AEC(Ⅱ)解：∵侧棱PA ⊥底面ABCD ，CD ⊂底面ABCD∴PA⊥CD，∵CD⊥AD，AD∩PA=A，∴CD⊥平面PAD，又AD=2AB=2PA=2，∴三棱锥P−AEC的体积为V P−AEC=V C−AEP=13CD⋅S△PAE=13CD⋅23S△PAD=29×1×12×1×2=29解析：本题考查线面平行，考查三棱锥的体积，解题的关键是掌握线面平行的判定，正确运用转换底面法求体积．(Ⅰ)利用三角形中位线的性质，OE//BF，再利用线面平行的判定定理，即可证得BF//平面AEC；(Ⅱ)证明CD⊥平面PAD，从而三棱锥P−AEC的体积转化为求三棱锥C−AEP的体积，即三棱锥C−PAD的体积的23．18.答案：解：(Ⅰ)因为A+B+C=π，所以A+B=π−C，所以sin(A+B)=sinC，由正弦定理得：ca+b =a−ba−c，整理得a2+c2−b2=ac，由余弦定理得：cosB=a2+c2−b22ac =ac2ac=12.又B∈(0,π)，所以B=π3．(Ⅱ)因为cosA=√63，且A∈(0,π)，所以sinA=√1−cos2A=√33，由正弦定理可得：√33=√32，解得a=2.又sinC=sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinB=√33×12+√63×√32=√3+3√26.所以△ABC的面积S=12 absinC=12×2×3×√3+3√26=√3+3√22．解析：本题主要考查了诱导公式，正弦定理，余弦定理，同角三角函数基本关系式，两角和的正弦函数公式，三角形面积公式在解三角形中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题．(Ⅰ)由三角形内角和定理和诱导公式，正弦定理化简已知等式得a2+c2−b2=ac，由余弦定理求出cos B的值，结合范围B∈(0,π)，可求B的值；(Ⅱ)利用同角三角函数基本关系式可求sin A，由正弦定理可得a的值，利用两角和的正弦函数公式可求sin C的值，进而利用三角形面积公式即可计算得解．19.答案：解：(Ⅰ)f′(x)=e x(ax2+x+1+2ax+1)…(2分)由已知条件知，f′(1)=0，故a+3+2a=0⇒a=−1…(3分)于是f′(x)=e x(−x2−x+2)=−e x(x+2)(x+1)…(4分)故当x∈(−∞,−2)∪(1,+∞)时，f′(x)<0；当x∈(−2,1)时，f′(x)>0．从而f(x)在x=−2处取得极小值−5e−2，在x=1处取得极大值e…(8分)(Ⅱ)由y=f(x)+kx2e x=e x[(k−1)x2+x+1]=0，得(k−1)x2+x+1=0(∗)…(10分)当k=1时，方程(∗)有一解x=−1，函数y=f(x)+kx2e x有一零点x=−1；…(11分)当k≠1时，方程(∗)有二解⇔△=−4k+5>0⇔k<54，函数y=f(x)+kx2e x有两个零点x=−1±√−4k+52(k−1)；方程(∗)有一解⇔△=0⇔k=54，函数y=f(x)+kx2e x有一个零点x=−2…(13分)综上，当k=1时，函数有一零点x=−1；当k=54时，函数有一零点x=−2；当k<54且k≠1时，函数y=f(x)+kx2e x有两个零点x=−1±√−4k+52(k−1)…(14分)解析：(Ⅰ)求导函数，利用曲线y=f(x)在x=1处的切线与x轴平行，即可求a的值，确定函数的单调性，可求f(x)的极值；(Ⅱ)由y=f(x)+kx2e x=e x[(k−1)x2+x+1]=0，得(k−1)x2+x+1=0，分类讨论，即可得出结论．本题考查导数知识的综合运用，考查导数的几何意义，考查函数的单调性，考查函数的零点，考查分类讨论的数学思想，正确分类是关键．20.答案：解：(1)由已知，ℎ′(x)=2ax+b，其图象为直线，且过(0,−8)，(4,0)两点，把两点坐标代入ℎ′(x)=2ax+b，∴{2a=2b=−8，解得：{a=1b=−8，∴ℎ(x)=x2−8x+2，ℎ′(x)=2x−8，∴f(x)=6lnx+x2−8x+2，(2)f′(x)=6x +2x−8=2(x−1)(x−3)x，∵x>0，∴x，f′(x)，f(x)的变化如下：要使函数f(x)在区间(1,m+12)上是单调函数，则{m+12≤31<m+12，解得：12<m≤52．解析：本题考查了求函数的解析式问题，考查导数的应用，考查函数的单调性问题，是一道中档题．(1)先求出f(x)的导数，通过待定系数法求出a，b的值，从而求出f(x)的解析式；(2)求出f(x)的导数，得到函数的单调区间，集合函数的单调性求出m的范围即可．。
2019北京朝阳高三(上)期中数学参考答案
2019北京朝阳高三（上）期中数学参考答案第一部分（选择题共40分）一、选择题（共10小题，每小题4分，共40分。
在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项）（1）C （2）C （3）D （4）B （5）D （6）B （7）B （8）D （9）A （10）B第二部分（非选择题共110分）二、填空题（共6小题，每小题5分，共30分）（11）3-（12）1613）（14）若a b >，0b >，则11a b<．（答案不唯一） （15）12；(,0]-∞（16）12；4011 三、解答题（共6小题，共80分。
解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程） （17）（本小题13分）解：（Ⅰ）因为60APC ∠=，所以120APB ∠=.在ABP △中，120APB ∠=，2=BP ， 由余弦定理2222cos AB AP BP AP BP APB =+-⋅∠，得22240AP AP +-=.所以4AP =. ………6分（Ⅱ）在△APC 中，4AP =，1PC =，60APC ∠=，由余弦定理2222cos AC AP PC AP PC APC =+-⋅∠，得AC = 由正弦定理sin sin AP ACACP APC=∠∠，得4sin ACP =∠ 所以sin 13ACP ∠=．………13分 （18）（本小题13分）解：（Ⅰ）设{}n a 的公比为q ，因为13216,2332a a a +==，所以22203q q -=+．AB =解得2q =-（舍去）或12q =． 因此{}n a 的通项公式为15116()22n n n a --=⨯=．………6分（Ⅱ）由（Ⅰ）得23(5)log 2153n b n n =-=-，当2≥n 时，13n n b b --=-，故{}n b 是首项为112b =，公差为3-的单调递减等差数列. 则21312(1)(3)(9)22n S n n n n n =+--=--. 又50b =，所以数列{}n b 的前4项为正数，所以当4n =或5时，n S 取得最大值，且最大值为4530S S ==．……………13分（19）（本小题14分）解：（Ⅰ）如图，取PA 中点F ，连结,EF BF .因为E 为PD 中点，4AD =， 所以//EF AD ，122EF AD ==. 又因为//BC AD ，2BC =， 所以//EF BC ，=EF BC ， 所以四边形EFBC 为平行四边形. 所以//CE BF .又因为CE ⊄平面PAB ,BF ⊂平面PAB ， 所以//CE 平面PAB .………4分（Ⅱ）取AD 中点O ，连结OP ，OB .因为△PAD 为等边三角形，所以PO OD ⊥.又因为平面PAD ⊥平面ABCD ，平面PAD 平面ABCD所以PO ⊥平面ABCD . 因为//OD BC ，2OD BC ==， 所以四边形BCDO 为平行四边形. 因为CD AD ⊥，所以OB OD ⊥. 如图建立空间直角坐标系O xyz -，则(0,2,0),(2,0,0),(2,2,0),A B C E P -. 所以(2,4,0),AC AE ==.F PABDECy设平面ACE 的一个法向量为1(,,)x y z =n ，则110,0,AC AE ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩n n即240,30.x y y +=⎧⎪⎨+=⎪⎩ 令2x =-，则1(2,1,=-n .显然，平面ACD 的一个法向量为2(0,0,1)=n ，所以121212cos ,⋅<>===n n n n n n . 由题知，二面角E AC D --为锐角， 所以二面角E AC D --的余弦值为4.………10分 （Ⅲ）直线AB 上存在点Q ，使得//PQ 平面ACE .理由如下：设AQ AB λ=.因为(2,2,0)AB =，(0,2,PA =--，所以(2,2,0)AQ AB λλλ==，(2,22,PQ PA AQ λλ=+=--． 因为PQ ⊄平面ACE ，所以//PQ 平面ACE 当且仅当10PQ ⋅=n .即(2,22,(2,1,0λλ--⋅-=，解得2λ=. 所以直线AB 上存在点Q ，使得//PQ 平面ACE ，此时2AQAB=．…………14分 （20）（本小题13分）解：（Ⅰ）因为椭圆:C 22221(0)x y a b a b+=>>过点2P，(Q ，所以22111,2a a b⎧=⎪⎨+=⎪⎩得1,a b ⎧=⎪⎨=⎪⎩ 故椭圆C 的标准方程为2212x y +=．………4分 （Ⅱ）由题易知直线l 的斜率不为0，设l ：1x ty =+，由221,1,2x ty x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩得22(2)210t y ty ++-=，显然0∆>. 设1122(,),(,)A x y B x y ， 则12122221,22t y y y y t t --+==++.又12AB y y =-. 以FP为直径的圆的圆心坐标为(1,4，半径为r =， 故圆心到直线l的距离为d ==.所以FE ===所以12AB FE y y ⋅=-===== 因为211≥t +，所以221(1)21≥t t +++，即221114(1)21≤t t ++++．所以1≤AB FE ⋅=．当0t =时，直线与椭圆有交点，满足题意，且1AB FE ⋅=，所以AB FE ⋅的最大值为1．…………13分（21）（本小题14分）解：函数()f x 的定义域为)0(∞+，，2ln 1()()ax x f x x a -++'=+． （Ⅰ）因为(1)0f =，1(1)1f a '=+， 所以曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程为10(1)1y x a -=-+， 即(1)10x a y -+-=．………4分（Ⅱ）当1=a 时，ln ()1xf x x =+．欲证1()2≤x f x -， 即证ln 112≤x x x -+， 即证22ln 10≤x x -+． 令2()2ln 1h x x x =-+， 则22(1)(1)()2x x h x x x x--+'=-=． 当x 变化时，(),()h x h x '变化情况如下表：所以函数h ≤所以1()2≤x f x -．………9分 （Ⅲ）函数)(x f 在定义域内不是单调函数．理由如下：令()ln 1ag x x x=-++， 因为221()0a x ag x x x x+'=--=-<， 所以)(x g 在(0,)+∞上单调递减． 注意到(1)+10g a =>． 且11111(e)ln e 1(1)0eea a a a a g a ++++=-++=-<．所以存在1(1,e )a m +∈，使得()0g m =．当(0,)x m ∈时，()0g x >，从而()0f x '>，所以函数()f x 在(0,)m 上单调递增； 当(,)x m ∈+∞时，()0g x <，从而()0f x '<，所以函数()f x 在(,)m +∞上单调递减． 故函数)(x f 在定义域内不是单调函数．………14分（22）（本小题13分）解：（Ⅰ）由211||||b c a =-，得1||12c -=，所以13c =±；由322||||c a b =-，得2||23a -=，所以25a =±，又2111||||||33≥a b c b =-=--，故25a =，1||8b =，18b =±．所以1b ，1c 的所有可能值为18b =，13c =； 18b =，13c =-； 18b =-，13c =；18b =-，13c =-．………3分（Ⅱ）若11a =，12b =，记1,c x =则2222||,||1,1a x b x c =-=-=-，22||,0||1,1,1||2,||1,||2,≤≤≥x x d x x x -<⎧⎪=<⎨⎪-⎩ 3|||1|1a x =--，31|2|||b x =--，3|2||||||1|c x x =---，当0||1≤x <时，333||,||1,1a x b x c =-=-=，31d =，由32d d =，得||1x =，不符合； 当1||2≤x <时，333||2,||1,32||a x b x c x =-=-=-，32||,1|| 1.5,||1,1.5||2,≤≤x x d x x -<⎧=⎨-<⎩由32d d =，得||1x =，符合；当||2≥x 时，333||2,3||,1a x b x c =-=-=-，31,2||3,||2,||3,≤≥x d x x <⎧=⎨-⎩由32d d =，得||2x =，符合；综上，1c 的所有取值是2,1,1,2--. ………8分 （Ⅲ）先证明“存在正整数3≥k ，使,,k k k a b c 中至少有一个为0”．假设对任意正整数3≥k ，,,k k k a b c 都不为0，由111,,a b c 是非零整数，且111||,||,||a b c 互不相等，得1d *∈N ，2d *∈N ． 若对任意3≥k ，,,k k k a b c 都不为0，则k d *∈N ， 即对任意1≥k ，k d *∈N ． 当1≥k 时，{}1||||||||max ||,||,≤k kk k k k a b c b c d +=-<11||||||,||||||k k k k k k k k b c a d c a b d ++=-<=-<，所以，{}1111max ||,||,||k k k k k d a b c d ++++=<．所以，{}k d 严格单调递减， 由2d 为有限正整数，所以，必存在正整数3≥m ，使得0≤m d ，矛盾． 所以，存在正整数3≥k ，使,,k k k a b c 中至少有一个为0． 不妨设0k a =，且10a ≠，20a ≠，，10k a -≠，则11||||k k b c --=，且111||||||k k k b c a ---=≠， 否则，若111||||||k k k b c a ---==，因为1110k k k a b c ---++=，则必有1110k k k a b c ---===，矛盾． 于是，1111||||0,||||0k k k k k k b c a c a b ----=-≠=-≠，且k k b c =-， 所以，10k a +=，11||,||||k k k k k b c c b c ++==-=-，依次递推，即有：对11,0,||,||≥n n k n k n k a b c c c ++∀===-，且||0k c ≠， 此时有且仅有一个数列{}n a 自第k 项起各项均为0．综上，结论成立．………13分。