一元一次方程式讲解

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北师大七年级上-第13讲-一元一次方程的认识和解法

北师大七年级上-第13讲-一元一次方程的认识和解法

一元一次方程的认识和解法一、重难点知识归纳及讲解1、有关方程的概念用等号“ =”来表示相等关系的式子,叫做等式.含有未知数的等式叫做方程.只含有一个未知数,并且未知数的指数是 1的方程,叫做一元一次方程.使方程左、右两边的值相等的未知数的值,叫做方程的解. 只含有一个未知数的方程的解,也叫做方程的根.求得方程的解的过程,叫做解方程.2、等式的基本性质性质 1:等式两边同时加上(或减去)同一个数或同一个代数式,所得结果仍是等式,即:若 a=b,则a+m=b+m,a-m=b-m.性质 2:等式两边同时乘以同一个数(或除以同一个不为0的数),所得结果仍是等式,即:若 a=b,则am=bm,.此外等式还有两条性质.性质 3:若a=b,则b=a(等式的对称性).性质 4:若a=b,b=c,则a=c(等式的传递性).3、移项法则方程中的任何一项都可以在改变符号后,从方程的一边移到另一边,这种变形叫做移项,这个法则叫做移项法则。

所移动的是方程中的项,并且是从方程的一边移到另一边,而不是在这方程的一边变换两项的位置。

移项时要变号,不变号不能移项。

4、解一元一次方程的一般步骤解一元一次方程的基本思路是通过对方程变形,把含有未知数的项移到方程的一边,把常数项移到方程的另一边,最终把方程转化到 x=a的形式。

解一元一次方程的一般步骤是:(1)去分母:根据等式基本性质2,在方程两边都乘以各分母的最小公倍数;(2)去括号:利用去括号法则、分配律,先去小括号,再去中括号,最后去大括号;(3)移项:根据等式基本性质1,利用移项法则,把含有未知数的项都移到方程的一边,其他项都移到方程的另一边;(4)合并同类项:利用合并同类项法则,把方程化成ax=b的形式;(a≠0).(5)系数化为1:根据等式基本性质2,在方程两边都除以未知数的系数a,得到方程的解x=ba 在解方程时,根据具体情况,有些步骤可能用不上,有些步骤可以前后顺序颠倒,有些步骤可以省略,有些步骤可以合并简化.5、方程的检验检验某数是不是原方程的解,应将该数分别代入原方程的左边和右边,看两边的值是否相等.如果相等,说明该数是原方程的解,否则就不是.检验时应代入原方程的左边和右边,而不是变形后的方程的左边和右边.6、列简易方程解应用题解应用题时,关键是列出简易方程,解应用题时列方程的一般步骤是:(1)设未知数,一般是求什么就设什么为x;(2)分析已知量和未知量的关系,找出相等关系;(3)把相等关系的左、右两边的量用含x的代数式表示出来,即得方程.二、典型例题剖析例 1、判断下列各式哪些是方程,哪些是一元一次方程.=3(7)2x=1 (8)(1)x-1=1-x (2)x3=2x(3)xy-x=0 (4)6x-x-1(5)5-2=3 (6)- 8xx2+1>2x分析:判断一个式子是不是方程,只需看两点:①是等式;②含有未知数,二者缺一不可;判断一个方程是不是一元一次方程,也有两个条件:①只含一个未知数;②未知数的次数是 1,两个条件缺一不可。

一元一次方程

一元一次方程
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A24册B54册C36册D27册
3、x千克盐水中盐的质量分数为15%,则水的质量是()
A85%千克B(x-15%)千克
C x千克D0.85x千克
4、某人储蓄100元钱,当时的年息为7.74%,三年息为38.08%(均不计复利).甲种存法:先存一年,到期后连本带息再存一年,到期后再连本带息存一年;乙种存法:存三年.则()
6.某商品的进价为300元,按标价的六折销售时,利润率为5%,则商品的标价为____元.
7.已知三个连续的偶数的和为60,则这三个数是________.
8.一件工作,甲单独做需6天完成,乙单独做需12天完成,若甲、乙一起做,则需________天完成.
二、选择题.(每小题3分,共30分)
9.方程m+2x=1和3x-1=2x+1有相同的解,则m的值为( ).
答:写出答案。
2、经典例题讲解
【例1】判断下列各式哪些是一元一次方程(1)3/4x=1/2(2)3x-2(3)1/7y-1/5=2x/3(4)5x²-3x+1(5)3x+y=1-2y(6)1-7y²=2y
【例2】1.2(x-2)-3(4x-1)=9(1-x)2.11x+64-2x=100
3.15-(8-5x)=7x+(4-3x)4.3(x-7)-2[9-4(2-x)]=22
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学科:数学任课教师:授课时间:年月日
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年级
课时
教学课题
一元一次方程
教学目标
(知识点、考点、能力、方法)
知识点:一元一次方程定义,解一元一次方程,实际问题与一元一次方程

第7讲 解一元一次方程(二)

第7讲 解一元一次方程(二)
7、解一元一次方程
探究类型之一 含分母的一元一次方程
例1 解方程:0.4 x 0.9 0.3 0.02 x 1 0.2 x 1.4
0.5 0.3 3
4 x 9 15 x x7 1 解:原方程可化为 5 15 15
. 去分母,得 3(4x+9)-(15+x)+15=x+7. 去括号,得 12x+27-15-x+15=x+7. 移项,得 12x-x-x=7-27-15+15. 合并同类项,得 10 x=-20. 系数化为1,得 x=-2.
解方程:(2)
(2)原方程可化为
4 y 1.5 5 y 0.8 1.2 y 3 0.5 0.2 0.1
2(4y-1.5)-5 (5y-0.8)=10(1.2- y)+3 8y-3-25 y+4=12-10y+3
去括号得
移项得 8y-25y+10 y=12+3+3-4 合并同类项得 系数化为 1 得 -7y=14 y=-2
2、形如| x – a | = b(b≥0)的方程的解法: 解: x– a = b 或 x– a = – b ; x = a + b 或x = a – b .
解形如| x | = a(a≥0)的方程的解法: 解:a > 0时,x = ±a ; a = 0时,x = 0 ; a < 0时,方程无解.
探究类型之二 含多重括Hale Waihona Puke 的一元一次方程例2 解方程:
1 1 1 2 3 3 x x x x 2 3 4 3 2 4
1 1 2 3 3 x x x 2 x 3 4 3 2 2

一元一次方程 的解法(提高)__一元一次方程的解法(提高)知识讲解

一元一次方程 的解法(提高)__一元一次方程的解法(提高)知识讲解

一元一次方程的解法(提高)知识讲解责编:康红梅【学习目标】1.熟悉解一元一次方程的一般步骤,理解每步变形的依据;2.掌握一元一次方程的解法,体会解法中蕴涵的化归思想;3.进一步熟练掌握在列方程时确定等量关系的方法.【要点梳理】要点一、解一元一次方程的一般步骤变形名称具体做法注意事项去分母在方程两边都乘以各分母的最小公倍数(1)不要漏乘不含分母的项(2)分子是一个整体的,去分母后应加上括号去括号先去小括号,再去中括号,最后去大括号(1)不要漏乘括号里的项(2)不要弄错符号移项把含有未知数的项都移到方程的一边,其他项都移到方程的另一边(记住移项要变号)(1)移项要变号(2)不要丢项合并同类项把方程化成ax =b (a ≠0)的形式字母及其指数不变系数化成1在方程两边都除以未知数的系数a ,得到方程的解.b x a=不要把分子、分母写颠倒要点诠释:(1)解方程时,表中有些变形步骤可能用不到,而且也不一定要按照自上而下的顺序,有些步骤可以合并简化.(2) 去括号一般按由内向外的顺序进行,也可以根据方程的特点按由外向内的顺序进行.(3)当方程中含有小数或分数形式的分母时,一般先利用分数的性质将分母变为整数后再去分母,注意去分母的依据是等式的性质,而分母化整的依据是分数的性质,两者不要混淆.要点二、解特殊的一元一次方程1.含绝对值的一元一次方程解此类方程关键要把绝对值化去,使之成为一般的一元一次方程,化去绝对值的依据是绝对值的意义.要点诠释:此类问题一般先把方程化为的形式,再分类讨论:ax b c +=(1)当时,无解;(2)当时,原方程化为:;(3)当时,原0c <0c =0ax b +=0c >方程可化为:或.ax b c +=ax b c +=-2.含字母的一元一次方程此类方程一般先化为最简形式ax =b ,再分三种情况分类讨论:(1)当a ≠0时,;(2)当a =0,b =0时,x 为任意有理数;(3)当a =0,b ≠0bx a=时,方程无解.【典型例题】类型一、解较简单的一元一次方程1.(2014秋•新洲区期末)关于x 的方程2x ﹣4=3m 和x+2=m 有相同的解,则m 的值是( )A.10 B.-8 C.-10 D.8【答案】B .【解析】解:由2x ﹣4=3m 得:x=;由x+2=m 得:x=m ﹣2由题意知=m ﹣2解之得:m=﹣8.【总结升华】根据题目给出的条件,列出方程组,便可求出未知数.举一反三:【变式】下列方程的解法对不对?如果不对,错在哪里?应当怎样改正? 3x+2=7x+5解:移项得3x+7x =2+5,合并得10x =7.,系数化为1得.710x =【答案】以上的解法是错误的,其错误的原因是在移项时没有变号,也就是说将方程中右边的7x 移到方程左边应变为-7x ,方程左边的2移到方程右边应变为-2.正确解法:解:移项得3x -7x =5-2, 合并得-4x =3,系数化为1得.34x =-类型二、去括号解一元一次方程2. 解方程:.112[(1)](1)223x x x --=-【答案与解析】解法1:先去小括号得:.11122[]22233x x x -+=- 再去中括号得:.1112224433x x x -+=-移项,合并得:.5111212x -=- 系数化为1,得:.115x =解法2:两边均乘以2,去中括号得:.14(1)(1)23x x x --=- 去小括号,并移项合并得:,解得:.51166x -=-115x =解法3:原方程可化为: .112[(1)1(1)](1)223x x x -+--=-去中括号,得.1112(1)(1)(1)2243x x x -+--=- 移项、合并,得.51(1)122x --=- 解得.115x =【总结升华】解含有括号的一元一次方程时,一般方法是由内到外或由外到内逐层去括号,但有时根据方程的结构特点,灵活恰当地去括号,以使计算简便.例如本题的方法3:方程左、右两边都含(x -1),因此将方程左边括号内的一项x 变为(x -1)后,把(x -1)视为一个整体运算.3.解方程:.1111111102222x ⎧⎫⎡⎤⎛⎫----=⎨⎬ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦⎩⎭【答案与解析】解法1:(层层去括号)去小括号.111111102242x ⎧⎫⎡⎤----=⎨⎬⎢⎥⎣⎦⎩⎭去中括号.11111102842x ⎧⎫----=⎨⎬⎩⎭去大括号.11111016842x ----= 移项、合并同类项,得,系数化为1,得x =30.115168x =解法2:(层层去分母)移项,得.111111112222x ⎧⎫⎡⎤⎛⎫---=⎨⎬ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦⎩⎭两边都乘2,得.1111112222x ⎡⎤⎛⎫---= ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦移项,得.111113222x ⎡⎤⎛⎫--= ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦ 两边都乘2,得.1111622x ⎛⎫--= ⎪⎝⎭移项,得,两边都乘2,得.111722x ⎛⎫-= ⎪⎝⎭11142x -=移项,得,系数化为1,得x =30.1152x =【总结升华】此题既可以按去括号的思路做,也可以按去分母的思路做.举一反三:【变式】解方程.111116412345x ⎧⎫⎡⎤⎛⎫--+=⎨⎬ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦⎩⎭【答案】解:方程两边同乘2,得.1111642345x ⎡⎤⎛⎫--+= ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦移项、合并同类项,得.111162345x ⎡⎤⎛⎫--=- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦两边同乘以3,得.1116645x ⎛⎫--=- ⎪⎝⎭移项、合并同类项,得.111045x ⎛⎫-= ⎪⎝⎭两边同乘以4,得.1105x -=移项,得,系数化为1,得x =5.115x =类型三、解含分母的一元一次方程【高清课堂:一元一次方程的解法388407解较复杂的一元一次方程】4.解方程:.4 1.550.8 1.20.50.20.1x x x----=【思路点拨】先将方程中的小数化成整数,再去分母,这样可避免小数运算带来的失误.【答案与解析】解法1:将分母化为整数得:.40155081210521x x x----=约分,得:8x -3-25x+4=12-10x .移项,合并得:.117x =-解法2:方程两边同乘以1,去分母得: 8x -3-25x+4=12-10x .移项,合并得:.117x =-【总结升华】解此题一般是先将分母变为整数,再去分母,如解法1;但有时直接去分母更简便一些,如解法2.举一反三:【变式】解方程.0.40.90.30.210.50.3y y++-=【答案】解:原方程可化为.4932153y y++-= 去分母,得3(4y+9)-5(3+2y )=15.去括号,得12y+27-15-10y =15.移项、合并同类项,得2y =3.系数化为1,得.32y =类型四、解含绝对值的方程5.解方程:3|2x |-2=0 .【思路点拨】将绝对值里面的式子看作整体,先求出整体的值,再求x 的值.【答案与解析】解:原方程可化为: .223x =当x ≥0时,得,解得:,223x =13x = 当x <0时,得,解得:,223x -=13x =-所以原方程的解是x =或x =.1313-【总结升华】此类问题一般先把方程化为的形式,再根据()的正负分ax b c +=ax b +类讨论,注意不要漏解.举一反三:【变式】(2014秋•故城县期末)已知关于x 的方程mx+2=2(m ﹣x )的解满足方程|x ﹣|=0,则m 的值为( )A.B. 2C.D.3【答案】B解:∵|x ﹣|=0,∴x=,把x 代入方程mx+2=2(m ﹣x )得:m+2=2(m ﹣),解之得:m=2.类型五、解含字母系数的方程6. 解关于的方程: x 1mx nx -=【答案与解析】解:原方程可化为:()1m n x -=当,即时,方程有唯一解为:;0m n -≠m n ≠1x m n=-当,即时,方程无解.0m n -=m n =【总结升华】解含字母系数的方程时,先化为最简形式,再根据系数是否为零ax b =x a 进行分类讨论.【高清课堂:一元一次方程的解法388407解含字母系数的方程】举一反三:【变式】若关于x 的方程(k-4)x =6有正整数解,求自然数k 的值.【答案】解:∵原方程有解,∴ 40k -≠原方程的解为:为正整数,∴应为6的正约数,即可为:1,2,3,64x k =-4k -4k -6∴为:5,6,7,10k 答:自然数k 的值为:5,6,7,10.。

一元一次方程知识点及经典例题

一元一次方程知识点及经典例题

一、知识要点梳理知识点一:一元一次方程及解的概念 1、 一元一次方程:一元一次方程的标准形式是:ax+b=0(其中x 是未知数,a,b 是已知数,且a≠0)。

要点诠释:一元一次方程须满足下列三个条件: (1) 只含有一个未知数; (2) 未知数的次数是1次; (3) 整式方程. 2、方程的解:判断一个数是否是某方程的解:将其代入方程两边,看两边是否相等. 知识点二:一元一次方程的解法1、方程的同解原理(也叫等式的基本性质)等式的性质1:等式两边加(或减)同一个数(或式子),结果仍相等。

如果,那么;(c 为一个数或一个式子)。

等式的性质2:等式两边乘同一个数,或除以同一个不为0的数,结果仍相等。

如果,那么;如果,那么要点诠释:分数的分子、分母同时乘以或除以同一个不为0的数,分数的值不变。

即:(其中m≠0)特别须注意:分数的基本的性质主要是用于将方程中的小数系数(特别是分母中的小数)化为整数,如方程:-=1.6,将其化为: -=1.6。

方程的右边没有变化,这要与“去分母”区别开。

2、解一元一次方程的一般步骤:解一元一次方程的一般步骤变形步骤 具 体 方 法 变 形 根 据注 意 事 项去分母方程两边都乘以各个分母的最小公倍数等式性质21.不能漏乘不含分母的项;2.分数线起到括号作用,去掉分母后,如果分子是多项式,则要加括号去括号先去小括号,再去中括号,最后去大括号 乘法分配律、去括号法则 1.分配律应满足分配到每一项 2.注意符号,特别是去掉括号移 项 把含有未知数的项移到方程的一边,不含有未知数的项移到另一边等式性质11.移项要变号;2.一般把含有未知数的项移到方程左边,其余项移到右边合并同 类 项 把方程中的同类项分别合并,化成“b ax =”的形式(0≠a )合并同类项法则合并同类项时,把同类项的系数相加,字母与字母的指数不变未知数的系数化成“1”方程两边同除以未知数的系数a ,得a b x = 等式性质2 分子、分母不能颠倒要点诠释:理解方程ax=b 在不同条件下解的各种情况,并能进行简单应用:①a≠0时,方程有唯一解;②a=0,b=0时,方程有无数个解;③a=0,b≠0时,方程无解。

3.一元一次方程

3.一元一次方程

《一元一次方程》知识讲解【要点梳理】知识点一、一元一次方程的概念1.方程:含有未知数的等式叫做方程.2.一元一次方程:只含有一个未知数(元),未知数的次数都是1,这样的方程叫做一元一次方程.3.方程的解:使方程的左、右两边相等的未知数的值叫做这个方程的解.4.解方程:求方程的解的过程叫做解方程.知识点二、等式的性质与去括号法则1.等式的性质:等式的性质1:等式两边加(或减)同一个数(或式子),结果仍相等.等式的性质2:等式两边乘同一个数,或除以同一个不为0的数,结果仍相等.2.合并法则:合并时,把系数相加(减)作为结果的系数,字母的指数不变.3.去括号法则:(1)括号外的因数是正数,去括号后各项的符号与原括号内相应各项的符号相同.(2)括号外的因数是负数,去括号后各项的符号与原括号内相应各项的符号相反.知识点三、一元一次方程的解法 解一元一次方程的一般步骤:(1)去分母:在方程两边同乘以各分母的最小公倍数.(2)去括号:依据乘法分配律和去括号法则,先去小括号,再去中括号,最后去大括号.(3)移项:把含有未知数的项移到方程一边,常数项移到方程另一边.(4)合并:逆用乘法分配律,分别合并含有未知数的项及常数项,把方程化为ax =b (a ≠0)的形式.(5)系数化为1:方程两边同除以未知数的系数得到方程的解b x a=(a ≠0). (6)检验:把方程的解代入原方程,若方程左右两边的值相等,则是方程的解;若方程左右两边的值不相等,则不是方程的解. 知识点四、用一元一次方程解决实际问题的常见类型1.行程问题:路程=速度×时间2.和差倍分问题:增长量=原有量×增长率3.利润问题:商品利润=商品售价-商品进价4.工程问题:工作量=工作效率×工作时间,各部分劳动量之和=总量5.银行存贷款问题:本息和=本金+利息,利息=本金×利率×期数6.数字问题:多位数的表示方法:例如:32101010abcd a b c d =⨯+⨯+⨯+.【典型例题】类型一、一元一次方程的概念1.下列方程中,哪些是一元一次方程? 哪些不是? (1)225411x x x ++=+; (2)2x+y =5; (3)x 2-5x+6=0; (4)23x x -=; (5)1123y y -+=. 【总结升华】凡是分母中含有未知数的方程一定不是一元一次方程.【变式】下列说法中正确的是( ).A .2a-a=a 不是等式B .x 2-2x-3是方程C .方程是等式D .等式是方程2. 若方程3(x -1)+8=2x+3与方程253x k x +-=的解相同,求k 的值.【总结升华】由于两个方程的解相同,所以可以将其中一个方程的解代入另一个方程中,从而求得问题的【变式】若关于x的方程2(x-1)-a=0的解是x=3,则a的值是().A.4 B.-4 C.5 D.-5类型二、一元一次方程的解法3.解方程2351 46y y+--=【总结升华】转化思想是初中数学中一种常见的思想方法,它能将复杂的问题转化为简单的问题,将生疏的问题转化为熟悉的问题,将未知转化为已知.事实上解一元一次方程就是利用方程的同解原理,将复杂的方程转化为简单的方程直至求出它的解.4.解方程:113(1)(1)2(1)(1)22x x x x+--=--+【总结升华】直接去括号太繁琐,若将(x+1)及(x-1)看作一个整体,并移项合并同类项,解答十分巧妙,可免去去分母的步骤及简化去括号的过程.【变式】解方程:278(x-4)-463(8-2x)-888(7x-28)=0类型三、一元一次方程的应用5.(南京)甲车从A地出发以60 km/h的速度沿公路匀速行驶,0.5 h后,乙车也从A地出发,以80 km/h的速度沿该公路与甲车同向匀速行驶,求乙车出发后几小时追上甲车.【总结升华】此题的等量关系为:甲前0.5 h的行程+甲后来的行程=乙的行程.6. (南昌)剃须刀由刀片和刀架组成.某时期,甲、乙两厂家分别生产老式剃须刀(刀片不可更换)和新式剃须刀(刀片可更换).有关销售策略与售价等信息如下表所示:某段时间内,甲厂家销售了8400把剃须刀,乙厂家销售的刀片数量是刀架数量的50倍,乙厂家获得的利润是甲厂家的两倍,问这段时间内乙厂家销售了多少把刀架?多少片刀片?【总结升华】本题的相等关系为:甲厂家利润×2=乙厂家利润.【变式】某文具店为促销X型计算器,优惠条件是一次购买不超过10个,每个38元,超过10个,超过部分每个让利2元(即每个36元),问李老师用812元共买了多少个?【打折】某商品进价2000元,标价4000元,商店要求以利润率不低于20%的售价打折出售,售货员最低可以打几折出售此商品?第三章 一元一次方程一、精心选一选(每小题4分,共24分)1、下列方程中,一元一次方程是( )A. 2x =1B. 3x –5C. 3+7=10D.21x x +=2、下列方程中,解为2x =的方程是:( )A.24=xB. 063=+xC.021=x D. 0147=-x 3、在解方程21x --332x +=1时,去分母正确的是( ) A 、3(x -1)-2(2+3x )=1 B 、3(x -1)-2(2x +3)=6C 、3x -1-4x +3=1D 、3x -1-4x +3=64、右图是“东方”超市中“飘柔”洗发水的价格标签,一服务员不小心将墨水滴在标签上,使得原价看不清楚,请帮忙算一算,该洗发水的原价是:( )A. 22元B. 23元C. 24元D. 26元6、已知4个矿泉水空瓶可以换矿泉水一瓶,现有16个矿泉水空瓶,若不交钱,最多可以喝矿泉水( )A. 3瓶B. 4瓶C. 5瓶D. 6瓶二、细心填一填(每小题4分,共24分)7、写出一个一元一次方程,使它的解为―1,方程为 .8、已知3是关于x 的方程21x a -=的解,则=a 。

第一节 一元一次方程的基本概念(含答案)...七年级数学 学而思

第一节 一元一次方程的基本概念(含答案)...七年级数学 学而思

第一节 一元一次方程的基本概念1.等式的概念:像m+n=n+m ,x+ 2x= 3x ,3×3+1=5×2,3x+1=5y 这样的式子,都是等式,我们可以用a=b 表示一般的等式. 注:用“=”连接的式子叫做等式,但是等式不一定表示相等关系.2.等式的类型(1)恒等式:无论用什么数值代替等式中的字母,等式总成立.例如.3x= 3x 这样,无论字母的取值如何变化,或2=2这样,等式两边恒相等;(2)条件等式:只能用某些数值代替等式中的字母,等式才能成立.例如,2x =2这样,只有当x=l 时等式两边才相等;(3)矛盾等式:无论用什么数值代替等式中的字母,等式都不能成立,例如,x-2= x+2这样,无论字母取什么值,或者2=3这样,等式两边恒不相等.3.等式的性质(1)等式的性质1:等式两边同时加(或减)同一个数(或式子),结果仍相等.如果,b a =那么;c b c a ±=±(2)等式的性质2:等式两边同时乘以同一个数,或除以同一个不为0的数,结果仍相等.如果b a =那么.bc ac =如果),0(=/=c b a 那么⋅=cb c a (3)对称性:等式左、右两边互换,所得结果仍是等式,即:如果a=b .那么b=a ;(4)传递性:如果a=b ,b=c ,那么a=c .4.方程的定义含有未知数的等式叫做方程,注:方程是等式,但是等式不一定是方程.5.方程中的已知数和未知数已知数指具体的数值,未知数指要求的数,通常未知数用z ,y ,z 来表示,例如,方程x+3= y-1,其中3和1指的是已知数,x 和y 指的是未知数.6.方程的解和解方程使方程左、右两边相等的未知数的值,叫做方程的解.求方程的解的过程,叫做解方程.例如,x=2是方程3-x=1的解,而求出x=2的过程叫做解方程.注:①方程的解一定要写成x=2这样的形式,2=x 不是方程的解的形式;②方程可能无解,可能只有一个解,也可能有多个解.7.方程解的检验要验证某个数是否为一个方程的解,只需将该数代入这个方程中.若此时方程左右两边数值相等,则这个数为方程的解,否则不是方程的解.8.一元一次方程只含有一个未知数,并且未知数的最高次数是1,系数不等于0的整式方程叫做一元一次方程,注:“元”指的是未知数,“次”指的是未知数项的最高次数.9.最简形式方程b a a b ax ,,0=/=(均为已知数)的形式叫做一元一次方程的最简形式.10.标准形式方程b a a b ax ,,00=/=+(均为已知数)的形式叫做一元一次方程的标准形式注:①一元一次方程均可转化成最简形式或标准形式,在判断一个方程是否为一元一次方程时需要先根据方程的原始形式判断该方程是否为整式方程,如果是整式方程则进行整理化简.若能进一步整理为最简形式或标准形式则该方程为一元一次方程;②一元一次方程一般情况下有唯一解.绝对值符号里有字母的方程不是一元一次方程.(1)在对等式变形过程中,等式两边必须同时进行 即:同时加或者减,同时乘以或同时除以,不能漏掉某一边;(2)若题目条件中给出分式形式,则默认为分母不为零.如“若b c b a = 则c a =是正确的,这里条件中已经出现分式形式,因此默认;0=/b(3)若题目结论中出现分式形式,则需要说明分母不为零,如“若,c a =,b c b a =不正确,而“若,c a =则,),0(=/=b bc b a 正确; (4)注意比较“若,cb ab =则,c a =和“若),1()1(22+=+b c b a 则,c a =前者为错误的说法,后者为正确的说法.这两个判断题从条件到结论的变化,均需同时除以一个数,这里需要我们注意,同时除以的这个数不能为0.前者b 可能为零,但是后者+2b .01=/2.判定一元一次方程的方法(1)看一看:先判定方程是否为整式方程,即等号两边是否为整式,如果是整式则进行化简,若不是整式,则该方程一定不是一元一次方程;(2)消一消:若方程是整式方程,则对方程进行整理化简,如果能化成一元一次方程的最简形式或者是标准形式则为一元一次方程,否则不是一元一次方程.3.已知方程的解,求参数值逢解必代入 .如果题目中告诉方程的解,解题时一般情况下均需要把方程的解代入原方程,4.求含参一元一次方程中的参数值此时考查了一元一次方程的“110定律”.何为“110定律”?“1”指一元即方程中只含有一个未知数,另一个“1”指一次即未知数项的次数为1,“0”指未知数的系数不为0.求解参数值时,只需按照“110”定律,列方程求参数值即可,例1.(广东中考)已知方程,832=+-y x 则整式y x 2-的值为( )5.A 10.B 12.C 15.D检测1.已知,2,3+=-=k y k x 则y 与x 的关系是( )5.=+y x A 1.=+y x B 1.=-y x C 1.-=x y D例2.下列方程:;33x x =-①;15.0=x ②;34=-x x ③;433x x -=④;13-=+x y ⑤;324222-+=-x x x x ⑥ ;1271x x x x +=-+⑦.37||=-x ⑧其中是一元一次方程的是检测2.在方程,23=-y x ,021=-+x x ,2121=x 0322=--x x 中一元一次方程的个数为( )A.1个 B .2个 C .3个 D .4个例3.(福建泉港期末)已知x=2是关于x 的方程03=+a x 的一个解,则a 的值是( )6.-A 3.-B 4.-C 5.-D检测3.(福建石狮市期末)下列方程中解为x=0的是( )11.-=+x A x x B 32.= 22.=x C x x D 5421.=++例4.已知方程m m x m x m 24)35()43(2-=----是关于x 的一元一次方程.(1)求m 和x 的值;(2)若n 满足关系式,1|2|=+m n 求n 的值,检测4.(四川自贡期末)若6)2(|32|=--m x m 是一元一次方程,则m 等于( )A .1B .2 C.1或2 D .任何数第一节 一元一次方程的基本概念(建议用时: 25分钟)实战演练1.(山东沂源一模)下列各项中叙述正确的是( )A .若,nx mx =则n m =B .若,0||=-x x 则0=xC .若,nx mx =则121220152015+=+x n x m D .若,n m =则nx mx -=-24242.下列叙述中,正确的是( )A.方程是含有未知数的式子B.方程是等式C.只有含有字母x ,y 的等式才叫方程D.带等号和字母的式子叫方程3.在以下的式子中:;383=+x ;12x -;3=-y x ;121+=+x x ;1032=x ,752=+其中是方程的个数为( ) 3.A 4.B 5.C 6.D4.下列方程的解是x=2的方程是( ) 084.=+x A 03231.=+-x B 232.=x C 531.=-x D 5.方程024=-x 的解是( )2.=x A 2.-=x B 21.=x C 21.-=x D 6.已知1=x 是方程12-=+a x 的解,那么a 的值是( )1.-A 0.B 1.C2.D7.在下列方程中;122=+x x ①;931=-x x ②;021=x ③;322313=-④,3132+=-y y ⑤是一元一次方程的有( )个.1.A2.B3.C4.D8.(山东威海期末)若关于x 的方程032=+--m mx m 是一元一次方程,则这个方程的解是( )0.=x A 3.=x B 3.-=x C 2.=x D9.(江西校级期末)在等式6253+=-a a 的两边同时减去一个多项式可以得到等式,1=a 则这个多项式是10.将方程634=+y x 变形成用y 的代数式表示x ,则x=11.(河南扶沟期末)阅读下列解题过程,指出它错在了哪一步?为什么?.1)1(31)1(2--=--x x 两边同时加上1,得),1(3)1(2-=-x x 第一步,两边同时除以),1(-x 得2=3,第二步.12.(重庆忠县期末)已知,43143n m =-试用等式的性质比较m 与n 的大小. 13.(重庆忠县期末)已知方程)()32()(3y x m m y y m x -=--+-是关于x 的一元一次方程,求m 的值,并求此时方程的解.14.(重庆忠县期末)已知08)1()1(22=++--x m x m 是关于x 的一元一次方程,求代数式xm 的值. 15.已知08)2()4(22=----x n x n 是关于x 的一元一次方程,(1)试求x 值;(2)求关于y 方程x y n =+||的解.拓展创新16.已知201611)2016(2015||-=++-a x a a 是关于x 的一元一次方程,求a 的值及方程的解.拓展1.已知2016)2016(2015||-=++-a y x a a 为一元一次方程,其中a 为参数,求a 的值及方程的解,拓展2.已知b a y b x a b a +=+++--2015||2015||)2016()2016(为一元一次方程,其中a ,b 为参数,求a+b 的值.极限挑战17.若p ,q 都是质数,以x 为未知数的方程975=+q Px 的根为1,求q P -2的值.课堂答案培优答案。

一元一次方程知识点总结和例题讲解

一元一次方程知识点总结和例题讲解

第六章 一元一次方程知识点汇总(一)、方程的有关概念1. 方程:含有未知数的等式就叫做方程.2. 一元一次方程:只含有一个未知数(元)x ,未知数x 的指数都是1(次),这样的方程叫做一元一次方程. 例如: 1700+50x=1800, 2(x+1.5x )=5等都是一元一次方程. (例1)3.方程的解:使方程中等号左右两边相等的未知数的值,叫做方程的解. (例2)注:⑴ 方程的解和解方程是不同的概念,方程的解实质上是求得的结果,它是一个数值(或几个数值),而解方程的含义是指求出方程的解或判断方程无解的过程.⑵ 方程的解的检验方法,首先把未知数的值分别代入方程的左、右两边计算它们的值,其次比较两边的值是否相等从而得出结论.(二)、等式的性质等式的性质(1):等式两边都加上(或减去)同个数(或式子),结果仍相等. 等式的性质(1)用式子形式表示为:如果a=b ,那么a ±c=b ±c等式的性质(2):等式两边乘同一个数,或除以同一个不为0的数,结果仍相等,等式的性质(2)用式子形式表示为:如果a=b ,那么ac=bc;如果a=b(c ≠0),那么a c =bc(三)、移项法则:把等式一边的某项变号后移到另一边,叫做移项.(例3) (四)、去括号法则1. 括号外的因数是正数,去括号后各项的符号与原括号相应各项的符号相同.2. 括号外的因数是负数,去括号后各项的符号与原括号相应各项的符号改变. (五)、解方程的一般步骤(例4)1. 去分母(方程两边同乘各分母的最小公倍数)2. 去括号(按去括号法则和分配律)3. 移项(把含有未知数的项移到方程一边,其他项都移到方程的另一边,移项要变号)4. 合并(把方程化成ax = b (a ≠0)形式)5. 系数化为1(在方程两边都除以未知数的系数a ,得到方程的解x=ba ).一.列一元一次方程解应用题的一般步骤 (1)审题:弄清题意.(2)找出等量关系:找出能够表示本题含义的相等关系.(3)设出未知数,列出方程:设出未知数后,表示出有关的含字母的式子,•然后利用已找出的等量关系列出方程.(4)解方程:解所列的方程,求出未知数的值.(5)检验,写答案:检验所求出的未知数的值是否是方程的解,•是否符合实际,检验后写出答案.第七章 二元一次方程组 一、知识点总结 1、二元一次方程:含有两个未知数(x 和y ),并且含有未知数的项的次数都是1,像这样的整式方程叫做二元一次方程,它的一般形式是(0,0)ax by c a b +=≠≠.2、二元一次方程的解:一般地,能够使二元一次方程的左右两边相等的两个未知数的值,叫做二元一次方程的解. 【二元一次方程有无数组解】 3、二元一次方程组:含有两个未知数(x 和y ),并且含有未知数的项的次数都是1,将这样的两个或几个一次方程合起来组成的方程组叫做二元一次方程组.4、二元一次方程组的解:二元一次方程组中的几个方程的公共解,叫做二元一次方程组的解.【二元一次方程组解的情况:①无解,例如:16x y x y +=⎧⎨+=⎩,1226x y x y +=⎧⎨+=⎩;②有且只有一组解,例如:122x y x y +=⎧⎨+=⎩;③有无数组解,例如:1222x y x y +=⎧⎨+=⎩】5、二元一次方程组的解法:代入消元法和加减消元法。

苏科版七年级数学上册 4.1 等式与方程(第4章 一元一次方程 学习、上课课件)

苏科版七年级数学上册  4.1 等式与方程(第4章 一元一次方程  学习、上课课件)
知2-练
思路点拨 解答此类问题时,先要观察等式变形后的左边与右边,
与等式变形前的左边与右边的差异,是同时增加(或减少) 还是同时扩大(或缩小),然后确定变形的依据,最后得出 结论.
感悟新知
知识点 3 方程
知3-讲
1. 未知数 在2x+1=x+5 ,a+b=12,2a+b=20,0.618x2=
1.6这些等式中,都是用字母表示要求的未知的量,这样的 字母叫作未知数.
感悟新知
知1-练
解题秘方:紧扣等量关系“剩余空白区域的面积=(1- 14)×长方形空地的面积”列出等式. 解:可列等式为(30-2x)(20-x)=(1-14)×20×30.
感悟新知
知1-练
思路总结 列等式的一般思路:
(1)要注意理清情境中的数量关系,列出相应的代数式; 如题(1)是行程问题,可以根据“速度×时间=路程”, 用代数式表示出甲、乙两人跑的路程;
个不为0的数.
感悟新知
知2-练
例 2 利用等式的基本性质,将下面的等式变形为x=c (c 为常数) 的形式, 正确的是( )
A. 由-13x=23y得x=2y B. 由3x-2=2x+2得x=4 C. 由2x-3=3x得x=3 D. 由ax=5a得x=5 解题秘方:紧扣等式的基本性质求解,涉及加减的用性质 1,涉及乘除的用性质2(注意:等式的两边都除以同一个 数的时候,这个数必须不为0).
第4章 一元一次方程
4.1 等式与方程
学习目标
1 课时讲解 等式
等式的性质 方程 方程的解与解方程
2 课时流程
逐点 导讲练Leabharlann 课堂 小结作业 提升
感悟新知
知识点 1 等式
知1-讲
概念 像2x=3y,S=xy,12a+3b=58这样,表示相等关系

一元一次方程的概念与解法

一元一次方程的概念与解法

一元一次方程的概念与解法【知识要点】1.一元一次方程的有关概念(1)一元一次方程:只含有一个未知数,并且未知数的次数是1,系数不等于0,这样的方程叫做一元一次方程.(2)一元一次方程的标准形式是:2.等式的基本性质(1)等式的两边都加上或减去或,所得的结果仍是等式.(2)等式的两边都乘以或都除以,所得的结果仍是等式. 3.解一元一次方程的基本步骤:【典型例题】例1.下列方程是一元一次方程的有哪些?x+2y=9 x 2-3x=1 11=xx x 3121=-2x=1 3x –5 3+7=10 x 2+x=1例2. 用适当的数或整式填空,使得结果仍是等式,并说明是根据等式的哪条性质,通过怎样变形得到的.(1)如果________;-8x 3,853==+那么x(2)如果-1_x_________3,123=--=那么x x ;(3)如果;__________x ,521==那么x(4)如果________.3x ,32==那么yx例3.解下列简易方程1.5223-=+x x 2.4.7-3x=113.x x +-=-32.0 4.)3(4)12(3-=+x x例4.解方程 1.32243332=+--x x 2.1423(1)(64)5(3)25x x x --++=+3.21101211364x x x -++-=- 4.22314615+=+---x x x x 5.003.002.003.0255.09.03.0=+---+x x x 6.83161.20.20.55x x x +-+-=-例6.x 取何值时,代数式 63x + 与 832x- 的值相等.例7.已知方程104x x =-的解与方程522x m +=的解相同,求m 的值.例8. 已知1x =-是关于x 的方程 327350x x kx -++= 的解,求221195k k --的值.例9.当.38322倍的的值是为何值时,代数式x x x x ++-例10. 若对于任意的两个有理数m, n 都有m ※n=43nm +,解方程3x ※4=2.系统讲解一元一次方程的应用【知识梳理】一、知识结构二、知识要点归纳1.列方程解决实际问题的一般步骤(1)找——找准等量关系,找出能够表示题意的等量关系.(2)设——设未知数,弄清题意和找准等量系后,用字母表示题目中的一个未知数.(3)列——列出方程,用含未知数的代数式表示出题目中的各种数量,依据找准的等量关系,列出方程.(4) 解——解方程.解出所列的方程,求出未知数的值.(5) 答_作出应答,检验方程的解是否符合实际,作出回答且注明单位.水速度=船速-水速2.分析应用题中等量关系的一般方法(1)译式法:将题目中的关键性语言或数量及各数量间的关系译成代数式,然后根据代数式之间的内在联系找出等量关系.(2)线示法:用同一直线的线段表示应用题中的数量关系,然后根据线段的长度的内在联系,找出等量关系.(3)列表法:将已知条件和所求的未知量纳入表格,从而找出各种量之间的关系.(4)图示法:利用图表示题中的数量关系,它可以使量之间的关系更为直观,更方便找出其中的等量关系.三、考查解析一元一次方程应用问题,关键是考查同学们用一元一次方程的模型解决实际问题的能力,大多数属于当基本题或中档题,学习中应抓住其核心问题——建模,从等量关系入手,而不是只让学生套题型,套步骤去解应用题.【典型例题】劳动力分配问题例1.某车间有100个工人,每人平均每天可以加工螺栓18个或螺母24个,要使每天加工的螺栓与螺母配套(一个螺栓要配两个螺母)应如何分配加工螺栓、螺母的工人?分析:等量关系为螺栓数:螺母数=1︰2.设加工螺栓人数为x,则加工螺栓的总数为18x个,加工螺母总数为24(100-x)个.解:设加工螺栓的人数为x人,依题意有24xx⨯(=-2,18)100解得 40=x (人).∴加工螺母的人数为 100-x =100-40=60(人) 答:应分配40人去加工螺栓.点评:此题重点是培养学生寻找等量关系的意识和能力. 等体积问例2.一个圆柱形水桶,底面半径为11cm ,高25cm ,将满桶的水倒入底面长30cm ,宽20cm 的长方体容器,问此长方体容器的高度至少要多少才不溢出水(π取3.14,结果精确到0.1cm )? 分析:从相等关系入手,即圆柱形容器积=长方体器容积. 解:设长方体容器的高为x cm ,依题意,有 30×20x =25π×112,解方程,得 ≈=24121πx 15.9cm , 答:长方体容器的高至少需要15.9cm.点评:“等积变换”是中学数学的常用方法,要让学生理解和把握这方法,并能在实际问题中灵活应用. 盈亏问题例3.某服装个体户同时卖出两套服装,每件都以135元出售,按成本计算,其中一件盈利25%,另一件亏本25%.(1)在这次买卖中,这位个体户是赔是赚还是正好保本? (2)若将题中的135元改成为任何正数a 元,情况如何? 分析:关键把握等量关系: 进价(1+盈利率)=售价,进价(1-亏本率)=售价.解:(1)设第一件进价为x 元,则135%)251(=+x , 解得 108=x ,设第一件进价为y 元,则135%)251(=-y , 解得 180=y ,而 181352)180108(1352)(=⨯-+=⨯-+y x .所以赔18元.(2)仿前一小题方法可得: a x =+%)251(及a y =-%)251(, 解得 a x 54=, a y 34=,而 0152234542)(>=-⎪⎭⎫ ⎝⎛+=-+aa a a a y x , 所以此时仍然是亏本.点评:解决该题的关键是把握住此类问题中的几个等量关系,同时理解好一些常用“词”:如:打八折,进价,售价,盈利10%,亏本20%等.拓广:在例3中,将题中的135元改为任何正数a 元,同时又将题中的25%改为m%(0<m <100)情况如何?工程量问题例4.甲、乙两水管往水池中注水,甲管单独打开用20小时可注满一池水,乙管单独打开用40小时可注满一池水.现在甲管单独打开8小时后,乙管才开始工作,问两管一起打开后需多少小时可注满水池?分析:利用等量关系,甲管工作量+乙管工作量=1,来解题,为了理清工作量的关系,可列表如下:(设两管一起开后x 小时可注满全池)解:设两管一起打开后x 小时可注满全池,依题意,得140208=++xx . 解得 8=x (小时),答:两管一起打开后8小时可注满水池.点评:“列表法”在分析等量关系中,有其特点,但重点还应是在培养学生寻找等量关系的意识和能力上,提高“建模”能力.行程问题例5.由甲地到乙地前32的路是高速公路,后31的路是普通公路,高速公路和普通公路交界处是丙地.A 车在高速公路上的行驶速度是100千米/时,在普通公路的行驶速度是60千米/时.B 车在高速公路上的行驶速度是110千米/时,在普通公路上的行驶速度是70千米/时.A 、B 两车分别从甲、乙两地同时出发相向行驶,在距离丙地44千米处相遇,求甲、乙两地之间的距离是多少?分析:本题在相遇过程中A 、B 两车同时出发相向而行至相遇如图3-5-1所示,相等关系是A 车行驶时间=B 车行驶时间.距丙地44千米处,有两种可能,(1)相遇处在高速公路上距丙地44千米,(2)相遇处在普通公路上,解题时要考虑到这两种情况,再根据实际取舍.解:设甲、乙两地相距x 千米,A 车从甲地到丙地,需要15010032xx=(小时),B 车从乙地到丙地,需要2107031x x=(小时), ∵210150x x > ∴A 、B 两车只能在高速公路上距丙地44千米处相遇.列方程得,1104470311004432+=-xx 解得441=x .答:甲、乙两地之间的距离是441千米.点评:“线示法”分析等量关系比较方便.但要注意分类讨论各种情况,以免挂一漏万.利息问题例6.大宝、小宝共利用假期打工1000元,大宝把他的工钱按一年期教育储蓄存入银行,年利率为1.98%,免收利息税,小宝把他的工钱买了月利率为2.15%的债券,但要交纳20%的利息税,一年后两人得到的收益恰好相等,问两人的压岁钱各是多少?分析:抓住这一问题的等量关系.1.利息(免税的)=存入钱数×年利率,2.利息(不免税的)=存入钱数×年利率×(1-税率),3..大宝的收益=小宝的收益.解:设大宝的工钱为x元,则小宝的工钱为(1000-x)元,由题意,得.1⨯98%⨯⨯x.=x-(80%100012%).215解得510x(元),1000-x=490(元).=答:大宝的工钱是510元,小宝的工钱是490元.【自我测试】一、基础测试1.在高速公路上,一辆长4米,速度为110千米/时的轿车准备超越一辆长12米,速度为100千米/时的卡车,则轿车从开始追及超越卡车,需要花费的时间约是()A.1.6秒B.4.32秒C.5.76秒D.345.6秒2.有一旅客携带30公斤行李从某机场乘飞机返回绵阳,按民航规定,旅客最多可免费携带20公斤行李,超重部分每公斤按飞机票价格的1.5%购行李票,已知该旅客现已购行李票60元,则它的飞机票价为()A.300元B.400元C.600元D.800元3.一年期定期储蓄年利率为2.25%,所得利息要交纳20%的利息税,已知某储户有一笔一年期定期储蓄到期纳税后得利息450元,问该储户存入多少本金?4.某商品的进货单价为280元,按25%的利润率确定售价.后因市场发生变化,决定按原定价格的八五折出售,问这时每售出一件这种商品,商店获利多少?5.用内径18毫米的圆柱形试管盛满水后,向一个底面是边长为22毫米的正方形,高是15毫米的空长方体容器内倒水,倒满容器后试管内水面下降约多少毫米?6.一艘船在甲、乙两地之间航行,顺水要3小时,逆水要3.5小时,已知船在静水中航行速度是每小时26千米,求水流速度.7.两人在环形跑道上同向急走,一圈为400米,甲的速度为平均每分钟80米,乙的速度是甲的1.25倍,如果乙在甲的前面100米,多少分钟后两人相遇?8.某人原计划骑车以12km/h的速度由A地去B地.这样可在规定时间内到达B地.但他因事将原计划出发的时间推迟了20min,只好以15km/h的速度前进,结果比规定时间早4min到达B地,求A、B 两地的距离?二、综合能力测试题1.某商店先在广州以每件15元的价格购进一种商品10件,后来又到深圳以每件12.5元的价购进同样商品40件,如果商店销售这些商品时,要获利12%的利润,那么这种商品的销售价应该是_______.2.有一卷铁丝,第一次用去了它的一半少1m,第二次用去了剩下的一半多1m,结果还剩下10m,这卷铁丝原长多少?3.有大中小三个正方形水池,它们的内池分别为6m、3m、2m,把两堆碎石分别沉浸在中、小水池的水里,两个水池的水面分别升高了6cm和4cm,如果将这两堆碎石都沉浸在大水池的水里,大水池的水面升高了多少厘米?4.有一火车以每分钟600m的速度要过完第一、第二座铁桥,过第二座铁桥比过第一座铁桥多用5分钟,又知第二座铁桥的长度比第一座铁桥长度的2倍短50m,试求各铁桥的长?5.某公司向银行贷款40万元用来生产某种新产品,已知该贷的年利率为1.5%(不计复利),每人新产品的成本是2.3元,售价4元,应纳税是销售额的10%,如果每年生产该种产品20万个,并把所得利润用来归还贷款,问需要几年才能一次性还清?(利润=销售额-成本-应纳税款)6.某班共40名学生,其中33人数学成绩不低于80分,32人英语成绩不低于80分,且班上每人在这两科中至少有一科不低于80分.求两科成绩都不低地80分的人数.。

一元一次方程解应用题的思路和解法(全)

一元一次方程解应用题的思路和解法(全)

一元一次方程解应用题的思路和解法(全)一元一次方程解应用题的思路和解法一元一次方程应用题是初一数学研究的重点,也是一个难点。

主要困难体现在两个方面:一是难以从实际问题中找出相等关系,列出相应的方程;二是对数量关系稍复杂的方程,常常理不清楚基本量,也不知道如何用含未知数的式子来表示出这些基本量的相等关系,导致解题时无从下手。

事实上,方程就是一个含未知数的等式。

列方程解应用题,就是要将实际问题中的一些数量关系用这种含有未知数的等式的形式表示出来。

而在这种等式中的每个式子又都有自身的实际意义,它们分别表示题设中某一相应过程的数量大小或数量关系。

由此,解方程应用题的关键就是要“抓住基本量,找出相等关系”。

解题关键为:先找出等量关系,根据基本量设未知数。

一般是问什么设什么,但是一些特殊的题目为了使方程简便有时会设一些中间量为未知数。

初中一年级涉及到的一元一次方程应用题主要有以下几类:行程问题、工程问题、溶液配比问题、销售问题、数字问题、比例问题、设中间变量的问题。

不管是什么问题,关键是要了解各个具体问题所具有的基本量,并了解各个问题所本身隐含的等量关系,结合具体的问题,根据等量关系列出方程。

下面针对以上七项分别进行讲解。

1.行程问题行程问题中有三个基本量:路程、时间、速度。

等量关系为:路程=速度×时间;速度=路程÷时间;时间=路程÷速度。

特殊情况是航行问题,其是行程问题中的一种特殊情况,其速度在不同的条件下会发生变化。

顺水(风)速度=静水(无风)速度+水流速度(风速);逆水(风)速度=静水(无风)速度-水流速度(风速)。

由此可得到航行问题中一个重要等量关系:顺水(风)速度-水流速度(风速)=逆水(风)速度+水流速度(风速)=静水(无风)速度。

例1:一列火车从甲地开往乙地,每小时行90千米,行到一半时耽误了12分钟,当着列火车每小时加快10千米后,恰好按时到了乙地,求甲、乙两站距离?此题的等量关系是:列车改变速度以后所用的总时间=原计划的时间。

六年级---一元一次方程

六年级---一元一次方程

数学辅导讲义学员日校:年级:六年级课时数:2学员姓名:辅导科目:数学学科教师:学科组长签名组长备注课题一元一次方程授课时间:备课时间:教学内容一元一次方程一重要知识点回顾方程是中学数学中最重要的内容.最简单的方程是一元一次方程,它是进一步学习代数方程的基础,很多方程都可以通过变形化为一元一次方程来解决.本讲主要介绍一些一元一次方程的解的情况.1)只含有一个未知数(又称为一元),且其次数是1的方程叫作一元一次方程.任何一个一元一次方程总可以化为ax=b(a≠0)的形式,这是一元一次方程的标准形式(最简形式).2)解一元一次方程的一般步骤:(1)去分母;(2)去括号;(3)移项;(4)合并同类项,化为最简形式ax=b;(5)方程两边同除以未知数的系数,得出方程的解.3)一元一次方程ax=b的解由a,b的取值来确定:(2)若a=0,且b=0,方程变为0·x=0,则方程有无数多个解;(3)若a=0,且b≠0,方程变为0·x=b,则方程无解.解方程预习练习题(1)k(x-2)=3x-1 (2)ax-b=cx+d3.关于x的方程19x-a=0的解为19-a,则a=__________.4.若关于x的方程5x+1=a(2x+3)无解,则a=__________5.若关于x的方程︳2x-1 ︳+m=0无解,则m=____________.6.已知y=1是方程2- (m-y)=2y的解,解关于x的方程:m(x+4)=2mx-4.7.已知方程2ax=(a+1)x+6,求a为何整数时,方程的解是正整数.8.若(3a+2b)x2+ax+b=0是关于x的一元一次方程,且x有唯一解,求这个解.9.当k取何值时,关于x的方程3(x+1)=5-kx,分别有:(1)正数解;(2)负数解;(3)不大于1的解.10.解关于x的方程(mx-n)(m+n)=0.11.已知(m2-1)x2-(m+1)x+8=0是关于x的一元一次方程,求代数式199(m+x)(x-2m)+m的值.12.已知关于x的方程a(2x-1)=3x-2无解,试求a的值.13已知关于x的方程且a为某些自然数时,方程的解为自然数,试求自然数a的最小值.经典例题讲解【例1】 (1)已知关于I 的方程x a x x 4)3(23=⎥⎦⎤⎢⎣⎡--和1851123=--+x a x 有相同的解,那么这个解是 .(2)如果20042003)1(11216121=+++++n n ,那么n = .【例2】 当b=1时,关于x 的方程a(3x-2)+b(2x-3)=8x-7有无数多个解,则a 等于( ).A .2B .一2C .32- D .不存在【例3】 是否存在整数k ,使关于k 的方程(k 一5)x+6=1—5x ;在整数范围内有解?并求出各个解.【例4】 解下列关于x 的方程.(1)4x+b=ax-8; (a ≠4)(2)mx-1=nx ;(3))2(41)(31m x n x m +=-.【例5】已知q p 、都是质数,并且以x 为未知数的一元一次方程px+5q=97的解是1,求代数式40p 十101q+4的值.练习1.已知x=一1是关于x 的方程7x 3一3x 2+kx+5=0的解,则k 3+2k 2-11k-85= .2.方程0)104(21)25(32)5020(61=+-+++x x x 的解为 ;解方程0333)321(212121=-⎭⎬⎫⎩⎨⎧-⎥⎦⎤⎢⎣⎡--x ,得x= .3.已知关于x 的方程2a(x 一1)=(5一a)x+3b 有无数多个解,那么a = .4.和方程x 一3=3x+4不同解的方程是( ).A .79—4=59—11B .0231=++x C .(a 2+1)(x 一3)=(3x+4)(a 2+1)D .(7x 一4)(x —1)=(5x 一11)(x 一1)5.已知a 是任意有理数,在下面各题中(1)方程ax=0的解是x=1 (2)方程ax =a 的解是x =1(3)方程ax=1的解是x =a1 (4)方程a x a =的解是x =±1 结论正确的个数是( ).A .0B .1C . 2D .36.方程231)153(123661-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+--x x x 的解是( ) A .1415 B .1415- C .1445 D .1445-7.已知关于x 的一次方程(3a+8b )x+7=0无解,则ab=( ) .A .正数B .非正数C .负数D .非负数8.解关于x 的方程:(1)ax-1=bx (2)4x+b=ax-8 (3)k(kx-1)=3(kx-1)9.A 为何值时,方程)12(6123--=+x x a x 有无数个解?无解?10.已知方程2(x+1)=3(x-1)的解 为a+2,那么方程2[2(x+3)-3(x-a)]=3a 的解为 .11.已知关于x 的方程9x-3=kx+14有整数解,那么满足条件的所有整数k = .12.已知431)119991(441=++x ,那么代数式)19991999(481872xx +⋅+的值为 .13.若(3a+2b)x 2+ax+b=0是关于x 的一元一次方程,且有唯一解,则x = .14.有4个关于x 方程(1)x-2=-1 (2)(x-2)+(x-1)=-1+(x-1)(3)x=0 (4)111112-+-=-+-x x x 其中同解的两个方程是( )A .(1)与(2)B .(1)与(3)C .(1)与(4)D .(2)与(4)15.方程1995199619953221=⨯++⨯+⨯x x x 的解是( ) A .1995 B .(1996 C .1997 D . 199816.已知2001222==-=+c b a ,且k c b a 2001=++,那么k 的值为( ). A .41 B .4 C .41- D .-417.若k 为整数,则使得方程(k-1999)x=2001-2000x 的解也是整数的k 值有A .4个B .8个C .12个D .16个关于绝对值方程【例1】方程5665-=+x x 的解是 .【例2】 适合81272=-++a a 的整数a 的值的个数有( ).A .5B .4C . 3D .2 .【例3】解方程:413=+-x x ;【例4】解下列方程:(1)113+=--+x x x(2)451=-+-x x .【例5】已知关于x 的方程a x x =-+-32,研究a 存在的条件,对这个方程的解进行讨论.练习21.方程15)1(3+=-x x 的解是 ;方程1213+=-x x 的解是 .2.已知199519953990=+x ,那么x = .3.已知,2+=x x ,那么19x 99+3x+27的值为 .4.关于x 的方程x a x a -+=1的解是x=0,则a 的值 ;关于x 的方程x a x a -+=1的解是x=1,则有理数a 的取值范围是 .5.使方程0223=++x 成立的未知数x 的值是( ).A .一2B .0C .32 D .不存在6.方程055=-+-x x 的解的个数为( ).A .不确定B .无数个C . 2个D .3个7.已知关于 x 的方程mx+2=2(m-x)的解满足0121=--x ,则m 的值是( ) A .5210或B .5210-或C .5210或-D .5210--或8.若20002020002000⨯=+x ,则x 等于( ).A .20或一21B .一20或21C .—19或21D .19或一219.解下列方程:(1)8453=+-x ; (2)43234+=--x x ;(3)312=+-x x ; (4)1212++-+-x x x .10.讨论方程k x =-+23的解的情况.11.方程212=--x 的解是 .12.若有理数x 满足方程x x +=-11,则化简1-x 的结果是 .13.若0,0<>b a ,则使b a b x a x -=-+-成立的x 取值范围是 .14.若100<<x ,则满足条件a x =-3的整数a 的值共有 个,它们的和是 .15.若m 是方程x x +=-20002000的解,则2001-m 等于( ).A .m 一2001B .一m 一2001C .m+2001D .一m+200116.若关于x 的方程032=+-m x 无解,043=+-n x 只有一个解,054==-k x 有两个解,则m 、n 、k 的大小关系是( ).m>n>k B .n>k>m C .k>m>n D . m>k>n17.适合关系式62343=++-x x 的整数x 的值有( )个.A .0B .1C .2D .大于2的自然数18.方程1735=--+x x 的解有( ).A .1个B .2个C . 3个D .无数个19.设a 、b 为有理数,且0>a ,方程3=--b a x 有三个不相等的解,求b 的值.20.当a 满足什么条件时,关于x 的方程a x x =---52有一解?有无数多个解?无解?21.已知y y x x +---=-++15912,求x+y 的最大值与最小值.22. (1)数轴上两点表示的有理数是a 、b ,求这两点之间的距离;(2)是否存在有理数x ,使x x x =-++31?(3)是否存在整数x ,使144334=++++-+-x x x x ?如果存在,求出所有的整数x ;如果不存在,说明理由.列方程解应用题1.甲是乙现在的年龄时,乙10岁;乙是甲现在的年龄时,甲25岁,那么()A.甲比乙大5岁B.甲比乙大10岁C.乙比甲大10岁D.乙比甲大5岁2.某城市按以下规定收取每月煤气费:用煤气如果不超过60m3,按每立方米0.8元收费;如果超过60m3,超过部分按每立方米1.2元收费,已知某用户4月份的煤气费平均每立方米0.88元。

3.1一元一次方程及其解法例题与讲解

3.1一元一次方程及其解法例题与讲解

一元一次方程及其解法1.一元一次方程(1)一元一次方程的概念只含有一个未知数(元),未知数的次数都是1,且等式两边都是整式的方程叫做一元一次方程.如:7-5x =3,3(x +2)=4-x 等都是一元一次方程.解技巧 正确判断一元一次方程判断一元一次方程的四个条件是:①只含有一个未知数(元);②未知数的次数都是一次;③未知数的系数不能为0;④分母中不含未知数,这四个条件缺一不可.(2)方程的解①概念:使方程两边相等的未知数的值叫做方程的解.一元方程的解,也叫做方程的根. ②方法:要检验某个数值是不是方程的解,只需看两点:一看,它是不是方程中未知数的值;二看,将它分别代入方程的左边和右边,若方程左、右两边的值相等,则它是方程的解.如x =3是方程2x -4=2的解,而y =3就不是方程2x -4=2的解.(3)解方程求方程的解的过程叫做解方程.方程的解和解方程是不同的概念,方程的解是求得的结果,它是一个数值(或几个数值),而解方程是指求出方程的解的过程.【例1-1】 下列各式哪些是一元一次方程( ).A .S =12ab ;B.x -y =0;C.x =0;D.12x +3=1;E.3-1=2;F.4y -5=1;G .2x 2+2x +1=0;H.x +2.解析:E 中不含未知数,所以不是一元一次方程;G 中未知数的次数是2,所以不是一元一次方程;A 与B 中含有的未知数不是一个,也不是一元一次方程;H 虽然形式上字母的个数是一个,但它不是等式,所以也不是一元一次方程;D 中分母中含有未知数,不是一元一次方程;只有C ,F 符合一元一次方程的概念,所以它们是一元一次方程.答案:CF【例1-2】 x =-3是下列方程( )的解.A .-5(x -1)=-4(x -2)B .4x +2=1C .13x +5=5 D .-3x -1=0 解析:对于选项A ,把x =-3代入所给方程的左右两边,左边=-5×(-3-1)=20,右边=-4×(-3-2)=20,因为左边=右边,所以x =-3是方程-5(x -1)=-4(x -2)的解;对于选项B ,把x =-3代入所给方程的左右两边,左边=4×(-3)+2=-10,右边=1,因为左边≠右边,所以x =-3不是方程4x +2=1的解,选项C ,D 按以上方法加以判断,都不能使方程左右两边相等,只有A 的左右两边相等,故应选A.答案:A2.等式的基本性质(1)等式的基本性质①性质1:等式的两边都加上(或减去)同一个数或同一个整式,所得结果仍是等式. 用式子形式表示为:如果a =b ,那么a +c =b +c ,a -c =b -c .②性质2:等式的两边都乘以(或除以)同一个数(除数不能是零),所得结果仍是等式. 用式子形式表示为:如果a =b ,那么ac =bc ,a c =b c(c ≠0). ③性质3:如果a =b ,那么b =a .(对称性)如由-8=y ,得y =-8.④性质4:如果a =b ,b =c ,那么a =c .(传递性)如:若∠1=60°,∠2=∠1,则∠2=60°.(2)等量代换 在解题过程中,根据等式的传递性,一个量用与它相等的量代替,简称等量代换. 谈重点 应用不等式的性质的注意事项(1)应用等式的基本性质1时,一定要注意等式两边同时加上(或减去)同一个数或同一个整式,才能保证所得结果仍是等式.这里特别要注意:“同时”和“同一个”,否则就会破坏相等关系.(2)等式的基本性质2中乘以(或除以)的仅仅是同一个数而不包括整式,要注意与性质1的区别.(3)等式两边不能都除以0,因为0不能作除数或分母.【例2-1】 下列运用等式的性质对等式进行的变形中,正确的是( ).A .若4y +2=3y -1,则y =1B .若7a =5,则a =57C .若x 2=0,则x =2D .若x 6-1=1,则x -6=1 解析:首先观察等式的左边是如何由上一步变形得到的,确定变形的依据,再对等式的右边进行相应的变形,得出结论.A 根据等式的基本性质1,等式的两边都减去3y +2,左边是y ,右边是-3,不是1;C 根据等式的基本性质2,两边都乘以2,右边应为0,不是2;D 根据等式的基本性质2,左边乘以6,而右边漏乘6,故不正确;只有B 根据等式的基本性质2,两边都除以7,得到a =57. 答案:B【例2-2】 利用等式的基本性质解方程:(1)5x -8=12;(2)4x -2=2x ;(3)x +1=6;(4)3-x =7.分析:利用等式的基本性质求解.先利用等式的基本性质1将方程变形为左边只含有未知数的项,右边含有常数项,再利用等式的基本性质2将未知数的系数化为1.解:(1)方程的两边同时加上8,得5x =20.方程的两边同时除以5,得x =4.(2)方程的两边同时减去2x ,得2x -2=0.方程的两边同时加上2,得2x =2.方程的两边同时除以2,得x =1.(3)方程两边都同时减去1,得x +1-1=6-1,∴x =6-1.∴x =5.(4)方程两边都加上x ,得3-x +x =7+x ,3=7+x ,方程两边都减去7,得3-7=7+x -7,∴-4=x ,即x =-4.3.解一元一次方程(1)移项①移项的概念及依据:把方程中的某一项改变符号后,从方程的一边移到另一边,这种变形叫做移项.因为方程是特殊的等式,所以移项的依据是等式的基本性质1.②移项的目的:把所有含有未知数的项移到方程的一边,常数项移到方程的另一边. ③移项的过程:移项的过程是项的位置改变和符号变化的过程.即对移动的项进行变号的过程,如,-2-3x =7,把-2从方程的左边移到右边,-2在原方程中前面带有性质符号“-”,移到右边后需变成“+”,在移动的过程中同时变号,没有移动的项则不变号.所以由移项,得-3x =7+2.④要注意移项和加法交换律的区别:移项是把某一项从等式的一边移到另一边,移项要变号;而加法交换律中交换加数位置只是改变排列的顺序,符号随着移动而不改变.如,3+5x =1,把3从方程的左边移到右边要变号,得5x =1-3,是属于移项;而把5x -15x +11x =11变成5x +11x -15x =11,是利用加法交换律,不是移项而是位置的移动,所以不变号.辨误区 移项时应注意的问题在移项时注意“两变”:一变性质符号,即“+”号变为“-”号,而“-”号变为“+”号;二变位置,把某项由等号的一边移到另一边.(2)解一元一次方程的步骤解一元一次方程的一般步骤有:去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1.具体见下表:变形名称 具体做法 变形依据 注意事项去分母 方程左右两边的每一项都乘以各分母的最小公倍数 等式的基本性质2 不能有漏乘不含分母的项;分子是多项式的去掉分母后,要加小括号去括号 可由小到大,或由大到小去括号 分配律;去括号的法则 不要漏乘括号内的项;括号前是“-”号的,去括号时括号内的所有项都要变号移项 移项就是将方程中的某些项改变符号后,从方程的一边移到另一边等式的基本性质1 移项要变号合并同类项 将方程化为ax =b 的最简形式 合并同类项的法则 只将系数相加,字母及其指数不变化系数为1 方程的左右两边同时除以未知数系数或乘以未知数系数的倒数等式的基本性质2 分子、分母不能颠倒解技巧 巧解一元一次方程值得注意的是:(1)这些步骤在解方程时不一定全部都用到,也不一定按照顺序进行,可根据方程的形式,灵活安排步骤;(2)为了避免错误,可将解出的结果代入原方程进行检验.【例3-1】 下列各选项中的变形属于移项的是( ).A .由2x =4,得x =2B .由7x +3=x +5,得7x +3=5+xC .由8-x =x -5,得-x -x =-5-8D .由x +9=3x -1,得3x -1=x +9解析:选项A 是把x 的系数化成1的变形;选项B 中x +5变成5+x 是应用加法交换律,只是把位置变换了一下;选项C 是作的移项变形;选项D 是应用等式的对称性“a =b ,则b =a ”所作的变形.所以变形属于移项的是选项C.答案:C【例3-2】 解方程2-x 3-5=x -14. 分析:方程有分母,将方程两边每一项都要乘以各分母的最小公倍数12,去掉分母得4(2-x )-60=3(x -1),再按照步骤求解,特别注意-5不能漏乘分母的最小公倍数12.解:去分母,方程两边都乘以12,得4(2-x )-60=3(x -1).去括号,得8-4x -60=3x -3.移项,得-4x -3x =-3-8+60.合并同类项,得-7x =49.两边同除以-7,得x =-7.4.解复杂的一元一次方程解方程是代数中的主要内容之一,一元一次方程化成标准方程后,就成为未知数系数不是0的最简方程.一元一次方程不仅有很多直接应用,而且解一元一次方程是学习解其他方程和方程组的基础.解方程的过程,实际上就是把方程式不断化简的过程,一直把方程化为x =a (a 是一个已知数).(1)复杂的一元一次方程的解法与简单方程的解法其思路是一样的.方程中若含有相同的代数式,可以把此代数式看作一个整体来运算;方程中若含有小数或百分数,就要根据分数的基本性质,把小数或百分数化为整数再去分母运算.(2)要注意把分母整数化和去分母的区别:分母整数化是在某一项的分子、分母上同乘以一个不等于零的数,而去分母是在方程两边同乘以分母的最小公倍数.【例4】 解方程0.4x -90.5-x -52=0.03+0.02x 0.03. 分析:由于0.4x -90.5和0.03+0.02x 0.03的分子、分母中含有小数,可利用分数的基本性质把小数化为整数,在式子0.4x -90.5的分子、分母中都乘以10,变为4x -905,在式子0.03+0.02x 0.03的分子、分母中都乘以100,变为3+2x 3,然后去分母,再按解一元一次方程的步骤求解. 解:分母整数化,得4x -905-x -52=3+2x 3. 去分母,得6(4x -90)-15(x -5)=10(3+2x ).去括号,得24x -540-15x +75=30+20x .移项,得24x -15x -20x =540-75+30.合并同类项,得-11x =495.两边同除以-11,得x =-45.5.与一元一次方程的解相关的问题方程的解不仅是方程的重要概念,也是考查方程知识时的主要命题点.解题的关键是理解方程的解的概念.(1)已知方程的解求字母系数:若已知方程的解,将方程的解代入方程,一定使其成立,则得到一个关于另一个未知数的方程,解这个方程,即可求出这个字母系数的值.(2)同解方程:因为两方程的解相同,可直接解第一个方程,求出未知数的值,再把未知数的值代入第二个方程,求出相关字母的值.【例5-1】 关于x 的方程3x +5=0与3x +3k =1的解相同,则k =( ).A .-2B .43C .2D .-43解析:解方程3x +5=0,得x =-53. 将x =-53代入方程3x +3k =1, 得-5+3k =1,解得k =2,故应选C.答案:C【例5-2】 若关于x 的方程(m -6)x =m -4的解为x =2,则m =__________.解析:把x =2代入方程(m -6)x =m -4,得(m -6)×2=m -4,解得m =8.答案:86.一元一次方程的常用解题策略 我们已经知道,解一元一次方程一般有五个步骤,去分母,去括号,移项,合并同类项,化未知数的系数为1,可有些一元一次方程,若能根据其结构特征,灵活运用运算性质与解题技巧,则不但可以提高解题速度与准确性,而且还可以使解题过程简捷明快,下面介绍解一元一次方程常用的几种技巧. (1)有括号的一元一次方程一般是先去括号,去括号的顺序一般是由小到大去,但有些题目是从外向里去括号,计算反而简单,这就要求仔细观察方程的特点,灵活运用使计算简便的方法. (2)对于一些含有分母的一元一次方程,若硬套解题的一般步骤,先去分母则复杂繁琐,若根据方程的结构特点,先移项、合并同类项,则使运算显得简捷明快. 有些特殊的方程却要打破常规,灵活运用一些解题技巧,使运算快捷、简便.巧解可激活思维,使我们克服思维定式,培养创新能力,从而增强学习数学的兴趣.【例6-1】 解方程34⎣⎡⎦⎤43⎝⎛⎭⎫12x -14-4=32x +1. 分析:注意到34×43=1,把34乘以中括号的每一项,则可先去中括号,34×43⎝⎛⎭⎫12x -14-34×4=32x +1,再去小括号为12x -14-3=32x +1,再按步骤解方程就非常简捷了. 解:去括号,得12x -14-3=32x +1. 移项,合并同类项,得-x =174. 两边同除以-1,得x =-174. 【例6-2】 解方程x +37-x +25=x +16-x +44. 分析:此题可按照解方程的一般步骤求解,但本题若直接去分母,则两边乘以最小公倍数420,运算量大容易出错,我们可两边分别通分,5(x +3)-7(x +2)35=2(x +1)-3(x +4)12,把分子整理后再按照解一元一次方程的步骤求解.解:方程两边分别通分,得5(x +3)-7(x +2)35=2(x +1)-3(x +4)12.化简,得-2x +135=-x -1012. 去分母,得12(-2x +1)=35(-x -10).去括号,得-24x +12=-35x -350.移项、合并同类项,得11x =-362.两边同除以11,得x =-36211.7.列一元一次方程解题(1)利用方程的解求未知系数的值当已知方程的解求方程中字母系数或有关的代数式时,常常采用代入法,即将方程的解代入原方程,得到关于字母系数的等式(或者可以看作关于字母系数的方程),再求解即可.(2)利用概念列方程求字母的值利用某些概念的定义,可以列方程求出相关的字母的取值,如根据同类项的定义或一元一次方程的定义求字母的值.列方程求值的关键是根据所学的知识找出相等关系.再列出方程,解方程从而求出字母的取值.谈重点 列一元一次方程注意挖掘隐含条件许多数学概念、性质的运用范围、限制条件或使用前提有的是以隐含条件的形式出现在题目中,由此可发掘隐含的条件,列一元一次方程解题,发掘隐含条件时需要全面、深刻地理解掌握数学基础知识.【例7-1】 (1)当a =__________时,式子2a +1与2-a 互为相反数.(2)若6的倒数等于x +2,则x 的值为__________.解析:(1)根据互为相反数的两数和为0,可得一元一次方程2a +1+(2-a )=0,解得a =-3;(2)由倒数的概念:乘积为1的两个数互为倒数,可得一元一次方程6(x +2)=1,解得x =-116. 答案:(1)-3 (2)-116【例7-2】 已知x =-2是方程x -k 3+3k +26-x =x +k 2的解,求k 的值. 分析:把x =-2代入原方程,原方程就变成了以k 为未知数的新方程,解含有未知数k 的方程,可以求出k 的值.解:把x =-2代入原方程,得-2-k 3+3k +26-(-2)=-2+k 2. 去分母,得2(-2-k )+3k +2-(-2)×6=3(-2+k ).去括号,得-4-2k +3k +2+12=-6+3k .移项、合并同类项,得-2k =-16.方程两边同除以-2,得k =8.。

一元一次方程(B)讲解

一元一次方程(B)讲解

第一讲 一元一次方程的概念及其解法知识点1:方程 ------ 含有未知数的等式。

【例1】判断下列式子是不是方程,是方程打“√”,不是方程打“⨯”,是一元一次方程打“○”。

(1) x=3 ( ) (2) 5+6=2+9 ( ) (3) 1+2x=4 ( ) (4) x+y=2 ( ) (5) x+1-3 ( ) (6) 2x -1=0 ( )知识点2:(1)一元一次方程 ------ 只含有一个未知数,未知数的次数都是1。

(2)方程的解 ------ 使方程中等号左右两边相等的未知数的值。

【例2】下列方程是一元一次方程的有哪些? (1)x+2y=9; (2)x 2-3x=1; (3)11=x; (4)x x 3121=-;(5)2x=1; (6)3x –5; (7)3+7=10; (8)x 2+x=1。

【例3】(1)方程()325232=-++-m x x a 是一元一次方程,则a 和m 分别为( )A.2和4B.-2 和 4C.2 和 -4D.-2 和-4(2)已知08)1()1(22=++--x m x m 是关于x 的一元一次方程,则m= 。

【例4】方程3x -1=5的解是( )A.x=34 B.x=35C.x=18D.x=2 知识点3:等式的基本性质(1)等式的两边都加上(或减去) 或 ,结果仍相等。

(2【例5】(1)填空:① 若x -2=3,根据 , 得到x -2 =3 ,即x = 。

② 若-4x=3,根据 ,得到 ,即x= 。

(2)以下等式变形,正确的是( )① 由x=y ,得到x +5=y +5; ② 由2a+1=b+1,得到2a=b ; ③ 由m=n ,得到am=an ; ④ 由am=an ,得到m=n 。

A. ①②B. ①②③C. ①②④D. ①②③④ (3)用适当的数或整式填空,使得结果仍是等式。

① 如果________;-8x 3,853==+那么x ② 如果-1_x_________3,123=--=那么x x ;③ 如果;__________x ,521==那么x ④ 如果________.3x ,32==那么yx知识点4:解一元一次方程的基本步骤【例6】解下列方程:(1)5223-=+x x (2))3(4)12(3-=+x x(3)21101211364x x x -++-=- (4)1111(3)3302222y ⎧⎫⎡⎤---=⎨⎬⎢⎥⎣⎦⎩⎭变式:1、下列方程变形中,正确的是( )(A )方程1223+=-x x ,移项,得;2123+-=-x x (B )方程()1523--=-x x ,去括号,得;1523--=-x x(C )方程2332=t ,未知数系数化为1,得;1=x (D )方程15.02.01=--xx 化成.63=x 2、方程62123xx +=-去分母后可得( ) A .3x -3 =1+2x B.3x -9 =1+2x C.3x -3 =2+2x D.3x -12=2+4x3、解下列方程:(1)167=+x (2)52+=x x (3)4531=--x (4)32243332=+--x x (5)22314615+=+---x x x x (6)⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-=--)13(2131)2(322x x x x【例7】x 取何值时,代数式 63x +与 832x- 的值相等。

3.1一元一次方程及其解法(1)

3.1一元一次方程及其解法(1)

3.1一元一次方程及其解法(1)
教材分析
本节课是小学与初中知识的衔接点,学生在小学已经初步接触过方程,了解了什么是方程,什么是方程的解,并学会了用等式性质解一些简单的方程。

本节课在描述一元一次方程的概念后,继续学习用等式基本性质解一元一次方程,从而引出用移项法则解一元一次方程,为学生进一步学习一元一次方程的解法和应用起到铺垫作用。

教学目标
(一)知识教学点
1.由实际问题得到的方程抽象出一元一次方程的概念。

2. 理解等式基本性质,并利用等式基本性质解一元一次方程,并学会检验。

3. 理解移项法则,会用移项法则解一元一次方程。

(二)能力训练点
1.通过对多种实际问题的分析,感受方程作为刻画现实世界的有效模型的意义.
2.由移项变形方法的教学,培养学生由算术解法过渡到代数解法的解方程的基本能力.(三)德育渗透点
增强学生用数学的意识,激发学生学数学的热情。

(四)美育渗透点
用移项法解方程明显比用等式性质方法解方程方便,体现了数学的方法美.
教学重点:利用移项法则解一元一次方程
教学难点:移项法则的理解和运用
教学方法:采用引导发现法发现法则,课堂训练体现学生的主体地位,引进竞争机制,调动课堂气氛。

教学准备:多媒体辅助
教学流程:
1.用猜谜引出学生身边的问题,从而引出一元一次方程的概念。

2.复习等式的基本性质。

3.利用等式基本性质解一元一次方程,同时给出检验的过程。

4.通过学生的观察、交流、归纳得到移项法则。

5.用移项法则解一元一次方程。

教学过程:
教学反思:。

专题06 一元一次方程(归纳与讲解)(解析版)

专题06 一元一次方程(归纳与讲解)(解析版)

专题06 一元一次方程【专题目录】技巧1:巧用一元一次方程求字母系数的值技巧2:特殊一元一次方程的解法技巧【题型】一、一元一次方程概念【题型】二、一元一次方程的解法【题型】三、一元一次方程应用之配套问题和工程问题【题型】四、一元一次方程应用之销售盈亏问题【题型】五、一元一次方程应用之比赛积分问题【考纲要求】1、了解等式、方程、一元一次方程的概念,掌握等式的基本性质.2、掌握一元一次方程的标准形式,熟练掌握一元一次方程的解法.3、会列方程(组)解决实际问题.【考点总结】一、一元一次方程【注意】一元一次方程的特征1.只含有一个未知数x2.未知数x的次数都是13.等式两边都是整式,分母中不含未知数。

2.解一元一次方程的一般步骤:(1)去分母;(2)去括号; (3)移项; (4)合并同类项; (5)未知数的系数化为1. 【技巧归纳】技巧1:巧用一元一次方程求字母系数的值【类型】一、利用一元一次方程的定义求字母系数的值1.已知方程(m -2)x |m|-1+16=0是关于x 的一元一次方程,求m 的值及方程的解. 2.已知方程(3a +2b)x 2+ax +b =0是关于x 的一元一次方程,求方程的解.3.已知(m 2-1)x 2-(m +1)x +8=0是关于x 的一元一次方程,求式子199(m +x)(x -2m)+9m +17的值.【类型】一、利用方程的解求字母系数的值 题型1:利用方程的解的定义求字母系数的值4.关于x 的方程a(x -a)+b(x +b)=0有无穷多个解,则( )A .a +b =0B .a -b =0C .ab =0D .ab =05.关于x 的方程(2a +b)x -1=0无解,则ab 是( )A .正数B .非正数C .负数D .非负数6.已知关于x 的方程9x -3=kx +14有整数解,那么满足条件的整数k =__________. 7.已知x =12是方程6(2x +m)=3m +2的解,求关于y 的方程my +2=m(1-2y)的解.8.当m 取什么整数时,关于x 的方程12mx -53=12⎝⎛⎭⎫x -43的解是正整数? 题型2:利用两个方程同解或解具有已知倍数关系确定字母系数的值9.如果方程x -43-8=-x +22的解与关于x 的方程2ax -(3a +5)=5x +12a +20的解相同,确定字母a 的值.题型3:利用方程的错解确定字母系数的值10.小马虎解方程2x -13=x +a2-1,去分母时,方程右边的-1忘记乘6,其他步骤都正确,这时方程的解为x =2,试求a 的值,并正确解方程. 参考答案1.解:由题意,得⎩⎪⎨⎪⎧|m|-1=1,m -2≠0,所以m =-2.将m =-2代入原方程,得-4x +16=0,解得x =4.2.解:由题意,得⎩⎪⎨⎪⎧3a +2b =0,a≠0,所以3a =-2b ,即a =-23b.当3a +2b =0时,原方程可化为ax +b =0,则x =-ba .将a =-23b 代入方程的解中,得x =-b a =32.3.解:由题意,得⎩⎪⎨⎪⎧m 2-1=0,m +1≠0,所以m =1.当m =1时,原方程可化为-2x +8=0,解得x =4.当m =1,x =4时,199(m +x)(x -2m)+9m +17=199×5×2+9×1+17=2 016. 4.A 5.B 6.8,-8,10或267.解:将x =12代入方程6(2x +m)=3m +2,得6⎝⎛⎭⎫2×12+m =3m +2,解得m =-43. 将m =-43代入方程my +2=m(1-2y),得-43y +2=-43(1-2y),解得y =56.点拨:已知一元一次方程的解,确定关于某一个未知数的方程中另外一个字母的值,只需把未知数的值(方程的解)代入原方程,即可得出含另一个字母的方程,通过求解确定另一个字母的值,从而进行关于其他字母的计算.8.解:原方程可化为12mx -53=12x -23,所以12(m -1)x =1,所以(m -1)x =2.因为x 必须为正整数且m 为整数,故m -1=1或2.当m -1=1,即m =2时,x =2; 当m -1=2,即m =3时,x =1.所以当m =2或3时,方程的解为正整数. 9.解:x -43-8=-x +22,去分母,得2(x -4)-48=-3(x +2).去括号、移项、合并同类项,得5x =50.系数化为1,得x =10.把x =10代入方程2ax -(3a +5)=5x +12a +20, 得2a×10-(3a +5)=5×10+12a +20, 去括号、移项,得20a -3a -12a =5+50+20. 合并同类项,得5a =75,系数化为1,得a =15. 10.解:由题意得4x -2=3x +3a -1,移项、合并同类项,得x =3a +1. 因为x =2,所以2=3a +1,则a =13.当a =13时,原方程为2x -13=x +132-1,解得x =-3.技巧2:特殊一元一次方程的解法技巧【类型】一、分子、分母含小数的一元一次方程 题型1:巧化分母为11.解方程:4x -1.60.5-3x -5.40.2=1.8-x0.1.2.解方程:2x +10.25-x -20.5=-10.题型2:巧化同分母3.解方程:x 0.6-0.16-0.5x0.06=1.题型3:巧约分去分母4.解方程:4-6x 0.01-6.5=0.02-2x0.02-7.5.【类型】二、分子、分母为整数的一元一次方程 题型1:巧用拆分法5.解方程:x -12-2x -36=6-x3.6.解方程:x 2+x 6+x 12+x20=1.题型2:巧用对消法7.解方程:x 3+x -25=337-6-3x15.题型3:巧通分8.解方程:x +37-x +25=x +16-x +44.【类型】三、含括号的一元一次方程 题型1:利用倒数关系去括号9.解方程:32⎣⎡⎦⎤23⎝⎛⎭⎫x 4-1-2-x =2. 题型2:整体合并去括号10.解方程:x -13⎣⎡⎦⎤x -13(x -9)=19(x -9). 题型3:整体合并去分母11.解方程:13(x -5)=3-23(x -5).题型4:不去括号反而添括号12.解方程:12⎣⎡⎦⎤x -12(x -1)=23(x -1). 题型5:由外向内去括号13.解方程:13⎣⎡⎦⎤14⎝⎛⎭⎫13x -1-6+2=0. 题型6:由内向外去括号14.解方程:2⎣⎡⎦⎤43x -⎝⎛⎭⎫23x -12=34x. 参考答案1.解:去分母,得2(4x -1.6)-5(3x -5.4)=10(1.8-x).去括号、移项、合并同类项,得3x =-5.8. 系数化为1,得x =-2915.点拨:本题将各分数分母化为整数1,从而巧妙地去掉了分母,给解题带来了方便 . 2.解:去分母、去括号,得8x +4-2x +4=-10.移项、合并同类项,得6x =-18. 系数化为1,得x =-3.点拨:由0.25×4=1,0.5×2=1,可巧妙地将分母化为整数1. 3.解:化为同分母,得0.1x 0.06-0.16-0.5x 0.06=0.060.06.去分母,得0.1x -0.16+0.5x =0.06. 解得x =1130.4.解:原方程可化为4-6x 0.01+1=0.01-x0.01.去分母,得4-6x +0.01=0.01-x. 解得x =45.点拨:本题将第二个分数通过约分处理后,使两个分数的分母相同,便于去分母.5.解:拆项,得x 2-12-x 3+12=2-x3.移项、合并同类项,得x2=2.系数化为1,得x =4.点拨:方程通过拆项处理后,便于合并同类项,使复杂方程简单化. 6.解:拆项,得⎝⎛⎭⎫x -x 2+⎝⎛⎭⎫x 2-x 3+⎝⎛⎭⎫x 3-x 4+⎝⎛⎭⎫x 4-x5=1. 整理得x -x 5=1.解得x =54.点拨:因为x 2=x -x 2,x 6=x 2-x 3,x 12=x 3-x 4,x 20=x 4-x5,所以把方程的左边每一项拆项分解后再合并就很简便 .7.解:原方程可化为x 3+x -25=247+x -25,即x 3=247.所以x =727. 点拨:此题不要急于去分母,通过观察发现-6-3x 15=x -25,两边消去这一项可避免去分母运算.8.解:方程两边分别通分后相加,得5(x +3)-7(x +2)35=2(x +1)-3(x +4)12.化简,得-2x +135=-x -1012.解得x =-36211.点拨:本题若直接去分母,则两边应同乘各分母的最小公倍数420,运算量大容易出错,但是把方程左右两边分别通分后再去分母,会给解方程带来方便. 9.解:去括号,得x4-1-3-x =2.移项、合并同类项,得-34x =6.系数化为1,得x =-8.点拨:观察方程特点,由于32与23互为倒数,因此让32乘以括号内的每一项,则可先去中括号,同时又去小括号,非常简便.10.解:原方程可化为x -13x +19(x -9)-19(x -9)=0.合并同类项,得23x =0.系数化为1,得x =0.11.解:移项,得13(x -5)+23(x -5)=3.合并同类项,得x -5=3.解得x =8.点拨:本题将x -5看成一个整体,通过移项、合并同类项进行解答,这样避免了去分母,给解题带来简便.12.解:原方程可化为12[(x -1)+1-12(x -1)]=23(x -1).去中括号,得12(x -1)+12-14(x -1)=23(x -1).移项、合并同类项,得-512(x -1)=-12.解得x =115.13.解:去中括号,得112⎝⎛⎭⎫13x -1-2+2=0.[来源:学科网] 去小括号,得136x -112=0.移项,得136x =112.系数化为1,得x =3.14.解:去小括号,得2[43x -23x +12]=34x.去中括号,得43x +1=34x.移项,合并同类项,得712x =-1.系数化为1,得x =-127.【题型讲解】【题型】一、一元一次方程概念例1、关于x 的一元一次方程224a x m -+=的解为1x =,则a m +的值为( ) A .9 B .8C .5D .4【详解】解:因为关于x 的一元一次方程2x a -2+m=4的解为x=1, 可得:a -2=1,2+m=4, 解得:a=3,m=2, 所以a+m=3+2=5, 故选:C .【题型】二、一元一次方程的解法例2、解一元一次方程11(1)123x x +=-时,去分母正确的是( )A .3(1)12x x +=-B .2(1)13x x +=-C .2(1)63x x +=-D .3(1)62x x +=-【答案】D【分析】根据等式的基本性质将方程两边都乘以6可得答案. 【详解】解:方程两边都乘以6,得:3(x +1)=6﹣2x ,故选:D . 例3、解方程:221123x x x ---=-【答案】27x =【分析】去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1,依此即可求解. 【详解】解:221123x x x ---=-()()6326221x x x --=--636642x x x -+=-+ 634662x x x -+=-+ 72x =27x =【题型】三、一元一次方程应用之配套问题和工程问题例4、某车间有22名工人,每人每天可生产1200个螺钉或2000个螺母,1个螺钉需配2个螺母,为使生产的螺钉和螺母刚好配套,若设x 名工人生产螺钉,依题意列方程为( ) A .1200x =2000(22﹣x ) B .1200x =2×2000(22﹣x ) C .1200(22﹣x )=2000x D .2×1200x =2000(22﹣x )【答案】D【分析】首先根据题目中已经设出每天安排x 个工人生产螺钉,则(22-x )个工人生产螺母,由1个螺钉需要配2个螺母①可知螺母的个数是螺钉个数的2倍①从而得出等量关系,就可以列出方程. 【详解】解:设每天安排x 个工人生产螺钉,则(22-x )个工人生产螺母,利用一个螺钉配两个螺母.由题意得:2×1200x=2000①22-x ),即2×1200x=2000①22-x①①故选D① 【题型】四、一元一次方程应用之销售盈亏问题例5、随着传统节日“端午节”临近,某超市决定开展“欢度端午,回馈顾客”的活动,将进价为120元一盒的某品牌粽子按标价的8折出售,仍可获利20%,则该超市该品牌粽子的标价为__元.( )A .180B .170C .160D .150【答案】A【分析】设该超市该品牌粽子的标价为x 元,则售价为80%x 元,根据等量关系:利润=售价﹣进价列出方程,解出即可.【详解】解:设该超市该品牌粽子的标价为x 元,则售价为80%x 元, 由题意得:80%x ﹣120=20%×120, 解得:x =180.即该超市该品牌粽子的标价为180元. 故选:A .【题型】五、一元一次方程应用之比赛积分问题例6、一张试卷有25道选择题,做对一题得4分,做错一题得-1分,某同学做完了25道题,共得70分,那么他做对的题数是( ) A .17道 B .18道C .19道D .20道【答案】C【分析】设作对了x 道,则错了(25-x )道,根据题意列出方程进行求解. 【详解】设作对了x 道,则错了(25-x )道,依题意得4x -(25-x)=70,解得x=19 故选C.一元一次方程(达标训练)一、单选题1.(2020·浙江·模拟预测)下列各式:①253-+=;①235=3x x x -+;①211x +=;①21=x;①23x +;①4x =.其中是一元一次方程的有( ) A .1个 B .2个C .3个D .4个【答案】B【分析】根据一元一次方程的定义逐个判断即可 【详解】解:①不含未知数,故错 ①未知数的最高次数为2,故错①含一个未知数,次数为1,是等式且两边均为整式,故对 ①左边不是整式,故错 ①不是等式,故错①含一个未知数,次数为1,是等式且两边均为整式,故对故选:B【点睛】本题考查了一元一次方程的定义,熟练掌握并理解一元一次方程的定义是解本题的关键2.(2022·浙江温州·三模)解方程2233522x x x x x --+=--,以下去分母正确的是( )A .22335x x x ---=B .22335x x x --+=C .()223352x x x x ---=-D .()223352x x x x --+=-【答案】D【分析】利用等式的性质在分式方程两边分别乘()2x - 即可.【详解】A ,()223352,x x x x +--=-故此选项不符合题意. B ,()223352,x x x x +--=-故此选项不符合题意. C ,()223352,x x x x +--=-故此选项不符合题意. D ,()223352,x x x x +--=-故此选项符合题意.故选:D .【点睛】本题主要考查了解分式方程去分母,根据等式的性质在分式方程两边分别乘以分母的最简公分母,熟练掌握等式的性质是解此题的关键.3.(2022·重庆沙坪坝·一模)若关于x 的方程25x a +=的解是2x =,则a 的值为( ) A .9- B .9 C .1- D .1【答案】D【分析】把2x =代入方程计算即可求出a 的值. 【详解】解:把2x =代入方程得:45a +=, 解得1a =. 故选:D .【点睛】本题考查了一元一次方程的解,方程的解即为能使方程左右两边相等的未知数的值. 4.(2022·河北石家庄·二模)1x =是下列哪个方程的解( ) A .65x =- B .2233+=+x xC .21133x x x x -=-- D .2x x =【答案】D【分析】把x =1代入各选项进行验算即可得解. 【详解】解:A 、5−1=4≠6,故本选项错误; B 、2124⨯+=,3136⨯+=,4≠6,故本选项错误; C 、当x =1时,x -1=0即分式的分母为0,故本选项错误;D 、211=,故本选项正确. 故选:D .【点睛】本题考查了方程的解的概念,使方程的左右两边相等的未知数的值是方程的解. 5.(2022·广东·佛山市南海外国语学校三模)我国古代的《洛书》中记载了最早的三阶幻方—九宫图.在如图所示的幻方中,每一横行、每一竖列以及两条对角线上的数字之和都相等,则m 的值是( )A .5B .3C .1-D .2-【答案】A【分析】根据幻方中,每一横行、每一竖列以及两条对角线上的数字之和都相等列出方程,即可求解. 【详解】解:设幻方正中间的数字为a , 依题意得:124a m a ++=++, 解得:5m =. 故选A .【点睛】此题考查了一元一次方程的应用,正确理解题意是解题的关键.二、填空题6.(2022·四川达州·二模)方程2x -3=5的解为________. 【答案】x =4【分析】根据解一元一次方程的解法求解即可得. 【详解】解:2x -3=5, 移项得2x =8, 系数化为1得:x =4, 故答案为:x =4.【点睛】题目主要考查解一元一次方程,熟练掌握方法是解题关键.7.(2022·四川广元·二模)已知:A ,B 在数轴上对应的数分别用a ,b 表示,且2(4)|12|0a b ++-=.若点C 点在数轴上且满足3AC BC =,则C 点对应的数为________. 【答案】8或20##20或8【分析】先根据非负数的性质求出a ,b 的值,分C 点在线段AB 上和线段AB 的延长线上两种情况讨论,即可求解.【详解】解:①2(4)|12|0a b ++-= ①a +4=0,b −12=0 解得:a =−4,b =12①A 表示的数是−4,B 表示的数是12 设数轴上点C 表示的数为c ①AC =3BC ①|c +4|=3|c −12| 当点C 在线段AB 上时 则c +4=3(12−c ) 解得:c =8当点C 在AB 的延长线上时 则c +4=3(c −12) 解得:c =20综上可知:C 对应的数为8或20.【点睛】本题考查了非负数的性质,方程的解法,数轴两点之间的距离,运用分类讨论思想方程思想和数形结合思想是解本题的关键.三、解答题8.(2022·四川广元·一模)解方程:2(1)13x x x --=-. 【答案】12x =-【分析】先去括号,再移项,合并同类项,最后把未知数的系数化“1”,从而可得答案. 【详解】解:去括号,得2213x x x -+=-. 移项及合并同类项,得21x =-. 系数化为1,得12x =-.【点睛】本题考查的是一元一次方程的解法,掌握“解一元一次方程的步骤”是解本题的关键. 9.(2022·湖南·长沙市长郡双语实验中学二模)“小口罩,大温暖”,为有效防控疫情,缓解基层防疫物资短缺问题,2020年2月10日,福山区首批4万只口罩免费派发.烟台市政府紧急调拨的这批民用口罩包括A ,B 两种不同款型,其中A 型口罩单价100元,B 型口罩单价80元.(1)先进行试点发放,某社区环卫工人共收到A ,B 两种款型的口罩100盒,总价值共计9200元,求免费发放给该社区环卫工人的A 型口罩和B 型口罩各多少盒?(2)我区某街道办事处决定将此项公益活动在其整个街道社区全面铺开,按照试点发放中A,B两种款型的数量比共发放2000盒.若该社区人口平均每500人发放A型口罩m盒,B型口罩(328m-)盒.求该街道社区人口总数.【答案】(1)免费发放给该社区环卫工人的A型口罩60盒,B型口罩40盒(2)该街道社区人口总数为50000人【分析】(1)设免费发放给该社区环卫工人的A型口罩x盒,B型口罩y盒,根据题意,列出方程,即可求解;(2)根据题意可得3286040m m-=,从而得到m=12,即可求解.(1)解:设免费发放给该社区环卫工人的A型口罩x盒,B型口罩y盒,依题意得:100100809200x yx y+=⎧⎨+=⎩,解得:6040xy=⎧⎨=⎩.答:免费发放给该社区环卫工人的A型口罩60盒,B型口罩40盒.(2)解:依题意得:328 6040m m-=,解得:m=12,①m+3m−28=20.①该街道社区人口总数=200020×500=50000(人).答:该街道社区人口总数为50000人.【点睛】本题主要考查了一元一次方程的应用,二元一次方程组的应用,明确题意,准确得到等量关系是解题的关键.一元一次方程(提升测评)一、单选题1.(2022·湖北十堰·一模)《九章算术》中记载:“今有共买羊,人出五,不足四十五;人出七,不足三问人数、羊价各几何?”其大意是:今有人合伙买羊,若每人出5钱,还差45钱;若每人出7钱,还差3钱,问合伙人数,羊价各是多少?如果我们设合伙人数为x ,则可列方程( ) A .54573x x +=+ B .54573x x -=-C .45357x x +=+D .45357x x-=+【答案】A【分析】根据每人出5钱,还差45钱;若每人出7钱,还差3钱,可以列出相应的一元一次方程,本题得以解决.【详解】解:设合伙人数为x ,则可列方程为 54573x x +=+;故选:A【点睛】本题考查由实际问题抽象出一元一次方程,解答本题的关键是明确题意,列出相应的方程. 2.(2022·浙江温州·二模)若代数式()()2132x x +++的值为8,则代数式()()2231x x -+-的值为( ) A .0 B .11 C .7- D .15-【答案】C【分析】由()()2132x x +++的值为8,求得x =0,再将x =0代入计算可得. 【详解】解:①()()2132x x +++的值为8, ①2x +2+3x +6=8, ①x =0,当x =0时,()()2231x x -+-=2×(-2)+3×(-1)=-7. 故选:C .【点睛】本题考查了解一元一次方程,代数式的求值,掌握解一元一次方程的解法是解题的关键. 3.(2022·河北·石家庄市第四十一中学模拟预测)已知m n =,下列等式不成立的是( ) A .2m n m += B .0-=m n C .22m x n x -=- D .235m n n -=【答案】D【分析】根据等式的性质和合并同类项即可判断. 【详解】由m n =,得2m n m m m +=+=,故A 成立; 0m n m m -=-=,故B 成立;根据等式的性质,等式两边同加或减一个等式,左右两边仍相等,22m x n x -=-,故C 成立;2323m n n n n -=-=-,故D 不成立;故选D .【点睛】本题考查了等式的性质和合并同类项,熟记运算法则是解题的关键.4.(2022·河北保定·一模)已知分式:341()()32a a a a -+---■的某一项被污染,但化简的结果等于2a +,被污染的项应为( ) A .0 B .1 C .23a a -- D .32a a -- 【答案】B【分析】设被污染的部分为p ,然后根据等式的性质解关于p 的方程,求出p 的表达式即可. 【详解】解:设被污染的部分为p , 则341()()232a a p a a a -+-=+--, ①241()232a p a a a --=+--, ①()()()132222a p a a a a --=+⨯--+, ①3122a p a a -=+--, ①22a p a -=-, ①1p =. 故选:B .【点睛】本题主要考查了分式的混合运算和利用等式的性质解一元一次方程,解题的关键是根据等式的性质解方程和掌握分式混合运算顺序和运算法则. 5.(2022·重庆·三模)下列四种说法中正确的有( ) ①关于x 、y 的方程24107x y +=存在整数解.①若两个不等实数a 、b 满足()()244222a b a b +=+,则a 、b 互为相反数.①若2()4()()0a c a b b c ---=-,则2b a c =+. ①若222x yz y xz z xy ---==,则x y z ==. A .①① B .①① C .①①① D .①①①【答案】B【分析】将24x y +提公因式2得2(2)x y +,由x 、y 为整数,则2(3)x y +为偶数,因为107为奇数,即原等式不成立,即可判断①;将442222()()a b a b +=+,整理得222()0a b -=,即得出22a b =,由于实数a 、b 不相等,即得出a 、b 互为相反数,故可判断①;2()4()()0a c a b b c ---=-整理得2(2)0a c b +-=,即得20a c b +-=,即2a c b +=,故可判断①;由222x yz y xz z xy ---==,得出2222x xz y yz y xy z xz ⎧+=+⎨+=+⎩,即可变形为222211()()2211()()22x z y z y x z x ⎧+=+⎪⎪⎨⎪+=+⎪⎩,可以得出x y z ==或0x y z ++=,故可判断①. 【详解】解:①262(3)x y x y +=+, ①如果x 、y 为整数,那么2(3)x y +为偶数, ①107为奇数,①24107x y +=不存在整数解,故①错误; 442222()()a b a b +=+444422222a b a b a b +++=442220a b a b +-=222()0a b -=①22a b =,①实数a 、b 不相等,①a 、b 互为相反数,故①正确; 2()4()()0a c a b b c ---=-222244440a ac c ab ac b bc -+-++-=()()22440a c b a c b +-++=2(2)0a c b +-=①20a c b +-=,即2a c b +=,故①正确; ①222x yz y xz z xy ---==①2222x xz y yzy xy z xz ⎧+=+⎨+=+⎩, ①2222222211441144x xz z y yz z y xy x z xz x ⎧++=++⎪⎪⎨⎪++=++⎪⎩,即222211()()2211()()22x z y z y x z x ⎧+=+⎪⎪⎨⎪+=+⎪⎩,①11()2211()22x z y z y x z x ⎧+=±+⎪⎪⎨⎪+=±+⎪⎩,①x y z ==或0x y z ++=,故①不一定正确. 综上可知正确的有①①.故选B.【点睛】本题考查因式分解,整式的混合运算.熟练掌握完全平方公式是解题关键.二、填空题6.(2022·山东临沂·一模)如图,用一块长7.5cm、宽3cm的长方形纸板,和一块长6cm、宽1.5cm 的长方形纸板,与一块小正方形纸板以及另两块长方形纸板,恰好拼成一个大正方形,则小正方形的边长是______cm,拼成的大正方形的面积是______cm2.【答案】 4.581【分析】设小正方形的边长为x cm,然后表示出大正方形的边长,利用正方形的面积相等列出方程求得小正方形的边长,然后求得大正方形的边长即可求得面积.【详解】解:设小正方形的边长为x cm,则大正方形的边长为(6+7.5-x)cm或(x+3+1.5)cm,根据题意得:6+7.5-x=x+3+1.5,解得:x=4.5,则大正方形的边长为6+7.5-x=6+7.5-4.5=9(cm),大正方形的面积为92=81(cm2),故答案为:4.5;81.【点睛】此题主要考查了一元一次方程的应用,关键是正确理解题意,设出小正方形的边长并表示出大正方形的边长.7.(2022·上海静安·1=的解是________.【答案】x=1【分析】首先方程两边同时平方,把无理方程化为有理方程,再解方程即可求得【详解】解:方程两边同时平方,得3x-2=1,解得x=1,经检验,x=1是原方程的解,所以,原方程的解为x=1.故答案为:x=1.【点睛】本题考查了无理方程的解法,熟练掌握和运用无理方程的解法是解决本题的关键,注意要检验.三、解答题8.(2022·河北·育华中学三模)如图,数轴上a 、b 、c 三个数所对应的点分别为A 、B 、C ,已知b是最小的正整数,且a 、c 满足2(6)20c a -++=.(1)①直接写出数a 、c 的值 , ; ①求代数式222a c ac +-的值;(2)若将数轴折叠,使得点A 与点C 重合,求与点B 重合的点表示的数; (3)请在数轴上确定一点D ,使得AD =2BD ,则D 表示的数是 . 【答案】(1)①-2,6;①64 (2)3 (3)4或0【分析】(1)①根据平方和绝对值的非负性即可求出a 和c ,①把a 和c 的值代入222a c ac +-求值即可;(2)根据题意,求出b 的值,然后求出线段AC 的中点,即可求出结论;(3)设点D 表示的数为x ,然后根据点D 的位置分类讨论,分别根据2AD BD =列出方程即可分别求出结论. (1) 解:①①()2620c a -++=, ①20a +=,60c -=, 解得2a =-,6c =. 故答案为:-2,6.①把2a =-,6c =代入222a c ac +-,2224362464a c ac +-=++=;(2)解:①b 是最小的正整数,①1b =,①线段AC 的中点为()2622-+÷=,设与点B 重合的点表示的数为n ,则(1+n )÷2=2, 解得:n =3.①与点B 重合的点表示的数是3. 故答案为:3. (3)解:因为a =-2,b =1,c =6,设点D 表示的数为x ,若2AD BD =,分三种情况讨论: ①若点D 在点A 的左侧,则x <-2且()221x x --=-, 解得4x =(不符合题意,舍去);①若点D 在点A 、B 之间,则-2<x <1且()()221x x --=-, 解得0x =;①若点D 在点B 右侧,则x >1且x -(-2)=2(x -1), 解得:x =4.综上所述,点D 表示的数是0或4. 故答案为:0或4.【点睛】此题考查了非负性的应用、数轴上两点之间的距离、中点公式和一元一次方程的应用,解题的关键是掌握平方、绝对值的非负性、数轴上两点之间的距离公式、中点公式和等量关系.。

一元一次方程和它的解法【最新4篇】

一元一次方程和它的解法【最新4篇】

一元一次方程和它的解法【最新4篇】元一次方程和它的解法篇一教学目的1、使学生明白以公式中的一个字母为未知数,其他字母为已知数,求这个未知数的问题要转化为求以这个字母为未知数的一元一次方程的解。

教学分析重点:求一个公式中的某一个字母的值。

难点:求一个公式中的某一个字母的值。

突破:把所给的公式看成是关于所求字母的一元一次方程。

教学过程一、复习1、x取什么值时,代数式x-(2+ x)-(-)的值等于1.依题意得:x-(2+ x)-(-)=1,逐步解出x的值。

2、已知梯形的下底a=2.8cm,上底b=0.8cm,高h=1.5cm,利用梯形面积公式求这个梯形的面积S。

(解略)二、新授1、导课公式是两个代数式用等号连接的式子,上面的2,是在已知等号的右边的字母的值的条件下,通过求代数式的值求得面积S。

如果知道了S及a,h的值,能否求出b的值呢?引导学生根据方程的意义,说出求b方法。

2、例题讲解。

例1(课本P203例8)在梯形的面积公式S= (a+b)h中,已S=120,b=18,h=8,求a。

分析:把S=120,b=18,h=8代入公式中,就得到了以a为未知数的方程,解这个一元一次方程即可求出a值。

解:(解略,见教材)小结:在一般情况下,公式中的几个字母中,会给出几个字母的值,只有某一个不知道,这时把已经知道的字母的值代进去,即可得到一个一元一次方程,解此方程就能求出那个未知的字母的值了。

三、练习P204练习:2.四、小结1、见上面的小结。

五、作业1、P208 A:18,19.2、基础训练同步练习8.元一次方程和它的解法篇二教学目的:掌握移项法则,并能利用移项法则准确迅速地解一元一次方程教学重点:移项法则教学难点:通过引例归纳移项法则教学过程:一、复习提问1、什么叫等式的性质?2、什么叫方程?二、新课:导语:从这节课开始学习和研究,在没有具体学习之前,我们先来通过简单的例子引入一种重要的变形,请同学们先看下面的例子:解方程①x-7=5②7x=6x-4学生叙述,教师板书:解:①x-7=5 ②7x=6x-4x-7+7=5+7 7x-6x =6x-6x-4x=5+7 7x-6x =-4x=12 x=-4导语:刚才我们在解方程过程中,有两组重要的等式:它们是(教师出示小黑板上的两组等式)x-7=5 ① 7x =6x –4 ③x=5+7 ② 7x-6x =-4 ④下面我们来分析和研究这两组等式,先请同学们观察第一组等式,思考下面的问题:⑴由等式①变形到等式②的根据是什么?⑴由等式①变形到等式②哪几项的位置明显没有变化?哪一项的位置发生了变化?已知项-7变化前在方程的哪一边?变化后在方程的哪一边?⑴请同学们再仔细观察一下这组等式?已知项-7除去位置发生了变化外,还有没有其它变化?是怎样变化的?教师小结:由上面的分析和研究可以看出,已知项-7不仅位置发生了变化,而且符号也发生了变化。

初二数学一元一次方程知识点

初二数学一元一次方程知识点

初二数学一元一次方程知识点一元一次方程属于整式方程,即方程两边都是整式,接下来让我们来学习一元一次方程的知识点吧。

一元一次方程通过化简,只含有一个未知数,且含有未知数的最高次项的次数是一的等式,叫一元一次方程。

通常形式是ax+b=0(a,b为常数,且a≠0)。

一元指方程仅含有一个未知数,一次指未知数的次数为1,且未知数的系数不为0。

我们将ax+b=0(其中x是未知数,a、b是已知数,并且a≠0)叫一元一次方程的标准形式。

这里a是未知数的系数,b是常数,x的次数必须是1。

即一元一次方程必须同时满足4个条件:⑴它是等式;⑵分母中不含有未知数;⑶未知数最高次项为1;⑷含未知数的项的系数不为0。

起源“方程”一词来源于中国古算术书《九章算术》。

在这本著作中,已经会列一元一次方程。

法国数学家笛卡尔把未知数和常数通过代数运算所组成的方程称为代数方程。

在19世纪以前,方程一直是代数的核心内容。

编辑本段详细内容合并同类项⒈依据:乘法分配律⒉把未知数相同且其次数也相同的项合并成一项;常数计算后合并成一项⒊合并时次数不变,只是系数相加减。

移项⒈依据:等式的性质一⒉含有未知数的项变号后都移到方程左边,把不含未知数的项移到右边。

⒊把方程一边某项移到另一边时,一定要变号{例如:移项时将+改为-}。

性质等式的性质一:等式两边同时加一个数或减去同一个数或同一个整式,等式仍然成立。

等式的性质二:等式两边同时扩大或缩小相同的倍数(0除外),等式仍然成立。

等式的性质三:等式两边同时乘方(或开方),等式仍然成立。

解方程都是依据等式的这三个性质等式的性质一:等式两边同时加一个数或减同一个数,等式仍然成立温馨提示:继续为大家带来的是初二数学知识点之一元一次方程,希望大家能够积累运用了。

初中数学知识点总结:平面直角坐标系下面是对平面直角坐标系的内容学习,希望同学们很好的掌握下面的内容。

平面直角坐标系平面直角坐标系:在平面内画两条互相垂直、原点重合的数轴,组成平面直角坐标系。

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判斷解的合理性
•輔大牧場原有牛、羊共 120 頭,今將牛 1 隻總數的 2 賣給市場後,再買進 12 頭羊, 結果牧場上羊隻的總數變成是牛隻總數 的3倍,則輔大牧場原有牛多少頭? → x=52.8 牛有52.8隻→不合理的情況 •不合題意的情況稱為無解
方程式解的意義
•當一數代入一元一次方程式的未知數時, 能使得等號的左、右兩邊相等,則稱此數 為該方程式的解或根。
等量公理
•等量公理:在任意等式中,將等式的左右 兩邊同加、減、乘、除(除數不為0),則等 號的兩邊仍會維持相等。 a、b、c表三個數 a +c =b +c 等量加法公理 a - c =b - c 等量減法公理 a ×c =b ×c 等量乘法公理 a ÷c =b則
•根據等量公理而得。將一已知數或未知數 從等號的一方移到另一方時,遵循:
+ = ─ a+7 =10 ─ = + a─7 =10 ×= a× 7 =10 = × a7 =10
變成 變成 變成
a=10─7 a=10+7 a=107 a=10× 7
變成
解決應用問題
•弟弟與爸爸的年齡相差30歲,弟弟今年8 歲,請問再過幾年,爸爸的年齡為弟弟的 的兩倍?
一元一次方程式
第一組
495366146 數碩三 廖虹媚 495366067 數碩三 陳俐憬 495366079 數碩三 施孟萱
了解「未知數」的意義
•透過文字及符號來代表未知的數量。 a、 b、x、 y、 □、等
「一元一次方程式」的意義
只含一種未知數稱為一元,且未知數的次方 是 1 的等式,稱為一元一次方程式。 未知數,次方為1 例: ax +b =0,且a ≠0
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