实际问题与一元一次方程知识讲解
一元一次方程的应用解实际问题
一元一次方程的应用解实际问题一元一次方程是数学中最简单的代数方程之一，也是我们日常生活中常常遇到的问题的数学表示方式。
通过解一元一次方程，我们可以找到未知数的值，从而解决实际问题。
本文将以实际问题为例，探讨一元一次方程的应用。
一、购物费用问题假设小明去商场购买一件衬衫，衬衫原价为x元，商店打折后优惠了20%，小明最终花费了36元购买了该衬衫。
通过一元一次方程可以解决以下问题：设衬衫原价为x元，则打折后的价格为x - 0.2x = 0.8x。
根据题意可得：0.8x = 36。
解这个方程可以得到x = 45。
因此，原价为45元的衬衫通过打折最终花费36元。
二、速度问题小明骑自行车从A地到B地，他以每小时12公里的速度骑行。
后来他意识到自己赶不上预定的时间，于是加快了速度。
最终他以每小时15公里的速度骑行，用时比原计划少1小时。
通过一元一次方程可以解决以下问题：设原计划用时为t小时，则骑行的距离为12t。
加快速度后，骑行的距离为15(t-1)。
根据题意可得：15(t-1) = 12t。
解这个方程可以得到t = 5。
因此，原计划用时5小时，加快速度后用时4小时。
三、人数问题某班的男生人数和女生人数之比为3:4。
如果男生人数增加20人，女生人数也增加20人，那么两者之间的比例将变为4:5。
通过一元一次方程可以解决以下问题：设男生人数为3x，女生人数为4x。
增加20人后，男生人数为3x + 20，女生人数为4x + 20。
根据题意可得：(3x + 20)/(4x + 20) = 4/5。
解这个方程可以得到x = 10。
因此，原来的男生人数为3x = 3 * 10 = 30人，女生人数为4x = 4 * 10 = 40人。
结语通过以上实际问题的应用，我们可以看到一元一次方程在解决实际生活中的问题时的重要性。
使用一元一次方程，我们可以将问题抽象为数学模型，并通过求解方程得到问题的答案。
一元一次方程的应用不仅帮助我们解决了购物费用、速度、人数等问题，更培养了我们的数学思维和解决实际问题的能力。
七上数学实际问题与一元一次方程
七上数学实际问题与一元一次方程一、概述数学作为一门基础学科，在我们的日常生活中扮演着重要的角色。
数学知识的应用不仅仅停留在课堂上，更多的是贯穿在我们的日常生活和实际问题中。
在七年级的数学课程中，一元一次方程是一个重要的概念。
本文将通过介绍一元一次方程的实际问题，探讨其在现实生活中的应用。
二、什么是一元一次方程？一元一次方程是指方程中只含有一个未知数，并且未知数的最高次数为一的方程。
一般来说，一元一次方程的一般形式为ax+b=c，其中a、b、c为已知数，x为未知数。
通过解一元一次方程可以求出未知数的值，从而解决实际问题。
三、一元一次方程在实际问题中的应用1. 购物问题假设小明去商店买东西，他手头有一些零钱，但是不知道能不能够买到心仪的物品。
假设小明手头有5元、10元、20元三种面额的纸币各若干张，他想要买一件价值95元的物品，问他是否能够买到？这个问题可以用一元一次方程来解决。
设5元、10元、20元的钞票分别为x、y、z张，则可以得到一个一元一次方程：5x+10y+20z=95。
通过解这个方程，可以求出x、y、z 的取值范围，从而判断小明能否买到心仪的物品。
2. 分配问题假设一个班级有40个学生，老师根据学生的成绩等级分别设立了三个奖励等级：一等奖、二等奖、三等奖。
一等奖的奖品价值200元，二等奖的奖品价值100元，三等奖的奖品价值50元。
如果班级设置的奖品总价值不超过6000元，求一等奖、二等奖、三等奖分别应该设多少名学生？这个问题也可以用一元一次方程来解决。
设一等奖、二等奖、三等奖的学生数分别为x、y、z名，则可以得到一个一元一次方程：200x+100y+50z=6000。
通过解这个方程，可以求出x、y、z的取值范围，从而得出合理的分配方案。
3. 速度问题假设小明和小华分别从A地和B地同时出发，小明的速度是v1，小华的速度是v2。
他们在t小时后相遇，求A地到B地的距离。
这个问题也可以用一元一次方程来解决。
8实际问题与一元一次不等式(基础)知识讲解及其练习 含答案
实际问题与一元一次不等式（基础）知识讲解【学习目标】1．会从实际问题中抽象出不等的数量关系，会用一元一次不等式解决实际问题；2. 熟悉常见一些应用题中的数量关系．【要点梳理】要点一、常见的一些等量关系1.行程问题：路程＝速度×时间2.工程问题：工作量＝工作效率×工作时间，各部分劳动量之和＝总量3.利润问题：商品利润＝商品售价－商品进价，=100%⨯利润利润率进价4.和差倍分问题：增长量＝原有量×增长率5.银行存贷款问题：本息和＝本金+利息，利息＝本金×利率6.数字问题：多位数的表示方法：例如：32101010abcd a b c d =⨯+⨯+⨯+. 要点二、列不等式解决实际问题列一元一次不等式解应用题与列一元一次方程解应用题类似，通常也需要经过以下几个步骤：(1)审：认真审题，分清已知量、未知量及其关系，找出题中不等关系要抓住题中的关键字眼，如“大于”、“小于”、“不大于”、“至少”、“不超过”、“超过”等；(2)设：设出适当的未知数；(3)列：根据题中的不等关系，列出不等式；(4)解：解所列的不等式；(5)答：写出答案，并检验是否符合题意．要点诠释：(1)列不等式的关键在于确定不等关系；(2)求得不等关系的解集后，应根据题意，把实际问题的解求出来；(3)构建不等关系解应用题的流程如图所示．（4）用不等式解决应用问题，有一点要特别注意：在设未知数时，表示不等关系的文字如“至少”不能出现，即应给出肯定的未知数的设法，然后在最后写答案时，应把表示不等关系的文字补上．如：若“设还需要B 型车x 辆 ”，而在答中应为“至少需要11辆 B 型车 ”．这一点应十分注意．【典型例题】类型一、行程问题1．爆破施工时，导火索燃烧的速度是0.8cm/s ，人跑开的速度是5m/s ，为了使点火的战士在施工时能跑到100m 以外（包括100m ）的安全地区，导火索至少需要多长？【思路点拨】设导火索要xcm 长，根据导火索燃烧的速度为0.8cm/s ，人跑开的速度是5m/s ，为了使点导火索的战士在爆破时能跑到离爆破点100m 的安全地区，可列不等式求解． 【答案与解析】 解：设导火索要xcm 长，根据题意得：1000.85x ≥ 解得：16x ≥答：导火索至少要16cm 长．【总结升华】本题考查一元一次不等式在实际问题中的应用，关键是以100m 的安全距离作为不等量关系列不等式求解．类型二、工程问题2.一个工程队规定要在6天内完成300土方的工程，第一天完成了60土方，现在要比原计划至少提前两天完成，则以后平均每天至少要完成多少土方？【思路点拨】假设以后几天平均每天完成x 土方，一个工程队规定要在6天内完成300土方的工程，第一天完成了60土方，那么该土方工程还剩300-60=240土方，现在要比原计划至少提前两天完成任务，说明至多4天完成任务，用去一天，还剩4-1=3（天）则列不等式2403x≤ 解得x 即可知以后平均每天至少完成多少土方．解：设以后几天平均每天完成x 土方．由题意得： 30060621x---≤ 解得： x≥80答：现在要比原计划至少提前两天完成任务，以后几天平均每天至少要完成80土方．【总结升华】解本类工程问题，主要是找准正确的工程不等式，如本题，以天数作为基准列不等式．举一反三：【变式】某人计划20天内至少加工400个零件，前5天平均每天加工了33个零件，此后，该工人平均每天至少需加工多少个零件，才能在规定的时间内完成任务？【答案】解：设以后平均每天加工x 个零件，由题意的：5×33+（20﹣5）x≥400，解得：x≥2153． ∵x 为正整数，∴x 取16．答：该工人以后平均每天至少加工16个零件．类型三、利润问题3.水果店进了某种水果1t ，进价是7元/kg ．售价定为10元/kg ，销售一半以后，为了尽快售完，准备打折出售．如果要使总利润不低于2000元，那么余下的水果至少可以按原定价的几折出售？【答案与解析】解：设余下的水果可以按原定价的x 折出售,根据题意得：1t ＝1000kg 10001000(107)(107)20001022x ⨯-⨯+-⨯≥ 解得：8x ≥ 答：余下的水果至少可以按原定价的8折出售．【总结升华】本题考查一元一次不等式的应用，关键以利润作为不等量关系列不等式． 举一反三：【变式】某商品的进价为1000元，售价为2000元，由于销售状况不好，商店决定打折出售，但又要保证利润不低于20%，则商店最多打 折．【答案】六.类型四、方案选择4.（•资阳）某大型企业为了保护环境，准备购买A 、B 两种型号的污水处理设备共8台，用于同时治理不同成分的污水，若购买A 型2台、B 型3台需54万，购买A 型4台、B 型2台需68万元．（1）求出A 型、B 型污水处理设备的单价；（2）经核实，一台A 型设备一个月可处理污水220吨，一台B 型设备一个月可处理污水190吨，如果该企业每月的污水处理量不低于1565吨，请你为该企业设计一种最省钱的购买方案．【思路点拨】（1）根据题意结合购买A 型2台、B 型3台需54万，购买A 型4台、B 型2台需68万元分别得出等式求出答案；（2）利用该企业每月的污水处理量不低于1565吨，得出不等式求出答案．【答案与解析】解：（1）设A 型污水处理设备的单价为x 万元，B 型污水处理设备的单价为y 万元，根据题意可得：，解得：．答：A 型污水处理设备的单价为12万元，B 型污水处理设备的单价为10万元；（2）设购进a 台A 型污水处理器，根据题意可得：220a+190（8﹣a ）≥1565，解得：a ≥1.5，∵A型污水处理设备单价比B型污水处理设备单价高，∴A型污水处理设备买越少，越省钱，∴购进2台A型污水处理设备，购进6台B型污水处理设备最省钱．【总结升华】本题考查了一元一次不等式的应用，二元一次方程组的应用，找准数量关系是解题的关键．实际问题与一元一次不等式（基础）巩固练习【巩固练习】一、选择题1．某采石场爆破时，点燃导火线的甲工人要在爆破前转移到400米以外的安全区域．甲工人在转移过程中，前40米只能步行，之后骑自行车．已知导火线燃烧的速度为0.01米/秒，步行的速度为1米/秒，骑车的速度为4米/秒．为了确保甲工人的安全，则导火线的长要大于（ ）米．A ．1B ．1.2C ．1.3D ．1.52.（•西宁）某经销商销售一批电话手表，第一个月以550元/块的价格售出60块，第二个月起降价，以500元/块的价格将这批电话手表全部售出，销售总额超过了5.5万元．这批电话手表至少有（ ）A ．103块B ．104块C ．105块D ．106块3.小红和爸爸、妈妈三人玩跷跷板，三人的体重一共为150kg ，爸爸坐在跷跷板的一端，体重只有妈妈一半的小红和妈妈坐在跷跷板的另一端，这时爸爸那一端仍然着地，小红的体重应小于( )A ．49kgB ．50kgC ．24kgD ．25kg4．某商品进价为800元，售价为1200元，由于受市场供求关系的影响，现准备打折销售，但要求利润率100%-⎛⎫=⨯ ⎪⎝⎭售价进价利润率进价不低于5%，则至少可打( ) A ．六折 B ．七折 C ．八折 D ．九折5．设“●”“▲”“■”表示三种不同的物体，现用天平称了两次，结果如图所示，那么这三种物体的质量按从大到小的顺序排列应为( )A ． ■、●、▲B ． ■、▲、●C ． ▲、●、■D ． ▲、■、●6．现有若干本连环画册分给小朋友，如果每人分8本，那么不够分，现在每人分7本，还多10本，则小朋友人数最少有 ( )A.7人B. 8人C. 10人D.11人二、填空题7．当x_______时，代数式-3x+5的值是正数；当x_______时，它的值不大于4；当x______时，它的值不小于2．8．一家商店计划出售60件衬衫，要使销售总额不低于5100元，则每件衬衫的售价至少应为_______元．9．有10名菜农，每名可种茄子3亩或辣椒2亩，已知茄子每亩的收入是0.5万元，辣椒每亩的收入是0.8万元，要使总收入不低于15.6万元，则最多只能安排________名菜农种茄子．10．用一根长不足160 cm的铁丝围成一个宽是x cm，长是宽的2倍的长方形，则可列不等式_______．11.（春•德州期末）某次数学测验中有16道选择题，评分办法：答对一道得6分，答错一道扣2分，不答得0分．某学生有一道题未答，那么这个同学至少要答对道题，成绩才能在60分以上．12．一个工程队规定在6天内完成300千米的修路工程，第一天完成了60千米，现在接到任务要比原计划至少提前2填完成任务，以后几天平均每天至少完成千米．三、解答题13．某工人计划在15天里加工408个零件，前三天每天加工24个，问以后每天至少加工多少个零件才能在规定时间内超额完成任务？14．某种飞机进行飞行训练，飞出去的速度为1200km/h，飞回机场的速度为1500km/h，飞机油箱中的燃油只能保持2.5h的飞行，则飞机最多飞出多少千米就应返回？(结果精确到10km)15．某商店在一次促销活动中规定：消费者消费满200元或超过200元就可享受打折优惠．一名同学为班级买奖品，准备买6本影集和若干支钢笔．已知影集每本15元，钢笔每支8元，问他至少买多少支钢笔才能打折?16.沃尔玛超市销售每台进价为320元和250元的A、B两种型号的电器，下表是两天的销售情况：（进价、售价均保持不变，利润=销售收入﹣进货成本）（1）求A、B两种型号的电器的销售单价；（2）若超市准备用不多于8200元的金额再采购这两种型号的电器共30台，求A种型号的电器最多能采购多少台？（3）在（2）的条件下，超市销售完这30台电器能否实现利润至少为2100元的目标？请给出相应的采购方案；若不能，请说明理由．一、选择题1. 【答案】C ；【解析】解：设导火线的长度为x 米， 由题意得，＞+，解得：x ＞1.3．故选C ．2.【答案】C ；【解析】设这批手表有x 块，550×60+（x ﹣60）×500＞55000解得x ＞104∴这批电话手表至少有105块，故选C ．3. 【答案】D ；【解析】解：设小红的体重为xkg ，由题意可得： 2150(2)x x x x +<-+，解得：25x <．4. 【答案】B ；【解析】解：设打x 折，由题意得：1200800105%800x ⨯-≥，解得x ≥7，所以至少应打7折.5. 【答案】B ； 【解析】由图可得： 2■＞■+▲ ①，●+▲＝3● ②，由①②得■＞▲，2●＝▲， 所以可得：■＞▲＞●．6. 【答案】D ；【解析】设小朋友人数为x 人，可得：8710x x >+，解得：10x >，所以小朋友至少为11人．二、填空题7.【答案】53<，≥13，≤1； 【解析】 由5350,3x x -+><得；由35x -+≤4得x ≥13；由35x -+≥2得x ≤1． 8.【答案】85；【解析】设售价为x 元，则60x ≥5100得x ≥85．9.【答案】4；【解析】设最多只能安排x 名菜农种茄子，则有(10-x)人种辣椒，那么种茄子的收入为3×0.5x 万元，种辣椒的收入为2×0.8×(10-x)万元，那么总收入为3×0.5x+2×0.8(10-x)万元．根据题意：3×0.5x+2×0.8(10-x)≥15.6，解得x ≤4，故最多安排4名菜农种茄子10．【答案】x+2x ＜80；11.【答案】x ＞．【解析】设答对x 道．故6x ﹣2（15﹣x ）＞60解得：x ＞所以至少要答对12道题，成绩才能在60分以上．【解析】解：设以后几天平均每天完成x 千米，由题意得：60+（6﹣1﹣2）x≥300，解得：x≥80，故以后几天平均每天至少完成80千米，故答案为：80．三、解答题13.【解析】解：设三天后每天加工x 个零件，根据题意得:24×3+(15-3)x ＞408，解得 x ＞28．因为x 为正整数，所以以后每天加工的零件数至少为29个．14.【解析】解：设飞机最多飞出x 千米就应返回，则:2.512001500x x +<． 解得x ＜216663． ∴x 取1660．∴飞机最多飞出1660千米就应返回．15.【解析】解：设该同学买x 支钢笔，根据题题意，得:15×6+8x ≥200，解得 x ≥3134． 故该同学至少要买14支钢笔才能打折．16.【解析】解：（1）设A 、B 两种型号电器的销售单价分别为x 元和y 元，由题意，得：2x+3y=1700，3x+y=1500，解得x=400元，y=300元，∴A、B 两种型号电器的销售单价分别为400元和300元；（2）设采购A 种型号电器a 台，则采购B 种型号电器（30﹣a ）台，依题意，得320a+250（30﹣a ）≤8200，解得a≤10，a 取最大值为10，∴超市最多采购A 种型号电器10台时，采购金额不多于8200元；（3）依题意，得（400﹣320）a+（300﹣250）（30﹣a ）≥2100，解得 a≥20，∵a 的最大值为10，∴在（2）的条件下超市不能实现利润至少为2100元的目标．。
实际问题与一元一次方程解题技巧
实际问题与一元一次方程解题技巧现实生活中常常需要列方程解决实际问题。
实际问题的内容不一定很精确，它一般比数学问题更宽一些。
如工程问题、调配问题、生产问题、造价问题、行程问题、时间问题等都是实际生活中的典型问题。
这些问题和方程对提高我们的数学素养和解决实际问题的能力有很大的帮助。
一、实际问题转化为数学问题——建立方程实际问题往往很复杂，涉及到的未知数很多，关系很复杂，列方程往往无从下手。
这就要求我们先认真审题，从中找出已知量和未知量，再找出它们之间的数量关系，从而列出方程。
例：一个水池可贮水250吨，现水池中已有水50吨，再注入多少水才能使水池中水量达300吨？分析：这是一个工程问题，先要求出水池的贮水增量与注入的水量之间的关系，再根据题目条件列出方程。
解：设再注入x吨水，则有方程：（250+50）+x=300二、解一元一次方程——化简求值解一元一次方程的一般步骤是去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1。
在解某些方程时，往往需要灵活运用各种方法，如因式分解法、公式法等。
在解一元一次方程时，要注意检验。
例：解方程：3（2x-1）-（x+2）=8-2（x-1）分析：去括号、移项时要注意符号的变化。
解：去括号得：6x-3-x-2=8-2x+2移项合并同类项得：7x=13解得：x=1.3三、实际问题解答要完整——实际问题解答时要注意完整地叙述表达实际问题中的对象、关系、叙述准确、完整；特别是实际问题的等量关系，在解答过程中常常需要构造代数式把它转化为一元一次方程加以解决；另外对实际问题的解答要有初步估计，看看结果是否符合实际情况。
解一元一次方程的基本步骤也可以直接应用于一元一次方程的实际问题。
在解答实际问题时，我们还要注意以下几点：1. 实际问题中有些数据是多余的，在解答时可以不要；如果某些数据在题目中没有出现，当然也不能代入。
2. 实际问题中数量关系式较多时容易使人分辨不清，在列方程的过程中，对于基本数量关系一定要用具体的字或词表示出来，防止由于概括不当造成的错误。
清单03一元一次方程(五大考点梳理题型解读解决实际问题12种题型)(原卷版)
清单03 一元一次方程（五大考点梳理+题型解读+解决实际问题12种题型）【知识导图】【知识清单】考点一、一元一次方程的概念1．方程：含有未知数的等式叫做方程．【例1】（2022秋•颍州区期末）下列各式中，是方程的个数为（）①x＝0；②3x﹣5＝2x+1；③2x+6；④x﹣y＝0；⑤＝5y+3；⑥a2+a﹣6＝0．A．2个B．3个C．5个D．4个2．一元一次方程：只含有一个未知数（元），未知数的次数都是1，这样的方程叫做一元一次方程．细节剖析：判断是否为一元一次方程，应看是否满足：①只含有一个未知数，未知数的次数为1；②未知数所在的式子是整式，即分母中不含未知数．【例2】（2022秋•汉台区期末）已知（m﹣3）x|m|﹣2＝18是关于x的一元一次方程，则（）A．m＝2B．m＝﹣3C．m＝±3D．m＝13．方程的解：使方程的左、右两边相等的未知数的值叫做这个方程的解．【例3】（2023春•蒸湘区校级期末）若x＝﹣1是方程2x+m﹣6＝0的解，则m的值是（）A．﹣4B．4C．﹣8D．8【变式】（2022秋•宁阳县期末）若一元一次方程ax+b＝0的解是x＝1，则a，b的关系为（）A．相等B．互为相反数C．互为倒数D．互为负倒数4．解方程：求方程的解的过程叫做解方程．考点二、等式的性质与去括号法则1．等式的性质：等式的性质1：等式两边加(或减)同一个数(或式子)，结果仍相等．等式的性质2：等式两边乘同一个数，或除以同一个不为0的数，结果仍相等．【例4】（2022秋•雅安期末）下列等式变形错误的是（）A．若，则x﹣1＝2xB．若x﹣1＝3，则x＝4C．若x﹣3＝y﹣3，则x﹣y＝0D．若3x+4＝2x，则3x﹣2x＝﹣42．合并法则：合并时，把系数相加(减)作为结果的系数，字母和字母的指数保持不变．3．去括号法则：（1）括号外的因数是正数，去括号后各项的符号与原括号内相应各项的符号相同．（2）括号外的因数是负数，去括号后各项的符号与原括号内相应各项的符号相反．考点三、一元一次方程的解法解一元一次方程的一般步骤：(1)去分母：在方程两边同乘以各分母的最小公倍数．(2)去括号：依据乘法分配律和去括号法则，先去小括号，再去中括号，最后去大括号．(3)移项：把含有未知数的项移到方程一边，常数项移到方程另一边．(4)合并：逆用乘法分配律，分别合并含有未知数的项及常数项，把方程化为ax＝b(a≠0)的形式．(5)系数化为1：方程两边同除以未知数的系数得到方程的解bxa(a≠0)．(6)检验：把方程的解代入原方程，若方程左右两边的值相等，则是方程的解；若方程左右两边的值不相等，则不是方程的解．【例5】（2022秋•东宝区期末）解方程：（1）4﹣2x＝﹣3（2﹣x）；（2）．考点四、列方程解应用题的步骤：①审：审题，分析题中已知什么，求什么，明确各数量之间关系②设：设未知数（一般求什么，就设什么为x）③找：找出能够表示应用题全部意义的一个相等关系④列：根据这个相等关系列出需要的代数式，进而列出方程⑤解：解所列出的方程，求出未知数的值⑥答：检验所求解是否符合题意，写出答案（包括单位名称）【例6】（2022秋•汇川区期末）如图，已知数轴上有A，B两点，它们分别表示数a，b，且（a+6）2+|b﹣12|＝0．（1）填空：a＝，b＝；（2）点C以2个单位长度/秒的速度从点A向点B运动，到达点B后停止运动．若点D为AC中点，点E为BC中点，在点C运动过程中，线段DE的长度是否发生改变？若不变，求线段DE的长度，若变化，请说明原因；（3）在（2）的条件下，点P以1个单位长度/秒的速度同时从原点O向点B运动，P点到达B点后停止运动，问点P运动多少秒后，点P与点C相距2个单位长度？【例7】（2022秋•秦淮区期末）根据国家发改委实施“阶梯电价”的有关文件要求，某市结合地方实际，决定从2015年5月1日起对居民生活用电实施“阶梯电价”收费，具体收费标准见下表：一户居民一个月用电量的范围电费价格（元/千瓦时）不超过150千瓦时的部分a 超过150千瓦时，但不超过300千瓦时的部分b 超过300千瓦时的部分a +0.32015年5月份，该市居民甲用电100千瓦时，交费60元；居民乙用电200千瓦时，交费125元． （1）求上表中a 、b 的值；（2）实施“阶梯电价”收费以后，该市一户居民月用电多少千瓦时，其当月交费285元？【例8】．（2022秋•常州期末）列方程解决问题：小华和妈妈一起玩成语竞猜游戏，商定如下规则：小华猜中1个成语得2分，妈妈猜中1个成语得1分，结果两人一共猜中了30个成语，得分恰好相等．请问小华猜中了几个成语？考点五、用一元一次方程解决实际问题的常见类型 1.行程问题：路程＝速度×时间2.和差倍分问题：增长量＝原有量×增长率3.利润问题：商品利润＝商品售价－商品进价4.工程问题：工作量＝工作效率×工作时间，各部分劳动量之和＝总量5.银行存贷款问题：本息和＝本金+利息，利息＝本金×利率×期数6.数字问题：多位数的表示方法：例如：32101010abcd a b c d =⨯+⨯+⨯+ 7.数字问题；8.分配问题； 9.比赛积分问题；10.水流航行问题（顺水速度=静水速度+水流速度；逆水速度=静水速度水流速度）．题型1.配套问题1.某生产教具的厂家准备生产正方体教具，教具由塑料棒和金属球组成（一条棱用一根塑料棒，一个顶点由一个金属球镶嵌），安排一个车间负责生产这款正方体教具，该车间共有34名工人，每个工人每天可生产塑料棒100根或金属球75个，如果你是车间主任，你会如何分配工人成套生产正方体教具？2.某车间有62个工人，生产甲、乙两种零件，每人每天平均能生产甲种零件12个或乙种零件23个．已知每3个甲种零件和2个乙种零件配成一套，问应分配多少人生产甲种零件，多少人生产乙种零件，才能使每天生产的这两种零件刚好配套？题型2.销售问题销售问题中有四个基本量：成本（进价）、销售价（收入）、利润、利润率。
一元一次方程与实际问题
一元一次方程与实际问题一元一次方程是数学中最基础、最常见的方程之一。
它由一个未知数和其他数构成，满足未知数的最高次数为一。
实际问题中，一元一次方程可以帮助我们解决很多实际情境中的数学难题。
例如，我们可以利用一元一次方程解决以下几类问题：1. 比例问题：假设一公斤苹果的价格为x元，那么y公斤苹果的价格可以表示为y * x元。
如果知道y=3公斤苹果的价格为6元，我们可以列出方程3x=6。
通过求解这个方程，我们可以得到每公斤苹果的价格x=2元。
2. 几何问题：假设一个长方形的长度为x米，宽度为2米。
如果知道长方形的面积为6平方米，我们可以列出方程x * 2 = 6。
通过求解这个方程，我们可以得到长方形的长度x=3米。
3. 配平化学方程：在化学反应中，我们常常需要配平化学方程以满足质量守恒定律和原子数守恒定律。
一元一次方程可以帮助我们解决配平化学方程的问题。
例如，对于化学反应Na + H2O → NaOH + H2，我们可以列出方程xNa + yH2O → zNaOH + wH2，其中x、y、z、w分别表示相应的系数。
通过求解这个方程系统，我们可以得到配平后的化学方程。
4. 商业问题：一元一次方程也常用于解决商业问题。
例如，假设某公司每个月固定的营业额为20000元，并且每卖出一件商品可以获利50元。
如果该公司希望达到每月利润6000元的目标，我们可以列出方程20000 + 50x = 26000。
通过求解这个方程，我们可以得知该公司需要卖出120件商品才能实现目标利润。
总之，一元一次方程是解决实际问题中的数学工具之一。
通过学习和应用一元一次方程，我们可以解决各种实际情况下的计算难题，并在日常生活中运用数学思维解决实际问题。
实际问题与一元一次方程
2023实际问题与一元一次方程CATALOGUE目录•引言•实际问题与一元一次方程的基础知识•实际问题与一元一次方程的应用•复杂实际问题与一元一次方程的解决策略•实际问题的创新思考与一元一次方程的拓展应用01引言1什么是实际问题与一元一次方程？23实际问题是指与生活、工作、学习等实际情境相关的问题，通常需要解决的是数量关系和空间关系。
一元一次方程是一种数学模型，它由一个未知数和一个常数组成，并且未知数的最高次数为1。
实际问题与一元一次方程是数学应用题的重要组成部分，通过建立数学模型，解决实际问题。
03增强数学兴趣通过解决实际问题，可以增强对数学的兴趣和好奇心，提高学习数学的积极性。
为什么学习实际问题与一元一次方程？01提高数学应用能力学习实际问题与一元一次方程能够提高数学应用能力，更好地理解数量关系和空间关系，解决实际生活中的问题。
02培养逻辑思维解决实际问题需要分析和推理，学习一元一次方程能够培养逻辑思维和解决问题的能力。
02实际问题与一元一次方程的基础知识一元一次方程是一个等式，其中只包含一个未知数，未知数的最高次数为1。
定义ax + b = 0，其中a、b为常数，且a≠0。
形式通过移项、合并同类项、系数化为1等方法求解未知数的值。
解法将方程中的未知数移到等式的另一边，常数项移到等式的另一边。
移项合并同类项系数化为1将方程中相同类型的项合并。
将方程中的系数化为1，从而得到未知数的值。
030201一元一次方程的应用场景物理应用在物理问题中，一元一次方程可以用来求解物理量之间的关系，如速度、加速度等。
经济应用在经济问题中，一元一次方程可以用来求解成本、价格等问题。
计算应用题在计算问题中，一元一次方程可以用来求解未知数，如工程问题、相遇问题等。
03实际问题与一元一次方程的应用假设商品原价为x元，打折后的价格为y元，折扣率为z，则有方程x × (1-z) = y。
通过该方程可以求解折扣率z和打折后的价格y。
一元一次方程解决实际问题
一元一次方程解决实际问题一元一次方程是一种最简单的代数方程，它的解决方法可以应用于实际问题中。
在本文中，我们将探讨一元一次方程如何解决实际问题，并通过具体的例子来说明。
一元一次方程可以表示为ax + b = 0的形式，其中a和b是已知数，x是未知数。
解这个方程就是要找到使得等式成立的x的值。
在实际问题中，一元一次方程可以用来解决各种数学和物理相关的问题。
让我们来看一个简单的例子。
假设小明去超市买苹果，苹果的价格是每个2元，小明买了x个苹果，总共花了10元。
我们可以用一元一次方程来解决这个问题。
根据题意，我们可以列出方程2x = 10。
我们将方程化简为x = 10/2，得到x = 5。
因此，小明买了5个苹果。
除了解决购物问题，一元一次方程还可以应用于解决速度和距离的问题。
例如，假设一辆汽车以每小时60公里的速度行驶，已经行驶了x小时。
我们想要知道汽车行驶了多少公里。
根据题意，我们可以列出方程60x = 距离。
如果已知时间x为3小时，我们就可以解出距离为60 * 3 = 180公里。
通过一元一次方程，我们可以方便地计算出汽车行驶的距离。
除了购物和速度问题，一元一次方程还可以解决货币兑换问题。
例如，假设1美元可以兑换7人民币，小明去美国旅游，带了x美元。
我们想要知道他可以兑换多少人民币。
根据题意，我们可以列出方程7x = 人民币金额。
如果已知小明带了20美元，我们就可以解出人民币金额为7 * 20 = 140元。
通过一元一次方程，我们可以方便地计算出货币兑换的金额。
除了上述例子，一元一次方程还可以解决许多其他实际问题。
例如，解决物体的重量和密度问题，解决商品的成本和售价问题等等。
无论是在数学领域还是在物理领域，一元一次方程都是解决实际问题的基础工具之一。
在实际问题中，解一元一次方程时需要注意一些细节。
首先，方程的形式必须是ax + b = 0，如果不是，我们需要进行化简。
其次，解方程时需要进行运算，例如加法、减法、乘法和除法等。
实际问题与一元一次方程(知识讲解)
实际问题与一元一次方程(一)(基础)知识讲解【学习目标】1.熟练掌握分析解决实际问题的一般方法及步骤;2.熟悉行程，工程，配套及和差倍分问题的解题思路. 【要点梳理】知识点一、用一元一次方程解决实际问题的一般步骤列方程解应用题的基本思路为：问题−−−→分析抽象方程−−−→求解检验解答．由此可得解决此类 题的一般步骤为:审、设、列、解、验、答．要点诠释:(1)“审”是指读懂题目,弄清题意,明确哪些是已知量，哪些是未知量，以及它们之间的关系，寻找等量关系；（2)“设”就是设未知数,一般求什么就设什么为x ，但有时也可以间接设未知数； (3）“列”就是列方程,即列代数式表示相等关系中的各个量，列出方程,同时注意方程两边是同一类量，单位要统一; (4）“解”就是解方程，求出未知数的值. （5）“验”就是指检验方程的解是否符合实际意义,当有不符合的解时，及时指出,舍去即可； （６）“答”就是写出答案,注意单位要写清楚．知识点二、常见列方程解应用题的几种类型(待续)１．和、差、倍、分问题（１）基本量及关系:增长量＝原有量×增长率，现有量＝原有量＋增长量，现有量＝原有量－降低量．(2)寻找相等关系：抓住关键词列方程,常见的关键词有:多、少、和、差、不足、剩余以及倍，增长率等． 2.行程问题（１）三个基本量间的关系: 路程=速度×时间 （2)基本类型有：①相遇问题(或相向问题)：Ⅰ．基本量及关系:相遇路程=速度和×相遇时间Ⅱ．寻找相等关系:甲走的路程+乙走的路程=两地距离．②追及问题:Ⅰ.基本量及关系:追及路程=速度差×追及时间Ⅱ．寻找相等关系：第一， 同地不同时出发:前者走的路程＝追者走的路程；第二， 第二,同时不同地出发:前者走的路程+两者相距距离＝追者走的路程.③航行问题:Ⅰ.基本量及关系：顺流速度=静水速度＋水流速度，逆流速度＝静水速度-水流速度， 顺水速度－逆水速度=2×水速;Ⅱ.寻找相等关系：抓住两地之间距离不变、水流速度不变、船在静水中的速度不变来考虑.（３)解此类题的关键是抓住甲、乙两物体的时间关系或所走的路程关系,并且还常常借助画草图来分析. ３.工程问题如果题目没有明确指明总工作量,一般把总工作量设为1.基本关系式: (1)总工作量=工作效率×工作时间; (2）总工作量=各单位工作量之和. 4．调配问题寻找相等关系的方法：抓住调配后甲处的数量与乙处的数量间的关系去考虑．【典型例题】类型一、和差倍分问题1.201１年北京市生产运营用水和居民家庭用水的总和为5．8亿立方米,其中居民家庭用水比生产运营用水的3倍还多0．6亿立方米，问生产运营用水和居民家庭用水各多少亿立方米? 【答案与解析】设生产运营用水x 亿立方米，则居民家庭用水(５.８-x )亿立方米. 依题意,得５．8-ｘ=３x+０．6 解得x =１.35.8-x ＝５.8-1．3=４.５(亿立方米)答：生产运营用水1.3亿立方米，居民家庭用水４.5亿立方米.【总结升华】本题要求两个未知数，不妨设其中一个未知数为x ，另外一个用含x 的式子表示.本题的相等关系是生产运营用水量＋居民家庭用水总量=5.8亿立方米. 举一反三：【变式】(麻城期末考试)麻商集团三个季度共销售冰箱２800台,第一个季度销售量是第二个季度的2倍．第三个季度销售量是第一个季度的2倍，试问麻商集团第二个季度销售冰箱多少台?【答案】解：设第二个季度麻商集团销售冰箱x 台,则第一季度销售量为２x 台,第三季度销售量为4x 台,依题意可得：x+2x+4x ＝280０，解得：x =400答：麻商集团第二个季度销售冰箱400台．类型二、行程问题 1.一般问题2.小山娃要到城里参加运动会，如果每小时走４千米,那么走完预订时间离县城还有0．5千米，如果他每小时走5千米，那么比预订时间早半小时就可到达县城．试问学校到县城的距离是多少千米? 【答案与解析】解：设小山娃预订的时间为ｘ小时,由题意得： 4x+0.5＝5(x -0．５)，解得x =3.所以4ｘ+0.5=4×３+0.５=1２.5(千米). 答：学校到县城的距离是１２.5千米．【总结升华】当直接设未知数有困难时，可采用间接设的方法．即所设的不是最后所求的，而是通过求其它的数量间接地求最后的未知量． 举一反三:【变式】某汽车在一段坡路上往返行驶，上坡的速度为10千米/时,下坡的速度为20千米/时，求汽车的平均速度． 【答案】解：设这段坡路长为a 千米，汽车的平均速度为ｘ千米/时,则上坡行驶的时间为10a小时，下坡行驶的时间为20a 小时.依题意,得：21020aa x a ⎛⎫+=⎪⎝⎭, 化简得: 340ax a =． 显然a ≠０，解得1133x =答：汽车的平均速度为1133千米／时．2．相遇问题（相向问题)【高清课堂：实际问题与一元一次方程(一) 388410 相遇问题】3. Ａ、Ｂ两地相距100k ｍ，甲、乙两人骑自行车分别从A 、Ｂ两地出发相向而行，甲的速度是２３k ｍ／h ，乙的速度是21k ｍ/h,甲骑了1ｈ后,乙从B 地出发,问甲经过多少时间与乙相遇？ 【答案与解析】解:设甲经过x 小时与乙相遇.由题意得:()2312321(1)100x ⨯++-= 解得,x=２.７５ 答：甲经过２.75小时与乙相遇.【总结升华】等量关系:甲走的路程+乙走的路程＝1０0k ｍ 举一反三:【变式】甲、乙两人骑自行车，同时从相距45km 的两地相向而行，2小时相遇，每小时甲比乙多走２.5km ，求甲、乙每小时各行驶多少千米? 【答案】解：设乙每小时行驶x 千米，则甲每小时行驶（x +２.５）千米，根据题意，得：2( 2.5)245x x ++=解得：10x =2.510 2.512.5x +=+=(千米)答:甲每小时行驶1２．5千米，乙每小时行驶10千米3.追及问题（同向问题）4．一队学生去校外进行军事野营训练，他们以5千米/时的速度行进,走了18分钟时,学校要将一紧急通知传给队长，通讯员从学校出发,骑自行车以14千米/时的速度按原路追上去,通讯员用多少分钟可以追上学生队伍? 【答案与解析】解：设通讯员ｘ小时可以追上学生队伍,则根据题意，得18145560x x =⨯+, 得：16x =, 16小时=10分钟. 答:通讯员用1０分钟可以追上学生队伍．【总结升华】追及问题:路程差=速度差×时间，此外注意:方程中x 表示小时，18表示分钟,两边单位不一致，应先统一单位.4．航行问题（顺逆风问题）５.一艘船航行于A 、B 两个码头之间,轮船顺水航行需3小时,逆水航行需5小时，已知水流速度是4千米／时,求这两个码头之间的距离. 【答案与解析】解法1：设船在静水中速度为x 千米/时,则船顺水航行的速度为(x ＋４)千米/时，逆水航行的速度为(x -４)千米/时，由两码头的距离不变得方程:３（x ＋４)=5(x －4),解得：x ＝16，（16+４）×3=60（千米)答:两码头之间的距离为６0千米.解法2：设A 、B 两码头之间的距离为x 千米,则船顺水航行时速度为3x 千米/时，逆水航行时速度为5x 千米/时,由船在静水中的速度不变得方程：4435x x-=+,解得：60x = 答：两码头之间的距离为60千米.【总结升华】顺流速度=静水速度+水流速度；逆流速度＝静水速度-水流速度，根据两个码头的距离不变或船在静水中的速度不变列方程．类型三、工程问题6．一个水池有两个注水管,两个水管同时注水，1０小时可以注满水池；甲管单独开15小时可以注满水池，现两管同时注水７小时，关掉甲管,单独开乙管注水，还需要几小时能注满水池? 【思路点拨】视水管的蓄水量为“1”，设乙管还需x 小时可以注满水池;那么甲乙合注1小时注水池的110，甲管单独注水每小时注水池的115,合注７小时注水池的710，乙管每小时注水池的111015⎛⎫- ⎪⎝⎭． 【答案与解析】解:设乙管还需ｘ小时才能注满水池. 由题意得方程:1171101510x ⎛⎫-=-⎪⎝⎭解此方程得:x =9答:单独开乙管,还需9小时可以注满水池.【总结升华】工作效率×工作时间=工作量,如果没有具体的工作量，一般视总的工作量为“1” . 举一反三:【变式】修建某处住宅区的自来水管道,甲单独完成需1４天，乙单独完成需１8天,丙单独完成需12天，前7天由甲、乙两人合作,但乙中途离开了一段时间，后两天由乙、丙合作完成问乙中途离开了几天? 【答案】解:设乙中途离开x 天，由题意得1117(72)21141812x ⨯+-++⨯= 解得:3x =答：乙中途离开了3天类型四、调配问题（比例问题、劳动力调配问题)7．星光服装厂接受生产某种型号的学生服的任务，已知每3ｍ长的某种布料可做上衣2件或裤子３条，一件上衣和一条裤子为一套,计划用750m 长的这种布料生产学生服,应分别用多少布料生产上衣和裤子才能恰好配套?共能生产多少套?【思路点拨】每３米布料可做上衣２件或裤子3条,意思是每1米布料可做上衣32件，或做裤子1条,此外恰好配套说明裤子的数量应该等于上衣的数量． 【答案与解析】解:设做上衣需要x ｍ，则做裤子为(750-ｘ)ｍ,做上衣的件数为23x ⨯件，做裤子的件数为75033x -⨯，则有:23(750)33x x -=解得：x =4５0,750-x =7５0-4５０＝3０0(m ）,45023003⨯=(套) 答：用450m 做上衣，３00ｍ做裤子恰好配套,共能生产300套．【总结升华】用参数表示上衣总件数与裤子的总件数，等量关系:上衣总件数＝裤子的总件数． 举一反三：【高清课堂:实际问题与一元一次方程(一) 调配问题】【变式】甲队有72人,乙队有68人,需要从甲队调出多少人到乙队，才能使甲队恰好是乙队人数的34. 解:设从甲队调出ｘ人到乙队．由题意得,()372684x x -=+ 解得,x=１2.答：需要从甲队调出 12人到乙队，才能使甲队恰好是乙队人数的34.实际问题与一元一次方程(一）(提高)知识讲解【学习目标】1.熟练掌握分析解决实际问题的一般方法及步骤； ２.熟悉行程,工程,配套及和差倍分问题的解题思路． 【要点梳理】要点一、用一元一次方程解决实际问题的一般步骤列方程解应用题的基本思路为：问题−−−→分析抽象方程−−−→求解检验解答．由此可得解决此类 题的一般步骤为：审、设、列、解、验、答．要点诠释:（1)“审”是指读懂题目，弄清题意,明确哪些是已知量，哪些是未知量,以及它们之间的关系，寻找等量关系；(2)“设”就是设未知数，一般求什么就设什么为ｘ，但有时也可以间接设未知数；(3)“列”就是列方程,即列代数式表示相等关系中的各个量，列出方程，同时注意方程两边是同一类量,单位要统一； (４）“解”就是解方程，求出未知数的值;（５)“检验”就是指检验方程的解是否符合实际意义，当有不符合的解时,及时指出,舍去即可; (６)“答”就是写出答案，注意单位要写清楚.要点二、常见列方程解应用题的几种类型（待续）1.和、差、倍、分问题(1）基本量及关系:增长量=原有量×增长率，现有量＝原有量＋增长量，现有量=原有量-降低量．(2)寻找相等关系：抓住关键词列方程,常见的关键词有：多、少、和、差、不足、剩余以及倍,增长率等.２．行程问题（1)三个基本量间的关系: 路程=速度×时间 （2）基本类型有:①相遇问题(或相向问题):Ⅰ.基本量及关系:相遇路程＝速度和×相遇时间Ⅱ.寻找相等关系：甲走的路程+乙走的路程＝两地距离.②追及问题:Ⅰ.基本量及关系：追及路程＝速度差×追及时间Ⅱ．寻找相等关系:第三，同地不同时出发：前者走的路程＝追者走的路程;第四，第二，同时不同地出发：前者走的路程+两者相距距离＝追者走的路程．③航行问题:Ⅰ．基本量及关系：顺流速度=静水速度+水流速度,逆流速度=静水速度－水流速度,顺水速度-逆水速度＝2×水速；Ⅱ.寻找相等关系:抓住两地之间距离不变、水流速度不变、船在静水中的速度不变来考虑．（3）解此类题的关键是抓住甲、乙两物体的时间关系或所走的路程关系,并且还常常借助画草图来分析. 3．工程问题如果题目没有明确指明总工作量，一般把总工作量设为1.基本关系式:(1）总工作量=工作效率×工作时间;(2）总工作量=各单位工作量之和．4.调配问题寻找相等关系的方法:抓住调配后甲处的数量与乙处的数量间的关系去考虑．【典型例题】类型一、和差倍分问题１.旅行社的一辆汽车在第一次旅程中用去油箱里汽油的２5%,第二次旅程中用去剩余汽油的40％，这样油箱中剩的汽油比两次所用的汽油少1公斤,求油箱里原有汽油多少公斤？【答案与解析】解:设油箱里原有汽油x公斤,由题意得:x(１－25%)(1-40%)+1＝25%x＋(1-２5%)x×40%解得:x=１0答：油箱里原有汽油10公斤.【点评】等量关系为:油箱中剩余汽油+1=用去的汽油．举一反三：【变式】某班举办了一次集邮展览,展出的邮票若平均每人3张则多２4张,若平均每人4张则少２6张,这个班有多少学生?一共展出了多少张邮票?【答案】解：设这个班有x名学生，根据题意得：3x+2４＝4x－26解得：x＝50所以３x＋24＝3×50+2４=17４答:这个班有5０名学生，一共展出了174张邮票．类型二、行程问题1.车过桥问题2．某桥长1２００m,现有一列匀速行驶的火车从桥上通过,测得火车从上桥到完全过桥共用了50s,而整个火车在桥上的时间是30s，求火车的长度和速度．【思路点拨】正确理解火车“完全过桥”和“完全在桥上”的不同含义．【答案与解析】解:设火车车身长为ｘm,根据题意，得:120012005030x x+-=, 解得：ｘ=3０0， 所以12001200300305050x ++==. 答:火车的长度是３00m ，车速是３０m/ｓ．【点评】火车“完全过桥”和“完全在桥上”是两种不同的情况，借助线段图分析如下(注：Ａ点表示火车头)：(１）火车从上桥到完全过桥如图（1）所示，此时火车走的路程是桥长＋车长．(2)火车完全在桥上如图(２)所示，此时火车走的路程是桥长－车长.由于火车是匀速行驶的，所以等量关系是火车从上桥到完全过桥的速度=整个火车在桥上的速度． 举一反三:【变式】某要塞有步兵６９2人,每4人一横排,各排相距１米向前行走,每分钟走86米,通过长8６米的桥,从第一排上桥到排尾离桥需要几分钟? 【答案】解:设从第一排上桥到排尾离桥需要x 分钟，列方程得:6928611864x ⎛⎫=-⨯+ ⎪⎝⎭，解得:x =3答:从第一排上桥到排尾离桥需要3分钟．2.相遇问题（相向问题)3.小李骑自行车从A 地到B 地，小明骑自行车从Ｂ地到A 地,两人都匀速前进．已知两人在上午８时同时出发,到上午1０时,两人还相距36千米,到中午1２点，两人又相距36千米.求Ａ、B 两地间的路程．【答案与解析】解：设Ａ、B 两地间的路程为x 千米，由题意得：363624x x -+=解得:x =1０8．答:A 、B 两地间的路程为10８千米．【点评】根据“匀速前进”可知Ａ、Ｂ的速度不变,进而A 、B 的速度和不变.利用速度和=小李和小明前进的路程和／时间可得方程． 举一反三：【高清课堂：实际问题与一元一次方程（一)388410二次相遇问题】【变式】甲、乙两辆汽车分别从A 、B 两站同时开出，相向而行，途中相遇后继续沿原路线行驶,在分别到达对方车站后立即返回,两车第二次相遇时距A 站34k ｍ,已知甲车的速度是70km ／ｈ,乙车的速度是52km/h,求A 、B 两站间的距离. 【答案】解:设A 、B 两站间的距离为ｘ km,由题意得：234347052x x -+=解得:x ＝122答： Ａ、Ｂ两站间的距离为１22km.3.追及问题(同向问题)4.一辆卡车从甲地匀速开往乙地，出发2小时后,一辆轿车从甲地去追这辆卡车，轿车的速度比卡车的速度每小时快30千米，但轿车行驶一小时后突遇故障，修理1５分钟后,又上路追这辆卡车，但速度减小了13,结果又用两小时才追上这辆卡车，求卡车的速度. 【答案与解析】解：设卡车的速度为x 千米/时,由题意得:1122(30)(1)(30)243x x x x x x +++=++-⨯+⨯解得：x=2４答：卡车的速度为24千米/时．【点评】采用“线示”分析法，画出示意图．利用轿车行驶的总路程等于卡车行驶的总路程来列方程,理清两车行驶的速度与时间．4.航行问题（顺逆风问题)5．（武昌区联考）盛夏,某校组织长江夜游，在流速为2.5千米/时的航段,从A 地上船，沿江而下至B 地，然后溯江而上到C 地下船，共乘船4小时.已知A 、C 两地相距10千米,船在静水中的速度为7．5千米/时,求A 、B 两地间的距离．【思路点拨】由于C 的位置不确定，要分类讨论:(1）Ｃ地在A 、B 之间;(2)C 地在A 地上游． 【答案与解析】解:设A 、B 两地间的距离为ｘ千米.(１)当C 地在Ａ、B 两地之间时，依题意得．1047.5 2.57.5 2.5x x -+=+-解这个方程得:ｘ=20(千米)（2)当Ｃ地在A 地上游时，依题意得:1047.5 2.57.5 2.5x x ++=+-解这个方程得：203x =答:A 、Ｂ两地间的距离为20千米或203千米. 【点评】这是航行问题，本题需分类讨论,采用“线示”分析法画出示意图(如下图所示)，然后利用“共乘”4小时构建方程求解．5.环形问题6．环城自行车赛,最快的人在开始4８分钟后遇到最慢的人,已知最快的人的速度是最慢的人速度的３倍,环城一周是20千米,求两个人的速度.【答案与解析】解;设最慢的人速度为x 千米/时，则最快的人的速度为x 千米/时， 由题意得:ｘ×－x×=20解得：x=10答：最快的人的速度为３5千米/时，最慢的人的速度为10千米/时．【点评】这是环形路上的追及问题，距离差为环城一周20千米.相等关系为：最快的人骑的路程-最慢人骑的路程=20千米. 举一反三:【变式】两人沿着边长为90ｍ的正方形行走,按A →B →C →D →A …方向,甲从Ａ以６5m/ｍin 的速度,乙从B 以72m/m ｉn 的速度行走,如图所示，当乙第一次追上甲时，在正方形的哪一条边上?【答案】解：设乙追上甲用了x 分钟，则有: 72x -６５ｘ=3×９0 2707x =（分） 答：乙第一次追上甲时走了2707227777⨯≈(m ) 此时乙在ＡD 边上 类型三、工程问题7．一个蓄水池有甲、乙两个进水管和一个丙排水管,单独开甲管6小时可注满水池；单独开乙管8小时可注满水池，单独开丙管９小时可将满池水排空,若先将甲、乙管同时开放２小时，然后打开丙管，问打开丙管后几小时可注满水池? 【答案与解析】解：设再过x 小时可把水注满．由题意得：11111()2()168689x +⨯++-= 解得:30421313x ==． 答:打开丙管后4213小时可把水放满．【点评】相等关系：甲、乙开2h 的工作量＋甲、乙、丙水管的工作量＝1． 举一反三：【变式】收割一块水稻田,若每小时收割４亩，预计若干小时完成，收割23后,改用新式农机,工作效率提高到原来的112倍，因此比预计时间提早１小时完成,求这块水稻田的面积． 【答案】解：设这块水稻田的面积为ｘ亩，由题意得：21331144142x x x =++⨯解得：36x =.答:这块水稻田的面积为３６亩．类型四、配套问题(比例问题、劳动力调配问题）8.某工程队每天安排120个工人修建水库,平均每天每个工人能挖土5 m 3或运土３ m ３，为了使挖出的土及时被运走,问:应如何安排挖土和运土的工人? 【答案与解析】解:设安排x 人挖土，则运土的有(120-ｘ)人，依题意得：5x ＝３(120－x ）, 解得ｘ＝45． １２０-45=７5(人).答:应安排45人挖土,75人运土．【点评】用参数表示挖土数与运土数，等量关系：挖土与运土的总立方米数应相等． 举一反三：【高清课堂：实际问题与一元一次方程(一) 配制问题】【变式】某商店选用A 、B 两种价格分别是每千克28元和每千克20元的糖果混合成杂拌糖果后出售,为使这种杂拌糖果的售价是每千克2５元，要配制这种杂拌糖果10０千克,问要用这两种糖果各多少千克？ 【答案】解:设要用A 种糖果ｘ千克，则B 种糖果用（１00-x)千克.依题意，得:28x+20(1００-x)＝25×１00 解得：x ＝62.５.当ｘ=62.5时,100-x ＝37．5.答:要用A 、B 两种糖果分别为６2.5千克和37.5千克.实际问题与一元一次方程(二）（基础）知识讲解【学习目标】(1）进一步提高分析实际问题中数量关系的能力，能熟练找出相等关系并列出方程； （2）熟悉利润,存贷款,数字及方案设计问题的解题思路. 【要点梳理】要点一、用一元一次方程解决实际问题的一般步骤列方程解应用题的基本思路为：问题−−−→分析抽象方程−−−→求解检验解答．由此可得解决此类问题的一般步骤为：审、设、列、解、验、答.要点诠释: (1）“审”是指读懂题目，弄清题意,明确哪些是已知量,哪些是未知量,以及它们之间的关系,寻找等量关系. (２)“设”就是设未知数,一般求什么就设什么为x ,但有时也可以间接设未知数.（３）“列”就是列方程,即列代数式表示相等关系中的各个量，列出方程,同时注意方程两边是同一类量，单位要统一． （4）“解”就是解方程，求出未知数的值． （5）“检验”就是指检验方程的解是否符合实际意义,当有不符合的解时,及时指出，舍去即可． (6）“答”就是写出答案,注意单位要写清楚．要点三、常见列方程解应用题的几种类型（续)１.利润问题 （１）=100%⨯利润利润率进价（２) 标价=成本(或进价)×（1+利润率) (3) 实际售价＝标价×打折率(４) 利润＝售价－成本(或进价)＝成本×利润率注意：“商品利润＝售价－成本”中的右边为正时,是盈利;当右边为负时，就是亏损.打几折就是按标价的十分之几或百分之几十销售. 2．存贷款问题(1)利息=本金×利率×期数(２)本息和（本利和）＝本金＋利息=本金＋本金×利率×期数＝本金×（1+利率×期数) (3）实得利息=利息－利息税 (4）利息税=利息×利息税率 （5)年利率=月利率×1２ (6)月利率=年利率×1213.数字问题已知各数位上的数字,写出两位数,三位数等这类问题一般设间接未知数，例如:若一个两位数的个位数字为a ,十位数字为b ，则这个两位数可以表示为1０ｂ+a ． ４．方案问题选择设计方案的一般步骤:(1)运用一元一次方程解应用题的方法求解两种方案值相等的情况．（2）用特殊值试探法选择方案，取小于（或大于）一元一次方程解的值，比较两种方案的优劣性后下结论． 【典型例题】类型一、利润问题【高清课堂：实际问题与一元一次方程(二) 利润问题例2】1．以现价销售一件商品的利润率为30%，如果商家在现有的价格基础上先提价4０%,后降价50%的方法进行销售，商家还能有利润吗?为什么? 【答案与解析】解:设该商品的成本为ａ元,则商品的现价为（１＋30%)ａ元，依题意其后来折扣的售价为(１＋3０%）a ·(１+4０％)(1-5０%)=0.91a .∵0.91a －ａ=－０．０9a ，∴0.09aa-·１00%=-9%. 答:商家不仅没有利润,而且亏损的利润率为9％.【总结升华】解答此类问题时,一定要弄清题意.分清售价、进价、数量、利润之间的关系很重要．举一反三:【高清课堂:实际问题与一元一次方程(二）388413利润问题例３】【变式1】某个商品的进价是500元,把它提价40%后作为标价.如果商家要想保住1２%的利润率搞促销活动,请你计算一下广告上可写出打几折？ 【答案】解：设该商品打ｘ折,依题意,则: 500（1＋４0%）·10x=500（1+１２%). ｘ=10 1.121.4=８． 答：该商品的广告上可写上打八折.【变式２】张新和李明相约到图书大厦去买书,请你根据他们的对话内容(如图所示),求出李明上次所买书籍的原价.【答案】解:设李明上次购买书籍的原价为ｘ元,由题意得:0．8x+２０=x -1２， 解这个方程得:x =160.答:李明上次所买书籍的原价是1６0元．类型二、存贷款问题２.爸爸为小强存了一个五年期的教育储蓄,年利率为２.7％,五年后取出本息和为170２５元,爸爸开始存入多少元. 【答案与解析】解:设爸爸开始存入ｘ元．根据题意,得x ＋x×2.７％×5＝17025. 解之，得x ＝１50０0答：爸爸开始存入150０0元.【总结升华】本息和＝本金+利息,利息＝本金×利率×期数.类型三、数字问题3.一个三位数，十位上的数是百位上的数的2倍,百位、个位上的数的和比十位上的数大２,又个位、十位、百位上的数的和是１4，求这个三位数. 【答案与解析】解：设百位上的数为ｘ，则十位上的数为2x ，个位上的数为1４-２ｘ-x由题意得：x+１4-２ｘ-x=２x+２ 解得：x=3 ∴ x=3， 2x=6,１４-２x －x ＝5 答：这个三位数为3６5【总结升华】在数字问题中应注意：(１)求的是一个三位数,而不是三个数;（2)这类应用题,一般设间接未知数,切勿求出ｘ就答;(3) 三位数字的表示方法是百位上的数字乘以1０0，10位上的数字乘以1０,然后把所得的结果和个位数字相加．举一反三:【变式】一个两位数，个位上的数字比十位上的数字大４，这个两位数又是这两个数字的和的４倍,求这个两位数.【答案】x+），由题意得：解：设十位上的数字为x，则个位上的数字为（4++=++⨯x x x x10(4)[(4)]4x=解得：4∴⨯++=410(44)48答：这两位数是48.类型四、方案设计问题4.为鼓励学生参加体育锻炼.学校计划拿出不超过１600元的资金再购买一批篮球和排球.已知篮球和排球的单价比为3:2，单价和为８０元.（1)篮球和排球的单价分别是多少元?(２）若要求购买的篮球和排球的总数量是36个,且购买的篮球数量不少于26个．请探究有哪几种购买方案?【答案与解析】解:(１)设篮球和排球的单价分别为3ｘ元和2ｘ元.依题意3x+2ｘ=80,解得x＝１6即3x=48，2ｘ=3２答：篮球和排球的单价分别为48元和32元．类别篮球(x个) 排球(36-x)个合计(元）方案（１）2６10 1568(2)27 9 1584（３)２8 ８１600(４）29 7 １616由列表可知，共有三种购买方案:方案一:购买篮球26个,排球１0个;方案二:购买篮球27个，排球9个；方案三:购买篮球28个,排球８个．【总结升华】本例设未知数的方法很独特，值得借鉴.采用列表的方法探索方案,值得学习．举一反三:【变式】(武昌区期末调考)某校组织1０位教师和部分学生外出考察，全程票价为２5元,对集体购票，客运公司有两种优惠方案可供选择：方案一：所有师生按票价的8８%购票；方案二:前20人购全票，从第21人开始，每人按票价的80%购票．（1）若有30位学生参加考察，问选择哪种方案更省钱？(2）参加考察的学生人数是多少时,两种方案车费一样多？。
实际问题与一元一次方程公式总结
b、工程款=工程单价*工作时间S 总= S甲+S乙=甲单价*T甲+乙单价*T乙
c、合作类题型
S 总= S甲+S乙= V甲t甲合作时间+V乙t甲合作时间
三、和倍分差问题
加(和)—+ 减(差)－- 乘(倍)—* 分(除)—/
四、数字问题
123= 1*100+2*10+3*1
实际问题与一元一次方程公式模型总结
一、行程问题(路程=速度*时间)
a、相遇问题
S 总= S甲+S乙 S 总= (V甲+V乙)T
b、追击问题
S 差= S甲-S乙 S 总= S甲+S乙 S 总= (V甲-V乙)T
c、顺逆流问题
V顺=V船+V水
V逆=V船-V水
二、工程问题(a、工程总量=工作时间*工作效率)
xyz=100x+10y+z
五、利润问题
利润=售价-进价(标价-成本)
售价=标价*折数
利润金*期数*利率*(1-利息税)
本息和=本金+利息
年利率=月利率* 12
实际问题与一元一次方程知识讲解
实际问题与一元一次方程知识讲解一元一次方程是代数学中最简单的方程形式之一、它的一般形式为ax + b = 0，其中a和b是已知数，x是未知数。
一元一次方程的解即未知数x的值，通过求解方程可以找到未知数的具体取值。
在实际生活中，一元一次方程常常用于解决一些实际问题。
下面将通过具体的例子来讲解实际问题与一元一次方程的关系。
例子1：小明买了一些水果，苹果每个卖3元，香蕉每个卖2元，小明花了10元钱，买了5个水果，请问他买了几个苹果和几个香蕉？解题思路：设小明买了x个苹果和y个香蕉，则根据题意可以列出一个一元一次方程：3x+2y=10。
通过求解这个方程，可以得到x和y的具体值。
例子2：一个科技公司的总收入是固定成本加上每件产品的生产成本与售价的乘积，已知总收入是400万元，固定成本是100万元，每件产品的生产成本是50万元，售价是10万元，请问该公司要卖出多少件产品才能达到盈亏平衡？解题思路：设要卖出的产品数量为x，则根据题意可以列出一个一元一次方程：50x+100=10x。
通过求解这个方程，可以得到x的具体值。
从以上两个例子可以看出，实际问题可以转化为一元一次方程来求解。
通过建立合适的方程模型，并对方程进行求解，可以得到实际问题的解答。
在解决实际问题时，我们需要通过分析问题，提取关键信息，并将其转化为数学语言，建立合适的方程模型。
然后，通过对方程进行求解，得到问题的解答。
在实际生活中，一元一次方程还可以用来解决很多其他类型的问题。
例如，可以用一元一次方程来计算两个物体之间的距离、解决速度和时间之间的关系问题、解决两个人同时从不同地点出发相向而行的相遇问题等等。
无论是何种类型的实际问题，我们都可以将其转化为一元一次方程来求解。
在解决实际问题时，我们还需要注意有时方程的解可能没有实际意义，或者有多个解，但只有其中的一个解符合实际要求。
因此，在求解方程的过程中，需要对解进行筛选和验证，以确定最终的解。
总之，一元一次方程是解决实际问题的有力工具之一、通过将实际问题转化为一元一次方程并进行求解，可以得到问题的具体解答。
人教版七年级数学上册3.4《实际问题与一元一次方程(一)》(提高)知识讲解及解答
实际问题与一元一次方程（一）（提高）知识讲解【学习目标】1.熟练掌握分析解决实际问题的一般方法及步骤；2.熟悉行程，工程，配套及和差倍分问题的解题思路．【要点梳理】要点一、用一元一次方程解决实际问题的一般步骤列方程解应用题的基本思路为：问题−−−→分析抽象方程−−−→求解检验解答．由此可得解决此类 题的一般步骤为：审、设、列、解、检验、答．要点诠释：（1）“审”是指读懂题目，弄清题意，明确哪些是已知量，哪些是未知量，以及它们之间的关系，寻找等量关系；（2）“设”就是设未知数，一般求什么就设什么为x ，但有时也可以间接设未知数；（3）“列”就是列方程，即列代数式表示相等关系中的各个量，列出方程，同时注意方程两边是同一类量，单位要统一；（4）“解”就是解方程，求出未知数的值；（5）“检验”就是指检验方程的解是否符合实际意义，当有不符合的解时，及时指出，舍去即可；（6）“答”就是写出答案，注意单位要写清楚．要点二、常见列方程解应用题的几种类型（待续）1．和、差、倍、分问题（1）基本量及关系：增长量＝原有量×增长率，现有量＝原有量+增长量，现有量＝原有量-降低量．（2）寻找相等关系：抓住关键词列方程，常见的关键词有：多、少、和、差、不足、剩余以及倍，增长率等．2．行程问题（1）三个基本量间的关系： 路程=速度×时间（2）基本类型有：①相遇问题（或相向问题）：Ⅰ．基本量及关系：相遇路程=速度和×相遇时间Ⅱ．寻找相等关系：甲走的路程+乙走的路程＝两地距离． ②追及问题：Ⅰ．基本量及关系：追及路程=速度差×追及时间Ⅱ．寻找相等关系：第一， 同地不同时出发：前者走的路程＝追者走的路程；第二， 第二，同时不同地出发：前者走的路程+两者相距距离＝追者走的路程．③航行问题：Ⅰ．基本量及关系：顺流速度=静水速度+水流速度，逆流速度=静水速度－水流速度，顺水速度－逆水速度＝2×水速；Ⅱ．寻找相等关系：抓住两地之间距离不变、水流速度不变、船在静水中的速度不变来考虑．（3）解此类题的关键是抓住甲、乙两物体的时间关系或所走的路程关系，并且还常常借助画草图来分析．3．工程问题如果题目没有明确指明总工作量，一般把总工作量设为1．基本关系式：（1）总工作量=工作效率×工作时间；（2）总工作量=各单位工作量之和．4．调配问题寻找相等关系的方法：抓住调配后甲处的数量与乙处的数量间的关系去考虑．【典型例题】类型一、和差倍分问题1．旅行社的一辆汽车在第一次旅程中用去油箱里汽油的25%，第二次旅程中用去剩余汽油的40%，这样油箱中剩的汽油比两次所用的汽油少1公斤，求油箱里原有汽油多少公斤？【答案与解析】解：设油箱里原有汽油x 公斤，由题意得：x(1-25%)(1-40%)+1=25%x+(1-25%)x×40%解得：x=10答：油箱里原有汽油10公斤.【点评】等量关系为：油箱中剩余汽油+1=用去的汽油.举一反三：【变式】某班举办了一次集邮展览，展出的邮票若平均每人3张则多24张，若平均每人4张则少26张，这个班有多少学生?一共展出了多少张邮票?【答案】解：设这个班有x 名学生，根据题意得：3x+24＝4x -26解得：x ＝50所以3x+24＝3×50+24＝174答：这个班有50名学生，一共展出了174张邮票．类型二、行程问题1.车过桥问题2. 某桥长1200m ，现有一列匀速行驶的火车从桥上通过，测得火车从上桥到完全过桥共用了50s ，而整个火车在桥上的时间是30s ，求火车的长度和速度．【思路点拨】正确理解火车“完全过桥”和“完全在桥上”的不同含义．【答案与解析】解：设火车车身长为xm ，根据题意，得：120012005030x x +-=， 解得：x ＝300，所以12001200300305050x ++==． 答：火车的长度是300m ，车速是30m/s ．【点评】火车“完全过桥”和“完全在桥上”是两种不同的情况，借助线段图分析如下(注：A 点表示火车头)：(1)火车从上桥到完全过桥如图(1)所示，此时火车走的路程是桥长+车长．(2)火车完全在桥上如图(2)所示，此时火车走的路程是桥长－车长．由于火车是匀速行驶的，所以等量关系是火车从上桥到完全过桥的速度＝整个火车在桥上的速度．举一反三：【变式】某要塞有步兵692人，每4人一横排，各排相距1米向前行走，每分钟走86米，通过长86米的桥，从第一排上桥到排尾离桥需要几分钟？【答案】解：设从第一排上桥到排尾离桥需要x 分钟，列方程得：6928611864x ⎛⎫=-⨯+ ⎪⎝⎭， 解得：x ＝3答：从第一排上桥到排尾离桥需要3分钟．2.相遇问题（相向问题）3．小李骑自行车从A 地到B 地，小明骑自行车从B 地到A 地，两人都匀速前进.已知两人在上午8时同时出发，到上午10时，两人还相距36千米，到中午12点，两人又相距36千米.求A 、B 两地间的路程.【答案与解析】解：设A 、B 两地间的路程为x 千米，由题意得：363624x x -+= 解得：x =108．答：A 、B 两地间的路程为108千米.【点评】根据“匀速前进”可知A 、B 的速度不变，进而A 、B 的速度和不变.利用速度和=小李和小明前进的路程和／时间可得方程．举一反三：【高清课堂：实际问题与一元一次方程(一)388410二次相遇问题】【变式】甲、乙两辆汽车分别从A 、B 两站同时开出，相向而行，途中相遇后继续沿原路线行驶，在分别到达对方车站后立即返回，两车第二次相遇时距A 站34km ，已知甲车的速度是70km/h ，乙车的速度是52km/h ，求A 、B 两站间的距离.【答案】解：设A 、B 两站间的距离为x km ，由题意得：234347052x x -+= 解得：x=122答： A 、B 两站间的距离为122km. 3.追及问题（同向问题）4．一辆卡车从甲地匀速开往乙地，出发2小时后，一辆轿车从甲地去追这辆卡车，轿车的速度比卡车的速度每小时快30千米，但轿车行驶一小时后突遇故障，修理15分钟后，又上路追这辆卡车，但速度减小了13，结果又用两小时才追上这辆卡车，求卡车的速度． 【答案与解析】解：设卡车的速度为x 千米/时，由题意得：1122(30)(1)(30)243x x x x x x +++=++-⨯+⨯ 解得：x=24答：卡车的速度为24千米/时．【点评】采用“线示”分析法，画出示意图．利用轿车行驶的总路程等于卡车行驶的总路程来列方程，理清两车行驶的速度与时间．4.航行问题（顺逆风问题）5．(武昌区联考)盛夏，某校组织长江夜游，在流速为2.5千米/时的航段，从A 地上船，沿江而下至B 地，然后溯江而上到C 地下船，共乘船4小时．已知A 、C 两地相距10千米，船在静水中的速度为7.5千米/时，求A 、B 两地间的距离．【思路点拨】由于C 的位置不确定，要分类讨论：（1）C 地在A 、B 之间；（2）C 地在A 地上游．【答案与解析】解：设A 、B 两地间的距离为x 千米．(1)当C 地在A 、B 两地之间时，依题意得．1047.5 2.57.5 2.5x x -+=+- 解这个方程得：x ＝20(千米)(2)当C 地在A 地上游时，依题意得：1047.5 2.57.5 2.5x x ++=+- 解这个方程得：203x = 答：A 、B 两地间的距离为20千米或203千米． 【点评】这是航行问题，本题需分类讨论，采用“线示”分析法画出示意图(如下图所示)，然后利用“共乘”4小时构建方程求解．5.环形问题6．环城自行车赛，最快的人在开始48分钟后遇到最慢的人，已知最快的人的速度是最慢的人速度的3倍，环城一周是20千米，求两个人的速度.【答案与解析】解；设最慢的人速度为x 千米/时，则最快的人的速度为x 千米/时， 由题意得:x×-x×=20 解得：x=10答：最快的人的速度为35千米/时，最慢的人的速度为10千米/时.【点评】这是环形路上的追及问题，距离差为环城一周20千米.相等关系为：最快的人骑的路程-最慢人骑的路程=20千米.举一反三：【变式】两人沿着边长为90m 的正方形行走，按A →B →C →D →A …方向，甲从A 以65m/min 的速度，乙从B 以72m/min 的速度行走，如图所示，当乙第一次追上甲时，在正方形的哪一条边上?【答案】解：设乙追上甲用了x 分钟，则有：72x -65x ＝3×902707x =（分） 答：乙第一次追上甲时走了2707227777⨯≈(m ) 此时乙在AD 边上 类型三、工程问题7．一个蓄水池有甲、乙两个进水管和一个丙排水管，单独开甲管6小时可注满水池；单独开乙管8小时可注满水池，单独开丙管9小时可将满池水排空，若先将甲、乙管同时开放2小时，然后打开丙管，问打开丙管后几小时可注满水池?【答案与解析】解：设再过x 小时可把水注满．由题意得：11111()2()168689x +⨯++-= 解得：30421313x ==． 答：打开丙管后4213小时可把水放满． 【点评】相等关系：甲、乙开2h 的工作量+甲、乙、丙水管的工作量=1．举一反三：【变式】收割一块水稻田，若每小时收割4亩，预计若干小时完成，收割23后，改用新式农机，工作效率提高到原来的112倍，因此比预计时间提早1小时完成，求这块水稻田的面积．【答案】解：设这块水稻田的面积为x 亩，由题意得：21331144142x x x =++⨯ 解得：36x =．答：这块水稻田的面积为36亩．类型四、配套问题（比例问题、劳动力调配问题）8．某工程队每天安排120个工人修建水库，平均每天每个工人能挖土5 m 3或运土3 m 3，为了使挖出的土及时被运走，问：应如何安排挖土和运土的工人?【答案与解析】解：设安排x 人挖土，则运土的有(120-x )人，依题意得：5x ＝3(120-x )，解得x ＝45．120-45＝75(人)．答：应安排45人挖土，75人运土．【点评】用参数表示挖土数与运土数，等量关系：挖土与运土的总立方米数应相等．举一反三：【高清课堂：实际问题与一元一次方程(一) 388410 配制问题】【变式】某商店选用A 、B 两种价格分别是每千克28元和每千克20元的糖果混合成杂拌糖果后出售，为使这种杂拌糖果的售价是每千克25元，要配制这种杂拌糖果100千克，问要用这两种糖果各多少千克？【答案】解：设要用A 种糖果x 千克，则B 种糖果用(100-x)千克.依题意，得：28x+20(100-x)=25×100解得：x=62.5.当x=62.5时，100-x=37.5.答：要用A 、B 两种糖果分别为62.5千克和37.5千克.。
一元一次方程解决实际问题(分类)
一元一次方程解决实际问题(分类)实用文档：一元一次方程解决实际问题一、行程问题一）一般行程问题在行程问题中，需要找到三个基本量：路程、速度和时间，并且它们之间有着明确的关系。
具体来说，路程等于速度乘以时间，时间等于路程除以速度，速度等于路程除以时间。
我们也可以通过变形得到速度等于路程除以时间，时间等于路程除以速度。
二）相遇问题（相向而行）在相遇问题中，需要注意以下三个关键点：快行距加慢行距等于原距，快行距减慢行距等于路程差，快行距加慢行距减路程差等于原距。
举例来说，如果甲、乙两车同时从A、B两地相向而行，两车相遇点距A、B两地中点处8km，已知甲车速度是已车的1.2倍，求A、B两地的路程，我们可以利用方法一找出甲乙两车的路程差，也可以利用方法二将甲乙的速度看成是1和1.2.例2中，XXX、XXX从相距50千米的两地相向而行，XXX下午2时出发步行，每小时行4.5千米。
XXX下午3时半骑自行车出发，经过2.5小时两人相遇。
我们需要求出XXX骑自行车每小时行多少千米。
例3中，XXX的小王同时分别从甲、乙两村出发，相向而行。
步行1小时15分后，XXX走了两村间路程的一半还多0.75千米，此时恰好与XXX相遇。
已知小王的速度是每小时3.7千米，需要求出XXX每小时行多少千米。
例4中，一辆公共汽车和一辆面包车同时从相距255千米的两地相向而行，公共汽车每小时行33千米，面包车每小时行35千米。
需要求出行了几小时后两车相距51千米，以及再行几小时两车又相距51千米。
三）追及问题（同向而行）在追及问题中，需要注意以下三个关键点：快行距减慢行距等于原距（从不同点出发），追及路程除以速度差等于追及时间，速度差乘以追及时间等于追及路程。
例1中，A、B两地相距28千米，甲乙两车同时分别从A、B两地同一方向开出，甲车每小时行32千米，乙车每小时行25千米，乙车在前，甲车在后，需要求出几小时后甲车能追上乙车。
我们可以根据题意得知要追及的路程是28千米，每行1小时，甲车可追上32-25=7千米，即速度差。
一元一次方程与实际问题(行程问题)
xx
例 3.一艘船从甲码头到乙码头顺流行驶，用了 2 小时；从乙码头返 回甲码头逆流行驶，用了 2.5 小时．已知水流的速度是 3 千米/时， 求船在静水中的平均速度．
速度 时间
路程
顺 X+3 2 2(X+3)
逆 X-3 2.5 2.5(X-3)
解:设船在静水中的平均速度为 x 千米/时.则 2(x＋3)＝2.5(x－3) 解方程，得 2x＋6＝2.5x－7.5 2x－2.5x＝－7.5－6 －0.5x＝－13.5 x＝27 答：船在静水中的平均速度为 27 千米/时．
6．一架飞机在两城之间飞行，顺风需要 4 小时，逆风需要 4.5 小 时．测得风速为 45 千米/时，求两城之间的距离．
解：设飞机在无风时的平均飞行速度为 x 千米/时，则 4(x＋45)＝4.5(x－45) 解方程，得 4x＋180＝4.5x－202.5 4x－4.5x＝－202.5－180 －0.5x＝－382.5，x＝765 4×(765＋45)＝3240(千米) 答：两城之间的距离为 3240 千米．
二、过关检测 第1关 7．一轮船往返于甲、乙两码头之间，顺水航行需要 3 h，逆水航行
比顺水航行多用 30 m in，若轮船在静水中的速度为 26 km /h，求
水流的速度． 解：设水流的速度为 x km/h.则 3(26＋x)＝(3＋0.5)(26－x)
解方程，得 3×26＋3x＝3.5×26－3.5x
客车的行驶速度是 70 km /h，卡车的行驶速度是 60 km /h，客车比
卡车早 1 h 经过 B 地，A ，B 两地间的路程是多少？
解：设客车行驶x h到达B地．由题意得 70x＝60(x＋1) 解得x＝6 70x＝70×6＝420 (km) 答：A，B两地的路程是420 km.
用一元一次方程解决实际问题
用一元一次方程解决实际问题知识点归纳知识框架用一元一次方程解决实际问题步骤：1、设未知数2、找等量关系3、列一元一次方程4、解一元一次方程5、检验，求解的结果是否符合实际意义，此步骤是正确求解的重要环节。
例题例1 333，共做了多少张桌子？例2 某车间有16名工人，每人每天可加工甲种零件5个或乙种零件4个．在这16名工人中，一局部人加工甲种零件，其余的加工乙种零件．•每加工一个甲种零件可获利16元，每加工一个乙种零件可获利24元．假设此车间一共获利1440元，•求这一天有几个工人加工甲种零件．例3 某商店开张为吸引顾客，所有商品一律按八折优惠出售，某种旅游鞋每双进价为60元，八折出售后，商家所获利润率为40%。
问这种鞋的标价是多少元？优惠价是多少？例4 某地区居民生活用电根本价格为每千瓦时0.40元，假设每月用电量超过a千瓦那么超过局部按根本电价的70%收费．〔1〕某户八月份用电84千瓦时，共交电费30.72元，求a．〔2〕假设该用户九月份的平均电费为0.36元，那么九月份共用电多少千瓦？•应交电费是多少元？例5 某汽车对运送一批货物，每辆汽车装4吨还剩下8吨未装，每辆汽车装4.5吨就恰好装完，该车队运送货物的汽车共有多少辆？例6 假设A 、B 两站间的路程为500km, 甲速20km/h,乙速为30km/h ，〔1〕甲乙两车分别从A 、B 两地同时出发,相向而行，几小时后两车相遇？(2)快车先开出30分钟，两车相向而行，慢车行驶了多少小时两车相遇〔3〕甲、乙两车分别从A 、B 两地同时出发,相向而行，问经过多少小时他们相距100km ？ 〔4〕甲、乙两车分别从A 、B 两地同时出发,同向而行，问经过多少小时他们相距100km ？例7 运动场跑道400m,小红跑步的速度是爷爷的35倍,他们从同一起点沿跑道的同一方向同时出发,5分钟后小红第一次追上了爷爷.你知道他们的跑步速度吗？〔1〕几分钟后小红与爷爷第二次相遇？〔2〕如果小红追上爷爷后立即转身沿相反方向跑，几分钟后小红又一次与爷爷相遇？例8 某蔬菜公司的一种绿色蔬菜，假设在市场上直接销售，每吨利润为1000元，•经粗加工后销售，每吨利润可达4500元，经精加工后销售，每吨利润涨至7500元，当地一家公司收购这种蔬菜140吨，该公司的加工生产能力是： 如果对蔬菜进展精加工，每天可加工16吨，如果进展精加工，每天可加工6吨，•但两种加工方式不能同时进展，受季度等条件限制，公司必须在15天将这批蔬菜全部销售或加工完毕，为此公司研制了三种可行方案：方案一：将蔬菜全部进展粗加工．方案二：尽可能多地对蔬菜进展粗加工，没来得及进展加工的蔬菜，•在市场上直接销售．方案三：将局部蔬菜进展精加工，其余蔬菜进展粗加工，并恰好15天完成．你认为哪种方案获利最多？为什么？练习1．某同学在暑假里给同学寄了2封信和一些明信片，一共花了元，每封信的邮费为元，每张明信片的邮费为元。
一元一次方程与实际问题讲解
一元一次方程与实际问题讲解嘿，朋友们！今天咱们来唠唠一元一次方程和实际问题，这就像是一场数学世界里的冒险。
比如说，你去商店买东西。
假如一支笔的价格是x元，你买了3支笔，给了老板10元，老板找你1元。
这时候就可以列方程啦，3x + 1 = 10。
这就好比是笔的小军队（3支笔），每一个士兵价值x元，再加上老板找给你的1元“小救兵”，就等于你拿出的10元“大宝藏”。
再看这个，你跑步。
你每分钟跑x米，跑了5分钟，一共跑了1000米。
那方程就是5x = 1000。
这就像是你开着速度为x米每分钟的小跑车，跑了5分钟这个时间段，最后到达了1000米的目的地。
还有啊，一群小鸭子排队。
设每只小鸭子之间的间隔是x米，一共有10只小鸭子，队伍总长20米。
开头的小鸭子前面没间隔，所以方程就是9x = 20。
这小鸭子队伍就像是一串珠子，每颗珠子之间的距离是x米，但是第一颗珠子前面没有线的长度哦。
咱们再想象一个场景，你在做蛋糕。
一个蛋糕需要x克面粉，你要做4个蛋糕，但是你发现家里总共只有800克面粉。
那方程就是4x = 800。
这就如同4个嗷嗷待哺的小蛋糕宝宝，每个宝宝需要x克面粉这个“食物”，而你总共就只有800克这个“粮食储备”。
要是你在给小树苗浇水呢。
每棵小树苗需要x升水，你有15升水，能浇3棵小树苗。
方程就是3x = 15。
这就像3个小树苗张着嘴巴（3x），等着15升水这个“甘霖”。
又比如说，你是个小画家。
一幅画需要x种颜色，你画了6幅画，总共用了36种颜色。
那方程6x = 36就出来了。
这就好比6个小画框（6幅画），每个画框需要x种颜色的小魔法，总共用了36种颜色的魔法颜料。
还有在分糖果的时候。
设每个小朋友能分到x颗糖果，有8个小朋友，糖果总数是40颗。
方程8x = 40就像8个小馋猫（8个小朋友），每个小馋猫都盯着x颗糖果这个“美味”，而糖果总共就只有40颗。
你看手机充电也能和一元一次方程挂钩呢。
手机每分钟充x的电量，充了10分钟后，电量从20%涨到了80%，那方程就是10x+20 = 80。
实际问题与一元一次方程
60+60-48-80=－8(元)
答：卖这两件衣服总的亏损了8元。
巩固训练
某商场把进价为1980元的商品按标价的八 折出售，仍获利10%, 则该商品的标价为 _____ 元. 解：设该商品的标价为x元．
８０％x-1980=1980×10%
解得 x=2722.5
答：设该商品的标价为2722.5元．
损，或是不盈不利?
两件衣服的进价是 x + y
=_1_2_8_元，而两件衣服的售
价是60+60=120元，进价
__大___于售价，由此可知卖
这两件衣服总的盈亏情况是
￥60
￥60
_亏__损__了__8__元_.
解：设盈利25%的那件衣服的进价是x元， 另一件的进价为y元，根据题意，得
x+0.25x=60 解得 x=48 y－0.25y=60
解 方 程
实际问题 的答案
检验
一元一次方程 的解（x = a）
四、尝试合作, 探究方法
商品销售中的盈亏问题。
成本
标价
实际售价
利润 = 售价－进价
利润
利润率
利润 利润率 =
进价
x
打 x 折的售价= 原价×
10
1.某商品原来每件零售价是a元, 现在每 件降价10%,降价后每件零售价 是 0.9a ；
利润 = 售价－进价
利润率 =
利润 进价
打 x 折的售价=
原价×
x 10
探究二：球赛积分表问题
某次篮球联赛积分榜如下：
队名
比赛 场次
胜 场
负 场
积 分
前进 14 10 4 24
问题1：你能从表格中 东方 14 10 4 24 了解到哪些信息？
人教版七年级数学上册3.4《实际问题与一元一次方程(一)》(基础)知识讲解及解答
实际问题【学习目标】1.熟练掌握分析解决实际问题的一般方法及步骤；2.熟悉行程，工程，配套及和差倍分问题的解题思路．【要点梳理】知识点一、用一元一次方程解决实际问题的一般步骤列方程解应用题的基本思路为：问题−−−→分析抽象方程−−−→求解检验解答．由此可得解决此类 题的一般步骤为：审、设、列、解、检验、答．要点诠释：（1）“审”是指读懂题目，弄清题意，明确哪些是已知量，哪些是未知量，以及它们之间的关系，寻找等量关系；（2）“设”就是设未知数，一般求什么就设什么为x ，但有时也可以间接设未知数；（3）“列”就是列方程，即列代数式表示相等关系中的各个量，列出方程，同时注意方程两边是同一类量，单位要统一；（4）“解”就是解方程，求出未知数的值．（5）“检验”就是指检验方程的解是否符合实际意义，当有不符合的解时，及时指出，舍去即可；（6）“答”就是写出答案，注意单位要写清楚．知识点二、常见列方程解应用题的几种类型（待续）1．和、差、倍、分问题（1）基本量及关系：增长量＝原有量×增长率，现有量＝原有量+增长量，现有量＝原有量-降低量．（2）寻找相等关系：抓住关键词列方程，常见的关键词有：多、少、和、差、不足、剩余以及倍，增长率等．2．行程问题（1）三个基本量间的关系： 路程=速度×时间（2）基本类型有：①相遇问题（或相向问题）：Ⅰ．基本量及关系：相遇路程=速度和×相遇时间Ⅱ．寻找相等关系：甲走的路程+乙走的路程＝两地距离． ②追及问题：Ⅰ．基本量及关系：追及路程=速度差×追及时间Ⅱ．寻找相等关系：第一， 同地不同时出发：前者走的路程＝追者走的路程；第二， 第二，同时不同地出发：前者走的路程+两者相距距离＝追者走的路程．③航行问题：Ⅰ．基本量及关系：顺流速度=静水速度+水流速度，逆流速度=静水速度－水流速度，顺水速度－逆水速度＝2×水速；Ⅱ．寻找相等关系：抓住两地之间距离不变、水流速度不变、船在静水中的速度不变来考虑．（3）解此类题的关键是抓住甲、乙两物体的时间关系或所走的路程关系，并且还常常借助画草图来分析．3．工程问题如果题目没有明确指明总工作量，一般把总工作量设为1．基本关系式：（1）总工作量=工作效率×工作时间；（2）总工作量=各单位工作量之和．4．调配问题寻找相等关系的方法：抓住调配后甲处的数量与乙处的数量间的关系去考虑．【典型例题】类型一、和差倍分问题1．2011年北京市生产运营用水和居民家庭用水的总和为5.8亿立方米，其中居民家庭用水比生产运营用水的3倍还多0.6亿立方米，问生产运营用水和居民家庭用水各多少亿立方米?【答案与解析】设生产运营用水x亿立方米，则居民家庭用水(5.8-x)亿立方米．依题意，得5.8-x＝3x+0.6解得x＝1.35.8-x＝5.8-1.3＝4.5（亿立方米）答：生产运营用水1.3亿立方米，居民家庭用水4.5亿立方米．【总结升华】本题要求两个未知数，不妨设其中一个未知数为x，另外一个用含x的式子表示．本题的相等关系是生产运营用水量+居民家庭用水总量＝5.8亿立方米．举一反三：【变式】(麻城期末考试)麻商集团三个季度共销售冰箱2800台，第一个季度销售量是第二个季度的2倍．第三个季度销售量是第一个季度的2倍，试问麻商集团第二个季度销售冰箱多少台?【答案】解：设第二个季度麻商集团销售冰箱x台，则第一季度销售量为2x台，第三季度销售量为4x台，依题意可得：x+2x+4x＝2800，解得：x＝400答：麻商集团第二个季度销售冰箱400台．类型二、行程问题1.一般问题2．小山娃要到城里参加运动会，如果每小时走4千米，那么走完预订时间离县城还有0.5千米，如果他每小时走5千米，那么比预订时间早半小时就可到达县城．试问学校到县城的距离是多少千米?【答案与解析】解：设小山娃预订的时间为x小时，由题意得：4x+0.5＝5(x-0.5)，解得x＝3．所以4x+0.5＝4×3+0.5＝12.5(千米)．答：学校到县城的距离是12.5千米．【总结升华】当直接设未知数有困难时，可采用间接设的方法．即所设的不是最后所求的，而是通过求其它的数量间接地求最后的未知量．举一反三：【变式】某汽车在一段坡路上往返行驶，上坡的速度为10千米/时，下坡的速度为20千米/时，求汽车的平均速度．【答案】解：设这段坡路长为a 千米，汽车的平均速度为x 千米/时，则上坡行驶的时间为10a 小时，下坡行驶的时间为20a 小时．依题意，得：21020a a x a ⎛⎫+= ⎪⎝⎭， 化简得： 340ax a =．显然a ≠0，解得1133x = 答：汽车的平均速度为1133千米/时．2.相遇问题（相向问题） 【高清课堂：实际问题与一元一次方程(一) 388410 相遇问题】3． A 、B 两地相距100km ，甲、乙两人骑自行车分别从A 、B 两地出发相向而行，甲的速度是23km/h ，乙的速度是21km/h ，甲骑了1h 后，乙从B 地出发，问甲经过多少时间与乙相遇？【答案与解析】解:设甲经过x 小时与乙相遇.由题意得：()2312321(1)100x ⨯++-=解得，x=2.75答：甲经过2.75小时与乙相遇．【总结升华】等量关系：甲走的路程+乙走的路程=100km举一反三：【变式】甲、乙两人骑自行车，同时从相距45km 的两地相向而行，2小时相遇，每小时甲比乙多走2.5km ，求甲、乙每小时各行驶多少千米?【答案】解：设乙每小时行驶x 千米，则甲每小时行驶(x +2.5)千米，根据题意，得：2( 2.5)245x x ++=解得：10x =2.510 2.512.5x +=+=（千米）答：甲每小时行驶12.5千米，乙每小时行驶10千米3.追及问题（同向问题）4．一队学生去校外进行军事野营训练，他们以5千米/时的速度行进，走了18分钟时，学校要将一紧急通知传给队长，通讯员从学校出发，骑自行车以14千米/时的速度按原路追上去，通讯员用多少分钟可以追上学生队伍?【答案与解析】解：设通讯员x 小时可以追上学生队伍，则根据题意，得18145560x x =⨯+， 得：16x =， 16小时=10分钟． 答：通讯员用10分钟可以追上学生队伍．【总结升华】追及问题：路程差=速度差×时间，此外注意：方程中x 表示小时，18表示分钟，两边单位不一致，应先统一单位．4.航行问题（顺逆风问题）5．一艘船航行于A 、B 两个码头之间，轮船顺水航行需3小时，逆水航行需5小时，已知水流速度是4千米/时，求这两个码头之间的距离．【答案与解析】解法1：设船在静水中速度为x 千米/时，则船顺水航行的速度为(x+4)千米/时，逆水航行的速度为(x -4)千米/时，由两码头的距离不变得方程：3(x+4)＝5(x -4)，解得：x=16，（16+4）×3=60（千米）答：两码头之间的距离为60千米．解法2：设A 、B 两码头之间的距离为x 千米，则船顺水航行时速度为3x 千米/时，逆水航行时速度为5x 千米/时，由船在静水中的速度不变得方程：4435x x -=+，解得：60x = 答：两码头之间的距离为60千米．【总结升华】顺流速度=静水速度+水流速度；逆流速度=静水速度-水流速度，根据两个码头的距离不变或船在静水中的速度不变列方程．类型三、工程问题6．一个水池有两个注水管，两个水管同时注水，10小时可以注满水池；甲管单独开15小时可以注满水池，现两管同时注水7小时，关掉甲管，单独开乙管注水，还需要几小时能注满水池?【思路点拨】视水管的蓄水量为“1”，设乙管还需x 小时可以注满水池；那么甲乙合注1小时注水池的110，甲管单独注水每小时注水池的115，合注7小时注水池的710，乙管每小时注水池的111015⎛⎫- ⎪⎝⎭． 【答案与解析】解：设乙管还需x 小时才能注满水池．由题意得方程：1171101510x ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭解此方程得：x ＝9答：单独开乙管，还需9小时可以注满水池．【总结升华】工作效率×工作时间=工作量，如果没有具体的工作量，一般视总的工作量为“1” ．举一反三：【变式】修建某处住宅区的自来水管道，甲单独完成需14天，乙单独完成需18天，丙单独完成需12天，前7天由甲、乙两人合作，但乙中途离开了一段时间，后两天由乙、丙合作完成问乙中途离开了几天?【答案】解：设乙中途离开x 天，由题意得1117(72)21141812x ⨯+-++⨯= 解得：3x =答：乙中途离开了3天类型四、调配问题（比例问题、劳动力调配问题）7．星光服装厂接受生产某种型号的学生服的任务，已知每3m 长的某种布料可做上衣2件或裤子3条，一件上衣和一条裤子为一套，计划用750m 长的这种布料生产学生服，应分别用多少布料生产上衣和裤子才能恰好配套?共能生产多少套?【思路点拨】每3米布料可做上衣2件或裤子3条，意思是每1米布料可做上衣32 件，或做裤子1条，此外恰好配套说明裤子的数量应该等于上衣的数量．【答案与解析】解：设做上衣需要xm ，则做裤子为(750-x )m ，做上衣的件数为23x ⨯件，做裤子的件数为75033x -⨯，则有：23(750)33x x -= 解得：x ＝450，750-x ＝750-450＝300(m )， 45023003⨯=（套） 答：用450m 做上衣，300m 做裤子恰好配套，共能生产300套．【总结升华】用参数表示上衣总件数与裤子的总件数，等量关系：上衣总件数＝裤子的总件数．举一反三：【高清课堂：实际问题与一元一次方程(一) 388410调配问题】【变式】甲队有72人，乙队有68人，需要从甲队调出多少人到乙队，才能使甲队恰好是乙队人数的34. 解：设从甲队调出x 人到乙队.由题意得， ()372684x x -=+ 解得，x=12. 答：需要从甲队调出 12人到乙队，才能使甲队恰好是乙队人数的34 .。
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实际问题与一元一次方程（一）（基础）知识讲解【学习目标】1.熟练掌握分析解决实际问题的一般方法及步骤；2.熟悉行程，工程，配套及和差倍分问题的解题思路． 【要点梳理】知识点一、用一元一次方程解决实际问题的一般步骤列方程解应用题的基本思路为：问题−−−→分析抽象方程−−−→求解检验解答．由此可得解决此类 题的一般步骤为：审、设、列、解、验、答．要点诠释： （1）“审”是指读懂题目，弄清题意，明确哪些是已知量，哪些是未知量，以及它们之间的关系，寻找等量关系； （2）“设”就是设未知数，一般求什么就设什么为x ，但有时也可以间接设未知数； （3）“列”就是列方程，即列代数式表示相等关系中的各个量，列出方程，同时注意方程两边是同一类量，单位要统一； （4）“解”就是解方程，求出未知数的值． （5）“验”就是指检验方程的解是否符合实际意义，当有不符合的解时，及时指出，舍去即可； （6）“答”就是写出答案，注意单位要写清楚．知识点二、常见列方程解应用题的几种类型（待续）1．和、差、倍、分问题（1）基本量及关系：增长量＝原有量×增长率，现有量＝原有量+增长量，现有量＝原有量-降低量．（2）寻找相等关系：抓住关键词列方程，常见的关键词有：多、少、和、差、不足、剩余以及倍，增长率等． 2．行程问题（1）三个基本量间的关系： 路程=速度×时间 （2）基本类型有：①相遇问题（或相向问题）：Ⅰ．基本量及关系：相遇路程=速度和×相遇时间Ⅱ．寻找相等关系：甲走的路程+乙走的路程＝两地距离．②追及问题：Ⅰ．基本量及关系：追及路程=速度差×追及时间Ⅱ．寻找相等关系：第一， 同地不同时出发：前者走的路程＝追者走的路程；第二， 第二，同时不同地出发：前者走的路程+两者相距距离＝追者走的路程．③航行问题：Ⅰ．基本量及关系：顺流速度=静水速度+水流速度，逆流速度=静水速度－水流速度， 顺水速度－逆水速度＝2×水速；Ⅱ．寻找相等关系：抓住两地之间距离不变、水流速度不变、船在静水中的速度不变来考虑．（3）解此类题的关键是抓住甲、乙两物体的时间关系或所走的路程关系，并且还常常借助画草图来分析． 3．工程问题如果题目没有明确指明总工作量，一般把总工作量设为1．基本关系式： （1）总工作量=工作效率×工作时间； （2）总工作量=各单位工作量之和． 4．调配问题寻找相等关系的方法：抓住调配后甲处的数量与乙处的数量间的关系去考虑． 【典型例题】类型一、和差倍分问题1．2011年北京市生产运营用水和居民家庭用水的总和为5.8亿立方米，其中居民家庭用水比生产运营用水的3倍还多0.6亿立方米，问生产运营用水和居民家庭用水各多少亿立方米? 【答案与解析】设生产运营用水x 亿立方米，则居民家庭用水(5.8-x )亿立方米． 依题意，得5.8-x ＝3x+0.6 解得x ＝1.35.8-x ＝5.8-1.3＝4.5（亿立方米）答：生产运营用水1.3亿立方米，居民家庭用水4.5亿立方米．【总结升华】本题要求两个未知数，不妨设其中一个未知数为x ，另外一个用含x 的式子表示．本题的相等关系是生产运营用水量+居民家庭用水总量＝5.8亿立方米． 举一反三：【变式】(麻城期末考试)麻商集团三个季度共销售冰箱2800台，第一个季度销售量是第二个季度的2倍．第三个季度销售量是第一个季度的2倍，试问麻商集团第二个季度销售冰箱多少台?【答案】解：设第二个季度麻商集团销售冰箱x 台，则第一季度销售量为2x 台，第三季度销售量为4x 台，依题意可得：x+2x+4x ＝2800，解得：x ＝400答：麻商集团第二个季度销售冰箱400台．类型二、行程问题 1.一般问题2．小山娃要到城里参加运动会，如果每小时走4千米，那么走完预订时间离县城还有0.5千米，如果他每小时走5千米，那么比预订时间早半小时就可到达县城．试问学校到县城的距离是多少千米? 【答案与解析】解：设小山娃预订的时间为x 小时，由题意得： 4x+0.5＝5(x -0.5)，解得x ＝3．所以4x+0.5＝4×3+0.5＝12.5(千米)． 答：学校到县城的距离是12.5千米．【总结升华】当直接设未知数有困难时，可采用间接设的方法．即所设的不是最后所求的，而是通过求其它的数量间接地求最后的未知量． 举一反三：【变式】某汽车在一段坡路上往返行驶，上坡的速度为10千米/时，下坡的速度为20千米/时，求汽车的平均速度． 【答案】解：设这段坡路长为a 千米，汽车的平均速度为x 千米/时，则上坡行驶的时间为10a小时，下坡行驶的时间为20a 小时．依题意，得：21020aa x a ⎛⎫+=⎪⎝⎭， 化简得： 340ax a =． 显然a ≠0，解得1133x =答：汽车的平均速度为1133千米/时．2.相遇问题（相向问题）【高清课堂：实际问题与一元一次方程(一) 388410 相遇问题】3． A 、B 两地相距100km ，甲、乙两人骑自行车分别从A 、B 两地出发相向而行，甲的速度是23km/h ，乙的速度是21km/h ，甲骑了1h 后，乙从B 地出发，问甲经过多少时间与乙相遇？ 【答案与解析】解:设甲经过x 小时与乙相遇.由题意得：()2312321(1)100x ⨯++-= 解得，x=2.75答：甲经过2.75小时与乙相遇．【总结升华】等量关系：甲走的路程+乙走的路程=100km 举一反三：【变式】甲、乙两人骑自行车，同时从相距45km 的两地相向而行，2小时相遇，每小时甲比乙多走2.5km ，求甲、乙每小时各行驶多少千米? 【答案】解：设乙每小时行驶x 千米，则甲每小时行驶(x +2.5)千米，根据题意，得：2( 2.5)245x x ++=解得：10x =2.510 2.512.5x +=+=（千米）答：甲每小时行驶12.5千米，乙每小时行驶10千米3.追及问题（同向问题）4．一队学生去校外进行军事野营训练，他们以5千米/时的速度行进，走了18分钟时，学校要将一紧急通知传给队长，通讯员从学校出发，骑自行车以14千米/时的速度按原路追上去，通讯员用多少分钟可以追上学生队伍? 【答案与解析】解：设通讯员x 小时可以追上学生队伍，则根据题意，得18145560x x =⨯+， 得：16x =， 16小时=10分钟．答：通讯员用10分钟可以追上学生队伍．【总结升华】追及问题：路程差=速度差×时间，此外注意：方程中x 表示小时，18表示分钟，两边单位不一致，应先统一单位．4.航行问题（顺逆风问题）5．一艘船航行于A 、B 两个码头之间，轮船顺水航行需3小时，逆水航行需5小时，已知水流速度是4千米/时，求这两个码头之间的距离． 【答案与解析】解法1：设船在静水中速度为x 千米/时，则船顺水航行的速度为(x+4)千米/时，逆水航行的速度为(x -4)千米/时，由两码头的距离不变得方程：3(x+4)＝5(x -4)，解得：x=16，（16+4）×3=60（千米）答：两码头之间的距离为60千米．解法2：设A 、B 两码头之间的距离为x 千米，则船顺水航行时速度为3x 千米/时，逆水航行时速度为5x 千米/时，由船在静水中的速度不变得方程：4435x x-=+，解得：60x = 答：两码头之间的距离为60千米．【总结升华】顺流速度=静水速度+水流速度；逆流速度=静水速度-水流速度，根据两个码头的距离不变或船在静水中的速度不变列方程．类型三、工程问题6．一个水池有两个注水管，两个水管同时注水，10小时可以注满水池；甲管单独开15小时可以注满水池，现两管同时注水7小时，关掉甲管，单独开乙管注水，还需要几小时能注满水池? 【思路点拨】视水管的蓄水量为“1”，设乙管还需x 小时可以注满水池；那么甲乙合注1小时注水池的110，甲管单独注水每小时注水池的115，合注7小时注水池的710，乙管每小时注水池的111015⎛⎫- ⎪⎝⎭． 【答案与解析】解：设乙管还需x 小时才能注满水池． 由题意得方程：1171101510x ⎛⎫-=-⎪⎝⎭解此方程得：x ＝9答：单独开乙管，还需9小时可以注满水池．【总结升华】工作效率×工作时间=工作量，如果没有具体的工作量，一般视总的工作量为“1” ． 举一反三：【变式】修建某处住宅区的自来水管道，甲单独完成需14天，乙单独完成需18天，丙单独完成需12天，前7天由甲、乙两人合作，但乙中途离开了一段时间，后两天由乙、丙合作完成问乙中途离开了几天?【答案】解：设乙中途离开x 天，由题意得1117(72)21141812x ⨯+-++⨯= 解得：3x =答：乙中途离开了3天类型四、调配问题（比例问题、劳动力调配问题）7．星光服装厂接受生产某种型号的学生服的任务，已知每3m 长的某种布料可做上衣2件或裤子3条，一件上衣和一条裤子为一套，计划用750m 长的这种布料生产学生服，应分别用多少布料生产上衣和裤子才能恰好配套?共能生产多少套?【思路点拨】每3米布料可做上衣2件或裤子3条，意思是每1米布料可做上衣32件，或做裤子1条，此外恰好配套说明裤子的数量应该等于上衣的数量． 【答案与解析】解：设做上衣需要xm ，则做裤子为(750-x )m ，做上衣的件数为23x ⨯件，做裤子的件数为75033x -⨯，则有：23(750)33x x -=解得：x ＝450，750-x ＝750-450＝300(m )，45023003⨯=（套） 答：用450m 做上衣，300m 做裤子恰好配套，共能生产300套．【总结升华】用参数表示上衣总件数与裤子的总件数，等量关系：上衣总件数＝裤子的总件数． 举一反三：【高清课堂：实际问题与一元一次方程(一) 调配问题】【变式】甲队有72人，乙队有68人，需要从甲队调出多少人到乙队，才能使甲队恰好是乙队人数的34. 解：设从甲队调出x 人到乙队.由题意得，()372684x x -=+ 解得，x=12.答：需要从甲队调出 12人到乙队，才能使甲队恰好是乙队人数的34.实际问题与一元一次方程（一）（提高）知识讲解【学习目标】1.熟练掌握分析解决实际问题的一般方法及步骤；2.熟悉行程，工程，配套及和差倍分问题的解题思路． 【要点梳理】要点一、用一元一次方程解决实际问题的一般步骤列方程解应用题的基本思路为：问题−−−→分析抽象方程−−−→求解检验解答．由此可得解决此类 题的一般步骤为：审、设、列、解、验、答．要点诠释： （1）“审”是指读懂题目，弄清题意，明确哪些是已知量，哪些是未知量，以及它们之间的关系，寻找等量关系； （2）“设”就是设未知数，一般求什么就设什么为x ，但有时也可以间接设未知数； （3）“列”就是列方程，即列代数式表示相等关系中的各个量，列出方程，同时注意方程两边是同一类量，单位要统一； （4）“解”就是解方程，求出未知数的值； （5）“检验”就是指检验方程的解是否符合实际意义，当有不符合的解时，及时指出，舍去即可； （6）“答”就是写出答案，注意单位要写清楚．要点二、常见列方程解应用题的几种类型（待续）1．和、差、倍、分问题（1）基本量及关系：增长量＝原有量×增长率，现有量＝原有量+增长量，现有量＝原有量-降低量．（2）寻找相等关系：抓住关键词列方程，常见的关键词有：多、少、和、差、不足、剩余以及倍，增长率等． 2．行程问题（1）三个基本量间的关系： 路程=速度×时间（2）基本类型有：①相遇问题（或相向问题）：Ⅰ．基本量及关系：相遇路程=速度和×相遇时间Ⅱ．寻找相等关系：甲走的路程+乙走的路程＝两地距离．②追及问题：Ⅰ．基本量及关系：追及路程=速度差×追及时间Ⅱ．寻找相等关系：第三，同地不同时出发：前者走的路程＝追者走的路程；第四，第二，同时不同地出发：前者走的路程+两者相距距离＝追者走的路程．③航行问题：Ⅰ．基本量及关系：顺流速度=静水速度+水流速度，逆流速度=静水速度－水流速度，顺水速度－逆水速度＝2×水速；Ⅱ．寻找相等关系：抓住两地之间距离不变、水流速度不变、船在静水中的速度不变来考虑．（3）解此类题的关键是抓住甲、乙两物体的时间关系或所走的路程关系，并且还常常借助画草图来分析．3．工程问题如果题目没有明确指明总工作量，一般把总工作量设为1．基本关系式：（1）总工作量=工作效率×工作时间；（2）总工作量=各单位工作量之和．4．调配问题寻找相等关系的方法：抓住调配后甲处的数量与乙处的数量间的关系去考虑．【典型例题】类型一、和差倍分问题1．旅行社的一辆汽车在第一次旅程中用去油箱里汽油的25%，第二次旅程中用去剩余汽油的40%，这样油箱中剩的汽油比两次所用的汽油少1公斤，求油箱里原有汽油多少公斤？【答案与解析】解：设油箱里原有汽油x公斤，由题意得：x(1-25%)(1-40%)+1=25%x+(1-25%)x×40%解得：x=10答：油箱里原有汽油10公斤.【点评】等量关系为：油箱中剩余汽油+1=用去的汽油.举一反三：【变式】某班举办了一次集邮展览，展出的邮票若平均每人3张则多24张，若平均每人4张则少26张，这个班有多少学生?一共展出了多少张邮票?【答案】解：设这个班有x名学生，根据题意得：3x+24＝4x-26解得：x＝50所以3x+24＝3×50+24＝174答：这个班有50名学生，一共展出了174张邮票．类型二、行程问题1.车过桥问题2.某桥长1200m，现有一列匀速行驶的火车从桥上通过，测得火车从上桥到完全过桥共用了50s，而整个火车在桥上的时间是30s，求火车的长度和速度．【思路点拨】正确理解火车“完全过桥”和“完全在桥上”的不同含义． 【答案与解析】解：设火车车身长为xm ，根据题意，得：120012005030x x+-=， 解得：x ＝300， 所以12001200300305050x ++==． 答：火车的长度是300m ，车速是30m/s ．【点评】火车“完全过桥”和“完全在桥上”是两种不同的情况，借助线段图分析如下(注：A 点表示火车头)：(1)火车从上桥到完全过桥如图(1)所示，此时火车走的路程是桥长+车长．(2)火车完全在桥上如图(2)所示，此时火车走的路程是桥长－车长．由于火车是匀速行驶的，所以等量关系是火车从上桥到完全过桥的速度＝整个火车在桥上的速度． 举一反三：【变式】某要塞有步兵692人，每4人一横排，各排相距1米向前行走，每分钟走86米，通过长86米的桥，从第一排上桥到排尾离桥需要几分钟？ 【答案】解：设从第一排上桥到排尾离桥需要x 分钟，列方程得：6928611864x ⎛⎫=-⨯+ ⎪⎝⎭，解得：x ＝3答：从第一排上桥到排尾离桥需要3分钟．2.相遇问题（相向问题）3．小李骑自行车从A 地到B 地，小明骑自行车从B 地到A 地，两人都匀速前进.已知两人在上午8时同时出发，到上午10时，两人还相距36千米，到中午12点，两人又相距36千米.求A 、B 两地间的路程.【答案与解析】解：设A 、B 两地间的路程为x 千米，由题意得：363624x x -+=解得：x =108．答：A 、B 两地间的路程为108千米.【点评】根据“匀速前进”可知A 、B 的速度不变，进而A 、B 的速度和不变.利用速度和=小李和小明前进的路程和／时间可得方程． 举一反三：【高清课堂：实际问题与一元一次方程(一)388410二次相遇问题】【变式】甲、乙两辆汽车分别从A 、B 两站同时开出，相向而行，途中相遇后继续沿原路线行驶，在分别到达对方车站后立即返回，两车第二次相遇时距A 站34km ，已知甲车的速度是70km/h ，乙车的速度是52km/h ，求A 、B 两站间的距离. 【答案】解：设A 、B 两站间的距离为x km ，由题意得：234347052x x -+=解得：x=122答： A 、B 两站间的距离为122km.3.追及问题（同向问题）4．一辆卡车从甲地匀速开往乙地，出发2小时后，一辆轿车从甲地去追这辆卡车，轿车的速度比卡车的速度每小时快30千米，但轿车行驶一小时后突遇故障，修理15分钟后，又上路追这辆卡车，但速度减小了13，结果又用两小时才追上这辆卡车，求卡车的速度． 【答案与解析】解：设卡车的速度为x 千米/时，由题意得：1122(30)(1)(30)243x x x x x x +++=++-⨯+⨯解得：x=24答：卡车的速度为24千米/时．【点评】采用“线示”分析法，画出示意图．利用轿车行驶的总路程等于卡车行驶的总路程来列方程，理清两车行驶的速度与时间．4.航行问题（顺逆风问题）5．(武昌区联考)盛夏，某校组织长江夜游，在流速为2.5千米/时的航段，从A 地上船，沿江而下至B 地，然后溯江而上到C 地下船，共乘船4小时．已知A 、C 两地相距10千米，船在静水中的速度为7.5千米/时，求A 、B 两地间的距离．【思路点拨】由于C 的位置不确定，要分类讨论：（1）C 地在A 、B 之间；（2）C 地在A 地上游． 【答案与解析】解：设A 、B 两地间的距离为x 千米．(1)当C 地在A 、B 两地之间时，依题意得．1047.5 2.57.5 2.5x x -+=+-解这个方程得：x ＝20(千米)(2)当C 地在A 地上游时，依题意得：1047.5 2.57.5 2.5x x ++=+-解这个方程得：203x =答：A 、B 两地间的距离为20千米或203千米． 【点评】这是航行问题，本题需分类讨论，采用“线示”分析法画出示意图(如下图所示)，然后利用“共乘”4小时构建方程求解．5.环形问题6．环城自行车赛，最快的人在开始48分钟后遇到最慢的人，已知最快的人的速度是最慢的人速度的3倍，环城一周是20千米，求两个人的速度.【答案与解析】解；设最慢的人速度为x 千米/时，则最快的人的速度为x 千米/时， 由题意得:x×-x×=20解得：x=10答：最快的人的速度为35千米/时，最慢的人的速度为10千米/时.【点评】这是环形路上的追及问题，距离差为环城一周20千米.相等关系为：最快的人骑的路程-最慢人骑的路程=20千米. 举一反三：【变式】两人沿着边长为90m 的正方形行走，按A →B →C →D →A …方向，甲从A 以65m/min 的速度，乙从B 以72m/min 的速度行走，如图所示，当乙第一次追上甲时，在正方形的哪一条边上?【答案】解：设乙追上甲用了x 分钟，则有： 72x -65x ＝3×90 2707x =（分） 答：乙第一次追上甲时走了2707227777⨯≈(m ) 此时乙在AD 边上 类型三、工程问题7．一个蓄水池有甲、乙两个进水管和一个丙排水管，单独开甲管6小时可注满水池；单独开乙管8小时可注满水池，单独开丙管9小时可将满池水排空，若先将甲、乙管同时开放2小时，然后打开丙管，问打开丙管后几小时可注满水池? 【答案与解析】解：设再过x 小时可把水注满．由题意得：11111()2()168689x +⨯++-= 解得：30421313x ==． 答：打开丙管后4213小时可把水放满．【点评】相等关系：甲、乙开2h 的工作量+甲、乙、丙水管的工作量=1． 举一反三：【变式】收割一块水稻田，若每小时收割4亩，预计若干小时完成，收割23后，改用新式农机，工作效率提高到原来的112倍，因此比预计时间提早1小时完成，求这块水稻田的面积． 【答案】解：设这块水稻田的面积为x 亩，由题意得：21331144142x x x =++⨯ 解得：36x =．答：这块水稻田的面积为36亩．类型四、配套问题（比例问题、劳动力调配问题）8．某工程队每天安排120个工人修建水库，平均每天每个工人能挖土5 m 3或运土3 m 3，为了使挖出的土及时被运走，问：应如何安排挖土和运土的工人? 【答案与解析】解：设安排x 人挖土，则运土的有(120-x )人，依题意得：5x ＝3(120-x )， 解得x ＝45． 120-45＝75(人)．答：应安排45人挖土，75人运土．【点评】用参数表示挖土数与运土数，等量关系：挖土与运土的总立方米数应相等． 举一反三：【高清课堂：实际问题与一元一次方程(一) 配制问题】【变式】某商店选用A 、B 两种价格分别是每千克28元和每千克20元的糖果混合成杂拌糖果后出售，为使这种杂拌糖果的售价是每千克25元，要配制这种杂拌糖果100千克，问要用这两种糖果各多少千克？ 【答案】解：设要用A 种糖果x 千克，则B 种糖果用(100-x)千克.依题意，得：28x+20(100-x)=25×100 解得：x=62.5.当x=62.5时，100-x=37.5.答：要用A 、B 两种糖果分别为62.5千克和37.5千克.实际问题与一元一次方程（二）（基础）知识讲解【学习目标】(1)进一步提高分析实际问题中数量关系的能力，能熟练找出相等关系并列出方程； (2)熟悉利润，存贷款，数字及方案设计问题的解题思路． 【要点梳理】要点一、用一元一次方程解决实际问题的一般步骤列方程解应用题的基本思路为：问题−−−→分析抽象方程−−−→求解检验解答．由此可得解决此类问题的一般步骤为：审、设、列、解、验、答．要点诠释：（1）“审”是指读懂题目，弄清题意，明确哪些是已知量，哪些是未知量，以及它们之间的关系，寻找等量关系． （2）“设”就是设未知数，一般求什么就设什么为x ，但有时也可以间接设未知数． （3）“列”就是列方程，即列代数式表示相等关系中的各个量，列出方程，同时注意方程两边是同一类量，单位要统一． （4）“解”就是解方程，求出未知数的值． （5）“检验”就是指检验方程的解是否符合实际意义，当有不符合的解时，及时指出，舍去即可． （6）“答”就是写出答案，注意单位要写清楚．要点三、常见列方程解应用题的几种类型（续）1．利润问题 （1）=100%⨯利润利润率进价(2) 标价＝成本(或进价)×(1＋利润率) (3) 实际售价＝标价×打折率(4) 利润＝售价－成本(或进价)＝成本×利润率注意：“商品利润＝售价－成本”中的右边为正时，是盈利；当右边为负时，就是亏损.打几折就是按标价的十分之几或百分之几十销售． 2．存贷款问题（1）利息=本金×利率×期数（2）本息和（本利和）＝本金＋利息＝本金＋本金×利率×期数＝本金×(1＋利率×期数) （3）实得利息=利息-利息税 （4）利息税=利息×利息税率 （5）年利率＝月利率×12 （6）月利率＝年利率×1213.数字问题已知各数位上的数字，写出两位数，三位数等这类问题一般设间接未知数，例如：若一个两位数的个位数字为a ，十位数字为b ，则这个两位数可以表示为10b+a ． 4．方案问题选择设计方案的一般步骤：（1）运用一元一次方程解应用题的方法求解两种方案值相等的情况．（2）用特殊值试探法选择方案，取小于（或大于）一元一次方程解的值，比较两种方案的优劣性后下结论． 【典型例题】类型一、利润问题【高清课堂：实际问题与一元一次方程(二) 利润问题例2】1．以现价销售一件商品的利润率为30%，如果商家在现有的价格基础上先提价40%，后降价50%的方法进行销售，商家还能有利润吗？为什么？ 【答案与解析】解：设该商品的成本为a 元，则商品的现价为(1+30%)a 元，依题意其后来折扣的售价为(1+30%)a ·(1+40%)(1-50%)=0.91a .∵0.91a -a =-0.09a ,∴0.09aa-·100%=-9%.答：商家不仅没有利润，而且亏损的利润率为9%.【总结升华】解答此类问题时，一定要弄清题意．分清售价、进价、数量、利润之间的关系很重要． 举一反三：【高清课堂：实际问题与一元一次方程(二)388413利润问题例3】【变式1】某个商品的进价是500元，把它提价40%后作为标价.如果商家要想保住12%的利润率搞促销活动，请你计算一下广告上可写出打几折？ 【答案】解：设该商品打x 折，依题意，则： 500(1+40%)·10x=500（1+12%）. x=10 1.121.4=8. 答：该商品的广告上可写上打八折.【变式2】张新和李明相约到图书大厦去买书，请你根据他们的对话内容(如图所示)，求出李明上次所买书籍的原价．【答案】解：设李明上次购买书籍的原价为x 元，由题意得：0.8x+20＝x -12， 解这个方程得：x ＝160．答：李明上次所买书籍的原价是160元．类型二、存贷款问题2．爸爸为小强存了一个五年期的教育储蓄，年利率为2.7％，五年后取出本息和为17025元，爸爸开始存入多少元. 【答案与解析】解：设爸爸开始存入x 元.根据题意，得x ＋x×2.7％×5＝17025. 解之，得x ＝15000答：爸爸开始存入15000元.【总结升华】本息和＝本金＋利息，利息＝本金×利率×期数．类型三、数字问题3．一个三位数，十位上的数是百位上的数的2倍，百位、个位上的数的和比十位上的数大2，又个位、十位、百位上的数的和是14，求这个三位数. 【答案与解析】解：设百位上的数为x ，则十位上的数为2x ，个位上的数为14-2x-x由题意得：x+14-2x-x=2x+2 解得：x=3 ∴ x=3， 2x=6，14-2x-x=5答：这个三位数为365【总结升华】在数字问题中应注意：（1）求的是一个三位数，而不是三个数；（2）这类应用题，一般设间接未知数，切勿求出x就答；(3) 三位数字的表示方法是百位上的数字乘以100，10位上的数字乘以10，然后把所得的结果和个位数字相加．举一反三：【变式】一个两位数，个位上的数字比十位上的数字大4，这个两位数又是这两个数字的和的4倍，求这个两位数.【答案】解：设十位上的数字为x，则个位上的数字为（4x+），由题意得：10(4)[(4)]4x x x x++=++⨯解得：4x=410(44)48∴⨯++=答：这两位数是48.类型四、方案设计问题4．为鼓励学生参加体育锻炼．学校计划拿出不超过1600元的资金再购买一批篮球和排球．已知篮球和排球的单价比为3:2，单价和为80元．(1)篮球和排球的单价分别是多少元?(2)若要求购买的篮球和排球的总数量是36个，且购买的篮球数量不少于26个．请探究有哪几种购买方案?【答案与解析】解：(1)设篮球和排球的单价分别为3x元和2x元．依题意3x+2x＝80，解得x＝16即 3x＝48，2x＝32答：篮球和排球的单价分别为48元和32元．(类别方案篮球（x个）排球（36-x）个合计（元）(1)26 10 1568(2)27 9 1584(3)28 8 1600(4)29 7 1616由列表可知，共有三种购买方案：方案一：购买篮球26个，排球10个；方案二：购买篮球27个，排球9个；方案三：购买篮球28个，排球8个．【总结升华】本例设未知数的方法很独特，值得借鉴．采用列表的方法探索方案，值得学习．举一反三：【变式】(武昌区期末调考)某校组织10位教师和部分学生外出考察，全程票价为25元，对集体购票，客运公司有两种优惠方案可供选择：方案一：所有师生按票价的88%购票；方案二：前20人购全票，从第21人开始，每人按票价的80%购票．。