指数运算及指数函数
指数函数运算公式8个
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指数函数运算公式8个
指数函数是形如y=a^x的函数,其中a是底数,x是幂。
指数函数具有以下8个运算公式:
1.乘法公式:
a^x*a^y=a^(x+y)
这个公式说明了相同底数的指数函数相乘时,底数不变,指数相加。
2.除法公式:
(a^x)/(a^y)=a^(x-y)
这个公式说明了相同底数的指数函数相除时,底数不变,指数相减。
3.平方公式:
(a^x)^y=a^(x*y)
这个公式说明了指数函数的指数也可以是指数。
4.根式公式:
(a^x)^(1/y)=a^(x/y)
这个公式说明了指数函数可以求根号。
5.幂公式:
(a^x)^y=a^(x*y)
这个公式说明了对一个指数函数求幂时,可以将指数间的乘法提到指数外面。
6.对数公式:
loga (a^x) = x
这个公式说明了对一个指数函数求底数为a的对数时,可以得到其指数。
7.指数和对数互补公式:
a^loga (x) = x
这个公式说明了对一个以底数为x的对数函数求以底数为a的指数时,结果是x。
8.复合函数公式:
g(f(x))=(a^x)^y
=a^(x*y)
这个公式说明了一个指数函数作为复合函数时,可以把两个指数相乘。
这些指数函数运算公式是指数函数的基本性质,通过这些公式可以对
指数函数进行各种运算和简化。
对于求解指数函数的实际问题,这些公式
具有重要的应用价值。
指数与指数函数知识点
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指数与指数函数知识点一、指数运算的基本性质1.任何数的0次方等于12.非零数的负指数等于该数的倒数。
3.相同底数的指数之间的乘方运算,底数保持不变,指数相加。
4.相同指数的指数之间的乘方运算,指数保持不变,底数相乘。
二、指数运算的规律1.法则1:a的m次方乘以a的n次方,等于a的m加n次方。
2.法则2:a的m次方除以a的n次方,等于a的m减n次方。
3.法则3:(a的m次方)的n次方,等于a的m乘n次方。
4.法则4:a的m次方的p次方,等于a的m乘p次方。
5.法则5:零的任何正次方都是0,零的0次方没有意义,规定为1三、指数函数的定义与性质指数函数的定义为:y=a^x,其中a>0且a≠1,a为底数,x为指数。
指数函数可以看作是以底数为底,自变量为指数的函数。
指数函数的性质如下:1.底数a大于1时,指数函数是递增的,即自变量x的增大,函数值y也增大。
2.底数a介于0和1之间时,指数函数是递减的,即自变量x的增大,函数值y也减小。
3.指数函数的图象都经过点(0,1),即当x=0时,y=14.指数函数的图象在直线x=0和y=0上均没有交点。
5.指数函数的图象没有水平渐近线,但有一条过点(0,0)的铅直渐近线。
指数函数常见的应用有:1.在金融领域中,指数函数可以用来描述货币的增长规律,例如复利计算。
2.在自然科学领域中,指数函数可以用来描述人口增长、病原体传播等现象。
3.在电路中,指数函数可以用来描述电容、电感等元件的充放电过程。
4.在计算机领域中,指数函数可以用来描述算法的时间复杂度、空间复杂度等特性。
总结:。
指数运算知识点总结
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指数运算知识点总结1. 指数的定义指数是代表着一种运算规则,也就是表示一个数要乘以自己的次数。
我们先来看看指数的数学定义。
假设a是任意一个非零实数,且n是一个正整数,那么a 的n次方(记作a^n)定义为:a^n = a * a * ... * a (n个a相乘)。
其中,a是底数,n是指数。
根据这个定义,我们可以得出以下几点结论:- 当指数n为0时,任何非零实数a的0次方均为1,即a^0 = 1。
- 当指数n为1时,任何非零实数a的1次方等于a本身,即a^1 = a。
- 当指数n为负整数时,a的-n次方等于1除以a的n次方,即a^(-n) = 1 / a^n。
(当a≠0时)- 当指数n为分数时,a的m/n次方等于a的m次方的n次根,即a^(m/n) =(a^m)^(1/n)。
2. 指数的性质指数有一些非常重要的性质,它们为指数运算提供了一些非常有用的计算规则。
2.1. 指数幂的乘法法则对于相同的底数,不同的指数幂相乘时,可以将底数保持不变,指数相加得到新的指数。
例如,对于任意非零实数a,以及任意整数m、n,有以下恒等式成立:a^m * a^n = a^(m+n)这个性质被称为指数幂的乘法法则。
2.2. 指数幂的除法法则对于相同的底数,不同的指数幂相除时,可以将底数保持不变,指数相减得到新的指数。
例如,对于任意非零实数a,以及任意整数m、n,有以下恒等式成立:a^m / a^n = a^(m-n) (当a≠0时)这个性质被称为指数幂的除法法则。
2.3. 指数幂的乘方法则对于一个底数的指数幂的幂,可以将底数保持不变,指数相乘得到新的指数。
例如,对于任意非零实数a,以及任意整数m、n,有以下恒等式成立:(a^m)^n = a^(m*n)这个性质被称为指数幂的乘方法则。
2.4. 指数幂的负次幂法则一个非零实数的负次幂等于其倒数的相应正次幂。
例如,对于任意非零实数a,以及任意正整数n,有以下恒等式成立:a^(-n) = 1 / a^n (当a≠0时)这个性质被称为指数幂的负次幂法则。
指数运算和指数函数
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指数运算与指数函数一、知识点1、根式得性质(1)当n为奇数时,有(2)当n为偶数时,有(3)负数没有偶次方根 (4)零得任何正次方根都就就是零2、幂得有关概念(1)正整数指数幂:(2)零指数幂 (3)负整数指数幂(4)正分数指数幂(5)负分数指数幂(6)0得正分数指数幂等于0,0得负分数指数幂无意义3、有理指数幂得运算性质(1) (2)(3)4、指数函数定义:函数叫做指数函数。
0 <a < 1 a > 1图象性质定义域R值域(0 , +∞)定点过定点(0,1),即x= 0时,y = 1(1)a> 1,当x>0时,y>1;当x< 0时,0 <y<1。
(2)0 <a< 1,当x> 0时,0<y< 1;当x< 0时,y>1。
单调性在R上就就是减函数在R上就就是增函数对称性与关于y轴对称(1)①②③④则:0<b<a<1<d<c又即:x∈(0,+∞)时, (底大幂大)x∈(-∞,0)时,(2)特殊函数得图像:三、指数式大小比较方法(1)单调性法:化为同底数指数式,利用指数函数得单调性进行比较、(2)中间量法(3)分类讨论法(4)比较法比较法有作差比较与作商比较两种,其原理分别为:①若;;;②当两个式子均为正值得情况下,可用作商法,判断,或即可、四、典型例题类型一、指数函数得概念例1、函数就就是指数函数,求得值、【答案】2【解析】由就就是指数函数,可得解得,所以、举一反三:【变式1】指出下列函数哪些就就是指数函数?(1);(2);(3);(4);(5);(6)、【答案】(1)(5)(6)【解析】(1)(5)(6)为指数函数、其中(6)=,符合指数函数得定义,而(2)中底数不就就是常数,而4不就就是变数;(3)就就是-1与指数函数得乘积;(4)中底数,所以不就就是指数函数、类型二、函数得定义域、值域例2、求下列函数得定义域、值域、(1);(2)y=4x-2x+1;(3);(4)(a为大于1得常数)【答案】(1)R,(0,1);(2)R [);(3) ;(4)[1,a)∪(a,+∞)【解析】(1)函数得定义域为R (∵对一切xR,3x≠-1)、∵,又∵3x>0, 1+3x>1,∴ , ∴ ,∴ , ∴值域为(0,1)、(2)定义域为R,,∵2x>0,∴即x=-1时,y取最小值,同时y可以取一切大于得实数,∴值域为[)、(3)要使函数有意义可得到不等式,即,又函数就就是增函数,所以,即,即,值域就就是、(4)∵∴定义域为(-∞,-1)∪[1,+∞),又∵ ,∴,∴值域为[1,a)∪(a,+∞)、【总结升华】求值域时有时要用到函数单调性;第(3)小题中值域切记不要漏掉y>0得条件,第(4)小题中不能遗漏、举一反三:【变式1】求下列函数得定义域:(1) (2)(3) (4)【答案】(1)R;(2);(3);(4)a>1时,;0<a<1时,【解析】(1)R(2)要使原式有意义,需满足3-x≥0,即,即、(3)为使得原函数有意义,需满足2x-1≥0,即2x≥1,故x≥0,即(4) 为使得原函数有意义,需满足,即,所以a>1时,;0<a<1时,、【总结升华】本题中解不等式得依据主要就就是指数函数得单调性,根据所给得同底指数幂得大小关系,结合单调性来判断指数得大小关系、类型三、指数函数得单调性及其应用例3、讨论函数得单调性,并求其值域、【思路点拨】对于x∈R,恒成立,因此可以通过作商讨论函数得单调区间、此函数就就是由指数函数及二次函数复合而成得函数,因此可以逐层讨论它得单调性,综合得到结果、【答案】函数在区间(-∞,1)上就就是增函数,在区间[1,+∞)上就就是减函数 (0,3]【解析】解法一:∵函数得定义域为(-∞,+∞),设x1、x 2∈(-∞,+∞)且有x 1<x2, ∴,, 、(1)当x 1<x2<1时,x 1+x 2<2,即有x 1+x 2-2<0、 又∵x 2-x 1>0,∴(x 2―x 1)(x 2+x 1―2)<0,则知、 又对于x∈R,恒成立,∴、 ∴函数在(-∞,1)上单调递增、(2)当1≤x 1<x2时,x 1+x2>2,即有x 1+x 2-2>0、 又∵x 2-x 1>0,∴(x 2―x 1)(x 2+x1―2)>0,则知 、∴、∴函数在[1,+∞)上单调递减、综上,函数在区间(-∞,1)上就就是增函数,在区间[1,+∞)上就就是减函数、 ∵x 2―2x=(x ―1)2―1≥-1,,、 ∴函数得值域为(0,3]、解法二:∵函数得下义域为R,令u=x2-2x,则、∵u=x 2―2x =(x ―1)2―1,在(―∞,1]上就就是减函数,在其定义域内就就是减函数,∴函数在(-∞,1]内为增函数、又在其定义域内为减函数,而u=x 2―2x=(x ―1)2―1在[1,+∞)上就就是增函数,∴函数在[1,+∞)上就就是减函数、值域得求法同解法一、【总结升华】由本例可知,研究型得复合函数得单调性用复合法,比用定义法要简便些,一般地有:即当a >1时,得单调性与得单调性相同;当0<a <1时,得单调与得单调性相反、举一反三:【变式1】求函数得单调区间及值域、【答案】上单增,在上单减、【解析】[1]复合函数——分解为:u=-x 2+3x -2, y=3u;[2]利用复合函数单调性判断方法求单调区间; [3]求值域、设u=-x 2+3x-2, y=3u,其中y =3u 为R 上得单调增函数,u=-x 2+3x-2在上单增,u=-x 2+3x-2在上单减, 则在上单增,在上单减、又u=-x 2+3x -2, 得值域为、 【变式2】求函数得单调区间、【解析】当a>1时,外层函数y=a u 在上为增函数,内函数u=x2-2x 在区间上为减函数,在区间上为增函数,故函数上为减函数,在区间上为增函数;当0<a<1时,外层函数y=au 在上为减函数,内函数u =x 2-2x在区间上为减函数,在区间上为增函数,故函数在区间上为增函数,在区间上为减函数、例4、证明函数在定义域上为增函数、【思路点拨】利用函数得单调性定义去证明。
高中数学必修一 指数运算性质及指数函数
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第8课时 指数运算性质及指数函数知识点一 分数指数幂 给定正实数a ,对于任意给定的整数m ,n (m ,n 互素),存在唯一的正实数b ,使得b n =a m,我们把b 叫作a 的mn次幂,记作b =mn a .指数运算性质 一般地,在研究实数指数幂的运算性质时,约定底数为大于零的实数.当a >0,b >0时,有: (1)a m ·a n = ;(2)(a m )n = ;(3)(ab )n = ,其中m ,n ∈R . 例1 计算下列各式(式中字母都是正数).(1)10.5233277(0.027)21259-⎛⎫⎛⎫+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭;2)211511336622(2)(6)(3)a b a b a b ÷--;2152.530.064-0⎡⎤-π.⎢⎥⎣⎦() 知识点二 指数函数一般地,函数 叫作指数函数,其中x 是自变量,函数的定义域是R .注意①底数是大于0且不等于1的常数;②指数函数的自变量必须位于指数的位置上;③a x 的系数必须为1;④指数函数等号右边不会是多项式,如y =2x +1不是指数函数. 知识点三 指数函数的图像和性质例2 (1)下列函数中是指数函数的是________.(填序号) ①y =2·(2)x ;②y =2x -1;③y =⎝⎛⎭⎫π2x;④y =13x-;⑤y =13x . (2)若函数y =(a 2-3a +3)·a x 是指数函数,则实数a =________. (3)若函数y =(2a -3)x 是指数函数,则实数a 的取值范围是________. 例3 (1)函数y =a x -1a(a >0,且a ≠1)的图像可能是( )(2)函数f (x )=1+a x -2(a >0,且a ≠1)恒过定点________.(3)已知函数y =3x 的图像,怎样变换得到y =⎝⎛⎭⎫13x +1+2的图像?并画出相应图像.跟踪训练3 (1)已知函数f (x )=4+a x +1(a >0,且a ≠1)的图像经过定点P ,则点P 的坐标是( ) A.(-1,5) B.(-1,4) C.(0,4) D.(4,0) 例4 比较下列各题中两个值的大小. (1)1.7-2.5,1.7-3;(2)1.70.3,1.50.3;(3)1.70.3,0.83.1.跟踪训练4 比较下列各题中的两个值的大小.(1)0.8-0.1,1.250.2;(2)⎝⎛⎭⎫1π-π,1;(3)0.2-3,(-3)0.2.例5 (1)不等式4x <42-3x的解集是________.(2)解关于x 的不等式:a 2x +1≤a x -5(a >0,且a ≠1).例6 判断f (x )=2213x x⎛⎫ ⎪⎝⎭-的单调性,并求其值域.反思感悟研究y =a f (x )型单调区间时,要注意a >1还是0<a <1.当a >1时,y =a f (x )与f (x )的单调性相同.当0<a <1时,y =a f (x )与f (x )的单调性相反.跟踪训练6 求函数y =223x x a +-的单调区间.课后作业1.化简238的值为( ) A.2 B.4 C.6 D.82.下列根式与分数指数幂的互化正确的是( ) A.-x =12()x -(x >0) B.1263=y y (y <0) C.33441=xx ⎛⎫⎪⎝⎭-(x >0) D.133=x x -(x ≠0) 3.式子a 2a ·3a 2(a >0)经过计算可得到( ) A.a B.1a6 C.5a 6 D.6a 5 4.计算124-⎝⎛⎭⎫12-1=________.5.下列各函数中,是指数函数的是( ) A.y =(-3)x B.y =-3x C.y =3x -1D.y =⎝⎛⎭⎫13x6.若函数y =(2a -1)x (x 是自变量)是指数函数,则a 的取值范围是( ) A.a >0,且a ≠1 B.a ≥0,且a ≠1 C.a >12,且a ≠1 D.a ≥127.函数f (x )=a x -b的图像如图所示,其中a ,b 均为常数,则下列结论正确的是( )A.a >1,b <0B.a >1,b >0C.0<a <1,b >0D.0<a <1,b <08.函数y =a x -3+3(a >0,且a ≠1)的图像恒过定点_________________________________. 9.函数f (x )=1-2x +1x +3的定义域为________. 10.下列各式中成立的是( )A.⎝⎛⎭⎫m n 7=177n m B.12(-3)4=3-3 C.4x 3+y 3=34()x y + D.39=3311.下列大小关系正确的是( )A.0.43<30.4<π0B.0.43<π0<30.4C.30.4<0.43<π0D.π0<30.4<0.43 12.方程42x -1=16的解是( )A.x =-32B.x =32 C.x =1 D.x =213.函数f (x )=2112x ⎛⎫⎪⎝⎭-的递增区间为( )A.(-∞,0]B.[0,+∞)C.(-1,+∞)D.(-∞,-1) 14.函数y =⎝⎛⎭⎫12x,y =2x ,y =3x的图像(如图)分别是________.(用序号作答)15.设0<a <1,则关于x 的不等式22232223x x x x aa -++->的解集为________.16.已知a =0.80.7,b =0.80.9,c =1.20.8,则a ,b ,c 的大小关系是( ) A.a >b >c B.b >a >c C.c >b >a D.c >a >b 17.已知函数f (x )=3x -⎝⎛⎭⎫13x ,则f (x )( ) A.是奇函数,且在R 上是增函数 B.是偶函数,且在R 上是增函数 C.是奇函数,且在R 上是减函数 D.是偶函数,且在R 上是减函数18.计算:⎝⎛⎭⎫2590.5-⎝⎛⎭⎫27813--⎝⎛⎭⎫-780+160.25=__________________________________.19.已知函数f (x )=2|x -a |(a 为常数),若f (x )在区间[1,+∞)上是增函数,则a 的取值范围是________. 20.已知函数f (x )=4x -14x +1.(1)解不等式f (x )<13;(2)求函数f (x )的值域.能力提升 已知定义在R 上的函数f (x )=a +14x +1是奇函数.(1)求a 的值;(2)判断f (x )的单调性(不需要写出理由);(3)若对任意的t ∈R ,不等式f (t 2-2t )+f (2t 2-k )<0恒成立,求实数k 的取值范围.。
高中数学第三章指数运算与指数函数3指数函数第1课时指数函数的概念图象和性质课件北师大版必修第一册
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知识点2 指数函数的图象和性质
1.指数函数的图象和性质
图象和性质
图象
a>1
0<a<1
图象和
性质
a>1
0<a<1
(1)定义域:R
(2)值域:(0,+∞)
(3)过定点(0,1),即x=0时,y=1
性质
(4)当x<0时,0<y<1;
(4)当x<0时,y>1;
当x>0时,y>1
当x>0时,0<y<1
(5)在R上是增函数
f(x)=kag(x)+b(k,a,b均为常数,且k≠0,a>0,且a≠1).若g(m)=0,则f(x)的图象过定
点(m,k+b).即令指数等于0,解出相应的x,y,则点(x,y)为所求定点.
角度2画指数型函数的图象
【例3】 画出下列函数的图象,并说明它们是由函数f(x)=2x的图象经过怎
样的变换得到的.
变式探究
比较下面两个数的大小:
(a-1)1.3与(a-1)2.4(a>1,且a≠2).
解∵a>1,且a≠2,∴a-1>0,且a-1≠1.
若a-1>1,即a>2,则y=(a-1)x是增函数,∴(a-1)1.3<(a-1)2.4.若0<a-1<1,即1<a<2,
则y=(a-1)x是减函数,∴(a-1)1.3>(a-1)2.4.
变式探究
本例中函数改为f(x)=5·a3x-2+4,其他条件不变,求点P的坐标.
解令 3x-2=0,得
2
x= ,此时
3
2
f( )=5×a0+4=9,故函数
指数的运算与指数函数
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指数的运算与指数函数4.1指数的运算【知识梳理】1. 整数指数幂1)定义:我们把n a 叫做a 的n 次幂,a 叫做幂的底数,n 叫做幂的指数。
在上述定义中,n 为整数时,这样的幂叫做整数指数幂。
2)整数指数幂的运算法则:(1)n m a a = (2)=n m a )((3)=n maa (4)=m ab )(3)此外,我们作如下规定:零次幂:)0(10≠=a a ; 负整数指数幂:),0(1+-∈≠=N n a a a nn; 2. 根式:1)n 次方根:一般地,如果a x n =,那么x 叫做a 的n 次方根,其中n >1,且n ∈N *。
注:①当n 是偶数时,正数的n 次方根有两个,这两个数互为相反数,分别表示为n a -,n a ;负数的偶次方根在实数范围内不存在;②当n 是奇数时,正数的n 次方根是一个正数;负数的n 次方根是一个负数,都表示为na ;③0的任何次方根都是0,记作00=n。
2)正数a 的正n 次方根叫做a 的n 次算数根。
当na 有意义时,n a 叫做根式,这里n 叫做根指数,a 叫做被开方数.注:当n 是奇数时,a a nn =;当n 是偶数时,⎩⎨⎧<≥-==)0()0(||a a a a a a nn ;3. 有理指数幂1)我们进行如下规定: n na a=1 (0>a )那么,我们就将整数指数幂推广到分数指数幂。
此外,下面定义也成立: )1,,,0(*>∈>=n N n m a a a n m nm)1,,,0(11*>∈>==-n N n m a a aanmnm nm注:0的正分数指数幂等于0,0的负分数指数幂没有意义。
2)规定了分数指数幂的意义后,指数的概念就从整数指数幂推广到了有理数指数幂。
3)有理指数幂的运算性质:(1)r a ·sr r aa +=),,0(Q s r a ∈>; (2)rs s r a a =)(),,0(Q s r a ∈>;(3)s r r a a ab =)(),0,0(Q r b a ∈>> 题型一 根式与幂的化简与求值 【例1】.求下列各式的值:(1)223223-++ (2)347246625-+--+【例2】.计算下列各式的值: (1)()[]75.0343031162)87(064.0---+-+-- (2)()()()012132232510002.0833-+--+⎪⎭⎫⎝⎛----【例3】.化简下列各式:(1)()0,0332>>b a b a ab ba (2)212121211111a a a a a ++------【过关练习】1.求值:(1)335252-++ (2)3332332313421248a a b a ab b ba a ⋅⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-÷++-2.化简:(1)111113131313132---+++++-x xx x x x x x(2)()()14214214433332)1()1(1))((----------++-++-++-+a a a a a a a a a a a a a a a a3.下列关系式中,根式与分数指数幂的互化正确的是_____.())0()4)(0()1()3();0()2();0()1(434334316221>=>=<=>-=--a a a a x xxy y y x x x题型二 含附加条件的求值问题 【例1】(1)若3193=⋅ba,则下列等式正确的是( ) A. 1-=+b a B. 1=+b a C. 12-=+b a D.12=+b a(2)若,123-=++x x x 则2827211227281x x x x x x x x ++⋅⋅⋅++++++⋅⋅⋅++----的值是_____.【例2】(1)已知,32,21==y x 求yx y x y x y x +---+的值; (2)已知b a ,是方程0462=+-x x 的两个根,且0>>b a ,求ba ba +-的值.【过关练习】 1.已知.88(22的值常数),求x x xxa --+=+2.已知32121=+-a a ,求21212323----aa a a 的值.3. 已知122+=xa ,求xx xx aa a a --++33的值题型三 解含幂的方程与等式的证明 【例1】解下列方程 (1)x x )41(212=+ (2)03241=-++x x【例2】已知433cz by ax ==,且1111=++zy x ,求证31313131222)(c b a cz by ax ++=++【过关练习】 1. 解下列方程(1)2291381+⎪⎭⎫⎝⎛=⨯x x (2)0123222=-⨯++x x2.设c b a ,,都是正数,且cb a 643==,求证ba c 122+=.4.2 指数函数及其性质【知识梳理】1. 指数函数 函数 )1,0(≠>=a a a y x叫做指数函数. 2. 指数函数的性质(1)定义域 :实数集合R ; (2)值域 :0>y ;(3) 奇偶性:指数函数是非奇非偶函数(4)单调性:1>a 时,函数 )1,0(≠>=a a a y x在),(+∞-∞上为增函数;10<<a 时,函数)1,0(≠>=a a a y x 在),(+∞-∞上为减函数;(5)函数值:0=x 时,1=y ,图象恒过点(0,1);(6)当0,1>>x a 时1>y ;0,1<>x a 时,10<<y .当10<<a ,0>x 时,10<<y ;0,10<<<x a 时,1>y .题型一 指数函数的概念例1 .已知指数函数)3)(2(--+=a a a y x的图像经过点(2,4),求a 的值.【过关练习】.若指数函数)(x f 的图像经过点(2,9),求)(x f 的解析式及)1(-f 的值.题型二 指数型复合函数的定义域和值域 【例1】.求下列函数的定义域和值域 (1) xy 31-= (2)412-=x y(3)xy -=)32( (4)32221--⎪⎭⎫ ⎝⎛=x x y【例2】.求函数[]2,2,221341-∈+⎪⎭⎫⎝⎛⨯-⎪⎭⎫ ⎝⎛=x y xx 的值域.【例3】.如果函数[]1,1-)1,0(122在且≠>-+=a a a a y x x上有最大值14,试求a 的值.【过关练习】1.求函数xy ⎪⎭⎫⎝⎛-=211的定义域和值域.2.已知集合⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈==+R x y y A x,)21(12,则满足B B A =⋂的集合B 可以是( )A. ⎭⎬⎫⎩⎨⎧21,0 B. ⎭⎬⎫⎩⎨⎧<<210x x C.{}11≤≤-x x D.{}0>x x 3.函数22212+-=+x xy 的定义域为M ,值域[]2,1P ,则下列结论一定正确的个数是( )。
高中数学必修一指数运算与指数函数
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• 指数函数的定义表达式� = �� 中,�� 前的系
数必须是1。自变量x在指数的位置上。
• 比如� = 2�� , � = �� + 1, � = ��+1 等,都不
是指数函数;
• 有些函数看起来不像指数函数,实际上却是,
如� = �−� (� > 0且� ≠ 1) ,因为它可以化为
�
1
期中测试)在同一坐标系中,函数y=2x与y=
五、比较幂值得大小
• 底数相同:利用函数的单调性进行比较;
• 指数相同:
• 方法一:可转化为底数相同进行比较;
• 方法二:可借助函数图像进行比较。指数函数在
同一直角坐标系中的图像与底数大小的关系有如
下规律:即无论在y轴右侧还是在y轴左侧底数按
逆时针方向由小变大。
• 指数、底数都不同:可利用中间量进行比较。
合函数;
• ④y=2·10x是由y=2和y=10x这两个函数相乘得到的复
合函数,不是指数函数;
• ⑤y=(-10)x的底数是负数,不符合指数函数的定义;
• ⑥由于10+a>0,且10+a≠1,即底数是符合要求的常数,
故y=(10+a)x(a>-10,且a≠-9)是指数函数;
• ⑦y=x10的底数不是常数,故不是指数函数.
1 �
1
1
�=
,其中 > 0,且 ≠ 1 。
�
�
�
四、指数函数的图像和性质
四、指数函数的图像和性质
• 特别提醒:
• 角坐标系中的图像的相对位置关系与底数大小的
关系有如下规律:
• 在y轴右侧,图像从下往上相应的底数由小变大;
在y轴左侧,图像从上往下相应的底数由小变.
指数与指数函数
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指数与指数函数指数与指数函数1.1 指数与指数幂的运算1) 根式的概念如果$x=a$,$a\in R$,$x\in R$,$n>1$,且$n\in N^+$,那么$x$叫做$a$的$n$次方根。
当$n$是奇数时,$a$的正的$n$次方根用符号$n\sqrt{a}$表示,负的$n$次方根用符号$-n\sqrt{a}$表示。
当$n$是偶数时,正数$a$的正的$n$次方根用符号$n\sqrt{a}$表示,负的$n$次方根用符号$-n\sqrt{a}$表示。
负数$a$没有$n$次方根。
式子$n\sqrt{a}$叫做根式,这里$n$叫做根指数,$a$叫做被开方数。
当$n$为奇数时,$a$为任意实数;当$n$为偶数时,$a\geq0$。
根式的性质:$(n\sqrt{a})^n=a$;当$n$为奇数时,$n\sqrt{a^n}=a$;当$n$为偶数时,$n\sqrt{a^2}=|a|$,即$\begin{cases}a&(a\geq0)\\-a&(a<0)\end{cases}$。
2) 分数指数幂的概念正数的正分数指数幂的意义是:$a^{m/n}=\sqrt[n]{a^m}$。
正数的负分数指数幂的意义是:$a^{-m/n}=\dfrac{1}{\sqrt[n]{a^m}}$。
正分数$a^{1/m}=\sqrt[m]{a}$,负分数指数幂没有意义。
注意口诀:底数取倒数,指数取相反数。
3) 分数指数幂的运算性质a^r\cdot a^s=a^{r+s}$($a>0,r,s\in R$)。
a^r)^s=a^{rs}$($a>0,r,s\in R$)。
ab)^r=a^rb^r$($a>0,b>0,r\in R$)。
例题精讲例1】求下列各式的值:1) $n(3-\pi)$($n>1$,且$n\in N^+$);2) $(x-y)^2$。
1) 当$n$为奇数时,$n\sqrt{3-\pi}=|\sqrt{3-\pi}|=\sqrt{3-\pi}$。
指数运算与指数函数
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§2.7 指数运算与指数函数考试要求 1.理解有理数指数幂的含义,了解实数指数幂的意义,掌握指数幂的运算性质. 2.通过实例,了解指数函数的实际意义,会画指数函数的图象.3.理解指数函数的单调性、特殊点等性质,并能简单应用.知识梳理 1.根式(1)一般地,如果x n =a ,那么x 叫作a 的n 次方根,其中n >1,且n ∈N +. (2)式子na 叫作根式,这里n 叫作根指数,a 叫作被开方数. (3)(na )n =a .当n 为奇数时,na n =a ,当n 为偶数时,na n =|a |=⎩⎪⎨⎪⎧a ,a ≥0,-a ,a <0.2.分数指数幂 (1)正分数指数幂给定正数a 和正整数m ,n (n >1,且m ,n 互素),若存在唯一的正数b ,使得b n =a m ,则称b 为a 的mn 次幂,记作b =mn a .这就是正分数指数幂.(2)负分数指数幂给定正数a 和正整数m ,n (n >1,且m ,n 互素),定义m na -=1m na=1na m,这就是负分数指数幂.3.无理数指数幂一般地,给定正数a ,对于任意的正无理数α,可以定义一个实数a α,自然地,规定a -α=1a α.4.指数幂的运算性质a αa β=a α+β;(a α)β=a αβ;(ab )α=a αb α(a >0,b >0,α,β∈R ). 5.指数函数及其性质(1)定义:给定正数a ,且a ≠1时,对于任意的实数x ,都有唯一确定的正数y =a x 与之对应,因此y =a x 是一个定义在实数集上的函数,称为指数函数.(2)指数函数的图象与性质a >10<a <1图象定义域 R 值域(0,+∞)性质过定点(0,1),即x =0时,y =1当x >0时,y >1; 当x <0时,0<y <1当x <0时,y >1; 当x >0时,0<y <1在(-∞,+∞)上是增函数在(-∞,+∞)上是减函数常用结论1.指数函数图象的关键点(0,1),(1,a ),⎝⎛⎭⎫-1,1a . 2.如图所示是指数函数(1)y =a x ,(2)y =b x ,(3)y =c x ,(4)y =d x 的图象,则c >d >1>a >b >0,即在第一象限内,指数函数y =a x (a >0,且a ≠1)的图象越高,底数越大.思考辨析判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)4(-4)4=-4.( × )(2)2a ·2b =2ab .( × )(3)函数y =⎝⎛⎭⎫13x-1的值域是(0,+∞).( × ) (4)若a m <a n (a >0,且a ≠1),则m <n .( × ) 教材改编题1.已知函数y =a ·2x 和y =2x+b都是指数函数,则a +b 等于( )A .不确定B .0C .1D .2 答案 C解析 由函数y =a ·2x 是指数函数,得a =1,由y =2x +b 是指数函数,得b =0,所以a +b =1. 2.计算:()()222327130π--+--=________.答案 1 解析 原式=2333⎛⎪⨯⎫⎝⎭-+1-3-2=3-2+1-3-2=1.3.若指数函数f (x )=a x (a >0,且a ≠1)在[-1,1]上的最大值为2,则a =________. 答案 2或12解析 若a >1,则f (x )max =f (1)=a =2;若0<a <1,则f (x )max =f (-1)=a -1=2,得a =12.题型一 指数幂的运算 例1 计算: (1)(-1.8)0+⎝⎛⎭⎫32-2·3⎝⎛⎭⎫3382-10.01+93; (2)()3112123324140.1aba b----⎛⎫⋅ ⎪⎝⎭⋅(a >0,b >0).解(1)(-1.8)0+⎝⎛⎭⎫32-2·3⎝⎛⎭⎫3382-10.01+93 =1+2233222710938⎛⎫⎛⎫⋅-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=1+⎝⎛⎭⎫232·⎝⎛⎭⎫322-10+33 =1+1-10+27=19.(2)()3112123324140.1aba b----⎛⎫⋅ ⎪⎝⎭⋅=331322223322240.1a b a b--⋅⨯⨯=2×1100×8=425.思维升华 (1)指数幂的运算首先将根式、分数指数幂统一为分数指数幂,以便利用法则计算,还应注意:①必须同底数幂相乘,指数才能相加. ②运算的先后顺序.(2)运算结果不能同时含有根号和分数指数,也不能既有分母又含有负指数. 跟踪训练1 计算: (1)933713332÷·aa a a -- ;(2)()13633470.001+16+238-⎛⎫-⋅ ⎪⎝⎭.解 (1)因为a -3有意义,所以a >0,所以原式=7139333322a a a a --⋅÷⋅=3a 3÷a 2=a ÷a =1.(2)原式=()()61113343234101+2+23-⎛⎫-⋅ ⎪⎝⎭-=10-1+8+23·32=89. 题型二 指数函数的图象及应用例2 (1)(多选)已知非零实数a ,b 满足3a =2b ,则下列不等关系中正确的是( ) A .a <bB .若a <0,则b <a <0C .|a |<|b |D .若0<a <log 32,则a b <b a 答案 BCD 解析 如图,由指数函数的图象可知,0<a <b 或者b <a <0,所以A 错误,B ,C 正确; D 选项中,0<a <log 32⇒0<a <b <1,则有a b <a a <b a ,所以D 正确.(2)若函数f(x)=|2x-2|-b有两个零点,则实数b的取值范围是________.答案(0,2)解析在同一平面直角坐标系中画出y=|2x-2|与y=b的图象,如图所示.∴当0<b<2时,两函数图象有两个交点,从而函数f(x)=|2x-2|-b有两个零点.∴b的取值范围是(0,2).思维升华对于有关指数型函数的图象问题,一般是从最基本的指数函数的图象入手,通过平移、伸缩、对称变换得到.特别地,当底数a与1的大小关系不确定时应注意分类讨论.跟踪训练2(多选)函数f(x)=a x-b的图象如图所示,其中a,b为常数,则下列结论正确的是()A.a>1B.0<a<1C.b>0D.b<0答案BD解析由函数f(x)=a x-b的图象可知,函数f(x)=a x-b在定义域上单调递减,∴0<a<1,故B正确;分析可知,函数f(x)=a x-b的图象是由y=a x的图象向左平移所得,如图,∴-b>0,∴b<0,故D正确.题型三 指数函数的性质及应用 命题点1 比较指数式大小 例3 设a =30.7,b =2-0.4,c =90.4,则( )A .b <c <aB .c <a <bC .a <b <cD .b <a <c答案 D解析 b =2-0.4<20=1,c =90.4=30.8>30.7=a >30=1, 所以b <a <c .命题点2 解简单的指数方程或不等式例4 (2023·青岛模拟)已知y =4x -3·2x +3的值域为[1,7],则x 的取值范围是( ) A .[2,4] B .(-∞,0) C .(0,1)∪[2,4] D .(-∞,0]∪[1,2]答案 D解析 ∵y =4x -3·2x +3的值域为[1,7], ∴1≤4x -3·2x +3≤7. ∴-1≤2x ≤1或2≤2x ≤4. ∴x ≤0或1≤x ≤2.命题点3 指数函数性质的综合应用例5 已知函数f (x )=8x +a ·2x a ·4x (a 为常数,且a ≠0,a ∈R ),且f (x )是奇函数.(1)求a 的值;(2)若∀x ∈[1,2], 都有f (2x )-mf (x )≥0成立,求实数m 的取值范围. 解 (1)f (x )=1a ×2x +12x ,因为f (x )是奇函数, 所以f (-x )=-f (x ),所以1a ×12x +2x =-⎝⎛⎭⎫1a ×2x +12x , 所以⎝⎛⎭⎫1a +1⎝⎛⎭⎫2x +12x =0, 即1a+1=0,解得a =-1.(2)因为f (x )=12x -2x ,x ∈[1,2],所以122x -22x ≥m ⎝⎛⎭⎫12x -2x , 所以m ≥12x +2x ,x ∈[1,2],令t =2x ,t ∈[2,4],由于y =t +1t 在[2,4]上单调递增,所以m ≥4+14=174.思维升华 (1)利用指数函数的性质比较大小或解方程、不等式,最重要的是“同底”原则,比较大小还可以借助中间量.(2)求解与指数函数有关的复合函数问题,要明确复合函数的构成,涉及值域、单调区间、最值等问题时,要借助“同增异减”这一性质分析判断.跟踪训练3 (1)(多选)(2023·杭州模拟)已知函数f (x )=3x -13x +1,下列说法正确的有( )A .f (x )的图象关于原点对称B .f (x )的图象关于y 轴对称C .f (x )的值域为(-1,1)D .∀x 1,x 2∈R ,且x 1≠x 2,f (x 1)-f (x 2)x 1-x 2<0答案 AC解析 对于A 中,由f (-x )=3-x -13-x +1=-3x -13x +1=-f (x ),可得函数f (x )为奇函数,函数f (x )的图象关于原点对称,故选项A 正确,选项B 错误;对于C 中,设y =3x -13x +1,可得3x =1+y 1-y ,所以1+y 1-y >0,即1+yy -1<0,解得-1<y <1,即函数f (x )的值域为(-1,1),所以C 正确;对于D 中,对∀x 1,x 2∈R ,且x 1≠x 2,f (x 1)-f (x 2)x 1-x 2<0,可得函数f (x )为减函数,而f (x )=3x -13x +1=1-23x +1为增函数,所以D 错误.(2)已知函数f (x )=24313ax x ⎛⎫ ⎪⎝⎭-+,若f (x )有最大值3,则a 的值为________.答案 1解析 令g (x )=ax 2-4x +3,则f (x )=⎝⎛⎭⎫13g (x ), ∵f (x )有最大值3,∴g (x )有最小值-1,则⎩⎨⎧a >0,3a -4a =-1,解得a =1.课时精练1.若m =5(π-3)5,n =4(π-4)4,则m +n 的值为( ) A .-7 B .-1 C .1 D .7 答案 C解析 m +n =π-3+|π-4|=π-3+4-π=1.2.已知指数函数f (x )=(2a 2-5a +3)a x 在(0,+∞)上单调递增,则实数a 的值为( ) A.12 B .1 C.32 D .2 答案 D解析 由题意得2a 2-5a +3=1,∴2a 2-5a +2=0,∴a =2或a =12.当a =2时,f (x )=2x 在(0,+∞)上单调递增,符合题意; 当a =12时,f (x )=⎝⎛⎭⎫12x 在(0,+∞)上单调递减,不符合题意. ∴a =2.3.函数y =a x -1a(a >0,且a ≠1)的图象可能是( )答案 D解析 当a >1时,0<1a <1,函数y =a x 的图象为过点(0,1)的上升的曲线,函数y =a x -1a 的图象由函数y =a x 的图象向下平移1a个单位长度可得,故A ,B 错误;当0<a <1时,1a >1,函数y =a x 的图象为过点(0,1)的下降的曲线,函数y =a x -1a 的图象由函数y =a x 的图象向下平移1a 个单位长度可得,故D 正确,C 错误.4.已知1122x x-+=5,则x 2+1x的值为( )A .5B .23C .25D .27 答案 B 解析 因为1122x x-+=5,所以21122x x ⎛⎫ ⎪⎝⎭-+=52,即x +x -1+2=25,所以x +x -1=23,所以x 2+1x =x +1x=x +x -1=23.5.(多选)(2023·泰安模拟)已知函数f (x )=|2x -1|,实数a ,b 满足f (a )=f (b )(a <b ),则( ) A .2a +2b >2B .∃a ,b ∈R ,使得0<a +b <1C .2a +2b =2D .a +b <0 答案 CD解析 画出函数f (x )=|2x -1|的图象,如图所示.由图知1-2a =2b -1,则2a +2b =2,故A 错,C 对. 由基本不等式可得2=2a +2b >22a ·2b =22a +b ,所以2a +b <1,则a +b <0,故B 错,D 对.6.(2023·枣庄模拟)对任意实数a >1,函数y =(a -1)x -1+1的图象必过定点A (m ,n ),f (x )=⎝⎛⎭⎫n m x 的定义域为[0,2],g (x )=f (2x )+f (x ),则g (x )的值域为( ) A .(0,6] B .(0,20] C .[2,6] D .[2,20]答案 C解析 令x -1=0得x =1,y =2,即函数图象必过定点(1,2), 所以m =1,n =2,f (x )=⎝⎛⎭⎫n m x=2x,由⎩⎪⎨⎪⎧0≤x ≤2,0≤2x ≤2,解得x ∈[0,1],g (x )=f (2x )+f (x )=22x +2x ,令t =2x , 则y =t 2+t ,t ∈[1,2], 所以g (x )的值域为[2,6]. 7.计算化简: (1)()1123232770.02721259-⎛⎫⎛⎫+-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=________;232a --÷=________.答案 (1)0.09 (2)1566a b-解析 (1)112323277(0.027)21259-⎛⎫⎛⎫+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=(30.027)2+312527-259=0.09+53-53=0.09.232a --÷=2211333212113332a bb a a ba b ---⨯=2112112132332333·ab+-----=1566.a b -8.已知函数f (x )=3x +1-4x -5,则不等式f (x )<0的解集是________. 答案 (-1,1)解析 因为函数f (x )=3x +1-4x -5,所以不等式f (x )<0即为3x +1<4x +5,在同一平面直角坐标系中作出y =3x +1,y =4x +5的图象,如图所示,因为y =3x +1,y =4x +5的图象都经过A (1,9),B (-1,1),所以f (x )<0,即y =3x +1的图象在y =4x +5图象的下方,所以由图象知,不等式f (x )<0的解集是(-1,1).9.已知定义域为R 的函数f (x )=a x -(k -1)a -x (a >0,且a ≠1)是奇函数.(1)求实数k 的值;(2)若f (1)<0,判断函数f (x )的单调性,若f (m 2-2)+f (m )>0,求实数m 的取值范围. 解 (1)∵f (x )是定义域为R 的奇函数,∴f (0)=a 0-(k -1)a 0=1-(k -1)=0,∴k =2,经检验k =2符合题意,∴k =2.(2)f (x )=a x -a -x (a >0,且a ≠1),∵f (1)<0,∴a -1a<0,又a >0,且a ≠1, ∴0<a <1,从而y =a x 在R 上单调递减,y =a -x 在R 上单调递增,故由单调性的性质可判断f (x )=a x -a -x 在R 上单调递减,不等式f (m 2-2)+f (m )>0可化为f (m 2-2)>f (-m ),∴m 2-2<-m ,即m 2+m -2<0,解得-2<m <1,∴实数m 的取值范围是(-2,1).10.(2023·武汉模拟)函数f (x )=a 2x +a x +1(a >0,且a ≠1)在[-1,1]上的最大值为13,求实数a 的值.解 由f (x )=a 2x +a x +1,令a x =t ,则t >0,则y =t 2+t +1=⎝⎛⎭⎫t +122+34, 其对称轴为t =-12. 该二次函数在⎣⎡⎭⎫-12,+∞上单调递增. ①若a >1,由x ∈[-1,1],得t =a x ∈⎣⎡⎦⎤1a ,a ,故当t =a ,即x =1时,y max =a 2+a +1=13,解得a =3或a =-4(舍去).②若0<a <1,由x ∈[-1,1],可得t =a x ∈⎣⎡⎦⎤a ,1a , 故当t =1a,即x =-1时, y max =⎝⎛⎭⎫1a 2+1a +1=13.解得a =13或a =-14(舍去). 综上可得,a =3或13.11.(多选)(2022·哈尔滨模拟)已知函数f (x )=a ·⎝⎛⎭⎫12|x |+b 的图象经过原点,且无限接近直线y =2,但又不与该直线相交,则下列说法正确的是( )A .a +b =0B .若f (x )=f (y ),且x ≠y ,则x +y =0C .若x <y <0,则f (x )<f (y )D .f (x )的值域为[0,2)答案 ABD解析 ∵函数f (x )=a ·⎝⎛⎭⎫12|x |+b 的图象过原点, ∴a +b =0,即b =-a ,f (x )=a ·⎝⎛⎭⎫12|x |-a , 且f (x )的图象无限接近直线y =2,但又不与该直线相交,∴b =2,a =-2,f (x )=-2·⎝⎛⎭⎫12|x |+2,故A 正确; 由于f (x )为偶函数,故若f (x )=f (y ),且x ≠y ,则x =-y ,即x +y =0,故B 正确;由于在(-∞,0)上,f (x )=2-2·2x 单调递减,故若x <y <0,则f (x )>f (y ),故C 错误;∵⎝⎛⎭⎫12|x |∈(0,1],∴f (x )=-2·⎝⎛⎭⎫12|x |+2∈[0,2),故D 正确. 12.(2022·长沙模拟)若e x -e y =e ,x ,y ∈R ,则2x -y 的最小值为________.答案 1+2ln 2解析 依题意,e x =e y +e ,e y >0,则e 2x -y =e 2x e y =(e y +e )2e y =e y +e 2ey +2e ≥2e y ·e 2e y +2e =4e , 当且仅当e y =e 2ey ,即y =1时取“=”, 此时,(2x -y )min =1+2ln 2,所以当x =1+ln 2,y =1时,2x -y 取最小值1+2ln 2.13.(2023·龙岩模拟)已知函数f (x )=x 2-bx +c 满足f (1+x )=f (1-x ),且f (0)=3,则f (b x )与f (c x )的大小关系为( )A .f (c x )≥f (b x )B .f (c x )≤f (b x )C .f (c x )>f (b x )D .f (c x )=f (b x )答案 A解析 根据题意,函数f (x )=x 2-bx +c 满足f (x +1)=f (1-x ),则有b 2=1,即b =2, 又由f (0)=3,得c =3,所以b x =2x ,c x =3x ,若x <0,则有c x <b x <1,而f (x )在(-∞,1)上单调递减,此时有f (b x )<f (c x ),若x =0,则有c x =b x =1,此时有f (b x )=f (c x ),若x >0,则有1<b x <c x ,而f (x )在(1,+∞)上单调递增,此时有f (b x )<f (c x ),综上可得f (b x )≤f (c x ).14.(2023·宁波模拟)对于函数f (x ),若在定义域内存在实数x 0满足f (-x 0)=-f (x 0),则称函数f (x )为“倒戈函数”.设f (x )=3x +m -1(m ∈R ,m ≠0)是定义在[-1,1]上的“倒戈函数”,则实数m 的取值范围是________.答案 ⎣⎡⎭⎫-23,0 解析 ∵f (x )=3x +m -1是定义在[-1,1]上的“倒戈函数”,∴存在x 0∈[-1,1]满足f (-x 0)=-f (x 0),∴03x -+m -1=-03x -m +1,∴2m =-03x --03x +2,构造函数y =-03x --03x+2, x 0∈[-1,1], 令t =03x ,t ∈⎣⎡⎦⎤13,3,则y =-1t-t +2=2-⎝⎛⎭⎫t +1t 在⎣⎡⎦⎤13,1上单调递增, 在(1,3]上单调递减,∴当t =1时,函数取得最大值0,当t =13或t =3时, 函数取得最小值-43, ∴y ∈⎣⎡⎦⎤-43,0, 又∵m ≠0,∴-43≤2m <0, ∴-23≤m <0.。
指数与指数函数知识点及题型归纳总结
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指数与指数函数知识点及题型归纳总结知识点精讲一、指数的运算性质 当a >0,b >0时,有 (1)a m a n=am +n(m ,n ∈R );(2)mm n n a a a-=( m ,n ∈R) (3)(a m )n =a mn (m ,n ∈R );(4)(ab )m =a m b m (m ∈R );(5)pp a a-=1(p ∈Q ) (6)mm n n a a =(m ,n ∈N +)二、指数函数(1)一般地,形如y =a x (a >0且a ≠1)的函数叫做指数函数; (2)指数函数y =a x (a >0y =a x a >1 0<a <1图象(1)定义域:R (1)定义域:R 值域(2)值域:(0,+∞) (2)值域:(0,+∞) (3)过定点(0,1)(3)过定点(0,1) (4)在R 上是增函数. (4)在R 上是减函数. (5)0<y <1⇔x >0y =1⇔x =0 y >1⇔x <0(5)0<y <1⇔x <0y =1⇔x =0 y >1⇔x >0题型归纳及思路提示题型1指数运算及指数方程、指数不等式 思路提示利用指数的运算性质解题.对于形如()f x a b =,()f x a b >,()f x a b <的形式常用“化同底”转化,再利用指数函数单调性解决;或用“取对数”的方法求解.形如a 2x +B a x +C =0或a 2x +Ba x +C ≥0(≤0)的形式,可借助换元法转化二次方程或二次不等式求解. 一、指数运算例2.48化简并求值.(1)若a =2,b =4()()a a b b ab a b b+÷+--223333311的值; (2)若x x -+=11223,x x x x --+-+-33222232的值; (3)设nna --=11201420142(n ∈N +),求()n a a +21的值.分析:利用指数运算性质解题.===.当a=2,b=4,原式===12.(2)先对所给条件作等价变形:()x x x x--+=+-=-=11122222327,()()x x x x x x---+=++-=⨯=33111222213618,x2+x-2=(x+x-1)2-2=72-2=47.故x xx x--+--==+--3322223183124723.(3)因为n na--=11201420142,所以()n na-++=11222014201412,n n n nna---+--=-=111112014201420142014201422.所以)na-=12014.变式1 设2a=5b=m,且a b+=112,则m=( ).A. B. 10 C. 20 D. 100二、指数方程例2.49 解下列方程(1)9x-4⋅3x+3=0;(2)()()x x⋅=29643827;分析:对于(1)方程,将其化简为统一的底数,9x=(3x)2;对于()()x x⋅2938,对其底进行化简运算. 解析:(1)9x-4⋅3x+3=0⇒(3x)2-4⋅3x+3=0,令t=3x(t>0),则原方程变形为t2-4t+3=0,得t1=1,t2=3,即x=131或x=233,故x1=0,x2=1.故原方程的解为x1=0,x2=1.(2)由()()x x⋅=29643827,可得()x⨯=33294383即()()x=33443,所以()()x-=33344,得x=-3.故原方程的解为x=-3.变式1方程9x-6⋅3x-7=0的解是________.变式2 关于x 的方程()x aa+=-32325有负实数根,则a 的取值范围是__________. 三、指数不等式例2.50若对x ∈[1,2],不等式x m +>22恒成立,求实数m 的取值范围. 分析:利用指数函数的单调性转化不等式.解析:因为函数y =2x 是R 上的增函数,又因为x ∈[1,2],不等式x m +>22恒成立,即对∀x ∈[1,2],不等式x +m >1恒成立⇔函数y =x +m 在[1,2]上的最小值大于1,而y =x +m 在[1,2]上是增函数,其最小值是1+m ,所以1+m >1,即m >0.所以实数m 的取值范围是{m |m >0}.变式1 已知对任意x ∈R ,不等式()x mx m x x -+++>22241122恒成立,求m 的取值范围.变式2 函数()xf x x -=-21的定义域为集合A ,关于x 的不等式ax a x +<222(x ∈R)的解集为B ,求使A ∩B =A 的实数a 的取值范围.题型2 指数函数的图像及性质 思路提示解决指数函数有关问题,思路是从它们的图像与性质考虑,按照数形结合的思路分析,从图像与性质找到解题的突破口,但要注意底数对问题的影响. 一、指数函数的图像 例2.51 函数()x bf x a-=的图象如图2-14所示,其中a ,b 为常数,则下列结论中正确的是( ).A. a >1,b <0B. a >1,b >0C. 0<a <1,0<b <1D. 0<a <1,b <0 分析:考查指数函数的图象及其变换.解析:由图2-14可知0<a <1,当x =0时,b a -∈(0,1),故-b >0,得b <0,故选D. 评注:若本题中的函数变为()xf x a b =-,则答案又应是什么?由图2-14可知ƒ(x )单调递减,即0<a <1,函数y =a x 的图像向下平移得到xy a b =-的图像,故0<b <1,故选C. 变式1 若函数y =a x +b -1(a >0且a ≠1)的图像经过第二、三、四象限,则一定有( ). A. 0<a <1且b >0 B. a >1且b >0 C. 0<a <1且b <0 D. a >1且b <0 变式2 (2012四川理5)函数x y a a=-1(a >0,a ≠1)的图象可能是( ).变式3 已知实数a ,b 满足()()a b =1123,下列5个关系式:①0<b <a ,②a <b <0,③0<a <b ,④b <a <0,⑤a =b =0.其中不可能...成立的有( ). A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个例2.52 函数ƒ(x )=x a +1(a >0且a ≠1)的图像过定点_________. 分析:指数函数的图像恒过定点(0,1),即a 0=1.解析:因为函数ƒ(x )=a x (a >0且a ≠1)的图像过定点(0,1),又函数ƒ(x )=x a +1(a >0且a ≠1)的图像是由函数ƒ(x )=a x (a >0且a ≠1)的图像向左平移一个单位得到的,故函数ƒ(x )=x a +1(a >0且a ≠1)的图像过定点(-1,1). 变式1 函数ƒ(x )=a x +1(a >0且a ≠1)的图像过定点________. 变式2 函数ƒ(x)=ax+x-2的图像过定点________.变式3 ƒ(x )=x a -1(a >0且a ≠1)的图像恒过定点A ,若点A 在直线mx +ny -1=0(m ,n >0)上,则m n+11的最小值为________.二、指数函数的性质(单调性、最值(值域))例2.53 函数ƒ(x )=a x (a >0且a ≠1)在[1,2]上的最大值比最小值大a2,则a 的值是_______. 分析:本题考查指数函数的单调性.解析:当0<a <1时,函数ƒ(x )=a x 在[1,2]上单调递减,故在[1,2]上最大值为a ,最小值为a 2,则a a a -=22,得a a =22,又0<a <1,所以a =12; 当a >1时,函数ƒ(x )=a x 在[1,2]上单调递增,故在[1,2]上最大值为a 2,最小值为a ,那么a a a -=22,得aa =232,又a >1,所以a =32. 综上所述,a 的值是12或32.评注:函数ƒ(x )=a x (a >0且a ≠1),不论0<a <1还是a >1都是单调的,故最大值和最小值在端点处取得. 所以||a a a -=22,解得a =12或a =32. 变式1 函数ƒ(x )=a x (a >0且a ≠1)在区间[a ,a +2]上的最大值是最小值的3倍,则a =_____.变式2 定义区间[x 1,x 2](x 1<x 2)的长度为x 2-x 1,已知函数y =2|x |的定义域为[a ,b ],值域为[1,2],则区间[a ,b ]的长度的最大值与最小值的差为________.变式3 若y =3|x |(x ∈([a ,b ])的值域为[1,9],则a 2+b 2-2a 的取值范围是( ).A. [2.4]B. [4,16]D. [4,12]例2.54 函数xx y a --+=+248145(0<a <1)的单调增区间是________.分析:复合函数xx y a --+=+248145内层为二次函数,外层为指数型函数,根据复合函数单调性判定法求解.解析:因为u =-4x 2-8x +1=-4(x +1)2+5在[-1,+∞)上单调递减,在(-∞,-1]上单调递增,且y =a x (0<a <1)是减函数,所以xx y a --+=+248145(0<a <1)的单调增区间是[-1,+∞).变式1 函数()f x 1________.变式2 求函数()()()x x f x =-+11142(x ∈[-3,2])的单调区间及值域.变式3 已知0≤x ≤2,求函数x xa y a -=-⋅++1224212的最大值和最小值.变式4 设函数y =ƒ(x )在(-∞,+∞)内有定义,对于给定的正数k ,定义函数(),(),k f x f x k ⎧=⎨⎩()()f x kf x k ≤>,取函数ƒ(x )=2-|x |,当k =12时,函数ƒk (x )的单调增区间为( ). A. (-∞,0] B. [0,+∞) C. (-∞,-1] D. [1,+∞)变式5 若函数||()x y m -=+112的图像与x 轴有公共点,则m 的取值范围是________.变式6 已知函数()||x f x -=-21,x ∈R ,若方程ƒ(x )=a 有两个不同实根,则a 的取值范围是__________. 题型3 指数函数中的恒成立问题 思路提示(1)利用数形结合思想,结合指数函数图像求解.(2)分离自变量与参变量,利用等价转化思想,转化为函数的最值问题求解.例2.55 设()x x f x a =++⋅124(x ∈R),当x ∈(-∞,-1]时,ƒ(x )的图象在x 轴上方,求实数a 的取值范围. 分析:本题等价于当x ≤1时,x x a ++⋅124>0恒成立.分离自变量x 与参变量a ,转化为求解函数的最值. 解析:因为当x ∈(-∞,1]时,ƒ(x )的图像在x 轴上方,所以对于任意x ≤1,x x a ++⋅124>0恒成立,即x x a +>-214(x ≤1)恒成立.令()()()x x x x u x +=-=--2111424(x ≤1),a >u (x )max ,x ∈(-∞,1].因为()x y =12,()x y =14均是减函数,所以u (x )在(-∞,1]上单调递增,故当x =1时,max ()()u x u ==-314,故a >-34.故实数a 的取值范围为(-34,+∞).变式1 已知函数()()x x af x a a a -=--21(a >0且a ≠1). (1)判断函数ƒ(x )的奇偶性; (2)讨论函数ƒ(x )的单调性;(3)当x ∈[-1,1]时,ƒ(x )≥b 恒成立,求实数b 的取值范围. 变式2定义域为R 的函数12()2x x bf x a+-+=+是奇函数.(1) 求a,b 的值.(2) 若对任意的t R ∈,不等式22(2)(2)0f t t f t k -+-<恒成立,求k 的取值范围. 变式3 已知函数1()22x xf x =-,若2(2)()0tf t mf t +≥对于[1,2]t ∈恒成立,求实数m 的取值范围.最有效训练题1.函数2(33)xy a a a =-+是指数函数,则有( )A a=1或a=2B a=1C a=2D 0a >且1a ≠ 2.设0.90.48 1.512314,8,()2y y y -===,则( )A 312y y y >>B 213y y y >>C 123y y y >>D 132y y y >>3.设函数()f x 定义在实数集上,其图像关于直线x=1对称,且当1x ≥时,()31xf x =-,则有( )A 132()()()323f f f <<B 231()()()323f f f <<C 213()()()332f f f <<D 321()()()233f f f <<4. 函数()22xxf x -=-是( ) A 奇函数,在区间(0,)+∞上单调递增 B 奇函数,在区间(0,)+∞上单调递减 C 偶函数,在区间(,0)-∞上单调递增 D 偶函数,在区间(,0)-∞上单调递减.5.若关于x 的方程9(4)340xxa ++•+=有解,则实数a 的取值范围是( ) A (,8)[0,)-∞-+∞ B (,4)-∞- C [8,4)- D (,8]-∞-6.函数221(0)(1)(0)(){ax ax x a e x f x +≥-<=在R 上单调,则a 的取值范围是( )A (,(1,2]-∞B [1)[2,)-+∞C (1)D )+∞7.不等式2223330x x a a •-+-->,当01x ≤≤时,恒成立,则实数a 的取值范围为 .8. 函数1(2y =的单调递增区间是 .9.已知关于x 的方程923310x x k -⨯+-=有两个不同实数根,则实数k 的取值范围为 .10. 偶函数()f x 满足 (1)(1)f x f x -=+,且在[0,1]x ∈时,()f x x =,则关于x 的方程1()()10xf x =,在[0,2014]x ∈上的解的个数是 .11.已知函数()xf x b a =⋅(其中a,b 为常数且0,1)a a >≠的图像经过点A (1,6),B (3,24). (1)确定()f x .(2)若不等式11()()0x x m a b+-≥在(,1]x ∈-∞时恒成立,求实数m 的取值范围.12.已知函数1()(),[1,1]3x f x x =∈-,函数2()[()]2()3g x f x af x =-+的最小值为h(a). (1)求h(a);(2)是否存在实数m,n 同时满足下列条件:①3m n >>;②当h(a)的定义域为[n,m]时,值域为22[,]n m .若存在,求出m,n 的值;若不存在,说明理由.。
指数运算与指数函数
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指数运算与指数函数
指数运算是数学中一种常见的运算方式,它可以帮助我们简化复杂的计算过程。
在指数运算中,我们使用指数来表示一个数的乘方。
指数函数则是以指数为变量的函数,它在数学和科学领域中有着广泛的应用。
指数运算可以表示为a的n次幂,其中a被称为底数,n被称为指数。
例如,2的3次幂可以写成2³,它的值为8。
指数运算还具有一些特殊的性质,比如指数为0时,任何数的0次幂都等于1;指数为1时,任何数的1次幂都等于它本身。
指数函数是指以指数为变量的函数,通常表示为f(x) = aˣ,其中a 是常数。
指数函数在数学和科学中有着重要的应用,例如在复利计算、放射性衰变等领域。
指数函数的图像通常具有特殊的形状,当指数大于1时,函数图像上升得很快;当指数小于1时,函数图像下降得很快;当指数为0时,函数图像经过点(0, 1);当指数为负数时,函数图像在x轴的正半轴上。
指数运算与指数函数在实际生活中有着广泛的应用。
在金融领域中,我们可以利用指数运算来计算复利,帮助我们更好地理解财务问题。
在自然科学中,指数函数可以用来描述物质的衰变过程,帮助我们预测放射性元素的衰变速率。
在生物学中,指数函数可以用来描述生物种群的增长规律,帮助我们研究生物的进化和生态系统的平衡。
指数运算与指数函数在数学和科学中扮演着重要的角色。
它们不仅可以帮助我们简化复杂的计算,还可以帮助我们更好地理解和解决实际问题。
通过学习和应用指数运算与指数函数,我们可以提升我们的数学和科学能力,为更广阔的领域做出贡献。
指数函数运算法则公式
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指数函数运算法则公式指数函数是高中数学中的重要内容之一,它在数学、物理、工程等领域都有着广泛的应用。
在学习指数函数时,运算法则是其中的重要内容之一。
本文将介绍指数函数运算法则的公式及其具体应用。
1. 指数函数的定义指数函数是以自然对数e为底的函数,一般形式为f(x) = a^x,其中a为底数,x为指数。
指数函数的图像呈现出不断增长或不断减小的特点,是一种常见的增长模式。
2. 指数函数运算法则公式指数函数的运算法则包括指数相加、指数相减、指数相乘、指数相除等几种情况。
下面将分别介绍这几种情况的运算法则公式及其推导过程。
2.1 指数相加当指数相加时,底数相同,指数相加。
公式如下:a^m * a^n = a^(m+n)其中a为底数,m和n为指数。
这个公式的推导过程可以通过对指数相加的性质进行分析得出。
2.2 指数相减当指数相减时,底数相同,指数相减。
公式如下:a^m / a^n = a^(m-n)其中a为底数,m和n为指数。
这个公式的推导过程可以通过对指数相减的性质进行分析得出。
2.3 指数相乘当指数相乘时,底数相同,指数相乘。
公式如下:(a^m)^n = a^(m*n)其中a为底数,m和n为指数。
这个公式的推导过程可以通过对指数相乘的性质进行分析得出。
2.4 指数相除当指数相除时,底数相同,指数相除。
公式如下:(a^m) / (a^n) = a^(m-n)其中a为底数,m和n为指数。
这个公式的推导过程可以通过对指数相除的性质进行分析得出。
3. 指数函数运算法则的应用指数函数运算法则在数学、物理、工程等领域都有着广泛的应用。
在数学中,它可以用来简化指数函数的运算,化简复杂的指数表达式。
在物理中,它可以用来描述指数增长或指数衰减的过程。
在工程中,它可以用来解决与指数函数相关的实际问题。
4. 总结指数函数运算法则是指数函数的重要内容之一,掌握了这些运算法则可以帮助我们更好地理解和运用指数函数。
本文介绍了指数函数运算法则的公式及其具体应用,希望对读者有所帮助。
理解指数与指数运算
![理解指数与指数运算](https://img.taocdn.com/s3/m/94634b2859fafab069dc5022aaea998fcc224092.png)
理解指数与指数运算指数是数学中一个重要的概念,广泛应用于各个领域。
指数运算是通过指数的加、减、乘、除等操作,对数值进行快速计算的方法。
在本文中,将详细介绍指数的概念、性质以及常见的指数运算。
一、指数的概念及性质指数是数学中用于表示重复乘法的运算符号,通常由一个底数(base)和一个指数(exponent)组成。
以数值b为底数,数值n为指数,记作b^n。
其中,底数表示要重复乘的数值,指数表示要重复乘的次数。
1.指数运算符号指数运算通常使用上标形式表示,即将指数写在底数的右上角。
例如,2^3表示底数为2,指数为3的指数运算。
2.指数的基本性质(1)任何数的0次方都等于1,即a^0 = 1(a ≠ 0);(2)任何数的1次方都等于自身,即a^1 = a;(3)相同底数的指数相乘,指数相加,即(a^m)^(n) = a^(m*n);(4)不同底数的指数相乘,可以转换为相同底数的指数相加,即a^m * b^m = (a * b)^m;(5)指数乘方,指数相乘,即(a^m)^n = a^(m * n)。
二、指数运算的基本操作指数运算包括指数的加减乘除、指数的负数和分数次幂等多种操作。
1.指数的加减当指数相同时,底数可以进行加减运算。
例如,2^3 + 2^3 = 2 * 2^3 = 2^4。
2.指数的乘法相同底数的指数相乘,指数相加。
例如,2^3 * 2^4 = 2^(3+4) = 2^7。
3.指数的除法相同底数的指数相除,指数相减。
例如,2^5 / 2^3 = 2^(5-3) = 2^2。
4.指数的负数当指数为负数时,可以通过取倒数转化为正指数。
例如,2^(-3) = 1 / (2^3) = 1 / 8。
5.指数的分数次幂当指数为分数时,可以将指数转化为开方形式进行计算。
例如,2^(1/2) = √2。
三、指数运算的应用领域指数运算在数学、科学、工程等领域中得到广泛应用。
1.数学中的指数函数指数函数是一类形如f(x) = a^x的函数,其中a为常数,x为变量。
指数函数的运算法则与公式加减法
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指数函数是数学中常见的一种函数形式,它的特点是自变量为指数的函数。
在数学运算中,指数函数的加减法是基本知识点,下面我们来了解一下指数函数的运算法则与公式加减法。
一、指数函数的加法法则指数函数的加法法则遵循以下规则:1. 同底数指数函数相加时,保持底数不变,指数相加即可。
例如:a^m + a^n = a^(m+n)2. 如果底数不同,无法直接相加,需要先化为相同的底数。
例如:3^2 + 5^2 = 9 + 25 = 34二、指数函数的减法法则指数函数的减法法则遵循以下规则:1. 同底数指数函数相减时,保持底数不变,指数相减即可。
例如:a^m - a^n = a^(m-n)2. 如果底数不同,需要先化为相同的底数再相减。
例如:5^3 - 2^3 = 125 - 8 = 117三、指数函数的运算法则指数函数的运算法则包括加法、减法、乘法和除法。
1. 加法和减法:按照指数函数的加减法则进行运算。
2. 乘法:指数函数相乘时,保持底数不变,指数相加即可。
例如:a^m * a^n = a^(m+n)3. 除法:指数函数相除时,保持底数不变,指数相减即可。
例如:a^m / a^n = a^(m-n)四、指数函数的运算公式指数函数的运算包括很多常见公式,如:1. 同底数指数函数相乘可用公式:a^m * a^n = a^(m+n)2. 同底数指数函数相除可用公式:a^m / a^n = a^(m-n)3. 同底数指数函数相乘可用公式:(a^m)^n = a^(m*n)4. 指数函数的乘方运算公式:a^m * a^n = a^(m+n)五、指数函数的应用指数函数的运算法则与公式在数学中有着广泛且重要的应用,如在代数、几何、微积分等诸多数学分支中都能看到指数函数的运用。
在实际生活中,指数函数的运算也有很多实际应用,如在经济学、物理学、工程学等领域中都能看到指数函数的身影。
以上就是关于指数函数的运算法则与公式加减法的相关内容,希望对您有所帮助。
指数的性质与运算法则
![指数的性质与运算法则](https://img.taocdn.com/s3/m/c5ed049bc0c708a1284ac850ad02de80d4d80686.png)
指数的性质与运算法则指数是数学中常见的概念,它具有许多独特的性质和运算法则。
在本文中,我们将深入探讨指数的性质和运算法则,包括指数的定义、指数的性质、指数的运算法则以及指数函数的图像和性质。
首先,让我们来看一下指数的定义。
指数是用来表示一个数的乘方运算的一种简便方法。
指数通常写成a^n,其中a是底数,n是指数。
指数表示将底数a连乘n次,例如2^3表示2的三次方,即2*2*2=8。
指数的定义是指数运算的基础,它使我们能够用简洁的方式表示大量的乘法运算。
接下来,让我们来探讨指数的性质。
指数具有许多重要的性质,其中最重要的性质之一是乘法性质。
乘法性质指出,当两个指数相乘时,它们的底数相同,指数相加。
例如,a^m * a^n = a^(m+n),这个性质使我们能够简化指数的乘法运算。
另一个重要的性质是除法性质,它指出当两个指数相除时,它们的底数相同,指数相减。
例如,a^m / a^n = a^(m-n)。
除法性质和乘法性质使我们能够简化指数的除法运算。
除了乘法性质和除法性质外,指数还具有幂的性质。
幂的性质指出,一个数的指数次幂等于这个数的n次方再乘以这个数的m次方。
例如,(a^m)^n = a^(m*n)。
幂的性质使我们能够简化指数的幂运算,从而更加方便地进行计算。
除了上述性质外,指数还具有对数的性质。
对数是指数的逆运算,它表示底数为a的指数n的对数。
对数的性质包括对数的乘法性质和对数的除法性质,它们与指数的乘法性质和除法性质相对应。
对数的性质使我们能够简化对数的乘法和除法运算。
除了性质外,指数还具有许多重要的运算法则。
其中最重要的运算法则之一是指数的加法法则。
指数的加法法则指出,当两个指数相加时,它们的底数和指数都相同。
例如,a^m * a^n = a^(m+n),这个法则使我们能够简化指数的加法运算。
另一个重要的运算法则是指数的减法法则,它指出当两个指数相减时,它们的底数和指数都相同。
例如,a^m / a^n = a^(m-n)。
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指数与指数运算
根式性质:①a a n n =)((a 使n a 有意义) ②
⎪⎩
⎪⎨⎧⎩⎨⎧<-≥==为偶数时
当为奇数时当n a a a a a n a a n
n ,0,0
,||, 分数指数幂:① 正数的正分数指数幂:)1,,,0(>∈>=*n N n m a a a
n m n
m
且
② 正数的负分数指数幂:)1,,,0(1
>∈>=
*-
n N n m a a a
n
m
n
m 且
③ 0的正分数指数幂等于0;0的负分数指数幂没有意义
有理数指数幂的运算性质:① ),,0(Q s r a a a a s r s r ∈>=⋅+ ② ),,0()(Q s r a a a rs s r ∈>= ③ ),0,0()(Q r b a b a ab r r r ∈>>⋅= 题组一:指数幂的化简与求值 1、 化简及求值
(1)20.520
371037(2)0.1(2)310092748π--++-+
= (2
)1
120
3
217(0.027)()(2)1)4579
----+-=-
(3
)122.5053
[(0.064)]0π-=
2、字母化简
(1
)
41233
23
223
3
8(4a a b a
a b a
-
-÷=+
(2)1122
3x x
-+=,则
33
2
2
222
3
x x x x --++=++
(3)若0>x ,则___________)(4)32)(32(2
1
2
12
34
12
34
1=---+-x x x
x x
(4)已知a 、b 是方程2
640x x -+=的两根,且0a b >>
5= 指数函数及其性质
指数函数:形如)10()1
(≠>=a a a
y x
,且
指数函数的图像及其性质
1>a
01>>a
性质
定义域:
R
值域:),0(+∞
图像过定点)1,0(,即恒有10
=a
当10>>y x 时,恒有; 当100<<<y x 时,恒有 当100<<>y x 时,恒有; 当10><y x 时,恒有
是R 上的增函数 是R 上的减函数
注意:(1)当指数函数的底数a 的大小不确定时,需分1>a 和01>>a 两种情况讨论它的
性质
(2)函数x a y =与x
a
y )1(=的图像关于y 轴对称 题型一:指数函数的定义域和值域 1、 求下列函数的定义域和值域
(1)14
2
x y -= (2)||
2()
3
x y -= (3
)y =(4
)y =(5)2
21()
2
x x y -=
2、设全集R U =,{}02|2>-=x x x A ,集合{}
1|+==x e y y B ,则_
_______=B A
3、函数1
1()()142
x
x
y =-+在[]3,2-上的值域为___________
4、已知定义在R 上的奇函数()f x 和偶函数()g x 满足()g()2x x
f x x a a -+=-+
(01)a a >≠且,若(2)g a =,则(2)_____f =提示:先求()f x 和()g x
5、已知函数2,0
()1,0
x x f x x x ⎧>=⎨+≤⎩,若()(1)0f a f +=,则___________a =
题型二:幂值大小的比较
1、比较下列各题中两个值的大小 (1)35
.27.1___7
.1 (2)2.01.08.0___8.0-- (3)1.33.09.0___7.1
2、已知5205
2)2
1
(,5.2,2
⋅⋅===c b a ,则c b a ,,大小关系为___________
3、已知2
15-=
a ,函数x
a x f =)(,若实数n m ,满足)()(n f m f >,则n m ,大小关系为___________ 题型三:解简单指数不等式 1、 解下列不等式 (1)15
2
>+x (2)213)2
1
()21(-+≤x x (3)21
5x x a
a +-≤
2、已知全集为R ,集合⎭
⎬⎫⎩
⎨⎧
≤=1)2
1(|x x A ,{}
086|2≤+-=x x x B ,则 ____________=B C A R 3、已知集合{
}
x y x A =
=|,⎭
⎬⎫
⎩⎨⎧<<=4221|x x B ,则_______
)(=B A C R 4、已知集合{
}
82|22
<=-x
x
x A ,{}042|2<-+=mx x x B ,若{}11|<<-=x x B A ,
{}34|<<-=x x B A ,则实数________=m
5、 设函数⎪⎩
⎪⎨⎧≥<-=0,0
,7)21()(x x x x f x
,若1)(<a f ,则a 的取值范围为___________
6、已知一元二次不等式0)(<x f 的解集为{1|-<x x 或⎭
⎬⎫>21x ,解不等式0)10(>x
f 题型四:指数函数的最值问题
1、若指数函数x a y =在]1,1[-上的最大值与最小值差是1,则___________=a
2、若函数)1,0(≠>=a a a y x
在]2,1[上的最大值比最小值大
2
a
,则a 的值为_______ 3、若函数)1,0()(≠>=a a a x f x
在]2,1[-上的最大值为4,最小值为m ,且函数
x m x g )41()(-=在),0[+∞上是增函数,则___________=a
4、定义运算()()
,,a a b a b b a b ⎧≤⎪*=⎨>⎪⎩,则()12x
f x =*的最大值为___________
题型五:指数函数的图像与图像变换 1、函数)1,0(1)(2
≠>+=-a a a
x f x 的图像必经过点___________
2、若函数)1,0(1)(≠>-+=a a b a x f x
的图像经过第二、三、四象限,则一定有( )
A
10<<a ,且0>b B 1>a ,且0>b
C 10<<a ,且0<b
D 1>a ,且0<b
3、为了得到函数13()3x y =⨯的图像,可以把函数1()3
x
y =的图像( )
A 向左平移3个单位长度
B 向右平移3个单位长度
C 向左平移2个单位长度
D 向右平移1个单位长度
4、设0>a 且1≠a ,则“函数x a x f =)(在R 上是减函数”是“函数3
)2()(x a x g -=在R
上是增函数”的_________________条件
5、已知函数)1,0()(≠>=-a a a x f x ,且)3()2(->-f f ,则a 的取值范围为______
6、已知函数)1,0()2()(≠>-=a a a a x f x ,若对任意0)
()(,
,2
12121>--∈x x x f x f R x x ,则
a 的取值范围为______
7、已知函数2()(1)x f x a =-,若0x >时总有()1f x >,则a 的取值范围为______ 题型六:与指数函数有关的复合函数问题 1、函数2
22)
2
1()(+-=x x x f 的递增区间是___________
2、如果函数)1,0(12)(2≠>-+=a a a a x f x x 在区间]1,1[-上的最大值为14,求a 的值
3、 已知函数339)(-⋅+=x x m x f 在区间]2,2[-上单调递减,求m 的取值范围
4、 已知函数|2|2)(m x x f -=(m 为常数),若)(x f 在区间),2[+∞上是增函数,求m 的范围
5、若直线a y 2=与函数)1,0(|1|≠>-=a a a y x 的图像有两个公共点,求a 的取值范围
6、方程032
41
=--+x x
的解是___________
题型七:指数函数综合应用 1、 已知1
22
)(+-
=x
a x f 是定义在R 上的奇函数,则__________)(=a f 2、 已知函数1223)(+-⋅=x
x a
x f 是定义在R 上的偶函数,则___________=a 3、 讨论函数x
x x
x x f --+-=10101010)(的奇偶性与单调性及其值域
4、 函数)(x f 的图像向右平移1个单位长度,所得图像与曲线x
e y =关于y 轴对称,则
__________)(=x f
5、若定义在R 上的偶函数)(x f 和奇函数)(x g 满足()()
x
f x
g x e
+=,则=)(x g ___________。