13.1_平方根(2)(无限不循环小数)

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13.1平方根三课时学案

课题：13.1平方根（第1课时）学案一、教学目标1.经历算术平方根概念的形成过程，了解算术平方根的概念.2.会求某些正数（完全平方数）的算术平方根并会用符号表示.二、教学重点和难点1.重点：算术平方根的概念.2.难点：算术平方根的概念.（本节课需要的各种图表要提前画好）三、教学过程请看下面的例子.学校要举行美术作品比赛，扎西很高兴.他想裁出一块面积为25平方分米的正方形画布，画上自己的得意之作参加比赛，这块正方形画布的边长应取多少分米？（师演示一张面积为25平方分米的纸）（一）谁来说这块正方形画布的边长应取多少分米？你是怎么算出来的？答：因为52＝25（板书：因为52＝25），所以这个正方形画布的边长应取5分米（板书：所以边长＝5分米）.（二）（完成下表）这个实例中的问题、填表中的问题实际上是一个问题，什么问题？它们都是已知正方形面积求边长的问题.通过解决这个问题，我们就有了算术平方根的概念.正数3的平方等于9，我们把正数3叫做9的算术平方根. 正数4的平方等于16，我们把正数4叫做16的算术平方根. 说说6和36这两个数？……（多让几位同学说，学生说得不正确的地方教师随即纠正）说说1和1这两个数？同桌之间互相说一说5和25这两个数.（同桌互相说）说了这么多，同学们大概已经知道了算术平方根的意思.那么什么是算术平方根呢？还是先在小组里讨论讨论，说说自己的看法. （三）什么是算术平方根呢？如果一个正数的平方等于a ，那么这个正数叫做a 的算术平方根请大家把算术平方根概念默读两遍.（生默读）（师让学生拿出提前准备好这样的10张卡片，一面写1－10，另一面写1－10的平方.生任意抽一张卡片，让其他学生回答平方或算术平方根。

（按以上过程抽完所有卡片）如果一个正数的平方等于a ，那么这个正数叫做a 的算术平方根.为了书写方便，我们把aa 的算.师：（指准上图）看到没有？这根钓鱼杆似的符号叫做根号，a 叫a 的算术平方根.根号被开方数a例求下列各数的算术平方根： (1)4964； (2)0.0001. （要注意解题格式，解题格式要与课本第68页上的相同）（四）自我检测 1.填空：(1)因为_____2=64，所以64的算术平方根是______，＝______；(2)因为_____2=0.25，所以0.25的算术平方根是______，即______；(3)因为_____2=1649，所以1649的算术平方根是______，______.2.求下列各式的值：______；＝______；______；______；______；＝______.3.根据112＝121，122＝144，132＝169，142＝196，152＝225，162＝256，172＝289，182＝324，192＝361，填空并记住下列各式：_______，＝_______，＝_______，＝_______，_______，_______，_______，_______，_______. （学生记住没有，教师可以利用卡片进行检查，并要求学生课后记熟）4.辨析题：卓玛认为，因为(－4)2＝16，所以16的算术平方根是－4.你认为卓玛的看法对吗？为什么？（五）归纳小结，布置作业a a叫做被开方数.（作业：P习题1.要求学生按课本例题的格式做）75课题：13.1平方根（第2课时）学案一、教学目标1.通过由正方形面积求边长，加深对算术平方根概念的理解，感受无理数，初步了解无限不循环小数的特点.2.会用计算器求算术平方根.二、教学重点和难点1.重点：感受无理数.2.难点：感受无理数.（本节课使用计算器，最好每个同学都要有计算器）三、教学过程（一）基本训练，巩固旧知1.填空：如果一个正数的平方等于a，那么这个正数叫做a的_______________，记作_______.2.填空：(1)因为_____2＝36，所以36的算术平方根是_______＝_____；(2)因为(____)2＝964，所以964的算术平方根是_______，即_____；(3)因为_____2＝0.81，所以0.81的算术平方根是_______，即_____；(4)因为_____2＝0.572，所以0.572的算术平方根是_______，_____.3.师抽卡片生口答.数、小数、a2等形式）（二）（看下图）这个正方形的面积等于4，它的边长等于多少？谁会用算术平方根来说这个正方形边长和面积的关系？这个正方形的面积等于1，它的边长等于多少？用算术平方根来说这个正方形边长和面积的关系？师：（指准图）这个正方形的边长等于面积1的算术平方根，也就边长）生：等于1.（师板书：＝1）（看下图）这个正方形的面积等于2，它的边长等于什么？（稍停）因为边边长＝.（上面三个图的位置如下所示）面积＝4面积＝1面积＝2边长＝4＝2边长＝2边长＝1＝1面积＝2面积＝1面积＝421在1和2之间的数有很多，它的平方等于多少？第一条线索是那个数在1和2之间，第二条线索是那个数的平方恰好等于2..我们在1和2之间找一个数，譬如找1.3，（板书：1.32＝）1.3的平方等于多少？（师生共同用计算器计算）1.69不到2，说明1.3比我们要找的那个数小.1.3小了，那我们找1.5，1.5的平方等于多少？（师生共同用计算器计算）2.25超过2，说明1.5比我们要找的那个数大.找1.3小了，找1.5又大了，下面怎么找呢？大家用计算器，算一算，找一找，哪个数的平方恰好等于2？1.41421356点点点，可见是一个小数，这个小数与我们以前学过的小数相比有点不同，有什么不同呢？第一，这个小数是无限小数（板书：无限）.还有别的无限不循环小数吗？无限不循环小数还有很多）.可以利用计算器来求.下面我们就用计算器来求一个数的算术平方根.（师出示例题）例用计算器求下列各式的值：精确到0.001）；（按键时，教师要领着学生做；解题格式要与课本上的相同）（四）自我检测4.填空：(1)面积为9＝；(2)面积为7≈（利用计算器求值，精确到0.001）.5.用计算器求值：＝；＝；≈（精确到0.01）.6.选做题：(1)用计算器计算，并将计算结果填入下表：器，直接写出下列各式的值：＝，＝，＝，＝ .练习1.）（作业：P72课题：13.1平方根（第3课时）一、教学目标1.经历平方根概念的形成过程，了解平方根的概念，会求某些正数（完全平方数）的平方根.2.经历有关平方根结论的归纳过程，知道正数有两个平方根，它们互为相反数，0的平方根是0，负数没有平方根.二、教学重点和难点1.重点：平方根的概念.2.难点：归纳有关平方根的结论.三、教学过程（一）基本训练，巩固旧知1.填空：如果一个的平方等于a，那么这个叫做a的算术平方根，a的算术平方根记作 .2.填空：(1)面积为16＝；(2)面积为15≈（利用计算器求值，精确到0.01）.3.填空：(1)因为1.72＝2.89，所以2.89的算术平方根等于，即＝；(2)因为1.732＝2.9929，所以3的算术平方根约等于，≈ .（三）如果一个正数的平方等于9，这个正数是多少？如果一个数的平方等于9，这个数是多少？和算术平方根的概念类似，（指准32＝9）我们把3叫做9的平方根，（指准(-3)2＝9）把－3也叫做9的平方根，也就是3和－3是9的平方根（板书：3和－3是9的平方根）.我们再来看几个例子.（师出示下表）平方根：如果一个数的平方等于a，那么这个数叫做a的平方根. 平方根概念与算术平方根概念只有一点点区别，哪一点点区别？（出示例题）例求下面各数的平方根：(1)100； (2)0.25； (3)0； (4)－4；(1)因为（±10）2＝100），所以100的平方根是＋10和－100的平方是0，正数的平方是正数，负数的平方还是正数，所以任何数的平方都不会等于－4.这说明什么？（例题）从这个例题你能得出什么结论？（稍停片刻）正数有几个平方根？0有几个平方根？负数有几个平方根？请学生小组讨论正数有_________________平方根（板书：正数有两个平方根）.平方根有什么关系？0的平方根_________________个，平方根是_________________.负数_________________平方根大家把平方根的这三条结论读两遍.（四）自我检测1.填空：(1)因为（）2＝49，所以49的平方根是；(2)因为（）2＝0，所以0的平方根是；(3)因为（）2＝1.96，所以1.96的平方根是；2.填表后填空：(1)121的平方根是，121的算术平方根是；(2)0.36的平方根是，0.36的算术平方根是；(3) 的平方根是8和－8，的算术平方根是8；(4) 的平方根是35和35，的算术平方根是35.6.判断题：对的画“√”，错的画“×”.(1)0的平方根是0 （）(2)－25的平方根是－5；（）(3)－5的平方是25；（）(4)5是25的一个平方根；（）(5)25的平方根是5；（）(6)25的算术平方根是5；（）(7)52的平方根是±5；（）(8)(-5)2的算术平方根是－5. （）。

初中数学教学设计.13.1.平方根

13.1 平方根一、教学目标知识与技能目标：初步了解学习数的开方的意义，了解一个数的平方根的意义，会用根号表示一个数的平方根。

过程与方法目标：了解开方与乘方互为逆运算，会用平方运算求某些非负数的算术平方根。

情感、态度、价值观：通过探究活动培养动手能力和激发学生学习数学的兴趣。

二、重难点分析教学重点：了解数的算术平方根及平方根的概念，会求某些非负数的平方根，会用根号表示一个数的平方根．本节是理解立方根的概念和求法、实数的意义和运算的直接基础.算术根的教学不但是本章教学的重点，也是今后数学学习的重点．在后面学习的根式运算中，归根结底是算术根的运算，非算术根也要转化为算术根．“平方根”这节充分利用了类比的方法，这样有助于加强知识间的相互联系，通过类比已学的知识学习新知识，使学生的学习形成正迁移.因此学好算术平方根和平方根才能为下一节打好良好的基础,而本节掌握算术平方根和平方根的概念, 会求某些非负数的平方根，会用根号表示一个数的平方根是非常重要的.教学难点：a是非负数；正确区分算术平方根与平方根.学生虽然对数有一定的基础,但求有理数的平方根、算术平方根时易混学,发生一定的错误, 主要是学生考虑问题不周全,理解问题不清楚造成.首先这两个概念容易混淆，而且各自的符号表示意义学生不是很容易区分，教学中要抓住算术平方根式平方根中正的那个，讲清各自符号的意义，区分两种表示的不同.对于平方根运算不仅数有限制，而且结果有两个，这是与以前学过的数的运算很大的区别，要让学生真正理解有一定的困难.因此教师在突破这个难点时，可采取引导学生多角度分析，多维度思考的方式，错题自我总结与反思,通过类比思想等总结典型习题,逐步突破难点,让学生更好的理解算术平方根和平方根.三、学习者学习特征分析有关数的内容，学生在七年级上册已经系统地学过有理数，对有理数的概念和运算等有了较深刻的认识，本节是在有理数的基础上学习实数的初步知识，平方根是学习无理数的基础，学好平方根才能更系统的认识无理数，了解以前学习的数的范围不够用了，第一学时是学生对算术平方根的认识，这节学生理解较好，但当学生接触平方根后，学生考虑问题会不周全，容易漏解.因此在教学时一定用类比思想,比较出算术平方根与平方根的区别,注重知识间的相互联系,使学生更好地体会数的扩充过程中表现出来的概念、运算等的一致性和发展变化.四、教学过程（一）创设情境，引入新课由神州宇宙飞船的发射视频引出学习平方根的必要性．请同学们欣赏本节导图，并回答问题，学校要举行金秋美术作品比赛，小欧很高兴，他想裁出一块面积为25 的正方形画布，画上自己的得意之作参加比赛，这块正方形画布的边长应取多少？如果这块画布的面积是？这个问题实际上是已知一个正数的平方，求这个正数的问题（引入新课）（二）新课讲解１.学习算术平方根．请同学们欣赏本节导图，并回答问题，学校要举行金秋美术作品比赛，小欧很高兴，他想讨论：（１）什么样的运算是平方运算？（２）你还记得1～20之间整数的平方吗？自主探索：让学生独立看书，自学教材，那么正数x 叫做 a的算术平方根，总结：一般地，如果一个正数x 的平方为a，即2x a，读作根号a，其中 a叫做被开方数另外：0的算术平方根是0.２.用计算器求一个正数的算术平方根．（１）问题：2究竟有多大？探究：多媒体素材动画(怎样用两个面积为1的正方形拼成一个面积为2的大正方形)把两个小正方形沿对角剪开，将所得的四个直角形拼在一起，就的到一个面积为2的大正方x=形. 设大正方形的边长为x，则22由算术平方根的意义，x=讨论：（无限逼近法）体验2是一个无限不循环小数（让学生思考讨论并估计大概有多大.由直观可知平方数大于1而小于2，那么是1点几呢？接下来由试验可得到平方数最接近2的1位小数是1.4，而平方数小于2且最接近的1位小数是1.5，大于1.4而小于1.5......）关于是一个“无限不循环小数”要向学生详细说明．为无理数的概念的提出打下基础．（２）（提出问题）：你对正数a的算术平方根的结果有怎样的认识呢？如何估算一个数的算术平方根？有两种情况：当a是完全平方数时，是一个有限数；当a不是一个完全平方数时，是一个无限不循环小数．（3）多媒体素材动画（可以实现吗？）３.探究学习平方根自主探索：独立看书，自学教材想一想：到底什么是平方根，它和我们已经认识的算术平方根有何关系？⑴什么叫一个数的平方根？如何用符号表示？⑵根据平方根的定义，只有什么数才有平方根？⑶什么叫开方？[⑴如果一个数的平方等于a，那么这个数叫做a的平方根或二次方根，用符号表示为：若2,则⑵只有非负数才有平方根；⑶求一个数a的平方根的运算叫做开平方运算.] ==x a x练一练：求下列数的平方根⑴100 ⑵916⑶0.25 ⑷16- ⑸ 0 4.归纳总结总结归纳： 1.正数有两个平方根，它们互为相反数2.0的平方根是03.负数没有平方根讨论：平方根与算术平方根之间有什么关系？总结：1.平方根与算术平方根之间的区别⑴定义不同：如果2x a =，那么x 叫做a 的平方根。

13.1算术平方根(第二课时)

13.1 平方根（第2课时）一、教学目标知识与技能1. 会用计算器求算术平方根。

2.会用有理数估计无理数的大小。

过程与方法通过探寻规律理解被开方数和它的算术平方根之间小数点移动位数之间的关系。

情感态度与价值观1.通过学习使学生感受到估算能力是生活中需要的一种能力。

2. 敢于面对数学活动中的困难，并能有意识地运用已有知识解决新问题.二、重点难点重点用有理数估计无理数难点对无理数的认识.三、学情分析学生通过上一节课的学习，已经对算术平方根以及算术平方根的求法有了一定的理解和认识，通过本节课的学习进一步加深对算术平方根的求法的理解。

）估计的大小应在）．本节课主要探究了两个问题：一是被开方数和它的算术平方根之间小数点移动位数的规律；二是会用有理数估计无理数的大小。

课堂上应该注重学生的发现规律，总结归纳能力，意识到无理数是生活中经常用到的数。

附学案：13.1 平方根（第2课时）一、自主探究问题一：（1）利用计算器计算，并将计算结果填在表中，你发现了什么规律？你能说出其中的道(2) 根据上表发现的规律，不用计算器，直接写出下列各式的值：＝，＝，＝，＝ .（3）用计算器计算3（精确到001.0），并利用你发现的规律说出30000,300,03.0的近似值，你能根据3的值说出30是多少吗？问题二：小丽想用一块面积是4002cm 的正方形纸片，沿着边的方向裁出一块面积是3002cm 的长方形纸片，使它的长宽之比是3:2。

不知能否裁出来，正在发愁。

小明见了说别发愁，你一定能用一块面积大的纸片裁出一块面积小的纸片，你同意小明的说法吗？小丽能用这块纸片裁出符合要求的纸片吗？二、尝试应用（1）268.96的平方根是多少？（2）____6.285（3）270在哪两个数之间？为什么？（4）表中与260最接近的是哪个数？ 2、比较下列各组数的大小（1）140与12；（2）215-与5.0。

三、补偿提高1、用计算器计算下列各式的值（精确到0.01）2、求19的整数部分和小数部分。

《13.1平方根》教学设计(1)

（2）出示例2、例3，处理同（1）。
【学生活动】
（1）口答题组一运算过程，口述法则。
（2）独立完成判断题，关注并评价同伴表现。
。
（3）尝试完成题组2、3，两人板演，集体评价，关注注意事项。
【媒体使用】
（1）出示题组一及其答案；实物展台展示部分学生解决题组二、三的过程
（2）展示题及解答过程。
【赏析】
多媒体的使用有利于节时增效，吸引学生眼球，最大限度地激发学生的学习兴趣，优化课堂结构，提高课堂教学效率。
情感态度与价值观
1.通过对实际生活中问题的解决，让学生体验数学与生活实际是紧密联系着的。
2.通过探究活动培养动手能力和锻炼克服困难的意志，建立自信心，提高学习热情。
教学重点
算术平方根的概念
教学难点
算术平方根的意义
教学方法
“尝试指导，效果回授”教学法
学法指导
发现法、练习法、合作学习。
教学资源
借助PPT软件展示引例及变式训练题组，增大课堂容量，吸引学生眼球，最大限度地激发学生的学习兴趣，优化课堂结构，提高课堂教学效率。
【赏析】
使所学知识条理化、系统化；让学生在交流中共享，在反思中提升。
活动五推荐作业，深化新知
1、必做题：（1）阅读教材相关内容
（2)习题13.1
2、选做题:《资源与学案》第35页
【教师活动】课件展示作业题
【学生活动】按照要求自主完成作业
【媒体使用】
教学程序
问题与情境
师生互动
设计理念
活动一创设情境，导入新课
2003年10月15日，这是我们每个中国人值得骄傲的日子．因为这一天，“神舟”五号飞船载人航天飞行取得圆满成功，实现了中华民族千年的飞天梦想．那么，你们知道宇宙飞船离开地球进人轨道正常运行的速度是在什么范围吗？这时它的速度要大于第一宇宙速度（米／秒）而小于第二宇宙速度：（米／秒）．怎样求、呢？

苏教版初中八年级上册数学课本习题答案

移动一位。(3)0.1732 54.77
§13.1平方根(三)
一、1. D 2. C
二、1. ,2 2, 3.
三、1.(1)(2)(3)(4)
2.(1)(2)-13 (3)11 (4)7 (5) 1.2 (6)-
3.(1)(2)(3)(4)
4.,这个数是4
5. 或
§13.2立方根(一)
一、1. A 2. C
二、1. y= x- 2. (1,-4)四 3. y=2x
三、图略
§14.4课题学习选择方案
1. (1)y1=3x;y2=2x+15;(2)169网;(3)15小时
2. (1)y=50x+1330,3≤x≤17;(2)A校运往甲校3台,A
校运往乙校14台,B校运往甲校15台;1480元 3.(1)
3.(1) (2) (3) (4)x=-4 (5)x= (6)x= +1
§13.3实数(一)
一、1. B 2. A
二、1.
2. ±3
3.
三、1. (1)-1,0,1,2;(2)-4,-3,-2,-1,0,1,2,3,4
2. 略
3.16cm、12cm
4. a= ,b=-
§13.3实数(二)
一、1. D 2. D
§14.3.2一次函数与一元一次不等式
一、1. C 2. C
二、1. x=1; x<1 2. 0<x<1 3. x<-2
三、1. x≤1;图象略
2. (1)与y轴交点为(0,2),与x轴交点为(2,0)(2) x≤2
3.(1) x>(2)x<(3)x>0
§14.3.3一次函数与二元一次方程(x+5;(2) 2.(1)0.5;0.9;(2)当0≤x≤50,y=0.5x;当x>50时,y=0.9x-20

13.1平方根(二)优质课教学设计完美版

教师设计并向学生提出问题，组织学生思考，交流，并引导学生尝试总结归纳，估算出 2 的大小，理解无限不循环小数的特点.
教师设计问题，逐层深入，对学生进行启发引导，通过对 2 的大小估计，再次从数的角度来感受无理数的存在性. 培养学生的估算能力，渗透估算的思想和方法，感受从两端无限
三、课堂训练 1．已知 1.354 1.164，则 135.4 . 0.01354
教师布置课堂限时训练，检测教学效，果，之后师生订正答案，并根据解题检测本节课的 2．一个正方形的面积扩大为原来的 100 倍，则它的边长情况进行针对性的教学效果，及时扩大为原来的倍. 评析反馈 3．与 30 最接近的两个整数是 .
得到：被开方数增大(或减小)，则算术平方根也增大(或减小)；被开方数的小数点向左（右）移动两位，它的算术平方根的小数点也相应的向左（右）移动一位. 5.例题讲解用一块面积为 400cm2 的正方形纸片沿边的方向，能否裁出一块面积为 300cm2 的长方形纸片，使它的长宽之比为 3：2？分析：大正方形的面积为 400 cm2，可求出其边长为 400 =20cm；要裁出面积为 300cm 的长方形纸片，并使其长宽之比为 3：2，通过列方程可求得长和宽须分别为 3 50cm, 2 50cm ，用计算器求得
0.0625
0.625
逼近的数学思想.
6.25
62.5
625
6250
观察上表，你发现什么了吗？ (1)被开方数增大，算术平方根怎样变化？ (2)被开方数与算术平方根的小数点有何移动规律？ (3)直接写出： 62500 _____;
625000 _____.

13.1平方根1-2

回顾 & 思考 ☞ 1、什么是算术平方根一个正数x的平方等于a,即 x2＝ a，这个正数x叫做a的算术平方根. a的术方记算平根为 a 读作“根号a”
x2 = a
(x为正数)
x a
规定0的算术平方根是0，记作
0 0
被开方数a≥0 算术平方根 a ≥0
（ 9的术方是＿ 1）算平根＿（ 2） 9的术方是＿算平根＿（ 0.01的术方是＿ 3）算平根＿
(1)利用计算器计算,并将计算结果填在表中
… …
0.0625 0.625
0.25 0.791
6.25 62.5
2.5 7.91
625
25
6250
79.1
62500
250
…
…
你发现了什么规律?
被开方数扩大(缩小)100倍,它的算术平方根扩大(缩小)10倍
1.用计算器计算（结果保留个有效数字） 3 4
=
(或 3
)
显示： 1.73205080 所以 3 1.732 8
(2)依次按键显示:56
3136
= (或 3136
)
所以 3136 56
例2：宇宙飞船离开地球进入轨道正常运行的速度要大于第一宇宙速度（米 / 秒） v v1 而小于第二宇宙速度（米 / 秒） v2
其中v1 gR， 2 2 gR，g 9.8米 / 秒2 , v
2 2
R是地球半径， 6400000 R 米求v的范围（v1、 2 精确到百位） v
2 2
解： 1 62720000 v
2
v
1
62720000 7900

八年级数学上册 13.1 平方根课件2 新人教版

4 15
(2) ( 7)27,329
7 3 2 7 6
学以致用
1.若12.53.53， 51.251.118 那么1251 1.8 ；0 .125 0.3 535 。
2.若已7.知 452.72， 9y27.92 ；那y么 7450 0 。
被开方数的小数点每向右(或左)移动两位, 则它的算术平方根的小数点向右(或左)移动一位.
练习：国际比赛的足球场的长在100m到 110m之间，宽在64m到75m之间，现有一个长方形的足球场其长是宽的1.5倍，面积为7560m2，问：这个足球场能用作国际比赛吗？
补充练习； 1. 16的算术平方根 2是； 52 122 13 。２ .若2x54，则 2x5 ）（ 2 256。３.当a ≥0 时 9， a 2的算术平方 3a。根
4.5 ab的最大值为 -5 ，此时a与b的关系为互为相反数。
５.已知（１ｘ2） y2 z30 求xyz的算术平方根。
思考：
1.下列各式哪些有意义，哪些没
（2） 4
（4）
2
3
作业: 书本p168 5，6，7，9
课后思考题：
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y 4 0 2y 5 0
解
方
程
组得 yx
3 1
我们已学习了3种非负数，即绝对值、偶数次方、算术平方根。几个非负数的和为零，它们就同时为零，然后转化为方程（或方程组）来解。
探究：（1）求22，（3） 2，52，（6） 2，72，
02的值，对于a任，a2意？数
练习 1.（： m1） 2 3，则 m 4或 -2 。２ .若（ a2） 2 2a，a则的取值 a范 ≤2 围。是

平方根(2)

算术平方根等于它本身的数是 0、1 ，算术平方根和平方根相等的数是 0 ；
《自主与探究学习》 “平方根”部分
（2） 16 的平方根是 ±2，算术平方根是 2 。（3）若x2=3，则 x= 3，若 x 2 =3，则 x= ±3 ；（4）若（x-1）2=2，则x=
2 1
，
（5）若一个数的一个平方根为-7，则另一个平方根为 7 ，这个数是 49 。
（6）若一个正数的两个平方根为2a-6、3a+1， 1 则a= ，这个正数为；16 （7）平方根等于本身的数是 0 ，
x 7
x 3
x 15 x 6, x 4
3 1 x 2
() （x－1）2＝25
(4)
(2x-1)2=3
例1. 已知 A.正数
x 有意义,则x一定是
B. 负数 D. 非正数
21 (2) 4 25
( D)
C. 非负数例2.求下列各式的值
(1) 625
23 ( 3) 4 2 36
用计算器求算术平方根
用计算器求下列各数的算术平方根：（1） 529；（2） 1 225；（3） 44.81 （1）在计算器上依次键入，显示结果为23，所以，529的算术平方根为 529 ＝23．（2）在计算器上依次键入，显示结果为＿＿＿＿，所以，1225的算术平方根为 1225＝_____ （3）在计算器上依次键入，显示结果为＿＿＿＿，如果要求精确到0.01，那么 44.81≈＿＿＿
16 的平方根是±16.
a 一定是正数.
(×) ( ×) （× ） ( ( （（ ×) ) × √） √ ）
3.a2的算术平方根是a. 4.若 (a) 2 5 , 则a=-5. 5. 9 3 6.-6是(-6)2的平方根. 7.若x2=36,则x= 36 6

13.1平方根(2)导学案

面积＝4面积＝213.1平方根（2）导学案班别姓名【学习目标】1.2.会用计算器求算术平方根.【学习重点】感受无理数.【学习难点】感受无理数.（本节课使用计算器，最好每个同学都要有计算器）【学习过程】一、创设问题情境.（一）基本训练，巩固旧知1.填空：如果一个正数的平方等于a ，那么这个正数叫做a 的_______________，记作_______.2.填空：(1)因为_____2＝36，所以36的算术平方根是____________；(2)因为(____)2＝964，所以964的算术平方根是____________； (3)因为_____2＝0.81，所以0.81的算术平方根是____________；（二）（看下图）（1）一个正方形的面积等于4，它的边长等于多少？谁会用算术平方根来说这个正方形边长和面积的关系？（2）一个正方形的面积等于1，它的边长等于多少？用算术平方根来说这个正方形边长和面积的关系？（3）一个正方形的面积等于2，它的边长等于什么？二、探究1、探究（第69页）：怎样用两个面积为1的小正方形拼成一个面积为2的大正方形？方法1：课本中的方法方法2：可还有其他方法，鼓励学生探究。

面积＝12、探究（第70页）（1）前一个探究中的大正方形的边长应该是多少呢？大正方形的边长是2，表示2的算术平方根，它到底是个多大的数？你能求出它的值吗？观察图形感受2的大小．小正方形的对角线的长是多少呢？（用刻度尺测量它与大正方形的边长的大小）它的近似值我们可用画逼近法去探究．可阅读70页内容。

（2 1.41421356…，可见是一个小数，这个小数与我们以前学过的小数相比，有什么不同呢？还有这样的数吗？（3因此你要学会：（1）根据需要取它们的近似值。

（2）能判断它们位于哪两个整数之间。

三、运用例2 已知（1）按（）里的要求取近似值。

精确到0.001）（保留两个有效数字）=（精确到0.1）=（2）说出它们分别在哪两个整数之间：例 1＜2，3与21的大小2 15与4 50例3（课本P71-72）．请仔细阅读，理解解题思路。

《13.1平方根》教学设计(2)

一块面积小的纸片”,你同意小明的说法吗? 小丽能用这块纸片裁出符合要求的纸片吗? 活动四全课小结，内化新知（1）自主小结：①对自己——谈本节课有哪些收获？②对同伴——谈在学习本节内容时应注意什么？③对老师——谈本节课学习中还有哪些疑惑？（2）教师概括小结，重点强调【教师活动】引导学生自主小结的基础上，进行概括小结，教师应关注学生的表现，包括知识掌握情况、情绪状况等。【学生活动】【媒体使用】【设计意图】
学生的学习积极性，激发学生探求新知的欲望。
2
活动二诱导尝试，探究新知问题 1：你知道 2 有多大吗? （1）用夹逼法计算 2 （2）用计算器计算 2 问题 2：除了
2 外，还有其他无限不
【教师活动】 1、出示问题 1，首先采用夹逼法计算 2 ，使学生体验 2 是无限不循环的小数，其次告诉学生可用计算器进行计算，紧接着介绍用计算器求算术平方根的方法。 2、出示问题 2，引导学生思考回答，结合学生回答，展示无限不循环小数的概念。 3、出示问题 3，让学生再次体会无限不循环小
（1） 140 与 12
(2)
5 1 与 0.5 2
【教师活动】 1、出示问题 1，结合学生口答，相机出示答案。出示问题，引导学生分组讨论。 2、出示问题 2，学生分组完成，适时评价学生的表现教师点拨指导。 3、出示问题 3，学生分析并口答解题过程，随之用多媒体展示解题过程，强调解题注意事项【学生活动】 1、学生用计算器快速完成问题 1。 2 、学生分组思考问题 2，并书写解题过程。 3、学生交流讨论并口答解答过程。
2 大小的探究，调动
【教师活动】（1）出示问题 1，引导学生思考回答，结合学 (1)若x 2 4, 则x 4 ______ 生回答相机给出答案。 2 (2)若x 121, 则x 121 _____ （2）出示问题 2，引导学生思考回答，结合学 (3)若x 2 196 , 则x 196 _____ 生回答，展示算术平方 (4)若非负数x满足x 2 a，则x ______ 根的概念及表示。（3）关注并适时评价学问题 2：什么叫算术平方根？2 的算术平方根生的表现。应怎样表示？【学生活动】问题 3：如图，把两个面积为 1 的小正方形沿（1）口答问题 1、2，对角线剪开，将所得的 4 个等腰直角三角形拼（2）观察图形，动手操在一起，结果怎样？你知道这个大正方形的面作，两人一组将提前准 2 积是多少？你会求这个大正方形的边长吗？备好的面积为 1cm 的两个小正方形沿对角线剪开按照相邻边重合的方式拼凑、讨论，得出结论：得到的图形是正方 → 形，面积为 2，边长为 1 1 2

13.1平方根(2)

最大 m 8 有 _____ 值（填最大或最小）
12 8 是 ______ ，此时 m ___ .
4.已知： m 8 ( 3 n 51 )
2
0 .求 m n 的算术平方根
解：由题意得：m-8=0 3n-51=0 解得：m=8 所以m+n=25 n=17 所以m+n的算术平方根是5 。
a （ a≥0）
符号 √
读作“根号” 。x x2例 1：求下列各式的值，（ 1） 1 （ 2） 9 25 （ 4） 6
2
（ 3） 2 1 4
2
8 （ 5） 6
2
（ 6） 7）（
2
解：（ 1） 1＝1
(3)
(2)
2
9 25

3 5
100 10
2
1 4
2
2 (4)
100 10000 ________,
0.1 0.01 0 . 01 ____, 0 . 0001 ____ 被开方数扩大（或缩小）与它的算术平方根扩大（或缩小）的规律是怎样呢？被开方数的小数点向右（或向左）每移动两位，算术平方根的小数点向右（或向左）移动一位。我会用了：若 3 1 . 732 ，则 173.2 ，
作业：书本第75页习题13 .1 第1、3、5、8 题
2
x
81 81 9
(2) x 1 5 x 5 1 x 6或 x 4
练习：书本第76页综合应用第8题（1）（3）
注意：是求平方根
探究：怎样用两个面积为1的小正方形拼成一个面积为2的大正方形？
如图，把两个小正方形沿对角线剪开，将所得的4个直角三角形拼在一起，就得到一个面积为2的大正方形。你知道这个大正方形的边长是多少吗？小正方形设大正方形的边长为x，则 2 的对角线 x =2. 的长是多由算术平方根的意义可知少呢？ x= 2

《13.1平方根》(2)

3136 56
2 1.414
你肯定行！
探究
利用计算器计算，并将计算结果填在表中，你发现了什么规律？你能说出其中的道理吗？
… 0.0625
0.625
6.25 62.5
625
6250
62500 …
… 0.25 0.7906 2 .5 7.906 25 79.06 250
…
规律：被开方数的小数点向左或向右每移动2位,它的算术平方根的小数点就向向左或向右移动1位。
问题2：什么叫算术平方根？2的算术平方根应怎样表示？如果一个正数的平方等于a，那么这个正数就叫做a的算术平方根，0的算术平方根为0。2的算术平方根表示为 2
探索 & 交流
怎样用两个面积为1的小正方形拼成一个面积为2的大正方形？
如图，把两个小正方形沿对角线剪开，将所得的 4个直角三角形拼在一起，就得到一个面积为2的大正方形。你知道这个大正方形的边长是多少吗？
解：设长方形纸片的长为3xcm，宽为2 xcm.
50 49
3x 2 x 300
6 x 2 300 x 2 50
x 50
50 7
3 50 21
即长方形纸片的长应该大于21cm
答 : 小丽不能用这块正方形纸片裁出符合要求的长方形纸片.
因此长方形纸片的长为 3 50cm，宽为2 50cm.
设大正方形的边长为x，则 2 x =2 由算术平方根的意义可知 x= 2
小正方形的对角线的长是多少呢？
你知道 2 有多大吗?
1 2 2
2
2
方 1 2 2 法 2 2 1 . 4 2 1 . 5 一逼 1.4 2 1.5 近 2 2 1 . 41 2 1 . 42 法

13.1平方根(2)

1.比较大小 : 3 −1 1 3 2 > 7 < 2 2 2 .若 0 .123 ≈ 0 .3507 , 1 .23 ≈ 1 .109 , 则 : (1) 1230 ≈ 35.07 ; 0 .0123 ≈ 0.1109 ; 123 ≈ 11.09 . ( 2 ) 若 x = 350 .7 , 则 x ≈ 123000 .
请你帮忙美羊羊的衣服上破了一个边长为1cm的正方形小美羊羊的衣服上破了一个边长为1cm的正方形小 1cm 心灵手巧的她准备用一个圆形补丁补上, 洞,心灵手巧的她准备用一个圆形补丁补上,你知道这个圆的直径应该有多长? 知道这个圆的直径应该有多长?
2 cm
1cm
3.请不用计算器来估计 35746000是四位数.
美羊羊想用一块面积400cm 的正方形纸片, 美羊羊想用一块面积400cm2的正方形纸片, 沿着边的方向裁出一块面积为300cm 沿着边的方向裁出一块面积为300cm2的长方形纸片，使它的长宽之比为3:2 3:2，形纸片，使它的长宽之比为3:2，不知能否裁出，正在苦恼。喜羊羊听了后说: 裁出，正在苦恼。喜羊羊听了后说:面积大的一定能裁出面积小的。你认为呢? 的一定能裁出面积小的。你认为呢?
20cm
A
F
D
B
E
C
懒羊羊同学用一张正方形纸片折小船，懒羊羊同学用一张正方形纸片折小船，但它没有现成的正方形纸片，没有现成的正方形纸片，于是他撕下一张作业本上的纸，按照上图，对折使点B落业本上的纸，按照上图，沿AE对折使点落对折使点在点F的位置上再把多余部分FECD剪下。的位置上，剪下。在点的位置上，再把多余部分剪下如果事先量得矩形ABCD的面积为的面积为90cm2，如果事先量得矩形的面积为又测得剪下的多余的矩形纸片的面积为 40cm2。你能估算出剪得的正方形纸片的边长范围吗？长范围吗？

《13.1 平方根》课件(人教版八年级上)

这个问题实际上就是求：42=？的问题．
根据乘方运算，可知 42=16cm2．
4cm
•28
反过来，要做一张面积是16cm2的桌面，它的边长是多少cm？
我们知道，(±4)2=16，但－4不符合题意．
所以，方桌面的边长应是4cm．
16cm2
？cm
•29
知识要点
一般地，如果一个数的平方等于a，那么这个数叫做a的平方根或二次方根，即如果x2=a，那么x叫做a的平方根．
正方形的面积扩大n倍，那么其边长对应扩大 n 倍．
•15
想一想
某气垫厂接到订单，要求把两块面积为1的正方形材料，缝成一块正方形的气垫面，你有没有办法进行设计，帮助他们解决这个问题？缝成的这个大正方形的边长是多少呢？
•16
如图，把两个小正方形材料沿对角线剪开，将所得的4个直角三角形拼在一起，就得到一个面积为2的大正方形气垫面．小正方形的对角线长度即为大正方形的边长．
无意义的是：
9
•11
例1 求下列各数的算术平方根：
（1）400 （2） 25 （3）0.0025 81
解：（1）因为202=400，所以400的算术平方根为20，即 4 0 0 =20．
是5
9
（，2即）因2 5 为= 95

5
2
=
2 5 ，所以 2
81
8
．
5 1
81
9
的算术平方根
（3）因为0.052=0.0025，所以0.0025的算术
5．通过用计算器求值及近似值计算，提高运算能力和动手能力；
6．通过利用计算器求值体验现代科技产品迅速、精确的功能，激发学习知识的兴趣．

13.1平方根(2)

回顾 & 思考 ☞ 1、什么是算术平方根一个正数x的平方等于a,即 x2＝ a，这个正数x叫做a的算术平方根
a的算术平方根记为
a
读作“根号a”
x2 =规定0的算术平方根是0，记作
0 0
被开方数a≥0 算术平方根 a ≥0
我们先来解决一个小问题：
一个数的平方是9，那么这个数是多少？
3 ；
正数有2个平方根，它们互为相反数； 0的平方根是0；负数没有平方根。 1.a的一个平方根是3，则另一个平方根是 -3 ，a= 9 。 2.3a-22和2a-3是m的两个平方根，试求m的值。
例： x 为何值时，下列各式有
意义？
x
（1 2 x （ 2） x （ 3） x 1 （ 4） 1 x ）
3 ＝ 9，（ 3）＝ 9，
2 2
所以这个数是3或－3.
若x2=a（x≥0），那么x叫做a的算术平方根。记作：x= a
一般地，如果一个数的平方等于a，那么这个数叫做a的平方根或二次方根。
即：若x2=a，那么x叫做a的平方根。记作：x= a
求一个数a的平方根的运算，叫做开平方。平方 +1 -1 +2 -2 +3 -3 1 4 9 1 4 9 开平方 +1 -1 +2 -2 +3 -3
求一个数的平方根的运算叫开平方。
开平方与平方是互为逆运算
运算适用运算结符号范围果名称
性质
开方

正数与零
, 平正数有 2 个平方根,它们是互为相反数方零的平方根是 0 , 负数没有平方根 . 根
平 2 任方 a 何幂数
正数的平方是正数; 零的平方是 0 ; 负数的平方是正数.

八年级上册第13章实数第1节平方根第2课时无限不循环小数

什么规律吗?
而 0.0625与 0.625 中的被开方数只扩大了10倍,它们的算术
平方根之间没有规律可循.
故若已知 3 ≈1.732,可知 0.03≈0.1732, 300 ≈17.32,
30000 ≈173.2,试问你能根据 3 的值知道 30 的值吗?
从(1)(2)中发现被开方数在逐渐扩大,并且每次扩大100倍,其算
通过上述例题发现利用面积大的纸片不一定能剪出面积小的纸片.
活动四.工具使用,规律探究.
(1)利用计算器计算:
0.0625=0.25 0.625 ≈0.79057 6.25 ≈2.5 62.5≈7.9057
625 =25
6250 ≈79.057
62500 =250
(2)比较相应的两列数中的被开方数及其算术平方根,你发现有
活动二.师生互动,课堂探究 1.在实际问题中,往往会遇到像上述情形中的问题,如果在所学过的有理数中确实找不到合适的数的平方会等于所给的数,我们该怎么表示所给数的算术平方根呢? 大家知道,若有正数x,使x2=a(a≥0),则x为a的算术平方根,记作x=•a ,•我们已经知道正数x满足 x=2a,则称x是a的算术平方根．当a恰是一个数的平方数时，我们已经能求出它的算术平方根了，例如， 1=64；但当a不是一个数的平方数时，它的算术平方根又该怎样求呢？例如课本第69页的大正方形的边长
例2. (1)用一块面积为400cm2的正方形纸片,沿着边的方向剪出一块面积为300cm2的长方形纸片,你会怎样剪? (2)若用上述正方形纸片剪出面积为300cm2的长方形纸片,且其长宽之比为3:2,•你又怎样剪?根据你的剪法回答:只要利用面积大的纸片一定能剪出面积小的纸片吗? 解:(1)面积为400cm2的正方形纸片的边长为20cm,沿着边的方向剪出一刀,•使长方形纸片的面积为300cm2,则其宽为 300÷20=15cm,于是只要剪掉5cm宽的长方形纸片即可. (2)若用上述正方形纸片剪出面积为300cm2的长方形纸片,且其长宽之比为3:2,•则可设其两边为3x和2x,则3x·2x=300,6x2=300 x2=50,x= 50 , 故长方形纸片的长为3 50 cm,宽为2 50 cm, 而3 50>3×7=21cm,21cm比原正方形的边长20cm更长,这是不可能的.

平方根(2)(无限不循环小数)综述

-16 ⑤ 162 的算术平方根的相反数是_____. ⑥一个自然数的算术平方根是a，
a 1 则下一个自然数的算术平方根是______.
2
b 一个自然数的平方b,那么比这个自然数大1的数是____
0.25 0.791 2.5 7.91 25 79.1 250 从运算结果可以发现:被开方数扩大(缩小)100倍, 它的算术平方根扩大(缩小)10倍.
解:
由 3 ≈1.732得 0.03≈0.1732,
30000 ≈173.2
300≈17.32
解:设长方形纸片的长为3xcm,宽为2xcm 由题意,得 3x· 2x=300 已知正方形纸片的边长 6x2=300 只有20cm,这样长方形 x2=50 纸片的长将大于正方形 x= 50 因此长方形纸片的长为 3 50cm 纸片的边长. 答:不能同意小明的说法. ∵50>49, ∴ 50 >7 小丽不能用这块正方形 ∴3 50 >21 纸片裁出符合要求的即长方形纸片的长应该大于21cm. 长方形纸片
例1 用计算器求下列各式的值: (1) 3136 (2) 2 (精确到0.001）
显示:1.414213562 ∴ 2 ≈1.414
v1≈ 62720000 ≈7900 , v2≈ 125440000 ≈11200 因此,要使宇宙飞船离开地球进入轨道正常运行, 必须使它的速度大于7900米/秒,小于11200米/秒.
5 1
2
>12
4、小明房间的面积为10.8平方米，房间地面恰由120块相同的正方形地砖铺成，问每块地砖的边长是多少？解：设每块地砖的边长为x米，
.8 由题意得： x2 10 120 0.09
（米） x 0.09 0.3

人教新课标示范教案新部编本数学八年级上册实数

教师学科教案[ 20 – 20 学年度第__学期]任教学科：_____________任教年级：_____________任教老师：_____________xx市实验学校教学过程设计解：(1)∵100102=，∴100的算术平方根是10，即10100=；(2) ∵6449872=⎪⎭⎫ ⎝⎛，∴6449的算术平方根是87，即876449=； (3)∵0001.001.02=，∴0.0001的算术平方根是0.01，即01.00001.0=. 2．求下列各式的值：(1) 361 (2)814(3) 25 (4) 4624 分析：(1) 361表示的就是361的算术平方根，首先要找哪个数的平方等于361，因为只有个位是1或9的数，平方后个位还是1，可以尝试着找到这个数；(2)什么数的平方等于814呢？可以分子、分母分开考虑；(3)哪个数的平方等于25，即那个数的平方等于25；(4)可以通过计算几个数的平方进行尝试，如,490070,36006022==那么应该从60-70间找一个数x ，使46242=x ，你觉得x =62与x =68哪个可能性更大些？.归纳：①.“确定那个数的平方等于a ”，因为求的是算术平方根，即“求一个正数x ，使它的平方等于a ”，所以这里不考虑负数情况;②.第(4)题中，找x =68的方法也可以通过计算,490070,36006022==把x 锁定在60-70之间，再通过计算4225652=，把x 锁定在65-70之间，继而再锁定在67-69间，这种方法称为“两端逼近”法，是数学中常用的方法.3：“欲穷千里目，更上一层楼”说的是登得高看得远。

如图，若观测点的高度为h ，观测者能达到的最远距离为d ，则≈dhr 2，其中R 是地球半径（通常取6400km ）.小丽站在海边一块岩石上，眼睛离地面的高度为4m ，她观测到远处一艘船刚露出海平面，此时该船离小丽约有多远？注意：单位转换三、课堂训练1．填空：(1)若==a a 则,2.1 . (2) ()24-的算术平方根是 __ .(3)81的算术平方根是_ .(4) 若一个数的算术平方根为x -5，则x 的取值范围是_ .(5) 若a +1有算术平方根，则a 的取值范围是__ .教师引导学生观察各式中被开方数的特点，并组织学生讨论第(4)小题的做法，让学生口头叙述各小题的求值过程教师引导学生阅读审题，并代入求值教师布置课堂限时训练，检测教学效果，之后师生订正答案，并根据解题情况进行针对性的评析生加深对开平方与平方互为逆运算关系的理解。