(完整版)无限循环小数如何化为分数汇总

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无限循环小数如何化为分数

由于小数部分位数是无限的，所以不可能写成十分之几、百分

之几、千分之几……的数。转化需要先“去掉”无限循环小数的

“无限小数部分”。一般是用扩倍的方法，把无限循环小数扩大十倍、一百倍或一千倍……使扩大后的无限循环小数与原无限循环小数的“无限小数部分”完全相同，然后这两个数相减，这样“大尾巴”

就剪掉了。

方法一：（代数法）

类型1：纯循环小数如何化为分数

例题：如何把0.33……和0.4747…… 化成分数

例1：0.33……×10＝3.33……

0.33……×10－0.33……=3.33……－0.33……

(10-1) ×0.33……=3

即9×0.33……=3

那么0.33……=3/9=1/3

例2：0.4747……×100＝47.4747……

0.4747……×100－0.4747……＝47.4747……－0.4747……

(100－1)×0.4747……=47

即99×0.4747……=47

那么0.4747……=47/9

由此可见, 纯循环小数化为分数,它的小数部分可以写成这样的分数：纯循环小数的循环节最少位数是几，分母就是由几个9组成的数；分子是纯循环小数中一个循环节组成的数。

练习：

（1）0.3……=3/（10-1）＝1/3

（2）0.31 31……=31/（100-1）＝31/99。

（3）0.312 312……=

类型2：混循环小数如何化为分数

例题：把0.4777……和0.325656……化成分数

例3：0.4777……×10=4.777……①

0.4777……×100=47.77……②

无限循环小数化为分数的方法

无限循环小数化为分数的方法如下：

一、等比数列法

无限循环小数，先找其循环节（即循环的那几位数字），然后将其展开为一等比数列、求出前n项和、取极限、化简。

例如：0.333333……

循环节为3

则0.33333.....=3*10^(-1)+3*10^(-2)+……+3*10^(-n)+……

前n项和为：0.3[1-(0.1)^(n)]/(1-0.1)

当n趋向无穷时（0.1）^（n）=0

因此0.3333……=0.3/0.9=1/3

注意：m^n的意义为m的n次方。

再如：0.999999.......

循环节为9

则0.9999.....=9*10^(-1)+9*10^(-2)+……+9*10^(-n)+……

前n项和为：{0.9*[1-（0.1）^n]}/(1-0.1)

当n趋向无穷时（0.1）^n=0

因此：0.99999.....=0.9/0.9=1

二、解方程法

无限循环小数化分数可分为两类情况，纯循环小数，混循环小数

纯小数纯循环小数

例：0.1111…… 1的循环，我们可以设此小数为x，可得：

10x-x=1.1111……-0.1111……

9x=1

X=1/9

例：0.999999.......=1

设x=0.9999999......

10x-x=9.999999.....-0.999999.....

9x=9

x=1

关于这方面，还可以运用极限的知识加以证明，这里不在赘述。

例：将无限循环小数0.26(··)化成分数：

解题：已知无限循环小数0.26(··)，将已知无限循环小数0.26(··)的未知分数设为X，

怎样把无限循环小数化成分数

怎样把无限循环小数化成分数化循环小数为分数可以按如下两种情况进行．

1．化纯循环小数为分数．

例1．化下列纯循环小数为分数：

（1）（2）（3）

解：（1）设①,

则②

①-②得

9x=6

①-②，得

99x=23

②-①，得

999x=107，

2．化混循环小数为分数．

[例2]化下列混循环小数为分数：

①-②，得

990x=312-3

①-②，得900x=3-0

①-②，得

9990x=2316-2

注意：化循环小数为分数一般方法是：设循环小数为x，用乘10的幂的方法把小数点移到某一循环节的前边和后边，然后相减消去“无限循环”部分．

把无限循环小数化成分数的方法

如何将无限循环小数化成分数

无限循环小数是指小数部分存在一个或多个重复的数字组合，无限重复下去的小数。例如，0.3333...就是一个无限循环小数，因为小数部分的3无限重复下去。

将无限循环小数化成分数是一种常见的数学运算，可以使得无限循环小数变成一个有限的数值。下面将介绍几种方法来实现这个转换。

方法一：设x为无限循环小数，将x乘以一个适当的倍数，使得小数点后的循环部分移到整数部分，然后用等式表示这个乘法，解方程求解x的值。

例如，将0.3333...乘以10，得到3.3333...。然后用等式表示这个乘法：10x = 3.3333...。接着，将等式两边减去原来的等式，得到9x = 3。解这个方程，得到x = 1/3。

方法二：设x为无限循环小数，将x的循环部分移到整数部分后，设为y。然后用等式表示这个移位操作，得到x = y + 1/10^n，其中n为循环部分的长度。接着，将等式两边乘以10^n，得到10^n*x = 10^n*y + 1。再将等式两边减去原来的等式，得到(10^n - 1)x = 10^n*y。解这个方程，得到x = y/(10^n - 1)。

例如，将0.3333...的循环部分移到整数部分后，得到3。然后用等

式表示这个移位操作：0.3333... = 3 + 1/10^1。接着，将等式两边乘以10，得到10*0.3333... = 10*3 + 1。再将等式两边减去原来的等式，得到9*0.3333... = 3。解这个方程，得到0.3333... = 3/9 = 1/3。

怎样把无限循环小数化成分数

化循环小数为分数可以按如下两种情况进行．

1．化纯循环小数为分数．

例1．化下列纯循环小数为分数：

（1）（2）（3）

解：（1）设①,

则②

①-②得

9x=6

①-②，得

99x=23

②-①，得

999x=107，

纯循环小数: 小数部分循环节有几位数，分母部分就写几个9，分子为原小数部分的循环节。例：0.1……=1/9；0.1212……=12/99=4/33，0.135135……=135/999 混循环小数: 循环

节部分同上,只是循环节首位数字处于多少分位，就除以多少，再乘以10；非循环部分的数字做分子，最后一位处于几分位，分母就是几。例如：0.25333……=25/100+（3/9）*10/1000=76/300=19/75，0.68757575……=68/100+（75/99）*10/1000=2244/3300+25/3300=2269/3300

2．化混循环小数为分数．

[例2]化下列混循环小数为分数：

①-②，得

990x=312-3

①-②，得900x=3-0

①-②，得

9990x=2316-2

注意：化循环小数为分数一般方法是：设循环小数为x，用乘10的幂的方法把小数点移到某一循环节的前边和后边，然后相减消去“无限循环”部分。

怎样把无限循环小数化成分数

怎样把无限循环小数化

成分数

公司内部档案编码：[OPPTR-OPPT28-OPPTL98-OPPNN08]

怎样把无限循环小数化成分数

化循环小数为分数可以按如下两种情况进行．1．化纯循环小数为分数．

例1．化下列纯循环小数为分数：

（1）（2）（3）

解：（1）设①,

则②

①-②得

9x=6

①-②，得

99x=23

②-①，得

999x=107，

2．化混循环小数为分数．

[例2]化下列混循环小数为分数：

①-②，得

990x=312-3

①-②，得900x=3-0

①-②，得

9990x=2316-2

注意：化循环小数为分数一般方法是：设循环小数为x，用乘10的幂的方法把小数点移到某一循环节的前边和后边，然后相减消去“无限循环”部分．

各种无限小数化成分数的方法归纳

无限小数是指小数部分无限循环或无限不循环的小数表示方式。将无限小数化成分数有多种方法，下面将对常见的几种方法进行归

纳和介绍。

1. 除法法：

该方法是将无限小数表示为一个整数除以一个整数的形式。具

体步骤如下：

- 将无限小数的循环部分用字母（如a）表示。

- 设无限小数为x，则可以表示为x = 整数部分 + a / 99...9（循

环位数与a的循环长度相同）。

- 通过除法运算，将a除以99...9，得到一个无限循环小数。

- 对这个新的无限循环小数，继续使用除法法求其分数表示。

- 将得到的分数与整数部分相加，即可得到最终的分数表示。

2. 连分数法：

连分数是一种无限循环的分数表示方式。具体步骤如下：

- 假设无限小数为x，则可以表示为x = 整数部分 + 1 / (无限循

环小数部分)。

- 将无限循环小数部分用字母（如a）表示。

- 则x = 整数部分 + 1 / (a + 1 / (a + 1 / (a + ...)))。

- 将这个连分数展开，并求值，得到最终的分数表示。

3. 近似法：

如果无限小数的循环部分位数较多，或者不方便使用其他方法，可以使用近似法来快速估算出一个接近的分数表示。

- 将无限小数的循环部分截断，取前几位数。

- 将截断后的数与一个适当的分数相比较，选取最接近的分数

作为近似的分数表示。

这几种方法可以帮助将无限小数转化为分数形式。在实际应用中，根据具体情况选择合适的方法，以便得到准确的结果。

无限循环小数化成分数的方法

无限循环小数化成分数的方法:

等比数列法：无限循环小数，先找其循环节，然后将其展开为一等比数列、求出前n项和、取极限、化简。

套公式法：纯循环，用9做分母，有多少个循环数就几个9，比如0.3，3的循环就是9分之3，0.654，654的循环就是999分之654，0.9，9的循环就是9分之9（1），以此类推。

无限循环小数化分数的方法

无限循环小数，指十进制小数中数字序列一直循环出现的小数。如0.3333……就是无限循环小数，它等于1/3。接下来介绍几种常见的方法将无限循环小数化成分数。

1.长除法法

将无限循环小数表示为分数x/y，其中x和y互质。假设小数中以m开始不断循环出现，那么我们可以列出以下的等式：

10^(n+d)x = m·(10^n-1)·10^d + m·(10^(n+2d)-10^(n+d))

其中，d为小数循环节长度，n为大于d的任意正整数。由于x是小数转化而来，因此有：

x = m/(10^d - 1) + m/(10^(2d) - 1) + … + m/(10^(nd) - 1)然后将上式的右边化为分数，则有：

x = m(1/10^d + 1/10^(2d) + … + 1/10^(nd))/(1-1/10^d)

而y=10^n-1，则x/y=m/(10^d - 1) + m/(10^(2d) - 1) + … + m/(10^(nd) - 1)。

2.解二元一次方程组法

同样假设无限循环小数为x/y，其中循环节长度为d。则有：

10^d·x - x = m

10^d·y - y = 1

其中m为小数循环节序列。将x和y相消，联立方程组得到：

x = m/(10^d - 1)

y = (10^d - 1)/y

因此，将无限循环小数化成分数的方法就是将循环节序列作为m 代入上式即可。

3.其他方法

如果无限循环小数的分母是5的倍数，则可以将它们都变为10的倍数，即将小数点后移一位。这时，无限循环小数就可以化为分数。例如：0.6 = 6/10 = 3/5。

无限循环小数化成分数的方法

无限循环小数是通过将无限不循环小数转化为分数的方法之一。要将一个无限循环小数化成分数，可以通过以下步骤进行计算：

1. 将无限循环小数表示为x，如x=0.3333...

2. 令10x=x+0.333

3...，则9x=0.3333...

3. 通过上述方程，可以解出x=0.3333...=1/3

4. 因此，无限循环小数0.3333...可以化为分数1/3。

当然，这只是一个简单的例子，针对不同的无限循环小数，可能需要采用不同的方法进行化简。

各种循环小数化成分数的方法归纳

各种循环小数化成分数的方法归纳循环小数是指小数部分有一段数字重复出现的小数。对于循环小数，我们可以使用不同的方法来将其化成分数形式。本文将会对各种循环

小数化成分数的方法进行归纳总结。

一、循环小数的定义和表示

循环小数是指一个小数部分有一段数字永远重复出现的小数。通常

用省略号“…”来表示循环的小数部分，例如：0.1666...，3.14159...等等。

二、循环小数化成分数的方法

1. 定值法

定值法是一种简单但有限的方法，适用于循环小数只有一个周期的

情况。首先，将循环小数表示为x，然后将x乘以一个适当的倍数，使

得小数点后的数字刚好和循环部分对齐。接下来，通过减法计算，将x 的整数部分与小数部分相减，将数字中循环的部分小数点后面都为0，然后去掉无穷循环部分。最后，将减法结果除以一个与循环的部分相

等的整数x，得到最简分数形式。

2. 通项公式法

通项公式法适用于有特定循环规律的循环小数。根据循环部分的长度，设循环小数为x。使用通项公式来表示x，并化简为最简分数形式。

3. 差法

差法适用于有两个循环部分的循环小数。设循环小数为x，将两个

循环部分相减得到y。然后，通过减法运算，将x的整数部分与小数部

分相减得到z。将y除以9，得到等式z/9 = 0.m + y/9，其中m为小数

部分，y为两个循环部分的差。然后将z/9化简为最简分数形式。

4. 数列法

数列法适用于有三个或更多循环部分的循环小数。设循环小数为x，将每个循环部分的值视为十进制数，并设第k个循环部分为xk。通过

计算每个循环部分的前n项和Sn，得到等式Sn = 0.x1x2...xn + xk/10^n + xk/10^(2n) + ... + xk/10^(pn)，其中Sn为Sn = (10^n-1)x + xk，p为循

无限循环小数化分数

摘要：

1.无限循环小数的概念

2.无限循环小数与分数的关系

3.如何将无限循环小数化为分数

4.实际应用和举例

正文：

1.无限循环小数的概念

无限循环小数是指小数部分无限循环出现的数字序列。例如，1/3 =

0.3333...，数字“3”无限循环出现。这种小数表示的数字在数学上是无限的，因此没有精确的两位小数表示。

2.无限循环小数与分数的关系

无限循环小数与分数之间有着密切的关系。每个无限循环小数都可以表示为一个分数，反之亦然。例如，0.6666...可以表示为2/3，而0.3333...可以表示为1/3。通过将无限循环小数转化为分数，我们可以更直观地理解这些数字，并在计算中更方便地处理它们。

3.如何将无限循环小数化为分数

要将无限循环小数化为分数，可以使用以下方法：

设无限循环小数为a.bc（a, b, c 为循环的数字，a 不为0），则可以表示为a + b/99 + c/9900。

例如，对于0.3333...：

设a = 3, b = 3, c = 3，则可以表示为：

3 + 3/99 + 3/9900

将这个和式化简，得到：

3 + 1/33 + 1/3300

这可以进一步化简为：

3 + 1/33 + 1/3300 = 100/33 + 1/3300 = 3333/3300

因此，0.3333...可以化为3333/3300。

4.实际应用和举例

将无限循环小数化为分数在实际问题中有很多应用，例如在金融、工程和计算机科学等领域。例如，在计算贷款利息时，我们需要将年利率（通常以百分比表示）转换为小数，然后乘以贷款金额。如果年利率是10%，则可以表示为0.1，而在实际计算中，我们需要将其转换为分数，即1/10，以便进行计算。

(完整版)各种循环小数化成分数的方法归纳

各种循环小数化成分数的方法归纳

一、纯循环小数化分数

从小数点后面第一位就循环的小数叫做纯循环小数。怎样把它化为分数呢？看下面例题。

例1把纯循环小数化分数：

从以上例题可以看出，纯循环小数的小数部分可以化成分数，这个分数的分子是一个循环节表示的数，分母各位上的数都是9。9的个数与循环节的位数相同。能约分的要约分。

二、混循环小数化分数

不是从小数点后第一位就循环的小数叫混循环小数。怎样把混循环小数化为分数呢？看下面的例题。

例2 把混循环小数化分数。

（2）先看小数部分0.353

由以上例题可以看出，一个混循环小数的小数部分可以化成分数，这个分数的分子是第二个循环节以前的小数部分组成的数与小数部分中不循环部分组成的数的差。分母的头几位数是9，末几位是0。9的个数与循环节中的位数相同，0的个数与不循环部分的位数相同。

三、循环小数的四则运算

循环小数化成分数后，循环小数的四则运算就可以按分数四则运算法则进行。从这种意义上来讲，循环小数的四则运算和有限小数四则运算一样，也是分数的四则运算。

例3 计算下面各题：

解：先把循环小数化成分数后再计算。

例4 计算下面各题。

分析与解：（1）把循环小数化成分数，再按分数计算。

（2）可根据乘法分配律把1.25提出，再计算。

（3）把循环小数化成分数，根据乘法分配律和等差数列求和公式计算。

无限循环小数化成分数的方法

等比数列法：无限循环小数，先找其循环节，然后将其展开为一等比数列、求出前n项和、取极限、化简。套公式法：纯循环，用9做分母，有多少个循环数就几个9，比如0.3，3的循环就是9分之3，0.654，654的循环就是999分之654，0.9，9的循环就是9分之9（1），以此类推。解方程法纯循环小数例：0.1111...... 1的循环，我们可以设此小数为x，可得：10x-x=1.1111......-0.1111......9x=1X=1/9例：0.999999. (1)

x=0.9999999......10x-x=9.999999.....-0.999999.....9x=9x=1关于这方面，还可以运用极限的知识加以证明套公式法混循环例：把混循环小数0.228˙化为分数：解：0.228˙=[（228/1000）+8/9000）]=228/（900+100）+8/9000=[（228/900）-（228/9000）]+（8/9000）=（228/900）+[（8/9000）-（228/9000）]=（228/900）-（22/900）=（228-22）/900=206/900=103/450。纯循环小数将纯循环小数改写成分数，分子是一个循环节的数字组成的数；分母各位数字都是9，9的个数与循环节中的数字的个数相同.例如：0.111...=1/9、0.12341234...=1234/9999

无限循环小数化分数

（原创实用版）

1.无限循环小数的概念

2.无限循环小数与分数的关系

3.如何将无限循环小数化为分数

4.实例解析

正文

1.无限循环小数的概念

无限循环小数是指小数部分有一段数字或数字序列不断重复出现的小数。例如，1/3 = 0.3333...，其中 3 无限循环重复出现。无限循环小数是一种特殊的小数，它在数学中有着广泛的应用。

2.无限循环小数与分数的关系

无限循环小数与分数有着密切的关系。可以证明，每一个无限循环小数都可以表示为一个分数，反之亦然。例如，0.6666...可以表示为 2/3，而 1/3 可以表示为 0.3333...，这为无限循环小数的研究和应用提供了便利。

3.如何将无限循环小数化为分数

为了将无限循环小数化为分数，我们可以采用一种名为“进位制”的方法。具体操作如下：

（1）将无限循环小数的循环部分用一个字母（如 x）表示，得到一个新的小数，例如 0.3333...可以表示为 0.x。

（2）将新小数乘以 10^n，其中 n 表示循环部分的位数。例如，如果循环部分有两位，那么 n=2，乘以 10^2=100。

（3）将乘积减去原数，即 100x - x = 99x。

（4）化简得到的分数，即将分子和分母同时除以它们的最大公约数。

通过以上步骤，我们可以将无限循环小数化为一个分数。

4.实例解析

以 0.6666...为例，循环部分有两位，即 n=2。按照上述方法，我们可以得到：

（1）0.66 = 0.6666...

（2）0.66 × 100 = 66

（3）66 - 0.66 = 65.34

无限循环小数化成分数的方法

无限循环小数是指小数部分无限循环重复的数字，如0.3333……或

0.76454545……。在数学中，我们经常需要将无限循环小数化成分数形式，这样有助于我们更好地理解和运用这些数。下面，我将介绍几种常用的方法来将无限循环小数化成分数。

首先，我们来看一个简单的例子，0.3333……。这个无限循环小数可以表示为1/3。那么，如何得到这个结果呢？接下来，我将逐一介绍几种方法。

方法一，设x=0.3333……，那么10x=3.3333……。接下来，我们将两个式子相减，得到9x=3，从而得出x=1/3。

方法二，利用无限循环小数的性质，我们可以将无限循环小数表示为分数的形式。对于0.3333……，我们可以设其为a/9，其中a为3。因此，0.3333……

=3/9=1/3。

接下来，我们再来看一个例子，0.76454545……。这个无限循环小数该如何化成分数呢？下面我将介绍第三种方法。

方法三，设x=0.76454545……，那么100x=76.454545……。同样地，我们将两个式子相减，得到99x=76，从而得出x=76/99。

通过以上三种方法的介绍，我们可以看出，将无限循环小数化成分数并不难，只需要我们利用一些简单的数学方法就可以得到结果。当然，对于更复杂的无限循环小数，我们可能需要更多的步骤和计算，但总的来说，这个过程并不复杂。

在实际运用中，我们经常会遇到需要将无限循环小数化成分数的情况，比如在化学计算、物理实验、金融分析等领域。因此，掌握将无限循环小数化成分数的方法对我们来说是非常重要的。

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