实数与数轴的关系及实数的运算课件
初中数学精品课件：实数及其运算
【典例 1】 (2019·宁波)请写出一个小于 4 的无理数： ______．
【答案】 π(答案不唯一)
【类题演练 1】 (2019·衢州)在12，0，1，－9 四个数中，
【典例 1】
在
实
数
－
π 2
，
2
，
22 7
，
0.3333333…
，
0
，
1.732
，
2.1010010001…(每两个“1”之间依次多一个“0”) 中，是无理数的
是
．
【错解】 2，272，2.1010010001…(每两个“1”之间依次多一个“0”)
【析错】 无理数是无限不循环小数，而有理数可以写成 分母不为 0 的分数形式，所以272是有理数，－π2是无理数． 【正解】 －π2， 2，2.1010010001…(每两个“1”之 间依次多一个“0”)
2．初中数学中常见的非负数有：①实数的绝对值：|a|≥0； ②实数的平方：a2≥0；③非负实数的算术平方根： a ≥0(a≥0)．如果 a，b，c 都是实数，且满足 a2＋|b|＋ c ＝0，那么根据非负数的性质，有 a＝b＝c＝0.由非负 数的性质可以求出多个未知数的值.
易错点1 平方根与算术平方根概念的混淆
数，则 ab＝ 1 ．
(4)绝对值：一个数在数轴上对应的点到原点的距离叫做这个数 的绝对值．
a（a＞0）， |a|＝0（a＝0）， 以上三条反之亦成立．
－a（a＜0）.
|a|是一个非负数，即|a|≥0．
(5)科学记数法： 科学记数法就是把一个数表示成 a×10n(反数，则和为 0；若两数互为倒数，则积 为 1.反之亦成立．
第3讲.实数
第3讲 实数⎧⎪⎪⎪⎧⎪⎪⎪⎨⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎩实数的分类实数的相关概念：平方根、算术平方根、立方根实数的运算法则：加、减、乘、除、乘方、开方实数实数的运算律实数的相关计算实数的运算顺序实数的比较大小估算一个实数的大小1． 算术平方根、平方根及立方根的概念及表示方法是什么？2． 算术平方根、平方根及立方根之间有什么区别和联系3． 算术平方根有哪些性质？前章回顾知识网络图中考说明3.1无理数与实数一．无理数1． 概念：无限不循环的小数叫做无理数．注意：（1）所有开方开不尽的方根都是无理数，不是所有带根号的数都是无理数．（2）圆周率π及一些含π的数是无理数．（3）有理数可化为分数，而无理数则不能化为分数． 2． 性质：设a 为有理数，b 为无理数，则a b +，a b -是无理数； 二． 实数1． 概念：有理数和无理数统称为实数． 2． 实数的分类：0⎧⎧⎫⎧⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎬⎩⎪⎪⎪⎪⎧⎨⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎩⎭⎩⎪⎪⎫⎧⎪⎪⎨⎬⎪⎪⎩⎭⎩正整数整数负整数有理数有限小数或或无限循环小数正分数实数分数负分数正无理数无理数无限不循环小数负无理数0⎧⎧⎧⎪⎪⎨⎨⎪⎩⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎪⎧⎧⎪⎪⎨⎪⎨⎩⎪⎪⎪⎩⎩正整数正有理数正实数正分数正无理数实数负整数负有理数负实数负分数负无理数3． 实数的性质：（1）任何实数a ，都有一个相反数a -． （2）任何非0实数a ，都有倒数1a． （3）正实数的绝对值是它本身；负实数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0． 4． 实数与数轴上的点是一一对应：每个实数都可以用数轴上的一个点来表示，反过来，数轴上的每一个点都表示一个实数． 数轴上的任意两点．概念辨析【例1】 （2013年房山期末）在0.25，，，，，0.021021021…中，无理数的个数（）A ．1个B ．2个C ． 3个D ．4个【例2】 有下列说法中正确的说法的个数是（）（1）无理数就是开方开不尽的数； （2）无理数是无限不循环小数；（3）无理数包括正无理数、零、负无理数； （4）无理数都可以用数轴上的点来表示．【例3】 判断正误．（1） 实数是由正实数和负实数组成．（） （2）0属于正实数．（）（3） 数轴上的点和实数是一一对应的．（） （4） 若x =x =．（）2π72239121例题精讲【例4】 把下列各数填入相应的集合：1－、π、 3.14-、120.7、0． （1）有理数集合｛｝； （2）无理数集合｛｝； （3）整数集合｛｝； （4）正实数集合｛｝； （5）负实数集合｛｝．【例5】A ．B ．2E ．0，问题的答案是（只需填字母）：_________________【例6】 （2011_______；3π-= __________． 【例7】 若直径为2个单位长度的圆上的点A 的点沿数轴向右滚动两周，圆上这一点到达另一点B ，则B 点表示的实数是（）A 2πB ．4πC 2πD 4π3.2实数的大小比较及估算一．实数大小的比较方法： 1． 正实数大于0，负实数小于0． 2． 两个正实数，绝对值大的数大；两个负实数，绝对值大的反而小．3． 数轴上的两个实数右边的实数比左边的实数大． 二． 无理数大小的比较方法： 1． 通过被开方数比较两数的大小：0a >，0b >时，若a b >；若a b < 若a b =2． 平方法：0a >，0b >时，若22>若22<； 若2＝23． 作差法：若0a b ->，则a b >；若0a b -=，则a b =；若0a b -<，则a b <． 4． 作商法：0a >，0b >时，若1a b >，则a b >；若1a b =，则a b =；若1ab<，则a b <．【例8】 把下列各数按照由大到小的顺序，用不等号连接起来．4，4-，153-，1414．，π，0.6，34-，例题精讲概念辨析【例9】 实数2.6A．2.6< B．2.6<C2.6<D2.6【例10】化简：（1）21（2【例11】（2012的大小应在（）A ．7.0~8.0之间B ．8.0~8.5之间C ．8.5~9.0之间D ．9~10之间【例12】（2012年第44中学）已知a b 是它的小数部分，求32()(3)a b -++的值3.3实数的综合【例13】已知m A =3n m -+的算术平方根，2m n B -=7m n +的立方根，求B A +的平方根．【例14】设x 、y 都是有理数，且满足方程11402332x y πππ⎛⎫⎛⎫+++--= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，求x y -的值.试一试：将等式整理成有理数、无理数两部分，运用相关性质挖掘隐含的x 、y 的值.例题精讲【例15】（2013年西城期末）阅读与思考：我们规定：用[]x 表示实数x 的整数部分，如[]3.143=，2=，在此规定下解决下列问题： （1）填空：++++ =_________； （2）求+++++ 的值．基础演练【练1】 下列说法正确的是（）A ．无理数都是无限不循环小数B ．无限小数都是无理数C ．有理数都是有限小数D ．带根号的数都是无理数【练2】 下列说法正确是（）A ．有理数都是实数B ．实数都是有理数C ．带根号的数都是无理数D ．无理数包含0【练3】 （2014杨浦区三模）点A 是数轴上的任意一点，则下列说法正确的是（）A ．点A 表示的数一定是正数B ．点A 表示的数一定是分数C ．点A 表示的数一定是有理数D ．点A 表示的数可能是无理数【练4】 （2012年北京四中期末）下列说法正确的是（）．A ．一个无理数不是正数就是负数B ．8的立方根是2±C ．3D【练5】 （2012年东城期末）下列实数12-，4π13，A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个【练6】 写出一个有理数和无理数，是它们都是大于2-的负数：___________（答案不唯一） 【练7】 ________；的倒数是________的绝对值是________．【练8】 （2011年北师大月考）81的平方根是_________________；64-的立方根是_________．【练9】 （2012年北京四中期末）若2x -是8的立方根，则x 的平方根是___________．【练10( )A ．6-B ．6C ．6±D ．【练11】 数轴上，有一个半径为1个单位长度的圆上的一点A 与原点重合，该圆从原点向正方向滚动一周，这时点A 与数轴上一点重合，这点表示的实数是___________．全能突破【练12】 计算：（1（2【练13】 3.141π-＝______；|=______．【练14】 （2013年怀柔期末）如图，在数轴上点A 和点B 之间表示整数的点共有__________个．【练15】 （2012年北京四中期末）大于_____________【练16】 （2012年海淀期末）已知整数m满足1m m <+，则m 的值为（）A ．4B ． 5C ．6D ．7【练17】 如果a的整数部分，b的小数部分，a b -=__________．【练18】 计算下列各组算式，观，察各组之间有什么关系，请你把这个规律总结出来，然后完成后面的填空．（1； （2（3（4（5；（6(0,0)a b ≥≥．能力提升【练192___________；_________；2的绝对值是________【练20】 最大的负整数是_________，最小的正整数是_________，绝对值最小的实数是_______，不超过__________.【练21】 下列命题中，错误的命题个数是（）（1）2a -没有平方根；（2）100的算术平方根是10，记作10（34）数轴上的点不是表示有理数，就是表示无理数． A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个．【练22】 （2013年北大附中）求下列各题中字母的值：（1） 若24x =，求x 的值； （2） 若3a -=-，求a 的值； （3） 若a a >-，那么a 可能是什么数？【练23】 已知01x <<，则21x x x、的大小关系是__________________________（用“>”连接）．【练24】 计算:（12）2(2)-【练25】 （134+（2）1-+++【练26】 （2012年东城期末）估计2A ．6到7之间B ．5到6之间C ．4到5之间D ．3到4之间【练27】 【巩固】（2013年大兴期末）已知a 、b 为两个连续的整数，且a b <<，则a b +=____________【练28】 若a 2的整数部分，1b -是9的平方根，且||a b b a -=-，求a b +的算术平方根．【练29】 先阅读理解，再回答下列问题：，且121；23<2；=343；n 为正整数）的整数部分为______，请说明理由．【练30】 请你认真观察下面各个式子，然后根据你发现的规律写出第④、⑤个式子.144=⨯=；4=4=【练31】 观；==然数()1n n ≥的等式表示出来：_____________________巅峰突破【练32】设A，B=则A、B中数值较小的是________．【练33】已知20152(4axa-=+，求x的个位数字。
实数与数轴的关系
课题实数与数轴的关系 教学目标1. 理解实数与数轴上的点一一对应关系，能估算无理数的大小2. 会求实数的相反数、倒数、绝对值，能比较实数的大小 重难点透视 1．实数与数轴的关系、大小比较、估算和运算教学内容知识整理1、实数与数轴的关系实数与数轴上的点是一一对应的。
每一个实数都可以用数轴上的一个点表示；数轴上的每一个点都表示一个实数。
例题：如图，数轴上点A 表示的实数是 ．2、实数的相反数与绝对值相反数:数a 的相反数是-a ，这里a 表示任意一个实数。
例：3的相反数是3-。
0的相反数等于0. 绝对值：一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是他的相反数；0的绝对值是0。
（1） 任何实数的绝对值都是非负数。
即0≥a（2）互为相反数的两个数的绝对值相等，即a a -=例题：的相反数是 ．3、实数的运算实数之间可以进行加、减、乘、除、乘方及开方运算，有理数的运算法则及运算性质等同样适用。
（1）实数运算的限制条件：除法运算中除数不能是0，负数不能进行开平方运算。
（2）实数运算的不同结果：若未要求近似计算，则可保留根号或π；若要求近似计算，则用近似有限小数去代替无理数。
（3）实数的混合运算顺序：先乘方、开方，再乘除，最后算加减，同级运算按照从左到右的顺序进行，有括号的先算括号里面的。
4、实数大小的比较对于数轴上的任意两个点，右边的点所表示的实数总是比左边的点表示的实数大.正实数大于0，负实数小于0，两个负数，绝对值大的反而小.例题：比较52和0.5的大小 基础训练1．实数a ，b 在数轴上对应的点的位置如图所示，计算|a ﹣b |的结果为（ ）A ．a +bB ．a ﹣bC ．b ﹣aD ．﹣a ﹣b2．如图，四个实数m ，n ，p ，q 在数轴上对应的点分别为M ，N ，P ，Q ，若n +q ＝0，则m ，n ，p ，q 四个实数A．p B．q C．m D．n3．在下列语句中：①无理数的相反数是无理数；②一个数的绝对值一定是非负数；③有理数比无理数小；④无限小数不一定是无理数．其中正确的是（）A．②③ B．②③④C．①②④D．②④4．计算题（1）（2）（4）（3）（5）|﹣3|+（6）（7）（8）5．实数a，b，c是数轴上三点A，B，C所对应的数，如图，化简：+|a﹣b|+﹣|b﹣c|（1）和4；（2）和0.5．7．已知+1在两个连续的自然数a和a+1之间，1是b的一个平方根．（1）求a，b的值；（2）比较a+b的算术平方根与的大小．8.在数轴上表示下列各数，π，|﹣4|，0，﹣，并把这些数按从小到大的顺序进行排列9.如图所示是小军同学设计的一个计算机程序，请你仔细看懂后完成下题：（1）若输入的数x＝5，输出的结果是．（2）若输出的结果是0且没有返回运算，输入的数x是．（3）请你输入一个数使它经过第一次运算时返回，经过第二次运算则可输出结果，你觉得可以输入的数是，输出的数是．提高训练1．实数a，b在数轴上的位置如图所示，则|a|﹣|b|可化简为（）A．a﹣b B．b﹣a C．a+b D．﹣a﹣b2．如图，M，N两点在数轴上表示的数分别是m，n，则下列式子中成立的是（）A．m+n＜0 B．﹣m＜﹣n C．|m|﹣|n|＞0 D．2+m＜2+n3．如图，数轴上表示1、的对应点分别为点A、点B．若点A是BC的中点，则点C所表示的数为（）A．B．1﹣C．D．2﹣4．实数a、b在数轴上的对应位置如图所示，化简|2a﹣b|﹣|b﹣1|+|a+b|．5．已知a，b为正实数，试比较+与+的大小．6．已知2a﹣1的平方根是±3，3a+b﹣9的立方根是2，c是的整数部分，求a+2b+c的算术平方根．7．已知a、b分别是6﹣的整数部分和小数部分．（1）分别写出a、b的值；（2）求3a﹣b2的值．8、已知a是的整数部分，b是它的小数部分，求（﹣a）3+（b+3）2的值．9．计算：（1）2+++|﹣2| （2）+﹣．3 （3）+|﹣2|++（﹣1）2011（4）||+||+．（5）|﹣3|﹣×+（﹣2）3．（6）﹣14﹣2×．10．化简求值：（），其中a＝2+．11、若的整数部分为a，小数部分为b，求a2+b﹣的值．12、已知x是的整数部分，y是的小数部分，求的平方根．课后作业1.计算：﹣+||+．2．计算：．3．求值：+（）2+（﹣1）2015．4．已知实数a，b，c，d，e，f，且a，b互为倒数，c，d互为相反数，e的绝对值为，f的算术平方根是8，求的值。
2024年《实数》实数教学标准课件
2024年《实数》实数教学标准课件一、教学内容本节课选自2024年教材《数学》七年级下册第十章《实数》，主要内容包括：实数的定义，无理数的概念及其与有理数的区别，实数的分类，实数与数轴的关系，以及实数的四则运算法则。
二、教学目标1. 理解实数的定义，掌握实数的分类及特点。
2. 掌握无理数的概念，了解无理数与有理数的区别。
3. 学会使用数轴表示实数，并能解决相关问题。
三、教学难点与重点难点：无理数的概念，实数的四则运算。
重点：实数的定义，实数与数轴的关系，实数的分类。
四、教具与学具准备教具：黑板，粉笔，实数教学课件。
学具：直尺，圆规，计算器。
五、教学过程1. 导入：通过实际情景引入实数概念，如测量物体长度时，得到的数值可能是整数，也可能是分数，还有可能是无限不循环小数，这些数统称为实数。
2. 基本概念讲解：（1）实数的定义：实数包括有理数和无理数，有理数是可以表示为两个整数之比的数，无理数则不能。
（2）实数的分类：整数、分数、无理数。
（3）实数与数轴的关系：实数可以在数轴上表示出来，数轴上的每一个点都对应一个实数。
3. 例题讲解：4. 随堂练习：让学生在数轴上表示一些实数，并判断它们是有理数还是无理数。
5. 实数的四则运算：（1）有理数的四则运算规则同样适用于实数。
（2）无理数的四则运算需要特别注意，如√2 √2 = 2。
六、板书设计1. 实数的定义及分类。
2. 实数与数轴的关系。
3. 实数的四则运算规则。
4. 例题及解答。
七、作业设计1. 作业题目：2. 答案：（1）5/3（有理数），√5（无理数），2π（无理数），0.666（有理数）。
（2）√9 + √16 = 3 + 4 = 7，√2 √3 = √6，(√2 + √3)² = 5 + 2√6。
（3）见附件。
八、课后反思及拓展延伸1. 反思：本节课通过实际情景引入实数概念，让学生了解实数的定义及分类，掌握实数的四则运算，培养学生运用数轴解决问题的能力。
华师大版八上数学课件11.2.2 实数与数轴及实数运算
知4－讲
2．有理数的运算律在实数范围内仍然适用，在进行实数
运算的过程中，要做到： 一“看”——看算式的结构特点，能否运用运算律或 公式； 二“用”——运用运算律或公式；
三“查”——检查过程和结果是否正确．
学法指南：实数的运算律 加法交换律：a＋b＝b＋a； 加法结合律：(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)；
B．|a－b|＝a－b D．－a－c>－b－c
知4－讲
知识点
4
实数的运算
1. 在实数范围内，进行加、减、乘、除、乘方和开方运
2. 算时，有理数的运算法则和运算律仍然适用；实数混 3. 合运算的运算顺序与有理数的混合运算顺序一样，先 4. 算乘方、开方，再算乘除，最后算加减，同级运算按 5. 照自左向右的顺序进行，有括号先算括号里面的．
值的性质化简．
知2－讲
解： 由图可知 2 ＜a＜π，
所以a－π＜0， 2 －a＜0.
所以|a－π|＋| 2 －a|＝π－a＋a－ 2 ＝π－ 2 .
知2－讲
总 结
在利用绝对值的性质进行实数的化简时， 首先要判断绝对值内实数的正负，再根据“正
数的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相
反数”进行化简．
2 B．－0.2＞ － 1 2 1 A．－0.2 ＜ －
2
3 4 5
＜1－ 2
＞1－
1 2
)
2 C．－0.2＞1－ ＞ 1 － 2 D．1－ ＞－0.2＞ 12 － 2 2
知3－练
2 (中考· 枣庄)实数a，b，c在数轴上对应的点如图所
示，则下列式子中正确的是(
)
A．ac>bc C．－a<－b<c
3 2 ＞π
知3－讲
实数的运算(41张PPT)数学
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答案
解析
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答案
解析
解析 由题意知b2－10＝0，2a＋b2＝0，
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2b
解析 由数轴知b＜0＜a，且|b|＞|a|，则a－b＞0，所以原式＝a－(a－b)＋b＝a－a＋b＋b＝2b.故答案为2b.
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②原式＝|－4|＝4，符合题意；③原式＝－3，不符合题意；④原式＝－0.8，不符合题意；⑤原式＝3，符合题意；⑥原式＝3，不符合题意.故选C.
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5.以下是小明的计算过程，请你仔细观察，错误的步骤是( )
解析 若围成长方形，设长为20厘米，则宽为10厘米，长方形面积为200平方厘米；若围成正方形，正方形边长为60÷4＝15(厘米)，面积为225平方厘米；
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实数ppt课件
原点
数轴上的零点，表示0。
正半轴
数轴上右边的点表示正实数。
负半轴
数轴上左边的点表示负实数。
实数在数轴上的表示
实数
在数轴上有唯一确定的点与之对 应。
相反数
在数轴上与原点对称的点表示相反 数。
绝对值
在数轴上到原点的距离表示绝对值 。
数轴上的点与实数的关系
点与实数一一对应
数轴上的每一个点都表示一个唯一的实数。
实数的四则运算
01
总结词：实数的四则运算是加 法、减法、乘法和除法的统称
。
02
详细描述
03
04
1. 加法和减法：实数的加法 和减法满足交换律、结合律和
相反律。
2. 乘法和除法：实数的乘法 和除法满足交换律、结合律和
分配律。
03
实数与数轴
数轴的定义
01
02
03
04
数轴
一条水平的直线，用来表示实 数的连续范围。
实数还可以根据其正 负性分为正实数、负 实数和零。
无理数：无限不循环 小数，如π、根号2 等。
02
实数的运算
加法与减法
详细描述
2. 结合律：加法或减法的结合律 是指括号如何结合不会影响结果 。例如，a+(b+c)=(a+b)+c和a(b+c)=a-(b+c)。
总结词：实数的加法与减法是基 础运算，它们具有交换律、结合 律和相反律。
2. 结合律：乘法或除法的结合律是指括 号如何结合不会影响结果。例如， a(bc)=(ab)c。
详细描述
1. 交换律：乘法或除法的交换律是指改 变运算顺序不会影响结果。例如， ab=ba和a/b=b/a。
《实数的概念》课件
详细描述
实数的指数运算满足a^m*a^n=a^(m+n)和(a^m)^n=a^(mn)等基本性质。
03
实数与数轴
数轴的定义
实数轴
一条无限延伸的直线，每个点对应一个实数，实数轴上 的点是连续且稠密的。
在科学研究、工业生产和日常生活中，物理量的测量和计算都发挥着至关重要的作用。实数使 得这些测量和计算具有可靠性和准确性。
金融和统计数据的表示
金融和统计数据涉及到大量的数值计 算和表示，实数在其中扮演着重要的 角色。例如，股票价格、经济增长率 、人口数量等都是以实数表示的。
实数的精确性和可靠性使得金融和统 计数据的表示和分析更加准确，有助 于做出正确的决策和预测。
减法运算
总结词
减法运算的基本性质
详细描述
实数的减法运算可以通过加法转换为加法运算， 即a-b=a+(-b)。
乘法运算
总结词
乘法运算的基本性质
详细描述
实数的乘法运算满足交换律、结合律和分配律，即ab=ba，(ab)c=a(bc)，a(b+c)=ab+ac。
除法运算
总结词
除法运算的基本性质
详细描述
定义方式
通常采用代数定义，即通过有理数和无理数来定义实数 。
数轴上的点与实数的关系
对应关系
每个实数都可以在数轴上找到一 个唯一的点与之对应，反之亦然 。
顺序关系
实数在数轴上按照大小关系排列 ，从小到大或从大到小。
数轴上的连续性和稠密性
连续性
实数轴上的点是连续不断的，没有间 断或空隙。
稠密性
在任意两个不同的实数之间，总可以 找到一个新的实数。
《实数》ppt课件
指数运算法则可以用于简化复杂的数 学表达式。
03
CATALOGUE
实数的分类
有理数和无理数
有理数
可以表示为两个整数之比的数， 包括整数、有限小数和无限循环 小数。
无理数
无法表示为两个整数之比的数， 常见于无限不循环小数，如π和 √2。
正数、负数和零
01
02
03
正数
大于零的实数，包括正整 数、正小数和正无理数。
其结果仍为实数。
详细描述
实数的加法运算与整数、有理 数类似，遵循交换律和结合律 ，即a+b=b+a， (a+b)+c=a+(b+c)。
总结词
正数与负数相加，结果的符号 取决于绝对值较大的数。
详细描述
如果a>0，b<0，则a+b=a-(b)；如果a<0，b>0，则 a+b=b-(-a)。
减法运算
总结词
《实数》PPT课件
目 录
• 实数的基本概念 • 实数的运算 • 实数的分类 • 实数在生活实数的基本概念
实数的定义
实数的定义
实数是包括有理数和无理数在内的所有数的集合，即实数集。实数集可以用实数轴来表 示，实数轴上的每一个点都对应一个实数，每一个实数都可以在实数轴上找到一个点来
乘法运算
总结词
乘法运算在实数范围内具有封闭性， 即任何两个实数相乘，其结果仍为实 数。
详细描述
实数的乘法运算遵循交换律和结合律 ，即ab=ba，(ab)c=a(bc)。
总结词
正数与负数相乘得负数，负数与负数 相乘得正数。
详细描述
正数乘以正数得正数，如2*3=6；正 数乘以负数得负数，如2*(-3)=-6； 负数乘以负数得正数，如(-2)*(3)=6。
实数的有关概念PPT课件
８．一个近似数的有效数字，是指从这个数的左边第一个非零数字起，到 右边最后一位数字止的所有数字．
９．科学记数法是把一个大于10或小于l的正数记成 a 10n 的形式，其
中１≤a＜10 ( n是正整数)，这种记数的方法叫科学记数法．
10．实数的分类
整数
有理数
实数
分数
(有限小数或无限循环小数 )
无理数 (无限不循环小数)
各实数的绝对值之间的大小关系，进而判定带绝对值符号的代数式的值是
正、是负还是零，然后再根据绝对值的意义，去掉绝对值符号．
例3 2005年l0月12日，我国“神舟六号”载人航天一举成功升天，历时5 天共飞行3250000km，这个飞行距离用科学计数法表示正确的是( )．
(A)3.25104 km;(B)3.25105 km;(C)3.25106 km;(D)3.25107 km.
(3)下列说法中j正确的是( )． (A)一个数的相反数—定是负数 (B)—个数的绝对值一定是正数 (Ｃ)一个数的绝对值一定不是负数 (D)一个数的绝对值的相反数一定是负数
(4)下列命题中错误的是( )． (Ａ）每一个整数都对应着数轴上的一个点 (Ｂ）每一个无理数都对应着数轴上的一个点 (Ｃ)数轴上每个点都对应着一个实数 (Ｄ）有理数和数轴上的点一．一对应 (5)一个实数的偶数幂是正数，这个实数是( )． (A)正实数 (Ｂ)任何实数 (Ｃ)负实数 (D)正实数或负实数
是
，属于负实数集合的是
，属于整实数集
合的是
，属于分数集合的是
，属于有理数集
合的是
，属于无理数集合的是
·
(2)若m、n互为相反数．则 m+n＝ ；若m、n互为倒数，则 mn= 。
12.5 用数轴上的点表示实数
第十二章 实数第三节 实数的运算§12.5 用数轴上的点表示实数教学目标理解每一个实数都可以用数轴上一个点来表示，知道数轴上的每一个点也都可以用唯一的一个实数来表示，能将一个实数用数轴上大致位置的点表示出来。
知道两数各自对应的点在数轴上的位置与这两个数大小之间的关系；知道数的范围扩充后，有理数范围内已有的绝对值、相反数等有关概念，在实数范围内依然成立，会求实数的绝对值、相反数，会对实数的大小进行比较；会根据数轴上两点所对应的实数求这两点间的距离。
知识精要1.实数与数轴的关系：数轴：规定了原点、正方向和单位长度的直线叫做数轴。
实数与数轴上的点是一一对应的，就是说所有的实数都可以用数轴上的点来表示；反之，数轴上的每一个点都表示一个实数.数轴上的任一点表示的数，不是有理数，就是无理数.2.绝对值与相反数：一个在实数在数轴上对应的点到原点的距离叫做这个数的绝对值。
实数a 的绝对值记作a .一个正数的绝对值是它本身，一个负数的绝对值是它的相反数，0的绝对值是0.实数a 的绝对值可表示为⎩⎨⎧<-≥=时。
当时；当0,0,a a a a a 就是说实数a 的绝对值是一个非负数，即0≥a ，并且有若a x =(0≥a )，则a x ±=.绝对值相等、符号相反的两个数叫做互为相反数；零的相反数是零。
非零实数a 的相反数是a -. 在数轴上，表示相反数的两个点在原点的两旁，并且到原点的距离相等。
具体地，若a 与b 互为相反数，则0=+b a ；反之，若0=+b a ，则a 与b 互为相反数.有理数范围内已有的绝对值、相反数等概念，在实数范围内有同样的意义。
3.实数大小比较：负数小于零；零小于正数.两个正数，绝对值大的数较大；两个负数，绝对值大的数较小.从数轴上，右边的点所表示的数总比左边的点所表示的数大.4.数轴上两点距离公式：在数轴上，如果点A 、点B 所对应的数分别为b a 、，那么A 、B 两点的距离为b a -.经典题型精讲(一)数轴上的点与实数例1.如图，数轴上表示21、对应的点分别为B A ,，点B 关于点A 的对称点为C ，则点C 表示的数是( )A .12-B .21-C .22-D .22-举一反三：在数轴上分别标出35-、5所对应的点的大致位置。
实数课件PPT
在工程学中的应用
测量和计算
01
在工程学中，实数被广泛应用于测量和计算，如长度、面积、
体积、角度等。
电路分析
02
在电路分析中，电压、电流、电阻等都是实数，通过实数的运
算可以分析电路的工作状态和性能。
建筑设计
03
在建筑设计中，实数被用于描述建筑物的尺寸、比例和位置等
。
在经济学中的应用
1 2
成本和收益计算
实数的表示方法可以根据需要进行转换，但不同的表示方 法可能会影响我们对实数的理解和应用。因此，在数学学 习和研究中，我们需要掌握各种实数的表示方法，以便更 好地理解和应用实数。
实数的性质
实数的性质包括有序性、连续性和完备性等。有序性是指实数可以按照大小关系 进行排列，连续性是指实数在数轴上没有间隙，完备性则是指实数具有完备的代 数性质和几何性质。
04
CATALOGUE
实数与数轴
数轴的定义
数轴
一条直线，每一个点对应 一个实数，每一个实数对 应数轴上的一个点。
定义方式
在数轴上，原点表示0，正 方向表示正数，负方向表 示负数。
单位长度
数轴上相邻两个点之间的 距离都相等，这个距离称 为单位长度。
数轴上的表示方法
整数
在数轴上，每一个整数都可以找 到一个唯一的点与之对应。
实数在实际生活中的应用
在物理学中的应用
描述物体运动轨迹
在物理学中，实数被广泛应用于描述物体的运动轨迹，如速度、 加速度和位移等。
计算物理量
物理量如力、能量、动量等都可以用实数表示，通过实数的运算可 以得出物理规律和公式。
电磁波的频率和振幅
在电磁波的描述中，频率和振幅都是实数，它们决定了电磁波的性 质和传播特性。
【沪科版教材适用】七年级数学下册《6.2.2 实数的性质及其运算》课件
则 a ＋ b＝ 0；
绝对值大的数较大；两个负数，绝对值大的数反而小．
知2－讲
π—3. 14的相反数； 例2 (1)分别写出 6，
乘法交换律：ab＝ba； 乘法结合律：(ab)c＝a(bc)； 乘法分配律：(a＋b)c＝ac＋bc. 要点精析：
(1)在实数范围内做开方运算时，要注意正实数和零既
能开平方，也能开立方，负实数不能开平方．
知4－讲
(2)在进行实数运算时，还要把握以下几方面：
①运算种类：
运算级别 运算名称 第一级 加 减 第二级 乘 除 第三级 乘方 开方
4．实数的大小比较
正数大于零，负数小于零，正数大于负数；两个正数， 绝对值大的数较大；两个负数，绝对值大的数反而小．
在实数运算中,如果遇到无理 数，并且需求出结果的近似 值时.可以按照所要求的精确 度用近似的有限小数 代替无 理数，再进行计算.
知4－讲
1.在实数范围内，进行加、减、乘、除、乘方和开 方运算时，有理数的运算法则和运算律仍然适用； 实数混合运算的运算顺序与有理数的混合运算顺 序一样，先算乘方、开方，再算乘除，最后算加
2与 2 互为相反数，有
2＋ 2 ＝0.
1 1 2与 互为倒数，有 2 ＝1. 2 2 任一个实数a的绝对值仍然用|a|表示，如
3 ＝ 3， 3 ＝ 3.
知2－导
归
值)在实数范围内依然适用．
纳
1.在有理数范围内的一些基本概念(如相反数、倒数、绝对 (1)相反数：实数a的相反数为－a，若a，b互为相反数，
第一章 实数集与函数PPT
k 1
令 n 10 p k 1 , 则 nb 10k 1 a.
1 例1 若 b 0, 则 n N + , 使得 b. n 即 证 令a 1, 由阿基米德性, n N+ , 使 nb 1，
其充要条件为 : M 0, 使 x S , 有 | x | M .
(1) 若 S 不是有上界的数集, 则称 S 无上界, 即 M R, x0 S , 使得 x0 M . (2) 若 S 不是有下界的数集, 则称 S 无下界, 即 L R, x0 S , 使得 x0 L. (3) 若 S 不是有界的数集, 则称 S 无界集, 即 M 0, x0 S , 应关系反映了实数的
完备性. 我们将在后面有关章节中作进一步讨论.
七、实数的绝对值与三角形不等式
1. 实数 a 的绝对值 | a | 定义为:
a, a 0 |a| . a , a 0
2. 实数的绝对值性质:
( 1 ) | a | | a | 0; 当且仅当a 0 时 | a | 0.
a0 .a1a2 an b0 .b1b2 bn , 而an1 bn1 . x , y R , 规定 x y x y .
x R + , y R , 规定 y 0 x .
实数的大小关系有以下性质:
(1) x y , x y , x y .
第一章 实数集与函数
主要内容
§1 实数 §2 数集· 确界原理 §3 函数的概念 §4 具有某些特性的函数
§1 实数
数学分析研究的是实 数集上定义 的函数, 因此我们首先要掌握实数的 基本概念与性质.
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实数
6.3
实数
第2课时
实数与数轴的关系
及实数的运算
1
课堂讲解
实数与数轴上的点的关系 实数的大小比较
2
课时流程
逐点 导讲练
实数的运算
课堂 小结
作业 提升
如图所示，数轴上的红点对应的数是什么？ 你会做吗？
ห้องสมุดไป่ตู้
知1－导
知识点
探究
1
实数与数轴上点的关系
如图，直径为1个单位长度的圆从原点沿数轴向右滚动
3
2 1.732 1.414 2.45.
知3－讲
总 结
实数的运算顺序同有理数的运算顺序．实数运算 中，无理数可选取近似值转化为有理数计算，中间结 果所取的近似值要比结果要求的多一位小数．
知3－练
1 计算：
3 1 7 1 (1) 3 0.125 3 (1 )2 ; 16 8 2 1 2 3 2 (2) 2 ( ) 64 2 ; 2 1 (3) 3 64 16 (4 3 125). 4
那么，数轴上的每一个点都表示一个有理数吗？ 答案是否定的.
知1－讲
如图，通过画图中正方形ABCD的边长，就能准 确地把 2 和 2 表示在数轴上.
在实数范围内，每一个实数都可以用数轴上的点 来表示；反过来，数轴上的每一个点都表示一个实数. 我们说实数和数轴上的点一一对应.
知1－讲
归 纳
在实数范围内，每一个实数都可以用数轴上的点 来表示；反过来，数轴上的每一个点都表示一个实数. 我们说实数和数轴上的点一一对应.
平方．
知3－讲
总 结
实数之间不仅可以进行加、减、乘、除(除数不
为0)、乘方运算，而且正数及0可以进行开平方运算，
任意一个实数可以进行开立方运算. 在进行实数的运 算时，有理数的运算法则及运算性质等同样适用.
知3－讲
例3 计算下列各式的值： (1) ( 3 2) 2 ； 解：(1) ( 3 2) 2 (2) 3 3 2 3 .
知3－讲
知识点
3 实数的运算
1. 在实数范围内，进行加、减、乘、除、乘方和开方运算 时，有理数的运算法则和运算律仍然适用；实数混合运 算的运算顺序与有理数的混合运算顺序一样，即先算乘 方、开方，再算乘除，最后算加减，同级运算按照自左 向右的顺序进行，有括号先算括号里面的． 2. 有理数的运算律在实数范围内仍然适用，在进行实数运 算的过程中，要做到：一“看” ——看算式的结构特点， 能否运用运算律或公式；二“用”——运用运算律或公 式；三“查”——检查过程和结果是否正确．
知1－练
1 (资阳)如图，已知数轴上的点A、B、C、D分别表
示数－2、1、2、3，则表示3－ 5 的点P应落在线
段( ) B．OB上 D．CD上
A．AO上 C．BC上
知1－练
2 和数轴上的点一一对应的数是( A．整数
)
B．有理数
C．无理数
则下列判断错误的是( A．a<0 C．a<b
D．实数
) B．ab<0 D．a，b互为倒数
金华)若实数a，b在数轴上的位置如图所示， 3 (2016·
知2－讲
知识点
2 实数的大小比较
利用数轴，我们可以比较两个有理数的大小. 因 为在数轴上表示的数，右边的数总比左边的数大. 因 为在数轴上3在2的右边，所以3>2，-2在-3的右边，所 > -3；因为在数轴上 3 在 2 的右边，所以 以-2___ > 3____ > - 3， 2 ，- 2 在- 3的右边，所以- 2 ____ > - 3 ，- 5 ____ > - 7. 同理：0____ 结论：在实数范围内，在数轴上表示的数，右边的数 总比左边的数大．
3 ( 2 2)
3 0 3;
(2) 3 3 2 3
(加法结合律)
(3 2) 3
5 3.
(分配律)
知3－讲
总 结
计算结果如果包含开方开不尽的数，要保留根号.
知3－讲
例4 计算(结果保留小数点后两位)： (1)
5 π；
(2)
3
2.
解：(1) 5 π 2.236+3.142 5.38; (2)
1的大小关系正确的是(
A．－a＜a＜1 B．a＜－a＜1 C．1＜－a＜a D．a＜1＜－a
)
知2－练
2 (2016· 江西)下列四个数中，最大的一个数是( A．2 C．0 B.
)
3
D．－2
泰安)如图，四个实数m，n，p，q在数轴上对 3 (2016·
应的点分别为M，N，P，Q，若n＋q＝0，则m，n， p，q四个实数中，绝对值最大的一个是( A．p C．m B．q D．n )
一周， 圆上的一点由原点到达点O ′，点O ′对应的数是
多少？
知1－导
归 纳
从图中可以看出， OO ′的长是这个圆的周长π， 所以点O ′对应的数是π. 这样，无理数π可以用数轴上 的点表示出来.
知1－讲
我们已经知道，每一个有理数都可以用数轴上的 1 点表示出来．例如，可把-2，-0.5， 和2表示在数轴 4 上(如图).
示．
由图可知，各数用“＜”可以连接成：－2 2 1 ＜－ ＜0＜ 3 ＜2.5. 2
知2－讲
总 结
根据“实数与数轴上的点是一一对应的”，并且
“在数轴上右边的点表示的数总比左边的点表示的数 大”，我们可以利用数形结合思想比较实数的大小．
知2－练
1 实数a在数轴上对应的点的位置如图所示，则a，－a，
知3－讲
3. 实数的运算律 加法交换律：a＋b＝b＋a；
加法结合律：(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)；
乘法交换律：ab＝ba； 乘法结合律：(ab)c＝a(bc)； 乘法分配律：(a＋b)c＝ac＋bc. 4. 要点精析：在实数范围内做开方运算时，要注意正
实数和零既能开平方，也能开立方；负实数不能开
知2－讲
1 例2 用“＜”连接下列各数：－ ， 3 ，－2 2 ， 2 2.5，0.
导引：比较一组实数的大小和比较一组有理数的大小 一样，可先求出这些数的近似数，再将这些数
在数轴上表示出来，然后根据“在数轴上右边 的点表示的数总比左边的点表示的数大”求解.
知2－讲
解：将各数的大致位置在数轴上表示出来，如图所
知1－讲
例1 点A在数轴上表示的数为3 5 ，点B在数轴上表示的
3 55 ． 数为－5，则A，B两点之间的距离为________
导引：根据数轴上两点间的距离等于右边的点表示的数
减去左边的点表示的数，列式计算即可得解．
知1－讲
总 结
数轴上两点间的距离的求法：数轴上两点间的
距离等于这两点表示的数之差的绝对值．