2021届高三高考数学理科一轮复习知识点专题5-2 平面向量的基本定理及坐标表示【含答案】

合集下载

2021-2022年高考数学一轮复习专题5.2平面向量基本定理及坐标表示讲

2021年高考数学一轮复习专题5.2平面向量基本定理及坐标表示讲【考纲解读】【知识清单】1．平面向量基本定理及其应用平面向量基本定理如果是一平面内的两个不共线向量，那么对于这个平面内任意向量，有且只有一对实数，使.其中，不共线的向量叫做表示这一平面内所有向量的一组基底．对点练习：向量a，b，c在正方形网格中的位置如图所示，若c＝λa＋μb(λ，μ∈R)，则＝________．【答案】2．平面向量的坐标运算1. 平面向量的正交分解把一个向量分解为两个互相垂直的向量，叫做把向量正交分解．2．平面向量的坐标表示(1)在平面直角坐标系中，分别取与x轴、y轴方向相同的两个单位向量作为基底，对于平面内的一个向量，由平面向量基本定理知，有且只有一对实数x、y，使得，这样，平面内的任一向量都可由x、y唯一确定，因此把叫做向量的坐标，记作，其中x叫做在x轴上的坐标，y叫做在y轴上的坐标．(2)若，则．3．平面向量的坐标运算(1)若，则；(2)若，则．(3)设，则，221221|()A x x yB y＝－(－|).对点练习：【xx湖南郴州一测】中，，，则（）A． B． C. D．【答案】D【解析】试题分析：,故选D.3．平面向量共线的坐标表示向量共线的充要条件的坐标表示若，则⇔.对点练习：【xx 广西名校摸底】已知函数的图象是由函数的图象按向量平移而得到的，又，则（）A ．B ．C ．D ．【答案】A【考点深度剖析】平面向量基本定理及坐标表示，往往以选择题或填空题的形式出现.常常以平面图形为载体，借助于向量的坐标形式等考查共线、垂直等问题；也易同三角函数、解析几何等知识相结合，以工具的形式出现．【重点难点突破】考点1 平面向量基本定理及其应用【xx·杭州测试】如图，以向量OA →＝a ，OB →＝b 为邻边作▱OADB ，BM →＝13BC →，CN →＝13CD →，用a ，b表示OM →，ON →，MN →.【答案】OM →＝16a ＋56b ，ON →＝23a ＋23b ，MN →＝12a －16b.【解析】∵BA →＝OA →－OB →＝a －b ，BM →＝16BA →＝16a －16b ，∴OM →＝OB →＋BM →＝16a ＋56b.【领悟技法】1.用平面向量基本定理解决问题的一般思路是：先选择一组基底，再用该基底表示向量，其实质就是利用平行四边形法则或三角形法则进行向量的加减运算和数乘运算．2.特别注意基底的不唯一性：只要两个向量不共线，就可以作为平面的一组基底，对基底的选取不唯一，平面内任意向量都可被这个平面的一组基底线性表示，且在基底确定后，这样的表示是唯一的．【触类旁通】【变式一】如图，已知＝，用，表示，则等于( )A.－B.＋C.－＋D.－－【答案】C【解析】＝＋＝＋＝＋ (－)＝－＋，选C. 考点2 平面向量的坐标运算【2-1】已知向量()()()1,3,1,2,2,4AB BC AD =-=--=，则（） A ． B ． C ． D ．【答案】D【2-2】已知向量，且，则等于（）A ．1B ．3C ．4D ．5 【答案】D 【解析】因,,故,所以,故,故应选D. 【领悟技法】注意向量坐标与点的坐标的区别：要区分点的坐标与向量坐标的不同，尽管在形式上它们完全一样，但意义完全不同，向量坐标中既有方向的信息也有大小的信息．【触类旁通】【变式一】已知向量，，则（）A. B. C. D. 【答案】A【解析】因为，所以=，故选A.【变式二】【xx 河北武邑三调】在矩形中，()()1,3,,2AB AC k =-=-，则实数（） A ． B ． C. D ．【答案】D【解析】(1,1)1304CB AB AC k AB CB k k =-=--⇒•=-+=⇒=，故选D. 考点3 平面向量共线的坐标表示【3-1】向量且，则（）A ．B ．C ．D ．【答案】A【3-2】设向量=，=，则“”是“//”的( ).A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件【答案】A【解析】当时，，，此时；当时，，解得.所以“”是“”的充分而不必要条件. 【领悟技法】1.向量共线的充要条件有两种：（1）⇔. （2）若，则⇔.当涉及到向量或点的坐标问题时，应用（2）解题较为方便. 2.两向量相等的充要条件，它们的对应坐标相等. 【触类旁通】【变式一】已知向量()()2,3,cos ,sin a b θθ==，且，则（） A ． B ． C ． D ．【答案】A 【解析】由，可知，解得，故选A.【变式二】已知向量=（2，2），=（cosα，﹣sinα），则向量的模的最小值是（） A ．3 B ．3 C ． D ．2 【答案】C 【解析】考点4 平面向量共线的应用【4-1】设，，，，为坐标原点，若、、三点共线，则的最小值是（） A ．2 B ．4 C ．6 D ．8 【答案】D 【解析】，，若、、三点共线，，由向量共线定理得，，故()12124244248b a a b a b a b a b⎛⎫+=++=++≥+= ⎪⎝⎭．【4-2】如图，在△中, ,是上的一点,若,则实数的值为( )A ．B ．C ．D ．【答案】C【课本回眸】向量共线的充要条件有两种：（1）⇔. （2）若，则⇔. 【领悟技法】当涉及到向量或点的坐标问题时，应用向量共线的充要条件（2）解题较为方便. 【触类旁通】【变式一】设两个向量()222,cos ,,sin 2μλλθμθ⎛⎫=+-=+ ⎪⎝⎭a b ，其中．若，则的最小值为______．【答案】【解析】值为值为.【变式二】【xx 山西大学附中二模】在直角梯形,,DC//AB,AD DC 1,AB 2,E,F ABCD AB AD ⊥===分别为的中点，点在以为圆心，为半径的圆弧上变动（如图所示）．若，其中，则的取值范围是___________．【答案】2sin cos 2sin 4πλμθθθ⎛⎫-=-=- ⎪⎝⎭，，.【易错试题常警惕】易错典例：如图，在正方形ABCD 中，E 为AB 的中点，P 为以A 为圆心，AB 为半径的圆弧上的任意一点，设向量的最小值为则μλμλ++=,AP DE AC ．易错分析：不能结合图形特征，灵活建立直角坐标系，将向量用坐标表示，将问题转化成三角问题求解．正确解析：以为原点，以所在直线为轴，建立平面直角坐标系. 设正方形的边长为，则1E 0C 11D 01A 002（，），（，），（，），（，）．设 P cos sin (1,1)AC θθ∴=（，），.又向量由题意得 00cos 10sin 12πθθθ≤≤∴≤≤≤≤，，，∴当时，同时，时，取最小值为.温馨提醒：涉及几何图形问题，要注意分析图形特征，利用已有的垂直关系，建立平面直角坐标系，将向量用坐标表示，利用向量共线的充要条件，应用函数方程思想解题.【学科素养提升之思想方法篇】数形结合百般好，隔裂分家万事休——数形结合思想我国著名数学家华罗庚曾说过:"数形结合百般好，隔裂分家万事休。

2021届新课标数学一轮复习讲义_第四章_第2讲_平面向量基本定理及坐标表示

第2讲平面向量基本定理及坐标表示1．平面向量基本定理如果e 1、e 2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量a ，有且只有一对实数λ1，λ2，使a ＝λ1e 1＋λ2e 2．其中，不共线的向量e 1、e 2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底． 2．平面向量的坐标运算(1)向量加法、减法、数乘向量及向量的模：设a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则a ＋b ＝(x 1＋x 2，y 1＋y 2)，a －b ＝(x 1－x 2，y 1－y 2)，λa ＝(λx 1，λy 1)，|a |＝x 21＋y 21．(2)向量坐标的求法：①若向量的起点是坐标原点，则终点坐标即为向量的坐标．②设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则AB →＝(x 2－x 1，y 2－y 1)， |AB →|＝（x 2－x 1）2＋（y 2－y 1）2． 3．平面向量共线的坐标表示设a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，其中b ≠0，a ∥b ⇔x 1y 2－x 2y 1＝0． [做一做]1．若向量BA →＝(2，3)，CA →＝(4，7)，则BC →＝( )A ．(－2，－4)B ．(2，4)C ．(6，10)D ．(－6，－10) 答案：A2．已知a ＝(5，－2)，b ＝(－4，－3)，若a －2b ＋3c ＝0，则c 等于( ) A.⎝⎛⎭⎫1，83 B.⎝⎛⎭⎫－133，83 C.⎝⎛⎭⎫133，43 D.⎝⎛⎭⎫－133，－43 答案：D1．辨明三个易误点(1)注意能作为基底的两个向量必须是不共线的．(2)注意运用两个向量a ，b 共线坐标表示的充要条件应为x 1y 2－x 2y 1＝0.(3)要区分点的坐标与向量坐标的不同，尽管在形式上它们完全一样，但意义完全不同，向量坐标中既有方向也有大小的信息．2．有关平面向量的两类本质平面向量基本定理的本质是运用向量加法的平行四边形法则，将向量进行分解．向量的坐标表示的本质是向量的代数表示，其中坐标运算法则是运算的关键．[做一做]3．已知e 1，e 2是不共线的非零向量，则以下向量可以作为基底的是( ) A ．a ＝0，b ＝e 1＋e 2 B ．a ＝3e 1＋3e 2，b ＝e 1＋e 2 C ．a ＝e 1－2e 2，b ＝e 1＋e 2 D ．a ＝e 1－2e 2，b ＝2e 1－4e 2 答案：C4．已知向量a ＝(1，m )，b ＝(m ，2)，若a ∥b ，则实数m 等于( ) A ．－ 2 B.2 C ．－2或 2 D ．0 答案：C考点一__平面向量基本定理及其应用__________如图，以向量OA →＝a ，OB →＝b 为邻边作▱OADB ，BM →＝13BC →，CN →＝13CD →，用a ，b 表示OM →，ON →，MN →.[解] ∵BA →＝OA →－OB →＝a －b ，BM →＝16BA →＝16a －16b ，∴OM →＝OB →＋BM →＝16a ＋56b .∵OD →＝a ＋b ，∴ON →＝OC →＋13CD →＝12OD →＋16OD →＝23OD →＝23a ＋23b ，∴MN →＝ON →－OM →＝23a ＋23b －16a －56b ＝12a －16b .综上，OM →＝16a ＋56b ，ON →＝23a ＋23b ，MN →＝12a －16b .[规律方法] 用平面向量基本定理解决问题的一般思路(1)先选择一组基底，并运用该基底将条件和结论表示成向量的形式，再通过向量的运算来解决． (2)在基底未给出的情况下，合理地选取基底会给解题带来方便．另外，要熟练运用平面几何的一些性质定理．1.设e 1、e 2是平面内一组基向量，且a ＝e 1＋2e 2，b ＝－e 1＋e 2，则向量e 1＋e 2可以表示为另一组基向量a 、b 的线性组合，即e 1＋e 2＝________a ＋________b .解析：由题意，设e 1＋e 2＝m a ＋n b .因为a ＝e 1＋2e 2，b ＝－e 1＋e 2，所以e 1＋e 2＝m (e 1＋2e 2)＋n (－e 1＋e 2)＝(m －n )e 1＋(2m ＋n )e 2.由平面向量基本定理，得⎩⎪⎨⎪⎧m －n ＝1，2m ＋n ＝1，所以⎩⎨⎧m ＝23，n ＝－13.答案：23 －13已知A (－2，4)，B (3，－1)，C (－3，－4)．设AB →＝a ，BC →＝b ，CA →＝c ，且CM →＝3c ，CN →＝－2b .(1)求3a ＋b －3c ；(2)求满足a ＝m b ＋n c 的实数m ，n ； (3)求M 、N 的坐标及向量MN →的坐标．[解] 由已知得a ＝(5，－5)，b ＝(－6，－3)，c ＝(1，8)．(1)3a ＋b －3c ＝3(5，－5)＋(－6，－3)－3(1，8)＝(15－6－3，－15－3－24)＝(6，－42)． (2)∵m b ＋n c ＝(－6m ＋n ，－3m ＋8n )，∴⎩⎪⎨⎪⎧－6m ＋n ＝5，－3m ＋8n ＝－5，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝－1，n ＝－1.(3)设O 为坐标原点，∵CM →＝OM →－OC →＝3c ，∴OM →＝3c ＋OC →＝(3，24)＋(－3，－4)＝(0，20)． ∴M (0，20)．又∵CN →＝ON →－OC →＝－2b ，∴ON →＝－2b ＋OC →＝(12，6)＋(－3，－4)＝(9，2)， ∴N (9，2)．∴MN →＝(9，－18)． [规律方法] 平面向量坐标运算的技巧(1)向量的坐标运算主要是利用向量加、减、数乘运算的法则来进行求解的，若已知有向线段两端点的坐标，则应先求向量的坐标．(2)解题过程中，常利用向量相等则其坐标相同这一原则，通过列方程(组)来进行求解，并注意方程思想的应用．2.已知O 为坐标原点，点C 是线段AB 上一点，且A (1，1)，C (2，3)，|BC →|＝2|AC →|，则向量OB →的坐标是________．解析：由点C 是线段AB 上一点，|BC →|＝2|AC →|，得BC →＝－2AC →.设点B 为(x ，y )，则(2－x ，3－y )＝－2(1，2)，即⎩⎪⎨⎪⎧2－x ＝－2，3－y ＝－4，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4，y ＝7.所以向量OB →的坐标是(4，7)．答案：(4，7)平面向量共线的坐标表示是高考的常考内容，多以选择题或填空题的形式出现，难度较小，属容易题．高考对平面向量共线的坐标表示的考查主要有以下三个命题角度： (1)利用两向量共线求参数；(2)利用两向量共线的条件求向量坐标； (3)三点共线问题．(1)已知向量a ＝⎝⎛⎭⎫8，12x ，b ＝(x ，1)，其中x >0，若(a －2b )∥(2a ＋b )，则x 的值为( ) A ．4 B ．8 C ．0D ．2(2)已知点A (4，0)，B (4，4)，C (2，6)，则AC 与OB 的交点P 的坐标为________． [解析] (1)a －2b ＝⎝⎛⎭⎫8－2x ，12x －2，2a ＋b ＝(16＋x ，x ＋1)，由已知(a －2b )∥(2a ＋b )，显然2a ＋b ≠0，故有⎝⎛⎭⎫8－2x ，12x －2＝λ(16＋x ，x ＋1)，λ∈R ， ∴⎩⎪⎨⎪⎧8－2x ＝λ（16＋x ）12x －2＝λ（x ＋1）⇒x ＝4(x >0)．(2)法一：由O ，P ，B 三点共线，可设OP →＝λOB →＝(4λ，4λ)，则AP →＝OP →－OA →＝(4λ－4，4λ)．又AC →＝OC →－OA →＝(－2，6)，由AP →与AC →共线，得(4λ－4)×6－4λ×(－2)＝0，解得λ＝34，所以OP →＝34OB →＝(3，3)，所以P 点的坐标为(3，3)．法二：设点P (x ，y )，则OP →＝(x ，y )，因为OB →＝(4，4)，且OP →与OB →共线，所以x 4＝y 4，即x ＝y .又AP →＝(x －4，y )，AC →＝(－2，6)，且AP →与AC →共线，所以(x －4)×6－y ×(－2)＝0，解得x ＝y ＝3，所以P 点的坐标为(3，3)． [答案] (1)A (2)(3，3)[规律方法] (1)向量共线的两种表示形式设a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，①a ∥b ⇒a ＝λb (b ≠0)；②a ∥b ⇔x 1y 2－x 2y 1＝0，至于使用哪种形式，应视题目的具体条件而定，一般情况涉及坐标的应用②.(2)两向量共线的充要条件的作用判断两向量是否共线(平行)，可解决三点共线的问题；另外，利用两向量共线的充要条件可以列出方程(组)，求出未知数的值．3.(1)已知向量OA →＝(1，－3)，OB →＝(2，－1)，OC →＝(k ＋1，k －2)，若A 、B 、C 三点不能构成三角形，则实数k 应满足的条件是( )A ．k ＝－2B ．k ＝12C ．k ＝1D ．k ＝－1(2)设向量a ，b 满足|a |＝25，b ＝(2，1)，且a 与b 的方向相反，则a 的坐标为________． (3)设0＜θ＜π2，向量a ＝(sin 2θ，cos θ)，b ＝(cos θ，1)，若a ∥b ，则tan θ＝________．解析：(1)若点A 、B 、C 不能构成三角形，则向量AB →，AC →共线，∵AB →＝OB →－OA →＝(2，－1)－(1，－3)＝(1，2)，AC →＝OC →－OA →＝(k ＋1，k －2)－(1，－3)＝(k ，k ＋1)，∴1×(k ＋1)－2k ＝0，解得k ＝1.(2)∵b ＝(2，1)，且a 与b 的方向相反， ∴设a ＝(2λ，λ)(λ<0)． ∵|a |＝25，∴4λ2＋λ2＝20，λ2＝4，λ＝－2. ∴a ＝(－4，－2)．(3)因为a ∥b ，所以sin 2θ＝cos 2θ，2sin θcos θ＝cos 2θ. 因为0＜θ＜π2，所以cos θ＞0，得2sin θ＝cos θ，tan θ＝12.答案：(1)C (2)(－4，－2) (3)12方法思想——求向量中的范围、最值问题(解析法)给定两个长度为1的平面向量OA →和OB →，它们的夹角为2π3.如图所示，点C 在以O 为圆心的AB︵上运动．若OC →＝xOA →＋yOB →，其中x ，y ∈R ，求x ＋y 的最大值．[解] 以O 为坐标原点，OA →所在的直线为x 轴建立平面直角坐标系，如图所示，则A (1，0)，B ⎝⎛⎭⎫－12，32.设∠AOC ＝α⎝⎛⎭⎫α∈⎣⎡⎦⎤0，2π3，则C (cos α，sin α)，由OC →＝xOA →＋yOB →，得⎩⎨⎧cos α＝x －12ysin α＝32y ；所以x ＝cos α＋33sin α，y ＝233sin α，所以x ＋y ＝cos α＋3sin α＝2sin ⎝⎛⎭⎫α＋π6，又α∈⎣⎡⎦⎤0，2π3，所以当α＝π3时，x ＋y 取得最大值2.[名师点评] 本题首先通过建立平面直角坐标系，引入向量的坐标运算，然后用三角函数的知识求出x ＋y 的最大值．引入向量的坐标运算使得本题比较容易解决，体现了坐标法解决问题的优势，凸显出了向量的代数特征，为用代数的方法研究向量问题奠定了基础．已知|a |＝|b |＝2，a ⊥b ，若向量c 满足|c －a －b |＝2，求|c |的取值范围．解：因为a ⊥b ，不妨令a ＝(0，2)，b ＝(2，0)，c ＝(x ，y )，由|c －a －b |＝2，得(x －2)2＋(y －2)2＝4，|c |可看做(x ，y )到原点的距离，而点(x ，y )在以(2，2)为圆心，2为半径的圆上．如图所示，当点(x ，y )在位置P 时到原点的距离最近，在位置P ′时到原点的距离最远，而PO ＝OA －2＝22－2，P ′O ＝OA ＋2＝22＋2，所以22－2≤|c |≤22＋2.1．如图，在平行四边形ABCD 中，E 为DC 边的中点，且AB →＝a ，AD →＝b ，则BE →＝( )A ．b －12aB ．b ＋12aC ．a ＋12bD ．a －12b解析：选A.BE →＝BA →＋AD →＋DE →＝－a ＋b ＋12a ＝b －12a .2. 如图，设O 是平行四边形ABCD 两对角线的交点，给出下列向量组：①AD →与AB →；②DA →与BC →；③CA →与DC →；④OD →与OB →.其中可作为该平面内其他向量的基底的是( )A ．①②B ．①③C ．①④D ．③④解析：选B.AD →与AB →不共线，CA →与DC →不共线，而DA →与BC →共线，OD →与OB →共线，由平面向量基底的概念知①③可作为该平面内其他向量的基底．3．已知向量a ＝(3，1)，b ＝(0，－2)．若实数k 与向量c 满足a ＋2b ＝k c ，则c 可以是( ) A ．(3，－1) B ．(－1，－3) C ．(－3，－1)D ．(－1，3)解析：选D.∵a ＝(3，1)，b ＝(0，－2)，∴a ＋2b ＝(3，－3)＝－3(－1，3)，故向量c 可以是(－1，3)． 4．已知点A (1，3)，B (4，－1)，则与向量AB →同方向的单位向量为( )A.⎝⎛⎭⎫35，－45B.⎝⎛⎭⎫45，－35C.⎝⎛⎭⎫－35，45D.⎝⎛⎭⎫－45，35 解析：选A.AB →＝(4－1，－1－3)＝(3，－4)，则|AB →|＝32＋（－4）2＝5. 与AB →同方向的单位向量为AB →|AB →|＝15(3，－4)＝⎝⎛⎭⎫35，－45. 5. 设向量OA →＝e 1，OB →＝e 2，若e 1与e 2不共线，且点P 在线段AB 上，|AP →|∶|PB →|＝2，则OP →＝( )A.13e 1－23e 2B.23e 1＋13e 2C.13e 1＋23e 2D.23e 1－13e 2 解析：选C.由题意知AP →＝2PB →，∴AB →＝AP →＋PB →＝3PB →， OP →＝OB →＋BP →＝OB →－13AB →＝OB →－13(OB →－OA →)＝13e 1＋23e 2.6．若三点A (1，－5)，B (a ，－2)，C (－2，－1)共线，则实数a 的值为________．解析：AB →＝(a －1，3)，AC →＝(－3，4)，据题意AB →∥AC →，∴4(a －1)＝3×(－3)，即4a ＝－5，∴a ＝－54.答案：－547．在△ABC 中，点P 在BC 上，且BP →＝2PC →，点Q 是AC 的中点，若P A →＝(4，3)，PQ →＝(1，5)，则BC →＝________．解析：AQ →＝PQ →－P A →＝(－3，2)，∴AC →＝2AQ →＝(－6，4)．PC →＝P A →＋AC →＝(－2，7)， ∴BC →＝3PC →＝(－6，21)．答案：(－6，21)8．P ＝{a |a ＝(－1，1)＋m (1，2)，m ∈R }，Q ＝{b |b ＝(1，－2)＋n (2，3)，n ∈R }是两个向量集合，则P ∩Q 等于________．解析：P 中，a ＝(－1＋m ，1＋2m )，Q 中，b ＝(1＋2n ，－2＋3n )．则⎩⎪⎨⎪⎧－1＋m ＝1＋2n ，1＋2m ＝－2＋3n .得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝－12，n ＝－7. 此时a ＝b ＝(－13，－23)．答案：{(－13，－23)}9．已知a ＝(1，0)，b ＝(2，1)．(1)当k 为何值时，k a －b 与a ＋2b 共线？(2)若AB →＝2a ＋3b ，BC →＝a ＋m b 且A 、B 、C 三点共线，求m 的值．解：(1)k a －b ＝k (1，0)－(2，1)＝(k －2，－1)， a ＋2b ＝(1，0)＋2(2，1)＝(5，2)．∵k a －b 与a ＋2b 共线，∴2(k －2)－(－1)×5＝0，即2k －4＋5＝0，得k ＝－12.(2)法一：∵A 、B 、C 三点共线， ∴AB →＝λBC →，即2a ＋3b ＝λ(a ＋m b )，∴⎩⎪⎨⎪⎧2＝λ3＝mλ，解得m ＝32.法二：AB →＝2a ＋3b ＝2(1，0)＋3(2，1)＝(8，3)， BC →＝a ＋m b ＝(1，0)＋m (2，1)＝(2m ＋1，m )．∵A 、B 、C 三点共线，∴AB →∥BC →.∴8m －3(2m ＋1)＝0，即2m －3＝0，∴m ＝32.10. 如图，已知△OCB 中，点C 是以A 为中点的点B 的对称点，D 是将OB →分为2∶1两部分的一个内分点，DC 和OA 交于点E ，设OA →＝a ，OB →＝b .(1)用a 和b 表示向量OC →、DC →； (2)若OE →＝λOA →，求实数λ的值．解：(1)由题意知，A 是BC 的中点，且OD →＝23OB →.由平行四边形法则，得OB →＋OC →＝2OA →.∴OC →＝2OA →－OB →＝2a －b ，DC →＝OC →－OD →＝(2a －b )－23b ＝2a －53b .(2)如题图，EC →∥DC →.又∵EC →＝OC →－OE →＝(2a －b )－λa ＝(2－λ)a －b ，DC →＝2a －53b ，∴2－λ2＝－1－53，∴λ＝45.1．若α，β是一组基底，向量γ＝x α＋y β(x ，y ∈R )，则称(x ，y )为向量γ在基底α，β下的坐标，现已知向量a 在基底p ＝(1，－1)，q ＝(2，1)下的坐标为(－2，2)，则a 在另一组基底m ＝(－1，1)，n ＝(1，2)下的坐标为( )A ．(2，0)B ．(0，－2)C ．(－2，0)D ．(0，2) 解析：选D.∵a 在基底p ，q 下的坐标为(－2，2)，即a ＝－2p ＋2q ＝(2，4)，令a ＝x m ＋y n ＝(－x ＋y ，x ＋2y )，∴⎩⎪⎨⎪⎧－x ＋y ＝2，x ＋2y ＝4，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝2. ∴a 在基底m ，n 下的坐标为(0，2)．2．在平面直角坐标系中，O 为原点，A (－1，0)，B (0，3)，C (3，0)，动点D 满足|CD →|＝1，则|OA →＋OB →＋OD →|的取值范围是( )A ．[4，6]B ．[19－1，19＋1]C ．[23，27]D ．[7－1，7＋1] 解析：选D.设D (x ，y )，则由|CD →|＝1，C (3，0)，得(x －3)2＋y 2＝1.又∵OA →＋OB →＋OD →＝(x －1，y ＋3)，∴|OA →＋OB →＋OD →|＝（x －1）2＋（y ＋3）2.∴|OA →＋OB →＋OD →|的几何意义是点P (1，－3)与圆(x －3)2＋y 2＝1上点之间的距离．由|PC |＝7知，|OA →＋OB →＋OD →|的最大值是1＋7，最小值是7－1.故选D.3．设向量a ＝(a 1，a 2)，b ＝(b 1，b 2)，定义一种向量积a ⊗b ＝(a 1b 1，a 2b 2)，已知向量m ＝(2，12)，n ＝(π3，0)，点P (x ，y )在y ＝sin x 的图象上运动．Q 是函数y ＝f (x )图象上的点，且满足OQ →＝m ⊗OP →＋n (其中O 为坐标原点)，则函数y ＝f (x )的值域是________．解析：令Q (c ，d )，由新的运算可得OQ →＝m ⊗OP →＋n ＝(2x ，12sin x )＋(π3，0)＝(2x ＋π3，12sin x )，∴⎩⎨⎧c ＝2x ＋π3d ＝12sin x，消去x 得d ＝12sin(12c －π6)，∴y ＝f (x )＝12sin(12x －π6)，易知y ＝f (x )的值域是[－12，12]．答案：[－12，12]4. 如图所示，A ，B ，C 是圆O 上的三点，线段CO 的延长线与BA 的延长线交于圆O 外的一点D ，若OC →＝mOA →＋nOB →，则m ＋n 的取值范围是________．解析：由题意得，OC →＝kOD →(k <0)，又|k |＝|OC →||OD →|<1，∴－1<k <0.又∵B ，A ，D 三点共线，∴OD →＝λOA →＋(1－λ)OB →，mOA →＋nOB →＝kλOA →＋k (1－λ)·OB →，∴m ＝kλ，n ＝k (1－λ)， ∴m ＋n ＝k ，从而m ＋n ∈(－1，0)．答案：(－1，0)5．已知点O 为坐标原点，A (0，2)，B (4，6)，OM →＝t 1OA →＋t 2AB →.(1)求点M 在第二或第三象限的充要条件；(2)求证：当t 1＝1时，不论t 2为何实数，A 、B 、M 三点都共线．解：(1)OM →＝t 1OA →＋t 2AB →＝t 1(0，2)＋t 2(4，4)＝(4t 2，2t 1＋4t 2)．当点M 在第二或第三象限时，有⎩⎪⎨⎪⎧4t 2＜0，2t 1＋4t 2≠0，故所求的充要条件为t 2＜0且t 1＋2t 2≠0.(2)证明：当t 1＝1时，由(1)知OM →＝(4t 2，4t 2＋2)．∵AB →＝OB →－OA →＝(4，4)， AM →＝OM →－OA →＝(4t 2，4t 2)＝t 2(4，4)＝t 2AB →， ∴不论t 2为何实数，A 、B 、M 三点都共线．6. 如图，设Ox ，Oy 为平面内相交成60°角的两条数轴，e 1、e 2分别是x 轴、y 轴正方向同向的单位向量，坚其志，苦其心，勤其力，事无大小，必有所成。

高考数学一轮复习第2讲平面向量的基本定理及坐标表示

第2讲平面向量的基本定理及坐标表示1．平面向量的基本定理如果e 1，e 201不共线向量，那么对这一平面内的任一向量a ，有且只有一对实数λ1，λ2使a 02λ1e 1＋λ2e 2.2．平面向量的坐标表示03x 轴、y 轴正方向相同的两个单位向量i ，j 作为基底，对任一向量a ，有唯一一对实数x ，y ，使得a ＝x i ＋y j 04(x ，y )叫做向量a 的直角坐标，记作a ＝(x ，y )，显然i 05(1,0)，j 06(0,1)，0＝07(0,0).3．平面向量的坐标运算 (1)设a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则a ＋b 08(x 1＋x 2，y 1＋y 2)， a －b 09(x 1－x 2，y 1－y 2)， λa 10(λx 1，λy 1). (2)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则AB →11(x 2－x 1，y 2－y 1)， |AB→|12 错误!. 4．平面向量共线的坐标表示设a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，其中b ≠0，则a ∥b ⇔a ＝λb (λ∈R )⇔13x 1y 2－x 2y 1＝0.1．平面向量一组基底是两个不共线向量，平面向量基底可以有无穷多组． 2．当且仅当x 2y 2≠0时，a ∥b 与x1x2＝y1y2等价，即两个不平行于坐标轴的共线向量的对应坐标成比例．3．若a 与b 不共线，且λa ＋μb ＝0，则λ＝μ＝0.4．已知P 为线段AB 的中点，若A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则P 点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫x1＋x22，y1＋y22. 5．已知△ABC 的顶点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，C (x 3，y 3)，则△ABC 的重心G 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫x1＋x2＋x33，y1＋y2＋y33. 6．A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，C (x 3，y 3)三点共线的充要条件为(x 2－x 1)(y 3－y 1)－(x 3－x 1)(y 2－y 1)＝0，或(x 2－x 1)(y 3－y 2)＝(x 3－x 2)(y 2－y 1)，或(x 3－x 1)(y 3－y 2)＝(x 3－x 2)(y 3－y 1)．1．已知向量a ＝(2,4)，b ＝(－1,1)，则2a ＋b 等于( ) A ．(5,7) B ．(5,9) C ．(3,7) D ．(3,9)答案 D解析 2a ＋b ＝2(2,4)＋(－1,1)＝(3,9)，故选D.2．设向量a ＝(x,1)，b ＝(4，x )，若a ，b 方向相反，则实数x 的值是( ) A ．0 B ．±2 C ．2D ．－2答案 D解析由题意可得a ∥b ，所以x 2＝4，解得x ＝－2或2，又因为a ，b 方向相反，所以x ＝－2.故选D.3．下列各组向量中，可以作为基底的是( ) A ．e 1＝(0,0)，e 2＝(1，－2) B ．e 1＝(－1,2)，e 2＝(5,7) C ．e 1＝(3,5)，e 2＝(6,10) D ．e 1＝(2，－3)，e 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫12，－34答案 B解析两个不共线的非零向量构成一个基底，A 中向量e 1为零向量，C ，D 中两向量共线，B 中e 1≠0，e 2≠0，且e 1与e 2不共线．故选B.4．设向量a ＝(－1,2)，向量b 是与a 方向相同的单位向量，则b ＝( ) A ．(1，－2) B ．⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－55，255 C.⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－15，25 D ．⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫55，－255 答案 B解析因为向量b 是与a 方向相同的单位向量，所以b ＝a|a|＝错误!(－1,2)＝错误!(－1,2)＝⎝⎛⎭⎪⎪⎫－55，255.故选B. 5．已知▱ABCD 的顶点A (－1，－2)，B (3，－1)，C (5,6)，则顶点D 的坐标为________.答案 (1,5)解析设D (x ，y )，则由AB →＝DC →，得(4,1)＝(5－x,6－y )，即⎩⎪⎨⎪⎧4＝5－x ，1＝6－y ，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝5.6．已知向量a ＝(2,3)，b ＝(－1,2)，若m a ＋n b 与a －2b 共线，则mn ＝________.答案－12解析由向量a ＝(2,3)，b ＝(－1,2)，得m a ＋n b ＝(2m －n,3m ＋2n )，a －2b ＝(4，－1)．由m a ＋n b 与a －2b 共线，得2m －n 4＝3m ＋2n －1，所以m n ＝－12.考向一平面向量基本定理的应用例1 (1)如图，点A ，B ，C ，P 均在正方形网格的格点上．若AP →＝λAB →＋μAC →(λ，μ∈R )，则λ＋2μ＝( )A ．1B ．32C ．43D ．2答案 B解析设在正方形网格上方向为水平向右，长度为一格的向量为i ，方向为竖直向上，长度为一格的向量为j ，∴AB→＝－2i ＋2j ，AC →＝4i ，AP →＝i ＋j ，∵AP →＝λAB →＋μAC →(λ，μ∈R )，即i ＋j ＝λ(－2i ＋2j )＋μ×4i ，i ＋j ＝(4μ－2λ)i ＋2λj ，∴⎩⎪⎨⎪⎧4μ－2λ＝1，2λ＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧λ＝12，μ＝12，∴λ＋2μ＝32.故选B.(2) 如图，以向量OA →＝a ，OB →＝b 为邻边作平行四边形OADB ，BM →＝13BC →，CN →＝13CD →，用a ，b 表示OM →，ON →，MN →.解 ∵BA →＝OA →－OB →＝a －b ，BM →＝16BA →＝16a －16b ，∴OM →＝OB →＋BM →＝b ＋⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫16a －16b ＝16a ＋56b .∵OD →＝a ＋b ，∴ON →＝OC →＋13CD →＝12OD →＋16OD →＝23OD →＝23a ＋23b ，∴MN →＝ON →－OM →＝23a ＋23b －16a －56b ＝12a －16b .综上，OM →＝16a ＋56b ，ON →＝23a ＋23b ，MN →＝12a －16b .应用平面向量基本定理表示向量的方法应用平面向量基本定理表示向量的实质是利用平行四边形法则或三角形法则进行向量的加法、减法或数乘运算，基本方法有两种：(1)运用向量的线性运算法则对待求向量不断进行化简，直至用基底表示为止． (2)将向量用含参数的基底表示，然后列方程或方程组，利用基底表示向量的唯一性求解．1．(2020·北京市朝阳区一模)如图，在△ABC 中，点D ，E 满足BC→＝2BD→，CA →＝3CE →.若DE →＝x AB →＋y AC →(x ，y ∈R )，则x ＋y ＝( )A ．－12B ．－13C.12 D ．13答案 B解析 △ABC 中，点D ，E 满足BC →＝2BD →，CA →＝3CE →.DE →＝DC →＋CE →＝12BC →＋13CA→＝12(AC →－AB →)－13AC →＝－12AB →＋16AC →，又DE →＝x AB →＋y AC →(x ，y ∈R )，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－12，y ＝16，∴x ＋y ＝－12＋16＝－13.故选B.2．(2020·青岛市高三上学期期末)在△ABC 中，AB →＋AC →＝2AD →，AE →＋2DE →＝0，若EB→＝x AB →＋y AC →，则( ) A ．y ＝2x B ．y ＝－2x C ．x ＝2y D ．x ＝－2y答案 D解析如图所示，∵AB→＋AC →＝2AD →，∴点D 为边BC 的中点．∵AE →＋2DE →＝0，∴AE →＝－2DE →，∴DE →＝－13AD →＝－16(AB →＋AC →)．又DB →＝12CB →＝12(AB →－AC →)，∴EB →＝DB →－DE →＝12(AB →－AC →)＋16(AB →＋AC →)＝23AB →－13AC →.又EB →＝x AB →＋y AC →，∴x ＝23，y ＝－13，即x ＝－2y .故选D.考向二平面向量的坐标运算例2 (1)若向量AB →＝DC →＝(2,0)，AD →＝(1,1)，则AC →＋BC →等于( ) A ．(3,1) B ．(4,2) C ．(5,3)D ．(4,3)答案 B解析 AC→＝AD →＋DC →＝(3,1)，又BD →＝AD →－AB →＝(－1，1)，则BC →＝BD →＋DC →＝(1,1)，所以AC→＋BC →＝(4,2)．(2)(2020·辽宁省辽南协作校二模)已知a ＝(5，－2)，b ＝(－4，－3)，若a －2b ＋3c ＝0，则c ＝( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫133，83 B ．⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－133，－83C.⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫133，43 D ．⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－133，－43答案 D解析 ∵a －2b ＋3c ＝0，∴c ＝－13(a －2b )＝－13(5＋4×2，－2＋2×3)＝⎝⎛⎭⎪⎪⎫－133，－43.故选D. (3)(2020·天津和平区模拟) 如图，在直角梯形ABCD 中，AB ∥DC ，AD ⊥DC ，AD ＝DC ＝2AB ，E 为AD 的中点，若CA→＝λCE →＋μDB →(λ，μ∈R )，则λ＋μ的值为( )A.65B ．85C ．2D ．83答案 B解析建立如图所示的平面直角坐标系，则D (0,0)．不妨设AB ＝1，则CD ＝AD＝2，∴C (2，0)，A (0，2)，B (1,2)，E (0，1)，∴CA→＝(－2,2)，CE →＝(－2,1)，DB →＝(1,2)，∵CA →＝λCE →＋μDB →，∴(－2,2)＝λ(－2,1)＋μ(1,2)，∴⎩⎪⎨⎪⎧－2λ＋μ＝－2，λ＋2μ＝2，解得λ＝65，μ＝25，则λ＋μ＝85.故选B.平面向量坐标运算的技巧(1)向量的坐标运算主要是利用向量加、减、数乘运算的法则来进行求解的，若已知有向线段两端点的坐标，则应先求向量的坐标．(2)解题过程中，常利用向量相等则其坐标相同这一原则，通过列方程(组)来进行求解，并注意方程思想的应用．3.若向量a ＝(2,1)，b ＝(－1,2)，c ＝⎝⎛⎭⎪⎪⎫0，52，则c 可用向量a ，b 表示为( )A ．c ＝12a ＋bB ．c ＝－12a －bC ．c ＝32a ＋12bD ．c ＝32a －12b答案 A解析设c ＝x a ＋y b ，易知⎩⎪⎨⎪⎧ 0＝2x －y ，52＝x ＋2y ，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝12，y ＝1.∴c ＝12a ＋b .故选A.4．已知OB 是平行四边形OABC 的一条对角线，O 为坐标原点，OA →＝(2,4)，OB →＝(1,3)，若点E 满足OC→＝3EC →，则点E 的坐标为( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－23，－23B ．⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－13，－13C.⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫13，13 D ．⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫23，23答案 A解析解法一：易知OC→＝OB →－OA →＝(－1，－1)，则C (－1，－1)，设E (x ，y )，则3EC→＝3(－1－x ，－1－y )＝(－3－3x ，－3－3y )，由OC →＝3EC →，知⎩⎪⎨⎪⎧－3－3x ＝－1，－3－3y ＝－1，所以⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－23，y ＝－23，所以点E 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－23，－23.解法二：易知OC→＝OB →－OA →＝(－1，－1)，由OC →＝3EC →得OC →＝3(OC →－OE →)，所以OE→＝23OC→＝⎝⎛⎭⎪⎪⎫－23，－23，所以点E的坐标为⎝⎛⎭⎪⎪⎫－23，－23.考向三平面向量共线的坐标表示例3(1)(2020·山东省菏泽市一模)已知向量a，b满足a＝(1,2)，a＋b＝(1＋m,1)，若a∥b，则m＝()A．2 B．－2C．12D．－12答案 D解析b＝(a＋b)－a＝(1＋m,1)－(1,2)＝(m，－1)．因为a∥b，所以2m＋1＝0，解得m＝－12.故选D.(2)(2021·海口市海南中学高三月考)已知向量a＝(1,1)，点A(3,0)，点B为直线y＝2x上的一个动点，若AB→∥a，则点B的坐标为________.答案(－3，－6)解析由题意，设B(x,2x)，则AB→＝(x－3,2x)，∵AB→∥a，∴x－3－2x＝0，解得x ＝－3，∴B(－3，－6)．利用两向量共线解题的技巧(1)一般地，在求与一个已知向量a共线的向量时，可设所求向量为λa(λ∈R)，然后结合其他条件列出关于λ的方程，求出λ的值后代入λa即可得到所求的向量．(2)如果已知两向量共线，求某些参数的取值时，那么利用“若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a∥b的充要条件是x1y2＝x2y1”解题比较方便．5.已知点A(4,0)，B(4,4)，C(2,6)，则AC与OB的交点P的坐标为________.答案(3,3)解析解法一：由O ，P ，B 三点共线，可设OP →＝λOB →＝(4λ，4λ)，则AP →＝OP →－OA→＝(4λ－4,4λ)．又AC→＝OC →－OA →＝(－2,6)，由AP→与AC →共线，得(4λ－4)×6－4λ×(－2)＝0，解得λ＝34，所以OP →＝34OB →＝(3,3)，所以点P 的坐标为(3,3)．解法二：设点P (x ，y )，则OP →＝(x ，y )，因为OB →＝(4,4)，且OP →与OB →共线，所以x 4＝y4，即x ＝y .又AP →＝(x －4，y )，AC →＝(－2,6)，且AP →与AC →共线，所以(x －4)×6－y ×(－2)＝0，解得x ＝y ＝3，所以点P 的坐标为(3,3)．6．(2020·长郡中学高三适应性考试)已知向量AC →＝(1，sin α－1)，BA →＝(3,1)，BD →＝(2，cos α)，若B ，C ，D 三点共线，则tan(2021π－α)＝________.答案－2解析 ∵B ，C ，D 三点共线， ∴BD→＝x BC →＝x (BA →＋AC →)，即(2，cos α)＝x (4，sin α)，则⎩⎪⎨⎪⎧2＝4x ，cosα＝xsinα，得x ＝12，即cos α＝12sin α，得tan α＝2，则tan(2021π－α)＝tan(－α)＝－tan α＝－2.一、单项选择题1．向量a ，b 满足a ＋b ＝(－1,5)，a －b ＝(5，－3)，则b ＝( ) A ．(－3,4) B ．(3,4) C ．(3，－4) D ．(－3，－4)答案 A解析由a ＋b ＝(－1,5)，a －b ＝(5，－3)，得2b ＝(－1,5)－(5，－3)＝(－6,8)，所以b ＝12(－6,8)＝(－3,4)．2．(2021·山东聊城月考)已知平行四边形ABCD 中，AD →＝(3,7)，AB →＝(－2,3)，对角线AC 与BD 交于点O ，则CO→的坐标为( ) A.⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－12，5 B ．⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫12，5C.⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫12，－5 D ．⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－12，－5答案 D解析因为AC →＝AB →＋AD →＝(－2,3)＋(3,7)＝(1,10)，所以OC →＝12AC →＝⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫12，5，所以CO →＝⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－12，－5.3. 如图，在梯形ABCD 中，DC →＝14AB →，BE →＝2EC→，且AE →＝r AB →＋s AD →，则2r ＋3s ＝( )A．1 B．2 C．3 D．4 答案 C解析根据题图，由题意可得AE→＝AB→＋BE→＝AB→＋23BC→＝AB→＋23(BA→＋AD→＋DC→)＝13AB→＋23(AD→＋DC→)＝13AB→＋23⎝⎛⎭⎪⎪⎫AD→＋14AB→＝12AB→＋23AD→.因为AE→＝r AB→＋s AD→，所以r＝12，s＝23，则2r＋3s＝1＋2＝3.4．已知向量a＝(－1,2)，b＝(3，m)，m∈R，则“m＝－6”是“a∥(a＋b)”的()A．充要条件B．充分不必要条件C．必要不充分条件D．既不充分也不必要条件答案 A解析由题意得a＋b＝(2,2＋m)，由a∥(a＋b)，得－1×(2＋m)＝2×2，所以m＝－6，则“m＝－6”是“a∥(a＋b)”的充要条件．5．已知向量a＝(2,1)，b＝(3,4)，c＝(1，m)，若实数λ满足a＋b＝λc，则λ＋m等于()A．5 B．6C．7 D．8答案 B解析由平面向量的坐标运算法则可得a＋b＝(5,5)，λc＝(λ，λm)，据此有⎩⎪⎨⎪⎧λ＝5，λm＝5，解得λ＝5，m ＝1，所以λ＋m ＝6.6．(2020·青岛模拟)已知向量a ＝(1＋cos x,2)，b ＝(sin x,1)，x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫0，π2，若a ∥b ，则sin x ＝( )A.45B ．35C ．25D ．255答案 A解析根据题意，向量a ＝(1＋cos x,2)，b ＝(sin x,1)，若a ∥b ，则2sin x ＝1＋cos x ，变形可得cos x ＝2sin x －1，又sin 2x ＋cos 2x ＝1，则有sin 2x ＋(2sin x －1)2＝1，变形可得，5sin 2x －4sin x ＝0，解得sin x ＝0或sin x ＝45，又x ∈⎝⎛⎭⎪⎪⎫0，π2，则sin x ＝45.故选A.7. (2020·黑龙江省大庆一中三模)“勾3股4弦5”是勾股定理的一个特例．根据记载，西周时期的数学家商高曾经和周公讨论过“勾3股4弦5”的问题，比毕达哥拉斯发现勾股定理早了500多年，如图，在矩形ABCD 中，△ABC 满足“勾3股4弦5”，且AB ＝3，E 为AD 上一点，BE ⊥AC .若BA→＝λBE →＋μAC →，则λ＋μ的值为( )A ．－925 B ．725C ．1625D ．1答案 B解析由题意建立如图所示平面直角坐标系，因为AB ＝3，BC ＝4，则B (0,0)，A (0,3)，C (4,0)，BA→＝(0,3)，AC →＝(4，－3)，设BE →＝(a,3)，因为BE ⊥AC ，所以AC →·BE →＝4a －9＝0，解得a ＝94.由BA →＝λBE →＋μAC →，得(0,3)＝λ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫94，3＋μ(4，－3)，所以⎩⎪⎨⎪⎧94λ＋4μ＝0，3λ－3μ＝3，解得⎩⎪⎨⎪⎧λ＝1625，μ＝－925，所以λ＋μ＝725，故选B.8. 如图，扇形的半径为1，圆心角∠BAC ＝150°，点P 在弧BC 上运动，AP →＝λAB →＋μAC→，则3λ－μ的最小值是( )A ．0B ．3C ．2D ．－1答案 D解析以A 为原点，AB 所在直线为x 轴，建立如图所示平面直角坐标系，则A (0,0)，B (1,0)，C (cos150°，sin150°)＝⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－32，12，设P (cos θ，sin θ)(0°≤θ≤150°)，因为AP →＝λAB →＋μAC →，所以(cos θ，sin θ)＝λ(1,0)＋μ⎝⎛⎭⎪⎪⎫－32，12，于是⎩⎪⎨⎪⎧λ－32μ＝cosθ，12μ＝sinθ，解得λ＝cos θ＋3sin θ，μ＝2sin θ，那么3λ－μ＝sin θ＋3cos θ＝2sin(θ＋60°)，因为0°≤θ≤150°，所以60°≤θ＋60°≤210°，故sin(θ＋60°)≥－12，因此3λ－μ的最小值为－1.故选D.二、多项选择题9．设O 是平行四边形ABCD 的两条对角线AC ，BD 的交点，则可作为这个平行四边形所在平面的一组基底的向量组是( )A.AD →与AB →B ．DA →与BC → C.CA →与DC →D ．OD→与OB → 答案 AC解析平面内任意两个不共线的向量都可以作为基底，如图，对于A ，AD →与AB →不共线，可作为基底；对于B ，DA→与BC →为共线向量，不可作为基底；对于C ，CA →与DC→是两个不共线的向量，可作为基底；对于D ，OD →与OB →在同一直线上，是共线向量，不可作为基底．10．已知向量OA→＝(1，－3)，OB →＝(2，－1)，OC →＝(m ＋1，m －2)，若点A ，B ，C 能构成三角形，则实数m 可以是( )A ．－2B ．12C ．1D ．－1答案 ABD解析各选项代入验证，若A ，B ，C 三点不共线即可构成三角形．因为AB →＝OB →－OA→＝(2，－1)－(1，－3)＝(1,2)，AC →＝OC →－OA →＝(m ＋1，m －2)－(1，－3)＝(m ，m ＋1)．假设A ，B ，C 三点共线，则1×(m ＋1)－2m ＝0，即m ＝1.所以只要m ≠1，则A ，B ，C 三点可构成三角形，故选ABD.11．(2021·广东湛江高三模拟)若点D ，E ，F 分别为△ABC 的边BC ，CA ，AB 的中点，且BC→＝a ，CA →＝b ，则下列结论正确的是( ) A.AD →＝－12a －bB ．BE →＝a ＋12bC.CF →＝－12a ＋12bD ．EF →＝12a答案 ABC解析如图，在△ABC中，AD→＝AC→＋CD→＝－CA→＋12CB→＝－b－12a，故A正确；BE→＝BC→＋CE→＝a＋12b，故B正确；AB→＝AC→＋CB→＝－b－a，CF→＝CA→＋12AB→＝b＋12×(－b－a)＝－12a＋12b，故C正确；EF→＝12CB→＝－12a，故D不正确．故选ABC.12. (2020·山东潍坊高三模拟)如图所示，点A，B，C是圆O上的三点，线段OC 与线段AB交于圆内一点P，若AP→＝λAB→，OC→＝μOA→＋3μOB→，则()A．P为线段OC的中点时，μ＝1 2B．P为线段OC的中点时，μ＝1 3C．无论μ取何值，恒有λ＝3 4D．存在μ∈R，λ＝1 2答案AC解析OP→＝OA→＋AP→＝OA→＋λAB→＝OA→＋λ(OB→－OA→)＝(1－λ)OA→＋λOB→，因为OP→与OC →共线，所以1－λμ＝λ3μ，解得λ＝34，故C 正确，D 错误；当P 为OC 的中点时，则OP →＝12OC →，则1－λ＝12μ，λ＝12×3μ，解得μ＝12，故A 正确，B 错误．故选AC.三、填空题13．(2020·哈尔滨六中二模)已知向量a ＝(log 2x,1)，b ＝(log 23，－1)，若a ∥b ，则x ＝________.答案13解析因为a ∥b ，所以－log 2x ＝log 23，所以log 2x ＋log 23＝0，所以log 2(3x )＝0，所以3x ＝1，所以x ＝13.14．已知梯形ABCD ，其中AB ∥CD ，且DC ＝2AB ，三个顶点A (1,2)，B (2,1)，C (4,2)，则点D 的坐标为________.答案 (2,4)解析因为在梯形ABCD 中，DC ＝2AB ，AB ∥CD ，所以DC →＝2AB →.设点D 的坐标为(x ，y )，则DC→＝(4,2)－(x ，y )＝(4－x,2－y )， AB→＝(2,1)－(1,2)＝(1，－1)，所以(4－x,2－y )＝2(1，－1)，即(4－x,2－y )＝(2，－2)，所以⎩⎪⎨⎪⎧4－x ＝2，2－y ＝－2，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝4，故点D 的坐标为(2,4)．15. 向量a ，b ，c 在正方形网格中的位置如图所示．若c ＝λa ＋μb (λ，μ∈R )，则λμ＝________.答案 4解析以向量a 和b 的交点为坐标原点建立如图所示的平面直角坐标系，设每个小正方形的边长为1个单位，则A (1，－1)，B (6,2)，C (5，－1)，所以a ＝AO→＝(－1，1)，b ＝OB→＝(6,2)，c ＝BC →＝(－1，－3)．由c ＝λa ＋μb 可得⎩⎪⎨⎪⎧ －1＝－λ＋6μ，－3＝λ＋2μ，解得⎩⎪⎨⎪⎧ λ＝－2，μ＝－12，所以λμ＝4.16．(2020·济南市高三上学期期末)平行四边形ABCD 中，M 为CD 的中点，点N 满足BN→＝2NC →，若AB →＝λAM →＋μAN →，则λ＋μ的值为________. 答案 12解析因为M 为CD 的中点，点N 满足BN→＝2NC →，所以DM →＝12DC →，BN →＝23BC →. 又因为AB→＝λAM →＋μAN →，所以AB→＝λ(AD →＋DM →)＋μ(AB →＋BN →) ＝λ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫AD →＋12DC →＋μ⎝⎛⎭⎪⎪⎫AB →＋23BC → ＝λAD →＋λ2DC →＋μAB →＋2μ3BC →.① 又因为在平行四边形ABCD 中，AB→＝DC →，AD →＝BC →，所以①整理得，AB →＝λAD →＋λ2AB →＋μAB →＋2μ3AD →，即⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫1－λ2－μAB →＝⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫λ＋2μ3AD →. 又因为AB→，AD →不共线，由平面向量基本定理得 ⎩⎪⎨⎪⎧ 1－λ2－μ＝0，λ＋2μ3＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧ λ＝－1，μ＝32，所以λ＋μ＝12.。

2021版高考数学一轮复习第五章平面向量第2讲平面向量基本定理及坐标表示练习理北师大版

第2讲平面向量基本定理及坐标表示[基础题组练]1．在平面直角坐标系中，已知向量a ＝(1，2)，a －12b ＝(3，1)，c ＝(x ，3)，若(2a ＋b )∥c ，则x ＝( )A ．－2B ．－4C ．－3D ．－1解析：选D.因为a －12b ＝(3，1)，所以a －(3，1)＝12b ，则b ＝(－4，2)．所以2a ＋b＝(－2，6)．又(2a ＋b )∥c ，所以－6＝6x ，x ＝－1.故选D.2．(2020·安徽合肥第一次质检)设向量a ＝(－3，4)，向量b 与向量a 方向相反，且|b |＝10，则向量b 的坐标为( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫－65，85B ．(－6，8) C.⎝ ⎛⎭⎪⎫65，－85D ．(6，－8)解析：选D.因为向量b 与向量a 方向相反，所以可设b ＝λa ＝(－3λ，4λ)，λ<0，则|b |＝9λ2＋16λ2＝25λ2＝5|λ|＝－5λ＝10，所以λ＝－2，所以b ＝(6，－8)．故选D.3．已知向量AC →，AD →和AB →在边长为1的正方形网格中的位置如图所示，若AC →＝λAB →＋μAD →，则λ＋μ等于( )A ．2B ．－2C ．3D ．－3解析：选A.如图所示，建立平面直角坐标系，则AD →＝(1，0)，AC →＝(2，－2)，AB →＝(1，2)．因为AC →＝λAB →＋μAD →，所以(2，－2)＝λ(1，2)＋μ(1，0)＝(λ＋μ，2λ)，所以⎩⎪⎨⎪⎧2＝λ＋μ，－2＝2λ，解得⎩⎪⎨⎪⎧λ＝－1，μ＝3.所以λ＋μ＝2.故选A. 4．已知平面直角坐标系内的两个向量a ＝(m ，3m －4)，b ＝(1，2)，且平面内的任一向量c 都可以唯一地表示成c ＝λa ＋μb (λ，μ为实数)，则m 的取值范围是( )A ．(－∞，4)B ．(4，＋∞)C ．(－∞，4)∪(4，＋∞)D ．(－∞，＋∞)解析：选C.平面内的任意向量c 都可以唯一地表示成c ＝λa ＋μb ，由平面向量基本定理可知，向量a ，b 可作为该平面所有向量的一组基底，即向量a ，b 是不共线向量．又因为a ＝(m ，3m －4)，b ＝(1，2)，则m ×2－(3m －4)×1≠0，即m ≠4，所以m 的取值范围为(－∞，4)∪(4，＋∞)．5．在平面直角坐标系xOy 中，已知A (1，0)，B (0，1)，C 为坐标平面内第一象限内的点，且∠AOC ＝π4，|OC |＝2，若OC →＝λOA →＋μOB →，则λ＋μ＝( )A ．2 2B ． 2C ．2D ．4 2解析：选A.因为|OC |＝2，∠AOC ＝π4，所以C (2，2)，又因为OC →＝λOA →＋μOB →，所以(2，2)＝λ(1，0)＋μ(0，1)＝(λ，μ)，所以λ＝μ＝2，λ＋μ＝2 2.6．(2020·湖北荆门阶段检测)在△AOB 中，AC →＝15AB →，D 为OB 的中点，若DC →＝λOA →＋μOB →，则λμ的值为________．解析：因为AC →＝15AB →，所以AC →＝15(OB →－OA →)，因为D 为OB 的中点，所以OD →＝12OB →，所以DC →＝DO →＋OC →＝－12OB →＋(OA →＋AC →)＝－12OB →＋OA →＋15(OB →－OA →)＝45OA →－310OB →，所以λ＝45，μ＝－310，则λμ的值为－625.答案：－6257．已知O 为坐标原点，向量OA →＝(1，2)，OB →＝(－2，－1)，若2AP →＝AB →，则|OP →|＝________. 解析：设P 点坐标为(x ，y )，AB →＝OB →－OA →＝(－2，－1)－(1，2)＝(－3，－3)，AP →＝(x－1，y －2)，由2AP →＝AB →得，2(x －1，y －2)＝(－3，－3)，所以⎩⎪⎨⎪⎧2x －2＝－3，2y －4＝－3，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－12，y ＝12.故|OP →|＝14＋14＝22. 答案：228．已知A (－3，0)，B (0，3)，O 为坐标原点，C 在第二象限，且∠AOC ＝30°，OC →＝λOA →＋OB →，则实数λ的值为________．解析：由题意知OA →＝(－3，0)，OB →＝(0，3)，则OC →＝(－3λ，3)，由∠AOC ＝30°知，以x 轴的非负半轴为始边，OC 为终边的一个角为150°，所以tan 150°＝3－3λ，即－33＝－33λ，所以λ＝1. 答案：19．已知A (－2，4)，B (3，－1)，C (－3，－4)．设AB →＝a ，BC →＝b ，CA →＝c ，且CM →＝3c ，CN →＝－2b .(1)求3a ＋b －3c ；(2)求满足a ＝m b ＋n c 的实数m ，n ； (3)求M ，N 的坐标及向量MN →的坐标．解：由已知得a ＝(5，－5)，b ＝(－6，－3)，c ＝(1，8)． (1)3a ＋b －3c ＝3(5，－5)＋(－6，－3)－3(1，8) ＝(15－6－3，－15－3－24)＝(6，－42)． (2)因为m b ＋n c ＝(－6m ＋n ，－3m ＋8n )，所以⎩⎪⎨⎪⎧－6m ＋n ＝5，－3m ＋8n ＝－5，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝－1，n ＝－1.(3)设O 为坐标原点，因为CM →＝OM →－OC →＝3c ，所以OM →＝3c ＋OC →＝(3，24)＋(－3，－4)＝(0，20)．所以M (0，20)．又因为CN →＝ON →－OC →＝－2b ，所以ON →＝－2b ＋OC →＝(12，6)＋(－3，－4)＝(9，2)，所以N (9，2)．所以MN →＝(9，－18)． 10.如图，AB 是圆O 的直径，C ，D 是圆O 上的点，∠CBA ＝60°，∠ABD ＝45°，CD →＝xOA →＋yBC →，求x ＋y 的值．解：不妨设⊙O 的半径为1，以圆心O 为坐标原点，以OB ，OD 为x ，y 轴的正方向，建立如图所示的直角坐标系，则A (－1，0)，B (1，0)，D (0，1)，C ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，－32.所以CD →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，1＋32，BC →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，－32.又CD →＝xOA →＋yBC →，所以⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，1＋32＝x (－1，0)＋y ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，－32.所以⎩⎪⎨⎪⎧－12＝－x －12y ，1＋32＝－32y ，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3＋33，y ＝－3＋233.所以x ＋y ＝3＋33－3＋233＝－33.[综合题组练]1．已知P ＝{}a |a ＝（1，0）＋m （0，1），m ∈R ，Q ＝{b |b ＝(1，1)＋n (－1，1)，n∈R }是两个向量集合，则P ∩Q 等于( )A.{}（1，1） B ．{}（－1，1） C.{}（1，0）D ．{}（0，1）解析：选A.设a ＝(x ，y )，则所以集合P 是直线x ＝1上的点的集合．同理，集合Q 是直线x ＋y ＝2上的点的集合，即P ＝{}（x ，y ）|x ＝1，y ∈R ，Q ＝{}（x ，y ）|x ＋y －2＝0，所以P ∩Q ＝{}（1，1）.故选A.2．(2020·包河区校级月考)古希腊数学家欧多克索斯在深入研究比例理论时，提出了分线段的“中末比”问题：将一线段AB 分为两线段AC ，CB ，合得其中较长的一段AC 是全长与另一段CB 的比例中项，即满足AC AB ＝BC AC ＝5－12，后人把这个数称为黄金分割数，把点C 称为线段AB 的黄金分割点，在△ABC 中，若点P ，Q 为线段BC 的两个黄金分割点，设AP →x 1AB→＋y 1AC →，AQ →＝x 2AB →＋y 2AC →，则x 1x 2＋y 1y 2＝( )A.5＋12B ．2 C. 5D ．5＋1解析：选C.由题意， AP →＝AB →＋BP →＝AB →＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1－5－12BC →＝AB →＋3－52(AC →－AB →) ＝⎝⎛⎭⎪⎫1－3－52AB →＋3－52AC →＝5－12AB →＋3－52AC →，同理，AQ →＝AB →＋BQ →＝AB →＋5－12BC →＝AB →＋5－12(AC →－AB →)＝3－52AB →＋5－12AC →. 所以x 1＝y 2＝5－12，x 2＝y 1＝3－52. 所以x 1x 2＋y 1y 2＝5－13－5＋3－55－1＝ 5.3．(创新型)若α，β是一组基底，向量γ＝x α＋y β(x ，y ∈R )，则称(x ，y )为向量γ在基底α，β下的坐标，现已知向量a 在基底p ＝(1，－1)，q ＝(2，1)下的坐标为(－2，2)，则a 在另一组基底m ＝(－1，1)，n ＝(1，2)下的坐标为________．解析：因为a 在基底p ，q 下的坐标为(－2，2)，即a ＝－2p ＋2q ＝(2，4)，令a ＝x m ＋y n ＝(－x ＋y ，x ＋2y )，所以⎩⎪⎨⎪⎧－x ＋y ＝2，x ＋2y ＝4，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝2. 所以a 在基底m ，n 下的坐标为(0，2)．答案：(0，2)4．已知非零不共线向量OA →，OB →，若2OP →＝xOA →＋yOB →，且PA →＝λAB →(λ∈R )，则点P (x ，y )的轨迹方程是________．解析：由PA →＝λAB →，得OA →－OP →＝λ(OB →－OA →)，即OP →＝(1＋λ)OA →－λOB →. 又2OP →＝xOA →＋yOB →，所以⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋2λ，y ＝－2λ，消去λ得x ＋y －2＝0.答案：x ＋y －2＝0 5．(一题多解)如图，在同一个平面内，向量OA →，OB →，OC →的模分别为1，1，2，OA →与OC →的夹角为α，且tan α＝7，OB →与OC →的夹角为45°.若OC →＝mOA →＋nOB →(m ，n ∈R )，求m ＋n 的值．解：法一：以O 为坐标原点，OA 所在直线为x 轴建立平面直角坐标系，则A (1，0)，由tan α＝7，α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，得sin α＝752，cos α＝152，设C (x C ，y C )，B (x B ，y B )，则x C ＝|OC →|cos α＝2×152＝15，y C ＝|OC →|sin α＝2×752＝75，即C ⎝⎛⎭⎪⎫15，75.又cos(α＋45°)＝152×12－752×12＝－35，sin (α＋45°)＝752×12＋152×12＝45，则x B ＝|OB→|cos(α＋45°)＝－35，y B ＝|OB →|sin (α＋45°)＝45，即B ⎝ ⎛⎭⎪⎫－35，45，由OC →＝m OA →＋n OB →，可得⎩⎪⎨⎪⎧15＝m －35n ，75＝45n ，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝54，n ＝74，所以m ＋n ＝54＋74＝3. 法二：由tan α＝7，α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，得sin α＝752，cos α＝152，则cos(α＋45°)＝152×12－752×12＝－35，OB →·OC →＝1×2×22＝1，OA →·OC →＝1×2×152＝15，OA →·OB→＝1×1×⎝ ⎛⎭⎪⎫－35＝－35，由OC →＝m OA →＋n OB →，得OC →·OA →＝m OA →2＋n OB →·OA →，即15＝m －35n ①，同理可得OC →·OB →＝m OA →·OB →＋n OB →2，即1＝－35m ＋n ②，联立①②，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝54，n ＝74.所以m＋n ＝54＋74＝3.6.已知△ABC 中，AB ＝2，AC ＝1，∠BAC ＝120°，AD 为角平分线． (1)求AD 的长度；(2)过点D 作直线交AB ，AC 的延长线于不同两点E ，F ，且满足AE →＝xAB →，AF →＝yAC →，求1x＋2y的值，并说明理由．解：(1)根据角平分线定理：DB DC ＝AB AC ＝2，所以BD BC ＝23，所以AD →＝AB →＋BD →＝AB →＋23BC →＝AB →＋23(AC →－AB →)＝13AB →＋23AC →，所以AD →2＝19AB →2＋49AB →·AC →＋49AC →2＝49－49＋49＝49，所以AD ＝23.(2)因为AE →＝xAB →，AF →＝yAC →，所以AD →＝13AB →＋23AC →＝13x AE →＋23y AF →，因为E ，D ，F 三点共线，所以13x ＋23y ＝1，所以1x ＋2y ＝3.。

2021届高考数学一轮复习第四章平面向量第2讲平面向量基本定理及坐标表示课件

【跟踪训练】 (2019 年江苏启东模拟)如图4-2-4，G 是△OAB 的重心，P， Q 分别是边 OA，OB 上的动点，且 P，G，Q 三点共线. (1)设P→G＝λP→Q，将O→G用 λ，O→P，O→Q表示； (2)设O→P＝xO→A，O→Q＝yO→B，证明：1x＋1y是定值.
图 4-2-4
1－λx＝13， λy＝13，
解得11yx＝＝33－ λ. 3λ，
∴1x＋1y＝3(定值).
1.对平面向量基本定理的理解. (1)平面向量基本定理实际上是向量的分解定理，并且是平面向量正交分解的理论依据，也是向量的坐标表示的基础. (2)平面向量一组基底是两个不共线向量，平面向量基底可以有无穷多组. (3)用平面向量基本定理可将平面中任一向量分解成形如 a＝λ1e1＋λ2e2的形式，是向量线性运算知识的延伸.
第2讲平面向量基本定理及坐标表示
课标要求
考情风向标
从近几年的高考试 1.了解平面向量的基本定理及其意义.
题看，向量的线性运 2.掌握平面向量的正交分解及其坐标表示.
算、共线问题是高考 3.会用坐标表示平面向量的加、减与数乘
的热点，多以选择运算.
题、填空题的形式出 4.理解用坐标表示的平面向量共线的条件
(1)解：O→G＝O→P＋P→G＝O→P＋λP→Q＝O→P＋λ(O→Q－O→P)＝ (1－λ)O→P＋λO→Q.
(2)证明：由(1)，得 O→G＝(1－λ)O→P＋λO→Q＝(1－λ)xO→A＋λyO→B. ① ∵G 是△OAB 的重心， ∴O→G＝23O→M＝23×12(O→A＋O→B)＝13O→A＋13O→B. ② 而O→A，O→B不共线，∴由①②，得
现，属中低档题目
1.平面向量基本定理

高三数学一轮复习 5.2 平面向量基本定理及向量的坐标表示

由平面向量基本定理,得
��-�� = 1, 2�� + �� =
所以 1,
��
=
2 3
,
��
=
-
1 3
.
考点1
考点2
考点3
-17-
解题心得1.应用平面向量基本定理表示向量的实质是利用平行四边形法则或三角形法则进行向量的加、减或数乘运算.
2.用平面向量基本定理解决问题的一般思路是:先选择一组基底, 再通过向量的加、减、数乘以及向量平行的充要条件,把相关向量用这一组基底表示出来.
-所1 以(1+t)×(-2)=(1-t)×0=0,解得t=-1.
关闭关闭
解析答案
知识梳理双基自测自测点评
12345
5.设向量a=(m,1),b=(1,2),且|a+b|2=|a|2+|b|2,则m=
-12-
.
∵|a+b|2=|a|2+|b|2, ∴(m+1)2+32=m2+1+5,解得m=-2.
(3)在△ABC中,向量 ��, �� 的夹角为∠ABC. ( × )

(4)已知向量a,b是一组基底,若实数λ1,μ1,λ2,μ2满足
λ1a+μ1b=λ2a+μ2b,则λ1=λ2,μ1=μ2. ( √ ) (5)若a=(x1,y1),b=(x2,y2),则a∥b的充要条件可表示成
其中,不共线的向量e1,e2叫做表示这一平面内所有向量的一
组基底
,记为{e1,e2}.a1e1+a2e2叫做向量a关于基底{e1,e2}的

2021高考数学复习专题平面向量的基本定理及坐标表示(文精讲)

专题5.2 平面向量的基本定理及坐标表示【考情分析】1.了解平面向量的基本定理及其意义；2.掌握平面向量的正交分解及其坐标表示；3.会用坐标表示平面向量的加法、减法与数乘运算；4.理解用坐标表示的平面向量共线的条件. 【重点知识梳理】知识点一平面向量基本定理如果e 1，e 2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量a ，有且只有一对实数λ1，λ2，使a ＝λ1e 1＋λ2e 2.其中，不共线的向量e 1，e 2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底. 知识点二平面向量的坐标运算知识点三平面向量共线的坐标表示设a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，其中b≠0，则a ∥b ⇔x 1y 2－x 2y 1＝0❷.,(1)基底e 1，e 2必须是同一平面内的两个不共线向量，零向量不能作为基底； (2)基底给定，同一向量的分解形式唯一；(3)如果对于一组基底e 1，e 2，有a ＝λ1e 1＋λ2e 2＝μ1e 1＋μ2e 2，则可以得到⎩⎪⎨⎪⎧λ1＝μ1，λ2＝μ2.知识点四必备结论1．若a 与b 不共线，且λa ＋μb ＝0，则λ＝μ＝0.2．已知P 为线段AB 的中点，若A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则P 点坐标为⎝⎛⎭⎫x 1＋x 22，y 1＋y 22.3．已知△ABC 的顶点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，C (x 3，y 3)，则△ABC 的重心G 的坐标为⎝⎛⎭⎫x 1＋x 2＋x 33，y 1＋y 2＋y 33.4．A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，C (x 3，y 3)三点共线的充要条件为(x 2－x 1)(y 3－y 1)－(x 3－x 1)(y 2－y 1)＝0，或(x 2－x 1)(y 3－y 2)＝(x 3－x 2)(y 2－y 1)，或(x 3－x 1)(y 3－y 2)＝(x 3－x 2)·(y 3－y 1)．【典型题分析】高频考点一平面向量基本定理及其应用【例1】如果e 1，e 2是平面α内一组不共线的向量，那么下列四组向量中，不能作为平面内所有向量的一组基底的是( )A ．e 1与e 1＋e 2B ．e 1－2e 2与e 1＋2e 2C ．e 1＋e 2与e 1－e 2D ．e 1＋3e 2与6e 2＋2e1【方法技巧】平面向量基本定理的实质及解题思路(1)先选择一组基底，并运用该基底将条件和结论表示为向量的形式，再通过向量的运算来解决． (2)在基底未给出的情况下，合理地选取基底会给解题带来方便．另外，要熟练运用平面几何的一些性质定理．【变式探究】（2020·湖北襄阳四中质检）如图，已知平行四边形ABCD 的边BC ，CD 的中点分别是K ，L ，且AK ―→＝e 1，AL ―→＝e 2，试用e 1，e 2表示BC ―→，CD ―→。

高三数学一轮复习知识点专题5-2平面向量的基本定理及坐标表示

精品基础教育教学资料，仅供参考，需要可下载使用！专题5.2 平面向量的基本定理及坐标表示【考情分析】1.了解平面向量的基本定理及其意义；2.掌握平面向量的正交分解及其坐标表示；3.会用坐标表示平面向量的加法、减法与数乘运算；4.理解用坐标表示的平面向量共线的条件. 【重点知识梳理】知识点一平面向量基本定理如果e 1，e 2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量a ，有且只有一对实数λ1，λ2，使a ＝λ1e 1＋λ2e 2.其中，不共线的向量e 1，e 2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底. 知识点二平面向量的坐标运算知识点三平面向量共线的坐标表示设a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，其中b≠0，则a ∥b ⇔x 1y 2－x 2y 1＝0❷.,(1)基底e 1，e 2必须是同一平面内的两个不共线向量，零向量不能作为基底； (2)基底给定，同一向量的分解形式唯一；(3)如果对于一组基底e 1，e 2，有a ＝λ1e 1＋λ2e 2＝μ1e 1＋μ2e 2，则可以得到⎩⎪⎨⎪⎧λ1＝μ1，λ2＝μ2.知识点四必备结论1．若a 与b 不共线，且λa ＋μb ＝0，则λ＝μ＝0.2．已知P 为线段AB 的中点，若A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则P 点坐标为⎝⎛⎭⎫x 1＋x 22，y 1＋y 22.3．已知△ABC 的顶点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，C (x 3，y 3)，则△ABC 的重心G 的坐标为⎝⎛⎭⎫x 1＋x 2＋x 33，y 1＋y 2＋y 33.4．A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，C (x 3，y 3)三点共线的充要条件为(x 2－x 1)(y 3－y 1)－(x 3－x 1)(y 2－y 1)＝0，或(x 2－x 1)(y 3－y 2)＝(x 3－x 2)(y 2－y 1)，或(x 3－x 1)(y 3－y 2)＝(x 3－x 2)·(y 3－y 1)．【典型题分析】高频考点一平面向量基本定理及其应用【例1】（2020·北京101中学模拟）在△ABC 中，M 为边BC 上任意一点，N 为AM 的中点，AN →＝λAB →＋μAC →，则λ＋μ的值为( )A.12B.13C.14 D ．1 【答案】A【解析】因为M 为边BC 上任意一点，所以可设AM →＝xAB →＋yAC →(x ＋y ＝1)．因为N 为AM 的中点，所以AN →＝12AM →＝12xAB →＋12yAC →＝λAB →＋μAC →.所以λ＋μ＝12(x ＋y )＝12.故选A 。