数制和编码
计算机中的数制与编码
计算机中的数制与编码
在计算机科学中，数制和编码是非常重要的概念。数制是一种数学表示法，用于表示不同类型的数值。而编码是将字符、符号或信息转化为特定形式的过程。数制和编码在计算机中扮演着至关重要的角色，它们用于存储、传输和处理数字和数据。
数制（Number System）
在计算机中，常见的数制有二进制、十进制、八进制和十六进制。每种数制有其各自的特点和用途。
1. 二进制（Binary System）：
二进制是最常见和基础的数制，在计算机中广泛使用。它只包含两个数字0和1，以2为基数。计算机内部存储和处理的数据都是以二进制形式表示的。每个二进制位称为一个bit（二进制位），每8位为一个字节（Byte）。
2. 十进制（Decimal System）：
十进制是我们日常生活中最常用的数制，以10为基数，包含0-9的数字。在计算机中，通常使用十进制数制进行人机交互和显示。
3. 八进制（Octal System）：
八进制以8为基数，包含0-7的数字。在计算机中，八进制表示法不太常用，但是在Unix操作系统中仍然使用八进制权限表示法。
4. 十六进制（Hexadecimal System）：
十六进制以16为基数，包含0-9的数字和A-F的字母。在计算机中，十六进制数制常用于表示内存地址和字节编码。十六进制数更加简洁和紧凑，便于人们阅读和理解。
编码（Coding）
在计算机中，数据和字符需要以特定的方式进行编码，以便计算机可
以正确存储和处理它们。常见的编码方式包括ASCII码、Unicode、UTF-8
数制与编码
第一章
数制与编码
1.1 数制
数制是计数的方法，通常采用进位计数制。 在进位计数制的多位编码中，数制是：
⏹ 每一位的构成方法，以及
⏹ 从低位到高位的进位规则。 常用的数制：
⏹ 二进制（Binary ）、 ⏹ 八进制（Octal ）、 ⏹ 十进制（Decimal ）、 ⏹ 十六进制（Hex-decimal ）。
例如：十进制：
⏹ 每一位——十进制数由0~9个数字符号（数码）和小数点组成， ⏹
进位规则——“逢十进一”（基数为10）。
1.1.1 记数法和分析方法
记数法——位置记数法， 分析方法——按权展开式。
例如：十进制数
(652.5)10=6×102
+5×101
+2×100
+5×10-1
左边为“位置记数法”，右边为“按权展开式”。 代数式为：
∑⨯=
i
i
i
k
D 10
说明：每一个数位上的数码有不同的权值， ⏹ 权值从左到右以基数的幂次由大到小， ⏹ 数位从左到右由高位到低位排列。 例如：二进制数
(101.11)2 = 1×22+0×21+1×20+1×2-1+1×2-2
任意进制（基数为R ）记数法：
∑--=----=
=1
10121).()(n m
i i
i
R m n n R R k
k k k k k k D
八进制和十六进制的按权展开式以此类推。
位置记数法 按权展开式
1.1.2 数制转换
数值相等，记数方法（数值）不同的数之间的转换。 数制转换的本质是——权值的转换。
1.1.
2.1 任意进制到十进制的转换
利用任意进制数的按权展开式，可以将一个任意进制数转换成等值的十进制数。 例如：
(1011.01)2 =1×23
数制与编码
2012年10月
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2. 八进制转换为十进制 •八进制整数转换成十进制整数的公式： bn-1×8n-1+ bn-2×8n-2…+b1×81+b0×80 •八进制小数转换成十进制小数的公式： bn-1×8-1+ bn-2×8-2…+b1×8-（n-1）+b0×8-n 3. 十六进制转换为十进制 •十六进制整数转换成十进制整数的公式： bn-1 16n-1+ bn-2×16n-2…+b1×161+b0×160 •十六进制小数转换成十进制小数的公式： bn-1×16-1+ bn-2×16-2…+b1×16-（n-1）+b0×16-n 4. 同步练习（略）
3. 同步练习”（略）
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1.3.2 二进制逻辑运算
1. “与”运算（AND） “与”运算法则： 0∧0 = 0 0∧1 = 0 1∧0 = 0 1∧1 = 1 2. “或”运算（OR） “或”算法则：0∨0 = 0 0∨1 = 1 1∨0 = 1 1∨1 = 1
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1.4.3补码的加减法运算
1. 补码的转换 如果是正数，则其补码与原码、补码一样；如 果是负数，则其补码是在它的反码未位加1得到。 2. 补码的加法运算 运算法则：[X＋Y]补= [X ]补＋[Y]补 。即两个有 符号数相加的补码可以通过先分别对两个数求 补码，然后相加得到。
数制和编码
二、各数制间的转换
非十进制数 → 十进制数：
按相应的权表达式展开，再按十进制求和。
例：24.AH=2×161+4×160+A×16-1 =36.625
注：A～F分别用10～15代入
9
十进制 → 非十进制数
十进制 → 二进制：
整数：除2取余； 小数：乘2取整。
十进制 → 十六进制：
整数：除16取余； 小数：乘16取整。
把符号也数值化了的数，称为机器数。
机器数所表示的真实的数值，称为真值。
注：后面的讲述均以8位二进制数为例。
26
例
真值
机器数
+52 = +0110100 = 0 0110100
符号位 数值位
-52 = -0110100 = 1 0110100
27
一、符号数的表示：
对于符号数，机器数常用的表示方法有 原码、反码和补码三种。数X的原码记作 [X]原，反码记作[X]反，补码记作[X]补。
凡是用器件进行的运算都是有模运算，运算结果超过 模的部分会被运算器自动丢弃。因此，当器件为n位时， 有
X=2n+X (mod 2n) 根据定义，
[X]补=2n+X (mod 2n) 因此可得，
[XY]补= 2n + 2n + (XY) (mod 2n) = (2n+X) + (2n Y) (mod 2n) = [X]补+ [Y]补
数制与编码
8421码、5421码和2421码为有权码，其余为无权码。 1．8421BCD码 8 4 2 1 BCD 码 是 最 常 用 的 BCD 码 ， 为 有 权 码 ， 各 位 的 权 从 左 到 右 为 8 、 4 、 2 、 1 。 在
数字电路与逻辑设计
数制与编码
1.1记数体制
我们平时习惯上使用的是十进制数（如563），但在数字系统中特别是计算机中， 多采用二进制、十六进制，有时也采用八进制的计数方式。无论何种记数体制任 何一个数都是由整数和小数两部分组成的。
1．十进制数 特点：① 由10个不同的数码0、1、2、…、9和一个小数点组成。
6
7
111
7
二进制转换成八进制数的方法是从小数点开始，分别向左、向右将二进 制数按每三位一组分组（不足三位的补0），然后写出每一组等值的 八进制数。
例1.2 将(11001.110101)2转换为八进制数。 即：(011 ， 001 . 110 ， 1 01)2＝(31 . 65)8 八进制与十六进制之间的转换可以通过二进制作中介。
数制与编码
1.2 数制转换
1．二进制与十进制之间的转换 （2）十进制转换为二进制
十进制转换为二进制分为整数部分转换和小数部分转换，转换后再合并。
数制与编码
8421BCD码和十进制的之间的转化
例：将十进制数768用8421BCD码表示。 十进制数 7 6 8 8421码 0111 0110 1000 （768）10=（0111 0110 1000）8421
注意：
1.编码是一种符号表示某个具体的实物，所以编码不能比较大小。 2.8421BCD码是使用最广泛的 一种编码，在用4位二进制数码来表示1位十制 数时，每1位二进制数的位权依次为23、22、21、20，即8421，所以称为8421码 8421码选取0000—1001前十种组合来表示十进制数，而后六种组合舍去不用，称 为伪码。
位进1，本位为0。
10001 + 1101
11110
பைடு நூலகம்
（10001）2+（1101）2=（11110）2 （10001）Ｂ+（1101）Ｂ=（11110）Ｂ
二进制减法运算制
例：求1101-110=？
解：减法运算时，运算法则是“借一当二”，即遇到0减1时，本位
不够，需向高位借一，在本位作二使用。
１００１ －１００
可将每个八进数用3位二进制数表示，然后按八进制的排序将这些3位二进
制数排列好，就可得到相应的二进制数。
例：将八进制数475转化为二进制数。
解： 八进制数 4
7
5
二进制数 100 111
101
计算机中的数制与编码
计算机中的数制与编码
2 十进制数转换成非十进制数
十进制数转换成二进制数、八进制数和十六进制数时，需要将整数部分和小数部分各自进行转换，然后把 转换的结果合在一起。
（1）整数部分的转换。
• 整数部分的转换采用“除基取余法”， 方法是：将十进制数的整数部分反复除 以基数R，将每次得到的商作为被除数， 并取得相应的余数，直到商为0。将每 次得到的余数按逆序排列，即为转换后 的R进制整数。
计算机中的数制与编码
1.2 数制之间的转换
1 非十进制数转换成十进制数
二进制数、八进制数和十六进制数转换成十进制数非常简单，方法是：按位权展开后求和。
例1-1
将非十进制数(1011.11)2，(154.01)8和(1CB.D)16转换成十进制数。 (1011.11)2＝1×23＋0×22＋1×21＋1×20＋1×2-1＋1×2-2 ＝(11.75)10 (154.01)8＝1×82＋5×81＋4×80＋0×8-1＋1×8-2 ＝(108.015625)10 (1CB.D)16＝1×162＋12×161＋11×160＋13×16-1 ＝(459.8125)10
微机原理与接口技术
计算机中的数制 与编码
计算机中的数制与编码
1.1 计算机中的数制
1 数制的概念
数制是人们按进位的原则进行计数的一种科学方法。在日常生活中，经常要用到数制，除了最常见的十进 制计数法，有时也采用别的进制来计数。
《数制与编码》课件
目 录
• 数制的基本概念 • 编码的基本概念 • 十进制数制与二进制数制 • 编码的应用 • 编码的未来发展
01
数制的基本概念
数制的定义
数制的定义
数制是用一组固定的符号和规则来表示数值的 方法。
常见数制
二进制、八进制、十进制和十六进制是常见的 数制。
数制的表示
数制通常用字母或符号来表示，如二进制用B，八进制用O，十进制用D，十六 进制用H。
数制的分类
01
有符号数制和无符号数制：有符号数制表示数值的 正负，无符号数制只表示数值的大小。
02
定点数制和浮点数制：定点数制小数点位置固定， 浮点数制小数点位置可以浮动。
03
二进制数制、八进制数制、十进制数制和十六进制 数制：根据基数不同进行分类。
数制转换的方法
十进制转其他数制
通过除基取余法或乘基取整法进行转换。
THANKS
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编码在物联网中的应用
总结词
物联网的快速发展为编码技术的应用提供了更加广阔的舞台，未来编码将在物联 网中发挥更加重要的作用。
详细描述
随着物联网技术的不断发展，越来越多的设备需要相互通信和交换数据，编码技 术在此过程中扮演着重要的角色。未来，随着物联网应用的不断深入和扩展，编 码技术的应用场景也将更加广泛。
编码的原理
数制及编码
（101011100101）2 =（101，011，100，101）2 =（5345）8
2024/2/21
8
（2）二进制与十六进制之间的转换 四位二进制数对应一位十六进制数。
例如： （9A7E）16 =（1001 1010 0111 1110）2
=（1001101001111110）2
（10111010110）2 =（0101 1101 0110）2
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（2）5421码 选取0000~0100和1000~1100这十种状态。 0101~0111和1101~1111等六种状态为禁用码。 是有权码，从高位到低位的权值依次为5、4、2、1。
（3）余3码 选取0011~1100这十wk.baidu.com状态。 与8421码相比，对应相同十进制数均要多3
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表1-2 几种常用的BCD码
十进制数 8421码 5421码
0
0000
0000
1
0001
0001
2
0010
0010
3
0011
0011
4
0100
0100
5
0101
1000
6
0110
1001
7
0111
1010
8
1000
1011
数字逻辑期末复习资料
第一章 数制与编码
1、二、八、十、十六进制数的构成特点及相互转换；二转BCD ：二B 到十D 到BCD ，二B 到十六H ，二B 到八O
2、有符号数的编码；代码的最高位为符号位，1为负，0为正
3、各种进制如何用BCD 码表示；
4、有权码和无权码有哪些？BCD 码的分类：有权码：8421,5421,2421 无权码：余3码，BCD Gray 码 例：
1、〔1100110〕B =〔0001 0000 0010〕8421BCD =〔102〕D =〔 66 〕H =〔146〕O
〔178〕10=〔10110010〕2=〔0001 0111 1000 〕8421BCD =〔B2 〕16=〔 262〕8 2、将数1101.11B 转换为十六进制数为〔 A 〕
A. D.C H
B. 15.3H
C. 12.E H
D. 21.3H 3、在以下一组数中，最大数是〔 A 〕。 A.(258)D
1 0000 0010
B.(100000001 )B 257
C.(103)H 0001 0000 0011259
D.(001001010111 )8421BCD 257
4、假设用8位字长来表示，〔-62〕D =( 1011 1110)原
5、属于无权码的是〔B 〕
A.8421 码
B.余3 码 和 BCD Gray 的码
C.2421 码
D.自然二进制码 6、BCD 码是一种人为选定的0～9十个数字的代码，可以有许多种。〔√〕 第二章 逻辑代数根底
1、根本逻辑运算和复合逻辑运算的运算规律、逻辑符号；
F=AB 与 逻辑乘 F=A+B 或 逻辑加
数字电子技术-数制与编码-
十六进制 9,
H 16 16 16 FF
64=82 256=16
2
十进制 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15
二进制 0000
0001 0010 0011 0100 0101 0110 0111 1000 1001 1010
1011 1100 1101 1110 1111
• 数字符号：0、1
• 计数规则：逢二进一，即：1+1=10
• 基数：2
• 权：2的幂
一般形式为：
按权展开相加
（N）2 =（bn-1bn-2…b 1b0）2 = (bn-1×2n-1＋bn-2×2n-2＋……＋b1×21＋
b0×20)10
5
表1-6 二进制的权
n -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
B
• 基数：16
C
D
• 权：16的幂
例1-4：（7A）16=（7×161+10×160）10
E F
=（112+10）10
十进制 10 11 12 13 14 15
=（122）10
（D8.A）16=（13×161+8×160+10×16-1）10
=（208+8+0.625）10
=（216.625）10 10
数制和编码
1.2 数制转换
任意两种进制之间的转换： （借助十进制作为桥梁）
多项式替代法
例: (121)3转换成二进制
= (1 × 10 2 + 2 × 101 + 1 × 100 ) 3 = (1 × 112 + 10 × 111 + 1 × 110 )2 = (1001 + 110 + 1)2 = (10000)2
表示形式。
•奇偶校验码（Parity Code）
在数据传输过程中，常常会有各式各样的干扰，怎样在接收端判 别数据的正确性成为一大重要课题。增加奇偶校验位构成奇偶校验码是 最常用，也是最简单的一种方法。
奇偶校验码分为奇校验和偶校验。奇（偶）校验的方法是在数据 发送端将所传的n位数据（一般不超过一个字节）加上一位校验位，使 得整个传输数据的为1个数是奇（偶）数；在接收端连同校验位在内对 整个数据的为1个数进行检查，若符合奇（偶）数则表示正确，否则为 不正确。
位置表示法 • 基：10 • 权（位权）:10i 多项式表示法
例： （1000.01） 2
R进制：
具有R个有序的数字符号：0，1，2，3，4，5，……， R-1和小数点符号 遵循逢R进一的计数规则
十进制数的表示方法：
2 + 8 ×101 + 8 ×100 + 5 ×10-1 + 5 ×10- 2 588.55= 5 ×10
数制与编码
数制与编码
数制是计数进位制的简称。在日常生活和生产中，人们习惯用十进制数，而在数字电路和计算机中，只能识别“0”和“1”构成的数码，所以经常采用的是二进制数。
1.十进制
十进制以10为基数，共有0〜9十个数码，计数规律为低位向高位逢十进一。各数码在不同位的权不一样，故值也不同。例如444，三个数码虽然都是4，但百位的4表示400，即4×102，十位的4表示40，即4×101，个位的4表示4，即4×10°，其中102、101、10°称为十进制数各位的权。如一个十进制数585.5按每一位数展开可表示为：
(585.5)10 = 5×102+8×101+5100+5×10-1
2. 二进制
数字电路和计算机中经常采用二进制。二进制的基数为2，共有0和1两个数码，计数规律为低位向高位逢二进一。各数码在不同位的权不一样，故值也不同。二进制数用下标或“2”表示，如一个二进制数101. 101按每一位数展开可表示为：
(101. 101)2 = l×22+0×21+l×2°+l×2-1+0×2-2+l×2-3
3. 二进制数与十进制数的相互转换
(1)二进制数转换成十进制数——按权相加法
按权相加法是指将二进制数按位权展开后相加，即得等值的十进制数。
例如，将二进制数1011101转换为十进制数：
(1011101)2=(1×26十0×25十1×24十1×23十1×22十0×21十1×20）10
= (64 + 0 十 16+ 8 十 4 + 0 十 1)10 =(93)10
(2)十进制数转换成二进制数——除2取余倒排法和乘2取整顺排法
数制和编码的概念及转换
数制和编码的概念及转换
数制是一种表示数值的方式，常见的数制有十进制、二进制、八进制和十六进制等。
十进制是我们平时常用的数制，它使用基数为10的数字系统，由0到9共10个数字组成。
二进制是计算机使用的一种数制，它使用基数为2的数字系统，由0和1两个数字组成。
八进制是一种数制，它使用基数为8的数字系统，由0到7共8个数字组成。
十六进制是一种数制，它使用基数为16的数字系统，由0到9和A到F共16个数字组成，其中A表示10，B表示11，C表示12，D表示13，E表示14，F表示15。
编码是将字符、数字、符号等信息转化成特定的数字或符号的过程。
常见的编码方式有ASCII码、Unicode和UTF-8等。
ASCII码是英文字符编码的一种方式，它使用7位二进制数表示128个英文字符，包括字母、数字和常见的符号。
Unicode是一种编码系统，它为世界上各种文字字符规定了统一的编码，可以表示几乎所有的字符。
UTF-8是一种多字节编码方式，它是Unicode的一种实现方式，可以表示Unicode字符集中的任何字符。
数制转换是指将一个数值从一种数制表示转换成另一种数制表示的过程。
转换方法如下：
1. 二进制转十进制：将每一位上的数乘以2的相应次幂，并求和。
2. 十进制转二进制：用除2取余法，将十进制数除以2，并将余数从低位到高位排列，直到商为0。
3. 八进制转十进制：将每一位上的数乘以8的相应次幂，并求和。
4. 十进制转八进制：用除8取余法，将十进制数除以8，并将余数从低位到高位排列，直到商为0。
5. 十六进制转十进制：将每一位上的数乘以16的相应次幂，并求和。
数制与编码
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二、二、十和十六进制数
3、二进制数转换成十六进制数： 、二进制数转换成十六进制数 数转换成十六进制
从个位数开始向左按每四位二进制数一组划分， 不足四位的组前面以0补足，然后将每组四位进进 0 制数代之以一位十六进制数字。 1 1111 0101 1011B=？H 0001 1111 0101 1011 B = 1F5BH 1 F 5 B
第33～126号(共94个)是字符，其中第48～57号为 0～9十个阿拉伯数字；65～90号为26个大写A~Z英 文字母，97～122号为26个小写a~z英文字母，其余 为一些标点符号、运算符号等。
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三、计算机中字符的编码
3、汉字的编码： 、汉字的编码：
汉字信息交换码是用于汉字信息处理系统之 间或者与通信系统之间进行信息交换的汉字 代码，简称交换码 交换码。也叫国标码 国标码。 交换码 国标码 我国1981年颁布了国家标准——《信息交换 用汉字编码字符集——基本集》，代号 “GB2312-80”,即国标码。
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三、计算机中字符的编码
2、西文字符的编码： 、西文字符的编码：
目前计算机中用得最广泛的字符集及其编码，是由美 国国家标准局(ANSI)制定的ASCII码（American Standard Code for Information Interchange，美国标准信 息交换码），它已被国际标准化组织（ISO）定为国际 标准，称为ISO 646标准。适用于所有拉丁文字字母。 ASCII码有7位码和8位码两种形式。 由7位二进制数表示一个字符的编码，共27=128 扩展的ASCII码使用8位二进制表示一个字符的编码， 可表示28=256个不同字符的编码。
数制与编码
第1章 计算机基础
ASCII码值的大小
• 数字1的ASCII码值为49 字母A的ASCII码值为65 字母a的ASCII码值为97
• 比较字符ASCII码值的大小 空格＜标点符号＜数字＜大写字母＜小写 字母
第1章 计算机基础
字符的编码（一）
1．ASCⅡ码
高4位 低4位
0000
0000 0001 0010 0011 0100 0101 0110 0111 1000 1001 1010 1011 1100 1101 1110 1111
2．汉字编码
第1章 计算机基础
字符的编码（二）
（1）区位码。 （2）汉字的机内码。 （3）汉字输入码。 （4）汉字字形码。
位权与基数的关系是：位权的值恰是基数的整数次幂。
第1章 计算机基础
1．常见的计数制
四种进位计数制的对应关系
十进 二进制 八进制 十六进制 制
0 000 0
0
十进制 二进制 八进制 十六进制
8 1000 10 8
1
001
1
1
2
010
2
2
3
011
3
3
4
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5
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例 2-16 ① X= +126、Y= +5； ② X=－126、Y=－5， 用变形补码计算X+Y。
－0.1010101 +）－0.0010001
－0.1100110
模1×21=2自然丢失.
x+y =－0.1 1 0 0 1 1 0B
验算
结果正确
表2.1 8位二进制整数编码的各种表示方法对照
溢出及其判断方法 …
1. 进位与溢出 … 进位是指运算结果的最高位向更高位的进位，用 来判断无符号数运算结果是否超出了计算机所能表示 的最大无符号数的范围。
用8位补码计算x+y。 解 ① [x]补=01111011 ② [x]补=10000101
[y]补=00000011
[y]补=11111101
01111011
10000101
+ 00000011 01111110
+ 11111101 100000百度文库0
（无溢出，结果正确） （无溢出，结果正确）
[x+y]补=01111110 x+y= +1111110B = +126
[y]补=[－000 1110]补=1111 0010
1111 1100
+ 1111 0010 11110 1110
[x+y]补
模1×28自然丢失
x+y=－0 0 1 0 0 1 0B =－18
例 2-8 x =33，y = 45，用补码分别求 x+y、x－y。
解 x=33=21H=010 0001B
直接将每位十六进制数写成其对应的4位二进制数。
例 2-2 4BF.CH=.0100 1011 1111. 1100B
二进制 通过十六进制 十进制 例 2-3 1010 1110B .
= AEH =10×161 + 14 ×160 =174
1010 1110 1111B = AEFH =10×16 2 + 14 ×16 1 + 15 = 2560 +224 + 15 =2799
第2章 计算机中的数制和编码
2.1 无符号数的表示及运算 2.2 带符号数的表示及运算 2.3 信息的编码 2.4 数的定点与浮点表示法
2.1 无符号数的表示及运算 .
十进制（Decimal）、二进制（Binary） 、 十六进制（Hexadeimal）数及其相互间的转换
十进制数： 1 2 3. 4 5
89 = 59H = 101 1001B
（89 ÷16 = 5 …… 9）
125 = 7DH = 111 1101B
（125 ÷16 = 7 …… 13 ）
2.2 带符号数的表示及运算 机器数与真值 机器数：最高位0表示正数，1表示负数。 例如：. 表示真值 + 001 0010B .= +18 .
5×10－2 4×10－1 3×100 2×101 1×102
即 123.45=1×102 +2×101 +3×100 + 4×10－1 +5×10－2
二进制数：（逢二进一）
1101.1B = 1×23 +1×22 + 0×21 +1×20 +1×2－1 = 8 + 4 + 0 + 1 + 0.5 =13.5
符
号
各位取反
位
100
最末1及其 之后0不变
[y]补 = 1 1 0 0 1 1 0 0
补码的概念及其应用
设标准时间为7时正，钟面时间为9时正。（快2小时） 校准时钟方法：
（1）逆时针拨2小时
9－2=7
（减法）
（2）顺时针拨10小时 9 + 10 = 12 + 7 = 7 （加法）
自然丢失
称“10”是“－2”对模“12”的补（码） 记为 [－2]补 = 1。2 + (－2) = 10 （mod 12）
[－32]补
代表无符号数 18
+ 206 224
纯小数情况 ….
例 2-9 x=－0.1010101， y=－0.0010001，
用补码求x+y。
解
[x]补= 1.0101011 [y]补=1.1101111
1. 0 1 0 1 0 1 1 + 1. 1 1 0 1 1 1 1 1 1. 0 0 1 1 0 1 0
[y]补=11111011
01111110 + 00000101
10000011
[x+y]补=10000011 x+y = －1111101B＜0
（结果错误）
10000010 + 11111011
01111101 [x+y]补= 01111101
x+y = +1111101B＞0
（结果错误）
出错原因：① +126 + 5 = +131＞+127 （正溢出） ② －126－5 =－131＜－128 （负溢出）
0x(2n11) 2n1x0
即 [x]补 2nx
(m2 o n)d
式中 2 n 1x (2 n 1 1 )
例 2-10 ① x = +126、y = + 5； ② x=－126、 y=－5，
用8位补码计算 x+y。
解 ① [x]补=01111110
② [x]补=10000010
[y]补= 00000101
[x+y]补=[x]补+[y]补
式中 x、y 可为正数或负数。
证明： [x+y]补 = 2n +（x+y） （mod 2n） =（2n +x）+（2n +y）
= [x]补 + [y]补
在8位二进制整数系统中模为28 = 256 .
例 2-7 x =－4、y=－14，用补码求x+y。
解 [x]补=[－000 0100]补=1111 1100
y = －0110100 [y]反= 11001011 [y]补= 11001100
例 2-6 x = +0110100 [x]补= 00110100
y= － 0110100 [y]反= 11001011 [y]补= 11001100
由负数的原码（或由真值）直接求其补码: .
y= － 0 1 1 0
解 －14 =－0001110B ，－59 =－3BH=－0111011B
[－14]补=11110010
[－59]补 =11000101
11110010 + 、1、1 0 0 0 1 0 1
1 10110111
C 7 1 、 C 6 1 ， O C 7 F C 6 0
无溢出，结果正确。
[－14－59]补=10110111 －14 + (－59) =－1001001B
x－y = －0001100B =－0CH=－12
从上述补码运算规则和举例可以看出，在计算机 中用补码表示带符号数优点明显，且带符号数和无符 号数的加法和减法运算可用同一加法器完成，结果都 是正确的。例如：
机器运算 00010010 + 11001110 11100000
代表带符号数
[+ 18]补 + [－50]补
有溢出，结果错误。
例 2-15 用补码求－93 +(－59)，并判断结果是否发生溢出。
解 －93 = －5DH=－1011101B －59 = －3BH=－0111011B [－93]补=10100011 [－59]补 =11000101
10100011 + 、1 1 0 0 0 1 0 1
1 01101000
[55]补 =00110111
[66]补= 01000010
00110111
+01000010
01111001 C 7 0 、 C 6 0O C 7 F C 6 0
无溢出，结果正确。
[55+66]补=01111001
55 + 66 = +1111001B =79H=121
例 2-13 用补码求－14 +(－59)，并判断结果是否发生溢出。
二进制
十六进制
∵ 24 =16 ∴ 4位二进制数共有下列16种组合： 0000、0001、0010、0011、 …… 1110、1111 由此可见，每位十六进制数可对应4位二进制数。
0
1
0000 0001
2
3 …… E
F
……
0010 0011 …… 1110 1111
二进制数转换为十六进制数：
溢出是指带符号数的补码运算溢出，用来判断带 符号数补码运算结果是否超出了补码所能表示的范围。 例如，字长为n位的带符号数，它能表示的补码范围 为−2n−1 +2n−1−1，如果运算结果超出此范围，就叫 补码溢出，简称溢出。
在n位二进制整数系统中模为 2n 。 补码的定义
回阅
x [x]补 2n|x|
=1
M=1 减
方式控制M x0 y0
1，有溢出 OFC7 C6 0，无溢出
有进位： 无进位：
C7=1， C6=1 C7=0， C6=0
若最高位的进位状态和次高位的进位状态不同
则溢出；若最高位的进位状态和次高位的进位状态
相同则无溢出。
例 2-12 用补码求 55 + 66 ，并判断结果是否发生溢出。 解 55 =37H=0110111B 66 =42H=1000010B
表示真值 －001 0010B = －18 .
表示真值 －011 0101B =.－53 .
1. 原码 .
例 2-4 x = + 1010111 y = －1010111 .
[x]原= 0 1010111
符绝 号对 位值
[y]原=1 1010111 .
符绝 号对 位值
2. 反码 . 正数的反码与其原码相同。
以小数点为界，向左（整数部分）每4位为一组，高位不足 4位时补0；向右（小数部分）每4位为一组，低位不足4位时补0。 然后分别用对应的十六进制数表示每组中的4位二进制数。
例2-1 11 0101 1101.11B =35 D.CH
110 1010 1110.111B = 6AE.EH 十六进制数转换为二进制数：
同理 [－1]补=11、 [－3]补= 9 、… 、[－11]补=1
在n位二进制整数系统中模为 2n 。 补码的定义
x [x]补 2n|x|
0x(2n11) 2n1x0
即 [x]补 2nx
(m2 o n)d
式中 2 n 1x (2 n 1 1 )
补码的加减运算
[x ]补 2 nx (m2 o n)d
2. 溢出的判断方法…. ① 单符号位比较法….. 通过比较参加运算的两个数的符号及运算结果的 符号进行判断。
同号数据相加，若结果的符号相同则无溢出；若 结果的符号不相同则溢出（如前例2-10）。
异号数据相加，结果不会发生溢出。…
例 2-11 ① x= +123、y= +3； ② x=－123、y=－3，
y=45=2DH=010 1101B [y]补=00101101
[x]补=00100001
[－y]补=11010011
00100001 + 00101101
01001110
[x+y]补=01001110
x+y = +1001110B = + 4EH=78
00100001 + 11010011
11110100 [x－y]补=11110100
负数的反码为： 其原码中符号位不变，其余各位取反。
例2-5 x = +0110100 [x]反 =00110100
y = －0110100 [y]反 = 11001011
3. 补码 . 正数的补码与其原码相同。. （正数的原码、反码、补码均相同） .
负数的补码为：其反码的最低位加1。.
例 2-6 x = + 0110100 [x]补=00110100
C 7 1 、 C 6 0 ， O C 7 F C 6 1
有溢出，结果错误。
③ 双符号位法（变形补码法） 变形补码：正数的符号位用00表示；
负数的符号位用11表示。 通过运算结果的两个符号位的状态来判断结果 是否溢出： 若结果的双符号为01或10则溢出； 若结果的双符号为00或11则无溢出。
十六进制数:（逢十六进一）
0、1、2、3、4、5、6、7、8、9、 A、B、C、D、E、F
共十六个数码，.其中 A、 B、 C、 D、 E、 F
对应十进制数:
10、11、12、13、14、15
A5D.8H= 10×16 2 + 5×16 1 + 13×16 0 + 8×16－1 = 2560 + 80 + 13 + 0.5 = 2653.5
=－49H=－73
例 2-14 用补码求98 +45，并判断结果是否发生溢出。 解 98 = 62H=1100010B 45 =2DH=0101101B
[98]补= 01100010
[45]补= 00101101
0 1100010 + 0 、0 1 0 1 1 0 1
1 0001111
C 7 0 、 C 6 1 ， O C 7 F C 6 1
[x+y]补=10000010
x+y=－1111110B =－126
② 双进位法…. 通过符号位和数值部分最高位的进位状态来判断 结果是否溢出。
CF OF O F C 7 C 6 数值位
=1
C7
b7
b6
C6
Σ
Σ
=1
=1
x7 y7 x6 y6
……
b1
b0
……
Σ
全加器 异或门
……
=1
x1 y1
Σ
M= 0 加