数制和编码
计算机中的数值和编码
计算机中的数制和编码一、数制的概念：数制是用一组固定的数字和一套统一的规则来表示数目的科学方法。
按照进位方式计算的数制叫做进位数制。
例如：逢十进一即为十进制，逢二进一为二进制，逢八进一为八进制，逢十六进一为十六进制。
进位计数制有两个要素：基数和权值。
1、基数：它是指各种进位计数制中允许选用基本数码的个数。
例如：十进制的数码有0、1、2、3、4、5、6、7、8、9十个数码，所以十进制的基数为10；二进制的数码有0、1两个数码，所以二进制的基数为2；八进制的数码有0、1、2、3、4、5、6、7八个数码，所以八进制的基数为8；十六进制的数码有0、1、2、3、4、5、6、7、8、9、A、B、C、D、E、F十六个数码，所以十六进制的基数为16。
2、权值：每个数码所表示的数值等于该数码乘以一个与数码所在位置相关的常数，这个常数叫权值。
其大小是以基数为底，数码所在位置的序号为指数的整数次幂。
例如：十进制数356.4=3×100＋5×10＋6×1＋0.4＝3×102＋5×101＋6×100＋4×10-1（3在百位上，所以3×100＝3×102；5是在十位上，所以5×10＝5×101；6是在个位上，所以6×1＝6×100；0.4为小数，所以0.4＝4×10-1）。
二、十进制（D ecimal notation）及其特点：1、两个特点：①、十个数码：0、1、2、3、4、5、6、7、8、9；②、进位方法：逢十进一，借一当十。
（满了10个就得进一位）2、基数：103、按权展开式：任意一个a位整数和b位小数的十进制数D可以表示为：D＝D a-1×10a-1＋D a-2×10a-2＋…＋D0×100＋D-1×10-1＋D-2×10-2＋…＋D-b×10-b4、十进制在书写中的三种表达方式：128或者128D或（128）10三、二进制（B inary notation）及其特点：1、两个特点：①、两个数码：0、1；②、进位方法：逢二进一，借一当二。
数电基本知识点总结
数电基本知识点总结一、数字电子学概述数字电子学是研究数字系统中的信号处理和信息表示的学科。
它主要关注二进制数字信号的传输、处理和存储。
数字电子学的基础是逻辑运算，这些运算是构建更复杂数字系统的基本元素。
二、数制和编码1. 数制- 二进制数制：使用0和1两个数字表示所有数值的数制，是数字电子学的基础。
- 八进制数制：使用0到7八个数字表示数值，常用于简化二进制数的表示。
- 十进制数制：使用0到9十个数字表示数值，是日常生活中最常用的数制。
- 十六进制数制：使用0到9和A到F十六个数字表示数值，常用于计算机编程中。
2. 编码- ASCII编码：用于表示文本字符的一种编码方式。
- 二进制编码：将数据转换为二进制形式进行存储和传输。
- 格雷码：一种二进制数系统，用于减少错误的可能性。
三、基本逻辑门1. 与门（AND）- 逻辑表达式：A∧B- 输出为真（1）仅当所有输入都为真。
2. 或门（OR）- 逻辑表达式：A∨B- 输出为真（1）只要至少有一个输入为真。
3. 非门（NOT）- 逻辑表达式：¬ A- 输出为真（1）当输入为假（0）时。
4. 异或门（XOR）- 逻辑表达式：A⊕B- 输出为真（1）当输入不相同时。
四、组合逻辑组合逻辑是指输出仅依赖于当前输入的逻辑电路。
这些电路不包含存储元件，因此没有记忆功能。
1. 逻辑门的组合- 通过基本逻辑门的组合，可以构建更复杂的逻辑函数。
2. 多级逻辑- 多个逻辑门按层次结构连接，形成复杂的逻辑电路。
3. 逻辑表达式简化- 使用布尔代数规则简化逻辑表达式，优化电路设计。
五、时序逻辑时序逻辑电路的输出不仅依赖于当前的输入，还依赖于过去的输入（即电路的历史状态）。
1. 触发器（Flip-Flop）- 基本的时序逻辑元件，能够存储一位二进制信息。
2. 计数器（Counter）- 顺序记录输入脉冲的数量，常用于定时和计数。
3. 寄存器（Register）- 由一系列触发器组成，用于存储多位二进制信息。
数字电路-数制与编码
数码的个 数和计数 规律是进 位计数制 的两个决 定因素
一、 十进制数的表示 数码个数10： ⒈ 数码个数 ：
0,1,2,3,4,5,6,7,8,9
计数规律: 计数规律
逢十进 1,借一当10
2.基与基数 2.基与基数
用来表示数的数码的集合称为基 用来表示数的数码的集合称为基（0—9）, ） 称为基数 十进制为10)。 称为基数(十进制为 。 基数 十进制为 集合的大小
lg α j≥i lg β
取满足不等式的最小整数
)16 ，已知精度为±(0.1)410
例: (0.3021)10→(
解： α＝10，β＝16，i＝4
lg10 j≥ 4 = 3.32 取 j=4 lg16
⑵按题意要求
例: (0.3021)10→( 解:
)2 ，要求精度 0.1% ∴取 j=10
1 1 0.1% = ≥ 10 1000 2
X ;0 ≤ X < 2n [ X ]补＝ 2n +1 + X ;-2n ≤ X < 0
例 2：
(321.4)8 = ( )10 =3×82+2×81+1×80 +4×8-1 =(209.5)10 192 16 1 0.5
基数乘除法（ 10 → R ）
分整数部分和小数部分分别转换。 ⒈整数的转换——基数除法 规则：除基取余， 规则：除基取余，商零为止 例1：(25) 10 = ( ) 2
例：已知 X1＝1100 X2＝1010 求 Y1＝ X1－ X2 ； Y2＝ X2－ X1
01100 +10101 100001 + 1 00010 01010 +10011 11101
数制与编码
8421BCD码和十进制的之间的转化
例：将十进制数768用8421BCD码表示。 十进制数 7 6 8 8421码 0111 0110 1000 （768）10=（0111 0110 1000）8421
注意：
1.编码是一种符号表示某个具体的实物，所以编码不能比较大小。 2.8421BCD码是使用最广泛的 一种编码，在用4位二进制数码来表示1位十制 数时，每1位二进制数的位权依次为23、22、21、20，即8421，所以称为8421码 8421码选取0000—1001前十种组合来表示十进制数，而后六种组合舍去不用，称 为伪码。
可将每个八进数用3位二进制数表示，然后按八进制的排序将这些3位二进
制数排列好，就可得到相应的二进制数。
例：将八进制数475转化为二进制数。
解： 八进制数 4
7
5
二进制数 100 111
101
所以（475）8=（100111101）8
二进制数换为十六进制数
可将二进制整数自右向左每4位分为一组，最后不足４位的，高位用零补
6、将下列的二进制转化为十进制
（１０１１）２
（１１０１１）２
（１１０１１０）２
（１１００１１１１０）２
7、将下列的十进制转化为二进制
（２０） （３８）
（１００） （１８４）
8、完成下列二进制的运算
１０１+１１
１１１１１+１０１
１１０－１１
１１０１－１１１
9、什么是二进制代码？ 什么是８４２１编码？列出８４２１ＢＣＤ码的真 值表？
二进制数换为八进制数
可将二进制整数自右向左每3位分为一组，最后不足3位的，高位用零补足，
再把每3位二进制数对应的八进制数写出即可。
计算机中的数制与编码
计算机中的数制与编码一、数制1、什么是进位计数制数制也称计数制,是指用一组固定的符号和统一的规则来表示数值的方法。
按进位的原则进行计数的方法,称为进位计数制。
比如，在十进位计数制中,是按照“逢十进一”的原则进行计数的。
常用进位计数制：a、十位制(Decimal notation)；b、二进制(Binary notation)；c、八进制(Octal notation)；d、十六进制数(Hexdecimal notation)2、进位计数制的基数与位权"基数"和"位权"是进位计数制的两个要素。
（1）基数：所谓基数，就是进位计数制的每位数上可能有的数码的个数。
例如，十进制数每位上的数码，有"0"、"1"、"3",…，"9"十个数码，所以基数为10。
（2）位权：所谓位权，是指一个数值的每一位上的数字的权值的大小。
例如十进制数4567从低位到高位的位权分别为100、101、102、103。
因为：4567＝4x103＋5x 102＋6x 101 ＋7x100（3）数的位权表示：任何一种数制的数都可以表示成按位权展开的多项式之和。
比如：十进制数的435．05可表示为：435．05＝4x102＋3x 101＋5x100＋0x10－1 ＋5x 10－2位权表示法的特点是：每一项＝某位上的数字X基数的若干幂次；而幂次的大小由该数字所在的位置决定。
3、二进制数计算机中为何采用二进制：二进制运算简单、电路简单可靠、逻辑性强（1）定义：按“逢二进一”的原则进行计数，称为二进制数，即每位上计满2 时向高位进一。
（2）特点：每个数的数位上只能是０，１两个数字；二进制数中最大数字是１，最小数字是０；基数为２；比如：10011010与00101011是两个二进制数。
（３）二进制数的位权表示：(1101.101)2＝1x23＋1x 22＋0x 21＋1x 20＋1x2－1 ＋0x 2－2＋1x2－3（4）二进制数的运算规则1 加法运算① 0＋0＝0 ③ 1＋1＝10② 0＋1＝1＋0＝12 乘法运算① 0×0＝0 ③ 1×1＝1② 0×1＝1×0＝04、八进位制数（1）定义：按“逢八进一”的原则进行计数，称为八进制数，即每位上计满8时向高位进一。
数制及编码
∴（0.3125）10 =（0.0101）2
说明：有时可能无法得到0的结果，这时应
根据转换精度的要求适当取一定位数。
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2. 二进制与八进制、十六进制之间的转换
（1）二进制与八进制之间的转换 三位二进制数对应一位八进制数。
（6574）8 =（110，101，111，100）2 =（110101111100）2
12
（1）8421码
选取0000~1001表示十进制数0~9。 按自然顺序的二进制数表示所对应的十进制数字。 是有权码，从高位到低位的权依次为8、4、2、1，
故称为8421码。 1010~1111等六种状态是不用的，称为禁用码。
例：
（1985）10 =（0001 1001 1000 0101）8421BCD
（101011100101）2 =（101，011，100，101）2 =（5345）8
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（2）二进制与十六进制之间的转换 四位二进制数对应一位十六进制数。
例如： （9A7E）16 =（1001 1010 0111 1110）2
=（1001101001111110）2
（10111010110）2 =（0101 1101 0110）2
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表1-5 美国标准信息交换码（ASCII码）
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b2
2∣27 …………余1
b3
2∣13 …………余1
b4
2∣6 …………余0
b5
2∣3 …………余1
b6
2∣1 …………余1
b7
0
2024∴/2/21（217）10 =（11011001）2
计算机常用数制及编码
计算机常用数制及编码1.二进制数制：二进制是计算机中最基本的数制，只包含两个数字0和1、它是一种逢二进一的计数法，每位上的数值以2为底数的幂来表示。
例如，二进制数1101表示1*2^3+1*2^2+0*2^1+1*2^0=13、在计算机中，二进制数被广泛应用于存储和运算等操作。
2.八进制数制：八进制使用8个数字0-7来表示。
它是二进制数制的一种压缩表示方法，每3位二进制数可以表示为一位八进制数。
例如，二进制数1101可以表示为八进制数15、八进制数在计算机界并不常见，但在一些特定场景下仍然有一定的应用。
3.十进制数制：十进制是我们常用的数制，使用10个数字0-9来表示数值，每位上的数值以10为底数的幂来表示。
例如，十进制数123表示1*10^2+2*10^1+3*10^0=123、十进制数制通常用于人类的日常计算中，但在计算机中也会涉及到十进制的处理，例如在涉及到金额、日期和时间等数字的场景中。
4.十六进制数制：十六进制使用16个数字0-9和A-F来表示，其中A-F分别表示十进制数10-15、它是二进制数制的另一种压缩表示方法，每4位二进制数可以表示为一位十六进制数。
十六进制数常用于计算机领域，因为它们可以更紧凑地表示二进制数。
例如，二进制数1101可以表示为十六进制数D。
编码系统是为了实现计算机和人类之间的信息交流而发展的。
下面介绍几种常见的编码系统：1.ASCII码：ASCII（American Standard Code for Information Interchange）是最早和最广泛使用的字符编码系统之一、它使用7位二进制数（扩展ASCII使用8位二进制数）来表示128（或256）个字符，包括英文字母、数字、符号等。
ASCII码可以用于存储和表示文本文件中的字符。
2. Unicode编码：3.UTF-8编码：UTF-8（Unicode Transformation Format - 8-bit）是一种对Unicode进行可变长度编码的字符编码系统。
数制与编码精讲内容
数制与编码1.数制和编码的基本概念▪数制数制是用一组固定的数字和一套统一的规则来表示数的方法。
常用的进位计数制有二进制(B)、八进制(O)、十进制(D)、十六进制(H)。
▪进位计数制有两个基本要素：基数和权（1）基数：数制所使用数码的个数。
例如，二进制的基数为2，十进制的基数为10。
（2）权：以基数为底，以某一数字所在位置的序号为指数的幂，称为该数字在该位置的权。
▪编码编码是采用少量的基本符号，选用一定的组合原则，以表示大量复杂多样的信息的技术。
任何信息必须转换成二进制形式数据才能由计算机进行处理、存储和传输。
2. 不同进位数制的特点▪十进制（Decimal）十进制的特点是：用10个数码（0~9）表示所有的数,基数是10, 采用逢十进一的计数方法。
▪二进制（Binary）二进制的特点是：由0、1组成，基数是2，加法采用“逢二进一”、减法采用“借一当二”的运算规则。
▪十六进制（Hexadecimal）十六进制：由0、1、2、3、4、5、6、7、8、9、A、B、C、D、E、F组成，基数是16，加法用“逢十六进一”、减法采用“借一当十六”的运算规则。
▪八进制（Octal）八进制数的特点是：由0，1，2，3，4，5，6，7组成，基数是8，加法采用“逢八进一”、减法用“借一当八”的运算规则。
3. 进制数的转换(1)二进制<-->八进制数转换(2)十进制转为八进制(3)十六进制转为八进制4. 常见的信息编码▪BCD码二进制编码的十进制数，简称BCD码(Binarycoded Decimal)。
这种方法是用4位二进制码的组合代表十进制数的0，1，2，3，4，5，6 ，7，8，9 十个数符。
▪ASCII码ASCII（American Standard Code for Information Interchange，美国信息交换标准代码），它是现今最通用的单字节编码系统，并等同于国际标准ISO/IEC 646。
数制和编码
十进制码与BCD码之间的转换（直接转换）：(38)10=(
1.4 可靠性代码
•循环码（又称间隔位编码、格雷码（Gray））
一位循环码 二位循环码 三位循环码 四位循环码 0000 0001 0011 0010 0110 0111 0101 0100 1000 1001 1011 1010 1110 1111 1101 1100
例：将(28.84)10转换为二进制数 整数部分：除2取余 28 / 2 = 14 …… 余 0 14 / 2 = 7 …… 0 7 / 2 = 3 …… 1 低位
3 / 2 = 1 …… 1 1 / 2 = 0 …… 1 ( 28 ) 10 = (11100 ) 2 小数部分：乘2取整 0.84 × 2 = 1.68 ……… 取整 1 0.68 × 2 = 1.36 …………… 1 0.36 × 2 = 0.72 …………… 0 0.72 × 2 = 1.44 …………… 1 0.44 × 2 = 0.88 …………… 0
1.2 数制转换
任意两种进制之间的转换： （借助十进制作为桥梁）
多项式替代法
例: (121)3转换成二进制
= (1 × 10 2 + 2 × 101 + 1 × 100 ) 3 = (1 × 112 + 10 × 111 + 1 × 110 )2 = (1001 + 110 + 1)2 = (10000)2
计算机使用二进制进行机器运算。
优点：运算简单、电路实现容易、便于利用逻辑代数 进行研究分析
加法规则 减法规则 乘法规则 除法规则
0+0 =0 1+0 = 1 0−0 =0 1−0 = 1 0×0 = 0 1× 0 = 0 0÷1=0
计算机基础知识之数制与编码
计算机基础知识之数制与编码数制是计算机基础知识中非常重要的一部分，它涉及到了计算机中数字的表示和存储方式。
编码则是将数字和字符等信息转换成计算机能够识别和处理的形式。
在计算机领域中，常用的数制有二进制、十进制、十六进制等，而编码方式常见的有ASCII、Unicode、UTF-8等。
接下来，我们将详细介绍数制与编码的概念、特性以及在计算机中的运用。
一、数制1.二进制二进制是计算机中最基本的数制。
它使用了 0 和 1 两个数字，表示任何一个二进制位(bit)的状态。
二进制的每一位表示2的幂，从右到左依次是1、2、4、8、16、32...二进制数的转换和计算相对复杂，因此在计算机中常用于存储和处理数据。
2.十进制十进制是人类最常用的数制。
它使用了0-9十个数字，每一位表示10的幂。
十进制数的转换和计算相对简单，因此在日常生活和大多数计算中都使用十进制。
3.十六进制十六进制是二进制的一种表示方式，它使用了0-9和A-F十六个数字，每一位表示16的幂。
十六进制数比较紧凑且易于理解，因此在计算机领域中经常用于表示二进制值，尤其是内存地址和寄存器的值。
4.八进制八进制使用了0-7八个数字，每一位表示8的幂。
八进制在计算机领域中应用较少，通常仅用于一些特定的场景。
5.其他进制除了二进制、十进制、十六进制和八进制外，还有其他一些进制，如二十四进制、三十六进制等。
但它们在计算机领域中使用相对较少。
二、编码编码是将数字、字符和其他信息转换成计算机能够理解和处理的形式。
常见的编码方式有ASCII、Unicode、UTF-8等。
1.ASCII码ASCII (American Standard Code for Information Interchange)是计算机中最早使用的编码方式，它共定义了128个字符，包括数字、字母、符号和控制字符等。
每个字符用一个字节(8位）来表示，其中的 7位用于字符的编码，最高位用于保持数据的完整性。
数制和编码的概念及转换
数制和编码的概念及转换数制是一种表示数值的方式，常见的数制有十进制、二进制、八进制和十六进制等。
十进制是我们平时常用的数制，它使用基数为10的数字系统，由0到9共10个数字组成。
二进制是计算机使用的一种数制，它使用基数为2的数字系统，由0和1两个数字组成。
八进制是一种数制，它使用基数为8的数字系统，由0到7共8个数字组成。
十六进制是一种数制，它使用基数为16的数字系统，由0到9和A到F共16个数字组成，其中A表示10，B表示11，C表示12，D表示13，E表示14，F表示15。
编码是将字符、数字、符号等信息转化成特定的数字或符号的过程。
常见的编码方式有ASCII码、Unicode和UTF-8等。
ASCII码是英文字符编码的一种方式，它使用7位二进制数表示128个英文字符，包括字母、数字和常见的符号。
Unicode是一种编码系统，它为世界上各种文字字符规定了统一的编码，可以表示几乎所有的字符。
UTF-8是一种多字节编码方式，它是Unicode的一种实现方式，可以表示Unicode字符集中的任何字符。
数制转换是指将一个数值从一种数制表示转换成另一种数制表示的过程。
转换方法如下：1. 二进制转十进制：将每一位上的数乘以2的相应次幂，并求和。
2. 十进制转二进制：用除2取余法，将十进制数除以2，并将余数从低位到高位排列，直到商为0。
3. 八进制转十进制：将每一位上的数乘以8的相应次幂，并求和。
4. 十进制转八进制：用除8取余法，将十进制数除以8，并将余数从低位到高位排列，直到商为0。
5. 十六进制转十进制：将每一位上的数乘以16的相应次幂，并求和。
6. 十进制转十六进制：用除16取余法，将十进制数除以16，并将余数从低位到高位排列，直到商为0。
以上是一些常见的数制和编码的概念及转换方法，不同的数制和编码方式在不同的场景中有不同的应用。
数制与编码
第一章 数制与编码§1.1进位计数制∑==-≤≤=110,i m i i i i r r a r a N当10≤r 时，借用十进制数数表示，r ＞10时，10以后的数用字母表示 §1.2二进制的特点1．状态简单，容易实现， 2．算术运算简单 3．运算方便 4．节省设备1）设n 是数的位数，R 是基数 n =3，R=10，R u =103=1000R n ——表示的最大倍数量 nR= ——表示R u 个信息量所用的设备量nR=3×10=30R n ≥1000 R=2 2n ≥1000 n =10 R n =1024n R=10×2=202）唯一性证明R=2 N=R n L n N=nLnR 令C=LnN C=nLnR两边同乘R ，RC=nRLnR LnR RC nR = 0)(='L n RRC R=e=2.718§1.3数制的转换1.3.1任意进制转换成十进制按幂展开（10111.1）2=1×24+0×23+1×22+1×21+1×20+1×2-1=（23.5）10（AD.8）16=10×161+13×160+8×16-1=（173.5）101.3.2十进制转换成任意进制N10→N 2一、整数转换（19）10=除2取余（10011）2二、小数转换 乘2取整1.3.3 基数为2k 进位制数之间的转换§1.4机器数——带符号数的代码表示1.4.1原码 1 92 9 12 4 12 2 02 1 02 0 1一、原码的表示符号位表示数的符号，其余位表示数的本身，和真值相同，只是符号位负数用1表示，正数用0表示。
N 3=+0.1011 [N 3]原=0.1011N 4=-0.1011 [N 4]原=1.1011原码形成规则对于n 位的整数N （含一位符号位），[N]原=对于小数[N]原= N2=-1011 [N 2]原=25-1-（-1011）=10000+1011=11011二、原码的性质1．若N ≥0时，[N]原=N ，若N ≤0时，符号位为1，尾数不变。
数制与编码
9
10 1010 12
A
11 1011 13
B
12 1100 14
C
13 1101 15
D
14 1110 16
E
15 1111 17
F
第1章 计算机基础
二、数制的表示方法
1、用下标表示： 如（10011.01)2 (101.11)10 (10011.01)8 (1011.11)16 2、用字母表示：
位权与基数的关系是：位权的值恰是基数的整数次幂。
第1章 计算机基础
1．常见的计数制
四种进位计数制的对应关系
十进 二进制 八进制 十六进制 制
0 000 0
0
十进制 二进制 八进制 十六进制
8 1000 10 8
1
001
1
1
2
010
2
2
3
011
3
3
4
100
4
4
5
101
5
5
6
110
6
6
7
111
7
7
9
1001 11
第1章 计算机基础
ASCII码值的大小
• 数字1的ASCII码值为49 字母A的ASCII码值为65 字母a的ASCII码值为97
• 比较字符ASCII码值的大小 空格＜标点符号＜数字＜大写字母＜小写 字母
第1章 计算机基础
字符的编码（一）
1．ASCⅡ码
高4位 低4位
0000
0000 0001 0010 0011 0100 0101 0110 0111 1000 1001 1010 1011 1100 1101 1110 1111
数制与编码
例如：819.18这个数，第一个8处于百位，代表800。第二个
1处于十位，代表10。第三个9处于个位，代表9。第四个1处 于十分位，代表1/10。第五个8处于百分位，代表8/100。 因此，十进制的819.18可以写成： 819.18=8×102+1 ×101+9 ×100+1 ×10-1+8 ×10-2
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钱新平
三、计算机中字符的编码
3、汉字的编码： 、汉字的编码：
区位码:汉字也有一张国标码表，把7445个国标码放 ④ 区位码 在一个94行×94列的阵列中。阵列的行称为“区”， 列称为“位”，这样，区号范围和列号范围都是1～ 94。这样，一个汉字在表中的位置就可以用它所在 的区号和位号来确定。 如“中”的区位码为5448， 即54区48位。 区位码和国标码之间的关系： ⑤ 区位码和国标码之间的关系：将一个汉字的十进制 区号和十进制位号分别转换成十六进制数，再加上 20H，就成为此汉字的国标码。例如：“中”的区位 码是：5448，分别将区号54 ，位号48转为十六进制 为36H和30H。然后区号，位号分别加上20H，得 “中”的国标码：3630H+2020H=5650H
钱新平
三、计算机中字符的编码
1、字符编码： 、字符编码：
计算机所表示和使用的数据可分为两大 类：数值数据 字符数据 数值数据和字符数据 数值数据 字符数据。 数值数据： ① 数值数据：用以表示量的大小、正负。 如正整数、小数等。 ② 字符数据：用以表示一些符号、标记。 字符数据： 如英文字母、数字、标点符号、汉字、 声音、图形等等。
对于任意一个既有整数部分， 对于任意一个既有整数部分，又有小数部分的十进 制数，在转换为二进制数时： 制数，在转换为二进制数时：只要将它的整数部分 和小数部分分别按除2取余和乘2取整的法则转换， 最后把所得的结果用小数点连接起来即可。 必须注意： 必须注意：
计算机中的数制及其编码
计算机中的数制及其编码1.数制的定义：数制是用来表示和运算数字的一种符号系统。
常见的数制包括二进制、八进制、十进制和十六进制。
2.二进制：二进制是数字系统的一种数制，只包含两个数字0和1、在计算机中，所有的信息都被转换为二进制形式进行存储和处理。
3.八进制：八进制是一种数制，基数为8、它使用了8个数字0-7，通过每一位上的数来表示数值。
4.十进制：十进制是我们日常生活中最常用的数制，基数为10。
它使用了10个数字0-9来表示数值。
5.十六进制：十六进制也是一种常见的数制，基数为16、它使用了16个数字0-9和字母A-F来表示数值。
十六进制常用于计算机科学和工程领域，特别是在内存地址和颜色编码中。
6.数制之间的转换：在计算机中，不同的数制之间可以进行相互转换。
例如，将十进制数转换为二进制数可以使用除2取余的方法，将十进制数一直除以2，直到商为0，然后将每次的余数倒序排列即可得到二进制数。
而将二进制数转换为十进制数，则可以通过每一位数乘以2的幂次方后相加得到结果。
7.数制的编码：在计算机中，数制的编码主要指对不同的字符和数字进行表示和存储的方式。
常见的编码方式包括ASCII码、Unicode、UTF-8等。
-ASCII码：ASCII码是一种基于拉丁字母的字符编码标准，使用7位或8位二进制（0-127或0-255）表示128个不同的字符。
它包括英文字母、数字、标点符号和控制字符等。
- Unicode：-UTF-8：UTF-8是一种可变长度的Unicode编码，使用8位二进制（0-255）表示字符。
它通过对不同的字符使用不同长度的编码，实现了用较少的存储空间表示更多的字符。
总结：数制是用来表示和运算数字的一种符号系统，常见的数制包括二进制、八进制、十进制和十六进制。
数制之间可以进行相互转换，常见的编码方式包括ASCII码、Unicode和UTF-8、这些数制和编码在计算机中起着重要的作用，帮助实现了数字的存储、处理和通信。
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例 2-2 4BF.CH=.0100 1011 1111. 1100B
二进制 通过十六进制 十进制 例 2-3 1010 1110B .
= AEH =10×161 + 14 ×160 =174
1010 1110 1111B = AEFH =10×16 2 + 14 ×16 1 + 15 = 2560 +224 + 15 =2799
0x(2n11) 2n1x0
即 [x]补 2nx
(m2 o n)d
式中 2 n 1x (2 n 1 1 )
例 2-10 ① x = +126、y = + 5； ② x=－126、 y=－5，
用8位补码计算 x+y。
解 ① [x]补=01111110
② [x]补=10000010
[y]补= 00000101
同理 [－1]补=11、 [－3]补= 9 、… 、[－11]补=1
在n位二进制整数系统中模为 2n 。 补码的定义
x [x]补 2n|x|
0x(2n11) 2n1x0
即 [x]补 2nx
(m2 o n)d
式中 2 n 1x (2 n 1 1 )
补码的加减运算
[x ]补 2 nx (m2 o n)d
十六进制数:（逢十六进一）
0、1、2、3、4、5、6、7、8、9、 A、B、C、D、E、F
共十六个数码，.其中 A、 B、 C、 D、 E、 F
对应十进制数:
10、11、12、13、14、15
A5D.8H= 10×16 2 + 5×16 1 + 13×16 0 + 8×16－1 = 2560 + 80 + 13 + 0.5 = 2653.5
[y]补=11111011
01111110 + 00000101
10000011
[x+y]补=10000011 x+y = －1111101B＜0
（结果错误）
10000010 + 11111011
01111101 [x+y]补= 01111101
x+y = +1111101B＞0
（结果错误）
出错原因：① +126 + 5 = +131＞+127 （正溢出） ② －126－5 =－131＜－128 （负溢出）
溢出是指带符号数的补码运算溢出，用来判断带 符号数补码运算结果是否超出了补码所能表示的范围。 例如，字长为n位的带符号数，它能表示的补码范围 为−2n−1 +2n−1−1，如果运算结果超出此范围，就叫 补码溢出，简称溢出。
在n位二进制整数系统中模为 2n 。 补码的定义
回阅
x [x]补 2n|x|
[－32]补
代表无符号数 18
+ 206 224
纯小数情况 ….
例 2-9 x=－0.1010101， y=－0.0010001，
用补码求x+y。
解
[x]补= 1.0101011 [y]补=1.1101111
1. 0 1 0 1 0 1 1 + 1. 1 1 0 1 1 1 1 1 1. 0 0 1 1 0 1 0
第2章 计算机中的数制和编码
2.1 无符号数的表示及运算 2.2 带符号数的表示及运算 2.3 信息的编码 2.4 数的定点与浮点表示法
2.1 无符号数的表示及运算 .
十进制（Decimal）、二进制（Binary） 、 十六进制（Hexadeimal）数及其相互间的转换
十进制数： 1 2 3. 4 5
符
号
各位取反
位
100
最末1及其 之后0不变
[y]补 = 1 1 0 0 1 1 0 0
补码的概念及其应用
设标准时间为7时正，钟面时间为9时正。（快2小时） 校准时钟方法：
（1）逆时针拨2小时
9－2=7
（减法）
（2）顺时针拨10小时 9 + 10 = 12 + 7 = 7 （加法）
自然丢失
称“10”是“－2”对模“12”的补（码） 记为 [－2]补 = 1。2 + (－2) = 10 （mod 12）
[x+y]补=10000010
x+y=－1111110B =－126
② 双进位法…. 通过符号位和数值部分最高位的进位状态来判断 结果是否溢出。
CF OF O F C 7 C 6 数值位
=1
C7
b7
b6
C6
Σ
Σ
=1
=1
x7 y7 x6 y6
……
b1
b0
……
Σ
全加器 异或门
……
=1
x1 y1
Σ
M= 0 加
－0.1010101 +）－0.0010001
－0.1100110
模1×21=2自然丢失.
x+y =－0.1 1 0 0 1 1 0B
验算
结果正确
表2.1 8位二进制整数编码的各种表示方法对照
溢出及其判断方法 …
1. 进位与溢出 … 进位是指运算结果的最高位向更高位的进位，用 来判断无符号数运算结果是否超出了计算机所能表示 的最大无符号数的范围。
C 7 1 、 C 6 0 ， O C 7 F C 6 1
有溢出，结果错误。
③ 双符号位法（变形补码法） 变形补码：正数的符号位用00表示；
负数的符号位用11表示。 通过运算结果的两个符号位的状态来判断结果 是否溢出： 若结果的双符号为01或10则溢出； 若结果的双符号为00或11则无溢出。
x－y = －0001100B =－0CH=－12
从上述补码运算规则和举例可以看出，在计算机 中用补码表示带符号数优点明显，且带符号数和无符 号数的加法和减法运算可用同一加法器完成，结果都 是正确的。例如：
机器运算 00010010 + 11001110 11100000
代表带符号数
[+ 18]补 + [－50]补
89 = 59H = 101 1001B
（89 ÷16 = 5 …… 9）
125 = 7DH = 111 1101B
（125 ÷16 = 7 …… 13 ）
2.2 带符号数的表示及运算 机器数与真值 机器数：最高位0表示正数，1表示负数。 例如：. 表示真值 + 001 0010B .= +18 .
[55]补 =00110111
[66]补= 01000010
00110111
+01000010
01111001 C 7 0 、 C 6 0O C 7 F C 6 0
无溢出，结果正确。
[55+66]补=01111001
55 + 66 = +1111001B =79H=121
例 2-13 用补码求－14 +(－59)，并判断结果是否发生溢出。
y = －0110100 [y]反= 11001011 [y]补= 11001100
例 2-6 x = +0110100 [x]补= 00110100
y= － 0110100 [y]反= 11001011 [y]补= 11001100
由负数的原码（或由真值）直接求其补码: .
y= － 0 1 1 0
有溢出，结果错误。
例 2-15 用补码求－93 +(－59)，并判断结果是否发生溢出。
解 －93 = －5DH=－1011101B －59 = －3BH=－0111011B [－93]补=10100011 [－59]补 =11000101
10100011 + 、1 1 0 0 0 1 0 1
1 01101000
用8位补码计算x+y。 解 ① [x]补=01111011 ② [x]补=10000101
[y]补=00000011
[y]补=11111101
01111011
10000101
+ 00000011 01111110
+ 11111101 10000010
（无溢出，结果正确） （无溢出，结果正确）
[x+y]补=01111110 x+y= +1111110B = +126
=1
M=1 减
方式控制M x0 y0
1，有溢出 OFC7 C6 0，无溢出
有进位： 无进位：
C7=1， C6=1 C7=0， C6=0
若最高位的进位状态和次高位的进位状态不同
则溢出；若最高位的进位状态和次高位的进位状态
相同则无溢出。
例 2-12 用补码求 55 + 66 ，并判断结果是否发生溢出。 解 55 =37H=0110111B 66 =42H=1000010B
[x+y]补=[x]补+[y]补
式中 x、y 可为正数或负数。
证明： [x+y]补 = 2n +（x+y） （mod 2n） =（2n +x）+（2n +y）
= [x]补 + [y]补
在8位二进制整数系统中模为28 = 256 .
例 2-7 x =－4、y=－14，用补码求x+y。
解 [x]补=[－000 0100]补=1111 1100
二进制
十六进制
∵ 24 =16 ∴ 4位二进制数共有下列16种组合： 0000、0001、0010、0011、 …… 1110、1111 由此可见，每位十六进制数可对应4位二进制数。
0
1
0000 0001