材料力学(I)第三章
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材料力学第3章 扭转
m n m
求图示轴n-n截面内力
解： 截面法
1、截开 取左段杆 2、代替 3、平衡
x
n
m
x
0 Mx T 0 Mx m
m
Mx
扭矩
同样取右段杆，可得： M x m
m
Mx x
左段与右段求出的扭矩等值、共线，但反向。
符合作用力与反作用力定律.
扭矩正负号的规定：
按右手螺旋法则，视Mx为矢量，若矢量的方向与横截面外法线 方向一致， Mx为正，反之为负.
材料力学
第3章 扭转
第三章 扭转
材料力学
第3章 扭转
• • • • •
本章主要内容 扭矩及扭矩图 等值圆杆扭转时横截面上的应力 等值圆杆扭转时的变形 矩形截面杆的扭转
材料力学
第3章 扭转
§3-1 概述 一、工程实际中的受扭杆 等值杆承受作用在垂直于杆轴线的平面内力偶时，杆件将发生 扭转变形，以扭转为主要变形的杆件称为轴。 （a）机械中传动轴； （b）石油钻机、灌注桩等钻杆； （c）水能发电机的主轴； （d）桥梁、厂房空间结构中的某些结构
IP
D4
(1- 4 )
3、薄壁圆环截面
δ
R
0
R0≥10
2 2 3 I P 2 dA R0 dA=R0 d A =2 R 0 A A A
3 I P 2 R0 2 WP 2 R0 R0 R0
Mx 2 2 R0
较小，可认为切应力沿厚度方向均布.
D
解： (a)实心截面
WP1
d1
d3
16
1003
16
1.96 105 mm3
d
D
求图示轴n-n截面内力
解： 截面法
1、截开 取左段杆 2、代替 3、平衡
x
n
m
x
0 Mx T 0 Mx m
m
Mx
扭矩
同样取右段杆，可得： M x m
m
Mx x
左段与右段求出的扭矩等值、共线，但反向。
符合作用力与反作用力定律.
扭矩正负号的规定：
按右手螺旋法则，视Mx为矢量，若矢量的方向与横截面外法线 方向一致， Mx为正，反之为负.
材料力学
第3章 扭转
第三章 扭转
材料力学
第3章 扭转
• • • • •
本章主要内容 扭矩及扭矩图 等值圆杆扭转时横截面上的应力 等值圆杆扭转时的变形 矩形截面杆的扭转
材料力学
第3章 扭转
§3-1 概述 一、工程实际中的受扭杆 等值杆承受作用在垂直于杆轴线的平面内力偶时，杆件将发生 扭转变形，以扭转为主要变形的杆件称为轴。 （a）机械中传动轴； （b）石油钻机、灌注桩等钻杆； （c）水能发电机的主轴； （d）桥梁、厂房空间结构中的某些结构
IP
D4
(1- 4 )
3、薄壁圆环截面
δ
R
0
R0≥10
2 2 3 I P 2 dA R0 dA=R0 d A =2 R 0 A A A
3 I P 2 R0 2 WP 2 R0 R0 R0
Mx 2 2 R0
较小，可认为切应力沿厚度方向均布.
D
解： (a)实心截面
WP1
d1
d3
16
1003
16
1.96 105 mm3
d
D
材料力学 第三章 扭转
d T dx GI p
d t r Gr dx
Tr tr Ip
Tr tr Ip
上式为等直圆杆在扭转时横截面上任一点处切 应力的计算公式。
Tr tr Ip
2
b z
t'
dx
c c'
3.4 圆轴扭转时的应力 3.4.1 横截面上的应力 1) 变形几何关系 在小变形条件下, 等直圆杆在扭转时横截面上也 只有切应力。为求得此应力, 需从几何关系、物 理关系和静力关系三个方面着手。 为研究横截面上任一点处切应变随点的位臵而 变化的规律, 先观察一个实验。
3.4 圆轴扭转时的应力 实验:预先在等截面圆杆的表面画上任意两个相 邻的圆周线和纵向线。在杆的两端施加外 力偶矩Me。
3.3 薄壁圆筒的扭转
薄壁圆筒扭转时, 横截面上 任一点处的切应力t都是相 等的, 而其方向与圆周相切。 横截面上的内力与应力间 的静力关系为:
n
r0 x
t dA
Me
n
t dA r
A
0
t r0 dA t r0 2 r d T
A
对于薄壁圆筒, r可由平均半径r0代替。
M x 0, T M e 0
T Me
取右侧为研究对象其扭矩与取左侧为研究对象 数值相同但转向相反。
3.2.2 扭矩及扭矩图 扭矩的符号规定如下: 采用右手螺旋法则, 如果 以右手四指表示扭矩的转向, 则姆指的指向离 开截面时的扭矩为正。
反之, 姆指指向截面时则扭矩为负。
3.2.2 扭矩及扭矩图
M2
M3
M1 n
A
M4
B
C
D
M2
M3
M1
材料力学第三章 能量法
三、卡氏第二定理（线弹性体）
Di
Vc Fi
在线弹性范围内
余能定理 Vc V
Di
V Fi
卡氏第二定理： 线弹性杆件或杆系的应变能对于 作用在该杆件或杆系上的某一荷 载的变化率，就等于与该荷载相 应的位移。
卡氏第二定理适用于一切受力状态下的线弹性体。
卡氏第二定理公式D及i 含义VF：i
若结构的应变能 V 表示为F1、F2 …Fi …的函数，则应变 能对任一载荷Fi的偏导数等于Fi作用点沿Fi方向位移。
C
与需求位移相应的虚设外力
F。求偏导后令其为零。
（2）列弯矩方程
M
x
F 2
ql 2
x
qx 2 2
0
x
l 2
M
x
F 2
ql 2
x
qx 2 2
0
x
l 2
（3）求梁的应变能
M 2 l/2
x
1
V 2 0
dx
2EI
EI
l/2
0
F 2
ql 2
x
qx 2 2
2 dx
1 EI 1 EI
V W
一、杆件基本变形的应变能
(一)轴向拉伸(压缩)
1、杆的应变能
轴力沿轴线不变的情况:
dW Fd(Dl) W Dl1 Fd(Dl) 0
线弹性范围内 W 1 FDl
1
2
V
F
W
FN
2
F Dl Dl
FNl EA
应变能
V
FN2l 2EA
F
l
Dl
F
Dl d (Dl)
Dl1
Dl
(一)轴向拉伸(压缩)
材料力学第三章 扭转
n
250
横截面上的最大切应力为
max
T Wt
T (D4 d 4)
16D
16 0.55573000 Pa 19.2MPa [ ] 50MPa (0.554 0.34 )
满足强度要求。
跟踪训练 7.机车变速箱第II轴如图所示，轴所传递的功率为
p 5.5KW,转速n 200r / min，材料为45钢，
（3）主动轮放在两从动轮之间可使最大扭矩取最小值
B
A
C
Me2
Nm
M e1
Me3
4220
2810
本章小结
1.外力偶矩的计算 内力的计算——扭矩图
P M e 9549 n (N m)
2.圆轴扭转切应力公式的建立
τρ
Tρ Ip
强度条件的应用
max
Tmax Wt
[ ]
刚度条件的应用
' max
T
180 [']
（3）主动轮和从动轮应如何安排才比较合理。
再根据平衡条件，可得 Me1 Me2 Me3 (2810 4220)N m 7030N m
所作扭矩图如右图
（1）试确定AB段的直径d1和BC段的直径d2。
根据强度条件确定AB直径d1
AB
TAB Wt
16TAB
d12
[ ]
根据刚度条件确定AB直径d1
mB
(a)
1
350 2
C
1
2
T1
11463
446
A
D
3
mB
(b)
(c) mB
mC
T2
mC
mA T3
mD
T1 350N m 350 1 350 2
材料力学-第三章扭转
3、物理方程 mA a mA a AC 2GI p GI p
BC
2 mB a GI p
4 解得： m A 7 T 3 mB T 7
AB AC BC 0
例：由实心杆 1 和空心杆 2 组成的组合轴，受扭矩 T， 两者之间无相对滑动，求各点切应力。 T 解: 设实心杆和空心杆承担的扭矩分别为 G 2 Ip 2 M n 1 、 M n2 。 R2
二 刚度条件
M 180 刚度 n 0.50～1.0 / m 一般轴 l G Ip 条件
0.25～0.5 / m 精密轴
1.0 ～3.0 / m 粗糙轴
例 传动主轴设计，已知:n = 300r/m，P1 = 500kW，P2=200kW P3=300kW，G=80GPa [ ] 40MPa , [] 0.3 求：轴的直径d 解：1、外力分析
圆轴扭转的强度条件
max
Mn D Mn I p 2 Wp
Wp
2I p D
Mn
D 3 D 3 Wp 1 4 抗扭截面系数Wp : W p 16 16
强度条件：
Mn max Wp
例 已知汽车传动主轴D = 90 mm, d = 85 mm [ ] 60MPa, T = 1.5 kNm
Mn d
3
圆形优于矩形
Aa
= 0.208
3
a
3
4
3
d 0.886 d
2
Mn
a
2
Mn 0.208 0.886 d
b
6.913
材料力学第3章扭转
试问：纵向截面里的切应力是由什么内力平衡的？
§3.8 薄壁杆件的自由扭转
薄壁杆件：杆件的壁厚远小于截面的其它尺寸。 开口薄壁杆件：杆件的截面中线是不封闭的折线或曲
线，例如：工字钢、槽钢等。 闭口薄壁杆件：杆件的截面中线是封闭的折线或曲线，
例如：封闭的异型钢管。
一、开口薄壁杆的自由扭转
＝ Tl
GI t
变形特点：截面发生绕杆轴线的相对转动 本章主要研究圆截面等直杆的扭转
§3.2 外力偶矩的计算 扭矩和扭矩图
功率： P(kW) 角速度：ω 外力偶矩：Me
P = Meω
转速：n(r/min)
2n/ 60
Me
1000 P＝9549
P n
(N
m)
内力偶矩：扭矩 T 求法：截面法
符号规则： 右手螺旋法则 与外法线同向“ + ” 与外法线反向“－”
max
T max
It
It
1 3
hi
3 i
二、闭口薄壁杆的自由扭转
max
T
2 min
TlS
4G 2
其中：ω截面为中线所围的面积
S 截面为中线的长度
闭口薄壁杆的应力分布：
例： 截面为圆环形的开口和闭口薄壁杆件如图所 示，设两杆具有相同平均半径 r 和壁厚δ，试 比较两者的扭转强度和刚度。
开＝3 r 闭 开＝3( r )2 闭
8FD3n Gd 4
C
ห้องสมุดไป่ตู้
Gd 4 8D3n
F C
§3.7 矩形截面杆扭转的概念
1) 翘曲
变形后杆的横截面不再保持为平面的现象。
2) 自由扭转和约束扭转
自由扭转：翘曲不受限制的扭转。 各截面翘曲程度相同，纵向纤维无伸缩， 所以，无正应力，仅有切应力。
材料力学(I)第三章_孙训方
由 A d A r T 根据应力分布可知
Me
m r0
r0 d A T，于是有
A
dA
m
x
T r0 d A
A
T T r0 ( 2 πr0 ) 2 πr02
2 引进 A0 πr0 ，上式亦可写作
T 2A0
10
材 料 力 学 Ⅰ 电 子 教 案
第三章 扭转
T T ρ G GI I p p
29
材 料 力 学 Ⅰ 电 子 教 案
第三章 扭转
T
max
T Ip
横截面周边上各点处( r)的最大
max
d
切应力为
T
max
max
dபைடு நூலகம்
Tr T T I p I p Wp r
该轮所传递的功率为 {a }rad {P}kw {M e }Nm 10 3 {t}s
{M e }Nm rad 10 3
s
60 因此，在已知传动轴的转速n(亦即传动轴上每个轮的
{M e }Nm 2 π
{n} r
min
10 3
转速)和主动轮或从动轮所传递的功率P之后，即可由下式 计算作用于每一轮上的外力偶矩：
由
33
( d y d z d x ( d x d z d y
可得： '
M
z
0
材 料 力 学 Ⅰ 电 子 教 案
第三章 扭转
即单元体的两个相互垂直的面上，与该两个面的交线 垂直的切应力 和 数值相等，且均指向(或背离)该两个 面的交线——切应力互等定理。
材料力学-第三章
21
第三章 扭转
3.5 圆轴扭转强度计算
22
扭转失效与扭转极限应力
扭转屈服应力：s 扭转强度极限：b 扭转强度极限：b 扭转屈服应力（s ）和扭转强度极限（b ），统 称为材料的扭转极限应力u。
23
圆轴扭转强度条件
材料的扭转许用应力为：
u
n
n为安全系数。
强度条件为：
max
（2) 若将轮1与轮2的位置对调，试求轴内的最大扭矩。
（3) 若将轮1与轮3的位置对调，试求轴内的最大扭矩。
33
提高圆轴扭转时强度和刚度的措施
• 提高轴的转速 • 合理布局主动轮和被动轮的位置 • 采用空心轴 • 选用优质材料，提高剪切模量
34
例3-8：图示圆柱形密圈螺旋弹簧，承受轴向载荷F作用。 所谓密圈螺旋弹簧，是指螺旋升角α很小（例如小于5º ）的 弹簧。设弹簧的平均直径D，弹簧丝的直径d，试分析弹簧 丝横截面上的应力并建立相应的强度条件。
第三章 扭转
3.1 扭转的概念
1
扭转的概念
以横截面绕轴 线作相对旋转为 主要特征的变形 形式，称为扭转。
2
受力特点： 变形特点：
受到垂直于构件轴线的外力偶 矩的作用。
构件的轴线保持不变，各横截面绕 轴线相对转动 截面间绕轴线的相对角位移，称为扭转角
使杆发生扭转变形的外力偶，称为扭力偶，其矩 称为扭力偶矩。 凡是以扭转为主要变形的直杆，称为轴。
公式的适用条件：以平面假设为基础；适用胡克定律。
18
圆轴截面的极惯性矩和抗扭截面模量
IP
d4
32
WP
d3
16
19
空心圆截面的极惯性矩和抗扭截面模量
《材料力学》课件——第三章 扭转
F
Me
F
M'e
汽车的转向操纵杆
3.1 扭转的概念和实例
Me
A'
A
B
B'
Me
扭转：在一对大小相等、转向相反、作用面垂直于 直杆轴线的外力偶Me作用下，直杆的相邻横截面将 绕轴线发生相对转动，杆件表面纵向线将成斜线， 而轴线仍维持直线。
3.1 扭转的概念和实例
Me
A'
g
A
B
j
B'
Me
外力偶作用平面和杆件横截面平行
M2
M3
M1
M4
解：①计算外力偶矩
M1
9.55
P1 n
9.55 500 300
A
15.9(kN m)
B
C
M2
M3
9.55
P2 n
9.55 150 300
4.78
(kN m)
M4
9.55
P4 n
9.55 200 300
6.37
(kN m)
n D
3.2 外力偶矩的计算 扭矩和扭矩图
②求扭矩（扭矩按正方向设）
M 0 , C
T1 M 2 0
T1 M 2 4.78kN m
M2 1 M2
A1 M2
M3
M1
2
3M4
n B 2 C 3D
T2 M 2 M 3 0 ,
T2 M 2 M 3
A
(4.78 4.78)
9.56kN m
T3-M4=0
T3=M4=6.37KN·m
T1
T2
T3
3.2 外力偶矩的计算 扭矩和扭矩图
代入上式得：
G g
清华大学材料力学范钦珊主讲 第三章 弹性杆件横截面上的 正应力分析
引言
1. 若干概念和定义
应力—分布内力在一点的集度
F1
F2
F3
Fn
引 言 若干概念和定义
应力就是单位面积上的内力‗
工程构件，大多数情形下，内力并 非均匀分布，集度的定义不仅准确而且 重要，因为“ 破坏”或“ 失效”往往 从内力集度最大处开始。
引 言 若干概念和定义
正应力和切应力
垂直于截面的应力称为“ 正应力”
关于截面几何性质的讨论
怎样判断主轴？
a a
结论与讨论 几点讨论
关于截面几何性质的讨论
y
怎样判断主轴？
a
x
a
I -I
I = x1y1
x
2
y sin 2a + I xy cos 2a
结论与讨论 几点讨论
关于截面几何性质的讨论
怎样判断主轴？
I -I
I = x y sin 2a + I cos 2a
x1 y1
EA( 0 )
- ESz (
1
rz
)
+ ESy (
1
ry
)
= FN
-ESz ( 0)
+ EIz (
1
rz
)
-
EIyz(
1
ry
)
=
Mz
ESy
( 0)
-
EIyz (
1
rz
)
+
EIy
(
1
ry
)
=
My
于是，得到待定常数
0
= FN,
EA
1
r y
= My , EIy
1
r z
= Mz EIz
材料力学-第三章-剪切实用计算(上交)
FQ A
材料力学
剪切实用计算
剪切强度条件：
FQ A
[ ]
名义许用剪应力
可解决三类问题： 1、选择截面尺寸; 2、确定最大许可载荷， 3、强度校核。
材料力学
在假定的前提下进行 实物或模型实验，确 定许用应力。
[例3.1 ] 图示装置常用来确定胶接处的抗剪强度，如已知 破坏时的荷载为10kN，试求胶接处的极限剪（切）应力。 F F
F / 2n [ j ] 1 A d 2 4
2F n 3 . 98 2 d [ j ]
FQ
（2）铆钉的挤压计算
jy
Fb F /n [ A jy t1 d
]
jy
]
F n t1 d [
材料力学
3 . 72
jy
剪切实用计算
因此取 n=4. I F/n F/n F/n F F/n
R
R0
t
1 t R0 10 为薄壁圆筒
材料力学
材料力学
（1）
C D A B C D
A B
横截面上存在剪应力
材料力学
纯剪切的概念
（2）其他变形现象：圆周线之间的距离保持不变，仍为圆形， 绕轴线产生相对转动。 横截面上不存在正应力，且横截面上的剪应力的 方向是沿着圆周的切线方向，并设沿壁厚方向是 均匀分布的。 T
h d F d
剪切面
h
解
FN 4 F A d 2 F Q F AQ dh
当 ， 分别达到 [] ， [] 时， 材料的利用最合理
材料力学
F 4F 0 .6 2 得 d : h 2 .4 dh d
材料力学 第三章 扭转
为一很小的量，所以
tan 1.0103rad
G
(80 109 Pa)(1.0 103rad) 80 MPa
注意： 虽很小，但 G 很大，切应力 不小
例 3-3 一薄壁圆管，平均半径为R0，壁厚为，长度为l， 横截面上的扭矩为T，切变模量为G，试求扭转角。
解：
T
2πR02
G
T
2πGR02
塑性材料：[] =（0.5~0.6）[s] 脆性材料：[] = （0.8~1.0）[st]
例 3-1 已知 T=1.5 kN . m，[τ] = 50 MPa，试根据强度条 件设计实心圆轴与 a = 0.9 的空心圆轴，并进行比较。 解：1. 确定实心圆轴直径
max [ ]
max
T Wp
T πd 3
表示扭矩沿杆件轴线变化的图线（T-x曲线）－扭矩图
Tmax ml
[例3-1]已知：一传动轴， n =300r/min，主动轮输入 P1=500kW， 从动轮输出 P2=150kW，P3=150kW，P4=200kW，试绘制扭矩图。
解：1、计算外力偶矩
m2
m3
m1
m4
m1
9.55
P1 n
9.55
一、薄壁圆筒扭转时的应力
t
1、试验现象
壁厚
t
1 10
r0（r0：平均半径）
rO
各圆周线的形状不变,仅绕轴线作相对转动，距离不变。 当变形很小时，各纵向平行线仍然平行，倾斜一定的角度。
由于管壁薄，可近似认 为管内变形与管表面相 同，均仅存在切应变γ 。
2、应力公式 微小矩形单元体如图所示：
´
①无正应力
d T
dx GI p
材料力学 第 三 章 扭转
扭转平面假设：变形前的横截面，变形后仍为平面，且形状 、大小
以及间距不变，半径仍为直线。
定性分析横截面上的应力
（1）∵ε = 0∴σ = 0
（2）∵ γ ≠ 0∴τ ≠ 0
因为同一圆周上切应变相同，所以同 一圆周上切应力大小相等，并且方向 垂直于其半径方向。
切应变的变化规律：
D’
取楔形体
O1O2ABCD 为 研究对象
γ ≈ tgγ = DD' = Rdϕ
dx dx
微段扭转
变形 dϕ
γ ρ ≈ tgγ ρ = dd′ = ρ ⋅ dϕ
dx dx
γ
ρ
=
ρ
dϕ
dx
dϕ / dx－扭转角变化率
圆轴横截面上任一点的切应变γρ
与该点到圆心的距离ρ成正比。
（二）物理关系：由应变的变化规律→应力的分布规律
弹性范围内 τ max ≤ τ P
τ max
=
T
2π r 2t
=
180 ×103
2π × 0.132× 0.03
= 56.5MPa
(2) 利用精确的扭转理论可求得
τ max
=
π D3
T
(1−α 4 )
16
=
180 ×103
π×
0.293
⎡ ⎢1 −
⎜⎛
230
⎟⎞
4
⎤ ⎥
16 ⎢⎣ ⎝ 290 ⎠ ⎥⎦
= 62.2MPa
思考题
由两种不同材料组成的圆轴，里层和外层材料的 切变模量分别为G1和G2，且G1=2G2。圆轴尺寸如 图所示。圆轴受扭时，里、外层之间无相对滑动。 关于横截面上的切应力分布，有图中（A）、（B）、 （C）、（D）所示的四种结论，请判断哪一种是正 确的。
以及间距不变，半径仍为直线。
定性分析横截面上的应力
（1）∵ε = 0∴σ = 0
（2）∵ γ ≠ 0∴τ ≠ 0
因为同一圆周上切应变相同，所以同 一圆周上切应力大小相等，并且方向 垂直于其半径方向。
切应变的变化规律：
D’
取楔形体
O1O2ABCD 为 研究对象
γ ≈ tgγ = DD' = Rdϕ
dx dx
微段扭转
变形 dϕ
γ ρ ≈ tgγ ρ = dd′ = ρ ⋅ dϕ
dx dx
γ
ρ
=
ρ
dϕ
dx
dϕ / dx－扭转角变化率
圆轴横截面上任一点的切应变γρ
与该点到圆心的距离ρ成正比。
（二）物理关系：由应变的变化规律→应力的分布规律
弹性范围内 τ max ≤ τ P
τ max
=
T
2π r 2t
=
180 ×103
2π × 0.132× 0.03
= 56.5MPa
(2) 利用精确的扭转理论可求得
τ max
=
π D3
T
(1−α 4 )
16
=
180 ×103
π×
0.293
⎡ ⎢1 −
⎜⎛
230
⎟⎞
4
⎤ ⎥
16 ⎢⎣ ⎝ 290 ⎠ ⎥⎦
= 62.2MPa
思考题
由两种不同材料组成的圆轴，里层和外层材料的 切变模量分别为G1和G2，且G1=2G2。圆轴尺寸如 图所示。圆轴受扭时，里、外层之间无相对滑动。 关于横截面上的切应力分布，有图中（A）、（B）、 （C）、（D）所示的四种结论，请判断哪一种是正 确的。
材料力学 第三章 应变理论
A'
图3
§3-2 小应变张量（几何方程）
求线段 PA 和PB 的正应变，即 x 和 y ，用位移分量表 示。设 P 点在 x方向的位移分量是 u ，则 A 点在 x 方向 的位移分量，由于 x 坐标的改变，可用泰勒级数表示为
u 在略去二阶及更高阶的微量以后简化为 u dx x 线段 PA 的正应变是 u
或
（2）
ui xi( x1, x2 , x3 ) xi ui ( x1, x2 , x3 )
显然，位移分量 u , v, w 都是点 P 的坐标 x, y, z 的连 续函数，当考虑动力学问题时，它们也由于要求物体变形前后都是连续体，因此点 P 变形后 坐标 ( x, y, z) 与变形前 ( x, y, z ) 是一一对性的，即 x x( x, y, z), y y( x, y, z), z ( x, y, z) 拉格朗日描述法 而且反函数亦存在，即
u 1 2u 2 u dx dx 2 x 2! x
x
(u
x dx
dx) u
u x
（3）
§3-2 小应变张量（几何方程）
由于位移是微小的，y 方向的位移所引起的线段 PA 的伸缩，是更高一阶微小的，略去不计。同样线段
PB 的正应变是
v y y
（4）
u1 u 1 u u 1 u v x , 12 21 1 2 xy yx x1 x 2 x2 x1 2 y x u v 1 u u 1 v w 22 2 y , 23 32 2 3 yz zy x2 y 2 x3 x2 2 z y
材料力学第三章知识点总结
直升机的旋转轴
电机每秒输入功：外力偶作功完成：
×
=P W
M W
e
⋅
=
形状、大小、间距不变，各圆周线只是绕轴线转动了一个角度。
倾斜了同一个角度，小方格变成了平行四边形。
τdα
τ
l
ϕ
做薄壁圆筒的扭转试验可得
l
是材料的一个弹性常数，称为剪切弹性模量，G的量纲各向同性材料，三个弹性常数之间的关系：
ρργγtg ≈x
d d d ′=x d d ϕρ⋅=O 1O 2ABCD 为研究对象
D’
微段扭转变形d dx Rd dx DD tg ϕγγ==≈'d ϕ/ d x －扭转角沿x 轴的变化率
扭转变形计算式
O d A ρTρ⋅
（实心截面）
1、横截面上角点处，切应力为零；
2、横截面边缘各点处，切应力
3、切应力沿横截面周边形成与
4、横截面周边长边中点处，切应力最大。
有关，见教材P93 之表3.2。
材料力学 第三章 应变理论
ij 称为柯西应变张量或小应变张量
其实体表示形式为 1 u u 2
是二阶对称张量，只有六个独立分量。
§3-1 位移和变形
在笛卡尔坐标系中，其常用形式为
11
u1 x1
u x
x ,12
21
1 2
u1 x2
u2 x1
1 u
2
y
v x
xy
yx
22
u2 x2
v y
i
ji
ui x j
j
1
i
ui x j
j
i
可由位移梯度分量 ui 和线元正应变 计算任意方向线元
变形后的方向余弦。x j
考虑两线元间的夹角变化
t cos , t t 2 t 1 1
t
1 t t 2 t
§3-2 小应变张量（几何方程）
若变形前两线元互相垂直，即 t 0
u j xi
ei ej
E 1 u u u u 2
➢ 按照欧拉描述还可以定义描述大变形的阿尔曼西（Almansi,E)
应变张量，即
dS2 dS02 2eijdxidxj
eij
1 2
ui xj
u j xi
um xi
um xj
它也是二阶对称张量
由此可见：物体无变形（线元长度不变，仅作刚体运动） 的充分必要条件是应变张量处处为零。
令 为变形后线元间直角的减小量，则由上式可得
cos
2
cos , t
2 t 2ij it j 2t
通常定义两正交线元间的直角减小量为工程剪应变 t ，即
t 2t 2 t 2ijit j
若 , t 为坐标轴方向的单位矢量，例如 i 1, t j 1(i j)
《材料力学》第三章 轴向拉压变形
-3（共 4 页）
第三章 轴向拉压变形
*四、温度应力、装配应力 一）温度应力：由温度引起杆变形而产生的应力（热应力） 。 温度引起的变形量—— L tL 1、静定问题无温度应力。 2、超静定问题存在温度应力。 二）装配应力——预应力、初应力：由于构件制造尺寸产生的制造误差，在装配时产生变形而引起的应 力。 1、静定问题无装配应力 2、超静定问题存在装配应力。 轴向拉压变形小结 一、拉压杆的变形（重点） 1、轴向变形：轴向尺寸的伸长或缩短。 2、横向变形：横向尺寸的缩小或扩大。 3、横向变形系数（泊松比） ： 4、变形——构件在外力作用下或温度影响下所引起的形状尺寸的变化。 5、弹性变形——外力撤除后，能消失的变形。 6、塑性变形——外力撤除后，不能消失的变形。 3、横向变形系数 7、位移——构件内的点或截面，在变形前后位置的改变量。 8、正应变——微小线段单位长度的变形。
4、求变形： L
FN L EA
LAB
FNAB LAB 240 3.4 104 2.67(m m) EAAB 2.114.54
LCD 0.91mm LEF 1.74mm
5、求位移,变形图如图
LGH 1.63mm
D
LEF LGH DG LGH 1.70 mm EG
第三章 轴向拉压变形
第三章
一、概念 1、轴向变形：轴向尺寸的伸长或缩短。 2、横向变形：横向尺寸的缩小或扩大。 二、分析两种变形
轴向拉压变形
§3—1 轴向拉压杆的变形
b
L F F
b1
L1
1、轴向变形：Δ L=L1-L ，
L L F L （2） 、在弹性范围内： L N A
（1） 、轴向正应变线应变：
第三章 轴向拉压变形
*四、温度应力、装配应力 一）温度应力：由温度引起杆变形而产生的应力（热应力） 。 温度引起的变形量—— L tL 1、静定问题无温度应力。 2、超静定问题存在温度应力。 二）装配应力——预应力、初应力：由于构件制造尺寸产生的制造误差，在装配时产生变形而引起的应 力。 1、静定问题无装配应力 2、超静定问题存在装配应力。 轴向拉压变形小结 一、拉压杆的变形（重点） 1、轴向变形：轴向尺寸的伸长或缩短。 2、横向变形：横向尺寸的缩小或扩大。 3、横向变形系数（泊松比） ： 4、变形——构件在外力作用下或温度影响下所引起的形状尺寸的变化。 5、弹性变形——外力撤除后，能消失的变形。 6、塑性变形——外力撤除后，不能消失的变形。 3、横向变形系数 7、位移——构件内的点或截面，在变形前后位置的改变量。 8、正应变——微小线段单位长度的变形。
4、求变形： L
FN L EA
LAB
FNAB LAB 240 3.4 104 2.67(m m) EAAB 2.114.54
LCD 0.91mm LEF 1.74mm
5、求位移,变形图如图
LGH 1.63mm
D
LEF LGH DG LGH 1.70 mm EG
第三章 轴向拉压变形
第三章
一、概念 1、轴向变形：轴向尺寸的伸长或缩短。 2、横向变形：横向尺寸的缩小或扩大。 二、分析两种变形
轴向拉压变形
§3—1 轴向拉压杆的变形
b
L F F
b1
L1
1、轴向变形：Δ L=L1-L ，
L L F L （2） 、在弹性范围内： L N A
（1） 、轴向正应变线应变：
材料力学第三章总结
一、剪切：1、受力特征：杆件受到两个大小相等，方向相反、作用线垂直于杆的轴线并且相互平行且相距很近的力的作用。
2、变形特征：：两力之间的截面将发生相对错动，甚至破坏。
3、剪切面：两力作用之间的面（发生错动的面）。
4、剪切的应力：由于螺栓、销钉等工程上常用的连接件与被连接件在连接处都属于“加力点附近局部应力”，应力分布很复杂，很难作出精确的理论分析。
因此，工程设计中，大都采取实用（假定）计算方法。
一、假定应力分布。
二、实验。
由假定应力分布得到破坏时的应力值。
然后由两个假定建立设计准则。
假定：剪切面上的切应力是均匀分布的。
名义剪力：AF s =τ，—A 剪切面面积。
5、剪切的强度条件：[]—ττ≤=A F s 名义许用切应力：在假定的前提下进行实物或模型实验，并考虑安全因数，确定许用应力。
6、可解决三类问题：（1）选择截面尺寸;（2）确定最大许可载荷；（3）强度校核。
7、.剪切的破坏计算：—b s AF ττ>=剪切强度极限。
8、剪切实用计算的关键：剪切面的判定及计算。
（单剪切、双剪切）二、挤压及挤压的实用计算1、挤压：连接件和被连接件在接触面上彼此承压的现象。
2.挤压引起的可能的破坏：在接触表面产生过大的塑性变形、压溃或连接件（如销钉）被压扁。
3.挤压的强度问题：①挤压力bs F ：作用在接触面上的压力。
F F bs =；②挤压面bs A 挤压力的作用面。
③挤压应力bs σ挤压面上由挤压力引起的应力。
④挤压的实用计算：bs bs bs A F =σ；⑤挤压的强度条件：[]—bs bsbs bs A F σσ≤=名义许用挤压应力，由实验测定。
注意：在应用挤压强度条件进行强度计算时，要注意连接件与被连接件的材料是否相同，如不同，应对挤压强度较低的材料进行计算，相应的采用较低的许用挤压应力。
挤压实用计算的关键：挤压面的判定及计算。
4、挤压面面积的计算：（1）平面接触（如平键）：挤压面面积等于实际的承压面积。
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材料力学(Ⅰ)电子教案
扭 转
1
第 3 章
扭
转
§3-1 概述 §3-2 薄壁圆筒的扭转 §3-3 传动轴的外力偶矩· 扭矩及扭矩图 §3-4 等直圆杆扭转时的应力· 强度条件 §3-5 等直圆杆扭转时的变形· 刚度条件 §3-6 等直圆杆扭转时的应变能 §3-7 等直非圆杆自由扭转时的应力和变形 *§3-8 开口和闭口薄壁截面杆自由扭转 时的应力与变形
主动轮上的外力偶矩转向与传动轴的转向相同， 从动轮上的外力偶矩转向与传动轴的转向相反。
材料力学(Ⅰ)电子教案
扭 转
6
二、扭矩及扭矩图
圆轴受扭时其横截面上的内力偶矩称为扭矩， 用符号T表示。 扭矩大小可利用截面法来确定。 Me 1 Me A
1 1
Me
B
T
1 1
A
x
T Me
Me B
T
1
材料力学(Ⅰ)电子教案
2. 求D2/d1和二轴重量之比。 由1,max=2,max，并将 ＝0.8代入得
D2 d1
3
1 4 1.194 1 0.8
因为两轴的长度l 和材料密度 分别相同，所 以两轴的重量比即为其横截面面积之比 π 2 2 D d 2 2 2 2 A2 4 D2 1 2 2 1 . 194 1 0 . 8 0.512 2 π 2 A1 d 1 d1 4
切应力在截面上均匀分布，方向 垂直于半径与周线相切。
材料力学(Ⅰ)电子教案
扭 转
15
Me
Me
?
T T
材料力学(Ⅰ)电子教案
扭 转
16
RdA T
A
3. 静力学
T
d A
dA
R 2 R T
T 2 R 2
R
T 2 A0
根据精确的理论分析,当 ≤R/10时,上式的误差不 超过4.52%,是足够精确的。
材料力学(Ⅰ)电子教案
扭 转
21
§3-4 等直圆杆扭转时的应力.强度条件
一、圆杆扭转时横截面上的应力 1. 变形几何关系 三种关系：2.物理关系 3.静力学关系 1.变形几何关系
材料力学(Ⅰ)电子教案
扭 转
22
观察到下列现象:
(1)各圆周线的形状、大小以及两圆周线间的距离没变化 (2)纵向线仍近似为直线, 但都倾斜了同一角度γ (3）表面方格变为菱形。 平面假设： 变形前为平面的横截面变形后仍为平面，它像刚性 平面一样绕轴线旋转了一个角度。
A
o
dA
I p 2 dA 极惯性矩
d T dx G I p
材料力学(Ⅰ)电子教案
扭 转
25
由(b)式： G d G T GIp dx
T Ip
max
WP
T max T Ip Wp
Ip (抗扭截面模量 )
max
材料力学(Ⅰ)电子教案
材料力学(Ⅰ)电子教案
扭 转
2
§3-1 概 工程实例
述
材料力学(Ⅰ)电子教案
扭 转
3
Me
Me
受力特点： 圆截面直杆受到一对大小相等、转向相反、作用面 垂直于杆的轴线的外力偶作用 变形特点： 1.圆杆各横截面绕杆的轴线作相对转动； 2.杆表面上的纵向线变成螺旋线。 实际构件工作时除发生扭转变形外，还常伴随有 弯曲、拉压等其他变形。
CL5TU8
材料力学(Ⅰ)电子教案
扭 转
20
薄壁圆筒的实验, 证明切应力与切应变之 间存在着象拉压胡克定律类似的关系：当切 应力不超过材料剪切比例极限τ p,即当p时 切应力与切应变成正比。
G
该式称为剪切胡克定律。
剪切弹性模量G 材料常数：拉压弹性模量E 泊松比μ
E G 2(1 )
扭 转
32
二.斜截面上的应力
F 0
dA dAcos sin
dAsin cos 0
dz
dy
sin 2
dx
F 0 cos2
45 max
o
n
x
45 min
o
材料力学(Ⅰ)电子教案
CL5TU5
材料力学(Ⅰ)电子教案
扭 转
23
外表面dx Rd d R dx
横截面上距形心为 的任一点处应变
a T T
b
A
E
O1
G
D G' D' dx dx
O2 d
a
dx d d (a)
dx 2. 物理关系
b
O2 d G'
d/2
从动轮输出 P2=150kW，P3=150kW，P4=200kW，试绘制扭矩
m2
m3
m1 n
m4
A
B
C
D
材料力学(Ⅰ)电子教案
扭 转
9
m2
m3
m1 n
m4
n =300r/min，输入 P1=500kW P4=200kW
输出 P2=150kW，P3=150kW，
D
A
B
C
解：①计算外力偶矩
M 1 9550
②求扭矩（扭矩按正方向设）
材料力学(Ⅰ)电子教案
扭 转
10
m2
1 m3
2 m1 3 m4 n C 3
T3
1-1截面：
m
x
0, T1 M 2 0
T1 M 2 4.78kN m
A
m2 m2
1
T1
B
m3
2
T2
D
m4
2 - 2截面：
m
x
0, T2 M 2 M 3 0,
微元体 单元体
(dzd y)dx ( dzdx)dy
dy dx
dz
CL5TU7
切应力互等定理 : 在相互垂直 的两个平面上,切应力一定成对 出现，其数值相等，方向同时 指向或背离两平面的交线。
材料力学(Ⅰ)电子教案
扭 转
19
三、剪切胡克定律 在纯剪状态下， 单元体相对两侧面将 发生微小的相对错动， 原来互相垂直的两个 棱边的夹角改变了一 个微量。 直角改变量—切 应变。
扭 转
7
扭矩T的符号规定：
扭矩的符号规定 按右手螺旋法则确定:
扭矩矢量离开截面为正，指向截面为负。
n
n
T Me
㈩
T Me
㈩
仿照轴力图的做法，可作扭矩图，表明沿杆 轴线各横截面上扭矩的变化情况。
材料力学(Ⅰ)电子教案
扭 转
8
例题 3-1
已知：一传动轴， n =300r/min，主动轮输入 P1=500kW， 图。
13
1.几何方面： 受扭前在其表面上用圆周线nn，mm和纵向线画成 方格,然后加载，观察方格变形情况。 n m
r
观察现象
Me
n
m
l
Me
(1) 圆周线的形状、大小及圆周线之间的距离没有改变（平 面nn，mm仍保持平行）。
材料力学(Ⅰ)电子教案
扭 转
14
(2) 纵向线倾斜了同一微小角度γ (3)方格变为斜棱形。设想:mm相对nn转动,方格 两边发生相对错动，但两对边之间距离不变，圆 筒半径尺寸不变。 2.物理方面 n m 根据以上实验现象,可得结论： 圆筒横截面上只有切应力， 而无正应力。由于壁很簿，可 认为切应力沿簿壁均匀分布， n m 方向垂直于半径与周线相切。
3
材料力学(Ⅰ)电子教案
扭 转
5
P 60 10 (J) M e 2πn(N m)
3
传动轮的转速n 、功率P 及其上的外力偶矩Me之 间的关系：
P 10 3 60 3 P Me 9.55 10 ( N m) 2 πn n
Me1
n 主动轮
Me2
Me3
从动轮
从动轮
M 1 15.9(kN.m)
M 2 M 3 4.78(kN.m)
D
A
B
C
M 4 6.37(kN.m)
材料力学(Ⅰ)电子教案
扭 转
12
§3-2 薄壁圆筒的扭转
一、薄壁圆筒扭转薄壁圆筒扭转.avi
等厚度的薄壁圆筒,平均半径为R,壁厚为 ，壁厚 <<R
材料力学(Ⅰ)电子教案
扭 转
扭 转
27
例题 3-2
直径为d1的实心圆轴Ⅰ(图a)和内、外直径分 别为d2和D2，＝ d2/ D2=0.8的空心圆轴Ⅱ(图b),两 轴的长度、材料、扭矩分别相同。试求两种圆轴在 横截面上最大切应力相等的情况下，D2与d1之比以 及两轴的重量比。
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扭 转
28
例题 3-2
1. 分别求两轴的最大切应力
P 500 1 9550 15.9 103 (N m) 15.9(kN.m) n 300
P M e 9550 n
M 2 M 3 9550
P2 150 9550 4.78 103 (N m) 4.78(kN.m) n 300 P4 200 M 4 9550 9550 6.37 103 (N m) 6.37(kN.m) n 300
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4
§3-3 传递轴的外力偶矩计算 ·扭矩及扭矩图
一、传动轴的外力偶矩 已知： n 主动轮 Me3
Me2
Me1
扭 转
1
第 3 章
扭
转
§3-1 概述 §3-2 薄壁圆筒的扭转 §3-3 传动轴的外力偶矩· 扭矩及扭矩图 §3-4 等直圆杆扭转时的应力· 强度条件 §3-5 等直圆杆扭转时的变形· 刚度条件 §3-6 等直圆杆扭转时的应变能 §3-7 等直非圆杆自由扭转时的应力和变形 *§3-8 开口和闭口薄壁截面杆自由扭转 时的应力与变形
主动轮上的外力偶矩转向与传动轴的转向相同， 从动轮上的外力偶矩转向与传动轴的转向相反。
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二、扭矩及扭矩图
圆轴受扭时其横截面上的内力偶矩称为扭矩， 用符号T表示。 扭矩大小可利用截面法来确定。 Me 1 Me A
1 1
Me
B
T
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A
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T Me
Me B
T
1
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2. 求D2/d1和二轴重量之比。 由1,max=2,max，并将 ＝0.8代入得
D2 d1
3
1 4 1.194 1 0.8
因为两轴的长度l 和材料密度 分别相同，所 以两轴的重量比即为其横截面面积之比 π 2 2 D d 2 2 2 2 A2 4 D2 1 2 2 1 . 194 1 0 . 8 0.512 2 π 2 A1 d 1 d1 4
切应力在截面上均匀分布，方向 垂直于半径与周线相切。
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Me
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RdA T
A
3. 静力学
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d A
dA
R 2 R T
T 2 R 2
R
T 2 A0
根据精确的理论分析,当 ≤R/10时,上式的误差不 超过4.52%,是足够精确的。
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21
§3-4 等直圆杆扭转时的应力.强度条件
一、圆杆扭转时横截面上的应力 1. 变形几何关系 三种关系：2.物理关系 3.静力学关系 1.变形几何关系
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22
观察到下列现象:
(1)各圆周线的形状、大小以及两圆周线间的距离没变化 (2)纵向线仍近似为直线, 但都倾斜了同一角度γ (3）表面方格变为菱形。 平面假设： 变形前为平面的横截面变形后仍为平面，它像刚性 平面一样绕轴线旋转了一个角度。
A
o
dA
I p 2 dA 极惯性矩
d T dx G I p
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由(b)式： G d G T GIp dx
T Ip
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Ip (抗扭截面模量 )
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§3-1 概 工程实例
述
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受力特点： 圆截面直杆受到一对大小相等、转向相反、作用面 垂直于杆的轴线的外力偶作用 变形特点： 1.圆杆各横截面绕杆的轴线作相对转动； 2.杆表面上的纵向线变成螺旋线。 实际构件工作时除发生扭转变形外，还常伴随有 弯曲、拉压等其他变形。
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20
薄壁圆筒的实验, 证明切应力与切应变之 间存在着象拉压胡克定律类似的关系：当切 应力不超过材料剪切比例极限τ p,即当p时 切应力与切应变成正比。
G
该式称为剪切胡克定律。
剪切弹性模量G 材料常数：拉压弹性模量E 泊松比μ
E G 2(1 )
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32
二.斜截面上的应力
F 0
dA dAcos sin
dAsin cos 0
dz
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dx
F 0 cos2
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外表面dx Rd d R dx
横截面上距形心为 的任一点处应变
a T T
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A
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G
D G' D' dx dx
O2 d
a
dx d d (a)
dx 2. 物理关系
b
O2 d G'
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从动轮输出 P2=150kW，P3=150kW，P4=200kW，试绘制扭矩
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n =300r/min，输入 P1=500kW P4=200kW
输出 P2=150kW，P3=150kW，
D
A
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解：①计算外力偶矩
M 1 9550
②求扭矩（扭矩按正方向设）
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1 m3
2 m1 3 m4 n C 3
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x
0, T1 M 2 0
T1 M 2 4.78kN m
A
m2 m2
1
T1
B
m3
2
T2
D
m4
2 - 2截面：
m
x
0, T2 M 2 M 3 0,
微元体 单元体
(dzd y)dx ( dzdx)dy
dy dx
dz
CL5TU7
切应力互等定理 : 在相互垂直 的两个平面上,切应力一定成对 出现，其数值相等，方向同时 指向或背离两平面的交线。
材料力学(Ⅰ)电子教案
扭 转
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三、剪切胡克定律 在纯剪状态下， 单元体相对两侧面将 发生微小的相对错动， 原来互相垂直的两个 棱边的夹角改变了一 个微量。 直角改变量—切 应变。
扭 转
7
扭矩T的符号规定：
扭矩的符号规定 按右手螺旋法则确定:
扭矩矢量离开截面为正，指向截面为负。
n
n
T Me
㈩
T Me
㈩
仿照轴力图的做法，可作扭矩图，表明沿杆 轴线各横截面上扭矩的变化情况。
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扭 转
8
例题 3-1
已知：一传动轴， n =300r/min，主动轮输入 P1=500kW， 图。
13
1.几何方面： 受扭前在其表面上用圆周线nn，mm和纵向线画成 方格,然后加载，观察方格变形情况。 n m
r
观察现象
Me
n
m
l
Me
(1) 圆周线的形状、大小及圆周线之间的距离没有改变（平 面nn，mm仍保持平行）。
材料力学(Ⅰ)电子教案
扭 转
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(2) 纵向线倾斜了同一微小角度γ (3)方格变为斜棱形。设想:mm相对nn转动,方格 两边发生相对错动，但两对边之间距离不变，圆 筒半径尺寸不变。 2.物理方面 n m 根据以上实验现象,可得结论： 圆筒横截面上只有切应力， 而无正应力。由于壁很簿，可 认为切应力沿簿壁均匀分布， n m 方向垂直于半径与周线相切。
3
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扭 转
5
P 60 10 (J) M e 2πn(N m)
3
传动轮的转速n 、功率P 及其上的外力偶矩Me之 间的关系：
P 10 3 60 3 P Me 9.55 10 ( N m) 2 πn n
Me1
n 主动轮
Me2
Me3
从动轮
从动轮
M 1 15.9(kN.m)
M 2 M 3 4.78(kN.m)
D
A
B
C
M 4 6.37(kN.m)
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扭 转
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§3-2 薄壁圆筒的扭转
一、薄壁圆筒扭转薄壁圆筒扭转.avi
等厚度的薄壁圆筒,平均半径为R,壁厚为 ，壁厚 <<R
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扭 转
扭 转
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例题 3-2
直径为d1的实心圆轴Ⅰ(图a)和内、外直径分 别为d2和D2，＝ d2/ D2=0.8的空心圆轴Ⅱ(图b),两 轴的长度、材料、扭矩分别相同。试求两种圆轴在 横截面上最大切应力相等的情况下，D2与d1之比以 及两轴的重量比。
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例题 3-2
1. 分别求两轴的最大切应力
P 500 1 9550 15.9 103 (N m) 15.9(kN.m) n 300
P M e 9550 n
M 2 M 3 9550
P2 150 9550 4.78 103 (N m) 4.78(kN.m) n 300 P4 200 M 4 9550 9550 6.37 103 (N m) 6.37(kN.m) n 300
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§3-3 传递轴的外力偶矩计算 ·扭矩及扭矩图
一、传动轴的外力偶矩 已知： n 主动轮 Me3
Me2
Me1