新教材高中数学3.2函数的基本性质3.2.1单调性与最大(小)值(第1课时)函数的单调性课件人教A版必修第一册

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新教材必修第一册第三章3.2函数的基本性质(全套课件)

题型二求函数的单调区间【典例 2】求下列函数的单调区间： (1)f(x)＝x－1 1； (2)f(x)＝|x2－3x＋2|. [思路导引] (1)先求出函数的定义域，再利用定义求解；(2) 作出函数 y＝x2－3x＋2 的图象，再将 x 轴下方的图象翻折到 x 轴上方，结合图象写出 f(x)的单调区间．
2．函数的单调区间如果函数 y＝f(x)在区间 D 上单调递增或单调递减，
那么就说函数 y＝f(x)在这一区间上具有(严格的)单调性，区间 D 叫做函数 y＝f(x)的单调区间．
温馨提示：(1)函数的单调性是对定义域内某个区间而言的，
它是函数的一个局部性质．
(2)函数 f(x)在定义域的某个区间 D 上单调，不一定在定义域上单调．如 f(x)＝x2 等．
[变式] (1)若本例(1)条件改为“函数 f(x)＝x2－2(1－a)x＋2 的单调递增区间为[4，＋∞)”，其他条件不变，如何求解？
(2) 若本例 (2) 中 “ 定义域 ( － ∞ ，＋ ∞)” 改为 “ 定义域 ( － 1,1)”，其他条件不变，如何求解？
[解] (1)∵f(x)＝x2－2(1－a)x＋2＝[x－(1－a)]2＋2－(1－ a)2，
题型三函数单调性的应用【典例 3】 (1)已知函数 f(x)＝x2－2(1－a)x＋2 在[4，＋∞) 上是增函数，求实数 a 的取值范围． (2)已知 y＝f(x)在定义域(－∞，＋∞)上是减函数，且 f(1－ a)<f(2a－1)，求 a 的取值范围． [思路导引] 二次函数的单调性由开口方向及对称轴确定，与函数值有关的不等式问题依据单调性转化为自变量的不等关系．
数 M 满足：
①∀x∈I，都有 f(x)≤M

新教材：3.2.1函数的单调性

3.2 函数的基本性质3.2.1 函数的单调性【知识梳理】1．函数单调性的定义：一般地，设函数f(x)的定义域为I,如果对于定义域I内某个区间D上的两个自变量的值x1，x2，（1）当x1＜x2时，都有，那么就说函数f(x)在区间D上是增函数；（2）当x1＜x2时，都有，那么就说函数f (x )在区间D上是减函数．2．单调区间的定义若函数f(x)在区间D上是或，则称函数f(x)在这一区间上具有(严格的)单调性，区间D 叫做f(x)的单调区间．3．两种形式设任意x1，x2∈[a，b]且x1＜x2，那么（1） ⇔f (x )在[a ，b ]上是增函数； ⇔f (x )在[a ，b ]上是减函数．（2） ⇔f (x )在[a ，b ]上是增函数； ⇔f (x )在[a ，b ]上是减函数． 4．函数单调性的判断（1）定义法：取值、作差、变形、定号、下结论．（2）复合法：同增异减，即内外函数的单调性相同时，为增函数，不同时为减函数．（3）图象法：利用图象研究函数的单调性． 5．函数的最值（2）开区间上的“单峰”函数一定存在最大(小)值．【考点分类精讲】考点1：函数单调性的判断与证明【考题1】求证：函数1)(3+-=x x f 在R 上是减函数。

【举一反三】求证：函数x x f -=)(在定义域上是减函数．【考题2】求证：函数1)(2++=x x x f 在区间),(+∞-∞上是单调递增函数．【举一反三】求证：函数x x x f -+=1)(2在其定义域上是减函数．【考题3】判断函数xax x f +=)((0>a )的单调性，并作出当1=a 时函数的图像．【考题4】判断函数1)(2-=x x f 在定义域上的单调性．【举一反三】（选做）已知228)(x x x f -+=，如果)2()(2x f x g -=，求)(x g 的单调区间．考点2 函数的单调区间【考题5】写出下列函数的单调区间．（1）2()|23|f x x x =--（2）3||2)(2--=x x x f（3）223)(-+=x x x f（4）4444)(22++++-=x x x x x f【举一反三】求函数22311)(xx x f ---=的单调递减区间．考点3 函数的最值【考题6】设ax x x f -+=1)(2，其中1≥a ，求函数)(x f 在[a ，）∞+上的最值．【举一反三】 1．求函数1)(-=x xx f 在区间2[，]5上的最大值与最下值．2．设max {a ，b }表示两个数a 与b 的最大值，则max {|1|+x ，|2|-x }的最小值．3．已知函数f (x )=xax x ++22，[)1,x ∈+∞，（1）当12a =时，求函数f (x )的最小值；（2）若对任意[)1,x ∈+∞，()0f x >恒成立，试求实数a 的取值范围．【考题7】求函数12)(2--=ax x x f 在闭区间]2,0[上的最大值与最小值．【举一反三】1．已知函数2()22f x x ax =++，求()f x 在[]5,5-上的最大值与最小值．2．已知函数32)(2+-=x x x f ，当t x [∈，]1+t 时，求)(x f 的最大值与最小值．3．已知函数3)1(2)(2--+=x a ax x f )0(≠a 在区间23[-，]2上的最大值是1，求实数a 的值．考点4 函数单调性的应用【考题7】函数y ＝x －5x －a －2在(－1，＋∞)上单调递增，则a 的取值范围是（）A ．a ＝－3B ．a <3C ．a ≤－3D ．a ≥－3【举一反三】1．已知函数)0()(2>+=a xax x f 在),2(+∞上递增，则实数a 的取值范围是． 2．若函数⎩⎨⎧≤-+->-+-=）（）0,)2(0(,1)12()(2x x b x x b x b x f 在R 上是增函数，则实数b 的取值范围是．3．若函数n mx x x f ++=2)(，对任意x 都有)2()2(x f x f +=-成立，试比较)1(-f ，)2(f ，)4(f 的大小关系．【考题8】定义在R 上的函数)(x f y =，0)0(≠f ，当0x >时，1)(>x f ，且对任意的,a b R ∈，有()()()f a b f a f b +=.（1）求证：(0)1f =；（2）求证：对任意的x R ∈，恒有()0f x >；（3）求证：()f x 是R 上的增函数；（4）若()2()21f x f x x ->，求x 的取值范围．【举一反三】1．已知函数)(x f 对于任意x ，y ∈R ，总有f (x )＋f (y )＝f (x ＋y )，且当x ＞0时，f (x )＜0，f (1)＝－23.（1）求证：)(x f 在R 上是减函数；（2）求)(x f 在[－3,3]上的最大值和最小值．1．设二次函数a ax x x f ++=2)(，方程0)(=-x x f 的两个实根1x 和2x 满足1021<<<x x ．（1）求实数a 的取值范围；（2）试比较)0()1()0(f f f -与161的大小关系，并说明理由．3．设a ，b ，c 都是大于0的实数，且c b a >+，求证：ccb b a a +>+++111．【题型优化测训】一、选择题1．函数2()2f x x ax a =-+在区间(,1)-∞上有最小值，则a 的取值范围是（） A ．1a <B ．1a ≤C ．1a >D ． 1a ≥2．函数54)(2+-=mx x x f 在),2[+∞-上是增函数，则)1(f 的取值范围是（）A ．25)1(≥fB ．25)1(=fC ．25)1(≤fD ．25)1(>f3．若()ax x x f 22+-=与()1+=x ax g 在区间[]2,1上都是减函数，则a 的取值范围是（） A ．()()1,00,1-⋃B ．()1,0C ．(]1,0D ．()(]1,00,1-⋃4．设()22f x x =-,若0a b <<，且()()f a f b =，则ab 的取值范围（） A ．()0,2B ．(]0,2C ．(]0,4D ．()0,45．已知函数()x f 是R 上的增函数，()1,0-A ，)1,3(B 是其图象上的两点，那么不等式()11<+x f 的解集的补集是（）A ．(][),14,-∞⋃+∞B ．()1,2-C ．()1,4D ．(][),12,-∞-⋃+∞6．定义在R 上的函数()y f x =在(),2-∞上是增函数，且()2y f x =+图象的对称轴是0x = 则（） A ．()()13f f -<B ．()()03f f >C ．()()13f f -=-D ．()()23f f <7．用min {a ，b ，c }表示三个数a ，b ，c 中的最小值，设=)(x f min {x 2，x -10，2+x }，则)(x f 的最大值是（） A ．4B ．5C ．6D ．78．已知()x f 在区间R 内是减函数，又0,,≤+∈∈b a R b R a ，则有（） A ．()()()()b f a f b f a f --≤+ B ．()()()()b f a f b f a f -+-≤+ C ．()()()()b f a f b f a f --≥+ D ．()()()()b f a f b f a f -+-≥+二、填空题9．若函数2()48f x x kx =--在[5,8]上是单调函数，则k 的取值范围是____________．10．函数f (x )在(0，＋∞)上为减函数，比较f (a 2－a ＋1) )43(f (填“>” 或“<”或“≥” 或“≤”)． 11．函数f (x )＝2x 2－mx ＋3在[－2，＋∞)上为增函数，在(－∞，－2)上为减函数，则m ＝．12．设函数()f x x =-在[]3,0x ∈-上的最大值a ，最小值为b ，则a b +=________．13．设()f x 是R 上的增函数，且)()(2x a f x x f ->+对∀R x ∈都成立，则a 的取值范围是．三、解答题14．已知()f x 是定义在[]1,1-上的增函数，且2(1)(1)f x f x -<-，求x 的取值范围．15．已知函数()f x 对任意,a b R ∈，都有()()()1f a b f a f b +=+-，且当0x >时，()1f x >，求证：()f x 是R 上的增函数．16．对R x ∈∀，)(x f 表示3+-x ，2123+x ，342+-x x 的最大者，写出)(x f 的解析式并求其最小值．17．已知函数)(x f 的定义域为0(，)∞+，且当1>x 时，0)(>x f 且)()()(y f x f y x f +=⋅．（1）求)1(f 的值；（3）解不等式0)]21([<-x x f ．18．已知定义在区间(0，＋∞)上的函数)(x f 满足)()()(2121x f x f x x f -=，且当1>x 时，0)(<x f . （1）求)1(f 的值；（2）判断)(x f 的单调性；（3）若1)3(-=f ，求)(x f 在[2，9]上的最小值；（4）若1)3(-=f ，解不等式2|)(|-<x f。

函数的单调性-(新教材)人教A版高中数学必修第一册上课用PPT

探索点三函数单调性的应用【例 3】【例 3】 (1)已知函数 f(x)=x2+2(a-1)x+2 在区间(-∞,4]
上是减函数,则实数 a 的取值范围为 (-∞,-3] .
解析:f(x)=x2+2(a-1)x+2=[x+(a-1)]2-(a -1)2+2, 所以此二次函数的对称轴为直线x=1-a . 所以f(x)的单调递减区间为(-∞,1-a]. 因为f(x)在(-∞,4]上是减函数, 所以直线x=1-a必须在直线x=4的右侧或与其重合, 所以1-a≥4,解得a≤-3,即实数a的取值范围为(- ∞,-3].
(2) 已知 y=f(x) 在定义域 (-1,1) 上是减函数 , 且
f(1-a)<f(2a-1),则 a 的取值范围是
.
3函.2数.1的第单1课调时性-【函新数教的材单】调人性教-A【版新高教中材数】学人必教修A第版一（册20优19 秀）课高件中数学必修第一册课件( 共28张 PPT)
函数的单调性-【新教材】人教A版高中数学必修第一册优秀课件
[基础测试] 1.判断.(正确的画“√”,错误的画“×”) (1)已知 f(x)= ,因为 f(-1)<f(2),所以函数 f(x)是增函数.
() 解析:由函数单调性的定义可知,要证明一个函数是增函数,需对定义域内的任意的自变量都满足自变量越大, 函数值也越大,而不是个别的自变量. 答案:×
解析:观察图象可知,y=f(x)的单调区间有[-5,-2], [2,1],[1,3],[3,5]. 其中 y=f(x) 在区间 [-5,-2],[1,3] 上是增函数,在区间[-2,1],[3,5]上是减函数.

新教材2020-2021学年高中数学人教A版第一册学案：3.2.1 第1课时函数的单调性含解析

新教材2020-2021学年高中数学人教A版必修第一册学案：3.2.1 第1课时函数的单调性含解析3．2函数的基本性质3．2。

1单调性与最大（小）值第1课时函数的单调性［目标］1.记住函数的单调性及其几何意义，会证明简单函数的单调性；2。

会用函数的单调性解答有关问题；3.记住常见函数的单调性．[重点] 函数的单调性定义及其应用；常见函数的单调性及应用；函数单调性的证明．[难点］函数单调性定义的理解及函数单调性的证明．知识点一增函数与减函数的定义［填一填］一般地，设函数f（x)的定义域为I,区间D⊆I:如果∀x1，x2∈D，当x1〈x2时，都有f(x1）〈f(x2），那么就称函数f(x）在区间D上单调递增．特别地,当函数f（x)在它的定义域上单调递增时，我们就称它是增函数．如果∀x1，x2∈D，当x1<x2时，都有f(x1）〉f（x2）,那么就称函数f(x）在区间D上单调递减．特别地，当函数f（x)在它的定义域上单调递减时，我们就称它是减函数．[答一答］1．在增函数与减函数的定义中，能否把“∀x1，x2∈D"改为“∃x1,x2∈D”？提示:不能，如图所示：虽然f(－1）〈f（2)，但原函数在[－1，2]上不是增函数．2．设x1、x2是f（x）定义域某一个子区间M上的两个变量,如果f(x)满足以下条件，该函数f（x）是否为增函数?(1）对任意x1〈x2，都有f（x1)<f（x2)；（2）对任意x1，x2，都有［f（x1）－f(x2）]（x1－x2）〉0;（3）对任意x1、x2都有错误!>0.提示：是增函数，它们只不过是增函数的几种等价命题．3．由2推广，能否写出减函数的几个等价命题?提示：减函数（x1,x2∈M)⇔任意x1<x2,都有f(x1）>f（x2）⇔错误! <0⇔［f(x1)－f（x2)]·（x1－x2）〈0.知识点二函数的单调性与单调区间［填一填］如果函数y＝f(x）在区间D上单调递增或单调递减,那么就说函数y＝f(x）在这一区间具有(严格的）单调性，区间D叫做y＝f(x）的单调区间．［答一答]4．函数的单调区间与其定义域是什么关系？提示：函数的单调性是对函数定义域内的某个子区间而言的，故单调区间是定义域的子集．5．函数f（x）＝错误!的单调减区间是（－∞，0）∪(0，＋∞）吗？提示:不是．例如:取x1＝1，x2＝－1，则x1>x2，这时f(x1)＝f （1）＝1，f(x2）＝f(－1）＝－1，故有f(x1)〉f（x2)．这样与函数f(x）＝错误!在(－∞，0)∪（0,＋∞）上单调递减矛盾．事实上，f（x)＝错误!的单调减区间应为（－∞，0）和(0,＋∞)．知识点三常见函数的单调性[填一填］1．设一次函数的解析式为y＝kx＋b（k≠0）,当k〉0时,函数y ＝kx＋b在R上是增函数；当k<0时，函数y＝kx＋b在R上是减函数．2．设二次函数的解析式为y＝ax2＋bx＋c（a≠0）．若a>0,则该函数在错误!上是减函数，在错误!上是增函数．若a<0，则该函数在错误!上是增函数，在错误!上是减函数．3．设反比例函数的解析式为y＝错误!（k≠0)．若k〉0，则函数y＝错误!在(－∞，0）上是减函数，在(0，＋∞）上也是减函数;若k 〈0,则函数y＝错误!在（－∞，0）上是增函数，在（0，＋∞）上也是增函数．[答一答]6．函数y＝x2－x＋2的单调区间如何划分？提示:函数在错误!上是减函数，在错误!上是增函数．类型一判断或证明函数的单调性[例1］证明:函数y＝x＋错误!在（0,3]上递减．[证明]设0<x1<x2≤3，则有y1－y2＝错误!－错误!＝(x1－x2）－错误!＝（x1－x2)错误!。

新教材高中数学3.2函数的基本性质3.2.1单调性与最大(小)值第1课时函数的单调性课件新人教A版必修第一册

证明 ∀x1，x2∈R，且 x2>x1，则 x2－x1>0， ∵当 x>0 时，f(x)<0，∴f(x2－x1)<0， ∴f(x2)－f(x1)＝f[(x2－x1)＋x1]－f(x1)＝f(x2－x1)＋f(x1)－f(x1)＝f(x2－x1)<0， ∴f(x)为减函数.
答案
题型四复合函数的单调性例 4 求函数 f(x)＝8－21x－x2的单调区间．
[证明] (1)根据题意，令 m＝0，可得 f(0＋n)＝f(0)·f(n)． ∵f(n)≠0，∴f(0)＝1. (2)由题意知 x>0 时，0<f(x)<1，当 x＝0 时，f(0)＝1>0，当 x<0 时，－x>0，∴0<f(－x)<1. ∵f[x＋(－x)]＝f(x)·f(－x)， ∴f(x)·f(－x)＝1， ∴f(x)＝f－1 x>0. ∴∀x∈R，恒有 f(x)>0.
数(decreasing function)．
知识点三
单调区间
如果函数 y＝f(x)在区间 D 上__□0_1_单__调__递__增___或_□_0_2_单__调__递__减___，那么就说
函数 y＝f(x)在这一区间具有(严格的)__□0_3__单__调_性_____，__□0_4__区__间__D____叫做 y
7．图象变换对单调性的影响 (1)上下平移不影响单调区间，即 y＝f(x)和 y＝f(x)＋b 的单调区间相同． (2)左右平移影响单调区间．如 y＝x2 的单调递减区间为(－∞，0]；y＝(x ＋1)2 的单调递减区间为(－∞，－1]． (3)y＝k·f(x)，当 k>0 时单调区间与 f(x)相同，当 k<0 时单调区间与 f(x)相反．

高一数学复习知识讲解课件25 单调性与最大(小)值(第1课时) 函数单调性

3.2函数的基高一数学复习知3.2.1单调性与最大函数单调数的基本性质复习知识讲解课件最大(小)值(第1课时)数单调性在区间D上单调递增在区间D上单调递减要点2 函数的单调区间如果函数y ＝f (x )在区间D 上__________这一区间具有_________________，区间注意：(1)函数单调性关注的是整个区间单调递增或(严格的)单调性问题，所以单调区间的端点若属于定义域点不属于定义域则只能开．(2)单调区间D ⊆定义域I .(3)遵循最简原则，单调区间应尽可能大_______________，那么就说函数y ＝f (x )在区间D 叫做y ＝f (x )的单调区间．个区间上的性质，单独一点不存在单调性递增或单调递减义域，则该点处区间可开可闭，若区间端可能大．3．通过上面两道题，你对函数的单调答：函数单调性定义中的，必须是x 1x 2时，要注意保持其任意性．的单调性定义有什么新的理解？必须是任意的，应用单调性定义解决问题课时学案探究1 (1)证明函数的单调性的常用方是：①取值，在给定区间上任取两个自变量进行代数恒等变形，一般要出现乘积形式根据条件判断f (x 1)－f (x 2)变形后的正负；(2)讨论函数的单调性常见有两种：一种数在定义域的子区间上具有不同的单调性常用方法是利用函数单调性的定义，其步骤自变量x 1，x 2；②作差变形，将f (x 1)－f (x 2)形式，且含有x 1－x 2的因式；③判断符号，；④得出结论．一种是参数对单调性的影响，一种是函调性．思考题2 (1)如图所示为函数f (x )的图________________________，单调递减区间[－1，0]，[1，2]，[3，4] 的图象，其单调递增区间是_________减区间是________________________．[0，1]，[2，3](2)【多选题】设f (x )，g (x )都是单调函数A ．若f (x )单调递增，g (x )单调递增，B ．若f (x )单调递增，g (x )单调递减，C ．若f (x )单调递减，g (x )单调递增，D ．若f (x )单调递减，g (x )单调递减，调函数，则下列命题中正确的是()，则f (x )－g (x )单调递增，则f (x )－g (x )单调递增BC ，则f (x )－g (x )单调递减，则f (x )－g (x )单调递减探究3求函数的单调区间常用方法方法：①图象法；②利用已知函数的单调性；③定义法．课后巩固1．函数y＝x2－6x＋10在区间(2，A．减函数C．先减后增函数4)上是()B．增函数CD．先增后减函数2．设(a ，b )，(c ，d )都是函数f (x )的单调d )，x 1<x 2，则f (x 1)与f (x 2)的大小关系是(A ．f (x 1)＝f (x 2) C ．f (x 1)>f (x 2) 的单调递增区间，且x 1∈(a ，b )，x 2∈(c ，)D B ．f (x 1)<f (x 2) D ．不能确定3．函数y ＝|x |－1的单调递减区间为A ．(0，＋∞) C ．(－∞，－1)解析解析 y ＝|x |－1＝x －1，x ≥0，－x －1，x <0，易知( )B ．(－∞，0)B D ．(－1，＋∞)易知其单调递减区间为(－∞，0)．故选B.4．【多选题】已知四个函数的图象如的函数是()BC图象如图所示，其中在定义域内具有单调性自助餐一、证明单调性的探究1 单调性的证明证明某个函数在给定区间上的单调性明．它的步骤如下：第一步：取值．设x 1，x 2是给定区间上第二步：作差变形．写出差式f (x 1)方等手段，向有利于判断差的符号的方向变形式．第三步：判断符号．根据已知条件，第四步：下结论．根据定义，作出结论调性的方法与技巧调性，最常用的方法就是用定义去证区间上的任意两个自变量的值，且x 1<x 2. －f (x 2)，并且通过提取公因式、通分、配方向变形，一般写成几个最简因式相乘的，确定f (x 1)－f (x 2)的符号．出结论．(5)图象变换对单调性的影响．①上下平移不影响单调区间，即y ②左右平移影响单调区间．如＝2的减y x 间为(－∞，－1]．③y ＝kf (x )，当k ＞0时单调区间与f (x＝f (x )和y ＝f (x )＋b 的单调区间相同．的减区间为－∞，，＝＋2的减区(0]y (x 1))相同，当k ＜0时与f (x )相反．例2 已知f (x )>0在R 上恒成立，并且满f (x )>1，求证：f (x )在R 上是增函数．【证明证明】】设x 1，x 2∈R 且x 1<x 2，则∵x >0时，f (x )>1，∴f (x 2－x 1)>1，又f (x )＞0在R 上恒成立∴f (x 2)＝f ((x 2－x 1)＋x 1)＝f (x 2－x 1)·f (∴f (x )在R 上是增函数．并且满足f (x ＋y )＝f (x )·f (y )，当x >0时，则x 2－x 1>0，成立，x 1)>f (x 1)．。

3.2 函数的基本性质(课时1 函数的单调性)优秀公开课获奖课件高一数学

6－4a，a<2， ∴f(x)min＝ 2－a2，2≤a≤4，
18－8a，a>4.
经典例题
跟踪训练3
题型三求二次函数的最值
已知函数 f(x)＝x－2 x－3，求函数 f(x)的最值．
解：设 x＝t(t≥0)，则 x－2 x－3=t2－2t－3. y＝t2－2t－3(t≥0)在[0,1]上单调递减，在[1，＋∞)上单调递增． ∴当 t＝1 即 x＝1 时，f(x)min＝－4，无最大值．
的最大值为________．
－x2＋2，x<1
2 解析：当 x≥1 时，函数 f(x)＝1x为减函数，所以 f(x)在 x＝1 处取得最大值，为 f(1)＝1；当 x<1 时，易知函数 f(x)＝－x2＋2 在 x＝0 处取得最大值，为 f(0)＝2. 故函数 f(x)的最大值为 2.
当堂达标
解：f(x)＝(x－a)2＋a－a2＋1，当 0<a<4 时，f(x)在[－4，a]上是减函数，在[a,4]上是增函数．又 f(－4)＝9a＋17，f(4)＝17－7a，f(－4)>f(4)．所以 f(x)的最大值为 f(－4)＝9a＋17. 当 a≥4 时，f(x)在[－4，4]上是减函数，所以 f(x)的最大值为 f(－4)＝9a＋17. 综上，在[－4,4]上函数的最大值为 9a＋17.
4.函数 f(x)＝1x在[1，b](b>1)上的最小值是14，则 b＝________.
4 解析：因为 f(x)在[1，b]上是减函数，所以 f(x)在[1，b]上的最小值为 f(b)＝1b＝14，所以 b＝4.
当堂达标
5．求函数 f(x)＝x2－2ax＋a＋1(a>0)在[－4,4]上的最大值．

高一数学必修一教案 3.2 函数的基本性质

3．2 函数的基本性质3．2.1 单调性与最大(小)值第1课时函数的单调性学习目标 1.了解函数的单调区间、单调性等概念.2.会划分函数的单调区间，判断单调性.3.会用定义证明函数的单调性．知识点一增函数与减函数的定义一般地，设函数f(x)的定义域为I，区间D⊆I：(1)如果∀x1，x2∈D，当x1<x2时，都有f(x1)<f(x2)，那么就称函数f(x)在区间D上单调递增，特别地，当函数f(x)在它的定义域上单调递增时，我们称它是增函数．(2)如果∀x1，x2∈D，当x1<x2时，都有f(x1)>f(x2)，那么就称函数f(x)在区间D上单调递减，特别地，当函数f(x)在它的定义域上单调递减时，我们称它是减函数．思考(1)所有的函数在定义域上都具有单调性吗？(2)在增函数和减函数定义中，能否把“任意x1，x2∈D”改为“存在x1，x2∈D”？答案(1)不是；(2)不能．知识点二函数的单调区间如果函数y＝f(x)在区间D上单调递增或单调递减，那么就说函数y＝f(x)在这一区间具有(严格的)单调性，区间D叫做y＝f(x)的单调区间．特别提醒：(1)函数单调性关注的是整个区间上的性质，单独一点不存在单调性问题，所以单调区间的端点若属于定义域，则该点处区间可开可闭，若区间端点不属于定义域则只能开．(2)单调区间D⊆定义域I.(3)遵循最简原则，单调区间应尽可能大．1．如果f (x )在区间[a ，b ]和(b ，c ]上都是增函数，则f (x )在区间[a ，c ]上是增函数．( × ) 2．函数f (x )为R 上的减函数，则f (－3)>f (3)．( √ )3．若函数y ＝f (x )在定义域上有f (1)<f (2)，则函数y ＝f (x )是增函数．( × )4．若函数y ＝f (x )在区间D 上是增函数，则函数y ＝－f (x )在区间D 上是减函数．( √ )一、函数单调性的判定与证明例1 根据定义，研究函数f (x )＝axx －1在x ∈(－1,1)上的单调性．解当a ＝0时，f (x )＝0，在(－1,1)上不具有单调性，当a ≠0时，设x 1，x 2为(－1,1)上的任意两个数，且x 1<x 2，所以f (x 1)－f (x 2)＝ax 1x 1－1－ax 2x 2－1＝ax 1x 2－1－ax 2x 1－1x 1－1x 2－1＝a x 2－x 1x 1－1x 2－1因为x 1，x 2∈(－1,1)且x 1<x 2，所以x 2－x 1>0，x 1－1<0，x 2－1<0，所以x 2－x 1x 1－1x 2－1>0，当a >0时，f (x 1)－f (x 2)>0，即f (x 1)>f (x 2)，所以f (x )在(－1,1)上单调递减，当a <0时，f (x 1)－f (x 2)<0，即f (x 1)<f (x 2)，所以f (x )在(－1,1)上单调递增．综上，当a＝0时，f(x)在(－1,1)上不具有单调性；当a>0时，f(x)在(－1,1)上单调递减；当a<0时，f(x)在(－1,1)上单调递增．反思感悟利用定义判断或证明函数单调性的步骤跟踪训练1 求证：函数f(x)＝1x2在(0，＋∞)上是减函数，在(－∞，0)上是增函数．证明对于任意的x1，x2∈(－∞，0)，且x1<x2，有f(x1)－f(x2)＝1x21－1x22＝x22－x21x21x22＝x2－x1x2＋x1x21x22.∵x1<x2<0，∴x2－x1>0，x1＋x2<0，x21x22>0.∴f(x1)－f(x2)<0，即f(x1)<f(x2)．∴函数f(x)＝1x2在(－∞，0)上是增函数．对于任意的x1，x2∈(0，＋∞)，且x1<x2，有f(x1)－f(x2)＝x2－x1x2＋x1x21x22.∵0<x1<x2，∴x2－x1>0，x2＋x1>0，x21x22>0. ∴f(x1)－f(x2)>0，即f(x1)>f(x2)．∴函数f(x)＝1x2在(0，＋∞)上是减函数．二、求单调区间并判断单调性例2 (1)如图是定义在区间[－5,5]上的函数y＝f(x)，根据图象说出函数的单调区间，以及在每一单调区间上，它是增函数还是减函数？考点求函数的单调区间题点求函数的单调区间解 y ＝f (x )的单调区间有[－5，－2)，[－2,1)，[1,3)，[3,5]，其中y ＝f (x )在区间[－5，－2)，[1,3)上是减函数，在区间[－2,1)，[3,5]上是增函数．(2)作出函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x －3，x ≤1，x －22＋3，x >1的图象，并指出函数f (x )的单调区间．解 f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x －3，x ≤1，x －22＋3，x >1的图象如图所示，由图可知，函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x －3，x ≤1，x －22＋3，x >1的单调递减区间为(－∞，1]和(1,2)，单调递增区间为[2，＋∞)．反思感悟 (1)函数单调区间的两种求法①图象法．即先画出图象，根据图象求单调区间． ②定义法．即先求出定义域，再利用定义法进行判断求解．(2)函数的单调性是在定义域内的某个区间上的性质，单调区间是定义域的子集；当函数出现两个以上单调区间时，单调区间之间可用“，”分开，不能用“∪”，可以用“和”来表示；在单调区间D 上函数要么是增函数，要么是减函数，不能二者兼有．跟踪训练2 (1)函数y ＝1x －1的单调递减区间是________．答案 (－∞，1)，(1，＋∞)解析方法一 y ＝1x －1的图象可由y ＝1x的图象向右平移一个单位得到，如图，所以单调减区间是(－∞，1)，(1，＋∞)．方法二函数f (x )＝1x －1的定义域为(－∞，1)∪(1，＋∞)，设x 1，x 2∈(－∞，1)，且x 1<x 2，则f (x 1)－f (x 2)＝1x 1－1－1x 2－1＝x 2－x 1x 1－1x 2－1.因为x 1<x 2<1，所以x 2－x 1>0，x 1－1<0，x 2－1<0，所以f (x 1)－f (x 2)>0，即f (x 1)>f (x 2)．所以函数f (x )在(－∞，1)上单调递减，同理函数f (x )在(1，＋∞)上单调递减．综上，函数f (x )的单调递减区间是(－∞，1)，(1，＋∞)．(2)函数y ＝|x 2－2x －3|的图象如图所示，试写出它的单调区间，并指出单调性．考点求函数的单调区间题点求函数的单调区间解 y ＝|x 2－2x －3|的单调区间有(－∞，－1]，[－1,1]，[1,3]，[3，＋∞)，其中单调递减区间是(－∞，－1]，[1,3]；单调递增区间是[－1,1]，[3，＋∞)．三、单调性的应用例3 (1)已知函数f (x )＝x 2＋2(a －1)x ＋2在区间(－∞，4]上是减函数，则实数a 的取值范围为________．答案 (－∞，－3]解析 f (x )＝x 2＋2(a －1)x ＋2的开口方向向上，对称轴为x ＝1－a ， ∵f (x )＝x 2＋2(a －1)x ＋2在区间(－∞，4]上是减函数， ∴4≤1－a ， ∴a ≤－3，∴a 的取值范围是(－∞，－3]．(2)若函数y ＝f (x )的定义域为R ，且为增函数，f (1－a )<f (2a －1)，则a 的取值范围是________．答案 ⎝ ⎛⎭⎪⎫23，＋∞ 解析因为y ＝f (x )的定义域为R ，且为增函数，f (1－a )<f (2a －1)，所以1－a <2a －1，即a >23，所以所求a 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫23，＋∞. 延伸探究在本例(2)中，若将定义域R 改为(－1,1)，其他条件不变，则a 的范围又是什么？解由题意可知⎩⎪⎨⎪⎧－1<1－a <1，－1<2a －1<1.解得0<a <1.①因为f (x )在(－1,1)上是增函数，且f (1－a )<f (2a －1)，所以1－a <2a －1，即a >23.②由①②可知，23<a <1，即所求a 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫23，1.反思感悟函数单调性的应用(1)函数单调性定义的“双向性”：利用定义可以判断、证明函数的单调性，反过来，若已知函数的单调性可以确定函数中参数的取值范围．(2)若一个函数在区间[a ，b ]上是单调的，则此函数在这一单调区间内的任意子集上也是单调的．跟踪训练3 已知函数f (x )＝x 2－2ax －3在区间[1,2]上具有单调性，求实数a 的取值范围．解函数f (x )＝x 2－2ax －3的图象开口向上，对称轴为直线x ＝a ，画出草图如图所示．由图象可知函数在(－∞，a ]和[a ，＋∞)上都具有单调性，因此要使函数f (x )在区间[1,2]上具有单调性，只需a ≤1或a ≥2，从而a ∈(－∞，1]∪[2，＋∞)．1．函数y ＝6x的减区间是( )A ．[0，＋∞)B ．(－∞，0]C ．(－∞，0)，(0，＋∞)D ．(－∞，0)∪(0，＋∞)答案 C2．函数f (x )在R 上是减函数，则有( ) A ．f (3)<f (5) B ．f (3)≤f (5) C ．f (3)>f (5) D ．f (3)≥f (5)答案 C解析因为函数f (x )在R 上是减函数，3<5，所以f (3)>f (5)． 3．函数y ＝|x ＋2|在区间[－3,0]上( )A ．递减B ．递增C ．先减后增D ．先增后减答案 C解析因为y ＝|x ＋2|＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2，x ≥－2，－x －2，x <－2.作出y ＝|x ＋2|的图象，如图所示，易知函数在[－3，－2)上为减函数，在[－2，0]上为增函数．4．若f (x )＝x 2＋2(a －2)x ＋2的单调增区间为[3，＋∞)，则a 的值是________．答案－1解析 ∵f (x )＝x 2＋2(a －2)x ＋2的单调增区间为[2－a ，＋∞)， ∴2－a ＝3，∴a ＝－1.5．已知函数f (x )为定义在区间[－1,1]上的增函数，则满足f (x )<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12的实数x 的取值范围为________．答案 ⎣⎢⎡⎭⎪⎫－1，12 解析由题设得⎩⎪⎨⎪⎧－1≤x ≤1，x <12，解得－1≤x <12.1．知识清单：(1)增函数、减函数的定义． (2)函数的单调区间． 2．方法归纳：数形结合法．3．常见误区：函数的单调区间不能用并集．1．如图是定义在区间[－5,5]上的函数y ＝f (x )，则下列关于函数f (x )的说法错误的是( )A ．函数在区间[－5，－3]上单调递增B ．函数在区间[1,4]上单调递增C ．函数在区间[－3,1]∪[4,5]上单调递减D ．函数在区间[－5,5]上没有单调性答案 C解析单调区间不能用“∪”连接．2．下列函数中，在区间(0,2)上为增函数的是( ) A ．y ＝3－x B ．y ＝x 2＋1 C ．y ＝1xD ．y ＝－|x ＋1|答案 B解析 y ＝x 2＋1在(0,2)上是增函数．3．若y ＝(2k －1)x ＋b 是R 上的减函数，则有( ) A ．k >12B ．k >－12C ．k <12D ．k <－12答案 C4．若函数f (x )在区间(－∞，＋∞)上是减函数，则下列关系式一定成立的是( ) A ．f (a )>f (2a )B ．f (a 2)<f (a )C ．f (a 2＋a )<f (a ) D ．f (a 2＋1)<f (a 2)答案 D解析因为f (x )是区间(－∞，＋∞)上的减函数，且a 2＋1>a 2，所以f (a 2＋1)<f (a 2)．故选D.5．已知函数y ＝ax 和y ＝－bx在(0，＋∞)上都是减函数，则函数f (x )＝bx ＋a 在R 上是( ) A ．减函数且f (0)<0 B ．增函数且f (0)<0 C ．减函数且f (0)>0 D ．增函数且f (0)>0答案 A解析因为y ＝ax 和y ＝－b x在(0，＋∞)上都是减函数，所以a <0，b <0，f (x )＝bx ＋a 为减函数且f (0)＝a <0，故选A.6．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋1，x ≥1，5－x ，x <1，则f (x )的单调递减区间是________．答案 (－∞，1)解析当x ≥1时，f (x )是增函数，当x <1时，f (x )是减函数，所以f (x )的单调递减区间为(－∞，1)．7．如果二次函数f (x )＝x 2－(a －1)x ＋5在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1上是增函数，则实数a 的取值范围为________．答案 (－∞，2]解析因为二次函数f (x )＝x 2－(a －1)x ＋5的图象的对称轴为直线x ＝a －12，又函数f (x )在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1上是增函数，所以a －12≤12，解得a ≤2. 8．已知f (x )是定义在区间[－1,1]上的增函数，且f (x －2)<f (1－x )，则x 的取值范围是________．考点函数单调性的应用题点利用单调性解抽象函数不等式答案 ⎣⎢⎡⎭⎪⎫1，32 解析由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧ －1≤x －2≤1，－1≤1－x ≤1，x －2<1－x ，解得1≤x <32，故满足条件的x 的取值范围是⎣⎢⎡⎭⎪⎫1，32. 9．已知函数f (x )＝2－x x ＋1，证明：函数f (x )在(－1，＋∞)上为减函数．证明任取x 1，x 2∈(－1，＋∞)，且x 1<x 2，则f (x 1)－f (x 2)＝2－x 1x 1＋1－2－x 2x 2＋1＝3x 2－x 1x 1＋1x 2＋1. 因为x 2>x 1>－1，所以x 2－x 1>0，(x 1＋1)(x 2＋1)>0，因此f (x 1)－f (x 2)>0，即f (x 1)>f (x 2)，所以f (x )在(－1，＋∞)上为减函数．10．画出函数y ＝－x 2＋2|x |＋1的图象并写出函数的单调区间．解 y ＝⎩⎪⎨⎪⎧ －x 2＋2x ＋1，x ≥0，－x 2－2x ＋1，x <0，即y ＝⎩⎪⎨⎪⎧ －x －12＋2，x ≥0，－x ＋12＋2，x <0的图象如图所示，单调增区间为(－∞，－1]和[0,1]，单调减区间为(－1,0)和(1，＋∞)．11．若函数f (x )在区间(a ，b )上是增函数，在区间(b ，c )上也是增函数，则函数f (x )在区间(a ，b )∪(b ，c )上( )A ．必是增函数B ．必是减函数C ．是增函数或减函数D ．无法确定单调性答案 D解析函数在区间(a ，b )∪(b ，c )上无法确定单调性．如y ＝－1x在(0，＋∞)上是增函数，在(－∞，0)上也是增函数，但在(－∞，0)∪(0，＋∞)上并不具有单调性．12．定义在R 上的函数f (x )，对任意x 1，x 2∈R (x 1≠x 2)，有f x 2－f x 1x 2－x 1<0，则( ) A ．f (3)<f (2)<f (1)B ．f (1)<f (2)<f (3)C ．f (2)<f (1)<f (3)D ．f (3)<f (1)<f (2) 答案 A解析对任意x 1，x 2∈R (x 1≠x 2)，有f x 2－f x 1x 2－x 1<0，则x 2－x 1与f (x 2)－f (x 1)异号，则f (x )在R 上是减函数．又3>2>1，则f (3)<f (2)<f (1)．故选A.13．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ x 2，x >1，⎝ ⎛⎭⎪⎫4－a 2x －1，x ≤1.若f (x )是R 上的增函数，则实数a 的取值范围为________．答案 [4,8) 解因为f (x )是R 上的增函数，所以⎩⎪⎨⎪⎧ 4－a 2>0，4－a 2－1≤1，解得4≤a <8. 14．函数f (x )＝ax 2＋(a －3)x ＋1在(－1，＋∞)上单调递减，则实数a 的取值范围是________．答案 [－3,0]解析 ①a ＝0时，f (x )＝－3x ＋1在R 上单调递减，∴a ＝0满足条件；②a ≠0时，f (x )＝ax 2＋(a －3)x ＋1，对称轴为x ＝－a －32a ，∴⎩⎪⎨⎪⎧ a <0，－a －32a ≤－1，解得－3≤a <0.由①②得－3≤a ≤0，故a 的取值范围是[－3,0]．15．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ x 2＋4x ，x ≥0，4x －x 2，x <0，若f (4－a )>f (a )，则实数a 的取值范围是( )A ．(－∞，2)B ．(2，＋∞)C ．(－∞，－2)D ．(－2，＋∞)答案 A 解析画出f (x )的图象(图略)可判断f (x )在R 上单调递增，故f (4－a )>f (a )⇔4－a >a ，解得a <2.16．已知函数f (x )＝x －a x ＋a2在(1，＋∞)上是增函数，求实数a 的取值范围．解设1<x 1<x 2，所以x 1x 2>1.因为函数f (x )在(1，＋∞)上是增函数，所以f (x 1)－f (x 2)＝x 1－a x 1＋a 2－⎝⎛⎭⎪⎫x 2－a x 2＋a 2 ＝(x 1－x 2)⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋a x 1x 2<0. 因为x 1－x 2<0，所以1＋a x 1x 2>0，即a >－x 1x 2. 因为1<x 1<x 2，x 1x 2>1，所以－x 1x 2<－1，所以a ≥－1.所以a 的取值范围是[－1，＋∞)．。

新教材高中数学函数的概念与性质2函数的基本性质单调性与最大小值第一课时课件新人教A版必修第一册

知识点二单调性与单调区间如果函数y＝f(x)在区间D上单调递增或单调递减,那么就说函数y＝f(x)在这一区间具有(严格的)___单__调__性___,区间D叫做 y＝f(x)的___单__调__区__间_____．
【思辨】判断正误(请在括号中打“√”或“×”). (1)函数的单调区间是函数定义域的子集．( √ ) (2)函数f(x)＝－的单调递增区间是(－∞,0)∪(0,＋∞).
例3 已知函数f(x)在区间(－1,1)上单调递减,且f(a－1)>f(1－4a),
求a的取值范围．
－1<a－1<1，
1
解：由题意知－1<1－4a<1，解得 0<a<2 . ①
又因为函数 f(x)在区间(－1，1)上单调递减，
且 f(a－1)>f(1－4a)，
所以 a－1<1－4a，得 a<25 .②由①②得，0<a<25 ，
(×) (3)函数f(x)＝x2－2x(x∈[－1,2])的单调递增区间是[1,2],单
调递减区间是[－1,1].( √) (4)函数y＝2x＋1在[0,3]上单调递增,则[0,3]是函数的单调
递增区间．( × )
2 【解析】 (2)函数 f(x)＝－x 的单调递增区间是(－∞，0) 和(0，＋∞).注意两个区间之间要用逗号或“和”连接． (4)函数在定义域内的某区间递增，这个区间不一定是函数的单调递增区间，它可能是单调区间的子集．
因为 x1<x2，且 x1，x2∈(0，＋∞)，
所以 x2－x1>0，x1＋3>0，x2＋3>0.
所以函数 f(x2)－f(x1)>0，即 f(x2)>f(x1)，

高中数学3-2函数的基本性质3-2-1单调性与最大小值第1课时函数的单调性课件新人教A版必修第一册

上是增函数，则f (m)与f (1)的大小关系是(
A．f (m)<f (1)
C．f (m)≤f (1)
B
)
B．f (m)>f (1)
√
D．f (m)≥f (1)
∵函数f (x)＝(m－1)x＋1在R上是增函数，∴m－1>0，解得m>1，
则f (m)> f (1)，故选B．
− 2 + 4， ≤ 1，
1

• (1)f (x)＝－；
[解] 函数f
1
(x)＝－的单调区间为(－∞，0)，(0，＋∞)，其在(－∞，

0)，(0，＋∞)上都是单调递增的．
2 + 1， ≥ 1，
• (2)f (x)＝ቊ
5 − ， < 1；
[解] 当x≥1时，f (x)是增函数，当x<1时，f (x)是减函数，所以f (x)
(2a－1)，求实数a的取值范围．
思路导引： 1 − < 2 − 1
建立的不等关系

在定义域 −1，1 上
是减函数
−1 < 1 − < 1，
2
• [解] 由题意知ቐ−1 < 2 − 1 < 1，解得0<a< ，
3
1 − > 2 − 1，
• 即所求a的取值范围是 0，
• 知识点1 增函数与减函数的定义
函数
增函数
减函数
图示
条件
设函数f (x)的定义域为D，区间I⊆D：如果∀x1，x2∈I，当x1<x2时，
f (x1)<f (x2)
都有___________
f (x1)>f (x2)

3.2 函数的基本性质(课时1 函数的单调性)优秀公开课获奖课件高一数学

x
概念生成
一般地，设函数 = ()的定义域为，如果存在实数满足:
(1)∀ ∈ ,都有() ≤ ;
(2)∃ ∈ ,使得( ) = .
那么，我们则称是函数 = ()的最大值.
y
函数 = ()的最大值可用“ ”或“() ”来表示.
1
- 4 -3 - 2
值
( ) < ( )，那么就称函数()
( ) > ( )，那么就称函数()在
在区间上单调递增.
区间上单调递减.
就叫做函数()的单调递增区间，
就叫做函数()的单调递增区间，
简称增区间.
简称减区间.
问题2 如何判定函数的单调性？
(1)图象法(形象直观)；(2)定义法(推导证明)
-1
1
1.图像
-2
2.定义域
-3
3.单调性
-4
4.求最值
2 3
4
x
新知讲解
问题5 一次函数（以 = ， = −（ ∈ ）为例）有最大（小）
值吗？
图像：
y
y

() =
5
1
4
- 4 -3
3
2
-2
-1 0
-1
-1 0
-1
-2
1
- 4 -3
-2
-3
1
2
3
4
x
-4
1
2
3
4
x
二次函数() = +
观察图像，可以发现，二次函数
() = − 的图象上有一个最高点
（0,0），即∀ ∈ ,都有() ≤ ().
当一个函数()的图象有最高点时，
我们就说函数()有最大值.

高中数学统编版第一册第三章函数的概念与性质3.2.1单调性与最大(小)值(第1课时)函数的单调性课件

区间内几个有限的函数值的关系,是不能作为判断单调性的根据的,
也就是说函数单调性定义的三个特征缺一不可.因此本题选D.
答案:D
1
(2)解析:函数y= 在(-∞,0)和(0,+∞)上单调递减,故其单调递减区
间为(-∞,0)和(0,+∞).
答案:C
(3)解:函数在[-1,0]上是减函数,在[0,2]上是增函数,在[2,4]上是减
上单调递增
上单调递减
图象
特征
函数 f(x)在区间 D 上的图
象是上升的
图示
函数 f(x)在区间 D 上的图象
是下降的
课前篇
自主预习
一
二
3.做一做
(1)f(x)=-2x-1在(-∞,+∞)上是
数”)
(2)f(x)=x2-1在区间[0,+∞)上是
数”)
答案:(1)减函数 (2)增函数
.(填“增函数”或“减函
探究二
探究三
思维辨析
随堂演练
确定函数的单调区间
例1 求下列函数的单调区间,并指出其在单调区间上是增函数还
是减函数:
1
(1)y=3x-2;(2)y=-.
分析:若函数为我们熟悉的函数,则直接给出单调区间,否则应先
画出函数的草图,再结合图象“升降”给出单调区间.
解:(1)函数y=3x-2的单调区间为R,其在R上是增函数.
2.填空
如果函数y=f(x)在区间D上单调递增(或单调递减),那么就说函数
y=f(x)在这一区间具有(严格的)单调性,区间D叫做y=f(x)的单调递
增(或减)区间.
课前篇
自主预习
一
二
3.做一做
(1)若函数f(x)的定义域为(0,+∞),且满足f(1)<f(2)<f(3),则函数f(x)

新教材高中数学第3章函数概念与性质3.2.1单调性与最大(小)值课件

区间(1,3)内单调递增.( × )
(4)任何函数都有最大(小)值.( × )
(5)函数f(x)在区间[a,b]上的最值一定是f(a)(或f(b)).( × )
合作探究·释疑解惑
探究一证明函数的单调性

【例 1】求证:函数 f(x)= 在区间(0,+∞)内单调递减.

证明:设∀x1,x2∈(0,+∞),且 x1<x2,
函数y=f(x)在这一区间具有(严格的)单调性,区间D叫做y=f(x)
的单调区间.
3.做一做:下列函数中,在区间(0,+∞)内单调递增的是(
A.y=-2x
B.y=(x-1)2

C.y=+
D.y=|x+2|
解析:y=-2x 在区间(0,+∞)内单调递减,A 错;
y=(x-1)2 在区间(0,+∞)内先减后增,B 错;
)
A.(-∞,4] B.(-∞,4)
C.[4,+∞) D.(4,+∞)
解析:若函数f(x)=2x2-ax+5在区间[1,+∞)内单调递增,则其图

象的对称轴应满足 ≤1 ,所以a≤4.
答案:A
(2)f(x)在R上单调递增;g(x)在区间(-∞,0)内单调递减,在区间
(0,+∞)内单调递增;h(x)在区间(0,+∞)内单调递减.
2.填空:
最大值
最小值
一般地,设函数 y=f(x)的定义域为 I,如果存在实数 M 满足
条件 ∀x∈I,都有 f(x)≤M
∀x∈I,都有 f(x)≥M
∃x0∈I,使得 f(x0)=M
(3)函数f(x)的定义域为R,

新教材高中数学第三章函数的概念与性质32函数的基本性质321单调性与最大小值第1课时函数的单调性课件

函数．
题型 1 求函数的单调区间例1 求下列函数的单调区间，并指出该函数在其单调区间上是增函数还是减函数． (3)f(x)＝－x2＋2|x|＋3.
方法归纳 1．求函数单调区间的方法
2．若所求出函数的单调增区间或单调减区间不唯一，函数的单调区间之间要用“，”“和”连接，不能用“∪”连接．
巩固训练1 画出函数y＝|x|(x－2)的图象，并指出函数的单调区间．
C. [－1，2]
D．[2，5]
答案：BD
解析：结合图象易知，函数f(x)在区间[－4，－1]、[2，5]上单调递减．
答案：A
(－∞，0)和(0，＋∞)
题型探究·课堂解透
解析：当x≥1时，f(x)是增函数，当x＜1时，f(x)是减函数，所以f(x)的单调区间为(－∞，1)，[1，＋∞)，并且函数f(x)在(－∞，1)上是减函数，在[1，＋∞)上是增
方法归纳 1．由函数解析式求参数
答案：A
第1课时函数的单调性
新知初探·课前预习
题型探究·课堂解透
新知初探·课前预习
课程标单调性． (3)会用定义证明函数的单调性．
教材要点要点一增函数与减函数的定义
条件结论
一般地，设函数f(x)的定义域为D，区间I⊆D：如果任意❶x1，
助学批注
批注❶ “任意”二字绝不能去掉，证明时不能以特殊代替一般．批注❷ (1)函数的单调性也叫函数的增减性； (2)函数的单调性是对某个区间而言的，它是一个局部概念．
× √
×
×
2．(多选)如图是函数y＝f(x)的图象，则函数y＝f(x)在下列区间单调
递减的是( )
A．[－6，－4] B．[－4，－1]
x2∈I, 当x1＜x2时

新教材高中数学第三章函数的概念与性质单调性与最大小值第1课时函数的单调性课件新人教A版必修第一册

所以 f(x1)－f(x2)＜0，即 f(x1)＜f(x2)．所以函数 f(x)＝x2－1x在区间(0，＋∞)上是增函数． (2)设 x1，x2 是 R 上的任意两个实数，且 x1＜x2，则 x2－x1＞0，而 f(x2)－f(x1)＝(x32＋x2)－(x31＋x1) ＝(x2－x1)(x22＋x2x1＋x21)＋(x2－x1) ＝(x2－x1)(x22＋x2x1＋x21＋1) ＝(x2－x1)x2＋x212＋34x21＋1.
答案 C 解析 f(x)＝|x|的递增区间是[0，＋∞)，g(x)＝－x2＋2x＝－(x－1)2＋1 的递增区间为(－∞，1]．
7．函数 f(x)＝x－2－x21，，x<x≥0 0，的单调区间为(
)
A．(－∞，0)，[0，＋∞) B．(－∞，0)
C．[0，＋∞)
D．(－∞，＋∞)
答案 A
解析函数 f(x)的大致图象如图所示．由图可知函数 f(x)的单调区间为 (－∞，0)，[0，＋∞)．
∴(－∞，－3]是 y＝－12 x2＋2x－3的单调递增区间．故所求函数的单调递减区间为[1，＋∞)．
9．已知函数 f(x)＝8＋2x－x2，g(x)＝f(2－x2)，试求 g(x)的单调区间．解令 u(x)＝2－x2，则 u(x)在(－∞，0]上为增函数，在[0，＋∞)上为减函数，且 u(0)＝2. f(x)＝8＋2x－x2＝－(x－1)2＋9 在(－∞，1]上为增函数，在[1，＋∞)上为减函数．令－x2＋2＝1，则 x＝±1. ∴当 x∈(－∞，－1]时，u(x)为增函数，值域为(－∞，1]，且 f(x)在(－ ∞，1]上也为增函数． ∴g(x)在(－∞，－1]上为增函数．
4．(多选)下列四个函数在(－∞，0)上为增函数的是( )

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