2018-2019年高考数学二轮复习专题一函数与导数不等式第4讲导数与函数的单调性极值与最值课时

第4讲导数与函数的单调性、极值与最值

一、选择题

1．函数f(x)＝1

2

x2－ln x的单调递减区间为( )

A．(－1，1] B．(0，1] C．[1，＋∞) D．(0，＋∞)

解析：由题意知，函数的定义域为(0，＋∞)，又由f′(x)＝x－1

x

≤0，解

得0＜x≤1，所以函数f(x)的单调递减区间为(0，1]．

答案：B

2．(2017·浙江卷)函数y＝f(x)的导函数y＝f′(x)的图象如图所示，则函数y＝f(x)的图象可能是( )

解析：利用导数与函数的单调性进行验证．f′(x)＞0的解集对应y＝f(x)的增区间，f′(x)＜0的解集对应y＝f(x)的减区间，验证只有D选项符合．答案：D

3．函数f(x)＝3x2＋ln x－2x的极值点的个数是( )

A．0 B．1

C．2 D．无数个解析：函数定义域为(0，＋∞)，

且f′(x)＝6x＋1

x

－2＝

6x2－2x＋1

x

，

由于x＞0，g(x)＝6x2－2x＋1的Δ＝－20＜0，

所以g(x)＞0恒成立，故f′(x)＞0恒成立，

即f(x)在定义域上单调递增，无极值点．

答案：A

4．(2016·山东卷)若函数y＝f(x)的图象上存在两点，使得函数的图象在这两点处的切线互相垂直，则称y＝f(x)具有T性质．下列函数中具有T性质的是( )

A．y＝sin x B．y＝ln x

C．y＝e x D．y＝x3

解析：对函数y＝sin x求导，得y′＝cos x，当x＝0时，该点处切线l1的斜率k1＝1，当x＝π时，该点处切线l2的斜率k2＝－1，所以k1·k2＝－1，

所以l1⊥l2；对函数y＝ln x求导，得y′＝1

x

恒大于0，斜率之积不可能为－1；

对函数y＝e x求导，得y′＝e x恒大于0，斜率之积不可能为－1；对函数y＝x3，得y′＝3x2恒大于等于0，斜率之积不可能为－1.

答案：A

5．已知a≥0，函数f(x)＝(x2－2ax)e x，若f(x)在[－1，1]上是单调递减函数，则a的取值范围是( )

A．0＜a＜3

4

B.

1

2

＜a＜

3

4

C．a≥3

4

D．0＜a＜

1

2

解析：f′(x)＝e x[x2＋2(1－a)x－2a]，因为f(x)在[－1，1]上单调递减，

所以f ′(x )≤0在[－1，1]上恒成立． 令g (x )＝x 2＋2(1－a )x －2a ， 则⎩⎨⎧g （1）≤0g （－1）≤0，解得a ≥34.

答案：C 二、填空题

6．已知a 为函数f (x )＝x 3－12x 的极小值点，则a ＝________．

解析：由题意得f ′(x )＝3x 2－12，令f ′(x )＝0得x ＝±2，所以当x <－2或x >2时，f ′(x )>0；当－2

所以f (x )在x ＝2处取得极小值， 所以a ＝2. 答案：2

7．(2016·全国卷Ⅲ)已知f (x )为偶函数，当x ＜0时，f (x )＝ln(－x )＋3x ，则曲线y ＝f (x )在点(1，－3)处的切点方程是________．

解析：令x ＞0，则－x ＜0，

f (－x )＝ln x －3x ，

又f (x )为偶函数，即f (－x )＝f (x )，

所以f (x )＝ln x －3x (x ＞0)，则f ′(x )＝1

x

－3(x ＞0)．

所以f ′(1)＝－2，

所以在点(1，－3)处的切线方程为y ＋3＝－2(x －1)，即y ＝－2x －1. 答案：2x ＋y ＋1＝0

8．(2017·佛山质检)若函数f (x )＝－1

2x 2＋4x －3ln x 在[t ，t ＋1]上不单

调，则t 的取值范围是________．

解析：f ′(x )＝－x ＋4－3

x ＝

－x 2＋4x －3

x

＝－

（x －1）（x －3）

x

.

由f ′(x )＝0及判断可知函数f (x )的两个极值点为1，3，则只要这两个极值点有一个在区间(t ，t ＋1)内，函数f (x )在区间[t ，t ＋1]上就不单调，

所以t <1

9．(2017·邯州二模选编)已知函数f (x )＝ax 2－(2a －1)x －ln x ．(导学号 55410099)

(1)当a ＞0时，求函数f (x )的单调递增区间； (2)当a ＜0时，求函数f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤

12，1上的最小值．

解：(1)因为f (x )＝ax 2＋(1－2a )x －ln x ，

所以f ′(x )＝2ax ＋(1－2a )－1x ＝（2ax ＋1）（x －1）

x

，

因为a ＞0，x ＞0，

所以2ax ＋1＞0，解f ′(x )＞0，得x ＞1， 所以f (x )的单调增区间为(1，＋∞)． (2)当a ＜0时，由f ′(x )＝0，得x 1＝－

1

2a

，x 2＝1， ①当－

12a ＞1，即－1

2

＜a ＜0时，f (x )在(0，1)上是减函数， 所以f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤

12，1上的最小值为f (1)＝1－a .

②当12≤－12a ≤1，即－1≤a ≤－1

2

时，

f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，－12a 上是减函数，在⎣⎢⎡

⎦⎥⎤

－1

2a ，1上是增函数，

所以f (x )的最小值为f ⎝ ⎛⎭⎪⎫

－12a ＝1－14a ＋ln(－2a )．

③当－

12a ＜12，即a ＜－1时，f (x )在⎣⎢⎡⎦

⎥⎤

12，1上是增函数，