2016年秋季学期新版新人教版九年级数学上册21.3、实际问题与一元二次方程课件5

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新人教版九年级上册21.3实际问题与一元二次方程传人病、增长率、图形问题、数字问题、握手问题、合同问题

分析 1
第一轮传染后
1+1· x
1+x+x(1+x)
如果按照这样的传染速度三轮传染后有多少人患流感?
(2009年中山市）某种电脑病毒传播非常快，如果一台电脑被感染，经过两轮感染后就会有81台电脑被感染．请你用学过的知识分析，每轮感染中平均一台电脑会感染几台电脑？若病毒得不到有效控制，3轮感染后，被感染的电脑会不会超过700台？
练习
1. 当x取什么值时，一元二次多项式x -x-6与一元一次多项式3x-2的值相等？
2
答： x 2 2 2 .
2. 当t取什么值，关于x的一元二次方程
x 1 x t 1 . 4 2 有两个相等的实数根？
2

2
答： t 2 .
2
15
3. 要组织一场篮球联赛, 每两队之间都赛2场,计划安排90场比赛,应邀请多少个球队参加比赛?
x( x 1) 90
4.参加一次聚会的每两人都握了一次手,所有人共握手10次,有多少人参加聚会? x( x 1)
2
10
3、要组织一场篮球联赛,赛制为单循环形式,即每两队之间都赛一场,计划安排15场比赛,应邀请多少个球队参加比赛? 4、要组织一场篮球联赛, 每两队之间都赛2场,计划安排90场比赛,应邀请多少个球队参加比赛? 5、参加一次聚会的每两人都握了一次手,所有人共握手10次,有多少人参加聚会?
●
解得, x x1=9,x2=－10(不合题意,舍去) 支干
即 x
2
x 90 0
小分支
小分支
…… ……
小分支
小分支
……

人教版九年级数学上册第21章《 21.3 实际问题与一元二次方程》(1)

第二十一章一元二次方程
21.3 实际问题与一元二次方程（1）
随着社会的不断发展，营销问题在我们的生活中越来越重要，今天我们就来学习一下利用一元二次方程解决与营销有关的问题.
第二十一章一元二次方程
【例1】两年前生产1 t甲种药品的成本是5 000元，生产1 t乙种药品的成本是6 000元．随着生产技术的进步，现在生产1 t甲种药品的成本是3 000元，生产1 t乙种药品的成本是3 600元．哪种药品成本的年平均下降率较大？
第二十一章一元二次方程
1. 平均变化率问题常列方程：a(1±x)n=b.
其中a为基数，x为平均增长（降低）率，
n为增长(降低)次数，b为增长(降低)后的量.
2. 解决利润问题常用的关系有：
（1）利润＝售价－进价．
（2）利润率＝
利润进价
×100% ＝售价进-价进价
×100%.
（3）售价＝进价(1＋利润率)．
第二十一章一元二次方程
2.某种花卉每盆的盈利与每盆的株数有一定的关系，每盆植 3株时，平均每株盈利4元；若每盆增加1株，平均每株盈利减少0.5元，要使每盆的盈利达到15元，每盆应多植多少株？设每盆多植x株，则可以列出的方程是( A ) A．(3＋x)(4－0.5x)＝15 B．(x＋3)(4＋0.5x)＝15 C．(x＋4)(3－0.5x)＝15 D．(x＋1)(4－0.5x)＝15
药品成本为5 000(1－x)元，两年后甲种药品成本为 5 000(1－x)2元，于是有 5 000(1－x)2＝3 000. 解方程，得 x1≈0.225，x2≈1.775.
根据问题的实际意义，甲种药品成本的年平均下降率约为22.5%.
第二十一章一元二次方程

人教版九年级数学上册：21.3实际问题与一元二次方程握手问题和互赠礼物问题说课稿

人教版九年级数学上册：21.3 实际问题与一元二次方程握手问题和互赠礼物问题说课稿一. 教材分析人教版九年级数学上册第21.3节“实际问题与一元二次方程——握手问题和互赠礼物问题”，是在学生学习了方程与方程组、一元二次方程的基础上进行的教学。

本节课通过生活中的握手问题和互赠礼物问题，引导学生运用一元二次方程解决实际问题，培养学生的数学应用能力。

二. 学情分析九年级的学生已经具备了一定的方程解法能力和问题解决能力，但对于如何将实际问题转化为数学模型，并运用一元二次方程进行求解，仍然存在一定的困难。

因此，在教学过程中，需要帮助学生建立实际问题与一元二次方程之间的联系，提高他们的数学应用能力。

三. 说教学目标1.知识与技能目标：让学生掌握一元二次方程在实际问题中的应用，学会将实际问题转化为数学模型，并运用一元二次方程进行求解。

2.过程与方法目标：通过解决握手问题和互赠礼物问题，培养学生运用数学知识解决实际问题的能力。

3.情感态度与价值观目标：激发学生学习数学的兴趣，培养他们勇于探索、积极思考的精神。

四. 说教学重难点1.教学重点：握手问题和互赠礼物问题的数学模型建立与求解。

2.教学难点：如何引导学生将实际问题转化为一元二次方程，并运用方程求解。

五. 说教学方法与手段1.教学方法：采用问题驱动法、案例教学法和小组合作学习法，引导学生主动参与课堂，提高他们的实践能力。

2.教学手段：利用多媒体课件、实物模型等辅助教学，生动形象地展示问题解决过程。

六. 说教学过程1.导入新课：通过一个简单的握手问题，激发学生的兴趣，引出本节课的主题。

2.知识讲解：讲解握手问题和互赠礼物问题的数学模型建立方法，引导学生掌握一元二次方程在实际问题中的应用。

3.案例分析：分析具体的握手问题和互赠礼物问题，引导学生运用一元二次方程进行求解。

4.小组讨论：让学生分组讨论其他实际问题，尝试将问题转化为一元二次方程，并求解。

5.总结提升：对本节课的知识进行总结，引导学生学会将实际问题转化为数学模型，并运用一元二次方程进行求解。

人教版数学九年级上册21.3《实际问题与一元二次方程(1)》教学设计

人教版数学九年级上册21.3《实际问题与一元二次方程（1）》教学设计一. 教材分析人教版数学九年级上册21.3《实际问题与一元二次方程（1）》这一节主要讲解了一元二次方程在实际问题中的应用。

教材通过引入具体的问题情境，让学生了解一元二次方程在生活中的应用，培养学生的数学应用能力。

教材内容安排合理，由浅入深，通过实例让学生理解一元二次方程的实际意义，并学会运用一元二次方程解决实际问题。

二. 学情分析九年级的学生已经学习了一元二次方程的理论知识，对解一元二次方程的方法有一定的了解。

但在实际问题中的应用，还需要通过实例来引导学生理解和掌握。

学生已经具备了一定的逻辑思维能力和问题解决能力，但需要在实际问题的解决中进一步培养和提高。

三. 教学目标1.知识与技能：让学生理解一元二次方程在实际问题中的应用，学会将实际问题转化为一元二次方程，并运用一元二次方程解决实际问题。

2.过程与方法：通过实例分析，让学生掌握将实际问题转化为一元二次方程的方法，培养学生的数学建模能力。

3.情感态度与价值观：激发学生学习数学的兴趣，培养学生应用数学解决实际问题的能力，提高学生的数学素养。

四. 教学重难点1.重点：让学生学会将实际问题转化为一元二次方程，并运用一元二次方程解决实际问题。

2.难点：如何引导学生理解并掌握将实际问题转化为一元二次方程的方法。

五. 教学方法1.实例分析法：通过具体的实际问题，引导学生理解和掌握一元二次方程在实际问题中的应用。

2.问题驱动法：引导学生主动思考实际问题，自主探索一元二次方程的解法。

3.合作交流法：鼓励学生之间相互讨论，共同解决问题，提高学生的团队协作能力。

六. 教学准备1.教学课件：制作课件，展示实际问题与一元二次方程的关系。

2.实例材料：准备一些实际问题，作为教学案例。

3.计算器：为学生提供计算器，方便计算。

七. 教学过程1.导入（5分钟）通过一个简单的实际问题，引导学生思考如何用数学方法解决实际问题，激发学生的学习兴趣。

人教版九年级上册(新)数学同步教案21.3 实际问题与一元二次方程 (第1课时)

21.3实际问题与一元二次方程(第1课时)一、内容和内容解析1．内容列一元二次方程解决实际问题．2．内容解析本节课学习如何用一元二次方程解决实际问题．分析两轮传播中每个周期内相应的数量关系，从而将实际问题转化为数学问题，再次体现数学建模思想．在此过程中培养分析问题和运用一元二次方程解决实际问题的能力．本课时中解方程属于已学内容，因此教学重点是分析实际问题中的数量关系，正确列出一元二次方程．二、目标和目标解析1．目标(1)能根据实际问题中的数量关系，正确列出一元二次方程；(2)通过列方程解应用题体会一元二次方程在实际生活中的应用，经历将实际问题转化为数学问题的过程，提高数学应用意识．2．目标解析达成目标(1)的标志是：通过审题，分析出“传播问题”中每个周期的传播源和传播后的总数各是什么，从而选择合适的未知数，列出相应的代数式；分析等量关系，正确列出方程，解决实际问题．达成目标(2)的标志是：对用方程解决实际问题的步骤(审、设、列、解、验、答)及需注意的事项进行回顾、总结和深化．体会一元二次方程是解决实际问题的一种数学模型．三、教学问题诊断分析九年级学生已具备一定的建模思想，也接触了一些实际问题，了解将实际问题转化为数学问题的一般步骤，积累了一定的解题经验和方法．本课时的实际问题中的数量关系比之前遇到过的更复杂一些，学生理解题意的困难是：“第一轮”，“第二轮”中的传染源及被传染总人数是多少．在弄清问题背景，明确数量关系后，还要解决第二轮被传染总人数的代数式如何表示的问题．练习第2题，学生可能将此题与前面所学细菌繁殖类型混淆，从而列出1＋x＋x(1＋x)＝91．可采用图示分析植物主干与分支再长出分支的意义．四、教学过程设计1．分析“传播问题”的特征问题1列方程解应用题的一般步骤是什么？师生活动：教师提问，学生回答．设计意图：回顾列方程解应用题的一般步骤．问题2观察生活中的细胞分裂以及疾病传播这类问题，“传播”这类问题具有什么特征？展示以“细胞分裂”为背景的图片，学生观察图片，说明细胞分裂过程，教师进行适当补充：细胞在分裂过程中，由1个分裂为2个，再分裂成4个，如此分裂下去…展示以“疾病传染”为背景的图片，学生观察图片，教师介绍问题背景：甲流肆虐期间，有确诊病例后要对密切接触者进行筛查，以防止扩大传染范围．设计意图：从实际问题中归纳“传播”类问题的特征．2．解决“传播问题”问题3有一人患了流感，经过两轮传染后共有121人患了流感,每轮传染中平均一个人传染了几个人?师生活动：学生独立思考，回答．教师在学生活动过程中可提出如下提示性问题．追问1：(1)本题要解决什么问题？(传播问题)(2)已知条件中描述数量关系的语句有哪些？(有一人患了流感；经过两轮传染后共有121人患了流感；每轮传染中平均一个人传染了几个人．)(3)“第一轮”，“第二轮”中传染源人数和被传染人数各是多少？如何表示？(第一轮传染源人数为1人，被传染人数为x人；第二轮传染源人数为(x＋1)人，被传染人数为x(x＋1)人．)设计意图：本问题是在问题2的基础上，针对具体情景分析其中的数量关系．学生理解的难点就是“第一轮”、“第二轮”的含义，以及如何表示每一轮传染源人数和被传染人数．因此在此处设问，以帮助学生理解．追问2：你能发现本题中的等量关系吗？你能解决这个问题吗？师生活动：学生独立思考完成，再分组交流．等量关系：1＋第一轮新被传染的人数＋第二轮新被传染人数＝121．解：设每轮传染中平均一个人传染了x个人．根据题意得1＋x＋x(1＋x)＝121．解得：x1＝10，x2＝－12(舍去)．答：平均一个人传染了10个人．设计意图：让学生经历完整的解题过程，提高分析和解决问题的能力．追问3：按照这样的传染速度,三轮传染后有多少人患流感?师生活动：学生独立思考、回答，得出121＋121×10＝1331人．设计意图：让学生进一步熟悉“传播问题”的特征．3．练习、巩固教科书第22页练习4．师生活动：由学生独立完成，再进行全班交流．要整理出解题的基本思路：审、设、列、解、验、答，从而提高学生分析和解决此类问题的能力．4．小结问题4你能所说本节课所研究的“传播问题”的基本特征吗？解决此类问题的关键步骤是什么？师生活动：学生先思考再作答，教师帮助整理．得出：“传播问题”的基本特征是：以相同速度逐轮传播．解决此类问题的关键步骤是：明确每轮传播中的传染源个数，以及这一轮被传染的总数．设计意图：通过归纳，明确“传播问题”的基本特征，以及解决此类问题的一般过程和方法．5．布置作业教科书第25页复习题21第7题．6．目标检测设计某种电脑病毒传播非常快，如果一台电脑被感染，经过两轮感染后就会有81台电脑被感染．请你用学过的知识分析，每轮感染中平均一台电脑会感染几台电脑？若病毒得不到有效控制，3轮感染后，被感染的电脑会不会超过700台？设计意图：检测“传播问题”的掌握情况．。

人教版九年级数学上21.3《实际问题与一元二次方程》第一课时参考教案(

21.3实际问题与一元二次方程（1）一、教学目标1.会利用一元二次方程解决传播问题.2.培养分析问题解决问题的能力，发展应用意识.二、教学重点和难点1.重点：利用一元二次方程解决传播问题.2.难点：根据传播问题列方程.三、教学过程（一）基本训练，巩固旧知1.填空：(1)有一人得了流感，他把流感传染给了10个人，共有人得流感；第一轮传染后，所有得流感的人每人又把流感传染给了10个人，经过两轮传染后，共有人得流感.(2)有一人得了流感，他把流感传染给了x个人，共有人得流感；第一轮传染后，所有得流感的人每人又把流感传染给了x个人，经过两轮传染后，共有人得流感.【(1)题答案为11，121，(2)题答案为1+x，1+x+x(x+1)，先让生自己做，然后师进行讲解】（二）创设情境，导入新课师：和一元一次方程一样，利用一元二次方程可以解决实际问题，上节课我们做了一个例题，本节课我们再来看一个例题.（三）尝试指导，讲授新课（师出示下面的例题）例有一人得了流感，经过两轮传染后，共有121人得了流感，每轮传染中平均每一个人传染了几个人？师：大家把这个题目好好默读几遍.（生默读）师：谁能不看黑板说出题目的意思？生：……（让几名同学说）师：这个题目怎么设？生：设每轮传染中平均一个人传染了x个人.（师板书：解：设每轮传染中平均一个人传染了x个人）师：（在黑板的其它地方板书：第一轮后）设平均一个人传染了x个人，那么第一轮后，共有多少人得了流感？生：1+x.（多让几名同学回答，然后师板书：1+x）师：（在黑板的其它地方板书：第二轮后）那么第二轮后，共有多少人得了流感？（让生思考一会儿再叫学生）生：1+x+x(1+x).（多让几名同学回答，然后师板书：1+x+x(1+x)）师：下面大家根据题目的意思列一列方程.（生列方程，师巡视）师：（板书：根据题意列方程，得）列出的方程是什么？生：1+x+x(1+x)=121（生答师板书：1+x+x(1+x)=121）.师：（指方程）这是一个一元二次方程，怎么解这个方程？大家试着解一解.（生解方程）师：解出来的结果是什么？生：x1=10，x2=-12（生答师板书：x1=10，x2=-12）.师：（指方程）解这个方程是有讲究的，很多同学用公式法解，发现数字比较大，解起来比较麻烦.实际上我们可以用直接开平方法来解.怎么用直接平方法来解？（稍停）师：（指准1+x+x(1+x)=121）1+x+x(1+x)有公因式1+x，我们把1+x提取出来，得到(1+x)(1+x)（边讲边在其它地方板书：(1+x)(1+x)），可见方程可以化成(1+x)2=121（边讲边在其它地方板书：(1+x)2=121），用直接开平方法解这个方程，容易求出x1=10，x2=-12.师：方程中的x表示每个人传染的人数，所以x2=-12不符合题目的意思，要舍去（板书：（不合题意，舍去））.师：最后还要答.（板书：答：每轮传染中平均每个人传染了10个人）师：下面请大家自己来做一个练习.（三）试探练习，回授调节2.完成下面的解题过程：有一个人知道某个消息，经过两轮传播后共有49人知道这个消息，每轮传播中平均一个人传播了几个人？解：设每轮传播中平均一个人传播了x个人.根据题意列方程，得.提公因式，得( )2= .解方程，得x1= ，x2= （不合题意，舍去）.答：每轮传播中平均一个人传播了个人.3.一个人知道某个消息，设每轮传播中一个人传播了x个人，填空：(1)经过一轮传播后，共有人知道这个消息；(2)经过两轮传播后，共有人知道这个消息；(3)经过三轮传播后，共有人知道这个消息；(4)请猜想，经过十轮传播后，共有人知道这个消息.（五）归纳小结，布置作业师：本节课我们学习了利用一元二次方程解决传播问题.俗话说：一传十，十传百.这一传十，十传百是怎么么传的？（指准方程）用方程来表示就是(1+x)2=121.如果传了三轮，就成了(1+x)3；如果传了十轮，就成了(1+x)10.（作业：P21习题1(3)(4)、4，4题中91改为81）四、板书设计（略）。

人教版九年级上册数学 21.3 实际问题与一元二次方程教案

21.3 实际问题与一元二次方程【本讲内容】一. 教学内容：实际问题与一元二次方程1. 根据实际问题列出一元二次方程，并会求出符合实际问题的解．2. 在分析解决问题的过程中逐步深入地体会一元二次方程作为一种数学模型的应用价值．二. 重点难点：本讲的重点是，进一步反映一元二次方程与实际问题的密切联系，再次体现数学建模思想，加强培养运用一元二次方程分析和解决实际问题的能力．由于本讲问题的背景和表达都比较贴近实际，其中的有些数量关系比较隐蔽，所以在探究过程中正确地建立一元二次方程是主要难点．突破难点的关键是弄清问题背景，把有关数量关系分析透彻，特别是找出可以作为列方程依据的主要相等关系．三. 知识要点：1. 列一元二次方程解应用题的一般步骤与列一元一次方程解应用题一样，列一元二次方程解应用题的一般步骤也归结为：审、设、列、解、检验、答．（1）审：是指读懂题目，弄清题意，明确哪些是已知量，哪些是未知量以及它们之间的等量关系．（2）设：是指设元，也就是设未知数．（3）列：就是列方程，这是非常重要的关键步骤，一般先找出能够表达应用题全部含义的一个相等关系，然后列代数式表示相等关系中的各个量，就得到含有未知数的等式，即方程．（4）解：就是解方程，求出未知数的值．（5）检验：是指检验方程的解能否保证实际问题有意义．（6）答：就是写出答案．2. 列一元二次方程解决实际问题的常见题型（1）销售问题；（2）数字问题；（3）面积问题；（4）平均增长（降低）率问题．3. 列一元二次方程解实际问题的注意事项（1）要搞清现实生活中的一些数量关系，例如：距离＝速度×时间，工作量＝工作效率×工作时间，溶质重量＝溶液重量×浓度等等．（2）还有一些关键词语也要搞清，如“多”、“倍”、“差”、“提前”、“同时”、“早到”、“迟到”、“增加几倍”等．对于“增长率”问题，要注意区分“增”与“减”，如人口的减少、利率的降低、汽车的折旧等等，都是在原来基数上减少，不能与增加混淆．（3）列方程解应用题时，要对所求出的未知数进行检验，检验的目的有两个：其一，检验求出来的未知数的值是否满足方程；其二，检验求出的未知数的值是不是满足实际问题的要求，对于适合方程而不适合实际问题的未知数的值应舍去．【典型例题】例1. 小明将1000元钱存入银行，定期一年后取出500元购买学习用品，剩下的500元和应得的利率又全部按一年定期存入，若存款的年利率保持不变，到期后取出660元，求年利率．分析：本题属本息问题，第一年：本金＝1000元，利率为x ，本息和为1000（1＋x ）；第二年：本金［1000（1＋x ）－500］元，利率为x ，本息和为［1000（1＋x ）－500］（1＋x ）＝660．解：设存款年利率为x ，由题意得［1000（1＋x ）－500］（1＋x ）＝660整理得50x 2＋75x －8＝0解得x 1＝110，x 2＝－85（不合题意舍去），取x ＝110＝10% 答：存款的年利率为10%．评析：将各数据代入本息和计算公式即可求得结果．应熟记利率的计算公式，本息和＝本金×（1＋利率）年数．例2. 三个连续正整数，最大数的立方与最小数的立方差比中间数的40倍大16，求这三个数．分析：∵相邻的两个连续整数之间相差1，∴这三个连续正整数用一个未知数表示的方法是x ，x ＋1，x ＋2或x －1，x ，x ＋1或x －2，x －1，x ，根据题中相等关系：（最大数的立方）－（最小数的立方）＝40×（中间数）＋16，此题设中间数为x 比较方便．解：设中间数为x ，则最大数为x ＋1，最小数为x －1，由题意得(x ＋1)3－(x －1)3＝40x ＋16，整理得3x 2－20x －7＝0，解得x 1＝7，x 2＝－13． ∵x ＝－13不合题意舍去，∴只取x ＝7． ∴x ＋1＝8，x －1＝6．答：这三个连续正整数是6、7、8．评析：解数字问题的关键是正确而巧妙地设未知数，一般采用间接设元法，如有关三个连续整数（或连续奇数，连续偶数）的问题，一般设中间一个数为x ，再用含x 的代数式表示其余两个数．例3. 用一块长方形的铁片，在它的四个角上各自剪去一个边长是4cm 的小正方形，然后把四边折起来，恰好做成一个没有盖的盒子，已知铁片的长是宽的2倍，做成盒子的容积是1536cm 3，求这块铁片的长和宽．分析：如图所示，设铁片的宽为xcm ，则长为2xcm ，做成的盒子的底面积就是图中虚线围成的长方形面积：（2x －4－4）（x －4－4）cm 2．盒子的高应等于小正方形的边长4cm ，盒子的容积可用代数式表示为4（2x －8）（x －8）cm 3．。

新人教版九年级上册第21章 21.3实际问题与一元二次方程教案

师生行为
点题，板书课题.
教师提出问题，并指导学生进行阅读，独立思考，学生根据个人理解，回答教师提出的问题. 弄清题意，设出未知数，并表示相关量，根据相等关系尝试列方程，求根.根据实际问题要求，对根进行选择确定问题的解.教师组织
二次备课 .
1
○1 正中央的长方形与整个封面的长宽比例相同，是什么含
学生合作交流，达到共识，
师生汇总生活中常见的类似问题，总结这类题的做题技巧.
教师提出问题，让学生结合画图独立理解并解答问题，培养学生对几何图形的分析能力，将数学知识和实际问题相结合的应用意识
教师总结，学生体会
学生独立完成，教师巡视指导，了解学生掌握情况，并集中订正
个面积为 8m2•的长方形花台，要使花坛四周的宽地宽度一
样，则这个宽度为多少?
四小结归纳
谈一节课的收获和体会.
五、作业设计
必做：P48：4-8
选做：P49：10
补充作业：
某林场•上口宽比渠深多 2m，渠底比渠深多 0.4m．
（1）渠道的上口宽与渠底宽各是多少？
教学目标
教学重点教学难点教学过程设计
实际问题与一元二次方程
知识技能
过程方法情感态度
1.能根据○1 以流感为问题背景，按一定传播速度逐步传播的问题；○2 以封面设计为问题背景，边衬的宽度问题中的数量关系列出一元二次方程，体会方程刻画现实世界的模型作用. 2.培养学生的阅读能力与分析能力. 3.能根据具体问题的实际意义，检验结果是否合理. 通过自主探究，独立思考与合作交流，使学生弄清实际问题的背景，挖掘隐藏的数量关系，把有关数量关系分析透彻，找出可以作为列方程依据的主要相等关系，正确的建立一元二次方程. 在分析解决问题的过程中逐步深入地体会一元二次方程的应用价值.

21.3 实际问题与一元二次方程(传播问题和变化率问题)九年级数学上册(人教版)

【详解】（1）设每个月生产成本的下降率为x，根据题意得：400（1﹣x）2=361，解得：x1=0.05=5%，x2=1.95（不合题意，舍去）．答：每个月生产成本的下降率为5%；（2）361×（1﹣5%）=342.95（万元），答：预测4月份该公司的生产成本为342.95万元．
针针对对训训练练
一个人传染了几个人？
具体传播过程
【问题】如果按照这样的传播速度，第
三轮传染过后总共会有多少人得流感？
[分析]经过两轮传染后共有___1_2_1__个人患了流感,平
x
…
均每轮传染___1_0____人，则第三轮有_____1_2_1_0___人患了流感。
一轮传染
121+121×10 = 1 331（人）
直接开方法
x2=a (a≥0)
配方法
(x+m)2=n (n≥0)
公式法
因式分解法
(x-x1)(x-x2)=0
复习巩固
【提问】回顾列方程解决实际问题的基本步骤? 1）审：分清已知未知，明确数量关系； 2）设：设未知数； 3）列：列方程； 4）解：解方程； 5）验：根据实际验结果； 6) 答：写出答案。
1.2021年是中国共产党建党100周年，全国各地积极开展“弘扬红色文化，重走长征路”主题教育学习活动，我市“红二方面军长征出发地纪念馆”成为重要的活动基地．据了解，今年3 月份该基地接待参观人数10万人，5月份接待参观人数增加到12.1万人．（1）求这两个月参观人数的月平均增长率；（2）按照这个增长率，预计6月份的参观人数是多少？
两种药品成本的年平均下降率相等
【问题】成本下降额大的药品，它的成本下降率一定也大吗？成本下降额较大的产品，其成本下降率不一定较大。

21.3 实际问题与一元二次方程(几何问题和数字问题)九年级数学上册(人教版)

复习巩固Hale Waihona Puke 【提问】计算下列图形面积?
探探究究新新知知
要设计一本书的封面，封面长 27 cm，宽 21 cm，正中央是一个与整个封面长宽比例相同的矩
形，如果要使四周的彩色边衬所占面积是封面面积的四分之一，上、下边衬等宽，左、右边衬等
宽，应如何设计四周边衬的宽度？
7a
【分析】封面的长宽之比是9∶7，中央的矩形的长宽之比也应是9∶7。
典典例例分分析析
针针对对训训练练
能能力力提提升升
能能力力提提升升
能能力力提提升升
3 如图，某中学课外兴题小组准备围建一个矩形花园 ABCD，其中一边靠墙，另外三边用总长为60 m的篱笆围成，与墙平行的一边 BC上要预留2 m宽的入口（如图中MN所示，不用篱笆），已知墙长为 28 m． (1)当矩形的长BC为多少米时，矩形花园的面积为300平方米； (2)能否围成500平方米的矩形花园?若能求出 BC长；若不能，说明理由．
解：设水渠的宽应挖 x m . ( 92 - 2x)（60 - x ）= 6×885
解得 x1=105(舍去），x2=1 答：水渠应挖1米宽
60
60-x
92-2x
92
探探究究新新知知
如图,在一块长为 92m ,宽为 60m 的矩形耕地上挖三条水渠,水渠的宽都相等,水渠把耕地分成面积均为 885m2 的 6 个小矩形，水渠应挖多宽？【分析】设水渠宽为 x m，水渠的总面积为
1.根据实际问题中的数量关系，正确列出一元二次方程。 2.通过列方程解应用题体会一元二次方程在实际生活中的应用，经历将实际问题转化为数学问题的过程，提高数学应用意识。
目录
复习巩固
探究新知
典例分析

人教版-数学-九年级上册-21.3.1 实际问题与一元二次方程(1) 教案

21.3 实际问题与一元二次方程一、教学目标（一）核心素养联系实际，经历“问题情境——建立模型——求解——解释与应用”的过程，培养学生化实际问题为数学问题的能力，及分析、解决问题的能力，培养学生数学建模的能力.（二）学习目标1.使学生学会根据具体问题（用一定速度传播，数字问题，增长率问题）中的数量关系列一元二次方程并求解.2.进一步培养学生转化实际问题为数学问题的能力和分析问题、解决问题的能力.3.能根据具体问题的实际意义，检验结果的合理性.（三）学习重点建立数学模型，找等量关系，列方程（四）学习难点找等量关系，列方程二、教学设计（一）课前设计预习任务1.列方程解应用题的一般步骤：①审；②设；③找；④列；⑤解；⑥检验；⑦答.2.1n⨯+=原有量（增长率）现有量1n⨯-=原有量（减少率）现有量n表示变化的次数预习自测一个三位数的个位数字是a，十位数字是b，百位数字是c，这个三位数可以表示为_____ ______. 【知识点】字母表示数【解题过程】∵三位数的个位数字是a，十位数字是b，百位数字是c，∴这个三位数表示为100c+10b+a【思路点拨】各个数位上的数字乘以其对应的基数之和即可表示数.【答案】100c+10b+a某班班长通知同学春游事宜，由班长通知若干同学后，再由已知晓事宜的同学通知其他人，已知经过两轮通知，全班49人恰好都得到通知.问：平均每个同学一次能通知______人.【知识点】倍数问题【解题过程】设平均每个同学一次通知x人，则第一轮通知了x人，第一轮结束时共有（1+x）人知晓；第二轮通知了x（1+x）人，共有1+x+ x（1+x）人知晓.故有1+x+ x（1+x）=49，x1=6，x2=-8（舍）.故，平均每个同学一次能通知6人.【思路点拨】原有人数+本轮通知人数=总人数【答案】6人.3.若某公司2015年的销售利润为10万元，年增长率为10%，则2016年的销售利润是_____ ，若维持此增长率不变，2017年的销售利润为万元.【知识点】增长率问题【解题过程】2016年的利润是10×（1+10%）=11（万元）；2017年的利润是10×（1+10%）×（1+10%）=12.1（万元）【思路点拨】原有量´（1+增长率）n=现有量【答案】11万元；12.1万元.4．某地严格控制森林砍伐面积，若一月份的砍伐面积为10000m2，以后每月减少20%，则三月份的砍伐面积为m2．【知识点】增长率问题【解题过程】二月砍伐面积为10000×（1－20%）=8000（m2）；三月砍伐面积为10000×（1－20%）×（1－20%）=6400（m2）.【思路点拨】原有量´（1-减少率）n=现有量【答案】6400 m2.(二)课堂设计1.知识回顾（1）列方程解应用题的一般步骤：审，设，找，列，解，检验，答.（2）列方程解决应用问题的关键在于找到等量关系，从而建立方程求解.（3）现有量－原有量=增长量，=增长量原有量增长率2.问题探究探究一倍数问题★活动1 疾病传染问题有一个人患了流感，经过两轮传染后共有121人患了流感，每轮传染中平均一个人传染了几个人？师问：设每轮传染中一个人传染了x个人.开始有一个人患了流感，那么第一轮的传染源就是这个人，他传染了x个人，第一轮传染后共有_____个人患了流感；第二轮传染中，这些人中的每个人又传染了x个人，第二轮后共有_____个人患有流感.等量关系是：生答：（1）(x+1)；（2）；（3）患病总人数=121人.思考：如何列方程求解生答：列方程：1+x+x（1+x）=121解方程，得：x1=10，x2=－12（不合题意，舍去）故，平均一个人传染10个人.教师点拨：原有感染人数+新增感染人数=总感染人数.【设计意图】本题以流感为问题背景，讨论按一定传播速度逐步传播的问题，特别需要注意的是，弄清问题背景，特别注意分析清楚题意.题中没有特别说明，那么最早的患者没有痊愈，仍在继续传染别人.活动2 写信问题一个微信群里共有x个好友，每个好友都分别给群里其他好友发送一条消息，这样共有42条消息，问：这个微信群里共有多少人？师问：（1）设有x个好友，每人发条消息；（2）则发消息共有条.（3）等量关系是：___________.生答：（1）（x－1）条；（2）x（x－1）条；（3）共有42条消息.师问：如何列方程求解生答：依题意得x（x－1）=42；解得x1=7，x2=－6（不合题意，舍去）答：微信群里共7个人教师点拨：每个好友都有一次发给微信群其他好友消息的机会，即每两个好友之间要互发一次消息；人数×每人发出消息数=总数.【设计意图】考虑写信类似问题时，要考虑到每个人都会给其他人写信，这样，人数×每人写信数=总数.探究二数字问题★活动1 奇偶数相关问题两个连续奇数的平方和为130，求这两个奇数．师问：（1）设较小的奇数为________，则较大的奇数为;（2）等量关系是：__________.生答：（1）x，x+2；（2）两个连续奇数的平方和为130.师问：如何列方程求解生答：解：设这两个连续奇数为x，x+2，根据题意得x2+（x+2）2=130．解得：x1=－9（不合题意，舍去），x2=7答：两个连续奇数为7，9.教师点拨：根据连续奇数相差2得到较大的奇数，根据两个数的积是130列出方程求解即可．要注意是否符合实际情况.【设计意图】会用字母表示符合条件的数，从而找到等量关系.活动2 多位数相关问题已知某两位数，个位数字与十位数字之和为12，个位数字与十位数字之积为32，求这个两位数.师问：（1）设个位数字为x，则十位数字为（2）等量关系是：___________.生答：（1）12－x；（2）个位数字与十位数字之积为32.师问：如何列方程求解生答：解：设个位数字为x，则十位数字为12－x，由题意得x（12－x）=32；解得x1=8，x2=4.答：48或84.教师点拨：根据个位数字与十位数字之积为32，列出方程解答即可.【设计意图】会用字母表示多位数，并根据等量关系求解.探究三增长率问题★▲活动1 增长问题某校办工厂今年元月份生产桌椅1000套，2月份因春节放假，减产10%，3月份，4月份产量逐月上升，4月份产量达到1296套，求3，4月份的平均增长率．师问：（1）设3，4月平均增长率为x，则2月份产量是________; 三月份的产量是; 四月份的产量是.（2）等量关系是：_____________生答：（1）1000（1－10%）；1000（1－10%）（1+x ）; 1000（1－10%）（1+x ）2（2）4月份产量达到1296套.师问：如何列方程求解生答：解：设三、四月份产量的平均增长率是x ．根据题意得1000（1－10%）（1+x ）2=1296．解得：x1=0.2=20%，x2=－2.2（不合题意，舍去）答：平均增长率是20%.教师点拨：设三、四月份产量的平均增长率是x ．根据题意依次找出二月份，三月份，四月份的产量，根据四月份产量达到1296套，可列方程．【设计意图】学会根据具体问题（增长率）中的等量关系列方程.活动2 减少问题受某种因素影响，在一个月内猪肉价格两次大幅下降，由原来每斤16元下调到每斤9元，求平均每次下调的百分率是多少？师问：（1）设平均每次下调的百分率是x ，则第一次降价后的价格为，第二次降价后的价格是 .（2）等量关系是：______________.生答：（1）16（1－x ），16（1－x ）（1－x ）；（2）下降两次后的价格是9元.师问：如何列方程求解生答：解：列出的方程是16（1－x ）2=9，解得x1=25%，x2=175%（不合题意，舍去）答：平均每次下降的百分率是25%.教师点拨：若每次下调的百分率为x ，找出下降两次后的价格，把相应数值代入即可列方程．【设计意图】学会根据具体问题（减少率）中的等量关系列方程.探究四倍数及增长率问题训练★▲活动1 基础型例题例1. 一次会议上，每两个参加会议的人都互相握手一次，有人统计一共是握了66次手，则这次会议到会人数是人．【知识点】一元二次方程的应用【解题过程】解：设参加会议有x 人，依题意得：21x （x ﹣1）=66，整理得：x2﹣x ﹣132=0解得x1=12，x2=﹣11，（舍去）．答：参加这次会议的有12人．【思路点拨】设参加会议有x 人，每个人都与其他（x ﹣1）人握手，共握手次数为21x （x ﹣1），根据题意列方程．【答案】12人.练习：一次排球友谊赛，参赛队中每两队都要赛1场，若此次友谊赛共66场，则本次参赛球队有（）A ．14队B ．13队C ．12队D ．11队【知识点】一元二次方程的应用.【解题过程】解：设有x 个队，每个队都要赛（x ﹣1）场，但两队之间只有一场比赛，x （x ﹣1）÷2=66，解得x=12或﹣11（舍去）．故应12个球队参加比赛．【思路点拨】赛制为单循环形式（每两队之间都赛一场），x 个球队比赛总场数=()12x x -．即可列方程求解．【答案】C ．【设计意图】进一步巩固对此类问题的掌握.活动2 提高型例题例. 已知两个连续奇数的积是15，则这两个数是．【知识点】一元二次方程的应用.【解题过程】解：设其中一个奇数为x ，则较大的奇数为（x+2），由题意得，x （x+2）=15，解得，x=3或x=﹣5，【答案】这两个数为3和5或﹣3和﹣5．【思路点拨】设出两个连续的奇数，根据两个连续奇数的积是15这一等量关系，列出方程解答即可．练习：相邻的两自然数，它们的平方和比这两数中较小者的2倍大51，则这两自然数分别为．【知识点】一元二次方程的应用.【思路点拨】设较小的正整数为n ，大的就为n+1，等量关系为两数的平方和比较小数的2倍大51．【解题过程】解：设较小的正整数为n ．n2+（n+1）2=2n+51n=5或n=﹣5（舍去）【答案】5，6【设计意图】进一步巩固对数字问题的掌握.活动3 探究型例题例. 近年来随着国际石油价格的上涨，我国加快了对新能源汽车产业的扶持力度．2010年国家启动了节能汽车推广工作，2010年新能源汽车产量达到15万辆，预计2012年新能源汽车的累计产量能达到105万辆．（1）求这两年的新能源汽车产量的平均增长率为多少？（2）通过计算估计2013年新能源汽车的产量能否突破100万辆？【知识点】一元二次方程的应用.【解题过程】解：（1）设这两年的新能源汽车产量的平均增长率为x，由题意得15+15（1+x）+15（1+x）2=105，解得x=1，x=﹣4（不符题意，舍去）．故这两年的新能源汽车产量的平均增长率为100%；（2）2012年新能源汽车的产量为：15（1+x）2=60（万辆），2013年新能源汽车的产量为：60（1+x）=120（万辆）＞100（万辆）所以2013年新能源汽车的产量能突破100万辆．【思路点拨】（1）2010年的产量+2011年的产量+2012年的产量=105万辆，把相关数值代入求得合适的解即可；（2）2013年的年销售量=2012年的年销量×（1+增长率），算出结果后与100万比较即可．【答案】（1）这两年的新能源汽车产量的平均增长率为100%；（2）2013年新能源汽车的产量能突破100万辆．练习：为响应国家全民阅读的号召，某社区鼓励居民到社区阅览室借阅读书，并统计每年的借阅人数和图书借阅总量（单位：本），该阅览室在2014年图书借阅总量是7500本，2016年图书借阅总量是10800本．（1）求该社区的图书借阅总量从2014年至2016年的年平均增长率；（2）已知2016年该社区居民借阅图书人数有1350人，预计2017年达到1440人，如果2016年至2017年图书借阅总量的增长率不低于2014年至2016年的年平均增长率，那么2017年的人均借阅量比2016年增长a%，求a的值至少是多少？【知识点】一元二次方程的应用；一元一次不等式的应用．【解题过程】解：（1）设该社区的图书借阅总量从2014年至2016年的年平均增长率为x，根据题意得7500（1+x）2=10800，即（1+x）2=1.44，解得：x1=0.2，x2=﹣2.2（舍去）答：该社区的图书借阅总量从2014年至2016年的年平均增长率为20%；（2）10800（1+0.2）=12960（本）10800÷1350=8（本）12960÷1440=9（本）（9﹣8）÷8×100%=12.5%．故a的值至少是12.5．【思路点拨】（1）经过两次增长，求年平均增长率的问题，应该明确原来的基数，增长后的结果．设这两年的年平均增长率为x，则经过两次增长以后图书馆有书7500（1+x）2本，即可列方程求解；（2）先求出2017年图书借阅总量的最小值，再求出2016年的人均借阅量，2017年的人均借阅量，进一步求得a的值至少是多少．【答案】（1）平均增长率为20%；（2）12.5【设计意图】考查了列一元二次方程解实际问题的运用，一元二次方程的解法的运用，增长率问题的数量关系的运用，解答时根据增长率问题的数量关系建立方程是关键．3. 课堂总结知识梳理（1）列方程解应用题的一般步骤：审，设，找，列，解，检验，答.（2）疾病传染问题，数字问题，增长率问题的基本等量关系疾病传染问题：原有量+新增量=总量；数字问题：根据题意设出符合条件的数，进而根据等量关系列方程；n=现有量增长率问题：原有量´（1+增长率）原有量´（1-减少率）n=现有量n表示变化的次数重难点归纳（1）列方程解决实际问题关键在于找准等量关系.（2）根据实际情况，检验结果是否符合实际.。

人教版-数学-九年级上册-21.3 实际问题与一元二次方程教学设计

21.3 实际问题与一元二次方程教学目标：1.使学生学会用列一元二次方程的方法解决有关增长率的问题。

2.进一步培养学生转化实际问题为数学问题的能力和分析问题、解决问题的能力。

3.通过增长率问题的学习能抓住问题的关键，揭示它的规律性，展示解题简洁性的数学美。

教学重点：使学生学会用列一元二次方程的方法解决有关增长率的问题。

教学难点：提高学生转化实际问题为数学问题的能力以及分析问题、解决问题的能力。

教学过程：一、出示课题：《一元二次方程的应用——增长率问题》二、出示学习目标：1.使学生学会用列一元二次方程的方法解决有关增长率的问题。

2.进一步培养学生转化实际问题为数学问题的能力和分析问题、解决问题的能力。

3.通过增长率问题的学习能抓住问题的关键，揭示它的规律性，展示解题简洁性的数学美。

（请学生读一遍）三、（根据以前学过的知识解决下面的问题）请你评一评：小星的妈妈卖服装，某天妈妈用每件10元的价格进了一批服装，第二天以每件20元的价格标价，小星心里想：“妈妈若卖完这批服装，那么财富增加了100%呢！”你认为有道理吗？你能写出增长率公式吗？四、根据变形后的增长率公式做出下面的问题（在微机上解答，看谁答的又快又好）小星的妈妈又以每件20元的价格进了一批服装，决定在进价的基础上以增长50%的价格定价，让小星帮忙算一算该标价多少？你能帮小星算一算吗？五、一件商品10元，增长率是0，则这件商品的价格是多少？增长率是-0.3呢？若降低率是1呢？降低率是1.2呢？若降低率是-0.2呢？设计理念：通过以上几个简单的增长率问题的解答，让同学们掌握增长率基本公式，并知道增长率>0 ， 0<降低率<1为以后的学习打好基础。

六、2003年我国政府工作报告指出:为解决农民负担过重问题,在近两年的税费政策改革中,我国政府采取了一系列政策措施,2001年中央财政用于支持这项改革试点的资金约为180亿元,预计到2003年将到达304.2亿元,求2001年到2003年中央财政每年投入支持这项改革资金的平均增长率?七、我们已经学习了增长率公式，请同学们分组讨论后写出本题的解题步骤，然后找一个同学说出他的解题步骤请同学们自己独立解决下面的问题，看看学的怎么样请同学解答，对好答案，看一下学的怎么样，错的改正熟能生巧，勤能补拙。

人教版九年级数学上册21.3实际问题与一元二次方程(教案)

二、核心素养目标
1.培养学生运用数学知识解决实际问题的能力，使学生能够从现实情境中抽象出一元二次方程，提高模型建立与求解的素养。
2.强化学生对方程思想的理解，培养学生通过化简、变形、求解等过程，掌握一元二次方程的求解方法，提升逻辑思维与推理能力。
3.培养学生的数据分析素养，让学生在解决实际问题时，能够对数据进行整理、分析，找到关键信息，提高解决问题的效率。
课堂上，我尝试通过生动的案例引入一元二次方程，希望以此激发同学们的兴趣。从大家的反应来看，这个方法还是起到了一定的效果。不过，我也注意到，有些同学在案例分析时仍然显得有些迷茫，可能是我讲解得不够细致，或者案例选择上还有待优化。
在新课讲授环节，我强调了求解一元二次方程的方法，特别是因式分解和配方法。通过反复举例和练习，多数同学能够掌握这些解题技巧。然而，仍有部分同学在运用这些方法时出现错误，这提示我在后续的教学中，还需加强对这些难点的辅导和巩固。
3.面积问题中的应用：通过计算不规则图形的面积，如梯形、圆形等，引入一元二次方程，让学生掌握解决面积问题的方法。
4.速度与路程问题中的应用：结合运动场景，如物体匀加速运动、追击问题等，建立一元二次方程，让学生学会解决速度与路程相关的问题。
5.课堂练习：针对本章内容，设计具有代表性的练习题，巩固学生对一元二次方程在实际问题中应用的理解和掌握。
（五）总结回顾（用时5分钟）
今天的学习，我们了解了实际问题与一元二次方程的基本概念、重要性和应用。同时，我们也通过实践活动和小组讨论加深了对一元二次方程的理解。我希望大家能够掌握这些知识点，并在日常生活中灵活运用。最后，如果有任何疑问或不明白的地方，请随时向我提问。
五、教学反思
在今天的教学中，我发现同学们对于一元二次方程解决实际问题的部分掌握得还不错，但在从实际问题中抽象出方程模型这一环节上，大家普遍感到有些困难。这让我意识到，在今后的教学中，我需要更加注重培养学生们的问题分析能力和模型构建能力。