南通市2014届高三一模试卷--数学试题
江苏省南通市2014届高三数学 Word版含答案
A BCD MNO（第14题图）2014年高考模拟试卷(2)南通市数学学科基地命题 第Ⅰ卷（必做题，共160分）一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分 .1．已知集合{}lg M x y x ==，{}21N x y x ==-，则M ∩N ＝ ． 2．复数(1i)i z =-(i 为虚数单位)的共轭复数为 ．3．已知函数22,0,(),0x x x f x ax bx x ⎧+≤=⎨+>⎩为奇函数，则a b += ．4．在某个容量为300的样本的频率分布直方图中，共有9个小长方形，若中间一个小长方形的面积等于其他8个小长方形面积和的15，则中间一组的频数为 .5．如图是一个算法的程序框图，其输出的结果是 ．6．已知函数()2sin()(0)f x x ωϕω=+>，若()0,()232f f ππ==,则实数ω的最小值为 ．7．数列{}n a 满足11()2n n a a n *++=∈N ,112a =-,n S 是{}n a 的前n 项和,则2011S = .8．若()0,3m ∈，则直线(2)(3)30m x m y ++--=与x 轴、y 轴围成的三角形的面积小于98的概率为 ．9．若中心在原点、焦点在y 轴上的双曲线的一条渐近线方程 为30x y +=，则此双曲线的离心率为 ．10．若不等式xy y x k29422≥+对一切正数x ，y 恒成立，则整数k 的最大值为 ．11．已知点,,,P A B C 是球O 表面上的四个点，且,,PA PB PC 两两成60角，1cm PA PB PC ===，则球的表面积为 2cm ．12．已知点G 、H 分别为ABC ∆的重心（三条中线的交点）、垂心（三条高所在直线的交点），若46AC AB ==，，则HG BC ⋅的值为 ．13. 若关于x 的方程43210x ax ax ax ++++=有实数根，则实数a 的取值范围为 ．14. 如图，已知正方形ABCD 的边长为1，过正方形中心O 的直线MN 分别交正方形的边AB ，CD 于点M ，N ，则当MNBN取最小值时，CN = ．二、解答题：本大题共6小题，共90分.15.（本小题满分14分）设函数()sin()(0,0)f x x ωϕωϕπ=+><<的图象相邻两条对称轴之间的距离为2π，函数()2y f x π=+为偶函数．（1）求()f x 的解析式；(第5题图)b ←2b Y 输出b 开始 a ←1,b ←1 a ≤3 a ←a +1结束 N（2）若α为锐角，3()2125f απ+=，求sin 2α的值．16.（本小题满分14分）如图，四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为菱形，060DAB ∠=，平面PCD ⊥底面ABCD ，E 是AB 的中点，G 为PA 上的一点．（1）求证：平面GDE ⊥平面PCD ；（2）若//PC 平面DGE ，求PGGA 的值．17.（本小题满分14分）近日我渔船编队在钓鱼岛附近点A 周围海域作业，在B 处的海监15船测得A 在其南偏东45方向上，测得渔政船310在其北偏东15方向上，且与B 的距离为43海里的C 处．某时刻，海监15船发现日本船向在点A 周围海域作业的我渔船编队靠近，上级指示渔政船310立刻全速前往点A 周围海域执法，海监15船原地监测．渔政船310走到B 正东方向D 处时，测得距离B 为42海里．若渔政船310以23海里/小时的速度航行，求其到达点A 所需的时间．18. (本小题满分16分)已知椭圆:C 22221(0)x y a b a b+=>>的离心率为12，且经过点3(1,)2P ．（1）求椭圆C 的方程；（2）设F 是椭圆C 的右焦点，M 为椭圆上一点，以M 为圆心，MF 为半径作圆M ．问点M 的横坐标在什么范围内取值时，圆M 与y 轴有两个交点?B C DAPA B C D E G（3）设圆M 与y 轴交于D 、E 两点，求弦长DE 的最大值．19.（本小题满分16分）已知函数()f x 的定义域为(0,)+∞，若()f x y x=在(0,)+∞上为增函数，则称()f x 为“一阶比增函数”；若2()f x y x =在(0,)+∞上为增函数，则称()f x 为“二阶比增函数”.我们把所有 “一阶比增函数”组成的集合记为A ，所有“二阶比增函数”组成的集合记为B . （1）设函数32()2(2)(1)(0,)f x ax a x a x x a R =--+->∈. ①求证：当0a =时，()f x A B ∈；②若()f x A ∈，且()f x B ∉，求实数a 的取值范围； （2）对定义在(0,)+∞上的函数()f x ，若()f x B ∈，且存在常数k ，使得(0,),()x f x k ∀∈+∞<，求证:()0f x <.20.（本小题满分16分）若数列{}n b 满足：对于N n *∈，都有2n n b b d +-=（常数），则称数列{}n b 是公差为d 的准等差数列．（1）若⎩⎨⎧+-=.9414为偶数时，当为奇数时；，当n n n n c n 求准等差数列{}n c 的公差，并求{}n c 的前19项的和19T ；（2）设数列{}n a 满足：1a a =，对于N n *∈，都有12n n a a n ++=．①求证：{}n a为准等差数列，并求其通项公式；②设数列{}n a的前n项和为n S，试研究：是否存在实数a，使得数列{}n S有连续的两项都等于50?若存在，请求出a的值；若不存在，请说明理由．第Ⅱ卷（附加题，共40分）21．[选做题]本题包括A、B、C、D四小题，每小题10分；请选定其中两题，并在相．．．．．．．．．．．应的答题区域内作答．．．．．．．．．．A ．（选修４－１：几何证明选讲）如图，AB 是半圆的直径，C 是AB 延长线上一点，CD 切半圆于点D ，2CD =，DE AB ⊥，垂足为E ，且E 是OB 的中点，求BC 的长．B ．（选修４－２：矩阵与变换） 已知矩阵2143A -⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦，2246B -⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦． （1）求矩阵A 的逆矩阵；（2）求满足AX B =的二阶矩阵X ．C ．（选修４－４：坐标系与参数方程）已知曲线C 的参数方程为2sin ,[0,2)cos x y ααπα=⎧∈⎨=⎩，曲线D 的极坐标方程为sin()24πρθ+=-．（1）将曲线C 的参数方程化为普通方程； （2）曲线C 与曲线D 有无公共点？试说明理由．D ．（选修４－５：不等式选讲）已知x ，y ，z 均为正数．求证：111yx z yzzx xy xy z++?+．22．甲、乙两人参加某种选拔测试．在备选的10道题中，甲答对其中每道题的概率都是35，乙能答对其中的5道题．规定每次考试都从备选的10道题中随机抽出3道题进行测试，答对一题加10分，答错一题（不答视为答错）减5分，至少得15分才能入选．（1）求乙得分的分布列和数学期望；（2）求甲、乙两人中至少有一人入选的概率．23．设数集{}121,,,,n A x x x =-，其中120n x x x <<<<，2n ≥，向量集{}(,),,B a a x y x A y A ==∈∈.若12,a B a B ∀∈∃∈使得120a a ⋅=，则称A 具有性质P .（1）若1a >，数集{}1,1,A a =-，求证：数集A 具有性质P ； （2）若2b >，数集{}1,1,2,A b =-具有性质P ，求b 的值； （3）若数集{}121,,,,n A x x x =-（其中120n x x x <<<<，2n ≥）具有性质P ，11x =，2x q =(q 为常数，1q >)，求数列{}k x 的通项公式k x *(,)k N k n ∈≤.2014年高考模拟试卷(2)参考答案南通市数学学科基地命题 第Ⅰ卷（必做题，共160分）一、填空题1.(]0,1；2.1i -；3.0；4.50；5. 16；6.3；7. 502；8. 23；9. 10； 10. 3；11.32π； 12. 203-.解析：2211()()()()33HG BC AG AH BC AG BC AC AB AC AB AC AB ⋅=-⋅=⋅=+⋅-=-203=-．另解：注意到题中的ABC ∆形状不确定，因此可取特殊情形90ACB ∠=，则点H 即为点A ，由此可迅速得到答案 ； 13. [)2,2,3⎛⎤-∞-+∞ ⎥⎝⎦； 14.512-. 二、解答题15. 解：（1）由题设：1,22T T ππ=∴=，22Tπω∴==，()2y f x π=+为偶函数，∴函数()f x 的图象关于直线2x π=对称，s i n()1πϕ∴+=或sin()1πϕ+=-，0ϕπ<<，2πϕ∴=，()sin(2)cos22f x x x π∴=+=；（2）3()2125f απ+=，3cos()65πα∴+=，α为锐角，4sin()65πα∴+=24sin 2()2sin()cos()66625πππααα∴+=++=，27c o s 2()2c o s ()16625ππαα∴+=+-=-， 241732473sin 2sin[2()]()6325225250ππαα+∴=+-=⨯--⨯=．16． （1）证明：设菱形ABCD 的边长为1，E 是AB 的中点，060DAB ∠=，PG211312cos60424DE ∴=+-⨯=， 222DE AE AD ∴+=，DE AE ∴⊥，DE CD ∴⊥，平面PCD ⊥底面ABCD ，平面PCD 底面ABCD CD =，DE ABCD ⊂，DE ∴⊥平面PCD ，又DE GED ⊂平面,∴平面GDE ⊥平面PCD ；（2）解：连接AC ，交DE 于H ，连接GH ，则//PC 平面DGE ，,PC PAC ⊂平面平面PCA 平面GDE GH =，//PC GH∴，2PG CH DCGA HA AB∴===. 17. 解：由题设，43,42,75,45,120,BC BD CBD ABD ABC ==∠=∠=∠= 在CBD ∆中，由余弦定理得，483224342cos752(62)CD =+-⨯⨯=+，在CBD ∆中，由正弦定理得，42sin 752,sin sin sin 7522(62)BD CD C C =∴==+，,090,45,1B D B C C C A <∴<<∴=∴=， 在ABC ∆中，由正弦定理得，sin sin120BC ACA =， s i n 12043s i n 1206(62)s i n s i n 15BC AC A ∴===+∴渔政船310从C 处到达点A 所需的时间为6(62)23+小时．18.解：(1)椭圆:C 22221(0)x y a b a b +=>>的离心率为12，且经过点3(1,)2P ，2222121914a b a a b ⎧-=⎪⎪∴⎨⎪+=⎪⎩，即22223401914a b a b ⎧-=⎪⎨+=⎪⎩，解得2243a b ⎧=⎨=⎩， ∴椭圆C 的方程为22143x y +=；(2)易求得(1,0)F ．设00(,)M x y ，则2200143x y +=， 圆M 的方程为22220000()()(1)x x y y x y -+-=-+，令0x =，化简得2002210y y y x -+-=，20044(21)0y x ∆=-->……①．将22003(1)4x y =-代入①，得20038160x x +-<，解出0004442233x x x -<<≤≤∴-≤<，又-2，；(3)设1(0,)D y ，2(0,)E y ，其中12y y <．由(2)，得222210000046444(21)38163()33DE y y y x x x x =-=--=--+=-++，当043x =-时，DE 的最大值为833．19. （1）①证明：当0a =时，2()4(0)f x x x x =->，()41f x y x x ∴==-在(0,)+∞上为增函数，()f x A ∴∈； 2()14f x y x x==-在(0,)+∞上为增函数，()f x B ∴∈，()f x A B ∴∈；②解：32()2(2)(1)(0,)f x ax a x a x x a R =--+->∈，()f x B ∉，∴由①知0a ≠，()f x A ∈，2()2(2)(1)f x y ax a x a x∴==--+-在(0,)+∞上为增函数， 020a a a>⎧⎪∴-⎨≤⎪⎩，02a ∴<≤（*） ()f x B ∉，2()12(2)f x a y ax a x x-==+--在(0,)+∞上不是增函数，2()12(2)f x a y a x a x x-==+--在(0,)+∞上是增函数⇔12,(0,)x x ∀∈+∞，且12x x <，121212121()()()()0a a x x x x a f x f x x x ----=<， 结合（*）有12,(0,)x x ∀∈+∞，且12x x <，1210a x x a-->，01a ∴<≤结合（*）有2()12(2)f x a y a x a x x-==+--在(0,)+∞上不是增函数⇔12a <≤，∴实数a 的取值范围是12a <≤； （2）（用反证法）假设0(0,)x ∃∈+∞，0()0f x ≥，则：㈠若0()0f x >，记020()0f x m x =>， ()f x B ∈，2()f x y x∴=在(0,)+∞上为增函数， ∴当0x x >时，0220()()f x f x m x x >=，所以2()f x mx >， ∴一定可以找到一个10x x >，使得211()f x mx k >>，这与()f x k <矛盾；㈡若0()0f x =，则020()0f x x =，()f x B ∈，在(0,)+∞上为增函数，0x x ∴>时，0220()()0f x f x x x >=，即()0f x >，同㈠可得矛盾；()0f x ∴<.20. 解：（1）数列⎩⎨⎧+-=.9414为偶数时，当为奇数时；，当n n n n c nn 为奇数时，2[4(2)1](41)8n n c c n n +-=+---=，n 为偶数时，2[4(2)9](49)8n n c c n n +-=++-+=， ∴准等差数列{}n c 的公差为8，19(375)10(1781)983122T +⨯+⨯=+=； （2）①n a a n n 21=++ （*∈N n ）（i ）)1(221+=+++n a a n n （ii ）（ii ）-（i ）得22=-+n n a a （*∈N n ）． 所以，{}n a 为公差为2的准等差数列．当n 为偶数时，a n n a a n -=⨯⎪⎭⎫⎝⎛-+-=2122，当n 为奇数时，解法一：12121-+=⨯⎪⎭⎫⎝⎛-++=a n n a a n ；解法二：()[]11)1(2)1(21-+=----=--=-a n a n n a n a n n ；解法三：先求n 为奇数时的n a ，再用（i ）求n 为偶数时的n a 同样给分．⎩⎨⎧--+=∴为偶数） （为奇数）（n a n n a n a n ,,1②解：当n 为偶数时，()2212212222221222n n n n a n n n a S n =⨯⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⋅-+⨯⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⋅=；当n 为奇数时，()2212121212221212121⨯⎪⎭⎫⎝⎛---+-⋅-+⨯⎪⎭⎫ ⎝⎛-++++⋅=n n n a n n n a S n 21212-+=a n ． 当k 为偶数时，50212==k S k ，得10=k ．由题意，有10502192129=⇒=-+⨯=a a S ；或1050211121211-=⇒=-+⨯=a a S ． 所以，10±=a ．第Ⅱ卷（附加题，共40分）21. A. 解：连接OD ，则OD DC ⊥．在Rt OED ∆中，1122OE OB OD ==，30ODE ∴∠=．在Rt ODC ∆中，30DCO ∴∠=，由2DC =，则23tan 303OB OD DC ===，243cos30332CD OC ===， 所以233BC OC OB =-=． B ．解：（1）2143A -⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦，21det()243A -∴==-， ∴矩阵A 的逆矩阵131312222422122A --⎡⎤-⎡⎤⎢⎥⎢⎥==⎢⎥⎢⎥-⎢⎥-⎣⎦⎢⎥⎣⎦（2）AX B =，1X A B -∴=31221022460221⎡⎤-⎡⎤⎡⎤⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦⎣⎦． C. 解：（1）由2sin ,[0,2)cos x y ααπα=⎧∈⎨=⎩得 21,[1,1]x y x +=∈- （2）由sin()24πρθ+=-得曲线D 的普通方程为20x y ++=2201x y x y ++=⎧⎨+=⎩得230x x --=解得113[1,1]2x ±=∉-,故曲线C 与曲线D 无公共点.D. 证明：因为x ，y ，z 都是为正数，所以12()y yx x yzzxz xyz+=+ ，同理可得22,yz z x zx xy x xyyz y+? ， 当且仅当x y z ==时，以上三式等号都成立．将上述三个不等式两边分别相加，并除以2，得111yx z yzzxxyxy z++?+． 22. 解：（1）设乙答题所得分数为X ，则X 的可能取值为15,0,15,30-．353101(15)12C P X C =-==； 21553105(0)12C C P X C ===；12553105(15)12C C P X C ===； 353101(30)12C P X C ===．乙得分的分布列如下：X15- 0 15 30P112 512 512 112155115(15)01530121212122EX =⨯-+⨯+⨯+⨯=．（2）由已知甲、乙至少答对2题才能入选，记甲入选为事件A ，乙入选为事件B .则 223332381()()()555125P A C =+=，511()12122P B =+=． 故甲乙两人至少有一人入选的概率4411031()1.1252125P P A B =-⋅=-⨯= 23. （1）证明：数集{}1,1,A a =-时，列表如下：1a (1,1)-- (1,1)- (1,)a - (1,1)-(1,1) (1,)a (,1)a - (,1)a (,)a a 2a(1,1)-(1,1)(,1)a(,)a a(1,1)-(,1)a -(1,)a(1,)a -(1,1)-由表知：12,a B a B ∀∈∃∈使得120a a ⋅=，∴数集A 具有性质P ；（2）选取1(,2)a b =，B 中与1a 垂直的元素必有形式(1,)t -，2b t ∴=，2b >，{}1,1,2,t A b ∈=-，2t ∴=，2(2)2b ∴==；（3）由（1）（2）猜测1k k x q -=*(,)k N k n ∈≤. 记{}21,1,,,m m A x x =-，2,3,,m n =.先证明:若1m A +具有性质P ，则m A 也具有性质P .任取1(,),a s t s =、m t A ∈.当s 、t 中出现1-时,显然有2a 满足120a a ⋅=; 当1s ≠-且1t ≠-时，1s ≥、1t ≥.因为1m A +具有性质P ,所以有211111(,),,m a s t s t A +=∈，使得120a a ⋅=, 从而1s 和1t 中有一个是1-，不妨设11s =-.假设1t ∈1m A +且1t ∉m A ，则11m t x +=.由1(,)(1,)0m s t x +⋅-=， 得11m m s tx x ++=≥，与m s A ∈矛盾.1t ∴∈m A .从而m A 也具有性质P现用数学归纳法证明猜测: 1k k x q -=*(,)k N k n ∈≤. ①当n =1和2时，结论显然成立;②假设n=m 时, {}21,1,,,m m A x x =-有性质P ，则1k k x q -=，1,2,,k m =； 当n=1m +时,若{}1211,1,,,,m m m A x x x ++=-有性质P ，则{}21,1,,,m m A x x =-也有性质P ，{}1111,1,,,,m m m A q q x -++∴=-. 取11(,)m a x q +=，并设2(,),a s t =满足120a a ⋅=，即10m x s qt ++=. 由此可得1s =-或1t =-. 若1t =-，则1m q x q s+=≤矛盾；1s ∴=-，1m x qt +=，又11m m x q -+>，{}1111,1,,,,m m m t A q q x -++∈=-，1q >1m t q -∴=，1m m x q +∴=.综合①②知，1k k x q -=*(,)k N k n ∈≤.。
南通市2014届高三第三次模拟考试数学试题
一、填空题：1.已知集合{}1,2,3,4=≤≤，{}B=，则A B=▲．A x x|122.已知复数z满足i1iz⋅=+（i是虚数单位），则z=▲．3.袋中有2个红球，2个蓝球，1个白球，从中一次取出2个球，则取出的球颜色相同的概率为▲．4.平面α截半径为2的球O所得的截面圆的面积为π，则球心O到平面α的距离为▲ ．考点：球的相关知识．5.如图所示的流程图，输出y的值为3，则输入x的值为▲．6.一组数据2,,4,6,10x的平均值是5，则此组数据的标准差是▲．7.在平面直角坐标系xOy中，曲线C且过点(1,则曲线C的标准方程为 ▲ ． 【答案】221y x -= 【解析】试题分析：因为曲线C 的离心率为，所以曲线为等轴双曲线，其方程可以设为22x y λ-=．因为过点8.已知函数()f x 对任意的x ∈R 满足()()f x f x -=，且当0x ≥时，2()1f x x ax =-+．若()f x 有4个零点，则实数a 的取值范围是 ▲ ．9.已知正实数,x y 满足(1)(1)16x y -+=，则x y +的最小值为 ▲ ．10.在直角三角形ABC 中，C =90°，6AC =，4BC =．若点D 满足2AD DB =-，则||CD = ▲ ．11.已知函数()sin()f x x ωϕ=+的图象如图所示，则(2)f = ▲ ．12.在平面直角坐标系xOy 中，圆C 的方程为2240x y x +-=．若直线(1)y k x =+上存在一点P ，使过P 所作的圆的两条切线相互垂直，则实数k 的取值范围是 ▲ ．13.设数列{a n }为等差数列，数列{b n }为等比数列．若12a a <，12b b <，且2(1,2,3)i i b a i ==，则数列{b n }的公比为 ▲ ．则22113360a a a a ++=，所以23311()6()10a a a a ++=，则313a a =-±2223332111()b a a q a ===，且1q >，所以14.在△ABC 中，BC AC =1，以AB 为边作等腰直角三角形ABD （B 为直角顶点，C 、D 两点在直线AB 的两侧）．当C ∠变化时，线段CD 长的最大值为 ▲ ．二、解答题：15.如图，在五面体ABCDEF 中，四边形ABCD 是矩形，DE ⊥平面ABCD ． （1）求证：AB ∥EF ；（2）求证：平面BCF ⊥平面CDEF ．平面CDEF ，所以BC ⊥平面CDEF ．因为BC ⊂平面BCF ，平面BCF ⊥平面CDEF ．16.在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ．若4b =，8BA BC ⋅=． （1）求22a c +的值；（2）求函数2()cos cos f B B B B =+的值域．17.某风景区在一个直径AB为100米的半圆形花园中设计一条观光线路（如图所示）．在点A与圆弧上的一点C之间设计为直线段小路，在路的两侧．．边缘种植绿化带；从点C到点B设计为沿弧BC的弧形小路，在路的一．侧．边缘种植绿化带．（注：小路及绿化带的宽度忽略不计）（1）设ÐBAC=q（弧度），将绿化带总长度表示为q的函数()s ；（2）试确定q的值，使得绿化带总长度最大．由于22BOC BAC θ∠=∠=，所以弧BC 的长为502100θθ⨯=． ……………………3分18.如图，在平面直角坐标系xOy 中，椭圆22221(0)y x a b a b+=>>的离心率为12，过椭圆右焦点F 作两条互相垂直的弦AB 与CD ．当直线AB 斜率为0时，7AB CD +=． （1）求椭圆的方程；（2）求AB CD +的取值范围．参数，一般取直线的斜率，① 当两条弦中一条斜率为0时，另一条弦的斜率不存在，由题意知7AB CD +=，将直线AB 的方程代入椭圆方程中，并整理得2222(34)84120k x k x k +-+-=，19.已知函数2()()e x f x x a =-在2x =时取得极小值． （1）求实数a 的值；（2）是否存在区间[],m n ，使得()f x 在该区间上的值域为44[e ,e ]m n ？若存在，求出m ，n 的值；若不存在，说明理由．02m n<<<时，2424(2)e e(2)e emnm nn m⎧-=⎨-=⎩，两式相除得22(2)e(2)em nm m n n-=-．20.各项均为正数的数列{a n }中，设12n n S a a a =+++，12111n nT a =+++，且(2)(1)2n n S T -+=，*n ∈N ．（1）设2n n b S =-，证明数列{b n }是等比数列；（2）设12n n c na =，求集合(){}*,,|2,,,,m r k m k r c c c m kr m k r +=<<∈N ．时，1142k c cc c =≥，（*）式不成立．南通市2014届高三第二次调研测试数学Ⅱ（附加题）21.A选修4—1：几何证明选讲如图，圆O的两弦AB和CD交于点E，//EF CB，EF交AD的延长线于点F．求证：△DEF∽△EAF．21.B选修4—2：矩阵与变换若矩阵12a⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦M把直线:20l x y+-=变换为另一条直线:40l x y'+-=，试求实数a值．21.C选修4—4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系xOy中，直线l经过点P（0，1），曲线C的方程为2220+-=，若直x y x线l与曲线C相交于A，B两点，求PA PB⋅的值．21.D 选修4—5：不等式选讲已知0x >，0y >，a ∈R ，b ∈R ．求证()222ax by a x b yx y x y++++≤．22.在平面直角坐标系xOy 中，已知定点F （1，0），点P 在y 轴上运动，点M 在x 轴上，点N为平面内的动点，且满足0PM PF ⋅=，PM PN +=0． （1）求动点N 的轨迹C 的方程；（2）设点Q 是直线l ：1x =-上任意一点，过点Q 作轨迹C 的两条切线QS ，QT ，切点分别为S ，T ，设切线QS ，QT 的斜率分别为1k ，2k ，直线QF 的斜率为0k ，求证：1202k k k +=．23.各项均为正数的数列{}n x 对一切*n ∈N 均满足112n n x x ++<．证明：（1）1n n x x +<；（2）111n x n -<<．【答案】（1）详见解析，（2）详见解析.【解析】11k k x x +>=，根据上述证明可知存在矛盾．下面先证明1n x ≤．。
南通市2014届高三数学最后一卷参考答案与评分建议
(第10题图)(第9题图) 南通市2014届高三数学参考答案与评分建议 数学I参考公式：棱锥的体积公式：13V Sh =，其中S 为锥体的底面积，h 为高．一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案填写在答题卡相应的位置．．．．．．．． 1．已知集合A ={1，k -1}，B ={2，3}，且A ∩B ={2}，则实数k 的值为 ▲ ．答案：3． 2．若复数z 满足i z =2(i 为虚数单位)，则z = ▲ ．答案：-2i ． 3．不等式组0,0,2x y x y ⎧⎪⎨⎪+⎩≥≥≤所表示的平面区域的面积为 ▲ ．答案：2．4．函数y =sin 2x 的最小正周期为 ▲ ．答案：π．5．若正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1的棱长为1，则三棱锥A -BDA 1的体积为 ▲ ．答案：16．6．已知函数23,0,()1,0,x x f x x x ->⎧=⎨+⎩≤若f (x )=5，则x = ▲ ．答案：8或-2．7．设函数f (x )=log 2x (0<x <5)，则f (x )<1的概率为 ▲ ．答案：25． 8．某鲜花店对一个月的鲜花销售数量(单位：支)进行统计，统计时间是4月1日至4月30日，5天一组分组统计，绘制了如图的鲜花销售数量频率分布直方图．已知从左到右各长方形的高的比为2∶3∶4∶6∶4∶1，且第二组的频数为180，那么该月共销售出的鲜花数(单位：支)为 答案：1200．9．如图是一个算法流程图．若输入A =3，B =5，则输出A ，B 的值分别为▲ ．答案：5，3．10．已知向量a ，b ，c在正方形网格中的位(第8题图)(,)λμλμ=+∈R c a b ，则λμ+= ▲ ．答案：53-．11．已知实数x ，y ，满足xy =1，且x >2y >0，则2242x y x y +-的最小值为 ▲ ．答案：4．12．设t ∈R ，[t ]表示不超过t 的最大整数．则在平面直角坐标系xOy 中，满足[x ]2+[y ]2=13的点P (x ，y )所围成的图形的面积为 ▲ ．答案：8．13．设函数f (x )满足f (x )=f (3x )，且当x ∈[1,3)时，f (x )=ln x ．若在区间[1,9)内，存在3个不同的实数x 1，x 2，x 3，使得312123()()()f x f x f x x x x ===t ，则实数t 的取值范围为 答案：ln31(,)93e． 14．设各项均为正整数的无穷等差数列{a n }，满足a 54=2014，且存在正整数k ，使a 1，a 54，a k 成等比数列，则公差d 的所有可能取值之和为 ▲ ．答案：92．二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡．．．指定区域内作答．．．．．．．．解答时应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15．（本小题满分14分）如图，在△ABC 中，|AB AC -|=3，|BC BA -|=5，|CA CB -|=7． (1)求C 的大小；(2)设D 为AB 的中点，求CD 的长．解：(1)依题意BC =3，CA =5，AB =7．······························1分 由余弦定理，得222cos 2CB CA AB C CB CA+-=⋅⋅=12-． ····················4分因0<C <π，···············6分 故C =23π．·······················8分(2)由余弦定理，得13cos 14A =．··············11分 在△ADC 中，AD =72，CD 2=AC 2+AD 2-2AC ×AD ×cos A =194，于是CD．·· 14分16．（本小题满分14分）如图，AB 为圆O 的直径，点E ，F 在圆上，四边形ABCD 为矩形，AB ∥EF ，∠BAF =3π，M 为BD 的中点，平面ABCD ⊥平面ABEF ．求证：(1)BF ⊥平面DAF ； (2)ME ∥平面DAF ．(第15题图)BAC解：(1)因四边形ABCD 为矩形，故DA ⊥AB ．因平面ABCD ⊥平面ABEF ，且DA ⊂平面ABCD ，平面ABCD ∩平面ABEF =AB ， 故DA ⊥平面ABEF ． ·············3分，因BF ⊂平面ABEF ，故DA ⊥BF ． ··········4分 因AB 为直径，故BF ⊥AF ．因DA ，AF 为平面DAF 内的两条相交直线，故BF ⊥平面DAF ．·····················7分 (2)因∠BAF =3π，AB ∥EF ，故EF =12AB ．··················································8分 取DA 中点N ，连NF ，MN ，因M 为BD 的中点， 故MN ∥AB ，且MN =12AB ，于是四边形MNFE 为平行四边形，所以ME ∥NF ．··· 1分 因NF ⊂平面DAF ，ME ⊄平面DAF ，故ME ∥平面DAF ．·····14分注：第(2)问，亦可先证明ME ∥平面MOE ．17．（本小题满分14分）图1是某种称为“凹槽”的机械部件的示意图，图2是凹槽的横截面（阴影部分）示意图，其中四边形ABCD 是矩形，弧CmD 是半圆，凹槽的横截面的周长为4．若凹槽的强度T 等于横截面的面积S 与边AB 的乘积，设AB =2x ，BC =y ． (1)写出y 关于x 函数表达式，并指出x 的取值范围； (2)求当x 取何值时，凹槽的强度T 最大．解：(1)易知半圆CmD 的半径为x ，故半圆CmD 的弧长为πx ． 所以，4=2x +2y +πx ，得4(2)2xy -+π=．····················································4分 依题意，知：0<x <y ，得404x <<+π． 所以，4(2)2x y -+π=(404x <<+π)．·······················································7分 (2)依题意，T =AB S ⋅=212(2)2x xy x -π=238(43)x x -+π． ······························9分令2163(43)T x x '=-+π=0，得16912x =π+∈4(0,)4+π，另一解舍去．··············11分(第17题图)图1图2所以当16912x =π+，凹槽的强度最大．·····················································14分注：x 的范围写为404x <≤+π，不扣分． 18．（本小题满分16分）在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆22221x y a b+=(a >b >0)过点(1，1)．(1)，求椭圆的方程； (2)若椭圆上两动点P ，Q ，满足OP ⊥OQ ．(2)若椭圆上两动点P ，Q ，满足OP ⊥OQ ．①已知命题：“直线PQ 恒与定圆C 相切”是真命题，试直接写出圆C 的方程；(不需要解答过程)②设①中的圆C 交y 轴的负半轴于M 点，二次函数y =x 2-m 的图象过点M ．点A ，B在该图象上，当A ，O ，B 三点共线时，求△MAB 的面积S 的最小值．解：(1)由e =，所以::a b c =．························································2分 设椭圆方程为222212x y b b+=，将(1，1)代入得221112b b +=，所以223,32b a ==，椭圆方程为222133x y +=．··················5分 (2)①221x y +=．··················································································9分 ②由题意，二次函数为y =x 2-1．········· 10分 设直线AB 的方程为y =kx ．由21y x y kx⎧=-⎨=⎩，消去y 得，210x kx --=． 设11(,)A x y ，22(,)B x y ，则12x x k +=，121x x =-．······································12分所以2112S OM x x =⋅-= ·····························14分 当0k =时，△MAB 的面积S 的最小值为1． ··········16分19．（本小题满分16分）设数列{a n }，a 1=1，1133n n n a a +=+．数列{b n }，13n n n b a -=．正数数列{d n }，2221111n n n d b b +=++． (1)求证：数列{b n }为等差数列；(2)设数列{b n }，{d n }的前n 项和分别为B n ，D n ，求数列{b n D n +d n B n -b n d n }的前n 项和S n ．解：(1)由1133n n n a a +=+，得11331n n n n a a -+=+． 又13n n n b a -=，所以11n+n b b +=．·······························································3分 又b 1=a 1=1，所以数列{b n }是以1为首项，1为公差的等差数列．·····················4分 (2)由(1)得1(1)1n b n n =+-⨯=，B n =(1)2n n +．·············································6分 因2221111n n n d b b +=++， 故222221121)111(1)(1)nn n d n n n n ++=++=+++（21[1](1)n n =++． 由d n >0，得11111(1)1n d n n n n =+=+-++．于是，111n D n n =+-+． ·································10分 又当n ≥2时，b n D n +d n B n -b n d n =(B n -B n -1)D n +(D n -D n -1)B n -(B n -B n -1)(D n -D n -1)=B n D n -B n -1D n -1， 所以S n =(B n D n -B n -1D n -1)+(B n -1D n -1-B n -2D n -2)+…+(B 2D 2-B 1D 1)+B 1D 1=B n D n ．··········14分 因S 1=b 1D 1+d 1B 1-b 1d 1=B 1D 1也适合上式，故对于任意的n ∈N *，都有S n =B n D n ． 所以S n =B n D n =(1)2n n +⋅1(1)1n n +-+=321(2)2n n +． ···············16分 20．（本小题满分16分）设函数f (x )=ax 2+e x (a ∈R )有且仅有两个极值点x 1，x 2(x 1<x 2)． (1)求实数a 的取值范围；(2)是否存在实数a 满足f (x 1)=231e x ?如存在，求f (x )的极大值；如不存在，请说明理由． 解：(1)()f x '=2ax +e x ．显然a ≠0，x 1，x 2是直线y =12a-与曲线y =g (x )=e x x两交点的横坐标．··············2分由()g x '=1ex x-=0，得x =1．列表：·························································4分 此外注意到： 当x <0时，g (x )<0；当x ∈[0，1]及x ∈(1，+∞)时，g (x )的取值范围分别为[0，1e ]和(0，1e )．于是题设等价于0<12a -<1e⇒a <e 2-，故实数a 的取值范围为(-∞，e2-)．········6分(2)存在实数a 满足题设．证明如下： 由(1)知，0< x 1<1<x 2，1()f x '=2ax 1+1e x =0，故f (x 1)=121+e x ax =111e e 2x x x -=231e x ，故11231e 1e e 02x x x --=．····························8分 记R (x )=23e 1e e 2x x x --(0<x <1)，则()R x '=2e (1)1e 02x x x x --<，于是，R (x )在(0，1)上单调递减． 又R (23)=0，故R (x )有唯一的零点x =23． 从而，满足f (x 1)=231e x 的x 1=23．所以，a=1231e 3e 24x x -=-．·····························12分 此时f (x )=2233e e 4x x -+，()f x '=233e e 2x x -+，又(0)f '>0，(1)f '<0，(2)f '>0，而x 1=23∈(0，1)， 故当a =233e 4-时，f (x )极大=f (x 1)=232e 3．·······················································16分南通市2014届高三数学临门一脚数学Ⅱ（附加题）21．【选做题】本题包括A 、B 、C 、D 共4小题，请．选定其中两小题．．．．．．．，并在相应的答题区域．．．．．．．．．内作答．．．．若多做，则按作答的前两小题评分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．A ．[选修4－1：几何证明选讲]（本小题满分10分）如图，⊙O 是三角形△ABC 的外接圆，AB =AC ，延长BC 到点D ，使得CD =AC ，连结AD 交⊙O 于点E ，连结BE 与AC 交于点F ，求证BE 平分∠ABC ．解：因CD =AC ，故∠D =∠CAD ．因AB =AC ，故∠ABC =∠ACB ． 因∠EBC =∠CAD ，故∠EBC =∠D ．因∠ABC =∠ABE +∠EBC ，∠ACB =∠D +∠CAD ．故∠ABE =∠EBC ，即BE 平分∠ABC ． ···················································10分B ．[选修4－2：矩阵与变换]（本小题满分10分） 已知矩阵14a b ⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦A ，A 的两个特征值为12λ=，2λ=3． (1)求a ，b 的值；(2)求属于2λ的一个特征向量α．解：(1)令2()()(4)(4)4014abf a b a a b λλλλλλλ--==--+=-+++=-，于是 1λ+2λ=a +4，1λ⋅2λ=4a +b ．解得a =1，b =2． ············································5分(2)设α=x y ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，则A α=1214⎡⎤⎢⎥-⎣⎦x y ⎡⎤⎢⎥⎣⎦=24x y x y +⎡⎤⎢⎥-+⎣⎦=3x y ⎡⎤⎢⎥⎣⎦=33x y ⎡⎤⎢⎥⎣⎦， 故23,43,x y x x y y +=⎧⎨-+=⎩解得x =y ．于是，α=11⎡⎤⎢⎥⎣⎦．···············································10分(第21A 题图)C ．[选修4－4：坐标系与参数方程]（本小题满分10分）圆C 的参数方程为12cos ,2sin x y θθ=+⎧⎪⎨=⎪⎩(θ为参数)，设P 是圆C 与x 轴正半轴的交点．以原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系．设过点P 的圆C 的切线为l ，求直线l 的极坐标方程．解：由题设知，圆心(1C ，(2,0)P ，∠CPO =60°，故过P 点的切线的倾斜角为30°． ····························································3分 设(,)M ρθ是过P 点的圆C 的切线上的任一点，则在△PMO 中， ∠MOP =θ，030OMP θ∠=-，0150OPM ∠=． 由正弦定理得sin sin OM OPOPM OMP=∠∠，于是002sin150sin(30)ρθ=-， 即0cos(60)1 ρθ+=（或0sin(30)1ρθ-=）即为所求切线的极坐标方程．·········10分D ．[选修4－5：不等式选讲]（本小题满分10分）已知a 、b 、c 均为正实数，且a +b +c =1解：因 a 、b 、c ＞0，故 2 111++)2≤((a +1)+(b +1)+(c +1))(1+1+1)=12，························································3分，a =b =c =13时，取“=”．··········································10分【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分．请在答题卡指定区域内作答．．．．．．．．．．，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．22．（本小题满分10分）(1)计算：2013320145C A +；(2)观察下面一组组合数等式：101C C n n n -=；2112C C n n n -=；3213C C n n n -=；…由以上规律，请写出第k (k ∈N *)个等式并证明．解：(1)原式=2074．·····················································································5分(2)等式为：11C C k k n n k n --=，k ∈N *． ····························································7分证明：C k n k =!!()!kn k n k -=(1)!(1)!((1)(1))!n n k n k -----=11C k n n --．·······························10分23．（本小题满分10分）数列{a n }，{b n }满足a 1=b 1，且对任意正整数n ，{a n }中小于等于n 的项数恰为b n ； {b n }中小于等于n 的项数恰为a n ． (1)求a 1；(2)求数列{a n }的通项公式．解：(1)首先，容易得到一个简单事实：{a n }与{b n }均为不减数列且a n ∈N ，b n ∈N ． 若a 1=b 1=0，故{a n }中小于等于1的项至少有一项，从而b 1≥1，这与b 1=0矛盾． 若a 1=b 1≥2，则{a n }中没有小于或等于1的项，从而b 1=0，这与b 1≥2矛盾． 所以，a 1=1．························································································4分 (2)假设当n =k 时，a k =b k =k ，k ∈N *．若a k +1≥k +2，因{a n }为不减数列，故{a n }中小于等于k +1的项只有k 项， 于是b k +1=k ，此时{b n }中小于等于k 的项至少有k +1项(b 1，b 2，…，b k ，b k +1)， 从而a k ≥k +1，这与假设a k =k 矛盾．若a k +1=k ，则{a n }中小于等于k 的项至少有k +1项(a 1，a 2，…，a k ，a k +1)， 于是b k ≥k +1，这与假设b k =k 矛盾． 所以，a k +1=k +1．所以，当n =k +1时，猜想也成立．综上，由(1)，(2)可知，a n =b n =n 对一切正整数n 恒成立．所以，a n =n ，即为所求的通项公式．························································10分。
江苏省南通市高三第一次调研测试数学试题 Word版含答案.pdf
即又BN=2AM ②…………………………… 8分
由①②，得ABAC．选修4—2：矩阵与变换
（本小题满分10分），满足，，求．，因为，………………………………………………… 2分
所以，即…………………………………………… 6分
解得所以． 10分
C．选修4—4：坐标系与参数方程（本小题满分10分）：，过极点O的直线与曲线相交于A、B两点，
结束
Y
N 输入x ② M · （第18题） M F O E · ① M · （第19题） A B C D x P y · O （第2题） B C M N O （第22题） P1
，求直线的方程．的方程为(ρ∈R)，，， …………………………………2分
则．，故．+2kπ或+2kπ，k∈Z．修4—5：不等式选讲（本小题满分10分）
已知，，均为正数求证：．证明：因为，，均为正数所以．同理可得．当且仅当yz均时，以上三式等号都成立．
将上述三个不等式两边分别相加，并除以2，得．【必做题】
（本小题满分10分），，…，为单位圆上逆时针均匀分布的六个点．．（1）的概率；
（）的分布列及数学期望．1）从六个点任选三个不同点构成一个三角形共
有种不同选法，其中的为有一个角是
的直角三角形（如△），共种，
所以．（），，．的等腰三角形（如△），共6种，所以．的为等边三角形（如△），共2种，所以．
又
由（1）知，故的分布列为
所以．……………………………………… 10分
23．（本小题满分10分）满足下列性质T的排列，，…，的个数为（n≥2，且n∈，，…，中有且只有一个
（{1，2，…，}）．
（1）求；
（2）求．
解：（1）当时，1，2，3的所有排列有，2，，，3，，，1，，，3，，
南通市2014届高三一模试卷--数学试题
南通市2014届高三一模试卷--数学试题数学Ⅰ参考答案与评分标准一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案直接填写在答题卡相应位．．．．．．置上．．． 1． 已知集合U ={1，2，3，4，5}，A ={1，2，4}，则U A =ð ▲ ．【答案】{3，5}．2． 已知复数1z 13i =+，2z 3i =+(i 为虚数单位)．在复平面内，12z z -对应的点在第 ▲ 象限．【答案】二．3． 命题：“x ∃∈R ，0x ≤”的否定是 ▲ ．【答案】x ∀∈R ，||0x >．4． 在平面直角坐标系xOy 中，抛物线28y x =上横坐标为1的点到其焦点的距离为 ▲ ．【答案】3．5． 设实数x ，y 满足0 0 3 24 x y x y x y ⎧⎪⎪⎨+⎪⎪+⎩≤≤≥，≥，，，则32z x y =+的最大值是 ▲ ． 【答案】7．6． 如图是一个算法的流程图．若输入x 的值为2，则输出y 的值是 ▲ ．【答案】32-．7． 抽样统计甲，乙两个城市连续5天的空气质量指数(AQI)，数据如下：城市空气质量指数(AQI)第1天 第2天 第3天 第4天 第5天 甲109 111 132 118 110 乙110 111 115 132 112 则空气质量指数(AQI )较为稳定(方差较小)的城市为 ▲ （填甲或乙）． 【答案】乙．8． 已知正三棱锥的侧棱长为1随机选取两条棱，则这两条棱互相垂直的概率是 ▲ ． 【答案】25．9． 将函数()()sin 2f x x ϕ=+()0ϕ<<π的图象上所有点向右平移π6个单位后得到的图象关于原点对称，则ϕ等于 ▲ ．（第6题）【答案】π3．10．等比数列{a n }的首项为2，公比为3，前n 项和为S n ．若log 3［12a n (S 4m +1)］=9，则1n +4m 的最小值是 ▲ ．【答案】52．11．若向量()cos sin αα=，a ，()cos sin ββ=，b ，且2+⋅≤a b a b ，则cos()αβ-的值是 ▲ ．【答案】1．12．在平面直角坐标系xOy 中，直线y x b =+是曲线ln y a x =的切线，则当a ＞0时，实数b 的最小值是 ▲ ． 【答案】1-．13．已知集合M ={(,)|3x y x -≤y ≤1}x -，N ={|P PA,(1,0),(1,0)}A B -，则表示M∩N 的图形面积等于 ▲ ．【答案】43π+．14．若函数2()2014(0)f x ax x a =++>对任意实数t ，在闭区间[1 1]t t -+，上总存在两实数1x 、2x ，使得12|()()|f x f x -≥8成立，则实数a 的最小值为 ▲ ．【答案】8．二、解答题：本大题共6小题，共90分．请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答. 解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．(本小题满分14分)如图，在四棱柱1111ABCD A B C D -中，//AB CD ，1AB BC ⊥，且1AA AB =． （1）求证：AB ∥平面11D DCC ；（2）求证：1AB ⊥平面1A BC ．（1）证明：在四棱柱1111ABCD A B C D -中，//AB CD ，AB ⊄平面11D DCC ， CD ⊂平面11D DCC ，所以//AB 平面11D DCC ． ……………………………………………………………………6分（2）证明：在四棱柱1111ABCD A B C D -中，四边形11A ABB 为平行四边形，又1AA AB =，A 1B 11CDABD 1（第15题）故四边形11A ABB 为菱形． 从而11AB A B ⊥．…………………………………………………………………………… 9分又1AB BC ⊥，而1A B BC B =，1 A B ，BC ⊂平面1A BC ， 所以1AB ⊥平面1A B C． ………………………………………………………………… 14分 16．(本小题满分14分)在△ABC 中，a ，b ，c 分别为角A ，B ，C 所对的边长，且c =－3b cos A ，tan C =34．（1）求tan B 的值；（2）若2c =，求△ABC 的面积．（1）解：由正弦定理，得sin 3sin cos C B A =-，………………………………………………2分即sin()3sin cos A B B A +=-． 所以sin cos cos sin 3sin cos A B A B B A +=-． 从而sin cos 4sin cos A B B A =-． 因为c oA B ≠，所以tan 4tan A B=-．……………………………………………………4分 又tan tan tan tan()tan tan 1A B C A B A B +=-+=-，由（1）知，23tan 344tan 1B B =+， 解得1ta 2B =．………………………………………………………………………………6分（2）解：由（1），得sin A =sin B 3sin C =． ………………………………10分由正弦定理，得sin sin 3c A a C ===12分 所以△ABC 的面积为114sin 2223ac B ==． ………………………………14分 17．(本小题满分14分)已知a 为实常数，y =f (x )是定义在(－∞，0)∪(0，+∞)上的奇函数，且当x <0时，f (x )=2x－a 3x2+1．（1）求函数f (x )的单调区间；（2）若f (x )≥a －1对一切x ＞0成立，求a 的取值范围．（1）解：由奇函数的对称性可知，我们只要讨论f (x )在区间(－∞，0)的单调性即可．f′(x )＝2＋2a 3x 3，令f′(x )＝，得x＝－a ． …………………………………………………2分①当a ≤0时，f ′(x )＞0，故f (x )在区间(－∞，0)是单调递增． ………………………4分②当a ＞0时，x ∈(－∞，－a )，f ′(x )＞0，所以f (x )在区间(－∞，－a )是单调递增．x ∈(－a ，0)，f ′(x )＜0，所以f (x )在区间(－a ，0)是单调减．………………………6分综上所述：当a ≤0时，f (x )单调增区间为(－∞，0)，(0，+∞)；当a ＞0时，f (x )单调增区间为(－∞，－a )，(a ，+∞)，单调减区间为(－a ，0)，(0，a )．…………………… 7分 （2）解：因为f (x )为奇函数，所以当x ＞0时，f (x )＝－f (－x )＝－(－2 x －a 3x 2＋1)＝2x ＋ a 3x2－1． …………………… 9分①当a ＜0时，要使f (x )≥a －1对一切x ＞0成立，即2x ＋ a 3x2≥a 对一切x ＞0成立．而当x ＝－a2＞0时，有－a +4a ≥a ，所以a ≥0，则与a ＜0矛盾．所以a ＜0不成立．………………………………………………………………………11分②当a ＝0时，f (x )＝2x －1＞－1=a －1对一切x ＞0成立，故a ＝0满足题设要求．…12分③当a ＞0时，由(1)可知f (x )在(0，a )是减函数，在(a ，+∞)是增函数． 所以f min (x )=f (a )＝3a －1＞a －1，所以a ＞0时也满足题设要求． …………………13分综上所述，a 的取值范围是[0+∞．…………………………………………………… 14分 18．(本小题满分16分)如图，一块弓形薄铁片EMF ，点M 为 EF的中点，其所在圆O 的半径为4 dm （圆心O 在弓形EMF 内），∠EOF =23π．将弓形薄铁片裁剪成尽可能大的矩形铁片ABCD (不计损耗)， AD ∥EF ，且点A 、D 在 EF上，设∠AOD =2θ． （1）求矩形铁片ABCD 的面积S 关于θ的函数关系式；（2）当矩形铁片ABCD 的面积最大时，求cos θ的值．（1）解：设矩形铁片的面积为S ，AOM θ∠=．当03θπ<<时（如图①），4cos 2AB θ=+，24sin AD θ=⨯，()()()4cos 224sin 16sin 2cos 1S AB AD θθθθ=⨯=+⨯=+．…………………………… 3分当32θππ<≤时（如图②），24cos AB θ=⨯，24sin AD θ=⨯， 故64sin cos 32sin2S AB AD θθθ=⨯==．综上得，矩形铁片的面积S 关于θ的函数关系式为()16sin 2cos 1 0 332sin 2 .32S θθθθθπ⎧+<<⎪=⎨ππ⎪<⎩，，，≤……………………………………………………… 7分（2）解：当03θπ<<时，求导，得 ()()()216cos 2cos 1sin 2sin 164cos cos 2S θθθθθθ'=++-=+-⎡⎤⎣⎦．令0S '=，得31c o s θ 10分 记区间(0 )3π，的角为0θ（唯一存在）．列表： θ()00 θ，0θ0( )3πθ，S ' + 0-S 增函数 极大值 减函数又当32θππ<≤时，32sin 2S θ=在[ )32ππ，上的单调减函数，所以当θθ=即cos θ=时，矩形的面积最大．………………………………… 16分 19．(本小题满分16分)如图，在平面直角坐标系xOy 中，椭圆22221(0)y x a b a b+=>>过点(1，，又椭圆内接四边形ABCD (点A 、B 、C 、D 在椭圆上)的对角线AC ，BD 相交于点1(1 )4P ，，且2AP PC = ，2BP PD = ．（1）求椭圆的方程； （2）求直线AB 的斜率．（1）解：依题意，22222 1314. c a b c a b ⎧=⎪⎪⎪+=⎨⎪⎪=-⎪⎩，解得224 1. a b ⎧⎪⎨⎪⎩=，=所求椭圆的方程为2214x y +=． ………………………………………………………… 6分（2）解：设()11 A x y ，，则221114x y +=．由2AP PC =，得()11334x y C--，．…………………………………………………… 8分 代入椭圆方程221x y +=，得()()212133421x y --+=．整理，得221111319()04216x y x y +-+-，………………………………………………… 10分 即1118x y +=-． ③ …………………………………………… 12分设()22 B x y ，，同理可得2218x y +=-． ④ ……………………………………………14分③-④，得21211y y x x -=--，即直线AB 的斜率为21211y y k -==-．…………………… 16分20．(本小题满分16分)已知等差数列{a n }、等比数列{b n }满足a 1+a 2＝a 3，b 1b 2＝b 3，且a 3，a 2+ b 1，a 1+ b 2成等差数列，a 1，a 2，b 2成等比数列．（1）求数列{a n }和数列{b n }的通项公式；（2）按如下方法从数列{a n }和数列{b n }中取项：第1次从数列{a n }中取a 1， 第2次从数列{b n }中取b 1，b 2， 第3次从数列{a n }中取a 2，a 3，a 4， 第4次从数列{b n }中取b 3，b 4，b 5，b 6， ……第2n －1次从数列{a n }中继续依次取2n －1个项， 第2n 次从数列{b n }中继续依次取2n 个项， ……由此构造数列{c n }：a 1，b 1，b 2，a 2，a 3，a 4，b 3，b 4，b 5，b 6，a 5，a 6，a 7，a 8，a 9，b 7，b 8，b 9，b 10，b 11，b 12，…，记数列{c n }的前n 和为S n ．求满足S n ＜22014的最大正整数n ．（1）解：设等差数列{a n }的公差为d ，等比数列{b n }的公比为q ，依题意，得1112111111112111()2 () (2)()2[() ()(). a a d a d b b q b q a d a b q a d b a d a b q ++=+⎧⎪=⎪⎨+++=++⎪⎪+=⎩，，]，解得a 1=d =1，b 1=q =2． 故a n =n ，b n =2n ．…………………………………………………………………………… 6分（2）解：将a 1，b 1，b 2记为第1组，a 2，a 3，a 4，b 3，b 4，b 5，b 6记为第2组，a 5，a 6，a 7，a 8，a 9，b 7，b 8，b 9，b 10，b 11，b 12记为第3组，……以此类推，则第n 组中，有2n －1项选取于数列{a n }，有2 n 项选取于数列{b n }，前n 组共有n 2项选取于数列{a n }，有n 2＋n 项选取于数列{b n }，记它们的总和为P n ，并且有()22211222nn n n n P +++=+-． ………… 11分222014207120144545(451)222202P +-=+-->，2220141981334444(441)22(21)202P +-=---<．当2245(451)2n S +=＋（2＋22＋…＋22012）时，222014201345(451)2220n S +-=--+<．………………………………………………… 13分当2245(451)2n S +=＋（2＋22＋…＋22013)时，22201445(451)220n S +-=-+>．可得到符合20142n S <的最大的n =452＋2012=4037．…………………………………… 16分数学Ⅱ（附加题）参考答案与评分标准21．【选做题】A．选修4—1：几何证明选讲（本小题满分10分）在△ABC中，已知CM是∠ACB的平分线，△AMC的外接圆交BC于点N，且BN=2AM．求证：AB2=AC．证明：如图，在△ABC中，因为CM是∠ACM的平分线，所以A C=，B C Array①……………………………3分又因为BA与BC是圆O过同一点B的割线，所以BM BA BN BC ⋅=⋅，即 BA BN BC BM =，…………………………………… 6分又BN =2AM ，所以2 BA AM BC BM=， ②…………………………… 8分由①②，得AB 2=AC ． ……………………… 10分 B ． 选修4—2：矩阵与变换 （本小题满分10分）设二阶矩阵A ，B 满足11234-⎡⎤=⎢⎥⎣⎦A ，()11001-⎡⎤=⎢⎥⎣⎦BA ，求1-B ． 解：设1a b c d -⎡⎤=⎢⎥⎣⎦B ，因为()111---=BA A B ，………………………………………………… 2分所以100134a b c d ⎡⎤⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦，即220 340 341 a c b d a c b d +=⎧⎪+=⎪⎨+=⎪⎪+=⎩，，，，…………………………………………… 6分 解得2 1 321 a b c d =-⎧⎪=⎪⎪⎨=⎪⎪=-⎪⎩，，，，所以1213122--⎡⎤⎢⎥=-⎢⎥⎣⎦B ．…………………………………………………… 10分C ．选修4—4：坐标系与参数方程 （本小题满分10分）在极坐标系中，已知曲线C ：2sin =ρθ，过极点O 的直线l 与曲线C 相交于A 、B 两点，AB =l 的方程．解：设直线l 的方程为0θθ=(ρ∈R )，() 0A 0，，()10 B ρθ，， …………………………………2分则1|0|AB =-=ρ0|2sin |θ．………………………………………………………………… 5分又AB =，故0s i n=θ． …………………………………………………………… 7分 解得03π=θ+2k π或03π=-θ+2k π，k ∈Z ．所以直线l 的方程为3π=θ或32π=θ (ρ∈R )． ………………………………………… 10分D ．选修4—5：不等式选讲 （本小题满分10分）已知x ，y ，z 均为正数，求证：111yx z yz zx xy x y z++++≥．证明：因为x ，y ，z 均为正数，所以()12y yx x yz zx z x y z++≥≥．………………………………4分同理可得2y z xy zx x+≥，2x z yz xy y+≥． ………………………………………………… 7分 当且仅当x =y =z 均时，以上三式等号都成立．将上述三个不等式两边左，右两边分别相加，并除以2， 得111y x z yz zx xy x y z ++++≥．…………………………………………………………… 10分【必做题】 22．（本小题满分10分）如图，设1P ，2P ，…，6P 为单位圆上逆时针均匀分布的六个点．现任选其中三个不同点构成一个三角形，记该三角形的面积为随机变量S ． （1）求S 的概率；（2）求S 的分布列及数学期望()E S ．解：（1）从六个点任选三个不同点构成一个三角形共有36C种不同选法，其中S 的为有一个角是 30 的直角三角形（如△145PP P ），共6212⨯=种，所以(36123C P S ==． ………………… 3分（2）SS =的为顶角是120 的等腰三角形（如△123PP P ），共6种，所以(366310C P S ===． …………………………………………………… 5分S =（如△135PP P ），共2种，所以(362110C P S ===．…… 7分又由（1）知(361235C P S ===，故S 的分布列为所以333()10510E S =++．……………………………………… 10分 23．（本小题满分10分）已知1，2，…，n 满足下列性质T 的排列1a ，2a ，…，n a 的个数为()f n （n ≥2，且n ∈N *）． 性质T ：排列1a ，2a ，…，n a 中有且只有一个1i i a a +>（i ∈{1，2，…，1n -}）． （1）求(3)f ； （2）求()f n ． 解：（1）当3n =时，1，2，3的所有排列有(1，2，3)，(1，3，2)，(2，1，3)，(2，3，1)，(3，1，2)，(3，2，1)，其中满足仅存在一个i ∈{1，2，3}，使得1i i a a +>的排列有(1，3，2)，(2，1，3)，(2，3，1)，(3，1，2)，SP 310 35 110所以(f =．………………………………………………………………………… 3分（2）在1，2，…，n 的所有排列1(a ，2a ，…，)n a 中，若(11)i a n i n =-≤≤，从1n -个数1，2，3，…，1n -中选1i -个数按从小到大的顺序排列为1a ，2a ，…，1i a -，其余按从小到大的顺序排列在余下位置，于是满足题意的排列个数为11C i n --．……………………………………………………………………… 6分若n a n=，则满足题意的排列个数为(1)f n -．……………………………………… 8分综上，()f n =(1)f n -+1111Cn i n i ---=∑1(1)21n f n -=-+-．从而()33212()(3)(3)2112n n f n n f n --=--+=---． ……………………………… 10分。
2014年江苏省南通市高考数学一模试卷
2014年江苏省南通市高考数学一模试卷一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．1．（5分）（2014•南通一模）复数的虚部是_________．2．（5分）（2014•南通一模）某同学在7天内每天参加体育锻炼的时间（单位：分钟）用茎叶图表示如图，图中左列表示时间的十位数，右列表示时间的个位数．则这7天该同学每天参加体育锻炼时间（单位：分钟）的平均数为_________．3．（5分）（2014•南通一模）函数f（x）=的值域为_________．4．（5分）（2014•南通一模）分别从集合A={1，2，3，4}和集合B={5，6，7，8}中各取一个数，则这两数之积为偶数的概率是_________．5．（5分）（2014•南通一模）在平面直角坐标系xOy中，双曲线C的中心在原点，焦点在y轴上，一条渐近线方程为，则双曲线C的离心率为_________．6．（5分）（2014•南通一模）如图是计算的值的一个流程图，则常数a的取值范围是_________．7．（5分）（2014•南通一模）函数y=的图象可由函数y=sinx的图象作两次变换得到，第一次变换是针对函数y=sinx的图象而言的，第二次变换是针对第一次变换所得图象而言的．现给出下列四个变换：A．图象上所有点向右平移个单位；B．图象上所有点向右平移个单位；C．图象上所有点的横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变）；D．图象上所有点的横坐标变为原来的倍（纵坐标不变）．请按顺序写出两次变换的代表字母：_________．（只要填写一组）8．（5分）（2014•南通一模）记max{a，b}为a和b两数中的较大数．设函数f（x）和g（x）的定义域都是R，则“f （x）和g（x）都是偶函数”是“函数F（x）=max{f（x），g（x）}为偶函数”的_________条件．（在“充分不必要”“必要不充分”“充分必要”和“既不充分也不必要”中选填一个）9．（5分）（2014•南通一模）在平面直角坐标系xOy中，圆C1：x2+y2﹣4x﹣8y+19=0关于直线l：x+2y﹣5=0对称的圆C2的方程为_________．10．（5分）（2014•南通一模）给出以下三个关于x的不等式：①x2﹣4x+3＜0，②，③2x2+m2x+m＜0．若③的解集非空，且满足③的x至少满足①和②中的一个，则m的取值范围是_________．11．（5分）（2014•南通一模）设，且，则tanβ的值为_________．12．（5分）（2014•南通一模）设平面向量，满足，则•的最小值为_________．13．（5分）（2014•南通一模）在平面直角坐标系xOy中，曲线上的点到原点O的最短距离为_________．14．（5分）（2014•南通一模）设函数y=f（x）是定义域为R，周期为2的周期函数，且当x∈[﹣1，1）时，f（x）=1﹣x2；已知函数g（x）=，则函数f（x）和g（x）的图象在区间[﹣5，10]内公共点的个数为_________．二、解答题：本大题共6小题，共90分．15．（14分）（2014•南通一模）设向量=（cosα，sinα），=（cosβ，sinβ），其中0＜β＜α＜π．（1）若⊥，求的值；（2）设向量=，且+=，求α，β的值．16．（14分）（2014•南通一模）如图，在三棱锥P﹣ABC中，平面PAC⊥平面ABC，∠BAC=60°，E，F分别是AP，AC的中点，点D在棱AB上，且AD=AC．求证：（1）EF∥平面PBC；（2）平面DEF⊥平面PAC．17．（14分）（2014•南通一模）如图，港口A在港口O的正东120海里处，小岛B在港口O的北偏东60°的方向，且在港口A北偏西30°的方向上．一艘科学考察船从港口O出发，沿北偏东30°的OD方向以20海里/小时的速度驶离港口O．一艘给养快艇从港口A以60海里/小时的速度驶向小岛B，在B岛转运补给物资后以相同的航速送往科考船．已知两船同时出发，补给装船时间为1小时．（1）求给养快艇从港口A到小岛B的航行时间；（2）给养快艇驶离港口A后，最少经过多少时间能和科考船相遇？18．（16分）（2014•南通一模）设公差不为零的等差数列{a n}的各项均为整数，S n为其前n项和，且满足．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）试求所有的正整数m，使得为数列{a n}中的项．19．（16分）（2014•南通一模）在平面直角坐标系xOy中，设椭圆C的中心在原点，焦点在x轴上，短半轴长为2，椭圆C长轴的右端点到其右焦点的距离为．（1）求椭圆C的方程．（2）设直线l与椭圆C相交于A，B两点，且∠AOB=．求证：原点O到直线AB的距离为定值．（3）在（2）的条件下，求AB的最小值．20．（16分）（2014•南通一模）设函数f（x）=alnx﹣bx2，其图象在点P（2，f（2））处切线的斜率为﹣3．（1）求函数f（x）的单调区间（用只含有b的式子表示）；（2）当a=2时，令g（x）=f（x）﹣kx，设x1，x2（x1＜x2）是函数g（x）=0的两个根，x0是x1，x2的等差中项，求证：g′（x0）＜0（g′（x）为函数g（x）的导函数）．【选做题】本题包括21、22、23、24四小题，请选定其中两题，并在相应的答题区域内作答．若多做，则按作答的前两题评分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．21．（2014•南通一模）AB是⊙O的直径，D为⊙O上一点，过点D作⊙O的切线交AB延长线于C，若DA=DC，求证：AB=2BC．22．（2014•南通一模）已知矩阵A的逆矩阵，求矩阵A的特征值．23．（2014•南通一模）在平面直角坐标系xOy中，求过椭圆（φ为参数）的右焦点且与直线（t为参数）平行的直线的普通方程．24．（2014•南通一模）已知实数x，y满足：，求证：．【必做题】第25题、第26题，每题10分，共计20分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．25．（2014•南通一模）从棱长为1的正方体的8个顶点中任取不同2点，设随机变量ξ是这两点间的距离．（1）求概率；（2）求ξ的分布列，并求其数学期望E（ξ）．26．（2014•南通一模）在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线C：y2=4x，F为其焦点，点E的坐标为（2，0），设M为抛物线C上异于顶点的动点，直线MF交抛物线C于另一点N，链接ME，NE并延长分别交抛物线C与点P，Q．（1）当MN⊥Ox时，求直线PQ与x轴的交点坐标；（2）当直线MN，PQ的斜率存在且分别记为k1，k2时，求证：k1=2k2．2014年江苏省南通市高考数学一模试卷参考答案与试题解析一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．1．（5分）（2014•南通一模）复数的虚部是．考点：复数代数形式的乘除运算；复数的基本概念．专题：计算题．分析：根据复数的除法法则计算即可．解答：解：==，所以复数的虚部是．故答案为：．点评：本题考查复数代数形式的乘除运算、复数的基本概念，属基础题．2．（5分）（2014•南通一模）某同学在7天内每天参加体育锻炼的时间（单位：分钟）用茎叶图表示如图，图中左列表示时间的十位数，右列表示时间的个位数．则这7天该同学每天参加体育锻炼时间（单位：分钟）的平均数为72．考点：茎叶图．专题：概率与统计．分析：根据茎叶图中的数据，利用平均数的公式计算即可得到结论．解答：解：由茎叶图中的数据可知，对应的平均数为=72，故答案为：72．点评：本题主要考查茎叶图的应用，利用平均数的公式是解决本题的关键，比较基础．3．（5分）（2014•南通一模）函数f（x）=的值域为（0，4]．考点：指数型复合函数的性质及应用．专题：函数的性质及应用．分析：由于函数t=x2﹣2x=（x﹣1）2﹣1≥﹣1，可得0＜≤4，由此求得函数f（x）的值域．解答：解：由于函数t=x2﹣2x=（x﹣1）2﹣1≥﹣1，∴0＜≤=4，故函数f（x）=的值域为（0，4]，故答案为：（0，4]．点评：本题主要考查二次函数的性质，指数函数的定义域和值域、单调性，属于中档题．4．（5分）（2014•南通一模）分别从集合A={1，2，3，4}和集合B={5，6，7，8}中各取一个数，则这两数之积为偶数的概率是．考点：等可能事件的概率．专题：概率与统计．分析：求出所有基本事件，两数之积为偶数的基本事件，即可求两数之积为偶数的概率．解答：解：从集合A={1，2，3，4}和集合B={5，6，7，8}中各取一个数，基本事件共有4×4=16个，∵两数之积为偶数，∴两数中至少有一个是偶数，A中取偶数，B中有4种取法；A中取奇数，B中必须取偶数，故基本事件共有2×4+2×2=12个，∴两数之积为偶数的概率是=．故答案为：．点评：本题考查概率的计算，考查学生的计算能力，确定基本事件的个数是关键．5．（5分）（2014•南通一模）在平面直角坐标系xOy中，双曲线C的中心在原点，焦点在y轴上，一条渐近线方程为，则双曲线C的离心率为2．考点：双曲线的简单性质．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：由已知条件推导出双曲线方程为，λ＞0，由此能求出双曲线的离心率．解答：解：∵双曲线C的中心在原点，焦点在y轴上，一条渐近线方程为，∴双曲线方程为，λ＞0，∴双曲线的标准方程为，∴a=，c==2，∴e==2．故答案为：2．点评：本题考查双曲线的离心率的求法，是中档题，解题时要熟练掌握双曲线的简单性质．6．（5分）（2014•南通一模）如图是计算的值的一个流程图，则常数a的取值范围是（19，21]．考点：程序框图．专题：算法和程序框图．分析：根据程序的功能是求S=+++…+的值，从而求得n=21程序运行终止，再根据不满足条件n＜a时输出S，可得a的范围．解答：解：∵程序的运行功能是求的值，∴程序最后一次运行后S=+++…+，∴n=21终止程序运行，∴19＜a≤21，故答案为：（19，21]．点评：本题考查了循环结构的程序框图，根据框图的流程判断终止运行的n值是解答本题的关键．7．（5分）（2014•南通一模）函数y=的图象可由函数y=sinx的图象作两次变换得到，第一次变换是针对函数y=sinx的图象而言的，第二次变换是针对第一次变换所得图象而言的．现给出下列四个变换：A．图象上所有点向右平移个单位；B．图象上所有点向右平移个单位；C．图象上所有点的横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变）；D．图象上所有点的横坐标变为原来的倍（纵坐标不变）．请按顺序写出两次变换的代表字母：BD（DA）．（只要填写一组）考点：函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．专题：三角函数的图像与性质．分析：先求函数y=sinx的图象先向左平移，再求图象上所有的点的横坐标变为原来的倍（纵坐标不变），求出所得到的图象对应的函数解析式即可．也可以先伸缩，后平移．解答：解：将函数y=sinx的图象先向左平移，得到函数y=sin（x+）的图象，将所得图象上所有的点的横坐标变为原来的倍（纵坐标不变），则所得到的图象对应的函数解析式为：y=sin（2x+），变换顺序可以是BD．或者图象上所有点的横坐标变为原来的倍（纵坐标不变）．得到函数y=sin2x，图象上所有点向右平移个单位；得到y=sin（2x+），变换顺序可以为DA．故答案为：BD（DA）．点评：本题主要考查函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，属于中档题．8．（5分）（2014•南通一模）记max{a，b}为a和b两数中的较大数．设函数f（x）和g（x）的定义域都是R，则“f （x）和g（x）都是偶函数”是“函数F（x）=max{f（x），g（x）}为偶函数”的充分不必要条件．（在“充分不必要”“必要不充分”“充分必要”和“既不充分也不必要”中选填一个）考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断．专题：简易逻辑．分析：根据max{a，b}的定义，结合函数奇偶性的性质，以及充分条件和必要条件的定义即可得到结论．解答：解：∵f（x）和g（x）都是偶函数，∴f（﹣x）=f（x），g（﹣x）=g（x）恒成立，则根据偶函数的对称性可知，函数F（x）=max{f（x），g（x）}也关于y轴对称，即F（x）为偶函数成立，若函数F（x）=max{f（x），g（x）}为偶函数，则f（x）和g（x）不一定都是偶函数，必要f（x）=x2为偶函数，g（x）=﹣x2﹣1，（0＜x＜1），满足F（x）=max{f（x），g（x）}=）=x2为偶函数，但g（x）=﹣x2﹣1，（0＜x＜1），不是偶函数，∴“f（x）和g（x）都是偶函数”是“函数F（x）=max{f（x），g（x）}为偶函数”的充分不必要条件．故答案为：充分不必要条件点评：本题主要考查充分条件和必要条件的判断，利用函数奇偶性的性质以及函数max{a，b}的定义是解决本题的关键．9．（5分）（2014•南通一模）在平面直角坐标系xOy中，圆C1：x2+y2﹣4x﹣8y+19=0关于直线l：x+2y﹣5=0对称的圆C2的方程为x2+y2=1．考点：圆的一般方程．专题：计算题；直线与圆．分析：圆C1化为标准方程，求出圆心坐标与半径，设出圆心C1关于直线l：x+2y﹣5=0对称的圆C2的圆心C2的坐标，利用对称关系，求出圆心C2的坐标，即可得到圆C2的方程．解答：解：圆C1：x2+y2﹣4x﹣8y+19=0可化为（x﹣2）2+（y﹣4）2=1，则圆心C1（2，4），半径为1，设圆心C1关于直线l：x+2y﹣5=0对称的圆C2的圆心C2的坐标为（a，b），则，解得a=0，b=0，∴圆C1：x2+y2﹣4x﹣8y+19=0关于直线l：x+2y﹣5=0对称的圆C2的方程为x2+y2=1．故答案为：x2+y2=1．点评：本题考查圆的方程，考查点关于直线对称点的求法，考查学生的计算能力，属于中档题．10．（5分）（2014•南通一模）给出以下三个关于x的不等式：①x2﹣4x+3＜0，②，③2x2+m2x+m＜0．若③的解集非空，且满足③的x至少满足①和②中的一个，则m的取值范围是[﹣1，0）．考点：不等式的基本性质．专题：不等式的解法及应用．分析：分别求得①、②的解集，可得它们的并集，由题意可得，方程2x2+m2x+m=0的两个实数根都在区间[﹣1，3]内，令f（x）=2x2+m2x+m，则由题意可得，由此求得m的范围．解答：解：由：①x2﹣4x+3＜0可得1＜x＜3；由②可得＜0，即﹣1＜x＜2；由③2x2+m2x+m＜0的解集非空，可得△=m（m3﹣8）＞0，即m＞2，或m＜0．①②解集的并集为（﹣1，3），故方程2x2+m2x+m=0的两个实数根都在区间[﹣1，3]内，令f（x）=2x2+m2x+m，则由题意可得．解得﹣1≤m＜0，故答案为[﹣1，0）．点评：本题主要考查集合的运算及分式不等式、一元二次不等式的基本解法，体现了转化的数学思想，属于基础题．11．（5分）（2014•南通一模）设，且，则tanβ的值为．考点：两角和与差的正切函数；两角和与差的余弦函数．专题：三角函数的求值．分析：根据两角和的正切公式即可得到结论．解答：解：∵，∴，∵，∴，∴tanα=4，tan（α﹣β）=，则tanβ=tan[α﹣（α﹣β）]=，故答案为：点评：本题主要考查三角函数的求值和化简，要求熟练掌握正切的公式，以及条件角之间的关系．12．（5分）（2014•南通一模）设平面向量，满足，则•的最小值为﹣．考点：平面向量数量积的运算．专题：平面向量及应用．分析：利用向量的数量积性质和基本不等式即可得出．解答：解：∵平面向量，满足，∴，化为≥﹣6，∴．当且仅当，取等号．故答案为：﹣．点评：本题考查了向量的数量积性质和基本不等式，属于中档题．13．（5分）（2014•南通一模）在平面直角坐标系xOy中，曲线上的点到原点O的最短距离为5．考点：双曲线的简单性质．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：设曲线上的点P（x，y）．则P（x，y）到原点的距离：d==，由此利用均值定理能求出曲线上的点到原点O的最短距离．解答：解：设曲线上的点P（x，y）．设P（x，y）到原点的距离：d===≥==5，当且仅当时，d取最小值．∴曲线上的点到原点O的最短距离为5．故答案为：5．点评：本题考查曲线上的点到原点距离的最小值的求法，是中档题，解题时要注意均值定理的合理运用．14．（5分）（2014•南通一模）设函数y=f（x）是定义域为R，周期为2的周期函数，且当x∈[﹣1，1）时，f（x）=1﹣x2；已知函数g（x）=，则函数f（x）和g（x）的图象在区间[﹣5，10]内公共点的个数为14．考点：函数的周期性．专题：函数的性质及应用．分析：根据函数的周期性，作出函数f（x）和g（x）的图象，利用数形结合即可得到两个函数公共点的个数．解答：解：∵函数y=f（x）是定义域为R，周期为2的周期函数，且当x∈[﹣1，1）时，f（x）=1﹣x2；∴作出函数f（x）的图象如图：∵g（x）=，∴作出函数g（x）的图象如图：则由图象可知两个图象的交点个数为14个，故答案为：14点评：本题主要考查函数图象交点个数的判断，利用函数的周期性以及利用数形结合是解决本题的关键．二、解答题：本大题共6小题，共90分．15．（14分）（2014•南通一模）设向量=（cosα，sinα），=（cosβ，sinβ），其中0＜β＜α＜π．（1）若⊥，求的值；（2）设向量=，且+=，求α，β的值．考点：平面向量数量积的坐标表示、模、夹角．专题：平面向量及应用．分析：（1）利用数量积的运算性质即可得出；（2）利用向量相等和诱导公式、三角函数的单调性即可得出．解答：解：（1）∵=（cosα，sinα），=（cosβ，sinβ），∴||=1，||=1．∵⊥，∴•=0．于是===2．故．（2）∵+=，∴，由此得cosα=cos（π﹣β），由0＜β＜π，得0＜π﹣β＜π，又0＜α＜π，故α=π﹣β．代入，得．而0＜β＜α＜π，∴．点评：本题考查了数量积的运算性质、向量相等和诱导公式、三角函数的单调性等基础知识与基本技能方法，属于基础题．16．（14分）（2014•南通一模）如图，在三棱锥P﹣ABC中，平面PAC⊥平面ABC，∠BAC=60°，E，F分别是AP，AC的中点，点D在棱AB上，且AD=AC．求证：（1）EF∥平面PBC；（2）平面DEF⊥平面PAC．考点：平面与平面垂直的判定；直线与平面平行的判定．专题：空间位置关系与距离．分析：（1）利用三角形中位线定理推导出EF∥PC，由此能证明EF∥平面PBC．（2）由已知条件推导出△ACD为正三角形，DF⊥AC，从而得到DF⊥平面PAC，由此能证明平面DEF⊥平面PAC．解答：证明：（1）在△PAC中，因为E，F分别是AP，AC的中点，所以EF∥PC．…（2分）又因为EF⊄平面PBC，PC⊂平面PBC，所以EF∥平面PBC．…（5分）（2）连结CD．因为∠BAC=60°，AD=AC，所以△ACD为正三角形．因为F是AC的中点，所以DF⊥AC．…（7分）因为平面PAC⊥平面ABC，DF⊂平面ABC，平面PAC∩平面ABC=AC，所以DF⊥平面PAC．…（11分）因为DF⊂平面DEF，所以平面DEF⊥平面PAC．…（14分）点评：本题考查直线与平面平行的证明，考查平面与平面垂直的证明，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．17．（14分）（2014•南通一模）如图，港口A在港口O的正东120海里处，小岛B在港口O的北偏东60°的方向，且在港口A北偏西30°的方向上．一艘科学考察船从港口O出发，沿北偏东30°的OD方向以20海里/小时的速度驶离港口O．一艘给养快艇从港口A以60海里/小时的速度驶向小岛B，在B岛转运补给物资后以相同的航速送往科考船．已知两船同时出发，补给装船时间为1小时．（1）求给养快艇从港口A到小岛B的航行时间；（2）给养快艇驶离港口A后，最少经过多少时间能和科考船相遇？考点：解三角形的实际应用．专题：应用题；解三角形．分析：（1）给养快艇从港口A到小岛B的航行时间，已知其速度，则只要求得AB的路程，再利用路程公式即可求得所需的时间．（2）由（1）知，给养快艇从港口A驶离2小时后，从小岛B出发与科考船汇合，根据题意确定各边长和各角的值，然后由余弦定理解决问题．解答：解：（1）由题意知，在△OAB中，OA=120，∠AOB=30°，∠OAB=60°．于是AB=60，而快艇的速度为60海里/小时，所以快艇从港口A到小岛B的航行时间为1小时．…（5分）（2）由（1）知，给养快艇从港口A驶离2小时后，从小岛B出发与科考船汇合．为使航行的时间最少，快艇从小岛B驶离后必须按直线方向航行，设t小时后恰与科考船在C处相遇．…（7分）在△OAB中，OA=120，∠AOB=30°，∠OAB=60°，所以，而在△OCB中，BC=60t，OC=20（2+t），∠BOC=30°，…（9分）由余弦定理，得BC2=OB2+OC2﹣2OB•OC•cos∠BOC，即，亦即8t2+5t﹣13=0，解得t=1或（舍去）．…（12分）故t+2=3．即给养快艇驶离港口A后，最少经过3小时能和科考船相遇．…（14分）点评：本题主要考查余弦定理的应用，考查学生分析解决问题的能力．余弦定理在解实际问题时有着广泛的应用，一定要熟练的掌握．18．（16分）（2014•南通一模）设公差不为零的等差数列{a n}的各项均为整数，S n为其前n项和，且满足．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）试求所有的正整数m，使得为数列{a n}中的项．考点：数列的应用．专题：压轴题；等差数列与等比数列．分析：（1）先确定a4=1，再根据得d=3或，结合数列{a n}的各项均为整数，求出公差，即可求数列{a n}的通项公式；（2）根据，a n=3n﹣11=3（n﹣4）+1，可得为数列{a n}中的项，必须是3的倍数，进而验证，可得所有的正整数m，使得为数列{a n}中的项．解答：解：（1）因为{a n}是等差数列，且S7=7，而，于是a4=1．…（2分）设{a n}的公差为d，则由得，化简得8d2﹣27d+9=0，即（d﹣3）（8d﹣3）=0，解得d=3或，但若，由a4=1知不满足“数列{a n}的各项均为整数”，故d=3．…（5分）于是a n=a4+（n﹣4）d=3n﹣11．…（7分）（2）因为，a n=3n﹣11=3（n﹣4）+1，…（10分）所以要使为数列{a n}中的项，必须是3的倍数，于是a m在±1，±2，±3，±6中取值，但由于a m﹣1是3的倍数，所以a m=1或a m=﹣2．由a m=1得m=4；由a m=﹣2得m=3．…（13分）当m=4时，；当m=3时，．所以所求m的值为3和4．…（16分）点评：本题主要考查了等差数列的通项公式及前n项和的公式，解题的重点是要熟练掌握基本公式，并能运用公式，还要具备一定的运算能力．19．（16分）（2014•南通一模）在平面直角坐标系xOy中，设椭圆C的中心在原点，焦点在x轴上，短半轴长为2，椭圆C长轴的右端点到其右焦点的距离为．（1）求椭圆C的方程．（2）设直线l与椭圆C相交于A，B两点，且∠AOB=．求证：原点O到直线AB的距离为定值．（3）在（2）的条件下，求AB的最小值．考点：直线与圆锥曲线的综合问题．分析：（1）根据题意设椭圆C的方程为．再利用已知条件求出a，b的值即可．（2）设原点O到直线AB的距离为d，则由题设及面积公式知．分情况讨论．当直线OA 的斜率不存在或斜率为0时，解得．当直线OA的斜率k存在且不为0时，设直线方程为y=kx．与椭圆方程联立解得A，B两点的坐标，利用．化简即可得到．（3））d为定值，所以求AB的最小值即求OA•OB的最小值．求AB的最小值即求OA•OB的最小值OA2•OB2=．利用基本不等式即可求出AB的最小值．解答：解：（1）由题意，可设椭圆C的方程为．则，解得．∴椭圆方程为．（2）设原点O到直线AB的距离为d，则由题设及面积公式知．①当直线OA的斜率不存在或斜率为0时，有或．则．∴．②当直线OA的斜率k存在且不为0时，则联立方程，得．∴．解得或在Rt△OAB中，．则======．∴．综上，原点O到直线AB的距离为定值．（3）∵d为定值，∴求AB的最小值即求OA•OB的最小值．=令，则t≥2，于是==∵t≥2，∴，当且仅当t=2，即k=±1时，OA•OB取得最小值，∴．∴A的最小值为．点评：本题考查椭圆方程的求解，直线与椭圆相结合的问题，利用基本不等式求最值等知识．属于难题．20．（16分）（2014•南通一模）设函数f（x）=alnx﹣bx2，其图象在点P（2，f（2））处切线的斜率为﹣3．（1）求函数f（x）的单调区间（用只含有b的式子表示）；（2）当a=2时，令g（x）=f（x）﹣kx，设x1，x2（x1＜x2）是函数g（x）=0的两个根，x0是x1，x2的等差中项，求证：g′（x0）＜0（g′（x）为函数g（x）的导函数）．考点：利用导数研究曲线上某点切线方程．专题：导数的综合应用．分析：（1）由函数图象在在点P（2，f（2））处切线的斜率为﹣3得到a与b的关系，用b表示a，代入导函数解析式，然后分b=0，b＜0，b＞0分类求解函数的单调区间；（2）由a的值求解b的值，得到函数g（x）的解析式，把函数的两个零点代入函数所对应的方程，求解得到k的值，求出g′（x0），借助于等差中项的概念把x0用x1，x2表示，换元后进一步利用导数研究函数的单调性，由单调性说明g′（x0）＜0成立．解答：（1）解：函数f（x）的定义域为（0，+∞）．，则，即a=8b﹣6．于是．①当b=0时，，f（x）在（0，+∞）上是单调减函数；②当b＜0时，令f'（x）=0，得（负舍），∴f（x）在上是单调减函数，在上是单调增函数；③当b＞0时，若，则f'（x）＜0恒成立，f（x）在（0，+∞）上单调减函数；若，令f'（x）=0，得（负舍），∴f（x）在上单调增函数，在上单调减函数；综上，若b＜0，f（x）的单调减区间为，单调增区间为；若，f（x）的单调减区间为（0，+∞）；若，f（x）的单调增区间为，单调减区间为．（2）证明：∵a=2，a=8b﹣6，∴b=1，即g（x）=2lnx﹣x2﹣kx．∵g（x）的两零点为x1，x2，则，相减得：，∵x1≠x2，∴，于是=．令，，则，则φ（t）在（0，1）上单调递减，则φ（t）＞φ（1）=0，又，则g'（x0）＜0．命题得证．点评：本题考查利用导数研究曲线上某点处的切线方程，考查了利用导数研究函数的单调性，考查了数学转化思想方法，训练了换元法，是难度较大的题目．【选做题】本题包括21、22、23、24四小题，请选定其中两题，并在相应的答题区域内作答．若多做，则按作答的前两题评分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．21．（2014•南通一模）AB是⊙O的直径，D为⊙O上一点，过点D作⊙O的切线交AB延长线于C，若DA=DC，求证：AB=2BC．考点：圆的切线的性质定理的证明．专题：证明题．分析：证法一、可以连接OD，构造直角三角形，然后求出∠DCO，然后根据30°所对的直角边等于斜边的一半，得出结论；证法二、连接OD，DB，再证明△ADB≌△CDO，得到AB=OC，转化为证明CO=2BC解答：证明：法一：连接OD，则：OD⊥DC，又OA=OD，DA=DC，所以∠DAO=∠ODA=∠DCO，∠DOC=∠DAO+∠ODA=2∠DCO，所以∠DCO=30°，∠DOC=60°，所以OC=2OD，即OB=BC=OD=OA，所以AB=2BC．证法二：连接OD、BD．因为AB是圆O的直径，所以∠ADB=90°，AB=2OB．因为DC是圆O的切线，所以∠CDO=90°．又因为DA=DC，所以∠DAC=∠DCA，于是△ADB≌△CDO，从而AB=CO．即2OB=OB+BC，得OB=BC．故AB=2BC．点评：本题考查的知识点是切线的性质，即切线垂直过切点的半径，将问题转化为直角三角形问题，解直角三角形即可得到答案．22．（2014•南通一模）已知矩阵A的逆矩阵，求矩阵A的特征值．考点：逆变换与逆矩阵．专题：选作题；矩阵和变换．分析：先求出矩阵A，再求矩阵A的特征值．解答：解：因为A﹣1A=E，所以A=（A﹣1）﹣1．因为|A﹣1|=﹣，所以A=（A﹣1）﹣1=．…（5分）于是矩阵A的特征多项式为f（λ）==λ2﹣3λ﹣4，…（8分）令f（λ）=0，解得A的特征值λ1=﹣1，λ2=4．…（10分）点评：本题考查矩阵的逆矩阵，考查特征值．正确求矩阵的逆矩阵是关键．23．（2014•南通一模）在平面直角坐标系xOy中，求过椭圆（φ为参数）的右焦点且与直线（t为参数）平行的直线的普通方程．考点：参数方程化成普通方程．专题：计算题．分析：椭圆的普通方程为，右焦点为（4，0），直线普通方程为2y﹣x=2，斜率为：，利用点斜式求出方程即可．解答：解：椭圆的普通方程为，右焦点为（4，0），直线（t为参数）的普通方程为2y﹣x=2，斜率为：；所求直线方程为：点评：本题考查参数方程与普通方程的转化．直线方程求解．属于基础题．24．（2014•南通一模）已知实数x，y满足：，求证：．考点：不等式的证明．专题：证明题；不等式的解法及应用．分析：首先由3|y|=|3y|=|2（x+y）﹣（2x﹣y）|≤2|x+y|+|2x﹣y|，再结合已知的不等式，即可证得结论．解答：证明：∵3|y|=|3y|=|2（x+y）﹣（2x﹣y）|≤2|x+y|+|2x﹣y|，由题设，∴．∴．点评：本题考查不等式的证明，考查学生分析转化问题的能力，属于中档题．【必做题】第25题、第26题，每题10分，共计20分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．25．（2014•南通一模）从棱长为1的正方体的8个顶点中任取不同2点，设随机变量ξ是这两点间的距离．（1）求概率；（2）求ξ的分布列，并求其数学期望E（ξ）．考点：离散型随机变量的期望与方差；等可能事件的概率．专题：综合题；概率与统计．分析：（1）求出从正方体的8个顶点中任取不同2点的所有可能情况，对角线长为的所有可能情况，即可求概率；（2）随机变量ξ的取值共有1，，三种情况，求出相应的概率，即可求ξ的分布列、数学期望E（ξ）．解答：解：（1）从正方体的8个顶点中任取不同2点，共有种．因为正方体的棱长为1，所以其面对角线长为，正方体每个面上均有两条对角线，所以共有2×6=12条．因此．…（3分）（2）随机变量ξ的取值共有1，，三种情况．正方体的棱长为1，而正方体共有12条棱，于是．…（5分）从而．…（7分）所以随机变量ξ的分布列是ξ 1P（ξ）…（8分）因此．…（10分）点评：本题考查概率知识的运用，考查随机变量ξ的分布列、数学期望，正确计算概率是关键．26．（2014•南通一模）在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线C：y2=4x，F为其焦点，点E的坐标为（2，0），设M为抛物线C上异于顶点的动点，直线MF交抛物线C于另一点N，链接ME，NE并延长分别交抛物线C与点P，Q．（1）当MN⊥Ox时，求直线PQ与x轴的交点坐标；（2）当直线MN，PQ的斜率存在且分别记为k1，k2时，求证：k1=2k2．考点：直线与圆锥曲线的综合问题．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：（1）由抛物线方程求出焦点坐标，得到直线MN的方程，代入抛物线方程求出M、N的坐标，由两点式求得直线ME的方程，和抛物线方程联立解得P点坐标，同理求得Q点坐标，则直线PQ的方程可求，直线PQ与x轴的交点坐标可求；（2）分别设M（x1，y1），N（x2，y2），P（x3，y3），Q（x4，y4），再设直线MN、MP、NQ的直线方程，。
数学_2014年江苏省南通市某校高考数学模拟试卷(5月份)(含答案)
2014年江苏省南通市某校高考数学模拟试卷（5月份）一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．把答案填在题中横线上． 1. 已知集合M ={0, 2, 4}，N ={x|x =2a, a ∈M}，则集合M ∩N =________． 2. 已知0<a <2，复数z 的实部为a ，虚部为1，则|z|的取值范围是________． 3. 抛物线y 2=8x 的焦点到双曲线x 212−y 24=1的渐近线的距离为________．4. 某学校有两个食堂，甲、乙、丙三名学生各自随机选择其中的一个食堂用餐，则他们在同一个食堂用餐的概率为________．5. 某校为了解高三同学寒假期间学习情况，抽查了100名同学，统计他们每天平均学习时间，绘成频率分布直方图（如图），则这100名同学中学习时间在6到8小时内的人数为________人．6. 设f(x)为定义在R 上的奇函数，当x ≤0时，f(x)=2x +2x +m （m 为常数），则f(1)=________．7. 如果执行程序框图，那么输出的S 为________．8. 设m ，n 是两条不同的直线，α，β是两个不重合的平面，给定下列四个命题，其中为真命题的是________．① m ⊥n n ⊂α}⇒m ⊥α；② a ⊥αa ⊂β}⇒α⊥β；③ m ⊥αn ⊥α}⇒m // n ；④ m ⊂αn ⊂βα // β}⇒m // n9. 已知圆C 的半径为3，直径AB 上一点D 使AB →=3AD →，E ，F 为另一直径的两个端点，则DE →⋅DF →=________．10. 已知函数f n (x)=lnx −n +5的零点为a n （其中n =1，2，3…），数列{a n }的前k 项的积为T k (k >1, k ∈N)，则满足T k =a k 的自然数k 的值是________． 11. 直线y =√33x +√2与圆心为D 的圆(x −√3)2+(y −1)2=3交于A 、B 两点，则直线AD与BD 的倾斜角之和为________．12. 在△ABC 中，已知tanAtanC +tanBtanC =tanAtanB ，若a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 所对的边，则c 2ab 的最小值为________．13. 已知是A 、B 、C 直线l 上的三点，向量OA →，OB →，OC →满足：OA →−[f(x)+1x]•OB →−(x −1)⋅OC →=0¯，且对任意x ∈[1, +∞)，f(mx)+mf(x)<0恒成立，则实数m 的取值范围是________．14. 已知实数a ，b ，c 满足a ≤b ≤c ，且ab +bc +ca =0，abc =1，不等式|a +b|≥k|c|恒成立．则实数k 的最大值为________．二、解答题：本大题共6小题，共90分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知O 为坐标原点，OA →=(2sin 2x,1)，OB →=(1,−2√3sinxcosx +1)，f(x)=−12OA →⋅OB →+1．（1）求y =f(x)的最小正周期；（2）将f(x)图象上各点的纵坐标不变，横坐标扩大为原来的两倍，再将所得图象向左平移π6个单位后，所得图象对应的函数为g(x)，且α∈[π6，2π3]，β∈(−5π6,−π3)，g(α)=35，g(β)=−45，求cos2(α−β)−1的值． 16. 如图，在梯形ABCD 中，AB // CD ，AD =DC =CB =a ，∠ABC =60∘，平面ACFE ⊥平面ABCD ，四边形ACFE 是矩形，AE =a ，点M 在线段EF 上．（1）求证：BC ⊥平面ACFE ；（2）当EM 为何值时，AM // 平面BDF ？证明你的结论．17. 为配合国庆黄金周，促进旅游经济的发展，某火车站在调查中发现：开始售票前，已有a 人在排队等候购票．开始售票后，排队的人数平均每分钟增b 人．假设每个窗口的售票速度为c 人/分钟，且当开放两个窗口时，25分钟后恰好不会出现排队现象（即排队的人刚好购完）；若同时开放三个窗口时，则15分钟后恰好不会出现排队现象．（1）若要求售票10分钟后不会出现排队现象，则至少需要同时开几个窗口？（2）若a =60，在只开一个窗口的情况下，试求第n(n ∈N ∗且n ≤118)个购票者的等待时间t n 关于n 的函数，并求出第几个购票者的等待时间最长？（注：购票者的等待时间指从开即始排队（售票开始前到达的人，从售票开始计时）到开始购票时止）18. 已知椭圆x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)的左顶点为A ，左、右焦点分别为F 1，F 2，且圆C:x 2+y 2+√3x −3y −6=0过A ，F 2两点． （1）求椭圆标准的方程；（2）设直线PF 2的倾斜角为α，直线PF 1的倾斜角为β，当β−α=2π3时，证明：点P 在一定圆上；（3）设椭圆的上顶点为Q ，证明：PQ =PF 1+PF 2．19. 如果数列{a n }满足：a 1+a 2+a 3+...+a n =0且|a 1|+|a 2|+|a 3|+...+|a n |=1(n ≥3, n ∈N ∗)，则称数列{a n }为n 阶“归化数列”．（1）若某4阶“归化数列”{a n }是等比数列，写出该数列的各项； （2）若某11阶“归化数列”{a n }是等差数列，求该数列的通项公式； （3）若{a n }为n 阶“归化数列”，求证：a 1+12a 2+13a 3+...+1n a n ≤12−12n ．20. 已知二次函数g(x)对任意实数x 都满足g(x −1)+g(1−x)=x 2−2x −1，且g(1)=−1．令f(x)=2g(x +12)+mx −3m 2lnx +94(m >0,x >0)．（1）求g(x)的表达式；（2）若函数f(x)在x ∈[1, +∞)上的最小值为0，求m 的值；（3）记函数H(x)=[x(x −a)2−1]•[−x 2+(a −1)x +a −1]，若函数y =H(x)有5个不同的零点，求实数a 的取值范围．【选做题】在21-24四小题中只能选做2题，每小题10分，共计20分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．【选修4-1：几何证明选讲】21. 圆的两条弦AB 、CD 交于点F ，从F 点引BC 的平行线和直线DA 的延长线交于点P ，再从点P 引这个圆的切线，切点是Q ．求证：PF =PQ ．【选修4-2：矩阵与变换】 22. 选修4−2 矩阵与变换 已知矩阵M =[a1c0]的一个特征根为−1，属于它的一个特征向量[1−3]． （1）求矩阵M ；（2）求曲线x 2+y 2=1经过矩阵M 所对应的变换得到曲线C ，求曲线C 的方程．【选修4-4：参数方程与极坐标】23. 以直角坐标系的原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴．已知点P 的直角坐标为(1, −5)，点M 的极坐标为(4, π2)．若直线l 过点P ，且倾斜角为π3，圆C 以M 为圆心、4为半径． （1）求直线l 的参数方程和圆C 的极坐标方程；（2）试判定直线l和圆C的位置关系．【选修4-5：不等式证明选讲】24. 已知实数a，b，c，d满足a+b+c+d=3，a2+2b2+3c2+6d2=5，求a的取值范围．【必做题】第25、26两题，每小题10分，共计20分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.25. 如图，平面ABDE⊥平面ABC，△ABC是等腰直角三角形，AC=BC=4，四边形ABDE是直角梯形，BD // AE，BD⊥BA，BD=12AE=2，O、M分别为CE、AB的中点，求直线CD和平面ODM所成角的正弦值．26. 用a，b，c，d四个不同字母组成一个含n+1(n∈N+)个字母的字符串，要求由a开始，相邻两个字母不同．例如n=1时，排出的字符串是ab，ac，ad；n=2时排出的字符串是aba，abc，abd，aca，acb，acd，ada，adb，adc，…，如图所示．记这含n+1个字母的所有字符串中，排在最后一个的字母仍是a的字符串的种数为a n．（1）试用数学归纳法证明：a n=3n+3(−1)n4(n∈N∗,n≥1)；（2）现从a，b，c，d四个字母组成的含n+1(n∈N∗, n≥2)个字母的所有字符串中随机抽取一个字符串，字符串最后一个的字母恰好是a的概率为P，求证：29≤P≤13．2014年江苏省南通市某校高考数学模拟试卷（5月份）答案1. {0, 4}2. (1, √5)3. 14. 145. 306. 527. 438. ②③ 9. −8 10. 10 11. 43π 12. 23 13. m <−1 14. 415. 解：（1）由题设有，f(x)=−sin 2x +√3sinxcosx +12=cos2x+√3sin2x2+12=sin(2x +π6)，∴ 函数y =f(x)的最小正周期为2π2=π．（2）由题设有g(x)=sin(x +π3)，又g(α)=35，g(β)=−45， 即sin(α+π3)=35，sin(β+π3)=−45， 因为α∈[π6，2π3]，β∈(−5π6,−π3)，所以α+π3∈[π2,π]，β+π3∈(−π2,0)，∴ cos(α+π3)=−45，cos(β+π3)=35．∴ sin(α−β)=sin[(α+π3)−(β+π3)]=sin(α+π3)cos(β+π3)−cos(α+π3)sin(β+π3)=35⋅35−(−45)⋅(−45)=−725， 所以cos2(α−β)−1=−2sin 2(α−β)=−2×(−725)2=−98625． 16. 解：（1）在梯形ABCD 中，∵ AD =DC =CB =a ，∠ABC =60∘ ∴ 四边形ABCD 是等腰梯形，且∠DCA =∠DAC =30∘，∠DCB =120 ∴ ∠ACB =90，∴ AC ⊥BC又∵ 平面ACF ⊥平面ABCD ，交线为AC ，∴ BC ⊥平面ACFE ．（2）当EM =√33a 时，AM // 平面BDF ． 在梯形ABCD 中，设AC ∩BD =N ，连接FN ，则CN:NA =1:2． ∵ EM =√33a 而 EF =AC =√3a ，∴ EM:FM =1:2．∴ EM // CN ，EM =CN ，∴ 四边形ANFM是平行四边形．∴ AM // NF．又NF⊂平面BDF，AM⊄平面BDF．∴ AM // 平面BDF．17. 解：（1）设需同时开x个窗口，则根据题意有，{a+25b=50c(1) a+15b=45c(2)a+10b≤10cx(3)由（1）（2）得，c=2b，a=7b代入（3）得，75b+10b≤20bx，∴ x≥4.25，即至少同时开5个窗口才能满足要求．（2）由a=60得，b=0.8，c=1.6，设第n个人的等待时间为t n，则由题意有，当n≤60(n∈N∗)时，t n=n−11.6；当60<n≤118(n∈N∗)时，设第n个人是售票开始后第t分钟来排队的，则n=60+0.8t，此时已有1.6t人购到票离开队伍，即实际排队的人数为n−1.6t，∴ t n=(n−1.6t)−11.6=119−n1.6，综上，t n关于n的函数为t n={n−11.6，(n≤60,n∈N∗)119−n 1.6，(60<n≤118,n∈N∗)，∵ 当n≤60时，(t n)max=60−11.6=36.875分钟，当60<n≤118时，(t n)max<119−601.6=36.25分钟，∴ 第60个购票者的等待时间最长．18. （1）解：圆x2+y2+√3x−3y−6=0与x轴交点坐标为A(−2√3，0)，F2(√3,0)，故a=2√3，c=√3，所以b=3，∴ 椭圆方程是：x212+y29=1．（2）证明：设点P(x, y)，因为F1(−√3, 0)，F2(√3, 0)，则k PF1=tanβ=x+√3，k PF2=tanα=x−√3，因为β−α=2π3，所以tan(β−α)=−√3．因为tan(β−α)=tanβ−tanα1+tanαtanβ=−2√3yx2+y2−3，所以−2√3yx2+y2−3=−√3．化简得x2+y2−2y=3．所以点P在定圆x2+y2−2y=3上．（3）证明：在满足（2）的条件下，∵ |PQ|2=x2+(y−3)2=x2+y2−6y+9，x2+y2=3+2y，∴ |PQ|2=12−4y．又|PF1|2=(x+√3)2+y2=2y+6+2√3x，|PF2|2=(x−√3)2+y2=2y+6−2√3x，∴ 2|PF1|×|PF2|=2√4(y+3)2−12x2=4√(y+3)2−3x2，因为3x2=9−3y2+6y，所以2|PF1|×|PF2|=4√4y2，∵ β=α+2π3>2π3，又点P在定圆x2+y2−2y=3上，∴ y<0，所以2|PF 1|×|PF 2|=−8y ，从而(|PF 1|+|PF 2|)2=|PF 1|2+2|PF 1|×|PF 2|+|PF 2|2=4y +12−8y =12−4y =|PQ|2．所以|PQ|=|PF 1|+|PF 2|．19. （1）解：设a 1，a 2，a 3，a 4成公比为q 的等比数列，显然q ≠1，则由a 1+a 2+a 3+a 4=0， 得a 1(1−q 4)1−q=0，解得q =−1．由|a 1|+|a 2|+|a 3|+|a 4|=1，得4|a 1|=1，解得a 1=±14． ∴ 数列14，−14，14，−14或−14，14，−14，14为所求四阶“归化数列”；（2）解：设等差数列a 1，a 2，a 3，…，a 11的公差为d ， 由a 1+a 2+a 3+...+a 11=0，得： 11a 1+11×10d2=0，∴ a 1+5d =0，即a 6=0，当d =0时，与归化数列的条件相矛盾，当d >0时，由a 1+a 2+⋯+a 5=−12，a 6=0，得：{5a 1+10d =−12a 1+5d =0，解得d =130，a 1=−16， ∴ a n =−16+n−130=n−630(n ∈N ∗,n ≤11)．当d <0时，由a 1+a 2+⋯+a 5=12，a 6=0，得： {5a 1+10d =12a 1+5d =0，解得d=−130，a 1=16， ∴ a n =16−n−130=−n−630(n ∈N ∗, n ≤11)．∴ a n ={n−630d >0−n−630d <0(n ∈N ∗, n ≤11)；（3）证明：由已知可知，必有a i >0，也必有a j <0(i ，j ∈{1，2，…，n ，且i ≠j)． 设a i 1，a i 2，…，a i p 为诸a i 中所有大于0的数，a j 1，a j 2，…，a j m 为诸a i 中所有小于0的数． 由已知得X =a i 1+a i 2+⋯+a i p =12，Y =a j 1+a j 2+⋯+a j m =−12．∴ a 1+12a 2+⋯+1n a n =∑a i k i kpk=1+∑a j k j km k=1≤∑a i k p k=1+1n ∑a j k m k=1=12−12n ．20. 解：（1）设g(x)=ax 2+bx +c ，于是g(x −1)+g(1−x)=2a(x −1)2+2c =2(x −1)2−2，所以{a =12c =−1又g(1)=−1，则b =−12．所以g(x)=12x 2−12x −1．（2）f(x)=2g(x +12)+mx −3m 2lnx +94=x 2+mx −3m 2lnx则f′(x)=2x +m −3m 2x=2x 2+mx−3m 2x=(2x+3m)(x−m)x．令f ′(x)=0，得x =−3m 2（舍），x =m ．①当m >1时，min 令2m 2−3m 2lnm =0，得m =e 23．②当0<m ≤1时，f ′(x)≥0在x ∈[1, +∞)上恒成立，f(x)在x ∈[1, +∞)上为增函数， 当x =1时，f min (x)=1+m ，令m +1=0，得m =−1（舍）． 综上所述，所求m 为m =e 23．（3）记ℎ1(x)=x(x −a)2，ℎ2(x)=−x 2+(a −1)x +a ，则据题意有ℎ1(x)−1=0有3个不同的实根，ℎ2(x)−1=0有2个不同的实根，且这5个实根两两不相等． (I)ℎ2(x)−1=0有2个不同的实根，只需满足g(a−12)>1，∴ a >1或a <−3；(II)ℎ1(x)−1=0有3个不同的实根，因ℎ1′(x)=3x 2−4ax +a 2=(3x −a)(x −a)， 令ℎ1′(x)=0，得x =a 或a3，1∘当a3>a 即a <0时，ℎ1(x)在x =a 处取得极大值，而ℎ1(a)=0，不符合题意，舍； 2∘当a3=a 即a =0时，不符合题意，舍；3∘当a 3<a 即a >0时，ℎ1(x)在x =a 3处取得极大值，ℎ1(a 3)>1⇒a >3√232，所以a >3√232因为(I)(II)要同时满足，故a >3√232．下证：这5个实根两两不相等，即证：不存在x 0使得ℎ1(x 0)−1=0和ℎ2(x 0)−1=0同时成立；若存在x 0使得ℎ1(x 0)=ℎ2(x 0)=1，由ℎ1(x 0)=ℎ2(x 0)，即x 0(x 0−a)2=−x 02+(a −1)x 0+a ，得(x 0−a)(x 02−ax 0+x 0+1)=0，当x 0=a 时，f(x 0)=g(x 0)=0，不符合，舍去；当x 0≠a 时，有x 02−ax 0+x 0+1=0①；又由g(x 0)=1，即−x 02+(a −1)x 0+a =1②； 联立①②式，可得a =0；而当a =0时，H(x)=(x 3−1)(−x 2−x −1)=0没有5个不同的零点，故舍去，所以这5个实根两两不相等．综上，当a >3√232时，函数y =H(x)有5个不同的零点．21. 解：∵ ABCD 四点共线 ∴ ∠ADF =∠ABC 又∵ PF // BC ∴ ∠AFP =∠FDP 又∵ ∠CPF =∠FPD ∴ △APF ∽△FPD ∴ PFPA =PDPF ∴ PF 2=PA ⋅PD 又PQ 与圆相切 ∴ PQ 2=PA ⋅PD ∴ QF 2=PQ 2 ∴ PF =PQ22. 解：（1）由题意，[a1c 0][1−3]=−[1−3]， ∴ {a −3=−1c =3，∴ a =2，c =3， ∴ M =[2130]；（2）设P(x 0, y 0)是曲线C:x 2+y 2=1上任意一点， 则点P(x 0, y 0)在矩阵M 对应的变换下变为点P′(x, y) 则有[x y ]=[2130][x 0y 0]，即{x 0=12x −16y y 0=13y又∵ 点P 在曲线C:x 2+y 2=1上，∴ 9x 2−6xy +5y 2=36，即曲线C ′的方程为椭圆9x 2−6xy +5y 2=36． 23. 解（1）直线l 的参数方程为{x =1+12t y =−5+√32t，（t 为参数）圆C 的极坐标方程为ρ=8sinθ．（2）因为M(4,π2)对应的直角坐标为(0, 4) 直线l 化为普通方程为√3x −y −5−√3=0 圆心到l 的距离d =√3|√3+1=9+√32>4，所以直线l 与圆C 相离．24. 解：由柯西不等式得(12+13+16)(2b 2+3c 2+6d 2)≥(b +c +d)2 即2b 2+3c 2+6d 2≥(b +c +d)2将条件代入可得5−a 2≥(3−a)2，解得1≤a ≤2当且仅当√2b√12=√3c√13=√6d√16时等号成立，可知b =12，c =13，d =16时a 最大=2，b =1，c =23，d =13时，a 最小=1， 所以：a 的取值范围是[1, 2]．25. 解：∵ DB ⊥BA ，又∵ 面ABDE ⊥面ABC ，面ABDE ∩面ABC =AB ，DB ⊂面ABDE ，∴ DB ⊥面ABC ，∵ BD // AE ，∴ EA ⊥面ABC ， 如图所示，以C 为原点，分别以CA ，CB 为x ，y 轴，以过点C 且与平面ABC 垂直的直线为z 轴，建立空间直角坐标系， ∵ AC =BC =4，∴ 设各点坐标为C(0, 0, 0)，A(4, 0, 0)，B(0, 4, 0)，D(0, 4, 2)，E(4, 0, 4)， 则O(2, 0, 2)，M(2, 2, 0)，CD →=(0,4,2)，OD →=(−2,4,0)，MD →=(−2,2,2)， 设平面ODM 的法向量n =(x, y, z)，则由n ⊥OD →且n ⊥MD →可得{−2x +4y =0−2x +2y +2z =0令x =2，则y =1，z =1，∴ n =(2, 1, 1)，设直线CD 和平面ODM 所成角为θ，则sinθ=|cos <n,CD →>|=|n⋅CD →|n||CD →||=|(2,1,1)⋅(0,4,2)|(2,1,1)||(0,4,2)||=6√6⋅2√5=√3010， ∴ 直线CD 和平面ODM 所成角的正弦值为√3010． 26. （1）证明：(I)当n =1时，因为a 1=0，3+3(−1)4=0，所以等式正确．(II)假设n =k 时，等式正确，即a k =3k +3(−1)k4(k ∈N ∗,k ≥1)，那么，n =k +1时，因为a k+1=3k −a k =3k −3k +3(−1)k4=4⋅3k −3k −3(−1)k4=3k+1+3(−1)k+14，这说明n =k +1时等式仍正确． 据(I)，(II)可知，a n =3n +3(−1)n4(n ∈N ∗,n ≥1)正确；（2）解：易知P =14⋅3n +3(−1)n3n=14[1+3(−1)n 3n]，①当n 为奇数(n ≥3)时，P =14(1−33n )，因为3n≥27，所以P≥14(1−327)=29，又P=14(1−33n)<14，所以29≤P<14；②当n为偶数(n≥2)时，P=14(1+33n)，因为3n≥9，所以P≤14(1+39)=13，又P=14(1+33n)>14，所以14<P≤13．综上所述，29≤P≤13．。
江苏省南通市2014届高三年级第三次模拟考试理科数学试卷(带解析)
江苏省南通市2014届高三年级第三次模拟考试理科数学试卷（带解析）1B=【解析】试题分析：求两集合的交集，就是求它们共同元素的集合.集合A为无限集，集合B为有限集，所以将集合B中元素逐一代入集合A B={1,2}考点：集合基本运算．2z=．【解析】考点：复数的四则运算．3．袋中有2个红球，2个蓝球，1个白球，从中一次取出2个球，则取出的球颜色相同的概率为．【解析】试题分析：从5个球中一次取出2个球的基本事件共有10，符合要求的有2个(两个红球或两个篮球)考点：概率基础知识．4．2的距离为．【解析】试题分析：由题意得：截面圆的半径为1.截面圆圆心与球心距离、截面圆的半径1及球的半径2考点：球的相关知识．53，则输入x的值为．【答案】1【解析】3，所以考点：流程图中选择结构65，则此组数据的标准差是．【解析】试题分析：因为一组数据平均值是5，所.因此方差为8,注意审题．考点：数据分析相关知识7程为．【解析】考点：双曲线的性质8．已知函数对任意的满足)，且当时，4的取值范围是 ．【解析】4考点：二次函数的图象与性质，零点问题9的最小值为 ． 【答案】8【解析】试题分析：因为，所以方法一：，；方法二（消元）：考点：不等式在求解最值上的应用．10【答案】10【解析】试题分析：在垂直的条件下，建系求解是最佳选择．以C 为坐标原点，AC建立直角坐标系，则A(6，0),B （0,4），D （-6,8）考点：平面向量的相关知识11【解析】试题分析：根据解出，过点（1，1），所以考点：三角函数的图象12C的取值范围是．【解析】试题分析：圆C条切线相互垂直”为“圆心到直线的距离小于等于”，再利用点到直线的距离公式求解．即2.考点：圆的方程、圆和直线的位置关系、点到直线的距离公式13．设数列{a n}为等差数列，数列{b n}为等比数列．则数列{b n}的公比为．【解析】试题分析：方法一：，若，则，舍去；若，则2考点：等差数列、等比数列的性质14．在△ABC 中，AC=1，以AB 为边作等腰直角三角形ABD （B 为直角顶点，C 、D 两点在直线AB 的两侧）CD长的最大值为 ．【答案】3 【解析】试题分析：则在三角形BCD 中，由余弦定理可知在三角形ABC 中，由余弦定理可可得，所以，令，则5，当4考点：解三角形15．如图，在五面体ABCDEF 中，四边形ABCD 是矩形，DE ⊥平面ABCD ．（1）求证：AB ∥EF ；（2）求证：平面BCF⊥平面CDEF．【答案】（1）详见解析，（2）详见解析.【解析】试题分析：（1）证明线线平行，一般思路为利用线面平行的性质定理与判定定理进行转化. 因为四边形ABCD是矩形，所以AB∥CD CDEF CDEF，所以AB∥平面CDEF ABFE AB∥EF．（2）证明面面垂直，一般利用其判定定理证明，即先证线面垂直. 因为DE⊥平面ABCD=CDEF，所以BC⊥面ABCD，所以DE⊥BC．因为BC⊥CD DE D平面CDEF．因为BCF，平面BCF⊥平面CDEF．试题解析：【证】（1）因为四边形ABCD是矩形，所以AB∥CD，CDEF CDEF，所以AB∥平面CDEF． 4分ABFE所以AB∥EF． 7分（2）因为DE⊥平面ABCD ABCD，所以DE⊥BC． 9分=CDEF，因为BC⊥CD DE D所以BC⊥平面CDEF． 12分因为BCF，平面BCF⊥平面CDEF． 14分考点：线面平行与垂直关系16．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c（1（2【答案】（1（2【解析】试题分析：（1）向量数量积就是边与角的关系，这也是向量与三角形的结合点. 因为（2）研究三角函数性质，先将其化为基本三角函数，即所最后根据基本三角函数性质，求其值域. 由于【解】（1 3分6分（2 8分10分因为，12分14分考点：两角和与差的三角函数、解三角形、向量的数量积17．某风景区在一个直径AB为100米的半圆形花园中设计一条观光线路（如图所示）．在点A与圆弧上的一点C之间设计为直线段小路，在路的两侧．．边缘种植绿化带；从点C到点B设计为沿．．边缘种植绿化带．（注：小路及绿化带的宽度忽略不计）（1（2【答案】（1（2）【解析】试题分析：（1）解实际问题应用题，关键正确理解题意，正确列出等量关系或函数关系式.本题要注意着重号. 2AC与弧长BC之和.（2.3分7分（2 9分11分列表如下：13分14分考点：运用数学知识解决实际问题18．如图，在平面直角坐标系xOy（1）求椭圆的方程；（2【答案】（1（2【解析】试题分析：（1）求椭圆标准方程，只需两个独立条件.另一个是点在椭圆上即，所以．所以椭圆的方程为（2）研究直线与椭圆位置关系，关键确定参数，一般取直线的斜率，①当两条弦中一条斜率为0当两弦斜率均存在且不为0时，理，1)(1)．所以2222)12(14(34kk k+=++【解】（12分6分（2）① 当两条弦中一条斜率为0时，另一条弦的斜率不存在，7分 ② 当两弦斜率均存在且不为010分12分16分考点：椭圆的方程及椭圆与直线的位置关系．19（1（2若不存在，说明理由．【答案】（1（2【解析】试题分析：（1）根据函数极值求参数，不要忘记列表检验.因为导数为零的点不一定是极值点.符合题意；（2）由值域范围确定解析式中参数范围，是函数中难点.主要用到分类讨论的思想方法.（Ⅱ）两式相除设增，减，此时【解】（12分5分（2 7分① 9分11分②13分16分 考点：导数在研究函数上的应用20．各项均为正数的数列{a n}a+（1{b n }是等比数列； （2【答案】（1）详见解析，（2．【解析】试题分析：（1）数列{bn}式，时，②，①-②，得即，，化简得或．因为数列{an}的各项均为正数，所． （2）由（12项开始依次递减．当以时，，即．令)，则1即存在满足题设的（*）式不成立．【解】（12分①②①-， 4分因为数列{an}．所以数列{bn}是等比数列． 6分（2）由（1*）2项开始依次递减． 8分（*． 13分（*）式不成立．． 16分（注：列举出一组给2分，多于一组给3分）考点：数列的通项公式、前n项和21．求【答案】详见解析【解析】因3分分10分（第21—A题）考点：三角形相似问题22．试求【解析】试题分析：解决矩阵问题，关键在于对应.所分10分考点：矩阵与曲线变换23．P（0，1），若直线【答案】1【解析】试题分析：利用直线的参数方程的几何意义，可简便解决有关线段乘积问题.5分（只要代入即可，没有整理成一般形式也可以）10分考点：直线的参数方程24【答案】详见解析【解析】试题分析：利用分析法或作差法证明不等式. 即5分10分考点：不等式相关知识25F（1，0）（1（2【答案】（1（2）详见解析. 【解析】试题分析：（1）求动点轨迹方程，分四步。
高三数学月考试题及答案-南通第一中学2014—2015学年度第一学期高三阶段考试
江苏省南通第一中学2014—2015学年度第一学期阶段考试卷高三数学一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分.请把答案填写在答题卡相应的位置．．．．．．．．上．.1．设集合{A =，{}B a =，若B A ⊆，则实数a 的值为___▲___． 2．设复数z 满足（i 为虚数单位），则=___▲___．3．若命题“存在R ，使x 2+2x +m ≤0”是假命题，则实数m 的取值范围是___▲_ _．4．设向量(2,1)x -，(1,4)x +，则“3x =”是“∥”的___▲___的条件．（从“充分不必要”,“必要不充分”,“充要”,“既不充分也不必要”中选出符合题意的一个填空）5．函数f (x )＝x －ln x 的单调递减区间为 ▲ ． 6．已知函数 （）的部分图象如下图所示，则的函数解析式为 ▲ ．7．已知函数的导数()f x '＝a (x ＋1)(x －a )，若f (x )在x ＝a 处取到极大值，则实数a 的取值范围是 ▲ ．8．已知实数,x y 满足1310x y x y -⎧⎪⎨⎪-⎩≥≤≤+，则222x y x -+的最小值是 ▲ ．9．设等比数列{a n }的前n 项和为S n (n ∈N*)．若S 3，S 9，S 6成等差数列，则 a 8a 2＋a 5的值是 ▲ ． 10．设P是函数1)y x +图象上异于原点的动点，且该图象在点P 处的切线的倾斜角为θ，则θ的取值范围是 ▲ ．i 12i z =+||z x ∈(x ==-a b ,1),(3,x ==-a b a b ()cos ()f x A x ωϕ=+0,0,2A πωϕ>><)(xf ()f x11．在直角三角形中，90,2,ACB AC BC ∠=== 点是斜边上的一个三等分点，则 ▲ ．12．已知函数3[0,1]()93,(1,3]22x x f x x x ⎧, ∈⎪=⎨- ∈⎪⎩，当[0,1]m ∈时，(())[0,1]f f m ∈，则实数m 的取值范围是 ▲ ．13．已知直线2y ax =+与圆22230x y x ++-=相交于A 、B 两点，点00(,)P x y 在直线2y x =上，且PA PB =，则0x 的取值范围为 ▲ ．14．给出定义，若11(,]22x m m ∈-+（其中m 为整数），则m 叫做与实数x “亲密的整数”，记作{}x m =，在此基础上给出下列关于函数(){}f x x x =-的四个命题：①函数()y f x =是周期函数，最小正周期为1；②函数()y f x =在开区间(0,1)是增函数；③函数()y f x =的图象关于直线2kx =（k ∈Z ）对称； ④当(0,2]x ∈时，函数()()ln g x f x x =-有两个零点． 其中正确命题的序号是 ▲ ．（写出所有正确命题的序号）二、解答题：本大题共6小题，共计90分，请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明或演算步骤. 15．（本小题满分14分）设命题p ：关于x 的不等式12x a -⋅≥0在(,0]x ∈-∞上恒成立；命题q ：函数2lg()y ax x a =-+的定义域是实数集R ．如果命题p 和q 有且仅有一个正确，求实数a的取值范围．16．（本小题满分14分）在中，分别为角的对边，，且. （1）求角的大小；（2）求的取值范围．17．（本小题满分15分）如图，有一块边长为2（百米）的正方形区域ABCD ，在点A 处有一个可转动的探照灯，其照射角∠P AQ 始终为45°（其中点P ，Q 分别在边BC ，CD 上），设∠P AB ＝θ，tan θ＝t ．（1）用t 表示出PQ 的长度，并探求△CPQ 的周长l 是否为定值；（2）问探照灯照射在正方形ABCD 内部区域的面积S 至多为多少（平方百米）？18．（本小题满分15分）若半径为r 的圆C ：220x y Dx Ey F ++++=的圆心C 到直线l ：0Dx Ey F ++=的距离为d ，其中222D E F +=，且0F >． （1）求F 的范围； （2）求证：22d r -为定值；（3）是否存在定圆M ，使得圆M 既与直线l 相切又与圆C 相离？若存在，请求出定圆M 的方程，并给出证明；若不存在，请说明理由．19．（本小题满分16分）已知函数f (x )＝mx 2－x ＋ln x ．ABC ∆,,a b c ,,A B C 1sin(2)22C π-=222a b c +<C a bc+（1）当m ＝－1时，求f (x )的最大值；（2）若在函数f (x )的定义域内存在区间D ，使得该函数在D 上为减函数，求实数m 的取值范围；（3）当m ＞0时，若曲线C ：y ＝f (x )在点x ＝1处的切线l 与C 有且只有一个公共点，求m 的值．20．（本小题满分16分）在数列中，，且对任意的k ∈*N ，成等比数列，其公比为． （1）若= 2（k ∈*N ），求13521k a a a a -++++；（2）若对任意的k ∈*N ，,,成等差数列，其公差为，设． ① 求证：成等差数列，并指出其公差； ②若=2，试求数列的前项的和．江苏省南通第一中学2013—2014学年度第一学期阶段考试{}n a 11a =21221,,k k k a a a -+k q k q k a 212+k a 22+k a k d 11k k b q =-{}k b 1d {}k d k k D高三数学参考答案一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分.请把答案填写在答题卡相应的位置．．．．．．．．上．.1．0 23．(1,)+∞ 4．充分不必要 5．(0,1) 6．7．(－1,0) 8．1 9． 10． ⎣⎡⎭⎫π3，π2 11．4 12．37[log ,1]3 13．3(1,0)(0,)5- 14．①③④二、解答题：本大题共6小题，共计90分，请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明或演算步骤.15．解：若命题p 为真，即1()2x a ≤在(],0x ∈-∞上恒成立，∴ 1a ≤． ……………5分若命题q 为真，即20ax x a -+>在R 上恒成立，①若0a =，则 0x ->在R 上恒成立，显然不可能，舍去； ②若0a ≠，则2140a a >⎧⎨∆=-<⎩，解得12a >． ………………………10分∵ 命题p 和q 有且仅有一个正确，∴ p 真q 假或者p 假q 真， ……………………12分而由p 真q 假，可得12a ≤；由p 假q 真，可得1a >， 综上可得，所求a 的取值范围为()1,1,2⎛⎤-∞+∞ ⎥⎝⎦． ………………………14分16．解：（1）（法一）因为，由余弦定理得，222cos 02a b c C ab+-=<，所以∠C 为钝角． ………………………2分因为，32222C πππ<-<，所以5226C ππ-=，解得23C π∠=． 6分（法二）因为，由余弦定理得，222cos 02a b c C ab+-=<，所以∠C 为钝角． 2分所以22C ππ<<，又cos 2sin(22C C π=--)，所以1cos 22C =-，解得423C π=，即23C π∠=． ………………………6分（2）（法一）由（1）得，,033B A A ππ∠=-∠ <<，根据正弦定理得，3cos()24x y π=+12222a b c +<1sin(2)22C π-=222a b c +<sin sin()sin sin 3sin sin A A a b A B c C Cπ+-++== ………………………8分1sin )])23A A A A π=+-=+， ………………………11分因为2333A πππ<+<sin()13A π<+≤， 从而a b c +的的取值范围是(1,3． ……………………………14分（法二）由（1）得，23C π∠=，根据余弦定理得， 2222222cos3c a b ab a b ab π=+-=++ …………………………8分22223()()()()24a b a b ab a b a b +=+-≥+-=+，所以24(),3a b a b c c ++≤ ≤ ………………………………………11分又,a b a b c c ++>>1，从而a b c +的的取值范围是(1,3． ……………14分17．解：（1）BP ＝t ，CP ＝1－t ，0≤t ≤1，∠DAQ ＝45°－θ，DQ ＝tan(45°－θ)＝1－t1＋t， (2)分CQ ＝1－1－t 1＋t ＝2t1＋t，PQ ＝CP 2＋CQ 2＝＝1＋t 21＋t ，………………………………5分所以△CPQ 的周长l ＝CP ＋CQ ＋PQ ＝1－t ＋2t 1＋t ＋1＋t21＋t＝1－t ＋1＋t ＝2，故△CPQ 的周长l 为定值． (8)分（2）S ＝S 正方形ABCD －S △ABP －S △ADQ ＝1－t 2－12×1－t 1＋t (11)分＝2－12⎝⎛⎭⎫t ＋1＋2t ＋1≤2－2，当且仅当t ＝2－1时，取等号． …………………………………………14分答：探照灯照射在正方形ABCD 内部区域的面积S 至多为2－2(平方百米)．…………………………………………15分 18．解：（1）因为，又，且， 所以且，解得． …………………………………………4分（2）易得圆的圆心，半径， 圆心到直线的距离， 所以． …………………………………………8分（3）存在定圆：满足题意， …………………………………………9分下证之：1 因为M (0，0)到直线1R ==，所以圆与直线相切；2 因为F CM =，且11R +， 事实上，，故1CM R >+，所以圆与圆相离．由1，2得，存在定圆：满足题意． ………………………………15分19．解：（1）当m ＝－1时f (x )＝－x 2－x ＋ln x ，定义域为(0，＋∞)，因为f ′(x )＝－2x －1＋1x ＝－(21)(1)x x x-+，所以当0＜x ＜12，f ′(x )＞0；当x ＞12，f ′(x )＜0，因此当x ＝12 时，f (x )max ＝f ⎝⎛⎭⎫12＝－34－ln 2． ………………………………4分（2）f ′(x )＝2mx －1＋1x ＝2mx 2－x ＋1x，即2mx 2－x ＋1≤0在(0，＋∞)上有解，①当m ≤0显然成立；②m ＞0时，由于对称轴x ＝14m ＞0，故Δ＝1－8m ≥0⇒m ≤18，所以0＜m ≤18，而当m = 18 时，2×18x 2－x ＋1=（12x ）2－x ＋1=（12x －1）2≥0在(0，＋∞)上恒成立，不适合题意， ………………………………8分综上，m 的取值范围是m ＜18． (9)分(3)因为f (1)＝m －1，f ′(1)＝2m ，所以切线方程为y －m ＋1＝2m (x －1)，即y ＝2mx －m －1 从而方程mx 2－x ＋ln x ＝2mx －m －1在(0，＋∞)上只有一解． 令g (x )＝mx 2－（1＋2m ）x ＋ln x ＋m ＋1，则224+>D E F 222D E F +=0F >24,>F F 0F >4>F C ()D E C --, rC l 22F d-==2222212F d r --=-=M 221x y +=l M l ()2241140224F F F F -⇔->⇔>M C M 221x y +=g ′(x )＝2mx －（1＋2m ）＋1x ＝(21)(1)mx x x --， (11)分所以①当m ＝12，g ′(x )≥0所以y ＝g (x )在x ∈(0，＋∞)单调递增，且g (1)＝0，所以mx 2－x ＋ln x ＝2mx －m －1只有一解．②当0＜m ＜12，x ∈(0,1)，g ′(x )＞0；x ∈⎝⎛⎭⎫1，12m ，g ′(x )＜0；x ∈⎝⎛⎭⎫12m ，＋∞，g ′(x )＞0， 由g (1)＝0及函数单调性可知g ⎝⎛⎭⎫12m ＜0，因为g (x )＝mx ⎝⎛⎭⎫x －⎝⎛⎭⎫2＋1m ＋m ＋ln x ＋1，取x ＝2＋1m，则g ⎝⎛⎭⎫2＋1m ＞0， 因此在⎝⎛⎭⎫12m ，＋∞方程mx 2－x ＋ln x ＝2mx －m －1必有一解从而不符题意； ③当m ＞12，x ∈⎝⎛⎭⎫0，12m ，g ′(x )＞0；x ∈⎝⎛⎭⎫12m ，1，g ′(x )＜0；x ∈(1，＋∞)，g ′(x )＞0 同理在⎝⎛⎭⎫0，12m 方程mx 2－x ＋ln x ＝2mx －m －1必有一解，不符题意， 综上所述m ＝12. …………………………………………16分20．解：（1）因为= 2，所以21214k k a a +-=，故13521,,,,k a a a a -是首项为1，公比为4的等比数列，所以13521141(41)143k kk a a a a --++++==--， ………………………4分（2）①因为,,成等差数列，所以2=+， 而21222211,k k k k k k a a a a q q ++++= =⋅，所以112k k q q ++=，即111k k k q q q +--=， …………7分 得1111111k k k k q q q q +==+---，即111111k k q q +-=--，所以11k k b b +-=， 所以成等差数列，且公差为1． ………………………………………………9分②因为=2，所以，则由223212a a a =⨯=+，解得22a =或21a =-， ……………10分当22a =时，q 1= 2，所以b 1=1，则b k =1+（k —1）= k ，即11k k q =-，得1k k q k +=，所以221211)k k a k a k+-+=(， 则2222212132112123112)))11)11k k k k k a a a k k a a k a a a k k +-+--+=⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅=(⋅(⋅⋅⋅⋅⋅(⋅=(+-，……………12分k q k a 212+k a 22+k a 12+k a k a 222+k a {}k b 1d则2212(1)(1)1k k ka k a k k k q k++===++， 所以2121k k k d a a k +=-=+，故(3)2k k k D +=， ……………………………………14分当21a =-时，q 1= -1，所以b 1=12-，则b k =12-+（k —1）= k 32-，即1312k k q =--，得12123232k k k q k k --==--，所以2212121)23k k a k a k +--=(-， 则2222212132112123121231)))11)23251k k k k k a a a k k a a k a a a k k +-+----=⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅=(⋅(⋅⋅⋅⋅⋅(⋅=(2----， 所以2212(21)(21)(23)2123k k ka k a k k k q k +-===----， 则21242k k k d a a k +=-=-，故22k D k =，综上所述，(3)2k k k D +=或22k D k =． (16)分。
江苏省南通市第一中学2014-2015学年高三上学期10月阶段测试(月考) 数学(理) Word版含解析(苏教版)
2014—2015学年度第一学期江苏省南通第一中学高三阶段考试数学试题注意事项：本试卷分试题和答卷两部分，共160分，考试时间为120分钟．一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案直接填写在答题卡相应位置上．．．．．．．．． 1． 已知集合U ＝{2,3,6,8}，A ＝{2,3}，B ＝{2,6,8}，则(∁U A )∩B ＝ ▲ ． 2． 命题“若x ，y 都是偶数，则x ＋y 也是偶数”的逆否命题是 ▲ ． 3．函数()f x =的定义域是 ▲ ．4． 若a ＝30.6，b ＝log 30.2，c ＝0.63，则a 、b 、c 的大小关系为 ▲ ．（从大到小排列） 5． 函数y ＝x e x 的最小值是 ▲ ．6． 已知U ＝R ，集合A ＝{x |x 2－x －2＝0}，B ＝{x |mx ＋1＝0}，B ∩(∁U A )＝∅，则m ＝ ▲ ． 7． 已知命题p ：“∃x ∈R ，使得x 2＋2ax ＋1＜0成立”为真命题，则实数a 的取值范围是 ▲ ． 8．已知函数()f x =的值域是[)0+∞，则实数m 的取值范围是 ▲ ．9． 已知函数f (x )＝ax 3＋b sin x ＋4(a ，b ∈R )，f (lg(log 210))＝5，则f (lg(lg 2))＝ ▲ ．10．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧(1－3a )x ＋10a ，x ≤7，a x －7，x >7是定义域R 上的递减函数，则实数a 的取值范围是 ▲ ．11．函数f (x )是定义在[－4,4]上的偶函数，其在[0,4]上的图象如图所示，那么不等式f (x )cos x <0的解集为 ▲ ．12．已知函数y ＝f (x )(x ∈R )满足f (x ＋2)＝f (x )，且当x ∈[－1,1]时，f (x )＝|x |，函数g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧sin (πx )，x ＞0，－1x，x ＜0，则函数h (x )＝f (x )－g (x )在区间[－5,5]上的零点的个数为 ▲ ．13．将一个长宽分别是a ，b (0<b <a )的铁皮的四角切去相同的正方形，然后折成一个无盖的长方体的盒子，若这个长方体的外接球的体积存在最小值，则ab的取值范围是 ▲ ．14．设a ＞0，函数2(),()ln a f x x g x x x x=+=-，若对任意的x 1，x 2∈[1,e ]，都有12()()f x g x ≥成立，则实数a 的取值范围是 ▲ ．二、解答题：本大题共6小题，共90分．请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答. 解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．（本小题14分）已知集合A ＝{y |y ＝2x －1,0＜x ≤1}，B ＝{x |(x －a )[x －(a ＋3)]＜0}．分别根据下列条件，求实数a 的取值范围． (1)A ∩B ＝A ；(2)A ∩B ≠∅. 16．（本小题14分）已知二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋1(a >0)，F (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧f (x )，x >0，－f (x )，x <0.若f (－1)＝0，且对任意实数x 均有f (x )≥0成立． (1)求F (x )的表达式；(2)当x ∈[－2,2]时，g (x )＝f (x )－k x 是单调函数，求k 的取值范围．17．A,B 两地相距S 千米，要将A 地所产汽油运往B 地．已知甲、乙二型运油车行驶S 千米的耗油量（不妨设空载时，满载时相同）分别为各自满载油量的11,1514，且甲型车的满载油量是乙型车的56，今拟在A,B 之间设一运油中转站C ，由从A 出发，往返于A,C 之间的甲型车将A 处的汽油运至C 处，再由从C 出发，往返于C,B 之间的乙型车将C 处收到的汽油运至B 处．若C 处收到的汽油应一次性运走，且各辆车的往返耗油从各自所载汽油中扣除，问C 地设在何处，可使运油率最大？此时，甲、乙二型汽车应如何配备？（运油率精确到1%，运油率=B 处收到的汽油A 处运出的汽油×100%） 18．（本小题16分）已知定义域为R 的函数()122x x af x b+-+=+是奇函数，（1）求,a b 的值；( 2) 判断并证明函数()f x 的单调性；（3）若对任意的t ∈R ，不等式()()22220f t f t k -+-<恒成立，求k 的取值范围.19．（本小题16分）已知函数()2f x x x a x =-+．（1）若函数()f x 在R 上是增函数，求实数a 的取值范围；（2）求所有的实数a ，使得对任意[1,2]x ∈时，函数()f x 的图象恒在函数()21g x x =+图象的下方；（3）若存在[4,4]a ∈-，使得关于x 的方程()()f x t f a =有三个不相等的实数根，求实数t 的取值范围．20．（本小题16分）已知函数f (x )＝sin x －x cos x 的导函数为f ′(x )． (1)求证：f (x )在(0，π)上为增函数；(2)若存在x ∈(0，π)，使得f ′(x )＞12x 2＋λx 成立，求实数λ的取值范围；(3)设F (x )＝f ′(x )＋2cos x ，曲线y ＝F (x )上存在不同的三点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，C (x 3，y 3)， x 1＜x 2＜x 3，且x 1，x 2，x 3∈(0，π)，比较直线AB 的斜率与直线BC 的斜率的大小，并证明．_____________________________________________________________________________________命题、校对、制卷： 吴勇贫 审核：吴勇贫江苏省南通第一中学2015届高三阶段考试理科数学答案1. 解析 由集合的运算，可得(∁U A )∩B ＝{6,8}∩{2,6,8}＝{6,8}．答案 {6,8}2．解析 由于“x ，y 都是偶数”的否定表达是“x ，y 不都是偶数”，“x ＋y 是偶数”的否定表达是“x ＋y 不是偶数”，故原命题的逆否命题为“若x ＋y 不是偶数，则x ，y 不都是偶数”． 答案 若x ＋y 不是偶数，则x 、y 不都是偶数 3． {0}∪[1,+∞)；4． 解析 30.6＞1，log 30.2＜0,0＜0.63＜1，所以a ＞c ＞b .答案 a ＞c ＞b5． 解析 y ′＝e x ＋x e x ＝(1＋x )e x ，令y ′＝0，则x ＝－1，因为x ＜－1时，y ′＜0，x ＞－1时，y ′＞0，所以x ＝－1时，y min ＝－1e .答案 －1e6．答案0,1，－12；7． 解析 “∃x ∈R ，x 2＋2ax ＋1＜0”是真命题，即不等式x 2＋2ax ＋1＜0有解，∴Δ＝(2a )2－4＞0，得a 2＞1，即a ＞1或a ＜－1. 答案 (－∞，－1)∪(1，＋∞)8．[][)0,19,+∞，试题分析：由题意得：函数2(3)1y mx m x =+-+的值域包含[)0,+∞， 当m ＝0时，31[0,),y x =-+∈⊃+∞R 满足题意；当0m ≠时，要满足值域包含[)0,+∞，需使得0,0.m >∆≥即9m ≥或01m <≤， 综合得：实数m 的取值范围是[][)0,19,+∞.9．解析 ∵f (x )＝ax 3＋b sin x ＋4，①∴f (－x )＝a (－x )3＋b sin(－x )＋4， 即f (－x )＝－ax 3－b sin x ＋4，② ①＋②得f (x )＋f (－x )＝8，③又∵lg(log 210)＝lg ⎝⎛⎭⎫1lg 2＝lg(lg 2)－1＝－lg(lg 2)， ∴f (lg(log 210))＝f (－lg(lg 2))＝5，又由③式知f (－lg(lg 2))＋f (lg(lg 2))＝8， ∴5＋f (lg(lg 2))＝8，∴f (lg(lg 2))＝3. 答案 310．解析 ∵函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧(1－3a )x ＋10a ，x ≤7，a x －7，x >7是定义域上的递减函数，∴⎩⎪⎨⎪⎧1－3a <0，0<a <1，(1－3a )×7＋10a ≥a 0，即⎩⎪⎨⎪⎧1－3a <0，0<a <1，7－11a ≥1，解得13<a ≤611.答案 ⎝⎛⎦⎤13，61111．解析 当x ∈(0,1)时，cos x >0，f (x )>0；当x ∈⎝⎛⎭⎫1，π2时，cos x >0，f (x )<0； 当x ∈⎝⎛⎭⎫π2，4时，cos x <0，f (x )<0，当x ∈(－1,0)时，cos x ＞0，f (x )＞0；当x ∈⎝⎛⎭⎫－π2，－1时，cos x ＞0，f (x )＜0； 当x ∈⎝⎛⎭⎫－4，－π2时，cos x ＜0，f (x )＜0. 故不等式f (x )cos x <0的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪－π2<x <－1，或1<x <π2. 答案 ⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |－π2＜x ＜－1，或1＜x ＜π212．解析 函数y ＝f (x )(x ∈R )满足f (x ＋1)＝－f (x )，故f (x ＋2)＝－f (x ＋1)＝－[－f (x )]＝f (x )，即函数f (x )的周期为2，作出x ∈[－1,1]时，f (x )＝|x |的图象，并利用周期性作出函数f (x )在[－5,5]上的图象，在同一坐标系内再作出g (x )在[－5,5]上的图象，由图象可知，函数f (x )与g (x )的图象有9个交点，所以函数h (x )＝f (x )－g (x )在区间[－5,5]上的零点的个数为9.答案 913．解析 设切去正方形的边长为x ，x ∈⎝⎛⎭⎫0，b 2，则该长方体外接球的半径为r 2＝14[(a －2x )2＋(b －2x )2＋x 2]＝14[9x 2－4(a ＋b )x ＋a 2＋b 2]，在x ∈⎝⎛⎭⎫0，b 2存在最小值时，必有0<2(a ＋b )9<b 2，解得a b <54，又0<b <a ⇒a b >1，故ab 的取值范围是⎝⎛⎭⎫1，54. 14．答案)+∞．15．解 因为集合A 是函数y ＝2x －1(0＜x ≤1)的值域，所以A ＝(－1,1]，B ＝(a ，a ＋3)．…………………………4分(1)A ∩B ＝A ⇔A ⊆B ⇔⎩⎪⎨⎪⎧a ≤－1，a ＋3＞1，即－2＜a ≤－1，故当A ∩B ＝A 时，a 的取值范围是(－2，－1]．……………………7分 (2)当A ∩B ＝∅时，结合数轴知，a ≥1或a ＋3≤－1，即a ≥1或a ≤－4. …………12分 故当A ∩B ≠∅时，a 的取值范围是(－4,1). …………………14分16．解 (1)∵f (－1)＝0，∴a －b ＋1＝0，∴b ＝a ＋1，……………………2分 ∴f (x )＝ax 2＋(a ＋1)x ＋1.∵对任意实数x 均有f (x )≥0恒成立， ∴⎩⎪⎨⎪⎧ a ＞0，Δ＝(a ＋1)2－4a ≤0，∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＞0，(a －1)2≤0.………………4分 ∴a ＝1，从而b ＝2，∴f (x )＝x 2＋2x ＋1， ………………6分∴F (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋2x ＋1，x ＞0，－x 2－2x －1，x ＜0. ………………8分(2)g (x )＝x 2＋2x ＋1－k x ＝x 2＋(2－k )x ＋1. ∵g (x )在[－2,2]上是单调函数， ∴k －22≤－2或k －22≥2，………………12分解得k ≤－2或k ≥6. ………………14分 故k 的取值范围是(－∞，－2]∪[6，＋∞). 17．解：设AC ＝l （千米），0＜l ＜S ，则CB ＝S －l （千米），设甲型车满车载油量为a 吨，则乙型车满车载油量为65a 吨．…………2分一辆甲型车往返一次，C 地收到的汽油为12(1)15la S -⋅吨，一辆乙型车往返一次，B 地收到的汽油为1212()(1)[1]1514l S l a S S--⋅⨯-⋅吨．………6分故运油率21(1)(1)261157(1)()1577l S l a l l S S y a S S--⋅⨯-⋅==-⋅+⋅ 2216()105357l l S S =-+⋅+． …………8分 当1335242()105l S =-=-时，y 有最大值，max 24387%280y =≈． …………10分 此时一辆甲型车运到C 处的汽油量为910a 吨，设甲、乙二型车各x 、y 辆，则有96105a x a y ⋅=⋅，所以43x y =． …………12分答：C 地设在靠近B 地的四分之一处，可使运油率最大，此时甲、乙二型车数量之比为4:3．………………………………………………14分18．解：（1）()(),f x f x -=-112222x x x x a ab b--++-+-∴=++，()()()()112222x x x x b a b a -+-∴+-=+-,42222222x x x x ab b a a b --∴-+⋅-⋅=⋅-⋅4201222ab a b ab a b-=⎧=⎧⎪=⇒⎨⎨=⎩⎪=⎩. 4分 （2）因为()11212xf x =-++，所以()y f x =是单调递减的.证明：设12,x x <()()()()211212221212x x x x f x f x --=++,因为12,x x <所以21220,x x ->从而()()12f x f x >，所以()y f x =在R 上是单调递减的. 10分（3）()()2222,f t f t k -<--又()f x 是奇函数，∴()()2222,f t f k t -<-又()f x 是减函数，∴2222t k t ->-，即232,k t <-∴ 2.k <- 16分19．解：（1）22(2),,()2(2),,x a x x a f x x x a x x a x x a ⎧+-⎪=-+=⎨-++<⎪⎩≥由()f x 在R 上是增函数，则2,22,2a a a a -⎧-⎪⎪⎨+⎪⎪⎩≥≤即22a -≤≤，则a 范围为22a -≤≤；…4分 （2）由题意得对任意的实数[1,2]x ∈，()()f x g x <恒成立，即1x x a -<，当[1,2]x ∈恒成立，即1x a x -<，11x a x x-<-<，11x a x x x -<<+，故只要1x a x-<且1a x x <+在[1,2]x ∈上恒成立即可，在[1,2]x ∈时，只要1x x -的最大值小于a 且1x x+的最小值大于a 即可，而当[1,2]x ∈时，21110x x x '⎛⎫-=+> ⎪⎝⎭，1x x -为增函数，max 132x x ⎛⎫-= ⎪⎝⎭；当[1,2]x ∈时，21110x x x '⎛⎫+=-> ⎪⎝⎭，1x x +为增函数，min 12x x ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，所以322a <<；（3）当22a -≤≤时，()f x 在R 上是增函数，则关于x 的方程()()f x t f a =不可能有三个不等的实数根； 则当(2,4]a ∈时，由22(2),,()(2),x a x x a f x x a x x a⎧+-⎪=⎨-++<⎪⎩≥得x a ≥时，2()(2)f x x a x =+-对称轴22a x a -=<，则()f x 在[,)x a ∈+∞为增函数，此时()f x 的值域为[(),)[2,)f a a +∞=+∞，x a <时，2()(2)f x x a x =-++对称轴22a x a +=<，则()f x 在2,2a x +⎛⎤∈-∞ ⎥⎝⎦为增函数，此时()f x 的值域为2(2),4a ⎛⎤+-∞ ⎥⎝⎦， ()f x 在2,2a x a +⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭为减函数，此时()f x 的值域为2(2)2,4a a ⎛⎤+ ⎥⎝⎦；由存在(2,4]a ∈，方程()()2f x t f a ta ==有三个不相等的实根，则2(2)22,4a ta a ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，即存在(2,4]a ∈，使得2(2)1,8a t a ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭即可，令2(2)14()488a g a a a a +⎛⎫==++⎪⎝⎭， 只要使()max ()t g a <即可，而()g a 在(2,4]a ∈上是增函数，()max 9()(4)8g a g ==， 故实数t 的取值范围为91,8⎛⎫ ⎪⎝⎭； 同理可求当[4,2)a ∈--时，t 的取值范围为91,8⎛⎫⎪⎝⎭；综上所述，实数t 的取值范围为91,8⎛⎫⎪⎝⎭．20．解 (1)证明：f′(x )＝x sin x ，当x ∈(0，π)时，sin x ＞0，所以f′(x )＞0恒成立，所以f (x ) 在(0，π)上单调递增．………………………………4分(2)因为f′(x )＞12x 2＋λx ，所以x sin x ＞12x 2＋λx ．当0＜x ＜π时，λ＜sin x －12x ． ………………………………6分设φ(x )＝sin x －12x ，x ∈(0，π)，则φ′(x )＝cos x －12．当0＜x ＜π3时，φ′(x )＞0；当π3＜x ＜π时，φ′(x )＜0．于是φ (x )在(0，π3)上单调递增，在 (π3，π)上单调递减，…………………………8分所以当0＜x ＜π时，φ(x )max ＝g (π3)＝32－π6因此λ＜32－π6． ………………………………10分(3)由题意知只要判断F (x 3)－F (x 2)x 3－x 2＜F (x 2)－F (x 1)x 2－x 1的大小．首先证明：F (x 3)－F (x 2)x 3－x 2＜F′(x 2)．由于x 2＜x 3，因此只要证：F (x 3)－F (x 2)＜(x 3－x 2) F′(x 2)．………………………………12分 设函数G (x )＝F (x )－F (x 2)－(x －x 2) F′(x 2)( x 2＜x ＜π)，因为F ′(x )＝x cos x －sin x ＝－f (x )，所以G′(x )＝F′(x )－F′(x 2)＝f (x 2)－f (x )， 由（1）知f (x )在(0，π)上为增函数，所以G′(x )＜0． 则G (x )在(x 2，π)上单调递减，又x ＞x 2，故G (x )＜G (x 2)＝0．而x 2＜x 3＜π，则G (x 3)＜0，即F (x 3)－F (x 2)－(x 3－x 2) F′(x 2)＜0，即F (x 3)－F (x 2)＜(x 3－x 2) F′(x 2)．从而F (x 3)－F (x 2)x 3－x 2＜F′(x 2)得证． ………………………………14分同理可以证明：F′(x 2)＜F (x 2)－F (x 1)x 2－x 1．因此有F (x 3)－F (x 2)x 3－x 2＜F (x 2)－F (x 1)x 2－x 1，即直线AB 的斜率大于直线BC 的斜率．……………16分。
南通市2014届高三一模试卷--数学试题
南通市2014届高三一模试卷--数学试题数学Ⅰ参考答案与评分标准一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案直接填写在答题卡相应位．．．．．．置上．．． 1． 已知集合U ={1，2，3，4，5}，A ={1，2，4}，则U A =ð ▲ ．【答案】{3，5}．2． 已知复数1z 13i =+，2z 3i =+(i 为虚数单位)．在复平面内，12z z -对应的点在第 ▲ 象限．【答案】二．3． 命题：“x ∃∈R ，0x ≤”的否定是 ▲ ．【答案】x ∀∈R ，||0x >．4． 在平面直角坐标系xOy 中，抛物线28y x =上横坐标为1的点到其焦点的距离为 ▲ ．【答案】3．5． 设实数x ，y 满足0 0 3 24 x y x y x y ⎧⎪⎪⎨+⎪⎪+⎩≤≤≥，≥，，，则32z x y =+的最大值是 ▲ ． 【答案】7．6． 如图是一个算法的流程图．若输入x 的值为2，则输出y 的值是 ▲ ．【答案】32-．7． 抽样统计甲，乙两个城市连续5天的空气质量指数(AQI)，数据如下：城市空气质量指数(AQI)第1天 第2天 第3天 第4天 第5天 甲109 111 132 118 110 乙110 111 115 132 112 则空气质量指数(AQI )较为稳定(方差较小)的城市为 ▲ （填甲或乙）． 【答案】乙．8． 已知正三棱锥的侧棱长为1随机选取两条棱，则这两条棱互相垂直的概率是 ▲ ． 【答案】25．9． 将函数()()sin 2f x x ϕ=+()0ϕ<<π的图象上所有点向右平移π6个单位后得到的图象关于原点对称，则ϕ等于 ▲ ．（第6题）【答案】π3．10．等比数列{a n }的首项为2，公比为3，前n 项和为S n ．若log 3［12a n (S 4m +1)］=9，则1n +4m 的最小值是 ▲ ．【答案】52．11．若向量()cos sin αα=，a ，()cos sin ββ=，b ，且2+⋅≤a b a b ，则cos()αβ-的值是 ▲ ．【答案】1．12．在平面直角坐标系xOy 中，直线y x b =+是曲线ln y a x =的切线，则当a ＞0时，实数b 的最小值是 ▲ ．【答案】1-．13．已知集合M ={(,)|3x y x -≤y ≤1}x -，N ={|P PA,(1,0),(1,0)}A B -，则表示M∩N 的图形面积等于 ▲ ．【答案】43π+14．若函数2()2014(0)f x ax x a =++>对任意实数t ，在闭区间[1 1]t t -+，上总存在两实数1x 、2x ，使得12|()()|f x f x -≥8成立，则实数a 的最小值为 ▲ ．【答案】8．二、解答题：本大题共6小题，共90分．请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答. 解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．(本小题满分14分)如图，在四棱柱1111ABCD A B C D -中，//AB CD ，1AB BC ⊥，且1AA AB =． （1）求证：AB ∥平面11D DCC ；（2）求证：1AB ⊥平面1A BC ．（1）证明：在四棱柱1111ABCD A B C D -中，//AB CD ，AB ⊄平面11D DCC ， CD ⊂平面11D DCC ，所以//AB 平面11D DCC ． ……………………………………………………………………6分（2）证明：在四棱柱1111ABCD A B C D -中，四边形11A ABB 为平行四边形，又1AA AB =，A 1B 11CDABD 1（第15题）故四边形11A ABB 为菱形． 从而11AB A B ⊥．…………………………………………………………………………… 9分又1AB BC ⊥，而1A B BC B =，1 A B ，BC ⊂平面1A BC ，所以1AB ⊥平面1A B C． ………………………………………………………………… 14分 16．(本小题满分14分)在△ABC 中，a ，b ，c 分别为角A ，B ，C 所对的边长，且c =－3b cos A ，tan C =34．（1）求tan B 的值；（2）若2c =，求△ABC 的面积．（1）解：由正弦定理，得sin 3sin cos C B A =-，………………………………………………2分即sin()3sin cos A B B A +=-． 所以sin cos cos sin 3sin cos A B A B B A +=-． 从而sin cos 4sin cos A B B A =-．因为c o A B ≠，所以tan 4tan A B=-．……………………………………………………4分又tan tan tan tan()A B C A B +=-+=，由（1）知，23tan 344tan 1B B =+， 解得1ta 2B =．………………………………………………………………………………6分（2）解：由（1），得sin A =sin B 3sin 5C =． ………………………………10分由正弦定理，得sin sin 3c A a C ===12分 所以△ABC 的面积为114sin 2223ac B ==． ………………………………14分 17．(本小题满分14分)已知a 为实常数，y =f (x )是定义在(－∞，0)∪(0，+∞)上的奇函数，且当x <0时，f (x )=2x －a 3x2+1．（1）求函数f (x )的单调区间；（2）若f (x )≥a －1对一切x ＞0成立，求a 的取值范围．（1）解：由奇函数的对称性可知，我们只要讨论f (x )在区间(－∞，0)的单调性即可．f′(x )＝2＋2a 3x 3，令f′(x )＝，得x＝－a ． …………………………………………………2分①当a ≤0时，f ′(x )＞0，故f (x )在区间(－∞，0)是单调递增． ………………………4分②当a ＞0时，x ∈(－∞，－a )，f ′(x )＞0，所以f (x )在区间(－∞，－a )是单调递增．x ∈(－a ，0)，f ′(x )＜0，所以f (x )在区间(－a ，0)是单调减．………………………6分综上所述：当a ≤0时，f (x )单调增区间为(－∞，0)，(0，+∞)；当a ＞0时，f (x )单调增区间为(－∞，－a )，(a ，+∞)，单调减区间为(－a ，0)，(0，a )．…………………… 7分 （2）解：因为f (x )为奇函数，所以当x ＞0时，f (x )＝－f (－x )＝－(－2 x －a 3x 2＋1)＝2x ＋ a 3x2－1． …………………… 9分①当a ＜0时，要使f (x )≥a －1对一切x ＞0成立，即2x ＋ a 3x2≥a 对一切x ＞0成立．而当x ＝－a2＞0时，有－a +4a ≥a ，所以a ≥0，则与a ＜0矛盾．所以a ＜0不成立．………………………………………………………………………11分②当a ＝0时，f (x )＝2x －1＞－1=a －1对一切x ＞0成立，故a ＝0满足题设要求．…12分③当a ＞0时，由(1)可知f (x )在(0，a )是减函数，在(a ，+∞)是增函数． 所以f min (x )=f (a )＝3a －1＞a －1，所以a ＞0时也满足题设要求． …………………13分综上所述，a 的取值范围是[0+∞．…………………………………………………… 14分 18．(本小题满分16分)如图，一块弓形薄铁片EMF ，点M 为EF 的中点，其所在圆O 的半径为4 dm （圆心O 在弓形EMF 内），∠EOF =23π．将弓形薄铁片裁剪成尽可能大的矩形铁片ABCD (不计损耗)， AD ∥EF ，且点A 、D 在EF 上，设∠AOD =2θ． （1）求矩形铁片ABCD 的面积S 关于θ的函数关系式； （2）当矩形铁片ABCD 的面积最大时，求cos θ的值．（1）解：设矩形铁片的面积为S ，AOM θ∠=．当03θπ<<时（如图①），4cos 2AB θ=+，24sin AD θ=⨯，()()()4cos 224sin 16sin 2cos 1S AB AD θθθθ=⨯=+⨯=+．…………………………… 3分当32θππ<≤时（如图②），24cos AB θ=⨯，24sin AD θ=⨯， 故64sin cos 32sin 2S AB AD θθθ=⨯==．综上得，矩形铁片的面积S 关于θ的函数关系式为()16sin 2cos 1 0 332sin 2 .32S θθθθθπ⎧+<<⎪=⎨ππ⎪<⎩，，，≤……………………………………………………… 7分（2）解：当03θπ<<时，求导，得 ()()()216cos 2cos 1sin 2sin 164cos cos 2S θθθθθθ'=++-=+-⎡⎤⎣⎦．令0S '=，得31c o s θ= 10分 记区间(0 )3π，0θ（唯一存在）．列表： θ ()00 θ，0θ0( )3πθ，S '+-S 增函数 极大值 减函数又当θππ<≤时，32sin 2S θ=在[ )ππ，上的单调减函数， 所以当θθ=即cos θ=时，矩形的面积最大．………………………………… 16分 19．(本小题满分16分)如图，在平面直角坐标系xOy 中，椭圆22221(0)y x a b a b+=>>过点(1，，又椭圆内接四边形ABCD (点A 、B 、C 、D 在椭圆上)的对角线AC ，BD 相交于点1(1 )4P ，，且2AP PC =，2BP PD =． （1）求椭圆的方程； （2）求直线AB 的斜率．（1）解：依题意，22222 1314. c a a b c a b ⎧=⎪⎪⎪+=⎨⎪⎪=-⎪⎩，解得224 1. a b ⎧⎪⎨⎪⎩=，=所求椭圆的方程为2214x y +=． ………………………………………………………… 6分（2）解：设()11 A x y ，，则221114x y +=．由2AP PC=，得()1133428x y C--，．…………………………………………………… 8分 代入椭圆方程2214x y +=，得()()21213342148x y --+=．整理，得221111319()0216x y x y +-+-，………………………………………………… 10分 即1118x y +=-． ③ …………………………………………… 12分设()22 B x y ，，同理可得2218x y +=-． ④ ……………………………………………14分③-④，得21211y y x x -=--，即直线AB 的斜率为21211y y k x x -==--．…………………… 16分20．(本小题满分16分)已知等差数列{a n }、等比数列{b n }满足a 1+a 2＝a 3，b 1b 2＝b 3，且a 3，a 2+ b 1，a 1+ b 2成等差数列，a 1，a 2，b 2成等比数列．（1）求数列{a n }和数列{b n }的通项公式；（2）按如下方法从数列{a n }和数列{b n }中取项：第1次从数列{a n }中取a 1， 第2次从数列{b n }中取b 1，b 2， 第3次从数列{a n }中取a 2，a 3，a 4， 第4次从数列{b n }中取b 3，b 4，b 5，b 6， ……第2n －1次从数列{a n }中继续依次取2n －1个项， 第2n 次从数列{b n }中继续依次取2n 个项， ……由此构造数列{c n }：a 1，b 1，b 2，a 2，a 3，a 4，b 3，b 4，b 5，b 6，a 5，a 6，a 7，a 8，a 9，b 7，b 8，b 9，b 10，b 11，b 12，…，记数列{c n }的前n 和为S n ．求满足S n ＜22014的最大正整数n ．（1）解：设等差数列{a n }的公差为d ，等比数列{b n }的公比为q ，依题意，得1112111111112111()2 () (2)()2[() ()(). a a d a d b b q b q a d a b q a d b a d a b q ++=+⎧⎪=⎪⎨+++=++⎪⎪+=⎩，，]，解得a 1=d =1，b 1=q =2． 故a n =n ，b n =2n ．…………………………………………………………………………… 6分（2）解：将a 1，b 1，b 2记为第1组，a 2，a 3，a 4，b 3，b 4，b 5，b 6记为第2组，a 5，a 6，a 7，a 8，a 9，b 7，b 8，b 9，b 10，b 11，b 12记为第3组，……以此类推，则第n 组中，有2n －1项选取于数列{a n }，有2 n 项选取于数列{b n }，前n 组共有n 2项选取于数列{a n }，有n 2＋n 项选取于数列{b n }，记它们的总和为P n ，并且有()22211222nn n n n P +++=+-． ………… 11分222014207120144545(451)222202P +-=+-->，2220141981334444(441)22(21)202P +-=---<．当2245(451)2n S +=＋（2＋22＋…＋22012）时，222014201345(451)22202n S +-=--+<．………………………………………………… 13分当2245(451)2n S +=＋（2＋22＋…＋22013)时，22201445(451)2202n S +-=-+>．可得到符合20142n S <的最大的n =452＋2012=4037．…………………………………… 16分数学Ⅱ（附加题）参考答案与评分标准21．【选做题】A．选修4—1：几何证明选讲（本小题满分10分）在△ABC中，已知CM是∠ACB的平分线，△AMC的外接圆交BC于点N，且BN=2AM．求证：AB2=AC．证明：如图，在△ABC中，因为CM是∠ACM的平分线，=所以A CB C Array①……………………………3分又因为BA与BC是圆O过同一点B的割线，所以BM BA BN BC ⋅=⋅，即 BA BN BC BM =，…………………………………… 6分又BN =2AM ，所以2 BA AM =， ②…………………………… 8分由①②，得AB 2=AC ． ………………………10分 B ． 选修4—2：矩阵与变换 （本小题满分10分）设二阶矩阵A ，B 满足11234-⎡⎤=⎢⎥⎣⎦A ，()11001-⎡⎤=⎢⎥⎣⎦BA ，求1-B ． 解：设1a b c d -⎡⎤=⎢⎥⎣⎦B ，因为()111---=BA A B ，………………………………………………… 2分所以100134a b c d ⎡⎤⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦，即220 340 341 a c b d a c b d +=⎧⎪+=⎪⎨+=⎪⎪+=⎩，，，，…………………………………………… 6分 解得2 1 321 2a b c d =-⎧⎪=⎪⎪⎨=⎪⎪=-⎪⎩，，，，所以1213122--⎡⎤⎢⎥=-⎢⎥⎣⎦B ．…………………………………………………… 10分C ．选修4—4：坐标系与参数方程 （本小题满分10分）在极坐标系中，已知曲线C ：2sin =ρθ，过极点O 的直线l 与曲线C 相交于A 、B 两点，AB =，求直线l 的方程．解：设直线l 的方程为0θθ=(ρ∈R )，() 0A 0，，()10 B ρθ，， …………………………………2分则1|0|AB =-=ρ0|2sin |θ．………………………………………………………………… 5分又AB =，故0s i n=θ． …………………………………………………………… 7分 解得03π=θ+2k π或03π=-θ+2k π，k ∈Z ．所以直线l的方程为3π=θ或32π=θ (ρ∈R )． ………………………………………… 10分D ．选修4—5：不等式选讲 （本小题满分10分）已知x ，y ，z 均为正数，求证：111yx z yz zx xy x y z++++≥．证明：因为x ，y ，z 均为正数，所以()12y yx x ++≥≥．………………………………4分同理可得2y z xy zx x+≥，2x z yz xy y+≥． ………………………………………………… 7分 当且仅当x =y =z 均时，以上三式等号都成立．将上述三个不等式两边左，右两边分别相加，并除以2， 得111y x z yz zx xy x y z ++++≥．…………………………………………………………… 10分【必做题】 22．（本小题满分10分）如图，设1P ，2P ，…，6P 为单位圆上逆时针均匀分布的六个点．现任选其中三个不同点构成一个三角形，记该三角形的面积为随机变量S ． （1）求S =的概率；（2）求S 的分布列及数学期望()E S ．解：（1）从六个点任选三个不同点构成一个三角形共有36C种不同选法，其中S 30的直角三角形（如△145P P P ），共6212⨯=种，所以(361235C P S ==． ………………… 3分（2）S．S =的为顶角是120的等腰三角形（如△123P P P ），共6种，所以(366310C P S ===． …………………………………………………… 5分S =的为等边三角形（如△135P P P ），共2种，所以(362110C P S ===．…… 7分又由（1）知(361235C P S ===，故S 的分布列为所以333()10510E S 10分 23．（本小题满分10分）已知1，2，…，n 满足下列性质T 的排列1a ，2a ，…，n a 的个数为()f n （n ≥2，且n ∈N *）． 性质T ：排列1a ，2a ，…，n a 中有且只有一个1i i a a +>（i ∈{1，2，…，1n -}）． （1）求(3)f ； （2）求()f n ． 解：（1）当3n =时，1，2，3的所有排列有(1，2，3)，(1，3，2)，(2，1，3)，(2，3，1)，(3，1，2)，(3，2，1)，其中满足仅存在一个i ∈{1，2，3}，使得1i i a a +>的排列有(1，3，2)，(2，1，3)，(2，3，1)，(3，1，2)，SP 310 35110所以(f =．………………………………………………………………………… 3分（2）在1，2，…，n 的所有排列1(a ，2a ，…，)n a 中，若(11)i a n i n =-≤≤，从1n -个数1，2，3，…，1n -中选1i -个数按从小到大的顺序排列为1a ，2a ，…，1i a -，其余按从小到大的顺序排列在余下位置，于是满足题意的排列个数为11C i n --．……………………………………………………………………… 6分若n a n=，则满足题意的排列个数为(1)f n -．……………………………………… 8分综上，()f n =(1)f n -+1111Cn i n i ---=∑1(1)21n f n -=-+-．从而()33212()(3)(3)2112n n f n n f n --=--+=---． ……………………………… 10分。
2014届江苏高考数学南通一校四题(启东大江中学)
启东市大江中学（一校四题）1.函数)11lg()(22+--++=x x x x x f 的值域为解析：函数的定义域为()+∞,0，1122+--++x x x x =22)230()21(-++x —22)230()21(-+-x 表示)0,(x 到⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-23,21的距离减去)0,(x 到⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛23,21的距离，从而得到1122+--++x x x x )1,0(∈，所以范围为()0,∞-2.在ABC ∆中，三个内角C B A ,,的对边分别是c b a ,,,其中，，35==C B 且满足.12c o s s i n 2s i n 22s i n 2=+-A A A A求（1）)cos(C B -的值；（2）的外心为ABC O ∆，若n m +=，求n m +的值。
解：（1）由.12cos sin 2sin 22sin 2=+-A A A A 得21c o s -=A )20(π，∈A 32π=∴A .在ABC ∆中，由余弦定理得：A bc c b a cos 2222-+= ∴7=a在ABC ∆中，由正弦定理得：C c B b A a sin sin sin ==，1433sin ,1435sin ==C B 1413cos ,1411cos ==∴C B 4947sin sin cos cos )cos(=+=-C B C B C B 。
- （2）建立直角坐标系得62(220,0(，，），B A由n m +=得.911,32-=-=n m 917-=+∴n m 3.设椭圆:E 22221(0)x y a b a b+=>>，其长轴长是短轴长的x 轴的直线被椭圆截得的弦长为（I ）求椭圆E 的方程；（II ）点P 是椭圆E 上横坐标大于2的动点，点,B C 在y 轴上，圆22(1)1x y -+=内切于PBC ∆，试判断点P 在何位置时PBC ∆的面积S 最小，并证明你的判断.解：（I）由已知a =，2b a=a b == 故所求椭圆方程为221126x y +=. （II）设000(,)(2P x y x <≤，(0,),(0,)B m C n .不妨设m n >，则直线PB 的方程为00:PB y m l y m x x --= 即000()0y m x x y x m --+=，又圆心(1,0)到直线PB 的距离为1，即01,2x =>，化简得2000(2)20x m y m x -+-=， 同理，2000(2)20x n y n x -+-=，∴,m n 是方程2000(2)20x x y x x -+-=的两个根， ∴00002,22y x m n mn x x --+==--，则22200020448()(2)x y x m n x +--=-，∵00(,)P x y 是椭圆上的点，∴22006(1)12x y =-，∴2200202824()(2)x x m n x -+-=-. 则214S =⋅222222000000002220002824412(2)8(2)2(2)2(2)x x x x x x x x x x x -+-+-+⋅=⋅=⋅---，令02(01))x t t -=<≤，则02x t =+，令222(8)(2)()2t t f t t++=， 化简，得2211616()262f t t t t t =++++，则32331632(2)(16)()2t t f t t t t t +-'=+--=， 令()0f t '=，得t =1)<∴函数()f t在1)]上单调递减，当1)t =时，()f t 取到最小值，此时0x =，即点P的横坐标为0x =时，PBC ∆的面积S 最小.4.假设有穷数列{}n a 各项均不相等，将数列从小到大重新排序后相应的项数构成的新数列成为数列{}n a 的排序数列，例如：数列132a a a <<，满足则排序数列为2,3,1(1)写出2,4,3,1的排序数列；(2)求证：数列{}n a 的排序数列为等差数列的充要条件是数列{}n a 为单调数列。
2014年江苏省南通市海门中学高考数学模拟试卷(4月份)
2014年江苏省南通市海门中学高考数学模拟试卷（4月份）学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、填空题(本大题共14小题，共70.0分)1.设全集U=R，集合A={x|x≥2}，B={-1，0，1，2，3}，则（∁U A）∩B= ______ ．2.已知复数z满足（1+i）•z=-i，则的模为______ ．3.已知+=2，则a= ______ ．4.如图所示茎叶图表示的是甲、乙两人在5次综合测评中的成绩，其中一个数字被污损，则乙的平均成绩超过甲的概率为______ ．5.若双曲线x2+=1的焦点到渐近线的距离为2，则实数k的值是______ ．6.如图所示的“双塔”形立体建筑，已知P-ABD和Q-CBD是两个高相等的正三棱锥，四点A，B，C，D在同一平面内，要使塔尖P，Q之间的距离为50m，则底边AB的长为______ m．7.下面求2+5+8+11+…+2012的值的伪代码中，正整数m的最大值为______ ．8.向量=（cos10°，sin10°），=（cos70°，sin70°），|-2|= ______ ．9.对于函数y=f（x），若存在区间[a，b]，当x∈[a，b]时，f（x）的值域为[ka，kb]（k＞0），则称y=f（x）为k倍值函数．若f（x）=lnx+x是k倍值函数，则实数k的取值范围是______ ．10.函数y=1-（x∈R）的最大值与最小值之和为______ ．11.已知半椭圆+=1（y≥0，a＞b＞0）和半圆x2+y2=b2（y≤0）组成的曲线C如图所示．曲线C交x轴于点A，B，交y轴于点G，H，点M是半圆上异于A，B的任意一点，当点M位于点（，-）时，△AGM的面积最大，则半椭圆的方程为______ ．12.已知|AB|=3，C是线段AB上异于A，B的一点，△ADC，△BCE均为等边三角形，则△CDE的外接圆的半径的最小值是______ ．13.已知实数x、y满足，若不等式a（x2+y2）≥（x+y）2恒成立，则实数a的最小值是______ ．14.设等比数列{a n}满足公比q∈N*，a n∈N*，且{a n}中的任意两项之积也是该数列中的一项，若a1=281，则q的所有可能取值的集合为______ ．二、解答题(本大题共10小题，共138.0分)15.已知0＜α＜＜β＜π且sin（α+β）=，tan=．（1）求cosα的值；（2）证明：sinβ＞．16.如图，正方形ABCD所在的平面与三角形CDE所在的平面交于CD，AE⊥平面CDE，且AB=2AE．（1）求证：AB∥平面CDE；（2）求证：平面ABCD⊥平面ADE．17.某企业投入81万元经销某产品，经销时间共60个月，市场调研表明，该企业在经销这个产品期间第x个月的利润，，（单位：万元），为了获得更多的利润，企业将每月获得的利润投入到次月的经营中，记第x个月的当月利润率第个月的利润第个月前的资金总和，例如：．（1）求g（10）；（2）求第x个月的当月利润率g（x）；（3）该企业经销此产品期间，哪个月的当月利润率最大，并求该月的当月利润率．18.已知椭圆＞＞的左顶点为A，左、右焦点分别为F1，F2，且圆C：过A，F2两点．（1）求椭圆标准的方程；（2）设直线PF2的倾斜角为α，直线PF1的倾斜角为β，当β-α=时，证明：点P在一定圆上；（3）设椭圆的上顶点为Q，证明：PQ=PF1+PF2．19.已知数列{a n}的前n项和S n满足：S n=t（S n-a n+1）（t为常数，且t≠0，t≠1）．（1）求{a n}的通项公式；（2）设b n=a n2+S n a n，若数列{b n}为等比数列，求t的值；（3）在满足条件（2）的情形下，设c n=4a n+1，数列{c n}的前n项和为T n，若不等式≥2n-7对任意的n∈N*恒成立，求实数k的取值范围．20.己知函数f（x）=（mx+n）e-x（m，n∈R，e是自然对数的底）．（1）若函数f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为x+ey-3=0，试确定函数f（x）单调区间；（2）①当n=-1，m∈R时，若对于任意x∈[，2]，都有f（x）≥x恒成立，求实数m的最小值；②当m=n=1时，设函数g（x）=xf（x）+tf′（x）+e-x（t∈R），是否存在实数a，b，c∈[0，1]，使得g（a）+g（b）＜g（c），若存在，求出t的取值范围；若不存在，说明理由．21.设M是把坐标平面上的点的横坐标伸长到2倍，纵坐标伸长到3倍的伸压变换．（Ⅰ）求矩阵M的特征值及相应的特征向量；（Ⅱ）求逆矩阵M-1以及椭圆在M-1的作用下的新曲线的方程．22.以直角坐标系的原点O为极点，x轴的正半轴为极轴．已知点P的直角坐标为（1，-5），点M的极坐标为（4，）．若直线l过点P，且倾斜角为，圆C以M为圆心、4为半径．（Ⅰ）求直线l的参数方程和圆C的极坐标方程；（Ⅱ）试判定直线l和圆C的位置关系．23.已知数列{a n}的前n项和为S n，通项公式为，．（Ⅰ）计算f（1），f（2），f（3）的值；（Ⅱ）比较f（n）与1的大小，并用数学归纳法证明你的结论．24.如图所示，某城市有南北街道和东西街道各n+1条，一邮递员从该城市西北角的邮局A出发，送信到东南角B地，要求所走路程最短．（1）求该邮递员途径C地的概率f（n）；（2）求证：2＜[2f（n）]2n+1＜3，（n∈N*）．。
2014届江苏高考数学南通一校四题(包场高级中学)
1．设n S 是各项均为非零实数的等差数列{}n a 的前n 项和，且满足条件421021≤+a a ，则9S 的最大值为 。
412解：公差为d ，d a S 36919+=，又d a a 9110+=，所以1011101945)(49a a a a a S +=-+= 令t S y a x a ===9101,,，即422≤+y x ，045=-+t y x ，看做直线与圆面有交点，即有24522≤+-t ，所以最大值为412。
2.在ABC ∆中，三个内角分别为C B A ,,，且A A cos 2)3cos(=-π．（1）若36cos =C ,3=BC ,求AC ． （2）若)3,0(π∈B ，且54)cos(=-B A ，求B sin ． 解：因为A A cos 2)3cos(=-π，得A A A c o s 23s i n s i n 3c o s c o s =+ππ，即A A c o s3s i n =，因为()π,0∈A ，且0cos ≠A ，所以3tan =A ，所以3π=A 。
（1）因为1cos sin 22=+C C ，36cos =C ，()π,0∈C ，所以33sin =C 又632333213623sin cos cos sin )sin(sin +=⋅+⋅=+=+=C A C A C A B ， 由正弦定理知：ABCB AC sin sin =，即61+=AC 。
（2）因为)3,0(π∈B ，所以⎪⎭⎫⎝⎛∈-=-3,03ππB B A ，1)(cos )(sin 22=-+-B A B A ， 所以53)sin(=-B A ， 所以()()10334)sin(cos )cos(sin sin sin -=---=--=B A A B A A B A A B . 3．已知椭圆)0(12222>>=+b a by a x 的离心率为21，且过点)23,1(，其短轴的左右两个端点分别为A ，B ，直线1:+=kx y l 与x 轴、y 轴分别交于两点M ，N ，交椭圆于两点C ，D 。
江苏省南通市高级中学2014-2015学年高三一模 数学试卷
江苏省南通市高级中学2014-2015学年高三一模数学试卷 试题Ⅰ注 意 事 项一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案直接填写在答题卡相应位置上. 1． 已知集合{}1 3 5 9U =，，，，{}1 3 9A =，，，{}1 9B =，，则()U C A B = ▲ ．2． 若9z z ⋅=（其中z 表示复数z 的共轭复数），则复数z 的模为 ▲ ． 3． 已知函数()af x x =在1x =处的导数为2-，则实数a 的值是 ▲ ． 4． 根据国家质量监督检验检疫局发布的《车辆驾驶人员血液、呼气酒精含量阈值与检验》 (GB19522—2004)中规定车辆驾驶人员血液酒精含量：“饮酒驾车”的临界值为20mg/100ml ；“醉酒驾车”的临界值为80mg/100ml ．某地区交通执法部门统计了5月份的执法记录数据：根据此数据，可估计该地区5月份“饮酒驾车” 发生的频率等于 ▲ ．5． 要得到函数sin 2y x =的函数图象，可将函数()πsin 23y x =+的图象向右至少平移 ▲ 个单位．6．在平面直角坐标系xOy 中，“直线y x b=+，b ∈R与曲线x =”的充要条件是“ ▲ ”．7． 如图，i N 表示第i 个学生的学号，i G 表示第i 个学生的成绩，已知学号在1~10的学生的成绩依次为401、392、385、359、 372、327、354、361、345、337，则打印出的第5组数据是 ▲ ．8． 在△ABC 中，若tan :A tan :tan 1:2:3B C =，则A = ▲ ． 9． 已知()y f x =是R 上的奇函数，且0x >时，()1f x =，则不等式2()(0)f x x f -<的解集为 ▲ ． 10．设正四棱锥的侧棱长为1，则其体积的最大值为 ▲ ． 11．已知平面向量a ，b ，c 满足1=a ，2=b ，a ，b 的夹角等于π，且()()0-⋅-=a c b c ，则c的取值范围是 ▲ ．12．在平面直角坐标系xOy 中，过点11( 0)A x ，、22( 0)A x ，分别作x 轴的垂线与抛物线22x y =分别交于点12A A ''、，直线12A A ''与 x 轴交于点33( 0)A x ，，这样就称12x x 、确定了3x ．同样，可由23x x 、确定4x ，…，若12x =，23x =，则5x = ▲ ．13．定义：min {x ，y}为实数x ，y 中较小的数．已知{}22min 4b h a a b =+，，其中a ，b 均为正实数，则h 的最大值是 ▲ ．14．在平面直角坐标系xOy 中，直角三角形ABC 的三个顶点都在椭圆2221 (1)x y a a +=>上，其中0 1A （，）为直角顶点．若该三角形的面积的最大值为278，则实数a 的值为 ▲ ．二、解答题：本大题共6小题，共90分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（本题满分14分）已知函数()()2ππ()sin cos sin sin f x x x x x x x =+++-∈R，． （1）求()f x 的最小正周期和值域；（2）若x x =()0π2x ≤≤为()f x 的一个零点，求0sin 2x 的值．16．（本题满分14分）如图，在边长为1的菱形ABCD 中，将正三角形BCD 沿BD 向上折起，折起后的点C（第7题）记为C '，且CC a '=（0a <<）．（1）若a ，求二面角C —BD —C '的大小； （2）当a 变化时，线段CC '上是否总存在一点 E ，使得A C '//平面BED ？请说明理由．17．（本题满分15分）在平面直角坐标系xOy 中，设A 、B 是双曲线2212y x -=上的两点，(12)M ，是线段AB 的中点，线段AB 的垂直平分线与双曲线相交于C 、D 两点． （1）求直线AB 与CD 的方程；（2）判断A 、B 、C 、D 四点是否共圆？若共圆，请求出圆的方程；若不共圆，请说明理由． 18．（本题满分15分）某省高考数学阅卷点共有400名阅卷老师，为了高效地完成文、理科数学卷的阅卷任务，需将400名阅卷老师分成两组同时展开阅卷工作，一组完成269捆文科卷，另一组完成475捆理科卷．根据历年阅卷经验，文科每捆卷需要一位阅卷老师工作3天完成，理科每捆卷需要一位阅卷老师工作4天完成．（假定每位阅卷老师工作一天的阅卷量相同，每捆卷的份数也相同）（1）如何安排文、理科阅卷老师的人数，使得全省数学阅卷时间最省？（2）由于今年理科阅卷任务较重，理科实际每捆卷需要一位阅卷老师工作4.5天完成，在按（1）分配的人数阅卷4天后，阅卷领导小组决定从文科组抽调20名阅卷老师去阅理科卷，试问完成全省数学阅卷任务至少需要多少天？（天数精确到小数点后第3位）（参考数据：807 6.782119≈，95 6.78614≈，331 3.34399≈，1013.5 3.367301≈）19．（本题满分16分） 已知函数()f x 的导函数()f x '是二次函数，且()0f x '=的两根为1±．若()f x 的极大值与极小值 之和为0，(2)2f -=．（1）求函数()f x 的解析式；（第16题）D C 'A BC（2）若函数在开区间(99)m m --,上存在最大值与最小值，求实数m 的取值范围． （3）设函数()()f x x g x =⋅，正实数a ，b ，c 满足()()()0ag b bg c cg a ==>，证明：a b c ==．20．（本题满分16分） 设首项为1的正项数列{}n a的前n 项和为n S ，数列{}2na 的前n 项和为n T ，且24()3n n S p T --=，其中p 为常数.（1）求p 的值；（2）求证：数列{}n a为等比数列；（3）证明：“数列n a ，12x n a +，22y n a +成等差数列，其中x 、y 均为整数”的充要条件是“1x =，且2y =”．试题Ⅱ（附加题） 21．【选做题】本题包括A 、B 、C 、D 四小题，请选定其中两题，并在相应的答题区域内作答．若多做，则按作答的前两题评分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． A ．（几何证明选讲）如图，AB 是半圆的直径，C 是AB 延长线上一点，CD 切 半圆于点D ，CD=2，DE ⊥AB ，垂足为E ，且E 是OB 的 中点，求BC 的长． B ．（矩阵与变换）已知矩阵122a ⎡⎤⎢⎥⎣⎦的属于特征值b 的一个特征向量为11⎡⎤⎢⎥⎣⎦，求实数a 、b 的值．C ．（极坐标与参数方程）在平面直角坐标系xOy 中，已知点(1 2)A -，在曲线22 2 x pt y pt ⎧=⎪⎨=⎪⎩，（t 为参数，p 为正常数），求p 的值．D ．（不等式选讲）设123 a a a ，，均为正数，且1231a a a ++=，求证：1231119.a a a ++≥【必做题】第22、23题，每小题10分，共计20分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．22．已知函数2()2(1)ln(1)2f x x x x x =++--，[)0x ∈+∞，，求()f x 的最大值.23．（1）已知*k n ∈N 、，且k n ≤，求证：11C C k k n n k n --=；（2）设数列0a ，1a ，2a ，…满足01a a ≠，112i i i a a a -++=（i =1，2，3，…）．证明：对任意的正整数n ，011222012()C (1)C (1)C (1)C n n n n nn n n n n p x a x a x x a x x a x --=-+-+-+⋅⋅⋅+是 关于x 的一次式．南通市数学一模试卷 参考答案1.{}5； 2. 3； 3. 2； 4. 0.09； 5.π6； 6. b =； 7. 8361，；8. π4；9. (01)，； 10. ； 11. ⎣⎦； 12. 1； 13. 1； 14. 3． 答案解析 1．易得{}1 3 9A B A ==，，U ，则()U A B =U ð{}5；2.3z =；3. 易得2()af x x '=-，则(1)2f a '=-=-，即2a =； 4. “饮酒驾车” 发生的频率等于11520.09200++=；5. 将()()πsin 2sin 23y x x π=+=+6向右至少平移π6个单位得sin 2y x =；6. 1=，且0b <，即b =7. 打印出的第5组数据是学号为8号，且成绩为361，故结果是8361，； 8. 设tan A k=，则t a n B k=，tan 3C k=，且k >，利用t an t a n t a n t a n ()1t a n t a nA B C A B A B +=-+=--可 求得1k =，所以A π=；9. 易得(0)0f =，20x x -<，故所求解集为(0 1)，； 10. 法 1 设正四棱锥的底面边长为x ，则体积13V x =，记()22y t t =-，0t >，利用导数可求得当43t =时，max 3227y=，此时max V =； 法2 设正四棱锥的侧棱与底面所成角为θ，则()22122cos sin 1sin sin 33V θθθθ=⨯⨯=-⨯，0<θπ<，记()21 01y t t t =-<<，，利用导数可求得当t =时，max y =，此时max V ；15．命题立意：本题主要考查三角函数的图像与性质、两角和与差的正、余弦公式，考查运算求解 能力．（1）易得()2221()sin 2sin cos 2f x x x x x =+-1cos212cos222x x x -=+- 1s i n 2c o s 22x x =-+＝()π12sin 262x -+，（5分）所以()f x 周期π，值域为35 ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，；（7分）（2）由()00π1()2sin 2062f x x =-+=得()0π1sin 2064x -=-<，（9分） 又由0π02x ≤≤得02ππ5π666x ≤≤--，所以02ππ0 66x ≤≤--，故()0πcos 26x -=，（11分）此时，()00ππsin 2sin 266x x ⎡⎤=-+⎢⎥⎣⎦()()00ππππsin 2cos cos 2sin 6666x x =-+-1142=-．（14分）O AB2CM 1C（第11题图）16．命题立意：本题主要考查直线与平面、平面与平面的位置关系，考查空间想象、推理论证能力．解：（1）连结AC ，交BD 于点O ，连结OC '， 菱形ABCD 中，CO BD ⊥，因三角形BCD 沿BD 折起，所以C O BD '⊥， 故C OC '∠为二面角C —BD —C '的平面角，（5分）易得C O CO '==CC '= 所以C OC π'∠=3，二面角C —BD —C '的大小为π3；（7分）（2）当a 变化时，线段CC '的中点E 总满足A C '//平面BED ，下证之：（9分） 因为E ，O 分别为线段CC '，AC 的中点， 所以//OE AC '，（11分） 又AC '⊄平面BED ，OE ⊂平面BED ， 所以A C '//平面BED. （14分） 17．命题立意：本题主要考查求双曲线、直线、圆等基础知识，考查运算求解与探究能力．解：（1）设A 11()x y ，，则11(24)B x y --，， 代入双曲线2212y x -=得2211221112(4)(2)12y x y x ⎧-=⎪⎪⎨-⎪--=⎪⎩，，解得110x y ⎧⎨=⎩=-1，或1134x y =⎧⎨=⎩，， 即A B 、的坐标为10-（，）、34（，），所以AB ：1y x =+，CD ：3y x =-+；（7分）（2）A 、B 、C 、D 四点共圆，下证之：（9分）证明：由3y x =-+与221y x -=联立方程组可得C D 、的坐标为(36--+、(36-+-，（11分）由三点A 、B 、C 可先确定一个圆22(3)(6)40x y ++-=①，（13分）经检验(36D -+-适合①式，所以A 、B 、C 、D 四点共圆．（15分）（注：本题亦可以利用圆的几何性质判断四点共圆）（第16题图）DC 'ABCOE18．命题立意：本题主要考查数学建模和解决实际问题的能力，考查运算求解能力． 解：（1）设文科阅卷人数为x ，且x ∈*N ，则阅卷时间为2693119.246()4754119.246400x x f x x x ⨯⎧⎪=⎨⨯⎪>-⎩≤，，，，（5分） 而(119) 6.782f =，(120) 6.786f =，故(119)(120)f f <，答：当文、理科阅卷人数分别是119,281时，全省阅卷时间最省；（8分）（2）文科阅卷时间为：1269311943347.34399⨯-⨯⨯⨯+=，（11分） 理科阅卷时间为：1475 4.52814 4.54.547.367301⨯-⨯⨯⨯+=，（14分） 答：全省阅卷时间最短为7.367天．（15分）19．命题立意：本题主要考查利用导数研究三次函数的图像与性质等基础知识，考查灵活运用数形解：（1）设()(1)(1)f x a x x '=+-，则可设()3()3x f x a x c=-+，其中c 因为()f x 的极大值与极小值之和为0， 所以(1)(1)0f f -+=，即0c =，由(2)2f -=得3a =-，所以3()3f x x x =-；（5分）（2）由（1）得3()3f x x x =-，且()3(1)(1)f x x x '=-+-列表：由题意得，三次函数在开区间上存在的最大值与最小值必为极值（如图），（7分） 又(2)2f -=，故(2)2f =-， 所以192m <-≤，且291m --<-≤，x (21)--,1- (11)-, 1 (12),y '- 0 + 0 - y ↘ 极小值2- ↗ 极大值2 ↘解得78m <≤；（10分）（3）题设等价与222(3)(3)(3)a b b c c a -=-=-，且a ，b ，c >0，所以a ，b ，c假设在a ，b ，c 中有两个不等，不妨设a ≠b ，则a >b 或a <b ．若a >b ，则由22(3)(3)a b b c -=-得2233b c -<-即b c >， 又由22(3)(3)b c c a -=-得c >a ． 于是a >b >c >a ，出现矛盾．同理，若a <b ，也必出现出矛盾． 故假设不成立，所以a b c ==．（16分）20．命题立意：本题主要考查等差、等比数列的定义与通项公式、求和公式等基础知识，考查灵活运用基本量进行探索求解、推理分析能力．解：（1）n = 1时，由24(1)13p --=得p = 0或2，（2分） 若p = 0时，243n n S T -=， 当2n =时，22224(1)13a a -++=，解得20a =或212a =-， 而0n a >，所以p = 0不符合题意，故p = 2；（5分）（2）当p = 2时，241(2)33n n T S =-- ①，则21141(2)33n n T S ++=--②，②-①并化简得1134n n n a S S ++=-- ③，则22134n n n a S S +++=-- ④， ④-③得2112n n a a ++=（n *∈N ），又易得2112a a =， 所以数列{an}是等比数列，且112n na -=；（10分） （3）充分性：若x = 1，y = 2，由112n n a -=知n a ，12x n a +，22yn a +依次为112n -，22n ，142n +，满足112142222n nn -+⨯=+，即an ，2xan +1，2yan +2成等差数列；（12分）必要性：假设n a ，12xn a +，22yn a +成等差数列，其中x 、y 均为整数，又112n na -=，所以11111222222x y n nn -+⋅⋅=+⋅， 化简得2221x y --=显然2x y >-，设(2)k x y =--，因为x 、y 均为整数，所以当2k ≥时，2221x y -->或2221x y --<，故当1k =，且当1x =，且20y -=时上式成立，即证． （16分）21．A ．命题立意：本题主要考查三角形、圆的有关知识，考查推理论证、运算求解能力． 解：连接OD ，则OD ⊥DC ， 在Rt △OED 中，12OE =OB 12=OD ， 所以∠ODE =30°，（5分）在Rt △ODC 中，∠DCO =30°，由DC =2得OD =DCtan30°=，所以BC =．（10分）B ．命题立意：本题主要考查二阶矩阵的特征值与特征向量，考查运算求解能力．解：由二阶矩阵的特征值与特征向量的概念知122a ⎡⎤⎢⎥⎣⎦11⎡⎤⎢⎥⎣⎦=11b ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，（5分）所以3 2 b b a =⎧⎨=+⎩，，解得1 3a b ==，.（10分） C ．命题立意：本题主要考查参数方程，考查运算求解能力．解：由22 2 x pt y pt ⎧=⎪⎨=⎪⎩，，（t 为参数，p 为正常数），消去参数t 得22y px =，（8分）将点(1 2)A -，代入22y px =得2p =.（10分）D ．命题立意：本题主要考查证明不等式的基本方法，考查推理论证能力． 证明：因为a1，a2，a3均为正数，且12310a a a ++=>，所以123111a a a ++()123123111()a a a =++++()()11123123111339a a a a a a ⋅=≥，（8分）当且仅当12313a a a ===时等号成立，所以1239111a a a ++≥.（10分）22．命题立意：本题主要考查复合函数求导等知识，考查运算求解、推理论证能力．证明：由2()2(1)ln(1)2f x x x x x =++--得()2ln(1)2f x x x '=+-，（2分）令()2ln(1)2g x x x =+-，则22()211x g x x x -'=-=++， 当10x -<<时，()0g x '>，()g x 在(1 0)-，上为增函数； 当x ＞0时，()0g x '<，()g x 在(0)+∞，上为减函数， 所以()g x 在x=0处取得极大值，且(0)0g =，（6分）故()0f x '≤（当且仅当0x =时取等号），所以函数()f x 为[)0+∞，上的减函数，（8分）则()(0)0f x f =≤，即()f x 的最大值为0．（10分）23．命题立意：本题主要考查组合数的性质、二项式定理，考查推理论证能力．（1）证明：左边!!C !()!(1)!()!k n n n k k k n k k n k ==⋅=---， 右边(1)!!(1)!()!(1)!()!n n n k n k k n k -=⋅=----，所以11C C k k n n k n --=；（3分）（2）证明：由题意得数列0a ，1a ，2a ，…为等差数列，且公差为100a a -≠.（5分）则011222012()C (1)C (1)C (1)C n n n n n n n n n n p x a x a x x a x x a x --=-+-+-+⋅⋅⋅+[][]0110010010C (1)+()C (1)+()Cn n n n n n n a x a a a x x a n a a x -=-+--+⋅⋅⋅+- 01111222010C (1)C (1)C ()C (1)+2C (1)C n n n n n n n n n n n n n n a x x x x a a x x x x n x ---⎡⎤⎡⎤=-+-+⋅⋅⋅++---+⋅⋅⋅+⎣⎦⎣⎦[]011211010111(1)()C (1)+C (1)C n n n n n n n n a x x a a n x x x x x -------⎡⎤=-++---+⋅⋅⋅+⎣⎦ []1010()(1)n a a a n x x x -=+-+-010()a a a nx =+-， 所以对任意的正整数n ，()p x 是关于x 的一次式．（10分）。
数学_2014年江苏省南通市通州区高考数学模拟试卷(4月份)(含答案)
2014年江苏省南通市通州区高考数学模拟试卷（4月份）一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案填写在相应位置上．1. 设集合A={x|1x<2}，B={x|2x>1}，则A∪B=________．2. 复数51+2i的共轭复数为________．3. 已知集合A={α|α=nπ9，n∈Z}，若从A中任取一个元素作为直线l的倾斜角，则直线l的斜率小于零的概率是________．4. 下面四个条件中，使a>b成立的充分而不必要的条件是________．（填写序号）①a>b−1；②a>b+1；③a2>b2；④a3>b3．5. 设函数f(x)=1x−b+1，若a，b，c成等差数列（公差不为零），则f(a)+f(c)=________．6. 执行如图所示的程序框图，输出n=________．7. 定义在(0, +∞)上的函数f(x)的导函数f′(x)<0恒成立，且f(4)=1，若f(x+y)≤1，则x2+y2的最小值是________．8. 设偶函数f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0, ω>0, 0<φ<π)的部分图象如图所示，△KLM为等腰直角三角形，∠KML=90∘，KL=1，则f(16)的值为________．9. 若两圆x2+y2+2ax+a2−4=0和x2+y2−4by−1+4b2=0恰有三条公切线，其中a，b∈R，ab≠0，则4a2+1b2的最小值为________．10. 如图，在直角梯形ABCD中，BC⊥DC，AE⊥DC，M、N分别是AD、BE的中点，将三角形ADE沿AE折起，则下列说法正确的是（1）（2）（4）．（1）不论D折至何位置（不在平面ABC内），都有MN // 平面DEC；（2）不论D折至何位置，都有MN⊥AE；（3）不论D折至何位置（不在平面ABC内），都有MN // AB；（4）在折起过程中，一定存在某个位置，使EC ⊥AD ．11. 已知函数f(x)={x 2+ax +1，x ≥1ax 2+x +1，x <1在R 上是单调递增函数，则实数a 的取值范围是________．12. 设F 1，F 2是双曲线x 2−y 24=1的左、右两个焦点，若双曲线右支上存在一点P ，使(OP →+OF 2→)⋅F 2P →=0（O 为坐标原点），且|PF 1|=λ|PF 2|，则λ的值为________．13. 在△ABC 中，AB ＝3AC ，AD 是∠A 的平分线，且AD ＝mAC ，则实数m 的取值范围是________．14. 已知等比数列{a n }满足a 1=1，0<q <12，且对任意正整数k ，a k −(a k+1+a k+2)仍是该数列中的某一项，则公比q 的取值集合为________．二、解答题：本大题共六小题，共计90分．请在指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15. 在△ABC 中，已知sinB +sinC =sinA(cosB +cosC)．（1）判断△ABC 的形状；（2）若角A 所对的边a =1，试求△ABC 内切圆半径的取值范围．16. 如图所示，已知ABCD 是直角梯形，∠ABC ＝90∘，AD // BC ，AD ＝2，AB ＝BC ＝1，PA ⊥平面ABCD ．（1）证明：PC ⊥CD ；（2）若E 是PA 的中点，证明：BE // 平面PCD ；（3）若PA ＝3，求三棱锥B −PCD 的体积．17. 诺贝尔奖发放方式为：每年一次，把奖金总额平均分成6份，奖励在6项（物理、化学、文学、经济学、生理学和医学、和平）为人类作出最有益贡献的人，每年发放奖金的总金额是基金在该年度所获利息的一半，另一半利息用于基金总额，以便保证奖金数逐年增加．假设基金平均年利率为r =6.24%．资料显示：1999年诺贝尔奖发放后基金总额约为19800万美元．设f(x)表示为第x(x ∈N ∗)年诺贝尔奖发放后的基金总额（1999年记为f(1)，2000年记为f(2)，…，依此类推）（1）用f(1)表示f(2)与f(3)，并根据所求结果归纳出函数f(x)的表达式；（2）试根据f(x)的表达式判断网上一则新闻“2009年度诺贝尔奖各项奖金高达150万美元”是否为真，并说明理由．（参考数据：1.062410=1.83，1.031210=1.36）18. 已知函数f(x)=lnx ．（1）求函数g(x)=f(x +1)−x 的最大值；（2）若对任意x >0，不等式f(x)≤ax ≤x 2+1恒成立，求实数a 的取值范围；（3）若x1>x2>0，求证：f(x1)−f(x2)x1−x2>2x2x12+x22．19. 已知数列{a n}，{b n}满足b n=a n+1−a n，其中n=1，2，3，⋯．(1)若a1=1，b n=n，求数列{a n}的通项公式；(2)若b n+1b n−1=b n(n≥2)，且b1=1，b2=2．①记c n=a6n−1(n≥1)，求证：数列{c n}为等差数列；②若数列{a nn}中任意一项的值均未在该数列中重复出现无数次．求a1应满足的条件．2014年江苏省南通市通州区高考数学模拟试卷（4月份）答案1. {x|x≠0}2. 1+2i3. 494. ②5. 26. 127. 88. √349. 16910. 过M，N分别作AE，BC的平行线，交ED，EC于F，H．连接FH则HNCB =ENEB，FMEA=DMDA由平行公理得HN // FM，∵ DA＝EB，∴ HN＝FM，∴ 四边形MNHF是平行四边形．∴ MN // FHMN⊄面CED，HF⊂面CED．∴ MN // 平面DEC．①正确由已知，AE⊥ED，AE⊥EC，∴ AE⊥面CED，HF⊂面CED∴ AE⊥HF，∴ MN⊥AE；②正确MN与AB异面．假若MN // AB，则MN与AB确定平面MNAB，从而BE⊂平面MNAB，AD⊂平面MNAB．与BE和AD是异面直线矛盾．③错误．当CE⊥ED时，EC⊥AD．这是因为，由于CE⊥EA，EA∩ED＝E，所以CE⊥面AED，AD⊂面AED．得出EC⊥AD．④正确．11. [−12, 0]12. 213. (0, 32)14. {√2−1}15. 解：（1）由已知等式利用正、余弦定理得b+c=a(a2+c2−b22ac +a2+b2−c22ab)，…整理得(b+c)(b2+c2−a2)=0，∴ b2+c2=a2，∴ △ABC为直角三角形，且∠A=90∘．…（2）由△ABC为直角三角形，知内切圆半径r=b+c−a2=12(sinB+sinC−1)=12(sinB+cosB−1)，…∵ sinB+cosB=√2sin(B+π4)≤√2，∴ 0<r≤√2−12．…16. 由已知易得AC=√2，CD=√2．∵ AC2+CD2＝AD2，∴ ∠ACD＝90∘，即AC⊥CD．又∵ PA⊥平面ABCD，CD⊂平面ABCD，∴ PA⊥CD．∵ PA∩AC＝A，∴ CD⊥平面PAC．∵ PC⊂平面PAC，∴ CD⊥PC．取AD的中点为F，连接BF，EF．∵ AD＝2，BC＝1，∴ BC // FD，且BC＝FD，∴ 四边形BCDF是平行四边形，即BF // CD．∵ BF⊄平面PCD，∴ BF // 平面PCD．∵ E，F分别是PA，AD的中点，∴ EF // PD．∵ EF⊄平面PCD，∴ EF // 平面PCD．∵ EF∩BF＝F，∴ 平面BEF // 平面PCD．∵ EF⊂平面BEF，∴ BE // 平面PCD．由已知得S△BCD=12×1×1=12，所以，V B−PCD=V P−BCD=13×PA×S△BCD=13×3×12=12．17. 解：（1）由题意知：f(2)=f(1)(1+6.24%)−12f(1)⋅6.24%=f(1)(1+3.12%)1f(3)=f(2)(1+6.4%)−12f(2)⋅6.24%=f(1)(1+3.12%)2∴ f(x)=19800(1+3.12%)x−1(x∈N∗)（2）2008年诺贝尔奖发放后基金总额为f(10)=19800(1+3.12%)9=261002009的度诺贝尔奖各项金额为16⋅12f(10)⋅6.24%≈136（万美元）与150万美元相比少了约14万美元，∴ 是假新闻18. 解：（1）∵ f(x)=lnx，∴ g(x)=f(x+1)−x=ln(x+1)−x，x>−1，∴ g′(x)=1x+1−1=−xx+1．当x∈(−1, 0)时，g′(x)>0，∴ g(x)在(−1, 0)上单调递增；当x∈(0, +∞)时，g′(x)<0，则g(x)在(0, +∞)上单调递减，∴ g(x)在x=0处取得最大值g(0)=0．（2）∵ 对任意x>0，不等式f(x)≤ax≤x2+1恒成立，∴ {a≥lnxxa≤x+1x在x>0上恒成立，进一步转化为(lnxx )max≤a≤(x+1x)min，设ℎ(x)=lnxx ，则ℎ′(x)=1−lnxx2，当x∈(1, e)时，ℎ′(x)>0；当x∈(e, +∞)时，ℎ′(x)<0，∴ ℎ(x)≤1e．要使f(x)≤ax恒成立，必须a≥1e．另一方面，当x>0时，x+1x≥2，要使ax≤x2+1恒成立，必须a≤2，∴ 满足条件的a的取值范围是[1e, 2]．（3）当x1>x2>0时，f(x1)−f(x2)x1−x2>2x2x12+x22等价于ln x1x2>2⋅x1x2−2(x1x2)2+1．令t=x1x2，设u(t)=lnt−2t−2t2+1，t>1则u′(t)=(t2−1)(t+1)2t(t2+1)2>0，∴ u(t)在(1, +∞)上单调递增，∴ u(t)>u(1)=0，∴ f(x1)−f(x2)x1−x2>2x2x12+x22．19. 解：(1)当n≥2时，有a n=a1+(a2−a1)+(a3−a2)+...+(a n−a n−1) =a1+b1+b2+...+b n−1=1+(n−1)×n2=n22−n2+1．又因为a1=1也满足上式，所以数列{a n}的通项为a n=n22−n2+1．(2)由题设知：b n>0，对任意的n∈N∗有b n+2b n=b n+1，b n+1b n+3=b n+2得b n+3b n=1，于是又b n+3b n+6=1，故b n+6=b n∴ b6n−5=b1=1，b6n−4=b2=2，b6n−3=b3=2，b6n−2=b4=1，b6n−1=b5=12,b6n=12.①c n+1−c n=a6n+5−a6n−1=b6n−1+b6n+b6n+1+b6n+2+b6n+3+b6n+4=1+2+2+1+12+12=7(n≥1)，所以数列{c n}为等差数列．②设d n=a6n+i(n≥0)，（其中i为常数且i∈{1, 2, 3, 4, 5, 6}），所以d n+1−d n a6n+6+i−a6n+i=b6n+i+b6n+i+1+b6n+i+2+b6n+i+3+b6n+i+4+b6n+i+5=7(n≥0)所以数列{a6n+i}均为以7为公差的等差数列．设f k=a6k+i6k+i =a i+7ki+6k=76(i+6k)+a i−7i6i+6k=76+a i−7i6i+6k，（其中n=6k+i(k≥0)，i为{1, 2, 3, 4, 5, 6}中的一个常数），当a i=7i6时，对任意的n=6k+i有a nn=76；由a i=7i6，i∈{1, 2, 3, 4, 5, 6}知a1=76,43,12,−13,−16,12；此时76重复出现无数次．当a i≠7i6时，f k+1−f k=a i−7i66(k+1)+i−a i−7i66k+i=(a i−7i6)(16(k+1)+i−16k+i)=(a i−7i6)(−6[6(k+1)+i](6k+i))①若a i>7i6，则对任意的k∈N有f k+1<f k，所以数列{a6k+i6k+i}为单调减数列；②若a i<7i6，则对任意的k∈N有f k+1>f k，所以数列{a6k+i6k+i}为单调增数列；{a6k+i6k+i}(i=1, 2, 3, 4, 5, 6)均为单调数列，任意一个数在这6个数列中最多各出现一次，即数列{a nn}中任意一项的值最多出现六次．综上所述：当a1∈{76,43,12,−13,−16}=B时，数列{a nn}中必有某数重复出现无数次．当a1∉B时，数列{a nn}中任意一项的值均未在该数列中重复出现无数次．。
江苏省南通市2014届高三数学学科基地密卷(1)苏教版
2014年高考模拟试卷(1)南通市数学学科基地命题第Ⅰ卷（必做题，共160分）一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分 ．1. 设a ，b 是实数，若21a bi i=+-（i 是虚数单位），则a b +的值是 ． 2. 若全集U R =，集合{|31}A x x =-≤≤，{|32}A B x x =-≤≤，则U B A = ． 3. 平行四边形ABCD 中，E 为CD 的中点．若在平行四边形ABCD 内部随机取一点M ，则点M 取自ABE ∆内部的概率为 ．4. 为了解某地区高三学生的身体发育情况，抽查了该地区100名高三男生的体重. 根据抽样测量后的男生体重（单位：kg ）数据绘制的频率分布直方图如图所示，则这100名学生中体重值在区间[56.5，64.5）的人数是 ．（第5题图）5. 运行如图语句，则输出的结果T = ．6. 设等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，若424=S S ，则84S S = ． 7. 若关于x 的不等式2230x x a -+<的解集为(),1m ，则实数m = ．8. 已知矩形ABCD 的顶点都在半径为4的球O 的球面上，且623AB BC ==，，则棱锥O ABCD -的体积为 ．9. 已知锐角A ，B 满足)tan(tan 2B A A +=,则B tan 的最大值为 ．10. 已知双曲线:C 22221(0,0)x y a b a b-=>>的渐近线与圆22(2)1x y -+=相交，则双曲线C 离心率的取值范围是 ． 11. 设函数)102)(36sin(2)(<<-+=x x x f ππ的图像与x 轴交于点A ，过点A 的直线l 与函数()f x 的图像交于另外两点B 、C .O 是坐标原点，则()OB OC OA +⋅= ．12. 当对数函数=log (>0a y x a 且1)a ≠的图像至少经过区域0=(,)+8030x y M x y x y y ⎧-≥⎫⎧⎪⎪⎪-≤⎨⎨⎬⎪⎪⎪-≥⎩⎩⎭内的一个点时，实数a 的取值范围为 ．13. 设等差数列{}n a 满足22222233363645sin cos cos cos sin sin 1sin()a a a a a a a a -+-=+，公差(1,0)d ∈-. 若当且仅当9n =时，数列{}n a 的前n 项和n S 取得最大值，则首项1a 的取值范围是 ．（第4题图） T ←1 I ←3 While I<50 T ←T +II ←I +2 End While Print T14. 从x 轴上一点A 分别向函数3()f x x =-与函数332()||g x x x =+引不是水平方向的切线1l 和2l ，两切线1l 、2l 分别与y 轴相交于点B 和点C ，O 为坐标原点，记OAB ∆的面积为1S ，OAC ∆的面积为2S ，则12S S +的最小值为 ．二、解答题：本大题共6小题，共90分.15.（本小题满分14分）已知,(0,)2αβπ∈，且7sin(2)sin 5αβα+=．（1）求证：tan()6tan αββ+=；（2）若tan 3tan αβ=，求α的值．16.（本小题满分14分）如图，在四面体ABCD 中，AB AC DB DC ===，点E 是BC 的中点，点F 在线段AC 上， 且AF ACλ=．（1）若EF ∥平面ABD ，求实数λ的值； （2）求证：平面BCD ⊥平面AED ．17.（本小题满分14分）某地发生某种自然灾害，使当地的自来水受到了污染．某部门对水质检测后，决定往水中投放一种药剂来净化水质. 已知每投放质量为m 个（第16题图） E AB C D F单位的药剂后，经过x 天该药剂在水中释放的浓度y （毫克/升）满足()y m f x =，其中()2log (4),046,42x x f x x x +<≤⎧⎪=⎨>⎪-⎩，当药剂在水中释放的浓度不低于6（毫克/升）时称为有效．．净化．．；当药剂在水中释放的浓度不低于6（毫克/升）且不高于18（毫克/升）时称为最佳．．净化．．. （1）如果投放的药剂质量为4=m ，试问自来水达到有效．．净化．．一共可持续几天? （2）如果投放的药剂质量为m ，为了使在7天（从投放药剂算起包括第7天）之内的自来水达到最佳．．净化．．，试确定应该投放的药剂质量m 的取值范围.18. (本小题满分16分) 在平面直角坐标系xOy 中，椭圆:E ()222210x y a b a b=>>+的离心率为12，右焦点为F ，且椭圆E 上的点到点F 距离的最小值为2．（1）求a ，b 的值；（2）设椭圆E 的左、右顶点分别为,A B ，过点A 的直线l 与椭圆E 及直线8x =分别相交于点,N M ．①当过,,A F N 三点的圆半径最小时，求这个圆的方程；②若cos AMB ∠=ABM △的面积．19.（本小题满分16分）已知函数2()(33)x f x x x e =-+，其中e 是自然对数的底数． （1）若[2,],21x a a ∈--<<，求函数()y f x =的单调区间； （2）设2a >-，求证：213()f a e >；（3）对于定义域为D 的函数()y g x =，如果存在区间[,]m n D ⊆，使得[,]x m n ∈时，()y g x =的值域是[,]m n ，则称[,]m n 是该函数()y g x =的“保值区间”．设()()(2),(1,)x h x f x x e x =+-∈+∞，问函数()y h x =是否存在“保值区间”？若存在，请求出一个“保值区间”； 若不存在，请说明理由．20.（本小题满分16分）已知数列{}n a 的各项均为正数，数列{}n b ，{}n c 满足2n n na b a +=，21n n n c a a +=．（1）若数列{}n a 为等比数列，求证：数列{}n c 为等比数列；（2）若数列{}n c 为等比数列，且1n n b b +≥，求证：数列{}n a 为等比数列．第Ⅱ卷（附加题，共40分）21．[选做题]本题包括A 、B 、C 、D 四小题，每小题10分；请选定其中两题，并在相．．．．．．．．．．．应的答题区域内作答．．．．．．．．．．A ．（选修４－１：几何证明选讲）在ABC ∆中，已知12AC AB =，CM 是ACB ∠的平分线，AMC ∆的外接圆交BC 边于点N ，求证：2BN AM =．B ．（选修４－２：矩阵与变换）已知二阶矩阵13a M b ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦的特征值1λ=-所对应的一个特征向量113e ⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦．（1）求矩阵M ；（2）设曲线C 在变换矩阵M 作用下得到的曲线C'的方程为1xy =，求曲线C 的方程．C ．（选修４－４：坐标系与参数方程）在平面直角坐标系xOy 中，设M 是椭圆22221x y a b+=(0)a b >>上在第一象限的点，(,0)A a 和(0,)B b 是椭圆的两个顶点，求四边形MAOB 的面积的 最大值.D ．（选修４－５：不等式选讲）设,,,a b c d R ∈，求证：ad bc =时成立.【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分.22．福彩中心发行彩票的目的是为了获取资金资助福利事业，现在福彩中心准备发行一种面值为5元的福利彩票刮刮卡,设计方案如下： ①该福利彩票中奖率为50%；②每张中奖彩票的中奖奖金有5元，50元和150元三种；③顾客购买一张彩票获得150元奖金的概率为p ，获得50元奖金的概率为2%.（1）假设某顾客一次性花50元购买10张彩票,求该顾客中奖的概率； （2）设福彩中心卖出一张彩票获得的资金为X 元，求X 的概率分布（用p 表示）；（3）为了能够筹得资金资助福利事业, 求p 的取值范围.23．（1）设1x >-，试比较ln(1)x +与x 的大小；（2）是否存在常数N a ∈，使得111(1)1n k k a a n k=<+<+∑对任意大于1的自然数n 都成立？若存在，试求出a 的值并证明你的结论；若不存在，请说明理由．2014年高考模拟试卷(1)参考答案南通市数学学科基地命题 第Ⅰ卷（必做题，共160分）一、填空题1. 2；2. (1,2]；3.12； 4. 40； 5. 625； 6. 10； 7. 12；8. 9.； 10．； 11. 32；12.； 13.43(,)32ππ； 14.8.二、解答题15．（1）证明：7sin(2)sin 5αβα+=，7sin[()]sin[()]5αββαββ∴++=+-，7sin()cos cos()sin [sin()cos cos()sin ]5αββαββαββαββ∴+++=+-+，sin()cos 6cos()sin αββαββ∴+=+，①,(0,),(0,)2αβαβπ∈∴+∈π，若cos()0αβ+=，则由①sin()0αβ+=与(0,)αβ+∈π矛盾，cos()0αβ+≠，∴①两边同除以cos()cos αββ+得：tan()6tan αββ+=；（2）解：由（1）得tan()6tan αββ+=，tan tan 6tan 1tan tan αββαβ+=-，tan 3tan αβ=，1tan tan 3βα∴=，24tan 32tan 11tan 3ααα∴=-(0,)2απ∈，tan 1α∴=，从而4πα=．16． 解：（1）因为EF ∥平面ABD ，易得EF ⊂平面ABC ， 平面ABC 平面ABD AB =，所以//EF AB ，又点E 是BC 的中点，点F 在线段AC 上， 所以点F 为AC 的中点，由AF AC λ=得12λ=；（2）因为AB AC DB DC ===，点E 是BC 的中点， 所以BC AE ⊥，BC DE ⊥，又AE DE E =，AE DE ⊂、平面AED ，（第16题图）EABC DF所以BC ⊥平面AED ， 而BC ⊂平面BCD ，所以平面BCD ⊥平面AED ．17．解：（1）由题设：投放的药剂质量为4=m ， 自来水达到有效．．净化．．4()6f x ⇔≥3()2f x ⇔≥2043log (4)2x x <≤⎧⎪⇔⎨+≥⎪⎩或46322x x >⎧⎪⎨≥⎪-⎩ 04x ⇔<≤或46x <≤，即06x <≤，亦即，如果投放的药剂质量为4=m ，自来水达到有效．．净化．．一共可持续6天；（2）由题设，(0,7],6()18x mf x ∀∈≤≤，0m >，()2log (4),046,42x x f x x x +<≤⎧⎪=⎨>⎪-⎩， 2(0,4],6log (4)18x m x ∴∀∈≤+≤，且6(4,7],6182mx x ∀∈≤≤-， 26318m m ≥⎧∴⎨≤⎩且665318m m ⎧≥⎪⎨⎪≤⎩， 3656m m ≤≤⎧∴⎨≤≤⎩，56m ∴≤≤， 亦即，投放的药剂质量m 的取值范围为[5,6]. 18．解：（1）由已知，12c a =，且2a c -=，所以4a =，2c =，所以22212b a c =-=， 所以，4a =，b =（2）①由⑴，(4,0)A -，(2,0)F ，设(8,)N t ．设圆的方程为220x y dx ey f =++++，将点,,A F N 的坐标代入，得21640,420,6480,d f d f t d et f ⎧-=⎪=⎨⎪=⎩+++++++解得2,72,8,d e t t f =⎧⎪⎪=--⎨⎪=-⎪⎩ 所以圆的方程为22722()80x y x t y t--=+++，即222172172(1)[()]9()24x y t t t t -=+++++，因为2272()t t ≥+，当且仅当72t t=±+故所求圆的方程为22280x y x ±-=++．②由对称性不妨设直线l 的方程为(4)(0)y k x k =>+．由22(4),1,1612y k x x y =⎧⎪⎨=⎪⎩++得222121624(,)3434k k M k k -++， 222424(,)3434kMA k k--∴=++，2223224(,)3434k k MB k k -=++，cos 24MA MB AMB MA MB ⋅∴∠=== 化简，得42164090k k --=，解得214k =，或294k =，即12k =，或32k =，此时总有3M y =，所以ABM △的面积为183122⨯⨯=．19．解：（1）2()()(1),[2,],2x x f x x x e x x e x a a '=-=-∈->-，由表知道：①20a -<≤时，(2,)x a ∈-时，()0f x '>，∴函数()y f x =的单调增区间为(2,)a -；②01a <<时，(2,0)x ∈-时，()0f x '>，(0,)x a ∈时，()0f x '<， ∴函数()y f x =的单调增区间为(2,0)-，单调减区间为(0,)a ； （2）证明：2()(33),2a f a a a e a =-+>-2()()(1),2a a f a a a e a a e a '=-=->-，[()]f a 极小值 332225()1313132(1)(2)0e f f e e e e----=-=>> (1)(2)f f ∴>-由表知：[0,)a ∈+∞时，()(1)(2)f a f f ≥>-， (2,0)a ∈-时，()(2)f a f >-，2a ∴>-时，()(2)f a f >-，即213()f a e >； （3）2()()(2)(21),(1,)x x h x f x x e x x e x =+-=-+∈+∞，2()(1),(1,)x h x x e x '=-∈+∞， (1,)x ∴∈+∞时，()0h x '>，()y h x ∴=在(1,)+∞上是增函数，函数()y h x =存在“保值区间”1[,]()()n m m n h m m h n n >>⎧⎪⇔=⎨⎪=⎩⇔关于x 的方程()h x x =在(1,)+∞有两个不相等的实数根， 令2()()(21),(1,)x H x h x x x x e x x =-=-+-∈+∞， 则2()(1)1,(1,)x H x x e x '=--∈+∞， 2[()](21),(1,)x H x x x e x ''=+-∈+∞(1,)x ∈+∞时，2[()](21)0x H x x x e ''=+->， ()H x '∴在(1,)+∞上是增函数，2(1)10,(2)310H H e ''=-<=->，且()y H x '=在[1,2]图象不间断， 0(1,2),x ∴∃∈使得0()0H x '=， 0(1,)x x ∴∈时，()0H x '<，0(,)x x ∈+∞时，()0H x '>，∴函数()y H x =在0(1,)x 上是减函数，在0(,)x +∞上是增函数， (1)10H =-<，0(1,],()0x x H x ∴∈<，∴函数()y H x =在(1,)+∞至多有一个零点， 即关于x 的方程()h x x =在(1,)+∞至多有一个实数根， ∴函数()y h x =是不存在“保值区间”． 20．解：（1）因为数列{}n a 为等比数列，所以1n na q a +=（q 为常数）， 所以2311221n n n n n n c a a q c a a ++++==为常数，所以数列{}n c 为等比数列； （2）因为数列{}n c 是等比数列，所以1n nc q c +=（q 为常数）， 所以221122211n n n n n n n n n c a a a q c a a a a ++++++===．则2242231n n n n n n a a a a a a +++++=． 所以2423221n n n n n n a a aa a a +++++=，即221n n nb b b ++=．因为1n n b b +≥，所以21n n b b ++≥，则22211n n n n b b b b +++≥≥．所以21n n b b ++=；1n n b b +=． 所以321n n n n a a a a +++=，即231n n n naa a a +++=⋅． 因为数列{}n c 是等比数列，所以121n n n n c c c c +++=，即2223112n n n n n n a a a a a a +++++=， 把231n n n na a a a +++=⋅代入化简得212n n n a a a ++=，所以数列{}n a 为等比数列． 第Ⅱ卷（附加题，共40分） 21. A. 证明：如图，在ABC ∆中，因为CM 是ACM ∠的平分线，所以AC AMBC BM =． 又12AC AB =，所以2AB AMBC BM=① 因为BA 与BC 是圆O 过同一点B 的弦， 所以，BM BA BN BC ⋅=⋅，即AB BNBC BM=② 由①、②可知2AM BNBM BM=， 所以 2BN AM =．B ．解：（1）依题意,得111333a b -⎡⎤⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦⎣⎦， 即31333a b -=-⎧⎨-=⎩，解得20a b =⎧⎨=⎩，2130M ⎡⎤∴=⎢⎥⎣⎦；（2）设曲线C 上一点),(y x P 在矩阵M 的作用下得到曲线1xy =上一点),(y x P '''，则2130x x y y '⎡⎤⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎢⎥'⎣⎦⎣⎦⎣⎦，即⎩⎨⎧='+='xy y x x 32， 1x y ''=，(2)(3)1x y x ∴+=，整理得曲线C 的方程为2631x xy +=．C. 解：已知椭圆22221x y a b +=的参数方程为cos sin x a y b ϕϕ=⎧⎨=⎩.由题设,可令(cos ,sin )M a b ϕϕ，其中02πϕ<<.所以，1122MOA MOB M M MAOB S S S OA y OB x ∆∆=+=⋅+⋅四边形1(sin cos )sin()224ab πϕϕϕ=+=+.所以，当4πϕ=时，四边形MAOB .D. 证明：由柯西不等式22222()()()a b c d ac bd ++≥+ac bd +．将上式两边同时乘以2，再将两边同时加上2222a b c d +++，有222222()()()()a b c d a c b d +++≥+++ ，即22≥，由柯西不等式中等号成立的条件及上述推导过程可知，原不等式中等号当且仅当ad bc =时成立．22. 解: （1）设至少一张中奖为事件A ，则顾客中奖的概率101023()10.51024P A =-=； （2）设福彩中心卖出一张彩票可能获得的资金为X 元，则X 可以取5,0,45,145--，X 的分布列为：（3）由（2）X 的期望为()550%0(50%2%)(45)2%(145)E X p p =⨯+⨯--+-⨯+-⨯1.6145p =-，∴福彩中心能够筹得资金⇔() 1.61450E X p =->，即80725p <<， 所以当80725p <<时，福彩中心可以获取资金资助福利事业. 23. 解：（1）设()ln(1)f x x x =-+，则1'()111xf x x x =-=++， 当(1,0)x ∈-时，'()0f x <，()f x 单调递减；当(0,)x ∈+∞时，'()0f x >，()f x 单调递增；故函数()f x 有最小值(0)0f =，则ln(1)x x +≤恒成立； （2）取1,2,3,4m =进行验算：11(1)21+=， 219(1) 2.2524+==， 3164(1) 2.37327+=≈， 41625(1) 2.444256+=≈，猜测：①12(1)3m m<+<，2,3,4,5,m =，②存在2a =，使得111(1)1n k k a a n k=<+<+∑恒成立．证明一：对m N ∈，且1m >，有012211111(1)()()()()m k k m mm m m m m C C C C C m mm m m+=+++++++()()()()211112111111()()()2!!!k mm m m m m k m m m k m m m---+-⋅=+++++++11112111121111112!!!k m m k m m m m m m --⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+-++---++-- ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭111122!3!!!k m <++++++()()11112213211k k m m <++++++⨯⨯--11111112122311k k m m ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+-+-++-++- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭133m=-<．又因()1()02,3,4,,k km C k m m >=，故12(1)3m m<+<，从而有112(1)3nk k n n k =<+<∑成立，即111(1)1n k k a a n k =<+<+∑．所以存在2a =，使得111(1)1n k k a a n k=<+<+∑恒成立．证明二：由（1）知：当(0,1]x ∈时，ln(1)x x +<， 设1x k=，1,2,3,4,k =，则11ln(1)k k +<，所以1ln(1)1k k +<，1ln(1)1k k +<，1(1)3k e k+<<， 当2k ≥时，再由二项式定理得：01221111(1)()()()k k k k k k k C C C C k k k k +=++++011()2k k C C k>+=，即12(1)3k k <+<对任意大于1的自然数k 恒成立，从而有112(1)3nk k n n k =<+<∑成立，即111(1)1n k k a a n k =<+<+∑．所以存在2a =，使得111(1)1n k k a a n k=<+<+∑恒成立．。
届南通市高三一模考试数学试题及答案前综合练习数学试题及答案二
2014届南通市高三一模考试前数学综合练习二数学I一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分.请把答案填写在答题卡相应位置上．．．．．．．．. 1． 已知集合{}11M =-,，11242x N x x +⎧⎫=<<∈⎨⎬⎩⎭Z ，，则MN = ▲ ．2． 若复数i a a z )2()4(2++-=为纯虚数，则iia -+22014的虚部为 ▲ ．3． 为了了解一片经济林的生长情况，随机测量了其中100株树木的底部周长（单位：cm ).所得数据如图，那么在这100株树木中，底部周长不小于110cm 的有 ▲ 株．4． 若幂函数()f x 的图象经过点11(,)93A ，则它在A 点处的切线方程为 ▲ ．5． 已知数列{}n a 是各项均为正数的等比数列，121a a +=，344a a +=，则5678a a a a +++= ▲ ．6． 以下茎叶图记录了甲、乙两组各三名同学在期末考试中的数学成绩．乙组记录中有一个数字模糊，无法确认，假设这个数字具有随机性，并在图中以表示．乙组平均成绩超过甲组平均成绩的概率为 ▲ ．7． 执行如图所示的程序框图，输出的S = ▲ ．a8． 在平面直角坐标系中，已知点A 是半圆2220x y y +-=(12)y ≤≤ 上的一个动点，点C 在线段OA 的延长线上．当10OA OC ⋅=时，则点C 的横坐标的取值范围是 ▲ ． 9． 在ΔABC中，2sin 2BB =，sin()(1sin A C A C -=，则AC AB = ▲ ． 10．设关于x 的不等式2x a -<的解集为A ，已知1,1A A ∈-∉，且实数a ，b 满足()()22321a b -+-≤，则a b +取值范围是 ▲ ．11．设函数()2cos f x x x =-，{}n a 是公差为π4的等差数列，()()()1277πf a f a f a +++=，则()2417f a a a -=⎡⎤⎣⎦ ▲ ．12．过双曲线()0,012222>>=-b a by a x 的左焦点()0,c F -作圆222a y x =+的切线，切点为E ，延长FE 交抛物线cx y 42=于点P ，O 为原点，若()12OE OF OP =+，则双曲线的离心率为 ▲ ．13．设n S 为数列{}n a 的前n 项和，若不等式22212nnS a ma n+≥对任意等差数列{}n a 及任意正整数n都成立，则实数m 的最大值为 ▲ ．14．已知函数()21(22(21)ln 2f x x a )x a x=-+++，对任意的[]1235,,,1,222a x x ⎡⎤∈∈⎢⎥⎣⎦，恒有()()121211f x f x x x λ--≤，则正实数λ的最小值为 ▲ ．xoy二、解答题：本大题共6小题，共90分.请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15．（本小题满分14分）已知函数()22sin cos f x x x x =+R ∈x ． （1）求函数()f x 的最小正周期和单调递增区间；（2）在锐角三角形ABC 中，若()1f A =，2AB AC ⋅=，求△ABC 的面积．16．（本小题满分14分）如图,在三棱柱ABC -111A B C 中,侧棱与底面垂直,90BAC ∠=,1AB AC AA ==,点,M N 分别为1A B 和11B C 的中点.（1）求证：平面1A BC ⊥平面MAC ； （2）求证：//MN 平面11A ACC ．17．（本小题满分14分）某地区注重生态环境建设，每年用于改造生态环境总费用为x 亿元，其中用于风景区改造为y 亿元．该市决定建立生态环境改造投资方案，该方案要求同时具备下列三个条件：①每年用于风景区改造费用y 随每年改造生态环境总费用x 增加而增加；②每年改造生态环境总费用至少a 亿元，至多b 亿元；③每年用于风景区改造费用y 不得低于每年改造生态环境总费用x 的15%，但不得高于每年改造生态环境总费用x 的25%．若2a =，4=b ，请你分析能否采用函数模型y ＝31(416)100x x ++作为生态环境改造投资方案．18．（本小题满分16分）如图，已知(,0)F c 是椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的右焦点；222:()F x c y a -+=与x轴交于,D E 两点，其中E 是椭圆C 的左焦点． （1）求椭圆C 的离心率；（2）设圆F 与y 轴的正半轴的交点为B ，点A 是点D 关于y 轴的对称点，试判断直线AB 与圆F 的位置关系；（3）设直线AB 与椭圆C 交于另一点G ，若BGD ∆，求椭圆C 的标准方程．19．（本小题满分16分）已知函数()()()()22,1f x x x a g x x a x a =-=-+-+（其中a 为常数）． （1）如果函数()y f x =和()y g x =有相同的极值点，求a 的值；（2）设0>a ，问是否存在0(1,)3ax ∈-，使得()()00f x g x >，若存在，请求出实数a的取值范围；若不存在，请说明理由；（3）记函数()()()11H x f x g x =-⋅-⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦，若函数()y H x =有5个不同的零点，求实数a 的取值范围．20．（本小题满分16分）已知数列{}n a 满足12,a =前n 项和为n S ,11()2()n n npa n n a a n n ++-⎧=⎨--⎩为奇数为偶数.（1）若数列{}n b 满足221(1)n n n b a a n +=+≥，试求数列{}n b 前n 项和n T ； （2）若数列{}n c 满足2n n c a =，试判断{}n c 是否为等比数列,并说明理由； （3）当12p =时,问是否存在n ∈N *，使得212(10)1n n S c +-=，若存在,求出所有的n 的值；若不存在，请说明理由.第Ⅱ部分 附加题（满分40分，答卷时间30分钟）21．【选做题】本题包括A ，B ，C ，D 共4小题，请从这4题中选做2小题，每小题10分，共20分．请在答题卡上准确填涂题目标记，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．A ．选修4－1：几何证明选讲如图，⊙O 的直径AB 的延长线与弦CD 的延长线相交于点P ，E 为⊙O 上一点，AE =AC ，求证：∠PDE =∠POC ．B ．选修4－2：矩阵与变换设矩阵，若矩阵的属于特征值1的一个特征向量为，属于特征值2的一个特征向量为，求实数的值．C ．选修4－4：坐标系与参数方程在极坐标系中,已知两点O (0,0)，B (422π,)．（1）求以OB 为直径的圆C 的极坐标方程,然后化成直角方程;（2）以极点O 为坐标原点,极轴为轴的正半轴建立平面直角坐标系,直线l 的参数方程为⎩⎨⎧+==t y t x 21(t 为参数) ．若直线l 与圆C 相交于M ，N 两点,圆C 的圆心为C ，求∆MNC的面积．D ．选修4－5：不等式选讲设不等式的解集为, 且． (1) 试比较与的大小；A 00m n ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦A 10⎡⎤⎢⎥⎣⎦01⎡⎤⎢⎥⎣⎦m n ,112<-x M M b M a ∈∈,1+ab b a +(2) 设表示数集中的最大数，且, 求的范围．22．【必做题】本题满分10分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．李先生家住H 小区，他工作在C 科技园区，从家开车到公司上班路上有1L 、2L 两条路线（如图），1L 路线上有1A 、2A 、3A 三个路口，各路口遇到红灯的概率均为12；2L 路线上有1B 、2B 两个路口，各路口遇到红灯的概率依次为34，35．（1）若走1L 路线，求最多．．遇到1次红灯的概率； （2）若走2L 路线，求遇到红灯次数X 的数学期望；（3）按照“平均遇到红灯次数最少”的要求，请你帮助李先生从上述两条路线中选择一条最好的上班路线，并说明理由.23．【必做题】本题满分10分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．如图，已知动圆M 过定点F （1,0）且与轴相切，点F 关于圆心M 的对称点为N ，动点N 的轨迹为C ．（1）求曲线C 的方程；（2）设A （x 0,y 0)是曲线C 上的一个定点，过点A 任意作两条倾斜角互补的直线，分别与曲线C 相交于另外两点P 、Q ， 证明：直线PQ 的斜率为定值．A max A ⎭⎬⎫⎩⎨⎧+=b abb a ah 2,,2maxhx2014届南通市高三一模考试前数学综合练习二答案1、}1{-；2、 51 ；3、30；4、0169=+-y x ；5、80；6、54； 7、102；8、]55[,- 9、26； 10、]625[,-； 11、16212π； 12、251+； 13、51； 14、815解：（1）⎪⎭⎫⎝⎛+=+=-+=32sin 22cos 32sin )1cos 2(3cos sin 2)(2πx x x x x x x x f ， 所以，函数)(x f 的最小正周期为π． ………………………………………………3分 由223222πππππ+≤+≤-k x k （Z ∈k ）， 得12125ππππ+≤≤-k x k （Z ∈k ）， 所以，函数)(x f 的单调递增区间是⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-12,125ππππk k （Z ∈k ）． ……………6分 （2）由已知，132sin 2)(=⎪⎭⎫⎝⎛+=πA A f ，所以2132sin =⎪⎭⎫ ⎝⎛+πA ， ……………8分 因为20π<<A ，所以34323πππ<+<A ，所以6532ππ=+A ，从而4π=A ． …11分又2cos ||||=⋅⋅=⋅A ，，所以，2||||=⋅， 所以，△ABC 的面积222222121=⨯⨯=⋅⋅⋅=A sin ||||S ． …………14分16证明：（1）在Rt BAC ∆中，BC =在Rt 1A AC ∆中，1A C =1BC AC ∴=，即1ACB ∆为等腰三角形. …………1分 又点M 为1A B 的中点，1AM MC ∴⊥. …………2分 又四边形11AA BB 为正方形,M 为1A B 的中点，∴1A M ⊥MA …………3分AC MA A ⋂=,AC ⊂平面MAC ,M A ⊂平面MAC …………4分1A M ∴⊥平面MAC …………5分（2）证法一: 连接11,,AB AC由题意知,点,M N 分别为1AB 和11B C 的中点，1//MN AC ∴. …………11分 又MN ⊄平面11A ACC ,1AC ⊂平面11A ACC , …………13分//MN ∴平面11A ACC . …………14分证法二：取11A B 中点P ,连,MP NP , …………10分而,M P 分别为1AB 与11A B 的中点,1//,MP AA ∴MP ⊄平面11A ACC ,1AA ⊂平面11A ACC ，//MP ∴平面11A ACC ,同理可证//NP 平面11A ACC …………11分 又MP NP P ⋂=∴平面//MNP 平面11A ACC . …………12分MN ⊂平面MNP ， …………13分∴//MN 平面11A ACC . ………………………14分17解：∵21'(34)0100y x =+>， ∴函数y ＝31(416)100x x ++是增函数，满足条件①。
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南通市2014届高三一模试卷--数学试题
数学Ⅰ参考答案与评分标准
一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案直接填写在答题卡相应位．．．．．．置上．．
． 1． 已知集合U ={1，2，3，4，5}，A ={1，2，4}，则U A =ð ▲ ．
2． 已知复数1z 13i =+，2z 3i =+(i 为虚数单位)．在复平面内，12z z -对应的点在第 ▲ 象限．
3． 命题：“x ∃∈R ，0x ≤”的否定是 ▲ ．
4． 在平面直角坐标系xOy 中，抛物线28y x =上横坐标为1的点到其焦点的距离为 ▲ ． 5． 设实数x ，y 满足0 0 3 24 x y x y x y ⎧⎪⎪⎨
+⎪⎪+⎩≤≤≥，
≥，，
，
则32z x y =+的最大值是 ▲ ． 6． 如图是一个算法的流程图．若输入x 的值为2，则输出y 的
值是 ▲ ．
7． 抽样统计甲，乙两个城市连续5天的空气质量指数(AQI)，数据如下：
城市
空气质量指数(AQI)
第1天 第2天 第3天 第4天 第5天 甲
109 111 132 118 110 乙
110 111 115 132 112 则空气质量指数(AQI )较为稳定(方差较小)的城市为 ▲ （填甲或乙）．
8． 已知正三棱锥的侧棱长为1
随机选取两条棱，则这两条棱互相垂直的概率是 ▲ ．
9． 将函数()()sin 2f x x ϕ=+()0ϕ<<π的图象上所有点向右平移π6
个单位后得到的图象关
于原点对称，则ϕ等于 ▲ ．
10．等比数列{a n }的首项为2，公比为3，前n 项和为S n ．若log 3［12a n (S 4m +1)］=9，则1n +4
m 的
最小值
是 ▲ ．
11．若向量()cos sin αα=，
a ，()cos sin ββ=，
b ，且2+⋅≤a b a b ，则cos()αβ-的值是 ▲ ．
12．在平面直角坐标系xOy 中，直线y x b =+是曲线ln y a x =的切线，则当a ＞0时，实数
b 的最小值是 ▲ ．
13．已知集合M ={(,)|3x y x -≤y ≤1}x -，N ={|P PA
,(1,0),(1,0)}A B -，则表示M
∩N 的图形面积等于 ▲ ．
14．若函数2()2014(0)f x ax x a =++>对任意实数t ，在闭区间[1 1]t t -+，
上总存在两实数1x 、2x ，使得12|()()|f x f x -≥8成立，则实数a 的最小值为 ▲ ．
二、解答题：本大题共6小题，共90分．请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答. 解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．(本小题满分14分)
如图，在四棱柱1111ABCD A B C D -中，//AB CD ，1AB BC ⊥，且1AA AB =． （1）求证：AB ∥平面11D DCC ；
（2）求证：1AB ⊥平面1A BC ．
16．(本小题满分14分)
在△ABC 中，a ，b ，c 分别为角A ，B ，C 所对的边长，且c =－3b cos A ，tan C =34．
（1）求tan B 的值；
（2）若2c =，求△ABC 的面积．
A 1
B 1
1
C
D
D 1
（第15题）
17．(本小题满分14分)
已知a 为实常数，y =f (x )是定义在(－∞，0)∪(0，+∞)上的奇函数，且当x <0时，f (x )=2x －a 3
x
2+1． （1）求函数f (x )的单调区间；
（2）若f (x )≥a －1对一切x ＞0成立，求a 的取值范围．
18．(本小题满分16分)
如图，一块弓形薄铁片EMF ，点M 为EF 的中点，其所在圆O 的半径为4 dm （圆心O 在弓形EMF 内），∠EOF =23π．将弓形薄铁片裁剪成尽可能大的矩形铁片ABCD (不计
损耗)， AD ∥EF ，且点A 、D 在EF 上，设∠AOD =2θ． （1）求矩形铁片ABCD 的面积S 关于θ的函数关系式； （2）当矩形铁片ABCD 的面积最大时，求cos θ的值．
（第18题）
②
①
19．(本小题满分16分)
如图，在平面直角坐标系xOy 中，椭圆22221(0)y x a b a b
+=>>
过点(1，
，又椭圆内接四边形ABCD (点A 、B 、C 、D 在椭圆上)的对角线AC ，BD 相交于点1(1 )4
P ，，且2AP PC =，2BP PD =．
（1）求椭圆的方程； （2）求直线AB 的斜率．
（第19题）
20．(本小题满分16分)
已知等差数列{a n}、等比数列{b n}满足a1+a2＝a3，b1b2＝b3，且a3，a2+ b1，a1+ b2成等差数列，a1，a2，b2成等比数列．
（1）求数列{a n}和数列{b n}的通项公式；
（2）按如下方法从数列{a n}和数列{b n}中取项：
第1次从数列{a n}中取a1，
第2次从数列{b n}中取b1，b2，
第3次从数列{a n}中取a2，a3，a4，
第4次从数列{b n}中取b3，b4，b5，b6，
……
第2n－1次从数列{a n}中继续依次取2n－1个项，
第2n次从数列{b n}中继续依次取2n个项，
……
由此构造数列{c n}：a1，b1，b2，a2，a3，a4，b3，b4，b5，b6，a5，a6，a7，a8，a9，
b7，b8，b9，b10，b11，b12，…，记数列{c n}的前n和为S n．求满足S n＜22014的最
大正整数n．
数学Ⅱ（附加题）
21．【选做题】
A．选修4—1：几何证明选讲
（本小题满分10分）
在△ABC中，已知CM是∠ACB的平分线，△AMC的外接圆交BC于点N，且BN=2AM．求证：AB2
=AC．
B．选修4—2：矩阵与变换
（本小题满分10分）
设二阶矩阵A，B满足112 34
-
⎡⎤=⎢⎥⎣⎦
A，()110 01
-⎡⎤
=⎢⎥
⎣⎦
BA，求1-B．
C．选修4—4：坐标系与参数方程
（本小题满分10分）
在极坐标系中，已知曲线C：2sin
=
ρθ，过极点O的直线l与曲线C相交于A、B两点，
AB=，求直线l的方程．
D ．选修4—5：不等式选讲 （本小题满分10分）
已知x ，y ，z 均为正数，求证：111y
x z yz zx xy x y z
++++≥．
【必做题】 22．（本小题满分10分）
如图，设1P ，2P ，…，6P 为单位圆上逆时针均匀分布的六个点．现任选其中三个不同点构成一
个三角形，记该三角形的面积为随机变量S ． （1
）求S =的概率；
（2）求S 的分布列及数学期望()E S ．
4（第22题）
23．（本小题满分10分）
已知1，2，…，n 满足下列性质T 的排列1a ，
2a ，…，n a 的个数为()f n （n ≥2，且n ∈N *）． 性质T ：排列1a ，2a ，…，n a 中有且只有一个1i i a a +>（i ∈{1，2，…，1n -}）． （1）求(3)f ；
（2）求()f n ．。