抽象函数的对称性、奇偶性与周期性总结及习题

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抽象函数的对称性、奇偶性与周期性总结及习题

一.概念: 抽象函数是指没有给出具体的函数解析式或图像,只给出一些函数符号及其满足的条件的函数,如函数的定义域,解析递推式,特定点的函数值,特定的运算性质等,它是高中函数部分的难点,也是大学高等数学函数部分的一个衔接点,由于抽象函数没有具体的解析表达式作为载体,因此理解研究起来比较困难，所以做抽象函数的题目需要有严谨的逻辑思维能力、丰富的想象力以及函数知识灵活运用的能力 1、周期函数的定义：

对于()f x 定义域内的每一个x ，都存在非零常数T ，使得()()f x T f x +=恒成立，则称函数()f x 具有周期性，T 叫做()f x 的一个周期，则kT （,0k Z k ∈≠）也是()f x 的周期，所有周期中的最小正数叫()f x 的最小正周期。

分段函数的周期：设)(x f y =是周期函数，在任意一个周期内的图像为C:),(x f y =

[]a b T b a x -=∈,,。把)()(a b K KT x x f y -==轴平移沿个单位即按向量

)()0,(x f y kT a ==平移，即得在其他周期的图像：

[]b kT a kT x kT x f y ++∈-=,),(。

[][]⎩⎨

⎧++∈-∈=b kT a,kT x )(b a, x

)()(kT x f x f x f …

2、奇偶函数：

设[][][]b a a b x b a x x f y ,,,),( --∈∈=或 ①若为奇函数；则称)(),()(x f y x f x f =-=- ②若为偶函数则称)()()(x f y x f x f ==-。

分段函数的奇偶性

3、函数的对称性：

（1）中心对称即点对称：

①点对称；关于点与),()2,2(),(b a y b x a B y x A --

￥

②对称；关于与点),(),(),(b a y b x a B y b x a A ++--

③成中心对称；关于点与函数),()2(2)(b a x a f y b x f y -=-= ④成中心对称；关于点与函数),()()(b a x a f y b x a f y b +=+-=- ⑤成中心对称。关于点与（函数),(0)2,2(0),b a y b x a F y x F =--=

（2）轴对称：对称轴方程为：0=++C By Ax 。 ①))

(2,)(2(),(),(2

222//B

A C By Ax

B y B A

C By Ax A x B y x B y x A +++-+++-=与点关于直线成轴对称；0=++C By Ax

②函数))

(2()(2)(2

222B A C By Ax A x f B A C By Ax B y x f y +++-=+++-

=与关于直线

0=++C By Ax 成轴对称。

~

③0))

(2,)(2(0),(2

222=+++-+++-

=B A C By Ax B y B A C By Ax A x F y x F 与关于直线

0=++C By Ax 成轴对称。

二、函数对称性的几个重要结论

（一）函数)(x f y =图象本身的对称性（自身对称）

若()()f x a f x b +=±+，则()f x 具有周期性；若()()f a x f b x +=±-，则()f x 具有对称性：“内同表示周期性，内反表示对称性”。

推论1：)()(x a f x a f -=+ ⇔)(x f y =的图象关于直线a x =对称 推论2、)2()(x a f x f -= ⇔)(x f y =的图象关于直线a x =对称 推论3、)2()(x a f x f +=- ⇔)(x f y =的图象关于直线a x =对称

推论1、b x a f x a f 2)()(=-++ ⇔)(x f y =的图象关于点),(b a 对称 推论2、b x a f x f 2)2()(=-+ ⇔)(x f y =的图象关于点),(b a 对称 推论3、b x a f x f 2)2()(=++- ⇔)(x f y =的图象关于点),(b a 对称

，

（二）两个函数的图象对称性（相互对称）（利用解析几何中的对称曲线轨迹方程理解） 1、偶函数)(x f y =与)(x f y -=图象关于Y 轴对称 2、奇函数)(x f y =与)(x f y --=图象关于原点对称函数 3、函数)(x f y =与()y f x =-图象关于X 轴对称 4、互为反函数)(x f y =与函数1

()y f

x -=图象关于直线y x =对称

推论1:函数)(x a f y +=与)(x a f y -=图象关于直线x =a 对称 推论2:函数)(x f y =与)2(x a f y -= 图象关于直线a x =对称

)

推论3:函数)(x f y -=与)2(x a f y +=图象关于直线a x -=对称

（三）抽象函数的对称性与周期性

1、抽象函数的对称性

性质1 若函数y ＝f(x)关于直线x ＝a 轴对称，则以下三个式子成立且等价： （1）f(a ＋x)＝f(a －x) （2）f(2a －x)＝f(x) （3）f(2a ＋x)＝f(－x) >

性质2 若函数y ＝f(x)关于点（a ，0）中心对称，则以下三个式子成立且等价：

（1）f(a ＋x)＝－f(a －x)（2）f(2a －x)＝－f(x)（3）f(2a ＋x)＝－f(－x)

易知，y ＝f(x)为偶（或奇）函数分别为性质1（或2）当a ＝0时的特例。

2、复合函数的奇偶性

定义1、 若对于定义域内的任一变量x ，均有f[g(－x)]＝f[g(x)]，则复数函数y ＝f[g(x)]为偶函数。

定义2、 若对于定义域内的任一变量x ，均有f[g(－x)]＝－f[g(x)]，则复合函数y ＝f[g(x)]为奇函数。 说明： （1）复数函数f[g(x)]为偶函数，则f[g(－x)]＝f[g(x)]而不是f[－g(x)]＝f[g(x)]，复合函数y ＝f[g(x)]为奇函数，则f[g(－x)]＝－f[g(x)]而不是f[－g(x)]＝－f[g(x)]。 ：

（2）两个特例：y ＝f(x ＋a)为偶函数，则f(x ＋a)＝f(－x ＋a)；y ＝f(x ＋a)为奇函数，则f(－x ＋a)＝－f(a ＋x)

（3）y ＝f(x ＋a)为偶（或奇）函数，等价于单层函数y ＝f(x)关于直线x ＝a 轴对称（或关于点（a ，0）中心对称）

3、复合函数的对称性

性质3复合函数y ＝f(a ＋x)与y ＝f(b －x)关于直线x ＝（b －a ）/2轴对称 性质4、复合函数y ＝f(a ＋x)与y ＝－f(b －x)关于点（（b －a ）/2，0）中心对称

推论1、 复合函数y ＝f(a ＋x)与y ＝f(a －x)关于y 轴轴对称

推论2、 复合函数y ＝f(a ＋x)与y ＝－f(a －x)关于原点中心对称

4、函数的周期性 <