安徽省中加学校人教版高中数学必修二导学案_1.3.2球的体积和表面积
最新人教A版必修2高中数学 1.3.2球的体积和表面积教案 (1)
1 (1 1 n )( 2 n ) ] 6
→0
Ｖ半球＝R 3 (1
1 2 2 ) R 3 6 3
得到定理：半径是Ｒ的球的体积
Ｖ球 4 R 3 3
学生完成
练习：一种空心钢球的质量是142g,外径是5cm, 求它的内径(钢的密度是7.9g/cm3) 2．球的表面积： 2
1．球的体积： 如果用一组等距离的平面去切割球，当距离 很小之时得到很多“小圆片”，“小圆片” 1 的体积的体积之和正好是球的体积，由于“ 教师课时教案 小圆片”近似于圆柱形状，所以它的体积也 教 问题与情境及教师活动 近似于圆柱形状，所以它的体积有也近似于 相应的圆柱和体积，因此求球的体积可以按 学 “分割——求和—— 化为准确和”的方法来进行。 过 步骤： 第一步：分割 程 如图：把半球的垂直于底面的半径ＯＡ作n等 2 分，过这些等分点，用一组平行于底面的平 教学环节与活动设计
如图：
得
Vi r 2 i
R R 3 i 1 2 [1 ( ) ] (i 1、２ n) n n n
第二步：求和 及
Ｖ半球＝v1 v2 v3 vn R 3 [1
方 第三步：化为准确的和 法 当n→∞时， （同学们讨论得出） 所以
法
教
本节课主要学习了球的体积和球的表面积公式的推导，以及利用公式解
学生独立完成 学 决相关的球的问题，了解了推导中的“分割、求近似和，再由近似和转化为
学
过
程
及
方 1
（一）创设情景 ⑴教师提出问题：球既没有底面，也无法 像在柱体、锥体和台体那样展开成平面图形， 那么怎样来求球的表面积与体积呢？引导学生 进行思考。 ⑵教师设疑：球的大小是与球的半径有关 ，如何用球半径来表示球的体积和面积？激发 学生推导球的体积和面积公式。 （二） 探究新知 学生回答
高中数学人教版必修2 1.3.2球的表面积与体积 教案(系列三)
1．3.2 球的体积和表面积●三维目标1．知识与技能(1)了解球的表面积与体积公式(不要求记忆公式)．(2)培养学生空间想象能力和思维能力．2．过程与方法通过作轴截面，寻找旋转体类组合体中量与量之间的关系．3．情感、态度与价值观让学生更好地认识空间几何体的结构特征，培养学生学习的兴趣．●重点难点重点：球的表面积与体积的计算．难点：简单组合体的体积计算．重难点突破：以教材例题、习题为载体，通过题组训练，让学生熟悉并掌握球的表面积与体积公式；对于简单组合体的体积计算问题，可结合简单组合体的概念，采用分割求和的方式给予突破．●教学建议结合本节知识的特点，教学时教师可采用开门见山的方式，直接给出球的表面积及体积公式，对公式的推导及证明不必拓展补充；在此基础上，通过题目训练，使学生熟练掌握公式间的内在关系即可．●教学流程直接给出球的表面积及体积的运算公式．⇒通过例1及其变式训练，使学生掌握球的表面积及体积公式.⇒通过例2及其变式训练，使学生掌握与球的截面有关的球的体积、表面积计算问题．球(半径为R )表面积公式S ＝4πR 2体积公式V ＝43πR 3A ．64π B.64π3 C ．32π D.323π【思路探究】 表面积―→球的半径―→球的体积【自主解答】 设球的半径为R ，则由题意可知4πR 2＝16π，故R ＝2.所以球的半径为2，体积V ＝43πR 3＝323π.【答案】 D球的表面积与体积的大小，只与球的半径有关，故充分利用题设条件求解球半径的大小，是解答此类问题的关键．把球的表面积扩大到原来的2倍，那么体积扩大到原来的( ) A ．2倍 B ．2 2 倍 C. 2 倍D.32 倍【解析】 设球变化前后的半径分别为r 与r ′，由已知得：4πr ′2＝2·4πr 2，∴r ′＝2r ，∴V ′＝43πr ′3＝22·43πr 3＝22V ，即体积变为原来体积的22倍．【答案】 B400π cm 2，求球的表面积．【思路探究】 两截面圆的面积―→两截面圆的半径――――――→解直角三角形球的半径 【自主解答】(1)当截面在球心的同侧时，如图(1)所示为球的轴截面，由截面性质知AO 1∥BO 2，O 1，O2为两截面圆的圆心，且OO1⊥AO1，OO2⊥BO2，设球的半径为R，∵πO2B2＝49π，∴O2B＝7 cm，同理得：O1A＝20 cm.设OO1＝x，则OO2＝(x＋9)cm，在Rt△O1OA中，R2＝x2＋202，①在Rt△OO2B中，R2＝72＋(x＋9)2，②联立①②可得x＝15，R＝25.∴S球＝4πR2＝2 500π cm2，故球的表面积为2 500π cm2.(2)当截面在球心的两侧时，如图(2)所示为球的轴截面，由球的截面性质知，O1A∥O2B，且O1，O2分别为两截面圆的圆心，则OO1⊥O1A，OO2⊥O2B.设球的半径为R，∵π·O2B2＝49π，∴O2B＝7 cm.∵π·O1A2＝400π，∴O1A＝20 cm.设O1O＝x cm，则OO2＝(9－x)cm.在Rt△OO1A中，R2＝x2＋400.在Rt△OO2B中，R2＝(9－x)2＋49.∴x2＋400＝(9－x)2＋49，解得x＝－15，不合题意，舍去．综上所述，球的表面积为2 500π cm2.1．本题在求解过程中，常因漏掉两截面位于圆心两侧的情况而失分．2．有关球的截面问题，常画出过球心的截面圆，将问题转化为平面中圆的有关问题解决．已知半径为5的球的两个平行截面圆的周长分别为6π和8π，则这两个截面间的距离为________．【解析】若两个平行截面在球心同侧，如图(1)，则两个截面间的距离为52－32－52－42＝1；若两个平行截面在球心异侧，如图(2)，则两个截面间的距离为52－32＋52－42＝7.【答案】1或7(1)求该几何体的表面积；(2)求该几何体的体积．图1－3－11【思路探究】 本题条件中给出的是几何体的三视图及数据，解题时要先根据俯视图来确定几何体的上、下部分形状，然后根据侧视图与正视图确定几何体的形状，并根据有关数据计算．【自主解答】 由三视图可知，此几何体是一个半径为1的半球和一个棱长为2的正方体组成．(1)S ＝S 半球＋S 正方体表面积－S 圆 ＝12×4π×12＋6×2×2－π×12 ＝24＋π(m 2)(2)V ＝V 半球＋V 正方体＝12×43π×13＋23＝8＋23π(m 3)1．本题(1)在求解时，常因忘记去除“半球同正方体的重叠部分”而使所求表面积变大． 2．由三视图求简单组合体的表面积或体积时，最重要的是还原组合体，并弄清组合体的结构特征和三视图中数据的含义，根据球与球的组合体的结构特征及数据计算其表面积或体积．3．计算球与球的组合体的表面积与体积时要恰当地分割与拼接，避免重叠和交叉等．一个几何体的三视图如图1－3－12所示(单位：m)，则该几何体的体积为________m 3.图1－3－12【解析】 由三视图知，几何体下面是两个球，球半径为32；上面是长方体，其长、宽、高分别为6、3、1，所以V ＝43π×278×2＋1×3×6＝9π＋18.【答案】 18＋9π与球相关的“切”“接”问题(12分)有三个球，第一个球内切于正方体的六个面，第二个球与这个正方体的各条棱相切，第三个球过这个正方体的各个顶点，求这三个球的表面积之比．【思路点拨】 作出三个几何体的截面图，分别求出三个球的半径． 【规范解答】 设正方体的棱长为a .(1)正方体的内切球球心是正方体的中心，切点是六个面(正方形)的中心，经过四个切点及球心作截面，如图(1)，所以有2r 1＝a ，r 1＝a 2，S 1＝4πr 21＝πa 2.4分(2)球与正方体各棱的切点在每条棱的中点，过球心作正方体的对角面得截面，如图(2)，＝4πr22＝2πa2.7分所以有2r2＝2a，r2＝22a，所以S2(3)正方体的各个顶点在球面上，过球心作正方体的对角面得截面，如图(3)，所以有2r3＝4πr23＝3πa2.10分＝3a，r3＝32a，所以S3综上可得S1∶S2∶S3＝1∶2∶3.12分1．解决此类问题的关键是根据“切点”和“接点”，作出轴截面图，从而把空间问题平面化．2．常见的几何体与球的切、接问题的解决方案：几何体与球的切、接问题内切球找过切点和球心的截面体积法外接球由球心和几何体顶点抽象得出新几何体找过球心的截面3．球与其他几何体切接问题一般有下列结论：(1)长方体的8个顶点在同一球面上，则长方体的体对角线是球的直径；(2)球与正方体的六个面均相切，则球的直径等于正方体的棱长；(3)球与正方体的12条棱均相切，则球的直径是正方体的面对角线．(4)球与圆柱的底面和侧面均相切，则球的直径等于圆柱的高，也等于圆柱底面圆的直径．(5)球与圆台的底面和侧面均相切，则球的直径等于圆台的高．1．球的表面积、体积基本性质是解决有关问题的重要依据，它的轴截面图形，球半径、截面圆半径、球心到截面的距离所构成的直角三角形是把空间问题转化为平面问题的主要方法．2．与球有关的组合体问题，一种是内切，一种是外接．解题时要认真分析图形，明确切点和接点的位置，确定有关元素间的数量关系，并作出合适的截面图．1．直径为6的球的表面积和体积分别是( ) A ．36π，144π B ．36π，36π C ．144π，36πD ．144π，144π【解析】 球的半径为3，表面积S ＝4π·32＝36π，体积V ＝43π·33＝36π.【答案】 B2．若将气球的半径扩大到原来的2倍，则它的体积增大到原来的( ) A ．2倍 B ．4倍 C ．8倍D ．16倍【解析】 设气球原来的半径为r ，体积为V ，则V ＝43πr 3，当气球的半径扩大到原来的2倍后，其体积变为原来的23＝8倍．【答案】 C3．一平面截一球得到直径是6 cm 的圆面，球心到这个平面的距离是4 cm ，则该球的体积是( )A.100π3 cm 3B.208π3cm 3C.500π3cm 3D.41613π3cm 3【解析】 根据球的截面性质，有R ＝r 2＋d 2＝32＋42＝5，∴V 球＝43πR 3＝5003π( cm 3)．【答案】 C4．将一钢球放入底面半径为3 cm 的圆柱形玻璃容器中，水面升高了4 cm ，求钢球的半径．【解】 圆柱形玻璃容器中水面上升了4 cm ，则知钢球的体积V ＝π·32·4＝36π. 设钢球的半径为R ，则43πR 3＝36π，∴R ＝3 cm.所以钢球的半径为3 cm.一、选择题1．(2013·武威高一检测)球的体积与其表面积的数值相等，则球的半径等于( ) A.12B ．1C ．2D ．3 【解析】 设球的半径为R ，则由题意可知43πR 3＝4πR 2，∴R ＝3.【答案】 D2．(2013·临沂高一检测)设正方体的表面积为24，那么其外接球的体积是( ) A.43π B.8π3 C ．43π D ．323π 【解析】 由题意可知，6a 2＝24，∴a ＝2. 设正方体外接球的半径为R ，则 3a ＝2R ，∴R ＝3， ∴V 球＝43πR 3＝43π.【答案】 C3．(2012·新课标全国高考)平面α截球O 的球面所得圆的半径为1，球心O 到平面α的距离为2，则此球的体积为( )A.6π B ．43π C ．46π D ．63π【解析】 如图，设截面圆的圆心为O ′，M 为截面圆上任一点，则OO ′＝2，O ′M ＝1， ∴OM ＝(2)2＋1＝3，即球的半径为3，∴V ＝43π(3)3＝43π.【答案】 B4．把3个半径为R 的铁球熔成一个底面半径为R 的圆柱，则圆柱的高为( ) A ．R B ．2R C ．3R D ．4R【解析】 设圆柱的高为h ，则πR 2h ＝3×43πR 3，∴h ＝4R . 【答案】 D5．(2013·日照高一检测)如图1－3－13是某几何体的三视图，则该几何体的体积为( )图1－3－13A ．9π＋42B ．36π＋18 C.92π＋12 D.92π＋18 【解析】 由三视图可知该几何体是一个长方体和球构成的组合体，其体积V ＝43π(32)3＋3×3×2＝92π＋18.【答案】 D二、填空题6．已知一个球的体积为43π，则此球的表面积为________． 【解析】 设球的半径为R ，则V ＝43πR 3＝43π， ∴R ＝1，∴球的表面积S ＝4π.【答案】 4π7．已知长方体的8个顶点在同一个球面上，且长方体的对角线长为4，则该球的体积是________．【解析】 长方体的对角线即为球的直径，∴2R ＝4，∴R ＝2，∴该球的体积V ＝43π×23＝323π. 【答案】 32π3图1－3－148．圆柱形容器内盛有高度为8 cm 的水，若放入三个相同的球(球的半径与圆柱的底面半径相同)后，水恰好淹没最上面的球(如图1－3－14所示)，则球的半径是________cm.【解析】 设球的半径为r ，则圆柱形容器的高为6r ，容积为πr 2×6r ＝6πr 3，高度为8cm 的水的体积为8πr 2,3个球的体积和为3×43πr 3＝4πr 3，由题意6πr 3－8πr 2＝4πr 3，解得r ＝4 cm.【答案】 4三、解答题图1－3－159．(2013·郑州高一检测)如图1－3－15，一个圆锥形的空杯子上面放着一个半球形的冰淇淋，如果冰淇淋融化了，会溢出杯子吗？请用你的计算数据说明理由．【解】 因为V 半球＝12×43πR 3＝12×43π×43＝1283π(cm 3)， V 圆锥＝13πr 2h ＝13π×42×10 ＝1603π(cm 3)， 因为V 半球<V 圆锥，所以，冰淇淋融化了，不会溢出杯子．10．据说伟大的阿基米德死了以后，敌军将领马塞拉斯给他建了一块墓碑，在墓碑上刻了一个如图1－3－16所示的图案，图案中球的直径与圆柱底面的直径和圆柱的高相等，圆锥的顶点为圆柱上底面的圆心，圆锥的底面是圆柱的下底面．试计算出图形中圆锥、球、圆柱的体积比．图1－3－16【解】 设圆柱的底面半径为r ，高为h ，则V 圆柱＝πr 2h ，由已知知圆锥的底面半径为r ，高为h ，∴V 圆锥＝13πr 2h ，球的半径为r ，∴V 球＝43πr 3.又h ＝2r ， ∴V 圆锥∶V 球∶V 圆柱＝(13πr 2h )∶(43πr 3)∶(πr 2h )＝(23πr 3)∶(43πr 3)∶(2πr 3)＝1∶2∶3.图1－3－1711．(思维拓展题)如图1－3－17所示，半径为R 的半圆内的阴影部分以直径AB 所在直线为轴，旋转一周得到一几何体，求该几何体的表面积．(其中∠BAC ＝30°)【解】 如图所示，过C 作CO 1⊥AB 于O 1.在半圆中可得∠BCA ＝90°，∠BAC ＝30°，AB ＝2R ，∴AC ＝3R ，BC ＝R ，CO 1＝32R ，∴S 球＝4πR 2，S 圆锥AO 1侧＝π×32R ×3R ＝32πR 2， S 圆锥BO 1侧＝π×32R ×R ＝32πR 2， ∴S 几何体表＝S 球＋S 圆锥AO 1侧＋S 圆锥BO 1侧 ＝112πR 2＋32πR 2＝11＋32πR 2. 故旋转所得几何体的表面积为11＋32πR 2.如图所给图形及数据(单位：cm)，求图中阴影部分绕AB 旋转一周所形成的几何体的表面积和体积．【思路探究】 分析旋转体的形状―→分割求解【自主解答】 由题意知，所求旋转体的表面积由三部分组成：圆台下底面、侧面和一半球面．S 半球＝8π，S 圆台侧＝35π，S 圆台底＝25π.故所求几何体的表面积为68π cm 2，由V 圆台＝13×(π×22＋(π×22)×(π×52)＋π×52)×4＝52π(cm 3)， V 半球＝43π×23×12＝163π(cm 3)， 所以，所求几何体的体积为V 圆台－V 半球＝52π－163π＝1403π(cm 3)．1．本题在计算几何体的表面积时，常因考虑不全(如忘记底面面积或半球的表面积等)而致误．2．组合体的体积等于各部分组合体的体积代数和．某组合体的直观图如图所示，它的中间为圆柱形，左右两端均为半球形，若图中r ＝1，l ＝3，试求该组合体的表面积和体积．【解析】 该组合体的表面积S ＝4πr 2＋2πrl ＝4π×12＋2π×1×3＝10π，该组合体的体积V ＝43πr 3＋πr 2l ＝43π×13＋π×12×3＝13π3.。
教案高一数学人教版必修二 1.3.2球的表面积和体积
双峰一中高一数学必修二教案
思考3:如图，对一个半径为R的半球，其体积与上述圆柱和圆锥的体积有何
思考5:由上述猜想可知，半径为R的球的
思考1:半径为r的圆面积公式是什么？它是怎样得出来的？
思考2:把球面任意分割成n个“小球面片”，它们的面积之和等于什么？
思考3:以这些“小球面片”为底，球心为顶点的“小锥体”近似地看成棱锥，那么这些小棱锥的底面积和高近似地等于什么？它们的体积之和近似地等
例2：已知正方体的八个顶点都在球O的球面上，且正方体的表面积为a2，求球O的表面积和体积.
例3：有一种空心钢球，质量为142g（钢的密度为7.9g/cm3），测得其外径为5cm，求它的内径（精确到0.1cm）.
将一个气球的半径扩大
已知A、B、C为球面上三点，。
数学必修2导学案1.3.2球的体积和表面积
研卷知古今；藏书教子孙。
1.3.2球的体积和表面积一、学习目标:知识与技能:⑴通过对球的体积公式的推导，了解推导过程中所用的基本数学思想方法，知道祖暅原理。
⑵能运用球的公式灵活解决实际问题。
培养空间想象能力。
过程与方法:通过球的体积公式的推导，从而得到一种推导球体积公式的方法，情感与价值观:通过学习，使我们对球的表面积、体积公式的推导方法有了一定的了解，提高空间思维能力和空间想象能力，增强了我们探索问题和解决问题的信心。
二、学习重难点:学习重点：引导学生了解推导球的体积和面积公式所运用的基本思想方法。
学习难点：推导体积和面积公式中空间想象能力的形成。
三、使用说明及学法指导:1、限定45分钟完成，认真阅读教材内容，注意逐字逐句仔细审题，认真思考、独立规范作答，不会的先绕过，做好记号。
2、把学案中自己易忘、易出错的知识点和疑难问题以及解题方法规律，及时整理在解题本，多复习记忆。
3、小班完成A,B,C 全部内容；实验班完成B 级以上；平行班完成A~B.（其中A 、B 级问题自主完成；C 级问题可由合作探究方式完成）四、知识链接:什么是球？球的半径？球的直观图怎样画？球的半径，截面圆的半径，球心与截面圆心的距离间有何关系？五、学习过程:B 问题1：球既没有底面，也无法像在柱体、锥体和台体那样展开成平面图形，那么怎样来求球的表面积与体积呢？球的大小是与球的半径有关，如何用球半径来表示球的体积和面积？（阅读32页了解球的体积的推导即可，球的表面积的推导不要求了解）B 问题2：球的表面积的公式怎样？球的体积怎样？A 例1：圆柱的底面直径与高都等于球的直径。
求证：（1）球的体积等于圆柱的体积的32；（2）球的表面积等于圆柱的侧面积；A 例2：已知：钢球直径是5cm,求它的体积.B (变式1)一种空心钢球的质量是142g,外径是5cm,求它的内径.(钢的密度是7.9g/cm2)六、达标训练一、选择题A1一个正方体的顶点都在球面上，此球与正方体的表面积之比是（ ） A. 3π B. 4π C. 2π D. πB2．在一个侧置的正三棱锥容器内放入一个钢球，钢球恰与棱锥的四个面都接触，过棱锥的一条侧棱和高作截面，正确的截面图形是（ ）A B C DB3正方体的全面积为a ,它的顶点都在球面上，则这个球的表面积是：（ ） A.3aπ; B.2aπ; C.a π2; D.a π3.B4已知正方体外接球的体积是323π，那么正方体的棱长等于 （ ）（A）（B（C（D二、填空题A5、球的直径伸长为原来的2倍,体积变为原来的倍.B6、一个正方体的顶点都在球面上,它的棱长是4cm,这个球的体积为cm3.B7、长方体的一个顶点上三条棱长分别为3、4、5，是它的八个顶点都在同一球面上，则这个球的表面积是。
最新人教版必修二高一数学1.3.2球的表面积和体积 教学设计
科目：数学
（
（
思考3:如图，对一个半径为R的半球，其体积与上述圆柱和圆锥
思考4:根据上述圆柱、圆锥的体积，你猜想半球的体积是什么？
思考1:半径为r的圆面积公式是什么？它是怎样得出来的？
思考2:把球面任意分割成n个“小球面片”，它们的面积之和等于什么？
思考3:以这些“小球面片”为底，球心为顶点的“小锥体”近似
思考5:经过球心的截面圆面积是什么？它与球的表面积有什么关系？
球的表面积等于球的大圆面积的4倍
例2：已知正方体的八个顶点都在球O的球面上，且正方体的表面积为a2，求球O的表面积和体积.
例3：有一种空心钢球，质量为142g（钢的密度为7.9g/cm3），
已知A、B、C为球面上三点，
本节课主要学习了球的体积和球的表面积公式的推导，以及利用公式解决相关的球的问题。
高中数学教案之高一数学人教版必修二球的表面积和体积
高中数学教案之高一数学人教版必修二球的表面积和体积文档编制序号：[KK8UY-LL9IO69-TTO6M3-MTOL89-FTT688]高一数学必修二教案科目：数学课题§1.3.2球的表面积和体积课型新课教学目标（1）了解球的表面积与体积公式（不要求记忆公式）.（2）培养学生空间想象能力和思维能力.（3）通过作轴截面，寻找旋转体类组合体中量与量之间的关系.（4）让学生更好地认识空间几何体的结构特征，培养学生学习的兴趣.教学过程教学内容备注一、自主学习1.柱体、锥体、台体的体积公式分别是什么圆柱、圆锥、圆台的表面积公式分别是什么2.球是一个旋转体，它也有表面积和体积，怎样求一个球的表面积和体积也就成为我们学习的内容.二、质疑提问思考1:从球的结构特征分析，球的大小由哪个量所确定思考2:底面半径和高都为R的圆柱和圆锥的体积分别是什么思考3:如图，对一个半径为R的半球，其体积与上述圆柱和圆锥的体积有何大小关系思考4:根据上述圆柱、圆锥的体积，你猜想半球的体积是什么思考5:由上述猜想可知，半径为R的球的体积334Rπ=球Ｖ，这是一个正确的结论，你能提出一些证明思路吗祖暅原理幂势既同，则积不容异夹在两个平行平面之间的两个几何体，被平行于这两个平面的任意平面所截，如果截得的两个截面的面积总相等，那么这两个几何体的体积相等．三、问题探究思考1:半径为r的圆面积公式是什么它是怎样得出来的思考2:把球面任意分割成n个“小球面片”，它们的面积之和等于什么思考3:以这些“小球面片”为底，球心为顶点的“小锥体”近似地看成棱锥，那么这些小棱锥的底面积和高近似地等于什么它们的体积之和近似地等于什么思考4:你能由此推导出半径为R的球的表面积公式吗思考5:经过球心的截面圆面积是什么它与球的表面积有什么关系球的表面积等于球的大圆面积的4倍例1：如图，圆柱的底面直径与高都等于球的直径，求证：（1）球的体积等于圆柱体积的；（2）球的表面积等于圆柱的侧面积.例2：已知正方体的八个顶点都在球O的球面上，且正方体的表面积为a2，求球O的表面积和体积.例3：有一种空心钢球，质量为142g（钢的密度为cm3），测得其外径为5cm，求它的内径（精确到）.四、课堂检测将一个气球的半径扩大1倍，它的体积扩大到原来的几倍已知A、B、C为球面上三点，AC=BC=6，AB=4，球心O与△ABC的外心M的距离等于球半径的一半，求这个球的表面积和体积.五、小结评价本节课主要学习了球的体积和球的表面积公式的推导，以及利用公式解决相关的球的问题。
1.3.2球的体积和表面积学案(含解析)新人教A版必修2
1．3.2 球的体积和表面积学习目标 1.掌握球的表面积和体积公式.2.能解决与球有关的组合体的计算问题．重点：球的体积和表面积的计算公式的应用.难点：解决与球相关的“内接”与“外切”的几何体问题 [导入新知]1．球的体积设球的半径为R ，则球的体积V ＝ . 2．球的表面积设球的半径为R ，则球的表面积S ＝ ，即球的表面积等于它的大圆面积的 倍． [化解疑难]1．一个关键 把握住球半径 2．两个结论(1)两个球的体积之比等于这两个球的半径之比的立方． (2)两个球的表面积之比等于这两个球的半径之比的平方． 题型一 球的体积与表面积[例1] 若圆锥与球的体积相等，且圆锥底面半径与球的直径相等，求圆锥侧面积与球面面积之比．球的体积是32π3，则此球的表面积是( )A ．12πB ．16π C.16π3D.64π3题型二 根据三视图计算球的体积与表面积[例2] 一个几何体的三视图(单位：cm)如图所示，则该几何体的表面积是________cm 2.[类题通法]计算球与球的组合体的表面积与体积时要恰当地分割与拼接，避免重叠和交叉．如图是一个几何体的三视图，根据图中的数据可得该几何体的表面积为( ) A．18πB．30πC．33πD．40π题型三球的截面问题[例3] 已知球的两平行截面的面积为5π和8π，它们位于球心的同一侧，且相距为1，求这个球的表面积．[类题通法]球的截面问题的解题技巧(1)有关球的截面问题，常画出过球心的截面圆，将问题转化为平面中圆的问题．(2)解题时要注意借助球半径R，截面圆半径r，球心到截面的距离d构成的直角三角形，即R2＝d2＋r2.已知过球面上三点A，B，C的截面到球心的距离等于球半径的一半，且AC＝BC＝6，AB＝4，求球的表面积与球的体积．题型四 1．探究与球有关的组合问题[典例] 一个长方体的各个顶点均在同一球的球面上，且一个顶点上的三条棱的长分别为1,2,3，则此球的表面积为________．[多维探究]1．球的内接正方体问题若棱长为2的正方体的各个顶点均在同一球面上，求此球的体积．2．球内切于正方体问题将棱长为2的正方体木块削成一个体积最大的球，则该球的体积为( )A.4π3B.2π3C.3π2D.π63．球的内接正四面体问题若棱长为a 的正四面体的各个顶点都在半径为R 的球面上，求球的表面积．4．球的内接圆锥问题球的一个内接圆锥满足：球心到该圆锥底面的距离是球半径的一半，则该圆锥的体积和此球体积的比值为________．5．球的内接直棱柱问题设三棱柱的侧棱垂直于底面，所有棱的长都为a ，顶点都在一个球面上，则该球的表面积为( ) A ．πa 2B.73πa 2C.113πa 2D ．5πa 2[方法感悟] 1．正方体的内切球球与正方体的六个面都相切，称球为正方体的内切球，此时球的半径为r 1＝a2，过在一个平面上的四个切点作截面，如图(1)． 2．球与正方体的各条棱相切球与正方体的各条棱相切于各棱的中点，过球心作正方体的对角面有r 2＝2a2，如图(2)． 3．长方体的外接球长方体的八个顶点都在球面上，称球为长方体的外接球，根据球的定义可知，长方体的体对角线是球的直径，若长方体过同一顶点的三条棱长为a ，b ，c ，则过球心作长方体的对角面有球的半径为r 3＝12a 2＋b 2＋c 2，如图(3)．4．正方体的外接球正方体棱长a 与外接球半径R 的关系为2R ＝3a . 5．正四面体的外接球正四面体的棱长a 与外接球半径R 的关系为：2R ＝62a . [随堂即时演练]1．两个球的半径之比为1∶3，那么两个球的表面积之比为( ) A ．1∶9 B ．1∶27 C ．1∶3D ．1∶12．棱长为2的正方体的外接球的表面积是( ) A ．8π B ．4π C ．12πD ．16π3．火星的半径约是地球半径的一半，则地球的体积是火星体积的________倍． 4．已知OA 为球O 的半径，过OA 的中点M 且垂直于OA 的平面截球面得到圆M .若圆M 的面积为3π，则球O 的表面积等于________．5．(1)已知球的直径为2，求它的表面积和体积． (2)已知球的体积为36π，求它的表面积．一、选择题1．两个球的体积之比为8∶27，那么这两个球的表面积之比为( ) A ．2∶3 B ．4∶9 C.2∶ 3D.8∶272．设长方体的长、宽、高分别为2a ，a ，a ，其顶点都在一个球面上，则该球的表面积为( )A ．3πa 2B ．6πa 2C ．12πa 2D ．24πa 23．如果一个球的外切圆锥的高是这个球的半径的3倍，则圆锥的侧面面积和球的表面积之比为( )A ．4∶3B ．3∶1C ．3∶2D ．9∶44．(全国乙卷)如图，某几何体的三视图是三个半径相等的圆及每个圆中两条互相垂直的半径．若该几何体的体积是28π3，则它的表面积是( )A ．17πB ．18πC ．20πD ．28π5．(山东高考)一个由半球和四棱锥组成的几何体，其三视图如图所示，则该几何体的体积为( )A.13＋23π B.13＋23π C.13＋26π D ．1＋26π 二、填空题6．圆柱形容器的内壁底半径是10 cm ，有一个实心铁球浸没于容器的水中，若取出这个铁球，测得容器的水面下降了53cm ，则这个铁球的表面积为________ cm 2.7．正四棱锥的顶点都在同一球面上．若该棱锥的高为4，底面边长为2，则该球的表面积为________．8．(天津高考)一个几何体的三视图如图所示(单位：m)，则该几何体的体积为________m 3.三、解答题9．某组合体的直观图如图所示，它的中间为圆柱形，左右两端均为半球形，若图中r ＝1，l ＝3，试求该组合体的表面积和体积．10．用两个平行平面去截半径为R 的球面，两个截面圆的半径为r 1＝24 cm ，r 2＝15 cm ，两截面间的距离为d ＝27 cm ，求球的表面积．。
人教A版高中数学必修二导学案球的体积和表面积
凡事豫（预）则立，不豫（预）则废。
1.3.2球的体积和表面积一、学习目标:知识与技能:⑴通过对球的体积公式的推导，了解推导过程中所用的基本数学思想方法，知道祖暅原理。
⑵能运用球的公式灵活解决实际问题。
培养空间想象能力。
过程与方法:通过球的体积公式的推导，从而得到一种推导球体积公式的方法，情感与价值观:通过学习，使我们对球的表面积、体积公式的推导方法有了一定的了解，提高空间思维能力和空间想象能力，增强了我们探索问题和解决问题的信心。
二、学习重难点:学习重点：引导学生了解推导球的体积和面积公式所运用的基本思想方法。
学习难点：推导体积和面积公式中空间想象能力的形成。
三、使用说明及学法指导:1、限定45分钟完成，认真阅读教材内容，注意逐字逐句仔细审题，认真思考、独立规范作答，不会的先绕过，做好记号。
2、把学案中自己易忘、易出错的知识点和疑难问题以及解题方法规律，及时整理在解题本，多复习记忆。
3、小班完成A,B,C 全部内容；实验班完成B 级以上；平行班完成A~B.（其中A 、B 级问题自主完成；C 级问题可由合作探究方式完成）四、知识链接:什么是球？球的半径？球的直观图怎样画？球的半径，截面圆的半径，球心与截面圆心的距离间有何关系？五、学习过程:B 问题1：球既没有底面，也无法像在柱体、锥体和台体那样展开成平面图形，那么怎样来求球的表面积与体积呢？球的大小是与球的半径有关，如何用球半径来表示球的体积和面积？（阅读32页了解球的体积的推导即可，球的表面积的推导不要求了解）B 问题2：球的表面积的公式怎样？球的体积怎样？A 例1：圆柱的底面直径与高都等于球的直径。
求证：（1）球的体积等于圆柱的体积的32；（2）球的表面积等于圆柱的侧面积；A 例2：已知：钢球直径是5cm,求它的体积.B (变式1)一种空心钢球的质量是142g,外径是5cm,求它的内径.(钢的密度是7.9g/cm2)六、达标训练一、选择题A1一个正方体的顶点都在球面上，此球与正方体的表面积之比是（ ）A. 3πB. 4πC. 2πD. πB2．在一个侧置的正三棱锥容器内放入一个钢球，钢球恰与棱锥的四个面都接触，过棱锥的一条侧棱和高作截面，正确的截面图形是（ ）A B C DB3正方体的全面积为a ,它的顶点都在球面上，则这个球的表面积是：（ ）A.3aπ; B.2aπ; C.a π2; D.a π3.B4已知正方体外接球的体积是323π，那么正方体的棱长等于 （ ）（A）（B（C（D二、填空题A5、球的直径伸长为原来的2倍,体积变为原来的倍.B6、一个正方体的顶点都在球面上,它的棱长是4cm,这个球的体积为cm3.B7、长方体的一个顶点上三条棱长分别为3、4、5，是它的八个顶点都在同一球面上，则这个球的表面积是。
高中数学人教A版必修2导学案：1.3.2球体的表面积和体积(学生版)
章节1.3.2 课题球的表面积与体积教学目标1.了解球的表面积和体积计算公式；2.能运用柱锥台球的表面积公式及体积公式进行计算和解决有关实际问题.教学重点球的表面积和体积公式教学难点求外接球、内切球的半径【复习回顾】柱体包括_____和_____,它的体积公式为___________；锥体包括_______和_______,它的体积公式为_____________；台体包括_____和______,它可以看作是大锥体上截去了一个小锥体,所以它的体积公式为_________ ___________________.【新知探究】球的体积和表面积球没有底面,也不能像柱体、锥体、台体那样展成平面图形，它的体积和表面积的求法涉及极限思想(一种很重要的数学方法).经过证明：球的体积公式343V Rπ=球的表面积公式24S Rπ=其中，R为球的半径.显然，球的体积和表面积的大小只与半径R有关.附：极限的思想推导球的表面积公式过程：如图,将球的表面分成n个小球面，每个小球面的顶点与球心O连接起来，近似的看作是一个棱锥，其高近似的看作是球的半径.则球的体积约为这n个小棱锥的体积和，表面积是这n个小球面的面积和.当n越大时，分割得越细密，每个小棱锥的高就越接近球的半径，于是当n趋近于无穷大时(即分割无限加细)，小棱锥的高就变成了球的半径(这就是极限的思想).所有小棱锥的体积和就是球的体积.最后根据球的体积公式就可以推导出球的表面积公式.【典型例题】例1．如图，圆柱的底面直径与高都等于球的直径(即圆柱内有一内切球)，求证（1）球的体积等于圆柱体积的23；（2）球的表面积等于圆柱的侧面积.练习1：长方体的一个顶点上的三条棱长为3、4、5，若它的八个顶点都在同一个球面上，求此球的表面积和体积.例2．求棱长为a的正四面体外接球与内切球的半径。
练习2：一个正三棱锥的四个顶点都在半径为1的球面上,其中底面的三个顶点在该球的一个大圆上,则该正三棱锥的体积是( )A. B. C. D.例3.有一个倒圆锥形容器，它的轴截面是一个正三角形，在容器内放入一个半径为R 的球，并注入水，使水面与球正好相切，然后将球取出，求此时容器中水的深度. （R ）练习3.半球内有一内接正方体，则这个半球的表面积与正方体表面积之比是多少?【达标检测】A 组1.记与正方体各个面相切的球为1O ，与各条棱相切的球为2O ，过正方体各顶点的球为3O 则这3个球的体积之比为 （ ）.A.1:2:3B.1:2:3C.1:22:33D.1:4:9 2.有相等表面积的球及正方体，它们的体积记为1,V 2V ，球直径为d ，正方体的棱长为a ，则（ ）. A.12,d a V V >> B.12,d a V V >< C.12,d a V V <> D.12,d a V V <<3.已知球的一个截面的面积为9π，且此截面到球心的距离为4，则球的表面积为__________.4.把一个半径为352cm 的金属球熔成一个圆锥,使圆锥的侧面积为底面积的3倍，则这个圆锥的高应为_______cm .5.如果球、正方体与等边圆柱（底面直径与母线相等）的体积相等，试比较它们的表面积S 球、S 正方体、S 圆柱的大小.B 组6.如图是一个几何体的三视图,根据图中数据,可得该几何体的表面积是… ( )A.32πB.16πC.12πD.8π7.设A 、B 、C 、D 是球面上的四个点，且在同一平面内， AB=BC=CD=DA=3，球心到该平面的距离是球半径的一半， 则球的体积是 （ ）A.86πB.646πC.242πD.722π8.设三棱柱的侧棱垂直于底面,所有棱的长都为a,顶点都在一个球面上,则该球的表面积为 ( )A.π2aB.73π2aC.113π2aD.5π2a 9.毛泽东《送瘟神》中写到：“坐地日行八万里”,又知地球的体积大约是火星的8倍,则火星的大圆周长约 万里.10.已知球面上过,,A B C 三点的截面和球心的距离是球半径的一半，且2AB BC CA ===，求球的表面积。
人教版高中数学必修2第一章空间几何体-《1.3.2球的体积和表面积》教案
§1.3.2 球的体积和表面积一. 教学目标１． 知识与技能⑴通过对球的体积和面积公式的推导，了解推导过程中所用的基本数学思想方法：“分 割——求和——化为准确和”，有利于同学们进一步学习微积分和近代数学知识。
⑵能运用球的面积和体积公式灵活解决实际问题。
⑶培养学生的空间思维能力和空间想象能力。
２． 过程与方法通过球的体积和面积公式的推导，从而得到一种推导球体积公式Ｖ＝34πR 3和面积公式Ｓ＝４πR 2的方法，即“分割求近似值，再由近似和转化为球的体积和面积”的方法，体现了极限思想。
３． 情感与价值观通过学习，使我们对球的体积和面积公式的推导方法有了一定的了解，提高了空间思维能力和空间想象能力，增强了我们探索问题和解决问题的信心。
二. 教学重点、难点重点：引导学生了解推导球的体积和面积公式所运用的基本思想方法。
难点：推导体积和面积公式中空间想象能力的形成。
三. 学法和教学用具１． 学法：学生通过阅读教材，发挥空间想象能力，了解并初步掌握“分割、求近似值 的、再由近似值的和转化为球的体积和面积”的解题方法和步骤。
２． 教学用具：投影仪四. 教学设计（一） 创设情景⑴教师提出问题：球既没有底面，也无法像在柱体、锥体和台体那样展开成平面图形，那么怎样来求球的表面积与体积呢？引导学生进行思考。
⑵教师设疑：球的大小是与球的半径有关，如何用球半径来表示球的体积和面积？激发学生推导球的体积和面积公式。
（二） 探究新知1．球的体积：如果用一组等距离的平面去切割球，当距离很小之时得到很多“小圆片”，“小圆片”的体积的体积之和正好是球的体积，由于“小圆片”近似于圆柱形状，所以它的体积也近似于圆柱形状，所以它的体积有也近似于相应的圆柱和体积，因此求球的体积可以按“分割——求和——化为准确和”的方法来进行。
步骤：第一步：分割如图：把半球的垂直于底面的半径ＯＡ作n 等分，过这些等分点，用一组平行于底面的平面把半球切割成n 个“小圆片”，“小圆片”厚度近似为n R ，底面是“小圆片”的底面。
高中数学 1.3.2球的体积与表面积导学案新人教版必修2
1.3.2 球的体积与表面积【学习目标】1、掌握球的体积、表面积公式．2、能会用球的表面积公式、体积公式解快相关问题，培养学生应用数学的能力． 重、难点：球的体积、表面积公式及应用【课前导学】 阅读必修2课本P27～28的内容后回答下列问题：1、球的体积：半径为R 的球，其体积V =球___________________2、球的表面积：球面不可展开，半径为R 的球，其表面积S =球面________________ 3、球的截面及其性质：（1）用一个平面去截一个球，截面是圆面。
其中，球面被经过球心的平面截得的圆叫做球的大圆，大圆的半径等于球的半径，被不经过球心的截面截得的圆叫做球的小圆。
（2）球心与截面圆圆心的连线与截面的位置关系是 。
4、边长为a 正三角形的外接圆的半径为 。
【预习自测】1、将一个气球的半径扩大1倍，它的体积扩大到原来的 倍。
2、已知某球的体积与表面积的数值相等，则此球的半径数值为_______________。
3、一个正方体的顶点都在球面上，它的棱长是2cm ，则球的表面积为 ，体积为 。
【典例探究】例1、如图，圆柱的底面直径与高都等于球的直径：求证：(1)球的体积等于圆柱体积的23； (2)球的表面积等于圆柱的侧面积。
例2、设正方体的棱长为a ，球半径为R ：①若球与正方体的每个面都相切，切点为每个面的中心，显然球心为正方体的中心。
如图，截面图为正方形EFGH 的内切圆，则_________=R②若球与正方体的各棱相切，切点为各棱的中点，如图作截面图，圆O 为正方形EFGH 的外接圆，则_________=R③若正方体的八个顶点都在球面上，如图，以对角面1AA 作截面图得，圆O 为矩形C C AA 11的外接圆，则_________=R例3、已知过球面上三点A、B、C的截面到球心O的距离等于球半径的一半，且AB=BC=CA=２cm，求球的体积，表面积．【总结与提升】熟练掌握球的体积、表面积公式及其应用。
【优选整合】人教A版高中数学必修二 1.3.2 球的体积和表面积 学案2
高中必修二 1.3.2 球的体积和表面积 学案2一、学习目标（1）了解球的表面积与体积公式。
（2）用球的表面积和体积公式灵活解决实际问题。
（3）培养学生空间想象能力和思维能力。
学习重点：用球的表面积和体积公式灵活解决实际问题。
学习难点：球的体积公式及其应用。
二 、知识链接1. 复习柱体、锥体、台体的表面积和体积公式；2. 复习圆的周长和面积公式。
三、合作交流问题1： 球既没有底面，也无法像在柱体、锥体和台体那样展开成平面图形，它是由半圆围绕直径旋转而成的旋转体，那么球的表面积与体积与半圆的哪个量有关呢？如何用球半径来表示球的体积和表面积？问题2：一个球的表面积为24π，那么它的体积为多少？四、【考点讲解与与巩固】1、球的基本运算例：若棱长为3的正方体的顶点都在同一球面上，则该球的表面积为____________.【答案:27π】 练习：<1>已知各顶点都在一个球面上的正四棱柱高为4，体积为16，则这个球的表面积是多少？【答案：24π】<2>一个球与正四面体的六条棱都相切，若正四面体的棱长为a ，则这个球的体积为_____________【答案：把正四面体补成正方体的内接正四面体，此时正方体的棱长为a )2/2(，于是球的半径为a ）（4/2，V=3)24/2(a π.】<3>一个长方体的各顶点均在同一球的球面上，且一个顶点上的三条棱的长分别为1,2,3，则此球的表面积为___.【答案：14π】例：左图是一个底面直径为20 cm 的装有一部分水的圆柱形玻璃杯，水中放着一个底面直径为6 cm ，高为20 cm 的一个圆锥形铅锤，当铅锤从水中取出后，杯里的水将下降几厘米？结论：因为圆锥形铅锤的体积为2)2/6(3/1⨯⨯π）（×20=60π（cm 3），设水面下降的高度为x ，则小圆柱的体积为x 2)2/20(π=100πx （ cm 3）.所以有60π=100πx ，解此方程得x=0.6（cm ）.2、球的组合体的计算例：请同学们自学教材第27页例4，然后总结一下解题规律.练习：如图所示，表示一个用鲜花做成的花柱，它的下面是一个直径为1 m 、高为3 m 的圆柱形物体，上面是一个半球形体.如果每平方米大约需要鲜花150朵，那么装饰这个花柱大约需要多少朵鲜花（π取3.1）?结论：圆柱形物体的侧面面积S 1≈3.1×1×3=9.3(m 2),半球形物体的表面积为S 2≈2×3.1×(2/1)2≈1.6(m 2),所以S 1+S 2≈9.3+1.6=10.9(m 2).10.9×150≈1 635(朵).答：装饰这个花柱大约需要1635朵鲜花.知识归纳： 空间几何体的表面积与体积的规律总结：表面积是各个面的面积之和，求多面体表面积时，只需将它们沿着若干条棱剪开后展成平面图形，利用平面图形求多面体的表面积.求旋转体的表面积时，可从回忆旋转体的生成过程及其几何特征入手，将其展开求表面积，但要搞清它们的底面半径、母线长与对应的侧面展开图中的边长关系，注意球面不可展开.②在体积公式中出现了几何体的高，其含义是：柱体的高：从柱体的一个底面上任一点向另一个底面作垂线，这点和垂足间的距离称为柱体的高；锥体的高：从锥体的顶点向底面作垂线，这点和垂足间的距离称为锥体的高；台体的高：从台体的一个底面上任一点向另一个底面作垂线，这点和垂足间的距离称为台体的高.注意球没有高的结构特征.③利用侧面展开图或截面把空间图形问题转化为平面图形问题，是解决立体几何问题的常用手段.④柱体、锥体、台体和球是以后学习第二章点、直线、平面位置关系的载体，高考试题中，通常是用本模块第一章的图，考查第二章的知识.⑤与球有关的接、切问题是近几年高考的热点之一，常以选择题或填空题的形式出现，属于低档题.五、【作业】1、必做题：教材第28页练习1、2、3；2、选做题：教材第29页习题1.3B组第1题.。
高中数学必修2教案-6.示范教案(1.3.2 球的体积和表面积)
1.3.2 球的体积和表面积整体设计教学分析本节教材直接给出了球的表面积和体积公式，并用两个例题来说明其应用.值得注意的是教学的重点放在球与其他几何体的组合体的有关计算上，这是高考的重点. 三维目标掌握球的表面积和体积公式，并能应用其解决有关问题，提高学生解决问题的能力，培养转化与化归的数学思想方法. 重点难点教学重点：球的表面积和体积公式的应用. 教学难点：关于球的组合体的计算. 课时安排 约1课时教学过程导入新课思路1.位于香港栈桥回澜阁西部、西陵峡路东端海滨，有一座新异奇秀的半球形建筑.由香港好世界饮食服务（中国）有限公司等三方合资兴建，1996年9月正式开业，既是岛城饮食服务业的“特一级”店，又是新增加的一处景点.酒店的总建筑面积11 380平方米，现酒店管理层决定在半球形屋顶嵌上一层特殊化学材料以更好地保护酒店，那么，需要多少面积的这种化学材料呢？思路2.球既没有底面，也无法像柱体、锥体和台体那样展开成平面图形，那么怎样来求球的表面积与体积呢？球的大小与球的半径有关，如何用球半径来表示球的体积和面积？教师引出课题：球的体积和表面积. 推进新课 新知探究球的半径为R ，它的体积和表面积只与半径R 有关，是以R 为自变量的函数.事实上，如果球的半径为R ，那么S=4πR 2,V=334R .注意：球的体积和表面积公式的证明以后证明. 应用示例思路1例1 如图1所示，圆柱的底面直径与高都等于球的直径，求证：图1（1）球的体积等于圆柱体积的32； （2）球的表面积等于圆柱的侧面积.活动：学生思考圆柱和球的结构特征，并展开空间想象.教师可以使用信息技术帮助学生读懂图形.证明：（1）设球的半径为R ，则圆柱的底面半径为R ，高为2R. 则有V 球=334R π，V 圆柱=πR 2·2R=2πR 3，所以V 球=圆柱V 32.（2）因为S 球=4πR 2，S 圆柱侧=2πR·2R=4πR 2，所以S 球=S 圆柱侧.点评：本题主要考查有关球的组合体的表面积和体积的计算.解决此类问题的关键是明确组合体的结构特征. 变式训练1.如图2(1)所示，表面积为324π的球，其内接正四棱柱的高是14,求这个正四棱柱的表面积.图2解：设球的半径为R ，正四棱柱底面边长为a,则轴截面如图2（2），所以AA′=14,AC=a 2,又∵4πR 2=324π,∴R=9. ∴AC=28''22=-CC AC .∴a=8.∴S 表=64×2+32×14=576,即这个正四棱柱的表面积为576.2有一种空心钢球，质量为142 g,测得外径（直径）等于5 cm ，求它的内径（钢的密度为7.9 g/cm 3，精确到0.1 cm ）.解：设空心球内径（直径）为2x cm,则钢球质量为7.9·［3334)25(34x ππ-∙］=142, ∴x 3=14.349.73142)25(3⨯⨯⨯-≈11.3,∴x≈2.24,∴直径2x≈4.5.答：空心钢球的内径约为4.5 cm.例2 如图3所示，表示一个用鲜花做成的花柱，它的下面是一个直径为1 m 、高为3 m 的圆柱形物体，上面是一个半球形体.如果每平方米大约需要鲜花150朵，那么装饰这个花柱大约需要多少朵鲜花（π取3.1）?图3活动：学生思考和讨论如何计算鲜花的朵数.鲜花的朵数等于此几何体的表面积（不含下底面）与每朵鲜花占用的面积.几何体的表面积等于圆柱的侧面积再加上半球的表面积. 解：圆柱形物体的侧面面积S 1≈3.1×1×3=9.3(m 2),半球形物体的表面积为S 2≈2×3.1×(21)2≈1.6(m 2), 所以S 1+S 2≈9.3+1.6=10.9(m 2). 10.9×150≈1 635(朵).答：装饰这个花柱大约需要1 635朵鲜花.点评：本题主要考查球和圆柱的组合体的应用，以及解决实际问题的能力. 变式训练有一个轴截面为正三角形的圆锥容器，内放一个半径为R 的内切球，然后将容器注满水，现把球从容器中取出，水不损耗，且取出球后水面与圆锥底面平行形成一圆台体，问容器中水的高度为多少？分析：转化为求水的体积.画出轴截面，充分利用轴截面中的直角三角形来解决. 解：作出圆锥和球的轴截面图如图4所示，图4圆锥底面半径r=R R330tan =︒,圆锥母线l=2r=R 32，圆锥高为h=r 3=3R ， ∴V 水=334332πππ=-R h r ·3R 2·3R 333534R R ππ=-，球取出后，水形成一个圆台，下底面半径r=R 3,设上底面半径为r′， 则高h′=(r -r′)tan60°=)'3(3r R -, ∴'3353h R ππ=(r 2+r′2+rr′),∴5R 3=)3'3')('3(322R Rr r r R ++-, ∴5R 3=)'33(333r R -，解得r′=6331634R R =, ∴h′=(3123-)R.答：容器中水的高度为(3123-)R.思路2例1 （2006广东高考，12）若棱长为3的正方体的顶点都在同一球面上，则该球的表面积为____________.活动：学生思考长方体和球的结构特征.教师可以借助于信息技术画出图形. 分析：画出球的轴截面可得，球的直径是正方体的对角线，所以球的半径R=233，则该球的表面积为S=4πR 2=27π. 答案：27π点评：本题主要考查简单的组合体和球的表面积.球的表面积和体积都是半径R 的函数.对于和球有关的问题，通常可以在轴截面中建立关系.画出轴截面是正确解题的关键. 变式训练1.（2006全国高考卷Ⅰ，理7）已知各顶点都在一个球面上的正四棱柱高为4，体积为16，则这个球的表面积是（ ）A.16πB.20πC.24πD.32π分析：由V=Sh ，得S=4，得正四棱柱底面边长为2.画出球的轴截面可得，该正四棱柱的对角线即为球的直径，所以，球的半径为R=642221222=++，所以球的表面积为S=4πR 2=24π. 答案：C2.（2005湖南数学竞赛，13）一个球与正四面体的六条棱都相切，若正四面体的棱长为a ，则这个球的体积为_____________.分析：把正四面体补成正方体的内接正四面体，此时正方体的棱长为a 22，于是球的半径为a 42，V=3242a π. 答案：3242a π 3.（2007天津高考，理12）一个长方体的各顶点均在同一球的球面上，且一个顶点上的三条棱的长分别为1,2,3，则此球的表面积为___________.分析：长方体的对角线为14321222=++，则球的半径为214,则球的表面积为4π(214)2=14π. 答案：14π例2 图5是一个底面直径为20 cm 的装有一部分水的圆柱形玻璃杯，水中放着一个底面直径为6 cm ，高为20 cm 的一个圆锥形铅锤，当铅锤从水中取出后，杯里的水将下降几厘米？图5活动：学生思考杯里的水将下降的原因，通过交流和讨论得出解题思路.因为玻璃杯是圆柱形的，所以铅锤取出后，水面下降部分实际是一个小圆柱，这个圆柱的底面与玻璃杯的底面一样，是一直径为20 cm 的圆，它的体积正好等于圆锥形铅锤的体积，这个小圆柱的高就是水面下降的高度.解：因为圆锥形铅锤的体积为2)26(31⨯⨯π×20=60π（cm 3）， 设水面下降的高度为x ，则小圆柱的体积为x 2)220(π=100πx （ cm 3）. 所以有60π=100πx ，解此方程得x=0.6（ cm ）. 答：杯里的水下降了0.6 cm.点评：本题主要考查几何体的体积问题，以及应用体积解决实际问题的能力.明确几何体的形状及相应的体积公式是解决这类问题的关键.解实际应用题的关键是建立数学模型.本题的数学模型是下降的水的体积等于取出的圆锥形铅锤的体积.明确其体积公式中的相关量是列出方程的关键. 变式训练1.一个空心钢球，外直径为12 cm ，壁厚0.2 cm ，问它在水中能浮起来吗？（钢的密度为7.9 g/cm 3）和它一样尺寸的空心铅球呢？（铅的密度为11.4 g/cm 3）分析：本题的关键在于如何判断球浮起和沉没，因此很自然要先算出空心钢球的体积，而空心钢球的体积相当于是里、外球的体积之差，根据球的体积公式很容易得到空心钢球的体积，从而算出空心钢球的质量，然后把它与水的质量相比较即可得出结论，同理可以判断铅球会沉没.解：空心钢球的体积为V 钢=348.53463433πππ=⨯-⨯×20.888≈87.45(cm 3)， ∴钢的质量为m 钢=87.45×7.9=690.86(g). ∵水的体积为V 水=34π×63=904.32(cm 3)， ∴水的质量为m 水=904.32×1=904.32(g)＞m 钢. ∴钢球能浮起来，而铅球的质量为m 铅=87.45×11.4=996.93(g)＞m 水. ∴同样大小的铅球会沉没.答：钢球能浮起来，同样大小的铅球会沉没.2.（2006全国高中数学联赛试题第一试，10）底面半径为1 cm 的圆柱形容器里放有四个半径为21cm 的实心铁球，四个球两两相切，其中底层两球与容器底面相切.现往容器里注水使水面恰好浸没所有铁球，则需要注水___________cm 3.分析：设四个实心铁球的球心为O 1、O 2、O 3、O 4，其中O 1、O 2为下层两球的球心，A 、B 、C 、D 分别为四个球心在底面的射影，则ABCD 是一个边长为22cm 的正方形，所以注水高为(1+22) cm.故应注水π(1+22)-4×)2231()21(343+=ππ cm 3. 答案：（31+22）π 知能训练1.三个球的半径之比为1∶2∶3，那么最大球的表面积是其余两个球的表面积之和的（ ） A.1倍 B.2倍 C.59倍 D.47倍分析：根据球的表面积等于其大圆面积的4倍，可设最小的一个半径为r ，则另两个为2r 、3r ，所以各球的表面积分别为4πr 2、16πr 2、36πr 2，5916436222=+r r r πππ（倍）.答案：C2.（2006安徽高考，理9）表面积为32的正八面体的各个顶点都在同一个球面上，则此球的体积为（ ） A.32π B.3πC.32πD.322π 分析：此正八面体是每个面的边长均为a 的正三角形，所以由8×32432=a 知，a=1，则此球的直径为2.答案：A3.（2007北京西城抽样，文11）若与球心距离为4的平面截球所得的截面圆的面积是9π，则球的表面积是____________. 分析：画出球的轴截面，则球心与截面圆心的连线、截面的半径、球的半径构成直角三角形，又由题意得截面圆的半径是3，则球的半径为2234+=5，所以球的表面积是4π×52=100π. 答案：100π4.某街心花园有许多钢球（钢的密度是7.9 g/cm 3）,每个钢球重145 kg,并且外径等于50 cm,试根据以上数据，判断钢球是实心的还是空心的.如果是空心的，请你计算出它的内径（π取3.14,结果精确到1 cm ）.解：由于外径为50 cm 的钢球的质量为7.9×3)250(34⨯π≈516 792(g), 街心花园中钢球的质量为145 000 g,而145 000＜516 792,所以钢球是空心的.设球的内径是2x cm ，那么球的质量为7.9·［3334)250(34x ππ-∙］=145 000, 解得x 3≈11 240.98,x≈22.4,2x≈45(cm).答：钢球是空心的，其内径约为45 cm.5.（2007海南高考，文11）已知三棱锥S —ABC 的各顶点都在一个半径为r 的球面上，球心O 在AB 上，SO ⊥底面ABC ，AC=r 2,则球的体积与三棱锥体积之比是（ ） A.π B.2π C.3π D.4π 分析：由题意得SO=r 为三棱锥的高，△ABC 是等腰直角三角形，所以其面积是21×2r×r=r 2,所以三棱锥体积是33132r r r =⨯⨯，又球的体积为343r π，则球的体积与三棱锥体积之比是4π.答案：D点评：面积和体积往往涉及空间距离，而新课标对空间距离不作要求，因此在高考试题中其难度很低，属于容易题，2007年新课标高考试题就体现了这一点.高考试题中通常考查球、三棱锥、四棱锥、长方体、正方体等这些简单几何体或它们的组合体的面积或体积的计算.我们应高度重视这方面的应用.拓展提升问题：如图6，在四面体ABCD中，截面AEF经过四面体的内切球（与四个面都相切的球）球心O，且与BC，DC分别截于E、F，如果截面将四面体分成体积相等的两部分，设四棱锥A—BEFD与三棱锥A—EFC的表面积分别是S1，S2，则必有（）图6A.S1＜S2B.S1＞S2C.S1=S2D.S1,S2的大小关系不能确定探究：如图7，连OA、OB、OC、OD，则V A—BEFD=V O—ABD＋V O—ABE＋V O—BEFD+V O—ADF，V A—EFC=V O—AFC＋V O—AEC＋V O—EFC，又V A—BEFD=V A—EFC，而每个小三棱锥的高都是原四面体的内切球的半径，故S△ABD＋S△ABE＋S BEFD+S△ADF=S△AFC＋S△AEC＋S△EFC，又面AEF是公共面，故选C.图7答案：C课堂小结本节课学习了：1.球的表面积和体积.2.计算组合体的体积时，通常将其转化为计算柱、锥、台、球等常见的几何体的体积.3.空间几何体的表面积与体积的规律总结：（1）表面积是各个面的面积之和，求多面体表面积时，只需将它们沿着若干条棱剪开后展成平面图形，利用平面图形求多面体的表面积.求旋转体的表面积时，可从回忆旋转体的生成过程及其几何特征入手，将其展开求表面积，但要搞清它们的底面半径、母线长与对应的侧面展开图中的边长关系，注意球面不可展开.（2）在体积公式中出现了几何体的高，其含义是：柱体的高：从柱体的一个底面上任一点向另一个底面作垂线，这点和垂足间的距离称为柱体的高；锥体的高：从锥体的顶点向底面作垂线，这点和垂足间的距离称为锥体的高；台体的高：从台体的一个底面上任一点向另一个底面作垂线，这点和垂足间的距离称为台体的高.注意球没有高的结构特征.（3）利用侧面展开图或截面把空间图形问题转化为平面图形问题，是解决立体几何问题的常用手段.（4）柱体、锥体、台体和球是以后学习第二章点、直线、平面位置关系的载体，高考试题中，通常是用本模块第一章的图，考查第二章的知识.（5）与球有关的接、切问题是近几年高考的热点之一，常以选择题或填空题的形式出现，属于低档题.作业课本本节练习1、2、3.设计感想本节教学结合高考要求，主要是从组合体的角度来讨论球的表面积和体积.值得注意的是其中的题目没有涉及球的截面问题（新课标对球的截面不要求），在实际教学中，教师不要增加球的截面方面的练习题，那样会增加学生的负担.。
教案高一数学人教版必修二 1.3.2球的表面积和体积
双峰一中高一数学必修二教案科目：数学课题§1.3.2球的表面积和体积课型新课教学目标（1）了解球的表面积与体积公式（不要求记忆公式）.（2）培养学生空间想象能力和思维能力.（3）通过作轴截面，寻找旋转体类组合体中量与量之间的关系.（4）让学生更好地认识空间几何体的结构特征，培养学生学习的兴趣.教学过程教学内容备注一、自主学习1.柱体、锥体、台体的体积公式分别是什么？圆柱、圆锥、圆台的表面积公式分别是什么？2.球是一个旋转体，它也有表面积和体积，怎样求一个球的表面积和体积也就成为我们学习的内容.二、质疑提问思考1:从球的结构特征分析，球的大小由哪个量所确定？思考2:底面半径和高都为R的圆柱和圆锥的体积分别是什么？思考3:如图，对一个半径为R的半球，其体积与上述圆柱和圆锥的体积有何大小关系？思考4:根据上述圆柱、圆锥的体积，你猜想半球的体积是什么？思考5:由上述猜想可知，半径为R的球的体积334Rπ=球Ｖ，这是一个正确的结论，你能提出一些证明思路吗？祖暅原理幂势既同，则积不容异夹在两个平行平面之间的两个几何体，被平行于这两个平面的任意平面所截，如果截得的两个截面的面积总相等，那么这两个几何体的体积相等．三、问题探究思考1:半径为r的圆面积公式是什么？它是怎样得出来的？思考2:把球面任意分割成n个“小球面片”，它们的面积之和等于什么？思考3:以这些“小球面片”为底，球心为顶点的“小锥体”近似地看成棱锥，那么这些小棱锥的底面积和高近似地等于什么？它们的体积之和近似地等于什么？思考4:你能由此推导出半径为R的球的表面积公式吗？思考5:经过球心的截面圆面积是什么？它与球的表面积有什么关系？球的表面积等于球的大圆面积的4倍例1：如图，圆柱的底面直径与高都等于球的直径，求证：（1）球的体积等于圆柱体积的；（2）球的表面积等于圆柱的侧面积.例2：已知正方体的八个顶点都在球O的球面上，且正方体的表面积为a2，求球O的表面积和体积.例3：有一种空心钢球，质量为142g（钢的密度为7.9g/cm3），测得其外径为5cm，求它的内径（精确到0.1cm）.四、课堂检测将一个气球的半径扩大1倍，它的体积扩大到原来的几倍？已知A、B、C为球面上三点，AC=BC=6，AB=4，球心O与△ABC的外心M的距离等于球半径的一半，求这个球的表面积和体积.五、小结评价本节课主要学习了球的体积和球的表面积公式的推导，以及利用公式解决相关的球的问题。
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课时目标1．了解球的体积和表面积公式．2．会用球的体积和表面积公式解决实际问题．3．培养学生的空间想象能力和思维能力．
知识梳理1．球的表面积
设球的半径为R，则球的表面积S＝________，即球的表面积等于它的大圆面积的________倍．
2．球的体积
设球的半径为R，则球的体积V＝________．
练习反馈
1．一个正方体与一个球表面积相等，那么它们的体积比是()
A．6π
6B．
π
2C．
2π
2D．
3π
π
2．把球的表面积扩大到原来的2倍，那么体积扩大到原来的()
A．2倍B．22倍C．2倍D．3
2倍
3．正方体的内切球和外接球的体积之比为()
A．1∶ 3 B．1∶3 C．1∶3 3 D．1∶9
4．若三个球的表面积之比为1∶2∶3，则它们的体积之比为()
A．1∶2∶3 B．1∶2∶ 3 C．1∶22∶3 3 D．1∶4∶7
5．长方体的一个顶点上的三条棱长分别为3,4,5，且它的8个顶点都在同一个球面上，则这个球的表面积为() A．25π B．50πC．125π D．以上都不对
6．一个圆锥与一个球的体积相等，圆锥的底面半径是球半径的3倍，圆锥的高与球半径之比为()
A．4∶9 B．9∶4 C．4∶27 D．27∶4
7．毛泽东在《送瘟神》中写到：“坐地日行八万里”．又知地球的体积大约是火星的8倍，则火星的大圆周长约________万里．
8．将一钢球放入底面半径为3 cm的圆柱形玻璃容器中，水面升高4 cm，
则钢球的半径是________．
9．(1)表面积相等的正方体和球中，体积较大的几何体是________；
(2)体积相等的正方体和球中，表面积较小的几何体是________．
10．如图所示，一个圆锥形的空杯子上放着一个直径为8 cm的半球形的冰淇淋，请你设计一种这样的圆锥形杯子(杯口直径等于半球形的冰淇淋的直径，杯子壁厚忽略不计)，使冰淇淋融化后不会溢出杯子，怎样设计最省材料？
11．有一个倒圆锥形容器，它的轴截面是一个正三角形，在容器内放一个半径为r的铁球，并注入水，使水面与球正好相切，然后将球取出，求这时容器中水的深度．
12．已知棱长都相等的正三棱锥内接于一个球，某学生画出了四个过球心的平面截球与三棱锥所得的图形，如图
所示，则()
A．以上四个图形都是正确的
B．只有(2)(4)是正确的
C．只有(4)是错误的
D．只有(1)(2)是正确的
13．有三个球，第一个球内切于正方体，第二个球与这个正方体各条棱相切，第三个球过这个正方体的各个顶点，求这三个球的表面积之比．
14.在四棱锥S-ABCD中,底面ABCD是边长为3的正方形,且各侧棱长均为2.求该四棱锥外接球的表面积.。