高一下册期中考试数学试题及答案(人教版)【名师版】

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【高一】2021―2021学年新课标人教版高一数学第二学期期中考试试卷及答案

【高一】2021―2021学年新课标人教版高一数学第二学期期中考试试卷及答案2021―2021学年第二学期期中考试高一年级数学科试卷第i卷（选择题,共48分）一、选择题（本大题共12小题，每小题4分后，共48分后）1、数列0，0，0，0…，0，…（）.a、就是等差数列但不是等比数列b、就是等比数列但不是等差数列c、既是等差数列又是等比数列d、既不是等差数列又不是等比数列2、若，则以下不等式中恰当的就是（）.（a）b2＜a2（b）＞（c）b＜a（d）ab＞a+b3、△中，，，的对边，则的对边等同于（）.（a）2（b）（c）（d）14、不等式的边值问题就是（）.a．b．c．d．5、在等比数列{an}中，若a3a5=4，则a2a6=（）.a、2b、2c、4d、46、等差数列{an}中，首项a1=4，a3=3，则该数列中第一次发生负值的项为（）.a、第9项b、第10项c、第11项d、第12项7、若关于x的不等式的边值问题就是，则对任一常数k，总存有（）.abcd8、在中，未知a=6,b=8,a=30°,谋角b则（）.a有两个解b有一个解c无解d有无数个解9、等差数列{an}中，未知前13项和s13=65,则a7=（）.a、10b、c、5d、1510、在中，，若则角c的度数就是（）.a120°b60°c60或120°d45°11、未知ab>0,且恒设立，则的值域范围就是（）.a{2}bcd12、等比数列中，未知对任一正整数，，则等同于（）.a、(2n－1)2b、(2n－1)c、(4n－1)d、4n－1第ii卷（非选择题,共72分后）二、填空题（本大题共4小题，每题4分，共16分）13、在2与32中间填入7个实数，并使这9个实数成等比数列，该数列的第7项是.14、已知的三个内角所对的边分别是，且，则．15、未知子集则=.16、设．三、答疑题（本大题共4小题，共56分后，求解应允写下字表明，证明过程或编程语言步骤）17.如图，海中有一小岛b，周围3.8海里内有暗礁。

云南省曲靖市高一数学下学期期中试卷(含解析)-人教版高一全册数学试题

2016-2017学年某某省某某市高一（下）期中数学试卷一.选择题（本大题共12小题，每题5分共60分）1．sin15°cos15°的值是（）A．B．C．D．2．已知角α的终边过点P（1，2），则tan（）=（）A．B．﹣ C．3 D．﹣33．已知向量，的夹角为120°，且||=1，||=2，则•（﹣2）=（）A．﹣1 B．1 C．﹣3 D．34．已知正方形ABCD的边长为1，则|﹣|=（）A．1 B．2 C．D．25．设向量的模为，则cos2α=（）A．B．C．D．6．下列函数中，最小正周期为π的偶函数是（）A．y=sinx+cosx B．y=cos4x﹣sin4xC．y=cos|x| D．y=7．如图，已知△ABC， =3， =， =，则=（）A．+B．+C．+D．+8．函数y=﹣xcosx的部分图象是（）A．B．C．D．9．若函数f（x）=cos（2x+θ）（0＜θ＜π）的图象关于（π，0）对称，则函数f（x）在[﹣，]上的最小值是（）A．﹣B．﹣1 C．﹣ D．﹣10．已知向量，的夹角为，||=1，||=，若=+， =﹣，则在上的投影是（）A．﹣B．C．﹣2 D．211．若直线xcosα+ysinα﹣1=0与圆（x﹣1）2+（y﹣sinα）2=相切，α为锐角，则斜率k=（）A．﹣B．C．﹣D．12．已知f（x）是定义在R上的偶函数，在[0，+∞）上是增函数，若a=f（sin），b=f（cos），c=f（tan），则（）A．a＞b＞c B．c＞a＞b C．b＞a＞c D．c＞b＞a二．填空题（本大题共4小题，每题5分共20分）13．已知，是两个不共线的非零向量，若2+k与k+共线，则k的值是．14．计算﹣=．15．若函数y=sinx+cosx的图象向左平移φ＞0个单位后，所得图象关于y轴对称，则φ的最小值是．16．已知函数y=cos2x+2cos（x+），则y的取值X围是．三．解答题（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17．在平面直角坐标系中，O为坐标原点，已知A（﹣2，0），B（0，﹣2），C（cosφ，sinφ），其中0＜φ＜π．（Ⅰ）若•=，求sin2φ的值；（Ⅱ）若|+|=，求与的夹角θ．18．如图，在平面直角坐标系xOy中，以Ox轴为始边作两个锐角α，β，它们的终边分别与单位圆相交于A，B两点，已知A，B的横坐标分别为，．（Ⅰ）求sin（α﹣β）的值；（Ⅱ）求α+2β的值．19．已知函数f（x）=sin2x+2sinxcosx+3cos2x+α的最大值与最小值之和为﹣2．（Ⅰ）求函数f（x）的解析式；（Ⅱ）求使得函数f（x）≥0成立的x的集合．20．已知函数f（x）=sin（ωx+φ）﹣cos（ωx+φ）（ω＞0，0＜φ＜π），对于任意x ∈R满足f（﹣x）=f（x），且相邻两条对称轴间的距离为．（Ⅰ）求y=f（x）的解析式；（Ⅱ）求函数的单调减区间．21．已知f（x）=（1+）sin2x﹣2sin（x+）sin（x﹣）．（Ⅰ）若sinθ+cosθ=，其中，求f（θ）的值；（Ⅱ）当≤x时，求函数f（x）的值域．22．已知函数f（x）=2sin（ωx+φ）（ω＞0，﹣＜φ＜0）的图象上任意两点（x1，f （x1），（x2，f（x2）），且φ的终边过点（1，﹣），若|f（x1）﹣f（x2）|=4时，|x1﹣x2|的最小值为．（Ⅰ）求f（x）的解析式；（Ⅱ）若对于任意的x∈[0，]，不等式mf（x）=2m≥f（x）恒成立，某某数m的取值X 围．2016-2017学年某某省某某市宣威九中高一（下）期中数学试卷参考答案与试题解析一.选择题（本大题共12小题，每题5分共60分）1．sin15°cos15°的值是（）A．B．C．D．【考点】GS：二倍角的正弦．【分析】根据二倍角的正弦公式将sin15°cos15°化为sin30°，再进行求值．【解答】解：sin15°cos15°=sin30°=，故选B．2．已知角α的终边过点P（1，2），则tan（）=（）A．B．﹣ C．3 D．﹣3【考点】G9：任意角的三角函数的定义．【分析】直接利用任意角的三角函数，求出tanα，根据二倍角求解即可．【解答】解：角α的终边为点P（1，2），即x=1，y=2，∴tanα=．tan（）==故选：A．3．已知向量，的夹角为120°，且||=1，||=2，则•（﹣2）=（）A．﹣1 B．1 C．﹣3 D．3【考点】9R：平面向量数量积的运算．【分析】将式子展开计算即可．【解答】解： =1， =4， =1×2×cos120°=﹣1，∴则•（﹣2）=﹣2=1﹣2×（﹣1）=3．故选D．4．已知正方形ABCD的边长为1，则|﹣|=（）A．1 B．2 C．D．2【考点】9R：平面向量数量积的运算．【分析】作出图形，利用平面向量加法的三角形法及向量的模的几何意义即可求得|﹣|=||=，从而可得答案．【解答】解：正方形ABCD的边长为1，如图：则|﹣|=|+|=||=，故选：C．5．设向量的模为，则cos2α=（）A．B．C．D．【考点】GT：二倍角的余弦；93：向量的模．【分析】由向量的模为，可求出sinα的平方，代入cos2α=1﹣2sin2α 可求出cos2α 的值．【解答】解：∵向量的模为，∴+cos2α=，cos2α=，∴cos2α=2cos2α﹣1=﹣，故选B．6．下列函数中，最小正周期为π的偶函数是（）A．y=sinx+cosx B．y=cos4x﹣sin4xC．y=cos|x| D．y=【考点】H1：三角函数的周期性及其求法．【分析】利用三角函数的奇偶性和周期性，判断各个选项中的函数的奇偶性和周期性，从而得出结论．【解答】解：由于y=sinx+cosx=sin（x+），故它的最小正周期为2π，故排除A；由于y=cos4x﹣sin4x=（cos2x﹣sin2x）•（cos2x+sin2x）=cos2x，故它的最小正周期为π，且它是偶函数，故B满足条件；由于y=cos|x|=cosx，它的最小正周期为2π，故排除C；由于y==•tan2x，故该函数为奇函数，不满足条件，故排除D，故选：B．7．如图，已知△ABC， =3， =， =，则=（）A．+B．+C．+D．+【考点】9F：向量的线性运算性质及几何意义．【分析】利用三角形法则得出结论．【解答】解： ====．故选C．8．函数y=﹣xcosx的部分图象是（）A．B．C．D．【考点】3O：函数的图象．【分析】由函数奇偶性的性质排除A，C，然后根据当x取无穷小的正数时，函数小于0得答案．【解答】解：函数y=﹣xcosx为奇函数，故排除A，C，又当x取无穷小的正数时，﹣x＜0，cosx→1，则﹣xcosx＜0，故选：D．9．若函数f（x）=cos（2x+θ）（0＜θ＜π）的图象关于（π，0）对称，则函数f（x）在[﹣，]上的最小值是（）A．﹣B．﹣1 C．﹣ D．﹣【考点】H7：余弦函数的图象．【分析】利用余弦函数的图象对称性，诱导公式，求得f（x）的解析式，再利用正弦函数的定义域和值域，求得函数f（x）在[﹣，]上的最小值．【解答】解：∵函数f（x）=cos（2x+θ）（0＜θ＜π）的图象关于（π，0）对称，故有f （π）=cos（2π+θ）=0，故有θ=kπ+，k∈Z，∴θ=，f（x）=﹣sin2x．在[﹣，]上，2x∈[﹣，]，故当2x=﹣时，f（x）取得最小值是﹣1，故选：B．10．已知向量，的夹角为，||=1，||=，若=+， =﹣，则在上的投影是（）A．﹣B．C．﹣2 D．2【考点】9R：平面向量数量积的运算．【分析】依题意，可求得•=，•=（+）•（﹣）=﹣2，及||=1，于是可求在上的投影==﹣2．【解答】解：∵向量，的夹角为，||=1，||=，∴•=||||cos=1××=，又=+， =﹣，∴•=（+）•（﹣）=﹣=1﹣3=﹣2，又=﹣2•+=1﹣2×1××+3=1，∴||=1，∴在上的投影为==﹣2，故选：C．11．若直线x cosα+ysinα﹣1=0与圆（x﹣1）2+（y﹣sinα）2=相切，α为锐角，则斜率k=（）A．﹣B．C．﹣D．【考点】J9：直线与圆的位置关系．【分析】根据圆心到直线的距离等于半径即可求解．【解答】解：直线xcosα+ysinα﹣1=0，圆（x﹣1）2+（y﹣sinα）2=，可知圆心为（1，sinα）．半径r=．圆心到直线的距离d=．可得：cos2a﹣cosα±=0，∵α为锐角，∴cosα=．∴sinα=．那么斜率k==﹣．故选：A．12．已知f（x）是定义在R上的偶函数，在[0，+∞）上是增函数，若a=f（sin），b=f（cos），c=f（tan），则（）A．a＞b＞c B．c＞a＞b C．b＞a＞c D．c＞b＞a【考点】3N：奇偶性与单调性的综合．【分析】根据题意，由三角函数的诱导公式可得a=f（sin）=f（﹣sin），b=f（﹣cos），结合函数的奇偶性可得a=f（sin），b=f（cos），结合三角函数的定义分析可得0＜cos＜sin＜1＜tan，结合函数的奇偶性即可得答案．【解答】解：根据题意，sin=sin（2π﹣）=﹣sin，则a=f（sin）=f（﹣sin），cos=cos（π﹣）=﹣cos，b=f（﹣cos），又由函数f（x）是定义在R上的偶函数，则a=f（sin）=f（﹣sin）=f（sin），b=f（﹣cos）=f（cos），又由＜＜，则有0＜cos＜sin＜1＜tan，又由函数在[0，+∞）上是增函数，则有c＞a＞b；故选：B．二．填空题（本大题共4小题，每题5分共20分）13．已知，是两个不共线的非零向量，若2+k与k+共线，则k的值是．【考点】9K：平面向量共线（平行）的坐标表示．【分析】2+k与k+共线，可得存在实数λ使得2+k=λ（k+），又，是两个不共线的非零向量，根据平面向量基本定理即可得出．【解答】解：∵2+k与k+共线，∴存在实数λ使得2+k=λ（k+），又，是两个不共线的非零向量，∴2=λk，k=λ，解得k=．故答案为：．14．计算﹣=．【考点】GI：三角函数的化简求值．【分析】将切化弦，通分，利用和与差公式换化角度相同，可得答案．【解答】解：由﹣====．故答案为：．15．若函数y=sinx+cosx的图象向左平移φ＞0个单位后，所得图象关于y轴对称，则φ的最小值是．【考点】HJ：函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换；GL：三角函数中的恒等变换应用．【分析】由条件根据函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，正弦函数的图象的对称性，求得φ的最小值．【解答】解：把函数y=sinx+cosx=2sin（x+）的图象向左平移φ＞0个单位，所得的图象对应的函数的解析式为y=2sin（x++φ），再根据所得图象关于y轴对称，可得+φ=kπ+，k∈z，可得：φ=kπ+，k∈z，则m的最小值为，故答案为：．16．已知函数y=cos2x+2cos（x+），则y的取值X围是[﹣3，]．【考点】GL：三角函数中的恒等变换应用．【分析】利用二倍角，诱导公式化简，转化为二次函数即可求y的取值X围．【解答】解：函数y=cos2x+2cos（x+）=1﹣2sin2x﹣2sinx=1﹣2（sin2x+sinx+）+=﹣2（sinx+）2．当sinx=时，y可取得最大值为．当sinx=1时，y可取得最小值为sinx==﹣3．则y的取值X围是[﹣3，]．故答案为：[﹣3，]．三．解答题（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17．在平面直角坐标系中，O为坐标原点，已知A（﹣2，0），B（0，﹣2），C（cosφ，sinφ），其中0＜φ＜π．（Ⅰ）若•=，求sin2φ的值；（Ⅱ）若|+|=，求与的夹角θ．【考点】9J：平面向量的坐标运算．【分析】（I）=（cosφ+2，sinφ），=（cosφ，si nφ+2），利用•=，可得cosφ+sinφ=，两边平方即可得出．（II）由|+|=，可得=，化为：cosφ=，0＜φ＜π．解答φ．利用cosθ=，即可得出．【解答】解：（I）=（cosφ+2，sinφ），=（cosφ，sinφ+2），•=，∴cosφ（cosφ+2）+sinφ（sinφ+2）=，∴cosφ+sinφ=，两边平方可得：sin2φ=﹣．（II）∵|+|=，∴=，化为：cosφ=，∵0＜φ＜π．∴φ=．∴C．∴cosθ===﹣，∴θ=．即与的夹角为．18．如图，在平面直角坐标系xOy中，以Ox轴为始边作两个锐角α，β，它们的终边分别与单位圆相交于A，B两点，已知A，B的横坐标分别为，．（Ⅰ）求sin（α﹣β）的值；（Ⅱ）求α+2β的值．【考点】GI：三角函数的化简求值；G9：任意角的三角函数的定义．【分析】（Ⅰ）由已知求出cosα，cosβ的值，再由平方关系求出sinα，sinβ的值，结合两角差的正弦求得sin（α﹣β）的值；（Ⅱ）由（Ⅰ）求出sin（α+β）、cos（α+β）的值，利用拆角配角思想求得sin（α+2β），结合角的X围求得α+2β的值．【解答】解：（Ⅰ）由已知可得，，∵α，β为锐角，∴sinα=，sinβ=．∴sin（α﹣β）=sinαcosβ﹣cosαsinβ=﹣=；（Ⅱ）sin（α+β）=sinαcosβ+cosαsinβ=+=，cos（α+β）==．∴sin（α+2β）=sin[（α+β）+β]=sin（α+β）cosβ+cos（α+β）sinβ==．又0＜α+2β＜，∴α+2β=．19．已知函数f（x）=sin2x+2sinxcosx+3cos2x+α的最大值与最小值之和为﹣2．（Ⅰ）求函数f（x）的解析式；（Ⅱ）求使得函数f（x）≥0成立的x的集合．【考点】GL：三角函数中的恒等变换应用；H2：正弦函数的图象．【分析】（Ⅰ）利用二倍角和两角和与差以及辅助角公式基本公式将函数化为y=Asin （ωx+φ）的形式，结合三角函数的图象和性质，求出f（x）的最大值和最小值，可得a的值，即得到f（x）的解析式．（Ⅱ）函数f（x）≥0，结合三角函数的图象和性质，求解即可．【解答】解：函数f（x）=sin2x+2sinxcosx+3cos2x+α．化简可得：f（x）=cos2x+sin2x+cos2x++a=cos2x+sin2x+2+a=2sin（2x+）+2+a．（Ⅰ）∵sin（2x+）的最大值为1，最小值为﹣1．∴4+2a=﹣2，则 a=﹣3．∴函数f（x）的解析式为f（x）=2sin（2x+）﹣1．（Ⅱ）函数f（x）≥0，即2sin（2x+）﹣1≥0．得：sin（2x+）．∴≤2x+≤．k∈Z．解得：kπ≤x≤，故得使得函数f（x）≥0成立的x的集合为{x|kπ≤x≤，k∈Z}．20．已知函数f（x）=sin（ωx+φ）﹣cos（ωx+φ）（ω＞0，0＜φ＜π），对于任意x ∈R满足f（﹣x）=f（x），且相邻两条对称轴间的距离为．（Ⅰ）求y=f（x）的解析式；（Ⅱ）求函数的单调减区间．【考点】GL：三角函数中的恒等变换应用；H2：正弦函数的图象．【分析】（Ⅰ）利用辅助角公式基本公式将函数化为y=Asin（ωx+φ）的形式，相邻两条对称轴间的距离为．根据周期公式，可得ω，f（﹣x）=f（x），函数f（x）是偶函数，可得φ．即得f（x）的解析式；（Ⅱ）函数，将f（x）代入化简，求解函数y，结合三角函数的图象和性质，可得单调减区间．【解答】解：函数f（x）=sin（ωx+φ）﹣cos（ωx+φ）（ω＞0，0＜φ＜π），化简可得：f（x）=2sin（ωx+φ）（Ⅰ）∵f（﹣x）=f（x），即函数f（x）是偶函数．∴φ=，k∈Z．∵0＜φ＜π∴φ=．相邻两条对称轴间的距离为．即T=．∵T=．∴ω=2．故得f（x）=2f（x）=2sin（2x+）=2cos2x．（Ⅱ）函数，f（x）=2cos2x．∴y=2cos2x+2cos2（x+）=2cos2x﹣2sin2x=﹣2sin（2x﹣）令2x﹣，k∈Z．得：≤x≤∴函数y的单调减区间：[，]，k∈Z．21．已知f（x）=（1+）sin2x﹣2sin（x+）sin（x﹣）．（Ⅰ）若sinθ+cosθ=，其中，求f（θ）的值；（Ⅱ）当≤x时，求函数f（x）的值域．【考点】GL：三角函数中的恒等变换应用；H2：正弦函数的图象．【分析】（Ⅰ）切化弦，利用二倍角和两角和与差以及辅助角公式基本公式将函数化为y=Asin（ωx+φ）的形式，利用sinθ+cosθ=，其中，转化思想构造出f（θ），即可求解．（Ⅱ）当≤x时，求出内层函数的取值X围，结合三角函数的图象和性质，即得到f（x）的值域．【解答】解：函数f（x）=（1+）sin2x﹣2sin（x+）sin（x﹣）．化简可得：f（x）=sin2x+2sin（x+）cos（x+）=sin2x+sinxcosx+sin2（x+）=cos2x+sin2x+cos2x═cos2x+sin2x+=sin（2x+）．（Ⅰ）∴f（θ）=sin（2θ+）．∵sinθ+cosθ=，其中，∴1+sin2θ=，即sin2θ=．∴cos2θ=．∴f（θ）=sin（2θ+）=（sin2θ+cos2θ）+=（Ⅱ）当≤x时，可得： 2x+≤．当2x+=时，f（x）取得最大值为=．当2x+=时，f（x）取得最大值为=0．故得当≤x时，函数f（x）的值域为[0，]．22．已知函数f（x）=2sin（ωx+φ）（ω＞0，﹣＜φ＜0）的图象上任意两点（x1，f（x1），（x2，f（x2）），且φ的终边过点（1，﹣），若|f（x1）﹣f（x2）|=4时，|x1﹣x2|的最小值为．（Ⅰ）求f（x）的解析式；（Ⅱ）若对于任意的x∈[0，]，不等式mf（x）=2m≥f（x）恒成立，某某数m的取值X 围．【考点】H2：正弦函数的图象；GL：三角函数中的恒等变换应用．【分析】（1）由函数的图象经过定点求得φ，由函数的最大值和最小值求出ω，可得函数的解析式．（2）条件即等价于，利用正弦函数的定义域和值域求得函数1﹣的最大值，可得m的X围．【解答】解：（1）角φ的终边经过点，，∵，∴．由|f（x1）﹣f（x2）|=4时，|x1﹣x2|的最小值为，得，即，∴ω=3，∴．（2）当时，3x﹣∈[﹣，]，sin（3x﹣）∈[﹣，]，∴，于是，2+f（x）＞0，即mf（x）+2m≥f（x），等价于，由，得的最大值为，所以，实数m的取值X围是．。

新教材人教版2019高一数学第二学期期中考试数学试题和答案(基础)

新教材高一数学第二学期期中考试数学试题本试卷共4页， 22小题，满分150分；考试时间120分钟。

注意事项：1．答题前，考生务必用黑色笔迹的钢笔或签字笔将自己的姓名、考号填写在答题卷上。

2．选择题要用2B 铅笔把答题卷上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。

非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卷各题指定区域内相应位置上；不准使用铅笔和涂改液。

不按要求作答的答案无效。

参考公式：=()S r R l π+圆台侧.（r 、R 分别为上、下底面半径，l 为母线长）24S R π=球. 11221()3V S S S S h =++棱台（h 为高，1S 、2S 分别为两底面面积）.一、单项选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分) 1．若OA →＝(－1,2)，OB →＝(1，－1)，则AB →＝( )A ．(－2,3)B ．(0,1)C ．(－1,2)D ．(2，－3) 2．已知i 是虚数单位，复数m ＋1＋(2－m )i 在复平面内对应的点在第二象限，则实数m 的取值范围是( )A ．(－∞，－1)B ．(－1,2)C ．(2，＋∞)D ．(－∞，－1)∪(2，＋∞) 3．设a ＝⎝⎛⎭⎫sin α，33，b ＝⎝⎛⎭⎫cos α，13，且a ∥b ，则锐角α为( ) A ．30° B ．60° C ．75° D ．45°4. 边长为4的等边三角形用斜二测画法得到的图形的面积是（）.6A .23B .26C .32D5．若圆台下底半径为4，上底半径为1，母线长为32，则其体积为( )A ．15πB ．21πC ．25πD ．63π6.若ABC ∆的三个内角满足sin :sin :sin 5:11:13A B C =，则 ABC ∆( ) A. 一定是锐角三角形. B. 一定是直角三角形.C. 一定是钝角三角形.D. 可能是锐角三角形，也可能是钝角三角形. 7．若四边形ABCD 满足AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +CD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0, (AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ -AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )·AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =0, 则该四边形一定是( ) A.正方形B.矩形C.菱形D.直角梯形8．圆柱的底面半径为2，高为3，垂直于圆柱底面的平面截圆柱所得截面为矩形ABCD (如图)．若底面圆的弦AB 所对的圆心角为π3，则圆柱被分成两部分中较大部分的体积为( )A ．10π＋3 3B ．10πC ．10π3＋ 3 D ．2π－3 3二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分．9．已知复数z ＝2－1＋i，则( ) A ．|z |＝2 B ．z 2＝2i C ．z 的共轭复数为1＋i D ．z 的虚部为－1 10．如图，PA 垂直于以AB 为直径的圆所在的平面，点C 是圆上异于A ，B 的任一点，则下列结论中正确的是( )A ．PC ⊥BCB ．AC ⊥平面PBC C ．平面PAB ⊥平面PBCD ．平面PCB ⊥平面PAC 11．对于△ABC ，有如下命题，其中正确的有( ) A ．若sin 2A ＝sin 2B ，则△ABC 为等腰三角形 B ．若sin A ＝cos B ，则△ABC 为直角三角形C ．若sin 2A ＋sin 2B ＋cos 2C ＜1，则△ABC 为钝角三角形D ．若AB ＝3，AC ＝1，B ＝30°，则△ABC 的面积为32或3412．对于四面体A -BCD ，以下命题中正确的命题是( ) A ．若AB ＝AC ＝AD ，则AB ，AC ，AD 与底面所成的角相等B ．若AB ⊥CD ，AC ⊥BD ，则点A 在底面BCD 内的射影是△BCD 的内心 C ．四面体A -BCD 的四个面中最多有四个直角三角形D ．若四面体A -BCD 的6条棱长都为1，则它的内切球的表面积为π6三、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，请把答案填写在题中横线上)13.在△ABC 中，若a=1，3b =，A+C=2B ，则A = _________. 14．一个圆锥的表面积为π，它的侧面展开图是圆心角为2π3的扇形，则该圆锥的侧面积为________． 15．已知复数z 1，z 2满足|z 1|＝1，|z 2|＝5，则|z 1－z 2|的最小值是________．16.设m 、n 是两条不同的直线，α、β是两个不同的平面，则下面四个命题中正确的是____________;①若m ⊥n ，m ⊥α，n ⊄α，则n ∥α ; ②若m ∥α，α⊥β，则m ⊥β;③若m ⊥β，α⊥β，则m ∥α; ④若m ⊥n ，m ⊥α，n ⊥β，则α⊥β;四、解答题(本大题共6小题，17题10分，其余小题为12分，共70分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17（共10分）．已知复数z 满足(z －2)·(1＋i)＝1－i (i 为虚数单位)． (1)求复数z ； (2)求|(3＋i)·z |.18．如图，平面ABEF ⊥平面ABCD ，四边形ABEF 与四边形ABCD 都是直角梯形， ∠BAD ＝∠FAB ＝90°，BC12AD ，BE 12FA ， G ，H 分别为FA ，FD 的中点． (1)求证：四边形BCHG 是平行四边形； (2)C ，D ，F ，E 四点是否共面？请说明理由．19．在△ABC 中,a ,b ,c 分别为内角A ,B ,C 所对的边, 且满足sin A +√3cos A =2. (1)求角A 的大小.(2)现给出三个条件: ①a =2; ②B =4π; ③c =√3b. 试从中选出两个可以确定△ABC 的条件, 写出你的方案,并以此为依据求△ABC 的面积.(写出一种方案即可)20．如图，在四棱锥P -ABCD 中，AD ⊥平面PDC ，AD ∥BC ， PD ⊥PB ，AD ＝1，BC ＝3，CD ＝4，PD ＝2. (1)求异面直线AP 与BC 所成角的余弦值； (2)求证：PD ⊥平面PBC ；(3)求直线AB 与平面PBC 所成角的正弦值．21．已知非零向量a ，b 满足|a |＝1，且(a －b )·(a ＋b )＝34.(1)求|b |；(2)当a ·b ＝－14时，求向量a 与a ＋2b 的夹角θ的值．22.如图，在三棱柱111ABC A B C -中，△ABC 是边长为2的等边三角形，1AA ⊥平面ABC ， D ，E 分别是1CC ，AB 的中点.（1）求证：CE ∥平面1A BD ；（2）若1EH A B ⊥于H ,且CH 与平面1A AB 所成角的正切值为152，求平面1A BD 与平面ABC 所成二面角（锐角）的余弦值.ABCEDA 1B 1C 1H新教材高一数学第二学期期中考试数学 (参考答案)一、单项选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分)D A B A B C C A二、多项选择题9. BD 10. AD 11. CD 12. ACD12.【解析】如图1，设点A 在平面BCD 内的射影是E ，因为sin ∠ABE ＝AEAB ，sin ∠ACE ＝AE AC ，sin ∠ADE ＝AE AD ，AB ＝AC ＝AD ，所以sin ∠ABE ＝sin ∠ACE ＝sin ∠ADE ，则AB ，AC ，AD 与底面所成的角相等，故A 正确；因为AE ⊥平面BCD ，所以AE ⊥CD ，又AB ⊥CD ，所以CD ⊥平面ABE ，所以CD ⊥BE ，同理可证BD ⊥CE ，所以E 是△BCD 的垂心，故B 不正确；如图2，设正方体的棱长为1，则易求得AC ＝2，AD ＝3，又CD ＝1，所以AC 2＋CD 2＝AD 2，即△ACD 为直角三角形，易证△ABC ，△ABD ，△BCD 都是直角三角形，直角三角形的个数是4，故C 正确；图1中，设O 为正四面体A -BCD 的内切球的球心，正四面体的棱长为1，所以OE 为内切球的半径，BF ＝AF ＝32，BE ＝33，所以AE ＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫332＝63，由BO 2－OE 2＝BE 2，得⎝ ⎛⎭⎪⎫63－OE 2－OE 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫332，所以OE ＝612，所以内切球的表面积为4π·OE 2＝π6，故D正确．二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，请把答案填写在题中横线上)13:6π14．34π15． 4， 16: ①、④三、解答题(本大题共6小题，17题10分，其余小题为12分，共70分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17．解：(1)由(z －2)·(1＋i)＝1－i ，得z ＝1－i 1＋i ＋2＝(1－i )2(1＋i )(1－i )＋2＝2－i.(2)由z ＝2－i ，得|(3＋i)·z |＝|(3＋i)(2－i)|＝|7－i|＝72＋(－1)2＝5 2. 18． (1)证明：由题设知，FG ＝GA ，FH ＝HD ，所以GH 12AD ．又BC12AD ，故GH BC ．所以四边形BCHG 是平行四边形． (2)解：C ，D ，F ，E 四点共面．理由如下：由BE 12FA ，G 是FA 的中点，知BE GF .所以EF BG .由(1)知BG ∥CH ，所以EF ∥CH . 故EC ，FH 共面．又点D 在直线FH 上，所以C ，D ，F ，E 四点共面． 19．解:(1)依题意,得2sin （A +π3）=2, 即sin （A +π3）=1.因为0<A <π,所以π3<A +π3<4π3, 所以A +π3=π2,所以A =π6. (2)参考方案:选择①②.由正弦定理asinA =bsinB ,得b =asinBsinA =2√2.因为A+B+C=π,所以sin C=sin(A+B)=sin A cos B+cos A sin B =√2+√64,所以S△ABC =12ab sin C=12×2×2√2×√2+√64=√3+1.20．(1)解：因为AD∥BC，所以∠DAP或其补角就是异面直线AP与BC所成的角．因为AD⊥平面PDC，所以AD⊥PD．在Rt△PDA中，AP＝AD2＋PD2＝5，所以cos ∠DAP＝ADAP＝55.所以异面直线AP与BC所成角的余弦值为5 5.(2)证明：因为AD⊥平面PDC，所以AD⊥PD．又因为AD∥BC，PD⊥BC，又PD⊥PB，BC∩PB＝B，所以PD⊥平面PBC．(3)解：过点D作AB的平行线交BC于点F，连接PF，则DF与平面PBC所成的角等于AB与平面PBC所成的角．因为PD⊥平面PBC，故PF为DF在平面PBC上的射影，所以∠DFP为直线DF和平面PBC所成的角．由于AD∥BC，DF∥AB，故BF＝AD＝1.由已知得CF＝BC－BF＝2.又AD⊥DC，故BC⊥DC．在Rt△DCF中，DF＝DC2＋CF2＝2 5.在Rt△DPF中，sin∠DFP＝PDDF＝5 5.所以直线AB与平面PBC所成角的正弦值为5 5.21. 解：(1)根据条件，(a－b)·(a＋b)＝a2－b2＝1－b2＝34，∴b2＝14. |b|＝12.(2)∵a·b＝－14，∴a·(a＋2b)＝a2＋2a·b＝1－12＝12，|a＋2b|＝()22a b+＝1－1＋1＝1.cos θ＝()22a a ba a b•++＝121×1＝12. θ∈[0，π]，得θ＝π3.22（共12分）.解法：（1）证明：延长1A D交AC的延长线于点F，连接BF.∵CD∥1AA，且CD12=1AA，∴C为AF的中点.∵E为AB的中点，∴CE∥BF.∵BF⊂平面1A BD，CE⊄平面1A BD，∴CE∥平面1A BD. ……………4分（2）解：∵1AA⊥平面ABC，CE⊂平面ABC，∴1AA⊥CE.∵△ABC是边长为2的等边三角形，E是AB的中点，∴CE AB⊥，332CE AB==.∵AB⊂平面1A AB，1AA⊂平面1A AB，1AB AA A=，∴CE ⊥平面1A AB . ∴EHC ∠为CH 与平面1A AB 所成的角.在Rt △CEH 中，CE =∴tan CE EHC EH ∠===.∴EH =. ……………8分 ∵CE ∥BF ，CE ⊥平面1A AB ，∴BF ⊥平面1A AB . ∵AB ⊂平面1A AB ，1A B ⊂平面1A AB ，∴BF ⊥AB ，BF ⊥1A B .∴1ABA ∠为平面1A BD 与平面ABC 所成二面角（锐角）. …………10分在Rt △EHB 中，BE=1,BH ==， cos 1ABA ∠∴平面1A BD 与平面ABC .…………12分。

湖北省高一下学期期中数学试题(解析版)

湖北省十堰市柳林中学高一下学期期中数学试题一、单选题1．在复平面内，复数对应的点位于（） ()i 3i +A ．第一象限 B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【答案】B【分析】根据复数的乘法运算进行化简，根据复数的几何意义即可求解. 【详解】解：因为，其在复平面内对应点的坐标为， ()i 3i 13i +=-+()1,3-故复数对应的点位于第二象限. ()i 3i +故选：B.2．若非向量、满足，且，则向量、的夹角为（）a b 2a b = ()a b b -⊥ a bA ．B ．C ．D ．π6π32π35π6【答案】B【分析】根据向量垂直得到方程，求出，利用向量夹角余弦公式求出答案.2a b b ⋅= 【详解】因为，所以，即，()a b b -⊥ ()20a b b a b b -⋅=⋅-= 2a b b ⋅= 设量、的夹角为，则，a b θ21cos 2b a a b a bb b a θ====⋅⋅⋅因为，所以.π0,2θ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦π3θ=故选：B3．在中，角A 、B 、C 对的边分别为a 、b 、c ．若，，，则角C 等于ABC 1a =3b =c =（） A ．90° B ．120° C ．60° D ．45°【答案】B【分析】利用余弦定理求解即可.【详解】由题可知,2221cos 22a b c C ab +-===-因为,故.0180C ︒<<︒120C =︒故选：B.4．已知则（） ()()πcos ,2422,2x x f x f x x ⎧≤⎪=⎨⎪->⎩()3f =A ．BCD ．【答案】C【分析】根据自变量应用分段函数,再由特殊角求解函数值即可. 【详解】 ()()π3212cos 24f f ====故选:C.5．已知向量＝（－1，2），＝（3，m ），m ∈R ，则“m ＝－6”是“∥”的（）a b a ()a b +r rA ．充要条件B ．充分不必要条件C ．必要不充分条件D ．既不充分也不必要条件【答案】A【分析】由平面向量线性运算及共线的的坐标表示运算可得解.【详解】由题意得＝（2，2＋m ），由，得－1×（2＋m ）＝2×2，所以m ＝－6.a b +()//a a b + 当m ＝－6时，＝（2，－4）＝－2（－1，2），可得，a b +()//a a b + 则“m ＝－6”是“”的充要条件.()//a a b + 故选：A.6．冬奥会会徽以汉字“冬”为灵感来源，结合中国书法的艺术形态，将悠久的中国传统文化底蕴与国际化风格融为一体，呈现出中国在新时代的新形象、新梦想．某同学查阅资料得知，书法中的一些特殊画笔都有固定的角度，比如弯折位置通常采用30°、45°、60°、90°、120°、150°等特殊角度下．为了判断“冬”的弯折角度是否符合书法中的美学要求．该同学取端点绘制了，测得ABD △，，，，若点C 恰好在边BD上，请帮忙计算的值5AB =6BD =AC =3AD =sin ACD ∠（）A ．B ．C ．D125923【答案】C【分析】先根据三条边求出，利用平方关系得到，结合正弦定理可得cos ADB ∠sin ADB ∠.sin ACD ∠【详解】由题意，在中，由余弦定理可得，ABD △，222936255cos 22369AD BD AB ADB AD BD +-+-∠===⋅⨯⨯因为，所以()0,πADB ∠∈sin ADB ∠===在中，由正弦定理，ACDsin sin AC ADADB ACD =∠∠，解得.3sin ACD =∠2sin 3ACD ∠=故选：C.7．在平行四边形ABCD 中，E 是对角线AC 上靠近点C的三等分点，点F 在BE 上，若，则（）13AF xAB AD =+x =A ．B ．C ．D ．23455667【答案】C【分析】根据平面向量三点共线定理和平面向量基本定理，由对应系数相等列方程求解即可. 【详解】由题可知， ()23AE AB AD =+ ∵点F 在BE 上，∴，()1AF AB AE λλ=+- ∴． 2133AF λ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭ 2233AB AD λ⎛⎫+- ⎪⎝⎭∴，． 221333λ-=12λ=∴． 21153326x =+⨯=故选：C ．8．如图，点是半径为的半圆弧上的动点，半圆的圆心为，，则的最大值T 1O 2OP OB =PT OT为（）A B C ．3 D ．4【答案】C【分析】建立直角坐标系，设为参数，用三角函数求解.BOT θ∠=【详解】如图，以OB 所在直线为x 轴，过O 点且垂直于AB 的直线为y 轴，建立平面直角坐标系，设，则，，BOT θ∠=()cos ,sin T θθ()2,0P 根据题意可知，， ()()cos 2,sin ,cos ,sin PT OT θθθθ=-= ，当时，取得最大值3； ()2cos 2cos sin 12cos PT OT θθθθ⋅=-+=- πθ=PT OT ⋅故选：C.二、多选题9．给出下列命题正确的是（） A ．空间中所有的单位向量都相等B ．长度相等且方向相反的两个向量是相反向量C ．若满足，且同向，则 ,a b a b > ,a b a b >D ．对于任意向量，必有 ,a ba b a b +≤+ 【答案】BD【分析】根据向量的基本概念即可求解. 【详解】对于A ：向量相等需要满足两个条件：长度相等且方向相同，缺一不可，故A 错；对于B ：根据相反向量的定义可知B 正确；对于C ：向量是矢量不能比较大小，故C 错；对于D ：根据三角形三边关系知正确； a b a b +≤+故选：BD.10．函数的部分图象如图所示，则（）()()sin 0,π2f x x ϕωϕω⎛⎫=+>< ⎪⎝⎭A ． 2ω=B ． π6ϕ=C ．的图象关于点对称()f x π,012⎛⎫⎪⎝⎭D ．在区间上单调递增()f x 5ππ,4⎛⎫⎪⎝⎭【答案】ACD【分析】根据三角函数的图象，先求得，然后求得，根据三角函数的对称性、单调性确定正确ωϕ答案. 【详解】，，由于()()5ππ2ππ,π,2,sin 22632T T f x x ωϕω=-=∴==∴==+π2sin π133f ϕ⎛⎫⎛⎫=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， πππ2π7π,22636ϕϕ-<<<+<所以，所以A 选项正确，B 选项错误. 2πππ,326ϕϕ+==-，()ππππsin 2,2π,,66122k f x x x k x k ⎛⎫=--==+∈ ⎪⎝⎭Z 当时，得，所以关于对称，C 选项正确， 0k =π12x =()f x π,012⎛⎫⎪⎝⎭， 11111πππππ2π22π,ππ,26263k x k k x k k -+<-<+-+<<+∈Z 当时，得在上递增，则在区间上单调递增，所以D 选项正确.11k =()f x 54π,π63⎛⎫ ⎪⎝⎭()f x 5ππ,4⎛⎫⎪⎝⎭故选：ACD11．如图所示，小船被绳索拉向岸边，船在水中运动时设水的阻力大小不变，那么小船匀速靠岸过程中，下列说法中正确的是（）A ．绳子的拉力不断增大B ．绳子的拉力不断变小C ．船的浮力不断变小D ．船的浮力保持不变【答案】AC【分析】设水的阻力为，绳子的拉力为,与水平方向的夹角为，根据题意则有f F F π,(0,)2θθ∈，然后逐一分析判断即可.||cos ||F f θ=【详解】解：设水的阻力为，绳子的拉力为,与水平方向的夹角为，f F F π,(0,2θθ∈则有， ||cos ||F f θ=所以， ||||cos f F θ=因为增大，减小， θcos θ所以增大，||F 加上浮力等于船的重力，||sin F θ所以船的浮力减小. 故选：AC.12．在锐角中，角、、所对的边分别为、、，已知，且，则ABC A B C a b c 2cos a b B =b c ≠（）． A ．2A B =B ．角的取值范围是B π0,4⎛⎫⎪⎝⎭C ．的取值范围是cos A 10,2⎛⎫⎪⎝⎭D ．的取值范围是ab【答案】ACD【分析】利用正弦定理以及二倍角的正弦公式可判断A 选项的正误；利用三角形的内角和定理以及已知条件求出角的取值范围，可判断B 选项的正误；利用余弦函数的基本性质可判断C 选项B 的正误；利用二倍角的正弦公式可判断D 选项的正误. 【详解】因为，所以，2cos a b B =sin 2sin cos sin 2A B B B ==，，则，所以或．02A π<<Q 02B π<<02B π<<2A B =2A B π+=因为，所以，所以，则，故A 正确； b c ≠B C ≠2A B A B C π+≠++=2A B =因为，所以．A B C π++=3C A B B ππ=--=-因为是锐角三角形，所以，即，解得，ABC 020202A B C πππ⎧<<⎪⎪⎪<<⎨⎪⎪<<⎪⎩02202032B BB ππππ⎧<<⎪⎪⎪<<⎨⎪⎪<-<⎪⎩64B ππ<<，故B 错误，D 正确； cos B <<sin sin 22cos sin sin a A B B b B B ===∈因为，所以，所以，则C 正确．2A B =32A ππ<<10cos 2A <<故选：ACD.三、填空题13．已知，，且，则点M 的坐标为______. ()2,4A -()3,4C --3CM CA =【答案】()0,20【分析】设出点M 的坐标，将各个点坐标代入中，计算结果.3CM CA =【详解】解：由题意得，所以. ()()23,441,8CA =-++= ()33,24CM CA ==设，则，(),M x y ()()3,43,24CM x y =++=所以，解得， 33424x y +=⎧⎨+=⎩020x y =⎧⎨=⎩故点M 的坐标为. ()0,20故答案为：()0,2014．已知平面向量，，若与垂直，则实数______． ()1,2a = ()1,1b =- ka b + 3a b -k =【答案】52【分析】根据向量垂直的坐标运算列方程即可得实数的值.k 【详解】已知平面向量，，则()1,2a =()1,1b =-()()()()()()1,21,11,21,31,231,14,1ka b k k k a b +=+-=-+-=--=-又与垂直，则，解得ka b + 3a b -()()()()()()31,214,141210ka b a b k k k k +⋅-=-+⋅-=--+= 52k =.故答案为：. 5215__________．=【答案】1-【分析】根据切化弦及两角差正弦公式的逆用即可得解.【详解】原式2sin(2030)2sin10︒-︒==︒=.2sin1012sin10-︒==-︒故答案为：1-16．若函数在上有四个零点，则实数的()())sin 2sin 10f x x x x ωωωω=-+>5π0,6⎛⎫⎪⎝⎭ω取值范围是______．【答案】35,22⎛⎤⎥⎝⎦【分析】利用二倍角和辅助角公式化简得到()π2sin 26f x x ω⎛⎫=+⎪⎝⎭在上有且仅有四个不同实数解，根据的范围，结合方程解的个数πsin 26x ω⎛⎫+= ⎪⎝⎭5π0,6⎛⎫ ⎪⎝⎭π26x ω+可构造不等式组求得结果.【详解】()2cos 12sin 2cos2f x x x x x x ωωωωω=+-=+π2sin 26x ω⎛⎫=+ ⎪⎝⎭若在上有四个零点，则在上有且仅有四个不同实数解，()f x 5π0,6⎛⎫ ⎪⎝⎭πsin 26x ω⎛⎫+= ⎪⎝⎭5π0,6⎛⎫ ⎪⎝⎭当时，，5π0,6x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭ππ5ππ2,6636x ωω⎛⎫+∈+ ⎪⎝⎭，解得：，即实数的取值范围为.8π5ππ13π3363ω∴<+≤3522w <£ω35,22⎛⎤ ⎥⎝⎦故答案为：.35,22⎛⎤⎥⎝⎦四、解答题17．已知，，且与夹角为，求：4a = 2b = a b120 (1)；2a b - (2)与的夹角．aa b +【答案】(1) (2). π6【分析】（1）根据数量积的运算律，求出的值，即可得出答案；()22a b - （2）先根据数量积的运算律，求出的值，即可得出的值，进而根据数量积的运算得()2a b + a b + 出的值.然后根据夹角公式，即可得出结果.()a ab ⋅+【详解】（1）由已知可得，.1cos1204242a b a b ⎛⎫⋅==⨯⨯-=- ⎪⎝⎭o r r r r 所以有，()2224246844164a b a a b b -⋅+=-=++=所以2a b -=（2）因为，()2222168412a ba ab b +=+⋅+=-+=所以a b += 又，()216412a b a a a b ⋅=+=-+⋅=所以()cos ,a a b a a b aa b⋅++===+所以与的夹角为．aa b + π618．已知函数． ()2sin cos f x x x x =(1)求的单调递减区间；()f x (2)当时，求不等式2π2π,33x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦()f x <【答案】(1) ()5π11ππ,π1212k k k ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦Z (2) πππ2π,,2323⎛⎫⎛⎤- ⎪ ⎥⎝⎭⎝⎦【分析】（1）利用二倍角和辅助角公式化简得到，利用整体代换法可求得单调()πsin 23f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭递减区间；（2）根据正弦型函数的值域可求得可求得结果.()f x <2π2π,33x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦【详解】（1）；())11πsin 21cos 2sin 22sin 2223f x x x x x x ⎛⎫=+==- ⎪⎝⎭令，解得：， ()3ππ3π2π22π22k x k k +≤-≤+∈Z ()5π11πππ1212k x k k +≤≤+∈Z 的单调递减区间为.()f x \()5π11ππ,π1212k k k ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦Z（2）由，()f x <πsin 23x ⎛⎫-< ⎪⎝⎭，解得：， ()2ππ7π2π22π333k x k k ∴+<-<+∈Z ()π4πππ23k x k k +<<+∈Z 分别取和得：和， 1k =-0k =ππ23x -<<π4π23x <<则当时，.2π2π,33x ⎡⎤∈-⎢⎣⎦()f x <πππ2π,,2323⎛⎫⎛⎤- ⎪ ⎥⎝⎭⎝⎦ 19．已知函数（其中）的图像如图所示．()()sin f x A x =+ωϕ0,0,2A πωϕ>><(1)求函数的解析式；()f x (2)若将函数的图像上的所有点的纵坐标不变，横坐标伸长到原来的倍，得到函数()y f x =3()g x 的图像，求当时，函数的值域．50,4x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦()y g x =【答案】(1)()sin 23f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭(2) 1,12⎡⎤-⎢⎥⎣⎦【分析】（1）根据图像得到A =1，，进而求得，再由点在图像上求741234T πππ=-=ω7,112π⎛⎫-⎪⎝⎭解；（2）利用伸缩变换得到，再利用正弦函数的性质求解. ()2sin 33g x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭【详解】（1）解：由图像知：A =1，，则，， 741234T πππ=-=T π=22T πω==所以， ()()sin 2f x x ϕ=+因为点在图像上，所以， 7,112π⎛⎫- ⎪⎝⎭7sin 16πϕ⎛⎫+=- ⎪⎝⎭所以，解得， 732,Z 62k k ππϕπ+=+∈2,Z 3k k πϕπ=+∈因为，所以，2πϕ<3πϕ=所以； ()sin 23f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭（2）解：由题意得， ()2sin 33g x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭因为，则， 50,4x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦27,3336x πππ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦所以，当，即时，有最大值； 2332x ππ+=4x π=()2sin 33g x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭1当，即时，有最小值 27336x ππ+=54=x π()2sin 33g x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭12-所以，即的值域为. ()21sin ,1332g x x π⎛⎫⎡⎤=+∈- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦()g x 1,12⎡⎤-⎢⎥⎣⎦20．在中，，，D 是边BC 上一点，，设，ABC 120BAC ∠=︒AB =1AC =2DC BD =AB a =．AC b =(1)试用，表示；a b AD (2)求的值．AD BC ⋅ 【答案】(1) 2133AD a b =+(2)【分析】（1）根据题意可得、，结合平面向量的线性运算即可求解； 13BD BC = BC b a =- （2）根据平面向量数量积的定义求出，结合数量积的运算律计算即可求解.a b ⋅ 【详解】（1）∵D 是边BC 上一点，，2DC BD =∴，又∵，，得， 13BD BC = AB a = AC b = BC b a =- ∴． ()11213333AD AB BD AB BC a b a a b =+=+=+-=+ （2，，，1b AC == 120BAC ∠=︒∴， cos a b a bBAC ⋅=⋅∠= ． ()222111233333AD BC a b b a b a b a ⎛⎫⋅=+⋅-=+⋅-= ⎪⎝⎭ 21．如图，某广场有一块不规则的绿地，城建部门欲在该地上建造一个底座为三角形的环境标志，小李、小王设计的底座形状分别为、，经测量，，，ABC ABD △7m AD BD ==5m BC =8m AC =．C D ∠=∠(1)求的长度；AB (2)若环境标志的底座每平方米造价为5000元，不考虑其他因素，小李、小王谁的设计使建造费用较低（请说明理由）？较低造价为多少？【答案】(1)7m (2)小李的设计符合要求，理由见解析；总造价为（元）【分析】（1）根据余弦定理求解即可.cos cos C D =（2）根据正弦定理面积公式得到选择建筑环境标志费用较低，再计算其建造费用即可.ABC 【详解】（1）在中，由余弦定理，得． ABC 22226425cos 280AC BC AB AB C AC BC +-+-==⋅在中，由余弦定理得． ABD △22224949cos 298AD BD AB AB D AD BD +-+-==⋅由，得，所以， C D ∠=∠cos cos C D =2289988098AB AB --=解得，所以长度为．7AB =AB 7m （2）小李的设计符合要求．理由如下：因为，， 149sin sin 22ABD S AD BD D D =⋅⋅⋅=△140sin sin 22ABC S AC BC C C =⋅⋅⋅=△因为，所以，故选择建筑环境标志费用较低．sin sin D C =ABD ABC S S >△△ABC 因为，所以是等边三角形，， 7AD BD AB ===ABD △60D C ∠=∠=︒所以 1sin 2ABC S AC BC C =⨯⨯⨯=△所以总造价为5000⨯=22．在中，角A 、B 、C 对的边分别为a 、b 、c ．且． ABC 222222sin sin sin 2a A C b c c C a b -+-=+-(1)求角B 的大小；(2)求的取值范围；sin sin A C +(3)若，，P 为AC 边中点，求BP 的长．3a =2c =【答案】(1)； π3B =(2)； sin sin A C +∈【分析】（1）利用正弦定理、余弦定理化简结合特殊角的三角函数值即得；（2）根据三角恒等变换结合正弦函数的性质即得；（3）由题可得，然后利用模长公式结合条件即得. ()12BP BC BA =+ 【详解】（1）因为， 222222sin sin sin 2a A C b c c C a b -+-=+-所以，即， 2222222a c a b c c a c b-+-=+-2222222222222211a a a b c a c a c b a c b -+--==-+-+-化简得，222a c b ac +-=故，又， 2221cos 22a cb B ac +-==()0,πB ∈故； π3B =（2）由（1）知，， 2π3AC +=故，2π1sin sin sin sin sin sin 32A C A A A A A ⎛⎫+=+-=+ ⎪⎝⎭3πsin 26A A A ⎛⎫==+ ⎪⎝⎭又，则， 2π03A <<ππ5π666A <+<π6A ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭即； sin sin A C +∈（3）∵， ()12BP BC BA =+ ∴，又，， ()()222211244BP BC BA BC BA BC BA =+=++⋅ 3BC =2BA =π3B =∴， 21π1994223cos 434BP ⎛⎫=⨯++⨯⨯⨯=⎪⎝⎭ ，即BP。

广东省深圳市高一下学期期中考试数学试题(解析版)

一、单选题1．下列结论中，正确的是（）A ．零向量只有大小没有方向B ． ||||AB BA =C ．对任一向量，总是成立的D ．与线段的长度不相等a ||0a > ||AB BA 【答案】B【分析】根据平面向量的概念，逐一判断即可得出答案．【详解】既有大小又有方向的量叫向量，则零向量既有大小又有方向，故A 错误；由于与方向相反，长度相等，故B 正确；AB BA 因为零向量的模为0，故C 错误；与线段的长度相等，故D 错误．||AB BA 故选：B ．2．复数，将复数z 的对应向量按逆时针方向旋转，所得向量对应的复数为（） 1i z =-π4AB C ．1 D ．i 【答案】A 【分析】求出复数z 的对应向量的终点所在角终边，按逆时针方向旋转后对应点所对角终OZ Z π4边，再求出对应点的坐标作答.【详解】复数的对应向量的终点在坐标轴的第四象限的角平分线上，1i z =-(1,1)OZ =- (1,1)Z -将此角平分线按逆时针方向旋转后，得x 轴的非负半轴，令点对应的点为， π4Z (,0),0Z a a '>由得：，点，||||OZ OZ '= a =Z 'Z '所以将复数z 的对应向量按逆时针方向旋转π4故选：A3．如图所示，是水平放置的的直观图，轴，轴，，A B C '''A ABC A //A B y '''//B C x '''2A B ''=，则中，（）3B C ''=ABC A AC =A ．B ．C ．D 254【答案】B 【分析】根据斜二测画法原则，由直观图判断原图中的长度，再利用勾股定理计算.,AB BC AC 【详解】在直观图中，，，A B C '''A 2A B ''=3B C ''=由斜二侧画法知，在中，，，且；ABC A 24AB A B =''=3BC B C ''==AB BC ⊥所以．5AC ===故选：B.4．下列命题中，正确的是（）A ．三点确定一个平面B ．垂直于同一直线的两条直线平行C ．若直线与平面上的无数条直线都垂直，则l αl α⊥D ．若a 、b 、c 是三条直线，且与c 都相交，则直线a 、b 、c 在同一平面上a b ∥【答案】D【分析】利用空间点、线、面位置关系直接判断.【详解】A.不共线的三点确定一个平面，故A 错误；B.由墙角模型，显然B 错误；C.根据线面垂直的判定定理，若直线与平面内的两条相交直线垂直，则直线与平面垂直，若l αl α直线与平面内的无数条平行直线垂直，则直线与平面不一定垂直，故C 错误；l αl αD.因为，所以确定唯一一个平面，又与都相交，故直线共面，故D 正//a b a b 、c a b 、a b c 、、确；故选：D.5．已知向量，且，则向量（）()()2,3,1,a b x == a b ⊥ 23a b +=r r A ． B ． C ． D ．()7,4()7,4-()3,4()3,4-【答案】A【分析】根据平面向量互相垂直的坐标表示公式，结合平面向量线性运算的坐标表示公式进行求解即可.【详解】因为，所以， a b ⊥ 2021303a b x x ⋅=⇒⨯+=⇒=- 因为， ()22,3,1,3a b ⎛⎫==- ⎪⎝⎭ 所以，()()()24,6,33,2237,4a b a b ==-⇒+=r r r r 故选：A6．把一个铁制的底面半径为，侧面积为的实心圆柱熔化后铸成一个球，则这个铁球的表面416π3积为（）A ．B ．C ．D ． 16π12π24π9π【答案】A【分析】先求出圆柱的高，由圆柱和球的体积相等即可得出球的半径，再利用球体的表面积公式可求得结果.【详解】设实心圆柱的高为， h 因为实心圆柱的底面半径为，侧面积为，解得， 4162π4π3h ⨯⨯=23h =则圆柱的体积为， 2232π4π33V =⨯⨯=设球的半径为，则，解得， R 3432ππ33R =2R =因此，该铁球的表面积为.224π4π216πR =⨯=故选：A.7．如图，在直三棱柱中，，为的中点，为棱的中点，则下列结111ABC A B C -CA CB =P 1A B Q 1CC 论不正确的是（）A ．B ．//平面 1PQ A B ⊥AC 1A BQ C ．D ．//平面1PQ CC ⊥PQ ABC 【答案】B 【分析】A 选项可以利用三线合一证明垂直关系，B 选项可利用“线面平行时，直线无论怎么平移不会和平面相交”的性质来判断.C 选项先通过类似A 选项的证明得到线线垂直，结合AC 的结论得到线面垂直后判断，D 选项可以构造平行四边形，结合线面平行的判定证明，【详解】不妨设棱柱的高为，.2h AC CB x ==B 选项，根据棱柱性质，//，而平面，若//平面，无论怎样平移11A C AC 11A C ⋂11A BQ A =AC 1A BQ 直线，都不会和平面只有一个交点，于是得到矛盾，故B 选项错误；AC 1A BQA 选项，计算可得，为的中点，故（三线合一），A 选项1QA QB =P 1A B 1PQ A B ⊥正确；C 选项，连接，根据平行四边形性质，过，计算可得，11,,QB QA AB 1AB P 1QA QB ==为的中点，故（三线合一），结合A 选项，，，P 1AB 1PQ AB ⊥1PQ A B ⊥11AB A B P = 平面，故平面，由平面，故，棱柱的侧棱11,AB A B ⊂11ABB A PQ ⊥11ABB A 1AA ⊂11ABB A PQ ⊥1AA //，故，C 选项正确；1AA 1CC 1PQ CC ⊥D 选项，取中点，连接，结合为的中点可知，为中位线，故//AB E ,PE CE P 1A B PE 1ABA △PE ，且，即//，且，故四边形为平行四边形，故//，由1AA 112PE AA =PE CQ PE CQ =PECQ PQ CE 平面，平面，故//平面，D 选项正确.PQ ⊄ABC CE ⊂ABC PQ ABC 故选：B8．如图，点C 是半径为1的扇形圆弧上一点，且，若，则A AB 34AOB π∠=OC xOA yOB =+ 的最大值是（）xA ．1BCD ．4【答案】C 【分析】由平面向量数量积的运算，结合两角和的正弦公式，求三角函数的最值即可.【详解】如图所示，以为轴，过作与垂直的线作为轴，OB x O OB y，，， 3π4AOB ∠=11OA OB== ，()1,0A B ⎛∴ ⎝，设，， ()cos ,sin C θθ3π0,4θ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦()()cos ,sin 1,0OC x y x y θθ⎛⎛⎫==+=+⎪ ⎪⎝⎝⎭cos cos sin sin y x y θθθθθ⎧=+⎪⎧=⎪⎪∴∴⎨⎨=+⎪⎩⎪=⎪⎩)()cos sin i n x θθθθθθϕ+===+∴时，.()sin 1θϕ∴+=x +故选：C.二、多选题9．已知，是两条不重合的直线，，，是三个两两不重合的平面，则下列命题正确的是 m n αβγA ．若，，，则B ．若，，则 m α⊥n β⊥//αβ//m n αγ⊥βγ⊥//αβC ．若，，，则D ．若，，则//m β//n β,m n α⊂//αβn ⊂αn β⊥αβ⊥【答案】AD【分析】A 利用线面垂直的性质判断；B 利用面面关系来判断；C 利用面面平行的判定定理来判断；D 利用面面垂直的判定定理来判断.【详解】解：对A ：若，，则，又，所以，故正确；m α⊥//αβm β⊥n β⊥//m n 对B ：若，，则与可能平行，也可能相交，故错误；αγ⊥βγ⊥αβ对C ：若，，，由于没有强调与相交，故不能推出，故错误； //m β//n β,m n α⊂m n //αβ对D ：若，，根据面面垂直的判定定理，可得，故正确.n ⊂αn β⊥αβ⊥故选：AD.【点睛】本题考查线面面面平行与垂直的判定和性质，是基础题.10．设复数，则下列命题中正确的是（） 21i z =-A ．B ． ||z =1i z =-C ．在复平面上对应的点在第一象限D ．的虚部为z z i 【答案】ABC【分析】将复数化简整理得，依次验证A 、B 、C 、D 四个选项，可知D 错误.z 1i z =+【详解】，知复数的虚部为1，所以选项D 错误；2(1i)1i (1i)(1+i)z +==+-z对于选项A ，A 正确；||z =对于选项B ，，所以选项B 正确；1i z =-对于选项C ，复数对应的点为在第一象限，所以选项C 正确.z (1,1)故选：ABC.11．关于平面向量，有下列四个命题，其中说法正确的是（）A ．若，则 a b b c ⋅=⋅ a c =B ．若向量，，则向量在向量上的投影向量为 ()2,1a = ()3,1b =- a b 12b - C ．非零向量和满足，则与的夹角为a b a b a b ==-r r r r a a b + 60︒D ．点，，与向量同方向的单位向量为 ()1,3A ()4,1B -AB 34,55⎛⎫- ⎪⎝⎭【答案】BD【分析】A 选项，可以变形计算得到或，或；B 选项，利用投影向量计算0b = 0a c -= ()b ac ⊥- 公式计算；C 选项，根据模长相等判断出以，为边对应的四边形为菱形，且，夹角为，a b a b 60︒从而得到与的夹角；D 选项，利用公式求解以一个向量同方向单位向量.a ab + 【详解】A 选项：若即有， ··,a b bc = ()·0c b a -=则或，或，故A 错； 0b = 0a c -= ()b ac ⊥- B 选项：，，则，()2,1a = ()3,1b =- ·5a b =- b == 所以向量在向量上的投影向量为，故B 正确． a b 2·51102ba b b b b -==- C 选项：非零向量和满足，a b a a b b ==- 以，为边对应的四边形为菱形，且，夹角为a b a b 60︒则与的夹角为，故C 错；a ab + 30︒D 选项：点，，， ()1,3A ()4,1B -()3,4AB =- 可得与向量同方向的单位向量为，故D 正确． AB 34,55AB AB ⎛⎫=-⎪⎝⎭故选：BD ．12．如图，在棱长为1的正方体中，点是线段上的动点，下列命题正确的1111ABCD A B C D -P 1AD 是（）A ．异面直线与所成角的大小为定值1PC 1B C B ．二面角的大小为定值1P BC D --C ．若是对角线上一点，则长度的最小值为 Q 1AC PQ QC +43D ．若是线段上一动点，则直线与直线不可能平行R BD PR 1AC 【答案】ABC【分析】证明平面后得线线垂直，从而判断A ，根据二面角的定义判断B ，把1B C ⊥11ABC D 和沿摊平得平面四边形，在平面四边形中求得到直线的距离后11AC D △1AC C △1AC 12ACC D C 2AD 判断C ，取中点，连接交于，连接交于，连接，证明判断AD E 1A E 1AD P CE BD R RP 1//PR A CD ．【详解】如图1，由平面，平面，得，又， AB ⊥11BCC B 1B C ⊂11BCC B 1AB B C ⊥11B C BC ⊥，平面，所以平面，1AB BC B =I 1,AB BC ⊂11ABC D 1B C ⊥11ABC D 平面，所以，即异面直线与所成角是为定值，A 正确； 1PC ⊂11ABC D 11B C PC ⊥1PC 1B C 90︒如图1，二面角即为二面角，为定值，B 正确；1P BC D --1A BC D -- 图1把和沿摊平，得平面四边形，如图2．11AC D △1AC C △1AC 12ACC D 作于，，此时最小，2CP AD ⊥P 1CP AC Q = PQ QC CP +=四边形中，，12ACC D 2AC AD ==1AC =1121C C CD ==由对称性知，21CD AC ⊥11AC CC CG AC⋅==22CD CG == AG===，所以的最小值是，C 正确； 2243CD AG CP AD ⋅===PQ QC +43 图2取中点，连接交于，连接交于，连接，如图3，AD E 1A E 1AD P CE BD R RP 则，所以，D 错． 111EP AE AE ER PA A D BC RC===1//PR A C 故选：ABC ．图3【点睛】本题空间直线、平面间的位置关系，考查异面直线所成的角，二面角的定义，主要考查空间想象能力，属于难题．解题关键是利用正方体的性质证明空间的线面位置关系，确定空间角，对空间的线段和的最小值问题，方法是空间问题平面化，即把空间的两个面摊平到一个平面上，利用平面的知识求解．三、填空题13．i 是虚数单位，则复数___________. 312i i -=+【答案】 1755i -【分析】对复数进行分母实数化即可化简.【详解】 ()()()()3123171212125i i i i i i i ----==++-1755i =-14．设，是两个不共线的向量，若向量与的方向相反，则__________.a b 2ka b + 8a kb +r r k =【答案】4-【分析】根据向量共线定理可得存在实数使， λ()288ka b a kb a k b λλλ+=+=+ 从而得到关于，的方程组，进而可求出.k λk 【详解】由题意可知与共线，2ka b + 8a kb +r r所以存在实数使， λ()288ka b a kb a k b λλλ+=+=+ 因为，不共线，所以，解得或， a b 82k k λλ=⎧⎨=⎩124k λ⎧=⎪⎨⎪=⎩124k λ⎧=-⎪⎨⎪=-⎩因为向量与的方向相反，即. 2ka b + 8a kb +r r 124k λ⎧=-⎪⎨⎪=-⎩故答案为：. 4-15．如图，在三棱锥中，，且，，分别是棱，的中D ABC-AC =AC BD ⊥E F DC AB 点，则和所成的角等于__________.EF AC【答案】/30︒6π【分析】取BC 的中点G ，连接FG 、EG ，则为EF 与AC 所成的角．解．EFG ∠EFG A 【详解】如图所示，取BC 的中点G ，连接FG ，EG ．，F 分别是CD ，AB 的中点，E ，，且，． FG AC A EG BD ∥12FG AC =12EG BD =为EF 与AC 所成的角（或其补角）．EFG ∴∠又，． AC =Q FG ∴=又，，，AC BD ^ FG EG ∴⊥90FGE ∴∠=︒为直角三角形，为锐角， EFG ∴△tan EG EFG FG ∴∠==EFG ∠，即EF 与AC 所成的角为．30EFG ∴∠=︒30︒故答案为：．30︒16．在中，角，，所对的边为，，，若，且的ABC A A B C a b c sin sin cos cos 3sin B C A C A a c=+ABC A 面积，则的取值范围是___________. 222)ABC S a b c =+-△c a b+【答案】 1,12⎡⎫⎪⎢⎣⎭【分析】由面积公式及余弦定理求出，再由正、余弦定理将角化边，即可求出，再由正弦定理C c 及三角恒等变换公式将转化为关于的三角函数，最后由三角函数的性质计算可得； c a b +A 【详解】解：由，，222)ABCS a b c +-△∴2221sin )2ab C a b c=+-又，所以， 2222cos c a b ab C =+-1sin 2cos 2ab C ab C =，，tan C ∴=0C π<< 60C ∴=︒，． sin sin cos cos 3sin B C A C A a c =+∴1cos cos 3A C a c+，∴22222222222b b c a a b c b b a abc abc abc ac+-+-=+==c ∴=由正弦定理得， 24sin c R C =所以 24sin4sin 4sin 4sin 3ab A B A A π⎛⎫+=+=+- ⎪⎝⎭224sin 4sin cos 4cos sin 33A A A ππ=+-， 16sin cos )26A A A A A π⎫=+=+=+⎪⎪⎭因为，所以，所以， 203A π<<5666A πππ<+<1sin ,162A π⎛⎫⎛⎤+∈ ⎪ ⎥⎝⎭⎝⎦， (6A π⎛⎫∴+∈ ⎪⎝⎭． ∴1,12c a b ⎡⎫⎪⎢+⎣⎭故答案为：． 1,12⎡⎫⎪⎢⎣⎭四、解答题17．在中，已知，，在线段上，且，，设ABC A 3BC =4AC =P BC 13BP BC = 23AQ AB = CB a = ，. CA b =(1)用向量，表示；a b AP (2)若，求.60ACB ∠=︒AP CQ ⋅ 【答案】(1) 23AP a b =- (2)4-【分析】（1）根据向量的线性运算直接计算；（2）利用基底法求向量的数量积.【详解】（1）由题得,； 13BP BC = 23CP CB = 2233AP CP CA CB CA a b ∴=-=-=- （2）已知，,,得 3CB a == 4CA b == 60ACB ∠=︒1cos60°=34=62a b a b ⋅=⋅⨯⨯ 由已知得， ()222121333333CQ CA AQ CA AB CA CB CA CB CA a b =+=+=+-=+=+ . 222214414333993AP CQ a b a b a a b b ⎛⎫⎛⎫∴⋅=-⋅+=-⋅-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 18．在△中，内角所对的边分别是，已知，，. ABC ,,A B C ,,a b c 1a =2b =1cos 4C =(1)求的值； c (2)求△的面积.ABC 【答案】(1)2c =【分析】（1）直接利用余弦定理即可求解；（2）先用同角三角函数关系式求出，再用三角形面积公式求解即可.22sin cos 1C C +=sin C 【详解】（1）由余弦定理可得，即， 2222cos c a b ab C =+-2114212=44c =+-⨯⨯⨯解得，2c =（2）∵，且， 1cos 04C =>0πC <<∴, π02C <<由得，22sin cos 1C C +=sin C ===∴. 1sin 2ABC S ab C =⋅△1122=⨯⨯=故△ABC19．已知，，．()22sin ,cos a x x = ,2)b x = ()f x a b =⋅ （1）求的最小正周期及单调递减区间；()f x （2）求函数在区间上的最大值和最小值． ()f x 0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦【答案】（1）最小正周期为，单调减区间为；（2）最大值为3，最小值π2,,63k k k Z ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦为0．【分析】（1）利用向量的坐标运算化简，再利用整体的思想.（2）根据（1）的结果及的范围求出的范围，从而计算出函数的最值. x 26x π+【详解】解：，，2(1)(2sin ,cos )a x x = ,2)b x =由2()cos 2cos f x a b x x x =⋅=+， 2cos 212sin(216x x x π=++=++的最小正周期， ()f x \22T ππ==由， 3222,262k x k k Z πππππ+≤+≤+∈得：， 2,63k x k k ππ+π≤≤+π∈Z 的单调递减区间为，； ()f x \2,63k k ππππ⎡⎤++⎢⎥⎣⎦Z k ∈由可得： ()20,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦72,,666x πππ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦当时，函数取得最小值为 7266x ππ+=()f x 7210,6sin π+=当时，函数取得最大值为262x ππ+=()f x 213,2sin π+=故得函数在区间上的最大值为3，最小值为0． ()f x 0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦20．如图，在棱长为的正方体中，截去三棱锥，求21111ABCD A B C D -1A ABD -（1）截去的三棱锥的表面积；1A ABD -（2）剩余的几何体的体积.1111A B C D DBC -【答案】（1）2） 6+203【解析】（1）三棱锥中是边长为、、1A ABD -1A BD A 1A AD A 1A AB △ABD △都是直角边为的等腰直角三角形，计算四个三角形面积之和即可求解.2（2）正方体的体积减去三棱锥的体积即得剩余的几何体的体积.1A ABD -1111A B C D DBC -【详解】（1）由正方体的特点可知三棱锥中，是边长为1A ABD -1A BD A 、、都是直角边为的等腰直角三角形，1A AD A 1A AB △ABD △2所以截去的三棱锥的表面积1A ABD -(1112132262A BD A AD A AB ABD S S S S S =+++=+⨯⨯⨯=+A A A A （2）正方体的体积为，328=三棱锥的体积为， 1A ABD -111142223323ABD S AA ⨯⨯=⨯⨯⨯⨯=A 所以剩余的几何体的体积为. 1111A B C D DBC -420833-=21．如图，在四棱锥中，底面为平行四边形，为等边三角形，平面P ABCD -ABCD PCD A 平面，，，，PAC ⊥PCD PA CD ⊥2CD =3AD =（Ⅰ）设分别为的中点，求证：平面；G H △PB AC △GH A PAD （Ⅱ）求证：平面；PA ⊥PCD （Ⅲ）求直线与平面所成角的正弦值.AD PAC【答案】（I ）见解析；（II ）见解析；（III . 【分析】（I ）连接，结合平行四边形的性质，以及三角形中位线的性质，得到，利用BD GH PD A 线面平行的判定定理证得结果；（II ）取棱的中点，连接，依题意，得，结合面面垂直的性质以及线面垂直的PC N DN DN PC ⊥性质得到，利用线面垂直的判定定理证得结果；DN PA ⊥（III ）利用线面角的平面角的定义得到为直线与平面所成的角，放在直角三角形中DAN ∠AD PAC 求得结果.【详解】（I ）证明：连接，易知，，BD AC BD H = BH DH =又由，故，BG =PG GH PD A 又因为平面，平面，GH ⊄PAD PD ⊂PAD 所以平面.GH A PAD （II ）证明：取棱的中点，连接，PC N DN依题意，得，DN PC ⊥又因为平面平面，平面平面，PAC ⊥PCD PAC PCD PC =所以平面，又平面，故，DN ⊥PAC PA ⊂PAC DN PA ⊥又已知，，PA CD ⊥CD DN D = 所以平面.PA ⊥PCD （III ）解：连接， AN由（II ）中平面，DN ⊥PAC 可知为直线与平面所成的角.DAN ∠AD PAC 因为为等边三角形，且为的中点，PCD ∆2CD =N PC所以，DN =DN AN ⊥在中， Rt AND ∆sin DN DAN AD ∠==所以，直线与平面 AD PAC 【点睛】本小题主要考查直线与平面平行、直线与平面垂直、平面与平面垂直、直线与平面所成的角等基础知识，考查空间想象能力和推理能力.22．已知函数是偶函数．()()3log 31x f x mx =++(1)求的值；m (2)设函数（），若有唯一零点，求实数的取值范()()311log 322x g x a a x f x ⎛⎫=⋅-+- ⎪⎝⎭R a ∈()g x a 围．【答案】(1) 12-(2)或0a >10a =--【分析】（1）根据偶函数性质代入即可求解；()()f x f x -=（2）令，转化为关于的一元二次函数，对分类讨论即可求解.3x t =t a 【详解】（1）依题意，因为的定义域为的偶函数，所以，()f x R ()()f x f x -=所以，()()33log 31log 31x x mx mx -++=+-所以 ()()333313log 31log log 31log 33xxx x x mx mx mx ⎛⎫+++=-=+ ⎝⎭--⎪所以 3log 3x mx x mx mx --=-=-所以，即． ()210m x +=12m =-（2）由（1）知 ()()31log 312x f x x =+-所以， ()()()333111log 3log 3log 31222x x x g x a a x f x a a x ⎛⎫⎛⎫=⋅-+-=⋅--++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭令，， ()0g x =()333131log 3=log 31log 23x x x x a a x +⎛⎫⋅-+-= ⎪⎝⎭即，整理得， 1313=23x x x a a +⋅-()21313102x x a a ⎛⎫-+-= ⎪⎝⎭其中，所以， 1302x a ⎛⎫-> ⎪⎝⎭0a ≠令，则得， 3x t =211102at a t ⎛⎫-+-= ⎪⎝⎭①当时，，即， 0a >1302x ->12t >所以方程在区间上有唯一解， 211102at a t ⎛⎫-+-= ⎪⎝⎭1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭则方程对应的二次函数，恒有，，()21112m t at a t ⎛⎫=-+- ⎪⎝⎭()010m =-<13022m ⎛⎫=-< ⎪⎝⎭， 13602m a a⎛⎫+=> ⎪⎝⎭所以当时，方程在区间上有唯一解． 0a >211102at a t ⎛⎫-+-= ⎪⎝⎭1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭②当时，，即， 0a <1302x -<102t <<方程在区间上有唯一解， 211102at a t ⎛⎫-+-= ⎪⎝⎭10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭因为方程对应的二次函数的开口向下，恒有， ()21112m t at a t ⎛⎫=-+- ⎪⎝⎭()010m =-<，所以满足恒有，解得13022m ⎛⎫=-< ⎪⎝⎭2114021112022a a a a ⎧⎛⎫∆=++=⎪ ⎪⎝⎭⎪⎨+⎪⎪<<⎩10a =--综上所述，当或有唯一零点．0a >10a =--()g x 【点睛】方法点睛：（1）利用偶函数的性质代入原函数即可求解参数；()()f x f x -=（2）通过换元思想可以将复杂的函数转化为常见的函数模型，换元时一定要注意先求元的范围.。

湖北省部分重点中学高一下学期期中联考数学试题(解析版)

湖北省部分重点中学高一下学期期中联考数学试题一、单选题1．下列说法正确的是（） A ．第二象限角比第一象限角大 B ．角与角是终边相同角60 600 C ．斜三角形的内角是第一象限角或第二象限角 D ．将表的分针拨快分钟，则分针转过的角的弧度数为103π【答案】C【分析】判断每一个选项的正误即可.【详解】选项A ：第二象限角可能为负角，如，第一象限角也有可能为正角，如，故A 240-︒60︒错误；选项B ：，故角与角终边不同，故B 错误；60060540360()k k Z ︒-︒=︒≠︒∈ 60 600 选项C ：斜三角形的内角为锐角或者钝角，故其内角为第一象限角或第二象限角，故C 正确；选项D ：分针拨快是顺时针旋转，得到的角为负角，故D 错误.2．已知是第三象限的角，且，那么的值为 θ445sin cos 9+=θθsin 2θA B ．C ．D ．2323-【答案】A【分析】将恒等式两边同时平方，结合二倍角的正弦公式即可得结果. 22sin cos 1θθ+=【详解】∵， 22sin cos 1θθ+=∴，4422sin cos 2sin cos 1θθθθ++=∵，∴，445sin cos 9+=θθ2242sin cos 9θθ=∵角是第三象限角即，322,2k k k Z ππθππ+<<+∈∴，∴，24234,k k k Z ππθππ+<<+∈sin 2θ=故选A ．【点睛】本题主要考查已知一个角的某个三角函数式的值，求这个角的其他三角函数式的值，一般需用三个基本关系式及其变式，通过恒等变形或解方程求解．3．如图，已知中，为的中点，，若，则ABC ∆D AB 13AE AC = DE AB BC λμ=+λμ+=A ．B ．C ．D ．56-16-1656【答案】C【解析】利用向量的线性运算将用表示，由此即可得到的值，从而可求的值.DE ,AB AC,λμλμ+【详解】因为，1123DE DA AE BA AC =+=+ ()111111236363BA BC BA BA BC AB BC =+-=+=-+所以，.故.16λ=-13μ=16λμ+=故选：C.【点睛】本题考查向量的线性运算以及数乘运算在几何中的应用，难度一般.向量在几何中的应用可通过基底的表示形式进行分析.4．中，角，，所对应的边分别为，，.已知ABC ∆A B C a b c ，则是 222(cos cos )2cos a b a B b A ab B +-+=ABC ∆A ．直角三角形 B ．等腰三角形 C ．等腰直角三角形 D ．等腰或直角三角形【答案】B【分析】由题，利用正弦定理和内角和定理化简可得，再利用余弦定理可得2222cos a b c ab B +-=，可得结果.cos cos B C =【详解】由题，已知，()222+cos cos a b a B b A -+=2cos ab B 由正弦定理可得：()222sin sin sin cos cos sin 2sin sin cos A B A B A B A B B +-+=即()222sin sin sin 2sin sin cos A B A B A B B +-+=又因为()sin sin A B C +=所以 222sin sin sin 2sin sin cos A B C A B B +-=即2222cos a b c ab B +-=由余弦定理： 2222cos a b c ab C +-=即 cos cos B C =所以B C =所以三角形一定是等腰三角形故选B【点睛】本题考查了正余弦定理解三角形，解题的关键是在于正余弦的合理运用，属于中档题.5．如图，扇形的半径为1，圆心角，点在弧上运动，，则150BAC ∠=︒P BC AP AB AC λμ=+的最小值是（）μ-A ．0BC ．2D ．1-【答案】D【分析】以为轴，以为原点，建立坐标系，设，，根据平面向量AB x A ()cos ,sin P θθ0150θ︒≤≤︒，再利用三角函数的有界性，即可得到答案； ()2sin 60μθ︒-=+【详解】解：以为轴，以为原点，建立坐标系，如图，AB x A设，， ()cos ,sin P θθ0150θ︒≤≤︒则，，， ()0,0A ()10B ,12C ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭∵，AP AB AC λμ=+∴ ()()1cos ,sin 1,02θθλμ⎛⎫=+ ⎪ ⎪⎝⎭， ,2μλ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭∴，cos θλ=sin 2μθ=∴，， cos λθθ=2sin μθ=3sin 2sin μθθθ-=+-， ()sin 2sin 60θθθ=+=+︒∵， 0150θ︒≤≤︒∴，6060210θ︒︒︒+≤≤∴当时，， 150θ=︒()2sin 601θ+︒=-的最小值为． μ-1-故选：D ．6．已知函数为的零点，为图象的对称()sin()(0),24f x x+x ππωϕωϕ=>≤=-，()f x 4x π=()y f x =轴，且在单调，则的最大值为()f x π5π(1836，ωA ．11 B ．9 C ．7 D ．5【答案】B【分析】根据已知可得ω为正奇数，且ω≤12，结合x 为f （x ）的零点，x 为y ＝f （x ）4π=-4π=图象的对称轴，求出满足条件的解析式，并结合f （x ）在（，）上单调，可得ω的最大值． 18π536π【详解】∵x 为f （x ）的零点，x 为y ＝f （x ）图象的对称轴，4π=-4π=∴，即，（n ∈N ） 2142n T π+⋅=21242n ππω+⋅=即ω＝2n +1，（n ∈N ）即ω为正奇数， ∵f （x ）在（，）上单调，则， 18π536π53618122Tπππ-=≤即T ，解得：ω≤12，26ππω=≥当ω＝11时，φ＝k π，k ∈Z ， 114π-+∵|φ|， 2π≤∴φ，4π=-此时f （x ）在（，）不单调，不满足题意； 18π536π当ω＝9时，φ＝k π，k ∈Z ， 94π-+∵|φ|，2π≤∴φ，4π=此时f （x ）在（，）单调，满足题意； 18π536π故ω的最大值为9，故选B ．【点睛】本题将三角函数的单调性与对称性结合在一起进行考查,题目新颖,是一道考查能力的好题.注意本题求解中用到的两个结论：①的单调区间长度是最小正周()()()sin 0,0f x A x A ωϕω=+≠≠期的一半;②若的图像关于直线对称,则或()()()sin 0,0f x A x A ωϕω=+≠≠0x x =()0f x A =.()0f x A =-7．骑自行车是一种能有效改善心肺功能的耐力性有氧运动，深受大众喜爱，如图是某一自行车的平面结构示意图，已知图中的圆A （前轮），圆D （后轮）的直径均为1，△ABE ，△BEC ，△ECD均是边长为1的等边三角形．设点P 为后轮上的一点，则在骑动该自行车的过程中，的最AP BD ⋅大值为（）A ．3B ．C ．D ．3+3【答案】B【分析】根据题意建立平面直角坐标系，然后将涉及到的点的坐标求出来，其中点坐标借助于三P 角函数表示，则所求的结果即可转化为三角函数的最值问题求解．【详解】以为坐标原点，为轴，过做的垂线为轴，建立如图所示的平面直角坐标D AD x D AD y 系，则，， (2,0)A-32B ⎛- ⎝12C ⎛- ⎝圆的方程为，可设，D 2214x y +=11cos ,sin 22P αα⎛⎫⎪⎝⎭所以． 11cos 2,sin 22AP αα⎛⎫ ⎪⎭=+⎝u u ur 3,2BD =⎛ ⎝u u ur 故．3113cos 2sin cos 32224AP BD αααα⎛⎫⋅=⨯+= +⎪⎝⎭u u u r u u ur 36πα⎛⎫=++ ⎪⎝⎭所以的最大值为AP BD ⋅ 3故选：B ．【点睛】关键点点睛：本题考查平面向量的数量积，解题关键是建立平面直角坐标系，用坐标运算计算向量的数量积，结合三角函数的性质求得最大值，考查学生的转化能力与运算求解能力，属于较难题.8．已知所在平面上的动点满足，则点的轨迹过的（）ABC M 222AM BC AC AB ⋅=- M ABC A ．内心 B ．外心C ．重心D ．垂心【答案】B【分析】先对题设中的等式进行变形，可得，即在边的垂直222AM BC AC AB ⋅=- MC MB =M BC 平分线，由此选出正确选项．【详解】，()()()222AM BC AC AB AC AB AC AB AC AB BC ⋅=-=+⋅-=+⋅，()20AC AB AM BC ∴+-⋅=，()()0MC MB MC MB ∴+⋅-=，即，即，220MC MB -= 22MC MB = MC MB =在边的垂直平分线上，M ∴BC 由三角形外心的定义知，点的轨迹过的外心.M ABC故选：B ．二、多选题9．八卦是中国文化的基本哲学概念，如图1是八卦模型图，其平面图形记为图2中的正八边形ABCDEFGH ，其中则下列结论正确的是（）2OA =A ．B ．OA OD ⋅=-2OB OH OE +=- C ．D．AH FH -=AF =【答案】AC【分析】利用向量数量积的运算性质，向量的加减法法则及正八边形的性质逐个分析判断即可【详解】解：对于A ，，所以A 正确， 3cos 224OA OD OA OD π⎛⋅==⨯⨯=- ⎝对于B ，由，得，所以B 错误，2BOH π∠=OB OH +==对于C ，AH FH AH HFAF OF OA -=+==-==C 正确，=对于D ，由C 可知 D 错误， AF =故选：AC10．筒车亦称为“水转筒车”，一种以流水为动力，取水灌田的工具，筒车发明于隋而盛于唐，距今已有1000多年的历史.如图，假设在水流量稳定的情况下，一个半径为3米的筒车按逆时针方向做每6分钟转一圈的匀速圆周运动，筒车的轴心距离水面的高度为1.5米，设筒车上的某个盛O BC 水筒的初始位置为点（水面与筒车右侧的交点），从此处开始计时，下列结论正确的是（）P DA ．分钟时，以射线为始边，为终边的角为t OA OP 36t ππ-B ．分钟时，该盛水筒距水面距离为米t 3sin 362t ππ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭C ．1分钟时该盛水筒距水面距离与3分钟时该盛水筒距水面距离相等 D ．1个小时内有20分钟该盛水筒距水面距离不小于3米【答案】ACD【解析】由题意写出点离水面的距离函数，再计算对应的函数值即可． P 【详解】解：如图，以为坐标原点建立平面直角坐标系，O依题意，设函数解析式为，因为半径为，所以，距水面的距离为，sin()y A t b ωϕ=++33A =O 1.5所以，每6分钟转一圈，所以，所以，所以，当1.5b =6T =23T ππω==3sin 1.53y t πϕ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭0=t 时，，所以，即，所以，所以0y =3sin 1.50ϕ+=1sin 2ϕ=-6πϕ=-563sin 1.3y t ππ⎛⎫+ ⎪⎝-=⎭所以分钟时，以射线为始边，为终边的角为，故A 正确，B 错误；t OA OP 36t ππ-当时，；当时，；故C 正确；1t =63sin 1.533y ππ⎛+-⎫== ⎪⎝⎭3t =363sin 3 1.53y ππ⎛⎫=+ ⎭-⨯=⎪⎝令，即，在一个周期内，解得，有分63sin 1.533y t ππ⎛⎫=+≥ ⎪-⎝⎭1sin 326t ππ⎛⎫≥ ⎪⎝⎭-56663t ππππ≤≤-13t ≤≤2钟，1个小时，有10个周期，所以有分钟，故D 正确； 21020⨯=故选：ACD11．有下列说法其中正确的说法为A ．若，，则：a b b c a c B ．若，，分别表示，的面积，则；230OA OB OC ++=AOC S ∆ABC S ∆AOC ∆ABC ∆:1:6AOC ABC S S ∆∆=C ．两个非零向量，，若，则与共线且反向；a b a b a b -=+a b D ．若，则存在唯一实数使得 a b λa b =λ【答案】BC【解析】A 选项错误，例如，推不出，B 选项利用向量可确定O 点位置，可知O 到AC0b =a c ∥的距离等于B 到AC 距离的,故正确，C 选项两边平方根据向量的数量积的性质可知夹角为，结16π论正确，D 选项错误，例如.0b =【详解】A 选项错误，例如，推不出，B 选项,设AC 的中点为M, BC 的中点为D, 因为0b =a c ∥，所以,即,所以O 是MD 的三等分点，可知O 230OA OB OC ++=2220OM OD ⨯+= 2OM OD =- 到AC 的距离等于D 到AC 距离的,而B 到AC 的距离等于D 到AC 距离的2倍，故可知O 到13AC 的距离等于B 到AC 距离的，根据三角形面积公式可知正确，C 选项两边平方可得16，所以，即夹角为，结论正确，D 选项错误，例如. 故选B 22||||a b a b -⋅= cos ,1a b <>=- π0b =C.【点睛】本题主要考查了向量共线，向量的夹角，向量的数量积，向量的线性运算，属于中档题.12．已知函数，则下列结论中正确的是（） ()sin 0f x x x ωωω=>，A ．若ω=2，则将的图象向左平移个单位长度后得到的图象关于原点对称()f x 6πB ．若，且的最小值为，则ω=2()()124f x f x -=12x x -2πC ．若在[0，]上单调递增，则ω的取值范围为（0，3]()f x 3πD ．若在[0，π]有且仅有3个零点，则ω的取值范围是()f x 710,33⎡⎫⎪⎢⎣⎭【答案】ABD【分析】先化简的解析式；由三角函数的图像变换判断选项A ；由，可得()f x ()()124f x f x -=是函数的最大、小值点，从而可判断B ；由在上单调递增，则，可12,x x ()f x ()f x 0,3π⎡⎤⎢⎥⎣⎦132T π≤判断选项C ；设，即在仅有3个零点，可判断选项D.3t x πω=-2sin y t =,33t ππωπ⎡⎤∈--⎢⎥⎣⎦【详解】函数()sin 2sin 3f x x x x πωωω⎛⎫==- ⎪⎝⎭选项A ：若，，将的图像向左平移个单位长度得函数2ω=()2sin 23f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭()f x 6πsin 2y x=的图像，所以A 正确；选项B ：若，则是函数的最大值点或最小值点，若的最小值为()()124f x f x -=12,x x ()f x 12x x -，则最小正周期是，所以，B 正确；2ππ2ω=选项C ：若在上单调递增，则，所以，C 错误；()f x 0,3π⎡⎤⎢⎥⎣⎦32ππωπ-≤502ω<≤选项D ：设，当时， 3t x πω=-[]0,π,333t x πππωωπ⎡⎤=-∈--⎢⎥⎣⎦若在仅有3个零点，即在仅有3个零点()f x []0,π2sin y t =,33t ππωπ⎡⎤∈--⎢⎥⎣⎦则，所以，D 正确，233ππωππ≤-<71033ω≤<故选：ABD ．三、填空题13．已知扇形的半径为6，圆心角为，则扇形的面积为_____．3π【答案】6π【分析】先计算扇形的弧长，再利用扇形的面积公式可求扇形的面积．【详解】根据扇形的弧长公式可得， 362l ππαr ==⨯=根据扇形的面积公式可得．1126622S lr ππ==⋅⋅=故答案为：．6π14．已知，分别是与方向相同的单位向量，在上的投影向量为，在上9a b ⋅=-12,e e ,a b a b 23e - b a 的投影向量为，则与的夹角为__________________.132e -a b θ【答案】.120︒【解析】根据向量的投影定义，列出方程，求解，再根据夹角公式，即可求解. 63a b == ，【详解】由题意，得解得∴.∵，∴cos 3,3cos ,29.a b a b θθ⎧=-⎪⎪=-⎨⎪⋅=-⎪⎩6,3,a b ⎧=⎪⎨=⎪⎩ 91cos 632b b a a θ⋅-===-⨯ 0180θ︒≤≤︒.120θ=°故答案为：120︒【点睛】本题考查向量投影公式、夹角公式，属于基础题.15．已知△ABC 中，，若点P 为四边形AEDF 内一点(不含边界)311,,523CD BC EC AC AF AB =-==且，则实数x 的取值范围为___________. 13DP DC xDE =-+ 【答案】14,23⎛⎫⎪⎝⎭【分析】根据题意画出图形，结合图形找出临界点的位置，进行适当的推理与运算，即可求出实数x 的取值范围.【详解】解：如图所示，在线段BD 上取一点G ，使得， 13DG DC =- 设DC =3a ，则DG =a ，BC =5a ，BG =a ；过点G 作GH ∥DE ，分别交DF ､AE 于K ､H ，连接FH ，则点K ､H 为临界点； GH ∥DE ，所以HE EC ，AH EC ，HG DE ，13=23=43=， 12AH AFHC FB==所以FH ∥BC ；所以FH BC ， 13=所以， FH KHDG KG=所以KG HK ，35=KG HG DE .38=12=所以实数x 的取值范围是().1423，故答案为：().1423，【点睛】关键点点睛：本题考查了平面向量的线性运算问题，也考查了推理与运算能力，是难题，解题的关键是根据题意画出图形，结合图形找出临界点的位置.16．已知函数的图象在上恰有两个最高点，则的取值范围为2()sin 2(0)3f x x πωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭0,2π⎛⎫ ⎪⎝⎭ω___________．【答案】2335,66⎛⎤⎥⎝⎦【分析】根据区间上，求出的范围，由于在区间上恰有2个最高点，建立不0,2π⎛⎫ ⎪⎝⎭223x πω+0,2π⎛⎫⎪⎝⎭等式关系，求解即可．【详解】因为，所以， 0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭2222,333x πππωωπ⎛⎫+∈+ ⎪⎝⎭依题意得，解得．9213232πππωπ<+≤233566ω<≤故答案为：.2335,66⎛⎤⎥⎝⎦四、解答题17．设，是不共线的两个非零向量．a b(1)若，，，求证：，，三点共线；2=- OA a b 3OB a b =+ 3OC a b =-A B C (2)若，，，且，，三点共线，求的值． AB a b =+ 23BC a b =- 2CD a kb =-A C D k 【答案】(1)证明见解析 (2)． 43【分析】（1）利用向量加减法及向量共线条件证明三点共线；（2）由三点共线转化为向量共线即得结果.【详解】（1）证明：因为， 322AB OB OA a b a b a b =-=+-+=+又， 3324BC OC OB a b a b a b =-=---=--故，又与有公共点， 2BC AB =- BC ABB 所以，，三点共线．A B C（2），．32AC AB BC a b =+=- 2CD a kb =- 因为，，三点共线，所以，A C D AC CD λ=即，因为与是不共线的两个非零向量，322a b a k b λλ-=-a b 所以，故. 322k λλ=⎧⎨=⎩3243k λ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩综上，的值为． k 4318．如图为函数的部分图象．()()sin (0,0,,R)2f x A x Ax πωϕωϕ=+>><∈(1)求函数解析式；(2)求函数的单调递增区间；()f x (3)若方程在上有两个不相等的实数根，则实数的取值范围．()f x m =,02π⎡⎤-⎢⎥⎣⎦m 【答案】(1)()2sin(2)3f x x π=+(2)， 5,1212k k ππππ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦Z k ∈(3) (2,m ∈-【分析】（1）由图象分别求出、的值，由五点作图法，求出的值； A T ϕ（2）令，，求出的范围，即为函数的单调递增区间；222232k x k πππππ-≤+≤+Z k ∈x ()f x （3）首先求出函数在上的单调性，则问题转化为函数与在上有()f x 02π⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，()y f x =y m =02π⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，两个交点，即可得出的范围．m 【详解】（1）解：由题中的图象知，，即，所以， 2A =43124T πππ=-=T π=22Tπω==根据五点作图法，令，，解得，，22122k ππϕπ⨯+=+Z k ∈23k πϕπ=+Z k ∈因为，所以，2πϕ<3πϕ=所以.()2sin 32f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭（2）解：令，，解得，， 222232k x k πππππ-≤+≤+Z k ∈51212k x k ππππ-≤≤+Z k ∈所以的单调递增区间为，.()f x 5,1212k k ππππ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦Z k ∈（3）解：因为，所以，令，解得,02x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦π22,333x πππ⎡⎤+∈-⎢⎥⎣⎦22332x πππ-≤+≤-5212x ππ-≤≤-，令，解得， 2233πππx -≤+≤5012x π-≤≤所以在上的单调递减区间为，单调递增区间为， ()f x ,02π⎡⎤-⎢⎥⎣⎦5,212ππ⎡⎤--⎢⎥⎣⎦5,012π⎡⎤-⎢⎥⎣⎦又，， 2sin 23f πππ⎛⎫⎛⎫-=-+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭1252f π⎛⎫=- ⎪⎝⎭-()0f =又方程在上有两个不相等的实数根，即与在上有两个交()f x m =,02π⎡⎤-⎢⎥⎣⎦()y f x =y m =,02π⎡⎤-⎢⎥⎣⎦点，所以．(2m ∈-19．如图，在中，内角的对边分别为.已知，，，且ABC ∆,,A B C ,,a b c 6c =3b =sin 2sin C B =AD 为边上的中线，为的角平分线. BC AE BAC ∠（1）求线段的长； AD （2）求的面积.ADE ∆【答案】（1；（2【分析】（1）根据题意，哟祖新大陆可得.进而得到；又由2cos c C b =1cos 4C =，可得.最后在中，由余弦定理得2221cos 24a b c C ab +-==3CD =ACD ∆，即可求出.2222cos AD AC CD AC CD C =+-⋅AD （2）根据题意，因为平分，所以，由此可得，由AE BAC ∠1212ABEACEBE hS S CE h ∆∆⋅=⋅123CE BC ==，则，故即可. 1cos 4C =sin C =ADE ACD ACE S S S ∆∆∆=-【详解】（1）根据题意，，sin2sin 2sin cos sin C B C C B =⇒=∴. 2cos c C b =又，， 3b =6c =∴； 1cos 24b Cc ==又由，2221cos 24a b c C ab +-==解得，即，则.6a =6BC =3CD =在中，由余弦定理得， ACD ∆222272cos 2AD AC CD AC CD C =+-⋅=解得AD =（2）根据题意，因为平分，AE BAC ∠所以， 11sin 2211sin 22ABE ACEAB AE BAE BE h S S AC AE CAE CE h ∆∆⋅∠⋅==⋅∠⋅故， 2AB BE AC CE==变形可得，，则，123CE BC ==1cos 4C =sin C =所以11333222ADE ACD ACE S S S ∆∆∆=-=⨯⨯⨯⨯=【点睛】本题考查利用正弦定理，余弦定理解三角形，考查三角形面积的求法，属中档题. 20．如图，在四边形中，．ABCD 4,2AD AB ==（1）若△为等边三角形，且，是的中点，求；ABC //AD BC E CD AE BD ⋅（2）若，，，求．AC AB =3cos 5CAB ∠=45AC BD ⋅= DC【答案】(1)11,(2) DC = 【分析】（1）直接利用向量的线性运算和数量积求出结果．（2）利用向量的线性运算和向量的模求出结果．【详解】（1）因为△ABC 为等边三角形，且AD ∥BC ，所以∠DAB=120°．又AD=2AB ，所以AD=2BC ，因为E 是CD 的中点，所以：=，()12AE AD AC =+ ()12AD AB BC ++ =． 3142AD AB +又，BD AD AB =- 所以， ()3142AE BD AD AB AD AB ⎛⎫⋅=+- ⎪⎝⎭=． 22311424AD AB AD AB --⋅=， 3111164424242⎛⎫⋅-⋅-⋅⋅⋅- ⎪⎝⎭=11．（2）因为AB=AC ，AB=2，所以：AC=2．因为：，45AC BD ⋅= 所以：．()45AC AD AB ⋅-= 所以：． 45AC AD AC AB ⋅-⋅= 又=4．AC AB AC AB cos CAB ⋅=∠ 31255⋅=所以：．41655AC AD AC AB ⋅=+⋅= 所以：=．22||DC AC AD =-1668416255+-⋅=故：DC = 【点睛】本题考查的知识要点：向量的线性运算，向量的模的应用，属于基础题.21．从秦朝统一全国币制到清朝末年，圆形方孔铜钱（简称“孔方兄”）是我国使用时间长达两千多年的货币.如图1，这是一枚清朝同治年间的铜钱，其边框是由大小不等的两同心圆围成的，内嵌正方形孔的中心与同心圆圆心重合，正方形外部，圆框内部刻有四个字“同治重宝”.某模具厂计划仿制这样的铜钱作为纪念品，其小圆内部图纸设计如图2所示，小圆直径1厘米，内嵌一个大正方形孔，四周是四个全等的小正方形（边长比孔的边长小），每个正方形有两个顶点在圆周上，另两个顶点在孔边上，四个小正方形内用于刻铜钱上的字.设，五个正方形的面积和为.OAB θ∠=S（1）求面积关于的函数表达式，并求的范围； S θtan θ（2）求面积最小值，并求出此时的值.S tan θ【答案】（1）；的取值范围为，；（2）228sin cos 4sin cos S θθθθ=+-θ()00,θ01tan 3θ=. min S =tan θ=【解析】（1）由题意可知小正方形的边长为， 1(sin )2sin 2θθ⨯=大正方形的边长为，1(cos sin )2cos 2sin 2θθθθ-⨯=-所以五个正方形的面积和为，22224sin (cos 2sin )8sin cos 4sin cos S θθθθθθθ=+-=+-又，所以，sin cos 2sin θθθ<-1tan 3θ<所以的取值范围为，，；θ0(0,)θ01tan 3θ=0(0,)2πθ∈(2)其中，，所以228sin cos 4sin cos S θθθθ=+-()922θϕ=-+7tan 4ϕ=0,2πϕ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以，则，因为minS =()sin 21θϕ+=22πθϕ+=22tan 4tan 21tan 7θθθ==-10tan 3θ<<，解得，即可求出面积最小值 tan θ=S 【详解】解：（1）过点分别作小正方形边，大正方形边的垂线，垂足分别为，，O E F 因为内嵌一个大正方形孔的中心与同心圆圆心重合，所以点，分别为小正方形和大正方形边的E F 中点，所以小正方形的边长为，1sin 2sin 2θθ⎛⎫⨯= ⎪⎝⎭大正方形的边长为.1cos sin 2cos 2sin 2θθθθ⎛⎫-⨯=- ⎪⎝⎭所以五个正方形的面积和为， ()224sin cos 2sin S θθθ=+-.228sin cos 4sin cos θθθθ=+-因为小正方形边长小于内嵌一个大正方形的边长，所以，，，sin cos 2sin θθθ<-1tan 3θ<00,2πθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭所以的取值范围为，. θ()00,θ01tan 3θ=（2）， 228sin cos 4sin cos S θθθθ=+-， 1cos 21cos 282sin 222θθθ-+=+-， 972sin 2cos 222θθ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，其中，.()922θϕ=+7tan 4ϕ=0,2πϕ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭所以. min S =()sin 21θϕ+=因为，所以， ()00,θθ∈0302222πθϕθπ<+<+<所以，22πθϕ+=所以， 14tan 2tan 2tan 7πθϕϕ⎛⎫=-== ⎪⎝⎭则，化简得：， 22tan 4tan 21tan 7θθθ==-22tan 7tan 20θθ+-=由此解得： tan θ=因为，所以. 10tan 3θ<<tan θ=【点睛】本题主要考查三角函数的实际应用，以及三角恒等变换的应用，涉及降幂公式、二倍角正弦公式和正切公式，是中档题．22．在平面向量中有如下定理：已知非零向量，，若，则.()11,a x y =r()22,b x y =ra b ⊥12120x x y y +=（1）拓展到空间，类比上述定理，已知非零向量，，若，则()111,,a x y z = ()222,,b x y z = a b ⊥_______（请在空格处填上你认为正确的结论）（2）若非零向量，，，()()cos ,cos ,2cos a αk βk γ=- ()()sin ,sin ,2sin b αk βk γ=- ()1,1,1c = a c ⊥且，利用（1）的结论求当为何值时，分别取到最大、最小值？ c b ⊥r rk ()cos βγ-【答案】（1）；（2）时，有最大值；或时，有最小值. 1212120x x y y z z ++=1k =0.5-12k =32【分析】（1）根据已知可得答案；（2）由，得，由，得，a c ⊥ ()cos 2cos cos k βk γα+-=-a b ⊥()sin 2sin sin k βk γα+-=-，根据，可得可得答案.()()23cos 1211βγk -=+⎡⎤--⎣⎦()[]cos 1,1βγ-∈-1322k ≤≤【详解】（1）1212120x x y y z z ++=（2）因为，a c ⊥所以得①， ()cos cos 2cos 0αk βk γ++-=()cos 2cos cos k βk γα+-=-又因为，所以 a b ⊥()sin sin 2sin 0αk βk γ++-=得②，()sin 2sin sin k βk γα+-=-∴①②，得到，2+2()()()22222cos cos sin sin 1k k k k βγβγ+-+-+=∴，()()224422cos 1k k k k βγ-++--=若或2，此方程无解， 0k =∴，即且，()220k k -≠2k ≠0k ≠∴， ()()222224333cos 112424211k k βγk k k k k -+-==+=+--⎡⎤--⎣⎦因为，所以得， ()[]cos 1,1βγ-∈-()23111211k -≤+≤⎡⎤--⎣⎦()2320211k -≤≤⎡⎤--⎣⎦又，所以，解得，()230211k ≠⎡⎤--⎣⎦()2320211k -≤<⎡⎤--⎣⎦1322k ≤≤当时，最小，此时最大，， 1k =()211k --()cos βγ-()cos 0.5βγ-=-任意角的余弦最小为，当， 1-()cos 1βγ-=-即，此时或，231124k k +=--12k =32综上：当时，有最大值； 1k =()cos βγ-0.5-当或时，有最小值. 12k =32()cos βγ-1-【点睛】本题考查了向量的坐标运算及三角函数的性质，关键点是由且得到a c ⊥ c b ⊥r r()cos βγ-，考查了学生分析问题、解决问题的能力.。

高一数学期中考试题及答案

高一数学期中考试题及答案一、选择题（每题3分，共30分）1. 下列函数中，为奇函数的是：A. y = x^2B. y = |x|C. y = x^3D. y = sin(x)2. 函数f(x) = x^2 - 2x + 1的零点是：A. 1B. -1C. 0D. 23. 集合A = {1, 2, 3}，B = {2, 3, 4}，则A∩B等于：A. {1}B. {2, 3}C. {4}D. {1, 2, 3, 4}4. 已知数列{a_n}的通项公式为a_n = 2n + 1，那么a_5等于：A. 11B. 9C. 13D. 155. 若函数f(x) = 3x - 5，则f(2)等于：A. 1B. -1C. 7D. 36. 直线y = 2x + 3与x轴的交点坐标是：A. (0, 3)B. (1, 5)C. (-3/2, 0)D. (3/2, 0)7. 圆的一般方程为x^2 + y^2 + 2x - 4y + 5 = 0，其圆心坐标是：A. (-1, 2)B. (1, -2)C. (-1, -2)D. (1, 2)8. 函数y = x^2 - 4x + 3的最小值是：A. -1B. 0C. 1D. 39. 已知三角形ABC的三边长分别为a, b, c，且满足a^2 + b^2 = c^2，那么三角形ABC是：A. 锐角三角形B. 直角三角形C. 钝角三角形D. 不能确定10. 函数y = √(x - 2)的定义域是：A. x ≥ 2B. x > 2C. x < 2D. x ≠ 2二、填空题（每题3分，共30分）1. 若函数f(x) = x^2 - 4x + 3的最大值为2，则x的值为______。

2. 已知数列{a_n}满足a_1 = 1，a_n = 2a_{n-1} + 1，那么a_3等于______。

3. 函数f(x) = 2x^2 - 3x + 1的对称轴方程是______。

4. 集合A = {x | x^2 - 5x + 6 = 0}，则A的元素个数为______。

【压轴卷】高一数学下期中试题含答案(1)

【压轴卷】高一数学下期中试题含答案(1)一、选择题1．在长方体1111ABCD A B C D -中，2AB BC ==，1AC 与平面11BB C C 所成的角为30o ，则该长方体的体积为（）A ．8B ．62C ．82D ．832．水平放置的ABC V 的斜二测直观图如图所示，若112A C ＝，111A B C △的面积为22，则AB 的长为（）A ．2B ．217C ．2D ．83．如图为某几何体的三视图，则该几何体的表面积为( )A ．202π+B ．203π+C ．242π+D ．243π+4．若函数6(3)3,7(),7x a x x f x a x ---≤⎧=⎨>⎩单调递增,则实数a 的取值范围是( ) A ．9,34⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．9,34⎡⎫⎪⎢⎣⎭C ．()1,3D ．()2,3 5．已知圆()()22:341C x y -+-=和两点(),A m m -，(),B m m -()0m >，若圆C 上存在点P ，使得90APB ∠=︒，则m 的最大值为（）A ．2B ．32C 322D ．226．设直线,a b 是空间中两条不同的直线，平面,αβ是空间中两个不同的平面，则下列说法正确的是（）A ．若a ∥α，b ∥α，则a ∥bB ．若a ∥b ，b ∥α，则a ∥αC ．若a ∥α，α∥β，则a ∥βD ．若α∥β，a α⊂，则a ∥β7．若a ＞b ＞0，0＜c ＜1，则A ．log a c ＜log b cB ．log c a ＜log c bC ．a c ＜b cD ．c a ＞c b8．正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，E ，F 分别是AD ，DD 1的中点，AB ＝4，则过B ，E ，F 的平面截该正方体所得的截面周长为（）A ．62+45B ．62+25C ．32+45D ．32+25 9．点A 、B 、C 、D 在同一个球的球面上，AB=BC=2，AC=2，若四面体ABCD 体积的最大值为23，则这个球的表面积为（） A ．1256π B ．8π C ．2516π D ．254π 10．如图所示，在棱长为a 的正方体1111ABCD A B C D -中，E 是棱1DD 的中点，F 是侧面11CDD C 上的动点，且1//B F 面1A BE ，则F 在侧面11CDD C 上的轨迹的长度是( )A ．aB ．2aC ．2aD ．22a 11．已知直线()()():21110l k x k y k R ++++=∈与圆()()221225x y -+-=交于A ，B 两点，则弦长AB 的取值范围是（）A ．[]4,10B ．[]3,5C ．[]8,10D ．[]6,1012．如图是正方体的平面展开图，则在这个正方体中：①BM 与ED 平行 ②CN 与BE 是异面直线③CN 与BM 成60︒角 ④DM 与BN 是异面直线以上四个命题中，正确命题的个数是（）A ．1B ．2C ．3D ．4二、填空题13．已知棱长为1的正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E ，F ，M 分别是线段AB 、AD 、AA 1的中点，又P 、Q 分别在线段A 1B 1、A 1D 1上，且A 1P ＝A 1Q ＝x (0<x <1).设平面MEF ∩平面MPQ＝l ，现有下列结论：①l ∥平面ABCD ；②l ⊥AC ；③直线l 与平面BCC 1B 1不垂直；④当x 变化时，l 不是定直线.其中不成立的结论是________.(写出所有不成立结论的序号)14．一个直三棱柱的每条棱长都是3，且每个顶点都在球O 的表面上，则球O 的表面积为________15．如图，在四棱锥P ABCD -中，PA ⊥底面,,//,2,1ABCD AD AB AB DC AD DC AP AB ⊥====，若E 为棱PC 上一点，满足BE AC ⊥，则PE EC=__________．16．已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1，点E 是棱1BB 的中点，则点1B 到平面ADE 的距离为__________.17．如图，在ABC V 中，AB BC ⊥，SA ⊥平面ABC ，DE 垂直平分SC ，且分别交AC ，SC 于点D ，E ，又SA AB =，SB BC =，则二面角E BD C --的大小为_______________.18．在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，M 是1BB 的中点，直线1D M 与平面ABCD 交于点N ，则线段AN 的长度为________19．在正方体1111ABCD A B C D -中，E 是棱1DD 的中点，则直线BE 和平面11ABB A 所成的角的正弦值为_____________.20．直线:l y x b =+与曲线2:1C y x =-有两个公共点，则b 的取值范围是______.三、解答题21．如图，梯形ABCD 中，AB ∥CD ,,E F 是线段AB 上的两点,且DE AB ⊥,CF AB ⊥,12AB =,5AD =,42BC =,4DE =.现将△ADE ,△CFB 分别沿DE ,CF 折起,使两点,A B 重合于点G ,得到多面体CDEFG （1）求证：平面DEG ⊥平面CFG ;（2）求多面体CDEFG 的体积22．如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是平行四边形，平面PBD ⊥平面ABCD ，2AD =，25PD =，4AB PB ==，60BAD ∠=︒.（1）求证：AD PB ⊥；（2）E 是侧棱PC 上一点，记PE PCλ=，当PB ⊥平面ADE 时，求实数λ的值 23．已知点(3,3)M ，圆22:(1)(2)4C x y -+-=.（1）求过点M 且与圆C 相切的直线方程；（2）若直线40()ax y a -+=∈R 与圆C 相交于A ，B 两点，且弦AB 的长为23实数a 的值.24．已知圆22:(2)(3)4C x y -+-=外有一点()41-,，过点P 作直线l ． (1)当直线l 与圆C 相切时，求直线l 的方程；(2)当直线l 的倾斜角为135︒时，求直线l 被圆C 所截得的弦长．25．（1）用符号表示下来语句，并画出同时满足这四个语句的一个几何图形： ①直线l 在平面α内；②直线m 不在平面α内；③直线m 与平面α交于点A ；④直线l 不经过点A .（2）如图，在长方体1111ABCD A B C D -中，E 为棱1BB 的中点，F 为棱1CC 的三等分点，画出由1,,D E F 三点所确定的平面β与平面ABCD 的交线.(保留作图痕迹)26．如图所示，直角梯形ABCD 中，//AD BC ，,AD AB ⊥22,AB BC AD ===四边形EDCF 为矩形，2DE =，平面EDCF ⊥ABCD .（1）求证：//DF 平面ABE ；（2）求二面角B EF D --二面角的正弦值；（3）在线段BE 上是否存在点P ，使得直线AP 与平面BEF 6存在，求出线段BP 的长，若不存在，请说明理由.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题1．C解析：C【解析】【分析】首先画出长方体1111ABCD A B C D -，利用题中条件，得到130AC B ∠=o，根据2AB =，求得123BC =，可以确定122CC =，之后利用长方体的体积公式求出长方体的体积.【详解】在长方体1111ABCD A B C D -中，连接1BC ，根据线面角的定义可知130AC B ∠=o，因为2AB =，所以123BC =，从而求得122CC =，所以该长方体的体积为222282V =⨯⨯= C.【点睛】该题考查的是长方体的体积的求解问题，在解题的过程中，需要明确长方体的体积公式为长宽高的乘积，而题中的条件只有两个值，所以利用题中的条件求解另一条边的长就显得尤为重要，此时就需要明确线面角的定义，从而得到量之间的关系，从而求得结果. 2．B解析：B【解析】【分析】依题意由111A B C △的面积为22114B C =，所以8BC =，2AC =，根据勾股定理即可求AB ．【详解】依题意，因为111A B C △的面积为2 所以1111122sin 452AC B C ︒=⨯⋅=1112222B C ⨯⨯⨯，解得114B C =，所以8BC =，2AC =，又因为AC BC ⊥，由勾股定理得：22228268217AB AC BC =+=+==故选B ．【点睛】本题考查直观图还原几何图形，属于简单题. 利用斜二测画法作直观图，主要注意两点：一是与x 轴平行的线段仍然与x '轴平行且相等；二是与y 轴平行的线段仍然与y '轴平行且长度减半. 3．B解析：B【解析】该几何体是一个正方体与半圆柱的组合体，表面积为2215221122032S πππ=⨯+⨯⨯+⨯⨯=+，故选B ． 4．B解析：B【解析】【分析】利用函数的单调性，判断指数函数底数的取值范围，以及一次函数的单调性，及端点处函数值的大小关系列出不等式求解即可【详解】解：Q 函数6(3)3,7(),7x a x x f x a x ---⎧=⎨>⎩…单调递增， ()301373a a a a ⎧->⎪∴>⎨⎪-⨯-≤⎩解得934a ≤< 所以实数a 的取值范围是9,34⎡⎫⎪⎢⎣⎭．故选：B ．【点睛】本题考查分段函数的应用，指数函数的性质，考查学生的计算能力，属于中档题． 5．B解析：B【解析】【分析】根据使得90APB ∠=︒的点P 在以AB 为直径的圆上,再分析轨迹圆与圆C 的关系即可.【详解】由题, 使得90APB ∠=︒的点P 在以AB 为直径的圆上,又两点(),A m m -,(),B m m -, 所以圆心为()0,0.=.故P 的轨迹方程为2222x y m +=. 又由题意知,当圆()()22:341C x y -+-=内切于222x y m +=时m 取最大值.16==,故m =故选：B【点睛】本题主要考查了圆与圆的位置关系,重点是根据90APB ∠=︒求出点P 的轨迹.属于中等题型. 6．D解析：D【解析】【分析】利用空间直线和平面的位置关系对每一个选项逐一分析判断得解.【详解】A. 若a ∥α，b ∥α，则a 与b 平行或异面或相交，所以该选项不正确；B. 若a ∥b ，b ∥α，则a ∥α或a α⊂，所以该选项不正确；C. 若a ∥α，α∥β，则a ∥β或a β⊂，所以该选项不正确；D. 若α∥β，a α⊂，则a ∥β，所以该选项正确.故选：D【点睛】本题主要考查空间直线平面位置关系的判断，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.7．B解析：B【解析】试题分析：对于选项A ，a b 1gc 1gc log c ,log c lg a lg b==，01c <<Q ，10gc ∴<，而0a b >>，所以lg lg a b >，但不能确定lg lg a b 、的正负，所以它们的大小不能确定;对于选项B ，c lg lg log ,log lg lg c a b a b c c ==,lg lg a b >，两边同乘以一个负数1lg c改变不等号方向，所以选项B 正确;对于选项C ，利用c y x =在第一象限内是增函数即可得到c c a b >，所以C 错误;对于选项D ，利用xy c =在R 上为减函数易得a b c c <，所以D 错误.所以本题选B.【考点】指数函数与对数函数的性质【名师点睛】比较幂或对数值的大小,若幂的底数相同或对数的底数相同,通常利用指数函数或对数函数的单调性进行比较；若底数不同,可考虑利用中间量进行比较. 8．A解析：A【解析】【分析】利用线面平行的判定与性质证明直线1BC 为过直线EF 且过点B 的平面与平面11BCC B 的交线,从而证得1,,,B E F C 四点共面,然后在正方体中求等腰梯形1BEFC 的周长即可.【详解】作图如下:因为,E F 是棱1,AD DD 的中点,所以11////EF AD BC ,因为EF ⊄平面11BCC B ,1BC ⊂平面11BCC B ,所以//EF 平面11BCC B ，由线面平行的性质定理知,过直线EF 且过点B 的平面与平面11BCC B 的交线l 平行于直线EF ,结合图形知,l 即为直线1BC ,过B ，E ，F 的平面截该正方体所得的截面即为等腰梯形1BEFC ,因为正方体的棱长AB ＝4, 所以1122,25,42EF BE C F BC ====所以所求截面的周长为2+5故选:A【点睛】本题主要考查多面体的截面问题和线面平行的判定定理和性质定理；重点考查学生的空间想象能力;属于中档题.9．D解析：D【解析】试题分析：根据题意知，ABC V 是一个直角三角形，其面积为1．其所在球的小圆的圆心在斜边AC 的中点上，设小圆的圆心为Q ，若四面体ABCD 的体积的最大值，由于底面积ABC S V 不变，高最大时体积最大，所以，DQ 与面ABC 垂直时体积最大，最大值为12·33ABC S DQ =V ，即12133DQ ⨯⨯=，∴2DQ =，设球心为O ，半径为R ，则在直角AQO V 中，222OA AQ OQ =+，即()22212R R =+-，∴54R =，则这个球的表面积为：2525444S ππ⎛⎫== ⎪⎝⎭；故选Ｄ．考点：球内接多面体，球的表面积．10．D解析：D【解析】【分析】设H ，I 分别为1CC 、11C D 边上的中点，由面面平行的性质可得F 落在线段HI 上，再求HI 的长度即可.【详解】解：设G ，H ，I 分别为CD 、1CC 、11C D 边上的中点，则ABEG 四点共面，且平面1//A BGE 平面1B HI ，又1//B F Q 面1A BE ，F ∴落在线段HI 上，Q 正方体1111ABCD A B C D -中的棱长为a ，1122HI CD a ∴==，即F 在侧面11CDD C 上的轨迹的长度是2a ．故选D ．【点睛】本题考查了面面平行的性质及动点的轨迹问题，属中档题.11．D解析：D【解析】【分析】由直线()()21110k x k y ++++=，得出直线恒过定点()1,2P -，再结合直线与圆的位置关系，即可求解.【详解】由直线()()():21110l k x k y k R ++++=∈，可得()210k x y x y ++++=，又由2010x y x y +=⎧⎨++=⎩，解得12x y =⎧⎨=-⎩，即直线恒过定点()1,2P -，圆心()1,2C ，当CP l ⊥时弦长最短，此时2222AB CP r ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，解得min 6AB =，再由l 经过圆心时弦长最长为直径210r =，所以弦长AB 的取值范围是[]6,10.故选：D.【点睛】本题主要考查了直线系方程的应用，以及直线与圆的位置关系的应用，其中解答中熟练利用直线的方程，得出直线恒过定点，再结合直线与圆的位置关系求解是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于中档试题.12．B解析：B【解析】【分析】把平面展开图还原原几何体，再由棱柱的结构特征及异面直线定义、异面直线所成角逐一核对四个命题得答案．【详解】把平面展开图还原原几何体如图：由正方体的性质可知，BM 与ED 异面且垂直，故①错误；CN 与BE 平行，故②错误；连接BE ，则BE CN P ，EBM ∠为CN 与BM 所成角，连接EM ，可知BEM ∆为正三角形，则60EBM ∠=︒，故③正确；由异面直线的定义可知，DM 与BN 是异面直线，故④正确．∴正确命题的个数是2个．故选：B ．【点睛】本题考查棱柱的结构特征，考查异面直线定义及异面直线所成角，是中档题．二、填空题13．④【解析】【详解】连接BDB1D1∵A1P＝A1Q ＝x∴PQ∥B1D1∥BD∥EF 则PQ∥平面MEF 又平面MEF∩平面MPQ ＝l∴PQ∥ll∥EF∴l∥平面ABCD 故①成立；又EF⊥AC∴l⊥AC 故解析：④【解析】【详解】连接BD ，B 1D 1，∵A 1P ＝A 1Q ＝x ，∴PQ ∥B 1D 1∥BD ∥EF ，则PQ ∥平面MEF ，又平面MEF ∩平面MPQ ＝l ，∴PQ ∥l ，l ∥EF ，∴l ∥平面ABCD ，故①成立；又EF ⊥AC ，∴l ⊥AC ，故②成立；∵l ∥EF ∥BD ，故直线l 与平面BCC 1B 1不垂直，故③成立；当x 变化时，l 是过点M 且与直线EF 平行的定直线，故④不成立．即不成立的结论是④.14．【解析】【分析】设此直三棱柱两底面的中心分别为则球心为线段的中点利用勾股定理求出球的半径由此能求出球的表面积【详解】∵一个直三棱柱的每条棱长都是且每个顶点都在球的球面上∴设此直三棱柱两底面的中心分别解析：21π【解析】【分析】设此直三棱柱两底面的中心分别为12,O O ，则球心O 为线段12O O 的中点，利用勾股定理求出球O 的半径2R ，由此能求出球O 的表面积．【详解】∵一个直三棱柱的每条棱长都是3，且每个顶点都在球O 的球面上，∴设此直三棱柱两底面的中心分别为12,O O ，则球心O 为线段12O O 的中点，设球O 的半径为R ，则2223232132324R ⎛⎫⎛⎫=+⨯⨯= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭∴球O 的表面积2S 4R 21ππ== .故答案为：21π．【点睛】本题考查球的表面积的求法，空间思维能力，考查转化化归思想、数形结合思想、属于中档题．15．【解析】【分析】过作交于连接根据可得平面通过解三角形求得的值也即求得的值【详解】过作交于连接根据可得平面故由于所以由于所以在直角三角形中所以而故根据前面证得可得【点睛】本小题主要考查空间点位置的确定解析：13 【解析】【分析】过B 作BF AC ⊥，交AC 于F ，连接EF ，根据BE AC ⊥，可得AC ⊥平面BEF ，通过解三角形求得:AF FC 的值，也即求得PE EC 的值. 【详解】过B 作BF AC ⊥，交AC 于F ，连接EF ，根据BE AC ⊥，可得AC ⊥平面BEF ，故AC EF ⊥，由于PA AC ⊥，所以//EF PA .由于AD CD =，所以π4DAC BAC ∠=∠=.在直角三角形ABF 中，π1,4AB BAF =∠=，所以2222AF AB ==，而22AC =，故:1:3AF FC =.根据前面证得//EF PA ，可得::1:3PE EC AF FC ==.【点睛】本小题主要考查空间点位置的确定，考查线面垂直的证明，考查简单的解特殊角三角形的知识.属于基础题.16．【解析】【分析】点到平面的距离等价于点到平面的距离过作交于证得平面利用等面积法求得点到平面的距离也即点到平面的距离【详解】由于是的中点故点到平面的距离等价于点到平面的距离过作交于由于故平面在直角三角解析：5 【解析】【分析】点1B 到平面ADE 的距离等价于点B 到平面ADE 的距离，过B 作BF AE ⊥，交AE 于F ，证得BF ⊥平面ADE ，利用等面积法求得点B 到平面ADE 的距离，也即点1B 到平面ADE 的距离.【详解】由于E 是1BB 的中点，故点1B 到平面ADE 的距离等价于点B 到平面ADE 的距离，过B 作BF AE ⊥，交AE 于F ，由于BF AD ⊥，AD AE E ⋂=，故BF ⊥平面ADE .在直角三角形ABE 中，151,,22AB BE AE ===，所以1122AB BE AE BF ⋅⋅=⋅⋅,解得5BF =.【点睛】本小题主要考查点到面的距离，考查等面积法求高，考查线面垂直的证明，属于基础题. 17．60°【解析】【分析】首先证得是二面角的平面角解直角三角形求得的大小【详解】由于是的中点所以由于所以平面所以由于平面所以而所以平面所以所以是二面角的平面角设则所以所以在中所以所以故答案为：【点睛】本解析：60°【解析】【分析】首先证得EDC ∠是二面角E BD C --的平面角，解直角三角形求得EDC ∠的大小.【详解】由于SB BC =，E 是SC 的中点，所以SC BE ⊥，由于,SC DE DE BE E ⊥⋂=，所以SC ⊥平面BDE ，所以SC BD ⊥.由于SA ⊥平面ABC ，所以SA BD ⊥，而SA SC S ⋂=，所以BD ⊥平面SAC ，所以,BD DC BD DE ⊥⊥，所以EDC ∠是二面角E BD C --的平面角.设1SA AB ==，则SB BC ==2SC =，所以在Rt SAC ∆中，12SA SC =，所以30SCA ∠=o ，所以60EDC ∠=o . 故答案为：60o【点睛】本小题主要考查二面角的求法，考查空间想象能力和逻辑推理能力，属于中档题. 18．【解析】【分析】在平面中与的交点即为求出长即可求解【详解】连在正方体中所以四边形为矩形相交其交点为平面的交点是的中点为的中位线为中点正方体各棱长为1故答案为:【点睛】本题考查空间线面位置关系确定直线【解析】【分析】在平面11BB D D 中，1D M 与BD 的交点即为N ，求出BN 长，即可求解.【详解】连BD ，在正方体1111ABCD A B C D -中，11111,//,BB DD BB DD DD BD =⊥，所以四边形11BB D D 为矩形，1,BD D M 相交，其交点为1D M 平面ABCD 的交点N ，Q M 是1BB 的中点，111,//2BM DD BM DD ∴=， BM 为1DD N V 的中位线，B 为DN 中点，正方体各棱长为1，BN BD ∴==,1,135ABN AB BN ABN ==∠=o V ，2222cos AN AB BN AB BN ABN =+-⋅⋅∠2321252=+⨯⨯⨯=，5AN ∴=. 故答案为:5.【点睛】本题考查空间线面位置关系，确定直线与平面交点是解题的关键，意在考查直观想象能力，属于中档题.19．【解析】【分析】作出直线和平面所成的角解直角三角形求得线面角的正弦值【详解】设为的中点连接根据正方体的性质可知平面所以是直线和平面所成的角设正方体的边长为在中所以故答案为：【点睛】本小题主要考查线面解析：23【解析】【分析】作出直线BE 和平面11ABB A 所成的角，解直角三角形求得线面角的正弦值.【详解】设F 为1AA 的中点，连接,,EF EB BF ，根据正方体的性质可知EF ⊥平面11ABB A ，所以EBF ∠是直线BE 和平面11ABB A 所成的角.设正方体的边长为2，在Rt EBF ∆中2EF =，2222213BE =++=，所以2sin 3EF EBF BE ∠==. 故答案为：23【点睛】本小题主要考查线面角的求法，考查空间想象能力，属于基础题.20．【解析】【分析】由题意曲线表示以原点为圆心1为半径的半圆根据图形得出直线与半圆有两个公共点时抓住两个关键点一是直线与圆相切时二是直线过时分别求出的值即可确定的范围【详解】如图所示是个以原点为圆心1为解析：2⎡⎣【解析】【分析】由题意，曲线2:1C y x =-表示以原点为圆心，1为半径的半圆，根据图形得出直线:l y x b =+与半圆有两个公共点时抓住两个关键点，一是直线:l y x b =+与圆相切时，二是直线:l y x b =+过()1,0A -时分别求出b 的值，即可确定b 的范围。

人教版高一年级第二学期期中考试数学试卷与答案解析(共五套)

A． B． C． D．2
8．已知 ,且，则（）
A．4B．3C． D．
9．在△ 中，为边上的中线，为的中点，则
A． B．
C． D．
10．△ABC的内角A、B、C的对边分别为、b、c.已知，，，则b=
A． B． C．2D．3
11．已知向量，是不平行于轴的单位向量，且，则（）
解得（舍去），故选D.
11．已知向量，是不平行于轴的单位向量，且，则（）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】设，其中，则 .
由题意得，解得，即 .
故选：B.
12．若非零向量满足，且，则的夹角为
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】∵ ，所以，即，
即，∴
，又，故，故选A.
A．3B．2C． D．
【答案】D
【解析】点是所在平面上一点，过作，如下图所示：
由，
故，
所以与的面积之比为，
故选：D．
7．设复数z满足(1＋i)z＝2i，则|z|＝（）
A． B． C． D．2
【答案】C
【解析】题意，，所以 .故选：C.
8．已知 ,且，则（）
A．4B．3C． D．
（2）因为为三角形内角，
所以，
，
由正弦定理得：，
又∵ ．
，解得或（舍）．
．
22．在中，角所对的边分别为，已知 .
(1)求角的大小；
(2)若，求的取值范围．
【答案】（1）；（2）
【解析】（1）∵ ，
∴ ，
即，
∵ ，∴ ，∴ ．

人教版高一下学期期中考试数学试卷及答案解析(共五套)

人教版高一下学期期中考试数学试卷（一）注意事项：本试卷满分150分，考试时间120分钟，试题共22题．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置．一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.点C是线段AB靠近点B的三等分点，下列正确的是（）A．B．C．D．2.已知复数z满足z（3+i）＝3+i2020，其中i为虚数单位，则z的共轭复数的虚部为（）A．B．C．D．3.如图，▱ABCD中，∠DAB＝60°，AD＝2AB＝2，延长AB至点E，且AB＝BE，则•的值为（）A．﹣1 B．﹣3 C．1 D．4.设i是虚数单位，则2i+3i2+4i3+……+2020i2019的值为（）A．﹣1010﹣1010i B．﹣1011﹣1010iC．﹣1011﹣1012i D．1011﹣1010i5.如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，异面直线A1B与CD所成的角为（）A．30°B．45°C．60°D．135°6.在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若（a﹣2b）cos C＝c（2cos B﹣cos A），△ABC的面积为a2sin，则C＝（）A．B．C．D．7.在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，下列四个结论中错误的是（）A．直线B1C与直线AC所成的角为60°B．直线B1C与平面AD1C所成的角为60°C．直线B1C与直线AD1所成的角为90°D．直线B1C与直线AB所成的角为90°8.如图，四边形ABCD为正方形，四边形EFBD为矩形，且平面ABCD与平面EFBD互相垂直．若多面体ABCDEF的体积为，则该多面体外接球表面积的最小值为（）A．6πB．8πC．12πD．16π二、多选题（本大题共4小题，每小题5分，选对得分，选错、少选不得分）9.在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a2＝b2+bc，则角A可为（）A．B．C．D．10.如图，四边形ABCD为直角梯形，∠D＝90°，AB∥CD，AB＝2CD，M，N分别为AB，CD的中点，则下列结论正确的是（）A．B．C．D．11.下列说法正确的有（）A．任意两个复数都不能比大小B．若z＝a+bi（a∈R，b∈R），则当且仅当a＝b＝0时，z＝0C．若z1，z2∈C，且z12+z22＝0，则z1＝z2＝0D．若复数z满足|z|＝1，则|z+2i|的最大值为312.如图，已知ABCD﹣A1B1C1D1为正方体，E，F分别是BC，A1C的中点，则（）A．B．C．向量与向量的夹角是60°D．异面直线EF与DD1所成的角为45°三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在横线上）13.已知正方形ABCD的边长为2，点P满足＝（+），则||＝；•＝．14.若虛数z1、z2是实系数一元二次方程x2+px+q＝0的两个根，且，则pq＝．15.已知平面四边形ABCD中，AB＝AD＝2，BC＝CD＝BD＝2，将△ABD沿对角线BD折起，使点A到达点A'的位置，当A'C＝时，三棱锥A﹣BCD的外接球的体积为．16.已知一圆锥底面圆的直径为3，圆锥的高为，在该圆锥内放置一个棱长为a 的正四面体，并且正四面体在该几何体内可以任意转动，则a的最大值为．四、解答题（本大题共6小题，共70分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17.在四边形ABCD中，AB∥CD，AD＝BD＝CD＝1．（1）若AB＝，求BC；（2）若AB＝2BC，求cos∠BDC．18.（1）已知z1=1﹣2i，z2=3+4i，求满足=+的复数z．（2）已知z，ω为复数，（1+3i）﹣z为纯虚数，ω=，且|ω|=5．求复数ω．19.如图，墙上有一壁画，最高点A离地面4米，最低点B离地面2米．观察者从距离墙x（x＞1）米，离地面高a（1≤a≤2）米的C处观赏该壁画，设观赏视角∠ACB＝θ．（1）若a＝1.5，问：观察者离墙多远时，视角θ最大？（2）若tanθ＝，当a变化时，求x的取值范围．20.如图，已知复平面内平行四边形ABCD中，点A对应的复数为﹣1，对应的复数为2+2i，对应的复数为4﹣4i．（Ⅰ）求D点对应的复数；（Ⅱ）求平行四边形ABCD的面积．21.如图所示，等腰梯形ABFE是由正方形ABCD和两个全等的Rt△FCB和Rt△EDA组成，AB＝1，CF＝2．现将Rt△FCB沿BC所在的直线折起，点F移至点G，使二面角E﹣BC﹣G的大小为60°．（1）求四棱锥G﹣ABCE的体积；（2）求异面直线AE与BG所成角的大小．22.如图，四边形MABC中，△ABC是等腰直角三角形，AC⊥BC，△MAC是边长为2的正三角形，以AC为折痕，将△MAC向上折叠到△DAC的位置，使点D在平面ABC内的射影在AB上，再将△MAC向下折叠到△EAC的位置，使平面EAC⊥平面ABC，形成几何体DABCE．（1）点F在BC上，若DF∥平面EAC，求点F的位置；（2）求直线AB与平面EBC所成角的余弦值．参考答案一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.点C是线段AB靠近点B的三等分点，下列正确的是（）A．B．C．D．【答案】D【分析】根据共线向量的定义即可得结论．【解答】解：由题，点C是线段AB靠近点B的三等分点，＝3＝﹣3，所以选项A错误；＝2＝﹣2，所以选项B和选项C错误，选项D正确．故选：D．【知识点】平行向量（共线）、向量数乘和线性运算2.已知复数z满足z（3+i）＝3+i2020，其中i为虚数单位，则z的共轭复数的虚部为（）A．B．C．D．【答案】D【分析】直接利用复数代数形式的乘除运算化简，然后利用共轭复数的概念得答案．【解答】解：∵z（3+i）＝3+i2020，i2020＝（i2）1010＝（﹣1）1010＝1，∴z（3+i）＝4，∴z＝，∴＝，∴共轭复数的虚部为，故选：D．【知识点】复数的运算3.如图，▱ABCD中，∠DAB＝60°，AD＝2AB＝2，延长AB至点E，且AB＝BE，则•的值为（）A．﹣1 B．﹣3 C．1 D．【答案】C【分析】利用图形，求出数量积的向量，然后转化求解即可．【解答】解：由题意，▱ABCD中，∠DAB＝60°，AD＝2AB＝2，延长AB至点E，且AB＝BE，可知＝+＝，＝﹣＝﹣2，所以•＝（）•（﹣2）＝﹣2﹣2＝1．故选：C．【知识点】平面向量数量积的性质及其运算4.设i是虚数单位，则2i+3i2+4i3+……+2020i2019的值为（）A．﹣1010﹣1010i B．﹣1011﹣1010iC．﹣1011﹣1012i D．1011﹣1010i【答案】B【分析】利用错位相减法、等比数列的求和公式及其复数的周期性即可得出．【解答】解：设S＝2i+3i2+4i3+ (2020i2019)∴iS＝2i2+3i3+ (2020i2020)则（1﹣i）S＝i+i+i2+i3+……+i2019﹣2020i2020．＝＝i+＝＝﹣2021+i，∴S＝＝．故选：B．【知识点】复数的运算5.如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，异面直线A1B与CD所成的角为（）A．30°B．45°C．60°D．135°【答案】B【分析】易知∠ABA1即为所求，再由△ABA1为等腰直角三角形，得解．【解答】解：因为AB∥CD，所以∠ABA1即为异面直线A1B与CD所成的角，因为△ABA1为等腰直角三角形，所以∠ABA1＝45°．故选：B．【知识点】异面直线及其所成的角6.在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若（a﹣2b）cos C＝c（2cos B﹣cos A），△ABC的面积为a2sin，则C＝（）A．B．C．D．【答案】C【分析】先利用正弦定理将已知等式中的边化角，再结合两角和公式与三角形的内角和定理，可推出sin B＝2sin A；然后利用三角形的面积公式、正弦定理，即可得解．【解答】解：由正弦定理知，＝＝，∵（a﹣2b）cos C＝c（2cos B﹣cos A），∴（sin A﹣2sin B）cos C＝sin C（2cos B﹣cos A），即sin A cos C+sin C cos A＝2（sin B cos C+cos B sin C），∴sin（A+C）＝2sin（B+C），即sin B＝2sin A．∵△ABC的面积为a2sin，∴S＝bc sin A＝a2sin，根据正弦定理得，sin B•sin C•sin A＝sin2A•sin，化简得，sin B•sin cos＝sin A•cos，∵∈（0，），∴cos＞0，∴sin＝＝，∴＝，即C＝．故选：C．【知识点】正弦定理、余弦定理7.在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，下列四个结论中错误的是（）A．直线B1C与直线AC所成的角为60°B．直线B1C与平面AD1C所成的角为60°C．直线B1C与直线AD1所成的角为90°D．直线B1C与直线AB所成的角为90°【答案】B【分析】连接AB1，求出∠ACB1可判断选项A；连接B1D1，找出点B1在平面AD1C上的投影O，设直线B1C与平面AD1C所成的角为θ，由cosθ＝可判断选项B；利用平移法找出选项C和D涉及的异面直线夹角，再进行相关运算，即可得解．【解答】解：连接AB1，∵△AB1C为等边三角形，∴∠ACB1＝60°，即直线B1C与AC所成的角为60°，故选项A正确；连接B1D1，∵AB1＝B1C＝CD1＝AD1，∴四面体AB1CD1是正四面体，∴点B1在平面AD1C上的投影为△AD1C的中心，设为点O，连接B1O，OC，则OC＝BC，设直线B1C与平面AD1C所成的角为θ，则cosθ＝＝＝≠，故选项B错误；连接BC1，∵AD1∥BC1，且B1C⊥BC1，∴直线B1C与AD1所成的角为90°，故选项C正确；∵AB⊥平面BCC1B1，∴AB⊥B1C，即直线B1C与AB所成的角为90°，故选项D正确．故选：B．【知识点】直线与平面所成的角、异面直线及其所成的角8.如图，四边形ABCD为正方形，四边形EFBD为矩形，且平面ABCD与平面EFBD互相垂直．若多面体ABCDEF的体积为，则该多面体外接球表面积的最小值为（）A．6πB．8πC．12πD．16π【答案】A【分析】由题意可得AC⊥面EFBD，可得V ABCDEF＝V C﹣EFBD+V A﹣EFBD＝2V A﹣EFBD，再由多面体ABCDEF 的体积为，可得矩形EFBD的高与正方形ABCD的边长之间的关系，再由题意可得矩形EFBD的对角线的交点为外接球的球心，进而求出外接球的半径，再由均值不等式可得外接球的半径的最小值，进而求出外接球的表面积的最小值．【解答】解：设正方形ABCD的边长为a，矩形BDEF的高为b，因为正方形ABCD，所以AC⊥BD，设AC∩BD＝O'，由因为平面ABCD与平面EFBD互相垂直，AC⊂面ABCD，平面ABCD∩平面EFBD＝BD，所以AC⊥面EFBD，所以V ABCDEF＝V C﹣EFBD+V A﹣EFBD＝2V A﹣EFBD＝2•S EFBD•CO'＝•a•b•a ＝a2b，由题意可得V ABCDEF＝，所以a2b＝2；所以a2＝，矩形EFBD的对角线的交点O，连接OO'，可得OO'⊥BD，而OO'⊂面EFBD，而平面ABCD⊥平面EFBD，平面ABCD∩平面EFBD＝BD，所以OO'⊥面EFBD，可得OA＝OB＝OE＝OF都为外接球的半径R，所以R2＝（）2+（a）2＝+＝+＝++≥3＝3×，当且仅当＝即b＝时等号成立．所以外接球的表面积为S＝4πR2≥4π•3×＝6π．所以外接球的表面积最小值为6π．故选：A．【知识点】球的体积和表面积二、多选题（本大题共4小题，每小题5分，选对得分，选错、少选不得分）9.在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a2＝b2+bc，则角A可为（）A．B．C．D．【答案】BC【分析】由已知利用余弦定理整理可得cos A＝，对于A，若A＝，可得b＝＜0，错误；对于B，若A＝，可得b＝＞0，对于C，若A＝，可得b＝＞0，对于D，若A＝，可得c＝0，错误，即可得解．【解答】解：因为在△ABC中，a2＝b2+bc，又由余弦定理可得：a2＝b2+c2﹣2bc cos A，所以b2+bc＝b2+c2﹣2bc cos A，整理可得：c＝b（1+2cos A），可得：cos A＝，对于A，若A＝，可得：﹣＝，整理可得：b＝＜0，错误；对于B，若A＝，可得：＝，整理可得：b＝＞0，对于C，若A＝，可得：cos＝＝，整理可得：b＝＞0，对于D，若A＝，可得：cos＝﹣＝，整理可得：c＝0，错误．故选：BC．【知识点】余弦定理10.如图，四边形ABCD为直角梯形，∠D＝90°，AB∥CD，AB＝2CD，M，N分别为AB，CD的中点，则下列结论正确的是（）A．B．C．D．【答案】ABC【分析】由向量的加减法法则、平面向量基本定理解决【解答】解：由，知A正确；由知B正确；由知C正确；由N为线段DC的中点知知D错误；故选：ABC．【知识点】向量数乘和线性运算、平面向量的基本定理11.下列说法正确的有（）A．任意两个复数都不能比大小B．若z＝a+bi（a∈R，b∈R），则当且仅当a＝b＝0时，z＝0C．若z1，z2∈C，且z12+z22＝0，则z1＝z2＝0D．若复数z满足|z|＝1，则|z+2i|的最大值为3【答案】BD【分析】通过复数的基本性质，结合反例，以及复数的模，判断命题的真假即可．【解答】解：当两个复数都是实数时，可以比较大小，所以A不正确；复数的实部与虚部都是0时，复数是0，所以B正确；反例z1＝1，z2＝i，满足z12+z22＝0，所以C不正确；复数z满足|z|＝1，则|z+2i|的几何意义，是复数的对应点到（0，﹣2）的距离，它的最大值为3，所以D正确；故选：BD．【知识点】复数的模、复数的运算、虚数单位i、复数、命题的真假判断与应用12.如图，已知ABCD﹣A1B1C1D1为正方体，E，F分别是BC，A1C的中点，则（）A．B．C．向量与向量的夹角是60°D．异面直线EF与DD1所成的角为45°【答案】ABD【分析】在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，建立合适的空间直角坐标系，设正方体的棱长为2，根据空间向量的坐标运算，以及异面直线所成角的向量求法，逐项判断即可．【解答】解：在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，以点A为坐标原点，分别以AB，AD，AA1为x 轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，设正方体的棱长为2，则A（0，0，0），A1（0，0，2），B（2，0，0），B1（2，0，2），C （2，2，0），D（0，2，0），D1（0，2，2），所以，故，故选项A正确；又，又，所以，，则，故选项B正确；，所以，因此与的夹角为120°，故选项C错误；因为E，F分别是BC，A1C的中点，所以E（2，1，0），F（1，1，1），则，所以，又异面直线的夹角大于0°小于等于90°，所以异面直线EF与DD1所成的角为45°，故选项D正确；故选：ABD．【知识点】异面直线及其所成的角三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在横线上）13.已知正方形ABCD的边长为2，点P满足＝（+），则||＝；•＝．【分析】根据向量的几何意义可得P为BC的中点，再根据向量的数量积的运算和正方形的性质即可求出．【解答】解：由＝（+），可得P为BC的中点，则|CP|＝1，∴|PD|＝＝，∴•＝•（+）＝﹣•（+）＝﹣2﹣•＝﹣1，故答案为：，﹣1．【知识点】平面向量数量积的性质及其运算14.若虛数z1、z2是实系数一元二次方程x2+px+q＝0的两个根，且，则pq＝．【答案】1【分析】设z1＝a+bi，则z2＝a﹣bi，（a，b∈R），根据两个复数相等的充要条件求出z1，z2，再由根与系数的关系求得p，q的值．【解答】解：由题意可知z1与z2为共轭复数，设z1＝a+bi，则z2＝a﹣bi，（a，b∈R 且b≠0），又，则a2﹣b2+2abi＝a﹣bi，∴（2a+b）+（a+2b）i＝1﹣i，∴，解得．∴z1＝+i，z2＝i，（或z2＝+i，z1＝i）．由根与系数的关系，得p＝﹣（z1+z2）＝1，q＝z1•z2＝1，∴pq＝1．故答案为：1．【知识点】复数的运算15.已知平面四边形ABCD中，AB＝AD＝2，BC＝CD＝BD＝2，将△ABD沿对角线BD折起，使点A到达点A'的位置，当A'C＝时，三棱锥A﹣BCD的外接球的体积为．【分析】由题意画出图形，找出三棱锥外接球的位置，求解三角形可得外接球的半径，再由棱锥体积公式求解．【解答】解：记BD的中点为M，连接A′M，CM，可得A′M2+CM2＝A′C2，则∠A′MC＝90°，则外接球的球心O在△A′MC的边A′C的中垂线上，且过正三角形BCD的中点F，且在与平面BCD垂直的直线m上，过点A′作A′E⊥m于点E，如图所示，设外接球的半径为R，则A′O＝OC＝R，，A′E＝1，在Rt△A′EO中，A′O2＝A′E2+OE2，解得R＝．故三棱锥A﹣BCD的外接球的体积为．故答案为：．【知识点】球的体积和表面积16.已知一圆锥底面圆的直径为3，圆锥的高为，在该圆锥内放置一个棱长为a的正四面体，并且正四面体在该几何体内可以任意转动，则a的最大值为．【分析】根据题意，该四面体内接于圆锥的内切球，通过内切球即可得到a的最大值．【解答】解：依题意，四面体可以在圆锥内任意转动，故该四面体内接于圆锥的内切球，设球心为P，球的半径为r，下底面半径为R，轴截面上球与圆锥母线的切点为Q，圆锥的轴截面如图：则OA＝OB＝，因为SO＝，故可得：SA＝SB＝＝3，所以：三角形SAB为等边三角形，故P是△SAB的中心，连接BP，则BP平分∠SBA，所以∠PBO＝30°；所以tan30°＝，即r＝R＝×＝，即四面体的外接球的半径为r＝．另正四面体可以从正方体中截得，如图：从图中可以得到，当正四面体的棱长为a时，截得它的正方体的棱长为a，而正四面体的四个顶点都在正方体上，故正四面体的外接球即为截得它的正方体的外接球，所以2r＝AA1＝a＝a，所以a＝．即a的最大值为．故答案为：．【知识点】旋转体（圆柱、圆锥、圆台）四、解答题（本大题共6小题，共70分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17.在四边形ABCD中，AB∥CD，AD＝BD＝CD＝1．（1）若AB＝，求BC；（2）若AB＝2BC，求cos∠BDC．【分析】（1）直接利用余弦定理的应用求出结果；（2）利用余弦定理的应用建立等量关系式，进一步求出结果．【解答】解：（1）在四边形ABCD中，AD＝BD＝CD＝1．若AB＝，所以：cos∠ADB＝＝，由于AB∥CD，所以∠BDC＝∠ABD，即cos∠BDC＝cos∠ABD＝，所以BC2＝BD2+CD2﹣2•BD•CD•cos∠BDC＝＝，所以BC＝．（2）设BC＝x，则AB＝2BC＝2x，由余弦定理得：cos∠ADB＝＝，cos∠BDC＝＝＝，故，解得或﹣（负值舍去）．所以．【知识点】余弦定理18.（1）已知z1=1﹣2i，z2=3+4i，求满足=+的复数z．（2）已知z，ω为复数，（1+3i）﹣z为纯虚数，ω=，且|ω|=5．求复数ω．【分析】（1）把z1，z2代入=+，利用复数代数形式的乘除运算化简求出，进一步求出z；（2）设z=a+bi（a，b∈R），利用复数的运算及（1+3i）•z=（1+3i）（a+bi）=a﹣3b+（3a+b）i为纯虚数，可得，又ω==i，|ω|=5，可得，即可得出a，b，再代入可得ω．【解答】解：（1）由z1=1﹣2i，z2=3+4i，得=+==，则z=；（2）设z=a+bi（a，b∈R），∵（1+3i）•z=（1+3i）（a+bi）=a﹣3b+（3a+b）i为纯虚数，∴．又ω===i，|ω|=5，∴．把a=3b代入化为b2=25，解得b=±5，∴a=±15．∴ω=±（i）=±（7﹣i）．【知识点】复数的运算19.如图，墙上有一壁画，最高点A离地面4米，最低点B离地面2米．观察者从距离墙x（x＞1）米，离地面高a（1≤a≤2）米的C处观赏该壁画，设观赏视角∠ACB＝θ．（1）若a＝1.5，问：观察者离墙多远时，视角θ最大？（2）若tanθ＝，当a变化时，求x的取值范围．【分析】（1）首项利用两角和的正切公式建立函数关系，进一步利用判别式确定函数的最大值；（2）利用两角和的正切公式建立函数关系，利用a的取值范围即可确定x的范围．【解答】解：（1）如图，作CD⊥AF于D，则CD＝EF，设∠ACD＝α，∠BCD＝β，CD＝x，则θ＝α﹣β，在Rt△ACD和Rt△BCD中，tanα＝，tanβ＝，则tanθ＝tan（α﹣β）＝＝（x＞0），令u＝，则ux2﹣2x+1.25u＝0，∵上述方程有大于0的实数根，∴△≥0，即4﹣4×1.25u2≥0，∴u≤，即（tanθ）max＝，∵正切函数y＝tan x在（0，）上是增函数，∴视角θ同时取得最大值，此时，x＝＝，∴观察者离墙米远时，视角θ最大；（2）由（1）可知，tanθ＝＝＝，即x2﹣4x+4＝﹣a2+6a﹣4，∴（x﹣2）2＝﹣（a﹣3）2+5，∵1≤a≤2，∴1≤（x﹣2）2≤4，化简得：0≤x≤1或3≤x≤4，又∵x＞1，∴3≤x≤4．【知识点】解三角形20.如图，已知复平面内平行四边形ABCD中，点A对应的复数为﹣1，对应的复数为2+2i，对应的复数为4﹣4i．（Ⅰ）求D点对应的复数；（Ⅱ）求平行四边形ABCD的面积．【分析】（I）利用复数的几何意义、向量的坐标运算性质、平行四边形的性质即可得出．（II）利用向量垂直与数量积的关系、模的计算公式、矩形的面积计算公式即可得出．【解答】解：（Ⅰ）依题点A对应的复数为﹣1，对应的复数为2+2i，得A（﹣1，0），＝（2，2），可得B（1，2）．又对应的复数为4﹣4i，得＝（4，﹣4），可得C（5，﹣2）．设D点对应的复数为x+yi，x，y∈R．得＝（x﹣5，y+2），＝（﹣2，﹣2）．∵ABCD为平行四边形，∴＝，解得x＝3，y＝﹣4，故D点对应的复数为3﹣4i．（Ⅱ）＝（2，2），＝（4，﹣4），可得：＝0，∴．又||＝2，＝4．故平行四边形ABCD的面积＝＝16．【知识点】复数的代数表示法及其几何意义21.如图所示，等腰梯形ABFE是由正方形ABCD和两个全等的Rt△FCB和Rt△EDA组成，AB＝1，CF＝2．现将Rt△FCB沿BC所在的直线折起，点F移至点G，使二面角E﹣BC﹣G的大小为60°．（1）求四棱锥G﹣ABCE的体积；（2）求异面直线AE与BG所成角的大小．【分析】（1）推导出GC⊥BC，EC⊥BC，从而∠ECG＝60°．连接DG，推导出DG⊥EF，由BC⊥EF，BC⊥CG，得BC⊥平面DEG，从而DG⊥BC，进而DG⊥平面ABCE，DG是四棱锥G ﹣ABCE的高，由此能求出四棱锥G﹣ABCE的体积．（2）取DE的中点H，连接BH、GH，则BH∥AE，∠GBH既是AE与BG所成角或其补角．由此能求出异面直线AE与BG所成角的大小．【解答】解：（1）由已知，有GC⊥BC，EC⊥BC，所以∠ECG＝60°．连接DG，由CD＝AB＝1，CG＝CF＝2，∠ECG＝60°，有DG⊥EF①，由BC⊥EF，BC⊥CG，有BC⊥平面DEG，所以，DG⊥BC②，由①②知，DG⊥平面ABCE，所以DG就是四棱锥G﹣ABCE的高，在Rt△CDG中，．故四棱锥G﹣ABCE的体积为：．（2）取DE的中点H，连接BH、GH，则BH∥AE，故∠GBH既是AE与BG所成角或其补角．在△BGH中，，，则．故异面直线AE与BG所成角的大小为．【知识点】异面直线及其所成的角、棱柱、棱锥、棱台的体积22.如图，四边形MABC中，△ABC是等腰直角三角形，AC⊥BC，△MAC是边长为2的正三角形，以AC为折痕，将△MAC向上折叠到△DAC的位置，使点D在平面ABC内的射影在AB上，再将△MAC向下折叠到△EAC的位置，使平面EAC⊥平面ABC，形成几何体DABCE．（1）点F在BC上，若DF∥平面EAC，求点F的位置；（2）求直线AB与平面EBC所成角的余弦值．【分析】（1）点F为BC的中点，设点D在平面ABC内的射影为O，连接OD，OC，取AC 的中点H，连接EH，由题意知EH⊥AC，EH⊥平面ABC，由题意知DO⊥平面ABC，得DO∥平面EAC，取BC的中点F，连接OF，则OF∥AC，从而OF∥平面EAC，平面DOF∥平面EAC，由此能证明DF∥平面EAC．（2）连接OH，由OF，OH，OD两两垂直，以O为坐标原点，OF，OH，OD所在直线分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出直线AB与平面EBC所成角的余弦值．【解答】解：（1）点F为BC的中点，理由如下：设点D在平面ABC内的射影为O，连接OD，OC，∵AD＝CD，∴OA＝OC，∴在Rt△ABC中，O为AB的中点，取AC的中点H，连接EH，由题意知EH⊥AC，又平面EAC⊥平面ABC，平面EAC∩平面ABC＝AC，∴EH⊥平面ABC，由题意知DO⊥平面ABC，∴DO∥EH，∴DO∥平面EAC，取BC的中点F，连接OF，则OF∥AC，又OF⊄平面EAC，AC⊂平面EAC，∴OF∥平面EAC，∵DO∩OF＝O，∴平面DOF∥平面EAC，∵DF⊂平面DOF，∴DF∥平面EAC．（2）连接OH，由（1）可知OF，OH，OD两两垂直，以O为坐标原点，OF，OH，OD所在直线分别为x，y，z轴，建立如图所示空间直角坐标系，则B（1，﹣1，0），A（﹣1，1，0），E（0，1，﹣），C（1，1，0），∴＝（2，﹣2，0），＝（0，2，0），＝（﹣1，2，﹣），设平面EBC的法向量＝（a，b，c），则，取a＝，则＝（，0，﹣1），设直线与平面EBC所成的角为θ，则sinθ＝＝＝．∴直线AB与平面EBC所成角的余弦值为cosθ＝＝．【知识点】直线与平面平行、直线与平面所成的角人教版高一下学期期中考试数学试卷（二）注意事项：本试卷满分150分，考试时间120分钟，试题共22题．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置．一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．（2﹣i）z对应的点位于虚轴的正半轴上，则复数z对应的点位于（）1.已知复平面内，A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限2.平行四边形ABCD中，点E是DC的中点，点F是BC的一个三等分点（靠近B），则＝（）A．B．C．D．3.已知向量＝（6t+3，9），＝（4t+2，8），若（+）∥（﹣），则t＝（）A．﹣1 B．﹣C．D．14.已知矩形ABCD的一边AB的长为4，点M，N分别在边BC，DC上，当M，N分别是边BC，DC的中点时，有（+）•＝0．若+＝x+y，x+y＝3，则线段MN的最短长度为（）A．B．2 C．2D．25.若z∈C且|z+3+4i|≤2，则|z﹣1﹣i|的最大和最小值分别为M，m，则M﹣m的值等于（）A．3 B．4 C．5 D．96.已知球的半径为R，一等边圆锥（圆锥母线长与圆锥底面直径相等）位于球内，圆锥顶点在球上，底面与球相接，则该圆锥的表面积为（）A．R2B．R2C．R2D．R27.农历五月初五是端午节，民间有吃粽子的习惯，粽子又称粽籺，俗称“粽子”，古称“角黍”，是端午节大家都会品尝的食品，传说这是为了纪念战国时期楚国大臣、爱国主义诗人屈原．小明在和家人一起包粽子时，想将一丸子（近似为球）包入其中，如图，将粽叶展开后得到由六个边长为4的等边三角形所构成的平行四边形，将粽叶沿虚线折起来，可以得到如图所示的粽子形状的六面体，则放入丸子的体积最大值为（）A．πB．πC．πD．π8.已知半球O与圆台OO'有公共的底面，圆台上底面圆周在半球面上，半球的半径为1，则圆台侧面积取最大值时，圆台母线与底面所成角的余弦值为（）A．B．C．D．二、多选题（本大题共4小题，每小题5分，选对得分，选错、少选不得分）9.下列有关向量命题，不正确的是（）A．若||＝||，则＝B．已知≠，且•＝•，则＝C．若＝，＝，则＝D．若＝，则||＝||且∥10.若复数z满足，则（）A．z＝﹣1+i B．z的实部为1 C．＝1+i D．z2＝2i11.如图，在平行四边形ABCD中，E，F分别为线段AD，CD的中点，AF∩CE＝G，则（）A．B．C．D．12.已知正方体ABCD﹣A1B1C1D1，棱长为2，E为线段B1C上的动点，O为AC的中点，P 为棱CC1上的动点，Q为棱AA1的中点，则以下选项中正确的有（）A．AE⊥B1CB．直线B1D⊥平面A1BC1C．异面直线AD1与OC1所成角为D．若直线m为平面BDP与平面B1D1P的交线，则m∥平面B1D1Q三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在横线上）13.已知向量＝（m，1），＝（m﹣6，m﹣4），若∥，则m的值为．14.将表面积为36π的圆锥沿母线将其侧面展开，得到一个圆心角为的扇形，则该圆锥的轴截面的面积S＝．15.如图，已知有两个以O为圆心的同心圆，小圆的半径为1，大圆的半径为2，点A 为小圆上的动点，点P，Q是大圆上的两个动点，且•＝1，则||的最大值是．16.如图，在三棱锥A﹣BCD的平面展开图中，已知四边形BCED为菱形，BC＝1，BF＝，若二面角A﹣CD﹣B的余弦值为﹣，M为BD的中点，则CD＝，直线AD与直线CM所成角的余弦值为．四、解答题（本大题共6小题，共70分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17.已知，．（1）若与同向，求；（2）若与的夹角为120°，求．18.已知a、b、c是△ABC中∠A、∠B、∠C的对边，a＝4，b＝6，cos A＝﹣．（1）求c；（2）求cos2B的值．19.已知：复数z1与z2在复平面上所对应的点关于y轴对称，且z1（1﹣i）＝z2（1+i）（i为虚数单位），|z1|＝．（Ⅰ）求z1的值；（Ⅱ）若z1的虚部大于零，且（m，n∈R），求m，n的值．20.（Ⅰ）在复数范围内解方程|z|2+（z+）i＝（i为虚数单位）（Ⅱ）设z是虚数，ω＝z+是实数，且﹣1＜ω＜2．（1）求|z|的值及z的实部的取值范围；（2）设，求证：μ为纯虚数；（3）在（2）的条件下求ω﹣μ2的最小值．21.如图，直三棱柱A1B1C1﹣ABC中，AB＝AC＝1，，A1A＝4，点M为线段A1A 的中点．（1）求直三棱柱A1B1C1﹣ABC的体积；（2）求异面直线BM与B1C1所成的角的大小．（结果用反三角表示）22.如图所示，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，点G在棱D1C1上，且D1G＝D1C1，点E、F、M分别是棱AA1、AB、BC的中点，P为线段B1D上一点，AB＝4．（Ⅰ）若平面EFP交平面DCC1D1于直线l，求证：l∥A1B；（Ⅱ）若直线B1D⊥平面EFP．（i）求三棱锥B1﹣EFP的表面积；（ii）试作出平面EGM与正方体ABCD﹣A1B1C1D1各个面的交线，并写出作图步骤，保留作图痕迹．设平面EGM与棱A1D1交于点Q，求三棱锥Q﹣EFP的体积．答案解析一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．（2﹣i）z对应的点位于虚轴的正半轴上，则复数z对应的点位于（）1.已知复平面内，A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【答案】B【分析】直接利用复数的运算和几何意义的应用求出该点所表示的位置．【解答】解：设z＝a+bi（a，b∈R），所以（2﹣i）（a+bi）＝2a+b+（2b﹣a）i，由于对应的点在虚轴的正半轴上，所以，即，所以a＜0，b＞0．故该点在第二象限．故选：B．【知识点】复数的代数表示法及其几何意义2.平行四边形ABCD中，点E是DC的中点，点F是BC的一个三等分点（靠近B），则＝（）A．B．C．D．【答案】D【分析】利用平行四边形的性质以及向量相等的概念，再利用平面向量基本定理进行转化即可．【解答】解：因为ABCD为平行四边形，所以，故．故选：D．【知识点】平面向量的基本定理3.已知向量＝（6t+3，9），＝（4t+2，8），若（+）∥（﹣），则t＝（）A．﹣1 B．﹣C．D．1【答案】B【分析】根据平面向量的坐标表示和共线定理，列方程求出t的值．【解答】解：向量＝（6t+3，9），＝（4t+2，8），所以+＝（6t+3，11），﹣＝（4t+2，5）．又（+）∥（﹣），所以5（6t+3）﹣11（4t+2）＝0，解得t＝﹣．故选：B．【知识点】平面向量共线（平行）的坐标表示4.已知矩形ABCD的一边AB的长为4，点M，N分别在边BC，DC上，当M，N分别是边BC，DC的中点时，有（+）•＝0．若+＝x+y，x+y＝3，则线段MN的最短长度为（）A．B．2 C．2D．2【答案】D【分析】先根据M，N满足的条件，将（+）•＝0化成的表达式，从而判断出矩形ABCD为正方形；再将+＝x+y，左边用表示出来，结合x+y ＝3，即可得NC+MC＝4，最后借助于基本不等式求出MN的最小值．【解答】解：当M，N分别是边BC，DC的中点时，有（+）•＝＝＝，所以AD＝AB，则矩形ABCD为正方形，设，，则＝．则x＝2﹣λ，y＝2﹣μ．又x+y＝3，所以λ+μ＝1．故NC+MC＝4，则MN＝＝（当且仅当MC＝NC＝2时取等号）．故线段MN的最短长度为2．故选：D．【知识点】平面向量数量积的性质及其运算5.若z∈C且|z+3+4i|≤2，则|z﹣1﹣i|的最大和最小值分别为M，m，则M﹣m的值等于（）A．3 B．4 C．5 D．9【答案】B【分析】由题意画出图形，再由复数模的几何意义，数形结合得答案．【解答】解：由|z+3+4i|≤2，得z在复平面内对应的点在以Q（﹣3，﹣4）为圆心，以2为半径的圆及其内部．如图：|z﹣1﹣i|的几何意义为区域内的动点与定点P得距离，则M＝|PQ|+2，m＝|PQ|﹣2，则M﹣m＝4．故选：B．【知识点】复数的运算6.已知球的半径为R，一等边圆锥（圆锥母线长与圆锥底面直径相等）位于球内，圆锥顶点在球上，底面与球相接，则该圆锥的表面积为（）A．R2B．R2C．R2D．R2【答案】B【分析】设圆锥的底面半径为r，求得圆锥的高，由球的截面性质，运用勾股定理可得r，由圆锥的表面积公式可得所求．【解答】解：如图，设圆锥的底面半径为r，则圆锥的高为r，则R2＝r2+（r﹣R）2，解得r＝R，则圆锥的表面积为S＝πr2+πr•2r＝3πr2＝3π（R）2＝πR2，故选：B．【知识点】球内接多面体、旋转体（圆柱、圆锥、圆台）7.农历五月初五是端午节，民间有吃粽子的习惯，粽子又称粽籺，俗称“粽子”，古称“角黍”，是端午节大家都会品尝的食品，传说这是为了纪念战国时期楚国大臣、爱国主义诗人屈原．小明在和家人一起包粽子时，想将一丸子（近似为球）包入其中，如图，将粽叶展开后得到由六个边长为4的等边三角形所构成的平行四边形，将粽叶沿虚线折起来，可以得到如图所示的粽子形状的六面体，则放入丸子的体积最大值为（）A．πB．πC．πD．π【答案】A【分析】先根据题意求得正四面体的体积，进而得到六面体的体积，再由图形的对称性得，内部的丸子要是体积最大，就是丸子要和六个面相切，设丸子的半径为R，则，由此求得R，进而得到答案．【解答】解：由题意可得每个三角形面积为，由对称性可知该六面体是由两个正四面体合成的，可得该四面体的高为，故四面体的体积为，∵该六面体的体积是正四面体的2倍，。

人教版高一年级下学期期中考试数学试卷与答案解析(共三套)

人教版高一年级下学期期中考试数学试卷（一）（本卷满分150分，考试时间120分钟）注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上。

2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。

回答非选择题时，将答案写在答题卡上。

写在本试卷上无效。

3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

4．测试范围：人教A 版第二册：第六章平面向量及其应用、第七章复数、第八章立体几何初步一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的.1．已知平面向量)4(-=，m a ，)31(+-=m b ，，若存在实数0<λ，使得b a λ=，则实数m 的值为( )。

A 、4-B 、512- C 、1-D 、12．下列说法中错误的是( )。

A 、两条平行线段在直观图中对应的两条线段仍然平行B 、平行于坐标轴的线段长度在直观图中仍然保持不变C 、平行于坐标轴的线段在直观图中仍然平行于坐标轴D 、斜二测坐标系取的角可能是 1353．在下列命题中，正确命题的个数为( )。

①两个复数不能比较大小；②若i x x x )23()1(22+++-是纯虚数，则实数1±=x ；③z 是虚数的一个充要条件是R z z ∈+；④若a 、b 是两个相等的实数，则i b a b a )()(++-是纯虚数；⑤R z ∈的一个充要条件是z z =；⑥1||=z 的充要条件是z z 1=。

A 、1B 、2C 、3D 、4 4．设α、β是两个不同的平面，则β⊥α的充要条件是( )。

A 、平面α内任意一条直线与平面β垂直B 、平面α、β都垂直于同一条直线C 、平面α、β都垂直于同一平面D 、平面α内存在一条直线与平面β垂直5．如图，在长方体D C B A ABCD ''''-中，用截面截下一个棱锥D D A C ''-，则棱锥D D A C ''-的体积与剩余部分的体积之比为( )。

山东省青岛市第二中学2021-2022高一数学下学期期中试题(含解析)

山东省青岛市第二中学2021-2022高一数学下学期期中试题（含解析）一、选择题 1.下列命题正确的是 A. 若 a ＞b,则a 2＞b 2B. 若a ＞b ，则 ac ＞bcC. 若a ＞b ，则a 3＞b 3D. 若a>b ，则1a ＜1b【答案】C 【解析】对于A ，若1a =，1b =-，则A 不成立；对于B ，若0c，则B 不成立；对于C ，若a b >，则33a b >，则C 正确；对于D ，2a =，1b =-，则D 不成立. 故选C2.设直线,a b 是空间中两条不同的直线，平面,αβ是空间中两个不同的平面，则下列说法正确的是（）A. 若a ∥α，b ∥α，则a ∥bB. 若a ∥b ，b ∥α，则a ∥αC. 若a ∥α，α∥β，则a ∥βD. 若α∥β，a α⊂，则a ∥β【答案】D 【解析】【分析】利用空间直线和平面的位置关系对每一个选项逐一分析判断得解.【详解】A. 若a ∥α，b ∥α，则a 与b 平行或异面或相交，所以该选项不正确； B. 若a ∥b ，b ∥α，则a ∥α或a α⊂，所以该选项不正确； C. 若a ∥α，α∥β，则a ∥β或a β⊂，所以该选项不正确； D. 若α∥β，a α⊂，则a ∥β，所以该选项正确. 故选：D【点睛】本题主要考查空间直线平面位置关系的判断，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.3..以斜边所在直线为旋转迪，将该直角三角形旋转一周所得几何的体积是（）A.3πB.23πC. πD.43π【答案】B【解析】【分析】画出图形，根据圆锥的体积公式直接计算即可．【详解】如图为等腰直角三角形旋转而成的旋转体．由题得等腰直角三角形的斜边上的高为1.所以2112233V S h R hπ=⨯⋅=⨯⋅2122(1)133ππ=⨯⨯⨯=．故选：B．【点睛】本题主要考查圆锥的体积公式，考查空间想象能力以及计算能力，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平．4.ABC∆的三个内角,,A B C的对边分别是,,a b c.已知23b=6Bπ=，6c=，则A=（）A.6πB.2πC.6π或2πD.3π或2π【答案】C【解析】【分析】先利用正弦定理求出角C,再求角A得解.2363,sinsin2CC∴=因为c＞b,所以3Cπ=或23π.所以2Aπ=或6π.【点睛】本题主要考查正弦定理解三角形，意在考查学生对该知识的理解掌握水平. 5.一个等差数列共有13项，奇数项之和为91，则这个数列的中间项为（） A. 10 B. 11C. 12D. 13【答案】D 【解析】【分析】设数列为{}n a ，由题得77=91a 即得解. 【详解】设数列为{}n a ，由题得131113++++=91a a a a ，所以777=91=13a a ∴，. 所以这个数列的中间项为13. 故选：D【点睛】本题主要考查等差数列的性质，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平. 6.在ABC ∆中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c .若a =7b =，4A π=，则ABC ∆的形状可能是（） A. 锐角三角形 B. 钝角三角形C. 钝角或锐角三角形D. 锐角、钝角或直角三角形【答案】C 【解析】【分析】由正弦定理得sin B =>, 求出角B 的范围，再求出角C 的范围得解.【详解】由正弦定理得7sin sin 262B B =∴=>, 因为b a >，4A π=，所以233B ππ<<,且2B π≠,所以7115,12121212A B C ππππ<+<∴<<. 所以三角形是锐角三角形或钝角三角形.【点睛】本题主要考查正弦定理的应用，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.7.等差数列{}n a ，{}n b 的前n 项和分别为,n n S T ，且2135n n S n T n +=+，则55a b =（） A. 38B.23 C.1116D.1932【答案】D 【解析】【分析】利用95595599S a a T b b ==即可得解. 【详解】由题得955955929119939532S a a T b b ⨯+====⨯+. 故选：D【点睛】本题主要考查等差数列的性质，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平. 8.设0a >，0b >，若3是3a 与9b 的等比中项，则12a b+的最小值为（） A.92B. 3C.32+ D. 4【答案】A 【解析】【分析】由题得22a b +=，再利用基本不等式求最值得解. 【详解】因为3是3a 与9b 的等比中项，所以223393,22aba ba b +=⋅=∴+=.所以12112112122=()2()(2)(5)222a b a b a b a b a b b a+⋅+⋅=⋅+⋅+=++19(522≥⋅+=当且仅当23a b ==时取等故选：A【点睛】本题主要考查基本不等式求最值，考查等比中项的应用，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.9.已知函数()24f x x mx =++，若()0f x >对任意实数()0,4x ∈恒成立，则实数m 的取值范围是（） A. [)4,-+∞ B. ()4,-+∞ C. (],4-∞-D. (),4-∞-【答案】B 【解析】【分析】由题得4()m x x>-+ 对任意实数()0,4x ∈恒成立，再利用基本不等式求解即可. 【详解】由题得已知函数240x mx ++>对任意实数()0,4x ∈恒成立，所以4()m x x>-+ 对任意实数()0,4x ∈恒成立，因为4()4x x -+≤-=-（当且仅当x=2时取等）所以4m >-. 故选：B【点睛】本题主要考查不等式的恒成立问题，考查基本不等式求最值，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.10.若等差数列{}n a 单调递减，24,a a 为函数()2812f x x x =-+两个零点，则数列{}n a 的前n 项和n S 取得最大值时，正整数n 的值为（） A. 3 B. 4C. 4或5D. 5或6【答案】C 【解析】【分析】先求出210n aa n =-+，再得到1456,0,0,,,0n a a a a a >=<，，即得解.【详解】因为等差数列{}n a 单调递减，24,a a 为函数()2812f x x x =-+的两个零点，所以24=6=22,6(2)(2)210n a a d a n n ∴=-∴=+-⨯-=-+，，. 令2+1005n n -≥∴≤，. 所以1456,0,0,,,0n a a a a a >=<，，所以数列前4项或前5项的和最大. 故选：C【点睛】本题主要考查等差数列的前n 项和的最值的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.11.在《九章算术》中，底面是直角三角形的直棱柱成为“堑堵”.某个“堑堵”的高为2，且该“堑堵”的外接球表面积为12π，则该“堑堵”的表面积的最大值为（）A. 4+B. 12+C. 16+D.20+【答案】B 【解析】【分析】设底面直角三角形的两直角边为a,b,斜边为c,求出21()2(+)42S a b a b =+++，再利用基本不等式求出a+b 的范围，利用二次函数的图象得解. 【详解】设底面直角三角形的两直角边为a,b,斜边为c,由题得222221412,1(),=82R R c c a b π=∴==+∴=∴+.由题得该“堑堵”的表面积为2+222+2S ab a b ab a b =++⋅=++因为222221()8,()28,()4,424a b a b a b ab ab a b a b ++=∴+-=∴=+-≤∴+≤.所以21()2(+)42S a b a b =+++令4),a b t t +=<≤21242S t t =++，所以当t=4时，S 最大为12+故选：B【点睛】本题主要考查几何体的外接球问题和基本不等式，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.12.已知数列{}n a 的前n 项和2n S n =，数列{}n b 满足()1log 01n n ana b a a +=<<，n T 是数列{}n b 的前n 项和，若11log 2n a n M a +=，则n T 与n M 的大小关系是（） A. n n T M ≥ B. n n T M >C. n n T M <D. n n T M ≤【答案】C 【解析】【分析】先求出2462log ()13521n a nT n =⨯⨯⨯-，log n a M =，再利用数学归纳法证明*1321)242n n N n -⨯⨯⋯⨯∈即得解. 【详解】因为2n S n =，所以11=1,21(2)n n n a a S S n n -=-=-≥适合n=1,所以=21n a n -.所以2log 21n anb n =-，所以24622462log log log log log ()1352113521n a a a aa n nT n n =+++=⨯⨯⨯--111log =log (21)log 22n a n a a M a n +=+=下面利用数学归纳法证明不等式*1321)242n n N n -⨯⨯⋯⨯<∈ （1）当1n =时，左边12=，右边=<右边，不等式成立，（2）22414n n -<，即2(21)(21)(2)n n n +-<．即212221n nn n -<+，∴<，∴<假设当n k =时，原式成立，即1121232k k -⨯⨯⋯⨯<那么当1n k =+时，即112121212322(1)2(1)1k k k k k k -++⨯⨯⋯⨯⨯=<++即1n k =+时结论成立．根据（1）和（2）可知不等式对任意正整数n 都成立．所以246213521nn ⨯⨯⨯>-因为0＜a ＜1，所以2462log ()log 13521a a nn ⨯⨯⨯<- 所以n n T M <. 故选：C【点睛】本题主要考查数列通项的求法，考查对数的运算和对数函数的性质，考查数学归纳法，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平. 二、填空题13.已知等比数列{}n a 的前n 项和14233n n S t -=⋅-，则t =______. 【答案】2 【解析】【分析】求出1423a t =-，2=43n n a t -⋅，解方程1214=2433a t t --=⋅即得解. 【详解】当n=1时，114=23a S t =-，当n ≥2时，12221=232323(31)43n n n n n n n a S S t t t t ------=⋅-⋅=⋅-=⋅，适合n=1.所以1214=243,23a t t t --=⋅∴=. 故答案为：2【点睛】本题主要考查等比数列通项的求法，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平. 14.已知函数1a >，12b >，若实数()()1211a b --=，则2+a b 的最小值为______. 【答案】4 【解析】【分析】求出1112b a+=，再利用基本不等式求解. 【详解】由题得1122,12ab a b b a=+∴+=，所以1122=(a+2b)()22422a b b a b a ++=++≥+=a b . 当且仅当2,1a b ==时取等. 故答案为：4【点睛】本题主要考查基本不等式求最值，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平. 15.在ABC ∆中，6A π=，A 的角平分线AD 交BC 于点D，若AB =AC =AD =______.【解析】【分析】先利用余弦定理求出BC AB =，得到4ADB π∠=，再利用正弦定理得解【详解】在△ABC中，由余弦定理得22622,BC BC AB =+-=∴=. 所以263C B ππ==，.所以4ADB π∠=. 在△ABD2AD =∴=.【点睛】本题主要考查正弦余弦定理解三角形，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平. 16.如图所示，在正方体1111ABCD A B C D -中，点M 是棱CD 的中点，动点N 在体对角线1A C 上（点N 与点1A ，C 不重合），则平面AMN 可能经过该正方体的顶点是______.（写出满足条件的所有顶点）【答案】11,,A B C 【解析】【分析】取1CC 中点E ，取11A B 中点F, 1,A C 在平面1AMEB 两侧，1,A C 在平面1AMC F 两侧，分析即得解. 【详解】见上面左图，取1CC 中点E ，因为ME 1//AB ,所以A,M,E,1B 四点共面，1,A C 在平面1AMEB 两侧，所以1A C 和平面1AMEB 交于点N,此时平面AMN 过点A, 1B ;见上面右图，取11A B 中点F,因为1//AF C M ,所以1,,,A F C M 四点共面，1,A C 在平面1AMC F 两侧，所以1A C 和平面1AMC F 交于点N,此时平面AMN 过点A, 1C ;综上，平面AMN 可能经过该正方体的顶点是11,,A B C . 故答案为：11,,A B C【点睛】本题主要考查棱柱的几何特征和共面定理，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.三、解答题17.证明：对任意实数()3,x ∈-+∞<.【答案】证明见解析【解析】【分析】利用分析法证明即可.【详解】要证明对任意实数()3,x ∈-+∞，恒成立，<只需证明2929x x ++++，只需证明22+918920x x x x +<++，只需证明1820<，而1820<显然成立，所以对任意实数()3,x ∈-+∞<.所以原题得证.【点睛】本题主要考查分析法证明不等式，意在考查学生对该知识的理解掌握水平. 18.在ABC ∆中，角,,A B C 所对的边分别是,,a b c ，且()sin 2sin 0c B b A B ++=. （Ⅰ）求角B ；（Ⅱ）若7b =，ABC ∆的面积为4，求a c +. 【答案】（Ⅰ）2;3B π=（Ⅱ）8. 【解析】【分析】（Ⅰ）利用正弦定理化简()sin 2sin 0c B b A B ++=即得角B 的大小；（Ⅱ）先求出ac=15,再利用余弦定理求出a+c 的大小即得解.【详解】（Ⅰ）由题得sin 2sin 0,2sin sin cos sin sin 0c B b C C B B B C +=∴+=,因为sin sin 0B C ≠,所以12cos ,0,23B B B ππ=-<<∴=.（Ⅱ）由题得1152a c ac ⨯⨯=∴=. 由222222149=2()()()152a c ac a c ac a c ac a c +-⨯-=++=+-=+-，所以8a c +=.【点睛】本题主要考查正弦定理余弦定理解三角形，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.19.已知数列{}n a 的前n 项和n S 满足()()1110n n nS n S n n +-+++=，且110a =.求数列{}na 的前n 项和.【答案】数列{}n a 的前n 项和2211,6=1160,6n n n n T n n n ⎧-+≤⎨-+>⎩【解析】【分析】先通过已知求出=212n a n -+，再分类讨论求出数列{}n a 的前n 项和.【详解】由题得()()1110n n nS n S n n +-+++=，所以 ()110n n n nS nS S n n +--++=，所以()()1110,1n n n n na S n n S na n n ++-++=∴=++.当n ≥2时，111=(1)+2,2n n n n n n n a S S na n a n a a -++-=--∴-=-当n=1时，21212202S S a a -+=∴-=-，. 所以数列{}n a 是一个以10为首项，以-2为公差的等差数列，所以=10+(n 1)(2)212n a n -⨯-=-+. 所以n ≤6时，0n a ≥，n ＞6时，0n a <. 设数列{}n a 的前n 项和为n T , 当n ≤6时，21(10122)112n n nT a a n n n =++=+-=-+；当n ＞6时，221676666(2122)11602n n n T a a a a n n n -=++---=-+--+-=-+.所以数列{}n a 的前n 项和2211,6=1160,6n n n n T n n n ⎧-+≤⎨-+>⎩.【点睛】本题主要考查数列通项的求法，考查等差数列的前n 项和的求法，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和计算能力.20.在正方体1111ABCD A B C D -中，点M 为棱1AA 的中点.问：在棱11A D 上是否存在点N ，使得1C N ∥面1B MC ？若存在，请说明点N 的位置；若不存在，请说明理由.【答案】在棱11A D 上存在点N ，使得1C N ∥面1B MC ，N 就是11A D 的中点. 【解析】【分析】如图，取11A D 的中点N,1DD 的中点E,连接DE,1EC .证明平面1NEC //平面1B MC 即得解.【详解】如图，取11A D 的中点N,1DD 的中点E,连接DE,1EC .由题得1//NE B C ,因为NE ⊄平面1B MC ，1B C ⊂平面1B MC ，所以NE //平面1B MC .由题得111//,C E MB C E ⊄平面1B MC ,1MB ⊂平面1B MC ,所以1//C E 平面1B MC . 因为11,,NEC E E NE C E =⊂平面1NEC ,所以平面1NEC //平面1B MC ，因为1C N ⊂平面1NEC , 所以1C N //平面1B MC .所以在棱11A D 上存在点N ，使得1C N ∥面1B MC ，N 就是11A D 的中点.【点睛】本题主要考查直线平面位置关系的证明，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平. 21.已知n S 是数列{}n a 的前n 项和，当2n ≥时，1122n n n S S S +-++=，且10S =，24a =. （Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；（Ⅱ）等比数列{}n b 满足22331b a b a ==，求数列{}n n a b ⋅的前n 项和n T . 【答案】（Ⅰ）=44n a n -;（Ⅱ）214(1)()2n n T n -=-+.【解析】【分析】（Ⅰ）根据1122n n n S S S +-++=得到数列{}n a 是一个以0为首项，以4为公差的等差数列，即得数列{}n a 的通项公式；（Ⅱ）利用错位相减求数列{}n n a b ⋅的前n 项和n T . 【详解】（Ⅰ）由题得2n ≥时，111124,4n n n n n n n S S S S S S S +-+-+=+∴--+=，+14n n a a ∴-=，因为10S =，24a =.所以数列{}n a 是一个以0为首项，以4为公差的等差数列. 所以=44n a n -.（Ⅱ）因为22331b a b a ==，所以1111,,()222n n b q b ==∴=. 所以211=(4n 4)()(1)()22nn n n a b n -⋅-=-.所以01221111=0+1()2()3()(1)()2222n n T n -⨯+⨯+⨯++-⨯，123111111=0+1()2()3()(1)()22222n n T n -⨯+⨯+⨯++-⨯两式相减得122111111=1+1()1()+()(1)()22222n n n T n --⨯+⨯+--⨯，所以2111[1()]1122=1+(1)()12212n n n T n -----⨯-，所以214(1)()2n n T n -=-+.【点睛】本题主要考查数列通项的求法，考查错位相减法求和，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和计算能力.22.已知数列{}n a 的前n 项和n S 1=，且11a =.（Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；（Ⅱ）设11n n n b a a +=，且数列{}n b 的前n 项和n T 满足262n T t t <-对任意正整数n 恒成立，求实数t 的取值范围；（Ⅲ）设134nn n c a +⎛⎫=⋅ ⎪⎝⎭，问：是否存在正整数m ，使得m n c c ≥对一切正整数n 恒成立？若存在，请求出实数m 的值；若不存在，请说明理由.【答案】（Ⅰ）21n an =-；（Ⅱ）3t ≥或1t ≤-；（Ⅲ）m=3时，使得m n cc ≥对一切正整数n 恒成立. 【解析】【详解】1=，所以数列是一个以1为首项，以1为公差的等差数列，21),n n S n -=∴=.当n ≥2时，221(1)21n n n a S S n n n -=-=--=-，适合n=1.所以21n a n =-. （Ⅱ）1111()(21)(21)22121n b n n n n ==--+-+，所以1111111111()(1)2133521212212n T n n n =-+-++-=-<-++，所以216232t t t ⨯≤-∴≥，或1t ≤-. （Ⅲ）3(21)4nn c n ⎛⎫=⋅+ ⎪⎝⎭, 所以1+133352(23)(21)4444n n nn n n c c n n +-⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=⋅+-⋅+=⋅⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭.所以n ≤2时，+13210n n c c c c c ->∴>>，. n ＞2时，+13450n n c c c c c -<∴>>>，所以m=3时，使得m n c c ≥对一切正整数n 恒成立【点睛】本题主要考查数列通项的求法，考查裂项相消法求和，考查数列的单调性和最值的求法，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.23.在数列{}n a 中，12a =，26a =.当2n ≥时，1122n n n a a a +-+=+.若[]x 表示不超过x 的最大整数，求12320192019201920192019...a a a a ⎡⎤++++⎢⎥⎣⎦的值. 【答案】2021 【解析】【分析】构造1n n n b a a +=-，推出数列{}n b 是4为首项2为公差的等差数列，求出12n n a a n --=，利用累加法求解数列的通项公式．化简数列的通项公式．利用裂项消项法求解数列的和，然后求解即可．【详解】构造1n n n b a a +=-，则1214b a a =-=，由题意可得111()()2n n n n n n a a a a b b +-----=-=，(n ≥2). 故数列{}n b 是以4为首项2为公差的等差数列，故142(1)22n n n b a a n n +=-=+-=+，故214a a -=，326a a -=，438a a -=，⋯，12n n a a n --=以上1n -个式子相加可得1(1)(42)4622n n n a a n -+-=++⋯+=，(1)n a n n =+．所以1111n a n n =-+， ∴12111111111(1)()()122311n a a a n n n ++⋯+=-+-+⋯+-=-++ ∴122019201920192019201920192020a a a ++⋯+=- 则1220192019201920191[][2018]20182020a a a ++⋯+=+=．【点睛】本题考查数列的递推关系式的应用，数列求和，考查转化思想以及计算能力，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.。

新课标人教版高一下学期期中考试数学试题及答案

新课标人教版高一下学期期中考试数学试题及答案2011-2012年度高一年级下学期期中考试试题（数学）温馨提示：认真思考，细心答题，相信你会取得好成绩！成绩：一、选择题：（每小题4分，共40分）在下列每小题给出的四个选项中，只有一个符合要求，请选出并填入下列表中相应的位置。

1.不等式$x-2y+6>0$表示的平面区域在直线$x-2y+6=0$的()。

A。

右上方 B。

右下方 C。

左上方 D。

左下方2.若$A$为$\triangle ABC$内角，则下列函数中一定取正值的是：()。

A。

$\sin A$ B。

$\cos A$ C。

$\tan A$ D。

$\sin 2A$3.在$\triangle ABC$中，$a=135^\circ$，$b=3$，$B=60^\circ$，那么角$A$等于：()。

A。

$90^\circ$ B。

$45^\circ$ C。

$30^\circ$ D。

$60^\circ$4.设$b<a<1$，则下列不等式成立的是：()。

A。

$ab<b^2<1$ B。

$\log_b 1<a<\log_a 2$C。

$a^2<ab<1$ D。

$1<\frac{1}{1+a}<\frac{1}{1+b}$5.设数列$\{a_n\}$是等差数列，若$a_2=3$，$a_7=13$。

数列$\{a_n\}$的前8项和为：()。

A。

128 B。

80 C。

64 D。

566.在$\triangle ABC$中，若$\frac{ab}{\cos A\cos B}=1$，则$\triangle ABC$的形状是：()。

A。

等腰三角形B。

直角三角形C。

等腰或直角三角形D。

等腰直角三角形7.数列$\{a_n\}$的通项公式为$a_n=\frac{1}{n(n+1)}$，前$n$项和$S_n=9$，则$n$等于：()。

A。

98 B。

99 C。

96 D。

978.不等式$\begin{cases}y\geq x-1\\y\leq 1\end{cases}$表示区域的面积为：()。

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2022-2023学年高中高一下数学期中试卷学校：____________ 班级：____________ 姓名：____________ 考号：____________考试总分：110 分考试时间： 120 分钟注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息;2．请将答案正确填写在答题卡上;卷I（选择题）一、选择题（本题共计 8 小题，每题 5 分，共计40分）1. 已知集合A={x|log2x≤1},B={x|1x>1} ，则A∩(∁R B)=( )A.(−∞,2]B.(0,1]C.[1,2]D.(2,+∞)2. 若i是虚数单位，则i−123i=( )A.−13+4iB.13−4iC.13+4iD.−13−4i3. 关于x的方程4x+2x+1−m=0有正实数解的一个必要不充分条件是( )A.m≥0B.m≥5C.m>3D.m≥44. 已知一圆锥内接于球O，若球心O恰在圆锥的高的三等分点处，则该圆锥的体积与球O的体积的比值为( )A.34B.910C.932D.9255. 用斜二测画法作出△ABC的水平放置的直观图△A′B′C′如图所示，其中A′C′=√32，A′B′=1，则△ABC绕AC所在直线旋转一周后所形成的几何体的表面积为（）A.53πB.2πC.3πD.103π6. 已知非零向量满足|→a+→b|=|→a−→b|=2|→a|，则→b与→a+→b的夹角为（）A.π6B.5π6C.π3D.2π37. 已知函数f(x)=√3sin(ωx+φ)(ω>0,−π2<φ<π2)，A(13,0)为其图象的对称中心，B、C是该图象上相邻的最高点和最低点，若BC＝4，则f(x)的单调递增区间是（）A.(2k−23,2k+43)，k∈ZB.(2kπ−23π,2kπ+43π)，k∈ZC.(4k−23,4k+43)，k∈ZD.(4kπ−23π,4kπ+43π)，k∈Z8. 已知函数f(x)={−x−3a,x<0，log a(x+1)，x≥0(a>0)是R上的减函数，则a的取值范围是( )A.(0,1)B.[13,1)C.(0,13]D.(13,1)二、多选题（本题共计 4 小题，每题 5 分，共计20分）9. 如图，有一正四面体形状的木块，其棱长为a，点P是△ACD的中心．劳动课上，需过点P将该木块锯开，并使得截面平行于棱AB和CD，则下列关于截面的说法中正确的是（）A.截面与侧面ABC的交线平行于侧面ABDB.截面是一个三角形C.截面是一个四边形24D.截面的面积为a10. 已知向量→a，→b，→c满足→a+→b=(1,1)，→a−→b=(−3,1)，→c=(1,1)，设向量→a，→b的夹角为θ，则( )A.|→a|=|→b|B.→a⊥→cC.→b//→cD.θ=135∘11. 已知三角形有一个角是60∘，若这个角的两边长分别为8和5，则( )A.三角形另一边长为7B.三角形的周长为20C.三角形内切圆周长为3πD.三角形外接圆面积为49π312. 如图是函数y=sin(ωx+φ)，则sin(ωx+φ)=( )A.sin(x+π3)B.sin(π3−2x)C.cos(2x+π6)D.cos(5π6−2x)卷II（非选择题）三、填空题（本题共计 4 小题，每题 5 分，共计20分）13. 若虚数z同时满足下列两个条件：①z+5z是实数；②z+3的实部与虚部互为相反数，则z=________，|z|=________.14. 若向量→a,→b满足|→a|=1，|→b|=2，→a与→b的夹角为60∘，则|→a+→b|=________．15. 已知函数f(x)={x2−4,x≤0，e x−5,x>0，若关于x的方程|f(x)|−ax−5=0恰有三个不同的实数解，则满足条件的所有实数a的取值集合为________.16. △ABC中，内角A，B，C对的边长分别为a，b，c，且满足2cosBcosC(tanB+tanC)=cosBtanB+cosCtanC，则cosA的最小值是________．四、解答题（本题共计 6 小题，每题 5 分，共计30分）17. 已知一扇形的周长为c，弧长为多少时，扇形面积最大，最大面积为多少？18. 已知m≠R，复数z=(m2−2m−3)+(m2−1)i．(1)实数m取什么值时，复数z为实数；(2)实数m取值范围是什么时，在复平面内复数z对应的点在第三象限．19. 已知a，b，c分别为△ABC三个内角A，B，C的对边，且满足2bcosC=2a−c.(1)求B；(2)若△ABC的面积为√3，求b的取值范围．20.如图是一个缆车的示意图，该缆车半径为4.8m，圆上最低点与地面距离为0.8m，且缆车60s转动一圈，图中OA与地面垂直，以OA为始边，逆时针转动θ角到OB.设B点与地面间的距离为h，缆车从OA的位置开始转动．(1)试将h表示成关于θ的函数；(2)若经过ts后点A到达点B，试将h表示成关于t的函数；(3)试利用(1)或(2)的结论，说明缆车从最低点A到达最高点至少需要多长时间？21. 已知|→a|=3，|→b|=4，且|→a|与|→b|为不共线的平面向量．(1)若(→a+k→b)⊥(→a−k→b)，求k的值；(2)若(k→a−4→b)//(→a−k→b)，求k的值．22. 设函数f(x)是R上的奇函数，当x<0时，f(x)=x2−4x .(1)求f(x)的表达式；(2)用定义法证明f(x)在区间(0,+∞)上是减函数；(3)求函数f(x)在[−1,1]上的最值．参考答案与试题解析2022-2023学年高中高一下数学期中试卷一、选择题（本题共计 8 小题，每题 5 分，共计40分）1.【答案】C【考点】交、并、补集的混合运算【解析】此题暂无解析【解答】解：由题意得，A =(0,2]，B =(0,1)，∴∁R B =(−∞,0]∪[1,+∞)，∴A ∩(∁R B)=[1,2].故选C.2.【答案】C【考点】复数代数形式的乘除运算【解析】无【解答】解：i−123i =(i−12)i3i 2=−1−12i−3=13+4i ．故选C ．3.【答案】A【考点】根据充分必要条件求参数取值问题【解析】【解答】解：因为m =4x +2x+1=(2x +1)2−1，当x >0时，(2x +1)2−1>3，故关于x 的方程4x +2x+1−m =0有正实数解的充要条件是m >3.故选A ．4.【答案】C【考点】球的表面积和体积柱体、锥体、台体的体积计算【解析】利用截面图得出两个半径的关系，代入公式即可.【解答】解：设球的半径为R ，圆锥的半径为r ，高为h ，由题意得，h =R +12R =32R ，r =√R 2−12R 2=√32R ，所以圆锥体积V 1=13Sh =13πr 2h =13π(√32R )232R =38πR 3，球的体积V 2=43πR 3，所以，比值为V 1V 2=932.故选C.5.【答案】C【考点】斜二测画法画直观图旋转体（圆柱、圆锥、圆台）【解析】根据斜二测画法可知：AB ＝1，AC ＝√3，根据圆锥的表面积公式进而即可求得结果.【解答】解：根据斜二测画法可知：AB =1，AC =√3，△ABC 为直角三角形，将△ABC 绕AC 所在直线旋转一周后形成的几何体为圆锥，底面半径为1，高为√3，侧面母线长为2，∴几何体的表面积为S =π×1×2+π×12=3π.故选C.6.【答案】A【考点】数量积表示两个向量的夹角【解析】根据向量模的性质，建立关于→a 、→b 的方程组，解出→a ⋅→b =0且→b 2=3→a 2．由此作出矩形OABC ，可得→OC =→OA +→OB =→a +→b ，且|→OB|=√3|→OA|．由此利用解三角形的知识，即可得到向量→b 与→a +→b 的夹角大小．【解答】由已知得{(→a +→b)2=(→a −→b)2(→a −→b)2=4→a 2 ，化简①得→a ⋅→b =0且→b 2=3→a 2．令→OA =→a ，→OB =→b ，→OC =→OA +→OB =→a +→b ，则由→a ⋅→b =0且→b 2=3→a 2，可得四边形OACB 为矩形，且|→OB|=√3|→OA|∠BOC 即为向量→b 与→a +→b 的夹角．令|→OA|=1，则|→OB|=√3Rt △OBC 中，tan ∠BOC =→|BC|→|OB|=√33，∴∠BOC =π6，即向量→b 与→a +→b 的夹角为π67.【答案】C【考点】正弦函数的单调性【解析】由题意可得(2√3)2+(T2)2=42，求得ω的值，再根据对称中心求得φ的值，可得函数f(x)的解析式，利用正弦函数的单调性，求得f(x)的单调递增区间．【解答】函数f(x)=√3sin(ωx +φ)(ω>0,−π2<φ<π2)，A(13,0)为f(x)图象的对称中心，B ，C 是该图象上相邻的最高点和最低点，若BC ＝4，∴(2√3)2+(T2)2=42，即12+π2ω2=16，求得ω=π2．再根据π2⋅13+φ＝kπ，k ∈Z ，可得φ=−π6，∴f(x)=√3sin(π2x −π6)．令2kπ−π2≤π2x −π6≤2kπ+π2，求得4k −23≤x ≤4k +43，故f(x)的单调递增区间为(4k −23,4k +43)，k ∈Z ，8.【答案】A【考点】函数单调性的性质【解析】此题暂无解析【解答】解：∵函数f(x)={−x −3a,x <0log a (x +1)，x ≥0(a >0且a ≠1)是R 上的减函数，∴{3a ≥log a (0+1)，0<a <1，∴0<a <1.故选A. 二、多选题（本题共计 4 小题，每题 5 分，共计20分）9.【答案】A,C【考点】截面及其作法【解析】利用线面平行的判定与性质先完成截面，利用正四面体的性质得AB ⊥CD ，可得解.【解答】解：在△ACD 中，过点P 做EF//CD ，分别交AC ，AD 于E ，F ，由P 为△ACD 的中心，得EF =23CD ，在平面ABC ，平面ABD 内做EH//AB ，FG//AB 交BC ，BD 于H ，G ，连接HG ，则四边形EFGH 为所求做的截面，故EH//平面ABD ，故A 正确；由正四面体得AB ⊥CD 可得截面为长方形，故B 错误，C 正确；且EF =23a ，EH =13a ，所以截面面积为S =29a 2，故D 错误.故选AC.10.【答案】B,D【考点】平面向量数量积的运算数量积表示两个向量的夹角向量的模平面向量共线（平行）的坐标表示数量积判断两个平面向量的垂直关系【解析】根据题意，求出→a 、→b 的坐标，据此分析选项，综合即可得答案．【解答】解：根据题意，→a +→b =(1,1)，→a −→b =(−3,1)，则→a =(−1,1)，→b =(2,0).A ，|→a|=√2，|→b|=2，则|→a|=|→b|不成立，故A 错误；B ，→a =(−1,1)，→c =(1,1)，则→a ⋅→c =0，即→a ⊥→c ，故B 正确；C ，→b =(2,0)，→c =(1,1)，→b//→c 不成立，故C 错误；D ，→a =(−1,1)，→b =(2,0)，则→a ⋅→b =−2，|→a|=√2，|→b|=2，则cosθ=−22√2=−√22，则θ=135∘，故D 正确.故选BD.11.【答案】A,B,D【考点】正弦定理余弦定理【解析】利用余弦定理求得第三边长，由此判断AB 选项的正确性；利用三角形面积列方程，解方程求得内切圆的半径，进而求得内切圆的周长，由此判断C 选项的正确性；利用正弦定理求得外接圆的半径，由此求得外接圆的面积，从而判断D 选项的正确性．【解答】解：可得另一边长为√82+52−2×8×5cos60∘=7三角形的周长为20，则A 正确，B 正确；设内切圆半径为r ，则12(8+7+5)r =12×8×5sin60∘则内切圆周长为2πr =2√3π，则C 不正确；设外接圆半径为R ，则2R =7sin60∘，R =7√33，其面积为πR 2=49π3，则D 正确．故选ABD ．12.【答案】B,C【考点】诱导公式由y=Asin （ωx+φ）的部分图象确定其解析式正弦函数的图象【解析】先用图像上两零点间的距离求出函数的周期，从而求得ω，而后利用五点对应法求得φ，进而求得图像的解析式.【解答】解：由函数y =sin(ωx +φ)的部分图像，可知，T2=2π3−π6=π2，∴T =π，∴ω=2ππ=2，∴y =sin(2x +φ).将点(π6,0)代入得，0=sin(π3+φ)，∴π3+φ=(k +1)π(k ∈Z).A ，当x =π6时，sin(x +π3)=sin π2=1，不符合题意，故A 选项错误；B ，当k =0时，φ=2π3，y =sin(2x +2π3)=sin(2x −π3+π3+2π3)=sin(2x −π3+π)=−sin(2x −π3)=sin(π3−2x)，故B 选项正确；C ，sin(2x +2π3)=sin(2x +π6+π2)=cos(2x +π6)，故C 选项正确；D ，cos(5π6−2x)=cos(2x −5π6)=cos(2x −π2−π3)=sin(2x −π3)=−sin(2x +2π3)，故D 选项错误.故选BC.三、填空题（本题共计 4 小题，每题 5 分，共计20分）13.【答案】−1−2i 或−2−i,√5【考点】复数的基本概念复数的模【解析】利用复数的定义和性质列出方程组能求出z ．【解答】解：设z =a +bi.∵z +5z 是实数，∴a +bi+5a +bi =(a +bi)+5(a −bi)a 2+b 2=(a +5aa 2+b 2)+(b −5ba 2+b 2)i ，∴b −5ba 2+b 2=0.又∵b ≠0，∴a 2+b 2=5. ①∵z +3的实数与虚部是相反数，∴a +3+b =0. ②联立①②解得{a =−1,b =−2或{a =−2,b =−1,故z =−1−2i 或z =−2−i ，|z|=√5.故答案为：−1−2i 或−2−i ；√5.14.【答案】√7【考点】向量的模【解析】利用向量的数量积运算法则和运算性质即可得出．【解答】解：∵|→a|=1，|→b|=2，→a 与→b 的夹角为60∘．∴|→a +→b|=√→a 2+→b 2+2→a ⋅→b =√12+22+2×1×2×cos60∘=√7．故答案为：√7．15.【答案】{−e ，−5ln5，2，52}【考点】函数的零点与方程根的关系函数单调性的性质【解析】此题暂无解析【解答】解：令f(x)=0得x =−2或x =ln5，∵f(x)在(−∞,0)上单调递减，在(0,+∞) 上单调递增，∴|f(x)|={x 2−4,x ≤−2，4−x 2,−2<x ≤0,5−e x ,0<x <ln5,e x−5,x >ln5.作出 y =|f(x)|的函数图象如图所示：∵关于x 的方程|f(x)|−ax −5=0恰有三个不同的实数解，∴直线y =ax +5与y =|f(x)|有3个交点，∴y =ax +5 过点 (−2,0) 或过点 (ln5,0)或y =ax +5与y =|f(x)| 的图象相切，(1)若 y =ax +5过点(−2,0) ，则a =52；(2)若 y =ax +5过点(ln5,0) ,则 a =−5ln5；(3)若 y =ax +5与y =|f(x)|在(−2,0) 上的图象相切，设切点为 (x 0,y 0)，则{−2x 0=a ，y 0=ax 0+5,y 0=4−x 20.解得a =2；(4)若 y =ax +5 y =|f(x)|在 (0,ln5) 上的图象相切，设切点为 (x 1,y 1)，则{−e x 1=a ，y 1=ax 1+5,y 1=5−e x 1.解得a =−e.综上所述，a 的取值集合为{−e ，−5ln5，2，52}.故答案为：{−e ，−5ln5，2，52}.16.【答案】12【考点】正弦定理余弦定理基本不等式在最值问题中的应用同角三角函数间的基本关系【解析】此题暂无解析【解答】解：2cosBcosC(tanB +tanC)=cosBtanB +cosCtanC 可化为2cosBcosC (sinBcosB +sinCcosC )=cosB ⋅sinBcosB +cosC ⋅sinCcosC即2(sinBcosC +cosBsinC)=2sin(B +C)=2sinA =sinB +sinC ，∴△ABC 中，a =b +c2，∴ cosA =b 2+c 2−a 22bc =b 2+c 2−(b +c2)22bc=3b 2+3c 2−2bc8bc ≥6bc −2bc8bc =12，当且仅当b =c =a 时取等号．故答案为：12.四、解答题（本题共计 6 小题，每题 5 分，共计30分）17.解：设扇形的半径为r ，弧长为l ，面积为S ．∵C =2r +l ，∴r =C −l2，(0<l <C)．则S =12lr =12l ⋅C −l2=−14(l 2−Cl)=−14(l−C2)2+C 216，∴当l =C2时，S max =C 216．【考点】扇形面积公式弧长公式【解析】利用扇形的面积计算公式、弧长公式，可得S =12lr =12l ⋅C −l2=−14(l 2−Cl)=−14(l−C2)2+C 216，再利用二次函数的单调性即可得出．【解答】解：设扇形的半径为r ，弧长为l ，面积为S ．∵C =2r +l ，∴r =C −l2，(0<l <C)．则S =12lr =12l ⋅C −l2=−14(l 2−Cl)=−14(l−C2)2+C 216，∴当l =C2时，S max =C 216．18.【答案】解：(1)当m 2−1=0，即m =±1时，复数z =(m 2−2m−3)+(m 2−1)i 为实数.(2)由题意，得{m 2−2m−3<0,m 2−1<0,解得−1<m <1，∴当m ∈(−1,1)时，复数z 对应的点在第三象限．【考点】复数的基本概念复数的代数表示法及其几何意义【解析】此题暂无解析【解答】解：(1)当m 2−1=0，即m =±1时，复数z =(m 2−2m−3)+(m 2−1)i 为实数.(2)由题意，得{m 2−2m−3<0,m 2−1<0,解得−1<m <1，∴当m ∈(−1,1)时，复数z 对应的点在第三象限．19.解：(1)由正弦定理得，2sinBcosC=2sinA−sinC.∵在△ABC中，sinA=sin(B+C)=sinBcosC+cosBsinC，∴2cosBsinC=sinC.又∵0<C<π，可得sinC>0，∴2cosB=1，可得cosB=12.∵0<B<π，∴B=π3．(2)∵S△ABC=12acsinB=√3，B=π3，√34ac=√3，解得ac=4.∴2=a2+c2−2accosB由余弦定理，得b=a2+c2−ac≥2ac−ac=ac=4，当且仅当a=c=2时，“=”成立，∴b的最小值为2，∴b的取值范围为[2,+∞).【考点】两角和与差的正弦公式基本不等式在最值问题中的应用余弦定理正弦定理【解析】（1）根据正弦定理结合sinA＝sin(B+C)，化简整理得2cosBsinC＝sinC，结合sinC>0解出cosB=12，从而可得B=π3．（2）由正弦定理的面积公式，得12acsinB=√3，从而解出ac＝4，再结合基本不等式求最值和三角形两边之和大于第三边，即可得到b的取值范围．【解答】解：(1)由正弦定理得，2sinBcosC=2sinA−sinC.∵在△ABC中，sinA=sin(B+C)=sinBcosC+cosBsinC，∴2cosBsinC=sinC.又∵0<C<π，可得sinC>0，∴2cosB=1，可得cosB=12.∵0<B<π，∴B=π3．(2)∵S△ABC=12acsinB=√3，B=π3，√34ac=√3，解得ac=4.∴2=a2+c2−2accosB由余弦定理，得b=a2+c2−ac≥2ac−ac=ac=4，当且仅当a=c=2时，“=”成立，∴b的最小值为2，∴b的取值范围为[2,+∞).20.【答案】解：(1)以圆心O为原点，建立如图所示的平面直角坐标系.则以Ox为始边，OB为终边的角为θ−π2，故点B的坐标为(4.8cos(θ−π2)，4.8sin(θ−π2))，∴h=4.8+0.8+4.8sin(θ−π2)，即h=5.6+4.8sin(θ−π2)(θ≥0).(2)点A在圆上转动的角速度是π30rad/s，故ts转过的弧度数为π30t，∴h=5.6+4.8sin(π30t−π2)，t∈[0，+∞).(3)缆车从最低点A到达最高点时，h=10.4m.令5.6+4.8sin(π30t−π2)=10.4，则sin(π30t−π2)=1，∴π30t−π2=π2，解得t=30s，∴缆车从最低点A到达最高点至少需要30s.【考点】已知三角函数模型的应用问题在实际问题中建立三角函数模型由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换【解析】（1）以圆心O为原点，以水平方向为x轴方向，以竖直方向为Y轴方向建立平面直角坐标系，则根据缆车半径为4.8m，圆上最低点与地面距离为0.8m，60秒转动一圈，易得到到h与θ间的函数关系式；（2）由60秒转动一圈，易得点A在圆上转动的角速度是π30，故t秒转过的弧度数为π30t，根据（1）的结论，我们将π30t代入解析式，即可得到满足条件的t值．【解答】解：(1)以圆心O为原点，建立如图所示的平面直角坐标系.则以Ox为始边，OB为终边的角为θ−π2，故点B的坐标为(4.8cos(θ−π2)，4.8sin(θ−π2))，∴h=4.8+0.8+4.8sin(θ−π2)，即h=5.6+4.8sin(θ−π2)(θ≥0).(2)点A在圆上转动的角速度是π30rad/s，故ts转过的弧度数为π30t，∴h=5.6+4.8sin(π30t−π2)，t∈[0，+∞).(3)缆车从最低点A 到达最高点时，h =10.4m.令5.6+4.8sin (π30t −π2)=10.4，则sin (π30t −π2)=1，∴π30t −π2=π2，解得t =30s ，∴缆车从最低点A 到达最高点至少需要30s.21.【答案】解：(1)因为(→a +k →b)⊥(→a −k →b)，所以(→a +k →b)(→a −k →b)=0，所以→a 2−k 2→b 2=0，因为|→a|=3，|→b|=4，所以9−16k 2=0，解得k =±34；(2)因为(k →a −4→b)//(→a −k →b)，且→a −k →b ≠0，所以存在实数λ，使得k →a −4→b =λ(→a −k →b)=λ→a −λk →b ，因为|→a|=3，|→b|=4，且→a 与→b 不共线，所以{k =λ−4=−λk ，解得k =±2．【考点】数量积判断两个平面向量的垂直关系平行向量的性质【解析】（1）根据两向量垂直数量积为0，列出方程求出k 的值；（2）利用向量的共线定理，列出方程求出k 的值．【解答】解：(1)因为(→a +k →b)⊥(→a −k →b)，所以(→a +k →b)(→a −k →b)=0，所以→a 2−k 2→b 2=0，因为|→a|=3，|→b|=4，所以9−16k 2=0，解得k =±34；(2)因为(k →a −4→b)//(→a −k →b)，且→a −k →b ≠0，所以存在实数λ，使得k →a −4→b =λ(→a −k →b)=λ→a −λk →b ，因为|→a|=3，|→b|=4，且→a 与→b 不共线，所以{k =λ−4=−λk ，解得k =±2．22.【答案】(1)解：当x >0时，−x <0，∴f(−x)=(−x)2−4(−x)=x 2+4x.∵f(x)是R 上的奇函数，∴f(−x)=−f(x)，f(0)=0，∴f(x)=−f(−x)=−(x 2+4x )=−x 2−4x(x >0)，∴f(x)={x 2−4x ，x <0，0，x =0，−x 2−4x ，x >0.(2)证明：设任意的x 1，x 2∈(0,+∞)，且x 1<x 2，则f(x 1)−f(x 2)=(−x 21−4x 1)−(−x 22−4x 2)=x 22−x 21+4x 2−4x 1=(x 2−x 1)(x 2+x 1+4).∵0<x 1<x 2，∴x 2−x 1>0 ，x 2+x 1+4>0，∴f (x 1)−f (x 2)>0，∴f (x 1)>f (x 2)，∴f(x)在(0,+∞)上是减函数．(3)解：根据题意作出函数在[−1,1]的图象如图，由上图可知，f(x)在[−1,1]上单调递减，故f(x)max =f(−1)=5，f(x)min =f(1)=−5.【考点】函数奇偶性的性质函数的最值及其几何意义函数单调性的判断与证明【解析】此题暂无解析【解答】(1)解：当x >0时，−x <0，∴f(−x)=(−x)2−4(−x)=x 2+4x.∵f(x)是R 上的奇函数，∴f(−x)=−f(x)，f(0)=0，∴f(x)=−f(−x)=−(x 2+4x )=−x 2−4x(x >0)，∴f(x)={x 2−4x ，x <0，0，x =0，−x 2−4x ，x >0.(2)证明：设任意的x 1，x 2∈(0,+∞)，且x 1<x 2，则f(x 1)−f(x 2)=(−x 21−4x 1)−(−x 22−4x 2)=x 22−x 21+4x 2−4x 1=(x 2−x 1)(x 2+x 1+4).∵0<x1<x2，∴x2−x1>0 ，x2+x1+4>0，∴f(x1)−f(x2)>0，∴f(x1)>f(x2)，∴f(x)在(0,+∞)上是减函数．(3)解：根据题意作出函数在[−1,1]的图象如图，由上图可知，f(x)在[−1,1]上单调递减，故f(x)max=f(−1)=5，f(x)min=f(1)=−5.。

高一下册期中考试数学试卷及答案【名师版】

高一下学期期中考试数学试卷试卷说明：本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分，满分150分，考试时间为120分钟。

第Ⅰ卷（必修模块5）满分100分一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1. 在△ABC 中，若∠A ＝60°，∠B ＝45°，23=a ，则=b （） A. 23 B. 3 C. 32 D. 342. 已知公比为2的等比数列}{n a 的各项都是正数，且16113=a a ，则=5a （）A. 1B. 2C. 4D. 8 3. 不等式121+-x x 0≤的解集为（） A. ⎥⎦⎤ ⎝⎛-1,21 B. ⎥⎦⎤⎢⎣⎡-1,21 C. ),1[21,+∞⎪⎭⎫ ⎝⎛-∞-Y D. ),1[21,+∞⎥⎦⎤ ⎝⎛-∞-Y 4. 不等式0)12)(2(2>--+x x x 的解集为（）A. )4,2()3,(---∞YB. ),4()2,3(+∞--YC. ),3()2,4(+∞--YD. )3,2()4,(---∞Y5. 已知b a b a ,,0,0>>的等比中项是1，且ba n ab m 1,1+=+=，则n m +的最小值是（）A. 3B. 4C. 5D. 66. 已知等差数列}{n a 的前n 项和为n S ，15,555==S a ，则数列}1{1+n n a a 的前100项和为（） A. 100101 B.10099 C. 10199 D. 101100 7. 在△ABC 中，若C c B b A a sin sin sin <+，则△ABC 的形状是（） A. 锐角三角形B. 直角三角形C. 钝角三角形D. 正三角形 8. 若数列}{n a 满足121,211+-==+n n a a a ，则2013a ＝（） A. 31 B. 2 C. 21- D. －3二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。

2022-2023学年人教A版(2019)高一下数学期中试卷含答案及解析111133.pdf)

2022-2023学年高中高一下数学期中试卷学校：____________ 班级：____________ 姓名：____________ 考号：____________考试总分：95 分考试时间： 120 分钟注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息;2．请将答案正确填写在答题卡上;卷I（选择题）一、选择题（本题共计 8 小题，每题 5 分，共计40分）1. 已知a，b∈R，集合A={a+5,a2−1}，B={a,b}，若A∩B={3}，则A∪B=( )A.{−2,3}B.{2,3}C.{2,3,5}D.{2,3,7}2. 设复数z满足z⋅(1−i)=2+i，则¯z的虚部是( )A.32B.32iC.−32D.−32i3. 已知空间中不过同一点的三条直线m，n，l，则“m，n，l两两相交”是“m，n，l在同一平面”的( )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件4. 化简cos475°−sin475°的结果为( )A.−√32B.√32C.−12D.125. 如图是千里淮河第一闸——王家坝闸下游，蒙洼蓄洪区内特色居民生活区域——庄台示意图．忽略其他因素不妨假设庄台的底部建筑（不含地面上建筑）恰好为一个正四棱台，若庄台的上底面边长为a，下底面边长为b，庄台上底面中心广场处高为h的旗杆顶点恰好是该正四棱台的顶点，则该庄台的高度为( )A.ahbB.bhaC.(b−a)hbD.(b−a)ha6. 设x，y∈R，向量→a=(x,1)→b=(1,y)，→c=(2,−4)且→a⊥→c，→b//→c，则x+y=( )A.0B.1C.2D.−27. 若函数f(x)=3sin(ωx+φ)(ω>0，0<φ<π2)的图象过点M(2π3,−3)，直线x=2π3向右平移π4个单位长度后恰好经过f(x)上与点M最近的零点，则f(x)在[−π2,π2]上的单调递增区间是( )A.[−π2,π6]B.[−π3,π3]C.[−π3,π6]D.[−π6,π6]8. 已知正方体ABCD−A1B1C1D1的棱BB1，DD1的中点分别为E，F，过点A，E，F作该正方体的截面α，设α∩平面 BCC1B1=m，则异面直线m与BD所成的角的余弦值为()A.√105B.√155C.12D.√22二、多选题（本题共计 4 小题，每题 5 分，共计20分）9. 已知复数z1=2−2i（i为虚数单位）在复平面内对应的点为P1，复数z2满足|z2−i|=1，则下列结论正确的是( )A.P1点的坐标为(2,−2)B.¯z1=2+2iC.|z2−z1|的最大值为√13+1D.|z2−z1|的最小值为2√210. 台球运动已有五、六百年的历史，参与者用球杆在台上击球．若和光线一样，台球在球台上碰到障碍物后也遵从反射定律，如图，有一张长方形球台ABCD，AB=3.6m，AD=1.2m，现从角落A沿角α的方向把球打出去，球经2次碰撞球台内沿后进入角落C的球袋中，则tanα的值为( )A.19B.12C.1D.3211. 设函数f(x)=2cos2x−2−cos2x，则( )A.f(x)在(0,π2)单调递增B.f(x)的值域为[−32,32]C.f(x)的一个周期为πD.f(x+π4)的图像关于点(π4,0)对称12. 已知函数的图象既关于点中心对称又关于点中心对称，则( )A.是周期函数B.是奇函数C.既没有最大值又没有最小值D.函数是周期函数卷II（非选择题）三、填空题（本题共计 1 小题，共计5分）13. （5分）△AOC在平面直角坐标系中的位置如图所示， OA=4，将△AOC绕O点，逆时针旋转90∘得到△A1OC1,A1C1交y轴于B(0,2)，若△C1OB∼△C1A1O，则点C1的坐标为________．四、解答题（本题共计 6 小题，每题 5 分，共计30分）14. 计算：(1)(259)0.5+(2764)−23+(0.1)−2−100⋅π0；（2）lg12−lg58+lg12.5−log89⋅log278+e 2ln2．15. 半径为2，圆心角为120∘的扇形，点P是扇形AB弧上的动点，设∠POA=x．(1)用x表示平行四边形ODPC的面积S=f(x)；(2)求△ODP面积的最大值．16. 在△ABC中，内角A，B，C所对的边长分别为a，b，c，若→AB⋅→AC=→BA⋅→BC=1．(1)求边长c的值；(2)若|→AB+→AC|=√6，求△ABC的面积．17. △ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若b+4cosA(acosC+ccosA)=0.(1)求cosA的值；(2)若a=4，→AB⋅→AC=−32，求△ABC的周长．18. 已知村庄B在村庄A的东北方向，且村庄A，B之间的距离是4(√3−1)千米，村庄C在村庄A的西偏北15∘方向，且村庄A，C之间的距离是8千米．现要在村庄B的北偏东30∘方向建立一个农贸市场D，使得农贸市场D到村庄C的距离是到村庄B的距离的√3倍．(1)求村庄B，C之间的距离；(2)求农贸市场D到村庄B，C的距离之和．19. 已知函数.（1）若，求实数的值；（2）若关于的方程恰有三个解，求实数的取值范围.参考答案与试题解析2022-2023学年高中高一下数学期中试卷一、选择题（本题共计 8 小题，每题 5 分，共计40分）1.【答案】D【考点】并集及其运算集合的确定性、互异性、无序性【解析】由A ∩B ={3}，得到a +5=3或a 2−1=3，解方程，验证是否满足集合元素的互异性，再利用集合的并集求解即可.【解答】解：由A ∩B ={3}，得A ，B 集合中都有元素3，令a +5=3，则a =−2，此时a 2−1=(−2)2−1=3，不满足集合元素的互异性；令a 2−1=3，则a =±2，当a =2 时，a +5=7，则A ={3,7}，此时B ={2,3}，满足题意，此时A ∪B ={2,3,7}.故选D.2.【答案】C【考点】复数代数形式的乘除运算共轭复数复数的基本概念【解析】把已知等式变形，再由复数代数形式的乘除运算化简，求出¯z 得答案．【解答】解：由z⋅(1−i)=2+i，得z=2+i1−i=(2+i)(1+i)(1−i)(1+i)=12+32i，∴．则{\overline{z}}的虚部是{-\dfrac{3}{2}}．故选{\rm C}．3.【答案】A【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断【解析】由{m}，{n}，{l}在同一平面，则{m}，{n}，{I}相交或{m}，{n}，{l}有两个平行，另一直线与之相交，或三条直线两两平行，根据充分条件，必要条件的定义即可判断．【解答】解：空间中不过同一点的三条直线{m}，{n}，{l}，若{m}，{n}，{l}在同一平面，则{m}，{n}，{I}相交或{m}，{n}，{l}有两个平行，另一直线与之相交，或三条直线两两平行；若“{m}，{n}，{l}两两相交”，则{m}，{n}，{l}在同一平面”成立，故“{m}，{n}，{l}两两相交”是“{m}，{n}，{l}在同一平面”的充分不必要条件．故选{\rm A}．4.【答案】A【考点】三角函数的化简求值【解析】此题暂无解析【解答】解：原式{=(\cos^2 75°+\sin^2 75°)(\cos ^275°-\sin^2 75°)}{=\cos ^2 75°-\sin^275°}{=(\cos 30°\cdot \cos45°-\sin30°\cdot \sin45°)^2}{-(\sin30°\cdot \cos45°+\cos30°\cdot \sin45°)^2}{=(\dfrac{\sqrt{3}}{2}\times \dfrac{\sqrt{2}}{2}-\dfrac{1}{2}\times \dfrac{\sqrt{2}}{2})^2}{-(\dfrac{1}{2}\times \dfrac{\sqrt{2}}{2}+\dfrac{\sqrt{3}}{2}\times \dfrac{\sqrt{2}}{2})^2}{=-\dfrac{\sqrt{3}}{2.}}故选{\rm A.}5.【答案】D【考点】函数模型的选择与应用【解析】此题暂无解析【解答】解：设庄台的建设高度为{H}，则{\dfrac{h}{h+H}=\dfrac{a}{b}}，化简可得{H=\dfrac{\left(b-a\right)h}{a}}.故选{\rm D}.6.【答案】A【考点】平面向量的坐标运算【解析】利用向量垂直与数量积的关系、向量共线定理即可得出．【解答】解：∵{\overrightarrow{a}\perp \overrightarrow{c}}，{\overrightarrow{b}\,//\,\overrightarrow{c}}，∴{2x-4= 0}，{2y+ 4= 0}，解得{x= 2}，{y= -2}．∴{x+ y= 0}．故选：{A}．7.【答案】C【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换正弦函数的单调性【解析】命题意图本题主要考查三角函数的图象与性质．【解答】解：由题意，可知函数{f\left(x\right)}的四分之一周期为{\dfrac{\pi }{4}}，则{f\left(x\right)}的周期{T=\pi}，{ \therefore}{\omega =\dfrac{2\pi }{T}=2}，又函数{f\left(x\right)}的图象过点{\left(\dfrac{2\pi }{3}, -3\right)}，{ \therefore}{-3=3\sin \left(\dfrac{2\pi }{3}\times 2+\varphi \right)}，{ \therefore}{\dfrac{2\pi }{3}\times 2+\varphi =-\dfrac{\pi }{2}+2k\pi }，{k\in\bf Z}，{ \therefore}{\varphi =-\dfrac{11\pi }{6}+2k\pi }，{k\in\bf Z}，令{k=1}，得{\varphi =\dfrac{\pi }{6}}，∴{f\left(x\right)=3\sin \left(2x+\dfrac{\pi }{6}\right)}，由{2k\pi -\dfrac{\pi }{2}\le 2x+\dfrac{\pi }{6}\le 2k\pi +\dfrac{\pi }{2}}，{k\in \bf Z}，解得{k\pi -\dfrac{\pi }{3}\le x\le k\pi +\dfrac{\pi }{6}}，{ k\in\bf Z}，取{k=0}，得{x\in \left[-\dfrac{\pi }{3}, \dfrac{\pi }{6}\right]}．故选{\rm C}.8.【答案】A【考点】异面直线及其所成的角余弦定理【解析】先连接{C_1E,} {C_1F}，{EF}，易证得{EC_1//AF}，由截面的概念得出{BD//EF}，即可得出{\angle FEC_1}（或其补角）即为所求角，再利用余弦定理解三角形即可得出答案．【解答】解：如图，连接{C_1E}，{C_1F}，{EF}，易证得{EC_1//AF}，所以四边形{AEC_1F}是平行四边形，截面{\alpha}即为平行四边形{AEC_1F}，故{m}即为{C_1E}.又{BD//EF}，所以{\angle FEC_1}(或其补角)即为异面直线{m}与{BD}所成的角.设{AB=2}，则易求得{C_1E=C_1F=\sqrt5}，{EF=2\sqrt2}，在{\triangle C_1EF}中，由余弦定理得{\cos\angle FEC_1={\dfrac{EF^2+EC_1^2-C_1F^2}{2\cdot EF\cdot EC_1}}}{={\dfrac{8+5-5}{2\times2\sqrt2\times\sqrt5}}={\dfrac{\sqrt{10}}5}}.故选{\mathrm A}．二、多选题（本题共计 4 小题，每题 5 分，共计20分）9.【答案】A,B,C【考点】复数的代数表示法及其几何意义复数的模共轭复数【解析】此题暂无解析【解答】解：{\rm A}，复数{z_{1}=2-2\rm i}在复平面内对应的点为{P_{1}\left( 2, -2\right)}，故{\rm A}正确；{\rm B}，复数{z_{1}=2-2\rm i}，所以复数{\overline {z}=2+2\rm i}，故{\rm B}正确；{\rm CD}，设{z_{2}=x+y{\rm i}(x,y\in {\bf R})}，所以{| z_{2}-{\rm i} | = | x+y{\rm i-i} | =\sqrt{x^{2}+\left( y-1\right) ^{2}}=1} ，所以{x^{2}+\left( y-1\right) ^{2}=1}.{| z_{2}-z_{1} |}表示的是复数{z_{1}}和{z_{2}}在复平面内对应的点的距离，故{| z_{2}-z_{1} |}的最大值为{\sqrt{13}+1}，最小值为{\sqrt{13}-1}，故{\rm C}正确，{\rm D}错误．故选{\rm ABC}．10.【答案】A,C【考点】与直线关于点、直线对称的直线方程已知三角函数模型的应用问题【解析】根据题意画出示意图，进而求解结论．【解答】解：因为{AB=3}{AD}，现从角落{A}沿角{\alpha }的方向把球打出去，分两种情况讨论：①如图：{A}关于{DC} 的对称点为{E}，{C}关于{AB}的对称点为{F}，则根据直线的对称性可得：{\tan \alpha =\dfrac{EG}{GF}=\dfrac{3AD}{3AD}=1}；②如图：{A}关于{BC} 的对称点为{G}，{C}关于{AD}的对称点为{E}，如图：根据直线的对称性可得：{\tan \alpha =\dfrac{EF}{FG}=\dfrac{AD}{9AD}=\dfrac19}.故选{\rm AC}.11.【答案】B,C【考点】函数的周期性函数奇偶性的判断函数的单调性及单调区间函数的值域及其求法【解析】（1）根据题目所给信息画出函数图象，利用数形结合进行解题即可.【解答】解：已知函数{f(x)=2^{\cos 2x}-2^{-\cos 2x}}，而{f(-x)=2^{\cos 2(-x)}-2^{-\cos 2(-x)}=2^{\cos 2x}-2^{-\cos 2x}=f(x)}，则该函数为偶函数，画出该函数图象如下所示：可得函数{f(x)}在{(0,\dfrac{\pi}{2})}上单调递减，{f(x)_{\rm max}=f(\pi)=\dfrac{3}{2}，f(x)_{\rm min}=f(\dfrac{3\pi}{2})=-\dfrac{3}{2}}，且周期为{\pi}，而{f(x+\dfrac{\pi}{4})}{=2^{\cos 2(x+\frac{\pi}{4})}-2^{-\cos 2(x+\frac{\pi}{4})}=2^{\cos(2x+\frac{\pi}{2})}-2^{-\cos (2x+\frac{\pi}{2})}}{=2^{-\sin 2x}-2^{\sin 2x}}，令{h(x)=2^{-\sin 2x}-2^{\sin 2x}}，则{h(-x)=2^{\sin 2x}-2^{-\sin 2x}=-h(x)}，则该函数是奇函数，画出该函数图象如下所示：由图像可知其对称中心为{(\dfrac {k\pi }{2}，0)，k\in \mathbf Z}.综上可得选项{\rm BC}正确.故选{\rm BC}.12.【答案】B,C,D【考点】函数的对称性函数的周期性【解析】根据对称性，结合奇偶性定义证明它是奇函数，判断{B}，用反证法（反例）说明函数不是周期函数，函数无最值，判断{AC}，根据周期性定义判断{D}．【解答】由题意{f\left( x\right) + f\left( 2-x\right) = 2 f\left( x\right) + f\left( 4-x\right) = 4}因此{f\left( -x\right) = 2-f\left( 2+ x\right) = 2-\left[ 4-f\left( 4-2-x\right) \right] = -2+ f\left( 2-x\right) = -2+ 2-f\left[ 2-\left( 2-x\right) \right] = -f\left( x\right)}所以{f\left( x\right)}是奇函数，{B}正确．例如{f\left( x\right) = x+ \dfrac{1}{4}\sin \left( \pi x\right)}满足题意，但{f^{\prime }\left( x\right) = 1+ \dfrac{\pi }{4}\cos \left( \pi x\right) \gt 0}恒成立，因此{f\left( x\right)}在{\textbf R}上是增函数，{f\left( x\right)}不是周期函数，{A}错；因为{f\left( x\right)}是奇函数，所以若{f\left( x\right) = -M}是函数的最小值，则{M}是函数的的最大设{f\left( x_{0}\right) = -M }，则{f\left( 2-x_{0}\right) = 2-f\left( x_{0}\right) = 2-\left( -M\right) = 2+ M\gt M }，与{M}是最大值矛盾，因此函数无最大值，同理也无最小值．{C}正确；{f\left( x\right)}是奇函数，{g\left( -x\right) = f\left( -x\right) -\left( -x\right) = -f\left( x\right) + x= -g\left( x\right) }，则{g\left( x\right) = f\left( x\right) -x}也是奇函数，{f\left( x\right)}的图象关于点{\left( 1, 1\right)}和{\left( 2, 2\right)}对称，{ \rm{g} (2-x)= f(2-x)-2+ x= 2-f(2-(2-x)-2+ x= -f(x)+ x= g(x)= -g(x) }，所以{g\left( x\right)}的图象关于{\left( 1, 0\right)}对称，同理也关于{\left( 2, 0\right)}对称．因此{g\left( x\right)}是周期函数，{4}就是一个周期．{D}正确．故选：{BCD}．三、填空题（本题共计 1 小题，共计5分）13.【答案】{\left(\dfrac {4}{3},\dfrac {8}{3}\right)}【考点】基本不等式向量的共线定理【解析】此题暂无解析【解答】解：如图作{C_{1}H\perp x}轴于{H}．∵{△ C_{1}OB∽△ C_{1}A_{1}O}∴ {\dfrac{OC_{1}}{A_{1}C_{1}}=\dfrac{OB}{OA_{1}}=\dfrac{1}{2}} ，∵{\tan ∠C_1A_1H=\dfrac{OB}{OA_1}=\dfrac{C_1H}{A_1H}=\dfrac{1}{2}}，设{C_{1}H=m}，则{A_{1}H=2m，OH=2m-4}∴ {A_{1}C_{1}=\sqrt{5}m，OC_{1}=\sqrt{ m^{2} +\left( 2m-4\right) ^{2}}}∴{\sqrt{5}m=2\sqrt{m^2+(2m-4)^2}}，解得{m=\dfrac{8}{3}}或{\dfrac{8}{5}}（舍弃），∴{C_{1}\left( \dfrac{4}{3}, \dfrac{8}{3}\right)}．故答案为：{\left(\dfrac {4}{3},\dfrac {8}{3}\right)}．四、解答题（本题共计 6 小题，每题 5 分，共计30分）【答案】解：{(1)(\dfrac{25}{9})^{0.5}+ (\dfrac{27}{64})^{-\frac{2}{3}}+ (0.1)^{-2}-100\cdot \pi ^{0}= (\dfrac{5}{3})^{2\times 0.5}+ (\dfrac{3}{4})^{3\times (-\frac{2}{3})}+ 100-100= \dfrac{5}{3}+\dfrac{16}{9}= \dfrac{31}{9}}；（2）{\lg \dfrac{1}{2}-\lg \dfrac{5}{8}+ \lg 12.5-\log _{8}9\cdot \log _{27}8+ e^{2\ln 2}= \lg(\dfrac{1}{2}\times \dfrac{8}{5}\times \dfrac{25}{2})-\dfrac{\lg 9}{\lg 8}\cdot \dfrac{\lg 8}{\lg 27}+ 4= 1-\dfrac{2}{3}+ 4= \dfrac{13}{3}}．【考点】对数的运算性质有理数指数幂的化简求值【解析】根据对数的运算法则计算即可．【解答】解：{(1)(\dfrac{25}{9})^{0.5}+ (\dfrac{27}{64})^{-\frac{2}{3}}+ (0.1)^{-2}-100\cdot \pi ^{0}= (\dfrac{5}{3})^{2\times 0.5}+ (\dfrac{3}{4})^{3\times (-\frac{2}{3})}+ 100-100= \dfrac{5}{3}+\dfrac{16}{9}= \dfrac{31}{9}}；（2）{\lg \dfrac{1}{2}-\lg \dfrac{5}{8}+ \lg 12.5-\log _{8}9\cdot \log _{27}8+ e^{2\ln 2}= \lg(\dfrac{1}{2}\times \dfrac{8}{5}\times \dfrac{25}{2})-\dfrac{\lg 9}{\lg 8}\cdot \dfrac{\lg 8}{\lg 27}+ 4= 1-\dfrac{2}{3}+ 4= \dfrac{13}{3}}．15.【答案】解：{(1)}由题意得在{\triangle OPC}中，设{PC=OD=a}，由正弦定理得{\dfrac{CP}{\sin \angle COP}=\dfrac{OP}{\sin \angle OCP}}，{\dfrac{a}{\sin(120^{\circ}-x)}=\dfrac{2}{\sin 60^{\circ}}=\dfrac{2}{\dfrac{\sqrt{3}}{2}}}，{a=\dfrac{4}{\sqrt{3}}\sin \left( 120^{\circ }-x\right)}，{\therefore}{S_{平行四边形ODPC}=\dfrac{8\sqrt{3}}{3}\sin \left( 120^{\circ }-x\right) \sin x，x \in (0^{\circ}, 120^{\circ })}．{(2)}由{(1)}得：{S_{\triangle ODP}=\dfrac{4}{\sqrt{3}}\sin \left( 120^{\circ }-x\right) \sin x，x \in (0^{\circ}, 120^{\circ })}{=\dfrac{4}{\sqrt{3}}\left( \dfrac{\sqrt{3}}{2}\cos x+\dfrac{1}{2}\sin x\right)\sin x}{=2\cos x\sin x+\dfrac{2}{\sqrt{3}}\sin ^{2}x}{=\dfrac{2}{\sqrt{3}}\left( \dfrac{\sqrt{3}}{2}\sin 2x+\dfrac{1-\cos 2x}{2}\right)}{=\dfrac{2}{\sqrt{3}}(\sin 2x \cdot\dfrac{\sqrt{3}}{2}-\cos 2x \cdot\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{2})} {=\dfrac{2}{\sqrt{3}}\left[ \sin \left( 2x-30^{\circ}\right)+\dfrac{1}{2}\right]} ,当{2x-30^{\circ}=90^{\circ}}时达最大值，{2x=90^{\circ}+30^{\circ }=120^{\circ}}，即当{x=60^{\circ }\in (0^{\circ}, 120^{\circ })}，{\triangle ODP}面积取得最大值{\sqrt{3}} ．【考点】正弦定理三角函数中的恒等变换应用在实际问题中建立三角函数模型【解析】无无【解答】解：{(1)}由题意得在{\triangle OPC}中，设{PC=OD=a}，由正弦定理得{\dfrac{CP}{\sin \angle COP}=\dfrac{OP}{\sin \angle OCP}}，{\dfrac{a}{\sin(120^{\circ}-x)}=\dfrac{2}{\sin 60^{\circ}}=\dfrac{2}{\dfrac{\sqrt{3}}{2}}}，{a=\dfrac{4}{\sqrt{3}}\sin \left( 120^{\circ }-x\right)}，{\therefore}{S_{平行四边形ODPC}=\dfrac{8\sqrt{3}}{3}\sin \left( 120^{\circ }-x\right) \sin x，x \in (0^{\circ}, 120^{\circ })}．{(2)}由{(1)}得：{S_{\triangle ODP}=\dfrac{4}{\sqrt{3}}\sin \left( 120^{\circ }-x\right) \sin x，x \in (0^{\circ}, 120^{\circ })}{=\dfrac{4}{\sqrt{3}}\left( \dfrac{\sqrt{3}}{2}\cos x+\dfrac{1}{2}\sin x\right)\sin x}{=2\cos x\sin x+\dfrac{2}{\sqrt{3}}\sin ^{2}x}{=\dfrac{2}{\sqrt{3}}\left( \dfrac{\sqrt{3}}{2}\sin 2x+\dfrac{1-\cos 2x}{2}\right)}{=\dfrac{2}{\sqrt{3}}(\sin 2x \cdot\dfrac{\sqrt{3}}{2}-\cos 2x \cdot\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{2})} {=\dfrac{2}{\sqrt{3}}\left[ \sin \left( 2x-30^{\circ}\right)+\dfrac{1}{2}\right]} ,当{2x-30^{\circ}=90^{\circ}}时达最大值，{2x=90^{\circ}+30^{\circ }=120^{\circ}}，即当{x=60^{\circ }\in (0^{\circ}, 120^{\circ })}，{\triangle ODP}面积取得最大值{\sqrt{3}} ．16.【答案】解：{(1)}∵{\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{AC}= \overrightarrow{BA}\cdot\overrightarrow{BC}=1}．设{\triangle ABC}三边{AB=c}，{BC=a}，{AC=b}，∴{bc\cos A= ac\cos B=1}，∵{bc\cos A=ac\cos B}，即{b\cos A= a\cos B}，由正弦定理得{\sin B\cos A= \sin A\cos B}，∴{\sin (A-B)= 0}，∴{A= B}，∴{a=b}，∵{bc\cos A= 1}，由余弦定理得{bc\cdot \dfrac{b^{2}+ c^{2}-a^{2}}{2bc}= 1}，∴{c= \sqrt{2}}.{(2)}∵{\mathrel{|} \overrightarrow{AB}+ \overrightarrow{AC}\mathrel{|} = \sqrt{6}}，∴{\overrightarrow{AB}^{2}+\overrightarrow{AC}^{2}+ 2\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC}= 6}，∴{\overrightarrow{AC}^2=2}，∴{b= \sqrt{2}}，∴{\triangle ABC}为正三角形，∴{S_{\triangle ABC}= \dfrac{1}{2}\times (\sqrt{2})^{2}\times \dfrac{\sqrt{3}}{2}= \dfrac{\sqrt{3}} {2}}.【考点】三角形的面积公式余弦定理正弦定理平面向量数量积的运算【解析】此题暂无解析【解答】解：{(1)}∵{\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{AC}= \overrightarrow{BA}\cdot\overrightarrow{BC}=1}．设{\triangle ABC}三边{AB=c}，{BC=a}，{AC=b}，∴{bc\cos A= ac\cos B=1}，∵{bc\cos A=ac\cos B}，即{b\cos A= a\cos B}，由正弦定理得{\sin B\cos A= \sin A\cos B}，∴{\sin (A-B)= 0}，∴{A= B}，∴{a=b}，∵{bc\cos A= 1}，由余弦定理得{bc\cdot \dfrac{b^{2}+ c^{2}-a^{2}}{2bc}= 1}，∴{c= \sqrt{2}}.{(2)}∵{\mathrel{|} \overrightarrow{AB}+ \overrightarrow{AC}\mathrel{|} = \sqrt{6}}，∴{\overrightarrow{AB}^{2}+\overrightarrow{AC}^{2}+ 2\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC}= 6}，∴{\overrightarrow{AC}^2=2}，∴{b= \sqrt{2}}，∴{\triangle ABC}为正三角形，∴{S_{\triangle ABC}= \dfrac{1}{2}\times (\sqrt{2})^{2}\times \dfrac{\sqrt{3}}{2}= \dfrac{\sqrt{3}} {2}}.17.【答案】解：{(1)}由正弦定理可得：{\sin B+4\cos A(\sin A\cos C+\sin C\cos A)=0}，可得{\sin B+4\cos A\sin(A+C)=0}，可得{\sin B+4\cos A\sin B=0}.又因为{\sin B\not=0}，所以{1+4\cos A=0}，所以{\cos A=-\dfrac{1}{4}}．{(2)}因为{a=4}，{\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC}}{=bc\cos A}{=bc\times \left(-\dfrac{1}{4} \right)}{=-\dfrac{3}{2}}，所以解得{bc=6}.由余弦定理可得{a^2=b^2+c^2-2bc\cos A}{=(b+c)^2-2bc(1+\cos A)}，即{16=(b+c)^2-\dfrac{3}{2}bc}{=(b+c)^2-\dfrac{3}{2}\times 6}，解得{b+c=5}，所以{\triangle ABC}的周长为{a+b+c=4+5=9}．【考点】两角和与差的正弦公式余弦定理正弦定理平面向量数量积的运算运用诱导公式化简求值【解析】左侧图片未给出解析．左侧图片未给出解析．【解答】解：{(1)}由正弦定理可得：{\sin B+4\cos A(\sin A\cos C+\sin C\cos A)=0}，可得{\sin B+4\cos A\sin(A+C)=0}，可得{\sin B+4\cos A\sin B=0}.又因为{\sin B\not=0}，所以{1+4\cos A=0}，所以{\cos A=-\dfrac{1}{4}}．{(2)}因为{a=4}，{\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC}}{=bc\cos A}{=bc\times \left(-\dfrac{1}{4} \right)}{=-\dfrac{3}{2}}，所以解得{bc=6}.由余弦定理可得{a^2=b^2+c^2-2bc\cos A}{=(b+c)^2-2bc(1+\cos A)}，即{16=(b+c)^2-\dfrac{3}{2}bc}{=(b+c)^2-\dfrac{3}{2}\times 6}，解得{b+c=5}，所以{\triangle ABC}的周长为{a+b+c=4+5=9}．18.【答案】解：{(1)}如图，由题意可得{AB=4(\sqrt{3}-1)}，{AC=8}，{\angleBAC=120^{\circ}}，{CD=\sqrt{3}BD}．在{\triangle ABC}中，由余弦定理可得{BC^{2}=AB^{2}+AC^{2}-2AB\cdot AC\cos \angle BAC}，则{BC^{2}=[4(\sqrt{3}-1)]^{2}+8^{2}-2\times 8\times 4(\sqrt{3}-1)\times }{(-\dfrac {1}{2})}{=96}，故{BC=4\sqrt{6}}，即村庄{B}，{C}之间的距离为{4\sqrt{6}}千米．{(2)}在{\triangle ABC}中由正弦定理可得{\dfrac {BC}{\sin \angle BAC}=\dfrac {AC}{\sin \angle ABC}}，则{\sin\angle ABC=\dfrac {AC\sin \angle BAC}{BC}=\dfrac {8\times \dfrac {\sqrt{3}}{2}}{4\sqrt{6}}=\dfrac {\sqrt{2}}{2}}，从而{\angle ABC=45^{\circ}}．故村庄{C}在村庄{B}的正西方向．因为农贸市场{D}在村庄{B}的北偏东{30^{\circ} }方向，所以{\angle CBD=120^{\circ} }，在{\triangle BCD}中，由余弦定理可得，{CD^{2 }=BC^{2}+BD^{2 }-2BC\cdot BD\cdot\cos \angle CBD}，因为{CD=\sqrt{3}BD}，所以{3BD^{2}=\left(4\sqrt{6}\right)^{2}+ BD^{2 } +4\sqrt{6}BD}，解得{BD=4\sqrt{6}}，则{CD=12\sqrt{2}}．故{BD+CD=4\sqrt{6}+12\sqrt{2}}，即农贸市场{D}到村庄{B}，{C}的距离之和为{\left(4\sqrt{6}+12\sqrt{2}\right)}千米．【考点】解三角形的实际应用余弦定理余弦定理的应用正弦定理【解析】【解答】解：{(1)}如图，由题意可得{AB=4(\sqrt{3}-1)}，{AC=8}，{\angleBAC=120^{\circ}}，{CD=\sqrt{3}BD}．在{\triangle ABC}中，由余弦定理可得{BC^{2}=AB^{2}+AC^{2}-2AB\cdot AC\cos \angle BAC}，则{BC^{2}=[4(\sqrt{3}-1)]^{2}+8^{2}-2\times 8\times 4(\sqrt{3}-1)\times }{(-\dfrac {1}{2})}{=96}，故{BC=4\sqrt{6}}，即村庄{B}，{C}之间的距离为{4\sqrt{6}}千米．{(2)}在{\triangle ABC}中由正弦定理可得{\dfrac {BC}{\sin \angle BAC}=\dfrac {AC}{\sin \angle ABC}}，则{\sin\angle ABC=\dfrac {AC\sin \angle BAC}{BC}=\dfrac {8\times \dfrac {\sqrt{3}}{2}}{4\sqrt{6}}=\dfrac {\sqrt{2}}{2}}，从而{\angle ABC=45^{\circ}}．故村庄{C}在村庄{B}的正西方向．因为农贸市场{D}在村庄{B}的北偏东{30^{\circ} }方向，所以{\angle CBD=120^{\circ} }，在{\triangle BCD}中，由余弦定理可得，{CD^{2 }=BC^{2}+BD^{2 }-2BC\cdot BD\cdot\cos \angle CBD}，因为{CD=\sqrt{3}BD}，所以{3BD^{2}=\left(4\sqrt{6}\right)^{2}+ BD^{2 } +4\sqrt{6}BD}，解得{BD=4\sqrt{6}}，则{CD=12\sqrt{2}}．故{BD+CD=4\sqrt{6}+12\sqrt{2}}，即农贸市场{D}到村庄{B}，{C}的距离之和为{\left(4\sqrt{6}+12\sqrt{2}\right)}千米．19.【答案】（1）{a= \dfrac{3\pm \sqrt{5}}{2}}；（2）{\left(1, 2\right)}）【考点】函数的零点【解析】（1）令{f\left(a\right)= 1}，分{a\gt 0}和{a\le 0}两种情况解方程，求出{a}的值；（2）在同一坐标系内分别作出{y_{1}= f\left(x\right)}和{y_{2}= m}的图像，观察交点的个数求出{m}的取值范围．【解答】（1）当{a\gt 0 f\left(a\right)= 1}即{a^{2}-3a+ 2= 1}，解得{a= \dfrac{3\pm \sqrt{5}}{2}}，均满足条件．当{a\le 0}时，∵{g^{a}\gt 0 e^{a}+ 1\gt 1 }．{f\left(a\right)= 1}无解．故{a= \dfrac{3\pm \sqrt{5}}{2}}（2）如图示，在同一坐标系内分别作出{y_{1}= f\left(x\right)}和{y_{2}= m}的图像，当{x\le 0}时，{f\left(x\right)}单调递增，{1\lt f\left(x\right)\le 2}当{x\gt 0}时，{f\left(x\right)}在{(0, \dfrac{3}{2}]}上递减，故当{1\therefore m\lt 2}时，方程{f\left(x\right)-m= 0}恰有三个解，即实数的取值范围是{\left(1,2\right)}。

2022-2023学年全国高中高一下数学人教A版期中试卷(含解析)

2022-2023学年全国高一下数学期中试卷考试总分：110 分考试时间： 120 分钟学校：__________ 班级：__________ 姓名：__________ 考号：__________注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息; 2．请将答案正确填写在答题卡上;卷I （选择题）一、选择题（本题共计 8 小题，每题 5 分，共计40分）1. 已知为虚数单位，且，则复数的虚部为( )A.B.C.D.2. 已知集合，，则( )A.B.C.D.3.设关于的方程有解；关于的不等式对于恒成立，则是的( )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件i (1−i)z =i 3z −i 12−1212i 12A ={x|−2+7x +4>0}x 2B ={x|x ≥1}A ∪B =(−,+∞)12[1,4)[1,+∞)(−,1)∪(1,+∞)12p :x −−a =04x 2x q :x (x +a −2)>0log 2∀x >0p q =−1|x +a|4. 若函数在上有三个零点，则实数的取值范围是( )A.B.C.D.5. 已知，且，则 A.B.C.D.6. 若，，，则的形状是（）A.锐角三角形B.直角三角形C.钝角三角形D.等腰直角三角形7. 若是奇函数，且在内是增函数，又，则的解集是（）A.B.C.D.8. 若满足，，则的最大值为（）A.B.y =−1|x +a|1+e x x ∈[−5,+∞)a (2,4−]e −5(2,3−]e −5(1,2−]e −5(1,3−]e −5cos α=23−<α<0π2=tan(−α−π)sin(2π−α)cos(−α)tan(π+α)()−5–√2235–√35–√2A(1,−2,1)B(4,2,3)C(6,−1,4)△ABC f(x)(0,+∞)f(3)=0xf(x)<0{x |−3<x <0或x >3}{x |x <−3或0<x <3}{x |x <−3或x >3}{x |−3<x <0或0<x <3},,a →b →c →||=||=2|=2a →b →c →(−)⋅(−)a →b →c →b →101253–√C.D.二、多选题（本题共计 4 小题，每题 5 分，共计20分）9. 若，，，则下列不等式对一切满足条件的，恒成立的是( )A.B.C.D.10. 设向量，，则（）A.B.C.D.与的夹角为11. 已知函数则下列结论正确的是( )A.是偶函数B.C.是增函数D.的值域为12. 如图，已知点为正六边形的中心，下列结论正确的是( )53–√62–√a >0b >0a +b =4a b ≤2ab −−√+≤2a −√b √≤1+a 2b 218+≥11a 1b =(2,0)a →=(1,1)b →||a →=||b →(−)//a →b →b→(−)⊥a →b →b→a →b →π4f (x)={+1，x ≥0，x 2cos x ，x <0，f (x)f (f (−π))=132f (x)f (x)[−1,+∞)O ABCDEF −→−−→−A.B.C.D.卷II （非选择题）三、填空题（本题共计 4 小题，每题 5 分，共计20分）13. 设是定义在上的周期为的函数，当）时，则________.14. 函数的最大值为________．15. 直角三角形中，，，，点是三角形外接圆上任意一点，则的最大值为________．16. 设且关于的方程恰有三个互不相等的实数根，，，则的取值范围是________.四、解答题（本题共计 6 小题，每题 5 分，共计30分）17. 在中，角，，所对的边分别为，，，且求；若，，求的周长． 18. 已知，复数.若为纯虚数，求的值；在复平面内，若对应的点位于第二象限，求的取值范围.19. 中，角，，的对边分别为，，，．求的大小；若，且，，求的面积．=CB −→−EF−→−++=OA −→−OC −→−OB −→−0→⋅=⋅OA −→−FA −→−ED −→−BC−→−|+|=|−|OF −→−OD −→−OC −→−OB −→−f (x)R 3x ∈[−2,1f (x)={|x|,(−2≤x ≤0)x −1,(0<x <1)f (f ())=214y =x +cos x sin 2ABC AB =3AC =4BC =5M ABC ⋅AB −→−AM −→−f (x)={(−3x +1)，x <0，log 2x 22−|2−x|，x ≥0，x f (x)=m(m ∈R)x 1x 2x 3x 1x 2x 3△ABC A B C a b c c =a cos B +b sin A.3–√3(1)A (2)BC =2sin B +sin C ≥3–√△ABC a ∈R z =a −i 1+i(1)z a (2)z ¯¯¯a △ABC A B C a b c a cos C +c cos A =−2b cos B (1)B (2)a =3+=2BA −→−BC −→−BD −→−=∣∣∣BD −→−∣∣∣37−−√2△ABC f (x)=(0)+−(f (0)−1)xf ′x 220. 已知函数．求函数的解析式；若函数在上单调递增，求的取值范围．21. 随着城市地铁建设的持续推进，市民的出行也越来越便利．根据大数据统计，某条地铁线路运行时，发车时间间隔（单位：分钟）满足：，，平均每趟地铁的载客人数()（单位：人）与发车时间间隔近似地满足下列函数关系：其中 .若平均每趟地铁的裁客人数不超过人，试求发车时间间隔的值；若平均每趟地铁每分钟的净收益为 (单位：元），问当发车时间间隔为多少时，平均每趟地铁每分钟的净收益最大？并求出最大净收益 22. 如图，与在同一个平面内，，，.求；若，且的面积为，求的长．f (x)=(0)+−(f (0)−1)xf ′e x x 2(1)f (x)(2)g(x)=f (x)−mx [1,2]m t 4≤t ≤15t ∈N p t t p(t)={1800−15(9−t ,4≤t <9,)21800,9≤t ≤15,t ∈N (1)1500t (2)Q =−1006p(t)−7920t t .△ABC △ACD ∠CAD =π4AB =BC 2–√A −B =AC ⋅BC C 2C 22–√(1)∠ACB (2)AB =2−23–√△ACD 3CD参考答案与试题解析2022-2023学年全国高一下数学期中试卷一、选择题（本题共计 8 小题，每题 5 分，共计40分）1.【答案】B【考点】复数的基本概念复数代数形式的乘除运算【解析】把已知等式变形，利用复数代数形式的乘除运算化简，再由复数的基本概念得答案．【解答】解：由，得，复数的虚部为．故选．2.【答案】A【考点】一元二次不等式的解法并集及其运算【解析】化简集合，根据并集的定义即可得解.【解答】(1−i)z ==−ii 3z ==−i 1−i −i (1+i)(1−i)(1+i)==−i 1−i +12(−1)21212∴z −12B A {x|−<x <4}1解：因为，，所以，故选.3.【答案】B【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断【解析】此题暂无解析【解答】解：若成立，则，所以，若成立，则成立，所以对恒成立，所以.则，所以是的必要不充分条件.故选.4.【答案】A【考点】由函数零点求参数取值范围问题【解析】此题暂无解析【解答】解：由得，若函数在上有三个零点，A ={x|−2+7x +4>0}x 2={x|−<x <4}12B ={x|x ≥1}A ∪B ={x|x >−}12A p a =−=−4x 2x (−)2x 12214a ≥−14q x +a −2>1a >3−x ∀x >0a ≥3q ⇒p,p ≠q p q B y =−1=0|x +a|1+e x|x +a|=1+e x y =−1|x +a|1+e xx ∈[−5,+∞)y =|x +a|f(x)=1+x则函数与的图象在时有三个交点，从而与的图象在时，有个交点，与的图象有个交点，将代入得，由，得曲线的斜率为的切线方程为：，由条件知故 .故选.5.【答案】A【考点】运用诱导公式化简求值同角三角函数间的基本关系【解析】根据的值及的范围，利用同角三角函数间的基本关系求出的值，进而求出的值，原式利用诱导公式化简，约分后将的值代入计算即可求出值．【解答】解：∵ ，且，∴,，则原式.故选.6.【答案】A【考点】向量在几何中的应用平面向量数量积的运算【解析】求出各边对应的向量，求出各边对应向量的数量积，判断数量积的正负，得出各角为锐角．【解答】y =|x +a|f(x)=1+e x x ≥−5y =−x −a(x ≤−a)y =f(x)x ≥−51y =x +a(x ≥−a)y =f(x)2(−5,1+)e −5y =−x −a a =4−e −5(x)==1,x =0f ′e x y =f(x)1y −2=x,y =x +2a >2.a ∈(2,4−]e −5A cos ααsin αtan αtan αcos α=23−<α<0π2sin α=−=−1−αcos 2−−−−−−−−√5–√3tan α==sin αcos α−5–√2==tan α=−−tan α(−sin α)cos αtan α5–√2A (3,4,2)，=(5,1,3)，=(2,−3,1)−→−−→−−→−解：，，得为锐角；，得为锐角；，得为锐角；所以为锐角三角形.故选.7.【答案】D【考点】奇偶性与单调性的综合【解析】易判断在上的单调性及图象所过特殊点，作出的草图，根据图象可解不等式．【解答】解：∵在上是奇函数，且在上是增函数，∴在上也是增函数，由，得，即，由，得，故或解得或，∴的解集为：，故选．8.【答案】B【考点】平面向量数量积的运算【解析】先化简，根据式子分析即可得到答案。