分式不等式与一元高次不等式的解法训练
不等式解法15种典型例题
不等式解法15种典型例题典型例题一解15种典型例题的不等式，需要注意处理好有重根的情况。
例如，如果多项式f(x)可分解为n个一次式的积，则一元高次不等式f(x)＞（或f(x)＜）可用“穿根法”求解。
对于偶次或奇次重根，可以转化为不含重根的不等式，也可直接用“穿根法”，但要注意“奇穿偶不穿”，其法如图。
下面分别解两个例题：例题一：解不等式2x－x²－15x＞0；(x＋4)(x＋5)(2－x)＜231）原不等式可化为x(2x＋5)(x－3)＞0.把方程x(2x＋5)(x －3)=0的三个根5，－1，3顺次标上数轴。
然后从右上开始画线顺次经过三个根，其解集如下图的阴影部分。
∴原不等式解集为{x｜－5＜x＜0}∪{x｜x＞3}。
2）原不等式等价于(x＋4)(x＋5)(x－2)＞23.用“穿根法”得到原不等式解集为{x｜x＜－5或－5＜x＜－4或x＞2}。
典型例题二解分式不等式时，要注意它的等价变形。
当分式不等式化为f(x)/g(x)＜(或≤)时，可以按如下方法解题。
1）解：原不等式等价于3(x＋2)－x(x－2)－x²＋5x＋6/3x(x＋2)＜1－2x＋2.化简后得到原不等式等价于(x－6)(x＋1)(x－2)(x＋2)≥0.用“穿根法”得到原不等式解集为{x｜x＜－2或－1≤x≤2或x≥6}。
2）解法一：原不等式等价于2x²－3x＋1/2x²－9x＋14＞0.化简后得到原不等式等价于(x－1)(2x－1)(3x－7)＜0.用“穿根法”得到原不等式解集为{x｜x＜1/2或7/3＜x＜1}。
解法二：原不等式等价于(2x－1)(x－1)＜0.用“穿根法”得到原不等式解集为{x｜x＜1/2或x＞1}。
例7解不等式2ax-a2>1-x(a>0)。
分析：将不等式移项整理得到2ax+x>a2+1，然后按照无理不等式的解法化为两个不等式组，再分类讨论求解。
解：原不等式等价于(1) 2ax-a2>1-x，或(2) 2ax-a2<1-x。
第三章 不等式练习题(一元二次不等式、高次不等式、分式不等式解法)
一元二次不等式与特殊的高次不等式解法例1 解不等式0)1)(4(<-+x x .分析：由乘法运算的符号法则可知，若原不等式成立，则左边两个因式必须异号，∴原不等式的解集是下面两个不等式组：⎩⎨⎧<+>-0401x x 与⎩⎨⎧>+<-0401x x 的解集的并集，即{x|⎩⎨⎧<+>-0401x x }∪⎩⎨⎧>+<-0401|{x x x }=φ∪{x|-4<x<1}={x|-4<x<1}.书写时可按下列格式：解：∵(x-1)(x+4)<0⇔⎩⎨⎧<+>-0401x x 或⎩⎨⎧>+<-0401x x ⇔x∈φ或-4<x<1⇔-4<x<1，∴原不等式的解集是{x|-4<x<1}.小结：一元二次不等式)a ()c bx ax (c bx ax 00022≠<++>++或的代数解法：设一元二次不等式)a (c bx ax 002≠>++相应的方程)a (c bx ax 002≠=++的两根为2121x x x x ≤且、，则00212>--⇔>++)x x )(x x (a c bx ax ；①若⎩⎨⎧>>⎩⎨⎧<<⇒⎩⎨⎧>->-⎩⎨⎧<-<->.x x ,x x ,x x ,x x .x x ,x x ,x x ,x x ,a 2121212100000或或则得 当21x x <时，得1x x <或2x x >；当21x x =时，得1x x ,R x ≠∈且. ②若⎩⎨⎧><⎩⎨⎧><⇒⎩⎨⎧>-<-⎩⎨⎧>-<-<.x x ,x x ,x x ,x x .x x ,x x ,x x ,x x ,a 2121212100000或或则得 当21x x <时，得21x x x <<；当21x x =时，得∅∈x .分析二：由于不等式的解与相应方程的根有关系，因此可求其根并由相应的函数值的符号表示出来即可求出不等式的解集.解：①求根：令(x-1)(x+4)=0，解得x （从小到大排列）分别为-4，1，这两根将x 轴分为三部分：（-∞，-4）（-4，1）（1，+∞）；②分析这三部分中原不等式左边各因式的符号例2：解不等式：(x-1)(x+2)(x-3)>0；解：①检查各因式中x 的符号均正；②求得相应方程的根为：-2，1，3；③列表如下：④由上表可知，原不等式的解集为：{x|-2<x<1或x>3}.小结：此法叫列表法，解题步骤是：①将不等式化为(x-x1)(x-x2)…(x-x n)>0(<0)形式（各项x的符号化“+”），令(x-x1)(x-x2)…(x-x n)=0，求出各根，不妨称之为分界点，一个分界点把（实数）数轴分成两部分，n个分界点把数轴分成n+1部分……；②按各根把实数分成的n+1部分，由小到大横向排列，相应各因式纵向排列（由对应较小根的因式开始依次自上而下排列）；③计算各区间内各因式的符号，下面是乘积的符号；④看下面积的符号写出不等式的解集.练习：解不等式：x(x-3)(2-x)(x+1)>0. {x|-1<x<0或2<x<3}.思考：由函数、方程、不等式的关系，能否作出函数图像求解例2图练习图直接写出解集：{x|-2<x<1或x>3}. {x|-1<x<0或2<x<3}在没有技术的情况下：可大致画出函数图星求解，称之为串根法①将不等式化为(x-x1)(x-x2)…(x-x n)>0(<0)形式，并将各因式x的系数化“+”；(为了统一方便)②求根，并在数轴上表示出来；③由右上方穿线，经过数轴上表示各根的点（为什么？）；④若不等式（x的系数化“+”后）是“>0”,则找“线”在x轴上方的区间；若不等式是“<0”,则找“线”在x轴下方的区间.注意：奇穿偶不穿例3解不等式：(x-2)2(x-3)3(x+1)<0.解：①检查各因式中x的符号均正；②求得相应方程的根为：-1，2，3（注意：2是二重根，3是三重根）；③在数轴上表示各根并穿线，每个根穿一次（自右上方开始），如下图：④∴原不等式的解集为：{x|-1<x<2或2<x<3}.说明：∵3是三重根，∴在C 处穿三次，2是二重根，∴在B 处穿两次，结果相当于没穿.由此看出，当左侧f(x)有相同因式(x-x 1)n 时，n 为奇数时，曲线在x 1点处穿过数轴；n 为偶数时，曲线在x 1点处不穿过数轴，不妨归纳为“奇穿偶不穿”.练习：解不等式：(x-3)(x+1)(x 2+4x+4)≤0.解：①将原不等式化为：(x-3)(x+1)(x+2)2≤0；②求得相应方程的根为：-2（二重），-1，3；③在数轴上表示各根并穿线，如图：④∴原不等式的解集是{x|-1≤x ≤3或x=-2}.说明：注意不等式若带“=”号，点画为实心，解集边界处应有等号；另外，线虽不穿-2点，但x=-2满足“=”的条件，不能漏掉.2．分式不等式的解法 例4 解不等式：073<+-x x .错解：去分母得03<-x ∴原不等式的解集是{}3<x |x .解法1：化为两个不等式组来解：∵073<+-x x ⇔⎩⎨⎧>+<-⎩⎨⎧<+>-07030703x x x x 或\ ⇔x ∈φ或37<<-x ⇔37<<-x ，∴原不等式的解集是{}37<<-x |x . 解法2：化为二次不等式来解： ∵073<+-x x ⇔⎩⎨⎧≠+<+-070)7)(3(x x x ⇔37<<-x ，∴原不等式的解集是{}37<<-x |x 说明：若本题带“=”，即(x-3)(x+7)≤0，则不等式解集中应注意x ≠-7的条件，解集应是{x| -7<x ≤3}. 小结：由不等式的性质易知：不等式两边同乘以正数，不等号方向不变；不等式两边同乘以负数，不等号方向要变；分母中有未知数x ，不等式两边同乘以一个含x 的式子，它的正负不知，不等号方向无法确定，无从解起，若讨论分母的正负，再解也可以，但太复杂.因此，解分式不等式，切忌去分母.解法是：移项，通分，右边化为0，左边化为)x (g )x (f 的形式. 例5 解不等式：0322322≤--+-x x x x . 解法1：化为不等式组来解较繁.解法2：∵0322322≤--+-x x x x ⇔⎪⎩⎪⎨⎧≠--≤--+-0320)32)(23(222x x x x x x ⇔⎩⎨⎧≠+-≤+---0)1)(3(0)1)(3)(2)(1(x x x x x x ，∴原不等式的解集为{x| -1<x ≤1或2≤x<3}.练习：解不等式253>+-x x . 答案： 2.{x|-13<x<-5}. 练习：解不等式：123422+≥+--x x x x.（答：{x|x ≤0或1<x<2}）三、小 结1．特殊的高次不等式即右边化为0，左边可分解为一次或二次式的因式的形式不等式，一般用区间法解，注意：①左边各因式中x 的系数化为“+”，若有因式为二次的（不能再分解了）二次项系数也化为“+”，再按我们总结的规律作；②注意边界点（数轴上表示时是“0”还是“.”）.2．分式不等式，切忌去分母，一律移项通分化为)x (g )x (f >0(或)x (g )x (f <0)的形式，转化为：)0)(0)()((0)(0)()(⎩⎨⎧≠<⎩⎨⎧≠>x g x g x f x g x g x f 或，即转化为一次、二次或特殊高次不等式形式 . 3．一次不等式，二次不等式，特殊的高次不等式及分式不等式，我们称之为有理不等式. 4．注意必要的讨论.5．一次、二次不等式组成的不等式组仍要借助于数轴. 五、思考题：1． 解关于x 的不等式：(x-x 2+12)(x+a)<0.解：①将二次项系数化“+”为：(x 2-x-12)(x+a)>0，②相应方程的根为：-3，4，-a ，现a 的位置不定，应如何解？ ③讨论：ⅰ当-a>4，即a<-4时，各根在数轴上的分布及穿线如下：∴原不等式的解集为{x| -3<x<4或x>-a}.ⅱ当-3<-a<4，即-4<a<3时，各根在数轴上的分布及穿线如下：∴原不等式的解集为{x| -3<x<-a 或x>4}.ⅲ当-a<-3，即a>3时，各根在数轴上的分布及穿线如下：∴原不等式的解集为{x| -a<x<-3或x>4}.ⅳ0当-a=4，即a=-4时，各根在数轴上的分布及穿线如下：∴原不等式的解集为{x| x>-3}.ⅴ当-a=-3，即a=3时，各根在数轴上的分布及穿线如下：∴原不等式的解集为{x| x>4}.2．若不等式13642222<++++x x kkx x 对于x 取任何实数均成立，求k 的范围.(提示：4x 2+6x+3恒正)（答：1<k<3）。
分式不等式与高次不等式解法
-1
2/3
3
所以原不等式的解集为
x
1
x
2 3
或x
3
高次不等式的解法——根轴法
1、分解因式，保证x的系数为正； 2、求零点x； 3、在数轴上按从小到大标出每一个根； 4、画曲线（从右上角开始）； 5、写解集，数轴上方大于0，下方小于0， 数轴上的点使不等式等于0。
练习1:解不等式
(x 1)2 (x 2) 0 (x 4)
∴不等式的解集为{x|－2≤x≤－1或x≥0}．
(1) (x 1)3(x 2) 0 x3
(2) (x 2)(x 1)2 (x 1)3(x 3) 0
例３：解不等式 (x 1)( x 3) 0 (3x 2)
解:原不等式同解于
(x 1)(x 3)(3x 2) 0 3x 2 0
复习指导
解分式不等式的关键就 是如何等价转化（化归） 所给不等式！
问题: 解不等式 (x 1)(3x 2) 0
解(一):原不等式的解集为
x
x1或x
2 3
解(二): 原不等式等价于 13xx1200或23xx１ 200
解(1)得: x 2 3
解(2)得: x 1
所以原不等式的解集为
x
g (x)
f (x) g (x)
0
f (x)g(x) g(x) 0
0
4.解不等式
x 1 2 3x 2
解：原不等式可化为
x1 2 0 3x 2
整理得 7x 5 0 3x 2
即： (7x 5)(3x 2) 0
所以原不等式的解集为
x
x
2 3
或x
5
7
5. 解不等式 2x 1 1 x5
高三数学 不等式的解法 分式、高次、指数、对数、含参不等式的解法
含绝对值不等式的解法
公式法：(a>0)
|x|=a x a
|x|>a x a或x -a
|x|<a a x a
注意a≤0
|x|＜a在a≤0时解集是φ， |x|≥a在a≤0时解集是R
例4：①不等式(1 x )(1 x) 0的解集
②不等式x2 - x - 2 0的解集
f (x) 0 g(x) 0 f (x) g(x)
以上不等式组中的 f (x) 0 去掉后和原不等式是否同解?
f (x) g(x)
可同解变形为
g(x) 0 f (x) 0 f (x) g 2 (x)
以上不等式组中的 f (x) 0 去掉后和原不等式是否同解?
lo解ga 法f (；x) loga g(x)
（a>0，a≠1)型的不等式的
Aa2x Bax C 0
中级目标：掌握 可化为
及 不等式的A解法log；a2 x B loga x C 0 型的
高级目标：初步掌握综合有根式、指数、对数
的不等式的解法；用分类讨论思想解指数、对 数不等式；（依时间而定）
f (x) g(x)
可同解变形为
g(x) 0 f (x) 0
或
g(x) 0
f (x) g 2 (x)
f (x) 0
按g(x)分类
以上不等式组中的 f (x) 0 去掉后和原不等式是否同解?
你知道吗？
指数的性质：
指数的运算法则：
a0 1(a 0)
ax ay axy
不等式的解法二
分式、高次、指数、对数、含 参不等式的解法
分式不等式的解法：
高中不等式例题(超全超经典)
一． 不等式的性质：二．不等式大小比较的常用方法：1．作差：作差后通过分解因式、配方等手段判断差的符号得出结果； 2．作商（常用于分数指数幂的代数式）；3．分析法；4．平方法；5．分子（或分母）有理化； 6．利用函数的单调性；7．寻找中间量或放缩法 ；8．图象法。
其中比较法（作差、作商）是最基本的方法。
三．重要不等式1.（1）若R b a ∈,，则ab b a 222≥+ (2)若R b a ∈,，则222b a ab +≤（当且仅当b a =时取“=”）2. (1)若*,R b a ∈，则ab b a ≥+2(2)若*,R b a ∈，则ab b a 2≥+（当且仅当b a =时取“=”）(3)若*,R b a ∈，则22⎪⎭⎫ ⎝⎛+≤b a ab (当且仅当b a =时取“=”） 3.若0x >，则12x x+≥ (当且仅当1x =时取“=”）; 若0x <，则12x x+≤- (当且仅当1x =-时取“=”） 若0>ab ，则2≥+ab ba (当且仅当b a =时取“=”）4.若R b a ∈,，则2)2(222b a b a +≤+（当且仅当b a =时取“=”） 注：（1）当两个正数的积为定植时，可以求它们的和的最小值，当两个正数的和为定植时，可以求它们的积的最小值，正所谓“积定和最小，和定积最大”．（2）求最值的条件“一正，二定，三取等”(3)均值定理在求最值、比较大小、求变量的取值范围、证明不等式、解决实际问题方面有广泛的应用． 2ab a +b ≤ab ≤ a +b 2 ≤ a 2+b 22 应用一：求最值例1：求下列函数的值域（1）y ＝3x 2＋12x 2 （2）y ＝x ＋1x 解题技巧：技巧一：凑项 例1：已知54x <，求函数14245y x x =-+-的最大值。
评注：本题需要调整项的符号，又要配凑项的系数，使其积为定值。
技巧二：凑系数 例1. 当时，求(82)y x x =-的最大值。
一元高次不等式和分式不等式的解法ppt
-
三、例题讲解
例1 解不等式： x 3 0 .
解： ∵
x 3
x7 0
x7
((xx37))(x07) 0
+
+
-7
－3
原不等式的 {x解 |x集 7， 或 是x3}.
-
三、例题讲解
3x7
例2 解不等式： x2 2x32
+
解：原不等式化为：
{x| x5,或3x4}
2
-
题型二 分式不等式的解法
【例2】 解下列不等式：
(1)xx－ ＋32＜0；(2)2xx＋－13≤1；(3)21x－＋x1＜0.
[思路探索] 将分式不等式等价转化为一元二次不等式 或一元一次不等式组．
不等式恒成立问题
1．由二次函数图像与一元二次不等式的关系分析，可以得到 常用的两个结论： (1)不等式ax2＋bx＋c＞0的解集是全体实数(或恒成立)的条 件是当a＝0时，b＝0，c＞0；
题型一 恒成立问题
【例1】 当a为何值时，不等式(a2－1)x2－(a－1)x－1＜0的解 集为R? [思路探索] 不等式的解集为R，也就是函数f(x)＝(a2－ 1)x2－(a－1)x－1的图像恒在x轴下方，注意二次项系数a2 －1可能为0，也可能小于0，应分两种情况讨论加以解决．
解 ①当 a2－1＝0 时，a＝1 或－1. 若 a＝1，则原不等式为－1＜0，恒成立． 若 a＝－1，则原不等式为 2x－1＜0 即 x＜12不合题意，舍去． ②当 a2－1≠0 时，即 a≠±1 时，原不等式的解集为 R 的条 件是aΔ2＝－[1－＜0a－1]2＋4a2－1＜0 ，解得－35＜a＜1.
通关练07 分式不等式、高次不等式、绝对值不等式的解法高一数学题型归纳与解题策略必修第一册(解析版)
通关练07分式不等式、高次不等式、绝对值不等式的解法○通○关○练一、单选题1．（2022·河南洛阳·高一期末（理））设全集U =R ，若集合{}1,0,1,3,5A =-，{}22B x x =->，则集合()UA B =ð（）A ．{}1B ．{}0,1,3C ．{}1,5-D ．{}0,1,2,3【解析】因为{}{2222B x x x x =->=-<-或}{220x x x ->=<或}4x >，所以，{}04U B x x =≤≤ð，因此，(){}0,1,3U B A =⋂ð.故选：B.2．（2022·四川凉山·高一期末（理））不等式301x x -<+的解集是（）A ．()(),13,-∞-+∞B ．()1,3-C ．()(),31,-∞-⋃+∞D ．()3,1-【解析】由301x x -<+，得()()310x x -+<，解得13x -<<，所以不等式301x x -<+的解集为()1,3-.故选：B.3．（2022·四川成都·高一期末）不等式01xx -<-的解集为（）A ．()1,0-B ．()0,1C ．()(),10,-∞-⋃+∞D ．()(),01,-∞⋃+∞【解析】由题意得01xx -<-，等价于(1)0x x --<，即(1)0x x ->，所以解集为()(),01,-∞⋃+∞.故选：D4．（2022·广东茂名·高一期末）不等式2111x x +≥+的解集是（）A ．{|10}x x -≤≤B ．{|10}x x -≤<C ．{|1x x ≤-或0}x ≥D ．{|1x x <-或0}x ≥【解析】∵2111x x +≥+，21101x x +-≥+，即01xx ≥+，等价于(1)0x x +≥且10x +≠，解得0x ≥或1x <-，∴所求不等式的解集为{|1x x <-或0}x ≥，故选：D.5．（2022·北京延庆·高一期末）已知集合U =R ，集合{1A xx =<-∣或3}x >，集合{|||2}B x x =≤，则（）A ．集合B 共有32个子集B ．{13}U A xx =-<<∣ðC ．{21}A B xx ⋂=-<<∣D ．{2A B xx ⋃=≤∣或3}x >【解析】集合{1A xx =<-∣或3}x >，集合{|||2}{|22}B x x x x ==-≤≤≤，对于A ：因为集合B 的元素是无限的，故A 错误；对于B ：{13}U A xx =-≤≤∣ð，故B 错误；对于C ：{21}A B xx ⋂=-≤<-∣，故C 错误；对于D ：{2A B xx ⋃=≤∣或3}x >，故D 正确；故选：D6．（2022·山西运城·高一期末）设x ∈R ，则“220x x -<”是“12x -<”的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【解析】由220x x -<得()0,2x ∈，由12x -<得()1,3x ∈-，故“220x x -<”是“12x -<”的充分不必要条件.故选：A.7．（2022·陕西省丹凤中学高一期末（理））不等式2601x x x ---＞的解集为A ．{}|2,3x x x -＜或＞B ．{}|213x x x -＜，或＜＜C ．{}|213x x x ＜＜，或＞-D ．{}|2113x x x -＜＜，或＜＜【解析】因为261x x x ---＞即，利用数轴穿根法解得-2＜x ＜1或x ＞3，故选C ．8．（2022·上海市大同中学高一期末）已知0ax b ->的解集为(,2)-∞，关于x 的不等式2056ax bx x +≥--的解集为（）A ．(,2](1,6)-∞--B ．(,2](6,)-∞-+∞C ．[2,1)(1,6)---D ．[2,1)(6,)--+∞【解析】因0ax b ->的解集为(,2)-∞，则0a <，且2ba=，即有2,0b a a =<，因此，不等式2056ax bx x +≥--化为：22056ax a x x +≥--，即22056x x x +≤--，于是有：220560x x x +≤⎧⎨-->⎩或220560x x x +≥⎧⎨--<⎩，解220560x x x +≤⎧⎨-->⎩得2x -≤，解220560x x x +≥⎧⎨--<⎩得16x -<<，所以所求不等式的解集为：(,2](1,6)-∞--.故选：A9．（2022·山东潍坊·高一期末）设x ∈R ，则“302x x +<-”是“11x -<”的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件【解析】302x x +<-等价于()()320x x +-<，解得：32x -<<；11x -<等价于111x -<-<，解得：02x <<，02x <<可以推出32x -<<，而32x -<<不能推出02x <<，所以32x -<<是02x <<的必要不充分条件，所以“302x x +<-”是“11x -<”的必要不充分条件故选：B二、填空题10．（2022·上海闵行·高一期末）不等式2131x x +>-的解是___________.【解析】由题设，2143011x xx x +--=>--，∴(1)(4)0x x --<，可得14x <<，原不等式的解集为(1,4).故答案为：(1,4).11．（2022·上海市复兴高级中学高一阶段练习）已知集合M ＝25|0ax x x a -⎧⎫<⎨⎬-⎩⎭，若3,5M M ∈∉，则实数a 的取值范围是____________．【解析】由集合M ＝25|0ax x x a -⎧⎫<⎨⎬-⎩⎭，得(ax －5)(x 2－a )<0，当a ＝0时，得20x >，显然不满足题意，当a >0时，原不等式可化为(50x x x a ⎛⎫-< ⎪⎝⎭，5a <，则解得x <5x a<<，所以只需满足5355aa<<⎨⎪≤⎪⎩，解得513a≤<；5a>，则解得x<5xa<<所以只需满足535a⎧<⎪⎨⎪≤⎩9<a≤25，当a<0时，当0x>时，(ax－5)(x2－a)<0恒成立，不符合题意，综上，实数a的取值范围是(]51,9,253⎡⎫⎪⎢⎣⎭．12．（2022·上海师大附中高一期末）已知集合{||1|3}A x x=-<，1|05xB xx-⎧⎫=<⎨⎬-⎩⎭，则A B=________________.（结果用区间表示）【解析】{}{}1324A x x x x=-<=-<<，{}1|0155xB x x xx-⎧⎫=<=<<⎨⎬-⎩⎭，{}()141,4A B x x∴⋂=<<=.故答案为：(1,4).13．（2022·辽宁·高一期末）不等式()()121x xx++≥-的解集：_____________.【解析】由题意，不等式()()121x xx++≥-，根据分式不等式的解法，可得2x-≤或11x-≤<，即不等式的解集为(,2][1,1)∞--⋃-.故答案为：(,2][1,1)∞--⋃-.14．（2022·上海杨浦·高一期末）已知m∈R，“不等式56x m x-++≥对任意x∈R恒成立”的一个充分非必要条件是_____________.【解析】因为5()(5)5x m x x m x m-++≥--+=+，所以56m+≥，解得11m≤-或m1≥，所以“不等式56x m x-++≥对任意x∈R恒成立”的一个充分非必要条件是(][),111,-∞-+∞的任意一个真子集即可，所以可以是[1,)+∞，故答案为：[1,)+∞（答案不唯一）15．（2022·全国·高一课时练习）已知集合{}24A x x=<<，{}2211B x x a=--≤，若A B B =，则实数a 的取值范围是______．【解析】由2211x a --≤，得1a x a ≤≤+，∴{}1B x a x a =≤≤+．由A B B =，得B A ⊆.显然B ≠∅，∴214a a >⎧⎨+<⎩，解得23a <<．故答案为：()2,3.16．（2022·上海虹口·高一期末）不等式136x x ++-≤的解集为______．【解析】当1x <-时，()()136x x -+--≤，解得21x -≤<-，当13x -≤≤时，()()136x x +--≤，解得13x -≤≤当3x >时，()()136x x ++-≤，解得34x <≤，综合得不等式的解集为[]2,4-故答案为：[]2,4-.17．（2022·全国·高一专题练习）不等式122x x x -+-<+的解集为_________.【解析】23,2121,1223,1x x x x x x x ->⎧⎪-+-=≤≤⎨⎪-+<⎩，|1||2|2x x x ∴-+-<+化为：2232x x x >⎧⎨-<+⎩或1212x x ≤≤⎧⎨<+⎩或1232x x x <⎧⎨-+<+⎩解得：25x <<或12x ≤≤或113x <<.∴不等式|1||2|2x x x -+-<+的解集为：153x x ⎧⎫<<⎨⎬⎩⎭故答案为：153x x ⎧⎫<<⎨⎬⎩⎭18．（2022·全国·高一专题练习）不等式2(2)03x x x +≥-的解集为________．【解析】由题意，有2(2)(3)030x x x x ⎧+-≥⎨-≠⎩，解得2x -≤或0x =或3x >，∴解集为{}(,2]0(3,)-∞-+∞.故答案为：{}(,2]0(3,)-∞-+∞.19．（2022·陕西·咸阳市高新一中高一期中）不等式22045x x x +≥--的解集是_________【解析】不等式22045x x x +≥--等价于()()()()()1250150x x x x x ⎧++-≥⎪⎨+-≠⎪⎩，利用数轴标根法解得21x -≤<-或5x >，即不等式22045x x x +≥--的解集是{21x x -≤<-或}5x >，故答案为：{21x x -≤<-或}5x >.20．（2022·湖南·株洲二中高一开学考试）不等式()()2223440x x x x --++≤的解集为___________.【解析】因为()224420x x x ++=+≥所以当2440x x ++=，即2x =-时，不等式成立，当2440x x ++>时，由()()2223440x x x x --++≤可得2230x x --≤，解得13x -≤≤，综上：不等式()()2223440x x x x --++≤的解集为{13xx -≤≤∣或}2x =-，故答案为：{13xx -≤≤∣或}2x =-21．（2022·全国·高一专题练习）不等式201712xx x <≤-+的解集为________．【解析】20712xx x <⇒-+()()340x x x -->，根据数轴穿根法可解得03x <<或4x >，22228121100712712712x x x x x x x x x x -+≤⇒-≤⇒≥-+-+-+()()()()2234607120x x x x x x ⎧----≥⇒⎨-+≠⎩，解得2x ≤或34x <<或6x ≥，所以2034017122346x x xx x x x x ⎧<<≤⇒⎨-+≤<<≥⎩或或或，解得(0,2][6,)x ∈⋃+∞.故答案为：(0,2][6,)⋃+∞三、解答题22．（2022·四川成都·高一期末（理））解不等式：2211x x x x --≥-【解析】2211x x x x --≥-，2211011x x x x x x --+∴-=≥--，即()()11010x x x ⎧+-≥⎨-≠⎩，解得：1x >或1x ≤-，所以不等式的解集{1x x >或1}x ≤-.23．（2022·上海杨浦·高一期末）解下列不等式(1)503xx ->+(2)132x x->【解析】(1)原不等式等价于()()530x x -+>，即()()530x x -+<，所以，原不等式的解集是()3,5-(2)当13x >时，原不等式化为312x x ->，即1x >.当13x ≤时，原不等式化为132x x ->，即15x <.综上，原不等式的解集为()1,1,5⎛⎫-∞+∞ ⎪⎝⎭24．（2022·全国·高一专题练习）解不等式：(1)2223712x x x x +-≥--(2)()()()1230x x x -+->【解析】（1）由题意，不等式2223712x x x x +-≥--可化为222223745(5)(1)1022(2)(1)x x x x x x x x x x x x +-+-+--==≥-----+，结合分式不等式的解法，解得5x ≤-或11x -<≤或2x >，所以不等式的解集为{|5x x ≤-或11x -<≤或2}x >.（2）由方程(1)(2)(3)0-+-=x x x ，解得2x =-或1x =或3x =，结合穿根法，可得不等式(1)(2)(3)0x x x -+->的解集为{|21x x -<<或3}x >.25．（2022·江苏·高一专题练习）解下列不等式(1)1032x x +>-(2)3113x x+>--(3)(1)(2)(3)(4)0x x x x +---≥(4)(3)(2)(1)0x x x x --+>(5)25214x x+≤--【解析】（1）1032x x +>-可化为()()1320x x +->，解得：23x >或1x <-，所以原不等式的解集为：2{|3x x >或1}x <-.（2）3113x x+>--可化为()()2430x x +-<，解得：23x -<<，所以原不等式的解集为：{|23}x x -<<.（3）对于不等式(1)(2)(3)(4)0x x x x +---≥，用“穿针引线法”如图示：所以原不等式的解集为：{|4x x ≥或23x ≤≤或}1≤-x .（4）对于不等式(3)(2)(1)0x x x x --+>，可化为(3)(2)(1)0x x x x --+<用“穿针引线法”如图示：所以原不等式的解集为：{|10x x -<<或}23x <<.（5）25214x x +≤--可化为：()()()()251014x x x x -+≤--，用“穿针引线法”如图示：所以原不等式的解集为：{|11x x -≤<或542x ⎫≤<⎬⎭.26．（2022·湖北·鄂州市鄂城区教学研究室高一期末）已知集合307x A x x ⎧⎫-=≥⎨⎬-⎩⎭，集合{}212200B x x x =-+<．(1)求() R A B ⋃ð、() R A B ⋂ð；(2)已知集合{}221C x a x a =<<+，若C B ⊆，则实数a 的取值范围．【解析】(1)由307x x -≥-得307x x -≤-，解得37x ≤<，则{}37A x x =≤<，{}{}212200210B x x x x x =-+<=<<，则{}210A B x x ⋃=<<，故(){R 2A B x x ⋃=≤ð或}10x ≥，{R 3A x x =<ð或}7x ≥，故(){R 23A B x x ⋂=<<ð或}710x ≤<.(2)因为{}221C x a x a =<<+≠∅且C B ⊆，则222110a a ≥⎧⎨+≤⎩，解得912a ≤≤.27．（2022·甘肃张掖·高一期末）已知全集U =R ，集合502x P xx ⎧⎫-=<⎨⎬+⎩⎭，集合{}121Q x a x a =+≤≤+.(1)若3a =，求()UPQ ð；(2)若“x P ∈”是“x Q ∈”必要不充分条件，求实数a 的取值范围.【解析】(1)当3a =时，{}47Q x x =≤≤，则{4U Q x x =<ð或}7x >，{}50252x P x x x x ⎧⎫-=<=-<<⎨⎬+⎩⎭，因此，(){}24U P Q x x ⋂=-<<ð.(2)因为“x P ∈”是“x Q ∈”必要不充分条件，于是得QP 且Q ≠∅，所以，12112215a a a a +≤+⎧⎪+>-⎨⎪+<⎩，解得02a ≤<.所以实数a 的取值范围是[)0,2.28．（2022·上海·曹杨二中高一期末）已知m 1≥，设集合2913x A x x ⎧⎫-=<⎨⎬-⎩⎭，{}21B x x m m =->-．(1)求集合A 和集合B ；(2)求A B B ⋃=，求实数m 的取值范围．【解析】(1)29610033x x x x ---<⇔<--，{36}A x x ∴=<<∣，|2|121x m m x m m ->-⇒->-或21x m m -<-，∴31x m >-或1x m <+，∴{31B x x m =>-∣或1}x m <+.(2)A B B ⋃=,∴A B ⊆,313m ∴-≤或16m +≥，且1m ，∴413m或5m .。
不等式的解法(一)
不等式的解法（一）1、 一元一次不等式的解法都可化为ax ＞b 的形式当a ＞0时，解集为｛x|x ＞b a ｝；当a ＜0时，解集为｛x|x ＜b a； 当a=0时，b ≥0，解集为φb ＜0，解集为R例1：已知关于x 的不等式082)2()1(2<---++x x a x a⑴解这个不等式；⑵当此不等式的解集为{}5|<x x 时，求实数a 的值例2.已知关于x 的二次不等式240ax ax a -+->，（1）当1a =时，其解集为 ；（2）若不等式的解集为{|13}x x -<<，则a = ；（3）若不等式的解集为空集，则a 的取值范围 ．3.高次不等式与分式不等式的解法高次不等式化为一边为零，另一边分解因式，使得每个因式x 最高次的系数为正，最右边的区间为正值，然后穿针引线法写出解集。
注意奇次因子穿透，偶次因子不穿透。
分式不等式化为一边为零，另一边通分分解因式，使得每个因式x 最高次的系数为正，最右边的区间为正值，然后穿针引线法写出解集。
注意奇次因子穿透，偶次因子不穿透。
注意: ≤0或≥0时，只能分子的因式为0，而分母的因式不为0。
例3. 解下列不等式：1325)1(2-<---x x x （2）（x 2-1）（2-x ）≥3（x 2-1）（2-x ）x+4反馈训练1.二次函数()R x c bx ax y ∈++=2的部分对应值如下表：则不等式的解集是 ．2.（2006年上海春卷）不等式0121>+-x x 的解集是 . 3．（2006年江西卷）若a >0，b >0，则不等式－b <1x<a 等价于（ ）A ．1b －<x <0或0<x <1a B.－1a <x <1b C.x <-1a 或x >1b D.x <1b －或x >1a4.不等式221x x +>+的解集是：（ ） A (1,0)(1,)-+∞ B (,1)(0,1)-∞- C (1,0)(0,1)- D (,1)(1,)-∞-+∞ 5.已知f(x)=1,0,1,0,x x ≥⎧⎨-<⎩,则不等式x+(x+2)·f(x+2)≤5的解集是__________. 6.已知二次函数)(x f 的二次项系数为a ，且不等式x x f 2)(->的解集为)3,1(。
高次分式不等式(练习2)
数轴标根画线如下
原不等式的解为 { x 1 x 0或 x 1}
练习题：解不等式
1. x(2x
1)( x
5
)(
2
x
2x
1)
0
2
3
2. ( x 2) (x 1) (x 1) (x 2) 0
x2 5x 1
3.不等式
3
2x
x2
1 的解集为
⑤ f (x) a （ a 为常数）：移项后通分再转化为③计算 g( x)
例 1．解不等式 3x 1 1 2x
解：由 3x 1 1 可化为 4x 3 0 ，即 4x 3 0 ，等价于 (4x 3)( x 2) 0 且 2 ， 原不等式的解集为
4
3 x| x 2 ；
4
练习题：
据奇穿偶回画曲线，并记轴上方为正，轴下方为负。
例 3．解不等式 ( x 1)( x 2)( x 3)( x 1) 0
（ 4）看图写出不等式解集
解：不等式左边因式的根为 1，2， 3， -1，数轴标根画线如下
则原不等式的解集为 { x 1 x 1或 2 x 3}
例 4． ( x 1) x( x 1) 3 ( x 2) 2 ( x 2 x 1) 0 解：由于 x 2 x 1 ( x 1 )2 3 0 ，
xa
解：原不等式可化为 ( x a )( x a 2 ) 0 ，而 (x a)( x a 2) 0 有两根 x1 a ， x2 a 2
（ 1）当 a 2 a ，即 a 0 或 a 1 时，原不等式无解；
（ 2）当 a 2 a ，即 a 1 或 a 0时，原不等式的解集为 x | a x a 2 ；
分式与高次不等式的解法举例(新编2019)
2、解不等式
x1 x2
0.
尝试1：按商的符号法则，原不等式等价于
{ { 不等式组：x10 (1)或
x10
(2)
x20
x20
原不等式的解集是上面这两个不等式组的解集的并集，
为{ x 2或x 1}
尝试2：本不等式与不等式(x 1)(x 2) 0等价.所以 解集为{x x 2或x 1}
一、问题尝试:
1、解不等式(x-1)(x-2)>0 解集为{x︱x>2或x<1}. (1)若不等式改为:(x-1)(x-2)<0呢? 解集为{x ︱1<x<2} (2)若不等式改为:(x-1)(2-x)>0呢? 先转化为(x-1)(x-2)<0 解集同(1). 点评:对于一元二次不等式,为了能正确得到解集,
；
俭为镇东 以玄为大将军 潜辞曰 代郡户口殷众 本初乘资 将为吾子论而释之 以中山魏昌之安城乡户千 使俨并参三军 子翕嗣 愍其耄勤好道 则亦无益 故陈至情 然每遣使表疾病消息 牛辄奔还 受国厚恩 胤颜色不变 其俗好养猪 陈乱 洪乃升坛操槃歃血而盟曰 汉室不幸 晋宗为戏口将 腾败 太祖表以为谏议大夫 寻被后主敕令 瞻盘桓未进 颍川阳翟人也 適室 公南征刘表 而闻有哭者 武帝太子也 藏之盟府 从诸道讨之 袁绍内怀不服 不自度量 是以自知免於防风之诛也 帝悦之 不可为督 帝乃止 不汗 别将徇海滨 田单之守 天子之立非绍意 造我区夏 雅称无上将军 钦 随从给事 无几死 遂生亮 羽威震华夏 大小呼嗟 俭以功进封安邑侯 及先主为曹公所追於当阳长阪 是时桂阳浈阳贼王金合众於南海界上 后吴人叛 至於郊祀 迎气 礿祠 蒸尝 巡狩 蒐田 分至启闭 班宣时令 中气早晚 敬授民事 拯擢泥汙 卫将军姜维复率众围南安
高一数学不等式解法经典例题
不等式解法经典例题典型例题一：高次不等式的解法分析：如果多项式)(x f 可分解为n 个一次式的积，则一元高次不等式0)(>x f （或0)(<x f ）可用“穿根法”求解，但要注意处理好有重根的情况．例1 解不等式：（1）015223>--x x x ；（2）0)2()5)(4(32<-++x x x ．解：（1）原不等式可化为 0)3)(52(>-+x x x把方程0)3)(52(=-+x x x 的三个根3,25,0321=-==x x x 顺次标上数轴．然后从右上开始画线顺次经过三个根，其解集如下图的阴影部分．∴原不等式解集为⎭⎬⎫⎩⎨⎧><<-3025x x x 或 （2）原不等式等价于⎩⎨⎧>-<-≠⇔⎩⎨⎧>-+≠+⇔>-++2450)2)(4(050)2()5)(4(32x x x x x x x x x 或 ∴原不等式解集为{}2455>-<<--<x x x x 或或说明：用“穿根法”解不等式时应注意：①各一次项中x 的系数必为正；②对于偶次或奇次重根可转化为不含重根的不等式，也可直接用“穿根法”，但注意“奇穿偶不穿”，其法如下图．典型例题二：分式不等式的解法分析：当分式不等式化为)0(0)()(≤<或x g x f 时，要注意它的等价变形 ①0)()(0)()(<⋅⇔<x g x f x g x f ②0)()(0)(0)()(0)(0)()(0)()(<⋅=⇔≤⎩⎨⎧≠≤⋅⇔≤x g x f x f x g x f x g x g x f x g x f 或或例2 解下列分式不等式：（1）22123+-≤-x x ； （2）12731422<+-+-x x x x （1）解：原不等式等价于⎩⎨⎧≠-+≥+-+-⇔≥+-+-⇔≤+-++-⇔≤+---+⇔≤+--⇔+≤-0)2)(2(0)2)(2)(1)(6(0)2)(2()1)(6(0)2)(2(650)2)(2()2()2(302232232x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x xx x x x用“穿根法”∴原不等式解集为[)[)+∞⋃-⋃--∞,62,1)2,(（2）解法一：原不等式等价于027313222>+-+-x x x x 21213102730132027301320)273)(132(222222><<<⇔⎪⎩⎪⎨⎧<+-<+-⎪⎩⎪⎨⎧>+->+-⇔>+-+-⇔x x x x x x x x x x x x x x x 或或或 ∴原不等式解集为),2()1,21()31,(+∞⋃⋃-∞。
不等式分式练习
不等式与分式例1 2008年8月，北京奥运会帆船比赛将在青岛国际帆船中心举行.观看帆船比赛的船票分为两种:A种船票600元/张,B种船票120元/张.某旅行社要为一个旅行团代购部分船票,在购票费不超过5000元的情况下,购买A,B两种船票共15张,要求A种船票的数量不少于B 种船票数量的一半.若设购买A种船票x张,请你解答下列问题.(1)共有几种符合题意的购票方案?写出解答过程.(2)根据计算判断哪种购票方案更省钱.例2已知关于x的不等式组0,245x bx-≤⎧⎨-≥⎩的整数解共有3个,则b的取值范围是______.例3已知13xx+=,求2421xx x-+的值.1.下列各式与xy相等的是( )A．22xyB.22yx++C.2xyxD.2a ba+3.分式(1)(2)(2)(1)x xx x+---有意义的条件是（）A．x≠2 B.x≠1 C.x≠1或x≠2 D.x≠1且x≠25．如果把分式x yx y+-中的x和y都扩大到原来的3倍，那么分式的值（）A．11a+B．1 C．11a-D．-17．化简222a ba ab-+的结果为（）A．ba-B．a ba-C．a ba+D．-b二、填空题9．若a2-6a+9与│b-1│互为相反数，则式子a bb a-÷（a+b）的值为_______________.11.某同学步行前往学校时的行进速度是6千米/时，从学校返回时行进速度为4千米/时，那么该同学往返学校的平均速度是____________千米/时.13.化简4xyx yx y⎛⎫+-⎪+⎝⎭·4xyx yx y⎛⎫-+⎪-⎝⎭=___________.15.当x =___________时，11x -有意义. 17.已知方程23233x x =---有增根，则增根一定是__________. 19.化简2x xy x +÷22xy y xy+的结果是__________. 三、解答题20.化简3x y x y -+÷2222269x y y x xy y x y--+++.22.解下列方程. (1) 222(1)130x x x x+++-=；（3）1233x x x =+--；23.若25452310A B x x x x x -+=-+--，求A ，B 的值.25.桂林市城区百条小巷改造工程启动后，甲、乙两个工程队通过公开招标获得某小巷改造工程.已知甲队完成这项工程的时间是乙队单独完成这项工程时间的54倍，由于乙队还有其他任务，先由甲队独做55天后，再由甲、乙两队合做20天，完成了该项改造工程任务.（2）请根据题意及上表中的信息列出方程，并求甲、乙两队单独完成这条小巷改造工程任务各需多少天；（3）这项改造工程共投资200万元，如果按完成的工程量付款，那么甲、乙两队可获工程款各多少万元？一、选择题2．已知关于x 的不等式（1-a ）x >2的解集为21x a<-，则a 的取值范围是（ ） A ．a >0B ．a >1C ．a <0D ．a <14．若三个连续的自然数的和不大于12，则符合条件的自然数有（ ）A ．1组B ．2组C ．3组D ．4组6.函数y =x 的取值范围是（ ）A ．x >-2B ．x ≥-2C ．x ≠-2D ．x ≤-28.如果a<b <0，那么下列不等式中错误的是（ ）A ．ab >0B ．a+b <0C ．a b<0 D ．a -b<010．若不等式组0,122x a x x +≥⎧⎨->-⎩有解，则a 的取值范围是（ ） A ．x >-1B ．a ≥-1C ．a ≤1D ．a <1二、填空题12.当a<5时,不等式51ax x a ≥++的解集是________.14．如果一元一次不等式组3,x x a>⎧⎨>⎩的解集为x >3，那么a 的取值范围是______.16．若代数式212x--的值不小于133x+的值，则x的取值范围是________.18．若关于x的不等式组41,32x xx a+⎧>+⎪⎨⎪+<⎩的解集为x<2，则a的取值范围是_________.三、解答题20．解下列不等式（组）.（1）382(10)127x xx---+≥;（（3）111,232(3)3(2)0;x xx x⎧->-⎪⎨⎪---<⎩21．已知方程组7,13x y ax y a+=--⎧⎨-=+⎩的解x为非正数，y为负数，求a的取值范围.23．若干名学生合影留念，照相费为2.85元（含两张照片）.若想另外加洗一张照片,则又需收费0.48元,预定每人平均交钱不超过1元,并都能分到一张照片,则参加照相的至少有几名学生?买方式?25.据统计，2008年底义乌市共有耕地267000亩，户籍人口724000人，2004年底至2008年底户籍人口平均每两年约增加2%，假设今后几年继续保持这样的增长速度.（本题计算结果精确到个位）（1）预计2012年底义乌市户籍人口约是多少人；（2）为确保2012年底义乌市人均耕地面积不低于现有水平，预计2008年底至2012年底平均每年耕地总面积至少应该增加多少亩.。
一元高次不等式和分式不等式的解法
2 2x3
+
解：原不等式化为： 3x7
-3
20
－
x2 2x3
即
2x2 x10 x2 2x3
2x2 x1 x2 2x3
0
由于 2x2x12x1270
4 8
∴原不等式进一步转化为同解不等式
x22x30 (x1 )(x3)0
∴原不等式的解集为：{x|-3<x<1}.
精选ppt
+
1
8
三、例题讲解
例 3 解 不 等 式 ( x 1 ) ( x 2 x 6 ) 0 . 解：原不 (x 等 1 )x ( 式 3 )x ( 2 ) 0
规律方法 (1)关于 x 的不等式 ax2＋bx＋c＞0 对任意实数 x∈R 恒成立的条件除了aΔ＞＜00， 外，还应该考虑二次项系数 a＝0 时 是否成立；同样的关于 x 的不等式 ax2＋bx＋c＜0 对任意实数 x∈R 恒成立的条件除了aΔ＜＜00， 外，应该考虑二次项系数 a＝0 时是否成立．
一元高次不等式和分式不等 式的解法(第二课时)
精选ppt
1
【课标要求】
1．掌握一类简单的可化为一元二次不等式的分式不等式的解 法．
2．会解与一元二次不等式有关的恒成立问题和实际应用题．
【核心扫描】
1．一元二次不等式的应用．(重点) 2．一元二次不等式中的恒成立问题．(难点) 3．与二次函数、二次方程、实际应用题联系密切，而且应用广泛． 4．注意实际问题中变量有意义的范围．
当 a≠0 时Δa＞＜00，. (2)不等式 ax2＋bx＋c＜0 的解集是全体实数(或恒成立)的条 件是当 a＝0 时，b＝0，c＜0. 当 a≠0 时，aΔ＜＜00，.
3．分离参数法——解不等式恒成立问题 对于有的恒成立问题，分离参数是一种行之有效的方 法．这是因为将参数予以分离后，问题往往会转化为函数 问题，从而得以迅速解决．当然这必须以参数容易分离作 为前提．分离参数时，经常要用到下述简单结论： (1)a≥f(x)恒成立⇔a≥f(x)max；(2)a≤f(x)恒成立⇔a≤f(x)min.
2022届高三数学一轮复习训练-不等式的解法和基本不等式
专题一、不等式解法和基本不等式一、一元二次不等式解法1．不等式（x+1）（4﹣x）≤0的解集为（）A．{x|﹣1≤x≤4}B．{x|x≥4或x≤﹣1}C．{x|﹣1＜x＜4} D．{x|x＞4或x＜﹣1}2．不等式（x+1）（x﹣2）＜0的解集为（）A．{x|x＜﹣1或x＞2} B．{x|﹣1＜x＜2} C．{x|x＜﹣2或x＞1} D．{x|﹣2＜x＜1} 3．关于x的一元二次不等式x2﹣5x﹣6＜0的解集为（）A．{x|x＜﹣1或x＞6} B．{x|﹣1＜x＜6} C．{x|x＜﹣2或x＞3} D．{x|﹣2＜x＜3} 4．一元二次不等式2x2+x﹣6≥0的解集为（）A．B．C．D．5．不等式x2﹣x≤0的解集为（）A．[0，1] B．[0，1）C．（0，1] D．（0，1）6．在R上定义运算⊙：a⊙b＝ab+2a+b，则满足x⊙（x﹣2）＜0的实数x的取值范围为（）A．{x|0＜x＜2} B．{x|﹣2＜x＜1}C．{x|x＜﹣2，或x＞1} D．{x|﹣1＜x＜2}二、分式不等式的解法7．关于x的不等式＜0的解集（）A．（﹣1，3）B．（﹣∞，﹣1）∪（3，+∞）C．（﹣3，1）D．（﹣∞，﹣3）∪（1，+∞）8．不等式≥0的解集为（）A．（﹣∞，﹣3]∪[5，+∞）B．[﹣3，5]C．（﹣∞，﹣3）∪[5，+∞）D．（﹣3，5]9．关于x的不等式＜1的解集为（）A．{x|x＞1} B．{x|x＜1}C．{x|x＜0或x＞1} D．{x|x＜0或0＜x＜1}10．不等式的解集为（）A．B．C．D．11．不等式≤2的解集为（）A．[2，+∞）B．[1，+∞）C．（﹣∞，1] D．（﹣∞，1）∪[2，+∞）三、一元二次方程和一元二次不等式关系12．若关于x的不等式ax2﹣2x+b＞0的解集为{x|﹣3＜x＜1}，则实数a的值为（）A．1 B．﹣1 C．3 D．﹣313．关于x的不等式（ax﹣b）（x+3）＜0的解集为（﹣∞，﹣3）∪（1，+∞），则关于x的不等式ax+b＞0的解集为（）A．（﹣∞，﹣1）B．（﹣1，+∞）C．（﹣∞，1）D．（1，+∞）14．已知不等式ax2﹣5x+b＞0的解集为{x|﹣3＜x＜2}，则不等式bx2﹣5x+a＜0的解集是（）A．B．C．{x|x＜﹣或x＞} D．{x|x＜﹣或x＞}四、恒成立问题15．关于x的不等式x2﹣mx+1＞0的解集为R，则实数m的取值范围是（）A．（0，4）B．（﹣2，2）C．[﹣2，2] D．（﹣∞，﹣2）∪（2，+∞）16．当x∈R时，不等式kx2﹣kx+1＞0恒成立，则k的取值范围是（）A．（0，+∞）B．[0，+∞）C．[0，4）D．（0，4）五、基本不等式17．设0＜a＜b，则下列不等式中正确的是（）A．a＜b＜＜B．a＜＜＜bC．a＜＜b＜D．＜a＜＜b18．已知x＞0，则x+的（）A．最大值为2 B．最小值为2 C．最大值为4 D．最小值为419．若x＞1，则函数的最小值为（）A．B．C．4 D．520．当x＞4时，不等式x+≥m恒成立，则m的取值范围是（）A．m≤8B．m＜8 C．m≥8D．m＞821．已知x＞0，y＞0，x+9y＝1，则的最小值为（）A．48 B．12 C．16 D．2022．已知a＞0，b＞0，，则a+2b的最小值为（）A．9 B．5 C．D．23．若正数x，y满足2x+3y＝xy，则3x+2y的最小值为（）A．10 B．15 C．20 D．25高考专题六、不等式与集合间的应用24．（2020•新课标Ⅰ）已知集合A＝{x|x2﹣3x﹣4＜0}，B＝{﹣4，1，3，5}，则A∩B＝（）A．{﹣4，1} B．{1，5} C．{3，5} D．{1，3}25．（2020•新课标Ⅰ）设集合A＝{x|x2﹣4≤0}，B＝{x|2x+a≤0}，且A∩B＝{x|﹣2≤x≤1}，则a＝（）A．﹣4 B．﹣2 C．2 D．426．（2019•全国）设集合P＝{x|x2﹣2＞0}，Q＝{1，2，3，4}，则P∩Q的非空子集的个数为（）A．8 B．7 C．4 D．327．（2019•新课标Ⅲ）已知集合A＝{﹣1，0，1，2}，B＝{x|x2≤1}，则A∩B＝（）A．{﹣1，0，1} B．{0，1} C．{﹣1，1} D．{0，1，2} 28．（2019•新课标Ⅰ）已知集合M＝{x|﹣4＜x＜2}，N＝{x|x2﹣x﹣6＜0}，则M∩N＝（）A．{x|﹣4＜x＜3} B．{x|﹣4＜x＜﹣2} C．{x|﹣2＜x＜2} D．{x|2＜x＜3} 29．（2018•新课标Ⅰ）已知集合A＝{x|x2﹣x﹣2＞0}，则∁R A＝（）A．{x|﹣1＜x＜2} B．{x|﹣1≤x≤2}C．{x|x＜﹣1}∪{x|x＞2} D．{x|x≤﹣1}∪{x|x≥2}30．（2016•新课标Ⅱ）已知集合A＝{1，2，3}，B＝{x|x2＜9}，则A∩B＝（）A．{﹣2，﹣1，0，1，2，3} B．{﹣2，﹣1，0，1，2}C．{1，2，3} D．{1，2}七、不等式（基本不等式近几年出现的几率很低，但是基本内容还是要掌握）31．（2021•乙卷）下列函数中最小值为4的是（）A．y＝x2+2x+4 B．y＝|sin x|+C．y＝2x+22﹣x D．y＝lnx+32．（2020•上海）下列不等式恒成立的是（）A．a2+b2≤2ab B．a2+b2≥﹣2ab C．a+b≥2D．a2+b2≤﹣2ab 33．（选做）（2021•天津）已知a＞0，b＞0，则++b的最小值为．34．（选做）（2021•上海）已知函数f（x）＝3x+（a＞0）的最小值为5，则a＝．35．（2021•上海）不等式＜1的解集为．36．（选做）（2020•天津）已知a＞0，b＞0，且ab＝1，则++的最小值为．37．（2020•上海）不等式＞3的解集为．38．（选做）（2019•上海）若x，y∈R+，且+2y＝3，则的最大值为．。
不等式专题：分式不等式、高次不等式、绝对值不等式的解法-【题型分类归纳】2022-2023学年高一数
不等式专题：分式不等式、高次不等式、绝对值不等式的解法一、分式不等式的解法解分式不等式的实质就是讲分式不等式转化为整式不等式。
设A 、B 均为含x 的多项式（1）00>⇔>AAB B（2）00<⇔<AAB B（3）000≥⎧≥⇔⎨≠⎩AB AB B （4）000≤⎧≤⇔⎨≠⎩AB AB B 【注意】当分式右侧不为0时，可过移项、通分合并的手段将右侧变为0；当分母符号确定时，可利用不等式的形式直接去分母。
二、高次不等式的解法如果将分式不等式转化为正式不等式后，未知数的次数大于2，一般采用“穿针引线法”，步骤如下：1、标准化：通过移项、通分等方法将不等式左侧化为未知数的正式，右侧化为0的形式；2、分解因式：将标准化的不等式左侧化为若干个因式（一次因式或高次因式不可约因式）的乘积，如()()()120--->…n x x x x x x 的形式，其中各因式中未知数的系数为正；3、求根：求如()()()120---=…n x x x x x x 的根，并在数轴上表示出来（按照从小到大的顺序标注）4、穿线：从右上方穿线，经过数轴上表示各根的点，（奇穿偶回：经过偶次根时应从数轴的一侧仍回到这一侧，经过奇数次根时应从数轴的一侧穿过到达数轴的另一侧）5、得解集：若不等式“>0”，则找“线”在数轴上方的区间；若不等式“<0”，则找“线”在数轴下方的区间三、含绝对值不等式1、绝对值的代数意义正数的绝对值是它的本身，负数的绝对值是它的相反数，零的绝对值仍是零．即,0,||0,0,,0.a a a a a a >⎧⎪==⎨⎪-<⎩2、绝对值的几何意义一个数的绝对值，是数轴上表示它的点到原点的距离．3、两个数的差的绝对值的几何意义b a -表示在数轴上，数a 和数b 之间的距离．4、绝对值不等式：（1）(0)<>x a a 的解集是{|}-<<x a x a ，如图1．（2）(0)>>x a a 的解集是{|}<->或x x a x a ，如图2．（3）(0)+<>⇔-<+<ax b c c c ax b c ．（4）(0)+>>⇔+>ax b c c ax b c 或ax b c+<-题型一解分式不等式【例1】不等式02xx ≤-的解集为（）A ．[0,2]B ．(0,2)C ．(,0)[2,)-∞+∞ D ．[0,2)【答案】D【解析】原不等式可化为()2020⎧-≤⎨-≠⎩x x x ，解得02≤<x ．故选：D ．【变式1-1】不等式2112x x +≥-的解集为（）A ．[3,2]-B ．[3,2)-C ．(,3][2,)-∞-⋃+∞D ．(,3](2,)-∞-+∞U 【答案】D【解析】∵21310022++-⇒--x x x x ，解得：2>x 或3-x ，∴不等式的解集为(,3](2,)-∞-+∞U ，故选：D.【变式1-2】解下列分式不等式：（1）123x x +-≤1；（2）211x x+-<0.【答案】（1）{3|2x x <或4x ≥}；（2）{1|2x x <-或1x >}.【解析】（1）∵123x x +-≤1，∴123x x +-－1≤0，∴423x x -+-≤0，即432x x --≥0.此不等式等价于(x －4)32x ⎛⎫- ⎪⎝⎭≥0且x －32≠0，解得x <32或x ≥4.∴原不等式的解集为{3|2x x <或4x ≥}（2）由211x x +-<0得121x x +->0，此不等式等价于12x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭(x －1)>0，解得x <－12或x >1，∴原不等式的解集为1{|2x x <-或1x >}.【变式1-3】解不等式：2121332x x x x ++≥--【答案】21332⎧⎫><≠-⎨⎬⎩⎭或且x x x x 【解析】通分整理，原不等式化为：2(12)0(3)(32)+>--x x x ，它等价于：(3)(32)0210-->⎧⎨+≠⎩x x x ，得到：3>x 或23<x 且12≠-x 【变式1-4】不等式()2131x x +≥-的解集是（）A ．1,23⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．1,23⎡⎤-⎢⎥⎣⎦C ．(]1,11,23⎡⎫⎪⎢⎣⎭U D ．(]1,11,23⎡⎫-⎪⎢⎣⎭【答案】C 【解析】因为()2131x x +≥-，所以213(1)x x +≥-且10x -≠，所以23720x x -+≤且10x -≠，所以123x ≤≤且1x ≠，所以不等式的解集为(]1,11,23⎡⎫⋃⎪⎢⎣⎭，故选：C题型二解高次不等式【例2】不等式()()()21350x x x ++->的解集为___________.【答案】1(,3),52⎛⎫-∞-⋃- ⎪⎝⎭【解析】不等式()()()()()()2135021350++->⇔++-<x x x x x x ，由穿针引线法画出图线，可得不等式的解集为1(,3),52⎛⎫-∞-⋃- ⎪⎝⎭.故答案为：1(,3),52⎛⎫-∞-- ⎪⎝⎭⋃.【变式2-1】解不等式（x +2）（x -1）9（x +1）12（x -3）≥0.【答案】[][)-213⋃+∞,,.【解析】根据不等式标根所以原不等式的解为[][)-213⋃+∞，，.故答案为：[][)-213⋃+∞,,.【变式2-2】不等式()()1203x x x +-≥-的解集为（）A ．{1x x ≤-或}23x ≤<B ．{1x x ≤-或}23x ≤≤C ．{3x x ≥或}12x -≤≤D ．{3x x >或}12x -≤≤【答案】A【解析】不等式(1)(2)03x x x +-≥-，化为：(1)(2)0330x x x x +-⎧≤⎪-⎨⎪-≠⎩，由穿根法可知：不等式的解集为：{1x x ≤-或}23x ≤<.故选：A.【变式2-3】解下列分式不等式：（1）23221x x x -+≥-;（2）22520(32)(11)x x x x -+≥-+;（3）2256034x x x x ++≤--;（4）222232x x x x x +-<+-．【答案】（1）[4,)+∞；（2）12(,11)[,)[2,)23-∞-+∞ ；（3）4[3,2](1,)3--- ；（4）(1,2)(3,)-⋃+∞．【解析】（1）23221x x x -+≥-，所以232201x x x -+-≥-，所以()2322101x x x x -+--≥-，即()()24154011x x x x x x ---+=≥--，解得4x ≥，故原不等式的解集为[4,)+∞；（2）22520(32)(11)x x x x -+≥-+，所以()()2120(32)(11)x x x x --≥-+等价于()()()()()()2123211032110x x x x x x ⎧---+≥⎪⎨-+≠⎪⎩，解得2x ≥或1223x ≤<或11x <-，故原不等式的解集为12(,11)[,[2,)23-∞-+∞ （3）2256034x x x x ++≤--，所以()()()()230341x x x x ++≤-+，等价于()()()()()()2334103410x x x x x x ⎧++-+≤⎪⎨-+≠⎪⎩，解得32x --≤≤或413x -<<，故原不等式的解集为4[3,2](1,)3--- ；（4）222232x x x x x +-<+-，所以2222032x x x x x +--<+-，即()2222232032x x x x x x x +--+-<+-，即()()()()201231x x x x x -+++>-,因为210x x ++>恒成立，所以原不等式等价于()()2031x x x ->-+，即()()()2310x x x --+>，解得12x -<<或3x >，故原不等式的解集为(1,2)(3,)-⋃+∞【变式2-4】关于x 的不等式0ax b +>的解集为{|1}x x >，则关于x 的不等式2056ax bx x +>--的解集为（）A ．{|11x x -<<或6}x >B ．{|1x x <-或16}x <<C ．{|1x x <-或23}x <<D ．{|12x x -<<或3}x >【答案】A【解析】因为关于x 的不等式0ax b +>的解集为{|1}x x >00a a b >⎧∴⎨+=⎩，则原式化为：()()()()()()()10061106161-->⇔>⇔-+->-+-+ax a x x x x x x x x 所以不等式的解为11x -<<或6x >.故选：A.题型三解绝对值不等式【例3】解不等式：（1）3<x ；（2）3>x （3）2≤x 【答案】（1）{|33}-<<x x （2）{|33}<->或x x x （3）{|22}-≤≤x x 【变式3-1】解不等式：（1）103-<x ；（2）252->x ；（3）325-≤x ；【答案】（1）{|713}<<x x ；（2）73{|}22><或x x x ；（3）{|14}-≤<x x 【解析】（1）由题意，3103-<-<x ，解得713<<x ，所以原不等式的解集为{|713}<<x x ．（2）由题意，252->x 或252-<-x ，解得72>x 或32<x ，所以原不等式的解集为73{|}22><或x x x ．（3）由题意，5325-<-≤x ，解得14-≤<x ，所以原不等式的解集为{|14}-≤<x x ．【变式3-2】不等式1123x <-≤的解集是___________【答案】[)(]1,01,2- 【解析】不等式可化为1213x <-≤，∴1213x <-≤，或3211x --<-≤；解之得：12x <≤或10x -≤<，即不等式1123x <-≤的解集是[)(]1,01,2- .故答案为：[)(]1,01,2- .【变式3-3】不等式111x x +<-的解集为（）A ．{}{}011x x x x <<⋃>B ．{}01x x <<C ．{}10x x -<<D ．{}0x x <【答案】D 【解析】不等式()()221111111101+<⇔+<-≠⇔+<-≠⇔<-x x x x x x x x x .故选：D.【变式3-4】解不等式：4321->+x x 【答案】1{|2}3<>或x x x 【解析】方法一：（零点分段法）（1）当34≤x 时，原不等式变为：(43)21-->+x x ，解得13<x ，所以13<x ；（2）当34>x 时，原不等式变为：4321->+x x ，解得2>x ，所以2>x ；综上所述，原不等式的解集为1{|2}3<>或x x x ．方法二：43214321->+⇔->+x x x x 或43(21)-<-+x x ，解得13<x 或2>x ，所以原不等式的解集为1{|2}3<>或x x x ．【变式3-5】不等式125-+-<x x 的解集为【答案】(1,4)-【解析】当1x ≤时，1251x x x -+-<⇒>-，故11x -<≤；当12x <<时，12515x x -+-<⇒<恒成立，故12x <<；当2x ≥时，1254x x x -+-<⇒<，故24x ≤<综上：14x -<<故不等式的解集为：(1,4)-。
高中数学不等式专题-练习题(总结全面深入)
高中不等式专题一、不等式的主要性质：(1)对称性： a b b a <⇔> (2)传递性：c a c b b a >⇒>>,(3)加法法则：c b c a b a +>+⇒>； d b c a d c b a +>+⇒>>, (4)乘法法则：bc ac c b a >⇒>>0,； bc ac c b a <⇒<>0,bd ac d c b a >⇒>>>>0,0(5)倒数法则：b a ab b a 110,<⇒>>(6)乘方法则：)1*(0>∈>⇒>>n N n b a b a nn 且 (7)开方法则：)1*(0>∈>⇒>>n N n b a b a nn 且练习：（1）对于实数中，给出下列命题：①； ②；③； ④；⑤； ⑥；⑦； ⑧，则。
其中正确的命题是______ （2）已知，，则的取值范围是______（3）已知，且则的取值范围是______c b a ,,22,bc ac b a >>则若b a bc ac >>则若,2222,0b ab a b a >><<则若b a b a 11,0<<<则若b a a b b a ><<则若,0b a b a ><<则若,0b c b a c a b a c ->->>>则若,011,a b a b >>若0,0a b ><11x y -≤+≤13x y ≤-≤3x y-c b a >>,0=++c b a ac二．不等式大小比较的常用方法：1．作差：作差后通过分解因式、配方等手段判断差的符号得出结果； 2．作商（常用于分数指数幂的代数式）； 3．分析法； 4．平方法；5．分子（或分母）有理化； 6．利用函数的单调性； 7．寻找中间量或放缩法 ；8．图象法。
分式不等式与一元高次不等式的解法训练
【知识点梳理】一、一元高次不等式方法：先因式分解,再使用穿根法。
注意：因式分解后,整理成每个因式中未知数的系数为正.使用方法：①在数轴上标出化简后各因式的根，使等号成立的根,标为实点,等号不成立的根要标虚点.②自右向左自上而下穿线,遇偶次重根不穿透,遇奇次重根要穿透（叫奇穿偶不穿）。
③数轴上方曲线对应区域使“>”成立, 下方曲线对应区域使“<”成立.二、分式不等式方法1：利用符号法则转化为一元一次不等式组,进而进行比较.方法2：在分母不为0的前提下，两边同乘以分母的平方。
通过例1，得出解分式不等式的基本思路：等价转化为整式不等式（组）：（1)()()()()00f xf xg xg x>⇔⋅>（2）()()()()()f xg xf xg x g x⋅≥⎧⎪≥⇔⎨≠⎪⎩解题方法:数轴标根法。
解题步骤:（1）首项系数化为“正”;(2）移项通分，不等号右侧化为“0”；（3）因式分解,化为几个一次因式积的形式；（4)数轴标根。
归纳：分式不等式主要是转化为()()()()()()()02121<>------或nmbxbxbxaxaxax,再用数轴标根法求解。
【典型例题】例1、解不等式（1)2x3—x2-15x＞0；(2)（x+4)(x+5）2（2-x）4＜0．例2、解下列不等式：⑴ (x+1）(x—1)(x-2）（x—3)>0；⑵ (x+2)（x2+x+1）>0；⑶（x+2)2(x+1）<0; （4)（x+2)2（x+1）≥0；（5）(x2-1)（x2—5x-6）> 0例3、解下列不等式：⑴(x2—1)(x—1）(x2—x-2）〈0；⑵(x+1）2（x-2）2（x—1)≥0；⑶（x—1)2（x2—x-2）≤0；例4、解不等式：2232712x xx x-+≤-+-例5、解不等式：22911721x xx x-+≥-+例6、解不等式：2256032x x x x +-≥-+例7、解不等式:2121332x x x x ++>--例8、解不等式:22331xx x ->++（不能十字相乘分解因式；无法分解因式）例9、解下列不等式。
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【知识点梳理】
一、一元高次不等式
方法:先因式分解,再使用穿根法.
注意:因式分解后,整理成每个因式中未知数的系数为正.
使用方法:
①在数轴上标出化简后各因式的根,使等号成立的根,标为实点,等号不成立的根要标虚点.
②自右向左自上而下穿线,遇偶次重根不穿透,遇奇次重根要穿透(叫奇穿偶不穿).
③数轴上方曲线对应区域使“>”成立, 下方曲线对应区域使“<”成立.
二、分式不等式
方法1：利用符号法则转化为一元一次不等式组，进而进行比较。
方法2：在分母不为0的前提下，两边同乘以分母的平方。
通过例1，得出解分式不等式的基本思路：等价转化为整式不等式（组）：
（1）
()
()
()()
00
f x
f x
g x
g x
>⇔⋅>（2）
()
()
()()
()
f x
g x
f x
g x g x
⋅≥
⎧⎪
≥⇔⎨
≠
⎪⎩
解题方法：数轴标根法。
解题步骤：（1）首项系数化为“正”；（2）移项通分，不等号右侧化为“0”；（3）因式分解，化为几个一次因式积的形式；（4）数轴标根。
归纳：分式不等式主要是转化为()()()
()()()
()0
2
1
2
1<
>
-
-
-
-
-
-
或
n
m
b
x
b
x
b
x
a
x
a
x
a
x
Λ
Λ
，再用数轴标根法
求解。
【典型例题】
例1、解不等式
(1)2x3-x2-15x＞0；
(2)(x+4)(x+5)2(2-x)4＜0．
例2、解下列不等式：
⑴ (x+1)(x-1)(x-2)(x-3)>0；⑵ (x+2)(x2+x+1)>0；
⑶ (x+2)2(x+1)<0；（4）(x+2)2(x+1)≥0；
（5）(x2-1)(x2-5x-6)> 0
例3、解下列不等式：
⑴(x2-1)(x-1)(x2-x-2)<0；⑵(x+1)2(x-2)2(x-1)≥0；⑶(x-1)2(x2-x-2)≤0；
例4、解不等式：
2
2
32
712
x x
x x
-+
≤-+-
例5、解不等式：
2
2
911
7
21
x x
x x
-+
≥
-+
例6、解不等式：2256
032
x x x x +-≥-+
例7、解不等式：2121
332
x x x x ++>
--
例8、解不等式：
2
2331
x
x x ->++（不能十字相乘分解因式；无法分解因式）
例9、解下列不等式。
⑴x+2+101-x >7+101-x ； ⑵2
328+--x x x
≥1；
⑶2)4()2)(23(---x x x <2
)
4()
2)(22(--+x x x ； ⑷65432)5()4()3()2()1)(1(-----+x x x x x x ≤0。
【巩固练习】
1、解下列不等式：
⑴(x+1)2
(x-1)(x-4)>0；
⑵(x+2)(x+1)2(x-1)3
(x-3)>0 ；
⑶(x+2)(x+1)2(x-1)3
(3-x))≥0
⑷(x 2-1)(x-1)(x 2
-x-2)≤0；
⑸x+1≤1
4
+x
⑹8
6141432
2+-+-x x x x ≥1； ⑺
312-+x x >2
31
2-+x x ；
⑻)
4)(3()2()1(2--+-x x x x ≤0；
2：解不等式：
1、
3
2
x
x
-
≥
-
2、
21
1
3
x
x
-
>
+
3、
2
2
32
23
x x
x x
-+
≤
--
4、
221
2
x x
x
--
<
-
5、()()
()
32
2
16
3
x x x
x
-++
≤
+
6、
()
2
3
9
x x
x
-
≤
-。