高中数学人教a版选修4-43 简单曲线的极坐标方程含解析

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2014年人教A版选修4-4课件 3.简单的极坐标方程

x
|OP|=|OA|cos∠POA. ∴圆的极坐标方程为
r=2acosq.
2. 直线的极坐标方程问题2. 在直角坐标系中, 一条直线的方程是 y=x, 你能把它化成极坐标方程吗? 请你画出图形, 检验你所得的极坐标方程. 由直角坐标与极坐标的互化 x=rcosq, y=rsinq, 得 rsinq=rcosq, 得 tanq =1 于是得 q = . 4 问题: 以 O 为极点, Ox 为极轴, 直线 l 的极坐标方程是 q = 4 吗?
例 2. 求过点 A(a, 0) (a>0), 且垂直于极轴的直线 l 的极坐标方程. 解: 任取 l 上不同于点 A 的一点 M(r, q ).
l M
A x
在 Rt△MOA中, ∠MOA=q, |OM|=r, |OA|=a,
则有 a=rcosq. 检验点 A(a, 0) 满足方程, ∴直线 l 的方程为
r q
O
a
rcosq =a.
练习(补充). 求过点 A(a, ) (a>0), 且平行于极 2 轴的直线 l 的极坐标方程.
解: 任取 l 上不同于点 A 的一点 M(r, q ).
A
在 Rt△MOA中, ∠AMO=q, |OM|=r, |OA|=a,
检验点 A(a, ) 满足方程, 2 ∴直线 l 的方程为 rcosq =a. 则有 a=r sinq.
一二三四
平面直角坐标系极坐标系简单曲线的极坐标方程柱坐标系与球坐标系简介
第一课时第二课时
第一课时圆、直线的极坐标方程
返回目录
1. 极坐标方程中的变量是什么?
2. 直线的极坐标方程和圆的极坐标方程是怎样建立的?

数学人教A版选修4-4优化练习第一讲三简单曲线的极坐标方程 Word版含解析

[课时作业][组基础巩固]．极坐标方程θ＝(ρ≥)表示的曲线是( )．两条相交直线．余弦曲线．一条射线．两条射线解析：∵θ＝，∴θ＝±＋π(∈)．又∵ρ≥，∴θ＝表示两条射线．答案：．极坐标方程分别为ρ＝θ和ρ＝θ的两个圆的圆心距是( )．．解析：将极坐标方程化为直角坐标方程为：＋＝，＋＝，所以两圆的圆心坐标为，，故两圆的圆心距为.答案：．在极坐标系中，点()到直线θ＝(ρ∈)的距离是( )．解析：因为直线θ＝(ρ∈)的直角坐标方程为＝，即－＝，所以点()到直线－＝的距离为.答案：．直线θ＝(ρ∈)与圆ρ＝θ的一个公共点的极坐标为( )解析：由(\\(θ＝(π)，,ρ＝θ))得故选.答案：．在极坐标系中，过点(，π)作圆ρ＝－θ的切线，则切线长为( )．．．．解析：如图，切线长为＝.答案：．圆ρ＝( θ－θ)的圆心的极坐标是．解析：将极坐标方程化为直角坐标方程，得(－)＋(＋)＝，故圆心坐标为(，－)，其极坐标为.答案：．已知圆的极坐标方程为ρ＝θ，圆心为，点的极坐标为，则＝.解析：由圆的极坐标方程ρ＝θ，得直角坐标方程为：(－)＋＝，由极坐标得直角坐标()，又()，所以＝＝.答案：．直线ρθ＝与圆ρ＝θ相交的弦长为．解析：由公式＝ρθ，＝ρθ，得直线ρθ＝的直角坐标方程为＝，圆ρ＝θ⇒ρ＝ρθ的直角坐标方程为＋－＝⇒(－)＋＝，由于圆心()到直线的距离为－＝，所以弦长为＝.答案：．进行直角坐标方程与极坐标方程的互化：()＝；()＋－－＝.解析：()将＝ρθ，＝ρθ代入＝，得(ρθ)＝ρθ.化简，得ρθ＝θ.()将＝ρθ，＝ρθ代入＋－－＝，得(ρθ)＋(ρθ)－ρθ－＝，化简，得ρ－ρθ－＝.．在极坐标系中，直线的方程是ρ＝，求点到直线的距离．解析：点的直角坐标为(，－)．直线：ρ＝可化为ρθ·－ρθ·＝，即直线的直角坐标方程为－＋＝.∴点(，－)到直线－＋＝的距离为＝＝＋.故点到直线ρ＝的距离为＋.[组能力提升]．极坐标方程ρ＝表示的曲线是( )．椭圆．圆．双曲线．抛物线解析：∵＝(－θ)，。

人教版A版高中数学选修4-4：简单曲线的极坐标方程

归纳:求曲线的极坐标方程步骤 1、根据题意画出草图；
2、设点M(, )是曲线上任意一点；
3、连接MO；
4、根据几何条件建立关于 , 的方程，并化简； 5、检验并确认所得的方程即为所求(可以省略)。
例1.已知圆O的半径为a，建立怎样的极坐标系，可以使圆的极坐标方程更简单？
1、求以下常见圆的极坐标方程，并作图：
满足的条件，另一方面，可以验证，坐标适合等式(1)的点都在这个圆上。
一、定义：如果曲线Ｃ上的点与方程f(,)=0有如下关系：
(１)曲线Ｃ上任一点的坐标(所有坐标中至少有一个)符合方程f(,)=0 ；
(２)方程f(,)=0的所有解为坐标的点都在曲线Ｃ上。
则方程f(,)=0叫做曲线Ｃ的极坐标方程．
是A，那么OA＝2a,设M (, )为圆上除点O，A
以外的任意一点，那么OM AM。在RtAMO
中OM OA cosMOA即＝2a cos...........(1) 可以验证，点O(0, ), A(2a,0)的坐标满足等式(1)
2
所以，等式(1)就是圆上任意一点的极坐标(, )
4
；；；
பைடு நூலகம்；。
例 2．方程互化
（1）化直角坐标方程 x 2 y 2 8 y 0 为极坐标方程
6 cos( ) （ 2）化极坐标方程
为直角坐标方程 [来源:]
3
练习：
1、把下列极坐标方程化为直角坐标方程，并作图：（1） 2 ；（2） 4sin .
2、求下列圆的圆心的极坐标：
（1） 5cos ；（2） 2 sin( ) .
4
小结：知识、思想方法、数学核心素养

数学人教A版选修4-4学案第一讲三简单曲线的极坐标方程含解析精品

庖丁巧解牛知识·巧学一、求极坐标方程的步骤1.在直角坐标系中，曲线可以用含有变量x 、y 的方程表示；在极坐标系中，曲线可以用含有ρ、θ这两个变量的方程f(ρ,θ)=0来表示，这种方程叫做曲线的极坐标方程.2.求曲线的极坐标方程的方法和步骤(1)建立适当的极坐标系，设P(ρ,θ)是曲线上任意一点；(2)由曲线上的点所适合的条件，列出曲线上任意一点的极径ρ和极角θ之间的关系式；(3)将列出的关系式进行整理，化简，得出曲线上的极坐标方程；(4)证明所得方程就是曲线的极坐标方程，若方程的推导过程正确，化简过程都是同解变形，这一证明可以省略.二、极坐标系中的平面曲线的极坐标方程为f(ρ,θ)=0设极坐标方程f(ρ,θ)=0及坐标平面上的曲线C ，如果以这个方程的每一个解为坐标的点都是曲线C 上的点；曲线C 上的点的坐标中至少有一个能满足这个方程，那么，方程f(ρ,θ)=0称为曲线C 的极坐标方程，曲线C 称为方程f(ρ,θ)=0的曲线.深化升华在找平面曲线的极坐标方程时，要找极径ρ和极角θ之间的关系式,这常用到解三角形（正弦定理,余弦定理）的知识，如利用三角形的面积相等来建立ρ、θ之间的关系.问题·探究问题1 极径是距离，当然是正的，可为何又有“负极径”的概念呢？“负极径”中的“负”的含义是什么？探究:根据极径定义，极径是距离，当然是正的.极径是负的，等于极角增加π.负极径的负与数学中历来的习惯相同，用来表示“反向”，比较来看，负极径比正极径多了一个操作，将射线OP“反向延长”.而反向延长也可以说成旋转π，因此，所谓“负极径”实质是管方向的.这与数学中通常的习惯一致，用“负”表示“反向”.如直角坐标系中点的坐标是负的；两个向量对应的数一正一负，方向也表示是相反的.一般情况下，如果不作特殊说明，极径都指的是正的.问题2 为何不能把对直角坐标系内点和曲线的认识套用到极坐标系内，用极坐标与直角坐标来表示点和曲线时，二者究竟有哪些明显的区别呢？探究:（1）在平面直角坐标系内，点与有序实数对，即坐标(x,y)是一一对应的，可是在极坐标系内，虽然一个有序实数对(ρ,θ)只能与一个点P 对应，但一个点P 却可以与无数多个有序实数对(ρ,θ)对应.例如(ρ,2nπ+θ)与(-ρ,(2n+1)π+θ)（n 为整数）表示的是同一个点，所以点与有序实数对极坐标(ρ,θ)不是一一对应的.（2）在直角坐标系内，一条曲线如果有方程，那么曲线和它的方程是一一对应的（解集完全相同且互相可以推导的等价方程，只看作一个方程）.可是在极坐标系内，虽然是一个方程只能与一条曲线对应，但一条曲线却可以与多个方程对应.例如方程ρ1=1,ρ2=1,ρ3=1等表示的是同一个圆，所以曲线和它的方程不是一一对应的.（3）在直角坐标系内，曲线上每一点的坐标一定适合它的方程，可是在极坐标系内，曲线上一点的所有坐标不一定都适合方程.例如给定曲线ρ=θ，设点P 的极坐标为(4π,4π)，那么点P 适合方程ρ=θ，从而是曲线上的一个点，但点P 的另一个极坐标(4π,49π)就不适合方程ρ=θ了.所以在极坐标系内，确定某一个点P 是否在某一曲线C 上，当且仅当点P 的极坐标中是否有一对坐标ρ=θ适合曲线C 的方程.典题·热题例1求：(1)过A(2,4π)且平行于极轴的直线；(2)过A(3,3π)且和极轴成43π的直线. 思路分析：(1)在直线上任意取一点M ，根据已知条件想办法找到变量ρ、θ之间的关系.可以通过图中的直角三角形来解决，因为已知OA 的长度，还知∠AOx=4π，还可以得到MH 的长度，从而在Rt △OMH 中找到变量ρ、θ之间的关系.(2)在三角形中利用正弦定理来找到变量ρ、θ之间的关系.解：(1)如图1-3-1所示,在直线l 上任意取点M(ρ,θ)，∵A(2,4π)，图1-3-1∴|MH|=2·sin4π=2.在Rt △OMH 中,|MH|=|OM|sinθ,即ρsinθ=2, ∴过A(2,4π)平行于极轴的直线方程为ρsinθ=2. (2)如图1-3-2所示,A(3,3π)，|OA|=3,∠AOB=3π，由已知∠MBx=43π，图1-3-2∴∠OAB=43π-3π=125π. ∴∠OAM=π-127125ππ=. 又∠OMA=∠MBx-θ=43π-θ.在△MOA 中，根据正弦定理得127sin )43sin(3πρθπ=-， ∵sin 127π=sin(4π+3π)=462+，将sin(43π-θ)展开，化简上面的方程，可得ρ(sinθ+cosθ)=23233+. ∴过A(3,3π)且和极轴成43π的直线为ρ(sinθ+cosθ)=23233+.深化升华可以看到，在求曲线方程时，要找出曲线上的点满足的几何条件，将它用坐标表示，再通过代数变换进行化简.例2进行直角坐标方程与极坐标方程的互化.(1)y 2=4x;(2)y 2+x 2-2x-1=0;(3)θ=3π; (4)ρcos 22θ=1;(5)ρ2cos(2θ)=4;(6)ρ=θcos 21-. 思路分析：极坐标系和直角坐标系都是用一对有序实数来确定平面上一点的位置的方法.在解这类题时，除正确使用互化公式外，还要注意与恒等变换等知识相结合.解：(1)将x=ρcosθ,y=ρsinθ代入y 2=4x ，得(ρsinθ)2=4ρcosθ.化简得ρsin 2θ=4cosθ.(2)将x=ρcosθ,y=ρsinθ代入y 2+x 2-2x-1=0,得(ρsinθ)2+(ρcosθ)2-2ρcosθ-1=0.化简得ρ2-2ρcosθ-1=0.(3)∵tanθ=x y ，∴tan 3π=xy =3.化简得y=3x(x≥0). (4)∵ρcos 22θ=1, ∴ρ·2cos 1θ+=1,即ρ+ρcosθ=2. ∴22y x ++x=2,化简得y 2=-4(x-1).(5)∵ρ2cos(2θ)=4,∴ρ2cos 2θ-ρ2sin 2θ=4,即x 2-y 2=4.(6)∵ρ=θcos 21-,∴2ρ-ρcosθ=1. ∴222y x +=1,化简得3x 2+4y 2-2x-1=0.方法归纳在进行两种坐标间的互化时，要注意:(1)互化公式是有三个前提条件的，极点与直角坐标系的原点重合；极轴与直角坐标系的横轴的正半轴重合；两种坐标系的单位长度相同.(2)由直角坐标求极坐标时，理论上不是唯一的，但这里约定只在0≤θ<2π范围内求值.(3)由直角坐标方程化为极坐标方程，最后要化简.(4)由极坐标方程化为直角坐标方程时要注意变形的等价性，通常总要用ρ去乘方程的两端，应该检查极点是否在曲线上，若在,是等价变形，否则不是等价变形.例3判断点(35,21π-)是否在曲线ρ=cos 2θ上. 思路分析：在极坐标系内，判断点是否在直线上与在直角坐标系内是不同的,不能只是简单地将点的坐标代入，当点的坐标代入不能满足方程，还要找到这个点的其他坐标是否符合曲线方程.解：∵点(35,21π-)和点(32,21π)是同一点，而cos 232π=cos 3π=21, ∴点(32,21π)在曲线ρ=cos 2θ上，即点(35,21π-)在曲线ρ=cos 2θ上.误区警示本题容易犯的错误是:当把点的坐标代入，不满足方程就说点不在曲线上，这是不对的.在这个问题上，两种坐标系是不相同的.在极坐标系中，尽管点(35,21π-)并不满足ρ=cos 2θ，但是据此并不能肯定这个点不在曲线上. 例4从极点O 作圆C ：ρ=8cosθ的弦ON ，求ON 的中点M 的轨迹方程.思路分析：在直角坐标系中，求曲线的轨迹方程的方法有直接法、定义法、转移法，在极坐标系中，求曲线的极坐标方程这几种方法仍然是适用的.图1-3-3解：如图1-3-3，圆C 的圆心C(4,0)，半径r=|OC|=4，连结CM.∵M 为弦ON 的中点，∴CM ⊥ON ，故M 在以OC 为直径的圆上.∴动点M 的轨迹方程是ρ=4cosθ.方法归纳这种解法是定义法，下面我们用转移法来解决这个问题：设M 点的坐标是(ρ,θ),N(ρ1,θ1).N 点在圆ρ=8cosθ上，∴ρ1=8cosθ1(*).∵M 是ON 的中点，∴⎩⎨⎧==.,211θθρρ它代入(*)式得2ρ=8cosθ.故M 的轨迹方程是ρ=4cosθ.在极坐标系中，曲线可以用含有ρ,θ这两个变数的方程f(ρ,θ)来表示，这种方程叫做曲线的极坐标方程.常见的曲线方程如下：①过极点，极角为α的直线方程：θ=α(ρ∈R ).②与极轴平行并且与极轴距离等于a 的直线方程：ρsinθ=±a(a>0).③与极轴所在直线垂直且与极点距离为a 的直线方程：ρcosθ=±a(a>0).④圆的极坐标方程：圆心为(ρ0,θ0)，半径为r ：ρ2-2ρ0-ρcos(θ-θ0)+ρ02-r 2=0；圆心为(ρ0,0)，半径为r ：ρ2-2ρ0ρcosθ+ρ02-r 2=0；圆心为(r,0)，半径为r ：ρ=2rcosθ(r>0)；圆心为(-r,0)，半径为r ：ρ=-2rcosθ(r>0)；圆心为(r,2π)，半径为r ：ρ=2rsinθ(r>0)；圆心为(r,2π-)，半径为r ：ρ=-2rsinθ(r>0)；圆心为(0,θ),半径为r ：ρ=r(r>0).例5极坐标ρ=cos(4π-θ)表示的曲线是( ) A.双曲线 B.椭圆 C.抛物线 D.圆思路解析：原极坐标方程化为ρ=21(cosθ+sinθ)；2ρ2=ρcosθ+ρsinθ，∴普通方程为2(x 2+y 2)=x+y ，表示圆.答案：D拓展延伸方法一：将方程化为直角坐标方程，可以判断曲线形状，由于ρ不恒等于0，方程两边同乘ρ，得ρ2=ρcos(4π-θ)=ρ(22cosθ+22sinθ)=22(ρcosθ+ρsinθ). 这样，在以极点为原点，以极轴为x 轴正半轴的直角坐标系中，ρcosθ=x,ρsinθ=y,ρ2=x 2+y 2,因此有x 2+y 2=22(x+y).∴方程ρ=cos(4π-θ)表示圆. 方法二：极坐标方程ρ=2acosθ表示圆，而4π-θ与极轴的旋转有关，它只影响圆心的位置，而不改变曲线的形状，故方程ρ=cos(4π-θ)表示圆. 例6设M 是定圆O 内一定点，任作半径OA ，连结MA ，自M 作MP ⊥MA 交OA 于P ，求P 点的轨迹方程.图1-3-4思路分析：如图1-3-4,求P 点的轨迹方程关键是解△APM ，利用余弦定理，可以建立P(ρ,θ)点中ρ、θ之间的关系.解：以O 为极点，射线OM 为极轴，建立极坐标系.如图1-3-4.设定圆O 的半径为r ，OM=a ，P(ρ,θ)是轨迹上任意一点.∵MP ⊥MA ，∴|MA|2+|MP|2=|PA|2.由余弦定理,可知|MA|2=a 2+r 2-2arcosθ，|MP|2=a 2+ρ2-2aρcosθ.而|PA|=r-ρ，由此可得a 2+r 2-2arcosθ+a 2+ρ2-2aρcosθ=(r -ρ)2.整理化简，得ρ=ra r a a --θθcos )cos (. 深化升华若三角形为直角三角形，可利用勾股定理及其他边角关系建立动点的极坐标方程；若三角形为一般三角形，可利用正、余弦定理建立动点的极坐标方程.。

高中数学第一讲坐标系1.3简单曲线的极坐标方程课件新人教A版选修4-4

5.曲线的极坐标方程与直角坐标方程的互化
= cos,
(1)将互化公式
代入直角坐标方程后化简整理即可得
= sin
到相应的极坐标方程;
2 = 2 + 2 ,

tan = ( ≠ 0),

(2)利用公式
将极坐标方程中涉及 ρ,θ 的式子
cos = ,
sin =
全部换成关于 x,y 的式子,化简整理后即可得到相应的直角坐标方
果不加特殊说明,就认为ρ≥0.
探究一
探究二
探究三
思维辨析
变式训练3 (1)极坐标方程ρ=4asin θ化为直角坐标方程
为
;
(2)极坐标方程ρ=9(cos θ+sin θ)化为直角坐标方程
为
.
(3)直角坐标方程x+y-2=0化为极坐标方程
是
;
(4)直角坐标方程2x2+2y2-3x+7=0化为极坐标方程
变式训练1
r=1的圆M的极坐标方程是
.
解析：设 P(ρ,θ)是圆上任意一点,连接 OP,PM.在△OMP 中,由余
弦定理可得 16+ρ2-2×4×ρcos -
π
6
=1,整理得 ρ2-8ρcos -
故圆 M 的极坐标方程是 ρ2-8ρcos -
答案：ρ2-8ρcos -
π
6
+15=0
π
6
+15=0.
π
6
+15=0.
探究一
探究二
探究三
思维辨析
探究二求直线的极坐标方程
π
【例2】求过点A(1,0)且与极轴所成的角为 4的直线的极坐标方

高中新课程数学(新课标人教A版)选修4-4《1.3简单曲线的极坐标方程》PPT教学课件

1.3简单曲线的极坐标方程
2020/12/10
1
曲线的极坐标方程
一、定义：如果曲线Ｃ上的点与方程 f(,)=0有如下关系
(１)曲线Ｃ上任一点的坐标(所有坐标中至少有一个)符合方程f(,)=0 ；
(２)方程f(,)=0的所有解为坐标的点都在曲线Ｃ上。
则曲线Ｃ的方程是f(,)=0 。
2020/12/10
A.1c0o s 6
C.1c0o s 6
B.1c0o s 6
D .1c0o s 6
2020/12/10
8
PPT精品课件
谢谢观看
Thank You For Watching
9
2
探究
如图，半径为a的圆的圆心坐标为 (a,0)(a>0)，你能用一个等式表示圆上任意一点的极坐标(,)满足的条件？
O
C(a,0)
x
2020/12/10
3
例1、已知圆O的半径为r，建立怎样的坐标系，可以使圆的极坐标方程更简单？
2020/12/10
4
题组练习1 求下列圆的极坐标方程
(１)中心在极点，半径为2；
＝2acos
2
(３)中心在(a,/2)，半径为a；
＝2asin Βιβλιοθήκη 22020/12/10
6
练习3
以极坐标系中的点(1,1)为圆心，1为
半径的圆的方程是 C
A.2cos4 B.2sin4
C.2cos1 D.2sin1
2020/12/10
7
练习4
曲线 53co s5sin 关于极轴对
称的曲线是： C
＝2
(２)中心在Ｃ(a,0)，半径为a；
＝2acos

人教版高中数学选修4-4练习第一讲三简单曲线的极坐标方程 Word版含解析

第一讲坐标系三、简单曲线的极坐标方程级基础巩固一、选择题．极坐标方程ρθ＝－表示( )．过点(，π)垂直于极轴的直线．过点(，)垂直于极轴的直线．圆心为(，π)，半径为的圆．圆心为(，)，半径为的圆解析：将ρθ＝－化为直角坐标方程是：＝－，它表示过点(，π)垂直于极轴的直线．答案：．圆ρ＝( θ＋θ)的圆心的极坐标是( )解析：将圆的极坐标方程化为直角坐标方程是＋－－＝，圆心的直角坐标是，化为极坐标是.答案：．在极坐标系中与圆ρ＝θ相切的一条直线的方程为( )．ρθ＝．ρθ＝．ρ＝．ρ＝解析：将圆ρ＝θ化为直角坐标方程为＋＝，即＋(－)＝，它与直线－＝相切，将－＝化为极坐标方程为ρθ＝.答案：．已知点的极坐标是(，π)，则过点且垂直于极轴的直线的方程是( )．ρ＝θ．ρ＝．ρ＝θ)．ρ＝－θ)解析：设为所求直线上任意一点(除外)，其极坐标为(ρ，θ)，在直角三角形中(为极点)，ρπ－θ＝，即ρ＝－θ).经检验，(，π)也适合上述方程．答案：．在极坐标系中，圆ρ＝θ的垂直于极轴的两条切线方程分别为( )．θ＝(ρ∈)和ρθ＝．θ＝(ρ∈)和ρθ＝．θ＝(ρ∈)和ρθ＝．θ＝(ρ∈)和ρθ＝解析：由ρ＝θ，得ρ＝ρθ，化为直角坐标方程为＋－＝，即(－)＋＝，其垂直于极轴的两条切线方程为＝和＝，相应的极坐标方程为θ＝(ρ∈)和ρθ＝.答案：二、填空题．直线－＝的极坐标方程为．解析：直线方程－＝变为极坐标方程为ρθ－ρθ＝，即θ－θ＝，故θ＝，故θ＝或θ＝π，所以直线－＝的极坐标方程为θ＝或θ＝.答案：θ＝或．圆心为，半径为的圆的极坐标方程为．解析：将圆心的极坐标化为直角坐标为.因为圆的半径为，故圆的直角坐标方程为＋＝，化为极坐标方程为ρ＝.答案：ρ＝。

2020秋高中数学人教A版选修4-4：第一讲三简单曲线的极坐标方程

直线位置
极坐标方程
(1) θ＝α(ρ∈R) 过极点，
或 θ＝π＋α(ρ∈R)；倾斜角为
(2) θ＝α(ρ≥0)和 θ＝π
α ＋α(ρ≥0)
图形
过点 A(a，0)(a>0)， ρcos θ＝a
且与极轴垂直
－π2<
π θ<2
M(ρ，θ)在 l 上且不
与 A 重合
过点 Ma，π2(a>0)，且与极轴平行
[变式训练] 求圆心在 C2，3π 2 处并且过极点的圆的极坐标方程，并判断点－2，sin 5π 6 是否在这个圆上．
解：如图，由题意知，圆经过极点 O，
OA 为其一条直径，设 M(ρ，θ)为圆上除点
O，A 以外的任意一点，则|OA|＝2r，连接 AM，则 OM⊥MA.在 Rt△OAM 中，|OM|＝|OA|cos ∠ AOM，即 ρ＝2rcos3π2 －θ，
1．极坐标方程与平面曲线在极坐标系中，如果平面曲线 C 上任意一点的极坐标中至少有一个满足方程 f(ρ，θ)＝0，并且坐标适合方程 f(ρ，θ)＝0 的点都在曲线 C 上，那么方程 f(ρ，θ)＝0 叫作曲线 C 的极坐标方程．
2．圆的极坐标方程(半径为 r)
圆心位置圆心在极点(0，0)
所以 ρ＝－4sin θ，经验证，点 O(0，0)，A4，3π 2
的坐标满足上式．
所以满足条件的圆的极坐标方程为 ρ＝－4sin θ. 因为 sin 5π 6 ＝12，所以 ρ＝－4sin θ＝－4sin 5π6 ＝
－2，所以点－2，sin 5π6 在此圆上．
2．如图，极坐标方程 ρ＝2sinθ＋π4的图形是(
)
解析：圆 ρ＝2sinθ＋π4是由圆 ρ＝2sin θ 绕极点按顺时针方程旋转π4而得，圆心的极坐标为1，π4.

高中数学人教A版选修4-4学案第1讲-3 简单曲线的极坐标方程 Word版含解析

三简单曲线的极坐标方程
．了解极坐标方程的意义，了解曲线的极坐标方程的求法．
．会进行曲线的极坐标方程与直角坐标方程的互化；了解简单图形(如过极点的直线、过极点或圆心在极点的圆)表示的极坐标方程．(重点、易错点) ．能够运用直线和圆的极坐标方程解决问题．(难点)
[基础·初探]
教材整理曲线与方程
阅读教材“圆的极坐标方程”以上部分，完成下列问题．
在平面直角坐标系中，平面曲线可以用方程(，)＝表示．曲线与方程满足
如下关系：
()曲线上
点的坐标
都是方程(，)＝的解；
()以方程(，)＝的解为
坐标的点
都在曲线上．
教材整理极坐标方程
阅读教材～“例”以上部分，完成下列问题．
一般地，在极坐标系中，如果平面曲线上任意一点的极坐标中至少有一个
，并且坐标适合方程
θ
，
满足方程
ρ(
ρ(
)＝
，
，
ρ(
θ
θ
)＝
的点都在曲线上，那么方程
)
＝叫做曲线的极坐标方程．
下列点不在曲线ρ＝θ上的是( )
【解析】点的极坐标满足ρ＝，θ＝－，且ρ≠θ＝＝－.
【答案】
教材整理常见的极坐标方程
阅读教材～，完成下列问题．
极坐标方程ρ＝所表示的曲线是( )
．双曲线
．椭圆
．圆
．抛物线
【解析】∵ρ＝＝θ＋θ，
ρ＝ρθ＋ρθ，
∴＋＝＋，这个方程表示一个圆．
【答案】
[质疑·手记]
预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流：
疑问：
解惑：
疑问：
解惑：
疑问：
解惑：。

人教版A版选修4—41.3简单曲线的极坐标方程

求圆心在
(a, ) 2
，半径为a的圆的极坐标方程；
＝2asin
探究2.把下列直角坐标方程转化为极坐标
方程
(1)x2 y2 2x4y0 (2)x2 y2 4
2cos 4sin 0 2
探究3.把下列极坐标方程转化为直角坐
标方程，并说明方程表示什么曲线。
(1) 4cos 2sin
3.求轨迹方程的一般步骤：（1）建系设点（2）找到几何关系(等量关系）（3）代入化简（4）检验特殊点（5）结论
探究一：圆的极坐标方程
预习问题汇总
问题1：半径为a的圆的圆心半径为C（a,0）
(a>0),你能用一个等式表示圆上任意一点的
极坐标 (,满)足的条件即圆的极坐标方程吗？
解：圆经过极点O,设圆和极轴的
4
和 5 ( 0) ( R)
4
4
4
5 ( R)
4
过极点,倾斜角为0的直线的极坐标方程： (1) 0或 0 ( 0);(2) 0( R（). 3） 0 （ R）
问题2.求过点（2,0），与极轴垂直的直线的极坐标方程。
cos 2
预习小结
ห้องสมุดไป่ตู้
直线的极坐标方程 l
教学目标:
1、知识与技能：掌握简单图形（过极点的圆，圆心在极点的圆，过极点的直线，垂直或平行于极径的直线）的极坐标方程；能熟练进行两种方程的互化 2、方法与过程通过课前预习了解极坐标方程定义，自主研究简单图形的极坐标方程的特点，比较简单图形在极坐标系和平面直角坐标系中的方程。 3、情感、态度与价值观体会在极坐标系和平面直角坐标系中简单曲线的方程；培养学生学会从“感性认识”到“理性认识”过程中获得新知；

数学人教A版选修4-4素材：目标导引第一讲三简单曲线的极坐标方程含解析精品

三简单曲线的极坐标方程
一览众山小
三维目标
1.掌握建立曲线的极坐标方程的方法.理解建立极坐标系的几个要素.
2.理解在极坐标系中,点与坐标间的对应关系.能在极坐标系中给出简单图形（如过极点的直线、过极点或圆心在极点的圆）的方程.
3.通过比较这些图形在极坐标系和平面直角坐标系中的方程，体会在用方程刻画平面图形时选择适当坐标系的意义,体会数形结合思想的作用,通过概念的探讨以及实际问题的解决培养分析问题,解决问题的能力和探求真理的科学精神.
学法指导
在极坐标系中求曲线的方程（含轨迹）与圆锥曲线的轨迹求法是一样的,有定义法,直接法等.求曲线方程的思路的实质都是根据曲线上点适合的共同条件找出动点的流动坐标ρ和θ之间的关系式.常见的求曲线方程的类型有两种,一种是曲线形状明确且便于用标准形式表示,这时可用特定系数法求其方程;一种是曲线形状不明确或不便于用标准形式表示,这时一般地可用直接法,间接代点法等求方程.
诱学导入
材料：火星(希腊语:阿瑞斯)被称为战神.这或许是由于它鲜红的颜色而得来的；火星有时被称为“红色行生”.（趣记：在希腊人之前，古罗马人曾把火星作为神来供奉,而好侵略扩张的希腊人却把火星作为战争的象征）.火星在史前时代就已经为人类所知.由于它被认为是太阳系中人类最好的住所（除地球外），它受到科幻小说家们的喜爱.
火星对于人类有着无限的诱惑和神奇.看如下图片,为了能够更好地利用卫星观察火星,不但要有一个合适的距离,还要有一个合适的角度
.
问题：这个合适的距离和角度也是极坐标思想的利用吗?
导入：在生活中,利用距离和角度描述一点的地理位置是很实用的.而这正是极坐标思想的应用.。

数学人教A版选修4-4自我小测：第一讲三简单曲线的极

自我小测1．极坐标方程cos θ＝2(ρ≥0)表示的曲线是( )． A ．余弦曲线 B ．两条相交直线 C ．一条射线 D ．两条射线2．极坐标方程分别为ρ＝cos θ和ρ＝sin θ的两个圆的圆心距是( )．A ．2BC ．1D ．23．过点A (5,0)和直线π4θ＝垂直的直线的极坐标方程是( )．A ．πsin 54ρθ⎛⎫ ⎪⎝⎭＋＝ B ．πcos 42ρθ⎛⎫ ⎪⎝⎭＋＝C ．πsin 4ρθ⎛⎫ ⎪⎝⎭＋ D ．πsin 4ρθ⎛⎫ ⎪⎝⎭－ 4．在极坐标系中，曲线π4sin 3ρθ⎛⎫ ⎪⎝⎭＝－关于( )． A ．直线π3θ＝对称 B ．直线5π6θ＝对称 C ．点π23⎛⎫ ⎪⎝⎭，对称 D ．极点对称5．在极坐标系中，直线l 的方程为ρsin θ＝3，则点π26⎛⎫ ⎪⎝⎭，到直线l 的距离为________． 6．在极坐标系中，定点π12A ⎛⎫ ⎪⎝⎭，，点B 在直线l ：ρcos θ＋ρsin θ＝0上运动，当线段AB 最短时，点B 的极坐标是______．7．求：(1)过π24A ⎛⎫ ⎪⎝⎭，且平行于极轴的直线； (2)过π33A ⎛⎫ ⎪⎝⎭，且与极轴所成的角为3π4的直线．①8．在极坐标系中，已知圆ρ＝2cos θ与直线3ρcos θ＋4ρsin θ＋a＝0相切，求实数a的值．参考答案1. 答案：D解析：∵cos θ＝2，∴θ＝π±4＋2k π(k ∈Z )．又∵ρ≥0，∴cos θ＝2表示两条射线． 2. 答案：D解析：本题有两种解法，第一种解法是直接在极坐标系中，根据给定的方程判断出两圆心的极坐标分别是102⎛⎫⎪⎝⎭，和1π22⎛⎫ ⎪⎝⎭，，这两点间的距离是2.第二种解法是将方程化为直角坐标方程，因为ρ不恒为0，方程两边乘以ρ得ρ2＝ρ·cos θ和ρ2＝ρ·sin θ，极坐标方程化为直角坐标方程x 2＋y 2＝x 和x 2＋y 2＝y ，它们的圆心分别是102⎛⎫⎪⎝⎭，，102⎛⎫ ⎪⎝⎭，，圆心距是2. 3. 答案：C解析：直线π4θ＝即直线y ＝x ，∴过点A (5,0)和直线π4θ＝垂直的直线方程为y ＝－x ＋5，其极坐标方程为πcos 42ρθ⎛⎫ ⎪⎝⎭＋＝4. 答案：B解析：由方程π4sin 3ρθ⎛⎫ ⎪⎝⎭＝－，得ρ2＝2ρsin θ－cos θ，即x 2＋y 2＝2y －.配方，得2(x ＋(y －1)2＝4.它表示圆心在(，半径为2且过原点的圆．所以在极坐标系中，它关于直线5π6θ＝成轴对称． 5. 答案：2解析：将直线l 的极坐标方程ρsin θ＝3化为直角坐标方程为y ＝3，点π26⎛⎫ ⎪⎝⎭，在直角坐标系中为，故点π26⎛⎫ ⎪⎝⎭，到直线l 的距离为2.6. 答案：3π4⎫⎪⎪⎝⎭，解析：将ρcos θ＋ρsin θ＝0化为直角坐标方程为x ＋y ＝0，点π12A ⎛⎫⎪⎝⎭，化为直角坐标为A (0,1)．如图，过A 作AB ⊥直线l 于B ，因为△AOB 为等腰直角三角形，|OA |＝1，则|OB |＝2，3π4θ＝，故B点的极坐标是3π24⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，. 7. 解：(1)如图①所示，在直线l 上任意取一点M (ρ，θ)． ∵π24A ⎛⎫ ⎪⎝⎭，，∴|MH |＝2πsin4在Rt △OMH 中，|MH |＝|OM |sin θ，即sin ρθ ∴过π24A ⎛⎫ ⎪⎝⎭，且平行于极轴的直线方程为sin ρθ②(2)如图②所示，π33A ⎛⎫ ⎪⎝⎭，，即|OA |＝3，π3AOB ∠＝. 由已知3π4MBx ∠＝，∴3ππ5π4312OAB ∠＝－＝.∴5π7ππ1212OAM ∠＝－＝. 又∠OMA ＝∠MBx －θ＝3π4θ－.在△MOA 中，根据正弦定理，得37π3πsinsin 124ρθ⎛⎫⎪⎝⎭＝－.∵7πππsinsin 12434⎛⎫⎪⎝⎭＝＋＝，将3πsin 4θ⎛⎫⎪⎝⎭－展开，化简上面的方程，可得ρ(sin θ＋cos θ)＝322＋. ∴过π33A ⎛⎫ ⎪⎝⎭，且与极轴所成角为3π4的直线为ρ(sin θ＋cos θ)32＋. 8. 解：将极坐标方程化为直角坐标方程，得圆的方程为x 2＋y 2＝2x ，即(x －1)2＋y 2＝1，直线的方程为3x ＋4y ＋a ＝0.由题设知，圆心(1,0)到直线的距离为11，解得a ＝－8或a ＝2.故a 的值为－8或2.。

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三简单曲线的极坐标方程练习1圆心在(1,0)且过极点的圆的极坐标方程为( )．A ．ρ＝1B ．ρ＝cos θC ．ρ＝2cos θD ．ρ＝2sin θ2极坐标方程ρ2cos θ－ρ＝0的直角坐标方程为( )．A ．x 2＋y 2＝0或y ＝1B ．x ＝1C ．x 2＋y 2＝0或x ＝1D ．y ＝13在极坐标系中，与圆ρ＝4cos θ相切的一条直线方程为( )．A ．ρsin θ＝4B ．ρcos θ＝2C ．ρcos θ＝4D ．ρcos θ＝－44极坐标方程分别是ρ＝cos θ和ρ＝sin θ的两个圆的圆心距是( )．A ．2 B.2 C ．1 D.225以极坐标系中的点(1,1)为圆心，1为半径的圆的方程是( )．A ．ρ＝2cos(θ－4π)B ．ρ＝2sin(θ－4π) C ．ρ＝2cos(θ－1) D ．ρ＝2sin(θ－1)6直线33x －y ＝0的极坐标方程(限定ρ≥0)为________． 7在极坐标系中，定点A (1，2π)，点B 在直线l ：ρcos θ＋ρsin θ＝0上运动，当线段AB 最短时，点B 的极坐标是__________．8化下列曲线的极坐标方程为直角坐标方程，并判断曲线的形状．(1)ρcos θ＝2；(2)ρ＝2cos θ；9圆O 1和圆O 2的极坐标方程分别为ρ＝4cos θ，ρ＝－4sin θ.(1)把圆O 1和圆O 2的极坐标方程化为直角坐标方程；(2)求经过圆O 1，圆O 2的交点的直线的直角坐标方程．10在极坐标系中，已知圆C 的圆心C (3，6π)，半径r ＝1，点Q 在圆C 上运动． (1)求圆C 的极坐标方程；(2)若P 在直线OQ 上，且23OQ QP =，求动点P 轨迹的极坐标方程．参考答案1. 答案：C 圆的直角坐标方程是(x －1)2＋y 2＝1，将x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ代入上式，整理得，ρ＝2cos θ，即为此圆的极坐标方程．2. 答案：C ∵ρ(ρcos θ－1)＝0，∴ρ＝22x y +＝0或ρcos θ＝x ＝1.3．答案：C 圆的极坐标方程可化为直角坐标方程(x －2)2＋y 2＝4，四个选项所对应的直线方程分别为y ＝4，x ＝2，x ＝4，x ＝－4，故选C.4. 答案：D 如图所示，两圆的圆心的极坐标分别是(12，0)和(12，2π)，这两点间的距离是22.5. 答案：C 如图所示，设圆心C (1,1)，P (ρ，θ)为圆上任意一点，过C 作CD ⊥OP 于点D ，∵|CO |＝|CP |，∴|OP |＝2|DO |.在Rt △CDO 中，∠DOC ＝θ－1，∴|DO |＝cos(θ－1)．∴|OP |＝2cos(θ－1)，因此ρ＝2cos(θ－1)．6. 答案：θ＝6π(ρ≥0)和θ＝76π(ρ≥0) 将x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ(ρ≥0)代入直角坐标方程得tan θ＝33，则θ＝6π或θ＝76π. 7. 答案：(22，34π) 将ρcos θ＋ρsin θ＝0化为直角坐标方程为x ＋y ＝0，点A (1，2π)化为直角坐标得A (0,1)．如图，过A 作AB ⊥直线l 于B ，因为△AOB 为等腰直角三角形，又因为|OA |＝1，则|OB |＝22，∠BOx ＝34π，故点B 的极坐标是B (22，34π)． 8. 答案：解：(1)∵ρcos θ＝2，∴x ＝2，是过点(2,0)，垂直于x 轴的直线．(2)∵ρ＝2cos θ，∴ρ2＝2ρcos θ，∴x 2＋y 2－2x ＝0，即(x －1)2＋y 2＝1.故曲线是圆心为(1,0)，半径为1的圆．9. 答案：解：以极点为原点，极轴为x 轴正半轴，建立平面直角坐标系，两坐标系中取相同的长度单位．(1)x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ，由ρ＝4cos θ得ρ2＝4ρcos θ，所以x 2＋y 2－4x ＝0，即为圆O 1的直角坐标方程．同理x 2＋y 2＋4y ＝0即为圆O 2的直角坐标方程．(2)由222240,40,x y x x y y ⎧+-=⎪⎨++=⎪⎩解得12120,2,0, 2.x x y y ==⎧⎧⎨⎨==-⎩⎩ 即圆O 1、圆O 2交于点(0,0)和(2，－2)，过两圆交点的直线的直角坐标方程为y ＝－x .10. 答案：解：(1)圆C 的圆心坐标化为平面直角坐标为(332，32)，所以圆C 的平面直角坐标方程为(x －332)2＋(y －32)2＝1，化为极坐标方程为ρ2－6ρcos(θ－6π)＋8＝0. (2)设点P 的坐标为(ρ，θ)，点Q 的坐标为(ρ0，θ0)，则由题意可知002,5,p ρθθ⎧=⎪⎨⎪=⎩因为点Q在圆C 上，所以点Q 的坐标适合圆C 的方程，代入得(25ρ)2－6×25ρcos(θ－6π)＋8＝0，整理即得动点P 的轨迹方程为ρ2－15ρcos(θ－6π)＋50＝0.。

最新整理高中数学人教A版选修4-4课后训练：1.3简单曲线的极坐标方程 Word版含解析.doc

课后训练1．极坐标方程cos θ＝22(ρ≥0)表示的曲线是( )． A ．余弦曲线 B ．两条相交直线 C ．一条射线 D ．两条射线2．极坐标方程分别为ρ＝cos θ和ρ＝sin θ的两个圆的圆心距是( )． A ．2 B ．2 C ．1 D ．223．过点A (5,0)和直线π4θ＝垂直的直线的极坐标方程是( )．A ．πsin 54ρθ⎛⎫ ⎪⎝⎭＋＝B ．π52cos 42ρθ⎛⎫ ⎪⎝⎭＋＝ C ．π52sin 42ρθ⎛⎫ ⎪⎝⎭＋＝ D ．π52sin 42ρθ⎛⎫ ⎪⎝⎭－＝4．在极坐标系中，曲线π4sin 3ρθ⎛⎫ ⎪⎝⎭＝－关于( )． A ．直线π3θ＝对称 B ．直线5π6θ＝对称C ．点π23⎛⎫⎪⎝⎭，对称 D ．极点对称5．在极坐标系中，直线l 的方程为ρsin θ＝3，则点π26⎛⎫⎪⎝⎭，到直线l 的距离为________．6．在极坐标系中，定点π12A ⎛⎫⎪⎝⎭，，点B 在直线l ：ρcos θ＋ρsin θ＝0上运动，当线段AB 最短时，点B 的极坐标是______．7．求：(1)过π22A ⎛⎫ ⎪⎝⎭，且平行于极轴的直线； (2)过π33A ⎛⎫ ⎪⎝⎭，且与极轴所成的角为3π4的直线．8．在极坐标系中，已知圆ρ＝2cos θ与直线3ρcos θ＋4ρsin θ＋a ＝0相切，求实数a 的值．9．进行直角坐标方程与极坐标方程的互化：(1)y 2＝4x ；(2)y 2＋x 2－2x －1＝0；(3)π3θ＝；(4)2cos12θρ＝；(5)ρ2cos 2θ＝4；(6)12cos ρθ＝－. 10．在极坐标系中，已知圆C 的圆心π36C ⎛⎫⎪⎝⎭，，半径r ＝1，Q 点在圆C 上运动．(1)求圆C 的极坐标方程；(2)若P 在直线OQ 上，且23OQ QP ＝，求动点P 的轨迹方程．参考答案1. 答案：D解析：∵cos θ＝22，∴θ＝π±4＋2k π(k ∈Z )．又∵ρ≥0，∴cos θ＝22表示两条射线．2. 答案：D解析：本题有两种解法，第一种解法是直接在极坐标系中，根据给定的方程判断出两圆心的极坐标分别是102⎛⎫ ⎪⎝⎭，和1π22⎛⎫ ⎪⎝⎭，，这两点间的距离是22.第二种解法是将方程化为直角坐标方程，因为ρ不恒为0，方程两边乘以ρ得ρ2＝ρ·cos θ和ρ2＝ρ·sin θ，极坐标方程化为直角坐标方程x 2＋y 2＝x 和x 2＋y 2＝y ，它们的圆心分别是102⎛⎫ ⎪⎝⎭，，102⎛⎫ ⎪⎝⎭，，圆心距是22. 3. 答案：C解析：直线π4θ＝即直线y ＝x ，∴过点A (5,0)和直线π4θ＝垂直的直线方程为y ＝－x ＋5，其极坐标方程为π52cos 42ρθ⎛⎫ ⎪⎝⎭＋＝. 4. 答案：B解析：由方程π4sin 3ρθ⎛⎫ ⎪⎝⎭＝－，得ρ2＝2ρsin θ－23ρcos θ，即x 2＋y 2＝2y －23x .配方，得2(3)x ＋＋(y －1)2＝4.它表示圆心在(31)－，，半径为2且过原点的圆．所以在极坐标系中，它关于直线5π6θ＝成轴对称． 5. 答案：2解析：将直线l 的极坐标方程ρsin θ＝3化为直角坐标方程为y ＝3，点π26⎛⎫ ⎪⎝⎭，在直角坐标系中为(31)，，故点π26⎛⎫ ⎪⎝⎭，到直线l 的距离为2. 6. 答案：23π24⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭，解析：将ρcos θ＋ρsin θ＝0化为直角坐标方程为x ＋y ＝0，点π12A ⎛⎫⎪⎝⎭，化为直角坐标为A (0,1)．如图，过A 作AB ⊥直线l 于B ，因为△AOB 为等腰直角三角形，|OA |＝1，则|OB |＝22，3π4θ＝，故B 点的极坐标是23π24⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，. 7. ①解：(1)如图①所示，在直线l 上任意取一点M (ρ，θ)． ∵π24A ⎛⎫ ⎪⎝⎭，， ∴|MH |＝2sinπ4＝2. 在Rt △OMH 中，|MH |＝|OM |sin θ，即sin 2ρθ＝， ∴过π24A ⎛⎫ ⎪⎝⎭，且平行于极轴的直线方程为sin 2ρθ＝.②(2)如图②所示，π33A ⎛⎫ ⎪⎝⎭，，即|OA |＝3，π3AOB ∠＝.由已知3π4MBx ∠＝，∴3ππ5π4312OAB ∠＝－＝.∴5π7ππ1212OAM ∠＝－＝.又∠OMA ＝∠MBx －θ＝3π4θ－.在△MOA 中，根据正弦定理，得37π3πsinsin 124ρθ⎛⎫⎪⎝⎭＝－.∵7πππ26sinsin 12434⎛⎫⎪⎝⎭＋＝＋＝，将3πsin 4θ⎛⎫⎪⎝⎭－展开，化简上面的方程，可得ρ(sin θ＋cos θ)＝33322＋. ∴过π33A ⎛⎫⎪⎝⎭，且与极轴所成角为3π4的直线为ρ(sin θ＋cos θ)＝33322＋. 8. 解：将极坐标方程化为直角坐标方程，得圆的方程为x 2＋y 2＝2x ，即(x －1)2＋y 2＝1，直线的方程为3x ＋4y ＋a ＝0.由题设知，圆心(1,0)到直线的距离为1，即有22|3140|134a ⨯⨯＋＋＝＋，解得a ＝－8或a ＝2.故a 的值为－8或2.9. 解：(1)将x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ代入y 2＝4x ，得(ρsin θ)2＝4ρcos θ.化简，得ρsin 2θ＝4cos θ.(2)将x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ代入y 2＋x 2－2x －1＝0，得(ρsin θ)2＋(ρcos θ)2－2ρcos θ－1＝0，化简，得ρ2－2ρcos θ－1＝0.(3)∵tan θ＝yx，∴πtan 33y x ＝＝.化简，得y ＝3x (x ≥0)．(4)∵2cos12θρ＝， ∴1cos 12θρ⋅＋＝，即ρ＋ρcos θ＝2.∴222x y x ＋＋＝.化简，得y 2＝－4(x －1)．(5)∵ρ2cos 2θ＝4，∴ρ2cos 2θ－ρ2sin 2θ＝4，即x 2－y 2＝4. (6)∵12cos ρθ＝－，∴2ρ－ρcos θ＝1．∴2221x y x ＋－＝.化简，得3x 2＋4y 2－2x －1＝0.10. 解：(1)圆C 的圆心坐标化为直角坐标为33322⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，，所以圆C 的直角坐标方程为22333122x y ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭－＋－＝，化为极坐标方程为2π6cos 806ρρθ⎛⎫ ⎪⎝⎭－－＋＝. (2)设P 点坐标为(ρ，θ)，Q 点坐标为(ρ0，θ0)，则由题意可知0025.ρρθθ⎧⎪⎨⎪⎩＝，＝因为点Q 在圆C 上，所以点Q 的坐标满足圆C 的方程，代入得222π6cos 80556ρρθ⎛⎫⎛⎫⨯ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭－－＋＝，整理即得动点P 的轨迹方程为ρ2－15ρcos π6θ⎛⎫ ⎪⎝⎭－＋50＝0.。

人教版数学高二A版选修4-4 第一讲三简单曲线的极坐标方程

主动成长夯基达标 1.已知点P (32π,2),若点P 的极角θ满足-π<θ<π,ρ∈R ,下列点中与点P 重合的是( ) A.)3π5,2(),34π,2(),3π,2(-B.)3π5,2(),34π,2(),38π,2(-C.)34π,2(),35π,2(),34π,2(---D.)3π,2(--解析:当-π≤θ≤π时,ρ≥0(或ρ≤0)时,除极点外,点极坐标分别为唯一.当ρ∈R 时,一个点的极坐标只有两个形式:(-2,-3π)或(2,32π). 答案:D2.圆ρ=2(cos θ+sin θ)的圆心的坐标是( )A.(1,4π) B.(4π,21)C.(4π,2)D.(2,4π)解析:圆的方程可化为ρ=2cos(θ-4π). 这是ρ=2r cos(θ-θ0)形式,它的圆心为O ′(r ,θ0),本题也可化为直角坐标方程求解. 答案:A3.极坐标系中,方程ρ=cos θ(θ∈［0,π］,ρ∈R )表示的曲线是( )A.以(21,0)为圆心,半径为21的上半个圆 B.以(21,0)为圆心,半径为21的圆C.以(1,0)为圆心,半径为21的上半个圆D.以(21,2π)为圆心,半径为21的圆解析:当ρ≥0时,θ∈［0,2π］,方程ρ=cos θ表示上半个圆,半径为21,当ρ≤0时,θ∈［2π,π］,方程表示下半个圆,半径为21.答案:B4.方程ρ=sin θ+cos θ+K 的曲线不经过极点,则K 的取值范围是( )A.K ≠0B.K ∈RC.|K |>2D.|K |≤2解析:当ρ=0时,sin θ+cos θ=-K,若此方程无解,由|sin θ+cos θ|≤2,∴当|K |>2时,方程无解. 答案:C5.在极坐标系中,点P (2,611π)到直线ρsin(θ-6π)=1的距离等于( ) A.1 B.2 C.3 D.1+3解法一:∵x P =2cos611π=3,y P =2sin 611π=-1, ∴P 点的直角坐标为(3,-1).又直线ρsin(θ-6π)=1化为直角坐标方程为23y -21x -1=0.∴P 点到直线的距离为d =|-23-21·3-1|=1+3. 解法二:直线ρsin(θ-6π)=1与直线θ=6π平行,且距离为1.过P 点作PH 垂直于直线ρsin(θ-6π)=1,垂足为H ,设PH 交直线θ=6π于M ,在R t △POM 中,OP =2,∠POM =3π. ∴PM =2sin 3π=3.故P 点到直线ρsin(θ-6π)=1的距离为1+3.答案:D6.点M 在直线ρcos θ=a (a >0)上,O 为极点,延长OM 到P 使|MP |=b (b >0),则P 的轨迹方程是________.解析:设M (ρ0,θ0),P (ρ,θ),则ρ0cos θ0=a ,ρ=ρ0+b ,θ0=θ代入即可. 答案:(ρ-b )cos θ=a7.画出极坐标方程(θ-4π)ρ+(4π-θ)sin θ=0的图形. 解析:若所给曲线的极坐标方程比较复杂时,可将其方程分解因式,分解成几个常见曲线方程连乘积的形式,然后分别作出图形,放在一起即为所求方程的曲线.解:如图,将原方程分解因式得(θ-4π)(ρ-sin θ)=0,∴θ-4π=0, 即θ=4π为一条射线,或ρ-sin θ=0为一个圆. 8.证明过A (ρ1,θ1)和B (ρ2,θ2)两点的直线l的极坐标方程是.)sin()sin()sin(122112ρθθρθθρθθ-+-=-解析:虽然所证明的方程看起来比较复杂,但是,只要我们理清求曲线方程的步骤,问题是不难解决的.我们可以利用三角形的面积法将这些量互相联系起来.解:设M (ρ,θ)为直线AB 上一点,如图,∵S △AOB =21ρ1ρ2sin(θ2-θ1),S △AOM =21ρρ1sin(θ-θ1), S △BOM =21ρρ2sin(θ2-θ), 又S △AOB =S △AOM +S △BOM ,∴ρ1ρ2sin(θ2-θ1)=ρρ1sin(θ-θ1)+ρρ2sin(θ2-θ),即.)sin()sin()sin(122112ρθθρθθρθθ-+-=-9.已知圆ρ=2,直线ρcos θ=4,过极点作射线交圆于A,直线于B,求AB 中点M 的轨迹方程.解:设M (ρ,θ),A(ρ1,θ1),B(ρ2,θ2),则有∴(2ρ-2)cosθ=4⇒ρ=2s e cθ+1.10.从原点O引直线交直线2x+4y-1=0于点M，P为OM上一点，已知|OP|·|OM |=1，求P点的极坐标方程.解析:先把直线化为极坐标方程,由于P点的运动与M点有关,可以利用转移法来解决问题.我们可以根据长度之间的关系式找到点P 与点M坐标之间的关系.解:如图,以O为极点,x轴正方向为极轴建立坐标系后,直线的方程化为2ρcosθ+4ρsinθ-1=0.设M(ρ0,θ0),P(ρ,θ),则2ρ0cosθ+4ρ0sin θ-1=0.又⎩⎨⎧1ρ=ρθ=θ，,知⎪⎩⎪⎨⎧，，ρ=ρ=θθ1代入2ρ1cosθ+4ρ1sinθ-1=0,∴ρ=2cosθ+4sinθ,这是一个圆(ρ≠0).11.从极点O作圆C：ρ=8cosθ的弦ON，求ON的中点M的轨迹方程.解析:在直角坐标系中,求曲线的轨迹方程的方法有直接法、定义法、转移法,在极坐标系中,求曲线的极坐标方程这几种方法仍然是适用的.解法一:如图,圆C的圆心C(4,0),半径r=|OC|=4,连结CM.∵M为弦ON的中点,∴CM⊥ON.故M在以OC为直径的圆上.所以,动点M的轨迹方程是ρ=4cosθ.解法二:解法一是定义法,下面我们用转移法来解决这个问题.设M点的坐标是(ρ,θ),N(ρ1,θ1).N点在圆ρ=8cosθ上,∴ρ1=8cosθ1.(*)∵M是ON的中点,∴⎩⎨⎧，，=θθρ=ρ112将它代入(*)式得2ρ=8cosθ,故M的轨迹方程是ρ=4cosθ.12.O为已知圆外的定点,M在圆上,以OM为边作正三角形OMN,当点M在圆上移动时,求点N 的轨迹方程(O、M、N逆时针排列).解:以O为极点,以O和已知圆圆心O′所在射线为极轴,建立极坐标系,如图,设|OO′|=ρ0,圆的半径为r,那么圆的极坐标方程为ρ2-2ρ0ρcosθ+ρ02-r2=0,设N(ρ,θ),M(ρ1,θ1),∵M在圆上,∴ρ12-2ρ0ρ1cosθ1+ρ02-r2=0.①∵△OMN为正三角形,∴⎪⎩⎪⎨⎧⇒⎪⎩⎪⎨⎧.3π3π1111－＝，＝＋＝＝θθρρθθρρ代入①得ρ2-2ρ0ρcos(θ-3π)+ρ02-r2=0,这就是点N的轨迹方程.走近高考1.(经典回放)曲线的极坐标方程ρ=4sinθ化成直角坐标方程为()A.x2+(y+2)2=4B.x2+(y-2)2=4C.(x-2)2+y2=4D.(x+2)2+y2=4解析:在ρ=4sinθ两边同时乘以ρ得ρ2=4ρ·sinθ.再利用⎩⎨⎧θy=ρ=ρ+yxsin,222可得x2+y2=4y,即x2+(y-2)2=4.答案:B2.(经典回放)在极坐标系中,过点M(2,2π)且平行于极轴的直线的极坐标方程是________.解析:如图所示,设P(ρ,θ)为直线上任一点,连结PO,作P A垂直极轴于点A.在R t△PAO中,|PA|=2,∠POA=θ,∴ρsinθ=2.∴所求的极坐标方程为ρsinθ=2.答案:ρsinθ=23.(经典回放)设有半径为4的圆,它在极坐标系内的圆心的坐标为(4,π),则这个圆的极坐标方程是________.解析:如图所示,设P(ρ,θ)为圆上任一点,则在R t△R PO中,|OR|=8,∠POR=π-θ,∴ρ=8cos(π-θ),即ρ=-8cosθ.∴所求圆的极坐标方程是ρ=-8cosθ.答案:ρ=-8cosθ。

2020-2021学年人教A版数学选修4-4学案：第一讲三简单曲线的极坐标方程含解析

三简单曲线的极坐标方程考纲定位重难突破1.了解极坐标方程的意义.2.掌握几种常见的圆及直线的极坐标方程.3.掌握求曲线极坐标方程的方法，能够根据极坐标方程，解决有关的数学问题.重点：理解直线和圆的极坐标方程的推导和应用.难点：能够运用直线和圆的极坐标方程解决问题.[自主梳理]1．曲线的极坐标方程曲线C 的极坐标方程：一般地，在极坐标系中，如果平面曲线C 上任意一点的极坐标中至少有一个方程f (ρ，θ)＝0，并且坐标适合方程f (ρ，θ)＝0的点都在曲线C 上，那么方程f (ρ，θ)＝0叫做曲线C 的极坐标方程．2．圆的极坐标方程(1)圆心在C (a,0)(a >0)，半径为a 的圆的极坐标方程为ρ＝2a cos_θ. (2)圆心在极点，半径为r 的圆的极坐标方程为ρ＝r .(3)圆心在点⎝⎛⎭⎫a ，π2处且过极点的圆的方程为ρ＝2a sin_θ(0≤θ＜π)． 3．直线的极坐标方程(1)若直线经过点M (ρ0，θ0)，且极轴到此直线的角为α，则直线l 的极坐标方程为：ρsin(θ－α)＝ρ0sin(θ0－α)．(2)当直线l 过极点，即ρ0＝0时，l 的方程为：θ＝α.(3)当直线l 过点M (a,0)且垂直于极轴时，l 的方程为：ρcos_θ＝a . (4)当直线l 过点M ⎝⎛⎭⎫b ，π2且平行于极轴时，l 的方程为：ρsin_θ＝b . [双基自测]1．在极坐标系中，与点⎝⎛⎭⎫3，－π3关于极轴所在直线对称的点的极坐标是( ) A.⎝⎛⎭⎫3，－2π3 B.⎝⎛⎭⎫3，π3 C.⎝⎛⎭⎫3，4π3 D.⎝⎛⎭⎫3，5π6 解析：由题知⎝⎛⎭⎫3，－π3相当于极轴绕极点顺时针旋转π3，则点⎝⎛⎭⎫3，－π3关于极轴所在直线对称的点相当于极轴绕极点逆时针旋转π3，极径都是3，故选B.答案：B2．圆心在(1,0)且过极点的圆的极坐标方程为( ) A ．ρ＝1 B ．ρ＝cos θ C ．ρ＝2cos θD ．ρ＝2sin θ解析：经过极点O 且半径为a 的圆的极坐标方程为ρ＝2a cos θ，因圆心在(1,0)，所以半径为1，所以极坐标方程为ρ＝2cos θ，故选C.答案：C3．过极点且倾斜角为π3的直线的极坐标方程可以为( )A ．θ＝2π3B ．θ＝π3，ρ≥0C ．θ＝4π3，ρ≥0D ．θ＝π3和θ＝4π3，ρ≥0解析：直角坐标系中倾斜角为π3的直线对应极坐标系中θ＝π3和θ＝4π3，ρ≥0两条射线，故选D.答案：D4．极坐标方程ρ＝2cos θ表示的曲线所围成的面积为________．解析：由ρ＝2cos θ＝2×1×cos θ知，曲线表示圆，且圆的半径r 为1，所以面积S ＝πr 2＝π.答案：π授课提示：对应学生用书第9页探究一圆的极坐标方程[例1]求圆心在A ⎝⎛⎭⎫2，3π2，并且过极点的圆的极坐标方程，并把它化为直角坐标方程． [解析]如图，设M (ρ，θ)为圆上除O ，B 外的任意一点，连接OM ，MB ，则有|OB |＝4，|OM |＝ρ， ∠MOB ＝⎪⎪⎪⎪θ－3π2，∠BMO ＝π2，从而△BOM 为直角三角形，所以有|OM |＝|OB |cos ∠MOB ，即ρ＝4cos ⎝⎛⎭⎫θ－3π2＝－4sin θ.因为点O (0,0)，B ⎝⎛⎭⎫4，3π2也适合此方程，故所求圆的极坐标方程为ρ＝－4sin θ.化为直角坐标方程为x 2＋y 2＋4y ＝0.1．在求曲线的极坐标方程时，关键是找出曲线上的点满足的几何条件，将它用坐标表示，然后化简，最后求出ρ与θ的函数关系，即为要求的极坐标方程．2．几种特殊情形下的圆的极坐标方程当圆心在极轴上即θ0＝0时，方程为r 2＝ρ20＋ρ2－2ρρ0cos θ，若再有ρ0＝r ，则其方程为ρ＝2ρ0cos θ＝2r cos θ，若ρ0＝r ，θ0≠0，则方程为ρ＝2r cos(θ－θ0)，这几个方程经常用来判断图形的形状和位置．1．在极坐标系中，求：(1)圆心在极点，半径为2的圆的极坐标方程； (2)圆心为C (2，π)，半径为2的圆的极坐标方程．解析：(1)设所求圆上任意一点M (ρ，θ)，结合图(1)，得|OM |＝2，∴ρ＝2,0≤θ＜2π. (2)设所求圆上任意一点M (ρ，θ)，结合图(2)，在Rt △OAM 中，∠OMA ＝π2，∠AOM ＝π－θ，|OA |＝4.∵cos ∠AOM ＝|OM ||OA |，∴|OM |＝|OA |·cos ∠AOM ，即ρ＝4cos(π－θ)，故ρ＝－4cos θ为所求．探究二直线的极坐标方程[例2]求下列直线的极坐标方程． (1)过点A ⎝⎛⎭⎫2，π4且平行于极轴的直线l ； (2)过点A ⎝⎛⎭⎫3，π3且倾斜角为3π4的直线l . [解析](1)如图所示，在直线l 上取不同于点A 的任意一点M (ρ，θ)， ∵A ⎝⎛⎭⎫2，π4， ∴|MH |＝2sin π4＝2，在Rt △OMH 中，|MH |＝|OM |sin θ，即ρsin θ＝2，经检验点A 的坐标(2，π4)适合上述方程，∴过A ⎝⎛⎭⎫2，π4且平行于极轴的直线l 的极坐标方程为 ρsin θ＝ 2.(2)如图所示，在直线l 上取不同于点A 的任意一点M (ρ，θ)， ∵A (3，π3)，∴|OA |＝3，∠AOB ＝π3，由已知∠MBx ＝3π4，∴∠OAB ＝3π4－π3＝5π12，∴∠OAM ＝π－5π12＝7π12.又∠OMA ＝∠MBx －θ＝3π4－θ，在△MOA 中，根据正弦定理得3sin ⎝⎛⎭⎫3π4－θ＝ρsin 7π12，又∵sin 7π12＝sin ⎝⎛⎭⎫π4＋π3＝2＋64，将sin(3π4－θ)展开，化简上面的方程，可得ρ(sin θ＋cos θ)＝332＋32.经检验点A 的坐标⎝⎛⎭⎫3，π3适合上述方程， ∴过A ⎝⎛⎭⎫3，π3且倾斜角为3π4的直线l 的极坐标方程为 ρ(sin θ＋cos θ)＝332＋32.求直线的极坐标方程常用的三角形法三角形法的解题步骤：首先根据题意作出图形，构造一个三角形，其中包括动点以及已知点，再利用三角形及三角函数的有关知识列出等式，然后将等式坐标化，即用已知条件及动点的坐标(ρ，θ)表达出来，化简、整理即可得到直线的极坐标方程．2.如图所示，求过点P (ρ1，θ1)，且与极轴所成的角为α的直线l 的极坐标方程．解析：如图，设点M (ρ，θ)为直线上除点P 外的任意一点，连接OM ，则|OM |＝ρ，∠xOM ＝θ，由点P 的极坐标知|OP |＝ρ1， ∠xOP ＝θ1.设直线l 与极轴交于点A ，则在△MOP 中， ∠OMP ＝α－θ，∠OPM ＝π－(α－θ1)，由正弦定理得ρsin[π－(α－θ1)]＝ρ1sin (α－θ)，即ρsin(α－θ)＝ρ1sin(α－θ1)，显然点P 的坐标也是它的解．所以直线l 的极坐标方程为ρsin(α－θ)＝ρ1sin(α－θ1)．探究三直角坐标方程与极坐标方程的互化[例3]把下列直角坐标方程与极坐标方程进行互化： (1)x 2＋(y －2)2＝4； (2)ρ＝9(sin θ＋cos θ)； (3)2ρcos θ－3ρsin θ＝5. [解析](1)∵x 2＋(y －2)2＝4， ∴x 2＋y 2＝4y ，代入x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ得ρ2－4ρsin θ＝0，即ρ＝4sin θ.(2)∵ρ＝9(sin θ＋cos θ)， ∴ρ2＝9ρ(sin θ＋cos θ)， ∴x 2＋y 2＝9x ＋9y ，即⎝⎛⎭⎫x －922＋⎝⎛⎭⎫y －922＝812. (3)∵2ρcos θ－3ρsin θ＝5， ∴2x －3y ＝5.极坐标与直角坐标互化技巧(1)ρcos θ＝2；(2)ρ＝2cos θ；(3)ρ2cos2θ＝2； (4)ρ＝11－cos θ.解析：(1)∵ρcos θ＝2，∴x ＝2，∴曲线是过点(2,0)，垂直于x 轴的直线． (2)∵ρ＝2cos θ，∴ρ2＝2ρcos θ，∴x 2＋y 2－2x ＝0，即(x －1)2＋y 2＝1，故曲线是圆心在(1,0)，半径为1的圆． (3)∵ρ2cos2θ＝2，∴ρ2(cos 2θ－sin 2θ)＝2，即ρ2cos 2θ－ρ2sin 2θ＝2，∴x 2－y 2＝2，故曲线是中心在原点，焦点在x 轴上的等轴双曲线． (4)∵ρ＝11－cos θ，∴ρ＝1＋ρcos θ，∴x 2＋y 2＝1＋x ，两边平方并整理得y 2＝2⎝⎛⎭⎫x ＋12，故曲线是顶点为⎝⎛⎭⎫－12，0，焦点为F (0,0)，准线方程为x ＝－1的抛物线．利用曲线的极坐标方程及极坐标的几何意义求弦长问题[典例](2015·高考全国卷Ⅰ)在直角坐标系xOy 中，直线C 1：x ＝－2，圆C 2：(x －1)2＋(y －2)2＝1，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系．(1)求C 1，C 2的极坐标方程；(2)若直线C 3的极坐标方程为θ＝π4(ρ∈R )，设C 2与C 3的交点为M ，N ，求△C 2MN 的面积．[解析](1)因为x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ，所以C 1的极坐标方程为ρcos θ＝－2，C 2的极坐标方程为ρ2－2ρcos θ－4ρsin θ＋4＝0.(2)将θ＝π4代入ρ2－2ρcos θ－4ρsin θ＋4＝0，得ρ2－32ρ＋4＝0，解得ρ1＝22，ρ2＝ 2. 故ρ1－ρ2＝2，即|MN |＝ 2.由于C 2的半径为1，所以△C 2MN 的面积为12.[感悟提高](1)本题第(2)小题求解的关键是求出直线θ＝π4与圆ρ2－2ρcos θ－4ρsin θ＋4＝0的弦长|MN |，此时M ⎝⎛⎭⎫ρ1，π4，N ⎝⎛⎭⎫ρ2，π4，|MN |＝|ρ1－ρ2|. (2)一般情况下，直线l 与曲线C 相交于M ，N 两点时，先求出直线l 和曲线C 的极坐标方程，再联立方程组消去θ得关于ρ的一元二次方程，然后利用极径的几何意义求出弦长|MN |＝|ρ1－ρ2|.[随堂训练]对应学生用书第11页1．极坐标方程ρ＝4表示的曲线是( ) A ．过(4,0)点，且垂直于极轴的直线 B ．过(2,0)点，且垂直于极轴的直线 C ．以(4,0)为圆心，半径为4的圆 D ．以极点为圆心，半径为4的圆解析：由极坐标方程的定义可知，选D. 答案：D2．极坐标方程2sin θ＝2(ρ∈R )表示的图形是( ) A ．两条直线 B ．两条平行直线 C ．一条直线D ．两条相交直线解析：由2sin θ＝2(ρ∈R )得sin θ＝22， ∴θ＝π4(ρ∈R )或θ＝34π(ρ∈R )，故选D.答案：D3．已知直线的极坐标方程为ρsin ⎝⎛⎭⎫θ＋π4＝22，则极点到该直线的距离是________．解析：直线的极坐标方程可化为x ＋y －1＝0，故极点到该直线的距离为22. 答案：224．曲线x2＋y2＝2x2＋y2的极坐标方程是________．解析：∵x2＋y2＝ρ2，ρ≥0，∴ρ＝x2＋y2，∴x2＋y2＝2x2＋y2可化为ρ2＝2ρ，即ρ(ρ－2)＝0.答案：ρ(ρ－2)＝0。