《数学物理方法》第三章 1

∫
C
f ( z )dz = ∫ u ( x, y )dx − v( x, y )dy + i ∫ v( x, y )dx + u ( x, y )dy
C C
2. 参数方程的表达形式C: z=z(t) (t:α→β)
∫
C
f ( z )dz = ∫ f [ z (t )]z ′(t )dt
α
β
3.2 柯西积分定理
(u + iv )(dx + idy)
，则
f ( z )dz = udx − vdy + i(vdx + udy )
上式说明了两个问题： 上式说明了两个问题： (1) 当 f ( z ) 是连续函数，且C是光滑曲线时， 是连续函数， 是光滑曲线时， 一定存在； 积分 ∫C f ( z )d z 一定存在； (2)
长和弧长，两边取极限就得到 长和弧长，
∫
C
f ( z )d z ≤
∫
C
f ( z ) dz =
∫
C
f ( z ) ds
f 连续， （6）积分估值定理 若沿曲线 C ，(z) 连续，且f ( z ) ）
在
C上满足
f ( z ) ≤ M ( M > 0) ，则
C
∫
f ( z )d z ≤ M ⋅ l
其中 l 为曲线 C 的长度． 的长度．
k
)∆ y )∆ y
+
k
i ∑ [ v( ξ
]Hale Waihona Puke kkkk
k
k
由此可知， 由此可知，当 n →∞且小弧段长度的最大值 的分法如何， λ → 0 时，不论对C的分法如何，点(ξk ,ηk )的取法 如何，只要上式右端的两个和式极限存在， 如何，只要上式右端的两个和式极限存在，那么 左端的和式极限也存在， 连续， 左端的和式极限也存在，由于 f ( z ) 连续，则
二、 复变积分的基本性质
根据复变函数积分和曲线积分之 间的关系以及曲线积分的性质， 不难验 间的关系以及曲线积分的性质， 证复变函数积分具有下列性质， 它们与 证复变函数积分具有下列性质， 实变函数中定积分的性质相类似： 实变函数中定积分的性质相类似：
(1)若 f ( z ) 沿C可积，且C 由C 1 和C 2连接而成，则 若 可积， 连接而成，
证： 由于f ( z)在 C 上恒有 f ( z ) ≤ M 所以
，
∫
又
C
f ( z ) ds ≤
∫
C
M ds = M ∫ ds = M ⋅ l
C
∫
C
f ( z )d z ≤
∫
C
f ( z ) d s ，则
∫
成立。 成立。
C
f ( z )dz ≤ M ⋅ l
三、 复变积分的计算典型实例
上面提供了一种复积分的计算方法， 上面提供了一种复积分的计算方法，即把复 积分的计算转化为两个二元实函数的曲线积 由参数方程给出时， 分．当曲线积分的积分路径C由参数方程给出时， 当曲线积分的积分路径 由参数方程给出时 复积分又可以转化为单变量的定积分． 复积分又可以转化为单变量的定积分．
C C C
∫
∫
∫
ds
这里 表示弧长的微分， ， 表示弧长的微分2 即 2 ds = (dx) + (dy)
证： 因为
∑ f (ζ
k =1
n
k
)∆zk ≤ ∑ f (ζ k ) ∆zk ≤ ∑ f (ζ k ) ∆S k ，
k =1 k =1
n
n
z 其中 ∆zk , ∆sk 分别表示曲线 C 上弧段 k − 1 z k 对应的弦
C C C
由高等数学理论，其复积分的实部、 由高等数学理论，其复积分的实部、虚部满足实 积分与路径无关的条件， 积分与路径无关的条件，所以
2
∫
C
zdz 的值不论C 是怎
样的曲线都等于 1 (3 + 4i)2 ，这说明有些函数的积分值 与积分路径无关． 与积分路径无关．
例 2 计算 ∫C Re( z )dz ： （1） C 是连接点 0 和 1+i 的直线段； （2） C 是由 0 到 1，再由 1 到 1+i 的 折线段．
1≤ k ≤ n
λ →0
时，如果无论对C 的分法及
的取法如何， ζ k 的取法如何， n S
都有惟一的极限存在，那么称这个极限值为函数 都有惟一的极限存在，那么称这个极限值为函数 的积分， 沿曲线C的积分，记作∫C f ( z )d z ，即
∫
C
f ( z )dz = lim ∑ f (ζ k ) ∆zk
一、柯西积分定理
通过前面的例题我们发现，如果被积函数 通过前面的例题我们发现，如果被积函数 f ( z) = z 在 复平面内是处处解析的， 复平面内是处处解析的，它沿连接起点及终点的任何路径 的积分值都相同，换句话说，积分与路径无关．如果被积 的积分值都相同，换句话说，积分与路径无关．如果被积 是不解析的，积分与路径是有关的． 函数 f ( z) = Re( z) 是不解析的，积分与路径是有关的．也 许沿封闭曲线的积分值与被积函数的解析性及区域的单连 通性有关．我们自然要问： 在什么条件下， 通性有关．我们自然要问：函数 f ( z) 在什么条件下，积分
第三章
柯西定理 柯西积分
第一节 复变积分的概念及其简单性质 第二节 柯西积分定理及其推广 第三节 柯西积分公式及其推广
复变函数积分理论是复变函数的核心内 容，关于复变函数的许多结论都是通过积分 来讨论的， 来讨论的，更重要的是我们要讨论解析函数 积分的性质，并给出解析函数积分的基本定 积分的性质， 理与基本公式， 理与基本公式，这些性质是解析函数理论的 基础， 基础，我们还将得到解析函数的导数仍然是 解析函数这个重要的结论。
为起点， a 为起点，b 为终 把 C 曲线任意分成n
在某小 z0, z1,⋅⋅⋅, zk−1, zk ,⋅⋅⋅, zn ,在某小
∑
n
上任意取一点 ζ k ，并作和
k =1
f (ζ k ) ∆ z k
其中 ∆ z k = z k − z k −1，记
∆sk = zk −1 zk 的最大长度为 λ
则当n无限增大， 则当 无限增大，且 λ = max{∆sk } 无限增大
∫
C
f ( z )d z 可以通过两个二元实变函数的
线积分来计算. 线积分来计算
1.3
闭合环路积分
f ( z )d z
当C为封闭曲线时，那么沿C 的积分为 ∫ C
闭合环路积分（ 并称为复变函数 f ( z ) 的闭合环路积分（或围线积 闭合环路积分 分）。 若沿正方向积分，
∫
C
f ( z )dz
若沿顺时针方向积分呢？
(2) 如果C 是简单闭曲线，通常总规定逆时针 是简单闭曲线， 方向为正方向，顺时针方向为负方向． 方向为正方向，顺时针方向为负方向． (3) 如果 C是复平面上某一个复连通域的边界 曲线， 的正方向这样规定： 曲线，则 C 的正方向这样规定：当人沿曲线 C 行走时，区域总保持在人的左侧， 行走时，区域总保持在人的左侧，因此外部边 界部分取逆时针方向， 界部分取逆时针方向，而内部边界曲线取顺时 针为正方向． 针为正方向．
2πi, = i 2π r n −1 ∫0 {cos[(n − 1)θ ] − i sin[(n − 1)θ ]}dθ ,
n =1 n ≠1
计算即得
2πi dz ∫L ( z − z0 )n = 0 n =1 n ≠1
复变积分的计算方法
1. 归为二元函数的第二型积分来计算，计算公式为
∫
C
f (z)dz = ∫ f (z)dz + ∫ f (z)dz
C1 C2
(2) 常数因子 k 可以提到积分号外，即 可以提到积分号外，
∫
C
kf ( z )d z = k ∫ f ( z )d z
C
(3) 函数和（差）的积分等于各函数积分的和（差）， 函数和（ 的积分等于各函数积分的和（ 即
∫ [ f (z) ± f (z)]dz = ∫
（1）C 可表示为 z = (1 + i)t , 0 ≤ t ≤ 1 ． 解： 所以
1 ∫C Re( z )dz = ∫0 t (1 + i)dt = 2 (1 + i)
1
（ 2 ） C 分 为 两 段 ： C1: z = t , 0 ≤ t ≤ 1 ; C2: z = 1 + it , 0 ≤ t ≤ 1 ，所以
C 1 2
C
f1(z)dz ± ∫ f2 (z)dz
C
(4)若积分曲线的方向改变，则积分值改变符号， 若积分曲线的方向改变，则积分值改变符号， 若积分曲线的方向改变 即
C
−
∫
C
为
C
−
f ( z )d z = − ∫ f ( z )d z
C
的负向曲线． 的负向曲线．
(5)积分的模不大于被积表达式模的积分) ds 积分的模不大于被积表达式模的积分，即 积分的模不大于被积表达式模的积分， f ( z)dz ≤ f ( z) dz = f ( z
为半径的正向圆周， 为整数． 为半径的正向圆周，n 为整数．
为正向圆周（即逆时针方向） ，故其 解 根据 L 为正向圆周（即逆时针方向） 故其 ， 参数方程可以表示为： 参数方程可以表示为：
z = z0 + re ,
iθ
0 ≤ θ ≤ 2π
iθ
dz = ire dθ ,
因此
iθ 2π rie dz i 2π − i( n −1)θ dθ ∫ L ( z − z0 )n = ∫0 r n einθ dθ = r n−1 ∫0 e