2020年广东省东莞市高一下学期月考数学试题及答案

2020年广东省东莞市高一下学期月考数学试题及答案一、单选题1．若角α是第二象限角，则是( ) A ．第一象限角 B ．第二象限角 C ．第一或第三象限角 D ．第二或第四象限角【答案】C【解析】由角α是第二象限角，得到＋2k π＜α＜π＋2k π，k ∈Z ，，由此能求出-2α是第一或第三象限角．【详解】∵α是第二象限角，∴＋2k π＜α＜π＋2k π，k ∈Z ， ∴＋k π＜＜＋k π，k ∈Z. 当k 为偶数时，是第一象限角； 当k 为奇数时，是第三象限角 【点睛】本题考查角所在象限的求法，考查象限角等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题． 2．已知z 轴上一点N 到点A （1，0，3）与点B （－l ，1，－2）的距离相等，则点N 的坐标为（ ） A ．（0，0，12-） B ．（0，0，25-） C ．（0，0，12） D ．（0，0，25）【解析】根据点N 在z 轴上，设出点N 的坐标，再根据N 到A 与到B 的距离相等，由空间中两点间的距离公式求得AN ，BN ，解方程即可求得N 的坐标． 【详解】解：设N （0，0，z ）由点N 到点A （1，0，3）与点B （﹣1，1，﹣2）的距离相等，得：12+02+（z ﹣3）2＝（﹣1﹣0）2+（1﹣0）2+（﹣2﹣z ）2 解得z 25=，故N （0，0，25）故选D ． 【点睛】考查空间两点间的距离公式，空间两点的距离公式和平面中的两点距离公式相比较记忆，利于知识的系统化，属基础题．3．若2{|1}M y y x x R ，==-∈，22{|1,,}N x x y x R y R =+=∈∈，则M N ⋂=（） A ．()1,1- B ．[]1,1-C ．[)1,1-D ．∅【答案】B【解析】由M 与N 中的方程确定出y 的范围，即可求出M 与N 的交集．【详解】由2{|1}M y y x x R ，==-∈，得到{|1}M y y =≥-， 由{|11}N x x =-≤≤，则[]1,1M N ⋂=-，故选B ．此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键．4． 圆O 1：x 2＋y 2－4x －6y ＋12＝0与圆O 2：x 2＋y 2－8x －6y ＋16＝0的位置关系是 ( ) A ．内切 B ．外离 C ．内含 D ．相交【答案】A【解析】圆1O 的圆心()12,3O ，半径11r =，圆2O 的圆心()24,3O ，半径()()22212123,42332,2r O O r r ==-+-=-=，1212OO r r ∴=-，故两圆内切， 故选A.5．下列函数中，最小正周期是π且在区间(,)2ππ上是增函数的是（ ） A ．sin 2y x = B ．sin y x =C ．tan 2xy = D ．cos 2y x =【答案】D【解析】试题分析：B.的最小正周期是，C.的最小正周期为，A,D 的最小正周期都是，当时，，是先减后增，是增函数，故选D.【考点】三角函数的性质6．已知直线0(,,ax by c a b c ++=都是正数）与圆221x y +=相切，则以,,a b c 为三边长的三角形是（ ） A ．锐角三角形B ．直角三角形C ．钝角三角形 D ．不存在【答案】B【解析】根据直线与圆相切，圆心到直线的距离为半径，得a ，b 和c 的关系，从而可判断出三角形为直角三角形． 【详解】 ∵直线与圆相切∴圆心到直线的距离d ＝＝1，得a 2+b 2＝c 2，∴以,,a b c 为三边长的三角形是直角三角形． 故选：B ． 【点睛】本题考查直线与圆的位置关系．常用数形结合的方法，根据圆心到直线的距离和半径的大小，判断直线与圆的位置关系．7．为得到函数πcos 3y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象，只需将函数sin y x =的图像 （ ）A ．向左平移π6个长度单位B ．向右平移π6个长度单位C ．向左平移5π6个长度单位D ．向右平移5π6个长度单位【答案】C【解析】先化简变形把sin y x =变为πcos 2y x ⎛⎫=-⎪⎝⎭，然后由平移公式有πππcos cos cos ()222y x y x x ϕϕϕ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-→=+-=+- ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭平移个单位（）对应相等可得56πϕ=，显然是向左平移．8．若圆x2＋y2＋2ax－4ay＋5a2－4＝0上所有点都在第二象限，则a的取值范围为()A．(－∞，2) B．(－∞，－1)C．(1，＋∞)D．(2，＋∞)【答案】D【解析】先化圆标准方程得圆心坐标与半径，再根据点都在第二象限列不等式，解得结果.【详解】由x2＋y2＋2ax－4ay＋5a2－4＝0，得(x＋a)2＋(y－2a)2＝4，其圆心坐标为(－a,2a)，半径为2，则有20222aaaa-<⎧⎪>⎪⎨->⎪⎪>⎩解得a>2．选D.【点睛】本题考查圆的标准方程，考查基本分析求解能力.9．直线1:l y x a=+和2:l y x b=+将单位圆22:4C x y+=分成长度相等的四段弧，则22a b+=（）A．2 B．4 C．6 D．8【答案】D【解析】画出直线和圆的图像，由此求得,a b的值，进而求得22a b+.【详解】由于直线1:l y x a=+和2:l y x b=+将单位圆22:4C x y+=分成长度相等的四段弧，由此画出直线和圆的图像如下图所示，由图可知，四边形ABCD 是正方形，不妨设2,2a b ==-，所以228a b +=.故选：D【点睛】本小题主要考查直线和圆的位置关系，考查数形结合的数学思想方法，属于基础题. 10．函数()()2cos 22x f x xx π=-+的部分图像可能是（ ） A ．B ．C ．D ．【答案】A【解析】：由对称性及函数值的大小可排除一些选项. 【详解】 由已知2cos()()(1)1x f x x π=-+，∴1x =是其图象的对称轴，这可排除B 、D ，又1(0)(2)2f f ==，排除C ，只能选A.故选A. 【点睛】由解析式选择图象，一般是由解析式研究函数的性质，如单调性、奇偶性、对称性、周期性，函数的最值，函数值的正负，特殊点等等 11．给出下列命题：①正切函数图象的对称中心是唯一的；②若函数()f x 的图像关于直线2x π=对称，则这样的函数()f x 是不唯一的；③若1x ，2x 是第一象限角，且12x x >，则12sin sin x x >； ④若()f x 是定义在R 上的奇函数，它的最小正周期是T ，则02T f ⎛⎫-= ⎪⎝⎭． A ．1 B ．2 C ．3 D ．4【答案】B【解析】①中，由正切函数的性质可知，正切函数的对称②中，图象关于直线2x π=的函数有多个，所以是正确的；③中，如0012390,60x x ==，此时121sin ,sin 22x x ==，此时12sin sin x x <，所以不正确；④中，由()()f x T f x +=，()()()()2222T T T T f T f f =-+==-，所以()02Tf =，所以正确， 【详解】由题意，①中，由正切函数的性质可知，正切函数的对称中心是不唯一的，所以是错误的；②中，图象关于直线2x π=的函数有多个，所以是正确的； ③中，若12,x x 是第一象限角，且12x x >，如0012390,60x x ==，此时121sin ,sin 2x x ==12sin sin x x <，所以不正确；④中，若函数()f x 是定义在R 上的奇函数，它的最小正周期为T ， 则()()f x T f x +=，()()()()2222T T T T f T f f =-+==-，所以()02Tf =，所以正确， 故选B ． 【点睛】本题主要考查了命题的真假判定问题，其中解答中熟记三角函数的相关知识，逐个判定是解答的关键，解答时要认真审题，注意函数性质的合理运用，着重考查了推理与论证能力，属于中档试题．12．已知()f x 是定义在R 上的偶函数，且有(1)(1)f x f x -=+，任意不等实数12,[0,1]x x ∈都有1212[()()]()0f x f x x x -->，则A ．c a b <<B ．c b a <<C ．a c b <<D ．b a c <<【答案】D【解析】由已知()f x 是定义在R 上的偶函数，且有()()11f x f x -=+，任意不等实数[]12,0,1x x ∈都有()()()12120f x f x x x ⎡⎤-->⎣⎦，可得函数的奇偶性、周期性及在区间0,1上的单调性，将(2sin1)a f =+，(cos1)b f =-，(2019)c f =转化为区间0,1上的函数值，结合单调性进行比较大小【详解】因为(1)(1)f x f x -=+，所以函数()f x 为周期2T =的周期函数，所以(2sin1)(sin1)a f f =+=，(2019)(1)c f f ==，又因为()f x 是定义在R 上的偶函数，所以(cos1)(cos1)b f f =-=，因为任意不等实数[]12,0,1x x ∈都有()()()12120f x f x x x ⎡⎤-->⎣⎦，所以函数()f x 在区间0,1上单调递增，又因为cos1sin11<<，所以b a c <<，选择D【点睛】函数的奇偶性、周期性及单调性是函数的三大性质，在高考中常常将它们综合在一起命题，解题时，往往需要借助函数的奇偶性和周期性来确定另一区间上的单调性，即实现区间的转换，再利用单调性解决相关问题二、填空题13．已知扇形的半径为3cm ，圆心角为2弧度，则扇形的面积为_________2cm .【解析】∵扇形的半径为3cm ，圆心角为2弧度， ∴扇形的弧长为236l =⨯=，∴扇形的面积为211639()22S lr cm ==⨯⨯=．答案：9 14．函数2sin 1y x =-的定义域是.【答案】5[2,2]66k k ππππ++，k Z ∈ 【解析】试题分析：根据题意由于2sin 1y x =-有意义，则可知12sin 10sin 2x x -≥∴≥，结合正弦函数的性质可知，函数定义域5[2,2]66k k ππππ++，，k Z ∈，故可知答案为5[2,2]66k k ππππ++，，k Z ∈， 【考点】三角函数的性质点评：主要是考查了三角函数的性质的运用，属于基础题． 15．我们把圆心在一条直线上且相邻圆彼此外切的一组圆叫作“串圆”．如图所示的“串圆”中，圆A 的方程为()2212x y +-=，圆C 的方程为()()22672x y -+-=，则圆B 的方程为______．【答案】()()22348x y -+-=【解析】根据题意可得，()0,1A ，()6,7C ，可得AC 的直线方程为1y x =+，根据圆A ，圆C 的半径可求圆B 的半径，设即可. 【详解】依题意可得，()0,1A ，()6,7C ，于是可得AC 的直线方程为1y x =+．又AC =圆A ，圆C 所以圆B 的半径r =()(),10B t t t +>，则AB ==得3t =，所以()3,4B ．故圆B 的方程为()()22348x y -+-=．【点睛】本题主要考查了圆的方程，圆的相切，属于中档题.16．在平面直角坐标系xOy 中，若直线l ：5(y kx =-其中0)k >上存在点P ，在圆C ：22(1)1x y +-=上存在两个不同的两点M ，N ，使得点M 是线段PN 的中点，则实数k 的最小值是______．【解析】根据条件，若在圆上存在两个不同的两点M ，N ，使得点M 是线段PN 的中点，等价为圆心到直线5y kx =-的距离小于等于3即可． 【详解】解：圆心坐标()0,1C ，半径2R =，则直径为2，要使在圆C ：22(1)1x y +-=上存在两个不同的两点M ，N ，使得点M 是线段PN 的中点， 即MN MP =，则MN 的最大值为直径2，即MP 的最大值为2，即圆心C 到直线5y kx =-的最大值距离123d =+=，即圆心到直线l ：50kx y --=的距离d 满足3d ≤， 22015311k k --=≤++212k +≥，平方得214k +≥，得23k ≥，得3k ≥3(k ≤-舍)，则k 33【点睛】本题主要考查直线和圆的位置关系的应用，利用数形结合转化为点到直线的距离问题是解决本题的关键．三、解答题17．已知圆22:(2)(3)4C x y -+-=外有一点()41-,，过点P 作直线l ．(1)当直线l 与圆C 相切时，求直线l 的方程；(2)当直线l 的倾斜角为135︒时，求直线l 被圆C 所截得的弦长．【答案】（1）4x =或3480x y +-=（2）【解析】(1)根据题意分斜率不存在和斜率存在两种情况即可求得结果;(2)先求出直线方程，然后求得圆心C 与直线l 的距离,由弦长公式即可得出答案. 【详解】解: (1)由题意可得()2,3C ,直线l 与圆C 相切 当斜率不存在时，直线l 的方程为4x =,满足题意 当斜率存在时，设直线l 的方程为14y k x +=-,即410kx y k ---=2=,解得34k =-∴直线的方程为3480x y +-= ∴直线l 的方程为4x =或3480x y +-=(2)当直线l 的倾斜角为135︒时，直线l 的方程为30x y +-= 圆心()2,3C 到直线l 23322∴弦长为=【点睛】本题考查了直线的方程、直线与圆的位置关系、点到直线的距离公式及弦长公式，培养了学生分析问题与解决问题的能力.18．已知函数1()3sin ,24f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭x ∈R ．（1）列表并画出函数()f x 在长度为一个周期的闭区间上的简图；（2）求函数()f x 的对称轴方程和对称中心． 【答案】（1）见解析（2）对称轴32,2x k ππ=+k Z ∈．对称中心2,0,2k ππ⎛⎫+ ⎪⎝⎭k Z ∈． 【解析】（1）利用五点作图法，画出列表并画出函数()f x 在长度为一个周期的闭区间上的简图.（2）根据三角函数对称轴和对称中心的求法，求得函数()f x 的对称轴方程和对称中心．【详解】（1）函数()f x 的周期2412T ππ==．由10,24x π-=,2π,π3,2π2π，解得,2x π=3,2π5,2π7,2π92π．列表如下：x2π 32π 52π72π92π124x π- 02ππ32π2π13sin24xπ⎛⎫-⎪⎝⎭0 3 0 -3 0描出五个关键点并光滑连线，得到一个周期的简图．图象如下：（2）由1242x kπππ-=+，解得()f x的对称轴为32,2x kππ=+k Z∈．由124x kππ-=，解得22x kπ=+π，所以()f x的对称中心为2,0,2kππ⎛⎫+⎪⎝⎭k Z∈．【点睛】本小题主要考查五点作图画三角函数图像，考查三角函数对称轴、对称中心的求法，属于基础题.19．已知角α的终边在第二象限,且与单位圆交于点2(,)3m．（1）求tanα的值；（2()()()2sin32sincosππαααπα⎛⎫-++⎪⎝⎭--+.【答案】31-222 2.2（）；（）【解析】(1)先求出13m =-，再求出tan α的值.(2)先利用诱导公式化简，再把tan α的值代入求解. 【详解】 （1）由题得2211,,3m m +=∴=±因为角α的终边在第二象限，所以1.3m =-所以3tan 13α==--(2)()sin ππαα⎛⎫-++ ⎪====【点睛】本题主要考查三角函数的坐标定义，考查同角的商数关系和诱导公式，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.20．已知函数f(x)=sin(ωx+ϕ ) - b(ω>0，0<ϕ<π的图象的两相邻对称轴之间的距离2π，若将f(x)的图象先向右平移6π个单位，所得图象对应的函数为奇函数．(1)求f(x)的解析式并写出单增区间；(2)当x ∈0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦，f(x)+m-2<0恒成立，求m 取值范围． 【答案】（1）()sin 23f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，单调递增区间为()5,1212k k k Z ππππ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦；（2）(1⎤-∞⎦．【解析】（1）由题意222ππω=⨯，求得2ω=，得到()()sin 2f x x b ϕ=+-，进而求得b =得到函数()f x 的解析式，即可求解函数的单调递增区间；（2）由0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，42333x πππ≤+≤，可得()1f x ≤≤-可求解m 的取值范围. 【详解】 （1）由题意222ππω=⨯，∴2ω=，()()sin 2f x x b ϕ=+-，又()sin 26g x x b πϕ⎡⎤⎛⎫=-+- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦为奇函数，且0ϕπ<<，则3πϕ=，b =故()sin 23f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭令()222232k x k k Z πππππ-≤+≤+∈，解得()51212k x k k Z ππππ-≤≤+∈ ∴()f x 的单调递增区间为()5,1212k k k Z ππππ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦．（2）0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，42333x πππ≤+≤，()1f x ≤≤， 又()2m f x -≤-，故m 的取值范围是(1⎤-∞⎦．【点睛】本题主要考查了三角函数的图象与性质的综合应用，其中熟记三角函数的图象与性质是解答此类问题的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题. 21．已知过原点的动直线l 与圆221:650C x y x +-+=相交于不同的两点A ，B ．（1）求线段AB 的中点M 的轨迹C 的方程；（2）是否存在实数k ，使得直线:(4)L y k x =-与曲线C 只有一个交点？若存在，求出k 的取值范围；若不存在，说明理由．【答案】（1）22393().(,3]245x y x -+=∈（2）252533[,],44k ⎧⎫∈-⋃-⎨⎬⎩⎭【解析】试题分析：（Ⅰ）利用圆的几何性质，总有1C M AB ⊥，根据斜率公式得到轨迹方程；（Ⅱ）做出曲线C 的图象，:(4)L y k x =-恒过点，利用数形结合，可知斜率的变化范围．试题解析：（Ⅰ）设，则1C M AB ⊥，当直线l 的斜率不为0时，由得，即当直线l 的斜率为0时，也适合上述方程∴ 线段EF 的中点的轨迹的方程为；（Ⅱ）由（Ⅰ）知点的轨迹是以为圆心为半径的部分圆弧（如下图所示，不包括两端点），且，，又直线C ：()4y k x =-过定点，当直线C 与圆L 相切时，由得，又，结合上图可知当时，直线C ：()4y k x =-曲线L 只有一个交点．【考点】1、直线与圆的位置关系；2、中点轨迹方程；3、数形结合．22．若2()122cos 2sin f x a a x x =--- 的最小值为()g a . （1）求()g a 的表达式； （2）求能使1()2g a = 的值，并求当a 取此值时，()f x 的最大值.【答案】（1）()21221222142a a g a a a aa <-⎧⎪⎪=----≤≤⎨⎪->⎪⎩；（2）()f x 的最大值为5【解析】试题分析：（1）通过同角三角函数关系将()f x 化简，再对函数()f x 配方，然后讨论对称轴与区间[1?1?]-，的位置关系，从而求出()f x 的最小值；（2）由()12g a =，则根据()g a 的解析式可知()g a 只能在[)2-+∞，内解方程，从而求出a 的值，即可求出()f x 的最大值.试题解析：（1）()()2122cos 21cos f x a a x x =----22cos 2cos 12x a x a =--- 222cos 2122a a x a ⎛⎫=---- ⎪⎝⎭若12a<-，即2a <-，则当cos 1x =-时，()f x 有最小值，()222121122a a g a a ⎛⎫=-----= ⎪⎝⎭；若112a -≤≤，即22a -≤≤，则当cos 2ax =时，()f x 有最小值，()2212a g a a =---若12a>，即2a >，则当cos 1x =时，()f x 有最小值，()2221211422a ag a a a ⎛⎫=----=- ⎪⎝⎭所以()21221222142a a g a a a aa <-⎧⎪⎪=----≤≤⎨⎪->⎪⎩； （2）若()12g a =，由所求()g a 的解析式知212122a a ---=或1142a -=由222112122a a a a -≤≤⎧⎪⇒=-⎨---=⎪⎩或3a =-（舍）；由2118142a a a >⎧⎪⇒=⎨-=⎪⎩（舍） 此时()2112cos 22f x x ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，得()max5f x =，所以()12g a =时，1a =-，此时()f x的最大值为5.第 21 页共 21 页。