【数学】山东省德州市2018届高三3月第一次模拟考试试题(理)

山东省德州市2018届高三3月第一次模拟考试数学试题（理）
一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 已知全集{}1,2,3,4,5,6U =，集合{}1,3A =，集合{}3,4,5B =，则集合()U A C B ⋂=（ ） A ．{}1,2,3,6 B ．{}1 C ．{}1,2 D ．{}1,3,4,5
2.设i 为虚数单位，R a ∈，若()()1i 1i a --为纯虚数，则复数1i a -的模是（ ） A
B ．2
C ．1
D ．0
3.已知命题():0,,sin p x x x ∀∈+∞>，命题12
1:,log 2R x
q x x ⎛⎫
∃∈= ⎪⎝⎭，则下列命题中的真命题
为（ ）
A ．q ⌝
B ．p q ∧
C ．()p q ⌝∧
D ．()()p q ⌝∨⌝
4.已知双曲线()22
2210,0x y a b a b
-=>>的一个焦点在抛物线216y x =的准线上，且双曲线的—
条渐近线过点
)
，则双曲线的方程为（ ）
A ．221420x y -
= B ．221124x y -= C ．221412x y -= D ．221204
x y -= 5.已知ABC ∆的三边分别是,,a b c ，设向量()
()sin sin ,3,sin ,m B A a c n C a b =-+=+，且//m n ，则B 的大小是（ ）
A ．
π6 B ．5π6 C ．π3 D
．2π3
6.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积是（ ）
A ．+2π
B ．+16+4π C
．
+4π
D ．+16+2π
7.设()1,1X
N ，其正态分布密度曲线如图所示，那么向正方形ABCD 中随机投掷100000
个点，则落入阴影部分的点的个数的估计值是（ ） 注：若()2,X
N μσ，则()0.6826P X μσμσ-<<+≈，()220.9544P X μσμσ-<<+≈
A.60380
B.65870
C.70280
D.75390
8.已知不等式组2
10
y x y kx y ≤-+⎧⎪
≤+⎨⎪≥⎩所表示的平面区域为面积等于94的三角形，则实数k 的值为（ ）
A ．1
B ．2-
C ．1或2-
D ．2
9
-
9.函数()ln cos f x x x =+（ππ
22
x -
≤≤且0x ≠）的图象大致是（ ） A ． B ．
C ．
D ．
10.已知公比不为1的等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足258,2,3a a a 成等差数列，则3
6
3S S =（ ） A ．
134 B ．1312 C ．94 D ．11
12
11.已知函数()(](]11
1,1,012,0,1x x x f x x -⎧-∈-⎪
+=⎨⎪∈⎩
，且()()2g x f x mx m =-+在(]1,1-
内有且仅有两个
不同的零点，则实数m 的取值范围是（ ） A ．11,4⎛
⎤-- ⎥⎝
⎦
B ．(]1,1,4⎛⎫
-∞-⋃-+∞ ⎪⎝⎭
C ．11,4⎡
⎫--⎪⎢⎣
⎭
D ．()1,1,4⎡⎫
-∞-⋃-+∞⎪⎢⎣⎭
12．若关于x 的方程1
e 0e e x x x
x m x +++=+有三个不等的实数解123,,x x x ，且1230x x x <<<，其
中,e 2.71828
R m ∈=为自然对数的底数，则1232
312111e e e x x x x
x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭
的值为（ ）
A ．2e
B ．e
C ．1m -
D ．1m + 二、填空题：每题5分，满分20分.
13.5名同学去参加2个不同的社团组织，每名同学只能参加其中一个社团组织，且甲乙两位同学不参加同一个社团组织，则共有种可能（结果用数字表示）.
14.在《九章算术》中记载着一道关于“持金出关”的题目，大意是：“在古代出关要交税.一天，某人拿钱若干出关，第1关交所拿钱数的12，第2关交所剩钱数的1
3
，第3关交所剩钱数的1
4
，
”.现以这则故事中蕴含的数学思想，设计如图所示程序框图，则运行此程序，
输出n 的值为 ．
15.若圆22440x y x y +--=上至少有三个不同的点到直线:l y kx =，则直线l 的斜率的取值范围是．
16.如图所示，坐标纸上的每个单位格的边长为1，由下往上的六个点：1,2,3,4,5,6的横、纵坐标分别对应数列{}()
*n a n N ∈的前12项，其中横坐标为奇数项，纵坐标为偶数项，按如
此规律，则2016201720182019a a a a +++=．
三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17. 已知函数()22sin cos f x x x x =-+（1）求()f x 的单调递增区间；
（2）若π11,π324x ⎡⎤
∈⎢⎥⎣⎦，且锐角ABC ∆的两边长分别是函数()f x 的最大值和最小值，ABC
∆
ABC ∆的面积.
18.某数学小组从医院和气象局获得今年1月至6月份每月20日的昼夜温差（,3x C x ︒≥）和患感冒人数（y 人）的数据，画出折线图.
（1）由折线图看出，可用线性回归模型拟合y 与x 的关系，请用相关系数加以说明； （2）建立y 关于x 的回归方程（精确到0.01)，预测昼夜温差为4C ︒时患感冒的人数(精确到整数).
参考数据：6
1
54.9i i x ==∑，()()6
1
94i i i x x y y =--=∑
6
= 2.646≈.
参考公式:相关系数:
n
x y
r =
，回归直线方程是y a bx =+，
()()
()
1
2
1
,n
i
i i n
i
i x
x y y
b a y b x x
x
==--=
=-⋅-∑∑
19. 如图1，在高为2的梯形ABCD 中，//,25AB CD AB CD ==，，过A B 、分别作
,AE CD BF CD ⊥⊥，垂足分别为E F 、.已知1DE =，将D C 、沿AE BF 、折向同侧，得空
间几何体ADE BCF -
，如图
2.
（1）若AF BD ⊥，求证:DE BE ⊥；
（2）若//,DE CF CD =，线段AB 的中点是P ，求CP 与平面ACD 所成角的正弦值.
20.已知椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>，点⎛ ⎝在椭圆上，,A B 分别为椭圆的右顶点与上顶点，过点,A B 引椭圆C 的两条弦AE BF 、交椭圆于点,E F . （1）求椭圆C 的方程；
（2）若直线,AE BF 的斜率互为相反数，
①求出直线EF 的斜率；②若O 为直角坐标原点，求OEF ∆面积的最大值.
21.已知函数()()ln 0f x ax x a =>在点()()e,e f 处的切线和直线210x y ++=垂直. （1）求a 的值；
（2）对于任意的0x >，证明：()32e f x x -≥--；
（3）若()f x b =有两个实根()1212,x x x x ≠，求证：12331122e x x b -<++.
请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分. 22.选修4-4：坐标系与参数方程
已知极坐标系的极点为直角坐标系xOy 的原点，极轴为x 轴的正半轴，两种坐标系中的长度
单位相同.直线l πcos 14θ⎛
⎫+= ⎪⎝⎭，曲线C 的参数方程为sin x y θθ⎧⎪⎨=⎪⎩(θ
为参数），设直线l 与曲线C 交于,A B 两点.
（1）写出直线l 的普通方程与曲线C 的直角坐标方程，并求线段AB 的长； （2）已知点P 在曲线C 上运动，求点P 到直线l 距离的最大值.
23.选修4-5：不等式选讲 已知函数()3f x x a x =++-.
（1）若()f x 的最小值为5，求实数a 的值；
（2）当10x -≤≤时，不等式()4f x x ≤-恒成立，求实数a 的取值范围.
【参考答案】。