二次函数及其图像

二次函数及其图像
【知识点回顾】 1. 解析式：
(1)一般式：y =ax 2
+bx +c (a ≠0)
(2)顶点式：y =a (x -h )2
+k (a ≠0)，其图象顶点坐标(h ，k ).
(3)两根式：y =a (x -x 1)( x -x 2) (a ≠0)，其图象与x 轴的两交点分别为(x 1，0)，(x 2，0). 注意：①一般式可通过配方法化为顶点式.②求二次函数解析式通常由图象上三个点的坐标，用待定系数法求得. 若已知抛物线的顶点和对称轴，可用顶点式；若已知抛物线与x 轴的两个交点，可用两根式；若已知三个非特殊点，通常用一般式.
2
a ＞0
3. 二次函数y =a (x -h )2
+k (a ≠0)的对称轴是______________，顶点坐标是___________.
4. 二次函数y =ax 2+bx +c 用配方法可化成y =a (x -h )2
+k 的形式，其中h =____，k =________.
5. 二次函数y =a (x -h )2+k 的图象和y =ax 2
图象的关系.
6. 二次函数y =ax 2
+bx +c 图象与a ，b ，c 符号的关系.
(1)a 决定抛物线开口方向：a ＞0时抛物线开口向上；a ＜0时抛物线开口向下； (2)a 、b 决定对称轴x =-
2b
a
的位置：ab ＞0时对称轴在y 轴左侧；b =0时对称轴为y 轴； ab ＜0时对称轴在y 轴右侧.
(3)c 决定抛物线与y 轴交点的位置：c ＞0时抛物线交y 轴于正半轴；c =0时抛物线过原点；c ＜0时抛物线交y 轴于负半轴.
7.抛物线的平移
抛物线的平移主要是移动顶点的位置，将y=ax 2
沿着y 轴（上“＋”，下“－”）平移k （k>0）个单位得到函数y=ax 2
±k ，将y=ax 2
沿着x 轴（右“－”，左“＋”）平移h （h>0）个单位得到y=a （x ±h ）2
．•在平移之前先将函数解析式化为顶点式，再来平移，若沿y•轴平移则直接在解析式的常数项后进行加减（上加下减），若沿x 轴平移则直接在含x 的括号内进行加减（右减左加）． 【典例精析】
例1 已知：二次函数为y=x 2－x+m ，（1）写出它的图象的开口方向，对称轴及顶点坐标；（2）m 为何值时，顶点在x 轴上方，（3）若抛物线与y 轴交于A ，过A 作AB ∥x 轴交抛物线于另一点B ，当S △AOB =4时，求此二次函数的解析式．
例2 如图，抛物线经过、两点，与轴交于另一点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）已知点在第一象限的抛物线上，求点关于直线对称的点的坐标； （3）在（2）的条件下，连接，点为抛物线上一点，且，求点的坐标．
2
4y ax bx a =+-(10)A -，(04)C ，x B (1)D m m +，D BC BD P 45DBP
∠=°P
【迎考精练】
一、选择题
1.抛物线（是常数）的顶点坐标是（）
A．B．C．D．
2.根据下表中的二次函数的自变量x与函数y的对应值，可判断二次函数的图像与x轴（）
A．只有一个交点
B．有两个交点，且它们分别在y轴两侧
C．有两个交点，且它们均在y轴同侧
D．无交点
3.函数y=ax＋1
与y=
ax2＋
bx
＋1（a≠0）的图象可能是（）
4.二次函数的图象如图2所示，若点A（1，y1）、B（2，y2）是它图象上的两点，则y1与y2的大小关系是（）
A．B．C．D．不能确定
5.将函数的图象向右平移a个单位，得到函数的图象，则
2
2()
y x m n
=++m n
，
()
m n
，()
m n
-，()
m n
-，()
m n
--，
c
bx
ax
y+
+
=2
44
c
bx
ax
y+
+
=2
2
1
y
y<2
1
y
y=2
1
y
y>
2
y x x
=+(0)
a>232
y x x
=-+
B．C．D．
a 的值为
A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
6.在平面直角坐标系中，先将抛物线关于轴作轴对称变换，再将所得的抛物线关于轴作轴对称变换，那么经两次变换后所得的新抛物线的解析式为（ ） A ． B ．
C. D ．
7.把二次函数用配方法化成的形式 A. B. C. D. 8.某车的刹车距离y （m ）与开始刹车时的速度x （m/s ）之间满足二次函数（x ＞0），若该车某次的刹车距离为5 m ，则开始刹车时的速度为（ ） A ．40 m/s B ．20 m/s C ．10 m/s
D ．5 m/s
二、填空题
1.若把代数式化为的形式，其中为常数，
则=
.
2.已知二次函数的图象经过原点及点（，），且图象与x 轴的另一交点到原点的距离为1，则该二次函数的解析式为
3.抛物线的顶点坐标为__________．
4.已知二次函数的图象与轴交于点、，且，与轴的正半轴的交点在的下方．下列结论：①；②；③；④．其中正确结论的个数是 个．
5.抛物线的图象如图所示， 则此抛物线的解析式为 ．
2
2y x x =+-x y 2
2y x x =--+2
2y x x =-+-22y x x =-++2
2y x x =++34
12+--=x x y ()k h x a y +-=2
()2241
2+--
=x y ()424
12+-=x y ()42412++-=x y 3212
12
+⎪⎭⎫ ⎝⎛-=x y 2
120
y x =2
23x x --()2
x m k -+,m k m k +1
2-14
-2
3(1)5y x =--+2
y ax bx c =++x (20)-，1(0)x ，112x <<y (02)，
420a b c -+=0a b <<20a c +>210a b -+>2
y x bx c
=-++
6.函数取得最大值时，______． 三、解答题
1.已知二次函数的图象过坐标原点，它的顶点坐标是（1，－2），求这个二次函数的关系式．
2.已知为直角三角形，，,点、在轴上，点坐标为（，）（），线段与轴相交于点，以（1，0）为顶点的抛物线过点、
．
（1）求点的坐标（用表示）； （2）求抛物线的解析式；
（3）设点为抛物线上点至点之间的一动点，连结并延长交于点，连结
并延长交于点，试证明：
(2)(3)y x x =--x =ABC ∆90ACB ∠=︒AC BC =A C x B 3m 0m >AB y D P B D A m Q P B PQ BC E BQ AC F (FC AC
3.已知二次函数过点A （0，），B （，0），C （）． （1）求此二次函数的解析式；
（2）判断点M （1，）是否在直线AC 上？
（3）过点M （1，
）作一条直线与二次函数的图象交于E 、F 两点（不同于A ，B ，C 三点），请自已给出E 点的坐标，并证明△BEF 是直角三角形．
2-1-59
48
，1
2
1
2
l 第3题
4.如图，在平面直角坐标系中，OB⊥OA，且OB＝2OA，点A的坐标是
(－1，2)．
（1）求点B的坐标；
（2）求过点A、O、B的抛物线的表达式；
（3）连接AB，在（2）中的抛物线上求出点P，使得S△ABP＝S△ABO．
5.新星电子科技公司积极应对2008年世界金融危机，及时调整投资方向，瞄准光伏产业，建成了太阳能光伏电池生产线．由于新产品开发初期成本高，且市场占有率不高等因素的影响，产品投产上市一年来，公司经历了由初期的亏损到后来逐步盈利的过程（公司对经营的盈亏情况每月最后一天结算1次）．公司累积获得的利润y（万元）与销售时间第x（月）之间的函数关系式（即前x个月的利润总和y与x之间的关系）对应的点都在如图所示的图象上．该图象从左至右，依次是线段OA、曲线AB和曲线BC，其中曲线AB为抛物线的一部分，点A为该抛物线的顶点，曲线BC为另一抛物线的一部分，且点A，B，C的横坐标分别为4，10，12
（1）求该公司累积获得的利润y（万元）与时间第x（月）之间的函数关系式；
（2）直接写出第x个月所获得S（万元）与时间x（月）之间的函数关系式（不需要写出计算过程）；
（3）前12个月中，第几个月该公司所获得的利润最多？最多利润是多少万元？
6.某商场试销一种成本为每件60元的服装，规定试销期间销售单价不低于成本单价，且获利不得高于45%，经试销发现，销售量（件）与销售单价（元）符合一次函数，且时，；时，．
（1）求一次函数的表达式；
（2）若该商场获得利润为元，试写出利润与销售单价之间的关系式；销售单价定为多少元时，商场可获得最大利润，最大利润是多少元？
（3）若该商场获得利润不低于500元，试确定销售单价的范围．
7.如图1，已知：抛物线与轴交于两点，与轴交于点C，经过
B、C两点的直线是，连结．
（1）B、C两点坐标分别为B（_____，_____）、C（_____，_____），抛物线的函数关系式为______________；
（2）判断的形状，并说明理由；
（3）若内部能否截出面积最大的矩形（顶点在各边上）？若能，求出在边上的矩形顶点的坐标；若不能，请说明理由．
[抛物线的顶点坐标是]。