高考数学冲刺必备 “10+7”提速专练卷(三)

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打卡第三天-【10天刷完高考真题】冲刺2023年高考数学考前必刷题限时集训练(新高考通用)解析版

【10天刷完高考真题】冲刺2023年高考数学考前必刷题限时集训练（新高考通用）新高考真题限时训练打卡第三天一、单选题（本题共6小题，每小题5分，共30分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求）1．（2020·海南·高考真题）设集合A ={2，3，5，7}，B ={1，2，3，5，8}，则A B ⋂=（）A ．{1，3，5，7}B ．{2，3}C ．{2，3，5}D ．{1，2，3，5，7，8}【答案】C【分析】根据集合交集的运算可直接得到结果.【详解】因为A{2，3，5，7}，B ={1，2，3，5，8}，所以{}2,3,5A B = 故选：C【点睛】本题考查的是集合交集的运算，较简单.2．（2020·海南·高考真题）()()12i 2i ++=（）A ．45i +B ．5iC ．5i-D ．23i+【答案】B【分析】直接计算出答案即可.【详解】()()212i 2i 2i 4i 2i 5i ++=+++=故选：B【点睛】本题考查的是复数的计算，较简单.3．（2020·海南·高考真题）要安排3名学生到2个乡村做志愿者，每名学生只能选择去一个村，每个村里至少有一名志愿者，则不同的安排方法共有（）A ．2种B ．3种C ．6种D ．8种【答案】C【分析】首先将3名学生分成两个组，然后将2组学生安排到2个村即可.【详解】第一步，将3名学生分成两个组，有12323C C =种分法第二步，将2组学生安排到2个村，有222A =种安排方法所以，不同的安排方法共有326⨯=种故选：C 【点睛】解答本类问题时一般采取先组后排的策略.4．（2019·全国·高考真题）设α，β为两个平面，则//αβ的充要条件是A ．α内有无数条直线与β平行B ．α内有两条相交直线与β平行C ．α，β平行于同一条直线D ．α，β垂直于同一平面【答案】B【分析】本题考查了空间两个平面的判定与性质及充要条件，渗透直观想象、逻辑推理素养，利用面面平行的判定定理与性质定理即可作出判断．【详解】由面面平行的判定定理知：α内两条相交直线都与β平行是//αβ的充分条件，由面面平行性质定理知，若//αβ，则α内任意一条直线都与β平行，所以α内两条相交直线都与β平行是//αβ的必要条件，故选B ．【点睛】面面平行的判定问题要紧扣面面平行判定定理，最容易犯的错误为定理记不住，凭主观臆断，如：“若,,//a b a b αβ⊂⊂，则//αβ”此类的错误．5．（2020·山东·统考高考真题）已知P 是边长为2的正六边形ABCDEF 内的一点，则AP AB ⋅ 的取值范围是（）A ．()2,6-B ．(6,2)-C ．(2,4)-D ．(4,6)-【答案】A【分析】首先根据题中所给的条件，结合正六边形的特征，得到AP 在AB 方向上的投影的取值范围是(1,3)-，利用向量数量积的定义式，求得结果.【详解】AB的模为2，根据正六边形的特征，可以得到AP 在AB方向上的投影的取值范围是(1,3)-，结合向量数量积的定义式，可知AP AB ⋅ 等于AB 的模与AP 在AB方向上的投影的乘积，所以AP AB ⋅的取值范围是()2,6-，故选：A.【点睛】该题以正六边形为载体，考查有关平面向量数量积的取值范围，涉及到的知识点有向量数量积的定义式，属于简单题目.6．（2019·全国·高考真题）关于函数()sin |||sin |f x x x =+有下述四个结论：①f (x )是偶函数②f (x )在区间（2π,π）单调递增③f (x )在[,]-ππ有4个零点④f (x )的最大值为2其中所有正确结论的编号是A ．①②④B ．②④C ．①④D ．①③【答案】C【分析】化简函数()sin sin f x x x =+，研究它的性质从而得出正确答案．【详解】()()()()sin sin sin sin ,f x x x x x f x f x -=-+-=+=∴ 为偶函数，故①正确．当2x ππ<<时，()2sin f x x =，它在区间,2π⎛⎫π ⎪⎝⎭单调递减，故②错误．当0x π≤≤时，()2sin f x x =，它有两个零点：0,π；当0x π-≤<时，()()sin sin 2sin f x x x x =--=-，它有一个零点：π-，故()f x 在[],-ππ有3个零点：0-π,,π，故③错误．当[]()2,2x k k k *∈ππ+π∈N 时，()2sin f x x =；当[]()2,22x k k k *∈π+ππ+π∈N 时，()sin sin 0f x x x =-=，又()f x 为偶函数，()f x \的最大值为2，故④正确．综上所述，①④正确，故选C ．【点睛】画出函数()sin sin f x x x =+的图象，由图象可得①④正确，故选C ．二、多选题（本题共2小题，每小题5分，共10分。

2019高考数学浙江精编冲刺练“10+7”满分限时练(三)

限时练（三）（限时：45分钟）、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分•在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.已知集合 A = {0，2}，B = { — 2，— 1, 0，1, 2}，则 AGB =（）A . {0，2}B . {1，2}C . {0}D . { — 2，— 1, 0, 1, 2}解析由题意知AAB = {0 , 2}.故选A.答案 D 3.设平面a 与平面B 相交于直线m ,直线a 在平面a内，直线b 在平面B 内, 且b ± m ，贝u a 丄b”是a 丄B 的（）A .充分不必要条件B .必要不充分条件解析因为a 丄B b 丄m ， aA m ， b B 所以b 丄a,又直线a 在平面a 内，所以a 丄b ；但直线a ，m 不一定相交，所以a 丄b”是a 丄B 的必要不充分条件，故选B. 答案 B11 14. 已知 a = 43，b = log -3，c = log 34，则()3._~co -4- 5—5+5i4. -5i-3+4i解析1+ 2i (1 + 2i )1— 2厂(1 — 2i ) (1+ 2i ) __ 3 4. (1+2i )—5 + 5i，故选D.C .充分必要条件D .既不充分也不必要条件AA . a >b >cB . b >c >aD . b >a >c1 1 1因为 a =43> 1, O v b = log ： = Iog 43v 1, c = Iog3；v 0,所以 a > b >c ,故43 4选A. 答案 A5. 将标号为1, 2, 3, 4的四个篮球分给三位小朋友，每位小朋友至少分到一个篮球，且标号1、2的两个篮球不能分给同一个小朋友，则不同的分法种数为（） A . 15B . 20C . 30D . 42解析四个篮球两个分到一组有 c 4种，3个篮球进行全排列有A 3种，标号1、2 的两个篮球分给一个小朋友有 A 3种，所以有 C A 3— A 3= 36-6 = 30,故选C. 答案 C6 .若某几何体的三视图仲位：cm ）如图所示，则此几何体的体积是（）3A . 36 cm 3C . c >b >a解析3 B . 48 cm3C . 60 cm3D . 72 cm3解析由三视图可知，上面是个长为4,宽为2,高为2的长方体，下面是一个放倒的四棱柱，高为4,底面是个梯形，上、下底分别为2, 6,高为2.所以长方体的体积为4>2X2= 16,四棱柱的体积为4彳学& = 32,所以该几何体的体积为32+ 16= 48,选 B.答案B7. 二项式&X +令『的展开式中只有第6项的二项式系数最大，则展开式中的常数项是（）丄A . a >b >cB . b >c >a令5_ 2r = 0,得r = 2. A 展开式中的常数项 T 3 = 22&0= 180. 答案 A8. 等差数列｛a n ｝中的a 4, a 2 018是函数f(x) = x 3_ 6x 2 + 4x _ 1的极值点，则log*1 011 二() 1 1 A.，B . 2C . — 2D . —232解析因为f'x)= 3x — 12x + 4,而a 4和a 2 018为函数f(x) = x — 6x + 4x _ 1的极值点，所以 a 4和 a 2 018为 f'x (= 3x 2_ 12x +4= 0 的根，所以 a 4 + a 2 018= 4,又 a 4、a 1 011故选D. 答案 Dx >29.已知x , y 满足约束条件 x + y <4, 目标函数z = 6x + 2y 的最小值是10,-—2x + y + c >0则z 的最大值是() A . 20B . 22C . 24D . 266x + 2y = 10, x = 2, 解析由解得代入直线—2x + y + c = 0得c = 5,即直线方x =2, y =_ 1. 一 2x + y + 5 = 0, x = 3,程为一 2x + y + 5= 0.平移直线3x + y = 0,由得x + y = 4, ly = 1,解析 B . 90依题意n =10,则C . 45D . 36010.：x + 2的通项公式 T r + 1 =C lo^/X)10-呀5 _r r 5 _-=2 C 10X 2r.和a 2 018成等差数列，所以 2a 1 011 = a 4 + a 2 018,1即 a 1 011= 2,所以 log-a 14011 =_2'即D(3, 1),当直线经过点D时，直线的纵截距最大，此时z取最大值，代入直线z= 6x+ 2y 得z= 6X3 + 2 = 20,故选 A.答案 A 10. 已知点A 是抛物线y 2 = 4x 的对称轴与准线的交点，点 B 是其焦点，点P 在该抛物线上，且满足|PA 匸m|PB|，当m 取得最大值时，点P 恰在以A , B 为焦点的双曲线上，则双曲线的离心率为() A. 2— 1B . 2 2— 2C. 2+ 1D . 2 2+ 2解析设 P(x ，y)，可知 A(— 1，0)，B(1, 0)，2 ____________________________________________(x +" + 4x 4x 立2=、 1 + ，当 x (x — 1) + 4x x + 2x + 1以A , B 为焦点的双曲线上，所以由双曲线的定义知 2a = |FA|— |PB| = 2 2— 2,即 1,c = 1,所以 e = .一 = ■.2+ 1,故选 C.V 2— 1答案 C二、填空题（本大题共7小题，多空题每小题6分，单空题每小题4分，共36分•把答案填在题中的横线上)11. _______________________________________________________________ 在厶ABC 中，点M 是边BC 的中点，AB|= 4, AC 匸3,则AM B C = __________ . 解析 AM BC =2(AB +AC) (AC —A B ) 1 —> 2 2 1 7 =2(|AC|2-|AB|2) = 2(9 — 16)=-2.12.已知 ©€ [0, n ,函数 f(x) = cos 2x + cos(x + ©是偶函数，贝U 片 ________ , f(x) 的最小值为 _______ .解析因为函数f(x)为偶函数，所以cos 2x + cos(x + © = cos(— 2x) + cos(— x +妨,=0 时，m = 1;1当x = ©即x = 1时取等号，所以 P(1，坐)，所以 |PA|= 2.2, |PB|= 2,又点 P 在a = 2— 12 ■(x — 1) + y所以m =韜=(x + 1) 2 + y 2 2 =当x >0时，m = < 2.当且仅10，10，即 cos(x + <D = cos(x — ©)•因为贰［0 , n ,所以 x + Rx — 所以片0,所以 f(x) 2rv2 9 icos 2x + cos x =2cosx — 1 + cos x = 2 cos x +4 —百，所以当 cos x = — 4时,f(x)9取得最小值一8.9答案0— 9答案12 245 2515.已知a 为第二象限角，且an则4-35--- 冗一n a.I n ,sin a+12 =角,sincos a=7.213.已知函数f(x)=* log 2 x , x>0,2 /* 2 3+ x , x < 0________ 方程f(x)= 2的解为n +1na n +2— a n +1 a 〔q — a 〔qsin n n n 4 尸 sin 如 4+ cos a in4二3 5,cos a+ cos a os n — sina in 着 ••• tan a + £ =<28 /1—cos a+(nsin a+ 41+i3 = — 3 5；sin 討宁2.6+ 2• sin a+ = sinnocos 12+ cos a inn 4— 3j'3答案—3 GF16•在数列｛a n ｝中，如果对任意a n + 2 a n +1n € N 都有 -- 一=k(k 为常数)，则称｛a n ｝为a —等差比数列，k 称为公差比.现给出下列命题: ① 等差比数列的公差比一定不为 0 ；② 等差数列一定是等差比数③ 若a n =— 3 + 2，则数列｛a n ｝是等差比数列; ④若等比数列是等差比数列，贝U 其公比等于公差比.其中正确的命题的序号为解析若k = 0, ｛a n ｝为常数列，分母无意义，①正确；公差为0的等差数列不是a n +2 — a n +1 等差比数列，②错误；a n + 1 — a n3，满足定义，③正确；设a n = a i q —1,则17.若函数f(x)满足f(x — 1) = f/、彳 f(x )— I解析因为当 x € [ — 1, 0]时，f(x) = x ,所以当 x € (0, 1)时，x — 1€ (—1, 0),由1所以f(x)=+ 1,作出函数f(x)在［—1,1)上的图象如图所示, x — 1因为g(x) = f(x)— mx + m 有两个零点，所以y =f(x)的图象与直线y = mx — m 有两个交点，由图可得m € 0, 2 . 答案0,解析因为 f1= log 22= — 1,所以 f f* = f(— 1) = (— 1)2— 1 = 0;当 x < 0 时,2由 x + x = 2,解得 x = — 2,当 x>0 时，由 log 2x = 2,解得 x = 4. 答案 0—2或414.罐中有6个红球，4个白球，从中任取1球，记住颜色后再放回，连续摸取4 次，设X 为取得红球的次数，则 E(X) = ____________ , D(X) = ________ .3解析因为是有放回地摸球，所以每次摸球(试验)摸得红球(成功)的概率均为3, 连续摸4次(做 4次试验),X 为取得红球(成功)的次数，则X 〜B 4, 5，二E(X)3、'— 24 5 二 25.1 — tan a 41 sin ao o解析'1+品=4,「tan— 7=亦，又sin a+ cos a =1, a为第二象限=―n 匸1 = q ，④正确.a n +1 — a n a 1q — a 1q 答案①③④1，当 x € ［ — 1, 0］时，f(x) = x ，若在区间［—f(x — 1)=1 f^可得，x — 1=f (x )—1'1，1)上, g(x) = f(x) —mx+ m有两个零点，则实数m的取值范围是。

(高考冲刺押题)2022高考数学三轮基础技能闯关夺分必备互斥事件及其概率(含解析)

(高考冲刺押题)2022高考数学三轮基础技能闯关夺分必备互斥事件及其概率（含解析）【考点导读】1.了解互斥事件及对立事件的概念，能判定某两个事件是否是互斥事件，进而判定它们是否是对立.2.了解互斥事件概率的加法公式，了解对立事件概率之和为1的结论，会利用相关公式进行简单的概率运算.【基础练习】1.两个事件互斥是这两个事件对立的必要不充分条件（充分不必要、必要不充分、充要条件、既不充分也不必要）2.从装有2个红球和2个白球的口袋内任取2个球，那么互斥而不对立的两个事件是③ .①至少有1个白球，差不多上红球②至少有1个白球，至多有1个红球③恰有1个白球，恰有2个白球④至多有1个白球，差不多上红球3．从12个同类产品（其中10个是正品，2个是次品）中任意抽取3个的必定事件是④ .①3个差不多上正品②至少有1个是次品③3个差不多上次品④至少有1个是正品4.从一批羽毛球产品中任取一个，质量小于4.8 g的概率是0.3，质量不小于4.85 g的概率是0.32，那么质量在［4.8，4.85）g范畴内的概率是 0.38 .5.甲、乙两人下棋，甲获胜的概率是40%，甲不输的概率为90%，则甲、乙二人下成和棋的概率为 50% .【范例解析】例1．从一堆产品（其中正品与次品都多于2件）中任取2件，观看正品件数与次品件数，判定下列每件事件是不是互斥事件，假如是，再判定它们是不是对立事件.（1）恰好有1件次品恰好有2件次品；（2）至少有1件次品和全是次品；（3）至少有1件正品和至少有1件次品；（4）至少有1件次品和全是正品.解：依据互斥事件的定义，即事件A与事件B在一定试验中可不能同时发生知：（1）恰好有1件次品和恰好有2件次品不可能同时发生，因此它们是互斥事件，但它们不是对立事件，同理能够判定：（2）（3）中的2个事件不是互斥事件，也不是对立事件.（4）中的2个事件既是互斥事件也是对立事件点评解决此类问题，应结合互斥事件和对立事件的定义.例2．某射手在一次射击训练中，射中10环、9环、8环、7环的概率分别为0.21，0.23，0.25，0.28，运算该射手在一次射击中：（1）射中10环或9环的概率；（2）少于7环的概率.解：（1）该射手射中10环与射中9环的概率是射中10环的概率与射中9环的概率的和，即为P=0.21+0.23=0.44.（2）射中许多于7环的概率恰为射中10环、9环、8环、7环的概率的和，即为0.21+0.23+0.25+0.28=0.97，而射中少于7环的事件与射中许多于7环的事件为对立事件，因此射中少于7环的概率为P=1－0.97=0.03.例3 一盒中装有各色小球共12只，其中5个红球、4个黑球、2个白球、1个绿球.现从中随机取出1球，求：（1）取出1球是红球或黑球的概率；（2）取出1球是红球或黑球或白球的概率.解：记事件A 1={任取一球为红球}，A 2={任取一球为黑球}，A 3={任取一球为白球}， A 4={任取一球为绿球}，则12345421(),(),(),()12121212P A P A P A P A ==== （1）()1212543()()12124P A A P A P A +=+=+= （2）()12312311()()()12P A A A P A P A P A ++=++= （或()12341111()11212P A A A P A ++=-=-=）点评（1）解决此类问题，第一应结合互斥事件和对立事件的定义分析出是不是互斥事件和对立事件，再决定用哪一个公式（2）要注意分类讨论和等价转化数学思想的运用.【反馈演练】1. 一个射手进行一次射击,试判定下列事件哪些是互斥事件?哪些是对立事件?事件A ：命中环数大于7环；事件B ：命中环数为10环；事件C ：命中环数小于6环；事件D ：命中环数为6、7、8、9、10环.3．某产品分为甲、乙、丙三级，其中乙、丙两级均属次品，若生产中显现乙级品的概率为03.0,显现丙级品的概率为01.0,则对产品抽查一次抽得正品的概率是 96.0 .4.甲、乙两人下棋，两人下成和棋的概率是12，乙获胜的概率是13，则56是 ② . ①乙获胜的概率 ②乙不输的概率 ③甲胜的概率 ④甲不输的概率5．假如事件A ，B 互斥，那么 ② . ①A B +是必定事件 ②A B +是必定事件 ③ A B 与互斥 ④A B 与独立6. 在所有的两位数中，任取一个数，则那个数能被2或3整除的概率是 32 7.一个口袋内装有大小相同的红、蓝球各一个，采取有放回地每次摸出一个球并记下颜色为一次实验，实验共进行3次，则至少摸到一次红球的概率是 78 8．已知盒子中有散落的棋子15粒，其中6粒是黑子，9粒是白子，已知从中取出2粒差不多上黑子的概率是71，从中取出2粒差不多上白子的概率是3512，现从中任意取出2粒恰好是同一色的概率是 3517 9.同室4人各写1张贺年卡，先集中起来，然后每人从中拿1张贺年卡.则至少一人拿到自己所写贺年卡的概率为5810.有三个人，每个人都以相同的可能性被分配到四个房间中的某一间，求：（1）三个人都分配到同一个房间的概率；（2）至少两个人分配到同一个房间的概率.答案（1）116；（2）58. 11. 袋中有12个小球，分别为红球、黑球、黄球、绿球，从中任取一球，得到红球的概率为31，得到黑球或黄球的概率是125，得到黄球或绿球的概率也是125，试求得到黑球、得到黄球、得到绿球的概率各是多少？分析：利用方程的思想及互斥事件、对立事件的概率公式求解．解：从袋中任取一球，记事件“摸到红球”、“摸到黑球”、“摸到黄球”、“摸到绿球”为A 、B 、C 、D ，则有P(B+C)=P(B)+P(C)=125；P(C+D)=P(C)+P(D)=125；又P(A)=31, P(A)+P(B)+P(C)+P(D)=1解得P(B)=41,P(C)=61, P(D)=41 答：得到黑球、得到黄球、得到绿球的概率分别是41、61、41.。

高考数学三轮冲刺押题基础技能闯关夺分必备案例分析(含解析)

案例分析【考点导读】1.会作两个有关联变量数据的散点图，并利用散点图直观认识变量间的相关关系.2.知道最小二乘法的思想，能根据给出的线性回归方程系数公式建立线性回归方程.3.了解独立性检验的基本思想、方法及其初步应用，了解回归与分析的基本思想、方法及其初步应用. 【基础练习】1．根据下表中的数据：可求出与的线性回归方程是 ˆ0.70.1yx =-2．线性回归方程ˆybx a =+表示的直线必经过的一个定点是 (,y)x 3．设有一个直线回归方程为 2 1.5y x =- ,则变量x 增加一个单位时 ③ .① y 平均增加 1.5 个单位 ② y 平均增加 2 个单位 ③ y 平均减少 1.5 个单位 ④ y 平均减少 2 个单位 4．对于给定的两个变量的统计数据，下列说法正确的是 ③ .①都可以分析出两个变量的关系 ②都可以用一条直线近似地表示两者的关系 ③都可以作出散点图 ④都可以用确定的表达式表示两者的关系 5．对于两个变量之间的相关系数，下列说法中正确的是 ③ . ①|r|越大，相关程度越大②|r|()0,∈+∞，|r|越大，相关程度越小，|r|越小，相关程度越大③|r|≤1且|r|越接近于1，相关程度越大；|r|越接近于0，相关程度越小 ④以上说法都不对【范例解析】例1．在对人们的休闲方式的一次调查中，共调查了124人，其中女性70人，男性54人．女性中有43人主要的休闲方式是看电视，另外27人主要的休闲方式是运动；男性中有21人主要的休闲方式是看电视，另外33人主要的休闲方式是运动．（1）根据以上数据建立一个2×2的列联表；（2）判断性别与休闲方式是否有关系．解：（1）2×2的列联表计算 22124(43332721) 6.20170546460χ⨯⨯-⨯=≈⨯⨯⨯因为2 5.024γ≥，所以有理由认为假设“休闲方式与性别无关”是不合理的，即有97.5%的把握认为“休闲方式与性别有关”.点评对两个变量相关性的研究，可先计算2χ的值，并根据临界表进行估计与判断.x例2.以下是某地搜集到的新房屋的销售价格y 和房屋的面积x 的数据：（1）画出数据对应的散点图；（2）求线性回归方程，并在散点图中加上回归直线；（3）据（2）的结果估计当房屋面积为2150m 时的销售价格解：（1）数据对应的散点图如图所示：（2）1095151==∑=i i x x ，1570)(251=-=∑=x x l i i xx ，308))((,2.2351=--==∑=y y x x l y i i i xy设所求回归直线方程为a bx y +=，则1962.01570308≈==xxxy l l b 8166.115703081092.23≈⨯-=-=x b y a 故所求回归直线方程为8166.11962.0+=x y（3）据（2），当2150x m =时，销售价格的估计值为：2466.318166.11501962.0=+⨯=y（万元）点评因为y 对x 呈线性相关关系，所以可以一元线性相关的方法解决问题.例3. 一个车间为了为了规定工时定额，需要确定加工零件所花费的时间，为此进行了10次实验，测得如下数据： 8(1) y 与x 是否具有线性相关关系？(2) 如果y 与x 具有线性相关关系，求回归直线方程； (3) 据此估计加工200个零件所用时间为多少？解：（1）0.998.r ≈查表可得0.05和n-2相关系数临界0.050.632r =，由0.05r r >知y 与x 具有线性相关关系. (2) 回归直线方程为 0.66854.96y x =+ （3）估计加工200个零件所用时间189分.【反馈演练】1．下列两个变量之间的关系不是函数关系的是 ④ . ①角度与它的余弦值 ②正方形的边长与面积 ③正n 边形的边数和顶点角度之和 ④人的年龄与身高2．为了考察两个变量x 和y 之间的线性相关性，甲、乙两个同学各自独立的做10次和15次试验，并且利用线性回归方法，求得回归直线分布为1l 和2l ，已知在两人的试验中发现对变量x 的观察数据的平均值恰好相等都为s ，对变量y 的观察数据的平均值恰好相等都为t,那么下列说法正确的是 ① .①直线1l 和2l 有交点（s,t ） ②直线1l 和2l 相交，但是交点未必是（s,t ） ③ 直线1l 和2l 平行 ④ 直线1l 和2l 必定重合3．下列两个变量之间的关系是相关关系的是 ④ .①正方体的棱长和体积 ②单位圆中角的度数和所对弧长 ③单产为常数时，土地面积和总产量 ④日照时间与水稻的亩产量 4．对于回归方程y=4.75x+257,当x=28时,y 的估计值为 390 .5．某高校“统计初步”课程的教师随机调查了选该课的一些学生情况，具体数据如下表：表中的数据，得到2250(1320107) 4.84423272030χ⨯⨯-⨯=≈⨯⨯⨯，因为2 3.841χ≥，所以判定主修统计专业与性别有关系，那么这种判断出错的可能性为 5% .6.为了研究失重情况下男女飞行员晕飞船的情况，抽取了89名被试者，他们的晕船情况汇总如下表，根据独立性假设检验的方法，不能认为在失重情况下男性比女性更容易晕船（填能或不能）7.打鼾不仅影响别人休息，而且可能与患某种疾病有关，下表是一次调查所得的数据，试问：每一晚都打鼾与患心脏病有关吗？解：提出假设H 0：打鼾与患心脏病无关，根据数据得221633(30135524224)68.03.5415792541379χ⨯⨯-⨯=≈⨯⨯⨯ 当H 0成立时，2 6.635χ≥的概率为1%，而这时268.03 6.635,χ=>所以我们有99%的把握认为打鼾与患心脏病有关.8.下表提供了某厂节油降耗技术发行后生产甲产品过程中记录的产量x (吨)与相应的生产能耗y (（1）请画出上表数据的散点图；（2）请根据上表提供的数据，用最小二乘法求出y 关于x 的线性回归方程y =bx a +; （3）已知该厂技改前100吨甲产品的生产能耗为90吨标准煤，试根据（2）求出的线性回归方程，预测生产100吨甲产品的生产能耗比技改前降低多少吨标准煤？（参考数值：3×2.5+4×3+5×4+6×4.5＝66.5）解：(1)如下图(2)∑=ni ii yx 1=3 2.543546 4.566.5⨯+⨯+⨯+⨯=x =46543+++=4.5y =4544352⋅+++⋅=3.5222221345686nii x==+++=∑266.54 4.5 3.566.563ˆ0.7864 4.58681b-⨯⨯-===-⨯-ˆˆ 3.50.7 4.50.35a Y bX =-=-⨯=故线性回归方程为y=0.7x+0.35(3)根据回归方程的预测，现在生产100吨产品消耗的标准煤的数量为0.7⨯100+0.35=70.35 故耗能减少了90-70.35=19.65(吨).。

新高考2022届高考数学考前冲刺卷三

1（新高考）2022届高考数学考前冲刺卷（三）注意事项：1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。

2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。

第Ⅰ卷（选择题）一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合，则集合中元素的个数是（）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【答案】C【解析】由集合，，根据，所以，所以中元素的个数是3，故选C ．2．在复平面内，复数对应的点坐标为（）A ．B ．C ．D ．【答案】A【解析】，在复平面内对应的点坐标为，故选A ．{}0,1A ={},B x y x A y A =-∈∈{}0,1A ={} ,B x y x A y A =-∈∈,x A y A∈∈1,0,1x y -=-B5i2i +()1,2()1,2-()1,2-()1,2--5i 5i(2i)5(12i)12i2i (2i)(2i)5-+===+++-∴()1,223．用斜二测画法画水平放置的的直观图，得到如图所示的等腰直角三角形．已知点是斜边的中点，且，则的面积为（）A ．B ．C ．D ．【答案】B【解析】由斜二测画法可知该三角形ABC 为直角三角形，，根据直观图中平行于x 轴的长度不变，平行于y 轴的长度变为原来的一半，因为，所以，，所以三角形ABC 的面积为B ．4．已知函数，则“”是“函数为偶函数”的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】A 【解析】函数定义域为R ，函数为偶函数，则，，而不恒为0，因此，，解得或，ABC△A B C '''O 'B C ''2O A ''=ABC△90ABC ∠=︒2O A ''=4BC =AB =142ABC S =⨯⨯=△3()3x xf x x a a -⎛⎫=⋅- ⎪⎝⎭1a =()f x ()f x ()f x x ∀∈R 331()()(3(3(33)()0x x xx x x f x f x x a x a x a a a a-----=-⋅--⋅-=-+-=(33)x xx --+10a a-=1a =-1a =3所以“”是“函数为偶函数”的充分不必要条件，故选A ．5．已知数列满足（n ∈N *），则（）A ．B ．C ．D ．【答案】C【解析】由题设，①，则②，①-②得：，所以，由①知也满足上式，故（n ∈N *），故选C ．6．已知一组数据，，，…，的标准差为2，将这组数据，，，…，中的每个数先同时减去2，再同时乘以3，得到一组新数据，则这组新数据的标准差为（）A ．2B ．4C ．6D ．【答案】C 【解析】因为数据，，，…，的标准差为2，所以方差为4．由题意知，得到的新数据为，，，…，，1a =()f x {}n a 2112333.3..3n n a a a a n-++++=n a =13n-113n 13n113n +2112333...33n n a a a a n -++++=221231133...33n n n a a a a ---++++=(2)n ≥1113333n n n n a --=-=(2)n ≥13n n a =(2)n ≥113a =13n na =1x 2x 3x 10x 1x 2x 3x 10x 1x 2x 3x 10x 136x -236x -336x -1036x -这组新数据的方差为，标准差为6，故选C．7．如图，､分别是双曲线的左､右焦点，过的直线与的左､右两支分别交于点、两点，若为以为直角顶点的等腰直角三角形，则双曲线的离心率为（）A．4B C．D【答案】D【解析】由题意，为等腰直角三角形，设，，则，由双曲线的定义，可得，，可得，解得，，在中，由余弦定理可得，即，24336⨯=1F2F()2222:10,0x yC a ba b-=>>1F l C A B2ABF△2FC32ABF△22AF BF m==1AF n=AB=212AF AF a-=122BF BF a-=22m n an m a-=⎧⎪+-=m=()21n a=-12AF F△222121212212cosF F AF AF AF AF F AF=+-∠()()()22224212212c a a⎛⎫⎡⎤=-+-⨯⨯⨯- ⎪⎪⎣⎦⎝⎭5整理得，即，所以故选D ．8．已知关于x 的方程在上有两解，则实数k 的取值范围为（）A ．B ．C ．D ．【答案】B【解析】由已知可得在上有两解，令，，则问题转化为函数与在上有两个交点，而，令，则，因为，所以恒成立，所以在上单调递增，又，所以当时，，则；当时，，则，223c a =2223c e a==e =22ln (2)x x x k x +=++1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭ln 21,15⎛⎤+ ⎥⎝⎦9ln 21,105⎛⎤+ ⎥⎝⎦(]1,2(]1,e 22ln 2x x x k x +-=+1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭22ln ()2x x x f x x +-=+1,)2[x ∈+∞()y f x =y k =1[,)2+∞2222(2ln 1)(2)(2ln )32ln 4()(2)(2)x x x x x x x x x f x x x --+-+-+--'==++2()32ln 4g x x x x =+--22232(21)(2)()23x x x x g x x x x x+--+'=+-==1,)2[x ∈+∞()0g x '≥()g x 1[,)2+∞(1)0g =1)[1,2x ∈()0g x <()0f x '<[1,)x ∈+∞()0g x '≥()0f x '≥6所以在上单调递减，在上单调递增，所以，又，作出函数的大致图象如图示：要使得在上有两解，实数k 的取值范围为，故选B ．二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9．一个质地均匀的正四面体表面上分别标有数字1，2，3，4，抛掷该正四面体两次，记事件A 为“第一次向下的数字为偶数”，事件B 为“两次向下的数字之和为奇数”，则下列说法正确的是（）A ．B ．事件A 和事件B 互为对立事件()f x 1[,1)2[1,)+∞min ()(1)1f x f ==1112ln 129ln 29ln 2422((1254210522f +-==+=++()f x 22ln 2x x x k x +-=+1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭9ln 21,105⎛⎤+ ⎥⎝⎦()13P A =7C ．D ．事件A 和事件B 相互独立【答案】CD 【解析】对于A ，，可得A 错误；对于B ，事件B 第一次向下的数字为偶数，第二次向下的数字为奇数，就可以使得两次向下的数字之和为奇数，可知事件A 和事件B 不是对立事件，可得B 错误；对于C ，由，可得，可得C 正确；对于D 选项，由，可得，可知事件A 和事件B 相互独立，可得D 正确，故选CD ．10．已知函数，则下列结论正确的是（）A ．的图象关于直线对称B ．在上的值域为C ．若，则，D ．将的图象向右平移个单位得图象【答案】BD()12P B A =()2142P A ==221()444P AB =⨯=()1()14|1()22P AB P B A P A ===()2222144442P B =⨯+⨯=()()()P A P B P AB =()()2sin sin cos f x x x x x =+-()f x 712x π=()f x ,42ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦[]1,2()()122f x f x ==122x x k π-=k ∈Z()f x 6π()2cos 2g x x =-8【解析】，对于A ：令，可得，所以直线不是的图象的对称轴，故选项A 不正确；对于B ：当时，，，所以，故选项B 正确；对于C ：的最小正周期为，所以若，则，，故选项C 不正确；对于D ：将的图象向右平移个单位得的图象，故选项D 正确，故选BD ．11．如图，正方体的棱长为1，点是内部(不包括边界)的动点，若，则线段长度的可能取值为（）()22cos sin cos 2cos 22sin 26f x x x x x x x x π⎛⎫=+-=-=- ⎪⎝⎭()721262k k ππππ⨯-=+∈Z 12k =∉Z712x π=()f x ,42x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦52,636x πππ⎡⎤-∈⎢⎥⎣⎦1sin 2,162x π⎛⎫⎡⎤-∈ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦()[]2sin 21,26f x x π⎛⎫∈ ⎪⎭=-⎝()f x 22T ππ==()()122f x f x ==12x x k π-=k ∈Z ()f x 6π()2sin 22sin 22cos 2662g x x x xπππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=--=-=- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦1111ABCD A B C D -P 11B CD △BD AP ⊥AP9A ．B ．C ．D ．【答案】ABC【解析】在正方体AC 1中，连接AC ，A 1C 1，，如图，BD ⊥AC ，BD ⊥AA 1，则BD ⊥平面ACC 1A 1，因AP ⊥BD ，所以平面ACC 1A 1，又点P 是△B 1CD 1内部(不包括边界)的动点，连接CO ，平面B 1CD 1平面ACC 1A 1=CO ，所以点P 在线段CO 上(不含点C ，O )，连接AO ，在等腰△OAC 中，，而底边AC 上的高为1，腰OC 上的高，从而有，都符合，不符合，故选ABC ．12．若存在正实数x ，y ，使得等式成立，其中e 为自然对数的底数，则a 的取值可能是（）A ．B ．C ．D ．2【答案】ACD365221111AC B D O= AP ⊂2AC AO CO ===13AC h OC ⋅==3AP ≤<6,52224(3e )(ln ln )0x a y x y x +--=1e-31e 21e10【解析】由题意，不等于，由，得，令，则，设，则，因为函数在上单调递增，且，所以当时，；当时，，则在上单调递减，在上单调递增，从而，即，解得或，故，故选ACD ．第Ⅱ卷（非选择题）三、填空题：本大题共4小题，每小题5分．13．已知向量，，其中，为单位向量，向量，的夹角为120°，则__________．【答案】【解析】由，a 024(3e )(ln ln )0x a y x y x +--=24(3e )ln 0y ya x x+-=(0)y t t x=>24ln 3e ln t t ta -=-2()ln 3e ln g t t t t =-23e ()1ln g t t t '=+-()g t '(0,)+∞2(e )0g '=20e t <<()0g t '<2e t >()0g t '>()g t 2(0,e )2(e ,)+∞22min()(e )4e g t g ==-244e a -≥-21e a ≥0a <21(,0),e a ⎡⎫∈-∞+∞⎪⎢⎣⎭ 12=+a e e 213=-b e e 1e 2e 1e 2e ⋅=a b 1-21111cos1202⋅=⨯⨯︒=-e e11有，故答案为．14．在中，，，分别是角，，的对边，记外接圆半径为，且，则角的大小为________．【答案】（或）【解析】由正弦定理，故，，即，故，又，故，故答案为．15．将字母a ，A ，b ，B ，c ，C 排成一列，则仅有一组相同字母的大小写相邻的排法种数为__________．【答案】288【解析】首先讨论Aa 相邻，剩下的4个字母排列有如下情况：bcBC 、cbCB 、bCBc 、CbcB 、BcbC 、cBCb 、BCbc 、CBcb 共8种可能，任取8种中的一种与Aa 组合，共有种，此时Aa 相邻共有种，bcCB ，bCcB ，BcCb ，BCcb ，CbBc ，CBbc ，cbBC ，cBbC ，8种情况，任取8种中的一种与Aa 组合，共有种，此时Aa 相邻共有种，221212231131⋅=-⋅-=+-=-e e e e a b 1-ABC △a b c A B C ABC △R ()222sin sin )sin R A B c C -=-B4π45︒2sin sin sin a b cRA B C ===2sin R A a =2sin R B b =()222sin sin )sin sin sin )sin R A B c C a A b B c C -=-⇔-=-22222)a b c c a c b ⇔-=-⇔+-=222cos 22a c b B ac +-==(0,)B π∈4B π=4π125210C A =10880⨯=222A =2816⨯=12所以Aa 相邻共有种；同理，Bb 相邻共有96种，Cc 相邻共有96种，所以共有288种，故答案为288．16．如图，点P 是半径为2的圆O 上一点，现将如图放置的边长为2的正方形（顶点A 与P 重合）沿圆周逆时针滚动．若从点A 离开圆周的这一刻开始，正方形滚动至使点A 再次回到圆周上为止，称为正方形滚动了一轮，则当点A 第一次回到点P 的位置时，正方形滚动了________轮，此时点A 走过的路径的长度为__________．【答案】3，【解析】正方形滚动一轮，圆周上依次出现的正方形顶点为，顶点两次回到点P 时，正方形顶点将圆周正好分成六等分，由4和6的最小公倍数：，所以到点A 首次与P 重合时，正方形滚动了3轮．这一轮中，点A 路径是圆心角为，半径分别为2，，2的三段弧，故路径长，∴点A 与P 重合时总路径长为．故答案为3，．96ABCD 2)π+B C D A →→→342612⨯=⨯=A A A A ''→'→→6π2)(22)63l ππ+=⋅+=2)π2)π+13四、解答题：本大题共6个大题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（10分）内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知．（1）求A ；（2）若，求．【答案】（1）；（2）．【解析】（1）在中，由正弦定理及，得，于是得，化简整理得，即，而，则，又，所以．（2）因为，由正弦定理得，则，由（1）知，在中，，，即，于是解得，ABC △(cos cos )b c a B C +=+sin sin 2sin A C B +=sin sin B C +2π75ABC△(cos cos )b c a B C +=+sin sin sin (cos cos )B C A B C +=+sin()sin()sin cos sin cos A C A B A B A C+++=+cos sin cos sin 0A C AB +=cos (sin sin )0A CB +=sin 0,sin 0B C >>cos 0A =0A π<<2A π=sin sin 2sin A C B +=2a c b +=21c b a a +=ABC Rt △2BAC π∠=222b c a+=221b c a a ⎛⎫⎛⎫+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭43,55b c a a ==14显然有，即，则，所以．18．（12分）已知等差数列的前n 项和为，又对任意的正整数，都有，且．（1）求数列的通项公式；（2）设，求数列的前n 项和．【答案】（1）；（2）．【解析】（1）设等差数列的公差为，因为，所以，又，即，解得，所以．（2）由（1）知，令，得，当时，，sin ,sin b c B C a a ==43sin ,sin 55B C ==7sin sin 5B C +=7sin sin 5B C +={}n a n S ,m n 2n ma a n m-=--530S ={}n a 22n a n b ={}n b n T 122na n =-()656426612(6)n n n n T n --⎧-≤=⎨+>⎩{}n a d 2n m a a n m -=--112(1)(1)a da n n m d md +--=--=--530S =1545(2)302a ⨯+⨯-=110a =122n a n=-122n a n =-602na n =-≥6n ≤6n ≤0n a ≥15从而，当时，，综上得．19．（12分）如图，在四棱锥中，底面ABCD 为矩形，平面PCD ⊥平面ABCD ，AB ＝2，BC ＝1，，E 为PB中点．（1）求证：PD //平面ACE ；（2）求二面角的余弦值；（3）在棱PD 上是否存在点M ，使得AM ⊥BD ？若存在，求的值；若不存在，说明理由．【答案】（1）证明见解析；（2）；（3）存在，．122554662662121222222642222112n na a n nn a n T ---⎡⎤⎛⎫-⎢⎥⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦=++⋅⋅⋅==++-=++=-- 6n >671254222262012222222222n n a a a a a n T ---=++⋅⋅⋅+++⋅⋅⋅+=++++++ 652(12)6361212n n ---=+=+-()656426612(6)n n n n T n --⎧-≤=⎨+>⎩P ABCD-PC PD ==E AC D --PMPD 6-1216【解析】（1）设BD 交AC 于点F ，连接EF ．因为底面ABCD 是矩形，所以F 为BD 中点．又因为E 为PB 中点，所以EF //PD ，因为PD ⊄平面ACE ，EF ⊂平面ACE ，所以PD //平面ACE ．（2）取CD 的中点O ，连接PO ，FO ．因为底面ABCD 为矩形，所以BC ⊥CD ．因为PC ＝PD ，O 为CD 中点，所以PO ⊥CD ，OF ∥BC ，所以OF ⊥CD ．又因为平面PCD ⊥平面ABCD ，PO ⊂平面PCD ，平面PCD ∩平面ABCD ＝CD ，所以PO ⊥平面ABCD ．如图，建立空间直角坐标系O −xyz ，则，C （0，1，0），B （1，1，0），P （0，0，1），，设平面ACE 的法向量为，，，，令，则，，所以，平面ACD 的法向量为，，如图可知二面角E −AC −D 为钝角，所以二面角E −AC −D 的余弦值为．（3）假设存在棱PD 上的点M ，使得AM ⊥BD ，设，()1,1,0A -111,,222E ⎛⎫ ⎪⎝⎭(,,)x y z =m (1,2,0)AC =- 131(,,222AE =- 201310222AC x y AE x y z ⎧⋅=-+=⎪⎨⋅=-++=⎪⎩ m m 1y =2x =1z =-(2,1,1)=-m (0,0,1)OP =cos ,6||||OP OP OP ⋅<>=-⋅m mm 6-,01PM PD λλ=<<17又，则，，，，解得，故存在棱PD 上的点M ，使得AM ⊥BD ，．20．（12分）某健身机构统计了去年该机构所有消费者的消费金额（单位：元），如图所示：（1）将去年的消费金额超过3200元的消费者称为“健身达人”，现从所有“健身达人”中随机抽取2人，求至少有1位消费者，其去年的消费金额超过4000元的概率；（2）针对这些消费者，该健身机构今年欲实施入会制．规定：消费金额为2000元、2700元和3200元的消费者分别为普通会员、银卡会员和金卡会员．预计去年消费金额在、、内的消费者今年都将会分别申请办理普通会员、银卡会员和金卡会员．消费者在申请办理会员时，需一次性预先缴清相应等级的消费金额．该健身机构在今年年底将针对这些消费者举办消费返利活动，预设有如下两种方案：方案()0,1,0D -(1,2,0)BD =-- (1,1,1)AP =-()0,1,1PD =-- ()1220AM BD AP PM BD AP BD PD BD λλ∴⋅=+⋅=⋅+⋅=-+= 12λ=12PM PD =(]0,1600(]1600,3200(]3200,4800181：按分层抽样从普通会员，银卡会员，金卡会员中总共抽取25位“幸运之星”给予奖励．其中，普通会员、银卡会员和金卡会员中的“幸运之星”每人分别奖励500元、600元和800元．方案2：每位会员均可参加摸奖游戏，游戏规则如下：从一个装有3个白球、2个红球（球只有颜色不同）的箱子中，有放回地摸三次球，每次只能摸一个球．若摸到红球的总数为2，则可获得200元奖励金；若摸到红球的总数为3，则可获得300元奖励金；其他情况不给予奖励．如果每位普通会员均可参加1次摸奖游戏；每位银卡会员均可参加2次摸奖游戏；每位金卡会员均可参加3次摸奖游戏（每次摸奖的结果相互独立）．以方案的奖励金的数学期望为依据，请你预测哪一种方案投资较少？并说明理由．【答案】（1）；（2）方案2投资较少，理由见解析．【解析】（1）记“在抽取的2人中至少有1位消费者在去年的消费超过4000元”为事件A ．由图可知，去年消费金额在内的有8人，在内的有4人，消费金额超过3200元的“健身达人”共有（人），从这12人中抽取2人，共有种不同方法，其中抽取的2人中至少含有1位消费者在去年的消费超过4000元，共有种不同方法，所以．（2）方案1按分层抽样从普通会员，银卡会员，金卡会员中总共抽取25位“幸运之星”，则“幸运之星”中的普通会员、银卡会员、金卡会员的人数分别为，，，按照方案1奖励的总金额为（元）．方案2设表示参加一次摸奖游戏所获得的奖励金，1933(]3200,4000(]4000,48008412+=212C 112844C C C +()112844212C C C 19C 33P A +==820257100+⨯=25352515100+⨯=12253100⨯=1750015600380014900ξ=⨯+⨯+⨯=η19则的可能取值为0，200，300．由题意，每摸球1次，摸到红球的概率为，所以，，，所以的分布列为：0200300P数学期望为（元），按照方案2奖励的总金额为（元），因为由，所以施行方案2投资较少．21．（12分）已知椭圆的离心率为，P 为椭圆E 上一点，Q 为圆上一点，的最大值为3（P ，Q 异于椭圆E 的上下顶点）．η1215C 2C 5P ==()32101333232810C C 5555125P η⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫==+= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭()12233236200C 55125P η⎛⎫⎛⎫===⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()0333328300C 55125P η⎛⎫⎛⎫===⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ηη8112536125812581368020030076.8125125125E η=⨯+⨯+⨯=()22860212376.814131.2ξ=+⨯+⨯⨯=12ξξ>()2222:10x y E a b a b +=>>2222x y b +=PQ20（1）求椭圆E 的方程；（2）A 为椭圆E 的下顶点，直线AP ，AQ 的斜率分别记为，，且，求证：直线PQ 过定点，并求出此定点的坐标．【答案】（1）；（2）证明见解析，定点．【解析】（1）解：由椭圆的离心率为，可得，又由的最大值为，可得，可得，解得，所以椭圆的方程为．（2）解：由（1）可得点的坐标为，因为直线的斜率分别记为，，且，可得直线的方程为，直线的方程为，联立方程组，整理得，解得或，将代入，可得，即；1k 2k 214k k =2214x y +=(0,1)E22c a =PQ33a b +=22232a b c a a b c +=⎧⎪⎪=⎨⎪=+⎪⎩2,1,a b c ===E 2214x y +=A(0,1)-,AP AQ1k 2k 214k k =AP 11y k x+=AQ2114y k x k x+==122114y k x x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩2211(41)80k x k x +-=0x =121841k x k =+121841k x k =+11y k x =-2111221184114141k k y k k k -=⋅-=++2112211841(,4141k k P k k -++21联立方程组，整理得，解得或，将代入，可得，即，则所以直线的方程为，即，此时直线过定点，即直线恒过定点．22．（12分）已知，为的导函数．（1）若对任意都有，求的取值范围；（2）若，证明：对任意常数，存在唯一的，使得成立．【答案】（1）；（2）证明见解析．【解析】（1）由，得，即，122411y k x x y =-⎧⎨+=⎩2211(161)80k x k x +-=0x =1218161k x k =+1218161k x k =+141y k x =-2121161161k y k -=+21122118161(,161161k k Q k k -++()22112222221111112111122112121111614116141(161)(41)(161)(41)888(224141)16141812PQk k k k k k k k k k k k k k k k k k k ---++-+-+-==--+=-+=⨯-PQ 21122111418141441k k y x k k k ⎛⎫--=-- ⎪++⎝⎭2211222111111414112111441414414k k y x x x k k k k k k -+=-++=-+=-++++(0,1)PQ(0,1)()()ln 1f x x ax a =++∈R ()f x '()f x 0x >()0f x ≤a 120x x <<a ()012,x x x ∈()()()12012f x f x f x x x -'=-(],1-∞-()0f x ≤ln 1ax x ≤--ln 1x a x +≤-22令，则，当时，；当时，，在上单调递减，在上单调递增，，，即的取值范围为．（2）设，将问题转化为在区间上有唯一的零点，由，知在区间上单调递减，故函数在区间上至多有个零点，，，由（1）知：当时，（当且仅当时取等号），，，，又，即，，，，，即，()ln 1x g x x +=-()2ln xg x x '=∴()0,1x ∈()0g x '<()1,x ∈+∞()0g x '>()g x ∴()0,1()1,+∞()()min 11g x g ∴==-1a ∴≤-a (],1-∞-()()()()1212f x f x h x f x x x -'=--()h x ()12,x x ()()()()1211221212ln ln 1f x f x x ax x ax h x f x a x x x x x -+--'=-=+---()h x ()12,x x ()h x ()12,x x 1()1122122211121121211ln ln ln ln 1111ln x ax x ax x x x x h x a x x x x x x x x x x ⎛⎫+---=+-=-=-+ ⎪---⎝⎭()1122121222122121221ln ln ln ln 1111ln x ax x ax x x x x h x a x x x x x x x x x x ⎛⎫+---=+-=-=-+⎪---⎝⎭1a =-ln 10x x -+≤1x =120x x << 211x x ∴>2211ln 10x xx x ∴-+<120x x -<121x x <-()10h x ∴>120x x << 1201x x ∴<<1122ln 10x x x x ∴-+<2112ln 10x xx x +->23又，即，，由函数零点存在定理知：在区间上有唯一的零点，即存在唯一的，使得成立．120x x -<121x x <-()20h x ∴<()h x ()12,x x ()012,x x x ∈()()()12012f x f x f x x x -'=-。

(浙江专用)高考数学冲刺必备 “10+7”提速专练卷(八)

“10＋7”提速专练卷(八)限时：50分钟满分：78分一、选择题(共10个小题，每小题5分，共50分)1．若集合A ＝{x |x 2－2x －3≤0}，B ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪xx －2≤0，则A ∩B ＝( ) A ．{x |－1≤x <0} B ．{x |0≤x ＜2} C ．{x |0≤x ≤2}D ．{x |0≤x ≤1}解析：选B 由x 2－2x －3≤0得－1≤x ≤3；由xx －2≤0得0≤x <2.因此，A ∩B ＝{x |0≤x <2}．2．设x ，y ∈R ，则“x ≥2且y ≥2”是“x 2＋y 2≥4”的( ) A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件解析：选A x ≥2且y ≥2⇒x 2＋y 2≥4，但x 2＋y 2≥4⇒/ x ≥2且y ≥2.3．定义在R 上的函数f (x )在区间(－∞，2)上是增函数，且f (x ＋2)的图像关于y 轴对称，则( )A ．f (0)>f (3)B ．f (0)＝f (3)C ．f (－1)＝f (3)D ．f (－1)<f (3)解析：选D 函数f (x ＋2)的图像关于y 轴对称，说明这个函数是偶函数，所以f (－x ＋2)＝f (x ＋2)．令x ＝1，得f (1)＝f (3)，因为函数f (x )在(－∞，2)上是增函数，所以f (－1)<f (1)＝f (3)．4．如图，设P 是单位圆和x 轴正半轴的交点，M 、N 是单位圆上的两点，O 是坐标原点，若∠POM ＝π3，∠PON ＝α，α∈[0，π)，f (α)＝OM ·ON ，则f (α)的值域是( )A.⎝ ⎛⎦⎥⎤－12，1B.⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，12C.⎣⎢⎡⎭⎪⎫－12，1D.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1 解析：选A 由题意可知点M ⎝⎛⎭⎪⎫cos π3，sin π3，点N (cos α，sin α)易知f (α)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫cos π3，sin π3·(cos α，sin α)＝cos π3·cos α＋sin π3sin α＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π3，因为α∈[0，π)，所以－π3≤α－π3<2π3，所以－12＝f(π)<f(α)≤f⎝⎛⎭⎪⎫π3＝1.5．利用如图所示的程序框图在直角坐标平面上打印一系列点，则打印的点落在坐标轴上的个数是( )A．0 B．1C．2 D．3解析：选B 依题意得，当i＝3时，打印的点是(－2,6)，x＝－1，y＝5，i＝3－1＝2；当i＝2时，打印的点是(－1,5)，x＝0，y＝4，i＝2－1＝1；当i＝1时，打印的点是(0,4)，x＝1，y＝3，i＝1－1＝0，此时0不大于0，所以结束．6．直线x sin θ＋y cos θ＝1与圆(x－1)2＋y2＝9的公共点的个数为( )A．0 B．1C．2 D．0,1或2解析：选C 依题意，圆(x－1)2＋y2＝9的圆心坐标是(1,0)，半径是3，因为圆心(1,0)到直线x sin θ＋y cos θ＝1，即x sin θ＋y cos θ－1＝0的距离α＝|sin θ－1|sin2θ＋cos2θ＝|sin θ－1|≤2<3，圆心到直线x sin θ＋y cos θ＝1的距离小于半径，因此该直线与圆相交，它们的公共点个数是2.7．函数f(x)＝sin πx＋cos πx＋|sin πx－cos πx|对任意的x∈R都有f(x1)≤f(x)≤f(x2)成立，则|x2－x1|的最小值为( )A.34B．1C．2 D．4解析：选A 依题意得，当sin πx－cos πx≥0，即sin πx≥cos πx时，f(x)＝2sin πx；当sin πx－cos πx<0，即sin πx<cos πx时，f(x)＝2cos πx.令f(x1)、f(x2)分别是函数f(x)的最小值与最大值，如图可知，|x 2－x 1|的最小值是 54－12＝34. 8．已知M 是△ABC 内的一点，且AB ·AC ＝23，∠BAC ＝30°，若△MBC ，△MCA ，△MAB 的面积分别为12，x ，y ，则1x ＋4y的最小值为( )A ．20B ．19C ．16D ．18解析：选D 依题意得AB ·AC ＝|AB |·|AC |cos 30°＝23，则|AB |·|AC |＝4，故S △ABC ＝12|AB |·|AC |sin 30°＝1，即12＋x ＋y ＝1，x ＋y ＝12，所以1x ＋4y＝2(x ＋y )⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋4y ＝2⎣⎢⎡⎦⎥⎤5＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y x ＋4x y ≥2⎝⎛⎭⎪⎫5＋2y x ·4x y ＝18，当且仅当y x ＝4x y ，即y ＝2x ＝13时，等号成立，因此1x ＋4y的最小值为18.9．函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫其中A >0，|φ|<π2的图像如图所示，为了得到g (x )＝sin 2x 的图像，则只要将f (x )的图像( )A ．向右平移π6个单位长度B ．向左平移π6个单位长度C ．向右平移π12个单位长度D ．向左平移π12个单位长度解析：选C 由图可知，A ＝1，T ＝⎝⎛⎭⎪⎫5π12－π6×4＝π.∴ω＝2ππ＝2.又∵图像过点⎝ ⎛⎭⎪⎫5π12，0，∴f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2×5π12＋φ＝0.∵|φ|<π2，∴φ＝π6.∴f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6 为了得到g (x )＝sin 2x 的图像，则只要将f (x )的图像向右平移π12个单位长度．10．球O 的球面上有四点S 、A 、B 、C ，其中O 、A 、B 、C 四点共面，△ABC 是边长为2的正三角形，平面SAB ⊥平面ABC ，则棱锥S －ABC 的体积的最大值为( )A ．1 B.13 C. 3D.33解析：选D 记球O 的半径为R ，作SD ⊥AB 于D ，连接OD 、OS ，则有R ＝22sin 60°＝23，SD ⊥平面ABC ，注意到SD ＝SO 2－OD 2＝R 2－OD 2，因此要使SD 最大，则需OD 最小，而OD的最小值等于12×23＝33，因此高SD 的最大值是⎝ ⎛⎭⎪⎫232－⎝ ⎛⎭⎪⎫332＝1，又棱锥S －ABC 的体积等于13S △ABC ·SD ＝13×34×22×SD ＝33SD ，因此棱锥S －ABC 的体积的最大值是33×1＝33. 二、填空题(共7个小题，每小题4分，共28分)11．为了解高一学生到学校阅览室阅读的情况，现采用简单随机抽样的方法，从高一的1 500名同学中抽取50名同学，调查了他们在一学期内到阅览室阅读的次数，结果用茎叶图表示，如图所示．据此可估计该学期1 500名高一学生中，到阅览室阅读次数在[23,43)内的人数为________．解析：由茎叶图可知在50名学生中，到阅览室阅读的次数在[23,43)内的人数为14，据此可以估计该学期1 500名高一学生中，到阅览室阅读次数在[23,43)内的人数为1450×1500＝420.答案：42012．在△ABC 中，若sin 2A ＝sin 2B ＋sin 2C ＋3sin B sin C ，则角A 的值为________．解析：依题意得a 2＝b 2＋c 2＋3bc ，所以cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝－32.又0<A <π，因此A＝5π6. 答案：5π613．直线y ＝－3x 与椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)交于A 、B 两点，以线段AB 为直径的圆恰好经过椭圆的右焦点，则椭圆C 的离心率为________．解析：设椭圆的左、右焦点分别为F 1，F 2，由题意可得|OF 2|＝|OA |＝|OB |＝|OF 1|＝c ，由y ＝－3x 得∠AOF 2＝2π3，∠AOF 1＝π3，∴|AF 2|＝3c ，|AF 1|＝c .由椭圆的定义知，|AF 1|＋|AF 2|＝2a .∴c ＋3c ＝2a ，∴e ＝ca＝3－1. 答案：3－114．如图，在△ABC 中，AB ＝2，BC ＝3，∠ABC ＝60°，AH ⊥BC 于点H ，M 为AH 的中点，若AM ＝λAB ＋μBC ，则λ＋μ＝________.解析：因为AB ＝2，BC ＝3，∠ABC ＝60°，AH ⊥BC ，所以BH ＝1，BH ＝13BC .因为点M 为AH 的中点，所以AM ＝12AH ＝12(AB ＋BH )＝12⎝⎛⎭⎪⎫AB ＋13BC ＝12AB ＋16BC ，即λ＝12，μ＝16，所以λ＋μ＝23. 答案：2315．在△ABC 中，AD 为BC 边上的中线，且AC ＝2AB ＝2AD ＝4，则BD ＝________.解析：如图所示，设BD ＝DC ＝x ，因为∠ADB ＋∠ADC ＝180°，所以cos ∠ADB ＝－cos ∠ADC ，又AC ＝2AB ＝2AD ＝4，由余弦定理得x 2＋4－42×2x＝－4＋x 2－162×2x，解得x ＝6(x ＝－6舍去)，故BD ＝ 6.答案： 616．一个矩形的周长为l ，面积为S ，给出：①(4,1)；②(8,6)；③(10,8)；④⎝ ⎛⎭⎪⎫3，12.其中可作为 (l ，S )取值的实数对的序号是________．解析：依题意，设矩形的长、宽分别是a 、b ，则有⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b ＝12l ，ab ＝S ，即l ＝2(a ＋b )≥4ab ＝4S ，l S ≥4.对于①，注意到41＝4；对于②，注意到86<84＝4；对于③，注意到108＝52<322＝4；对于④，注意到312＝32>4.因此，其中可作为(l ，S )取值的实数对的序号是①④.答案：①④17．定义在R 上的减函数y ＝f (x )满足对于任意的x ，y ∈R ，不等式f (x 2－2x )≤－f (2y －y 2)成立．已知函数y ＝f (x －1)的图像关于点(1,0)对称，则当1≤x ≤4时，y x的取值范围为________．解析：函数y ＝f (x －1)的图像关于点(1,0)对称，则函数y ＝f (x )的图像关于点(0,0)对称，即函数y ＝f (x )为奇函数，又因为函数y ＝f (x )为减函数，故由f (x 2－2x )≤－f (2y －y 2)，得f (x 2－2x )≤f (y 2－2y )，得x 2－2x ≥y 2－2y ，即(x －y )·(x ＋y －2)≥0，故当1≤x ≤4时，该不等式表示的图形是如图所示的阴影部分，而y x的几何意义是区域内的点与原点连线的斜率，可得斜率的取值范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，1. 答案：⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，1。

【高考】高考数学冲刺必备107提速专练卷七

【关键字】高考“10＋7”提速专练卷(七)限时：50分钟满分：78分一、选择题(共10个小题，每小题5分，共50分)1．若单数(i为虚数单位，a∈R)是纯虚数，则单数＋2i在复平面内对应的点在( ) A．第一象限 B．第二象限C．第三象限D．第四象限解析：选B 依题意得，＝＝(a＋1)＋(1－a)i是纯虚数，于是有a＋1＝0，得a＝－1,＋2i＝－2＋2i，故其对应的点的坐标是(－2,2)，因此单数＋2i在复平面内对应的点在第二象限．2．有一个容量为200的样本，其频率分布直方图如图所示．根据样本的频率分布直方图估计，样本数据落在区间[10,12)内的频数为( )A．18 B．36C．54 D．72解析：选B 易得样本数据在区间[10,12)内的频率为0.18，则样本数据在区间[10,12)内的频数为36.3．已知直线l过点(－2,0)，当直线l与圆x2＋y2＝2x有两个交点时，其斜率k的取值范围是( )A．(－2，2) B．(－，)C. D.解析：选C 易知圆心坐标是(1,0)，圆的半径是1，直线l的方程是y＝k(x＋2)，即kx－y＋2k＝0，根据点到直线的距离公式得<1，即k2<，解得－<k<.4．已知数列{an}的前n项和Sn＝2n－1，则数列{an}的奇数项的前n项和为( )A. B.C. D.解析：选C 依题意得当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝2n－1；当n＝1时，a1＝S1＝2－1＝1，an＝2n－1也适合a1.因此，an＝2n－1，＝2，数列{an}是等比数列，数列{an}的奇数项的前n项和为＝.5．函数y＝的图像如图，则( )A．k＝，ω＝，φ＝B．k＝，ω＝，φ＝C．k＝－，ω＝2，φ＝D．k＝－3，ω＝2，φ＝解析：选A 由图可得k＝，因为T>×2，所以>，即ω<，结合选项得ω＝.取函数的一个特殊点(0,1)，代入y＝2sin，可得φ＝.6．一个程序框图如图所示，输入a＝2，b＝8，则输出结果为( )A．6 B．4C．2 D．0解析：选D 依题意得，当k＝1时，c＝|2－8|＝6，b＝2，a＝6；当k＝2时，c＝|6－2|＝4，b＝6，a＝4；当k＝3时，c＝|4－6|＝2，b＝4，a＝2；当k＝4时，c＝|2－4|＝2，b＝2，a＝2；当k＝5时，c＝|2－2|＝0，b＝2，a＝0；当k＝6时，c＝|0－2|＝2，b ＝0，a＝2；当k＝7时，c＝|2－0|＝2，b＝2，a＝2；当k＝8时，c＝|2－2|＝0，b＝2，a ＝0.结合题中的框图得知，最后输出的a的值为0.7．存在两条直线x＝±m与双曲线－＝1(a>0，b>0)相交于A、B、C、D四点，若四边形ABCD为正方形，则双曲线的离心率的取值范围为( )A．(1，) B．(1，)C．(，＋∞) D．(，＋∞)解析：选C 依题意，不妨设直线AC的倾斜角为锐角，则直线AC的倾斜角为45°，该直线与双曲线有两个不同的交点，因此有>tan 45°＝1，双曲线的离心率e＝＝>＝，即该双曲线的离心率的取值范围是(，＋∞)．8．在△ABC中，·＝|－|＝3，则△ABC面积的最大值为( )A. B.C. D．3解析：选B 设角A、B、C所对的边分别为a、b、c，∵·＝|－|＝3，∴bccos A＝a ＝3.又∵cos A＝≥1－＝1－，∴cos A≥，∴0<sin A≤，∴△ABC的面积S＝bcsin A＝tan A≤×＝.故△ABC面积的最大值为.9．一个底面为正三角形且侧棱垂直于底面的三棱柱内接于半径为的球，则该棱柱体积的最大值为( )A. B.C．3 D．6解析：选C 设该三棱柱的底面边长为a，高为h，则底面正三角形的外接圆半径是＝，依题意有2＋2＝()2，即＋＝1，则1＝＋＋≥3 ，当且仅当＝，即a＝，h＝2时取等号，此时a2h 取得最大值，因此该棱柱的体积V ＝×a ×a ×h ＝a2h ，且其最大值是×6×2＝3.10．已知函数f(x)满足对任意的x ，y ∈R ，都有f(x ＋y)＝f(x)＋f(y)且在区间[3,7]上是增函数，在区间[4,6]上的最大值为1 007，最小值为－2，则(－6)＋f(－4)＝( )A ．－2 012B ．－2 011C ．－2 010D ．2 010解析：选A 令x ＝y ＝0，得f(0)＝f(0)＋f(0)，解得f(0)＝0.令y ＝－x ，得f(0)＝f(x)＋f(－x)，故f(x)＋f(－x)＝0，所以函数f(x)为奇函数．由函数f (x )在区间[3,7]上单调递增，可知在区间[4,6]上也是增函数，故最大值为f (6)＝1 007，最小值为f (4)＝－2.而f (－6)＝－f (6)＝－1 007，f (－4)＝－f (4)＝2，所以2f (－6)＋f (－4)＝2×(－1 007)＋2＝－2 012.二、填空题(共7个小题，每小题4分，共28分)11．正方形的四个顶点都在双曲线C 上，其一边经过C 的焦点，则C 的离心率为________．解析：不妨设正方形的边长为2，则有2c ＝2,2a ＝5－1，∴双曲线C 的离心率e ＝c a＝2c 2a ＝25－1＝5＋12. 答案：5＋1212．已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2，x ≤－1，x 2，－1<x <2，2x ，x ≥2，若f (x )＝3，则x 的值是________．解析：当x ≤－1时，f (x )的值域为(－∞，1]；当－1<x <2时，f (x )的值域为[0,4)；当x ≥2时，f (x )的值域为[4，＋∞)．而3∈[0,4)，所以f (x )＝x 2＝3，所以x ＝±3，又因为－1<x <2，所以x ＝ 3.答案： 313．(2012·盐城二模)已知向量a 的模为2，向量e 为单位向量，e ⊥(a －e )，则向量a 与e 的夹角大小为________．解析：由题意得e ·(a －e )＝e ·a －e 2＝0，即e ·a ＝2×cos〈a ，e 〉＝1，所以cos 〈a ，e 〉＝12.所以a 与e 的夹角为π3.答案：π314．一个棱锥的三视图如图(单位：c m)，则该棱锥的表面积为________cm 2.解析：依题意得，该几何体是一个底面为等腰直角三角形(直角边长为6)、高为4的三棱锥，其表面积等于12×6×6＋12×6×5×2＋12×62×52－⎝ ⎛⎭⎪⎫622＝48＋12 2.答案：48＋12 215．若圆x 2＋y 2＝r 2(r >0)上有且只有两个点到直线x －y －2＝0的距离为1，则实数r 的取值范围是________．解析：注意到与直线x －y －2＝0平行且其间的距离为1的直线方程分别是x －y ＋2－2＝0、x －y －2－2＝0，要使圆上有且只有两个点到直线x －y －2＝0的距离为1，需满足在两条直线x －y ＋2－2＝0、x －y －2－2＝0中，一条与该圆相交且另一条与该圆相离，所以|2－2|2<r <|－2－2|2，即2－1<r <2＋1.答案：(2－1，2＋1)16．由正整数组成的一组数据x 1，x 2，x 3，x 4，其平均数和中位数都是2，且标准差等于1，则这组数据为________．(从小到大排列)解析：设x 1≤x 2≤x 3≤x 4，根据已知条件得到x 1＋x 2＋x 3＋x 4＝8，且x 2＋x 3＝4，所以x 1＋x 4＝4，又因为14[x 1－22＋x 2－22＋x 3－22＋x 4－22]＝1，所以(x 1－2)2＋(x 2－2)2＝2，又因为x 1，x 2，x 3，x 4是正整数，所以(x 1－2)2＝(x 2－2)2＝1，所以x 1＝1，x 2＝1，x 3＝3，x 4＝3.答案：1,1,3,317．数列{a n }的前n 项和为S n ，若数列{a n }的各项按如下规律排列：12，13，23，14，24，34，15，25，35，45，…，1n ，2n ，…，n －1n ，…，有如下运算和结论： ①a 24＝38；②数列a 1，a 2＋a 3，a 4＋a 5＋a 6，a 7＋a 8＋a 9＋a 10，…是等比数列； ③数列a 1，a 2＋a 3，a 4＋a 5＋a 6，a 7＋a 8＋a 9＋a 10，…的前n 项和为T n ＝n 2＋n4；④若存在正整数k ，使S k <10，S k ＋1≥10，则a k ＝57.其中正确的结论有________．(将你认为正确的结论序号都填上)解析：依题意得，将该数列中的项依次按分母相同的项分成一组，第n 组中的数出现的规律是：第n 组中的数共有n 个，并且每个数的分母均是n ＋1，分子由1依次增大到n ，第n 组中的各数和等于1＋2＋3＋…＋n n ＋1＝n2.对于①，注意到21＝66＋12<24<77＋12＝28，因此题中的数列中的第24项应是第7组中的第3个数，即a 24＝38，因此①正确．对于②③，设b n 为②③中的数列的通项，则b n ＝1＋2＋3＋…＋n n ＋1＝n2，显然该数列是等差数列，而不是等比数列，其前n 项和等于12×nn ＋12＝n 2＋n4，因此②不正确，③正确．对于④，注意到数列的前6组的所有项和等于62＋64＝1012，因此满足条件的a k 应是第6组中的第5个数，即a k ＝57，因此④正确．答案：①③④此文档是由网络收集并进行重新排版整理.word 可编辑版本！。

高考数学冲刺必备 “10+7”提速专练卷(五)

“10＋7”提速专练卷(五)限时：50分钟满分：78分一、选择题(共10个小题，每小题5分，共50分)1．设集合M ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x －2x ＋3<0，N ＝{x ||x －1|≤2}，则M ∩N ＝( ) A ．(－3,3] B ．[－1,2) C ．(－3,2)D ．[－1,3]解析：选B 由x －2x ＋3<0得－3<x <2，即M ＝{x |－3<x <2}，由|x －1|≤2得－2≤x －1≤2，－1≤x ≤3，即N ＝{x |－1≤x ≤3}．所以M ∩N ＝[－1,2)．2．方程x 2＋6x ＋13＝0的一个根是( ) A ．－3＋2i B ．3＋2i C ．－2＋3iD ．2＋3i解析：选A 配方得(x ＋3)2＝－4＝(2i)2，所以x ＋3＝±2i，x ＝－3±2i. 3．已知a ＝log 0.70.9，b ＝log 1.10.7，c ＝1.10.9，则a ，b ，c 的大小关系为( ) A ．a <b <c B ．a <c <b C ．b <a <cD ．c <a <b解析：选 C 因为b ＝log 1.10.7<log 1.11＝0；0＝log 0.71<log 0.70.9<log 0.70.7＝1，所以0<a <1；c ＝1.10.9>1.10＝1.所以b <a <c .4．设a ∈R ，则“a －1a 2－a ＋1<0”是“|a |<1”成立的( )A ．充分必要条件B ．充分不必要条件C ．必要不充分条件D ．既非充分也非必要条件解析：选C 因为a 2－a ＋1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a －122＋34≥34>0，所以由a －1a 2－a ＋1<0得a <1，不能得知|a |<1；反过来，由|a |<1得－1<a <1，所以a －1a 2－a ＋1<0.因此，“a －1a 2－a ＋1<0”是“|a |<1”成立的必要不充分条件．5．如图，三棱柱ABC －A 1B 1C 1中AA 1⊥平面ABC ，A 1A ＝AB ＝2，BC ＝1，AC ＝5，若规定正(主)视方向垂直平面ACC 1A 1，则此三棱柱的侧(左)视图的面积为( )A.455B ．2 5C ．4D ．2解析：选A 依题意，注意到AB 2＋BC 2＝AC 2，所以AB ⊥BC ，点B 到直线AC 的距离等于AB ·BC AC ＝2×15＝255，所以此三棱柱的左(侧)视图的面积为2×255＝455. 6．在△OAB (O 为原点)中，OA u u u r ＝(2cos α，2sin α)，OB u u u r＝(5cos β，5sin β)，若OA u u u r ·OB u u u r＝－5，则△OAB 的面积S ＝( )A. 3B.32C ．5 3 D.532解析：选D 记OA u u u r 、OB u u u r 的夹角为θ，依题意得|OA u u u r|＝2， |OB u u u r |＝5，OA u u u r ·OB u u u r＝－5，S ＝12|OA u u u r |·|OB u u u r |si n θ＝12|OA u u u r |2|OB u u u r |2sin 2θ＝12|OA u u u r |2|OB u u u r |2(1－cos 2θ) ＝12|OA u u u r |2|OB u u u r |2－|OA u u u r |2|OB u u u r |2cos 2θ ＝12 |OA u u u r |2|OB u u u r |2－(OA u u u r ·OB u u u r )2＝124×25－(－5)2＝532. 7．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 3x ，x >0，log 13 (－x )，x <0，若f (m )<f (－m )，则实数m 的取值范围是( )A ．(－1,0)∪(0,1)B ．(－∞，－1)∪(1，＋∞)C ．(－1,0)∪(1，＋∞)D ．(－∞，－1)∪(0,1) 解析：选D 根据题意，f (m )<f (－m )可化为⎩⎪⎨⎪⎧m >0，log 3m <log 13m ，或⎩⎪⎨⎪⎧m <0，log 13 (－m )<log 3(－m )，解得0<m <1或m <－1.8．已知在△ABC 中，AB ＝2，BC ＝3，∠ABC ＝60°，若平面ABC 外一点P 满足PA ＝PB ＝PC ＝2，则三棱锥P －ABC 的体积是( )A.56B.53C.54D.52解析：选D 在△ABC 中，由余弦定理得AC ＝7，易知△ABC 外接圆的直径d ＝2R ＝ACsin ∠ABC ＝2213，即R ＝213，所以三棱锥P －ABC 的高为22－⎝⎛⎭⎪⎫2132＝153，所以三棱锥的体积V P －ABC ＝13×12×2×3×32×153＝52.9．某公司生产甲、乙两种桶装产品．已知生产甲产品1桶需耗A 原料1千克，B 原料2千克；生产乙产品1桶需耗A 原料2千克，B 原料1千克．每桶甲产品的利润是300元，每桶乙产品的利润是400元．公司在生产这两种产品的计划中，要求每天消耗A 、B 原料都不超过12千克．通过合理安排生产计划，从每天生产的甲、乙两种产品中，公司共可获得的最大利润是( )A ．1 800元B ．2 400元C ．2 800元D ．3 100元解析：选C 设生产甲产品x 桶，乙产品y 桶(x ，y ∈N)，每天利润为z 元，则⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y ≤12，2x ＋y ≤12，x ≥0，y ≥0，z ＝300x ＋400y .作出可行域，如图阴影部分所示．作直线300x ＋400y ＝0，向右上平移，过点A 时，z ＝300x ＋400y 取最大值．由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y ＝12，2x ＋y ＝12，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4，y ＝4，∴A (4,4)．∴z max ＝300×4＋400×4＝2 800.10．若函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x 3＋3x 2＋1，x ≤0，e ax，x >0，在[－2,2]上的最大值为2，则a 的取值范围是( )A.⎣⎢⎡⎭⎪⎫12ln 2，＋∞B.⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，12ln 2C ．(－∞，0]D.⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，12ln 2 解析：选D 当x ≤0时，f ′(x )＝6x 2＋6x ，易知函数f (x )在(－∞，0]上的极大值点是x ＝－1，且f (－1)＝2，故只要在(0,2]上，e ax≤2即可，即ax ≤ln 2在(0,2]上恒成立，即a ≤ln 2x 在(0,2]上恒成立，故a ≤12ln 2.二、填空题(共7个小题，每小题4分，共28分)11．双曲线x 2a 2－y 2＝1(a >0)的离心率为2，则该双曲线的渐近线方程为________．解析：由题意知a 2＋1a ＝1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1a 2＝2，解得a ＝33，故该双曲线的渐近线方程是3x ±y ＝0，即y ＝±3x .答案：y ＝±3x12．已知关于x 的不等式2x ＋2x －a≥7在x ∈(a ，＋∞)上恒成立，则实数a 的最小值为________．解析：由2x ＋2x －a ＝2(x －a )＋2x －a＋2a ≥2 2x －a ·2x －a＋2a ＝4＋2a ≥7，得a ≥32，故实数a 的最小值为32.答案：3213．如图所示的程序框图，当x 1＝3，x 2＝5，x 3＝－1时，输出的p 值为________．解析：依题意得，当x 1＝3，x 2＝5，x 3＝－1时，|x 1－x 2|<|x 2－x 3|，p ＝x 1＋x 22＝4，因此输出的p 值是4.答案：414．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知a ＝23，c ＝22，1＋tan Atan B ＝2cb，则C ＝________.解析：由1＋tan A tan B ＝2c b 和正弦定理得：cos A ＝12，∴A ＝60°.由正弦定理得23sin A ＝22sin C ，∴sin C ＝22，又c <a ，∴C <60°.∴C ＝45°. 答案：45°15．从1＝12,2＋3＋4＝32,3＋4＋5＋6＋7＝52中，可得到一般规律为________(用数学表达式表示)．解析：观察所给等式知，等式右边是奇数2n －1的平方，等式左边共有2n －1个自然数相加，且第一个加数为n ，故一般规律为n ＋(n ＋1)＋(n ＋2)＋…＋(3n －2)＝(2n －1)2.答案：n ＋(n ＋1)＋(n ＋2)＋…＋(3n －2)＝(2n －1)216．设奇函数y ＝f (x )(x ∈R)满足：对任意t ∈R ，都有f (t )＝f (1－t )，且x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，12时，f (x )＝－x 2，则f (3)＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－32＝________.解析：根据对任意t ∈R ，都有f (t )＝f (1－t )，可得f－t ＝f (1＋t )，即f (t ＋1)＝－f (t )，进而得到f (t ＋2)＝－f (t ＋1)＝－[－f (t )]＝f (t )，即函数y ＝f (x )的一个周期为2，故f (3)＝f (1)＝f (0＋1)＝－f (0)＝0，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－32＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝－14.所以f (3)＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－32＝－14.答案：－1417．若函数f (x )＝log a |x ＋1|在区间(－2，－1)上恒有f (x )>0，则关于a 的不等式f (4a－1)>f (1)的解集为________．解析：∵函数f (x )＝log a |x ＋1|在区间(－2，－1)上恒有f (x )>0，∴0<a <1，且该函数在区间(－∞，－1)上为增函数，在(1，＋∞)上为减函数，又∵f (4a－1)>f (1)，且4a－1>0，∴4a－1<1，即22a <2，得2a <1，解得a <12，∴关于a 的不等式f (4a－1)>f (1)的解集为⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12.答案：⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12。

高考数学(理科)小题提速练(三)

小题提速练(三)一、选择题(本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．)1．已知集合A ＝{x ∈N |x ≤6}，B ＝{x ∈R |x 2－3x ＞0}，则A ∩B ＝( ) A ．{3，4，5，6} B ．{x |3＜x ≤6} C ．{4，5，6}D ．{x |x ＜0或3＜x ≤6}解析：选C.依题意得A ＝{0，1，2，3，4，5，6}，B ＝{x |x ＜0或x ＞3}，因此A ∩B ＝{4，5，6}，选C.2．已知a ＋ii ＝b ＋2i(a ，b ∈R )，其中i 为虚数单位，则a －b ＝( )A ．－3B ．－2C ．－1D ．1解析：选A.依题意得1－a i ＝b ＋2i ，因此a ＝－2，b ＝1，a －b ＝－3，选A.3．某班有青年志愿者男生3人，女生2人，现需选出2名青年志愿者到社区做公益宣传活动，则选出的2名志愿者性别相同的概率为( )A.35 B ．25C.15D ．310解析：选B.将3名男生记为M 1，M 2，M 3，2名女生记为W 1，W 2，从这5名志愿者中选出2名的基本事件为(M 1，M 2)，(M 1，M 3)，(M 1，W 1)，(M 1，W 2)，(M 2，M 3)，(M 2，W 1)，(M 2，W 2)，(M 3，W 1)(M 3，W 2)，(W 1，W 2)，共有10种，其中所选的2名志愿者性别相同的基本事件为(M 1，M 2)，(M 1，M 3)，(M 2，M 3)，(W 1，W 2)，共有4种，因此选出的2名志愿者性别相同的概率为410＝25，选B.4．中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题：“三百七十八里关，初行健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得至其关，要见次日行里数，请公仔细算相还．”其意思是有一个人走378里路，第一天健步行走，从第二天起脚痛，每天走的路程为前一天的一半，走了6天后到达目的地，请问第二天走了( )A ．96里B ．48里C ．192里D ．24里解析：选A.依题意得，该人每天所走的路程依次排列形成一个公比为12的等比数列．记为{a n }，其前6项和等于378，于是有a 1⎣⎡⎦⎤1－⎝⎛⎭⎫1261－12＝378，解得a 1＝192，因此a 2＝12a 1＝96，即该人第二天走了96里，选A.5．已知抛物线x 2＝8y与双曲线y 2a2－x 2＝1(a ＞0)的一个交点为M ，F 为抛物线的焦点，若|MF |＝5，则该双曲线的渐近线方程为( )A ．5x ±3y ＝0B ．3x ±5y ＝0C ．4x ±5y ＝0D ．5x ±4y ＝0解析：选B.设点M (x 0，y 0)，则有|MF |＝y 0＋2＝5，y 0＝3，x 20＝24，由点M (x 0，y 0)在双曲线y 2a 2－x 2＝1上，得y 20a 2－x 20＝1，9a 2－24＝1，a 2＝925，所以双曲线y 2a 2－x 2＝1的渐近线方程为y 2a 2－x 2＝0，即3x ±5y ＝0，选B. 6．如图所示的程序框图的算法思路源于数学名著《几何原本》中的“辗转相除法”，执行该程序框图(图中“m MOD n ”表示m 除以n 的余数)，若输入的m 、n 分别为495，135，则输出的m ＝( )A ．0B ．5C ．45D ．90解析：选C.执行程序框图，m ＝495，n ＝135，r ＝90，m ＝135，n ＝90，不满足退出循环的条件；r ＝45，m ＝90，n ＝45，不满足退出循环的条件；r ＝0，m ＝45，n ＝0，退出循环．故输出的m ＝45，选C.7．△ABC 的外接圆的圆心为O ，半径为1，2AO →＝AB →＋AC →，且|OA →|＝|AB →|，则向量CA →在向量CB →方向上的投影为( )A.12 B ．－32C ．－12D ．32解析：选D.依题意知，圆心O 为BC 的中点，即BC 是△ABC 的外接圆的直径，AC ⊥AB .又AO ＝OB ＝AB ＝1，因此∠ABC ＝60°，∠ACB ＝30°，|CA →|＝ 3，CA →在CB →方向上的投影为|CA →|cos 30°＝3×32＝32，选D.8．已知x ，y ∈N *且满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＜1，2x －y ＞2，x ＜5，则x ＋y 的最小值为( )A ．1B ．4C ．6D ．7解析：选C.依题意，画出不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示及直线x ＋y ＝0，平移该直线，因为x ，y ∈N *，所以易知目标函数在点(3，3)处取得最优解，所以(x ＋y )min ＝6，故选C.9．定义运算：⎪⎪⎪⎪⎪⎪a 1 a 2a 3 a 4＝a 1a 4－a 2a 3，将函数f (x )＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪3 sin ωx 1 cos ωx (ω＞0)的图象向左平移2π3个单位长度，所得图象对应的函数为偶函数，则ω的最小值是( )A.14 B ．54C.74D ．34解析：选B.依题意得f (x )＝ 3cos ωx －sin ωx ＝ 2cos ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π6，且函数f ⎝⎛⎭⎫x ＋2π3＝ 2cos ⎣⎡⎦⎤ω⎝⎛⎭⎫x ＋2π3＋π6＝2cos ⎝⎛⎭⎫ωx ＋2ωπ3＋π6是偶函数，于是有2ωπ3＋π6＝k π，k ∈Z ，即ω＝32⎝⎛⎭⎫k －16，k ∈Z .又ω＞0，所以ω的最小值是32⎝⎛⎭⎫1－16＝54，选B.10．设曲线f (x )＝m 2＋1cos x (m ∈R )上任一点(x ，y )处的切线斜率为g (x )，则函数y ＝x 2g (x )的部分图象可以为( )解析：选D.依题意得g (x )＝－ m 2＋1sin x ，y ＝x 2g (x )＝－m 2＋1x 2sin x ，易知函数y＝－m 2＋1x 2sin x 是奇函数，其图象关于原点中心对称，故B ，C 均不正确，又当x ∈⎝⎛⎭⎫0，π2时，y ＝－m 2＋1x 2sin x ＜0，故选D.11．某工件的三视图如图所示，现将该工件通过切削，加工成一个体积尽可能大的长方体新工件，并使新工件的一个面落在原工件的一个面内，则原工件材料的利用率为(材料利用率＝新工件的体积原工件的体积)( )A.89πB ．169πC.4（2－1）3πD ．12（2－1）3π解析：选A.依题意知，题中的工件形状是一个底面半径为1、高为2的圆锥，设新工件的长、宽、高分别为a ，b ，c ，截去的小圆锥的底面半径、高分别为r ，h ，则有a 2＋b 2＝4r 2，h ＝2r ，该长方体的体积为abc ＝ab (2－2r )≤（a 2＋b 2）（2－2r ）2＝4r 2(1－r )．记f (r )＝4r 2(1－r )，则有f ′(r )＝4r (2－3r )，当0＜r ＜23时，f ′(r )＞0，当23＜r ＜1时，f ′(r )＜0，因此f (r )＝4r 2(1－r )的最大值是f ⎝⎛⎭⎫23＝1627，则原工件材料的利用率为1627÷⎝⎛⎭⎫13π×12×2＝89π，选A. 12．设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧12x 2＋2x ＋2，x ≤0，|log 2x |，x ＞0，若关于x 的方程f (x )＝a 有四个不同的解x 1，x 2，x 3，x 4，且x 1＜x 2＜x 3＜x 4，则x 1＋x 2x 4＋1x 23x 4的取值范围是( )A ．(－3，＋∞)B ．(－∞，3)C ．[－3，3)D ．(－3，3]解析：选D.在坐标平面内画出函数y ＝f (x )的大致图象如图所示，结合图象可知，当且仅当a ∈(0，2]时，直线y ＝a 与函数y ＝f (x )的图象有4个不同的交点，即方程f (x )＝a 有四个不同的解，此时有x 1＋x 2＝－4，|log 2x 3|＝|log 2x 4|(0＜x 3＜1＜x 4≤4)，即有－log 2x 3＝log 2x 4，x 3x 4＝1，所以x 1＋x 2x 4＋1x 23x 4＝x 4－4x 4(1＜x 4≤4)，易知函数y ＝x 4－4x 4在区间(1，4]上是增函数，因此其值域是(－3，3]，选D.二、填空题(本题共4小题，每小题5分，共20分．)13．设函数f (x )＝ax 2＋b (a ≠0)，若⎠⎛03f(x)d x ＝3f(x 0)，x 0＞0，则x 0＝________．解析：依题意得⎝⎛⎭⎫a 3x 3＋bx |30＝3(ax 20＋b)，即3ax 20＝9a(a≠0)，x 20＝3(x 0＞0)，由此解得x 0＝ 3.答案： 314．由数字2，0，1，7组成没有重复数字的四位偶数的个数为________．解析：根据所组成的没有重复数字的四位偶数的个位是否为0进行分类计数；第一类，个位是0时，满足题意的四位偶数的个数为A 33＝6；第二类，个位是2时，满足题意的四位偶数的个数为C 12·A 22＝4.由分类加法计数原理得，满足题意的四位偶数的个数为6＋4＝10.答案：1015．已知曲线y ＝x ＋ln x 在点(1，1)处的切线为l.若l 与曲线y ＝ax 2＋(a ＋2)x ＋1相切，则a ＝________．解析：依题意得，y′⎪⎪⎪⎪x ＝1＝⎝⎛⎭⎫1＋1x x ＝1＝2，切线l 的方程为y －1＝2(x －1)，即y ＝2x －1，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2x －1，y ＝ax 2＋（a ＋2）x ＋1，消去y 得ax 2＋(a ＋2)x ＋1＝2x －1，即ax 2＋ax ＋2＝0，Δ＝a 2－8a ＝0(a≠0)，解得a ＝8(a ＝0舍去)．答案：816．已知F 1，F 2分别是椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)的左、右焦点，P 是椭圆上一点(异于左、右顶点)，过点P 作∠F 1PF 2的角平分线交x 轴于点M ，若2|PM|2＝|PF 1|·|PF 2|，则该椭圆的离心率为________．解析：在△PF 1F 2中，由角平分线定理，得|PF 1||PF 2|＝|F 1M||F 2M|，即|PF 1||PF 1|＋|PF 2|＝|F 1M||F 1M ＋F 2M|.由椭圆定义得|PF 1|2a ＝|F 1M|2c ⇒c a ＝|F 1M||PF 1|.同理c a ＝|F 2M||PF 2|.又在△PF 1M 和△PF 2M 中，由余弦定理得cos ∠F 1MP ＋cos ∠F 2MP ＝0.即|PM|2＋|F 1M|2－|PF 1|22|PM|·|F 1M|＋|PM|2＋|F 2M|2－|PF 2|22|PM|·|F 2M|＝0，即(|PM|2＋|F 1M||F 2M|)(|F 1M|＋|F 2M|)＝|PF 1|2|F 2M|＋|PF 2|2|F 1M|⇒⎝⎛⎭⎫12|PF 1||PF 2|＋c 2a 2|PF 1||PF 2|×2c ＝c a |PF 1|2|PF 2|＋c a |PF 2|2|PF 1|⇒⎝⎛⎭⎫1＋2c 2a 2c ＝c a(|PF 1|＋|PF 2|)即1＋2e 2＝2，解得e ＝22. 答案：22。

高考数学冲刺必备“107”提速专练卷二

“10＋7”提速专练卷(二)限时：50分钟满分：78分一、选择题(共10个小题，每小题5分，共50分)1．设集合M ＝{m ∈Z|m ≤－3或m ≥2}，N ＝{n ∈Z|－1≤n ≤3}，则(∁Z M )∩N ＝( ) A ．{0,1} B ．{－1,0,1} C ．{0,1,2}D ．{－1,0,1,2}解析：选B 由已知得∁Z M ＝{－2，－1,0,1}，N ＝{－1,0,1,2,3}，所以(∁Z M )∩N ＝{－1,0,1}．2．设向量a 、b 、c 满足a ＋b ＋c ＝0，且a ·b ＝0，|a |＝3，|c |＝4，则|b |＝( ) A ．5 B.7 C. 5D ．7解析：选B 由a ＋b ＋c ＝0得c ＝－(a ＋b )，又∵a ·b ＝0，∴c 2＝[－(a ＋b )]2＝a 2＋2a ·b ＋b 2＝a 2＋b 2， ∴|b |2＝|c |2－|a |2＝42－32＝7，即|b |＝7.3．已知x ，y ，z ∈R ，则“lg y 为lg x ，lg z 的等差中项”是“y 是x ，z 的等比中项”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：选A 由“lg y 为lg x ，lg z 的等差中项”得2lg y ＝lg x ＋lg z ，则有y 2＝xz (x >0，y >0，z >0)，y 是x ，z 的等比中项；反过来，由“y 是x ，z 的等比中项”不能得知“lg y 为lg x ，lg z 的等差中项”，如y ＝1，x ＝z ＝－1.综上所述，“lg y 为lg x, lg z 的等差中项”是“y 是x ，z 的等比中项”的充分不必要条件．4.一个多面体的三视图如图所示，其中正视图是正方形，侧视图是等腰三角形，则该几何体的表面积为( )A ．88B ．98C ．108D ．158解析：选A 依题意得，该几何体是一个直三棱柱，其表面积等于2×⎝ ⎛⎭⎪⎫12×6×4＋6×4＋2×4×42＋32＝88.5．某工厂的一、二、三车间在12月份共生产了3 600双皮靴，在出厂前要检查这批产品的质量，决定采用分层抽样的方法进行抽取，若从一、二、三车间抽取的产品数分别为a 、b 、c ，且a 、b 、c 构成等差数列，则二车间生产的产品数为( )A ．800B ．1 000C ．1 200D ．1 500解析：选C 因为a 、b 、c 成等差数列，所以2b ＝a ＋c ，所以二车间抽取的产品数占抽取产品总数的三分之一，根据分层抽样的性质可知，二车间生产的产品数占总数的三分之一，即为3 600×13＝1 200.6．若向量a ＝(x －1,2)，b ＝(4，y )相互垂直，则9x ＋3y的最小值为( ) A ．12 B ．2 3 C ．3 2D ．6解析：选D 依题意得4(x －1)＋2y ＝0，即2x ＋y ＝2，9x＋3y＝32x＋3y ≥2 32x ×3y＝2 32x ＋y＝232＝6，当且仅当2x ＝y ＝1时取等号，因此9x ＋3y的最小值是6.7．函数f (x )＝3cos πx 2－log 12x 的零点的个数是( )A ．2B ．3C ．4D ．5解析：选D 把求函数f (x )的零点的个数问题转化为求函数y ＝3cosπ2x 的图像与函数y ＝log 12x 的图像的交点的个数的问题，在同一个坐标系中画出这两个函数的图像，如图．函数y ＝3cos π2x 的最小正周期是4，当x ＝8时，y ＝log128＝－3，结合图像可知两个函数的图像只能有5个交点，即函数f (x )＝3cos πx 2－log 12x 有5个零点．8．定义运算：⎪⎪⎪⎪⎪⎪a 1 a 2a 3 a 4＝a 1a 4－a 2a 3，将函数f (x )＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪3 －sin x 1 cos x 的图像向左平移m 个单位(m >0)，若所得图像对应的函数为偶函数，则m 的最小值为( )A.π6 B.π3 C.5π6D.2π3解析：选A 由题意可得f (x )＝3cos x ＋sin x ＝2sin x ＋π3，平移后，令函数解析式为g (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3＋m ，若函数y ＝g (x )为偶函数，则必有π3＋m ＝k π＋π2(k ∈Z)，即m＝k π＋π6(k ∈Z)，又m >0，故取k ＝0可得m 的最小值为π6.9．在△ABC 中，AB ·BC ＝3，若△ABC 的面积S ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤32，32，则AB ―→与BC ―→夹角的取值范围是( )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，π3B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，π4C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，π3D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤π3，π2解析：选B 由题知AB ·BC ＝|AB |·|BC |·cos(π－B )＝3，所以|AB |·|BC |＝－3cos B ，S ＝12|AB |·|BC |·sin B ＝12·⎝ ⎛⎭⎪⎫－3cos B ·sin B ＝32(－tan B )，因为S ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤32，32，所以32(－tan B )∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤32，32，所以－tan B ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤33，1，所以B ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤3π4，5π6，则AB 与BC 夹角的取值范围为⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，π4.10．已知直线y ＝k (x －m )与抛物线y 2＝2px (p >0)交于A 、B 两点，且OA ⊥OB ，OD ⊥AB 于D .若动点D 的坐标满足方程x 2＋y 2－4x ＝0，则m ＝( )A ．1B ．2C ．3D ．4解析：选D 设点D (a ，b )，则由OD ⊥AB 于D ，得⎩⎪⎨⎪⎧b a ＝－1k ，b ＝k a －m ，则b ＝－km1＋k2，a ＝－bk ；又动点D 的坐标满足方程x 2＋y 2－4x ＝0，即a 2＋b 2－4a ＝0，将a ＝－bk 代入上式，得b 2k 2＋b 2＋4bk ＝0，即bk 2＋b ＋4k ＝0，－k 3m 1＋k 2－km1＋k2＋4k ＝0，又k ≠0，则(1＋k 2)(4－m )＝0，因此m ＝4. 二、填空题(共7个小题，每小题4分，共28分)11．若函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2，x >0，x 2，x ≤0，则满足f (a )＝1的实数a 的值为________．解析：依题意，满足f (a )＝1的实数a 必不超过零，于是有⎩⎪⎨⎪⎧a ≤0，a 2＝1，由此解得a ＝－1.答案：－112．已知直线y ＝2x ＋b 是曲线y ＝ln x (x >0)的一条切线，则实数b ＝________. 解析：(ln x )′＝1x ，令1x ＝2，得x ＝12，故切点为⎝ ⎛⎭⎪⎫12，ln 12，代入直线方程得ln 12＝2×12＋b ，所以b ＝－ln 2－1.答案：－ln 2－113．已知α为第二象限角，sin α＋cos α＝33，则cos 2α＝________. 解析：将sin α＋cos α＝33两边平方，可得1＋sin 2α＝13，sin 2α＝－23，所以(－sin α＋cos α)2＝1－sin 2α＝53，因为α是第二象限角，所以sin α＞0，cos α＜0，所以－sin α＋cos α＝－153，所以cos 2α＝(－sin α＋cos α)(cos α＋sin α)＝－53. 答案：－5314．已知双曲线x 24－y 2b2＝1(b >0)的离心率为2，则它的一个焦点到其中一条渐近线的距离为________．解析：依题意得4＋b22＝2，b ＝23，该双曲线的一个焦点坐标是(4,0)，一条渐近线方程是y ＝3x ，因此它的一个焦点到其中一条渐近线的距离为2 3.答案：2 315.如图，正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1的棱长为1，点M ∈AB 1，N ∈BC 1，且AM ＝BN ≠2，有以下四个结论：①AA 1⊥MN ；②A 1C 1∥MN ；③MN ∥平面A 1B 1C 1D 1；④MN 与A 1C 1是异面直线．其中正确结论的序号是________．(注：把你认为正确命题的序号都填上)解析：过N 作NP ⊥BB 1于点P ，连接MP ，可证AA 1⊥平面MNP ，所以AA 1⊥MN ，①正确．过M 、N 分别作MR ⊥A 1B 1、NS ⊥B 1C 1于点R 、S ，则当M 不是AB 1的中点、N 不是BC 1的中点时，直线A 1C 1与直线RS 相交；当M 、N 分别是AB 1、BC 1的中点时，A 1C 1∥RS ，所以A 1C 1与MN 可以异面，也可以平行，故②④错误．由①正确知，AA 1⊥平面MNP ，而AA 1⊥平面A 1B 1C 1D 1，所以平面MNP ∥平面A 1B 1C 1D 1，故③对．答案：①③16．以O 为中心，F 1，F 2为两个焦点的椭圆上存在一点M ，满足|MF 1|＝2|MO |＝2|MF 2|，则该椭圆的离心率为________．解析：不妨设F 1为椭圆的左焦点，F 2为椭圆的右焦点．过点M 作x 轴的垂线，交x 轴于N 点，则N 点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫c 2，0，并设|MF 1|＝2|MO |＝2|MF 2|＝2t ，根据勾股定理可知，|MF 1|2－|NF 1|2＝|MF 2|2－|NF 2|2，得到c ＝62t ，而a ＝3t 2，则e ＝c a ＝63. 答案：6317．定义运算：(a ⊕b )⊗x ＝ax 2＋bx ＋2，若关于x 的不等式(a ⊕b )⊗x <0的解集为{x |1<x <2}，则关于x 的不等式(b ⊕a )⊗x <0的解集为________．解析：1,2是方程ax 2＋bx ＋2＝0的两实根，1＋2＝－b a ，1×2＝2a ，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝－3，所以(－3⊕1)⊗x ＝－3x 2＋x ＋2<0，得3x 2－x －2>0，解得x <－23或x >1.答案：⎝⎛⎭⎪⎫－∞，－23∪(1，＋∞)。

高考数学冲刺必备“107”提速专练卷六

“10＋7”提速专练卷(六)限时：50分钟满分：78分一、选择题(共10个小题，每小题5分，共50分)1．已知i 为虚数单位，复数z ＝1＋3i1－i ，则复数z 在复平面上的对应点位于( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限解析：选B ∵z ＝1＋3i 1－i ＝1＋3i1＋i 1－i1＋i ＝1＋i ＋3i －32＝－1＋2i ，∴复数z 在复平面上的对应点的坐标是(－1,2)，相应的点位于第二象限．2．函数f (x )＝sin x sin ⎝⎛⎭⎪⎫x －π3的最小正周期为( )A ．2πB.2π3C ．πD.π2解析：选C 注意到f (x )＝sin x sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π3＝sin x ·⎝ ⎛⎭⎪⎫12sin x －32cos x ＝12sin 2x －32sin x cos x ＝1－cos 2x 4－34sin 2x ＝14－12sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6，因此函数f (x )的最小正周期是π.3．已知α、β是不同的平面，m 、n 是不同的直线，给出下列命题： ①若m ⊥α，m ⊂β，则α⊥β；②若m ⊂α，n ⊂α，m ∥β，n ∥β，则α∥β；③如果m ⊂α，n ⊄α，m 、n 是异面直线，那么n 与α相交； ④若α∩β＝m ，n ∥m ，且n ⊄α，n ⊄β，则n ∥α且n ∥β. 其中正确命题的个数是( ) A ．1 B ．2 C ．3D ．4解析：选B 对于①，由定理“一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直”知，①正确；对于②，注意到直线m 、n 可能是平面α内的两条平行直线，此时不能断定α∥β，因此②不正确；对于③，满足条件的直线n 可能平行于平面α，因此③不正确；对于④，由定理“平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行”知，直线n 平行于平面α、β，因此④正确．综上所述，其中正确命题的个数是2.4．设变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y ≥2，2x ＋y ≤4，4x －y ≥－1，则目标函数z ＝3x －y 的取值范围是( )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－32，6B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－32，－1 C ．[－1,6]D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－6，32解析：选A 不等式组表示的平面区域如图所示，目标函数的几何意义是直线在y 轴上截距的相反数，其最大值在点A (2,0)处取得，最小值在点B ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，3处取得，即最大值为6，最小值为－32. 5．在△ABC 中，∠BAC ＝60°，AB ＝2，AC ＝1，E ，F 为边BC 的三等分点，则AE u u u r ·AFu u u r＝( )A.53 B.54 C.109D.158解析：选A 依题意，不妨设BE u u u r ＝12EC u u u r ，BF u u u r ＝2 FC u u u r ，则有AE u u u r －AB u u u r ＝12(ACu u ur －AE u u u r )，即AE u u u r ＝23AB u u u r ＋13AC u u u r ；AF u u u r －AB u u u r ＝2(AC u u u r －AF u u u r )，即AF u u u r ＝13AB u u u r ＋23AC u u ur .所以AE u u u r ·AF u u u r ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫23 AB u u ur ＋13 AC u u u r ·⎝ ⎛⎭⎪⎫13 AB u u u r ＋23 AC u u u r＝19(2AB u u ur ＋AC u u u r )·(AB u u u r ＋2AC u u u r )＝19(2AB u u ur 2＋2AC u u u r 2＋5AB u u u r ·AC u u u r ) ＝19(2×22＋2×12＋5×2×1×cos 60°)＝53. 6．设连续投掷两次骰子得到的点数分别为m 和n ，若向量a ＝(m ，n )与向量b ＝(1，－1)的夹角为θ，则θ∈⎝⎛⎦⎥⎤0，π2的概率是( )A.512 B.12 C.712D.56解析：选C 由题意可知，若向量a 与向量b 的夹角θ∈⎝⎛⎦⎥⎤0，π2，则a ·b ＝m －n ≥0，即m ≥n .当m ＝1时，n ＝1；当m ＝2时，n ＝1,2；当m ＝3时，n ＝1,2,3；当m ＝4时，n ＝1，2,3,4；当m ＝5时，n ＝1,2,3,4,5；当m ＝6时，n ＝1,2,3,4,5,6.故满足条件的事件个数为1＋2＋3＋4＋5＋6＝21.易得抛掷两次骰子得到的点数组合有36个．因此，所求概率P ＝2136＝712. 7．在矩形ABCD 中，AB ＝43，BC ＝23，且矩形ABCD 的顶点都在半径为R 的球O 的球面上，若四棱锥O －ABCD 的体积为8，则球O 的半径R ＝( )A ．3 B.10 C ．2 3D ．4解析：选D 设四棱锥O －ABCD 的高为h ，则有13×43×23×h ＝8，故h ＝1；又OA＝OB ＝OC ＝OD ，因此点O 在平面ABCD 上的射影是底面矩形ABCD 的中心，于是有R ＝h 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12AC 2＝12＋⎣⎢⎡⎦⎥⎤12432＋2322＝4. 8．设P 是椭圆x 29＋y 25＝1上一点，M ，N 分别是两圆：(x ＋2)2＋y 2＝1和(x －2)2＋y 2＝1上的点，则|PM |＋|PN |的最小值、最大值分别为( )A ．4,8B ．2,6C ．6,8D ．8,12解析：选A 如图，由椭圆及圆的方程可知两圆圆心分别为椭圆的两个焦点，设椭圆的左、右焦点分别为A 、B .由椭圆定义知|PA |＋|PB |＝2a ＝6，连接PA ，PB 分别与圆相交于M ，N 两点，此时|PM |＋|PN |最小，最小值为|PA |＋|PB |－2×1＝4；连接PA ，PB 并延长，分别与圆相交于M ，N 两点，此时|PM |＋|PN |最大，最大值为|PA |＋|PB |＋2×1＝8，即最小值和最大值分别为4,8.9．若双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点分别为F 1、F 2，线段F 1F 2被抛物线y 2＝2bx 的焦点分成7∶3的两段，则此双曲线的离心率为( )A.98B.53C.324D.54解析：选B 依题意得，c ＋b 2＝77＋3×2c ，即b ＝45c (其中c 是双曲线的半焦距)，a ＝c 2－b 2＝35c ，则c a ＝53，因此该双曲线的离心率等于53.10．已知函数f (x )＝2x －1(x ∈R)．规定：给定一个实数x 0，赋值x 1＝f (x 0)，若x 1≤257，则继续赋值x 2＝f (x 1)；若x 2≤257，则继续赋值x 3＝f (x 2)；……以此类推．若x n －1≤257，则x n ＝f (x n －1)，否则停止赋值．已知赋值k (k ∈N *)次后该过程停止，则x 0的取值范围是( )A ．(27－k＋1,28－k＋1] B ．(28－k ＋1,29－k＋1] C ．(29－k ＋1,210－k＋1]D ．(28－k,29－k]解析：选B 依题意得x n ＝2x n －1－1，则x n －1＝2(x n －1－1)，于是x n －1＝2n(x 0－1)，即x n ＝2n(x 0－1)＋1.依题意有⎩⎪⎨⎪⎧x k －1≤257，x k >257，即⎩⎪⎨⎪⎧2k －1x 0－1＋1≤257，2kx 0－1＋1>257，即⎩⎪⎨⎪⎧2k －1x 0－1≤28，2kx 0－1>28，由此解得28－k＋1<x 0≤29－k＋1，即x 0的取值范围是(28－k＋1,29－k＋1]．二、填空题(共7个小题，每小题4分，共28分)11．已知数列{a n }的前n 项和S n 满足：S n ＋S m ＝S n ＋m ，且a 1＝1.那么a 10＝________. 解析：由S n ＋S m ＝S n ＋m ，得S 1＋S 9＝S 10⇒a 10＝S 10－S 9＝S 1＝a 1＝1. 答案：112．阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，输出的结果s ＝________.解析：当k ＝1时，1＜4，则执行循环体得：s ＝1，k ＝2；当k ＝2时，2＜4，则执行循环体得：s ＝0，k ＝3；当k ＝3时，3＜4，则执行循环体得：s ＝－3，k ＝4；当k ＝4时不满足条件，则输出s ＝－3.答案：－313．已知一个三棱锥的三视图如图所示，其中俯视图是等腰直角三角形，则该三棱锥的外接球体积为________．解析：设该三棱锥的外接球的半径是R .依题意得，该三棱锥的形状如图所示，其中AB ⊥平面BCD ，AB ＝2，CD ＝22，BC ＝BD ＝2，BC ⊥BD ，因此可将其补形成一个棱长为2的正方体，则有2R ＝23，R ＝3，所以该三棱锥的外接球体积为4π3×(3)3＝43π.答案：43π14．若圆(x －1)2＋(y ＋1)2＝1上总存在两点关于直线ax －by －2＝0(a >0，b >0)对称，则1a ＋1b的最小值为________．解析：依题意知圆心(1，－1)在直线ax －by －2＝0上，即a ＋b ＝2，故1a ＋1b ＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋1b (a ＋b )＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫2＋b a ＋a b ≥12(2＋2)＝2，当且仅当a ＝b 时等号成立，所以1a ＋1b的最小值为2.答案：215．令f (n )＝log n ＋1(n ＋2)(n ∈N *)．如果对k (k ∈N *)，满足f (1)·f (2)·…·f (k )为整数，则称k 为“好数”，那么区间[1,2 012]内所有的“好数”的和M ＝________.解析：对任意正整数k ，有f (1)·f (2)·…·f (k )＝log 23·log 34·…·log k ＋1(k ＋2)＝lg 3lg 2·lg 4lg 3·…·lg k ＋2lg k ＋1＝lg k ＋2lg 2＝log 2(k ＋2)．若k 为“好数”，则log 2(k ＋2)∈Z ，从而必有k ＋2＝2l (l ∈N *)．令1≤2l－2≤2 012，解得2≤l ≤10，所以区间[1,2 012]内所有“好数”的和M ＝(22－2)＋(23－2)＋…＋(210－2)＝(22＋23＋…＋210)－2×9＝2 026.答案：2 02616．设a ，b 为正实数．现有下列命题：①若a 2－b 2＝1，则a －b <1； ②若1b －1a＝1，则a －b <1；③若|a －b |＝1，则|a －b |<1； ④若|a 3－b 3|＝1，则|a －b |<1.其中的真命题有________．(写出所有真命题的编号)解析：对于①，若a －b ≥1，则由a 2－b 2＝1得a 2－b 2＝(a －b )(a ＋b )＝1，又a >0，b >0，于是有a ＋b >a －b ≥1，此时(a ＋b )·(a －b )>1这与“a 2－b 2＝(a ＋b )(a －b )＝1”相矛盾，因此a －b <1，①正确；对于②，取a ＝2，b ＝23，有1b －1a ＝1，此时a －b >1，因此②不正确；对于③，取a ＝9，b ＝4，有|a －b |＝1，但此时|a －b |＝5>1，因此③不正确；对于④，由|a 3－b 3|＝1得|a －b |(a 2＋ab ＋b 2)＝1，|a －b |(a 2＋ab ＋b 2)>|a －b |·(a 2－2ab ＋b 2)＝|a －b |3，于是有|a －b |3<1，|a －b |<1，因此④正确．综上所述，其中的真命题有①④. 答案：①④17．设实数x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧2x －y ＋2≥0，8x －y －4≤0，x ≥0，y ≥0，若目标函数z ＝abx ＋y (a >0，b >0)的最大值为13，则a ＋b 的最小值为________．解析：如图所示，在坐标平面内画出题中的不等式组表示的平面区域及直线abx ＋y ＝0，平移该直线，当平移到经过该平面区域内的点(1,4)时，相应直线在y 轴上的截距达到最大，此时目标函数z ＝abx ＋y (a >0，b >0)取得最大值，依题意有ab ×1＋4＝13，即ab ＝9，其中a >0，b >0，所以a ＋b ≥2ab ＝29＝6，当且仅当a ＝b ＝3时取等号，因此a ＋b 的最小值为6.答案：6。

高考数学冲刺必备 “10 7”提速专练卷(三)

“10＋7”提速专练卷(三)限时：50分钟满分：78分一、选择题(共10个小题，每小题5分，共50分) 1．已知i 是虚数单位，则11－i －11＋i ＝( )A ．iB ．－iC ．1D ．－1解析：选A11－i －11＋i＝＋－－＋－＝2i2＝i.2．执行如图所示的程序框图，若输入n 的值为6，则输出s 的值为( )A ．105B ．16C ．15D ．1解析：选C 当i ＝1时，s ＝1×1＝1；当i ＝3时，s ＝1×3＝3；当i ＝5时，s ＝3×5＝15；当i ＝7时，i <n 不成立，输出s ＝15.3．已知过点(0,1)的直线l ：x tan α－y －3tan β＝0的斜率为2，则tan(α＋β)＝( )A ．－73 B.73C.57D ．1解析：选D 依题意得tan α＝2，－3tan β＝1，即tan β＝－13，故tan(α＋β)＝tan α＋tan β1－tan αtan β＝2－131＋23＝1. 4．下列有关命题的说法正确的是( )A ．命题“若x 2＝1，则x ＝1”的否命题为“若x 2＝1，则x ≠1” B ．“x ＝－1”是“x 2－5x －6＝0”的必要不充分条件 C ．函数f (x )＝1x在其定义域上是减函数D ．命题“若x ＝y ，则sin x ＝sin y ”的逆否命题为真命题解析：选D 对于A ，命题“若x 2＝1，则x ＝1”的否命题为“若x 2≠1，则x ≠1”，因此选项A 不正确；对于B ，由x ＝－1得x 2－5x －6＝0，因此x ＝－1是x 2－5x －6＝0的充分条件，因此选项B 不正确；对于C ，函数f (x )＝1x在(0，＋∞)上是减函数，在(－∞，0)上也是减函数，但是在其定义域上不具有单调性．因此选项C 不正确；对于D ，命题“若x ＝y ，则sin x ＝sin y ”是真命题，因此它的逆否命题为真命题，选项D 正确．5．已知数列{a n }满足a 1＝5，a n a n ＋1＝2n，则a 7a 3＝( ) A ．2 B ．4 C ．5D.52解析：选B 依题意得a n ＋1a n ＋2a n a n ＋1＝2n ＋12n ＝2，即a n ＋2a n＝2，数列a 1，a 3，a 5，a 7，…是一个以5为首项、以2为公比的等比数列，因此a 7a 3＝4.6．已知抛物线y 2＝8x 的准线l 与双曲线C ：x 2a2－y 2＝1相切，则双曲线C 的离心率e ＝( )A.32B.52C.233D.255解析：选B 依题意得，直线x ＝－2与双曲线C 相切，结合图形得，|a |＝2，双曲线C的离心率e ＝a 2＋1|a |＝52.7．定义两种运算：a ⊕b ＝a 2－b 2，a ⊗b ＝a －b2，则f (x )＝2⊕x2－x ⊗是( )A ．奇函数B ．偶函数C ．既奇又偶函数D ．非奇非偶函数解析：选A 因为2⊕x ＝4－x 2，x ⊗2＝x －2，所以f (x )＝4－x 22－x －2＝4－x 22－－x ＝4－x2x ，该函数的定义域是[－2,0)∪(0,2]，且满足f (－x )＝－f (x )，故函数f (x )是奇函数．8.已知函数f (x )＝A cos(ωx ＋φ)(A >0，ω>0,0<φ<π)为奇函数，该函数的部分图像如图所示，△EFG 是边长为2的等边三角形，则f (1)的值为( )A ．－32B ．－62C. 3D ．－ 3解析：选D 因为函数f (x )＝A cos(ωx ＋φ)(A >0，ω>0,0<φ<π)是奇函数，所以f (0)＝A cos φ＝0，解得φ＝π2.因为△EFG 是边长为2的等边三角形，所以A ＝2×32＝3，T2＝2，即T ＝4，所以ω＝2π4＝π2，所以f (x )＝－3sin π2x ，故f (1)＝－3sin π2＝－ 3.9．函数f (x )的定义域是R ，f (0)＝2，对任意x ∈R ，f (x )＋f ′(x )>1，则不等式e x·f (x )>e x＋1的解集为( )A ．{x |x >0}B ．{x |x <0}C ．{x |x <－1或x >1}D ．{x |x <－1或0<x <1}解析：选A 构造函数g (x )＝e x·f (x )－e x，因为g ′(x )＝e x·f (x )＋e x·f ′(x )－ex＝e x[f (x )＋f ′(x )]－e x>e x－e x>0，所以g (x )＝e xf (x )－e x在R 上是增函数，又因为g (0)＝e 0·f (0)－e 0＝1，所以原不等式转化为g (x )>g (0)，解得x >0.10．若实数m ，n ，x ，y 满足m 2＋n 2＝a ，x 2＋y 2＝b ，其中a ，b 为常数，那么mx ＋ny 的最大值为( )A.a ＋b2B.abC.a 2＋b 22D.a 2＋b 22解析：选B 设m ＝a sin α，n ＝a cos α，α∈[0,2π)，x ＝b cos β，y ＝b sin β，β∈[0,2π)，则有mx ＋ny ＝ab sin αcos β＋ab cos αsin β ＝ab sin (α＋β)≤ab .二、填空题(共7个小题，每小题4分，共28分)11．某地区有小学150所，中学75所，大学25所．现采用分层抽样的方法从这些学校中抽取30所学校对学生进行视力调查，应从小学中抽取______所学校，中学中抽取______所学校．解析：150×30150＋75＋25＝150×30250＝18,75×30250＝9.答案：18 912．若一个几何体的正视图、侧视图、俯视图均为面积等于2的等腰直角三角形，则该几何体的体积为________．解析：依题意得，该几何体是三条侧棱两两垂直的三棱锥，且这三条侧棱的长均为2，因此其体积等于13×⎝ ⎛⎭⎪⎫12×2×2×2＝43. 答案：4313．(2012·珠海模拟)已知直线l 1与圆x 2＋y 2＋2y ＝0相切，且与直线l 2：3x ＋4y －6＝0平行，则直线l 1的方程是________．解析：设直线l 1的方程是3x ＋4y ＋c ＝0，则由直线l 1与圆x 2＋y 2＋2y ＝0，即x 2＋(y ＋1)2＝1相切，得|4－c |5＝1，所以c ＝－1或9，所以直线l 1的方程是3x ＋4y －1＝0或3x＋4y ＋9＝0.答案：3x ＋4y －1＝0或3x ＋4y ＋9＝014．设a >0，a ≠1，若函数f (x )＝log a (x 2－2x ＋2)有最小值，则不等式log a (2－x )<0的解集为________．解析：由a >0，a ≠1，函数f (x )＝log a (x 2－2x ＋2)有最小值可知a >1，不等式log a (2－x )<0可化为log a (2－x )<log a 1，得到0<2－x <1，即1<x <2.所以不等式log a (2－x )<0的解集为(1,2)．答案：(1,2)15．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 2x ＋，x >0，－x 2－2x ，x ≤0，若函数g (x )＝f (x )－m 有3个零点，则实数m 的取值范围是________．解析：函数f (x )的图像如图所示，函数f (x )＝－x 2－2x (x ≤0)的最大值是1，故只要0<m <1即可使方程f (x )＝m 有三个相异的实数根，即函数g (x )＝f (x )－m 有3个零点．答案：(0,1)16．已知斜率为2的直线l 过抛物线y 2＝ax (a >0)的焦点F ，且与y 轴相交于点A ，若△OAF (O 为坐标原点)的面积为4，则抛物线方程为________．解析：依题意得，|OF |＝a4，又直线l 的斜率为2，可知|AO |＝2|OF |＝a2，△AOF 的面积等于12·|AO |·|OF |＝a216＝4，则a 2＝64.又a >0，所以a ＝8，该抛物线的方程是y 2＝8x . 答案：y 2＝8x17．设函数f (x )＝x 2－b ，g (x )＝－x ＋a x 2－b，若函数F (x )＝f 2(x )·g ′(x )－m 2x 在区间(－∞，0]上为单调递减函数，则实数a 的取值范围是________．解析：因为g ′(x )＝－x 2－b －2x x ＋a x 2－b 2＝x 2＋2ax ＋b x 2－b2，所以F (x )＝f 2(x )·g ′(x )－m 2x ＝x 2＋(2a －m 2)x ＋b ，则其单调递减区间为⎝⎛⎦⎥⎤－∞，m 2－2a 2，根据已知条件，有m 2－2a 2≥0对任意实数m 恒成立，即a ≤m 22对任意实数m 恒成立，所以a ≤0.答案：(－∞，0]。

高考数学三轮冲刺数列课时提升训练(7).docx

2015高考数学三轮冲刺数列课时提升训练（7）1、已知定义域为（O,)的函数满足：①对任意，恒有②当.记区间，其中，当时.的取值构成区间，定义区间(a,b)的区间长度为b-a，设区间在区间上的补集的区间长度为，则a1=____________=____________2、已知等差数列首项为，公差为，等比数列首项为，公比为，其中都是大于1的正整数，且，对于任意的，总存在，使得成立，则3、已知等差数列的前n项和为，若，，则4、设数列是公差不为零的等差数列，前项和为，满足，则使得为数列中的项的所有正整数的值为5、已知等差数列的前项和为，若且A、B、C三点共线（该直线不过点O），则。

6、数列的前n项和为，若数列的各项按如下规律排列：有如下运算和结论：①②数列是等比数列；③数列前n项和为④若存在正整数，使则.其中正确的结论有▲.(请填上所有正确结论的序号)7、已知等比数列{a n}，首项为2，公比为3，则＝_________ (n∈N*)．8、有以下四个命题：①中，“”是“”的充要条件；②若数列为等比数列，且；③不等式的解集为；④若P是双曲线上一点，分别是双曲线的左、右焦点，且其中真命题的序号为_____________．（把正确的序号都填上）9、数列满足，则的整数部分是▲。

10、数列中, ,成等差数列; 成等比数列；的倒数成等差数列．则①成等差数列;②成等比数列; ③的倒数成等差数列; ④的倒数成等比数列．则其中正确的结论是．11、已知数列满足：，我们把使a1·a2·…·a k为整数的数k（）叫做数列的理想数，给出下列关于数列的几个结论：①数列的最小理想数是2；②数列的理想数k的形式可以表示为；③在区间(1,1000)内数列的所有理想数之和为1004；④对任意，有＞。

其中正确结论的序号为。

12、已知数列中，，前项和为，并且对于任意的且，总成等差数列，则的通项公式13、设数列的前项和为，关于数列有下列三个命题：①若既是等差数列又是等比数列，则；②若，则是等差数列；③若，则是等比数列.这些命题中，真命题的序号是。

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【10天刷完高考真题】冲刺2023年高考数学考前必刷题限时集训练（新高考通用）新高考真题限时训练打卡第四天目录一览Ⅰ真题知识点分析Ⅱ真题限时训练Ⅲ答案速览Ⅳ自查自纠表Ⅰ真题知识点分析Ⅱ真题限时训练新高考真题限时训练打卡第四天难度：一般建议用时:60分钟一、单选题（本题共6小题，每小题5分，共30分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求）1．（2021·全国·统考高考真题）设集合{}24A x x =-<<，{}2,3,4,5B =，则A B = （）A ．{}2B ．{}2,3C ．{}3,4D ．{}2,3,42．（2021·全国·统考高考真题）下列区间中，函数()7sin 6f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭单调递增的区间是（）A ．0,2π⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．,2ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．3,2ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．3,22ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭3．（2021·全国·统考高考真题）抛物线22(0)y px p =>的焦点到直线1y x =+，则p =（）A ．1B ．2C ．D ．44．（2021·全国·统考高考真题）某物理量的测量结果服从正态分布()210,N σ，下列结论中不正确的是（）A ．σ越小，该物理量在一次测量中在(9.9,10.1)的概率越大B ．该物理量在一次测量中大于10的概率为0.5C ．该物理量在一次测量中小于9.99与大于10.01的概率相等D ．该物理量在一次测量中落在与落在(10,10.3)的概率相等5．（2021·全国·统考高考真题）已知函数()f x 的定义域为R ，()2f x +为偶函数，()21f x +为奇函数，则（）A ．102f ⎛⎫-= ⎪⎝⎭B ．()10f -=C ．()20f =D ．()40f =6．（2021·全国·统考高考真题）若过点(),a b 可以作曲线e x y =的两条切线，则（）A ．e b a<B ．e a b <C ．0e b a <<D ．0e a b <<二、多选题（本题共2小题，每小题5分，共10分。

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【10天刷完高考真题】冲刺2023年高考数学考前必刷题限时集训练（新高考通用）新高考真题限时训练打卡第七天目录一览Ⅰ真题知识点分析Ⅱ真题限时训练Ⅲ精选模拟题预测Ⅳ真题答案速览Ⅴ自查自纠表Ⅱ真题限时训练新高考真题限时训练打卡第七天难度：一般建议用时:60分钟一、单选题（本题共6小题，每小题5分，共30分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求）1．（2022年全国新高考II 卷数学试题）已知集合{}{}1,1,2,4,11A B x x =-=-≤，则A B = （）A ．{1,2}-B ．{1,2}C ．{1,4}D ．{1,4}-2．（2022年全国新高考I 卷数学试题）若i(1)1z -=，则z z +=（）A ．2-B ．1-C ．1D ．23．（2022年全国新高考II 卷数学试题）图1是中国古代建筑中的举架结构，,,,AA BB CC DD ''''是桁，相邻桁的水平距离称为步，垂直距离称为举，图2是某古代建筑屋顶截面的示意图．其中1111,,,DD CC BB AA 是举，1111,,,OD DC CB BA 是相等的步，相邻桁的举步之比分别为11111231111,0.5,,DD CC BB AA k k k OD DC CB BA ====．已知123,,k k k 成公差为0.1的等差数列，且直线OA 的斜率为0.725，则3k =（）A ．0.75B ．0.8C ．0.85D ．0.94．（2022年全国新高考I 卷数学试题）南水北调工程缓解了北方一些地区水资源短缺问题，其中一部分水蓄入某水库.已知该水库水位为海拔1485m ．时，相应水面的面积为21400km ．；水位为海拔1575m ．时，相应水面的面积为21800km ．，将该水库在这两个水位间的形状看作一个棱台，则该水库水位从海拔1485m ．上升到1575m ． 2.65≈）（）A ．931.010m ⨯B ．931.210m ⨯C ．931.410m ⨯D ．931.610m ⨯5．（2022年全国新高考II 卷数学试题）有甲、乙、丙、丁、戊5名同学站成一排参加文艺汇演，若甲不站在两端，丙和丁相邻，则不同排列方式共有（）A ．12种B ．24种C ．36种D ．48种6．（2022年全国新高考I 卷数学试题）记函数()sin (0)4f x x b πωω⎛⎫=++> ⎪⎝⎭的最小正周期为T ．若23T ππ<<，且()y f x =的图象关于点3,22π⎛⎫ ⎪⎝⎭中心对称，则2f π⎛⎫= ⎪⎝⎭（）A ．1B ．32C ．52D ．3二、多选题（本题共2小题，每小题5分，共10分。

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“10＋7”提速专练卷(三)限时：50分钟满分：78分一、选择题(共10个小题，每小题5分，共50分) 1．已知i 是虚数单位，则11－i －11＋i ＝( )A ．iB ．－iC ．1D ．－1解析：选A11－i －11＋i ＝1＋i －1－i 1＋i 1－i ＝2i 2＝i.2．执行如图所示的程序框图，若输入n 的值为6，则输出s 的值为( )A ．105B ．16C ．15D ．1解析：选C 当i ＝1时，s ＝1×1＝1；当i ＝3时，s ＝1×3＝3；当i ＝5时，s ＝3×5＝15；当i ＝7时，i <n 不成立，输出s ＝15.3．已知过点(0,1)的直线l ：x tan α－y －3tan β＝0的斜率为2，则tan(α＋β)＝( )A ．－73 B.73C.57D ．1解析：选D 依题意得tan α＝2，－3tan β＝1，即tan β＝－13，故tan(α＋β)＝tan α＋tan β1－tan αtan β＝2－131＋23＝1. 4．下列有关命题的说法正确的是( )A ．命题“若x 2＝1，则x ＝1”的否命题为“若x 2＝1，则x ≠1” B ．“x ＝－1”是“x 2－5x －6＝0”的必要不充分条件 C ．函数f (x )＝1x在其定义域上是减函数D ．命题“若x ＝y ，则sin x ＝sin y ”的逆否命题为真命题解析：选D 对于A ，命题“若x 2＝1，则x ＝1”的否命题为“若x 2≠1，则x ≠1”，因此选项A 不正确；对于B ，由x ＝－1得x 2－5x －6＝0，因此x ＝－1是x 2－5x －6＝0的充分条件，因此选项B 不正确；对于C ，函数f (x )＝1x在(0，＋∞)上是减函数，在(－∞，0)上也是减函数，但是在其定义域上不具有单调性．因此选项C 不正确；对于D ，命题“若x ＝y ，则sin x ＝sin y ”是真命题，因此它的逆否命题为真命题，选项D 正确．5．已知数列{a n }满足a 1＝5，a n a n ＋1＝2n，则a 7a 3＝( ) A ．2 B ．4 C ．5D.52解析：选B 依题意得a n ＋1a n ＋2a n a n ＋1＝2n ＋12n ＝2，即a n ＋2a n＝2，数列a 1，a 3，a 5，a 7，…是一个以5为首项、以2为公比的等比数列，因此a 7a 3＝4.6．已知抛物线y 2＝8x 的准线l 与双曲线C ：x 2a2－y 2＝1相切，则双曲线C 的离心率e ＝( )A.32B.52C.233D.255解析：选B 依题意得，直线x ＝－2与双曲线C 相切，结合图形得，|a |＝2，双曲线C的离心率e ＝a 2＋1|a |＝52.7．定义两种运算：a ⊕b ＝a 2－b 2，a ⊗b ＝a －b2，则f (x )＝2⊕x2－x ⊗2是( )A ．奇函数B ．偶函数C ．既奇又偶函数D ．非奇非偶函数解析：选A 因为2⊕x ＝4－x 2，x ⊗2＝x －22，所以f (x )＝4－x 22－x －22＝4－x 22－2－x ＝4－x2x ，该函数的定义域是[－2,0)∪(0,2]，且满足f (－x )＝－f (x )，故函数f (x )是奇函数．8.已知函数f (x )＝A cos(ωx ＋φ)(A >0，ω>0,0<φ<π)为奇函数，该函数的部分图像如图所示，△EFG 是边长为2的等边三角形，则f (1)的值为( )A ．－32B ．－62C. 3D ．－ 3解析：选D 因为函数f (x )＝A cos(ωx ＋φ)(A >0，ω>0,0<φ<π)是奇函数，所以f (0)＝A cos φ＝0，解得φ＝π2.因为△EFG 是边长为2的等边三角形，所以A ＝2×32＝3，T2＝2，即T ＝4，所以ω＝2π4＝π2，所以f (x )＝－3sin π2x ，故f (1)＝－3sin π2＝－ 3.9．函数f (x )的定义域是R ，f (0)＝2，对任意x ∈R ，f (x )＋f ′(x )>1，则不等式e x·f (x )>e x＋1的解集为( )A ．{x |x >0}B ．{x |x <0}C ．{x |x <－1或x >1}D ．{x |x <－1或0<x <1}解析：选A 构造函数g (x )＝e x·f (x )－e x，因为g ′(x )＝e x·f (x )＋e x·f ′(x )－ex＝e x[f (x )＋f ′(x )]－e x>e x－e x>0，所以g (x )＝e xf (x )－e x在R 上是增函数，又因为g (0)＝e 0·f (0)－e 0＝1，所以原不等式转化为g (x )>g (0)，解得x >0.10．若实数m ，n ，x ，y 满足m 2＋n 2＝a ，x 2＋y 2＝b ，其中a ，b 为常数，那么mx ＋ny 的最大值为( )A.a ＋b2B.abC.a 2＋b 22D.a 2＋b 22解析：选B 设m ＝a sin α，n ＝a cos α，α∈[0,2π)，x ＝b cos β，y ＝b sinβ，β∈[0,2π)，则有mx ＋ny ＝ab sin αcos β＋ab cos αsin β ＝ab sin (α＋β)≤ab .二、填空题(共7个小题，每小题4分，共28分)11．某地区有小学150所，中学75所，大学25所．现采用分层抽样的方法从这些学校中抽取30所学校对学生进行视力调查，应从小学中抽取______所学校，中学中抽取______所学校．解析：150×30150＋75＋25＝150×30250＝18,75×30250＝9.答案：18 912．若一个几何体的正视图、侧视图、俯视图均为面积等于2的等腰直角三角形，则该几何体的体积为________．解析：依题意得，该几何体是三条侧棱两两垂直的三棱锥，且这三条侧棱的长均为2，因此其体积等于13×⎝ ⎛⎭⎪⎫12×2×2×2＝43. 答案：4313．(2012·珠海模拟)已知直线l 1与圆x 2＋y 2＋2y ＝0相切，且与直线l 2：3x ＋4y －6＝0平行，则直线l 1的方程是________．解析：设直线l 1的方程是3x ＋4y ＋c ＝0，则由直线l 1与圆x 2＋y 2＋2y ＝0，即x 2＋(y ＋1)2＝1相切，得|4－c |5＝1，所以c ＝－1或9，所以直线l 1的方程是3x ＋4y －1＝0或3x＋4y ＋9＝0.答案：3x ＋4y －1＝0或3x ＋4y ＋9＝014．设a >0，a ≠1，若函数f (x )＝log a (x 2－2x ＋2)有最小值，则不等式log a (2－x )<0的解集为________．解析：由a >0，a ≠1，函数f (x )＝log a (x 2－2x ＋2)有最小值可知a >1，不等式log a (2－x )<0可化为log a (2－x )<log a 1，得到0<2－x <1，即1<x <2.所以不等式log a (2－x )<0的解集为(1,2)．答案：(1,2)15．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 2x ＋1，x >0，－x 2－2x ，x ≤0，若函数g (x )＝f (x )－m 有3个零点，则实数m 的取值范围是________．解析：函数f (x )的图像如图所示，函数f (x )＝－x 2－2x (x ≤0)的最大值是1，故只要0<m <1即可使方程f (x )＝m 有三个相异的实数根，即函数g (x )＝f (x )－m 有3个零点．答案：(0,1)16．已知斜率为2的直线l 过抛物线y 2＝ax (a >0)的焦点F ，且与y 轴相交于点A ，若△OAF (O 为坐标原点)的面积为4，则抛物线方程为________．解析：依题意得，|OF |＝a4，又直线l 的斜率为2，可知|AO |＝2|OF |＝a2，△AOF 的面积等于12·|AO |·|OF |＝a216＝4，则a 2＝64.又a >0，所以a ＝8，该抛物线的方程是y 2＝8x . 答案：y 2＝8x17．设函数f (x )＝x 2－b ，g (x )＝－x ＋a x 2－b，若函数F (x )＝f 2(x )·g ′(x )－m 2x 在区间(－∞，0]上为单调递减函数，则实数a 的取值范围是________．解析：因为g ′(x )＝－x 2－b －2x x ＋a x 2－b 2＝x 2＋2ax ＋b x 2－b2，所以F (x )＝f 2(x )·g ′(x )－m 2x ＝x 2＋(2a －m 2)x ＋b ，则其单调递减区间为⎝⎛⎦⎥⎤－∞，m 2－2a 2，根据已知条件，有m 2－2a 2≥0对任意实数m 恒成立，即a ≤m 22对任意实数m 恒成立，所以a ≤0.答案：(－∞，0]。