【步步高】2017版高考数学(文,江苏专用)大二轮总复习练习：专题二第2讲函数的应用.doc

第2讲 函数的应用1．(2016·天津改编)已知函数f (x )＝sin 2ωx 2＋12sin ωx －12 (ω>0，x ∈R)．若f (x )在区间(π，2π)内没有零点，则ω的取值范围是__________． 答案 ⎝⎛⎦⎤0，18∪⎣⎡⎦⎤14，58 解析 f (x )＝1－cos ωx 2＋12sin ωx －12＝12(sin ωx －cos ωx )＝22sin ⎝⎛⎭⎫ωx －π4. 因为函数f (x )在区间(π，2π)内没有零点， 所以T 2>2π－π，所以πω>π，所以0<ω<1.当x ∈(π，2π)时，ωx －π4∈⎝⎛⎭⎫ωπ－π4，2ωπ－π4，若函数f (x )在区间(π，2π)内有零点，则ωπ－π4<k π<2ωπ－π4 (k ∈Z)，即k 2＋18<ω<k ＋14(k ∈Z)． 当k ＝0时，18<ω<14；当k ＝1时，58<ω<54.所以函数f (x )在区间(π，2π)内没有零点时，0<ω≤18或14≤ω≤58.2．(2016·天津改编)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋(4a －3)x ＋3a ，x <0，log a (x ＋1)＋1，x ≥0(a >0，且a ≠1)在R 上单调递减，且关于x 的方程|f (x )|＝2－x 恰有两个不相等的实数解，则a 的取值范围是____________． 答案 ⎣⎡⎦⎤13，23∪⎩⎨⎧⎭⎬⎫34解析 由y ＝log a (x ＋1)＋1在[0，＋∞)上递减，得0<a <1. 又由f (x )在R 上单调递减，则⎩⎪⎨⎪⎧02＋(4a －3)·0＋3a ≥f (0)＝1，3－4a 2≥0，⇒13≤a ≤34. 如图所示，在同一坐标系中作出函数y ＝|f (x )|和y ＝2－x 的图象．由图象可知，在[0，＋∞)上，|f (x )|＝2－x 有且仅有一个解．故在(－∞，0)上，|f (x )|＝2－x 同样有且仅有一个解．当3a >2，即a >23时，由x 2＋(4a －3)x ＋3a ＝2－x (其中x <0)，得x 2＋(4a－2)x ＋3a －2＝0(其中x <0)，则Δ＝(4a －2)2－4(3a －2)＝0，解得a ＝34或a ＝1(舍去)；当1≤3a ≤2，即13≤a ≤23时，由图象可知，符合条件．综上所述，a ∈⎣⎡⎦⎤13，23∪⎩⎨⎧⎭⎬⎫34.3．(2016·山东)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧|x |，x ≤m ，x 2－2mx ＋4m ，x >m ，其中m >0，若存在实数b ，使得关于x 的方程f (x )＝b 有三个不同的根，则m 的取值范围是________． 答案 (3，＋∞)解析 如图，当x ≤m 时，f (x )＝|x |；当x >m 时，f (x )＝x 2－2mx ＋4m ，在(m ，＋∞)为增函数，若存在实数b ，使方程f (x )＝b 有三个不同的根，则m 2－2m ·m ＋4m <|m |.∵m >0，∴m 2－3m >0，解得m >3.4．某项研究表明：在考虑行车安全的情况下，某路段车流量F (单位时间内经过测量点的车辆数，单位：辆/时)与车流速度v (假设车辆以相同速度v 行驶，单位：米/秒)，平均车长l (单位：米)的值有关，其公式为F ＝76 000vv 2＋18v ＋20l .(1)如果不限定车型，l ＝6.05，则最大车流量为________辆/时；(2)如果限定车型，l ＝5，则最大车流量比(1)中的最大车流量增加________辆/时． 答案 (1)1 900 (2)100 解析 (1)当l ＝6.05时，F ＝76 000vv 2＋18v ＋121＝76 000v ＋121v＋18≤76 0002v ·121v＋18＝76 00022＋18＝1 900. 当且仅当v ＝11 米/秒时等号成立，此时车流量最大为1 900辆/时． (2)当l ＝5时，F ＝76 000v v 2＋18v ＋100＝76 000v ＋100v ＋18≤76 0002v ·100v＋18＝76 00020＋18＝2 000. 当且仅当v ＝10 米/秒时等号成立，此时车流量最大为2 000 辆/时． 比(1)中的最大车流量增加100 辆/时．1.求函数零点所在区间、零点个数及参数的取值范围是高考的常见题型，主要以填空题的形式出现.2.函数的实际应用以二次函数、分段函数模型为载体，主要考查函数的最值问题.热点一 函数的零点 1．零点存在性定理如果函数y ＝f (x )在区间[a ，b ]上的图象是连续不断的一条曲线，且有f (a )·f (b )<0，那么，函数y ＝f (x )在区间(a ，b )内有零点，即存在c ∈(a ，b )使得f (c )＝0，这个c 也就是方程f (x )＝0的根．2．函数的零点与方程根的关系函数F (x )＝f (x )－g (x )的零点就是方程f (x )＝g (x )的根，即函数y ＝f (x )的图象与函数y ＝g (x )的图象交点的横坐标．例1 (1)函数f (x )＝log 2()x ＋2－x 2的零点个数为________． (2)函数f (x )＝3－x ＋x 2－4的零点个数是________．答案 (1)2 (2)2解析 (1)令f ()x ＝log 2()x ＋2－x 2＝0，log 2()x ＋2＝x 2，分别画出左右两个图象如图所示，由此可知这两个图象有两个交点，也即原函数有两个零点．(2)f (x )＝3－x ＋x 2－4的零点个数，即方程3－x ＝4－x 2的根的个数，即函数y ＝3－x ＝(13)x 与y ＝4－x 2图象的交点个数．作出函数y ＝(13)x 与y ＝4－x 2的图象，如图所示，可得函数f (x )的零点个数为2.思维升华 函数零点(即方程的根)的确定问题，常见的有：(1)函数零点值大致存在区间的确定；(2)零点个数的确定；(3)两函数图象交点的横坐标或有几个交点的确定．解决这类问题的常用方法有解方程法、利用零点存在的判定或数形结合法，尤其是方程两端对应的函数类型不同的方程多以数形结合法求解．跟踪演练1 (1)函数f (x )＝x 2－4x ＋5－2ln x 的零点个数为________．(2)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋2x ，x ≤0，|lg x |，x >0，则函数g (x )＝f (1－x )－1的零点个数为________．答案 (1)2 (2)3解析 (1)由题意可得x ＞0，求函数f (x )＝x 2－4x ＋5－2ln x 的零点个数，即求方程ln x ＝12(x－2)2＋12的解的个数，数形结合(图略)可得，函数y ＝ln x 的图象和函数y ＝12(x －2)2＋12的图象有2个交点，则f (x )＝x 2－4x ＋5－2ln x 有2个零点．(2)函数g (x )的零点个数，即函数y ＝f (1－x )的图象与直线y ＝1的交点个数．令t ＝1－x ，则f (t )＝⎩⎪⎨⎪⎧(1－t )2＋2(1－t )，t ≥1，|lg(1－t )|，t <1.作出函数y ＝f (t )的图象，与直线y ＝1有3个交点， 故g (x )有3个零点．热点二 函数的零点与参数的范围解决由函数零点的存在情况求参数的值或取值范围问题，关键是利用函数方程思想或数形结合思想，构建关于参数的方程或不等式求解．例2 (1)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧a －|x ＋1|，x ≤1，(x －a )2，x >1，函数g (x )＝2－f (x ) ，若函数y ＝f (x )－g (x )恰有4个零点，则实数a 的取值范围是________．(2)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧e x ，x ≤1，f (x －1)，x >1，g (x )＝kx ＋1，若方程f (x )－g (x )＝0有两个不同的实根，则实数k 的取值范围是________． 答案 (1)(2,3] (2)(e －12，1)∪(1，e －1]解析 (1)由题意当y ＝f (x )－g (x )＝2[]f (x )－1＝0时，即方程f (x )＝1有4个解. 又由函数y ＝a －||x ＋1与函数y ＝(x －a )2的大致形状可知，直线y ＝1与函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧a －|x ＋1|，x ≤1，(x －a )2，x >1的左右两支曲线都有两个交点，如图所示.那么，有⎩⎪⎨⎪⎧(1－a )2>1，f (－1)>1，f (1)≤1，即⎩⎪⎨⎪⎧a >2或a <0，a >1，a －2≤1，解得2<a ≤3.(2)画出函数f (x )的大致图象如下：则考虑临界情况，可知当函数g (x )＝kx ＋1的图象过A (1，e)，B (2，e)时直线斜率k 1＝e －1，k 2＝e －12，并且当k ＝1时，直线y ＝x ＋1与曲线y ＝e x 相切于点(0,1)，则得到当函数f (x )与g (x )图象有两个交点时，实数k 的取值范围是(e －12，1)∪(1，e －1].思维升华 (1)方程f (x )＝g (x )根的个数即为函数y ＝f (x )和y ＝g (x )图象交点的个数；(2)关于x 的方程f (x )－m ＝0有解，m 的范围就是函数y ＝f (x )的值域．跟踪演练2 (1)已知函数f (x )＝e x －2x ＋a 有零点，则a 的取值范围是______________________．(2)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x －a ，x ≥3，ln|x －1|，x <3，若函数f (x )在R 上有三个不同的零点，则a 的取值范围是__________．答案 (1)(－∞，2ln 2－2] (2)[8，＋∞)解析 (1)f ′(x )＝e x －2，当x ∈(－∞，ln 2)时，f ′(x )<0；当x ∈(ln 2，＋∞)时，f ′(x )>0，所以f (x )min ＝f (ln 2)＝2－2ln 2＋a .由于2()0,2aaf e =>所以f (x )有零点当且仅当2－2ln 2＋a ≤0，所以a ≤2ln 2－2.(2)当x <3时，令ln|x －1|＝0，求得x ＝0或x ＝2， 即f (x )在(－∞，3)上有两个不同的零点．由题意，知f (x )＝2x －a 在[3，＋∞)上有且仅有一个零点，则由f (x )＝0，得a ＝2x ∈[8，＋∞)．热点三 函数的实际应用问题解决函数模型的实际应用问题，首先考虑题目考查的函数模型，并要注意定义域．其解题步骤是：(1)阅读理解，审清题意：分析出已知什么，求什么，从中提炼出相应的数学问题；(2)数学建模：弄清题目中的已知条件和数量关系，建立函数关系式；(3)解函数模型：利用数学方法得出函数模型的数学结果；(4)实际问题作答：将数学问题的结果转化成实际问题作出解答．例3 某经销商计划销售一款新型的空气净化器，经市场调研发现以下规律：当每台净化器的利润为x (单位：元，x >0)时，销售量q (x )(单位：百台)与x 的关系满足：若x 不超过20，则q (x )＝1 260x ＋1；若x 大于或等于180，则销售量为零；当20<x <180时，q (x )＝a －b x (a ，b为实常数)．(1)求函数q (x )的表达式；(2)当x 为多少时，总利润(单位：元)取得最大值，并求出该最大值． 解 (1)当20<x <180时，由⎩⎨⎧ a －b ·20＝60，a －b ·180＝0，得⎩⎨⎧a ＝90，b ＝3 5.故q (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1 260x ＋1， 0<x ≤20，90－35·x ， 20<x <180，0， x ≥180.(2)设总利润f (x )＝x ·q (x )，由(1)得，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧126 000xx ＋1， 0<x ≤20，9 000x －3005·x x ， 20<x <180，0， x ≥180.当0<x ≤20时，f (x )＝126 000x x ＋1＝126 000－126 000x ＋1，f (x )在(0,20]上单调递增，所以当x ＝20时，f (x )有最大值120 000. 当20<x <180时，f (x )＝9 000x －3005·x x ， f ′(x )＝9 000－4505·x ， 令f ′(x )＝0，得x ＝80.当20<x <80时，f ′(x )>0，f (x )单调递增， 当80<x <180时，f ′(x )<0，f (x )单调递减， 所以当x ＝80时，f (x )有最大值240 000. 当x >180时，f (x )＝0.答 当x 等于80元时，总利润取得最大值240 000元．思维升华 (1)关于解决函数的实际应用问题，首先要耐心、细心地审清题意，弄清各量之间的关系，再建立函数关系式，然后借助函数的知识求解，解答后再回到实际问题中去． (2)对函数模型求最值的常用方法：单调性法、基本不等式法及导数法．跟踪演练3 (1)国家规定个人稿费纳税办法为：不超过800元的不纳税；超过800元而不超过4 000元的按超过部分的14%纳税；超过4 000元的按全稿酬的11%纳税．某人出版了一本书共纳税420元，则他的稿费为________元．(2)某租赁公司拥有汽车100辆．当每辆车的月租金为3 000元时，可全部租出．当每辆车的月租金每增加50元时，未出租的车将会增加一辆．租出的车每辆每月需要维护费150元，未租出的车每辆每月需要维护费50元，要使租赁公司的月收益最大，则每辆车的月租金应定为________元． 答案 (1)3 800 (2)4 050解析 (1)假设个人稿费为x 元，所缴纳税费为y 元，由已知条件可知y 为x 的函数，且满足 y ＝错误! 共纳税420元，所以有0.14(x －800)＝420⇒x ＝3 800.(2)设每辆车的月租金为x (x >3 000)元，则租赁公司月收益为y ＝(100－x －3 00050)·(x －150)－x －3 00050×50，整理得y ＝－x 250＋162x －21 000＝－150(x －4 050)2＋307 050. 所以当x ＝4 050时，y 取最大值为307 050，即当每辆车的月租金定为4 050元时，租赁公司的月收益最大为307 050元.1．函数f (x )＝2sin πx －x ＋1的零点个数为________．押题依据 函数的零点是高考的一个热点，利用函数图象的交点确定零点个数是一种常用方法． 答案 5解析 令2sin πx －x ＋1＝0，则2sin πx ＝x －1，令h (x )＝2sin πx ，g (x )＝x －1，则f (x )＝2sin πx －x ＋1的零点个数问题就转化为两个函数h (x )与g (x )图象的交点个数问题．h (x )＝2sin πx 的最小正周期为T ＝2ππ＝2，画出两个函数的图象，如图所示，因为h (1)＝g (1)，h (52)>g (52)，g (4)＝3>2，g (－1)＝－2，所以两个函数图象的交点一共有5个，所以f (x )＝2sin πx －x ＋1的零点个数为5.2．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2，x >a ，x 2＋5x ＋2，x ≤a ，若函数g (x )＝f (x )－2x 恰有三个不同的零点，则实数a 的取值范围是____________．押题依据 利用函数零点个数可以得到函数图象的交点个数，进而确定参数范围，较好地体现了数形结合思想． 答案 [－1,2)解析 g (x )＝f (x )－2x ＝⎩⎪⎨⎪⎧－x ＋2，x >a ，x 2＋3x ＋2，x ≤a ，要使函数g (x )恰有三个不同的零点，只需g (x )＝0恰有三个不同的实数根，所以⎩⎪⎨⎪⎧ x >a ，－x ＋2＝0或⎩⎪⎨⎪⎧x ≤a ，x 2＋3x ＋2＝0，所以g (x )＝0的三个不同的实数根为x ＝2(x >a )，x ＝－1(x ≤a )，x ＝－2(x ≤a )． 再借助数轴，可得－1≤a <2. 所以实数a 的取值范围是[－1,2)．3．已知f ()x 是定义在R 上的偶函数，且对于任意的x ∈[)0，＋∞，满足f ()x ＋2＝f ()x ，若当x ∈[)0，2，f ()x ＝||x 2－x －1，则函数 y ＝f ()x －1在区间[]－2，4上的零点个数为________．押题依据 结合函数的奇偶性、周期性等性质考查函数的零点问题，利用数形结合思想解决此类问题是关键． 答案 7解析 ∵偶函数f ()x 满足f ()x ＋2＝f ()x ，∴函数f ()x 的周期为 2.又当x ∈[)0，2，f ()x ＝||x 2－x －1，∴f ()2＝f ()0＝1，f ()1＝1，∴f ()2＝f ()0＝f ()－2＝f ()4＝f ()－1＝f ()0＝f ()3＝1.函数y ＝f ()x －1的零点的个数等于方程f ()x －1＝0解的个数．在区间[]－2，4上，方程f ()x －1＝0的解有：－2，－1，0,1,2,3,4共7个．4．在如图所示的锐角三角形空地中，欲建一个面积最大的内接矩形花园(阴影部分)，则其边长x 为________m.押题依据 函数的实际应用是高考的必考点，函数的最值问题是应用问题考查的热点． 答案 20解析 如图，过A 作AH ⊥BC 交于点H ，交DE 于点F ，易知DE BC ＝x40＝AD AB ＝AF AH ⇒AF ＝x ⇒FH ＝40－x ，则S ＝x (40－x )≤(402)2，当且仅当40－x ＝x ，即x ＝20时取等号，所以满足题意的边长x 为20 m.A 组 专题通关1．(教材改编)若函数f (x )＝x 2－mx ＋3在R 上存在零点，则实数m 的取值范围是________________．答案 (－∞，－23]∪[23，＋∞)解析 ∵函数f (x )＝x 2－mx ＋3在R 上存在零点， ∴x 2－mx ＋3＝0有解，∴Δ＝m 2－4×3≥0， 解得，m ≥23或m ≤－2 3.2．已知函数y ＝f (x )的图象是连续不断的曲线，且有如下的对应值表：则函数y ＝f (x )在区间[1,6]上的零点至少有______个． 答案 3解析 依题意，f (2)>0，f (3)<0，f (4)>0，f (5)<0，根据零点的存在性定理可知，f (x )在区间(2,3)，(3,4)，(4,5)上均至少含有一个零点，故函数y ＝f (x )在区间[1,6]上的零点至少有3个． 3．已知x 0(x 0>1)是函数f (x )＝ln x －1x －1的一个零点，若a ∈(1，x 0)，b ∈(x 0，＋∞)，则f (a )________0，f (b )________0. 答案 < >解析 由题意得f (x 0)＝0，又y ＝ln x 在(1，＋∞)上单调递增，y ＝－1x －1在(1，＋∞)上单调递增，故f (x )在(1，＋∞)上单调递增．又1<a <x 0<b ，所以f (a )<f (x 0)<f (b )，即f (a )<0<f (b )．4．函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧|ln x |－1，x >0，－x 2＋2x ＋3，x ≤0的零点的个数为________．答案 3解析 当x >0时，令f (x )＝|ln x |－1＝0，解得x ＝e 或1e，均满足题意；当x ≤0时，令f (x )＝－x 2＋2x ＋3＝0，解得x ＝－1(x ＝3舍去)．所以函数y ＝f (x )的零点的个数为3.5．已知定义域为R 的函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1|x －1| (x ≠1)，1 (x ＝1)，若关于x 的方程f 2(x )＋bf (x )＋c ＝0有3个不同的实根x 1，x 2，x 3，则x 21＋x 22＋x 23＝________.答案 5解析 作出f (x )的图象，如图所示．由图象知，只有当f (x )＝1时有3个不同的实根；∵关于x 的方程f 2(x )＋bf (x )＋c ＝0有3个不同的实根x 1，x 2，x 3， ∴必有f (x )＝1，从而x 1＝1，x 2＝2，x 3＝0，故可得x 21＋x 22＋x 23＝5.6．若函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x－a ，x ≤0，ln x ，x >0有两个不同的零点，则实数a 的取值范围是________．答案 (0,1]解析 当x >0时，由f (x )＝ln x ＝0，得x ＝1. 因为函数f (x )有两个不同的零点，则当x ≤0时，函数f (x )＝2x －a 有一个零点， 令f (x )＝0得a ＝2x ，因为0<2x ≤20＝1，所以0<a ≤1，所以实数a 的取值范围是0<a ≤1.7．已知定义在R 上的函数f (x )满足：①图象关于(1,0)点对称；②f (－1＋x )＝f (－1－x )；③当x ∈[－1,1]时，f (x )＝错误!则函数1()()2xy f x =-在区间[－3,3]上的零点的个数为________． 答案 5解析 因为f (－1＋x )＝f (－1－x )，所以函数f (x )的图象关于直线x ＝－1对称，又函数f (x )的图象关于点(1,0)对称，如图所示，画出f (x )以及1()()2xg x =在[－3,3]上的图象，由图可知，两函数图象的交点个数为5，所以函数1()()2xy f x =-在区间[－3,3]上的零点的个数为5.8．我们把形如y ＝b|x |－a (a >0，b >0)的函数因其图象类似于汉字中的“囧”字，故生动地称为“囧函数”，若当a ＝1，b ＝1时的“囧函数”与函数y ＝lg|x |的交点个数为n ，则n ＝________. 答案 4解析 由题意知，当a ＝1，b ＝1时，y ＝1|x |－1＝⎩⎨⎧1x －1(x ≥0且x ≠1)，－1x ＋1(x <0且x ≠－1).在同一坐标系中画出“囧函数”与函数y ＝lg|x |的图象如图所示，易知它们有4个交点．9．某驾驶员喝了m 升酒后，血液中的酒精含量f (x )(毫克/毫升)随时间x (小时)变化的规律近似满足表达式25,01,()31.(),1,53x xx f x x -⎧≤≤⎪=⎨>⎪⎩《酒后驾车与醉酒驾车的标准及相应的处罚》规定：驾驶员血液中酒精含量不超过0.02毫克/毫升．此驾驶员至少要过______小时后才能开车．(不足1小时部分算1小时，结果精确到1小时) 答案 4解析 因为0≤x ≤1，所以－2≤x －2≤－1， 所以5－2≤5x －2≤5－1，而5－2>0.02，又由x >1，得35·⎝⎛⎭⎫13x ≤150，得⎝⎛⎭⎫13x ≤130，所以x ≥4.故至少要过4小时后才能开车．10．随着机构改革工作的深入进行，各单位要减员增效，有一家公司现有职员2a 人(140<2a <420，且a 为偶数)，每人每年可创利b 万元．据评估，在经营条件不变的前提下，每裁员1人，则留岗职员每人每年多创利0.01b 万元，但公司需付下岗职员每人每年0.4b 万元的生活费，并且该公司正常运转所需人数不得小于现有职员的34，为获得最大的经济效益，该公司应裁员多少人？解 设裁员x 人，可获得的经济效益为y 万元，则 y ＝(2a －x )(b ＋0.01bx )－0.4bx ＝－b100[x 2－2(a －70)x ]＋2ab .依题意得2a －x ≥34·2a ，所以0<x ≤a2.又140<2a <420，即70<a <210.①当0<a －70≤a2，即70<a ≤140时，x ＝a －70，y 取到最大值；②当a －70>a 2，即140<a <210时，x ＝a2，y 取到最大值．故当70<a ≤140时，公司应裁员(a －70)人，经济效益取到最大； 当140<a <210时，公司应裁员a2人，经济效益取到最大．B 组 能力提高11．设定义在R 上的函数f (x )满足： (1)对任意的实数x ，都有f (－x )－f (x )＝0； (2)对任意的实数x ，都有f (x ＋π)＋f (x )＝1； (3)当x ∈[0，π]时，0≤f (x )≤1；(4)当x ∈⎝⎛⎭⎫0，π2∪⎝⎛⎭⎫π2，π时，有⎝⎛⎭⎫x －π2f ′(x )>0(其中f ′(x )为函数f (x )的导函数)． 则方程f (x )＝|sin x |在[－2π，2π]上的根的个数为________． 答案 8解析 由(1)知，函数f (x )为偶函数； 由(2)知，f (x ＋π)＝1－f (x )，故f (x ＋2π)＝1－f (x ＋π)＝1－[1－f (x )]＝f (x )， 所以f (x )是周期函数，其周期为2π.由(3)知，函数f (x )的图象在y ＝0与y ＝1之间． 由(4)知，当x ∈⎝⎛⎭⎫0，π2时，f ′(x )<0， 故函数f (x )在⎝⎛⎭⎫0，π2上单调递减； 当x ∈⎝⎛⎭⎫π2，π时，f ′(x )>0， 故函数f (x )在⎝⎛⎭⎫π2，π上单调递增．综上，当x ∈[0，π]时，f (x )＝|1－2πx |，画出函数f (x )和y ＝|sin x |在[－2π，2π]上的图象，如图所示，两函数在[－2π，2π]上共有8个交点，所以方程f (x )＝|sin x |在[－2π，2π]上共有8个零点．12．某桶装水经营部每天的房租、人员工资等固定成本为200元，每桶水的进价是5元，销售单价与日均销售量的关系如下表所示.请根据以上数据分析，这个经营部定价在_________元/桶才能获得最大利润． 答案 11.5解析 设每桶水的价格为()6＋x 元，公司日利润y 元，则：y ＝()6＋x －5()480－40x －200＝－40x 2＋440x ＋280，∵－40<0，∴当x ＝－b2a ＝5.5时函数有最大值，因此，每桶水的价格为11.5元，公司日利润最大．13．已知函数f (x )＝|ln x |，g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧0，0＜x ≤1，|x 2－4|－2，x ＞1，则方程|f (x )＋g (x )|＝1实根的个数为________． 答案 4解析 令h (x )＝f (x )＋g (x )，则h (x )＝ ⎩⎪⎨⎪⎧－ln x ，0＜x ≤1，－x 2＋ln x ＋2，1＜x ＜2，x 2＋ln x －6，x ≥2，当1＜x ＜2时，h ′(x )＝－2x ＋1x ＝1－2x2x＜0，故当1＜x ＜2时h (x )单调递减，在同一坐标系中画出y ＝|h (x )|和y ＝1的图象如图所示．由图象可知|f (x )＋g (x )|＝1的实根个数为4.14．已知函数f (x )＝|x 2－2ax ＋b |(x ∈R)，给出下列命题： ①∃a ∈R ，使f (x )为偶函数；②若f (0)＝f (2)，则f (x )的图象关于直线x ＝1对称； ③若a 2－b ≤0，则f (x )在区间[a ，＋∞)上是增函数； ④若a 2－b －2>0，则函数h (x )＝f (x )－2有2个零点． 其中正确命题的序号为________． 答案 ①③解析 ①当a ＝0时，f (x )＝|x 2＋b |显然是偶函数，故①正确．②由f (0)＝f (2)，得|b |＝|4－4a ＋b |，而f (x ＋1)＝|(x ＋1)2－2a (x ＋1)＋b |＝|x 2＋(2－2a )x ＋1－2a ＋b |，f (1－x )＝|(1－x )2－2a (1－x )＋b |＝|1－2x ＋x 2－2a ＋2ax ＋b | ＝|x 2＋(2a －2)x ＋1－2a ＋b |. f (x ＋1)≠f (1－x )，∵|b |＝|4－4a ＋b |不能判定a ＝1，∴f (x )的图象不关于直线x ＝1对称，故②错误．③f (x )＝|(x －a )2＋b －a 2|＝(x －a )2＋b －a 2在区间[a ，＋∞)上是增函数，故③正确．④如图所示，当a 2－b －2>0时，函数f (x )的图象与直线y ＝2有4个交点，故h (x )＝|(x －a )2＋b －a 2|－2有4个零点，故④错误．。