2014高考数学(人教A版,理)课件(山东专供)第十章 第一节分类加法计数原理与分步乘法计数原理

涂区域2，有4种颜色可选.
涂区域3，可先分类：若区域3的颜色与2相同，则区域4有4种
颜色可选.若区域3的颜色与2不同，则区域3有3种颜色可选，
此时区域4有3种颜色可选.所以共有5×4×(1×4+3×3) =260(种)涂色方法. 答案：260
【拓展提升】 1.两个计数原理的区别
区别 原理 分类加法计数原理 每类办法都能独立完成这 件事.它是独立的、一次 的，且每次得到的是最后 结果，只需一种方法就可 完成这件事 分步乘法计数原理 每一步得到的只是中 间结果，任何一步都 不能独立完成这件事， 缺少任何一步也不可， 只有各步骤都完成了 才能完成这件事
【规范解答】(1)当x=1时，y可取的值为5，4，3，2，1，共5个；
当x=2时，y可取的值为4，3，2，1，共4个；
当x=3时，y可取的值为3，2，1，共3个；
当x=4时，y可取的值为2，1，共2个；
当x=5时，y可取的值为1，共1个；
即当x=1,2,3,4,5时，y值依次有5，4，3，2，1个， 由分类加法计数原理，得不同的数对(x,y)共有 5+4+3+2+1=15(个).
【互动探究】本例题(2)中条件不变，求个位数字小于十位数 字的两位数且为偶数的个数. 【解析】当个位数字是8时，十位数字取9，只有1个. 当个位数字是6时，十位数字可取7，8，9，共3个. 当个位数字是4时，十位数字可取5,6,7,8,9，共5个. 同理可知， 当个位数字是2时，共7个， 当个位数字是0时，共9个. 由分类加法计数原理知，符合条件的数共有 1+3+5+7+9=25(个).
(4)正确.在分步乘法计数原理中，每个步骤中完成这个步骤的
方法如果相同，则可认为是相同的步骤. (5)正确. 在分步乘法计数原理中，如果事情是分两步完成的， 则它的任何一个单独的步骤都不能完成这件事，否则就是分类 了. (6)正确.这是分步乘法计数原理的推广. 答案：(1)× (2)√ (3)√ (4)√ (5)√ (6)√
(5)在分步乘法计数原理中，事情是分两步完成的，其中任何 一个单独的步骤都不能完)
(6)如果完成一件事情有n个不同步骤，在每一步中都有若干种
不同的方法mi(i=1,2,3,„,n),那么完成这件事共有m1m2m3„mn
种方法.( )
【解析】(1)错误.在分类加法计数原理中，两类不同方案中的 方法互不相同，即第1类方案中的m种方法和第2类方案中的n种 方法没有相同的. (2)正确.在分类加法计数原理中，每类方案中的每一种方法都 能完成这件事，否则就是分步了. (3)正确.这是分类加法计数原理的推广.
中取出4本赠送给4位朋友，每位朋友1本，则不同的赠送方法 共有( (A)4种 ) (B)10种 (C)18种 (D)20种
【解析】选B.依题意，就所剩余的一本进行分类计数：第一
类，剩余的是一本画册，此时满足题意的赠送方法共有 4种； 第二类，剩余的是一本集邮册，此时满足题意的赠送方法共有 ＝6(种).因此，满足题意的赠送方法共有4＋6＝10(种). C2 4
区别一
区别二
各步之间是相互依存 各类办法之间是互斥的、 的，并且既不能重复 并列的、独立的 也不能遗漏
2.应用两个计数原理的“两个”注意点
(1)注意在应用两个原理解决问题时，一般是先分类再分步 .在 分步时可能又用到分类加法计数原理. (2)注意对于较复杂的两个原理综合应用的问题，可恰当地列 出示意图或列出表格，使问题形象化、直观化 .
涂一种颜色，若要求相邻(有公共边)的区域不同色，那么共有 ______种不同的涂色方法.
【思路点拨】(1)由于中间数最大，可先按中间数进行分类，
再按两边的数分步进行解答.(2)本题是解决涂色问题，要明确 涂色要求，严格区分是“分类”还是“分步”.
【规范解答】(1)选A.分8类，当中间数为2时， 有1×2＝2(个)； 当中间数为3时，有2×3＝6(个)； 当中间数为4时，有3×4＝12(个)；
考向 3
两个计数原理的综合应用
【典例3】(1)(2013·潍坊模拟)如果一个三位正整数如
“a1a2a3”满足a1<a2>a3，则称这样的三位数为凸数(如120,
343,275等)，那么所有凸数的个数为( )
(A)240
(B)204
(C)729
(D)920
(2)用5种不同的颜色给图中所给出的四个区域涂色，每个区域
(2)在分类加法计数原理中，每类方案中的方法都能直接完成 这件事.( )
(3)如果完成一件事情有n类不同方案，在每一类中都有若干种 不同的方法mi(i=1,2,3,„,n),那么完成这件事共有 m1+m2+m3+„+mn种方法.( )
(4)在分步乘法计数原理中，每个步骤中完成这个步骤的方法 是各不相同的.( )
考向 1
分类加法计数原理
【典例1】(1)若x，y∈N*,且x+y≤6,则有序自然数对(x,y)共 有_______个. (2)在所有的两位数中，个位数字大于十位数字的两位数的个 数为_______.
【思路点拨】(1)根据题意，用列举法分别求得当x=1,2,3,4,5
时，y值的数目情况，进而由分类加法计数原理，计算可得答 案. (2)对十位数字进行分类或对个位数字进行分类 .
【拓展提升】
1.分类加法计数原理的特点
(1)根据问题的特点能确定一个适合于它的分类标准 .
(2)完成这件事的任何一种方法必须属于某一类 .
2.使用分类加法计数原理遵循的原则
有时分类的划分标准有多个，但不论是以哪一个为标准，都应 遵循“标准要明确，不重不漏”的原则.
【变式备选】某同学有同样的画册2本，同样的集邮册3本，从
涂B有４种方法；涂C有3种方法； 涂D有3种方法(D与A可以同色). 由分步乘法计数原理得，共有5×4×3×3=180(种).
【拓展提升】使用分步乘法计数原理的关注点 (1)明确题目中的“完成这件事”是什么，确定完成这件事需 要几个步骤，且每步都是独立的. (2)将完成这件事划分成几个步骤来完成，各步骤之间有一定 的连续性，只有当所有步骤都完成了，整个事件才算完成，这 是分步的基础，也是关键.从计数上来看，各步的方法数的积 就是完成事件的方法总数.
个位是9，则十位可以是1，2，3，„，8中的一个，故共有8个； 个位是8，则十位可以是1，2，3，„，7中的一个，故共有7个；
同理个位是7的有6个； „ 个位是2的有1个.
由分类加法计数原理知，符合条件的两位数共有
8+7+6+5+4+3+2+1=36(个).故共有36个.
答案：(1)15
(2)36
平面，第二步选与前两个平面都相交的平面.(2)逐步给A,B, C,D四个区域涂色即可.
【规范解答】(1)选B.完成这件事可先选取2个不相邻的平面，
有2个面不相邻即有一组对面，共有3组，然后再取与这两个平
面都相交的平面，共有4个.由分步乘法计数原理可知，选法为
3×4＝12(种).
(2)分4步：涂A有5种方法；
第十章 计数原理、概率、随机变
量及其分布 第一节 分类加法计数原理与分步乘法计数
原理
两个计数原理 分类加法计数原理 两类不同 完成一件事有_________ 方案 在第1类方案中有m _____. 种不同的方法，在第2类 方案中有n种不同的方法 m+n 种 完成这件事共有N=____ 不同的方法 独立 完成整个事件 能否_____ 分步乘法计数原理
【提醒】解决分步问题时一定要合理设计步骤、顺序，使各步
互不干扰、互不影响，还要注意元素是否可以重复选取 .
【变式训练】已知在正五棱柱中，不同在任何侧面且不同在任
何底面的两顶点的连线称为它的对角线，那么一个正五棱柱对
角线的条数共有( (A)20 (B)15 ) (C)12 (D)10
【解析】选D.如图，在正五棱柱ABCDE–A1B1C1D1E1中，从顶点 A出发的对角线有两条：AC1，AD1，同理从B，C，D，E点出发 的对角线也有两条，共2×5＝10(条).
(2)方法一：根据题意，将十位上的数字按 1，2，3，4，5，6， 7，8的情况分成8类，在每一类中满足题目条件的两位数分别 是8个，7个，6个，5个，4个，3个，2个，1个.由分类加法计 数原理知，符合条件的两位数共有8+7+6+5+4+3+2+1=36(个).
故共有36个.
方法二：分析个位数字，可分以下几类：
当中间数为5时，有4×5＝20(个)；
当中间数为6时，有5×6＝30(个)；
当中间数为7时，有6×7＝42(个)；
当中间数为8时，有7×8＝56(个)； 当中间数为9时，有8×9＝72(个). 故共有2＋6＋12＋20＋30＋42＋56＋72＝240(个).
(2)完成该件事可分步进行.
涂区域1，有5种颜色可选.
考向 2
分步乘法计数原理
【典例2】(1)从正方体的6个面中选取3个面，其中有2个面不
相邻的选法共有(
(A)8种
)
(C)16种 (D)20种
(B)12种
(2)用5种不同的颜色给图中A,B,C,D四个区
域涂色，规定每个区域只涂一种颜色，相邻
区域颜色不同，求共有多少种不同的涂色方
法？
【思路点拨】(1)可分两步完成此事，第一步选两个不相邻的
条 件
完成一件事需要 两个步骤 ，做第1步有m __________ 种不同的方法，做第2步 有n种不同的方法
m ×n 完成这件事共有N=_____ 种不同的方法 逐步 完成整个事件 能否_____
结 论 依 据
判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”). (1)在分类加法计数原理中，两类不同方案中的方法可以 相同.( )