人教版高中数学第二讲2.4弦切角的性质

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2.4.1弦切角的性质

2.4.1 弦切角的性质学习目标:1.理解弦切角的概念；2.掌握弦切角定理及推论，并会运用它们解决有关问题；3.理解化归和分类讨论的数学思想方法以及完全归纳的证明方法.教学重点和难点重点：弦切角定理及其应用；难点：弦切角定理的证明.教学方法自主学习，小组合作，老师指导教学过程（一）复习回顾1、圆周角的定义：（二）新课学习1、弦切角定义：顶点在，一边和圆，另一边和圆的角叫做弦切角.2、弦切角定理：弦切角等于 .3、如果两个弦切角所夹的弧相等，那么这两个弦切角也例题分析（一）弦切角的定义例1、如图，直线AB 和圆O 相切于点P ，PC 和PD 为弦，指出图中的弦切角练习直线AB 和圆O 相切于点D ，直线BC 和圆O 相切于点E ，DE 是圆O 的弦，指出图中所有的弦切角A PBCD O ∙ ∙∙E A D B CO例2、如图7-139，已知AB是⊙O的直径，AC是弦，直线CE和⊙O切于点C，AD⊥CE，垂足为D.求证：AC平分∠BAD.思路一：要证∠BAC＝∠CAD，可证这两角所在的直角三角形相似，于是连结BC，得Rt△ACB，只需证∠ACD＝∠B.(图7-139)思路二:连结OC，由切线性质，可得OC∥AD，于是有∠1＝∠3，又由于∠1＝∠2，可证得结论.(图7-140)思路三:过C作CF⊥AB，交⊙O于F，连结AF.由垂径定理可知∠1＝∠3，又根据弦切角定理有∠2＝∠1，于是∠2＝∠3，进而可证明结论成立.(图7-141)[课堂练习]:1.如图7-142，AB为⊙O的直径，直线EF切⊙O于C，若∠BAC＝56°，则∠ECA＝度.2.AB 切⊙O 于A 点，圆周被AC 所分成的优弧与劣弧之比为3∶1，则夹劣弧的弦切角∠BAC ＝ .3.已知：经过⊙O 上的点T 的切线和弦AB 的延长线相交于点C.求证：∠ATC ＝∠TBC.② 2CT ＝CA CB ∙∙ABTCO。

人教版数学高二A版选修4-1教材梳理第二讲四弦切角的性质

庖丁巧解牛知识·巧学一、弦切角1.定义：顶点在圆上，一边和圆相交，另一边和圆相切的角叫做弦切角.2.弦切角的特点：(1)顶点在圆周上；(2)一边与圆相交；(3)一边与圆相切.误区警示弦切角定义中的三个条件缺一不可.图2-4-2各图中的角都不是弦切角.图(1)中，缺少“顶点在圆上”的条件；图(2)中，缺少“一边和圆相交”的条件；图(3)中，缺少“一边和圆相切”的条件；图(4)中，缺少“顶点在圆上”和“一边和圆相切”两个条件.图2-4-23.如图2-4-3所示，弦切角可分为三类：(1)圆心在角的外部；(2)圆心在角的一边上；(3)圆心在角的内部.图2-4-3二、弦切角定理1.弦切角定理：弦切角等于它所夹的弧所对的圆周角.2.定理的证明：由于弦切角可分为三类，即图2-4-3所示的情况，所以在证明定理时分三种情况加以讨论：当弦切角一边通过圆心时〔图2-4-4（1）〕，显然弦切角与其所夹弧所对的圆周角都是直角；当圆心O在∠CAB外时〔图2-4-4（2）〕，作⊙O的直径AQ，连结PQ，则∠BAC=∠BAQ-∠1=∠APQ-∠2=∠APC；当圆心O在∠CAB内时〔图2-4-4（3）〕，作⊙O的直径AQ，连结PQ，则∠BAC=∠QAB+∠1=∠QPA+∠2=∠APC.图2-4-43.在证明弦切角定理的过程中，我们从特殊情况入手，通过猜想、分析、证明和归纳，从而证明了弦切角定理.通过弦切角定理的证明过程，要学会用运动变化的观点观察问题，进而理解从一般到特殊，从特殊到一般的认识规律.知识拓展由弦切角定理，可以直接得出一个结论：若两弦切角所夹的弧相等，则这两个弦切角也相等，我们把这一结论称为弦切角定理的推论，它也是角的变换的依据.弦切角定理也可以表述为弦切角的度数等于它所夹的弧的度数的一半.这就建立了弦切角与弧的数量之间的关系，它为直接依据弧进行角的转换确立了基础.问题·探究问题到目前为止，对于圆中有关的角我们已学过圆心角、圆周角、弦切角，它们各自有定义、定理及和它所对的弧的度数关系，这三种角在证明题和计算题中经常用到，它们是几何综合题中不可缺少的知识点.它们相互之间有哪些联系和区别？如何把握这些联系和区别？思路:从理解圆心角、圆周角、弦切角的定义、定理及与所对、所夹的弧的关系入手思考.探究:圆心角、圆周角、弦切角是圆中三类重要的角，准确理解它们的定义、定理及与所对、所夹的弧的关系，对于我们在圆中的计算、证明，起着举足轻重的作用，将这些知识总结对比列表如下，你可以在比较中把握其异同点，从而快速、准确地应用于解决问题.名称圆心角圆周角弦切角定义顶点在圆心的角顶点在圆上；两边和圆相交顶点在圆上；一边和圆相交；另一边和圆相切图形有关定理①圆心角的度数等于它所对的弧的度数②在同圆或等圆中相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等，所对弦的弦心距相等同弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半弦切角等于它所夹弧所对的圆周角有关推论四者关系定理的推论圆周角定理推论①、②、③弦切角定理的推论角与弧的关系∠AOB的度数=的度数∠ACB的度数=21的度∠ACB的度数=21的度典题·热题例1如图2-4-5，AD是⊙O的切线，AC是⊙O的弦，过C作AD的垂线，垂足为B，CB 与⊙O相交于点E，AE平分∠CAB，且AE=2，求△ABC各边的长.J图2-4-5思路分析：∠BAE为弦切角，于是∠BAE=∠C，再由AE平分∠CAB和△ABC是直角三角形可得∠C的度数，进而解直角三角形即可.解：∵AD为⊙O的切线，∴∠BAE=∠C.∵AE平分∠CAB，∴∠BAC=2∠BAE.又∵∠C+∠BAC=90°，∴∠BAE=∠C=30°.2.则有BE=1，AB=3，BC=3，AC=3深化升华本题应用弦切角、解直角三角形的知识,为基础题型，求解此类题时，要注意弦切角在角的转换中的作用，本题正是由于这一条件，沟通了角之间的数量关系.例2如图2-4-6，AD是△ABC中∠BAC的平分线，经过点A的⊙O与BC切于点D，与AB、AC分别相交于E、F.求证：EF∥BC.图2-4-6思路分析：连结DF，构造弦切角，于是∠FDC=∠DAC，根据AD是△ABC中∠BAC的平分线,得∠BAD=∠DAC，而∠BAD与∠EFD对着同一段弧，所以相等，由此建立∠EFD与∠FDC的相等关系，根据内错角相等，可以断定两直线平行.证明：连结DF.∵AD是∠BAC的平分线，∴∠BAD=∠DAC.∵∠EFD=∠BAD，∴∠EFD=∠DAC.∵⊙O切BC于D，∴∠FDC=∠DAC.∴∠EFD=∠FDC.∴EF∥BC.方法归纳证明两条直线平行的方法有：（1）内错角相等，两直线平行；（2）同位角相等，两直线平行；（3）同旁内角互补，两直线平行等.证题时可以根据图形与已知合理选择.本题由于有切线，所以考虑弦切角和它所对的圆周角.例3如图2-4-7，△ABC内接于⊙O，AB=AC，直线XY切⊙O于点C，弦BD∥XY，AC、BD相交于点E.图2-4-7（1）求证：△ABE≌△ACD；（2）若AB=6 cm，BC=4 cm，求AE的长.思路分析：第（1）问中的全等已经具备了AB=AC，再利用弦切角定理与圆周角定理可以得角的相等关系；对于（2），则利用△BCE∽△ACB建立比例式，解方程获得AE的长.（1）证明：∵XY 是⊙O 的切线，∴∠1=∠2. ∵BD ∥XY ，∴∠1=∠3.∴∠2=∠3. ∵∠3=∠4，∴∠2=∠4.∵∠ABD=∠ACD ，又∵AB=AC ，∴△ABE ≌△ACD.（2）解：∵∠3=∠2，∠BCE=∠ACB ，∴△BCE ∽△ACB. ∴CBCEAC BC. ∴AC·CE=BC 2，即AC·(AC-AE)=BC 2. ∵AB=AC=6，BC=4，∴6(6-AE)=16. ∴AE=310（cm ）. 深化升华本题利用平行线、弦切角、圆周角等进行了角的转换，利用相似建立方程求线段的长度，综合应用时，必须非常熟悉图形中的各个量，盯准要求的数值，向图形和已知索取条件.。

2.4 弦切角的性质课件(人教A选修4-1)(2)

[读教材·填要点] 1．弦切角顶点在圆上，一边和圆相交，另一边和圆相切的角叫
弦切角．
2．弦切角定理弦切角等于它所夹的弧所对的圆周角．
[小问题·大思维] 1．一边和圆相交，另一边和圆相切的角是弦切角吗？提示：不一定．弦切角必须同时具备三点： ①顶点在圆上；②一边和圆相交；③一边和圆相切． 2．弦切角与它所夹的弧所对的圆心角之间有什么关系？
∴∠DAC＝∠CAB.
法二：如图，延长 BO 交⊙O 于 E，连接 AE，则∠CAE＝90° . 又∵AD⊥CE，∴∠DAC＝∠E. ∵AB 是⊙O 的切线， ∴∠CAB＝∠E. ∴∠DAC＝∠CAB.
法三：如图，连接OA. ∵AB切⊙O于A，∴OA⊥AB.
∴∠CAB与∠OAC互余．
又∵AD⊥OB， ∴∠DAC与∠ACO互余． ∵OA＝OC，∴∠OAC＝∠ACO. ∴∠DAC＝∠CAB.
[考题印证] (2012· 辽宁高考)如图，⊙O和⊙O′相交于A，B两点，过A作两圆的切线分别交两圆于C，D两点，连结DB并延长
交⊙O于点E.证明：
(1)AC· BD＝AD· AB； (2)AC＝AE.
[命题立意]
本题主要考查弦切角定理，考查学生综合
运用所学知识，分析问题并解决问题的能力．
证明：(1)由 AC 与⊙O′相切于 A，得∠CAB＝∠ADB，同理∠ACB＝∠DAB，所以△ACB∽△DAB. AC AB 从而AD＝BD，即 AC· BD＝AD· AB. (2)由 AD 与⊙O 相切于 A，得∠AED＝∠BAD，又∠ADE＝∠BDA，得 AE AD △EAD∽△ABD.从而AB＝BD，即 AE· BD＝AD· AB. 结合(1)的结论，AC＝AE.
解决此类问题的关键是把握弦切角的三个要素：

2.4 弦切角的性质课件(人教A选修4-1)

5．如图，AD是△ABC的角平分线，
经过点A、D的 ⊙O和BC切于D，
且AB、AC与⊙O相交于点E、F，连接DF，EF. (1)求证：EF∥BC； (2)求证：DF2＝AF· BE.
证明：(1)∵⊙O切BC于D，
∴∠CAD＝∠CDF.
∵AD是△ABC的角平分线， ∴∠BAD＝∠CAD. 又∵∠BAD＝∠EFD， ∴∠EFD＝∠CDF. ∴EF∥BC.
1. 弦切角定理
(1)文字语言叙述：弦切角等于它所夹的弧所对的圆周角． (2)图形语言叙述：如图，AB与⊙O切于A点，则∠BAC＝ ∠D .
[说明]
弦切角的度数等于它所夹弧度数的一半，
圆周角的度数等于它所对的弧的度数的一半，圆心
角的度数等于它所对弧的度数．
[例 1]
AC (2010· 新课标全国卷)如图，已知圆上的弧＝
利用弦切角定理进行计算、证明，要特别注意弦
切角所夹弧所对的圆周角，有时与圆的直径所对的圆
周角结合运用，同时要注意根据题目的需要可添加辅助线构成所需要的弦切角．
1．如图所示，AB、CB分别切⊙O于D、E，找出图中
所有弦切角．
解：∠ADE、∠BDE、∠CED、∠BED是弦切角．
2. 如图，AB是⊙O的弦，CD是经过⊙O上的点M的切线，求证：
3．如图，已知 AB 是⊙O 的直径，直线 CD 与⊙O 相切于点 C，AC 平分∠DAB. (1)求证：AD⊥CD； (2)若 AD＝2，AC＝ 5，求 AB 的长．
解：(1)证明：如图，连接 BC. ∵直线 CD 与⊙O 相切于点 C， ∴∠DCA＝∠B. ∵AC 平分∠DAB， ∴∠DAC＝∠CAB. ∴∠ADC＝∠ACB. ∵AB 为⊙O 的直径，∴∠ACB＝90° . ∴∠ADC＝90° ，即 AD⊥CD.

人教版高中数学选修4-1《2.4弦切角的性质》

D 化归 A
B
A C
弦切角
E
C
E
∵∠DAC=∠DCE=90° 且 ∠DAB=∠DCB ∴∠BAC= 90°+ ∠DAB = 90°+ ∠DCB = ∠BCE ∴∠BAC = ∠BCE
弦切角性质定理：
弦切角等于它所夹的弧对的圆周角．
例题分析
例1：如图，已知AB是⊙O的直径，AC是弦，直线 CE和⊙O切于点C，AD⊥CE，垂足为D. 求证： AC平分∠BAD．分析：要证AC平分∠BAD 即证∠1＝∠2 可证这两角所在的直角三角形相似。于是连结BC，得Rt△ACB
2.4弦切角的性质
复习回顾
下图圆中的∠BAC和∠BOC分别是什么角？
圆周角
圆周角定理 : 圆上一条弧所对的圆周角等于其所对圆心角的一半.
A
圆心角
O B
C
p
B
A
p
B A
p
B
A
p
B
A
p
B
A
p B
A
p
B
A
概念解读：
顶点在圆上，一边与圆相交，另一边与圆相切的 p 角叫做弦切角。(如∠BPA)
B O 1
∟
2
A D
E
C
由弦切角性质 ∠ACD＝∠B ，故结论得证
解：连结BC ∵ AD⊥CE， AB是⊙O的直径 ∴∠BCA=∠ADC=90°
B O 1 2 D A
又∵CD与圆相切
由弦切角性质∠ACD=∠ABC ∴RT△ACB ~ RT△ADB
E
C
∴∠1=∠2
∴AC平分∠BAD
思路二：连结OC
B O
3

高中数学第二讲2.4弦切角的性质练习新人教A版选修47

四弦切角的性质课后篇巩固探究一、A组1.如图,MN与☉O相切于点M,Q和P是☉O上两点,∠PQM=70°,则∠NMP等于()A.20°B.70°C.110°D.160°解析:∵∠NMP是弦切角,∴∠NMP=∠PQM=70°.答案:B2.如图,已知AB和AC分别是☉O的弦和切线,点A为切点,AD为∠BAC的平分线,且交☉O于点D,BD的延长线与AC交于点C,AC=6,AD=5,则CD的长度等于()A.3B.4C.5D.6解析:由题意,得∠CAD=∠ABC.因为AD为∠BAC的平分线,所以∠CAD=∠DAB,从而∠CBA=∠DAB,所以DB=AD=5,且△ACD∽△BCA,于是,即,解得CD=4(负值舍去).答案:B3.如图,四边形ABCD是圆的内接四边形,AB是直径,MN是☉O的切线,切点为C.若∠BCM=38°,则∠B=()A.32°B.42°D.48°解析:如图,连接AC.∵∠BCM=38°,MN是☉O的切线,∴∠BAC=38°.∵AB为☉O的直径,∴∠BCA=90°.∴∠B=90°-38°=52°.答案:C4.如图,AB是☉O的直径,EF切☉O于点C,AD⊥EF于点D,AD=2,AB=6,则AC的长为()A.2B.3C.2D.4解析:如图,连接BC.∵EF是☉O的切线,∴∠ACD=∠ABC.又AB是☉O的直径,∴∠ACB=90°.又AD⊥EF,∴∠ACB=∠ADC.∴△ADC∽△ACB.∴.∴AC2=AD·AB=2×6=12,∴AC=2.答案:C5.如图,若AB切☉O于A,AC,AD为☉O的弦,且,则∠C与∠CAB的关系是.解析:因为,所以∠ADC=∠ACD.又由弦切角定理可得∠BAC=∠ADC,故∠C=∠CAB.答案:∠C=∠CAB6.已知AB是☉O的弦,PA是☉O的切线,A是切点.如果∠PAB=30°,那么∠AOB=. 解析:∵弦切角∠PAB=30°,∴它所夹的弧所对的圆周角等于30°,所对的圆心角等于60°.答案:60°7.已知PA是圆O的切线,切点为A,PO交圆O于B,C两点,AC=,∠PAB=30°,则线段PB的长为.解析:连接OA,∵PA为☉O的切线,∴∠OAP=90°,∠C=∠PAB=30°,∴∠OBA=∠OAB=60°,∴∠P=∠PAB=30°,∴PB=AB.又AC=,BC为☉O的直径,∴∠CAB=90°,∴AB=1,∴PB=1.答案:18.如图,☉O1与☉O2交于A,B两点,过☉O1上一点P作直线PA,PB分别交☉O2于点C和点D,EF切☉O1于点P.求证:EF∥CD.证明:连接AB,∵EF是☉O1的切线,由弦切角定理知,∠FPA=∠PBA.又在☉O2中,四边形ABDC为圆内接四边形,∴∠C=∠ABP,∴∠FPA=∠C,∴EF∥CD.9.如图,在△ABC中,∠B=90°,O是AB上一点,以O为圆心,OB为半径的圆与AB交于点E,与AC切于,直线ED交BC的延长线于F.若AD∶AE=2∶1,求tan∠F的值.解:如图,连接BD.∵AC为☉O的切线,∴∠ADE=∠ABD.∵∠A=∠A,∴△ADE∽△ABD,∴,即,∴.∵BE为☉O的直径,∴∠BDE=90°,∴tan∠ABD=.∵∠F+∠BEF=90°,∠ABD+∠BEF=90°,∴∠ABD=∠F,∴tan∠F=tan∠ABD=.二、B组1.如图,在圆的内接四边形ABCD中,AC平分∠BAD,EF切☉O于C点,则图中与∠DCF相等的角的个数是()A.4B.5C.6D.7解析:∠DCF=∠DAC,∠DCF=∠BAC,∠DCF=∠BCE,∠DCF=∠BDC,∠DCF=∠DBC.答案:B2.如图,☉O和☉O'相交于A,B两点,过点A作两圆的切线,分别交两圆于C,D两点.若BC=2,BD=4,则AB的长为()A.2B.2C.4D.6解析:∵AC,AD分别是两圆的切线,∴∠C=∠BAD,∠D=∠BAC.∴△ACB∽△DAB.∴.∴AB2=BC·DB=2×4=8,解得AB=2(负值舍去).答案:A.AB切☉O于点A,圆周被AC所分成的优弧与劣弧之比为3∶1,则夹劣弧的弦切角∠BAC=.解析:∵优弧与劣弧之比为3∶1,∴劣弧所对的圆心角为90°,所对的圆周角为45°,故由弦切角定理可知,弦切角∠BAC=45°.答案:45°4.导学号52574036如图,AB是圆O的直径,点C在圆O上.延长BC到D使BC=CD,过C作圆O的切线交AD于E.若AB=6,ED=2,则BC=.解析:连接OC.∵AB为圆O的直径,∴AC⊥BC.又BC=CD,∴AB=AD=6,∠BAC=∠CAD.又CE为圆O的切线,则OC⊥CE.∵∠ACE为弦切角,∴∠ACE=∠B.∴∠ACE+∠CAD=90°.∴CE⊥AD.又AC⊥CD,∴CD2=ED·AD=2×6=12,即CD=2.∴BC=2.答案:25.如图,△ABC内接于☉O,AB=AC,直线XY切☉O于点C,BD∥XY,AC,BD相交于E.(1)求证:△ABE≌△ACD;6 cm,BC=4 cm,求AE的长.(1)证明:因为XY是☉O的切线,所以∠1=∠2.因为BD∥XY,所以∠1=∠3,故∠2=∠3.因为∠3=∠4,所以∠2=∠4.因为∠ABD=∠ACD,又因为AB=AC,ABE≌△ACD.(2)解:易知∠3=∠2,∠ABC=∠ACB,所以△BCE∽△ABC,,即AC·CE=BC2.因为AB=AC=6 cm,BC=4 cm,所以6·(6-AE)=16,故AE= cm.6.导学号52574037如图,AB为☉O的直径,直线CD与☉O相切于E,AD⊥CD于D,BC ⊥CD于C,EF⊥AB于F,连接AE,BE.∠FEB=∠CEB;(2)EF2=AD·BC.证明:(1)由直线CD与☉O相切,得∠CEB=∠EAB.由AB为☉O的直径,得AE⊥EB,从而∠EAB+∠EBF=.又EF⊥AB,得∠FEB+∠EBF=.从而∠FEB=∠EAB,故∠FEB=∠CEB.(2)由BC⊥CE,EF⊥AB,∠FEB=∠CEB,BE是公共边,得Rt△BCE≌Rt△BFE,所以BC=BF.同理可证Rt△ADE≌Rt△AFE,得AD=AF.在Rt△AEB中,EF⊥AB,故EF2=AF·BF,所以EF2=AD·BC.。

2016-2017学年高中数学人教A版选修4-1课件：2.4 弦切角的性质

题型一题型二题型三
M 目标导航 UBIAODAOHANG
Z重难聚焦 HONGNAN JVJIAO
D典例透析 IANLI TOUXI
证明:连接BD,如图.
∵AD是∠BAC的平分线, ∴∠BAD=∠CAD.
又∠BCD=∠BAD, ∠CBD=∠CAD,
∴∠BCD=∠CBD. ∴BD=CD.
-8-
四弦切角的性质
答案:52° 反思在利用弦切角定理解决问题时,要注意所涉及的角是不是弦切角,即弦切角的三个条件缺一不可.
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四弦切角的性质
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四弦切角的性质
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Z重难聚焦 HONGNAN JVJIAO
D典例透析 IANLI TOUXI
1.理解弦切角的概念,会判断弦切角. 2.掌握弦切角定理的内容,并能利用定理解决有关问题.
-2-
四弦切角的性质
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关系证明两条直线平行:①内错角相等,两条直线平行;②同位角相等,两条直线平行;③同旁内角互补,两条直线平行等.证明时可以根
据图形与已知条件合理地选择.
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四弦切角的性质
题型一题型二题型三
M 目标导航 UBIAODAOHANG
Z重难聚焦 HONGNAN JVJIAO
D典例透析 IANLI TOUXI
分析:连接DF,于是∠FDC=∠DAC,根据AD是∠BAC的平分线,有 ∠BAD=∠DAC,而∠BAD与∠EFD对着同一段弧,由此得到∠EFD 与∠FDC的相等关系,根据内错角相等,可以断定两条直线平行.
-4-
四弦切角的性质
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第二讲2.4弦切角的性质

第二讲直线与圆的位置关系2.4 弦切角的性质A级基础巩固一、选择题1．如图所示，MN与⊙O相切于点M，Q和P是⊙O上两点，∠PQM＝70°，则∠NMP等于( )A．20°B．70°C．110°D．160°解析：根据弦切角定理：∠NMP＝∠PQM＝70°.答案：B2.如图所示，过圆内接△ABC的顶点A引切线交BC的延长线于点D，若∠B＝35°，∠ACB＝80°，则∠D等于( )B．50°A．45°D．60°C．55°解析：因为AD是圆的切线，所以∠DAC＝∠B＝35°.又因为∠D＋∠DAC＝∠ACB，所以∠D＝∠ACB－∠DAC＝80°－35°＝45°.答案：A3.如图所示，AB为圆的直径，弦AC与AB成30°角，DC切圆于点C，AB＝5cm ，则BD 等于()A ．10 cmB ．5 cm C.52 cmD ．1 cm 解析：连接BC (如图)，则∠ACB ＝90°，∠BCD ＝30°＝∠D ，故BD ＝BC ＝52cm.答案：C4．如图所示，△ABC 内接于⊙O ，EC 切⊙O 于点C .若∠BOC ＝76°，则∠BCE 等于()A ．14°B ．38°C ．52°D ．76°解析：因为EC 为⊙O 的切线，所以∠BCE ＝∠BAC ＝12∠BOC ＝38°.答案：B5.如图所示，CA 为⊙O 的切线，切点为A ，点B 在⊙O 上，如图所示∠CAB＝55°，那么∠AOB 等于()A ．55°B ．90°C ．110°D ．120° 解析：延长AO 交⊙O 于D ，连接BD (如图)，因为AC 切⊙O 于A ，AB 是弦，所以∠D ＝∠CAB .又∠D ＝12∠AOB ，所以∠AOB ＝2∠CAB ＝110°.答案：C二、填空题6．如图所示，EB ，EC 是圆O 的两条切线，B ，C 是切点，A ，D 是圆O 上两点，如果∠E ＝46°，∠DCF ＝32°，则∠A ＝____．解析：连接OB ，OC ，AC (如图)，根据弦切角定理，∠A ＝∠BAC ＋∠CAD ＝12(180°－∠E )＋∠DCF ＝67°＋32°＝99°.答案：99° 7．如图所示，已知圆O 的直径AB ＝5，C 为圆周上一点，BC ＝4，过点C 作圆O 的切线l ，过点A 作l 的垂线AD ，垂足为D ，则CD ＝________．解析：由弦切角定理，有∠ACD ＝∠B ，所以CD AC ＝cos ∠ACD ＝cos B ＝BC AB. 所以CD 52－42＝45.故CD ＝125. 答案：1258．如图所示，AB 是圆O 的直径，直线CE 和圆O 相切于点C ，AD⊥CE 于D ，若AD ＝1，∠ABC ＝30°，则圆O 的面积是________．解析：由弦切角定理，有∠ACD ＝∠ABC ＝30°，所以AC ＝2AD ，AB ＝2AC ，即AB ＝4，圆O 的面积S ＝π·(42)2＝4π. 答案：4π三、解答题9．如图所示，PA 切⊙O 于点A ，PBC 是⊙O 的割线，在PC 上截取PD ＝PA，求证：∠1＝∠2.证明：因为PA＝PD，所以∠PAD＝∠PDA.因为∠PDA＝∠C＋∠1，∠PAD＝∠PAB＋∠2，所以∠C＋∠1＝∠PAB＋∠2.又PA切⊙O于点A，AB为弦，所以∠PAB＝∠C.所以∠1＝∠2. 10.如图所示，已知AB切⊙O于B，BC是⊙O的直径，AC交⊙O于D，DE是⊙O的切线，CE⊥DE于E，DE＝3，CE＝4，求AB的长．解：因为CE⊥DE于E，DE＝3，CE＝4，所以CD＝5.连接BD(如图)．因为DE切⊙O于点D，所以∠EDC＝∠DBC.又因为BC为⊙O的直径，所以∠BDC＝90°.所以Rt△BDC∽Rt△DEC.所以CDBC＝CECD＝DEBD，即5BC＝45＝3BD.所以BC＝254，BD＝154.又因为AB 与⊙O 相切于点B ，所以AB ⊥BC .所以AC ＝12516.所以AB ＝7516. B 级能力提升1.如图所示，已知AB ，AC 与⊙O 相切于点B ，C ，∠A ＝50°，点P 是⊙O 上异于点B ，C 的一个动点，则∠BPC 的度数是( )A ．65°B ．115°C ．65°或115°D ．130°或50°解析：当点P 在优弧BC ︵上时，由∠A ＝50°，得∠ABC ＝∠ACB ＝65°.因为AB 是⊙O 的切线，所以∠ABC ＝∠BPC ＝65°.当P 点在劣弧BC ︵上时，∠BPC ＝115°.答案：C 2.如图所示，已知AB 和AC 分别是⊙O 的弦和切线，点A 为切点，AD 为∠BAC 的平分线，且交⊙O 于点D ，BD 的延长线与AC 交于点C ，AC ＝6，AD ＝5，则CD ＝________．解析：由弦切角定理，有∠CAD ＝∠B .又∠C ＝∠C ，则△ACD ∽△BCA ，所以CDAC＝ACBC，又∠BAD＝∠CAD＝∠B，则BC＝CD＋BD＝CD＋AD.设CD＝x，则x6＝6x＋5，x＝4或－9(舍去)，故CD＝4.答案：43.如图所示，BD是⊙O的直径，AB与⊙O相切于点B，过点D作OA的平行线交⊙O于点C，AC与BD的延长线相交于点E.(1)试探究AE与⊙O的位置关系，并说明理由．(2)已知EC＝a，ED＝b，AB＝c，请你思考后，选用以上适当的数据，设计出计算⊙O的半径r的一种方案：①你选用的已知数据是________；②写出求解过程(结果用字母表示)．解：(1)AE与⊙O相切．理由：连接OC(如图)．因为CD∥OA，所以∠AOC＝∠OCD，∠ODC＝∠AOB.又因为OD＝OC，所以∠ODC＝∠OCD.所以∠AOB＝∠AOC.在△AOC和△AOB中OA＝OA，∠AOC＝∠AOB，OC＝OB，所以△AOC≌△AOB，所以∠ACO＝∠ABO.因为AB与⊙O相切，所以∠ACO＝∠ABO＝90°.所以AE与⊙O相切．(2)①选择a、b、c，或其中2个．②解答举例：若选择a、b、c，法一：由CD∥OA，ac＝br，得r＝bca.法二：在Rt△ABE中，由勾股定理(b＋2r)2＋c2＝(a＋c)2，得r＝a2＋2ac－b2.法三：由Rt△OCE∽Rt△ABE，a r＝b＋2r c，得r＝－b＋b2＋8ac4.若选择a、b.法一：在Rt△OCE中，由勾股定理得：a2＋r2＝(b＋r)2，得r＝a2－b2 2b；法二：连接BC，由△DCE∽△CBE，得r＝a2－b2 2b.。

高中数学2.4弦切角的性质课件新人教A版选修4-1

思考 1 你对弦切角是怎样理解的?
提示:弦切角的特点 :(1)顶点在圆上 ;(2)一边与圆相交;(3)另一边与圆相切. 弦切角定义中的三个条件缺一不可.如图①②③④中的角都不是弦切角.图①中,缺少“顶点在圆上 ”的条件; 图②中,缺少“一边和圆相交”的条件; 图③中,缺少“一边和圆相切”的条件 ;图④中,缺少 “顶点在圆上”和 “另一边和圆相切”两个条件.
2 =
=
�� . ��
又 BD=CD,∴
�� . ��
点评已知直线与圆相切,证明线段成比例时,常先利用弦切角定
理和圆周角定理获得角相等,再通过三角形相似得到成比例线段.
探究一
探究二
探究三
探究三易错辨析
易错点:忽视弦切角的一边是切2° ,∠ B=110° ,则∠ BAD= .
角与弧的关系
∠AOB 的度数 =AB的度数
∠ACB 的度数= AB
2
1
∠ACB 的度数= AC的度数
2
1
的度数
探究一
探究二
探究三
探究一弦切角定理
在使用弦切角定理时,关键是要弄清哪个角是弦切角,这样才能正确解决问题.
探究一
探究二
探究三
【典型例题 1】如图,AD 是☉ O 的切线,AC 是☉ O 的弦,过 C 作 AD 的垂线,垂足为 B,CB 与☉O 相交于点 E,AE 平分∠CAB,且 AE=2,求△ABC 各边的长.
四
弦切角的性质
课程目标 1.理解弦切角的概念,会判断弦切角. 2.掌握弦切角定理的内容,并能利用它解决有关问题.
学习脉络

2.4弦切角的性质

注意：
一般情况下，弦切角、圆周角、圆心角都是通过它们所夹的（或所对的）同一条弧（或等弧）联系起来，因此，当已知有切线时常添线构建弦切角或添切点处的半径应用切线的性质求解.
回顾：圆的切线的性质及判定定理
1、切线的性质定理：圆的切线垂直于经过切点的半径．
推论1: 经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点. 推论2: 经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心.
2、切线的判定定理：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线．
P323
1.弦切角:顶点在圆上，一边与圆相交，另一边与圆相切的角叫做弦切角。
思路一:
B O
1A 2
E
C
D
思路二:
连结OC,由切线性质,可得OC∥AD,于是有 ∠2=∠3,又由于∠1=∠3,可证得∠1=∠2
P341
B O
1A
3
2
E
C
D
也可证△ATC∽△TBC
∠BAD=∠C, ∠BAC= ∠D
P342
小结
弦切角-------顶点在圆上，一边与圆相交，另一边与圆相切的角。弦切角定理: 弦切角等于它所夹的弧所对的圆周角.
下面五个图中的∠BAC是不是弦切角？
C
×
B
×
A
C A
B CC
×
B A
C
B
×
A
√
A
B
2.弦切角定理弦切角等于它所夹的弧所对的圆周角.
符号语言: BA切⊙O于A AC是圆O的弦
D
ＣＯ
m
ＡＢ
∠BAC= ∠ADC
例1.如图已知AB是⊙O的直径,AC是弦,直线CE和 ⊙O切于点C,AD⊥CE,垂足为D. 求证:AC平分∠BAD.

高中数学第二讲四弦切角的性质课件新人教A版选修4-1

利用弦切角定理进行计算、证明时，要特别注意弦切角所夹弧所对的圆周角，有时与圆的直径所对的圆周角结合运用，同时要注意根据题目的需要添加辅助线构造所需要的弦切角．
1．如图，CD是⊙O的切线，T为切点，A是 TB 上的一点，若
∠TAB＝100°，则∠BTD的度数为
()
A．20° B．40° C．60 ° D．80°
证明：(1)∠ACE＝∠BCD； (2)BC2＝BE·CD. [思路点拨] 利用弦切角定理．
[证明] (1)因为 AC ＝ BD，所以∠BCD＝∠ABC. 又因为EC与圆相切于点C，所以∠ACE＝∠ABC. 所以∠ACE＝∠BCD. (2)因为∠ECB＝∠CDB，∠EBC＝∠BCD，所以△BDC∽△ECB. 故BBCE＝CBDC，即BC2＝BE·CD.
证明乘积式成立，往往与相似三角形有关，若存在切线，常要寻找弦切角，确定三角形相似的条件，有时需要添加辅助线创造条件．
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四
弦切角的性质
弦切角定理
(1)文字语言叙述：弦切角等于它所夹的弧所对的圆周角．
(2)图形语言叙述：如图，AB与⊙O切于A点，则∠BAC＝ ∠D .
[说明] 弦切角的度数等于它所夹弧度数的一半，圆周角的度数等于它所对的弧的度数的一半，圆心角的度数等于它所对弧的度数．
弦切角定理 [例1] 如图，已知圆上的 AC ＝ BD ，过C点的圆的切线与 BA的延长线交于E点．
(2)∵AM＝BM， ∴∠A＝∠B. ∵CD切⊙O于M点，∠CMA＝∠B， ∴∠CMA＝∠A. ∴AB∥CD.
3.如图，已知AB是⊙O的直径，直线CD与⊙O相切于点C，AC平分∠DAB. (1)求证：AD⊥CD； (2)若AD＝2，AC＝ 5，求AB的长．解：(1)证明：如图，连接BC. ∵直线CD与⊙O相切于点C， ∴∠DCA＝∠B. ∵AC平分∠DAB， ∴∠DAC＝∠CAB. ∴∠ADC＝∠ACB.

2.4弦切角的性质2.5 与圆有关的比例线段

7 [普通高中课程数学选修4-1] 第二讲直线与圆的位置关系
1.弦切角:顶点在圆上，一边与圆相交，另一边与圆相切的角叫做弦切角。
下面五个图中的∠BAC是不是弦切角？ C B
×
C
× A B A B
C
× A
C
√
A
× B C
A
B
8 [普通高中课程数学选修4-1] 第二讲直线与圆的位置关系
2.弦切角定理
D O E
A
C
CD•AE=AC•CE ⑵ 同理 BD•AE=AB•BE ⑶ 因为AC=AB,由 ⑵⑶ 可得 BE•CD=BD•CE ⑷
图⑴
24 [普通高中课程数学选修4-1] 第二讲直线与圆的位置关系
问题2 在图(1)中,使线段AC绕A旋转,得到图(2),
其中EC交圆于G,DC交圆于F,此时又能推出哪些结论? B
B E D A C O D A F G O E
图⑴
C
图⑵
探究2: 猜想并可证明 △ADC∽△ ACE ⑸ 同样可得⑵⑶⑷
25 [普通高中课程数学选修4-1] 第二讲直线与圆的位置关系
证明如下:
∵AB²=AD•AE,而AB=AC,
∴AC²=AD•AE,即
AC AD AE AC
B
E
D F G C O
D C P A(C.P) A B P A B C D
PB=PC· PD P在圆上:PA=PC=0, 仍有 PA· P在圆外:易证△PAD∽△PCB
PA PD . PC PB
故PA· PB=PC· PD
15 [普通高中课程数学选修4-1] 第二讲直线与圆的位置关系
2.割线定理从圆外一点引圆的两条割线，这一点到每条割线与圆的交点的两条线段长的积相等. PA· PB=PC· PD D

弦切角定理课件

弦切角定理的应用场景
总结词
弦切角定理在解决几何问题中有着广泛的应用，它可以用于证明一些重要的几何结论。
详细描述
弦切角定理的应用场景非常广泛，它可以用于解决一些与圆相关的几何问题。例如，在证明一些关于圆的性质和定理时，可以利用弦切角定理来推导和证明。此外，在解决一些与圆相关的实际问题时，如建筑设计、机械制造等领域，也可以利用弦切角定理来分
04
CATALOGUE
弦切角定理的应用实例
三角形中的弦切角定理应用
总结词
三角形中的弦切角定理应用主要涉及三角形的高、中线和角平分线等性质。
详细描述
在三角形中，弦切角定理可以用于证明高、中线和角平分线的性质。例如，可以利用弦切角定理证明三角形的高线等于相应弦的一半，或者证明中线平分对应的弦。这些性质在解决三角形问题时非常有用。
物理学
在物理学中，弦切角定理可用于描述光和波的传播规律，以及物体运动轨迹的分析。
弦切角定理的未来研究方向与展望
深入探索
未来研究可以进一步深入探索弦切角定理的本质和证明，以完善和发展该定理的理论体系。
应用拓展
随着科学技术的发展，弦切角定理的应用领域将不断拓展，特别是在计算机图形学、机器人导航等领域。
详细描述
弦切角定理是圆的基本性质之一，它描述了弦、切线和圆心角之间的关系。在圆中，弦与切线之间的夹角（弦切角）等于该弦所夹弧所对的圆心角的一半。
弦切角定理的图形表示
总结词
通过图形可以直观地理解弦切角定理，它有助于我们更好地理解和记忆这个定理。
详细描述
在PPT课件中，可以使用图形来展示弦切角定理。首先，画出一个圆，然后在圆上任取一点作为圆心，通过圆心作弦与圆的切线。在图形中，标出弦切角和弦所夹弧所对的圆心角，通过比较它们的度数，可以直观地看出弦切角定理的正确性。

2019版高中数学第二讲2.4弦切角的性质练习含解析新人教A版选修4_1

四弦切角的性质课时过关·能力提升基础巩固1如图,已知AB是半圆O的直径,C,D是半圆上的两点,半圆O的切线PC交AB的延长线于点P,∠PCB=25°,则∠ADC为()A.105°B.115°C.120°D.125°,连接BD.∵PC与☉O相切,∴∠BDC=∠BCP=25°.∵AB是直径,∴∠ADB=90°.∴∠ADC=∠ADB+∠BDC=90°+25°=115°.2如图,PQ为☉O的切线,A是切点,若∠BAQ=55°,则∠ADB=()A.55°B.110°C.125°D.155°PQ是切线,∴∠C=∠BAQ=55°.∵四边形ADBC内接于圆,∴∠ADB=180°-∠C=180°-55°=125°.3如图,△ABC内接于☉O,EC切☉O于点C.若∠BOC=76°,则∠BCE等于()A.14°B.38°C.52°D.76°EC为☉O的切线,∴∠BCE=∠BAC=1∠BOC=38°.24如图,四边形ABCD是圆内接四边形,AB是直径,MN是☉O的切线,C为切点,若∠BCM=38°,则∠B等于()A.32°B.42°C.52°D.48°AC,如图.∵MN切☉O于点C,BC是弦,∴∠BAC=∠BCM.∵AB是直径,∴∠ACB=90°.∴∠B+∠BAC=90°.∴∠B+∠BCM=90°,∴∠B=90°-∠BCM=52°.5如图,AD切☉O于点F,FB,FC为☉O的两弦,请列出图中所有的弦切角.AFB,∠AFC,∠DFC,∠DFB6如图,AB是☉O的直径,直线CE与☉O相切于点C,AD⊥CE于D,若AD=1,∠ABC=30°,则☉O的面积是.DE是切线,∴∠ACD=∠ABC=30°.又AD⊥CD,∴AC=2AD=2.∵AB是直径,∴∠ACB=90°.又∠ABC=30°,∴AB=2AC=4,AB=2.∴OA=12∴☉O的面积为S=π·OA2=4π.π7如图,AB是☉O的弦,CD是经过☉O上的点M的切线.求证:(1)如果AB∥CD,那么AM=MB;(2)如果AM=BM,那么AB∥CD.∵CD切☉O于点M,∴∠DMB=∠A,∠CMA=∠B.∵AB∥CD,∴∠CMA=∠A,∴∠A=∠B,∴AM=MB.(2)∵AM=BM,∴∠A=∠B.∵CD切☉O于点M,∴∠CMA=∠B.∴∠CMA=∠A.∴AB∥CD.8如图,四边形ABED内接于☉O,AB∥DE,AC切☉O于点A,交ED延长线于点C.求证:AD∶AB=DC∶BE.ACD和△ABE中,所以只要证明△ACD∽△AEB即可.四边形ABED内接于☉O,∴∠ADC=∠ABE.∵AC是☉O的切线,∴∠CAD=∠AED.∵AB∥DE,∴∠BAE=∠AED.∴∠CAD=∠BAE,∴△ACD∽△AEB.∴AD∶AB=DC∶BE.9如图,已知圆上的,过点C的圆的切线与BA的延长线交于点E.求证:(1)∠ACE=∠BCD;(2)BC2=BE·CD.证明这两个角都等于∠ABC;(2)转化为证明△BDC∽△ECB.∵,∴∠BCD=∠ABC.∵EC与圆相切于点C,∴∠ACE=∠ABC.∴∠ACE=∠BCD.(2)∵∠ECB=∠CDB,∠EBC=∠BCD,∴△BDC∽△ECB.∴,即BC2=BE·CD.10如图,AB是半圆O的直径,C是圆周上异于点A,B的一点,过点C作圆O的切线l,过点A作直线l的垂线AD,垂足为点D,AD交半圆于点E.求证:CB=CE.CBE=∠CEB.方法一)连接BE,如图.因为AB是半圆O的直径,点E为圆周上一点,所以∠AEB=90°,即BE⊥AD.又因为AD⊥l,所以BE∥l.所以∠DCE=∠CEB.因为直线l是圆O的切线,所以∠DCE=∠CBE.所以∠CBE=∠CEB,故CE=CB.(方法二)连接AC,BE,在DC延长线上取一点F,如图.因为AB是半圆O的直径,C为圆周上一点,所以∠ACB=90°,即∠BCF+∠ACD=90°.因为AD⊥l,所以∠DAC+∠ACD=90°,所以∠BCF=∠DAC.因为直线l是圆O的切线,所以∠CEB=∠BCF.又∠DAC=∠CBE,所以∠CBE=∠CEB.所以CE=CB.能力提升1如图,AB是☉O的直径,EF切☉O于点C,AD⊥EF于点D,若AD=2,AB=6,则AC的长为()A.2B.3C.23D.4BC,如图.∵EF是☉O的切线,∴∠ACD=∠ABC.又AB是☉O的直径,∴∠ACB=90°.又AD⊥EF,∴∠ACB=∠ADC.∴△ADC∽△ACB.∴.∴AC2=AD·AB=2×6=12,∴AC=23.★2如图,已知∠ABC=90°,O是AB上一点,☉O切AC于点D,交AB于点E,B,连接DB,DE,OC,则图中与∠CBD相等的角共有()A.1个B.2个C.3个D.4个AB⊥BC,∴BC与☉O相切,BD为弦.∴∠CBD=∠BED.同理可得∠CDB=∠BED,∴∠CBD=∠CDB.连接OD.∵OD=OB,OC=OC,∴Rt△COD≌Rt△COB.∴CB=CD,∠DCO=∠BCO.∴OC⊥BD.又DE⊥BD,∴DE∥OC.∴∠BED=∠BOC,∴∠CBD=∠BOC.∴与∠CBD相等的角共有3个.3如图,AB是☉O的直径,PB,PE分别切☉O于点B,C,若∠ACE=40°,则∠P=.,连接BC,则∠ACE=∠ABC,∠ACB=90°.又∠ACE=40°,则∠ABC=40°.所以∠BAC=90°-∠ABC=90°-40°=50°,∠ACP=180°-∠ACE=140°.又AB是☉O的直径,则∠ABP=90°.又四边形ABPC的内角和等于360°,所以∠P+∠BAC+∠ACP+∠ABP=360°.所以∠P=80°.4如图,已知圆O的直径AB=6,C为圆周上一点,BC=3,过点C作圆的切线l,过点A作l的垂线AD,垂足为点D,则线段CD的长为.直线l是圆O的切线,∴∠ACD=∠ABC.又AB是直径,∴AC⊥BC.∵BC=3,AB=6,∴∠ABC=60°.∴AC=33.又∠ACD=∠ABC,∴∠ACD=60°..又AD⊥l,∴CD=AC cos60°=3325如图,☉O和☉O'相交于A,B两点,过点A作两圆的切线,分别交两圆于C,D两点,若BC=2,BD=4,则AB的长为.AC,AD分别是两圆的切线,∴∠C=∠BAD,∠D=∠BAC.∴△ACB∽△DAB.∴.∴AB2=BC·DB=2×4=8.∴AB=22(负值舍去).26如图,BA是☉O的直径,AD是☉O的切线,切点为A,BF,BD分别交AD于点F,D,交☉O于点E,C,连接CE.求证:BE·BF=BC·BD.BE·BF=BC·BD,只需证,即证明△BEC∽△BDF.由∠DBF为公共角,只需再找一组角相等,为此,过点B作☉O的切线,构造弦切角.,过点B作☉O的切线BG,则AB⊥BG.又AD是☉O的切线,∴AD⊥AB,∴BG∥AD,∴∠GBC=∠BDF.∵∠GBC=∠BEC,∴∠BEC=∠BDF.又∠CBE=∠DBF,∴△BEC∽△BDF.∴.∴BE·BF=BC·BD.7如图,△ABC内接于☉O,AB=AC,直线MN切☉O于点C,弦BD∥MN,AC与BD相交于点E.求证:(1)△ABE≌△ACD;(2)BE=BC.由已知,得∠ABE=∠ACD,只需证明∠BAE=∠CAD,转化为证明∠BAE=∠CDB,∠CDB=∠DCN,∠DCN=∠CAD.(2)转化为证明∠BEC=∠ECB.∵BD∥MN,∴∠CDB=∠DCN.又∠BAE=∠CDB,∴∠BAE=∠DCN.又直线MN是☉O的切线,∴∠DCN=∠CAD.∴∠BAE=∠CAD.又∠ABE=∠ACD,AB=AC,∴△ABE≌△ACD.(2)∵∠EBC=∠BCM,∠BCM=∠BDC,∴∠EBC=∠BDC.∴CB=CD.∵∠BEC=∠EDC+∠ECD,∠ECD=∠ABE,∴∠BEC=∠EBC+∠ABE=∠ABC.又AB=AC,∴∠ABC=∠ECB.∴∠BEC=∠ECB.∴BE=BC.★8如图,已知点P在☉O外,PC是☉O的切线,切点为C,直线PO与☉O相交于点A,B.(1)试探索∠BCP与∠P的数量关系.(2)若∠A=30°,则PB与PA有什么关系?(3)∠A可能等于45°吗?为什么?∵PC是切线,∴∠BCP=∠A.∵AB是直径,∴∠ACB=90°.在△ACP中,∠A+∠P+∠ACP=180°,∴∠BCP+∠P+∠ACB+∠BCP=180°.∴2∠BCP+∠P+90°=180°.∴∠P=90°-2∠BCP.(2)若∠A=30°,则∠BCP=∠A=30°,∠ABC=60°.∴∠P=30°,∴PB=BC,BC=1AB.2∴PB=1PA,即PA=3PB.3(3)∠A不可能等于45°.理由如下:设∠A=45°,则∠ABC=45°,∠BCP=45°,∴CP∥AB,与题干中PC与AB交于点P矛盾, ∴∠A不可能等于45°.。

人教A版高中数学选修- 第二讲四弦切角的性质课件PPT

C
互补来证明BC∥EF.
ED F
证明: 由弦切角定理,得 ∠ADF=ABC+∠2.
又因为 ∠AGC=∠ABC+∠1 ∠1=∠2,
所以 ∠ADF=∠AGC
因此 BC∥EF
A
12
BG
C
ED F
3.已知: 如图,PA,PB分别与⊙O相切于点A和 B,AC是⊙O的直径. 求证: ∠APB=2∠BAC
证明: 连接BC
通过对弦切角定理的探究，应用弦切角定理解决几何问题过程，使学生体会和掌握“分类”、“特殊化”、“化归”数学思想在几何证明中的作用，培养学生的发散思维和严谨的逻辑思维.
情感态度与价值观
提高学生学习数学的积极性，培养他们勤于思考，敢于探索的思维习惯，使学生体会到数学的逻辑严谨的特征.
教学重难点
弦切角∠BCE= ∠A.
知识要点
弦切角定理：
弦切角等于它所夹的弧所对的圆周角 .
小练习
如图,直线AB和圆相切于点P，PC，PD为弦，指出图中所有的弦切角以及它们所夹的弧 .
解: 弦切角分别是：
∠APC、∠APD、 ∠BPD 、 ∠BPC .
所夹得弧分别是：
弧PC、弧PD、弧PD 、弧PC .
∠BAC=∠CAP+∠PAB=90+∠PAB
E
而∠PAB=∠PCB
∴∠BCE=∠BAC
C
综合 (1) (2) (3), 题意即证.
O
A
P
B
观察
如上三个图,图中每个角的共同特点是什么？
知识要点
弦切角定义：
顶点在圆上，一边和圆相交、另一边和圆相切的角 .
归纳
C