第4章 整数规划

整数规划的特点及应用
纯整数线性规划：指全部决策变量都必须取整数值的整数线性规划。 混合整数线性规划：决策变量中有一部分必须取整数值，另一部分可以不取 整数值的整数线性规划。 0-1型整数线性规划：决策变量只能取值0或1的整数线性规划。
• 整数规划的典型例子
整数规划的特点及应用
例4.1 工厂A1和A2生产某种物资。由于该种物资供不应求，故需要 再建一家工厂。相应的建厂方案有A3和A4两个。这种物资的需求地 有B1,B2,B3,B4四个。各工厂年生产能力、各地年需求量、各厂至各 需求地的单位物资运费cij，见下表：
B1
A1 A2 A3 2 8 7
B2
9 3 6
B3
3 5 1
B4
4 7 2
年生产能力
400 600 200
A4
年需求量
4
350
5
400
2
300
5
150
200
工厂A3或A4开工后，每年的生产费用估计分别为1200万或1500万元。 现要决定应该建设工厂A3还是A4，才能使今后每年的总费用最少。
• 解：这是一个物资运输问题，特点是事先不能确定 应该建A3还是A4中哪一个，因而不知道新厂投产后 的实际生产物资。为此，引入0-1变量：
• 应该怎样选择投资项目，才能使总预期收益最大。
• 解：对每个投资项目都有被选择和不被选择两种可能， 因此分别用0和1表示，令xj表示第j个项目的决策选择， 记为： j 1 对 项 目 投 资 xj ( j 1,2,..., n) j 0 对 项 目 不 投 资
投资问题可以表示为：
整数规划的特点及应用
• 例4.3 设整数规划问题如下
max Z x1 x 2 14x1 9 x 2 51 6 x1 3 x 2 1 x , x 0且 为 整 数 1 2
首先不考虑整数约束，得到线性规划问题（一般称为松弛问题）。
max Z x1 x 2 14x1 9 x 2 51 6 x1 3 x 2 1 x , x 0 1 2
Min {Z , W }
最优解如上，6门课程，总 学分21 。
多目标优化的处理方法：化成单目标优化。
• 以学分最多为目标，不管课程 多少。
最优解显然是选修所有9门课 程。
整数规划的特点及应用
• 整数规划问题解的特征：
整数规划问题的可行解集合是它松弛问题可行解集合的一个子集，任意两个 可行解的凸组合不一定满足整数约束条件，因而不一定仍为可行解。 整数规划问题的可行解一定是它的松弛问题的可行解（反之不一定），但其 最优解的目标函数值不会优于后者最优解的目标函数值。
• 2）分支与定界： •
• xi≤[xi] 和 xi≥[xi]+1
• 组成两个新的松弛问题，称为分枝。新的松弛问题具有特征：当原问 题是求最大值时，目标值是分枝问题的上界；当原问题是求最小值时， 目标值是分枝问题的下界。
•
检查所有分枝的解及目标函数值，若某分枝的解是整数并且目标函数 值大于（max）等于其它分枝的目标值，则将其它分枝剪去不再计算， 若还存在非整数解并且目标值大于(max)整数解的目标值，需要继续分 枝，再检查，直到得到最优解。
整数线性规划数学模型的一般形式：
整数规划的特点及应用
max Z (或 min Z ) c j x j
j 1
n
n a ij x j bi ( i 1.2 m ) j 1 x j 0 (j 1.2n) 且 部 分 或 全 部 为 整 数
• 整数线性规划问题的种类：
2x9 x1 x2 0
讨论：选修课程最少，学分尽量多，应学习哪些课程？
课程最少
学分最多
Min Z xi
i 1
9
Max W 5x1 4 x2 4 x3 3x4 4 x5 3x6 2 x7 2 x8 3x9
两目标(多目标)规划
• 以课程最少为目标，不管学分 多少。
分支定界法
• 例4.4 用分枝定界法求解整数规划问题
min Z x1 5 x 2 x 1 x 2 2 IP 5 x1 6 x 2 30 4 x1 x1 , x 2 0且 全 为 整 数
解：首先去掉整数约束，变成一般线性规划问题(原整数规划问题的松驰问题)
1 若 建 工 厂 yi ( i 1,2) 0 若 不 建 工 厂
再设xij为由Ai运往Bj的物资数量，单位为千吨；z表示总费用，单位万元。 则该规划问题的数学模型可以表示为：
整数规划的特点及应用
整数规划的特点及应用
min z c ij x ij [1200y1 1500y 2 ]
要求每人做一项工作，约束条件为：
86 x41 90 x42 80 x43 88 x44
x11 x12 x13 x14 1 x 21 x 22 x 23 x 24 1 x 31 x 32 x 33 x 34 1 x 41 x 42 x 43 x 44 1
x3 x1 , x3 x2
2x3 x1 x2 0
x4 x7 x4 x7 0
2 x5 x1 x2 0 x6 x7 0
模型求解（LINDO） 最优解： x1 = x2 = x3 = x6 = x7 = x9 =1, 其它为0；6门课程，总学分21
x8 x5 0
整数规划的特点及应用
• 每项工作只能安排一人，约束条件为：
x11 x 21 x 31 x 41 x12 x 22 x 32 x 42 x13 x 23 x 33 x 43 x14 x 24 x 34 x 44 1 1 1 1
先修课要求
微积分；线性代数 计算机编程 微积分；线性代数 计算机编程
应用统计 微积分；线性代数
要求至少选两门数学课、三门运筹学课和两门计算机课 为了选修课程门数最少，应学习哪些课程 ？ 选修课程最少，且学分尽量多，应学习哪些课程 ？
0-1规划模型
课号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 课名 微积分 线性代数 最优化方法 数据结构 应用统计 计算机模拟 计算机编程 预测理论 数学实验 所属类别 数学 数学 数学；运筹学 数学；计算机 数学；运筹学 计算机；运筹学 计算机 运筹学 运筹学；计算机
⑵
x2
工作
人员 甲 乙 丙 丁 A 85 95 82 86 B 92 87 83 90 C 73 78 79 80 D 90 95 90 88
整数规划的特点及应用
整数规划的特点及应用
设
1 x ij 0
分配第i人做j工作时 不分配第i人做j工作时
数学模型如下：
max Z 85 x11 92 x12 73x13 90 x14 95 x21 87 x22 78 x23 95 x24 82 x31 83x32 79 x33 90 x34
决策变量
xi=1 ~选修课号i 的 课程（xi=0 ~不选）
目标函数 选修课程总数最少
Min Z xi
i 1
9
约束条件
最少2门数学课， 3门运筹学课， 2门计算机课。
x1 x2 x3 x4 x5 2
x3 x5 x6 x8 x9 3
x4 x6 x7 x9 2
0-1规划模型
课号
优化方法 数据结构 应用统计 计算机模拟 计算机编程 预测理论 数学实验
先修课程要求 x3=1必有x1 = x2 =1
3 4 5 6 7 8 9
微积分；线性代数 计算机编程 微积分；线性代数 计算机编程 应用统计 微积分；线性代数
整数规划的特点及应用
• 用图解法求出最优解为：x1＝3/2, x2 = 10/3，且有Z = 29/6 现求整数解(最优解):如用舍 入取整法可得到4个点即(1， 3),(2，3),(1，4),(2，4)。显然， 它们都不可能是整数规划的最优 解。 按整数规划约束条件，其可行 解肯定在线性规划问题的可行域 内且为整数点。故整数规划问题 的可行解集是一个有限集，如右 图所示。其中(2,2),(3,1)点的目标函数
整数规划的特点及应用
max z
c
j 1
n
j
xj
n a j x j B j 1 x 2 x1 s .t x x 1 4 3 x5 x6 x7 2 x 0或 者1 （ j 1,2, n） j
• 例4.3 指派问题或分配问题。人事部门欲安排 四人到四个不同岗位工作，每个岗位一个人。 经考核四人在不同岗位的成绩（百分制）如表 所示，如何安排他们的工作使总成绩最好。
i 1 j 1 4 4
x11 x 21 x 31 x 41 350 x12 x 22 x 32 x 42 400 x13 x 23 x 33 x 43 300 x14 x 24 x 34 x 44 150 x x x x 400 11 12 13 14 s .t x 21 x 22 x 23 x 24 600 x 31 x 32 x 33 x 34 200y1 x 41 x 42 x 43 x 44 200y 2 x 0 ( i , j 1,2,3,4) ij y i 0,1 ( i 1,2)
值最大，即为Z=4。
x2
3
⑴
⑵
(3/2,10/3)
3
x1
• 整数规划问题的求解方法：
分支定界法和割平面法 匈牙利法（指派问题）
整数规划的特点及应用