第四章,整数规划

约束条件
2. 只能生产一种产品（产品互斥）
y1 + y2 = 1
xi yi 以及产量 与是否生产 之间的关系：
xi Myi (i 1, 2)
xi 3. 产量 非负，是否生产 为y 0-1 变量 i
xi 0 (i 1, 2) yi 0,1 (i 1, 2)
混合0-1规划模型
max z = 300 x1 + 500 x2 ì x1 £ 4 ï ï2 x2 £ 12 ï3x + 2 x £ 18 2 ï 1 ï y1 + y2 = 1 s.t . í ï x1 £ My1 ï x £ My 2 ï 2 ï x1 , x2 ³ 0 ï î y1 , y2 = 0,1
补充：0-1整数规划
相关概念 显性0-1变量
（1）变量只能取0或1，则称为0-1变量； 0-1变量作为逻辑变量，常被用来表示系统是否处于某个特定状态，或者决策时 是否取某个特定方案。例如
1 x 0 当决策取方案P 当决策不取方案P
当问题含有多项要素，而每项要素皆有两种选择时，可用一组0-1变量来描述， 一般地，设问题有有限项要素E1 , E2 , , En ，其中每项 Ei有两种选择 Ai 和 ，则可令 A i i 1, 2, , n
第四章 整数规划
教学要求：
掌握线性整数规划的建模方法，特别是0-1变量的运用； 了解整数规划在经济和管理中的基本应用方法。
本章内容
基本概念
一般的整数规划
显性0-1变量的整数规划
隐性0-1变量的整数规划
基本概念
整数规划（Integer
programming, IP）
定义：要求全部或部分决策变量为（非负）整数的规划。 分类：可分为一般整数规划和0-1整数规划（0-1规划） 或者可分为纯整数规划和混合整数规划 与一般规划的区别：可行解不再是连续的，而是离散的。
x2 分别表示门和窗的每周产量
决策变量
y2 2. 设 y1 、 分别表示是否生产门和窗 （1表示生产，0表示不生产）
目标函数
两种新产品的总利润最大，即
max z 300x1 500x2
问题分析
1. 原有的三个车间每周可用工时限制
x1 4 2 x2 12 3 x1 2 x2 18 （车间1 ） （车间2） （车间3）
小结
两个0-1变量x1和x2分别表示两个决策的指令状态，则 ① x1+x2=0，表示两者皆非； ② x1+x2=1，表示两者中有且仅有一个许可 ③ x1+x2=2，表示两者必须同时许可
④ x1+x2≤1，表示两者至多一个许可，但不排除两者皆非的情况
⑤ x1+x2≥1，表示两者至少一个许可，但不排除两者皆可的情况 ⑥ x1+x2 ≤2，表示两者可以以上述任何情况出现，实际上是同时放弃了对
最终的模型为
max z =300x 1 +500x 2 -700y1 -1300y 2 ì x1 £ 4 ï ï2 x2 £ 12 ï3x + 2 x £ 18 1 2 ï ï s.t . í x1 £ My1 ï x £ My 2 ï 2 ï x1 , x2 ³ 0 ï ï î y1 , y2 = 0,1
利润 所需资金（万元） 600 300 500 200
在长春设立分公司 在武汉设立分公司 在长春建配送中心 在武汉建配送中心
800 500 600 400
问题分析
决策变量：“是非决策”的显性0-1变量
是非决策问题 在长春设立分公司 在武汉设立分公司 在长春建配送中心 在武汉建配送中心 决策变量 x1 x2 x3 x4 可能取值 0或1 0或1 0或1 0或1
Excel规划求解
两个约束中选一个约束的问题
管理决策时，经常会遇到在两个约束中选一个的问题。
例如：某个投资方案有两个约束，但只要其中有一个成立就可以了， 另外一个约束则不作要求 可以把这种问题转化为有0-1变量的混合整数规划问题。这样，需要引 入一个0-1变量，来决定满足两个约束条件中的哪一个，这样的问题也 是一个隐性0-1变量问题，用 y 表示：
1 yi 0 若Ei 选择Ai 若Ei 选择 Ai
i 1, 2, , n
隐性0-1变量
显性0-1变量的整数规划


例2 分公司选址。某销售公司打算在武汉或长春设立分公司（也可 以在两个城市都设立分公司）以增加市场份额，管理层同时也在考 虑建立一个配送中心（也可以不建立配送中心），但配送中心的地 点限制在新设立分公司的城市。 经过计算，每种选择使公司获得的利润和所需资金如下表所示。总 预算不得超过1000万元。目标是在满足以上约束的条件下使总利润 最大。
x3 x1 x4 x2
4. 0-1变量
xi 0,1 (i 1, 2,3, 4)
因此，最终的0-1整数规划模型为
max z 800 x1 500 x2 600 x3 400 x4 600 x1 300 x2 500 x3 200 x4 1000 x x 1 3 4 s.t. x3 x1 x x 2 4 x1 , x2 , x3 , x4 0,1
问题分析——约束条件
1. 需要购买5000个灯泡：
x1 x2 x3 5000
2. 供应商1，一次最少订购2000个，最多订购3000个
2000 y1 x1 3000 y1
3. 供应商2，一次最少订购1000个，多购不限
1000 y2 x2 My2
4. 供应商3可供应3000个以内任意数量的灯泡，另加固定费用5000 元 x3 £ 3000 y3

固定成本问题
可变成本和产量成正比，所以某一产品的总成本可表示为
ki ci xi , fi xi 0,
若xi 0 若xi 0
ci ki ( xi ， 0)是固定成本， 其中， xi是第 种产品的产量 是单位成本。那么， i n 对于有 种产品生产问题的一般模型可以表示如下：
问题分析
决策变量
x x3 1. 设 x 、 1、2、3 1 、2 分别表示从供应商 购买灯泡的数量 y2 分别表示是否从供应商 y3 2. 设 y 、 1、 1 、 2、3购买灯泡（1表示生产，0表示不生 产）
目标函数
Hale Waihona Puke Baidu
公司所花的总费用最少，即
min z 3x1 5x2 1x3 5000 y3
运用Excel求解
产品互斥问题
在实际生产过程中，为了防止产品的过度多元化，有时需要限制产品 生产的种类，这种就是产品互斥问题 处理产品互斥问题时，采用处理固定成本问题的方法，引入隐性0-1 变量；第 i 种产品是否生产 yi（1表示生产，0表示不生产） 因此，在n种产品中，最多只能生产k种的约束为：
目标函数：总利润最大
max z 800 x1 500 x2 600 x3 400 x4
问题分析
约束条件
1. 总预算约束（不超过1000万元）
600x1 300x2 500x3 200x4 1000
2. 公司最多只建一个新配送中心
x3 x4 1
3. 公司只在新设立分公司的城市建配送中心
以及产量 xi 与是否生产 yi 之间的关系
xi Myi (i 1, 2,, n)

包含互斥产品的例1.1。假设将例1.1的问题作如下的变形：两种新 产品门和窗具有相同的用户，是互相竞争的。因此，管理层决定不 同时生产两种产品，而是只能选择其中的一种进行生产。
问题分析
问题分析
1. 设 x 、 1
规划求解
Excel规划求解
3 最少产量问题
在实际生产生活中，经常会碰到最少产量、最少订购量问题 处理最少产量问题时，采用处理固定成本问题的方法，引入隐性0-1 变量；第 i 种产品是否生产 yi（1表示生产，0表示不生产）
因此，对于第i种产品，如果生产，最少生产Si的约束为：
以及产量 xi 与是否生产 yi 之间的关系
min z f1 x1 f 2 x2 f n xn s.t.
给定的线性约束条件
将该问题转化为有0-1变量的混合整数规划问题。那么，每个问题就有一个隐性0-1变量，用 表示 y i
1, yi 0,
若xi 0 若xi 0
固定成本问题
目标函数变为：
min z (ki yi ci xi )
i 1 n
找一个相对极大值M，大于任何一个可能的
，于是，约束为： xi (i 1, 2, , n)
xi Myi
(i 1, 2, , n)
这保证了当 xi 0 时， yi 1
最终的模型为
min z = å ( ki yi + ci xi )
问题分析——约束条件
5. 公司决定从一家或两家购买： 6. 购买灯泡数
1 £ y1 + y2 + y3 £ 2
xi yi 非负，是否 购买为 0-1变量 x1 , x2 , x3 0
y1 , y2 , y3 0,1
混合0-1规划模型：
min z = 3x1 + 5x2 + 1x3 + 5000 y3 ì x1 + x2 + x3 = 5000 ï ï2000 y1 £ x1 £ 3000 y1 ï1000 y £ x £ 5000 y 2 2 2 ï ï s.t . í x3 £ 3000 y3 ï1 £ y + y + y £ 2 1 2 3 ï ï x1 , x2 , x3 ³ 0 ï ï î y1 , y2 , y3 = 0,1

某公司需要购买5000个灯泡。公司已经收到三个供应商 的投标，供应商1提供的灯泡，每个3元，一次最少订购 2000个，最多3000个；供应商2提供的灯泡，每个5元， 一次最少要订购1000个，多购不限；供应商3可供应3000 个以内任意数量的灯泡，每个1元，另加固定费用5000元。 公司决定从一家或两家购买。该公司正在考虑采取什么 样的订购方案，可以使其所花的费用最少。
问题分析
1 决策变量
由于涉及启动资金（固定成本），本问题的决策变量由两类： 第一类是所需生产的门和窗的数量：设x1, x2 第二类是决定是否生产门和窗，这种逻辑关系可用隐性0-1变量来表 示：设y1, y2 (1表示生产，0表示不生产)
2 目标函数
总利润最大：max z=300x1 + 500x2 -700y1 - 1300y2
问题分析
3 约束条件
①原有的三个车间每周可用工时限制
x1 ≤ 4 2x2 ≤ 12 3x1 + 2x2 ≤ 18
②变化一，新产品需要启动资金，即产量xi与是否生产yi之间的关系
xi ≤ Myi (i=1, 2)
②产量xi非负，是否生产yi为0-1变量
xi ≥ 0 yi = 0, 1
(i=1, 2) (i=1, 2)
这两个逻辑变量的约束
隐性0-1变量的整数规划
固定成本问题
产品互斥问题
最少产量问题
两个约束中选一个约束的问题 N个约束中选K个约束的问题
固定成本问题
基本概念
在一般情况下，产品的成本由固定成本和可变成本两部分组成。 固定成本：指在固定投入要素上的支出，它不受产量的影响，例如 厂房和设备的租金、贷款利息、管理费用等； 可变成本：指在可变投入要素上的支出，它是随着产量的变化而变 化的成本，例如原材料费用、生产工人的工资、销售佣金等。
i=1 n
ì keguanyueshutiaojian ï ( i = 1,2, ×××, n) ï ï xi £ Myi s.t . í ( i = 1,2, ×××, n) ï yi = 0,1 ï ï î xi ³ 0
例3----->将例1.1进行变形后

某工厂要生产两种新产品：门和窗。经测算，每生产一扇门需要在车间1加工1 小时、在车间3加工3小时；每生产一扇窗需要在车间2和车间3各加工2小时。而 车间1、车间2、车间3每周可用于生产这两种新产品的时间分别是4小时、12小 时、18小时。此外，生产新产品（门和窗）各需要一笔启动资金，分别为700元 和1300元。已知每扇门的利润为300元，每扇窗的利润为500元。根据经市场调 查得到的这两种新产品的市场需求状况可以确定，按当前的定价可确保所有新 产品均能销售出去。问该工厂应如何安排这两种新产品的生产计划，才能使总 利润最大？