高等数学7-4n一阶线性微分方程

P ( x )dxdx C , 积分得 u( x ) Q( x )e
一阶线性非齐次微分方程的通解为:
ye
P ( x ) dx
Q( x )e P ( x )dx dx C
P ( x ) dx
Ce
P ( x ) dx
e
对应齐次 方程通解
1 dy 4 y x2 , y dx x
令z
y,
2
dz 4 2 z x2 , dx x
2
x 即 y x4 x C . 解得 z x C , 2 2
例4
用适当的变量代换解下列微分方程:
2 x2
1. 2 yy 2 xy xe
x 2 x 2).
2
二、伯努利方程
伯努利(Bernoulli)方程的标准形式
dy n P ( x ) y Q( x ) y dx
( n 0,1)
当n 0,1时， 方程为线性微分方程. 当n 0,1时， 方程为非线性微分方程.
解法: 需经过变量代换化为线性微分方程.
dy 1 n P ( x ) y Q( x ), 两端除以y ，得 y dx dz n dy 1 n ， 令z y , 则 (1 n) y dx dx dz (1 n) P ( x ) z (1 n)Q( x ), 代入上式 dx
一阶线性微分方程的解法
dy P ( x ) y 0. 1. 线性齐次方程 dx
(使用分离变量法)
dy P ( x )dx , y
dy y P ( x )dx ,
ln y P ( x )dx C1 ,
齐次方程的通解为 y
Ce
P ( x ) dx
将 u x y 代回, 所求通解为
y ln( x y 1) C , 或 x C1e y 1
y
dx 另解 方程变形为 x y. dy
小 结
y 1.齐次方程 y f ( ) x
2.线性非齐次方程 3.伯努利方程
令 y xu;
P ( x ) dx
1 dx x


例2 如图所示，平行于 y 轴的动直线被曲 3 线 y f ( x )与 y x ( x 0)截下的线段PQ之 长数值上等于阴影部分的面积, 求曲线 f ( x ). 解
0
x
f ( x )dx ( x y ) ,
3 2
y
y x3
Q
0
x
ydx x 3 y,
;
1 x 2 1 解 y xy xe y , 2 dz dy 1( 1) 2 令z y y , 则 2y , dx dx
2 xdx dz x x2 2 xdxdx C ] [ xe e 2 xz xe , z e dx x2 2 x 所求通解为 y e ( C ). 2
令 y u( x )e
;
令 y 1 n z;
思考题
cos y 求微分方程 y 的通解. cos y sin 2 y x sin y
思考题解答
dx cos y sin 2 y x sin y sin 2 y x tan y , dy cos y dx tan y x sin 2 y , dy
作业
P282:2(2,4,6),4,6,7(1,3,5),9(3,4,5)
三、设有一质 量为 m 的 质点作直线运动从速度等于零 的时刻起,有一个与运动方向一致,大小与时间成正 比(比例系数为 k 1 )的力作用于它,此外还受 一与速度成正比(比例系数为 k 2 )的阻力作用,求质 点运动的速度与时间的函数关系 . 四、求下列伯努利方程的通解: 1 1 1 y y 2 x 2 y 2 ； 1、 x 3 2、 xdy [ y xy (1 ln x )]dx 0 .
即 y e v ( x ) e P ( x ) dx . 非齐次方程通解形式
y Ce P ( x )dx 相比: C u( x ) 与齐次方程通解
常数变易法 把齐次方程通解中的常数变易为待定函数的方法. 实质: 未知函数的变量代换.
新未知函数 u( x ) 原未知函数 y( x ),
练习题答案
一、1、 y ( x C )e sin x ； 2、2 x ln y ln 2 y C ； 1 3、 x Cy 3 y 2 . 2 二、1、 y sin x 5e cos x 1 ；
1 3 3 x2
2、 2 y x x e . k 0t k1 k1 m 三、 v t 2 (1 e m ) . k2 k2 四、1、 xy x C ； x2 2 3 2 2、 2 C x (ln x ) . y 3 3
非齐次方程特解
P ( x ) dx dx Q( x )e
1 sin x 例1 求方程 y y 的通解. x x sin x 1 Q( x ) , 解 P( x) , x x
sin x 1 dx ye e x dx C x ln x sin x ln x e e dx C x 1 1 sin xdx C cos x C . x x
x e ln cos y
sin 2 y e
ln cos y
dy C

2 sin y cos y cos y dy C cos y C 2 cos y. cos y
练 习 题
一、求下列微分方程的通解: 1、 y y cos x e sin x ； 2、 y ln ydx ( x ln y )dy 0 ； dy 2 3、( y 6 x ) 2 y 0 . dx 二、求下列微分方程满足所给初始条件的特解: dy 1、 y cot x 5e cos x , y 4 ； x dx 2 dy 2 3 x 2 y 1 , y x 1 0. 2、 3 dx x
作变换
y u( x )e
P ( x ) dx
P ( x ) dx
P ( x ) dx
y u( x )e
u( x )[ P ( x )]e
,
dy P ( x ) y Q( x ) dx P ( x ) dx Q( x ), 将y和y代入原方程得 u( x )e
将 z xy 代回,
所求通解为 2 xy sin(2 xy ) 4 x C .
dy 1 3. ; dx x y
解
P281-4
dy du 则 1, dx dx
令 x y u,
du 1 代入原式 1 , dx u 分离变量法得 u ln(u 1) x C ,
2
2
dy 1 y dy 1 y 2. ; x 2 2 dx sin ( xy) dx x sin ( xy ) x dz dy 解 令 z xy , 则 y x , dx dx
dz 1 , 2 dx sin z
分离变量法得 2 z sin 2 z 4 x C ,
五、用适当的变量代换将下列方程化为可分离变量的 方程,然后求出通解: dy 1 1； 1、 dx x y 2、 y y 2 2(sin x 1) y sin 2 x 2 sin x cos x 1 ； dy 1 y . 3、 dx x sin 2 ( xy ) x 六、已知微分方程 y y g ( x ) ,其中 2 , 0 x 1 y y( x ) g( x ) ,试求一连续函数 ,满 0 , x 0 y(0) 0 [0 , ) 足条件 ,且在区间 满足上述方程 .
1
五、1、( x y ) 2 2 x C ； 1 2、 y 1 sin x ； xC 3、2 xy sin( 2 xy) 4 x C . 2(1 e x ) , 0 x 1 六、 y y( x ) . x 2(e 1)e , x 1
. (C e )
C1
dy P ( x ) y Q( x ). 2. 线性非齐次方程 dx dy Q( x ) P ( x ) dx, 讨论 y y Q( x ) dx P ( x )dx , 两边积分 ln y y Q( x ) 设 dx为v ( x ), ln y v ( x ) P ( x )dx , y
n
n
z y1 n 代入即得 求出通解后，将
y
1 n
z (1 n ) P ( x ) dx dx C ). ( Q ( x )(1 n)e
e
( 1 n ) P ( x ) dx
dy 4 2 y x y 的通解. 例 3 求方程 dx x
解 两端除以 y，得
2
两边求导得 y y 3 x ,
解此微分方程
o
P
y f (x )
x
x
y y 3x 2
3 x 2e dx dx C ye
dx
3 x 6 x 6 Ce ,
2
x
由 y | x0 0,
得 C 6,
x
所求曲线为 y 3( 2e
§4. 一阶线性微分方程 一、线性方程
一阶线性微分方程的标准形式:
dy P ( x ) y Q( x ) dx
当Q( x ) 0, 方程(1)称为齐次的.
(1)
当Q( x ) 0, 方程(1)称为非齐次的.