运筹学1
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解：设 x1和x2分别表示产品甲和乙的产量， 这样可以建立如下的数学模型。 目标函数：Max 20x1 +30 x2 约束条件：s.t. 3 x1 + 7 x2 ≤ 240（劳动力限制） 2 x1 + 4 x2 ≤ 150（原材料限制） 4 x1 + 3 x2 ≤ 250（设备限制） x1，x2≥ 0（非负约束）
16/10
若将目标函数变为max Z = 2x1 + 4x2 ，则表示目标函数的等值线与约束 条件x1 + 2x2 ≤8的边界线x1 + 2x2 = 8平行。当Z值由小变大时，与线段Q 2Q3重合，如图1.3所示，线段Q2Q3上任意一点都使Z取得相同的最大值， 即这个线性规划问题有无穷多最优解。
17/10
运筹学第一次作业指导
储宜旭
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运筹学
2/10
3/10
4/10
5/10
实际问题线性规划模型的基本步骤： (1) 确定决策变量。这是很关键的一步，决策变量选取 得当，不仅会使线性规划的数学模型建得容易，而且 求解比较方便。 (2) 找出所有限制条件，并用决策变量的线性等式或不 等式来表示，从而得到约束条件。一般可用表格形式 列出所有的限制数据，然后根据所列出的数据写出相 应的约束条件，以避免遗漏或重复所规定的限制要求。 (3) 把实际问题所要达到的目标用决策变量的线性函数 来表示，得到目标函数，并确定是求最大值还是最小 值。
10/10
11/10
12/10
线性规划问题的图解法
为了给后面的线性问题的基本理论提供较直观的几何说明， 先介绍线性规划问题的图解法。 我们把满足约束条件和非负条件的一组解叫做可行解，所有 可行解组成的集合称为可行域。 图解法的一般步骤如下。 (1) 建立平面直角坐标系。 (2) 根据线性规划问题的约束条件和非负条件画出可行域。 (3) 作出目标函数等值线Z = c(c 为常数)，然后根据目标函 数平移等值线至可行域边界，这时目标函数与可行域的交点 即最优解。
(1) 目标函数取最大化。 (2) 所有约束条件用等式来表示。 (3) 所有决策变量取非负值。 (4) 每一约束条件的右端常数(资源限量)为非负值。
Hale Waihona Puke 8/109/10线性规划问题的数学模型都可以变换为标准型，具体步骤如下：
(1) 目标函数为最小化即min Z = CX 时。变换为求目标函 数最大化，令Z′ = −Z ，则max Z′ = −CX 。 (2) 约束方程为不等式时。这里有两种情况：一种是“≤”形 式的不等式，则可在“≤”不等号的左端加入一个非负松弛变 量，把原“≤”不等式变为等式；另一种是“≥”形式的不等式， 则可在“≥”不等号的左端减去一个非负剩余变量，把“≥”不 等式变为等式。 (3) 若存在取值无约束的决策变量量 Xk ，可令Xk = Xk′ − Xk ′′，其中Xk′ ,Xk′′ ≥ 0。 (4) 若存在bl ＜0 的约束条件，则在约束条件的两边同乘−1。 以上讨论说明，任何形式的线性规划问题的数学模型都可 以化为标准型
这时的目标函数值 Zmin= 50× 90+150× 70+50× 80+200× 75= 34 000(t· km)。 由以上可见：伏格尔法同最小元素法除在确定供求关系的原则上不同外，其余步 骤相同。伏格尔法给出的初始解比最小元素法给出的初始解更接近最优解。在上 例中用伏格尔法求出的初始解即为该运输问题的最优解。
这表示先将乙煤矿的生产量供应给B城市。因为150＜250，说明乙煤矿 的产量除供应B 城市外，还有250−150=100 吨的剩余。即因此令x22=1 50，划去第二列，并将乙煤矿的存余量修改为100(如阴影部分)，见下
表。
33/10
第二步，在余下的 4 个格子中选择最小运距75 对应的x23
作为第二个基变量，由于min(200,100)=100，因此令x23= 100，划去第二行。调整C城市的需求得
34/10
第三步，在余下的 2 个格子中再选择最小运距90 对应的
x11 作为第三个基变量，min(100,200)=100，所以令x11=1 00，A 城市的全部需求满足，甲煤矿中尚有存余量，划去 表中第一列，并修改甲煤矿存余量得下表。
35/10
第四步，现在只剩下1 个格子，是运距100 所对应的决策变量x13，甲煤矿的
18/10
如果在以上数学模型中增加一个约束条件： −2x1 + x2 ≥4，、则该线性规划问题的可行域为空集， 即无可行解，也不存在最优解。
19/10
通过上述图解法我们看到，线性规划问题的解有四种情况： 唯一最优解、无穷多最优解、无界解和无可行解。
a) 当线性规划问题的可行域为非空时，它是有界或无界凸 多边形。 1.若线性规划问题存在最优解，它一定可以在可行域的某 个顶点得到； 2.若在两个顶点同时得到最优解，则它们的连线上任意一 点都是最优解，即有无穷多最优解； b) 若可行域无界，则无最优解。
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参考答案：
化为标准型： 目标函数：Max 20x1 +30 x2 约束条件：s.t. 3 x1 + 7 x2 + x3 = 240 2 x1 + 4x2 + x4 = 150 4 x1 + 3 x2 + x5 = 250 x1，x2，x3，x4，x5≥ 0
距。
31/10
作业表：
32/10
初始方案的确定方法有很多，一般希望的方法是既简单、又尽可能地接 近最优解。这里介绍：1. 最小元素法。 基本思想是就近供应，即从单位运价表或运距表中的最小元素开始确定 供销关系，然后次小，一直到给出初始基可行解为止。下面以上例进行 讨论。
第一步，在表中先选择最小运距(cij)65 所对应的x22作为第一个基变量，
27/10
运输问题的具体计算步骤如下。
(1) 找出初始基可行解。在(m× n)产销平衡 表上的m+n−1 个格中填入一定的数值。 (2) 求各非基变量(表上空格对应的变量)的 检验数，判别是否达到最优解。如果是，则 停止计算；否则转到下一步。 (3) 确定换入变量和换出变量，找出新的基 可行解。 (4) 重复(2)、(3)步骤直到得到最优解为止。
运输问题模型及其特点
运输问题实质是一种应用广泛的网络最优化模型，其主 要任务是为物资调运和车辆调度选择最经济的运输路线。 有些问题如m台车床加工n种零件问题、工厂的合理布局问 题等，虽然不属于运输问题，但经过适当的变化也可以使 用运输问题的模型求得最优解。
24/10
运输问题的数学模型
运输问题的一般提法为：某种物资有 m 个产地Ai ，供 应量分别是ai (i=1,2,…,m)，有n个销地Bj ，销售量分别为 bj (j=1, 2,…,n)。现在需要把这种物资从各个产地运到各个 销地，假设产量总量等于销量总量（产销平衡问题）
20/10
作业题1
某企业生产甲、乙两种产品，其单位利润分别为20元和30元。每生产一 件甲产品需劳动力3个，原材料2千克，设备4小时；每生产一件乙产品 需劳动力7个，原材料4千克，设备3小时。企业现有劳动力240个，原 材料150千克，设备可用时间为250小时。问如何安排生产计划，才能 使所获总利润最大？写出线性规划模型；化成标准形式；用图解法进行 求解。
余存量100恰好满足C 城市需求缺口100，令x13=100。至此，需求全部满足， 且供需平衡，故得到初始调运方案，见下表，即x11=100，x13=100，x22=150， x23=100，变量个数恰为m＋n−1=2＋3−1=4 个。
这时的目标函数值 Zmin=90× 100＋100× 100＋65× 150＋75× 100=36250(t· km)
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图解法：
阴影部分为可行域， 虚线为目标函数线。 由图可知最优解为约 束2和约束3的交点， 解得坐标为（55,1 0），故最优生产计 划为生产甲产品55 件，乙产品10件，最 大利润为 20× 55+30× 10 =1400元。
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6/10
根据实际问题添加非负约束。 线性规划的数学表达式称为线性规划的数学模型，一般形式为:
其中，式(1-1)称为目标函数；式(1-2)、式(1-3)统称为约束条件； 而式(1-3)称为非负约束。
7/10
线性规划问题的标准型:
线性规划问题的数学模型有各种不同的形式。目标函数有求max的， 有求min 的；约束条件可以是“≤”形式的不等式，也可以是“≥”形式 的不等式，还可以是等式；决策变量一般是非负约束，但也允许在 (−∞，∞)范围内取值，即无约束。为了便于讨论和求解，需要将线 性规划问题的数学模型写成一个统一格式，称为线性规划问题的标 准型。其统一格式规定如下。
13/10
【例 1.1】某工厂在计划期内要安排生产Ⅰ、Ⅱ两种产品，已知生产单 位产品所需的设备台数及A、B 两种原材料的消耗量，见表1-1。该工 厂每生产一件产品Ⅰ可获利润2元，每生产一件产品Ⅱ可获利润3元， 问应如何安排生产计划使该工厂获得的利润最大？
14/10
解：在以 x1，x2为坐标轴的直角坐标系中，非负条件x1，x2≥0 是指 解值在第一象限,每个约束条件都代表一个半平面，如约束条件x1 + 2 x2 ≤8是代表从直线 x1 + 2x2 = 8为边界的左下方的半平面，则它满足 所有约束条件和非负条件的可行解集合即可行域，如下图所示的阴 影部分。
可以证明，用最小元素法确定的 m+n−1 个基变量对应的系数列向量是线性独
立的。
36/10
2.伏格尔法
最小元素法的缺点是：为了节省一处的费用，有时造成在其他处要多花几倍的运 费(运距)。 伏格尔法的基本思想是：一产地的产品不能按最小运费(运距)就近供应，就考虑 次小运费(运距)，这就有一个差额。差额越大，说明不按最小运费(运距)调运时， 运费(运距)增加越多。因而对差额最大处，就应当采用最小运费(运距)调运。 基于此，伏格尔法的步骤如下。 第一步，在作业表中分别计算出各行和各列的最小运距和次小运距的差额，填入 表的最右列和最下列，见下表：
即从Ai 到Bj 的单位物资的运价为cij ，问应如何组织调运， 25/10 才能使总运费最省？
例如，设 xij 为从产地Ai 运往销地B j的物资数量( i=1, 2,…, m；j=1, 2,…, n)，则该运输问题的数学模型为:
26/10
运输问题的表上作业法
表上作业法是单纯形法在求解运输问题时的一种简化方法， 其实质仍是单纯形法。求解的基本思想是：先设法给出一 个初始方案，然后根据确定的判别准则对初始方案进行检 查、调整、改进，直至求出最优方案，具体过程如下图所 示：
28/10
例：甲、乙两个煤矿供应A、B、C三个城市用煤，各煤矿 产量及各城市需煤量、各煤矿到各城市的运输距离见下表， 求使总运输量最少的调运方案。
29/10
30/10
初始方案的确定：初始方案就是初始基本可行解。将运输问题的
有关信息表和决策变量——调运量结合在一起，构成“作业表”。
其中 xij 是决策变量，表示待确定的从第i 个产地到第j 个 销地的调运量； c ij表示第i 个产地到第j 个销地的运价或运
37/10
第二步，从行或列差额中选出最大者，选择它所在行或列中的最小元素。表中第 三列是最大差额所在列，列中的最小元素为75，可确定乙煤矿的产量应优先供应 C 城市的需要，因此x23=200，同时将第三列划去，得下表。
38/10
第三步，对表中未划去的元素再分别计算出各行、各列的最小运费和次小运费的 差额，并填入该表的最右列和最下行。重复第一、二步，直到给出初始解为止。 用此方法得初始解见下表。
15/10
再分析目标函数Z = 2x1 + 3x2，令Z = c，随着c 的取值不同，可得到平面上一族 平行线。位于同一直线上的点具有相同的目标函数值，即称“等值线”，当c 值由 小变大时，直线 2x1 + 3x2 = c沿其法线方向向右上方移动。当移动到Q2点时， 使Z 值在可行域上实现最大化(如下图所示)，这就得到了例1.1的最优解Q2(4，2)， Z=14。这说明该厂的最优生产计划方案是：生产Ⅰ产品4件，生产Ⅱ产品2 件， 可得最大利润14 元，该线性规划问题有唯一最优解。
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若将目标函数变为max Z = 2x1 + 4x2 ，则表示目标函数的等值线与约束 条件x1 + 2x2 ≤8的边界线x1 + 2x2 = 8平行。当Z值由小变大时，与线段Q 2Q3重合，如图1.3所示，线段Q2Q3上任意一点都使Z取得相同的最大值， 即这个线性规划问题有无穷多最优解。
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实际问题线性规划模型的基本步骤： (1) 确定决策变量。这是很关键的一步，决策变量选取 得当，不仅会使线性规划的数学模型建得容易，而且 求解比较方便。 (2) 找出所有限制条件，并用决策变量的线性等式或不 等式来表示，从而得到约束条件。一般可用表格形式 列出所有的限制数据，然后根据所列出的数据写出相 应的约束条件，以避免遗漏或重复所规定的限制要求。 (3) 把实际问题所要达到的目标用决策变量的线性函数 来表示，得到目标函数，并确定是求最大值还是最小 值。
10/10
11/10
12/10
线性规划问题的图解法
为了给后面的线性问题的基本理论提供较直观的几何说明， 先介绍线性规划问题的图解法。 我们把满足约束条件和非负条件的一组解叫做可行解，所有 可行解组成的集合称为可行域。 图解法的一般步骤如下。 (1) 建立平面直角坐标系。 (2) 根据线性规划问题的约束条件和非负条件画出可行域。 (3) 作出目标函数等值线Z = c(c 为常数)，然后根据目标函 数平移等值线至可行域边界，这时目标函数与可行域的交点 即最优解。
(1) 目标函数取最大化。 (2) 所有约束条件用等式来表示。 (3) 所有决策变量取非负值。 (4) 每一约束条件的右端常数(资源限量)为非负值。
Hale Waihona Puke 8/109/10线性规划问题的数学模型都可以变换为标准型，具体步骤如下：
(1) 目标函数为最小化即min Z = CX 时。变换为求目标函 数最大化，令Z′ = −Z ，则max Z′ = −CX 。 (2) 约束方程为不等式时。这里有两种情况：一种是“≤”形 式的不等式，则可在“≤”不等号的左端加入一个非负松弛变 量，把原“≤”不等式变为等式；另一种是“≥”形式的不等式， 则可在“≥”不等号的左端减去一个非负剩余变量，把“≥”不 等式变为等式。 (3) 若存在取值无约束的决策变量量 Xk ，可令Xk = Xk′ − Xk ′′，其中Xk′ ,Xk′′ ≥ 0。 (4) 若存在bl ＜0 的约束条件，则在约束条件的两边同乘−1。 以上讨论说明，任何形式的线性规划问题的数学模型都可 以化为标准型
这时的目标函数值 Zmin= 50× 90+150× 70+50× 80+200× 75= 34 000(t· km)。 由以上可见：伏格尔法同最小元素法除在确定供求关系的原则上不同外，其余步 骤相同。伏格尔法给出的初始解比最小元素法给出的初始解更接近最优解。在上 例中用伏格尔法求出的初始解即为该运输问题的最优解。
这表示先将乙煤矿的生产量供应给B城市。因为150＜250，说明乙煤矿 的产量除供应B 城市外，还有250−150=100 吨的剩余。即因此令x22=1 50，划去第二列，并将乙煤矿的存余量修改为100(如阴影部分)，见下
表。
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第二步，在余下的 4 个格子中选择最小运距75 对应的x23
作为第二个基变量，由于min(200,100)=100，因此令x23= 100，划去第二行。调整C城市的需求得
34/10
第三步，在余下的 2 个格子中再选择最小运距90 对应的
x11 作为第三个基变量，min(100,200)=100，所以令x11=1 00，A 城市的全部需求满足，甲煤矿中尚有存余量，划去 表中第一列，并修改甲煤矿存余量得下表。
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第四步，现在只剩下1 个格子，是运距100 所对应的决策变量x13，甲煤矿的
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如果在以上数学模型中增加一个约束条件： −2x1 + x2 ≥4，、则该线性规划问题的可行域为空集， 即无可行解，也不存在最优解。
19/10
通过上述图解法我们看到，线性规划问题的解有四种情况： 唯一最优解、无穷多最优解、无界解和无可行解。
a) 当线性规划问题的可行域为非空时，它是有界或无界凸 多边形。 1.若线性规划问题存在最优解，它一定可以在可行域的某 个顶点得到； 2.若在两个顶点同时得到最优解，则它们的连线上任意一 点都是最优解，即有无穷多最优解； b) 若可行域无界，则无最优解。
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参考答案：
化为标准型： 目标函数：Max 20x1 +30 x2 约束条件：s.t. 3 x1 + 7 x2 + x3 = 240 2 x1 + 4x2 + x4 = 150 4 x1 + 3 x2 + x5 = 250 x1，x2，x3，x4，x5≥ 0
距。
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作业表：
32/10
初始方案的确定方法有很多，一般希望的方法是既简单、又尽可能地接 近最优解。这里介绍：1. 最小元素法。 基本思想是就近供应，即从单位运价表或运距表中的最小元素开始确定 供销关系，然后次小，一直到给出初始基可行解为止。下面以上例进行 讨论。
第一步，在表中先选择最小运距(cij)65 所对应的x22作为第一个基变量，
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运输问题的具体计算步骤如下。
(1) 找出初始基可行解。在(m× n)产销平衡 表上的m+n−1 个格中填入一定的数值。 (2) 求各非基变量(表上空格对应的变量)的 检验数，判别是否达到最优解。如果是，则 停止计算；否则转到下一步。 (3) 确定换入变量和换出变量，找出新的基 可行解。 (4) 重复(2)、(3)步骤直到得到最优解为止。
运输问题模型及其特点
运输问题实质是一种应用广泛的网络最优化模型，其主 要任务是为物资调运和车辆调度选择最经济的运输路线。 有些问题如m台车床加工n种零件问题、工厂的合理布局问 题等，虽然不属于运输问题，但经过适当的变化也可以使 用运输问题的模型求得最优解。
24/10
运输问题的数学模型
运输问题的一般提法为：某种物资有 m 个产地Ai ，供 应量分别是ai (i=1,2,…,m)，有n个销地Bj ，销售量分别为 bj (j=1, 2,…,n)。现在需要把这种物资从各个产地运到各个 销地，假设产量总量等于销量总量（产销平衡问题）
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作业题1
某企业生产甲、乙两种产品，其单位利润分别为20元和30元。每生产一 件甲产品需劳动力3个，原材料2千克，设备4小时；每生产一件乙产品 需劳动力7个，原材料4千克，设备3小时。企业现有劳动力240个，原 材料150千克，设备可用时间为250小时。问如何安排生产计划，才能 使所获总利润最大？写出线性规划模型；化成标准形式；用图解法进行 求解。
余存量100恰好满足C 城市需求缺口100，令x13=100。至此，需求全部满足， 且供需平衡，故得到初始调运方案，见下表，即x11=100，x13=100，x22=150， x23=100，变量个数恰为m＋n−1=2＋3−1=4 个。
这时的目标函数值 Zmin=90× 100＋100× 100＋65× 150＋75× 100=36250(t· km)
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图解法：
阴影部分为可行域， 虚线为目标函数线。 由图可知最优解为约 束2和约束3的交点， 解得坐标为（55,1 0），故最优生产计 划为生产甲产品55 件，乙产品10件，最 大利润为 20× 55+30× 10 =1400元。
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根据实际问题添加非负约束。 线性规划的数学表达式称为线性规划的数学模型，一般形式为:
其中，式(1-1)称为目标函数；式(1-2)、式(1-3)统称为约束条件； 而式(1-3)称为非负约束。
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线性规划问题的标准型:
线性规划问题的数学模型有各种不同的形式。目标函数有求max的， 有求min 的；约束条件可以是“≤”形式的不等式，也可以是“≥”形式 的不等式，还可以是等式；决策变量一般是非负约束，但也允许在 (−∞，∞)范围内取值，即无约束。为了便于讨论和求解，需要将线 性规划问题的数学模型写成一个统一格式，称为线性规划问题的标 准型。其统一格式规定如下。
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【例 1.1】某工厂在计划期内要安排生产Ⅰ、Ⅱ两种产品，已知生产单 位产品所需的设备台数及A、B 两种原材料的消耗量，见表1-1。该工 厂每生产一件产品Ⅰ可获利润2元，每生产一件产品Ⅱ可获利润3元， 问应如何安排生产计划使该工厂获得的利润最大？
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解：在以 x1，x2为坐标轴的直角坐标系中，非负条件x1，x2≥0 是指 解值在第一象限,每个约束条件都代表一个半平面，如约束条件x1 + 2 x2 ≤8是代表从直线 x1 + 2x2 = 8为边界的左下方的半平面，则它满足 所有约束条件和非负条件的可行解集合即可行域，如下图所示的阴 影部分。
可以证明，用最小元素法确定的 m+n−1 个基变量对应的系数列向量是线性独
立的。
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2.伏格尔法
最小元素法的缺点是：为了节省一处的费用，有时造成在其他处要多花几倍的运 费(运距)。 伏格尔法的基本思想是：一产地的产品不能按最小运费(运距)就近供应，就考虑 次小运费(运距)，这就有一个差额。差额越大，说明不按最小运费(运距)调运时， 运费(运距)增加越多。因而对差额最大处，就应当采用最小运费(运距)调运。 基于此，伏格尔法的步骤如下。 第一步，在作业表中分别计算出各行和各列的最小运距和次小运距的差额，填入 表的最右列和最下列，见下表：
即从Ai 到Bj 的单位物资的运价为cij ，问应如何组织调运， 25/10 才能使总运费最省？
例如，设 xij 为从产地Ai 运往销地B j的物资数量( i=1, 2,…, m；j=1, 2,…, n)，则该运输问题的数学模型为:
26/10
运输问题的表上作业法
表上作业法是单纯形法在求解运输问题时的一种简化方法， 其实质仍是单纯形法。求解的基本思想是：先设法给出一 个初始方案，然后根据确定的判别准则对初始方案进行检 查、调整、改进，直至求出最优方案，具体过程如下图所 示：
28/10
例：甲、乙两个煤矿供应A、B、C三个城市用煤，各煤矿 产量及各城市需煤量、各煤矿到各城市的运输距离见下表， 求使总运输量最少的调运方案。
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初始方案的确定：初始方案就是初始基本可行解。将运输问题的
有关信息表和决策变量——调运量结合在一起，构成“作业表”。
其中 xij 是决策变量，表示待确定的从第i 个产地到第j 个 销地的调运量； c ij表示第i 个产地到第j 个销地的运价或运
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第二步，从行或列差额中选出最大者，选择它所在行或列中的最小元素。表中第 三列是最大差额所在列，列中的最小元素为75，可确定乙煤矿的产量应优先供应 C 城市的需要，因此x23=200，同时将第三列划去，得下表。
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第三步，对表中未划去的元素再分别计算出各行、各列的最小运费和次小运费的 差额，并填入该表的最右列和最下行。重复第一、二步，直到给出初始解为止。 用此方法得初始解见下表。
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再分析目标函数Z = 2x1 + 3x2，令Z = c，随着c 的取值不同，可得到平面上一族 平行线。位于同一直线上的点具有相同的目标函数值，即称“等值线”，当c 值由 小变大时，直线 2x1 + 3x2 = c沿其法线方向向右上方移动。当移动到Q2点时， 使Z 值在可行域上实现最大化(如下图所示)，这就得到了例1.1的最优解Q2(4，2)， Z=14。这说明该厂的最优生产计划方案是：生产Ⅰ产品4件，生产Ⅱ产品2 件， 可得最大利润14 元，该线性规划问题有唯一最优解。