高中数学三角函数4.3单位圆与正弦函数、余弦函数的基本性质4.4单位圆的对称性与诱导公式一课件

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单位圆的对称性与诱导公式

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ICHU ZHISHI
HONGDIAN NANDIAN
S 随堂练习
UITANG LIANXI
方法技巧常见的角之间的关系有
π π ; -α 2 4
π -α 3
+
π + 6
α =
+
π +α 4
= ;A+B+C=π,
π 2
��+��+�� 2
= (A,B,C 是△ABC 的三个内角)
3π π + 2 3
(2)sin π; ; (4)sin 100 π 3
35 6
.
思路分析:根据所给的角的特点选择恰当的诱导公式求值.
-11-
4.3 单位圆与正弦函数、余弦函数的基本性质 4.4 单位圆的对称性与诱导公式探究一探究二探究三探究四
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探究二给值求值
观察已知角和未知角的关系,运用诱导公式将不同名的三角函数化为同名的三角函数,将不同的角化为相同的角.
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解:(1)∵ -α + ∴ cos
π + 6
π 3
π + 6
α = , =sin

高中数学1章三角函数44.3单位圆与正弦函数余弦函数的基本性质4.4单位圆的对称性与诱导公式

4.3 单位圆与正弦函数、余弦函数的基本性质4.4 单位圆的对称性与诱导公式从单位圆看出正弦函数y ＝sin x 有以下性质 (1)定义域是R ；(2)最大值是1，最小值是－1，值域是[－1，1]； (3)它是周期函数，其周期是2k π(k ∈Z )；(4)在[0，2π]上的单调性为：在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上是单调递增；在⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2，32π上是单调递减；在⎣⎢⎡⎦⎥⎤3π2，2π上是单调递增．同样，从单位圆也可看出余弦函数y ＝cos x 的性质．思考1：正弦函数、余弦函数的最大值、最小值分别是多少？ [提示] 设任意角x 的终边与单位圆交于点P (cos x ，sin x )，当自变量x 变化时，点P 的横坐标是cos x ，|cos x |≤1，纵坐标是sin x ，|sin x |≤1，所以正弦函数、余弦函数的最大值为1，最小值为－1.2．诱导公式的推导(1)诱导公式(－α，π±α)的推导 ①在直角坐标系中α与－α角的终边关于x 轴对称； α与π＋α的终边关于原点对称； α与π－α的终边关于y 轴对称．②公式sin (－α)＝－sin α，cos (－α)＝cos α；sin (π＋α)＝－sin α，cos (π＋α)＝－cos α； sin (π－α)＝sin α，cos (π－α)＝－cos α．(2)诱导公式⎝ ⎛⎭⎪⎫π2±α的推导①π2－α的终边与α的终边关于直线y ＝x 对称．②公式sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－α＝cos α，cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－α＝sin α用－α代替α并用前面公式sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α＝cos α，cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α＝－sin α思考2：设α为任意角，则2k π＋α，π＋α，－α，2k π－α，π－α的终边与α的终边有怎样的对应关系？[提示] 它们的对应关系如表：A.sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α＝－cos αB.sin (π－α)＝－sin αC.cos (210°＋α)＝cos (30°＋α)D.cos (－α－β)＝cos (α＋β) D [由诱导公式知D 正确．]2．cos 300°＋sin 450°的值是( ) A.－1＋ 3 B ．12C.－1－ 3D ．32D [原式＝cos (360°－60°)＋sin (360°＋90°) ＝cos (－60°)＋sin 90°＝cos 60°＋1＝32.]3．cos 2π3的值是( )A.－32 B ．32 C ．12 D ．－12D [cos 2π3＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫π－π3＝－cos π3＝－12.]4．y ＝sin x ，x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π，π6的单调增区间为________，单调减区间为________．⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，π6 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π，－π2[在单位圆中，当x 由－π到π6时，sin x 由0减小到－1，再由－1增大到12.所以它的单调增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，π6，单调减区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π，－π2.]正弦、余弦函数的性质【例1】求下列函数的单调区间、最大值和最小值以及取得最大值和最小值的自变量x 的值．(1)y ＝sin x ，x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6，π；(2)y ＝cos x ，x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π，π3.[解] (1)由图①可知，y ＝sin x在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6，π2上是增加的，在⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2，π上是减少的．且当x ＝π2时，y ＝sin x 取最大值1，当x＝－π6时，y ＝sin x 取最小值－12.①(2)由图②可知，y ＝cos x在[－π，0]上是增加的，在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π3上是减少的．且当x ＝－π时取最小值－1，当x ＝0时，取最大值1.②利用单位圆研究三角函数性质的方法第一步：在单位圆中画出角x 的取值范围；第二步：作出角的终边与单位圆的交点P (cos x ，sin x )；第三步：研究P 点横坐标及纵坐标随x 的变化而变化的规律；第四步：得出结论．1．求下列函数的单调区间和值域，并说明取得最大值和最小值时的自变量x 的值．(1)y ＝－sin x ，x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π3，π；(2)y ＝cos x ，x ∈[－π，π].[解](1)y ＝－sin x ，x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π3，π的单调递减区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤π3，π2，单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2，π.当x ＝π2时，y min ＝－1；当x ＝π时，y max ＝0，故函数y ＝－sinx ，x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π3，π的值域为[]－1，0.(2)y ＝cos x ，x ∈[－π，π]的单调递减区间为[0，π]，单调递增区间为[－π，0].当x ＝0时，y max ＝1；当x ＝－π或π时，y min ＝－1，故函数y ＝cos x ，x ∈[－π，π]的值域为[－1，1].给角求值【例2】求下列三角函数式的值： (1)sin 495°·cos (－675°)；(2)sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－10π3＋cos 29π6.[解] (1)sin 495°·cos (－675°) ＝sin (135°＋360°)·cos 675° ＝sin 135°·cos 315°＝sin (180°－45°)·cos (360°－45°) ＝sin 45°·cos 45° ＝22×22＝12. (2)sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－10π3＋cos 29π6＝－sin 10π3＋cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫4π＋5π6 ＝－sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π＋4π3＋cos 5π6＝－sin 4π3＋cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π－π6＝－sin ⎝⎛⎭⎪⎫π＋π3－cos π6＝sin π3－cos π6＝32－32＝0.利用诱导公式，把任意角的三角函数转化为锐角三角函数的基本步骤为：可简记为：负化正，大化小，化成锐角再求值． 2．求下列三角函数值． (1)sin 4π3·cos 25π6；(2)sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤（2n ＋1）π－2π3.[解] (1)sin 4π3·cos 25π6＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π＋π3·cos ⎝⎛⎭⎪⎫4π＋π6＝－sin π3·cos π6＝－32·32＝－34.(2)sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤（2n ＋1）π－2π3＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2n π＋π－2π3＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫π－2π3＝sin π3＝32.三角函数式的化简(1)cos （2π－α）sin （－2π－α）cos （6π－α）cos （α－π）sin （5π－α）；(2)1＋2sin 290°cos 430°sin 250°＋cos 790°.[解] (1)原式＝cos α·sin （－α）cos （－α）cos （π－α）sin （π－α）＝cos α（－sin α）cos α（－cos α）sin α＝cos α.(2)原式＝1＋2sin （360°－70°）cos （360°＋70°）sin （180°＋70°）＋cos （720°＋70°）＝1－2sin 70°cos 70°－sin 70°＋cos 70°＝|cos 70°－sin 70°|cos 70°－sin 70°＝sin 70°－cos 70°cos 70°－sin 70°＝－1. 三角函数的化简，尽量化为2k π±α的形式，否则：(1)形如k π±α时，应对k 进行奇数和偶数两种情形讨论； (2)形如k3π±α时，应分k ＝3n ，k ＝3n ＋1，k ＝3n ＋2(n ∈Z )三种情形讨论．3．化简下列各式．(1)cos （π＋α）·sin （2π＋α）sin （－π－α）·cos （－π－α）；(2)cos 190°·sin （－210°）cos （－350°）·sin （－585°）.[解] (1)原式＝－cos α·sin α－sin （π＋α）·cos （π＋α）＝－cos α·sin α－sin α·cos α＝1. (2)原式＝cos （180°＋10°）·[－sin （180°＋30°）]cos （360°－10°）·[－sin （360°＋225°）] ＝－cos 10°·sin 30°cos 10°·（－sin 225°）＝sin 30°－sin 45°＝12－22＝－22.给值求值问题[探究问题]1．有条件的三角函数求值问题的基本思路是什么？[提示] 对于有条件的三角函数求值题，求解的一般基本方法是从角的关系上寻求突破，找到所求角与已知角之间的关系，结合诱导公式，进而把待求式转化到已知式而完成求值．2．当已知条件给出的是复合角时应如何解决问题？[提示] 当所给的角是复合角时，不易看出已知角与所求角的联系，可将已知角看成一个整体，用这个整体去表示所求角，便可发现它们之间的关系．【例4】 (1)已知sin (π＋α)＝35，且α是第四象限角，则cos (α－2π)的值是( )A.－45 B ．45 C ．－35 D ．35(2)已知cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－α＝33，求cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π6＋α－sin 2⎝⎛⎭⎪⎫α－π6的值．[思路探究] (1)直接利用诱导公式求解，注意角α所在的象限．(2)利用复合角之间的关系及诱导公式求解．(1)B [因为sin (π＋α)＝35，且sin (π＋α)＝－sin α，所以sin α＝－35，又因为α是第四象限角，所以cos (α－2π)＝cos α＝1－sin 2α＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫－352＝45.] (2)解：因为cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π6＋α＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π－⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－α＝－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－α＝－33， sin2⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π6＝sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－α＝1－cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－α＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫332＝23，所以cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π6＋α－sin 2⎝⎛⎭⎪⎫α－π6＝－33－23＝－2＋33.(1)解决条件求值问题，首先要仔细观察条件与所求式之间的角、函数名称及有关运算之间的差异及联系．(2)可以将已知式进行变形向所求式转化，或将所求式进行变形向已知式转化．1．诱导公式的选择方法：先将－α化为正角，再用2k π＋α(k ∈Z )把角化为[0，2π]内的角，再用π±α，π2＋α，2π－α化为锐角的三角函数，还可继续用π2－α化为⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，π4内的角的三角函数．由此看，利用诱导公式能将任意角的三角函数化为锐角的三角函数，这也正是：诱导公式真是好，负化正后大化小．2．解决给式求值问题的常见思路有：若条件简单，结论复杂，可从化简结论入手，用上条件；若条件复杂，结论简单，可从化简条件入手，转化出结论的形式；若条件、结论都比较复杂，可同时化简它们，直到找出它们间的联系为止．无论使用哪种方法都要时刻瞄准目标，根据需要变形．1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)y ＝sin x 在[－π，π]上是增加的．( )(2)y ＝cos x 在[0，π]上是递减的．( )(3)sin (2π－α)＝sin α.( )(4)诱导公式中的角α只能是锐角．( )[答案] (1)× (2)√ (3)× (4)×2．已知sin (θ＋π)＜0，cos (θ－π)＞0，则θ所在象限是( )A.第一象限 B ．第二象限 C.第三象限D ．第四象限B [由sin (θ＋π)＝－sin θ＜0⇒sin θ＞0，cos (θ－π)＝－cos θ＞0⇒cos θ＜0，由{sin θ＞0，cos θ＜0可知θ是第二象限角．]3．已知cos (π＋α)＝－12，则sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－α＝________．12 [cos (π＋α)＝－cos α＝－12， ∴cos α＝12.又sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－α＝cos α＝12.]4．计算：cos 19π6·sin 21π4.[解]原式＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π＋π6·sin ⎝⎛⎭⎪⎫4π＋54π＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π＋π6·sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π＋π4＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－cos π6·⎝ ⎛⎭⎪⎫－sin π4＝⎝⎛⎭⎪⎪⎫－32·⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－22 ＝64.。

高中数学第一章 §4 第2课时单位圆与正弦函数、余弦函数的基本性质单位圆的对称性与诱导公式

第2课时单位圆与正弦函数、余弦函数的基本性质单位圆的对称性与诱导公式[核心必知]正弦函数、余弦函数的诱导公式1．比较公式两边的函数名称，有什么规律？提示：公式(一)～(五)中，左、右两边的函数名称相同；公式(六)、(七)中，左、右两边的函数名称不同，规律为正、余弦互换．2．公式右边的正、负号有规律吗？提示：有，把α看作锐角时，公式左边函数值的符号与右边的正、负号相同．3．公式(二)反映了三角函数的什么性质？提示：由sin(－α)＝－sin α知y＝sin x是奇函数；由cos(－α)＝cos α知y＝cos x是偶函数．讲一讲1．求下列三角函数值． (1)cos 945°；(2)sin 35π6；(3)cos ⎝⎛⎭⎪⎫3π2＋π3；(4)sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－100π3.[尝试解答] (1)cos 945°＝cos (2×360°＋225°) ＝cos 225°＝cos(180°＋45°)＝－cos 45°＝－22. (2)sin 35π6＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫4π＋11π6＝sin 11π6＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π－π6＝－sin π6＝－12.(3)cos ⎝⎛⎭⎪⎫3π2＋π3＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π＋π2＋π3＝－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋π3＝－⎝⎛⎭⎪⎫－sin π3＝32. (4)sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－100π3）＝－sin （32π＋4π3＝－sin 4π3＝sin π3＝32.1．诱导公式都是角α的正弦、余弦函数与k ×π2±α(k ∈Z )的正弦、余弦函数之间的转化，记忆的口诀是：奇变偶不变，符号看象限．“奇变偶不变”解释如下：α前面加的是k ×π2，当k 是奇数时，得α的异名三角函数值；当k 是偶数时，得α的同名三角函数值．“符号看象限”解释如下：由于对于任意角α，公式都成立，不妨将角α看作一个锐角，考查k ×π2±α(k ∈Z )所在的象限，并判断此时函数值的符号是正还是负．2．利用诱导公式可把任意角的三角函数转化为锐角三角函数，步骤如下：记忆口诀：负化正，大化小，化到锐角再查表(特殊角的三角函数值表)．练一练1．求下列各式的值： (1)sin 495°cos(－675°)；(2)sin ⎝⎛⎭⎪⎫－43π6cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫11π4 解：(1)sin 495°cos(－675°) ＝sin(135°＋360°)cos 675° ＝sin 135°cos 315°＝sin(180°－45°)cos(360°－45°) ＝sin 45°cos 45° ＝22×22＝12. (2)sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－43π6cos 11π4 ＝－sin 43π6cos 11π4＝－sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫6π＋7π6cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π＋3π4＝－sin 7π6cos 3π4＝－sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π＋π6cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋π4＝－sin π6sin π4＝－12×22＝－24.讲一讲 2．(1)已知cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－α＝m (|m |≤1)，求cos ⎝⎛⎭⎪⎫5π6＋α，sin ⎝⎛⎭⎪⎫2π3－α的值．(2)已知sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－α＝－13，求cos(5π＋α)的值．[尝试解答] (1)cos ⎝⎛⎭⎪⎫5π6＋α＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π－⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－α ＝－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－α＝－m . sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫23π－α＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－α ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－α＝m . (2)∵sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－α＝－13∴cos α＝－13∴cos(5π＋α) ＝cos[4π＋(π＋α)] ＝cos(π＋α) ＝－cos α＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫－13＝13.解决条件求值问题的常见思路是：寻找已知条件与所求问题之间的关系，特别是寻找角与角之间的关系，然后利用有关的诱导公式求解．另外要善于发现已知角与待求角之间的互余、互补关系．常见的互余关系有：π3－α与π6＋α；π3＋α与π6－α；π4＋α与π4－α等．常见的互补关系有：π3＋θ与2π3－θ；π4＋θ与3π4－θ，π6－θ与5π6＋θ等．练一练2. 已知sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋α＝33，求cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫10π3－α的值．解：∵103π－α＝3π＋⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－α ∴cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫103π－α＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤3π＋⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－α ＝－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－α又∵⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋α＋⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－α＝π2.∴cos ⎝⎛⎭⎪⎫10π3－α＝－cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2－⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋α ＝－sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋α＝－33.讲一讲3．化简下列各式：(1)cos （2π－α）sin （3π＋α）cos ⎝⎛⎭⎪⎫3π2－αcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2＋αcos （α－3π）sin （－π－α）.(2)cos ⎝⎛⎭⎪⎫4n ＋14π＋x ＋cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫4n －14π－x ）（n ∈Z .[尝试解答] (1)原式＝cos α（－sin α）（－sin α）sin α（－cos α）sin α＝－1. (2)∵⎝⎛⎭⎪⎫4n ＋14π＋x ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫4n －14π－x ＝2n π，∴原式＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫4n ＋14π＋x ＋cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2n π－⎝ ⎛⎭⎪⎫4n ＋14π＋x＝2cos ⎝⎛⎭⎪⎫4n ＋14π＋x ＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫n π＋π4＋x .①当n 为奇数，即n ＝2k ＋1(k ∈Z )时，原式＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2k π＋π＋π4＋x＝－2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋x ；②当n 为偶数，即n ＝2k (k ∈Z )时，原式＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2k π＋π4＋x ＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋x .故原式＝⎩⎪⎨⎪⎧－2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋x ，n 是奇数，2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋x ，n 为偶数.1．所谓化简，就是使表达式经过某种变形，使结果尽可能的简单，也就是项数尽可能的少，次数尽可能的低，函数的种类尽可能的少，分母中尽量不含三角函数符号，能求值的一定要求值．2．利用诱导公式解决化简求值问题的关键是诱导公式的灵活选择，当三角函数式中含有k π±α，k2π±α时，要注意对k 的奇偶性进行讨论．练一练3．设k 为整数，化简：sin （k π－α）cos[（k －1）π－α]sin[（k ＋1）π＋α]cos （k π＋α）.解：法一：当k 为偶数时，不妨设k ＝2m (m ∈Z )，则原式＝sin （2m π－α）cos[（2m －1）π－α]sin[（2m ＋1）π＋α]cos （2m π＋α）＝sin （－α）cos （π＋α）－sin αcos α＝（－sin α）（－cos α）－sin αcos α＝－1；当k 为奇数时，可设k ＝2m ＋1(m ∈Z )，同理，可得原式＝－1.法二：由(k π＋α)＋(k π－α)＝2k π， [(k －1)π－α]＋[(k ＋1)π＋α]＝2k π，得sin(k π－α)＝－sin(k π＋α)＝sin[(k ＋1)π＋α]， cos[(k －1)π－α]＝cos[(k ＋1)π＋α] ＝－cos(k π＋α)，所以原式＝－1.若cos θ＝33，则cos （π－θ）cos θ⎣⎢⎡⎦⎥⎤sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2－θ－1＋ cos （2π－θ）cos （π＋θ）sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋θ－sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2＋θ的值为________．[错解] 原式＝cos θcos θ（－sin θ－1）＋cos θcos θsin θ＋cos θ＝0.[错因] 混淆了诱导公式，应有sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2－θ＝sin ⎝ ⎛π＋)⎭⎪⎫π2－θ＝－sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－θ－cos θ，sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋θ＝cos θ.cos(π－θ)＝－cos θ，cos(π＋θ)＝－cos θ.[正解] 原式＝－cos θcos θ（－cos θ－1）＋cos θ－cos θcos θ＋cos θ＝11＋cos θ＋11－cos θ＝21－cos 2θ. 因为cos θ＝33，所以原式＝21－⎝ ⎛⎭⎪⎫332＝3. [答案] 31．当α∈R 时，下列各式恒成立的是( ) A ．sin ⎝⎛⎭⎪⎫π2＋α＝－cos α B ．sin(π－α)＝－sin αC ．cos(π＋α)＝cos αD ．cos(－α)＝cos α 答案：D2．cos 2π3的值是( )A ．－32 B.32C.12 D ．－12解析：选D cos 2π3＝cos(π－π3)＝－cos π3＝－12.3．(广东高考)已知sin(5π2＋α)＝15，那么cos α＝( )A ．－25B ．－15C.15D.25解析：选C sin(5π2＋α)＝sin[2π＋(π2＋α)]＝sin(π2＋α)＝cos α＝15.4．已知cos(π＋α)＝－12，则sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－α＝________．解析：∵cos(π＋α)＝－12，∴cos α＝12.∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－α＝cos α＝12. 答案： 125．已知cos(508°－α)＝1213，则cos(212°＋α)＝________．解析：∵508°＋212°＝720°∴cos(212°＋α)＝cos [2×360°－(508°－α)] ＝cos(508°－α)＝1213.答案： 12136．求sin π4cos 19π6sin 21π4的值．解：原式＝sin π4cos(2π＋7π6)sin(4π＋5π4)＝22cos 7π6sin 5π4 ＝22cos(π＋π6)sin ⎝⎛⎭⎪⎫π＋π4＝22×⎝ ⎛⎭⎪⎫－cos π6⎝ ⎛⎭⎪⎫－sin π4＝22×32×22＝34.一、选择题1．cos 150°的值是( ) A ．－32 B ．－12 C.12 D.32解析：选A cos 150°＝cos(180°－30°)＝－cos 30°＝－32. 2．已知600°角的终边上有一点P (a ，－3)，则a 的值为( )A. 3 B ．－ 3 C.33 D ．－33解析：选B ∵sin 600°＝sin(360°＋240°)＝sin 240° ＝sin(180°＋60°)＝－sin 60°＝－32， ∴－3a 2＋32＝－32，∴a ＝± 3. 又∵600°角的终边在第三象限∴a ＝－ 3. 3．在△ABC 中，下列4个等式恒成立的是( ) ①sin(A ＋B )＋sin C ＝0，②cos(A ＋B )＋cos C ＝0， ③sin(2A ＋2B )＋sin 2C ＝0，④cos(2A ＋2B )＋cos 2C ＝0 A ．①② B ．②③ C ．③④ D ．①②解析：选B 对于②，cos(A ＋B )＋cos C ＝cos(180°－C )＋cos C ＝－cos C ＋cos C ＝0，成立．对于③，sin(2A ＋2B )＋sin 2C ＝sin[2(180°－C )]＋sin 2C ＝sin(360°－2C )＋sin 2C ＝－sin 2C ＋sin 2C ＝0，成立．4．下列三角函数中，与sin π3数值相同的是( )①sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫n π＋4π3 ②cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2n π＋π6 ③sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2n π＋π3 ④cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤（2n ＋1）π－π6 ⑤sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤（2n ＋1）π－π3，(n ∈Z )A ．①②B ．①②③C ．②③⑤D ．①③④解析：选C ①中n 为偶数时，sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫n π＋4π3＝－sin π3；②中cos(2n π＋π6)＝cos π6＝sin π3；③中sin ⎝⎛⎭⎪⎫2n π＋π3＝sin π3； ④中cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤（2n ＋1）π－π6＝－cos π6＝－sin π3；⑤中sin[(2n ＋1)π－π3]＝sin(π－π3)＝sin π3.故②③⑤正确．二、填空题5．sin ⎝⎛⎭⎪⎫－31π4＝________．解析：sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－31π4＝－sin 31π4＝－sin ⎝⎛⎭⎪⎫8π－π4 ＝－sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π4＝sin π4＝22.答案：226．化简sin （90°－α）cos （－α）cos （180°－α）＝________．解析：原式＝cos αcos α－cos α＝－cos α.答案：－cos α7．已知sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π3＝13，则cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋α的值等于________．解析：∵sin ⎝⎛⎭⎪⎫α－π3＝13，∴sin(π3－α)＝－13，又∵⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－α＋⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋α＝π2，∴cos(π6＋α)＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2－⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－α＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－α＝－13.答案：－13.8．若函数f (x )＝a sin(πx ＋α)＋b cos(πx ＋β)，其中a ，b ，α，β都是非零实数，且满足f (2 011)＝2，则f (2 012)＝________.解析：∵f (2 011)＝a sin(2 011π＋α)＋b cos(2 011π＋β)＝a sin(π＋α)＋b cos(π＋β)＝－(a sin α＋b cos β)＝2，∴f (2 012)＝a sin(2 012π＋α)＋b cos(2 012π＋β) ＝a sin α＋b cos β＝－2. 答案：－2 三、解答题9．求值：sin （－150°）cos （－210°）cos （－420°）cos （－600°）sin （－1 050°）.解：原式＝（－sin 150°）cos 210°cos 420°cos 600°（－sin 1 050°）＝sin （180°－30°）cos （180°＋30°）cos （360°＋60°）cos （720°－120°）sin （1 080°－30°）＝sin 30°（－cos 30°）cos 60°cos 120°（－sin 30°）你是我心中的一片彩云你是我心中的一片彩云你是我心中的一片彩云你是我心中的一片彩云＝－sin 30°cos 30°cos 60°sin 30°sin 30°＝－12×32×1212×12＝－32. 10．已知f (α)＝sin （α－3π）cos （2π－α）sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－α＋3π2cos （－π－α）sin （－π－α）， (1)化简f (α)；(2)若α＝－31π3，求f (α)的值．解：(1)f (α)＝－sin α×cos α×（－cos α）（－cos α）sin α＝－cos α； (2)f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－31π3＝－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－31π3 ＝－cos ⎝⎛⎭⎪⎫－6×2π＋5π3 ＝－cos 5π3＝－cos π3＝－12.。

必修4-1.4.3 单位圆与正弦函数、余弦函数的基本性质

虹屏居
11
新知探究
2、求函数 y=-0.5sinx，x[-5π/6，3π/4]的最大值和最小值，并写出取得最大值和最小值时的自变量x的值.
最大值为0.5，最小值为-0.5；取得最大值时的x值为0.5π，取得最小值时x的值为-0.5π.
虹屏居
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新知探究
3、求函数y 0.5- cosx 的定义域.
难点：利用单位圆说明正弦函数的周期性．
虹屏居
3
新知预读
1、单位圆中的三角函数定义； 2、试说明角α的终边与单位圆的交点P的纵坐标 sinα的变化情况
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4
新知思议
1、研究正弦函数的基本性质从哪几方面进行的？ 4个方面；分别为：（1）定义域；（2）值域；（3）周期性；（4）单调性．
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5
虹屏居
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新知小结
本课所学的知识点有哪些？正弦函数、余弦函数的性质．本课有哪些数学思想？类比思想、数形结合思想．
你有何收获？
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新知强化
1、P23习题2-4，A组 5，B组 2 .
2、预习：P19、§4.4单位圆的对称性与诱导公式
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欢迎指导谢谢合作
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虹屏居
9
新知思议
请在单位圆中，讨论余弦函数的单调性.
由正弦函数的周期性可知，正弦函数在每一个区间[2kπ-π/2，2kπ+π/2](k∈Z)上是增加的，在每一个区间[2kπ+π/2，2kπ+3π/2](k∈Z)上是减少的.
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新知探究
1、求下列函数的单调区间. （1）y=sinx，x[-π，π] ；（2）y=cosx，x[-π，π] . （1）y=sinx，在x[-π，π]上增区间为[-π/2，π/2]；减区间为[-π，-2/π] ,[2/π，π] . （2）y=cosx，在x[-π，π]上增区间为[-π，0]；减区间为[0，π] .

高中数学第1章三角函数4.3单位圆与正弦函数、余弦函数的基本性质4.4单位圆的对称性与诱导公式

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解：(1)f(α)＝－sin－αccoossαα·s－incαosα＝－cosα.
(2)∵cosα－32π＝cos－2π＋π2＋α＝cosπ2＋α＝－sinα＝15， ∴sinα＝－15，又 α 是第三象限角，
∴cosα＝－ 1－sin2α＝－ 1－215＝－256，
第一章三角函数(sānjiǎhánshù)
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§4 正弦函数和余弦函数的定义与诱导(yòudǎo)公式
4.3 单位圆与正弦函数、余弦函数的基本性质 4.4 单位圆的对称性与诱导公式
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基础知识点对点
课后拔高(bá ɡāo)提能练
又∵sin(π－α)＝sinα，∴sinα＝－23，
1又2/12∵/2021sin(4π－α)＝sin(－α)＝－sinα＝23.
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知识点三化简求值 5．已知 f(α)＝sinα－co3sπ－cπos－2απ－sinα－sinπ－－αα＋32π. (1)化简 f(α)； (2)若 α 是第三象限角，且 cosα－32π＝15，求 f(α)的值．
∴f(α)＝－cosα＝2
5
6 .
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内容(nèiróng)总结
第一章三角函数(sānjiǎhánshù)。基础知识点对点
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基础知识点对点
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高中数学第一章三角函数 1.4.3、4 单位圆与正弦函数、余弦函数的基本性质单位圆的对称性与

5．解读诱导公式(π2＋α，π2－α) 诱导公式(π2＋α，π2－α)不同于前面的四个诱导公式，原因是等号左右两边的函数名称发生了改变，正弦变成余弦，同样余弦也变成正弦，其他规则不变．
类型一正、余弦函数的定义域、值域、最值
【例 1】 (1)函数 y＝sin3x的定义域是( A )
A．R
B．[－1,1]
【解析】 ∵y＝cosx 在(0，π)是单调递减函数，在[π，2π) 上是单调递增函数．∴y＝－23cosx 在(0，π)是单调递增函数，在[π， 2π)上是单调递减函数，A 成立．
规律方法函数 y＝Asinx＋B 或 y＝Acosx＋B 型函数的单调性常常利用 y＝sinx 与 y＝cosx 的单调性解决．但要注意 A>0， A<0 情况的讨论．
6．诱导公式(函数名称改变)
sin(π2＋α)＝ cosα ，cos(π2＋α)＝－sinα .
sin(π2－α)＝ cosα
，cos(π2－α)＝ sinα
.
文字概括：
π2±α 的正弦(余弦)函数值，分别等于 α 的余弦(正弦)函数值，
前面加上一个把 α 看成锐角时原函数值的符号．
[答一答] 3．怎样记忆七组诱导公式？
(2)原式＝(cosπ7＋cos67π)＋(cos27π＋cos57π)＋(cos37π＋cos47π)＝ [cosπ7＋cos(π－π7)]＋[cos27π＋cos(π－27π)]＋[cos37π＋cos(π－37π)]＝ (cosπ7－cos7π)＋(cos27π－cos27π)＋(cos37π－cos37π)＝0.
知识点二余弦线与利用单位圆看 y＝cosx 性质
[填一填] 3．根据单位圆理解余弦函数 y＝cosx 性质 (1)定义域是全体实数； (2)最大值是 1 ，最小值是－1 ，值域是 [－1,1] ； (3)它是周期函数，其最小正周期是 2π ；

高中数学第一章三角函数4.4单位圆的对称性与诱导公式一课件北师大版必修4

3 ，则 3
5π － cos 6 －θ ＝
3 3 .
解析
5π π cos 6 －θ＝cosπ－6＋θ
π ＝－cos6＋θ ＝－
3 . 3
解析
答案
类型三例3 化简下列各式.
利用诱导公式化简
sin－2π－αcos6π－α (1) ； cosα－πsin5π－α
解 sin－αcos－α 原式＝ cosπ－αsinπ－α
－sin αcos α ＝＝1. －cos αsin α
解答
1＋2sin 290° cos 430° (2) . sin 250° ＋cos 790°
题型探究
类型一例1 求下列各三角函数式的值. (1)cos 210°；
给角求值问题
解 cos 210°＝cos(180°＋30°) 3 ＝－cos 30° ＝－ 2 . 11π (2)sin 4 ； 11π 3π 3π π 解 sin 4 ＝sin(2π＋ 4 )＝sin 4 ＝sin(π－4)
3 ＝sin 240° ＝sin(180° ＋60° )＝－sin 60° ＝－ 2 .
方法二 sin 1 320°＝sin(4×360°－120°)＝sin(－120°)
3 ＝－sin(180° －60° )＝－sin 60° ＝－ 2 .
解答
31π － (2)cos . 6
第一章
§4
正弦函数和余弦函数的定义与诱导公式
4.4 单位圆的对称性与诱导公式(一)
学习目标
1.了解三角函数的诱导公式的意义和作用. 2.理解诱导公式的推导过程. 3.能运用有关的诱导公式解决一些三角函数的求值、化简和证明问题.

【北师大版】高中数学必修四全册学案(全册共340页附答案)

【北师大版】高中数学必修四全册学案（全册共340页附答案）目录§1周期现象§2角的概念的推广§3弧度制4．1 单位圆与任意角的正弦函数、余弦函数的定义4．2 单位圆与周期性4.3 单位圆与正弦函数、余弦函数的基本性质4．4 单位圆的对称性与诱导公式(一)4.4 单位圆的对称性与诱导公式(二)5．1 正弦函数的图像5.2 正弦函数的性质§6余弦函数的图像与性质7．1 正切函数的定义7．2 正切函数的图像与性质7.3 正切函数的诱导公式§8函数y＝A sin(ωx＋φ)的图像与性质(一)§8函数y＝A sin(ωx＋φ)的图像与性质(二)§9三角函数的简单应用章末复习课第二章平面向量§1从位移、速度、力到向量2．1 向量的加法2.2 向量的减法3．1 数乘向量3.2 平面向量基本定理§4平面向量的坐标§5从力做的功到向量的数量积§1周期现象内容要求 1.了解周期现象，能判断简单的实际问题中的周期(重点).2.初步了解周期函数的概念，能判断简单的函数的周期性(难点)．知识点周期现象(1)概念：相同间隔重复出现的现象．(2)特点：①有一定的规律；②不断重复出现．【预习评价】1．(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)地球上一年春、夏、秋、冬四季的变化是周期现象．(√)(2)钟表的分针每小时转一圈，它的运行是周期现象．(√)2．观察“2,0,1,7,2,0,1,7,2,0,1,7，…”寻找规律，则第25个数字是________．解析观察可知2,0,1,7每隔四个数字重复出现一次，具有周期性，故第25个数字为2. 答案 2题型一周期现象的判断【例1】判断下列现象是否为周期现象，并说明理由．(1)地球的自转；(2)连续抛掷一枚骰子，朝上一面的点数；(3)钟表的秒针的转动；(4)某段高速公路每天通过的车辆数．解(1)地球每天自转一圈，并且每一天内的任何时段总会重复前一天内相同时段的动作，因此是周期现象．(2)连续抛掷一枚骰子，朝上一面的点数有可能为1,2，…，6，并且前一次出现的点数，下一次可能出现，也可能不出现，故出现的点数是随机的，因此不是周期现象．(3)钟表的秒针的转动，每一分钟转一圈，并且每分钟总是重复前一分钟的动作，因此是周期现象．(4)某段高速公路每天通过的车辆数，会因时间、天气、交通状况等因素而发生变化，没有一个确定的规律，因此不是周期现象．规律方法周期现象的判断关键：首先要认真审题，明确题目的实际背景，然后应牢牢抓住“间隔相同，现象(或值)重复出现”这一重要特征进行判断．【训练1】判断下列现象是否为周期现象：(1)每届奥运会的举办时间；(2)北京天安门广场的国旗，日出时升旗，日落时降旗，则其每天的升旗时间；(3)中央电视台每晚7：00的新闻联播．解(1)奥运会每4年一届，所以其举办时间呈周期现象．(2)北京每天的日出、日落随节气变化，并非恒定，相邻两天的升旗时间间隔是变化的，不是常数，所以不是周期现象．(3)每24小时，新闻联播重复一次，所以是周期现象．题型二周期现象的应用【例2】一个地区不同日子里白昼的时长是不同的，所给表是某地一年中10天测量的白昼时间统计表(时间近似到0.1小时)：坐标系中画出这些数据的散点图，并估计该地区一年中大约有多少天白昼时间大于15.9小时．(2)白昼时间的变化是否具有周期现象？你估计该地区来年6月21日的白昼时间是多少？解(1)散点图如图所示，因为从4月27日至8月13日的白昼时间均超过15.9小时，所以该地区一年白昼时间超过15.9小时的大约有3＋31＋30＋31＋12＝107(天)．(2)由散点图可知，白昼时间的变化是周期现象，该地区来年6月21日的白昼时间为19.4小时．规律方法收集数据、画散点图，分析、研究数据特点从而得出结论是用数学方法研究现实问题的常用方法．【训练2】受日月的引力，海水会发生涨落，这种现象叫做潮汐．已知某海滨浴场的海浪高度y(米)是时间t(0≤t≤24，单位：时)的函数，记作y＝f(t)，下表是某日各时的浪高数据：几次？时间最长的一次是什么时候？有多长时间？解由题中表可知，一天内能开放三次，时间最长的一次是上午9时至下午3时，共6个小时．【例3】2017年5月1日是星期一，问2017年10月1日是星期几？解按照公历记法，2017年5、7、8这三个月份都是31天，6、9月份各30天．从2017年5月1日到2017年10月1日共有153天，因为每星期有7天，故由153＝22×7－1知，从2017年5月1日再过154天恰好与5月1日相同都是星期一，这一天是公历2017年10月2日，故2017年10月1日是星期日．【迁移1】试确定自2017年5月1日再过200天是星期几？解由200＝28×7＋4知自2017年5月1日再过200天是星期五．【迁移2】从2017年5月1日到2017年10月1日经过了几个星期五？几个星期一？解因为从2017年5月1日到2017年10月1日的153天中有21个完整的周期零6天，在每个周期中有且仅有一个星期五和一个星期一，故共经过了22个星期五，21个星期一．【迁移3】试确定自2017年5月1日再过7k＋3(k∈Z)天后那一天是星期几？解每隔七天，周一至周日依次循环，故7k天后为周一，7k＋3天后为星期四．规律方法应用周期性解决实际问题的两个要点特别提醒计算两个日期的间隔时间时要注意有的月份30天，有的月份31天，二月份有28天(或29天)．课堂达标1．下列自然现象：月亮东升西落，气候的冷暖，昼夜变化，火山爆发．其中是周期现象的有( )A．1个B．2个C．3个D．4个解析月亮东升西落及昼夜变化为周期现象；气候的冷暖与火山爆发不是周期现象，故选B.答案 B2．如果今天是星期五，则58天后的那一天是星期( )A．五B．六C．日D．一解析每隔七天循环一次，58＝7×8＋2，故58天后为周日．答案 C3．共有50架飞机组成编队，按侦察机、直升机、轰炸机、歼击机的顺序轮换编队，则最后一架飞机是________飞机．解析周期为4,50＝12×4＋2，所以最后一架是直升机．答案直升机4．某物体作周期运动，如果一个周期为0.4秒，那么运动4秒，该物体经过了________个周期．解析4÷0.4＝10，所以经过了10个周期．答案105．某班有48名学生，每天安排4名同学进行卫生值日，按一周上五天课，一学期二十周计算，该班每位同学一学期要值日几次？解共有48名学生，每天安排4名，则12个上课日就轮完一遍．一学期有5×20＝100(个)上课日，而12×8＝96(个)上课日，所以一个学期内该班每位同学至少值日8次，有部分同学要值日9次．课堂小结1．对于某些具有重复现象的事件，研究其规律，可预测未来在一定时间该现象发生的可能性及发生规律，具有一定的研究价值．2．利用散点图可以较直观地分析两变量之间的某种关系，然后再利用这种关系选择一种合适的函数去拟合这些散点，从而可以避免因盲目选择函数模型而造成的不必要的失误.基础过关1．下列是周期现象的为( ) ①闰年每四年一次；②某交通路口的红绿灯每30秒转换一次； ③某超市每天的营业额； ④某地每年6月份的平均降雨量． A ．①②④B ．②④C ．①②D ．①②③解析 ①②是周期现象；③中每天的营业额是随机的，不是周期现象；④中每年6月份的降雨量也是随机的，不是周期现象．答案 C2．把17化成小数，小数点后第20位是( )A ．1B ．2C ．4D ．8解析 17＝0.1·42857·，小数点后“142857”呈周期性变化，且周期为 6.∵20＝3×6＋2，∴第20位为4. 答案 C3．按照规定，奥运会每4年举行一次.2016的夏季奥运会在巴西举办，那么下列年份中不举办夏季奥运会的应该是( ) A ．2020 B ．2024 C ．2026D ．2028解析 C 中2026不是4的倍数，选C. 答案 C4．把一批小球按2个红色，5个白色的顺序排列，第30个小球是________色．解析周期为7,30＝4×7＋2，所以第30个小球与第2个小球颜色相同，为红色．答案红5．如图所示，变量y与时间t(s)的图像如图所示，则时间t至少隔________ s时y＝1会重复出现1次．答案 26．若今天是星期一，则第7天后的那一天是星期几？第120天后的那一天是星期几？(注：今天是第一天)解每星期有7天，从星期一到星期日，呈周期性变化，其周期为7.∴第7天后的那一天是星期一．∵120＝17×7＋1，∴第120天后的那一天是星期二．7．水车上装有16个盛水槽，每个盛水槽最多盛水10升，假设水车5分钟转一圈，计算1小时内最多盛水多少升？解因为1小时＝60分钟＝12×5分钟，且水车5分钟转一圈，所以1小时内水车转12圈．又因为水车上装有16个盛水槽，每个盛水槽最多盛水10升，所以每转一圈，最多盛水16×10＝160(升，)所以水车1小时内最多盛水160×12＝1 920(升)．能力提升8．钟表分针的运动是一个周期现象，其周期为60分钟，现在分针恰好指在2点处，则100分钟后分针指在( )A．8点处B．10点处C．11点处D．12点处解析由于100＝1×60＋40，所以100分钟后分针所指位置与40分钟后分针所指位置相同，现在分针恰好指在2点处，经过40分钟分针应指在10点处，故选B.答案 B9．设钟摆每经过1.8秒回到原来的位置．在图中钟摆达到最高位置A点时开始计时，经过1分钟后，钟摆的大致位置是( )A．点A处B．点B处C．O、A之间D．O、B之间解析钟摆的周期T ＝1.8 秒，1分钟＝(33×1.8＋0.6)秒，又T 4＜0.6＜T2，所以经过1分钟后，钟摆在O 、B 之间．答案 D10．今天是星期六，再过100天后是星期________．解析 100＝14×7＋2，∴再过100天是星期一．答案一11．一个质点，在平衡位置O 点附近振动，如果不考虑阻力，可将此振动看作周期运动，从O 点开始计时，质点向左运动第一次到达M 点用了0.3 s ，又经过0.2 s 第二次通过M 点，则质点第三次通过M 点，还要经过的时间可能是________ s.解析质点从O 点向左运动，O →M 用了0.3 s ，M →A →M 用了0.2 s ，由于M →O 与O →M 用时相同，因此质点运动半周期T2＝0.2＋0.3×2＝0.8(s)，从而当质点第三次经过M 时用时应为M →O →B →O →M ，所用时间为0.3×2＋0.8＝1.4(s)．答案 1.412．游乐场中的摩天轮匀速旋转，每转一圈需要12分钟，其中心O 距离地面40.5米，半径40米．如果你从最低处登上摩天轮，那么你与地面的距离将随时间的变化而变化，以你登上摩天轮的时刻开始计时，请解答下列问题：(1)你与地面的距离随时间的变化而变化，这个现象是周期现象吗？ (2)转四圈需要多少时间？(3)你第四次距地面最高需要多少时间？ (4)转60分钟时，你距离地面是多少？解 (1)是周期现象，周期12分钟/圈． (2)转四圈需要时间为4×12＝48(分钟)．(3)第1次距离地面最高需122＝6(分钟)，而周期是12分钟，所以第四次距地面最高需12×3＋6＝42(分钟)．(4)∵60÷12＝5，∴转60分钟时你距离地面与开始时刻距离地面相同，即40.5－40＝0.5(米)．13．(选做题)下面是一个古希腊的哲学家、数学家、天文学家毕达哥拉斯的故事：有一次毕达哥拉斯处罚学生，让他来回数在黛安娜神庙的七根柱子(这七根柱子的标号分别为A，B，C，…，G)，如图所示，一直到指出第1 999个数的柱子的标号是哪一个才能够停止．你能帮助这名学生尽快结束这个处罚吗？解通过观察可发现规律：数“2,3,4，…，1 997,1 998，1 999”按标号为“B，C，D，E，F，G，F，E，D，C，B，A”这12个字母循环出现，因此周期是12.先把1去掉，(1 999－1)÷12＝166……6，因此第1 999个数的柱子的标号与第167个周期的第6个数的标号相同，故数到第1 999个数的柱子的标号是G.§2角的概念的推广内容要求 1.理解正角、负角、零角与象限角的概念(知识点1 角的概念(1)角的概念：角可以看成平面内一条射线绕着端点O从一个位置OA旋转到另一个位置OB 所形成的图形．点O是角的顶点，射线OA，OB分别是角α的始边和终边．(2)按照角的旋转方向，分为如下三类：(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)按逆时针方向旋转所成的角是正角(√)(2)按顺时针方向旋转所成的角是负角(√)(3)没有作任何旋转就没有角对应(×)(4)终边和始边重合的角是零角(×)(5)经过1小时时针转过30°(×)知识点2 象限角如果角的顶点与坐标原点重合，角的始边与x轴的非负半轴重合，那么，角的终边(除端点外)在第几象限，就说这个角是第几象限角．如果角的终边在坐标轴上，就认为这个角不属于任何一个象限．【预习评价】1．锐角属于第几象限角？钝角又属于第几象限角？提示锐角属于第一象限角，钝角属于第二象限角．2．第二象限的角比第一象限的角大吗？提示不一定．如120° 是第二象限的角，390°是第一象限的角，但120°＜390°.知识点3 终边相同的角所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合S＝{β|β＝α＋k·360°，k∈Z}，即任何一个与角α终边相同的角，都可以表示成角α与周角的整数倍的和．【预习评价】(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)终边相同的角一定相等(×)(2)相等的角终边一定相同(√)(3)终边相同的角有无数多个(√)(4)终边相同的角它们相差180°的整数倍(×)题型一角的概念的推广【例1】写出下图中的角α，β，γ的度数．解要正确识图，确定好旋转的方向和旋转的大小，由角的概念可知α＝330°，β＝－150°，γ＝570°.规律方法 1.理解角的概念的三个“明确”2．表示角时的两个注意点(1)字母表示时：可以用希腊字母α，β等表示，“角α”或“∠α”可以简化为“α”．(2)用图示表示角时：箭头不可以丢掉，因为箭头代表了旋转的方向，也即箭头代表着角的正负．【训练1】(1)图中角α＝________，β＝________；(2)经过10 min，分针转了________．解析(1)α＝－(180°－30°)＝－150°β＝30°＋180°＝210°.(2)分针按顺时针过了周角的16，即－60°.答案(1)－150°210°(2)－60°题型二终边相同的角【例2】已知α＝－1 910°.(1)把α写成β＋k×360°(k∈Z,0°≤β＜360°)的形式，并指出它是第几象限角；(2)求θ，使θ与α的终边相同，且－720°≤θ＜0°.解(1)－1 910°＝250°－6×360°，其中β＝250°，从而α＝250°＋(－6)×360°，它是第三象限角．(2)令θ＝250°＋k×360°(k∈Z)，取k＝－1，－2就得到满足－720°≤θ＜0°的角，即250°－360°＝－110°，250°－720°＝－470°.所以θ为－110°，－470°.规律方法将任意角化为α＋k·360°(k∈Z，且0°≤α＜360°)的形式，关键是确定k.可用观察法(α的绝对值较小时适用)，也可用除以360°的方法．要注意：正角除以360°，按通常的除法进行，负角除以360°，商是负数，且余数为正值．【训练2】写出终边在阴影区域内(含边界)的角的集合．解终边在直线OM 上的角的集合为M ＝{α|α＝45°＋k ·360°，k ∈Z }∪{α|α＝225°＋k ·360°，k ∈Z }＝{α|α＝45°＋2k ·180°，k ∈Z }∪{α|α＝45°＋(2k ＋1)·180°，k ∈Z } ＝{α|α＝45°＋n ·180°，n ∈Z }．同理可得终边在直线ON 上的角的集合为{α|α＝60°＋n ·180°，n ∈Z }，所以终边在阴影区域内(含边界)的角的集合为 {α|45°＋n ·180°≤α≤60°＋n ·180°，n ∈Z }．【探究1】在四个角－20°，－400°，－2 000°，1 600°中，第四象限角的个数是( ) A ．0 B ．1 C ．2D ．3解析－20°是第四象限角，－400°＝－360°－40°与－40°终边相同，是第四象限角，－2 000°＝－6×360°＋160°与160°终边相同，是第二象限角，1 600°＝4×360°＋160°与160°终边相同，是第二象限角，故第四象限角有2个．答案 C【探究2】写出终边落在第一象限和第二象限内的角的集合．解根据终边相同的角一定是同一象限的角，又可以先写出第一象限锐角范围和第二象限钝角的范围，再加上360°的整数倍即可．所以表示为：第一象限角的集合：S ＝{β|β＝k ·360°＋α，0°＜α＜90°，k ∈Z }，或S ＝{β|k ·360°＜β＜k ·360°＋90°，k ∈Z }．第二象限角的集合：S ＝{β|β＝k ·360°＋α，90°＜α＜180°，k ∈Z }，或S ＝{β|k ·360°＋90°＜β＜k ·360°＋180°，k ∈Z }．【探究3】已知α为第二象限角，那么2α，α2分别是第几象限角？解 ∵α是第二象限角，∴90＋k ×360°＜α＜180°＋k ×360°，180°＋2k ×360°＜2α＜360°＋2k ×360°，k ∈Z .∴2α是第三或第四象限角，或是终边落在y 轴的非正半轴上的角．同理45°＋k 2×360°＜α2＜90°＋k2×360°，k ∈Z .当k 为偶数时，不妨令k ＝2n ，n ∈Z ，则45°＋n ×360°＜α2＜90°＋n ×360°，此时，α2为第一象限角；当k 为奇数时，令k ＝2n ＋1，n ∈Z ，则225°＋n ×360°＜α2＜270°＋n ×360°，此时，α2为第三象限角．∴α2为第一或第三象限角．【探究4】已知α为第一象限角，求180°－α2是第几象限角．解 ∵α为第一象限角，∴k ·360°＜α＜k ·360°＋90°，k ∈Z ， ∴k ·180°＜α2＜k ·180°＋45°，k ∈Z ， ∴－45°－k ·180°＜－α2＜－k ·180°，k ∈Z ，∴135°－k ·180°＜180°－α2＜180°－k ·180°，k ∈Z .当k ＝2n (n ∈Z )时，135°－n ·360°＜180°－α2＜180°－n ·360°，为第二象限角；当k ＝2n ＋1(n ∈Z )时，－45°－n ·360°＜180°－α2＜－n ·360°，为第四象限角．∴180°－α2是第二或第四象限角．规律方法 1.象限角的判定方法(1)根据图像判定．利用图像实际操作时，依据是终边相同的角的概念，因为0°～360°之间的角与坐标系中的射线可建立一一对应的关系．(2)将角转化到0°～360°范围内，在直角坐标平面内，0°～360°范围内没有两个角终边是相同的．2．α，2α，α2等角的终边位置的确定方法不等式法：(1)利用象限角的概念或已知条件，写出角α的范围． (2)利用不等式的性质，求出2α，α2等角的范围．(3)利用“旋转”的观点，确定角终边的位置．例如，如果得到k ×120°＜α3＜k ×120°＋30°，k ∈Z ，可画出0°＜α3＜30°所表示的区域，再将此区域依次逆时针或顺时针转动120°(如图所示)．易错警示由α的范围确定2α的范围时易忽视终边在坐标轴上的情况.课堂达标1．－361°的终边落在( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限D ．第四象限解析因为－361°的终边和－1°的终边相同，所以它的终边落在第四象限，故选D. 答案 D2．设A ＝{θ|θ为锐角}，B ＝{θ|θ为小于90°的角}，C ＝{θ|θ为第一象限的角}，D ＝{θ|θ为小于90°的正角}，则下列等式中成立的是( ) A ．A ＝B B ．B ＝C C ．A ＝CD ．A ＝D解析直接根据角的分类进行求解，容易得到答案．答案 D3．将－885°化为α＋k ·360°(0°≤α<360°，k ∈Z )的形式是________________．答案 195°＋(－3)×360°4．与－1 692°终边相同的最大负角是________．解析 ∵－1 692°＝－5×360°＋108°， ∴与108°终边相同的最大负角为－252°. 答案－252°5.如图所示，写出终边落在阴影部分的角的集合．解设终边落在阴影部分的角为α，角α的集合由两部分组成．①{α|k·360°＋30°≤α<k·360°＋105°，k∈Z}．②{α|k·360°＋210°≤α<k·360°＋285°，k∈Z}．∴角α的集合应当是集合①与②的并集：{α|k·360°＋30°≤α<k·360°＋105°，k∈Z}∪{α|k·360°＋210°≤α<k·360°＋285°，k∈Z}＝{α|2k·180°＋30°≤α<2k·180°＋105°，k∈Z}∪{α|(2k＋1)180°＋30°≤α<(2k＋1)180°＋105°，k∈Z}＝{α|2k·180°＋30°≤α<2k·180°＋105°，或(2k＋1)·180°＋30°≤α<(2k＋1)180°＋105°，k∈Z}＝{α|n·180°＋30°≤α<n·180°＋105°，n∈Z}．课堂小结1．对角的理解，初中阶段是以“静止”的眼光看，高中阶段应用“运动”的观点下定义，理解这一概念时，要注意“旋转方向”决定角的“正负”，“旋转量”决定角的“绝对值大小”．2．区域角的表示形式并不唯一，如第二象限角的集合，可以表示为{α|90°＋k×360°＜α＜180°＋k×360°，k∈Z}，也可以表示为{α|－270°＋k×360°＜α＜－180°＋k×360°，k∈Z}.基础过关1．下列各组角中，终边相同的是( )A．495°和－495°B．1 350°和90°C．－220°和140°D．540°和－810°解析－220°＝－360°＋140°，∴－220°与140°终边相同．答案 C2．设A＝{小于90°的角}，B＝{锐角}，C＝{第一象限角}，D＝{小于90°而不小于0°的角}，那么有( )A．B C A B．B A CC．D A∩C) D．C∩D＝B解析锐角、0°～90°的角、小于90°的角及第一象限角的范围，如下表所示.答案 D3．若α是第四象限角，则180°－α是( )A．第一象限角B．第二象限角C．第三象限角D．第四象限角解析可以给α赋一特殊值－60°，则180°－α＝240°，故180°－α是第三象限角．答案 C4．已知角α＝－3 000°，则与角α终边相同的最小正角是______．解析∵－3 000°＝－9×360°＋240°，∴与－3 000°角终边相同的最小正角为240°.答案240°5．在－180°～360°范围内，与2 000°角终边相同的角是______．解析因为2 000°＝200°＋5×360°，2 000°＝－160°＋6×360°，所以在－180°～360°范围内与2 000°角终边相同的角有－160°，200°两个．答案－160°，200°6．在0°～360°范围内，找出与下列各角终边相同的角，并判定它们是第几象限角．(1)－150°；(2)650°；(3)－950°15′.解(1)因为－150°＝－360°＋210°，所以在0°～360°范围内，与－150°角终边相同的角是210°角，它是第三象限角．(2)因为650°＝360°＋290°，所以在0°～360°范围内，与650°角终边相同的角是290°角，它是第四象限角．(3)因为－950°15′＝－3×360°＋129°45′，所以在0°～360°范围内，与－950°15′角终边相同的角是129°45′角，它是第二象限角．7．写出与25°角终边相同的角的集合，并求出该集合中满足不等式－1 080°≤β＜－360°的角β.解与25°角终边相同的角的集合为S＝{β|β＝k·360°＋25°，k∈Z}．令k＝－3，则有β＝－3×360°＋25°＝－1 055°，符合条件；令k＝－2，则有β＝－2×360°＋25°＝－695°，符合条件；令k ＝－1，则有β＝－1×360°＋25°＝－335°，不符合条件．故符合条件的角有－1 055°，－695°.能力提升8．以下命题正确的是( ) A ．第二象限角比第一象限角大B ．A ＝{α|α＝k ·180°，k ∈Z }，B ＝{β|β＝k ·90°，k ∈Z }，则ABC ．若k ·360°<α<k ·360°＋180°(k ∈Z )，则α为第一或第二象限角D ．终边在x 轴上的角可表示为k ·360°(k ∈Z ) 解析 A 不正确，如－210°<30°.在B 中，当k ＝2n ，k ∈Z 时，β＝n ·180°，n ∈Z . ∴AB ，∴B 正确．又C 中，α为第一或第二象限角或在y 轴的非负半轴上， ∴C 不正确．显然D 不正确．答案 B9．集合M ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ＝k ·180°2±45°，k ∈Z ，P ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ＝k ·180°4±90°，k ∈Z ，则M 、P之间的关系为( ) A ．M ＝P B ．M P C ．M PD ．M ∩P ＝∅解析对集合M 来说，x ＝(2k ±1)·45°，即45°的奇数倍；对集合P 来说，x ＝(k ±2)·45°，即45°的倍数．答案 B10．已知角α、β的终边相同，那么α－β的终边在________．解析 ∵α、β终边相同， ∴α＝k ·360°＋β(k ∈Z )．∴α－β＝k ·360°，故α－β终边会落在x 轴非负半轴上．答案 x 轴的非负半轴上11．若α为第一象限角，则k ·180°＋α(k ∈Z )的终边所在的象限是第________象限．解析 ∵α是第一象限角，∴k 为偶数时，k ·180°＋α终边在第一象限；k 为奇数时，k ·180°＋α终边在第三象限．答案一或三12．求终边在直线y ＝x 上的角的集合S .解因为直线y ＝x 是第一、三象限的角平分线，在0°～360°之间所对应的两个角分别是45°和225°，所以S ＝{α|α＝k ·360°＋45°，k ∈Z }∪{α|α＝k ·360°＋225°，k∈Z }＝{α|α＝2k ·180°＋45°，k ∈Z }∪{α|α＝(2k ＋1)·180°＋45°，k ∈Z }＝{α|α＝n ·180°＋45°，n ∈Z }．13．(选做题)已知角α、β的终边有下列关系，分别求α、β间的关系式： (1)α、β的终边关于原点对称； (2)α、β的终边关于y 轴对称．解 (1)由于α、β的终边互为反向延长线，故α、β相差180°的奇数倍(如图1)，于是α－β＝(2k －1)·180°(k ∈Z )．(2)在0°～360°内，设α的终边所表示的角为90°－θ，由于α、β关于y 轴对称(如图2)，则β的终边所表示的角为90°＋θ.于是α＝90°－θ＋k 1·360°(k 1∈Z )，β＝90°＋θ＋k 2·360°(k 2∈Z )．两式相加得α＋β＝(2k ＋1)·180°(k ∈Z )．§3 弧度制内容要求 1.了解弧度制的意义，能正确地进行弧度与角度的换算，熟记特殊角的弧度数(重点).2.掌握弧度制下的弧长公式，会用弧度解决一些实际问题(难点)．知识点1 弧度制 (1)角度制与弧度制的定义(2)如果半径为r 的圆的圆心角α所对弧的长为l ，那么角α的弧度数的绝对值是|α|＝lr. 【预习评价】(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)“度”与“弧度”是度量角的两种不同的度量单位(√) (2)1°的角是周角的1360，1 rad 的角是周角的12π(√)(3)1°的角比1 rad 的角要大(×)(4)1 rad 的角的大小和所在圆的半径的大小有关(×) 知识点2 角度制与弧度制的换算常见角度与弧度互化公式如下：请填充完整下表，一些特殊角的角度数与弧度数的对应关系有：设扇形的半径为R ，弧长为l ，α(0<α<2π)为其圆心角，则1.一个扇形的半径为2 cm ，圆心角为π6，则该扇形所对的弧长l ＝________cm.答案π32.一个扇形的半径为2 cm ，其对应的弧长为2.则该扇形的面积为________cm 2. 答案 2知识点4 利用弧度制表示终边相同的角在弧度制下，与α终边相同的角连同α在内可以表示为2k π＋α(k ∈Z )，其中α的单位必须是弧度．【预习评价】1.与30°终边相同的角为( ) A ．2k π＋π3(k ∈Z )B ．2k π＋π6(k ∈Z )C ．360°k ＋π3(k ∈Z )D ．2k π＋30°(k ∈Z )答案 B2.终边在x 轴上的角的集合用弧度制表示为________．答案 {α|α＝k π，k ∈Z }题型一角度与弧度的互化【例1】将下列角度与弧度进行互化： (1)20°；(2)－15°；(3)7π12；(4)－115π.解 (1)20°＝20×π180 rad ＝π9 rad.(2)－15°＝－15×π180 rad ＝－π12 rad.(3)712π rad ＝712×180°＝105°. (4)－115π rad ＝－115×180°＝－396°.规律方法角度制与弧度制互化的原则、方法以及注意点(1)原则：牢记180°＝π rad ，充分利用1°＝π180rad 和1 rad ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫180π°进行换算．(2)方法：设一个角的弧度数为α，角度数为n ，则α rad ＝α·180°；n °＝n ·π180rad.(3)注意点：①用“弧度”为单位度量角时，“弧度”二字或“rad”可以省略不写；②用“弧度”为单位度量角时，“常常把弧度数写成多少π的形式，如无特别要求，不必把π写成小数；③度化弧度时，应先将分、秒化成度，再化成弧度．【训练1】将下列各角度与弧度互化： (1)512π；(2)－76π；(3)－157°30′. 解 (1)512π＝512×180°＝75°；(2)－76π＝－76×180°＝－210°；(3)－157°30′＝－157.5°＝－157.5×π180rad＝－78π rad.题型二用弧度制表示终边相同的角【例2】 (1)把－1 480°写成α＋2k π(k ∈Z )的形式，其中0≤α＜2π； (2)若β∈[－4π，0)，且β与(1)中α终边相同，求β. 解 (1)∵－1 480°＝－74π9＝－10π＋16π9，0≤16π9＜2π，∴－1 480°＝16π9－2×5π＝16π9＋2×(－5)π.(2)∵β与α终边相同，∴β＝2k π＋16π9，k ∈Z .又∵β∈[－4π，0)，∴β1＝－2π9，β2＝－209π.【训练2】用弧度制表示终边在图中阴影区域内角的集合(包括边界)并判断 2 015°是不是这个集合的元素．解因为150°＝5π6.所以终边在阴影区域内角的集合为S ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫β⎪⎪⎪5π6＋2k π≤β≤3π2＋2k π，k ∈Z . 因为2 015°＝215°＋5×360°＝43π36＋10π，又5π6＜43π36＜3π2.所以2 015°＝43π36∈S ，即2 015°是这个集合的元素．方向1 求弧长【例3－1】已知扇形OAB 的圆心角α为120°，半径长为6.求的长；解 ∵α＝120°＝23π，r ＝6，∴的长l ＝23π×6＝4π.方向2 求圆心角【例3－2】已知扇形周长为10，面积是4，求扇形的圆心角．解设圆心角是θ，半径是r ，则⎩⎪⎨⎪⎧2r ＋r θ＝10，12θ·r 2＝4⇒⎩⎪⎨⎪⎧r ＝4，θ＝12或⎩⎪⎨⎪⎧r ＝1，θ＝8(舍)．故扇形圆心角为12.方向3 求面积的最值【例3－3】已知一扇形的周长为40 cm ，当它的半径和圆心角取什么值时，才能使扇形的面积最大？最大面积是多少？解设扇形的圆心角为θ，半径为r ，弧长为l ，面积为S ，则l ＋2r ＝40，∴l ＝40－2r . ∴S ＝12lr ＝12×(40－2r )r ＝20r －r 2＝－(r －10)2＋100.∴当半径r ＝10 cm 时，扇形的面积最大，最大值为100 cm 2，此时θ＝l r ＝40－2×1010rad ＝2 rad.∴当扇形的圆心角为2 rad ，半径为10 cm 时，扇形的面积最大为100 cm 2.规律方法灵活运用扇形弧长公式、面积公式列方程组求解是解决此类问题的关键，有时运用函数思想、转化思想解决扇形中的有关最值问题，将扇形面积表示为半径的函数，转化为r 的二次函数的最值问题.课堂达标1．与120°角终边相同的角为( ) A ．2k π－2π3(k ∈Z )B.11π3C ．2k π－10π3(k ∈Z )D ．(2k ＋1)π＋2π3(k ∈Z )解析 120°＝2π3且2k π－10π3＝(2k －4)π＋2π3(k ∈Z )，∴120°与2k π－10π3(k ∈Z )，终边相同．答案 C2．－23π12化为角度应为( )A ．－345°B ．－15°C ．－315°D ．－375°解析－23π12＝－2312×180°＝－345°.答案 A3．已知扇形的半径为12，弧长为18，则扇形圆心角为________．解析由弧长公式l ＝αR 得α＝l R ＝1812＝32.答案 324．下列结论不正确的是________(只填序号)．①π3 rad ＝60°；②10°＝π18 rad ；③36°＝π5 rad ；④5π8 rad ＝115°. 解析5π8 rad ＝58×180°＝112.5°，∴④错．答案 ④5．一个扇形的面积为1，周长为4，求圆心角的弧度数．解设扇形的半径为R ，弧长为l ，则2R ＋l ＝4， ∴l ＝4－2R ，根据扇形面积公式S ＝12lR ，得1＝12(4－2R )·R ，∴R ＝1，∴l ＝2，∴α＝l R ＝21＝2，即扇形的圆心角为2 rad.课堂小结1．角的概念推广后，在弧度制下，角的集合与实数集R 之间建立起一一对应的关系：每一个角都有唯一的一个实数(即这个角的弧度数)与它对应；反过来，每一个实数也都有唯一的一个角(即弧度数等于这个实数的角)与它对应．2．解答角度与弧度的互化问题的关键在于充分利用“180°＝π rad”这一关系式． 3．在弧度制下，扇形的弧长公式及面积公式都得到了简化，具体应用时，要注意角的单位取弧度.基础过关1．在半径为10的圆中，240°的圆心角所对弧长为( )A.403πB.203π C.2003π D.4003π 解析 240°＝240×π180 rad ＝43π rad ，∴弧长l ＝|α|·r ＝43π×10＝403π，故选A.答案 A2．下列与9π4的终边相同的角的表达式中，正确的是( )A ．2k π＋45°(k ∈Z )B ．k ·360°＋9π4(k ∈Z )C ．k ·360°－315°(k ∈Z )D ．k π＋5π4(k ∈Z )答案 C3．若α＝－3，则角α的终边在( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限D ．第四象限解析 ∵－π＜－3＜－π2，∴－3是第三象限角．答案 C4．若三角形三内角之比为4∶5∶6，则最大内角的弧度数是____________．答案 25π5．如果一扇形的弧长变为原来的32倍，半径变为原来的一半，则该扇形的面积为原扇形面积的________．解析由于S ＝12lR ，若l ′＝32l ，R ′＝12R ，则S ′＝12l ′R ′＝12×32l ×12R ＝34S .答案 346．把下列各角化为2k π＋α(0≤α＜2π，k ∈Z ) 的形式且指出它是第几象限角，并写出与它终边相同的角的集合．(1)－46π3；(2)－1 485°；(3)－20.解 (1)－46π3＝－8×2π＋2π3，它是第二象限角，终边相同的角的集合为。

三角函数和解三角形知识点汇总

三角函数和解三角形知识点汇总三角函数和解三角形是高中数学中的重要内容，这两个知识点在解决几何问题和求解三角方程等方面具有广泛的应用。

本文将对三角函数和解三角形的相关概念和性质进行汇总和总结。

一、三角函数的基本概念和性质1. 正弦函数（sin）：在直角三角形中，正弦函数定义为对边与斜边之比。

在单位圆中，正弦函数定义为点在单位圆上的纵坐标。

2. 余弦函数（cos）：在直角三角形中，余弦函数定义为邻边与斜边之比。

在单位圆中，余弦函数定义为点在单位圆上的横坐标。

3. 正切函数（tan）：在直角三角形中，正切函数定义为对边与邻边之比。

在单位圆中，正切函数定义为点在单位圆上的纵坐标与横坐标之比。

4. 三角函数的周期性：正弦函数、余弦函数和正切函数都具有周期性，周期为360度或2π弧度。

5. 三角函数的基本关系：正弦函数、余弦函数和正切函数之间存在一定的关系，如正弦函数与余弦函数的平方和等于1，正切函数与正弦函数的比值等于余弦函数。

二、解三角形的基本方法1. 解直角三角形：直角三角形是最简单的三角形，可以通过已知两个角或两个边长度，求解出三个角和三个边的长度。

解直角三角形常用的方法包括正弦定理、余弦定理和勾股定理。

2. 解一般三角形：一般三角形包括三个不等边和三个不等角。

解一般三角形的关键是要找到足够的已知条件，一般包括已知两个角和一个边的长度，或已知两个边和一个角的大小。

解一般三角形常用的方法有正弦定理和余弦定理。

三、三角函数和解三角形的应用1. 几何问题的求解：三角函数和解三角形广泛应用于几何问题的求解，如求解三角形的面积、角度、边长等。

2. 物理问题的求解：三角函数和解三角形也在物理问题的求解中发挥着重要作用，如求解力的合成与分解、两个物体之间的角度等。

3. 工程问题的求解：在工程问题中，三角函数和解三角形用于求解斜面的倾斜角度、测量高楼大厦的高度等。

四、总结本文对三角函数和解三角形的相关知识进行了汇总和总结。

4.3单位圆与正弦函数、余弦函数的基本性质

从单位圆看正弦函数的基本性质
sin α= v 函数y=sinx y
1
α
-
o
1
-1
正弦函数y=sinx有以下性质：
（1）定义域：R
P(u,v) （2）值域：[-1，1]
（3）是周期函数，最小正周期是 2
M 1 x （4）在[ 0，2]上的单调性是：
在[0, ]、[3 , 2 ]上是增加的；
22
在[ ， ]、[ , 3 ]上是减少的.
2
2
正弦函数的图象
想一想?
1. sin,cos 的几何意义.
y
1 PT
正弦线MP
o M 1A
余弦线OM
x
三角问题
几何问题
1.用描点法作出函数图象的主要步骤是怎样的？
(1) 列表 y sin x, x 0,2
x
0
6
3
2 5
236
7 6
4 y0
1 2
3 2
1
3 2
1 2
0
1 2
3 2
1
3 2
1 2
0
(2) 描点 y
1-
-
0
2
1 -
(3) 连线
3 2
2
x
2. 函数 y sin x, x 0,2 图象的几何作法
y
1-
P1
p1/
作法:(1) 等分 (2) 作正弦线 (3) 平移 (4) 连线
6
o1
M-11 A
o
6
3
2
2 3
5
7
4
6
6
3
3 2
5 3
11 6
2

三角函数的对称性

三角函数的对称性三角函数是数学中重要的函数之一，它们的对称性在解决各种数学问题中起到了重要的作用。

本文将探讨三角函数的对称性及其应用。

一、正弦函数的对称性正弦函数是三角函数中最基本的函数之一，它的图像呈现出对称的特点。

具体而言，正弦函数在原点O处具有对称轴x=0，这意味着对于任意实数x，有sin(-x)=-sin(x)。

这个性质称为正弦函数的奇性。

这种对称性可以通过图像来直观地解释。

以单位圆为例，设圆上一点P(x,y)，则对应的角度为θ。

现考虑点P'(-x,-y)，它与点P关于原点对称。

根据单位圆上的定义，点P和点P'对应的弧度相等，而正弦函数的值与角度的正负无关，所以有sin(θ)=sin(-θ)。

通过类似的推理，可以证明对于任意实数x，有sin(-x)=-sin(x)。

利用正弦函数的对称性，我们可以得到一些重要的性质。

例如，sin(π-x)=sin(x)，这是因为sin(-x)=-sin(x)和sin(π)=0。

这个性质在解决三角方程时非常有用。

二、余弦函数的对称性余弦函数是另一个重要的三角函数，它也具有对称性。

与正弦函数类似，余弦函数的对称轴也是x=0。

对于任意实数x，有cos(-x)=cos(x)，这意味着余弦函数是偶函数。

与正弦函数不同的是，余弦函数在单位圆上的解释与正弦函数相反。

设单位圆上的点P(x,y)，对应的角度为θ。

考虑点P'(-x,-y)，它与点P关于原点O对称。

由于余弦函数的值取决于点P到原点O的横坐标，所以cos(θ)=cos(-θ)。

同样，通过类似的推理可以证明cos(-x)=cos(x)对于任意实数x成立。

借助余弦函数的对称性，我们也可以得到一些重要的推论。

例如，cos(π-x)=-cos(x)，这是由cos(π)=-1和cos(-x)=cos(x)得到的。

这个性质在计算三角函数的值时常常被使用。

三、正切函数的对称性正切函数是另一个常用的三角函数，它的对称性与正弦函数和余弦函数有所不同。

北师版高中数学第一章单位圆与任意角的正弦函数、余弦函数定义单位圆与正弦函数、余弦函数的基本性质

出正弦函数值和余弦函数值;
(2)若已知角α终边上一点P(x,y)是单位圆上的点,则sin α=y,cos α=x;
(3)若已知角α终边上一点P(x,y)不是单位圆上一点,首先求

r= 2 + 2 ,则 sin α= ,cos α= ;
(4)若已知角α终边上点的坐标含参数,则需进行分类讨论.
如果将水车边缘看成一个圆,如何确定水车边缘上的点呢?
-4-
4.1
4.2
单位圆与任意角的正弦函数、余弦函数定义
单位圆与正弦函数、余弦函数的基本性质
激趣诱思
课前篇自主预习
课堂篇探究学习
知识点拨
一、任意角的正弦函数和余弦函数
任意角的正弦函数和余弦函数的定义
1.单位圆:以单位长度为半径的圆称为单位圆.
2.单位圆中任意角的正弦函数和余弦函数的定义:给定任意角α,作
sin < 0,
从而有
sincos > 0,
cos < 0,
所以角 θ 的终边在第三象限,故选 C.
答案C
-18-
4.1
4.2
探究一
单位圆与任意角的正弦函数、余弦函数定义
单位圆与正弦函数、余弦函数的基本性质
探究二
探究三
课前篇自主预习
课堂篇探究学习
课堂篇探究学习
当堂检测
反思感悟正、余弦函数值的符号判断方法
-13-
4.1
4.2
探究一
单位圆与任意角的正弦函数、余弦函数定义
单位圆与正弦函数、余弦函数的基本性质
探究二
探究三
课前篇自主预习
课堂篇探究学习
课堂篇探究学习
当堂检测
根据正、余弦函数的定义求值

高中数学三角函数知识点总结

高中数学三角函数知识点总结三角函数是研究角的变化规律的数学工具，它在高中数学中占有重要的地位。

三角函数主要包括正弦函数、余弦函数和正切函数。

本文将对高中数学三角函数的知识点进行总结，包括定义、性质和应用等方面。

一、正弦函数1.定义正弦函数的定义是：在单位圆上，角θ的终边与x轴正半轴的交点的纵坐标，记作sinθ。

正弦函数的函数值在闭区间[-1,1]内取值。

2.基本性质（1）周期性：sin(θ+2π)=sinθ，其中π为圆周率。

函数的周期为2π。

（2）奇偶性：sin(-θ)=-sinθ，sin(π-θ)=sinθ。

函数是奇函数，图像关于原点对称。

（3）对称性：sin(θ+π/2)=cosθ，sin(π/2-θ)=cosθ。

正弦函数与余弦函数相互等价。

3.图像特点正弦函数的图像呈现周期性变化。

在0到2π的区间内，函数图像从0开始上升至1，然后下降至0，在π上通过最低点0，然后在(π,2π)区间内下降至-14.基本关系式（1）和差角公式：sin(α±β)=sinαcosβ±cosαsinβ。

（2）倍角公式：sin2θ=2sinθcosθ。

（3）半角公式：sin(θ/2)=±√[(1-cosθ)/2]。

二、余弦函数1.定义余弦函数的定义是：在单位圆上，角θ的终边与x轴正半轴的交点的横坐标，记作cosθ。

余弦函数的函数值在闭区间[-1,1]内取值。

2.基本性质（1）周期性：cos(θ+2π)=cosθ，函数的周期为2π。

（2）奇偶性：cos(-θ)=cosθ，cos(π-θ)=-cosθ。

函数是偶函数，图像关于y轴对称。

（3）对称性：cos(θ+π/2)=-sinθ，cos(π/2-θ)=sinθ。

余弦函数与正弦函数相互等价。

3.图像特点余弦函数的图像也呈现周期性变化，并且与正弦函数的图像相位差为π/2、在0到2π的区间内，函数图像从1开始下降至0，然后上升至1，在π上通过最高点1，然后在(π,2π)区间内下降至-14.基本关系式（1）和差角公式：cos(α±β)=cosαcosβ∓sinαsinβ。

1.4.3单位圆与正弦函数余弦函数的基本性质

π 3 π 3 π 3 π 3
1
2
= .
1 2
反思应用单位圆解sin x≥a或sin x≤a(|a|≤1)时,需作直线y=a;解cos x≥a或cos x≤a(|a|≤1)时,需作直线x=a,这种方法简单、直观,体现了数形结合的思想.
【变式训练 2】求满足不等式 sin α≥ 2 的角��的范围.
正解:令 u=sin x ,y=lg u 在(0,+∞ )上为增函数,u=sin x 在 2��π- ,2��π +
2 π π 2
(��∈Z)上是增加的,由 sin x>0 知,y=lg(sin
π 2
x )的递增区间为 2��π,2��π +
(��∈Z).
课堂练习：
1.函数y=2sin x的周期是(
)
函数 y=sin x 性质定义域 R 值域与最值周期单调区间 y∈[ - 1,1]; π 当 x=2k π+ (�� ∈Z) 时, ymax=1; 当 x=2k π− 2π 递增区间: 2��ππ 2 2 π 2
y=cos x y∈[ - 1,1]; 当 x=2k π( k ∈Z) 时, ymax=1;当 x=2k π+π( k ∈Z) 时, ymin =- 1 递增区间:[2k π- π,2k π] ( k ∈Z); 递减区间:[2k π,2k π+π] ( k ∈Z)
减少的,在区间 π,
π 5π 2
上是增加的.
π π
(2)①函数 y=sin x 在区间 - 3 , 2 上是增加的,在区间上是减少的.
π π 3 2
,

高中数学4.3单位圆与正弦函数余弦函数的基本性质4.4单位圆的对称性与诱导公式一学案北师大版必修4

4.3 单位圆与正弦函数、余弦函数的基本性质4、4 单位圆的对称性与诱导公式( 一)内容要求 1.会利用单位圆探究正弦函数、余弦函数的基本性质,并能初步运用性质解决相关问题( 重点).2.了解正弦函数、余弦函数的诱导公式的意义和作用.3.理解诱导公式的推导过程( 重点).4.能运用有关诱导公式解决一些正弦函数、余弦函数的求值、化简和证明问题( 难点)、知识点1 单位圆与正弦函数、余弦函数的性质正弦函数y＝sin x 余弦函数y＝cos x定义域R值域[－1,1] 周期2π在[0,2π]上的单调性在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2,⎣⎢⎡⎦⎥⎤3π2，2π上是增加的；在⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2，3π2上是减少的在[π,2π]上是增加的；在[0,π]上是减少的( 正确的打“√”,错误的打“×”)( 1)正弦函数y＝sin x与余弦函数y＝cos x的定义域都是R.( √)( 2)函数y＝sin x在[0,π]上是单调减函数、( ×)( 3)函数y＝cos x在[0,π]上的值域是[0,1]、( ×)( 4)函数y＝sin x的最大值为1,最小值为－1.( √)知识点2 2kπ±α,－α,π±α( k∈Z)的诱导公式对任意角α,有下列关系式成立：sin( 2kπ＋α)＝sin α,cos( 2kπ＋α)＝cos α.( 1.8)sin( －α)＝－sin α,cos( －α)＝cos α.( 1.9)sin( 2π－α)＝－sin α,cos( 2π－α)＝cos α.( 1.10)sin( π－α)＝sin α,cos( π－α)＝－cos α.( 1.11)sin( π＋α)＝－sin α,cos( π＋α)＝－cos α.( 1.12)这五组诱导公式的记忆口诀是“函数名不变,符号看象限”、其含义是诱导公式两边的函数名称一致,符号则是将α看成锐角时原角所在象限的正弦函数、余弦函数值的符号、【预习评价】1、视α为锐角,则诱导公式中各角所在象限是什么？试完成下表.角2kπ＋π－π＋－α2π－αααα所在象限一二三四四2.设α为任意角,则2k π＋α,π＋α,－α,2k π－α,π－α的终边与α的终边有怎样的对应关系？试完成下表.相关角终边之间的对称关系2k π＋α与α终边相同 π＋α与α 关于原点对称－α与α 关于x 轴对称 2π－α与α 关于x 轴对称 π－α与α关于y 轴对称题型一正弦函数、余弦函数的定义域问题【例1】求下列函数的定义域： ( 1)y ＝4－cos x ； ( 2)y ＝2sin x ＋1.解 ( 1)由y ＝4－cos x 知定义域为R .( 2)由题意知2sin x ＋1≥0,即sin x ≥－12在一周期⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，3π2内满足上述条件的角为x∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6，7π6,由此可以得到函数的定义域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π－π6，2k π＋7π6( k ∈Z )、规律方法利用单位圆与正弦函数、余弦函数的基本性质可求一些复合函数的定义域与单调区间,正弦函数、余弦函数的定义域是研究其他一切性质的前提,要树立定义域优先的意识、求正弦函数、余弦函数定义域实际上是解简单的三角不等式、【训练1】 ( 1)函数y ＝12＋cos x 的定义域为________、( 2)函数y ＝ln sin x 的定义域为________、详细解析 ( 1)由2＋cos x ≠0知cos x ≠－2, 又由cos x ∈[－1,1],故定义域为R .( 2)由题意知sin x ＞0.又y ＝sin x 在[0,2π]内sin x ＞0满足0＜x ＜π,∴定义域为( 2k π,2k π＋π)( k ∈Z )、答案 ( 1)R ( 2)( 2k π,2k π＋π)( k ∈Z ) 题型二正弦函数、余弦函数的值域问题【例2】求下列函数的值域：( 1)y ＝( sin x －2)2＋1；( 2)y ＝m sin x ＋n ( m ≠0)、解 ( 1)设t ＝sin x ,则有y ＝( t －2)2＋1,t ∈[－1,1], ∴当t ＝－1时 ,y ＝( t －2)2＋1取得最大值10；当t ＝1时,y ＝( t －2)2＋1取得最小值2, ∴y ＝( sin x －2)2＋1的值域为[2,10]、 ( 2)∵sin x ∈[－1,1],且m ≠0,∴当m ＞0时,y ＝m sin x ＋n 的值域是[n －m ,n ＋m ]；当m ＜0时,y ＝m sin x ＋n 的值域是[n ＋m ,n －m ]、综上可知,函数y ＝m sin x ＋n ( m ≠0)的值域是[n －|m |,n ＋|m |]、规律方法求与正弦函数与余弦函数有关的值域问题时要注意换元法与分类讨论思想的应用、【训练2】求y ＝13cos x ,x ∈[π2,3π4]的最大值、解结合单位圆知y ＝13cos x 在⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2，3π4上y ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－22，0.故最大值为0,即y max ＝13cosπ2＝0.方向1 给角求值问题【例3－1】求下列三角函数的值：( 1)sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－194π；( 2)cos 960°.解 ( 1)sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－194π＝－sin 194π＝－sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫4π＋34π ＝－sin 34π＝－sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π－π4＝－sin π4＝－22.( 2)cos 960°＝cos( 240°＋2×360°)＝cos 240° ＝cos( 180°＋60°)＝－cos 60°＝－12.方向2 给值求值问题【例3－2】已知sin( α－75°)＝－223,求sin( 105°＋α)的值、解 sin( 105°＋α)＝sin[180°＋( α－75°)] ＝－sin( α－75°)＝223.方向3 化简问题【例3－3】化简1＋2sin 290°cos 430°s in 250°＋cos 790°( 注：对任意角α有sin 2α＋cos 2α＝1成立). 解原式＝1＋2sin 360°－70°cos 360°＋70°sin 180°＋70°＋cos 720°＋70°＝1－2sin 70°cos 70°－sin 70°＋cos 70°＝|cos 70°－sin 70°|cos 70°－sin 70°＝sin 70°－cos 70°cos 70°－sin 70°＝－1. 规律方法 1.解决条件求值问题的策略( 1)解决条件求值问题,首先要仔细观察条件与所求式之间的角、函数名称及有关运算之间的差异及联系、( 2)可以将已知式进行变形向所求式转化,或将所求式进行变形向已知式转化、 2、化简三角函数式的策略( 1)化简时要使函数类型尽量少,角的弧度数( 或角度数)的绝对值尽量小,特殊角的正弦、余弦函数要求出值、( 2)要认真观察有关角之间的关系,根据需要合理选择诱导公式变角.课堂达标1、sin 585°的值为( ) A 、－22 B.22 C 、－32D.32详细解析 sin 585°＝sin( 360°＋225°)＝sin( 180°＋45°) ＝－sin 45°＝－22. 答案 A2、若sin x ＝2m ＋3,且x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6，π6,则m 的取值范围为( ) A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，12 B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－54，－12C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－74，－54D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－74，12详细解析 ∵x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6，π6,∴结合单位圆知sin x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，12,即－12≤2m ＋3≤12.∴－74≤m ≤－54.答案 C3、在平面直角坐标系xOy 中,角α与角β均以Ox 为始边,它们的终边关于y 轴对称 .若sin α＝13,则sin β＝________、详细解析 α与β的终边关于y 轴对称,则α＋β＝π＋2k π,k ∈Z ,∴β＝π－α＋2k π,k ∈Z .∴sin β＝sin( π－α＋2k π)＝sin α＝13.答案 134、已知cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋θ＝33,则cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π6－θ＝________.详细解析 cos ⎝⎛⎭⎪⎫5π6－θ＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π－⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋θ＝－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋θ＝－33.答案－335、化简：cos 180°＋αsin α＋360°sin －α－180°cos －180°－α.解原式＝－cos αsin α[－sin α＋180°]cos 180°＋α＝sin αcos αsin α＋180°cos 180°＋α ＝sin αcos α－sin α－cos α＝1.课堂小结1、求正弦函数、余弦函数的定义域、值域时要注意数形结合思想的运用,同时注意周期性在求解时的作用、2、明确各诱导公式的作用( 1)将角转化为0～2π之间的角求值；( 2)将0～2π内的角转化为0～π之间的角求值；( 3)将负角转化为正角求值、 3、诱导公式的记忆诱导公式的记忆口诀是“函数名不变,符号看象限”、其含义是诱导公式两边的函数名称一致,符号则是将α看成锐角时原角所在象限的正弦函数、余弦函数值的符号,α看成锐角,只是公式记忆的方便,实际上α可以是任意角.基础过关1、cos 660°的值为( ) A 、－12B.12 C 、－32D.32详细解析 cos 660°＝cos( 360°＋300°)＝cos 300° ＝cos( 180°＋120°)＝－cos 120°＝－cos( 180°－60°) ＝cos 60°＝12.答案 B2、若sin( θ＋π)<0,cos( θ－π)>0,则θ在( ) A 、第一象限 B 、第二象限 C 、第三象限D 、第四象限详细解析 ∵sin( θ＋π)＝－sin θ<0,∴sin θ>0.∵cos( θ－π)＝cos( π－θ)＝－cos θ>0,∴cos θ<0,∴θ为第二象限角、答案 B 3、已知sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π4＋α＝32,则sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π4－α的值为( )A.12 B 、－12C.32D 、－32详细解析 sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π4－α＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π－⎝ ⎛⎭⎪⎫3π4－α＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α＝－sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π4＋α＝－32.答案 D4、函数y ＝2－sin x 的最小正周期为________、详细解析因为2－sin( 2π＋x )＝2－sin x ,所以y ＝2－sin x 的最小正周期为2π. 答案 2π5、f ( x )＝a sin( πx ＋α)＋b cos( πx ＋β)＋2,其中a 、b 、α、β为非零常数、若f ( 2 016)＝1,则f ( 2 017)＝________.详细解析 ∵f ( 2 016)＝a sin( 2 016π＋α)＋b cos( 2 016π＋β)＋2＝a sin α＋b cos β＋2＝1,∴a sin α＋b cos β＝－1.f ( 2 017)＝a sin( 2 017π＋α)＋b cos( 2 017π＋β)＋2＝－( a sin α＋b cos β)＋2＝－( －1)＋2＝3. 答案 36、化简下列各式、 ( 1)sin( －193π)cos 76π；( 2)sin( －960°)cos 1 470°－cos( －240°)sin ( －210°)、解 ( 1)sin( －193π)cos 76π＝－sin( 6π＋π3)cos( π＋π6)＝sin π3cos π6＝34.( 2)sin( －960°)cos 1 470°－cos 240°sin ( －210°) ＝－sin( 180°＋60°＋2×360°)cos ( 30°＋4×360°) ＋cos( 180°＋60°)sin ( 180°＋30°) ＝sin 60°cos 30°＋cos 60°sin 30° ＝1.7、( 1)已知函数y ＝a cos x ＋b 的最大值是0,最小值是－4,求a 、b 的值； ( 2)求y ＝－2sin x ,x ∈[－16π,34π]的最大值与最小值、解 ( 1)当a ＞0时,⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b ＝0，－a ＋b ＝－4，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝－2，当a ＜0时,⎩⎪⎨⎪⎧－a ＋b ＝0，a ＋b ＝－4，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－2，b ＝－2.∴a ＝2,b ＝－2或a ＝b ＝－2. ( 2)当x ＝－π6时,y max ＝1,当x ＝π2时,y min ＝－2.能力提升8、若cos( π＋α)＝－12,32π<α<2π,则sin( 2π＋α)等于( )A.12 B 、±32C.32D.－32详细解析由cos( π＋α)＝－12,得cos α＝12,∵32π＜α＜2π,∴α＝53π. 故sin( 2π＋α)＝sin α＝sin 53π＝－sin π3＝－32 ( α为第四象限角)、答案 D9、在△ABC 中,给出下列四个式子：①sin( A ＋B )＋sin C ；②cos( A ＋B )＋cos C ；③sin( 2A ＋2B )＋sin 2C ； ④cos( 2A ＋2B )＋cos 2C . 其中为常数的是( ) A 、①③ B 、②③ C 、①④D 、②④详细解析 ①sin( A ＋B )＋sin C ＝2sin C ； ②cos( A ＋B )＋cos C ＝－cos C ＋cos C ＝0； ③sin( 2A ＋2B )＋sin 2C ＝sin[2( A ＋B )]＋sin 2C ＝sin[2( π－C )]＋sin 2C＝sin( 2π－2C )＋sin 2C ＝－sin 2C ＋sin 2C ＝0； ④cos( 2A ＋2B )＋cos 2C ＝cos[2( A ＋B )]＋cos 2C ＝cos[2( π－C )]＋cos 2C＝cos( 2π－2C )＋cos 2C ＝cos 2C ＋cos 2C ＝2cos 2C . 故选B. 答案 B10、下列三角函数,其中n ∈Z ,则函数值与sin π3的值相同的是________( 只填序号)、①sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫n π＋4π3；②cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2n π＋π6；③sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2n π＋π3； ④cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2n ＋1π－π6；⑤sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2n ＋1π－π3.详细解析对于①,当n ＝2m 时,sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2m π＋4π3＝sin 4π3＝－sin π3,∴①不同；对于②,cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2n π＋π6＝cos π6＝sin π3,∴②,③相同；对于④,cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2n ＋1π－π6＝cos 5π6＝－sin π3.∴④不同；对于⑤,sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2n ＋1π－π3＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π－π3＝sin π3,∴⑤相同、答案 ②③⑤11、已知f ( x )＝⎩⎪⎨⎪⎧sin πxx ＜0，f x －1－1x ＞0，则f ( －116)＋f ( 116)＝________.详细解析 f ( －116)＝sin( －116π)＝sin π6＝12,f ( 116)＝f ( 56)－1＝f ( －16)－2＝sin( －π6)－2＝－52,∴f ( －116)＋f ( 116)＝12－52＝－2.答案－212、化简：sin k π－αcos[k －1π－α]sin[k ＋1π＋α]cos k π＋α( k ∈Z )、解当k ＝2n ( n ∈Z )时,原式＝sin 2n π－αcos[2n －1π－α]sin[2n ＋1π＋α]cos 2n π＋α＝sin －αcos －π－αsin π＋αcos α＝－sin α－cos α－sin αcos α＝－1；当k ＝2n ＋1( n ∈Z )时,原式＝sin[2n ＋1π－α]cos[2n ＋1－1π－α]sin[2n ＋1＋1π＋α]cos[2n ＋1π＋α]＝sin π－αcos αsin αcos π＋α＝sin αcos αsin α－cos α＝－1. 综上,原式＝－1.13、( 选做题)若π3≤x ≤3π4,求函数y ＝sin 2x －sin x ＋1的最大值和最小值、解令t ＝sin x .∵x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π3，3π4,结合单位圆知t ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤22，1,∴y ＝t 2－t ＋1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫t －122＋34,t ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤22，1, 又t ＝12∉⎣⎢⎡⎦⎥⎤22，1,∴当t ＝22时,y min ＝12－22＋1＝3－22；当t ＝1时,y max ＝1.。

高中数学第一章 4.3 单位圆与正弦函数、余弦函数的基本性质

1234
解答
规律与方法
利用单位圆来研究正弦、余弦函数的基本性质，能够加深对正弦、余弦函数性质的理解与认识，同时也有助于提升学生利用数形结合思想解决问题的意识.
本课结束
π 2
＋2kπ，k∈Z时，
ymin＝－1
当x＝π＋2kπ，k∈Z时， ymin＝－1
最大值当x＝π2＋2kπ，k∈Z时，ymax＝1 当x＝2kπ，k∈Z时，ymax＝1
周期性
周期函数，最小正周期为2_π__
在区间[－__π2_＋__2_k_π_，__π2_＋__2_k_π_]，
k∈Z上是增加的；单调性在区间[ π2＋2kπ，32π＋2kπ ]，
1234
解析答案
3.函数y＝ 2cos x－1 的定义域为－π3＋2kπ，3π＋2kπ ，k∈Z .
1234
答案
4.求y＝－2sin x，x∈[－ π6 ，π]的值域. 解由 x∈[－π6，π]，得 sin x∈[－12，1]，
∴y＝[－2，1]， ∴y＝－2sin x，x∈[－π6，π]的值域为[－2， 1].
答案
思考2
能否认为正弦函数在单位圆的右半圆是单调增加的？答案不能，右半圆可以表示无数个区间，只能说正弦函数在每一个区间 [2kπ－π2，2kπ＋π2] (k∈Z)上是增加的.
答案
梳理
正弦、余弦函数的性质
正弦函数(y＝sin x)
余弦函数(y＝cos x)
定义域
R
值域
[－1， 1]
最小值
当x＝－
解答
(2)已知函数y＝asin x＋1的最大值为3，求它的最小值. 解当a>0时，ymax＝a×1＋1＝3，得a＝2， ∴当sin x＝－1时，ymin＝2×(－1)＋1＝－1；当a<0时，ymax＝a×(－1)＋1＝3，得a＝－2， ∴当sin x＝1时，ymin＝－2×1＋1＝－1. ∴它的最小值为－1.

单位圆与正弦函数余弦函数的基本性质课件

三角恒等式与单位圆
三角恒等式的定义
三角恒等式是三角函数之间的一些基本关系式，如sin^2(x) + cos^2(x) = 1。
三角恒等式与单位圆的关系
三角恒等式可以通过单位圆上的三角函数值来证明。例如，在单位圆上，任意一点的x坐标可以视为cos(x)，y坐标可以视为sin(x)。因此，点(cos(x), sin(x)) 必定位于单位圆上，满足sin^2(x) + cos^2(x) = 1。
余弦函数的应用
余弦函数在数学、物理、工程等领域有广泛应用。
在数学中，余弦函数用于解决三角问题、级数展开等问题。在物理中，余弦函数用于描述振动、波动等现象。在工程中，余弦函数用于信号处理、控制系统等领域。
04
单位圆与正弦函数余弦函数的关系
单位圆与正弦函数的关系
01
单位圆上正弦函数的定义
正弦函数的性质
周期性
正弦函数具有周期性，其周期为2π。
奇偶性
正弦函数是奇函数，满足sin(x) = -sin(x)。
单调性
在区间[0, π/2]和[3π/2, 2π]内，正弦函数是单调递增的；在区间[π/2, 3π/2]内，正弦函数是单调递减的。
有界性
正弦函数的取值范围为[-1, 1]。
中心对称性
单位圆关于原点对称，即任意一点 P(x,y)在单位圆上，则其关于原点的对称点(-x,-y)也在单位圆上。
旋转不变性
均匀性
单位圆上的各点密度相同，即单位长度内包含的点数相同。
单位圆在旋转过程中形状和大小保持不变。
单位圆的应用
三角函数定义
利用单位圆的性质，可以定义正弦函数和余弦函数。在单位圆上，正弦函数表示的是点到原点的距离与半径的比值，余弦函数表示的是相邻的半径与连线之间的夹角。