高考数学专题复习_椭圆

高考数学专题复习
椭圆
【考纲要求】
一、考点回顾
1. 椭圆的定义
2. 椭圆的标准方程
3. 椭圆的参数方程
4 椭圆的简单几何性质
5 点与椭圆的位置关系
6 关于焦点三角形与焦点弦
7 椭圆的光学性质
8. 关于直线与椭圆的位置关系问题常用处理方法
二 典例剖析
1 求椭圆的标准方程
【例1】（1）已知椭圆的中心在原点，焦点在x 轴上，一个焦点与短轴的两个端点的连
-方程为____________
（2）椭圆的中心在原点，焦点在坐标轴上，直线1y x =+交椭圆于,P Q 两点，
若0OP OQ ⋅=u u u r u u u r ，且2
PQ =u u u r ，则椭圆方程为_____________________
【例2】设椭圆()22
2210x y a b a b
+=>>的左焦点为F ，上顶点为A ，过A 点作AF 的垂线
分别交椭圆于P ，交x 轴于Q ，且85AP PQ =u u u r u u u r
（1）求椭圆的离心率。

（2）若过,,A F Q 三点的圆恰好与直线30x ++=相切，求椭圆的方程。

【例3】已知中心在原点的椭圆的左，右焦点分别为12,F F ，斜率为k 的直线过右焦点2F
与椭圆交于,A B 两点，与y 轴交于点M 点，且22MB BF =u u u r u u u r
（1
）若k ≤
（2
）若k =AB 的中点到右准线的距离为100
33
，求椭圆的方程
【例4】已知椭圆的中心在原点O ，
短轴长为右准线交x 轴于点A ，右焦点为F ，
且2OF FA =，过点A 的直线l 交椭圆于,P Q 两点 （1）求椭圆的方程
（2）若0OP OQ ⋅=u u u r u u u r
，求直线l 的方程
（3）若点Q 关于x 轴的对称点为Q '，证明：直线PQ '过定点 （4）求OPQ V 的最大面积
【例5】已知椭圆C的中心在原点，焦点在x轴上,椭圆C上的点到焦点的距离的最大值为3，最小值为1
（1）求椭圆C的标准方程
=+与椭圆交于,A B两点（,A B不是左，右顶点）且以（2）若直线:l y kx m
AB为直径的圆过椭圆C的右顶点，求证：直线l过定点，并求出该定
点的坐标
2 椭圆的性质
【例6】已知椭圆()22
2210x y a b a b
+=>>的两个焦点分别为()1,0F c -，()2,0F c ，在椭
圆上存在一点P ，使得120PF PF ⋅=u u u r u u u r
（1）求椭圆离心率e 的取值范围
（2）当离心率e 取最小值时，12PF F V 的面积为16，设,A B 是椭圆上两动点，
若线段AB 的垂直平分线恒过定点(0,Q 。

①求椭圆的方程；②求直线AB 的斜率k 的取值范围。

【注1】在方法二中，也可由QA QB =得到②
【注2】求取值范围问题通常要建立不等式，关于不等式的来源有以下几种情况：
（1）已知不等式；（2）椭圆上的点的横坐标满足0a x a -≤≤；（3）0∆>；
（4）椭圆内部的点()00,x y 满足22
00221x y a b
+<；
【例7】椭圆的中心在原点，焦点在x 轴上，斜率为1的直线过椭圆的右焦点2F 与椭圆
交于,A B 两点，OA OB +u u u r u u u r 与向量()3,1a =-r
共线。

（1）求椭圆的离心率e
（2）设M 为椭圆上任一点，若(),OM OA OB R λμλμ=+
∈u u u u r u u u r u u u r
，求证：22λμ+为
定值
【例8】已知A 为椭圆()22
2210x y a b a b
+=>>上一动点，弦,AB AC 分别过焦点12,F F ，
当AC x ⊥轴时，恰有123AF AF =.
（1）椭圆的离心率 （2）设111AF F B λ=u u u r u u u r ，222AF F C λ=u u u u r u u u u r
，判断12λλ+是否为定值？
【例9】设00(,)P x y 是椭圆()22
2210x y a b a b
+=>>上的定点，过P 点作两条直线,PA PB
与椭圆分别交于,A B 两点（异于P 点）且满足直线PA 与PB 的倾斜角互补，求证：直线AB 的斜率为定值
3. 最值问题
【例10】已知12,F F 是椭圆2214x y +=的左，右焦点以及两定点()1,,0,22
2M N ⎛⎫
⎪⎝⎭
（1）设P 为椭圆上一个动点
①求1PF PM +的最大值与最小值；②求12PF PF ⋅u u u r u u u r
的最大值与最小值。

（2）过N 点作直线l 与椭圆交于,A B 两点，若AOB ∠为锐角（O 为原点），求
直线l 的斜率的取值范围
【例11】已知椭圆
22
:1
43
x y
C+=，AB是垂直于x轴的弦，直线4
x=交x轴于点N，F
为椭圆C的右焦点，直线AF与BN交于点M （1）证明：点M在椭圆C上
（2）求AMN
V面积的最大值
【例12】已知椭圆的中心在原点，左，右焦点分别为())
12
0,0F F ，右顶点
为()2,0A ，设11,2M ⎛⎫
⎪⎝⎭
，过原点O 的直线与椭圆交于,B C 两点，求MBC V 的
最大值
【例13】（08 山东）已知曲线()1:
10x y
C a b a b
+=>>所围成的封闭图形的面积为曲线1C 的内切圆半径为
3
，记2C 是以1C 与坐标轴的交点为顶点的椭圆 （1）求椭圆2C 的标准方程
（2）设AB 是过椭圆2C 中心的任意弦，l 是AB 线段的垂直平分线，M 是l 上异
于椭圆中心的点。

①若MO OA λ=（O 为坐标原点）当A 点在椭圆2C 上运动时，求点M 的轨迹方程； ②若点M 是l 与椭圆2C 的交点，求AMB V 的最小面积
【例14】已知椭圆22
:143
x y C +=的左，右焦点分别为12,F F ，过1F 的直线与椭圆交于
,A B 两点
（1）求2AF B V 的面积的最大值
（2）当2AF B V 的面积最大值时，求12tan F AF ∠的值
【例15】(2009山东卷) 设椭圆E: ()22
2210x y a b a b
+=>>过M （2） ，,1)
两点，O 为坐标原点， （1）求椭圆E 的方程；
（2）是否存在圆心在原点的圆，使得该圆的任意一条切线与椭圆E 恒有两个交
点A,B,且OA OB ⊥u u u r u u u r
？若存在，写出该圆的方程，并求|AB |的取值范围，若
不存在说明理由。

（3）设直线l 与椭圆222:(2C x y r r +=<<相切于P 点，与椭圆E 只有一
个公共点Q ，当r 取何值时，PQ 取得最大值？并求此最大值
OP OQ ⊥，且圆的方程为2222
22
a b x y a b
+=+；反之，若OP OQ ⊥，则O 点到直线
PQ
的距离为定值
. 当k PQ b
a =±
时，|PQ|
取得最大值;当2
k 0PQ =或PQ x ⊥轴时，|PQ|
.
4 直线与椭圆的位置关系
【例16】已知12,F F 是椭圆2
2:14
x C y +=的左，右焦点，直线l 与椭圆相切。

（1）分别过12,F F 作切线l 的垂线，垂足分别为M N ，，求12F M F N ⋅的值 （3）设直线l 与x 轴，y 轴分别交于两点,A B ，求AB 的最小值。

【例17】已知椭圆
22
:1
94
x y
C+=，过点()
03
P，作直线l与椭圆顺次交于,A B两点（A在
,P B之间）。

（1）求PA
PB
的取值范围；（2）是否存在这样的直线l，使得以弦AB为直径的圆经过坐标原点？若存在，求l的方程，若不存在，说明理由。

【例18】设,A B 是椭圆()2230x y λλ+=>上两点，点()3N 1，
是线段AB 的中点，线段AB 的垂直平分线交椭圆于,C D 两点 （1）确定λ的取值范围，并求直线AB 的方程
（2）是否存在这样的实数λ，使得,,,A B C D 四点在同一圆上？并说明理由
【例19】（2010江苏）已知椭圆22
:195
x y C +=的左，
右焦点为12,F F ，左，右顶点为,A B ，过点()T t m ，的直线,TA TB 分别交椭圆于点()()()112212,0,0M x y N x y y y ><，，
（1）设动点P ，满足22
24PF PB -=，求点P 的轨迹方程
（2）当1x =2，21
3x =时，求T 点的坐标
（3）设9t =，求证：直线MN 过x 轴上的定点
三解题小结。