专题11 排列组合、二项式定理-三年高考(2014-2016)数学(理)试题分项版解析(原卷版)
三年高考(2014-2016)数学(理)真题分项版解析—— 专题11 排列组合、二项式定理
三年高考（2014-2016）数学（理）试题分项版解析第十一章排列、组合、二项式定理一、选择题1.【2016高考新课标2理数】如图，小明从街道的E处出发，先到F处与小红会合，再一起到位于G处的老年公寓参加志愿者活动，则小明到老年公寓可以选择的最短路径条数为（）（A）24 （B）18 （C）12 （D）9【答案】B【解析】试题分析：由题意，小明从街道的E处出发到F处最短有24C条路，再从F处到G处最短共有13C条路，则小明到老年公寓可以选择的最短路径条数为214318C C⋅=条，故选B.考点：计数原理、组合.【名师点睛】分类加法计数原理在使用时易忽视每类做法中每一种方法都能完成这件事情，类与类之间是独立的．分步乘法计数原理在使用时易忽视每步中某一种方法只是完成这件事的一部分，而未完成这件事，步步之间是相关联的．2.【2016年高考四川理数】设i为虚数单位，则6()x i+的展开式中含x 4的项为（A ）－15x 4 （B ）15x 4 （C ）－20i x 4 （D ）20i x 4 【答案】A考点：二项展开式，复数的运算.【名师点睛】本题考查二项式定理及复数的运算，复数的概念及运算也是高考的热点，几乎是每年必考内容，属于容易题.一般来说，掌握复数的基本概念及四则运算即可．二项式6()x i +的展开式可以改为6()i x +，则其通项为66r r r C i x -，即含4x 的项为46444615C i x x -=-．3. 【2014高考广东卷.理.8】设集合(){}{}12345,,,,1,0,1,1,2,3,4,5iA x x x x x x i =∈-=，那么集合A 中满足条件“1234513x x x x x ≤++++≤”的元素个数为( )A .60B .90C .120D .130 【答案】D【考点定位】本题考查分类计数原理，属于拔高题【名师点晴】本题主要考查的是分类计数原理，属于难题．解题时一定要注意选出的元素是否与顺序有关，否则很容易出现错误．利用排列组合计数时，关键是正确进行分类和分步，分类时要做到不重不漏，防止出现错误．4. 【 2014湖南4】5122x y ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中32y x 的系数是（ ） A.20- B.5- C.5 D.20 【答案】A【解析】根据二项式定理可得第1n +项展开式为()55122nnn C x y -⎛⎫- ⎪⎝⎭,则2n =时,()()2532351*********nn n C x y x y x y -⎛⎫⎛⎫-=-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,所以23x y 的系数为20-,故选A.【考点定位】二项式定理【名师点睛】本题主要考查的是二项式定理，属于容易题，解本题需要掌握的知识点是二项式定理，即二项式()n a b +的展开式的通项是1C k n k kk n ab -+T =，然后令n 选取恰当的值得到结果.5. 【2016年高考四川理数】用数字1，2，3，4，5组成没有重复数字的五位数，其中奇数的个数为（A ）24 （B ）48 （C ）60 （D ）72 【答案】D 【解析】试题分析：由题意，要组成没有重复的五位奇数，则个位数应该为1、3、5中之一，其他位置共有随便排共44A 种可能，所以其中奇数的个数为44372A =，故选D. 考点：排列、组合【名师点睛】利用排列组合计数时，关键是正确进行分类和分步，分类时要注意不重不漏，分步时要注意整个事件的完成步骤．在本题中，个位是特殊位置，第一步应先安排这个位置，第二步再安排其他四个位置．.6. 【2015高考陕西，理4】二项式(1)()n x n N ++∈的展开式中2x 的系数为15，则n =（ ）A ．4B ．5C ．6D ．7 【答案】C【考点定位】二项式定理．【名师点晴】本题主要考查的是二项式定理，属于容易题．解题时一定要抓住重要条件“n +∈N ”，否则很容易出现错误．解本题需要掌握的知识点是二项式定理，即二项式()na b +的展开式的通项是1C k n k k k n a b -+T =．7. 【2016高考新课标3理数】定义“规范01数列”{}n a 如下：{}n a 共有2m 项，其中m 项为0，m 项为1，且对任意2k m ≤，12,,,k a a a 中0的个数不少于1的个数.若4m =，则不同的“规范01数列”共 有（ ）（A ）18个 （B ）16个 （C ）14个 （D ）12个 【答案】C 【解析】试题分析：由题意，得必有10a =，81a =，则具体的排法列表如下：【方法点拨】求解计数问题时，如果遇到情况较为复杂，即分类较多，标准也较多，同时所求计数的结果不太大时，往往利用表格法、树枝法将其所有可能一一列举出来，常常会达到岀奇制胜的效果．8.【2014四川，理2】在6+的展开式中，含3x项的系数为（）x x(1)A．30B．20C．15D．10【答案】C【解析】试题分析：623456+=++++++，所以含3x项的x x x x x x x x x(1)(161520156)系数为15.选C【考点定位】二项式定理.【名师点睛】常规问题直接利用二项式定理求解，其中通项是核心，运算是保证；比较复杂的问题要回到最本质的计数原理去解决，而不是一味利用公式.另外，概念不清，涉及幂的运算出现错误，或者不能从最本质的计数原理出发解决问题，盲目套用公式都是考试中常犯的错误.10.【2014四川，理6】六个人从左至右排成一行，最左端只能排甲或乙，最右端不能排甲，则不同的排法共有（）A．192种B．216种C．240种D．288种【答案】B【解析】试题分析：最左端排甲，有5!120⨯=种=种排法；最左端排乙，有44!96排法，共有12096216+=种排法.选B.【考点定位】排列组合.【名师点睛】涉及排列与组合问题，区分的关键是看选出的元素是否与顺序有关，排列问题与顺序有关，组合问题与顺序无关．“含”与“不含”的问题：“含”，则先将这些元素取出，再由另外元素补足；“不含”，则先将这些元素剔除，再从剩下的元素中去选取．通常用直接法分类复杂时，考虑逆向思维，用间接法处理．11.【2015高考四川，理6】用数字0，1，2，3，4，5组成没有重复数字的五位数，其中比40000大的偶数共有（）（A）144个（B）120个（C）96个（D）72个【答案】B【考点定位】排列组合.【名师点睛】利用排列组合计数时，关键是正确进行分类和分步，分类时要注意不重不漏.在本题中，万位与个位是两个特殊位置，应根据这两个位置的限制条件来进行分类.12.【2015高考新课标1，理10】25x y的系数++的展开式中，52x x y()为( )（A）10 （B）20 （C）30 （D）60 【答案】C【解析】在25++的5个因式中，2个取因式中2x剩余的3个因式()x x y中1个取x ，其余因式取y,故52x y 的系数为212532C C C =30，故选 C. 【考点定位】本题主要考查利用排列组合知识计算二项式展开式某一项的系数.【名师点睛】本题利用排列组合求多项展开式式某一项的系数，试题形式新颖，是中档题，求多项展开式式某一项的系数问题，先分析该项的构成，结合所给多项式，分析如何得到该项，再利用排列组知识求解.14. 【2014年.浙江卷.理5】在46)1()1(y x ++的展开式中，记n m y x 项的系数为),(n m f ，则=+++)3,0(2,1()1,2()0,3(f f f f ）（ ）A.45B.60C.120D. 210 答案：C 解析：由题意可得()()()()3211236646443,02,11,20,32060364120f f f f C C C C C C ++=+++=+++=，故选C考点：二项式系数.【名师点睛】本题主要考查二项式定理的应用，二项式展开式的通项公式，求展开式中某项的系数，属于中档题．求二项展开式中的项的方法：求二项展开式的特定项问题，实质是考查通项1k n k k k n T C a b －＋＝的特点，一般需要建立方程求k ，再将k 的值代回通项求解，注意k 的取值范围(k ＝0,1,2，…，n)．(1)第m 项：此时k ＋1＝m ，直接代入通项；(2)常数项：即这项中不含“变元”，令通项中“变元”的幂指数为0建立方程；(3)有理项：令通项中“变元”的幂指数为整数建立方程．特定项的系数问题及相关参数值的求解等都可依据上述方法求解．15.【2014高考重庆理第9题】某次联欢会要安排3个歌舞类节目、2个小品类节目和1个相声类节目的演出顺序，则同类节目不相邻的排法种数是( )A.72B.120C.144D.168 【答案】B考点：1、分类加法计数原理；2、排列.【名师点睛】本题考查了综合应用排列与组合知识解决实际的计数问题，属于中档题目，根据条件将分类，然后用分类计数原获得结果. 16. 【2014湖北卷2】若二项式7)2(xa x +的展开式中31x的系数是84，则实数=a （ ）A.2B. 54C. 1D. 42 【答案】C 【解析】试题分析：因为r r r r r r r x a C xax C 2777772)()2(+---⋅⋅⋅=⋅⋅，令327-=+-r ，得2=r ，所以84227227=⋅⋅-a C ，解得1=a ，故选C.考点：二项式定理的通项公式，容易题.【名师点睛】本题考查了二项式定理的运用，其解题的关键是根据已知建立方程关系，属容易题.充分体现了方程思想在数学解题中的应用，能较好的考查学生对教材中的基本概念、基本规律和基本操作的识记能力和运算能力.17. 【2015高考湖北，理3】已知(1)n x +的展开式中第4项与第8项的二项式系数相等，则奇数项的二项式系数和为（ ） A.122 B ．112 C．102D ．92【答案】D【解析】因为(1)n x +的展开式中第4项与第8项的二项式系数相等，所以73nn C C =，解得10=n ，所以二项式10(1)x +中奇数项的二项式系数和为9102221=⨯.【考点定位】二项式系数，二项式系数和.【名师点睛】二项式定理中应注意区别二项式系数与展开式系数，各二项式系数和：n nn n nn C C C C 2210=+⋅⋅⋅+++，奇数项的二项式系数和与偶数项的二项式系数和相等=⋅⋅⋅++++420n n n C C C 15312-=⋅⋅⋅++++n n n nC C C . 18. 【2014辽宁理6】把椅子摆成一排，3人随机就座，任何两人不相邻的做法种数为（ ）A ．144B ．120C ．72D ．24 【答案】C考点：排列组合.【名师点睛】本题考查简单排列组合应用问题.从近几年高考对这部分内容的考查看，基本是排列与组合相结合，多可以结合图表分析解题途径.本题首先将座位编号，分析任何两人都不相邻的情况，再安排人员就坐，现实背景熟悉，分析形象直观，易于理解.本题是一道基础题，考查排列组合基础知识，同时考查考生的计算能力及分析问题解决问题的能力.19. 【2015湖南理2】已知5的展开式中含32x 的项的系数为30，则a =（ ）B. C.6 D-6 【答案】D. 【解析】试题分析：r rrrr xa C T -+-=2551)1(，令1=r ，可得6305-=⇒=-a a ，故选D.【考点定位】二项式定理.【名师点睛】本题主要考查了二项式定理的运用，属于容易题，只要掌握n b a )(+的二项展开式的通项第1+r 项为r r n r n r b a C T -+=1，即可建立关于a 的方程，从而求解. 二、填空题1. 【2016年高考北京理数】在6(12)x -的展开式中，2x 的系数为__________________.（用数字作答） 【答案】60. 【解析】试题分析：根据二项展开的通项公式16(2)r r r r T C x +=-可知，2x 的系数为226(2)60C -=，故填：60.考点：二项式定理.【名师点睛】1.所谓二项展开式的特定项，是指展开式中的某一项，如第n 项、常数项、有理项、字母指数为某些特殊值的项.求解时，先准确写出通项r r n r n r b a C T -+=1，再把系数与字母分离出来(注意符号)，根据题目中所指定的字母的指数所具有的特征，列出方程或不等式来求解即可；2、求有理项时要注意运用整除的性质，同时应注意结合n 的范围分析.2. 【2016高考新课标1卷】5(2)x +的展开式中,x 3的系数是 .（用数字填写答案） 【答案】10考点:二项式定理3. 【2016高考天津理数】281()x x-的展开式中x 2的系数为__________.(用数字作答)【答案】56- 【解析】试题分析：展开式通项为281631881()()(1)r r r r r r r T C x C x x--+=-=-，令1637r -=，3r =，所以7x 的338(1)56C -=-．故答案为56-． 考点：二项式定理【名师点睛】1.求特定项系数问题可以分两步完成：第一步是根据所给出的条件(特定项)和通项公式，建立方程来确定指数(求解时要注意二项式系数中n 和r 的隐含条件，即n ，r 均为非负整数，且n ≥r )；第二步是根据所求的指数，再求所求解的项．2．有理项是字母指数为整数的项．解此类问题必须合并通项公式中同一字母的指数，根据具体要求，令其为整数，再根据数的整除性来求解．4. 【2016高考山东理数】若（a x 2）5的展开式中x 5的系数是—80，则实数a =_______. 【答案】-2 【解析】试题分析：因为5102552155()r rrr r rr T Cax C a x ---+==，所以由510522r r -=⇒=，因此252580 2.C a a -=-⇒=- 考点：二项式定理【名师点睛】本题是二项式定理问题中的常见题型，二项展开式的通项公式，往往是考试的重点.本题难度不大，易于得分.能较好的考查考生的基本运算能力等.5.【2015高考天津，理12】在614xx⎛⎫-⎪⎝⎭的展开式中，2x的系数为 .【答案】1516【考点定位】二项式定理及二项展开式的通项.【名师点睛】本题主要考查二项式定理及二项展开式的通项的应用.应用二项式定理典型式的通项，求出当2r=时的系数，即可求得结果，体现了数学中的方程思想与运算能力相结合的问题.6. 【2013高考北京理第12题】将序号分别为1,2,3,4,5的5张参观券全部分给4人，每人至少1张，如果分给同一人的2张参观券连号，那么不同的分法种数是__________．【答案】96【解析】试题分析：连号有4种情况，从4人中挑一人得到连号参观券，其余可以全排列，则不同的分法有4×1343C A＝96(种)．考点：排列组合.名师点睛：本题考查排列、组合及计数原理有关问题，本题属于中等难度问题，高考每年都会考查这个问题，题目或简或难，由于命题可以很灵活，可以考查简单的计数，也可以考查具体的排列组合基本方法如：相邻问题捆绑法、不邻插空法、分排问题直排法、有序问题用除法、隔板法等，本题为先选后排问题，从4人中挑一人得到连号参观券，其余可以全排列，而得连号有四种可能情况发生，解决这样的问题需要学生不但要有扎实的基本功，还要有分析问题和解决问题的能力.7. 【2014高考北京理第13题】把5件不同产品摆成一排，若产品A 与产品B 相邻， 且产品A 与产品C 不相邻，则不同的摆法有 种. 【答案】36考点：排列组合，容易题.【名师点睛】本题考查排列、组合及计数原理有关问题，本题属于中等难度问题，高考每年都会考查这个问题，题目或简或难，由于命题可以很灵活，可以考查简单的计数，也可以考查具体的排列组合基本方法如：相邻问题捆绑法、不邻插空法、分排问题直排法、有序问题用除法、隔板法等，需要学生不但要有扎实的基本功，还要有分析问题和解决问题的能力.8. 【2015高考北京，理9】在()52x +的展开式中，3x 的系数为．（用数字作答）【答案】40【解析】利用通项公式，5152r r r r T C x -+=⋅，令3r =，得出3x 的系数为325240C ⋅=【考点定位】本题考点为二项式定理，利用通项公式，求指定项的系数.【名师点睛】本题考查二项式定理，利用通项公式求出指定项的系数，本题属于基础题,要求正确使用通项公式1r n r r r n T C a b -+=，准确计算指定项的系数.9. 【2014高考广东卷.理.11】从0.1.2.3.4.5.6.7.8.9中任取七个不同的数，则这七个数的中位数是6的概率为 . 【答案】16.【解析】上述十个数中比6小的数有6个，比6大的数有3个，要使得所选的七个数的中位数为6，则应该在比6大的数中选择3个，在比6大的数中也选择3个，因此所求事件的概率为336371016C C P C ==.【考点定位】本题考查排列组合与古典概型的概率计算，属于能力题. 【名师点晴】本题主要考查的是排列组合和古典概型，属于中等题．解题时要抓住重要字眼“中位数是6”，否则很容易出现错误．用排列组合列举基本事件一定要做到不重不漏，防止出现错误．解本题需要掌握的知识点是古典概型概率公式，即()A P A =包含的基本事件的个数基本事件的总数．10. 【2015高考广东，理9】在4)1(-x 的展开式中，x 的系数为 . 【答案】6．【考点定位】二项式定理．【名师点睛】本题主要考查二项式定理和运算求解能力，属于容易题，解答此题关键在于熟记二项展开式的通项即展开式的第1r +项为：()*12,r n r r r n T C a b n N n r N -+=∈≥∈且．11. 【2015高考广东，理12】某高三毕业班有40人，同学之间两两彼此给对方仅写一条毕业留言，那么全班共写了 条毕业留言．（用数字作答） 【答案】1560．【解析】依题两两彼此给对方写一条毕业留言相当于从40人中任选两人的排列数，所以全班共写了24040391560A =⨯=条毕业留言，故应填入1560．【考点定位】排列问题．【名师点睛】本题主要考查排列问题，属于中档题，解答此题关键在于认清40人两两彼此给对方仅写一条毕业留言是个排列问题． 12.【2014山东.理14】 若26()b ax x+的展开式中3x 项的系数为20，则22b a +的最小值 . 【答案】2【名师点睛】本题考查二项式定理及其通项公式、基本不等式.从近几年高考对二项式定理的考查看，基本是以通项公式为解题的突破口，本题对有理指数幂的运算要求较高，容易出现计算不准而使解答陷入误区.本题是一道小综合题，重点考查二项式定理及其通项公式、基本不等式等基础知识，同时考查考生的计算能力及分析问题解决问题的能力.13.【2014新课标，理13】 ()10x a +的展开式中，7x 的系数为15，则a =________.(用数字填写答案) 【答案】12【解析】因为10110r r rr T C x a -+=，所以令107r -=，解得3r =，所以373410T C x a ==157x ，解得12a =. 【考点定位】二项式定理.【名师点睛】本题主要考查了二项式定理的通项公式，属于基础题，利用通项公式写出特定项的系数，是二项式题目的最常见题目. 14.【2015高考新课标2，理15】4()(1)a x x ++的展开式中x 的奇数次幂项的系数之和为32，则a =__________． 【答案】3【解析】由已知得4234(1)1464x x x x x +=++++，故4()(1)a x x ++的展开式中x 的奇数次幂项分别为4ax ，34ax ，x ，36x ，5x ，其系数之和为441+6+1=32a a ++，解得3a =．【考点定位】二项式定理．【名师点睛】本题考查二项式定理，准确写出二项展开式，能正确求出奇数次幂项以及相应的系数和，从而列方程求参数值，属于中档题．15. 【2015高考四川，理11】在5(21)x -的展开式中，含2x 的项的系数是 （用数字作答）. 【答案】40-. 【解析】55(21)(12)x x -=--，所以2x 的系数为225(2)40C -⨯-=-.【考点定位】二项式定理.【名师点睛】涉及二项式定理的题，一般利用其通项公式求解.16. 【2016高考上海理数】在nx x ⎪⎭⎫⎝⎛-23的二项式中，所有项的二项式系数之和为256，则常数项等于_________. 【答案】112 【解析】 试题分析：因为二项式所有项的二项系数之和为n 2，所以n 2256=，所以n 8=，二项式展开式的通项为84r r 8rr r r 33r 1882T C ()(2)C x x --+=-=-，令84r 033-=，得r 2=，所以3T 112=.考点：1.二项式定理；2.二项展开式的系数.【名师点睛】根据二项式展开式的通项，确定二项式系数或确定二项展开式中的指定项，是二项式定理问题中的基本问题，往往要综合运用二项展开式的系数的性质、二项式展开式的通项求解. 本题能较好地考查考生的思维能力、基本计算能力等.17. 【2014课标Ⅰ，理13】()()8x y x y -+的展开式中27x y 的系数为________.（用数字填写答案）【答案】20-【考点定位】二项式定理．【名师点睛】本题主要考查二项式定理的应用，考查考生的记忆能力和计算能力.18.【2014年.浙江卷.理14】在8张奖券中有一、二、三等奖各1张，其余5张无奖.将这8张奖券分配给4个人，每人2张，不同的获奖情况有_____种（用数字作答）.答案：60解析：不同的获奖分两种，一是有一人获两张将卷，一人获一张，共有223436C A=，二是有三人各获得一张，共有3424A=，因此不同的获奖情况有60种考点：排列组合.【名师点睛】本题考查排列、组合的应用，关键在于明确事件之间的关系，同时要掌握分类讨论的处理方法；解决排列问题的主要方法(1)“在”与“不在”的有限制条件的排列问题，既可以从元素入手，也可以从位置入手，原则是谁“特殊”谁优先．不管是从元素考虑还是从位置考虑，都要贯彻到底，不能既考虑元素又考虑位置．(2)解决相邻问题的方法是“捆绑法”，即把相邻元素看做一个整体和其他元素一起排列，同时要注意捆绑元素的内部排列．(3)解决不相邻问题的方法是“插空法”，即先考虑不受限制的元素的排列，再将不相邻的元素插在前面元素排列的空当中．(4)对于定序问题，可先不考虑顺序限制，排列后，再除以定序元素的全排列．(5)若某些问题从正面考虑比较复杂，可从其反面入手，即采用“间接法”．两类组合问题的解法(1)“含”与“不含”的问题：“含”，则先将这些元素取出，再由另外元素补足；“不含”，则先将这些元素剔除，再从剩下的元素中去选取．(2)“至少”、“最多”的问题：解这类题必须十分重视“至少”与“最多”这两个关键词的含义，谨防重复与漏解．用直接法或间接法都可以求解．通常用直接法分类复杂时，考虑逆向思维，用间接法处理．19. 【2015高考重庆，理12】53x ⎛+ ⎝的展开式中8x 的系数是________(用数字作答). 【答案】52【解析】二项展开式通项为7153521551()()2kkkkk k k T C x C x --+==，令71582k -=，解得2k =，因此8x 的系数为22515()22C =. 【考点定位】二项式定理【名师点晴】()na b +的展开式的二项式系数与该项的系数是两个不同的概念，前者只是指k n C ，它仅是与二项式的幂的指数n 及项数有关的组合数，而与a ，b 的值无关；而后者是指该项除字母外的部分，即各项的系数不仅与各项的二项式系数有关，而且也与a ，b 的系数有关．在求二项展开式特定项的系数时要充分注意这个区别.20. 【2014，安徽理13】设n a ,0≠是大于1的自然数，na x ⎪⎭⎫⎝⎛+1的展开式为n n x a x a x a a ++++ 2210．若点)2,1,0)(,(=i a i A i i 的位置如图所示，则______=a ．【答案】3考点：1．二项展开式的应用．【名师点睛】二项式常规问题直接利用二项式定理求解，其中通项是核心，运算是保证；比较复杂的问题要回到最本质的计数原理去解决，而不是一味利用公式.另外，概念不清，涉及幂的运算出现错误，或者不能从最本质的计数原理出发解决问题，盲目套用公式都是考试中常犯的错误.本题要结合图形给定的条件与二项式展开中各项的表示. 21.【2015高考安徽，理11】371()x x+的展开式中5x 的系数是 .（用数字填写答案） 【答案】35【解析】由题意，二项式371()x x+展开的通项372141771()()r r r r r r T C x C x x--+==，令2145r -=，得4r =，则5x 的系数是4735C =. 【考点定位】1.二项式定理的展开式应用.【名师点睛】常规问题直接利用二项式定理求解，其中通项是核心，运算是保证；比较复杂的问题要回到最本质的计数原理去解决，而不是一味利用公式.另外，概念不清，涉及幂的运算出现错误，或者不能从最本质的计数原理出发解决问题，盲目套用公式都是考试中常犯的错误.22.【2015高考福建，理11】()52x + 的展开式中，2x 的系数等于 ．（用数字作答） 【答案】80【解析】()52x + 的展开式中2x 项为2325280C x =，所以2x 的系数等于80． 【考点定位】二项式定理．【名师点睛】本题考查二项式定理的特定项问题，往往是根据二项展开式的通项和所求项的联系解题，属于基础题，注意运算的准确度． 23.【2016高考江苏卷】（本小题满分10分）（1）求3467–47C C 的值；（2）设m ，n ∈N *，n ≥m ，求证：（m +1）C m m +（m +2）+1C m m +（m +3）+2C m m +…+n –1C mn +（n +1）C m n =（m +1）+2+2C m n .【答案】（1）0（2）详见解析试题解析：解：（1）3467654765474740.3214321C C ⨯⨯⨯⨯⨯-=⨯-⨯=⨯⨯⨯⨯⨯（2）当n m =时，结论显然成立，当n m >时11(1)!(1)!(1)(1)(1),1,2,,.!()!(1)![(k 1)(m 1)]!m m k k k k k k C m m C k m m n m k m m +++⋅++==+=+=++-++-+又因为122112,m m m k k k C C C +++++++=所以2221(1)(1)(),k m 1,m+2,n.m m m k k k k C m C C +++++=+-=+，因此12122222222232432122(1)(2)(3)(n 1)(1)[(2)(3)(n 1)](1)(1)[()()()](1)m m mmm m m nm m mmm m m n m m m m m m m m m m m m n n m n m C m C m C C m C m C m C C m Cm CCCCCCm C +++++++++++++++++++++++++++=+++++++=+++-+-+-=+考点：组合数及其性质【名师点睛】本题从性质上考查组合数性质，从方法上考查利用数学归纳法解决与自然数有关命题，从思想上考查运用算两次解决二项式有关模型. 组合数性质不仅有课本上介绍的111m m m k k k C C C ++++=、=m k m k k C C -，更有11k k n n kC nC --=，现在又有11(1)(m 1),(,1,,)m m k k k C C k m m n +++=+=+，这些性质不需记忆，但需会推导，更需会应用.。
专题11 排列组合与二项式定理2023年高考真题和模拟题数学分项汇编(全国通用)(原卷版)
专题11 排列组合与二项式定理（新课标全国Ⅰ卷）1．某学校开设了4门体育类选修课和4门艺术类选修课，学生需从这8门课中选修2门或3门课，并且每类选修课至少选修1门，则不同的选课方案共有________种（用数字作答）．（新课标全国Ⅰ卷）2．某学校为了解学生参加体育运动的情况，用比例分配的分层随机抽样方法作抽样调查，拟从初中部和高中部两层共抽取60名学生，已知该校初中部和高中部分别有400名和200名学生，则不同的抽样结果共有（ ）．A ．4515400200C C ⋅种B ．2040400200C C ⋅种 C ．3030400200C C ⋅种 D ．4020400200C C ⋅种 （全国乙卷数学(理)）3．甲乙两位同学从6种课外读物中各自选读2种，则这两人选读的课外读物中恰有1种相同的选法共有（ ）A ．30种B ．60种C ．120种D ．240种（全国甲卷数学（理））4．有五名志愿者参加社区服务，共服务星期六、星期天两天，每天从中任选两人参加服务，则恰有1人连续参加两天服务的选择种数为（ ）A ．120B ．60C ．40D ．30 （新高考天津卷）5．在6312x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中，2x 项的系数为_________．1．（2023·河北沧州·校考模拟预测）()52x x y -+的展开式中52x y 的系数为（ ） A ．10- B ．10 C ．30- D ．302．（2023·河南·校联考模拟预测）古代中国的太极八卦图是以同圆内的圆心为界，画出形状相同的两个阴阳鱼，阳鱼的头部有个阴眼，阴鱼的头部有个阳眼，表示万物都在相互转化，互相渗透，阴中有阳，阳中有阴，阴阳相合，相生相克，蕴含现代哲学中的矛盾对立统一规律，由八卦模型图可抽象得到正八边形，从该正八边形的8个顶点中任意取出4个构成四边形，其中梯形的个数为（ ）A ．8B ．16C ．24D ．323．（2023·北京海淀·北大附中校考三模）在32x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式中，常数项为（ ） A ．1 B ．3 C ．6 D ．12 4．（2023·河北衡水·衡水市第二中学校考三模）第19届亚运会将于2023年9月在杭州举行，在杭州亚运会三馆（杭州奥体中心主体育馆、游泳馆和综合训练馆）对外免费开放预约期间，甲、乙、丙、丁4人预约参观，且每人预约了1个或2个馆，则这4人中每个馆恰有2人预约的不同方案有（ ）A ．76种B ．82种C ．86种D ．90种5．（2023·新疆喀什·校考模拟预测）魔方，又叫鲁比克方块，最早是由匈牙利布达佩斯建筑学院厄尔诺·鲁比克教授于1974年发明的机械益智玩具.魔方拥有竞速、盲拧、单拧等多种玩法，风靡程度经久未衰，每年都会举办大小赛事，是最受欢迎的智力游戏之一.已知经典三阶魔方（如图）自由转动之后的色块组合约有4.3×1019种，现将下图已还原的魔方按5步打乱，且每一步互相独立，则共有（ ）种打乱方式.A ．518AB ．527AC ．185D ．1956．（2023·广东汕头·金山中学校考三模）安排A ，B ，C ，D ，E ，F 共6名义工照顾甲、乙、丙三位老人，每两位义工照顾一位老人，考虑到义工与老人住址距离问题，义工A 不安排照顾老人甲，则安排方法共有（ ）种A ．60B ．61C ．62D ．637．（2017·辽宁沈阳·校联考一模）4()x y z ++的展开式共（ ）A ．10项B ．15项C ．20项D ．21项 8．（2023·河南·校联考模拟预测）101x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中，7x -的系数等于（ ） A ．45 B ．10 C ．45- D ．10-9．（2023·广东·校联考模拟预测）某人从上一层到二层需跨10级台阶，他一步可能跨1级台阶，称为一阶步，也可能跨2级台阶，称为二阶步，最多能跨3级台阶，称为三阶步，从一层上到二层他总共跨了6步，而且任何相邻两步均不同阶，则他从一层到二层可能的不同走法共有（ ）种.A ．10B ．9C ．8D ．12 10．（2023·河南驻马店·统考三模）在()72x y z -+的展开式中，322x y z 项的系数为（ ）A ．1680B ．210C ．－210D ．－168011．（2024·安徽黄山·屯溪一中校考模拟预测）已知8280128()(2)f x x a a x a x a x =-=++++，则下列描述正确的是 （ ）A ．1281a a a +++=B ．(1)f -除以5所得的余数是1C ．812383a a a a +++⋯+=D ．2382388a a a +++=- 12．（2024·安徽黄山·屯溪一中校考模拟预测）为庆祝广益中学建校130周年，高二年级派出甲､乙､丙､丁､戊5名老师参加“130周年办学成果展”活动，活动结束后5名老师排成一排合影留念，要求甲、乙两人不相邻且丙、丁两人必须相邻，则排法共有（ ）种.A ．40B ．24C ．20D ．1213．（2023·山东泰安·统考模拟预测）若()()()550153411x a a x a x -=+-+⋅⋅⋅+-，则123452345a a a a a ++++=____.14．（2023·云南保山·统考二模）春节（Spring Festival ），即中国农历新年（Chinese New Year ），俗称“新春”“新岁”“岁旦”等，又称“过年”“过大年”，是集除旧布新、拜神祭祖、祈福辟邪、亲朋团圆、欢庆娱乐和饮食为一体的民俗大节.某商家在春节前开展商品促销活动，凡购物顾客都可以从“福”字、春联和灯笼这三类礼品中任意免费领取一件，若有4名顾客都领取一件礼品，其中恰有2人领取的礼品种类相同，则不同的情况共有______种.15．（2023·河北衡水·衡水市第二中学校考三模）6112x x x x ⎛⎫⎛⎫+- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭的展开式中3x 的系数为______．（用数字作答）16．（2023·广东·校联考模拟预测）已知12nx x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的二项式系数的和为64，则其展开式的常数项为______.（用数字作答）17．（2023·广东东莞·校联考模拟预测）甲、乙、丙3所学校每所学校各派出两名同学，现从这六名同学中任取两名，安排到甲、乙、丙3所学校交流.每所学校至多安排一名同学，每名同学只能去一所学校且不能去自己原先的学校，则不同的安排方法有________种. 19．（2023·湖南衡阳·衡阳市八中校考模拟预测）在132x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中，二次项系数是___________.（用数字作答）20．（2023·浙江温州·乐清市知临中学校考二模）一个圆的圆周上均匀分布6个点，在这些点与圆心共7个点中，任取3个点，这3个点能构成不同的等边三角形个数为__________.。
高考数学试题解析专题11 排列组合、二项式定理(教师版) 理
2012年高考试题分项版解析数学（理科）专题11 排列组合、二项式定理（教师版）一、选择题:1.(2012年高考新课标全国卷理科2)将2名教师，4名学生分成2个小组，分别安排到甲、乙两地参加社会实践活动，每个小组由1名教师和2名学生组成，不同的安排方案共有（）()A12种()B10种()C9种()D8种【答案】A【解析】甲地由1名教师和2名学生：122412C C=种.2. (2012年高考北京卷理科6)从0，2中选一个数字.从1.3.5中选两个数字,组成无重复数字的三位数.其中奇数的个数为( )A. 24B. 18C. 12D. 63．(2012年高考浙江卷理科6)若从1，2，2，…，9这9个整数中同时取4个不同的数，其和为偶数，则不同的取法共有（）A．60种 B．63种 C．65种 D．66种4.(2012年高考山东卷理科11)现有16张不同的卡片，其中红色、黄色、蓝色、绿色卡片各4张，从中任取3张，要求这些卡片不能是同一种颜色，且红色卡片至多1张，不同取法的种数为（）（A ）232 (B)252 (C)472 (D)4845. (2012年高考辽宁卷理科5)一排9个座位坐了3个三口之家，若每家人坐在一起，则不同的坐法种数为（ ）(A)3×3！ (B) 3×(3！)3(C)(3！)4(D) 9！ 【答案】C【解析】此排列可分两步进行，先把三个家庭分别排列，每个家庭有3!种排法，三个家庭共有33!3!3!(3!)⨯⨯=种排法；再把三个家庭进行全排列有3!种排法。
因此不同的坐法种数为4(3!)，答案为C【考点定位】本题主要考查分步计数原理，以及分析问题、解决问题的能力，属于中档题。
6.(2012年高考天津卷理科5)在251(2)x x-的二项展开式中，x 的系数为（ ） （A ）10 （Ｂ）-10 （Ｃ）40 （Ｄ）-407.(2012年高考安徽卷理科7)2521(2)(1)x x+-的展开式的常数项是（ ） ()A 3- ()B 2- ()C 2 ()D 3 【答案】D【解析】第一个因式取2x ，第二个因式取21x得：1451(1)5C ⨯-= 第一个因式取2，第二个因式取5(1)-得：52(1)2⨯-=- 展开式的常数项是5(2)3+-=.8.(2012年高考安徽卷理科10)6位同学在毕业聚会活动中进行纪念品的交换，任意两位同学之间最多交换一次，进行交换的两位同学互赠一份纪念品，已知6位同学之间共进行了13次交换，则收到4份纪念品的同学人数为（ ）()A 1或3 ()B 1或4 ()C 2或3 ()D 2或4 【答案】D【解析】261315132C -=-=①设仅有甲与乙，丙没交换纪念品，则收到4份纪念品的同学人数为2人 ②设仅有甲与乙，丙与丁没交换纪念品，则收到4份纪念品的同学人数为4人. 9. (2012年高考湖北卷理科5)设a ∈Z ，且0≤a ≤13，若512012+a 能被13整除，则a=( )A.0B.1C.11D.1210. (2012年高考陕西卷理科8)两人进行乒乓球比赛，先赢3局者获胜，决出胜负为止，则所有可能出现的情形（各人输赢局次的不同视为不同情形）共有（ ） （A ） 10种 （B ）15种 （C ） 20种 （D ） 30种11.(2012年高考四川卷理科1)7(1)x +的展开式中2x 的系数是（ ） A 、42 B 、35 C 、28 D 、21 【答案】D【解析】二项式7)1(x +展开式的通项公式为1+k T =k k x C 7，令k=2，则2273x C T 、=21C x 272=∴的系数为.【考点定位】高考二项展开式问题题型难度不大，要得到这部分分值，首先需要熟练掌握二项展开式的通项公式，其次需要强化考生的计算能力.12. (2012年高考四川卷理科11)方程22ay b x c =+中的,,{3,2,0,1,2,3}a b c ∈--，且,,a b c 互不相同，在所有这些方程所表示的曲线中，不同的抛物线共有（ ）A 、60条B 、62条C 、71条D 、80条13.(2012年高考全国卷理科11)将字母a,a,b,b,c,c,排成三行两列，要求每行的字母互不相同，每列的字母也互不相同，则不同的排列方法共有（ ） （A ）12种（B ）18种（C ）24种（D ）36种14. (2012年高考重庆卷理科4)82x x 的展开式中常数项为（ ）A.1635 B.835 C.435 D.105 【答案】B 【解析】1,2x x取得次数为1:1(4:4)，展开式中常数项为448135()28C ⨯=. 二、填空题:1. (2012年高考广东卷理科10)261()x x+的展开式中3x 的系数为______.（用数字作答）2. (2012年高考福建卷理科11)4)(x a +的展开式中3x 的系数等于8，则实数=a _________.【答案】2【解析】4)(x a +中含3x 的一项为r rrr x aC T -+=441，令3=r ，则83434=-a C ，即2=a .【考点定位】本题考查的知识点为二项式定理的展开式，直接应用即可.3．(2012年高考上海卷理科5)在6)2(xx -的二项展开式中，常数项等于 .4. (2012年高考湖南卷理科13) ( x x6的二项展开式中的常数项为 .（用数字作答） 【答案】-160 【解析】( 2x x6的展开式项公式是663166C (2(C 2(1)r r r r rr r r T x x x ---+==-.由题意知30,3r r -==，所以二项展开式中的常数项为33346C 2(1)160T =-=-.【考点定位】本题主要考察二项式定理，写出二项展开式的通项公式是解决这类问题的常规办法.5. (2012年高考陕西卷理科12)5()a x +展开式中2x 的系数为10， 则实数a 的值为 ．6.(2012年高考全国卷理科15)若1()nx x+的展开式中第3项与第7项的二项式系数相等，则该展开式中21x的系数为 .。
高考数学总复习 专题11 排列组合、二项式定理分项练习(含解析)理1
专题11 排列组合、二项式定理一．基础题组1. 【2012全国，理2】将2名教师，4名学生分成2个小组，分别安排到甲、乙两地参加社会实践活动，每个小组由1名教师和2名学生组成，不同的安排方案共有( ) A ．12种 B ．10种 C ．9种 D ．8种 【答案】A2. 【2011全国新课标，理8】51()(2)a x x x x+-的展开式中各项系数的和为2，则该展开式中常数项为( ) A ．－40B ．－20C ．20D ．40【答案】D 【解析】3. 【2011全国，理7】某同学有同样的画册2本，同样的集邮册3本，从中取出4本赠送给4位朋友，每位朋友1本，则不同的赠送方法共有( ) A ．4种 B ．10种 C ．18种 D ．20种【答案】B【解析】第一类：从中取出的4本中有1本画册，3本集邮册，赠送给4位朋友有14C 种不同的赠送方法；第二类：从中取出的4本中有2本画册，2本集邮册，赠送给4位朋友有24C 种不同的赠送方法。
故共有124410C C +=种方法。
4. 【2009全国卷Ⅰ，理5】甲组有5名男同学、3名女同学；乙组有6名男同学、2名女同学.若从甲、乙两组中各选出2名同学，则选出的4人中恰有1名女同学的不同选法共有（ ） A.150种 B.180种 C.300种 D.345种 【答案】D5. 【2014课标Ⅰ，理14】甲、乙、丙三位同学被问到是否去过C B A ,,三个城市时， 甲说：我去过的城市比乙多，但没去过B 城市； 乙说：我没去过C 城市. 丙说：我们三个去过同一城市. 由此可判断乙去过的城市为__________ 【答案】A【解析】由丙说可知，乙至少去过A,B,C 中的一个城市，由甲说可知，甲去过A,C 且比乙去过的城市多，故乙只去过一个城市，且没去过C 城市，故乙只去过A 城市．6. 【2006全国，理15】安排7位工作人员在5月1日至5月7日值勤班，每人值班一天，其中甲、乙二人都不安排在5月1日和2日。
高考数学分项汇编 专题11 排列组合、二项式定理(含解析)理-人教版高三全册数学试题
专题11 排列组合、二项式定理1. 【2005高考重庆理第8题】若)12(x x -n 展开式中含21x 项的系数与含41x项的系数之比为－5，则n 等于（ ） A ．4B ．6C ．8D ．10 【答案】B 2. 【2006高考重庆理第5题】若nx x ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-13的展开式中各项系数之和为64，则展开式的常数项为（ ） （A ）－540 （B ）－162 （C ）162 （D ）540【答案】A3. 【2006高考重庆理第8题】将5名实习教师分配到高一年级的3个班实习，每班至少1名，最多2名，则不同的分配方案有（ ）（A ）30种 （B ）90种 （C ）180种 （D ）270种【答案】B4. 【2007高考重庆理第4题】若nx x )1(+展开式的二项式系数之和为64，则展开式的常数项为（ ）A.10B.20C.30D.120【答案】B5. 282()x x +的展开式中4x 的系数是（ ）A ．16B ．70C ．560D ．1120 【答案】6. 【2010高考重庆理第9题】某单位安排7位员工在10月1日至7日值班，每天安排1人，每人值班1天．若7位员工中的甲、乙排在相邻两天，丙不排在10月1日，丁不排在10月7日，则不同的安排方案共有 ( )A ．504种B ．960种C ．1 008种D ．1 108种【答案】C7. 【2011高考重庆理第4题】()13nx +（其中n N ∈且6a ≥）的展开式中5x 与6x 的系数相等，则n = （A ）6 (B)7(C) 8 (D)9【答案】B 。
8. 【2012高考重庆理第4题】812x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式中常数项为 A.1635 B.835 C.435 D.105 【答案】B9. 【2014高考重庆理第9题】某次联欢会要安排3个歌舞类节目、2个小品类节目和1个相声类节目的演出顺序，则同类节目不相邻的排法种数是( )A.72B.120C.144D.168【答案】B考点：1、分类加法计数原理；2、排列.10. 【2007高考重庆理第15题】某校要求每位学生从7门课程中选修4门，其中甲、乙两门课程不能都选，则不同的选课方案有___________种。
2019年高考数学真题分类汇编：专题(11)排列组合、二项式定(理科)及答案
专题十一 排列组合、二项式定理1.【2018高考陕西，理4】二项式(1)()n x n N ++∈的展开式中2x 的系数为15，则n =（ ） A ．4 B ．5 C ．6 D ．7 【答案】C【解析】二项式()1nx +的展开式的通项是1C r rr n x +T =，令2r =得2x 的系数是2C n ，因为2x 的系数为15，所以2C 15n =，即2300n n --=，解得：6n =或5n =-，因为n +∈N ，所以6n =，故选C ．【考点定位】二项式定理．【名师点晴】本题主要考查的是二项式定理，属于容易题．解题时一定要抓住重要条件“n +∈N ”，否则很容易出现错误．解本题需要掌握的知识点是二项式定理，即二项式()na b +的展开式的通项是1C k n k k k n a b -+T =．2.【2018高考新课标1，理10】25()x x y ++的展开式中，52x y 的系数为( ) （A ）10 （B ）20 （C ）30 （D ）60 【答案】C【解析】在25()x x y ++的5个因式中，2个取因式中2x 剩余的3个因式中1个取x ，其余因式取y,故52x y 的系数为212532C C C =30，故选 C.【考点定位】本题主要考查利用排列组合知识计算二项式展开式某一项的系数.【名师点睛】本题利用排列组合求多项展开式式某一项的系数，试题形式新颖，是中档题，求多项展开式式某一项的系数问题，先分析该项的构成，结合所给多项式，分析如何得到该项，再利用排列组知识求解. 3.【2018高考四川，理6】用数字0，1，2，3，4，5组成没有重复数字的五位数，其中比40000大的偶数共有（ ）（A ）144个 （B ）120个 （C ）96个 （D ）72个 【答案】B 【解析】据题意，万位上只能排4、5.若万位上排4，则有342A ⨯个；若万位上排5，则有343A ⨯个.所以共有342A ⨯343524120A +⨯=⨯=个.选B.【考点定位】排列组合.【名师点睛】利用排列组合计数时，关键是正确进行分类和分步，分类时要注意不重不漏.在本题中，万位与个位是两个特殊位置，应根据这两个位置的限制条件来进行分类.4.【2018高考湖北，理3】已知(1)n x +的展开式中第4项与第8项的二项式系数相等，则奇数项的二项式 系数和为（ ） A.122 B ．112 C ．102D ．92【答案】D【解析】因为(1)n x +的展开式中第4项与第8项的二项式系数相等，所以73nn C C =，解得10=n ， 所以二项式10(1)x +中奇数项的二项式系数和为9102221=⨯. 【考点定位】二项式系数，二项式系数和.【名师点睛】二项式定理中应注意区别二项式系数与展开式系数，各二项式系数和：n n n n n n C C C C 2210=+⋅⋅⋅+++，奇数项的二项式系数和与偶数项的二项式系数和相等=⋅⋅⋅++++420n n n C C C 15312-=⋅⋅⋅++++n n n n C C C .5、【2018高考广东，理12】某高三毕业班有40人，同学之间两两彼此给对方仅写一条毕业留言，那么全班共写了 条毕业留言．（用数字作答） 【答案】1560．【考点定位】排列问题．【名师点睛】本题主要考查排列问题，属于中档题，解答此题关键在于认清40人两两彼此给对方仅写一条毕业留言是个排列问题．6.【2018高考重庆，理12】53x ⎛ ⎝的展开式中8x 的系数是________(用数字作答).【答案】52【解析】二项展开式通项为7153521551()()2k k kkk k k T C x C x --+==，令71582k-=，解得2k =，因此8x 的系数为22515()22C =. 【考点定位】二项式定理【名师点晴】()na b +的展开式的二项式系数与该项的系数是两个不同的概念，前者只是指kn C ，它仅是与二项式的幂的指数n 及项数有关的组合数，而与a ，b 的值无关；而后者是指该项除字母外的部分，即各项的系数不仅与各项的二项式系数有关，而且也与a ，b 的系数有关．在求二项展开式特定项的系数时要充分注意这个区别. 7.【2018高考广东，理9】在4)1(-x 的展开式中，x 的系数为 . 【答案】6．【解析】由题可知()()44214411r rrrrr r T CC x--+=-=-，令412r-=解得2r =，所以展开式中x 的系数为()22416C -=，故应填入6．【考点定位】二项式定理．【名师点睛】本题主要考查二项式定理和运算求解能力，属于容易题，解答此题关键在于熟记二项展开式的通项即展开式的第1r +项为：()*12,r n r rr n T C a b n N n r N -+=∈≥∈且．8.【2018高考四川，理11】在5(21)x -的展开式中，含2x 的项的系数是 （用数字作答）. 【答案】40-. 【解析】55(21)(12)x x -=--，所以2x 的系数为225(2)40C -⨯-=-.【考点定位】二项式定理.【名师点睛】涉及二项式定理的题，一般利用其通项公式求解.9.【2018高考天津，理12】在614x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭ 的展开式中，2x 的系数为 .【答案】1516【解析】614x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭展开式的通项为6621661144rrr r r r r T C x C x x --+⎛⎫⎛⎫=-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，由622r -=得2r =，所以222236115416T C x x ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭，所以该项系数为1516.【考点定位】二项式定理及二项展开式的通项.【名师点睛】本题主要考查二项式定理及二项展开式的通项的应用.应用二项式定理典型式的通项，求出当2r =时的系数，即可求得结果，体现了数学中的方程思想与运算能力相结合的问题.10.【2018高考安徽，理11】371()x x+的展开式中5x 的系数是 .（用数字填写答案） 【答案】35【解析】由题意，二项式371()x x +展开的通项372141771()()rr r r r r T C x C x x--+==，令2145r -=，得4r =，则5x 的系数是4735C =.【考点定位】1.二项式定理的展开式应用.【名师点睛】常规问题直接利用二项式定理求解，其中通项是核心，运算是保证；比较复杂的问题要回到最本质的计数原理去解决，而不是一味利用公式.另外，概念不清，涉及幂的运算出现错误，或者不能从最本质的计数原理出发解决问题，盲目套用公式都是考试中常犯的错误.11.【2018高考福建，理11】()52x + 的展开式中，2x 的系数等于 ．（用数字作答） 【答案】80【解析】()52x + 的展开式中2x 项为2325280C x =，所以2x 的系数等于80．【考点定位】二项式定理．【名师点睛】本题考查二项式定理的特定项问题，往往是根据二项展开式的通项和所求项的联系解题，属于基础题，注意运算的准确度．12.【2018高考北京，理9】在()52x +的展开式中，3x 的系数为 ．（用数字作答）【答案】40【考点定位】本题考点为二项式定理，利用通项公式，求指定项的系数.【名师点睛】本题考查二项式定理，利用通项公式求出指定项的系数，本题属于基础题,要求正确使用通项公式1r n r r r n T C a b -+=，准确计算指定项的系数.13.【2018高考新课标2，理15】4()(1)a x x ++的展开式中x 的奇数次幂项的系数之和为32，则a =__________． 【答案】3【解析】由已知得4234(1)1464x x x x x +=++++，故4()(1)a x x ++的展开式中x 的奇数次幂项分别为4ax ，34ax ，x ，36x ，5x ，其系数之和为441+6+1=32a a ++，解得3a =．【考点定位】二项式定理．【名师点睛】本题考查二项式定理，准确写出二项展开式，能正确求出奇数次幂项以及相应的系数和，从而列方程求参数值，属于中档题．【2018高考湖南，理6】已知5的展开式中含32x 的项的系数为30，则a =（ ）C.6 D-6 【答案】D. 【解析】试题分析：r rr rr x a C T -+-=2551)1(，令1=r ，可得6305-=⇒=-a a ，故选D.【考点定位】二项式定理.【名师点睛】本题主要考查了二项式定理的运用，属于容易题，只要掌握nb a )(+的二项展开式的通项第1+r 项为rr n r n r b a C T -+=1，即可建立关于a 的方程，从而求解.【2018高考上海，理11】在10201511x x ⎛⎫++ ⎪⎝⎭的展开式中，2x 项的系数为 （结果用数值表示）．【答案】45【解析】因为10101019102015201520151111(1)(1)(1)x x x C x x x x ⎛⎫⎛⎫++=++=++++⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以2x 项只能在10(1)x +展开式中，即为8210C x ，系数为81045.C = 【考点定位】二项展开式【名师点睛】（1）求二项展开式中的指定项，一般是利用通项公式进行化简通项公式后，令字母的指数符合要求(求常数项时，指数为零；求有理项时，指数为整数等)，解出项数r＋1，代回通项公式即可．（2）对于三项式问题一般先变形化为二项式再解决．【2018高考上海，理8】在报名的3名男教师和6名女教师中，选取5人参加义务献血，要求男、女教师都有，则不同的选取方式的种数为（结果用数值表示）．【答案】120【解析】由题意得，去掉选5名女教师情况即可：55961266120.C C-=-=【考点定位】排列组合【名师点睛】涉及排列与组合问题，区分的关键是看选出的元素是否与顺序有关，排列问题与顺序有关，组合问题与顺序无关．“含”与“不含”的问题：“含”，则先将这些元素取出，再由另外元素补足；“不含”，则先将这些元素剔除，再从剩下的元素中去选取．通常用直接法分类复杂时，考虑逆向思维，用间接法处理．。
高考数学理真题分类汇编专题11排列组合二项式定理
专题十一 排列组合、二项式定理1.【2015高考陕西，理4】二项式(1)()n x n N ++∈的展开式中2x 的系数为15，则n =（ ） A ．4 B ．5 C ．6 D ．7 【答案】C【解析】二项式()1nx +的展开式的通项是1C r r r n x +T =，令2r =得2x 的系数是2C n ，因为2x 的系数为15，所以2C 15n =，即2300n n --=，解得：6n =或5n =-，因为n +∈N ，所以6n =，故选C ． 【考点定位】二项式定理．【名师点晴】本题主要考查的是二项式定理，属于容易题．解题时一定要抓住重要条件“n +∈N ”，否则很容易出现错误．解本题需要掌握的知识点是二项式定理，即二项式()na b +的展开式的通项是1C k n k kk n ab -+T =． 2.【2015高考新课标1，理10】25()x x y ++的展开式中，52x y 的系数为( )（A ）10 （B ）20 （C ）30 （D ）60 【答案】C【解析】在25()x x y ++的5个因式中，2个取因式中2x 剩余的3个因式中1个取x ，其余因式取y,故52x y 的系数为212532C C C =30，故选 C.【考点定位】本题主要考查利用排列组合知识计算二项式展开式某一项的系数.【名师点睛】本题利用排列组合求多项展开式式某一项的系数，试题形式新颖，是中档题，求多项展开式式某一项的系数问题，先分析该项的构成，结合所给多项式，分析如何得到该项，再利用排列组知识求解.3.【2015高考四川，理6】用数字0，1，2，3，4，5组成没有重复数字的五位数，其中比40000大的偶数共有（ ）（A ）144个 （B ）120个 （C ）96个 （D ）72个 【答案】B 【解析】据题意，万位上只能排4、5.若万位上排4，则有342A ⨯个；若万位上排5，则有343A ⨯个.所以共有342A ⨯343524120A +⨯=⨯=个.选B.【考点定位】排列组合.【名师点睛】利用排列组合计数时，关键是正确进行分类和分步，分类时要注意不重不漏.在本题中，万位与个位是两个特殊位置，应根据这两个位置的限制条件来进行分类. 4.【2015高考湖北，理3】已知(1)n x +的展开式中第4项与第8项的二项式系数相等，则奇数项的二项式 系数和为（ ）A.122 B ．112 C ．102 D ．92【答案】D【解析】因为(1)n x +的展开式中第4项与第8项的二项式系数相等，所以73nn C C =，解得10=n ，所以二项式10(1)x +中奇数项的二项式系数和为9102221=⨯. 【考点定位】二项式系数，二项式系数和.【名师点睛】二项式定理中应注意区别二项式系数与展开式系数，各二项式系数和：n n n n n n C C C C 2210=+⋅⋅⋅+++，奇数项的二项式系数和与偶数项的二项式系数和相等=⋅⋅⋅++++420n n n C C C 15312-=⋅⋅⋅++++n n n n C C C .5、【2015高考广东，理12】某高三毕业班有40人，同学之间两两彼此给对方仅写一条毕业留言，那么全班共写了 条毕业留言．（用数字作答） 【答案】1560．【考点定位】排列问题．【名师点睛】本题主要考查排列问题，属于中档题，解答此题关键在于认清40人两两彼此给对方仅写一条毕业留言是个排列问题．6.【2015高考重庆，理12】53x ⎛ ⎝的展开式中8x 的系数是________(用数字作答).【答案】52【解析】二项展开式通项为7153521551()()2k k kkk k k T C x C x --+==，令71582k-=，解得2k =，因此8x 的系数为22515()22C =. 【考点定位】二项式定理【名师点晴】()na b +的展开式的二项式系数与该项的系数是两个不同的概念，前者只是指knC ，它仅是与二项式的幂的指数n 及项数有关的组合数，而与a ，b 的值无关；而后者是指该项除字母外的部分，即各项的系数不仅与各项的二项式系数有关，而且也与a ，b 的系数有关．在求二项展开式特定项的系数时要充分注意这个区别.7.【2015高考广东，理9】在4)1(-x 的展开式中，x 的系数为 . 【答案】6．【解析】由题可知()()44214411r rrrrr r T CC x--+=-=-，令412r-=解得2r =，所以展开式中x 的系数为()22416C -=，故应填入6．【考点定位】二项式定理．【名师点睛】本题主要考查二项式定理和运算求解能力，属于容易题，解答此题关键在于熟记二项展开式的通项即展开式的第1r +项为：()*12,r n r r r n T C a b n N n r N -+=∈≥∈且．8.【2015高考四川，理11】在5(21)x -的展开式中，含2x 的项的系数是 （用数字作答）. 【答案】40-. 【解析】55(21)(12)x x -=--，所以2x 的系数为225(2)40C -⨯-=-.【考点定位】二项式定理.【名师点睛】涉及二项式定理的题，一般利用其通项公式求解.9.【2015高考天津，理12】在614x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭ 的展开式中，2x 的系数为 .【答案】1516【解析】614x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭展开式的通项为6621661144rrr r r r r T C x C x x --+⎛⎫⎛⎫=-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，由622r -=得2r =，所以222236115416T C x x ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭，所以该项系数为1516.【考点定位】二项式定理及二项展开式的通项.【名师点睛】本题主要考查二项式定理及二项展开式的通项的应用.应用二项式定理典型式的通项，求出当2r =时的系数，即可求得结果，体现了数学中的方程思想与运算能力相结合的问题.10.【2015高考安徽，理11】371()x x+的展开式中5x 的系数是 .（用数字填写答案） 【答案】35【解析】由题意，二项式371()x x +展开的通项372141771()()r r r r r r T C x C x x--+==，令2145r -=，得4r =，则5x 的系数是4735C =.【考点定位】1.二项式定理的展开式应用.【名师点睛】常规问题直接利用二项式定理求解，其中通项是核心，运算是保证；比较复杂的问题要回到最本质的计数原理去解决，而不是一味利用公式.另外，概念不清，涉及幂的运算出现错误，或者不能从最本质的计数原理出发解决问题，盲目套用公式都是考试中常犯的错误.11.【2015高考福建，理11】()52x + 的展开式中，2x 的系数等于 ．（用数字作答） 【答案】80【解析】()52x + 的展开式中2x 项为2325280C x =，所以2x 的系数等于80．【考点定位】二项式定理．【名师点睛】本题考查二项式定理的特定项问题，往往是根据二项展开式的通项和所求项的联系解题，属于基础题，注意运算的准确度．12.【2015高考北京，理9】在()52x +的展开式中，3x 的系数为 ．（用数字作答）【答案】40【考点定位】本题考点为二项式定理，利用通项公式，求指定项的系数.【名师点睛】本题考查二项式定理，利用通项公式求出指定项的系数，本题属于基础题,要求正确使用通项公式1r n r r r n T C a b -+=，准确计算指定项的系数.13.【2015高考新课标2，理15】4()(1)a x x ++的展开式中x 的奇数次幂项的系数之和为32，则a =__________． 【答案】3【解析】由已知得4234(1)1464x x x x x +=++++，故4()(1)a x x ++的展开式中x 的奇数次幂项分别为4ax ，34ax ，x ，36x ，5x ，其系数之和为441+6+1=32a a ++，解得3a =． 【考点定位】二项式定理．【名师点睛】本题考查二项式定理，准确写出二项展开式，能正确求出奇数次幂项以及相应的系数和，从而列方程求参数值，属于中档题．【2015高考湖南，理6】已知5的展开式中含32x 的项的系数为30，则a =（ ）B. C.6 D-6 【答案】D. 【解析】试题分析：r rr r r x a C T -+-=2551)1(，令1=r ，可得6305-=⇒=-a a ，故选D.【考点定位】二项式定理.【名师点睛】本题主要考查了二项式定理的运用，属于容易题，只要掌握nb a )(+的二项展开式的通项第1+r 项为rr n r nr b a C T -+=1，即可建立关于a 的方程，从而求解. 【2015高考上海，理11】在10201511x x ⎛⎫++ ⎪⎝⎭的展开式中，2x 项的系数为 （结果用数值表示）． 【答案】45【解析】因为10101019102015201520151111(1)(1)(1)x x x C x x x x ⎛⎫⎛⎫++=++=++++⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以2x 项只能在10(1)x +展开式中，即为8210C x ，系数为81045.C = 【考点定位】二项展开式【名师点睛】（1）求二项展开式中的指定项，一般是利用通项公式进行化简通项公式后，令字母的指数符合要求(求常数项时，指数为零；求有理项时，指数为整数等)，解出项数r ＋1，代回通项公式即可．（2）对于三项式问题一般先变形化为二项式再解决．【2015高考上海，理8】在报名的3名男教师和6名女教师中，选取5人参加义务献血，要求男、女教师都有，则不同的选取方式的种数为（结果用数值表示）．【答案】120【解析】由题意得，去掉选5名女教师情况即可：55961266120.C C-=-=【考点定位】排列组合【名师点睛】涉及排列与组合问题，区分的关键是看选出的元素是否与顺序有关，排列问题与顺序有关，组合问题与顺序无关．“含”与“不含”的问题：“含”，则先将这些元素取出，再由另外元素补足；“不含”，则先将这些元素剔除，再从剩下的元素中去选取．通常用直接法分类复杂时，考虑逆向思维，用间接法处理．。
三年高考：数学(理)真题分项版解析—— 专题11 排列组合、二项式定理
三年高考（2019-2019）数学（理）试题分项版解析第十一章 排列、组合、二项式定理一、选择题1. 【2019高考新课标2理数】如图，小明从街道的E 处出发，先到F 处与小红会合，再一起到位于G 处的老年公寓参加志愿者活动，则小明到老年公寓可以选择的最短路径条数为（ ）（A ）24 （B ）18 （C ）12 （D ）9 【答案】B 【解析】试题分析：由题意，小明从街道的E 处出发到F 处最短有24C 条路，再从F 处到G 处最短共有13C 条路，则小明到老年公寓可以选择的最短路径条数为214318C C ⋅=条，故选B.考点： 计数原理、组合.【名师点睛】分类加法计数原理在使用时易忽视每类做法中每一种方法都能完成这件事情，类与类之间是独立的．分步乘法计数原理在使用时易忽视每步中某一种方法只是完成这件事的一部分，而未完成这件事，步步之间是相关联的．2. 【2019年高考四川理数】设i 为虚数单位，则6()x i +的展开式中含x 4的项为（A ）－15x 4 （B ）15x 4 （C ）－20i x 4 （D ）20i x 4 【答案】A考点：二项展开式，复数的运算.【名师点睛】本题考查二项式定理及复数的运算，复数的概念及运算也是高考的热点，几乎是每年必考内容，属于容易题.一般来说，掌握复数的基本概念及四则运算即可．二项式6()x i +的展开式可以改为6()i x +，则其通项为66r r r C i x -，即含4x 的项为46444615C i x x -=-．3. 【2019高考广东卷.理.8】设集合(){}{}12345,,,,1,0,1,1,2,3,4,5i A x x x x x x i =∈-=，那么集合A 中满足条件“1234513x x x x x ≤++++≤”的元素个数为( )A .60B .90C .120D .130 【答案】D【考点定位】本题考查分类计数原理，属于拔高题【名师点晴】本题主要考查的是分类计数原理，属于难题．解题时一定要注意选出的元素是否与顺序有关，否则很容易出现错误．利用排列组合计数时，关键是正确进行分类和分步，分类时要做到不重不漏，防止出现错误．4. 【 2019湖南4】5122x y ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中32y x 的系数是（ ） A.20- B.5- C.5 D.20 【答案】A【解析】根据二项式定理可得第1n +项展开式为()55122nn n C x y -⎛⎫- ⎪⎝⎭,则2n =时,()()2532351*********n n n C x y x y x y -⎛⎫⎛⎫-=-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,所以23x y 的系数为20-,故选A. 【考点定位】二项式定理【名师点睛】本题主要考查的是二项式定理，属于容易题，解本题需要掌握的知识点是二项式定理，即二项式()na b +的展开式的通项是1C k n k k k n a b -+T =，然后令n 选取恰当的值得到结果.5. 【2019年高考四川理数】用数字1，2，3，4，5组成没有重复数字的五位数，其中奇数的个数为（A ）24 （B ）48 （C ）60 （D ）72 【答案】D 【解析】试题分析：由题意，要组成没有重复的五位奇数，则个位数应该为1、3、5中之一，其他位置共有随便排共44A 种可能，所以其中奇数的个数为44372A =，故选D. 考点：排列、组合【名师点睛】利用排列组合计数时，关键是正确进行分类和分步，分类时要注意不重不漏，分步时要注意整个事件的完成步骤．在本题中，个位是特殊位置，第一步应先安排这个位置，第二步再安排其他四个位置．.6. 【2019高考陕西，理4】二项式(1)()n x n N ++∈的展开式中2x 的系数为15，则n =（ ）A ．4B ．5C ．6D ．7 【答案】C【考点定位】二项式定理．【名师点晴】本题主要考查的是二项式定理，属于容易题．解题时一定要抓住重要条件“n +∈N ”，否则很容易出现错误．解本题需要掌握的知识点是二项式定理，即二项式()na b +的展开式的通项是1C k n k kk n a b -+T =．7. 【2019高考新课标3理数】定义“规范01数列”{}n a 如下：{}n a 共有2m 项，其中m项为0，m 项为1，且对任意2k m ≤，12,,,k a a a 中0的个数不少于1的个数.若4m =，则不同的“规范01数列”共 有（ ）（A ）18个 （B ）16个（C ）14个（D ）12个【答案】C 【解析】试题分析：由题意，得必有10a =，81a =，则具体的排法列表如下：【方法点拨】求解计数问题时，如果遇到情况较为复杂，即分类较多，标准也较多，同时所求计数的结果不太大时，往往利用表格法、树枝法将其所有可能一一列举出来，常常会达到岀奇制胜的效果．8. 【2019四川，理2】在6(1)x x +的展开式中，含3x 项的系数为（ ）A ．30B ．20C ．15D ．10 【答案】C 【解析】试题分析：623456(1)(161520156)x x x x x x x x x +=++++++，所以含3x 项的系数为15.选C【考点定位】二项式定理.【名师点睛】常规问题直接利用二项式定理求解，其中通项是核心，运算是保证；比较复杂的问题要回到最本质的计数原理去解决，而不是一味利用公式.另外，概念不清，涉及幂的运算出现错误，或者不能从最本质的计数原理出发解决问题，盲目套用公式都是考试中常犯的错误.10. 【2019四川，理6】六个人从左至右排成一行，最左端只能排甲或乙，最右端不能排甲，则不同的排法共有（ ）A ．192种B ．216种C ．240种D ．288种 【答案】B 【解析】试题分析：最左端排甲，有5!120=种排法；最左端排乙，有44!96⨯=种排法，共有12096216+=种排法.选B.【考点定位】排列组合.【名师点睛】涉及排列与组合问题，区分的关键是看选出的元素是否与顺序有关，排列问题与顺序有关，组合问题与顺序无关．“含”与“不含”的问题：“含”，则先将这些元素取出，再由另外元素补足；“不含”，则先将这些元素剔除，再从剩下的元素中去选取．通常用直接法分类复杂时，考虑逆向思维，用间接法处理．11. 【2019高考四川，理6】用数字0，1，2，3，4，5组成没有重复数字的五位数，其中比40000大的偶数共有（ ）（A ）144个 （B ）120个 （C ）96个 （D ）72个 【答案】B【考点定位】排列组合.【名师点睛】利用排列组合计数时，关键是正确进行分类和分步，分类时要注意不重不漏.在本题中，万位与个位是两个特殊位置，应根据这两个位置的限制条件来进行分类.12.【2019高考新课标1，理10】25()x x y ++的展开式中，52x y 的系数为( )（A ）10 （B ）20 （C ）30 （D ）60 【答案】C【解析】在25()x x y ++的5个因式中，2个取因式中2x 剩余的3个因式中1个取x ，其余因式取y,故52x y 的系数为212532C C C =30，故选 C.【考点定位】本题主要考查利用排列组合知识计算二项式展开式某一项的系数.【名师点睛】本题利用排列组合求多项展开式式某一项的系数，试题形式新颖，是中档题，求多项展开式式某一项的系数问题，先分析该项的构成，结合所给多项式，分析如何得到该项，再利用排列组知识求解.14. 【2019年.浙江卷.理5】在46)1()1(y x ++的展开式中，记n m y x 项的系数为),(n m f ，则=+++)3,0(2,1()1,2()0,3(f f f f ） （ ） A.45 B.60 C.120 D. 210 答案：C 解析：由题意可得()()()()3211236646443,02,11,20,32060364120f f f f C C C C C C ++=+++=+++=，故选C考点：二项式系数.【名师点睛】本题主要考查二项式定理的应用，二项式展开式的通项公式，求展开式中某项的系数，属于中档题．求二项展开式中的项的方法：求二项展开式的特定项问题，实质是考查通项1kn kk k n T C ab －＋＝的特点，一般需要建立方程求k ，再将k 的值代回通项求解，注意k的取值范围(k ＝0,1,2，…，n)．(1)第m 项：此时k ＋1＝m ，直接代入通项；(2)常数项：即这项中不含“变元”，令通项中“变元”的幂指数为0建立方程；(3)有理项：令通项中“变元”的幂指数为整数建立方程．特定项的系数问题及相关参数值的求解等都可依据上述方法求解．15.【2019高考重庆理第9题】某次联欢会要安排3个歌舞类节目、2个小品类节目和1个相声类节目的演出顺序，则同类节目不相邻的排法种数是( )A.72B.120C.144D.168 【答案】B考点：1、分类加法计数原理；2、排列.【名师点睛】本题考查了综合应用排列与组合知识解决实际的计数问题，属于中档题目，根据条件将分类，然后用分类计数原获得结果.16. 【2019湖北卷2】若二项式7)2(x a x +的展开式中31x的系数是84，则实数=a （ ） A.2 B. 54 C. 1 D. 42【答案】C 【解析】试题分析：因为r r r r rrrx a C xa x C 2777772)()2(+---⋅⋅⋅=⋅⋅，令327-=+-r ，得2=r ，所以84227227=⋅⋅-a C ，解得1=a ，故选C.考点：二项式定理的通项公式，容易题.【名师点睛】本题考查了二项式定理的运用，其解题的关键是根据已知建立方程关系，属容易题.充分体现了方程思想在数学解题中的应用，能较好的考查学生对教材中的基本概念、基本规律和基本操作的识记能力和运算能力.17. 【2019高考湖北，理3】已知(1)nx +的展开式中第4项与第8项的二项式系数相等，则奇数项的二项式系数和为（ ） A.122 B ．112 C ．102 D ．92【答案】D【解析】因为(1)n x +的展开式中第4项与第8项的二项式系数相等，所以73nn C C =，解得10=n ，所以二项式10(1)x +中奇数项的二项式系数和为9102221=⨯.【考点定位】二项式系数，二项式系数和.【名师点睛】二项式定理中应注意区别二项式系数与展开式系数，各二项式系数和：n n n n n n C C C C 2210=+⋅⋅⋅+++，奇数项的二项式系数和与偶数项的二项式系数和相等=⋅⋅⋅++++420n n n C C C 15312-=⋅⋅⋅++++n n n n C C C .18. 【2019辽宁理6】把椅子摆成一排，3人随机就座，任何两人不相邻的做法种数为（ ）A ．144B ．120C ．72D ．24 【答案】C考点：排列组合.【名师点睛】本题考查简单排列组合应用问题.从近几年高考对这部分内容的考查看，基本是排列与组合相结合，多可以结合图表分析解题途径.本题首先将座位编号，分析任何两人都不相邻的情况，再安排人员就坐，现实背景熟悉，分析形象直观，易于理解.本题是一道基础题，考查排列组合基础知识，同时考查考生的计算能力及分析问题解决问题的能力.19.【2019湖南理2】已知5的展开式中含32x 的项的系数为30，则a =（ ）B. C.6 D-6 【答案】D. 【解析】试题分析：r rr r r x a C T -+-=2551)1(，令1=r ，可得6305-=⇒=-a a ，故选D.【考点定位】二项式定理.【名师点睛】本题主要考查了二项式定理的运用，属于容易题，只要掌握nb a )(+的二项展开式的通项第1+r 项为rr n r n r b a C T -+=1，即可建立关于a 的方程，从而求解.二、填空题 1. 【2019年高考北京理数】在6(12)x -的展开式中，2x 的系数为__________________.（用数字作答） 【答案】60. 【解析】试题分析：根据二项展开的通项公式16(2)r r r r T C x +=-可知，2x 的系数为226(2)60C -=，故填：60. 考点：二项式定理.【名师点睛】1.所谓二项展开式的特定项，是指展开式中的某一项，如第n 项、常数项、有理项、字母指数为某些特殊值的项.求解时，先准确写出通项r rn rn r b aC T -+=1，再把系数与字母分离出来(注意符号)，根据题目中所指定的字母的指数所具有的特征，列出方程或不等式来求解即可；2、求有理项时要注意运用整除的性质，同时应注意结合n 的范围分析.2.【2019高考新课标1卷】5(2x +的展开式中,x 3的系数是 .（用数字填写答案） 【答案】10考点:二项式定理3. 【2019高考天津理数】281()x x-的展开式中x 2的系数为__________.(用数字作答)【答案】56- 【解析】试题分析：展开式通项为281631881()()(1)rr r r r r r T C x C x x--+=-=-，令1637r -=，3r =，所以7x 的338(1)56C -=-．故答案为56-．考点：二项式定理【名师点睛】1.求特定项系数问题可以分两步完成：第一步是根据所给出的条件(特定项)和通项公式，建立方程来确定指数(求解时要注意二项式系数中n 和r 的隐含条件，即n ，r 均为非负整数，且n ≥r )；第二步是根据所求的指数，再求所求解的项．2．有理项是字母指数为整数的项．解此类问题必须合并通项公式中同一字母的指数，根据具体要求，令其为整数，再根据数的整除性来求解．4.【2019高考山东理数】若（a x2）5的展开式中x5的系数是—80，则实数a=_______. 【答案】-2【解析】试题分析：因为5102552155()rr r r r rrT C ax C a x---+==，所以由510522r r-=⇒=，因此252 580 2.C a a-=-⇒=-考点：二项式定理【名师点睛】本题是二项式定理问题中的常见题型，二项展开式的通项公式，往往是考试的重点.本题难度不大，易于得分.能较好的考查考生的基本运算能力等.5.【2019高考天津，理12】在614xx⎛⎫-⎪⎝⎭的展开式中，2x的系数为 .【答案】15 16【考点定位】二项式定理及二项展开式的通项.【名师点睛】本题主要考查二项式定理及二项展开式的通项的应用.应用二项式定理典型式的通项，求出当2r=时的系数，即可求得结果，体现了数学中的方程思想与运算能力相结合的问题.6.【2019高考北京理第12题】将序号分别为1,2,3,4,5的5张参观券全部分给4人，每人至少1张，如果分给同一人的2张参观券连号，那么不同的分法种数是__________．【答案】96【解析】试题分析：连号有4种情况，从4人中挑一人得到连号参观券，其余可以全排列，则不同的分法有4×1343C A＝96(种)．考点：排列组合.名师点睛：本题考查排列、组合及计数原理有关问题，本题属于中等难度问题，高考每年都会考查这个问题，题目或简或难，由于命题可以很灵活，可以考查简单的计数，也可以考查具体的排列组合基本方法如：相邻问题捆绑法、不邻插空法、分排问题直排法、有序问题用除法、隔板法等，本题为先选后排问题，从4人中挑一人得到连号参观券，其余可以全排列，而得连号有四种可能情况发生，解决这样的问题需要学生不但要有扎实的基本功，还要有分析问题和解决问题的能力.7. 【2019高考北京理第13题】把5件不同产品摆成一排，若产品A 与产品B 相邻， 且产品A 与产品C 不相邻，则不同的摆法有 种. 【答案】36考点：排列组合，容易题.【名师点睛】本题考查排列、组合及计数原理有关问题，本题属于中等难度问题，高考每年都会考查这个问题，题目或简或难，由于命题可以很灵活，可以考查简单的计数，也可以考查具体的排列组合基本方法如：相邻问题捆绑法、不邻插空法、分排问题直排法、有序问题用除法、隔板法等，需要学生不但要有扎实的基本功，还要有分析问题和解决问题的能力.8. 【2019高考北京，理9】在()52x +的展开式中，3x 的系数为．（用数字作答）【答案】40【解析】利用通项公式，5152r r r r T C x -+=⋅，令3r =，得出3x 的系数为325240C ⋅=【考点定位】本题考点为二项式定理，利用通项公式，求指定项的系数.【名师点睛】本题考查二项式定理，利用通项公式求出指定项的系数，本题属于基础题,要求正确使用通项公式1r n r r r n T C a b -+=，准确计算指定项的系数.9. 【2019高考广东卷.理.11】从0.1.2.3.4.5.6.7.8.9中任取七个不同的数，则这七个数的中位数是6的概率为 . 【答案】16. 【解析】上述十个数中比6小的数有6个，比6大的数有3个，要使得所选的七个数的中位数为6，则应该在比6大的数中选择3个，在比6大的数中也选择3个，因此所求事件的概率为336371016C C P C ==. 【考点定位】本题考查排列组合与古典概型的概率计算，属于能力题.【名师点晴】本题主要考查的是排列组合和古典概型，属于中等题．解题时要抓住重要字眼“中位数是6”，否则很容易出现错误．用排列组合列举基本事件一定要做到不重不漏，防止出现错误．解本题需要掌握的知识点是古典概型概率公式，即()A P A =包含的基本事件的个数基本事件的总数．10. 【2019高考广东，理9】在4)1(-x 的展开式中，x 的系数为 .【答案】6．【考点定位】二项式定理．【名师点睛】本题主要考查二项式定理和运算求解能力，属于容易题，解答此题关键在于熟记二项展开式的通项即展开式的第1r +项为：()*12,r n r rr n T C a b n N n r N -+=∈≥∈且．11. 【2019高考广东，理12】某高三毕业班有40人，同学之间两两彼此给对方仅写一条毕业留言，那么全班共写了 条毕业留言．（用数字作答） 【答案】1560．【解析】依题两两彼此给对方写一条毕业留言相当于从40人中任选两人的排列数，所以全班共写了24040391560A =⨯=条毕业留言，故应填入1560．【考点定位】排列问题．【名师点睛】本题主要考查排列问题，属于中档题，解答此题关键在于认清40人两两彼此给对方仅写一条毕业留言是个排列问题．12.【2019山东.理14】 若26()b ax x+的展开式中3x 项的系数为20，则22b a +的最小值 . 【答案】2【名师点睛】本题考查二项式定理及其通项公式、基本不等式.从近几年高考对二项式定理的考查看，基本是以通项公式为解题的突破口，本题对有理指数幂的运算要求较高，容易出现计算不准而使解答陷入误区.本题是一道小综合题，重点考查二项式定理及其通项公式、基本不等式等基础知识，同时考查考生的计算能力及分析问题解决问题的能力.13.【2019新课标，理13】 ()10x a +的展开式中，7x 的系数为15，则a =________.(用数字填写答案) 【答案】12【解析】因为10110r r r r T C x a -+=，所以令107r -=，解得3r =，所以373410T C x a ==157x ，解得12a =. 【考点定位】二项式定理.【名师点睛】本题主要考查了二项式定理的通项公式，属于基础题，利用通项公式写出特定项的系数，是二项式题目的最常见题目.14.【2019高考新课标2，理15】4()(1)a x x ++的展开式中x 的奇数次幂项的系数之和为32，则a =__________． 【答案】3【解析】由已知得4234(1)1464x x x x x +=++++，故4()(1)a x x ++的展开式中x 的奇数次幂项分别为4ax ，34ax ，x ，36x ，5x ，其系数之和为441+6+1=32a a ++，解得3a =． 【考点定位】二项式定理．【名师点睛】本题考查二项式定理，准确写出二项展开式，能正确求出奇数次幂项以及相应的系数和，从而列方程求参数值，属于中档题．15. 【2019高考四川，理11】在5(21)x -的展开式中，含2x 的项的系数是 （用数字作答）. 【答案】40-. 【解析】55(21)(12)x x -=--，所以2x 的系数为225(2)40C -⨯-=-.【考点定位】二项式定理.【名师点睛】涉及二项式定理的题，一般利用其通项公式求解.16. 【2019高考上海理数】在nx x ⎪⎭⎫⎝⎛-23的二项式中，所有项的二项式系数之和为256，则常数项等于_________. 【答案】112 【解析】 试题分析：因为二项式所有项的二项系数之和为n2，所以n2256=，所以n 8=，二项式展开式的通项为84r r 8rr r r 33r 1882T C ()(2)C x x --+=-=-，令84r 033-=，得r 2=，所以3T 112=.考点：1.二项式定理；2.二项展开式的系数.【名师点睛】根据二项式展开式的通项，确定二项式系数或确定二项展开式中的指定项，是二项式定理问题中的基本问题，往往要综合运用二项展开式的系数的性质、二项式展开式的通项求解. 本题能较好地考查考生的思维能力、基本计算能力等.17. 【2019课标Ⅰ，理13】()()8x y x y -+的展开式中27x y 的系数为________.（用数字填写答案） 【答案】20-【考点定位】二项式定理．【名师点睛】本题主要考查二项式定理的应用，考查考生的记忆能力和计算能力.18. 【2019年.浙江卷.理14】在8张奖券中有一、二、三等奖各1张，其余5张无奖.将这8张奖券分配给4个人，每人2张，不同的获奖情况有_____种（用数字作答）.答案：60解析：不同的获奖分两种，一是有一人获两张将卷，一人获一张，共有223436C A =，二是有三人各获得一张，共有3424A =，因此不同的获奖情况有60种考点：排列组合.【名师点睛】本题考查排列、组合的应用，关键在于明确事件之间的关系，同时要掌握分类讨论的处理方法；解决排列问题的主要方法(1)“在”与“不在”的有限制条件的排列问题，既可以从元素入手，也可以从位置入手，原则是谁“特殊”谁优先．不管是从元素考虑还是从位置考虑，都要贯彻到底，不能既考虑元素又考虑位置．(2)解决相邻问题的方法是“捆绑法”，即把相邻元素看做一个整体和其他元素一起排列，同时要注意捆绑元素的内部排列．(3)解决不相邻问题的方法是“插空法”，即先考虑不受限制的元素的排列，再将不相邻的元素插在前面元素排列的空当中．(4)对于定序问题，可先不考虑顺序限制，排列后，再除以定序元素的全排列．(5)若某些问题从正面考虑比较复杂，可从其反面入手，即采用“间接法”．两类组合问题的解法(1)“含”与“不含”的问题：“含”，则先将这些元素取出，再由另外元素补足；“不含”，则先将这些元素剔除，再从剩下的元素中去选取．(2)“至少”、“最多”的问题：解这类题必须十分重视“至少”与“最多”这两个关键词的含义，谨防重复与漏解．用直接法或间接法都可以求解．通常用直接法分类复杂时，考虑逆向思维，用间接法处理．19. 【2019高考重庆，理12】53x ⎛ ⎝的展开式中8x 的系数是________(用数字作答). 【答案】52【解析】二项展开式通项为7153521551()()2k k kkk k k T C x C x --+==，令71582k-=，解得2k =，因此8x 的系数为22515()22C =. 【考点定位】二项式定理【名师点晴】()na b +的展开式的二项式系数与该项的系数是两个不同的概念，前者只是指k n C ，它仅是与二项式的幂的指数n 及项数有关的组合数，而与a ，b 的值无关；而后者是指该项除字母外的部分，即各项的系数不仅与各项的二项式系数有关，而且也与a ，b 的系数有关．在求二项展开式特定项的系数时要充分注意这个区别.20. 【2019，安徽理13】设n a ,0≠是大于1的自然数，na x ⎪⎭⎫⎝⎛+1的展开式为n n x a x a x a a ++++ 2210．若点)2,1,0)(,(=i a i A i i 的位置如图所示，则______=a ．【答案】3考点：1．二项展开式的应用．【名师点睛】二项式常规问题直接利用二项式定理求解，其中通项是核心，运算是保证；比较复杂的问题要回到最本质的计数原理去解决，而不是一味利用公式.另外，概念不清，涉及幂的运算出现错误，或者不能从最本质的计数原理出发解决问题，盲目套用公式都是考试中常犯的错误.本题要结合图形给定的条件与二项式展开中各项的表示.21.【2019高考安徽，理11】371()x x+的展开式中5x 的系数是 .（用数字填写答案）【答案】35【解析】由题意，二项式371()x x+展开的通项372141771()()r rr r r r T C x C x x--+==，令2145r -=，得4r =，则5x 的系数是4735C =. 【考点定位】1.二项式定理的展开式应用.【名师点睛】常规问题直接利用二项式定理求解，其中通项是核心，运算是保证；比较复杂的问题要回到最本质的计数原理去解决，而不是一味利用公式.另外，概念不清，涉及幂的运算出现错误，或者不能从最本质的计数原理出发解决问题，盲目套用公式都是考试中常犯的错误.22.【2019高考福建，理11】()52x + 的展开式中，2x 的系数等于 ．（用数字作答） 【答案】80【解析】()52x + 的展开式中2x 项为2325280C x =，所以2x 的系数等于80．【考点定位】二项式定理．【名师点睛】本题考查二项式定理的特定项问题，往往是根据二项展开式的通项和所求项的联系解题，属于基础题，注意运算的准确度． 23.【2019高考江苏卷】（本小题满分10分）（1）求3467–47C C 的值；（2）设m ，n ∈N *，n ≥m ，求证：（m +1）C mm +（m +2）+1C m m +（m +3）+2C m m +…+n –1C m n +（n +1）C mn =（m +1）+2+2C m n .【答案】（1）0（2）详见解析试题解析：解：（1）3467654765474740.3214321C C ⨯⨯⨯⨯⨯-=⨯-⨯=⨯⨯⨯⨯⨯（2）当n m =时，结论显然成立，当n m >时11(1)!(1)!(1)(1)(1),1,2,,.!()!(1)![(k 1)(m 1)]!m m k k k k k k C m m C k m m n m k m m +++⋅++==+=+=++-++-+又因为122112,m m m k k k C C C +++++++=所以2221(1)(1)(),k m 1,m+2,n.m m m k k k k C m C C +++++=+-=+，因此12122222222232432122(1)(2)(3)(n 1)(1)[(2)(3)(n 1)](1)(1)[()()()](1)m m mmm m m nm m mmm m m n m m m m m m m m m m m m n n m n m C m C m C C m C m C m C C m Cm CCCCCCm C +++++++++++++++++++++++++++=+++++++=+++-+-+-=+考点：组合数及其性质【名师点睛】本题从性质上考查组合数性质，从方法上考查利用数学归纳法解决与自然数有关命题，从思想上考查运用算两次解决二项式有关模型. 组合数性质不仅有课本上介绍的111m m m k k k C C C ++++=、=m k mk k C C -，更有11k k n n kC nC --=，现在又有11(1)(m 1),(,1,,)m m k k k C C k m m n +++=+=+，这些性质不需记忆，但需会推导，更需会应用.。
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三年高考（2014-2016）数学（理）试题分项版解析
第十一章 排列、组合、二项式定理
一、选择题
1. 【2016高考新课标2理数】如图，小明从街道的E 处出发，先到F 处与小红会合，再一起到位于G 处的老年公寓参加志愿者活动，则小明到老年公寓可以选择的最短路径条数为（ ）
（A ）24 （B ）18 （C ）12 （D ）9
2. 【2016年高考四川理数】设i 为虚数单位，则6()x i +的展开式中含x 4的项为
（A ）－15x 4 （B ）15x 4 （C ）－20i x 4 （D ）20i x 4
3. 【2014高考广东卷.理.8】设集合(){}{}12345,,,,1,0,1,1,2,3,4,5i A x x x x x x i =∈-=，那么集合A 中满足条件“1234513x x x x x ≤++++≤”的元素个数为( )
A .60
B .90
C .120
D .130
4. 【 2014湖南4】5
122x y ⎛⎫- ⎪⎝⎭
的展开式中32y x 的系数是（ ） A.20- B.5- C.5 D.20 5. 【2016年高考四川理数】用数字1，2，3，4，5组成没有重复数字的五位数，其中奇数的个数为
（A ）24 （B ）48 （C ）60 （D ）72
6. 【2015高考陕西，理4】二项式(1)()n x n N ++∈的展开式中2x 的系数为15，则n =（ ）
A ．4
B ．5
C ．6
D ．7
7. 【2016高考新课标3理数】定义“规范01数列”{}n a 如下：{}n a 共有2m 项，其中m 项为0，m 项 为1，且对任意2k m ≤，12,,
,k a a a 中0的个数不少于1的个数.若4m =，则不同的“规范01数列”共
有（ ）
（A ）18个 （B ）16个 （C ）14个 （D ）12个
8. 【2014四川，理2】在6(1)x x +的展开式中，含3x 项的系数为（ ）
A ．30
B ．20
C ．15
D ．10
9. 【2014四川，理6】六个人从左至右排成一行，最左端只能排甲或乙，最右端不能排甲，则不同的排法共有（ ）
A ．192种
B ．216种
C ．240种
D ．288种
10. 【2015高考四川，理6】用数字0，1，2，3，4，5组成没有重复数字的五位数，其中比40000大的偶数共有（ ）
（A ）144个 （B ）120个 （C ）96个 （D ）72个
11.【2015高考新课标1，理10】25()x x y ++的展开式中，52x y 的系数为( )
（A ）10 （B ）20 （C ）30 （D ）60
12. 【2013课标全国Ⅰ，理9】设m 为正整数，(x ＋y )
2m 展开式的二项式系数的最大值为a ，(x ＋y )2m ＋1展开式的二项式系数的最大值为b .若13a ＝7b ，则m ＝( )．
A ．5
B ．6
C ．7
D ．8 13. 【2014年.浙江卷.理5】在46)1()1(y x ++的展开式中，记n
m y x 项的系数为),(n m f ，则=+++)3,0(2,1()1,2()0,3(f f f f ） （ ）
A.45
B.60
C.120
D. 210
14.【2014高考重庆理第9题】某次联欢会要安排3个歌舞类节目、2个小品类节目和1个相声类节目的演出顺序，则同类节目不相邻的排法种数是( )
A.72
B.120
C.144
D.168
15. 【2014年普通高等学校招生全国统一考试湖北卷2】若二项式7)2(x
a x +的展开式中31x 的系数是84，则实数=a （ ） A.2 B. 54 C. 1 D. 4
2 16. 【2015高考湖北，理3】已知(1)n x +的展开式中第4项与第8项的二项式系数相等，则奇数项的二项式系数和为（ ）
A.122 B ．112 C ．102 D ．92
17. 【2014辽宁理6】把椅子摆成一排，3人随机就座，任何两人不相邻的做法种数为（ ）
A ．144
B ．120
C ．72
D ．24
18.
【2015湖南理2】已知5
的展开式中含32x 的项的系数为30，则a =（ ）
B. C.6 D-6
二、填空题
1. 【2016年高考北京理数】在6(12)x -错误！未找到引用源。
的展开式中，
2x 的系数为__________________.（用数字作答）
2.
【2016高考新课标1卷】5(2x 的展开式中,x 3的系数是 .（用数字填写答案） 3. 【2016高考天津理数】281()x x -的展开式中x 2的系数为__________.(用数字作答)
4. 【2016高考山东理数】若（a x 2
）5的展开式中x 5的系数是—80，则实数a =_______. 5. 【2015高考天津，理12】在614x x ⎛⎫- ⎪⎝
⎭ 的展开式中，2x 的系数为 . 6. 【2014高考北京理第13题】把5件不同产品摆成一排，若产品A 与产品B 相邻， 且产品A 与产品C 不相邻，则不同的摆法有 种.
7. 【2015高考北京，理9】在()52x +的展开式中，3x 的系数为 ．（用数字作答） 8. 【2014高考广东卷.理.11】从0.1.2.3.4.5.6.7.8.9中任取七个不同的数，则这七个数的中位数是6的概率为 .
9. 【2015高考广东，理9】在4)1(-x 的展开式中，x 的系数为 .
10. 【2015高考广东，理12】某高三毕业班有40人，同学之间两两彼此给对方仅写一条毕业留言，那么全班共写了 条毕业留言．（用数字作答）
11.【2014山东.理14】 若26()b ax x
+的展开式中3x 项的系数为20，则22b a +的最小值 . 12.【2014新课标，理13】 ()10x a +的展开式中，7x 的系数为15，则a =________.(用数字填写答案) 13.【2015高考新课标2，理15】4
()(1)a x x ++的展开式中x 的奇数次幂项的系数之和为32，则a =__________．
14. 【2013四川，理11】二项式5()x y +的展开式中，含23x y 的项的系数是____________．（用数字作答） 15. 【2015高考四川，理11】在5(21)x -的展开式中，含2x 的项的系数是 （用数字作答）.
16. 【2016高考上海理数】在n
x x ⎪⎭⎫ ⎝
⎛-23的二项式中，所有项的二项式系数之和为256，则常数项等于_________. 17. 【2014课标Ⅰ，理13】()()8x y x y -+的展开式中27x y 的系数为________.（用数字填写答案） 18. 【2014年.浙江卷.理14】在8张奖券中有一、二、三等奖各1张，其余5张无奖.将这8张奖券分配给4个人，每人2张，不同的获奖情况有_____种（用数字作答）.
19. 【2015高考重庆，理12】5
3
x ⎛+ ⎝
的展开式中8x 的系数是________(用数字作答). 20. 【2014，安徽理13】设n a ,0≠是大于1的自然数，n a x ⎪⎭
⎫ ⎝⎛+1的展开式为n n x a x a x a a ++++ 2210．若点)2,1,0)(,(=i a i A i i 的位置如图所示，则______=a ．
21.【2015高考安徽，理11】371()x x
+的展开式中5x 的系数是 .（用数字填写答案） 22.【2015高考福建，理11】()52x + 的展开式中，2x 的系数等于 ．（用数字作答） 23.【2016高考江苏卷】（本小题满分10分）
（1）求3
467–47C C 的值；
（2）设m ，n ∈N *，n ≥m ，求证：
（m+1）C m
m +（m+2）
+1
C m
m
+（m+3）
+2
C m
m
+…+n
–1
C m
n
+（n+1）C m
n
=（m+1）+2
+2
C m
n.
：。