【精编】高中数学北师大版必修五达标练习：第2章§11.3正弦定理和余弦定理习题课

[A 基础达标]

1．在△ABC 中，a ＝15，b ＝10，A ＝60°，则cos B 等于( ) A.

6

3

B ．223

C ．－

63

D ．－223

解析：选A.因为a ＝15，b ＝10，A ＝60°，所以在△ABC 中，由正弦定理可得sin B ＝

b sin A

a ＝10×3215＝33，又由a >

b 可得A >B ，即得B 为锐角，则cos B ＝1－sin 2B ＝63

.

2．在△ABC 中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 的对边，且cos 2A 2＝b ＋c 2c ，则△ABC 是( )

A ．直角三角形

B ．等腰三角形或直角三角形

C ．等边三角形

D ．等腰直角三角形

解析：选A.因为cos 2A

2＝b ＋c 2c 及2cos 2A 2－1＝cos A ，所以cos A ＝b c ，即b 2＋c 2－a 22bc ＝b c ，所以

a 2＋

b 2＝

c 2，则△ABC 是直角三角形．故选A.

3．在△ABC 中，已知|AB →|＝4，|AC →|＝1，△ABC 的面积为3，则AB →·AC →

＝( ) A ．±2 B ．±4 C ．2

D ．4

解析：选A.因为|AB →|＝4，|AC →

|＝1，△ABC 的面积为3，所以S △ABC ＝12·|AB →|·|AC →|·sin A ＝

12×4×1×sin A ＝ 3. 所以sin A ＝

32，所以cos A ＝±1－sin 2A ＝±1

2

. 所以AB →·AC →＝|AB →|·|AC →

|·cos A ＝4×1×⎝⎛⎭⎫±1

2＝±2，故选A.

4．在△ABC 中，A ＝π

3，且最大边长和最小边长是方程x 2－7x ＋11＝0的两个根，则第三边

的长为( ) A ．2 B ．3 C ．4

D ．5

解析：选C.已知A ＝π

3，且最大边长和最小边长是方程x 2－7x ＋11＝0的两个根，则第三边

为a ，b ＋c ＝7，bc ＝11，所以a ＝b 2＋c 2－2bc cos A

＝

b 2＋

c 2－2bc cos

π3

＝（b ＋c ）2－3bc ＝72－3×11＝4.

5．△ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c .已知sin B ＋sin A (sin C －cos C )＝0，a ＝2，c ＝2，则C ＝( ) A.π12 B ．π6

C.π4

D ．π3

解析：选B.因为sin B ＋sin A (sin C －cos C )＝0，所以sin(A ＋C )＋sin A ·sin C －sin A ·cos C ＝0，所以sin A cos C ＋cos A sin C ＋sin A sin C －sin A cos C ＝0，整理得sin C (sin A ＋cos A )＝0，因为sin C ≠0，所以sin A ＋cos A ＝0，所以tan A ＝－1，因为A ∈(0，π)，所以A ＝3π4，由

正弦定理得sin C ＝c ·sin A

a

＝

2×

222＝12，又0

6

.故选B. 6．△ABC 中，A ＝60°，a ＝3，则a ＋b ＋c

sin A ＋sin B ＋sin C ＝__________．

解析：由题知，设△ABC 外接圆半径R ， 则2R ＝a sin A ＝b sin B ＝c sin C ＝3

3

2＝23，

则a ＋b ＋c

sin A ＋sin B ＋sin C

＝2R （sin A ＋sin B ＋sin C ）sin A ＋sin B ＋sin C ＝2R ＝2 3.

答案：2 3

7．在△ABC 中，已知sin A ∶sin B ＝2∶1，c 2＝b 2＋2bc ，则三内角A 、B 、C 的度数依次是________．

解析：由题意知a ＝2b ，a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ， 即2b 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，又c 2＝b 2＋2bc ，所以cos A ＝22，得A ＝45°，sin B ＝1

2

，B ＝30°，所以C ＝105°. 答案：45°，30°，105°

8．在△ABC 中，B ＝60°，AC ＝3，则AB ＋2BC 的最大值为__________． 解析：由正弦定理知AB sin C ＝3sin 60°＝BC

sin A ，

所以AB ＝2sin C ，BC ＝2sin A ．又A ＋C ＝120°，

所以AB ＋2BC ＝2sin C ＋4sin(120°－C ) ＝2(sin C ＋2sin 120°cos C －2cos 120°sin C ) ＝2(sin C ＋3cos C ＋sin C )

＝2(2sin C ＋3cos C )＝27sin(C ＋α)， 其中tan α＝

3

2

，α是第一象限角． 由于0°

9．在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知b cos C ＝(2a －c )cos B ． (1)求角B 的大小；

(2)若b 2＝ac ，试确定△ABC 的形状． 解：(1)由已知及正弦定理，有 sin B cos C ＝(2sin A －sin C )cos B ， 即sin B cos C ＋cos B sin C ＝2sin A cos B ． 所以sin(B ＋C )＝2sin A cos B ．

因为sin(B ＋C )＝sin A ≠0，所以2cos B ＝1， 即cos B ＝1

2

，所以B ＝60°.

(2)由题设及余弦定理b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B 得， ac ＝a 2＋c 2－2ac cos 60°，即a 2＋c 2－2ac ＝0. 所以(a －c )2＝0.从而a ＝c . 由第一问知B ＝60°，

所以A ＝B ＝C ＝60°.所以△ABC 为正三角形． 10．在△ABC 中，a 2＋c 2＝b 2＋2ac . (1)求B 的大小；

(2)求2cos A ＋cos C 的最大值． 解：(1)由余弦定理及题设得 cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝2ac 2ac ＝2

2.

又因为0<∠B <π，所以∠B ＝π

4.

(2)由(1)知∠A ＋∠C ＝3π

4，则

2cos A ＋cos C ＝2cos A ＋cos ⎝⎛

⎭

⎫3π

4－A