一道2013年“华约”自主招生题的解法及推广

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2013年“华约”自主招生数学全真模拟(附详案)

1 4 D 4425 7 2 5 8 3 6 9 ).
2011 am 2 ，则正整数 m 的最小值为( 2012
A 4025 B 4250 C 3650
8. 用红、黄、蓝三种颜色之一去涂途中标号为 1,2,,9
的 9 个小正方形（如图），使得任意相邻（有公共边的）小正方形所涂颜色都不相同，且 “3、5、7”号数字涂相同的颜色，则符合条件的所有涂法共有( ) A 96 B 108 C 112 D120 9．设
2
2
14.（本小题满分 14 分）在△ABC 中，设 A、B、C 的对边分别为 a、b、c 向量 m ),若 | m n | 2, （1）求角 A 的大小；（2）若 b 4 2 , 且c
2a, 求ABC 的面积.
（I）求 F
1 2 2008 F ... F ; 2009 2009 2009
（II）已知数列 an 满足 a1 2 , an1 F an ,求数列 an 的通项公式; (Ⅲ) 求证: a1a2 a3 ...an 2n 1 .
（1）求双曲线方程；（2）设 Q 为双曲线 C 右支上动点， F 为双曲线 C 的右焦点，在 x 轴负半轴上是否存在定点 M 使得 QFM 2QMF ？若存在，求出点 M 的坐标；若不存在，请说明理由．
12.（本小题满分 14 分）已知函数 F x
3x 2 1 , x . 2x 1 2
并且 m＋n＝636，则实数对(m，n)表示平面上不同点的个数为（（A）60 个（B）70 个（C）90 个
）．（D）120 个
7 ．数列 an 定义如下： a1 1, a 2 2, an 2

---2013“北约”、“华约”自主招生数学试题

取到三个，设其中三个分别为 3a r、3b r 、3c r ，则 (3a r ) (3b r ) (3c r ) 3(a b c r ) ，不可能为素数 .所以每类数最多只能取两
个.
结合上述两条，我们知道最多只能取 2 2 4个数，才有可能满足题设条件 .
另一方面，设所取的四个数为 1、 7、 5、 11，即满足题设条件 .
最上面一行的红色车位置选定后，中间一行的红色车位置有 5 种选择；上面两行的红色车位置选定后，最下面一行的红色车位置有 4 种选择。三辆红色车的位置选定后，黑色车的位置
3
有 3！ =6 种选择。所以共有 C6 6 5 4 6 14400 种停放汽车的方法 .
3．已知 x2 2 y 5, y 2 2 x 5 ，求 x3 2x 2 y 2 y 3的值 .
.否则，若三类数都有取到，设所取
数为 3a ， 3k 1 型数为 3b 1， 3k 2 型数为 3c 2 ，
3k 型
则 3a (3b 1) (3c 2) 3(a b c 1) ，不可能为素数 .所以三类数中，最多能取到两类 .
其次，我们容易知道，每类数最多只能取两个 .否则，若某一类 3k r (r 0、1、2) 型的数至少
综上所述，若要满足题设条件，最多能取四个两两不同的正整数
.
8 ．已知 a1、 a2、 a3、、 a2013 R ，满足 a1 a2 a3
a2013 0 ，且
a1 2 a2
a2 2 a3
a23
a4
a22 0 1 2 a
2 0 2a，1 3 求 a2证0 1 ：3
1
a1 a2 a3
a2013 0 .
5．数列 an 满足 a1 1，前 n 项和为 Sn , Sn 1 4an 2 ，求 a2013 . 解析：根据条件知： 4an 1 2 Sn 2 an 2 Sn 1 an 2 4an 2 an 2 4 an 1 4an . 又根据条件知： a1 1,S2 a1 a2 4a1 2 a 2 5 .

华约2013自主招生作文详细解读

2013年自主招生必读----------2012年华约自主招生作文详细解读阅读下面材料，写一篇不少于800字的议论文。

富兰克林和他的同事有一次看到一名女士摔倒了，他的同事想去扶那名女士，富兰克林阻止了，而且拉着他同事躲到了柱子后头。

同事觉得很奇怪，因为富兰克林是一个很有同情心和爱心的人，这时候为什么要阻止他？这时，女士站起来走了。

同事问富兰克林，为什么要这么做？富兰克林说，每个人在摔倒的时候都是很尴尬的时候，这名女士也肯定不太愿意让别人看见，所以阻止他就是为了不要让这名女士感到尴尬。

这是对人的一种尊重。

根据以上材料，任选角度，结合现实，写一篇不少于800字的议论文审题分析：在老师看来，“华约”的作文，考生可正反两方面立意。

相比之下，考生反面立意更好说，即关注扶起跌倒的女士，比起尴尬，更应关注扶起的是“责任、道德、风度”，同时结合中国的社会背景进一步延伸，考生会更好展开和写作。

第一个就是刚才讲到的华约，华约在这说结合现实写一篇议论文，强调了文体，强调了结合现实。

也就是说它对时事的这种关注仅只保留在了论据层面，由过去的论点下降了很多，那么不少于800字，根据材料。

什么财来呢？说富兰克林和他的同事有一次看到一名女士摔倒了，这个同事想去扶，然后这个富兰克林就把这个同事拉到了柱子背后。

说为什么呢？因为每个人摔倒的时候都很尴尬，这个女士希望别人看到她尴尬的样子，所以让她自己起来就完了。

在你帮助别人的时候你要注意到，要关注到别人，要尊重别人。

所以我们单看这个材料，讲的是一个尊重和理解的过程，但是整个事情涉及到一个核心词这就叫做帮助。

所以其实从材料，这个审题的角度而言，单讲尊重和理解可能略有片面。

应该是结合说如果我们要帮助别人，首先要建立在对别人尊重和理解的基础之上，也就是说你可以讲换位思考，但最终应该涉及到帮助这么一个话题。

这是非常严格的，或者说各方面都照顾的很到位的一种审题的方式。

那如果你没有涉及到帮助，或者对尊重理解照顾的不是很够，这个要靠具体考试院如何来操作了。

2013年华约联盟自主招生政策解读

华约联盟的七所⾼校发布了2013年⾼⽔平⼤学⾃主选拔学业能⼒测试的公告，智康1对1⾼考研究中⼼通过跟2012年考试对⽐，主要有以下变化：笔试科⽬发⽣变化 2012年考试科⽬：“理科考试科⽬为：(1)阅读与写作(语⽂、英语)，考试时间3⼩时，满分200分。

语⽂100分，英语100分;(2)数学，考试时间1.5⼩时，满分100分;(3)⾃然科学(物理、化学)测试时间1.5⼩时，满分100分。

”“⽂科考试科⽬：(1)阅读与写作(语⽂、英语)，考试时间3⼩时，满分200分。

语⽂100分，英语100分;(2)数学，考试时间1.5⼩时，满分100分;(3)⼈⽂与社会(历史、地理、政治)测试时间1.5⼩时，满分100分。

” 2013年考试科⽬：“考试科⽬为2门。

其⼀为《数学与逻辑》，这是所有考⽣的必考科⽬;其⼆为《物理探究》或《阅读与表达》，考⽣可从中任选⼀门。

每门科⽬考试时间均为90分钟。

” 解读：笔试科⽬发⽣⼤变化。

《数学与逻辑》预测就是数学科⽬，从这个名字上来看，逻辑性的东西应该考的更多⼀些。

《物理探究》预测是物理科⽬，从名字上来看，应该更注重探究，实验，开放型题⽬可能会是考查的重点。

《阅读与表达》预测是语⽂和英语学科。

去年的经验来看，语⽂和英语并重，分值相等。

需要重点强调的⼏个要点： (3)2013年AAA测试的上报名时间为2012年12⽉15⽇⾄28⽇，报名址为：http://211.151.240.122/aaa_student/;⾼校将在收到材料后，组织专家独⽴评审，并初定于2013年1⽉12⽇前后在报名系统中公布初审结果;2013年AAA测试拟定于2013年3⽉2⽇上午在全国30个省(⾃治区、直辖市)的考点同时举⾏，考⽣可以在报名时⾃由选择⼀个考点参加考试。

解读：⼤家注意报名时间，不能迟报。

⾃荐信还没有写完的家长，要加快速度。

对于考试时间，⽬前，已经跟卓越联盟撞车，预计跟北约联盟也会撞车，⼤家提前做好准备。

2013年华约自主招生数学试题解析

2013年华约自主招生数学试题解析戴又发1．设},10|{Z x x x A ∈≥=，A B ⊆，且B 中元素满足：任意一个元素各数位的数字互不相同；任意一个元素的任意两个数字之和不等于9．（1）求B 中的两位数和三位数的个数；（2）是否存在五位数，六位数？（3）将B 中的元素从小到大排列，求第1081个元素．解析（1）所有的两位数共90个，其中数字相同的有9个，两数字之和为9的有9个，所以B 中的两位数有90―9―9＝72个；所有的各数位的数字互不相同三位数共9×9×8＝648个，其中含有数字0和9的有4×8＝32个，含有数字1和8，2和7，3和6，4和5的各有4×8＋2×7＝46个，所以B 中的三位数有648―32―46×4＝432个；另解（1）将10个数字分为5组：（0，9），（1，8），（2，7），（3，6），（4，5），每组中的两数不能同时出现在一个元素中．对于两位数，若最高位为9，则共有2×4＝8个，若最高位不为9，则共有2×4×4×2＝64个，所以B 中的两位数有72个；对于三位数，若最高位为9，则共有24A ×2×2＝48个，若最高位不为9，则共有14A ×2×24A ×2×2＝384个，所以B 中的三位数有48＋384＝432个；（2）对于五位数，若最高位为9，则共有44A ×2×2×2×2＝384个，若最高位不为9，则共有14A ×2×44A ×2×2×2×2＝3072个，所以B 中的五位数有3072＋384＝3456个；显然B 中不存在六位数．（3）B 中的两位数和三位数共有72＋432＝504个，在B 中的四位数中，千位上为1，2，3的各有192个，而504＋192×3＝1080个，所以第1081个元素应为四位数中，千位上为4的最小数，即4012．2．已知31sin sin =+y x ，51cos cos =-y x ，求)cos(y x +，)sin(y x -．解析由31sin sin =+y x ，得91=sin sin 2+sin +sin 22y x y x ……①由51cos cos =-y x ，得251=2cosx cosy cos +cos 22－y x ……② 两式相加，得22534=251+91=)+cos(22y x －，所以 225208=225171=)+cos(－y x ．又由31sin sin =+y x ，得31=2cos 2+sin 2y x y x － ……③由51cos cos =-y x ，得51=2sin 2+sin 2y x y x －－ ……④两式相除，得53=2tan －－y x ，所以 1715=259+153×2=2tan +12tan2=)sin(2－－－－－y x yx y x ．3．点A 在kx y =上，点B 在kx y -=上，其中0>k ，12+=k OB OA ，且A ，B 在y 轴同侧．（1）求AB 中点M 的轨迹C 的方程；（2）曲线C 与抛物线)0(22>=p py x 相切，求证：切点分别在两定直线上，并求切线方程．解析（1）设),(11kx x A ，),(22kx x B －，021＞x x ，由 12+=k OB OA ，得222222221221)1+(=)+)(+(k x k x x k x ，所以1=21x x ．设点M 的坐标为),(y x M ，则2+=21x x x ，2=2=2121x x kkx kx y －－所以 1==)y(2122x x k x －，即点M 的轨迹C 的方程为 1=222ky x －．（2）因为曲线C 与抛物线)0(22>=p py x 相切，得 222=2k y y pk －，由 0=4)2(=222k pk －－∆，得pk 1=，此时p y 1=，两切点坐标为)1,2(p ，)1,2(p －，即切点分别在两定直线2±=x 上．切线方程分别为0=12－－py x 和0=1++2py x ．4．7个红球，8个黑球，任取4个．（1）求恰有1个红球的概率；（2）记取黑球个数为x ，求其分布列和期望；（3）取出4球同色，求全为黑球的概率．解析（1）恰有1个红球的概率为4153817C C C 13×15×756×7=19556=；（2）黑球个数为4,3,2,1,0=x ，黑球数为0的概率为4150847C C C 13×15×735=1955=；黑球数为1的概率为4151837C C C 13×15×78×35=19540=；黑球数为2的概率为4152827C C C 13×15×728×21=19584=；黑球数为3的概率为4153817C C C 13×15×756×7=19556=；黑球数为4的概率为4154807C C C 13×15×710×7=19510=；其分布列为x 的数学期望为0×1955＋1×19540＋2×19584＋3×19556＋4×19510＝1532．（3）由（2）知4球同色的概率为 195519510+19515=，所以，取出4球同色，全为黑球的概率为 32=1951519510．5．已知21++=n n n ca a a ， ,3,2,1=n ，0>1a ，0>c ．（1）证明对任意的0>M ，存在正整数N ，使得对于N n >，M a n > （2）设1+1=n n ca b ，记n s 为n b 前项和，证明n s 有界，且0>d 时，存在正整数k ，kn >时d ca s n <1<01－．解析（1）由0>1a ，0>c ，知0=21+＞－n n n ca a a ，于是 11121121+++1=+=－－－－－－））＞（）（－（－－－n n n n n n n n n n n n a a a a c a a ca a ca a a a122111+a a a a a a a a n n n n n n －＞＞－＞－＞－－－－所以2112112211)1(n =))(1(n ++++=ca a a a a a a a a a a n n n n n －－－＞－－－－－－对任意的0>M ，要使M a n >，只需M ca n >)1(21－，1+>21ca Mn ，取]2+[=21ca MN ，于是N n >，M a n >．（2）1+1=n n ca b n n na ca a +=21+=n n a a 1+2=n n n a ca ca 1+1+=n n n n a ca a a －nca 1=1+1n ca －，所以 n s 11=ca 1+1n ca －，1+11=1n n ca ca s －＞0，由（1）知211+nca a n ＞，所以2121+1<1a nc ca n ，即1+11=1n n ca ca s －2121<a nc ，所以n s 有界；令d 2121=a nc ，得 n 2121=a dc ，取k ]1+1[=212a dc ，则k n >时d ca s n<1<01－．6．设z y x ,,是两两不等且大于1的正整数，求所有使得xyz 整除)1)(1z (1)(－－－zx y xy 的z y x ,,．解析因为)1)(1z (1)(－－－zx y xy ＝z)+y +z(x z)(2xy xy －＋zx y xy +z +－1，而z)+y +z(x z)(2xy xy －能被xyz 整除，于是只需zx y xy +z +－1能被xyz 整除即可．又z y x ,,是两两不等且大于1的正整数，不妨设z >>y x∴ ≤xyz zx y xy +z +－1xy 3<，即3<z ，∴2=z ．于是只需x y xy 2+2+－1能被xy 2整除，当然 12+2+≤2－x y xy xy ，即12+2－x y xy ≤，∴x x y xy 4<2+2<．于是4<y ，∴ 3=y ，进而5≤x ，∴ 5=x ，4．检验知2、3、5能使zx y xy +z +－1能被xyz 整除，∴ ),,(z y x )5,3,2(=)3,5,2(=)5,2,3(=)2,5,3(=)3,2,5(=)2,3,5(=．7．设1e )1(=)(－－xx x f ．（1）证明当0>x 时，0<)(x f ；（2）令1e =1+－n n x x n ex ，1=1x ，证明n x 递减且nn x 21>．解析（1）因为0=1e )01(=)0(0－－f ，又当0>x 时，xxe x e xf )1(+=)('－－xxe －=0<，所以当0>x 时，0<)(x f ；（2）由1e =1+－n n x x n ex ，得nx x x en n 1e =1+－，又x e x+1>，可得0>n x ．由（1）知0>x 时，0<)(x f ，0<1e )1(=)(－－n xn n x x f ， 1+e =1>e n n n x n x x n x e x －，∴1+e >e n n x x ，即n n x x ＜1+，n x 递减．下面用数学归纳法证明 nn x 21>． 1=n 时显然成立，假设k n =（*∈N k ）时，k k x 21>，构造函数x 1=)(－x e x g ，当0>x 时，)(x g 为增函数，∴)21(>)(k k g x g ．又当0>x 时，2+1>2xe x ，再设函数))((=)(2xe x g x x h －，则0))2+1(=2+1=)(222'＞－（）－（x e e e x e x h xx x x ，)(x h 在)÷∞,0(上是增函数，0>)21(k h ，∴1+21>)21(k e g k ， ∴1121++>k k e e x, 1121++>k k x ,由数学归纳法知，对于正整数n ，有n n x 21>．。

2013华约自主招生数学试题及答案详解

2013“华约”自主招生试题2013-03-16(时间90分钟,满分100分)1.(10分)集合{|10,}A x x x N *=≥∈,B 为A 的子集,若集合B 中元素满足以下条件:①任意数字都不相等;②任意两个数之和不为9 (1)B 中两位数有多少？三位数有多少？ (2)B 中是否有五位数？六位数？(3)若将集合B 的元素按从小到大的顺序排列,第1081个数为多少？【解】将0,1,2,…,9这10个数字按照和为9进行配对,考虑(0,9),(1,8),(2,7),(3,6), (4,5),B 中元素的每个数位只能从上面五对数中每对至多取一个数构成.(1)两位数有22215242272C A C ⨯⨯-⨯=个; 三位数有333222534222432C A C A ⨯⨯-⨯⨯=个;(2)存在五位数,只需从上述五个数对中每对取一个数即可构成符合条件的五位数;不存在六位数,由抽屉原理易知,若存在,则至少要从一个数对中取出两个数,则该两个数字之和为9,与B 中任意一个元素的任意两个数位的数字之和不等于矛盾,因此不存在六位数;(3)四位数共有4443335443221728C A C A ⨯⨯-⨯⨯=个,因此第1081个元素是四位数,且是第577个四位数,我们考虑千位,千位为1,2,3的四位数有3334332576C A ⨯⨯⨯=个,因此第1081个元素是4012.2.(15分)1sin sin 3x y +=,1cos cos 5x y -=,求sin()x y -与cos()x y +的值【解】由1sin sin 3x y +=……①,1cos cos 5x y -=……②,平方相加得208cos()225x y +=;另一方面由①可得12sincos 223x y x y +-=……③ 由②式可得12sin sin 225x y x y +--=……④,由③/④式得3tan 25x y -=-,也所以22tan152sin()171tan 2x y x y x y --==--+即求.3.点A 在y kx =上,点B 在y kx =-上,其中0k >,2||||1OA OB k ⋅=+,且A B 、在y 轴同侧. (1)求AB 中点M 的轨迹C ;(2)曲线C 与22(0)x py p =>相切,求证:切点分别在两条定直线上,并求切线方程. 【解】(1)设1122(,),(,)A x y B x y ,(,)M x y ,则1212121122(),,,222x x y y k x x y kx y kx x y ++-==-===, 由2||||1OA OB k ⋅=+得,121x x =,显然22121212()()44x x x x x x +--==,于是得2221(0)y x k k-=>,于是AB 中点M 的轨迹C是焦点为(,实轴长为2的双曲线.(2)将22(0)x py p =>与2221(0)y x k k-=>联立得22220y pk y k -+=,由曲线C 与抛物线相切,故242440p k k ∆=-=,即1pk =,所以方程可化为2220y ky k -+=,即切点的纵从标均为y k =,代入曲线C 得横坐标为.因此切点分别在定直线x x ==,两切点为),()D k E k ,又因为xy p'=,于是在)D k处的切线方程为y k x p -=,即1y x p p=-;同理在()E k处的切线方程为1y x p p=--. 4. (15分)7个红球,8个黑球,从中任取4个球.(1)求取出的球中恰有1个是红球的概率;(2)求所取出球中黑球个数X 的分布列及期望()E X ; (3)若所取出的4个球颜色相同,求恰好全黑的概率;【解】(1)由题知恰有一个红球的概率为137841556195C C C =; (2)易知X 的所有可能取值为0,1,2,3,4,则由古典概型知,474155(0)195C P X C ===,137841540(1)195C C P X C ===,227841584(2)195C C P X C ===,137841556(3)195C C P X C ===, 4841510(4)195C P X C ===,即X 的分布列为:所以其数学期望为 540845610320123419519519519519515EX =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=(事实上由超几何分布期望公式可以直接得出期望为83241515EX =⨯=,无须繁杂计算) (3)取出四个球同色,全为黑色的概率为48447823C C C =+即求. 5. (15分)数列{}n a 均为正数,且对任意*n N ∈满足21(0n nn a ca a c +=+>为常数). (1) 求证:对任意正数M ,存在N *N ∈,当n N >时有n a M >; (2)设11n n b ca =+,n S 是数列{}n b 的前n 项和,求证:对任意0d >,存在*N N ∈,当n N >时,110||n S d ca <-<. 【证明】:(1)因为对任意的*n N ∈满足0n a >,所以21n n n n a ca a a +=+>,又因为0c >, 所以22111121()n n n n n n n n a a c a a a a a a a a +----=-+->->>-,所以2112211211()(1)()(1)n n n n n a a a a a a a a n a a n a ---=-+-++-+>--=-故对任意的正整数M ,存在*21{1,[]2}MN N a =+∈,当n N >时有n a M >; (注:21M a ⎡⎤⎢⎥⎣⎦表示不超过21Ma 的最大正整数.) (2)由21(1)n n n n n a ca a a ca +=+=+可得,111n n n a ca a +=+,所以211111111n n n n n n n n n n ca a a ca ca a ca a ca ca ++++-===-+; 也所以11111nn i i n S b ca ca =+==-∑,即11110n n S ca ca +-=> 且由(1)知211n a na +>,所以21111n ca nca +<, 即对任意0d >,存在211max 1,N dca ⎧⎫⎡⎤⎪⎪=⎨⎬⎢⎥⎪⎪⎣⎦⎩⎭,当n N >时,有110||n S d ca <-<. 6. (15分)已知,,x y z 是互不相等的正整数,|(1)(1)(1)xyz xy xz yz ---,求,,x y z . 【解】本题等价于求使(1)(1)(1)1()xy xz yz xy yz zx xyz x y z xyz xyz---++-=-+++为整数的正整数,,x y z ,由于,,x y z 是互不相等的正整数,因此|1xyz xy yz zx ++-,不失一般性不妨设x y z >>,则13xyz xy yz zx yx ≤++-<,于是3z <,结合z 为正整数,故1,2z =, 当1z =时,|1xy xy y x ++-,即|1xy y x +-,于是12xy xy y x x ≤++-<,所以2y <, 但另一方面y z >,且为正整数,所以2y ≥矛盾,不合题意.所以2z =,此时2|221xy xy y x ++-,于是2221xy xy y x ≤++-,即221xy y x ≤+-, 也所以224xy y x x <+<,所以4y <,又因为2y z >=,所以3y =; 于是6|55x x +,所以655x x ≤+,即5x ≤,又因为3x y >=,所以4,5x =, 经检验5x =符合题意,于是符合题意的正整数,,x y z 有(,,)x y z =(2,3,5)、(2,5,3)、(3,2,5)、(3,5,2)、(5,2,3)、(5,3,2)注:该题与2011年福建省高一数学竞赛试题雷同. 7. (15分)已知()(1)1x f x x e =-- 求证:(1)当0x >,()0f x <;(2)数列{}n x 满足111,1n n x x n x e e x +=-=,求证:数列{}n x 单调递减且12n n x >.【解】(1)当0x >时,()0xf x xe '=-<,所以()f x 在(0,)+∞上递减,所以()(0)0f x f <=. (2)由11n nx x n x ee +=-得11n n x x ne ex +-=,结合11x =,及对任意0,1xx e x >>+,利用数学归纳法易得0n x >对任意正整数n 成立,由(1)知()0n f x <,即1n n xxn e x e -<, 即1n n x x n n x ex e +<,因为0n x >,所以1n n x x e e +<,即1n n x x +>,所以数列{}n x 递减,下面证明12n n x >,用数学归纳法证,设1()x e g x x -=,则221()()x x xe e f x g x x x -+'==-,由(1)知当0x >时,()0f x <,即()0g x '>,故()g x 在(0,)+∞递增,由归纳假设12n n x >得1()()2n n g x g >,要证明1112n n x ++>只需证明1112n n xe e ++>,即112()n n g x e +>,故只需证明1121()2n n g e +>,考虑函数2()()x h x xg x xe =-,因为当0x >时212x x e >+,所以222()(1)[(1)]022x x xxx x h x e e e e =-+=-+>,故()h x 在(0,)+∞上递增,又102n >,所以1()02n h >,即1121()2n n g e +>,由归纳法知,12n n x >对任意正整数n 成立.注:此题的函数模型与2012年清华大学保送生考试试题的函数模型相似.。

探究“顿牟掇芥”的物理学原理——评析一道2013年“华约”自主招生试题

Ｆ
（１）Ｆ是吸引力还是排斥力？简要说明理由；（２）若
固定点电荷的电荷量增加一倍，力Ｆ如何变化，即求
』’ （Ｑ）
，
些信息，分析加工这些信息，合理利用这些信息并结合平
时所学的知识来分析解决．
探究“ 顿牟掇芥 ’ ’ 的物理学原理
评析一道２０１３年“ 华约” 自主招生试题
丁庆红张霄燕。
（１．北京教育学院石景山分院，北京１０００４３；２．北京市石景山区北京师范大学励耘实验学校，北京１００１４４） “ 顿牟掇芥” 是人们生活中司空见惯的物理现象．在中国东汉时期，当时杰出的思想家、哲学家王充在其所著书籍《论衡》中就有关于电的描述： “ 顿牟掇芥” ，顿牟就是琥珀，当琥珀经摩擦后，即能吸引像草芥一类的轻小物体．这
“ 掇” 上去．
今信息社会，如何获取信息、加工信息、利用信息解决实际问题，已成为人们思考的热点．本题在建立物理模型时，提
到的几个概念： “ 电偶极子 ” 、 “ 电偶极矩” 以及 “ 原子的极化
系数” 在高中阶段是不涉及的，故在本题中作为必要的信息或知识加以呈现．考生要解决这个问题，就必须读懂这

2013年华约自主招生物理试题(精校带解析)-历年自主招生考试物理试题大全

注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

2．将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。

3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

本试卷共七大题，满分100分。

解答应写出必要的文字说明、方程式和主要演算步骤。

一、（15分）（1）质量约1T 的汽车在10s 内由静止加速到60km/h 。

如果不计阻力，发动机的平均输出功率约为多大?（2）汽车速度较高时，空气阻力不能忽略。

将汽车简化为横截面积约1m 2的长方体，并以此模型估算汽车以60km/h 行驶时为克服空气阻力所增加的功率。

已知空气密度ρ=1.3kg/m 3。

（3）数据表明，上述汽车所受阻力与速度平方的关系如图所示。

假定除空气阻力外，汽车行驶所受的其它阻力与速度无关，估计其它阻力总的大小。

二、（10分）核聚变发电有望提供人类需要的丰富清洁能源。

氢核聚变可以简化为4个氢核（H 11）聚变生成氦核（He 42），并放出2个正电子（e 01）和2个中微子（e 00v ）。

（1）写出氢核聚变反应方程；（2）计算氢聚变生成一个氦核所释放的能量；（3）计算1kg 氢完全聚变所释放的能量；它相当于多少质量的煤完全燃烧放出的能量?（1kg 煤完全燃烧放出的能量约为3.7×107 J ）。

已知：m （H 11）=1.6726216×1027kg ，m （He 42）=6.646477×1027kg ，m （e 01）=9.109382×1031kg ，m （e 00v ）≈0，c =2.99792458×108m/s 。

三、（15分）明理同学平时注意锻炼身体，力量较大，最多能提起m =50kg 的物体。

一重物放置在倾角θ=15°的粗糙斜坡上，重物与斜坡间的摩擦因数为μ=33≈0.58。

试求该同学向上拉动的重物质量M 的最大值?四、（15分）如图，电阻为R 的长直螺线管，其两端通过电阻可忽略的导线相连接。

“北约”“华约”2013年自主招生数学模拟试题及答案解析

“北约”“华约”2013年自主招生数学模拟试题5. 设P 是抛物线2440y y x --=上的动点,点A 的坐标为(0,1)-,点M 在直线PA 上,且分PA所成的比为2:1,则点M 的轨迹方程是 .第二部分：解答题（共5小题每题20分） 1设集合()12log 32A x x ⎧⎫⎪⎪=-≥-⎨⎬⎪⎪⎩⎭，21a B xx a ⎧⎫=>⎨⎬-⎩⎭．若A B ≠∅ ，求实数a 的取值范围2. 为了搞好学校的工作，全校各班级一共提了P )(+∈N P 条建议.已知有些班级提出了相同的建议，且任何两个班级都至少有一条建议相同，但没有两个班提出全部相同的建议.求证该校的班级数不多于12-P 个3. 设平面向量1)a =- ,1(,)22b = .若存在实数(0)m m ≠和角((,))22ππθθ∈-,使向量2(tan 3)c a b =+- ,tan d ma b θ=-+ ,且c d ⊥ .(I)求函数()m f θ=的关系式; (II)令tan t θ=,求函数()m g t =的极值.4. 已知双曲线的两个焦点分别为1F ,2F ,其中1F 又是抛物线24y x =的焦点,点A (1,2)-, B (3,2)在双曲线上.(I)求点2F 的轨迹方程; (II)是否存在直线y x m =+与点2F 的轨迹有且只有两个公共点?若存在,求实数m 的值,若不存在,请说明理由.5. 已知a ，b 均为正整数，且,sin )(),20(2sin ,2222θπθθn b a A ba ab b a n n ⋅+=<<+=>其中求证：对一切*N ∈n ，n A 均为整数参考答案一、选择题1. 由tan 2α=,得sin 2cos αα=,有22sin 4cos αα=,即221cos 4cos αα-=.则21cos 5α=,原式=222216cos 6cos 5cos 5cos 1αααα--==. 2.设x a bi=+,,a b R∈,代入原方程整理得22(2256)(45)0a b a b ab a b i --+-++-=有2222560450a b a b ab a b ⎧--+-=⎨+-=⎩,解得11a b =⎧⎨=⎩或3232a b ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩,所以1x i =+或3322x i =-.3. 直接求x 的个位数字很困难，需将与x 相关数联系，转化成研究其相关数. 【解】令])22015()22015[(,)22015()22015(82198219+++=+-+-=y x y 则])22015()22015[(8219-+-+，由二项式定理知，对任意正整数n.)2201515(2)22015()22015(22+⋅⋅+=-++-n n n n n C 为整数，且个位数字为零.因此，x y +是个位数字为零的整数.再对y 估值，因为2.0255220155220150=<+=-<，且1988)22015()22015(-<-，所以.4.02.02)22015(201919<⨯<-<<y 故x 的个位数字为9.【评述】转化的思想很重要，当研究的问题遇到困难时，将其转化为可研究的问题. 4. 解：被7除余2的数可写为72k +. 由100≤72k +≤600.知14≤k ≤85.又若某个k 使72k +能被57整除，则可设72k +=57n . 即5722877n n k n --==+. 即2n -应为7的倍数. 设72n m =+代入，得5716k m =+. ∴14571685m ≤+≤. ∴m =0,1.于是所求的个数为70．5. 设点P 00(,)x y ,M (,)x y ,有0203x x +⨯=,02(1)3y y +⨯-=,得03x x =,032y y =+而2000440y y x --=,于是得点M 的轨迹方程是291240y x --=. 二、解答题1. 解：{}13A x x =-≤<，()(){}30B x x a x a =--<．当0a >时，{}03B x a x a =<<<，由A B ≠∅ 得03a <<；当0a <时，{}30B x a x a =<<<，由A B ≠∅ 得1a >-；当0a =时，{}20B x x =<=∅，与A B ≠∅ 不符．综上所述，()()1,00,3a ∈-2. 证明：假设该校共有m 个班级，他们的建议分别组成集合m A A A ,,,21 。

2013、2014年华约北约卓越自主招生数学试题

2013年“华约”自主招生数学试题1. 已知集合{}10A x Z x =∈≥，B 是A 的子集，且B 中元素满足下列条件：（a ）数字两两不等;(b)任意两个数字之和不等于9;试求：（1）B 中有多少个两位数？多少个三位数？（2）B 中是否有五位数？是否有六位数？（3）将B 中元素从小到大排列，第1081个元素是多少？ 2. 已知实数,x y 满足sin x +sin y =13， cos cos x y - =15，求sin()x y -，cos().x y +3. 已知0k >，从直线y kx =和y kx =-上分别选取点(,),(,)A A B B A x y B x y ，0A B x x >，满足21OA OB k =+，其中O 为坐标原点，AB 中点M 的轨迹为曲线C . (1)求曲线C 的方程；(2)抛物线22(0)x py p =>与曲线C 相切于两点，求证：两点在两条定直线上，并求出两条切线方程.4. 有7个红球8个黑球，从中任取四个. ⑴求恰有一个红球的概率；⑵设四个球中黑球个数为X ，求X 的分布列及数学期望Ex ； ⑶求当四个球均为一种颜色时，这种颜色为黑色的概率. 5. 已知数列{}n a 满足10a >，21n n n a a ca +=+，1,2...n =,，其中0c >， ⑴证明：对任意的0M >，存在正整数N ，使得对于n N >，n a M >；⑵设11n n b ca =+，n S 为n b 前n 项和，证明:{}n S 有界，且对0d >，存在正整数k ，当n k >时，110.n S d ca <-< 6. 已知,,x y z 是三个大于1的正整数，且xyz 整除(1)(1)(1),xy yz xz ---求,,x y z 的所有可能值.7. 已知()(1)1xf x x e =--， ⑴证明：当0x >时，()0f x <； ⑵若数列{}n x 满足11x =，11n n x x n x ee +=-.证明:数列{}n x 递减,且12nn x ⎛⎫> ⎪⎝⎭.2013年“华约”自主招生数学试题解析1.【试题分析】本题是集合元素的计数问题，需要用到排列组合的知识，对分步思维的理解要求较高。

2013年“华约”自主招生考试数论考题分析

要考生结合题设及所求，利用其经验和智慧，拓展
象具有高度的敏感性．＋一ｓ一一＜ｘ暑ｘ ÷ 一＋ ÷ 一＋ ÷ 一ｚ己 ≤ ÷ 一＋ ÷ 一＋吉一一：１，．这思维并对考查对解５（函数法）
＋
一
１
Ｓ６
中学数学杂志
２０１３年第７期
曼％４缓勖 ‰碧琵毛嚣多
然是两奇一偶．
断ｘｙｚ的范围，再放缩至３ｙｚ，进而确定的值．放
不妨设１＜＜Ｙ＜，若＞５，则：＋
Ｙ
缩法的关键是合理地放缩区间，此“ 度”的把握需
一
＾。
）
２０１３年“ 华约 ” 试题的第６道初等数论考题为例进行解析，希望能为广大考生提供些许启发和思
考．１真题解析
＜
三所以：２．
，
），＋＋一１＝ｘｙｚ可化为２），＋２ｚ一１＝ｙｚ，
解法分析此法通过整除性及放缩来判断
＋＋一
考试或竞赛所青睐的题型．该题是一道关于整除
的初等数论问题，可能涉及到整除、奇偶讨论、不
ｙ
１的范围
，
从而圈定：２，进而确定＿ｙ，
等式放缩、反证法、互质性、同余原理、不定方程、函数、线性规划等知识点及其相应的数学方法，考题的难点在于通过整除的性质来约束变量的取值范围，通过讨论筛选达到解决问题的目的．

2013年自主招生华约联考数学试题及其解答

2013年自主招生华约联考数学试题及其解答
福建省厦门一中徐小平
2013华约自主招生试题解析
1.已知集合A={x属于Z|x＞=10}B是A的子集，且B中元素满足下列条件
①数字两两不等②任意两个数字之和不等于9
⑴B中有多少个两位数，多少个三位数
⑵B中是否有五位数？是否有六位数？
将B中元素从小到大排列，第1081个元素是多少？
2.已知sinx+siny=1／3，cosx–cosy=1／5，求sin（x–y），cos（x+y）
3.k＞0，从直线y=kx和y=-kx上分别选取点A（xA，yA）B（xB，yB），xAxB＞0，｜OA｜｜OB｜=1+k^2，O为坐标原点，AB中点M的轨迹为C
⑴求C的轨迹方程
⑵x^2=2py（p＞0）与C相切与两点，求证两点在两条定直线上，并求出两条切线方程
4.有7个红球8个黑球，从中任取四个
⑴求恰有一个红球的概率
⑵设四个球中黑球个数为X，求X的分布列及数学期望Ex
⑶当四个球均为一种颜色时，这种颜色为黑色的概率
5.已知an+1=an+c an^2，n=1，2…a1＞0，c＞0
⑴证明对任意的M＞0，存在正整数N，使得对于n＞N，an＞M
⑵bn=1／（c an+1），sn为bn前n项和，证明{sn}有界，且d＞0时，存在正整数k，n＞k时，0＜｜
sn–1／ca1｜＜d
6.x，y，z是两两不等且大于1的正整数，xyz整除（xy–1）（xz–1）（yz–1）求x,y,z的所有可能的取值
7.f（x）=（1–x）e^x–1
⑴证明当x＞0时，f（x）＜0
⑵xn e^（xn+1）=e^xn–1，x1=1，证明数列{xn}递减且xn＞1／2^n。

“北约”“华约”2013年自主招生数学模拟试题及答案解析

8
4
(II) 直线 l1 : x 1 , l2 : y
x
m ,D(1,4),
( x 1)2
椭圆 Q:
(y
2)2
1
8
4
①若 l2 过点 F1 或 D,由 F1 ,D 两点既在直线 l1 上 , 又在椭圆 Q上 , 但不在 F2 的轨迹上 ,
知 l2 与 F2 的轨迹只有一个公共点 , 不合题意 .
②若 l2 不过 F1 ,D 两点 ( m 1, m 3 ). 则 l 2 与 l1必有一个公共点 E, 且点 E不在椭圆 Q上 ,
(I) 求点 F2 的轨迹方程 ;
(II)
是否存在直线 y x m 与点 F2 的轨迹有且只
有两个公共点 ?若存在 , 求实数 m 的值 , 若不存在 , 请说明理由 .
5. 已知 a， b 均为正整数，且 a b, sin 证：对一切 n N * ， An 均为整数
2ab a 2 b 2 (其中 0
当 t ( , 1) , g' (t ) 0 , g(t ) 为增函数 ; 当 t ( 1,1) 时 , g' (t ) 0 , g (t ) 为减函数 ;
当 t (1, ) 时 , g '(t ) 0 , g (t) 为增函数 .
所以当 t
值
1
.
2
1, 即
时 , m g (t) 有极大值 1 ; 当 t 1, 即
4
2
4．解 :(I) F1 (1,0) , AF1 BF2 2 2 , 设 F2( x, y) 则
时 , m g(t) 有极小 4
AF1 AF2 BF1 BF2 2a 0 , 去掉绝对值号有两种情况 , 分别得 F2 的轨迹

华约自主招生语文试题精选及答案解析

2013届自主招生语文试题及答案解析2013届自主招生语文试题——点评建议寓意1.）请根据要求表达对以下事件的看法。

北京大学自主招生试行“中学校长实名推荐制”。

目前被推荐学生的名单都已公布，除了江苏无锡天一中学少年班年仅14岁的洪欣格以“写作水平突出”引人注目外，获得推荐的学生，大多是各自学校公认的分数尖子生。

（1)请以一位应届高三普通学生的口吻，用一个递进关系的复句表达对事件的看法。

答：_____________________________________________________________________ _______________________________________________________________________ _（2)请以其他高校一位校长的口吻，连续用两个反问句表达对事件的看法。

答：_____________________________________________________________________ ____________________________________________________________________ __2.新闻点评就是用简约的文字对新闻进行评论。

请点评下面这则新闻。

（6分）《江南Style》讲的是一个韩国“屌丝”的白日梦。

其貌不扬的“鸟叔”幻想着各种幼稚的炫富行为，比如在阳光下的沙滩上，一位美女给他扇着风——其实他身处一个儿童公园，美女也是他想象出来的；装作是黑帮大佬蒸桑拿，结果文身男出现之后，他胆怯地挨着另一个男人；想要骑马，却只是在大街上装模作样地跳骑马舞……全世界都爱死《江南Style》了，短短3个月，它在优酷网上的点击量已超过7亿次，创下了世界纪录。

世界上的许多角落里都有人在跳“鸟叔”的招牌舞步，甚至连68岁的联合国秘书长潘基文也和“鸟叔”一起跳起了骑马舞。

答：_____________________________________________________________________ ____________________________________________________________________ __3.阅读下面的材料，根据调查数据，拟写两条建议。