第5章 数组与广义表

第5章数组和广义表（4学时）（一）教学目的：掌握数组的定义及顺序表示与实现； 掌握矩阵的压缩存储；广义表的定义及存储结构。

（二）教学重点：1、数组的定义及其存储2、特殊矩阵的压缩存储3、稀疏矩阵逻辑结构和存储结构4、广义表的逻辑结构和存储结构5、数组和广义表的操作应用举例 （三）教学难点：1、矩阵的压缩存储2、广义表的存储结构5．1数组的定义一、数组的抽象类型定义：数据对象：D=nj j j a 21{ |n(>0)称为数组的维数，bi 是数组第i 维的长度，ji 是数组元素的第i 维下标，nj j j a 21∈ElemSet}数据关系：R={R1，R2，…，Rn} Ri=ni n i j j j j j j a a 111,{+<>0≤jk ≤bk-1，1≤k ≤n 且k ≠i ， 0≤ji ≤bi-2，ni n i j j j j j j a a 111,+∈D ，I=2,…,n}二、数组基本操作：1、InitArray(&A,n,bound1,…,boundn)操作结果：若维数n 和各维长度合法，则构造相应的数组A ，并返回OK 。

2、DestroyArray （&A ） 操作结果：销毁数组A 。

3、Value(A,&e,indeex1,…,indexn)初始条件：A 是n 维数组，e 为元素变量，随后是n 个下标值。

操作结果：若各下标不超界，则e 赋值为所指定的A 的元素值，并返回OK 。

4、Assign(&A,e,index1,…,indexn)初始条件：A 是n 维数组，e 为元素变量，随后是n 个下标值。

操作结果：若下标不超界，则将e 的值赋给所指定的A 的元素，并返回OK 。

三、数组与线性表的关系：1、二维数组与线性表的关系：以把二维数组看成是这样一具定长线性表：它的每个数据元素也是一个定长线性表。

A=(a0,a1,…,ap) (p=m-1或n-1)其中每个数据元素aj 是一个列向量形式的线性表aj=(a0j,aij,…,am-1j) 0≤j ≤n-1 ai=(ai0,ai1,…,ai,n-1) 0≤i ≤m-1在C 语言中，一个二维数组类型可以定义为其分量类型为一维数组类型的一维数组类型，也就是说，typedef ElemType Array2[m][n];等价于 typedef ElemType Array1[n]; typedef Array1 Array2[m];0001020,10,100011011121,1101,1111,11,01,01,11,11,1......,...n n n n m n m m m m n m n a a a a a a a a a a a a aa Am n Am n a a a a a a -------------⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⨯=⨯=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦(a) (b)00010,110111,11,01,11,1((),(),,())m n n n m m m n A a a a a a a a a a ⨯------=(C )图5·1二维数组图例（a ）矩阵形式表示；（b ）列向量的一维数组；（c ）行向量的一维数组 2、n 维数组与线性表的关系：同理，一个n 维数组类型可以定义为其数据元素为n-1维数组类型的一维数组类型。

四、数组的基本操作数组一旦被定义，它的维数和维界就不再改变。

因此，除了结构的初始化和销毁之外，数组只有存取元素和修改元素值的操作。

5．2数组的顺序表示和实现一、二维数组的顺序存储：则用一组连续存储单元存放数组的数据元素就有个次序约定问题。

对二维数组可有两种存储方式：在扩展BASIC 、PL/1、COBOL 、PASCAL 和C 语言中，用的都是以行序为主序的存储结构，而在FORTRAN 语言中，用的是以列序为主序的存储结构。

（a ） 以列序为主序 （b ）以行序为主序 图5.2 二维数组的两种存储结构 二、数组的地址计算：1、二维数组的地址计算：假设每个数据元素占L 个存储单元，则二维数组A 中任一元素aij 的存储位置可由下式确定LOC （i,j ）=LOC （0，0）+（b2×i+j ）L (5——1)式中，LOC （i,j ）是aij 的存储位置；LOC （0，0）是a00的存储位置，即二维数组A 的起始存储位置，也称为基地址或基址。

2、n 维数组地址计算：LOC(j1,j2,…,jn)=LOC(0,0,…,0)＋(b2×…bn ×j1＋b3×…bn ×j2＋…＋bn ×jn-1＋jn)L=LOC(0,0,…,0)＋(111nn i kni k i j bj -==++∑ )L或缩写成LOC （j1,j2,…,jn ）=LOC(0,0,…,0)+1ni ii c j=∑ (5—2)其中Cn=L,ci-1=bi ×ci, 1<i ≤n 。

5.3 矩阵的压缩存储1、压缩存储：为多个值相同的元只分配一个存储空间；对零元不分配空间。

2、特殊矩阵：假若值相同的元素或者零元素的矩阵中的分布有一定规律，则我们称此类矩阵为特殊矩阵。

3、稀疏矩阵：非零元分布没有任何规律，但是数量很少，这样的矩阵我们称为稀疏矩阵。

5．3．1特殊矩阵一、对称矩阵： 1、对称矩阵定义：若n 阶矩阵A 中的元满足下述性质aij=aji 1≤i,j ≤n ，则称为n 阶对称矩阵。

2、对称矩阵的压缩存储：对于对称矩阵，我们可以为每一对对称元分配一个存储空间，则可将n2个元压缩存储到n(n+1 )/2个元的空间中。

3、压缩存储元素与存储地址之间的对应关系：假设以一维数组sa[n(n+1)/2]作为n 阶对称矩阵A 的存储结构，则sa[k]和矩阵元aij 之间存在着一一对应的关系：(1)12(1)12i i j i j k j j i j j-⎧+-≥⎪⎪=⎨-⎪+-<⎪⎩当当 （5—3）k= 0 1 2 3 2)1(-n n 12)1(-+n n图5.3 对称矩阵的压缩存储二、三角矩阵：所谓下（上）三角矩阵是指矩阵的上（下）三角（不包括对角线）中的元均为常数c 或零的n 阶矩阵。

则除了和对称矩阵一样只存储其下（上）三角中的元之外，再加一个存储常数c 的存储空间即可。

三、对角矩阵：所谓对角矩阵是指所有的非零元都集中在以主对角线为中心的带状区域中。

即除了主对角线上和直接在对角线上、下方若干条对角线上的元之外，所有其他的元皆为零。

如图5.4所示。

对这种矩阵，我们也可按某个原则（或以行为主，或以对角线的顺序）将其压缩存储到一维数组上。

图5.4 三对角矩阵5.3.2 稀疏矩阵假设在m ×n 的矩阵中，有t 个元素不为零。

令δδ称，n m t⨯=为矩阵的衡疏因子。

通常认为05.0≤δ时称为稀疏矩阵。

⎪⎪⎪⎪⎭⎪⎪⎪⎪⎬⎫⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧-=⎪⎪⎪⎪⎭⎪⎪⎪⎪⎬⎫⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧--=000000000140000000070000000240090180001215001300000700150000241800000240001400003000000000009120T M图5.5 稀疏矩阵M 和T一．三元组顺序表1、三元组顺序表的定义：假设以顺序存储结构来表示三元组表，则可得稀疏矩阵的一种压缩存储方式——我们称之为三元组顺序表。

#define MAXSIE 12500 //假设非零元个数的最大值为12500 Typedef struct{int i,j: //该非零元的行下标和列下标ElemType e;}Triple;Typedef struct{Triple data[MAXSIZE+1]；//非零元三元组表，data[0]未用int mu, nu, tu; //矩阵的行数、列数和非零元个数}TSMatrix;在此，data域中表示非零元的三元组是以行序为主序顺序排列的。

2、矩阵的转置运算。

从a转置为b的主要过程：（1）将矩阵的行列值相互交换；（2）将每个三元组中的i和j要互调换；（3）重排三元组之间的次序便可实现矩阵的转置。

i j v1 2 121 3 93 1 -33 5 144 3 245 2 186 1 156 4 -7a.datai j v1 3-31 61 52 11 22 51 83 1 33 42 44 6 -76314b.data 可以把两种处理方法：（1）按照b.data 中三元组的次序依次在a.data 中找到相应的三元组进行转置。

换句话说，按照矩阵M 的列序来进行转置。

为了找到M 的每一列中所有的非零元素，需要对其三元组表a.data 从第一行起整个扫描一遍，由于a.data 是以M 的行序为主序来存放每个非零元的，由此得到的恰是b.data 应有的顺序。

其具体算法描述如算法5.1所示。

Status TransposeSMatrix(TSMatrix M, TSMatrix &T){ //采用三元组表存储表示，求稀疏矩阵M 的转置矩阵T 。

T.mu=M.nu; T.nu=M.mu; T .tu=M.tu; if(T.tu){ q=1;for(col=1;col ＜M.nu; ++col ） for(p=1;p ＜=M.tu; ++p ） if(M.data[p].j==col){T.data[q].i=M.data[p].j; T.data[q].j=M.data[p].i; T.data[q].e=M.data[p].e; ++q;} }return OK;}//TransposeSMatrix 算法 5.1（2）按照a.data 中三元组的次序进行转置，并将转置后的三元组置入b 中恰当的位置。

如果能预先确定矩阵M 中每一列（即T 中每一行）的第一个非零元在b.data 中应有的位置，那么在对a.data 的三元组依次作转置时，便可直接放到b.data 中恰当的位置上去。

为了确定这些位置，在转置前，应先求得M 的每一列中非零元的个数，进而求得每一列的第一个非零元在b.data 中应有的位置。

在此，需要附设num 和cpot 两个向量。

Num[col]表示矩阵M 中第col 列中非零元的个数，cpot[col]指示M 中第col 列的第一个非零元在b.data 中的恰当位置。

显然有⎩⎨⎧≤≤-+-==nu a col col numcol cpot col cpot cpot .2]1[]1[][;1]1[ （5-4） 例如，对图5.5的矩阵M.num 和cpot 的值如表5.1所示。