第7章 方差分析
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实验设计（ 实验设计（续）
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实验设计三原则
重复 重复是指试验中同一处理实施在两个或两个 以上的试验单位上 随机化 随机化是指在对实验对象进行分组时必须使 用随机的方法，使对象进入各实验组的机会 相等，以避免试验对象分组时实验人员主观 倾向的影响 双盲
单因素方差分析：涉及一个分类的自变量 双因素方差分析：涉及两个分类的自变量
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方差分析的概念（ 方差分析的概念（续）
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例：消费者很想知道哪种车型与油耗关系，比较 A, B, C三种车款每加仑可以行驶的里数如下：
A 18.2 19.4 19.6 19 18.8 19 0.548 0.300
C 21.2 21.8 22.4 22 21.6 21.8 0.447 0.200
H 0 : u1 = u2 = u3
三种汽车每单位汽油 的里数皆相同
Q:我们所观察到的样 本均值差异是否大到 足以推翻上面的零假 设?
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基本思想（ 基本思想（续）
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情形1：样本内的 方差很小
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实验设计
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概念
广义理解是指实验研究课题设计，也就是 整个实验计划的拟定 狭义的理解是指实验单位的选取、重复数 目的确定及实验单位的分组 实验设计的目的是避免系统误差，控 制、降低实验误差，无偏估计处理效 应，从而对样本所在总体作出可靠、 正确的推断
事先设计好的实施在试验单位上的具体项目叫实 验处理，简称处理 进行单因素实验时，实验因素的一个水平就 是一个处理 在多因素实验时，实验因素的一个水平组合 就是一个处理
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几个常用术语（ 几个常用术语（续）
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实验单位(experimental unit)
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方差分析的概念（ 方差分析的概念（续）
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方差分析
方差分析法是一种在若干能相互比较的资料组中 ，把产生变异的原因加以区分开来的方法与技术 研究分类型自变量对数值型因变量的影响
一个或多个分类尺度的自变量 一个间隔或比率尺度的因变量
单因素方差分析和双因素方差分析
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几个术语
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自变量与因变量
我们经常设计研究来了解造成某种现象变化的原 因 例如：我们想要了解为什么有时候种植西瓜会甜 有时候不会甜（甜度变动)
这种我们欲了解的变量称为因变量(dependent variable)、被解释变量、或反应变量(response variable)。 我们怀疑西瓜的甜度与栽种过程中是否施肥有关，将 某些西瓜种籽加以施肥处理，其它西瓜保持自然生长 ，这种造成依变量产生变化的变量称之为因子 (factor)或独立变项、 自变量(independent variable) 。
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随机化区组设计（ 随机化区组设计（续）
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因子设计
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因子设计(factorial design)
感兴趣的因素有两个
如：小麦品种和施肥方式.假定有甲、乙两种施肥方式 ，这样三个小麦品种和两种施肥方式的搭配共有 3×2=6种。如果我们选择30个地块进行实验，每一种 搭配可以做5次试验，也就是每个品种(处理)的样本容 量为5，即相当于每个品种(处理)重复做了5次实验
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完全随机化设计（ 完全随机化设计（续）
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Factor (Training Method) Factor Levels (Groups) Randomly Assigned Units 21 hrs Dependent Variable (Response) 27 hrs 29 hrs 17 hrs 25 hrs 20 hrs 31 hrs 28 hrs 22 hrs
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完全随机化设计
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完全随机化设计(completely randomized design)
“处理”被随机地指派给试验单元的一种设计. Subjects are assumed to be homogeneous 只有一个因素 With 2 or more groups (or levels)
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方差分析的概念（ 方差分析的概念（续）
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因此我们需要在共同的显著水平α下，同时考虑多 个均值的差异，我们以F分布来进行检验，称之为 方差分析 方差分析 (analysis of variance) 是由英国统计学家 R.A.Fisher于1923年提出
考虑两个因素(可推广到多个因素)的搭配实验设计 称为因子设计 该设计主要用于分析两个因素及其交互作用对实 验结果的影响
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因子设计（ 因子设计（续）
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7.2 方差分析基本思想
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为 衡 量 试 验结果的好坏或处理效应的高低 ，在 试验中具体测定的性状或观测的项目称为试验指 标 血糖含量、体高、体重等
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几个常用术语（ 几个常用术语（续）
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实验因素(experimental factor)
实验中所研究的影响实验指标的因素叫试验因素 当实验中考察的因素只有一个时，称为单因 素实验； 若同时研究两个或两个以上的因素对实验指 标的影响时，则称为两因素或多因素实验。 实验因素常用大写字母A、B、C、…等表示。
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完全随机化设计（ 完全随机化设计（续）
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高尔夫球的品牌与每次击球的球距有无影响？
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随机化区组设计
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随机化区组设计(randomized block design)
先按一定规则将实验单元划分为若干同质组，称 为“区组(Block)” 再将各种处理随机地指派给各个区组 分组后再将每个品种（处理）随机地指派给每一 个区组的设计就是随机化区组设计
A 18.2 19.4 19.6 ຫໍສະໝຸດ Baidu9 18.8
B 19.8 21 20 20.8 20.4
C 21.2 21.8 22.4 22 21.6
19
20.4
21.8
C B A 18 19 20
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基本思想（ 基本思想（续）
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情形2：样本內的 方差很大
方差分析的概念
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缘由
t检验法适用于样本平均数与总体平均数及两样本 平均数间的差异显著性检验， 但在科学研究中经 常会遇到比较 多个处理优劣的问题， 即需进行多 个平均数间的差异显著性检验。 大学中各年级的同学智商是否有别？ 三种不同的教学方法对于学生的成绩是否有 影响？
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实验设计（ 实验设计（续）
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局部控制 ─ 实验条件的局部一致性 在 实 验 环 境 或 实 验单位差异大的 情 况 下 ，可 将 整 个 实 验 环 境 或 实 验 单 位 分 成 若 干 个 小 环 境 或 小 组，在 小 环 境 或小组内使 非 处 理 因 素 尽 量 一 致，这就是局部控制 。
各个总体的方差必须相同
各组观察数据是从具有相同方差的总体中抽取的
各总体的观察值是独立的
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基本思想
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样本平均 样本标准差 样本方差
A 18.2 19.4 19.6 19 18.8 19 0.548 0.300
B 19.8 21 20 20.8 20.4 20.4 0.510 0.260
第7章 方差分析
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7.1 7.2 7.3 7.4
实验设计简介 方差分析基本思想 单因素方差分析 两因素方差分析
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7.1 实验设计简介
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几个常用术语
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试验指标(experimental indicator)
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方差分析的概念（ 方差分析的概念（续）
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推断的可靠性低，检验的 I 型错误率大，如果每组 的显著水平皆为α，则全体比较的显著水平会高于 α
假设我们在.05的显著水平下要检定下列零假设： H0: u1=u2=u3 如果拆成下列三组零假设： H0: u1=u2 , H0: u1=u3 , H0: u2=u3 每个假设被「接受」的概率为.95，三个假设全部被接 受的概率为.953=.857，也就是说当假设为真但被推翻 的概率为(1 - 0.857) = 0.143 > 0.05 远高于显著水 平
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基本思想（ 基本思想（续）
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共有K个总体
µ1, σ1
µ2, σ2
L
i代表在样本中 的序号，i = 1,2, …nj
j代表样本组別，j = 1,2, …k
方差分析的概念（ 方差分析的概念（续）
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检验过程烦琐
这种做法太浪费时间，因为比较几个总体可能产生很 多的比较组，例如比较五个总体的平均值差异，如果 以两两比较的方式，我们必须进行C52=10次的t-test。
无统一的试验误差，误差估计的精确性和检验的 灵敏性低
试验有5个处理 ，每个处理重复6次，共有30个观测值 。进行t检验时，每次只能利用两个处理共12个观测值 估计试验误差 ，误差自由度为 2(6-1)=10 ；若利用 整个试验的30个观测值估计试验误差 ，显然估计的精 确性高，且误差自由度为5(6-1)=25。
4
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几个常用术语（ 几个常用术语（续）
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因素水平(level of factor)
试验因素所处的某种特定状态或数量等级 称为因素水平，简称水平
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几个常用术语（ 几个常用术语（续）
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实验处理(treatment)
A 17 20.4 24 15.8 17.8
B 24.2 22 17.8 16.2 21.8
C 26 19.8 24.4 16 22.8
19
20.4
21.8
C B A 15 17 19
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基本思想（ 基本思想（续）
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分析逻辑
假设从K个总体中抽取大小分别为n1, n2, n3…nk的K 个独立随机样本。我们对总体有下列的假设： 各总体皆为正态分布，且有共同相同的方差σ2。 以u1, u2, …uk 来表示总体的均值，单因子分析检证 下零假设 H0: u1=u2…=uk vs. H1: 至少有两组均值不同
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样本平均 样本标准差 样本方差
B 19.8 21 20 20.8 20.4 20.4 0.510 0.260
C 21.2 21.8 22.4 22 21.6 21.8 0.447 0.200
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基本假设
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假设
每个总体都应服从正态分布
对于因素的每一个水平，其观察值是来自服从正态分 布总体的简单随机样本
在实验中能接受不同实验处理的独立的实验载体 叫实验单位 在实验中，将一个处理实施在两个或两个以 上的实验单位上，称为处理有重复；一处理 实施的实验单位数称为处理的重复数
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几个术语（ 几个术语（续）
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因素水平与处理
因素水平为某因子（自变量）之特殊形式或不同 状态，例如我们可以将「施肥」细分成三个水平 ：完全不施肥、施轻肥、施重肥 如果解释的因素为单一(施肥与否），称为单因子 分析，如果解释因子在两个以上（施肥与否＋栽 种温度），称为多因子分析。 在单因素分析中，每一个因素水平皆称为一种处 理(treatment)，多因子分析中，因子水平之组合称 为一种处理（施重肥＋高温、无施肥+高温、施重 肥＋低温、无施肥＋低温…等
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实验设计三原则
重复 重复是指试验中同一处理实施在两个或两个 以上的试验单位上 随机化 随机化是指在对实验对象进行分组时必须使 用随机的方法，使对象进入各实验组的机会 相等，以避免试验对象分组时实验人员主观 倾向的影响 双盲
单因素方差分析：涉及一个分类的自变量 双因素方差分析：涉及两个分类的自变量
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方差分析的概念（ 方差分析的概念（续）
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例：消费者很想知道哪种车型与油耗关系，比较 A, B, C三种车款每加仑可以行驶的里数如下：
A 18.2 19.4 19.6 19 18.8 19 0.548 0.300
C 21.2 21.8 22.4 22 21.6 21.8 0.447 0.200
H 0 : u1 = u2 = u3
三种汽车每单位汽油 的里数皆相同
Q:我们所观察到的样 本均值差异是否大到 足以推翻上面的零假 设?
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情形1：样本内的 方差很小
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实验设计
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概念
广义理解是指实验研究课题设计，也就是 整个实验计划的拟定 狭义的理解是指实验单位的选取、重复数 目的确定及实验单位的分组 实验设计的目的是避免系统误差，控 制、降低实验误差，无偏估计处理效 应，从而对样本所在总体作出可靠、 正确的推断
事先设计好的实施在试验单位上的具体项目叫实 验处理，简称处理 进行单因素实验时，实验因素的一个水平就 是一个处理 在多因素实验时，实验因素的一个水平组合 就是一个处理
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实验单位(experimental unit)
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方差分析
方差分析法是一种在若干能相互比较的资料组中 ，把产生变异的原因加以区分开来的方法与技术 研究分类型自变量对数值型因变量的影响
一个或多个分类尺度的自变量 一个间隔或比率尺度的因变量
单因素方差分析和双因素方差分析
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自变量与因变量
我们经常设计研究来了解造成某种现象变化的原 因 例如：我们想要了解为什么有时候种植西瓜会甜 有时候不会甜（甜度变动)
这种我们欲了解的变量称为因变量(dependent variable)、被解释变量、或反应变量(response variable)。 我们怀疑西瓜的甜度与栽种过程中是否施肥有关，将 某些西瓜种籽加以施肥处理，其它西瓜保持自然生长 ，这种造成依变量产生变化的变量称之为因子 (factor)或独立变项、 自变量(independent variable) 。
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因子设计
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因子设计(factorial design)
感兴趣的因素有两个
如：小麦品种和施肥方式.假定有甲、乙两种施肥方式 ，这样三个小麦品种和两种施肥方式的搭配共有 3×2=6种。如果我们选择30个地块进行实验，每一种 搭配可以做5次试验，也就是每个品种(处理)的样本容 量为5，即相当于每个品种(处理)重复做了5次实验
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Factor (Training Method) Factor Levels (Groups) Randomly Assigned Units 21 hrs Dependent Variable (Response) 27 hrs 29 hrs 17 hrs 25 hrs 20 hrs 31 hrs 28 hrs 22 hrs
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“处理”被随机地指派给试验单元的一种设计. Subjects are assumed to be homogeneous 只有一个因素 With 2 or more groups (or levels)
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方差分析的概念（ 方差分析的概念（续）
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因此我们需要在共同的显著水平α下，同时考虑多 个均值的差异，我们以F分布来进行检验，称之为 方差分析 方差分析 (analysis of variance) 是由英国统计学家 R.A.Fisher于1923年提出
考虑两个因素(可推广到多个因素)的搭配实验设计 称为因子设计 该设计主要用于分析两个因素及其交互作用对实 验结果的影响
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7.2 方差分析基本思想
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为 衡 量 试 验结果的好坏或处理效应的高低 ，在 试验中具体测定的性状或观测的项目称为试验指 标 血糖含量、体高、体重等
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实验因素(experimental factor)
实验中所研究的影响实验指标的因素叫试验因素 当实验中考察的因素只有一个时，称为单因 素实验； 若同时研究两个或两个以上的因素对实验指 标的影响时，则称为两因素或多因素实验。 实验因素常用大写字母A、B、C、…等表示。
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随机化区组设计
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随机化区组设计(randomized block design)
先按一定规则将实验单元划分为若干同质组，称 为“区组(Block)” 再将各种处理随机地指派给各个区组 分组后再将每个品种（处理）随机地指派给每一 个区组的设计就是随机化区组设计
A 18.2 19.4 19.6 ຫໍສະໝຸດ Baidu9 18.8
B 19.8 21 20 20.8 20.4
C 21.2 21.8 22.4 22 21.6
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20.4
21.8
C B A 18 19 20
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情形2：样本內的 方差很大
方差分析的概念
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缘由
t检验法适用于样本平均数与总体平均数及两样本 平均数间的差异显著性检验， 但在科学研究中经 常会遇到比较 多个处理优劣的问题， 即需进行多 个平均数间的差异显著性检验。 大学中各年级的同学智商是否有别？ 三种不同的教学方法对于学生的成绩是否有 影响？
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实验设计（ 实验设计（续）
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局部控制 ─ 实验条件的局部一致性 在 实 验 环 境 或 实 验单位差异大的 情 况 下 ，可 将 整 个 实 验 环 境 或 实 验 单 位 分 成 若 干 个 小 环 境 或 小 组，在 小 环 境 或小组内使 非 处 理 因 素 尽 量 一 致，这就是局部控制 。
各个总体的方差必须相同
各组观察数据是从具有相同方差的总体中抽取的
各总体的观察值是独立的
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样本平均 样本标准差 样本方差
A 18.2 19.4 19.6 19 18.8 19 0.548 0.300
B 19.8 21 20 20.8 20.4 20.4 0.510 0.260
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7.1 7.2 7.3 7.4
实验设计简介 方差分析基本思想 单因素方差分析 两因素方差分析
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推断的可靠性低，检验的 I 型错误率大，如果每组 的显著水平皆为α，则全体比较的显著水平会高于 α
假设我们在.05的显著水平下要检定下列零假设： H0: u1=u2=u3 如果拆成下列三组零假设： H0: u1=u2 , H0: u1=u3 , H0: u2=u3 每个假设被「接受」的概率为.95，三个假设全部被接 受的概率为.953=.857，也就是说当假设为真但被推翻 的概率为(1 - 0.857) = 0.143 > 0.05 远高于显著水 平
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共有K个总体
µ1, σ1
µ2, σ2
L
i代表在样本中 的序号，i = 1,2, …nj
j代表样本组別，j = 1,2, …k
方差分析的概念（ 方差分析的概念（续）
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检验过程烦琐
这种做法太浪费时间，因为比较几个总体可能产生很 多的比较组，例如比较五个总体的平均值差异，如果 以两两比较的方式，我们必须进行C52=10次的t-test。
无统一的试验误差，误差估计的精确性和检验的 灵敏性低
试验有5个处理 ，每个处理重复6次，共有30个观测值 。进行t检验时，每次只能利用两个处理共12个观测值 估计试验误差 ，误差自由度为 2(6-1)=10 ；若利用 整个试验的30个观测值估计试验误差 ，显然估计的精 确性高，且误差自由度为5(6-1)=25。
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试验因素所处的某种特定状态或数量等级 称为因素水平，简称水平
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实验处理(treatment)
A 17 20.4 24 15.8 17.8
B 24.2 22 17.8 16.2 21.8
C 26 19.8 24.4 16 22.8
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20.4
21.8
C B A 15 17 19
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分析逻辑
假设从K个总体中抽取大小分别为n1, n2, n3…nk的K 个独立随机样本。我们对总体有下列的假设： 各总体皆为正态分布，且有共同相同的方差σ2。 以u1, u2, …uk 来表示总体的均值，单因子分析检证 下零假设 H0: u1=u2…=uk vs. H1: 至少有两组均值不同
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样本平均 样本标准差 样本方差
B 19.8 21 20 20.8 20.4 20.4 0.510 0.260
C 21.2 21.8 22.4 22 21.6 21.8 0.447 0.200
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基本假设
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假设
每个总体都应服从正态分布
对于因素的每一个水平，其观察值是来自服从正态分 布总体的简单随机样本
在实验中能接受不同实验处理的独立的实验载体 叫实验单位 在实验中，将一个处理实施在两个或两个以 上的实验单位上，称为处理有重复；一处理 实施的实验单位数称为处理的重复数
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因素水平与处理
因素水平为某因子（自变量）之特殊形式或不同 状态，例如我们可以将「施肥」细分成三个水平 ：完全不施肥、施轻肥、施重肥 如果解释的因素为单一(施肥与否），称为单因子 分析，如果解释因子在两个以上（施肥与否＋栽 种温度），称为多因子分析。 在单因素分析中，每一个因素水平皆称为一种处 理(treatment)，多因子分析中，因子水平之组合称 为一种处理（施重肥＋高温、无施肥+高温、施重 肥＋低温、无施肥＋低温…等