二次函数拱形问题
中考数学高频考点突破：实际问题与二次函数——拱桥问题
中考数学高频考点突破：实际问题与二次函数——拱桥问题一、选择题1.有一座抛物线形拱桥，正常水位桥下面宽度为20米，拱顶距离水平面4米，如图建立直角坐标系，若正常水位时，桥下水深6米，为保证过往船只顺利航行，桥下水面宽度不得小于18米，则当水深超过多少米时，就会影响过往船只的顺利航行( )A．2.76米B．7米C．6米D．6.76米2.如图是拱形大桥的示意图，桥拱与桥面的交点为O，B，以点O为原点，水平直线OB为x轴，建立平面直角坐标系，桥的拱形可以近似看成抛物线y=−0.01(x−20)2+4，桥拱与桥墩AC的交点C恰好位于水面，且AC⊥x轴，若OA=5米，则桥面离水面的高度AC为( )A．5米B．4米C．2.25米D．1.25米3.如图，三孔桥横截面的三个孔都呈抛物线形，两小孔形状、大小完全相同．当水面刚好淹没小孔时，大孔水面宽度为10米，孔顶离水面 1.5米；当水位下降，大孔水面宽度为14米时，单个小孔的水面宽度为4米，若大孔水面宽度为20米，则单个小孔的水面宽度为( )A．4√3米B．5√2米C．2√13米D．7米二、填空题4.如图所示是一段抛物线型的拱梁，抛物线的表达式为y=ax2+bx．小强骑自行车从拱梁一端O沿直线匀速穿过拱梁部分的桥面OC，当小强骑自行车行驶10秒时和26秒时拱梁的髙度相同，则小强骑自行车通过拱梁部分的桥面OC共需秒．5.一个拱形桥架可以近似看做是由等腰梯形ABD8D1和其上方的抛物线D1OD8组成的．若建立如图所示的直角坐标系，跨度AB=44米，∠A=45∘，AC1=4米，点D2的坐标为(−13,−1.69)，则桥架的拱高OH=米．6.闵行体育公园的圆形喷水池的水柱（如图1），如果曲线APB表示落点B离点O最远的一条水流（如图2），其上的水珠的高度y（米）关于水平距离x（米）的函数解析式，那么圆形水池的半径至少为米时，才能使喷出的水流不落在为y=−x2+4x+94水池外．三、解答题7.如图，隧道的截面由抛物线AED和矩形ABCD构成，矩形的长BC为8m，宽AB为2m，以BC所在的直线为x轴，线段BC的中垂线为y轴，建立平面直角坐标系，y轴是抛物线的对称轴，顶点E到坐标原点O的距离为6m．(1) 求抛物线的解析式；(2) 一辆货运卡车高4.5m，宽2.4m，它能通过该隧道吗？8.如图是一个抛物线形拱桥示意图，已知河床宽度AB=40米，拱桥高度为10米．(1) 建立适当的坐标系，并求出抛物线的解析式；(2) 若测量得拱桥内水面宽度为28米，求拱桥内的水深．9.已知一条隧道的截面如图所示，它的上部是一个半圆，下部是一个矩形，且矩形的一条边长为2.5m．(1) 写出隧道截面的面积y(m2)与截面上部半圆的半径x(m)之间的函数表达式；(2) 当隧道截面上部半圆的半径为2m时，隧道截面的面积约是多少（精确到0.1m2）？10.桂林红桥位于桃花江上，是桂林两江四湖的一道亮丽的风景线，该桥的部分横截面如图所示，上方可看作是一个经过A，C，B三点的抛物线，以桥面的水平线为x轴，经过抛物线的顶点C与x轴垂直的直线为y轴，建立平面直角坐标系，已知此桥垂直于桥面的相邻两柱之间的距离为2米（图中用线段AD，FG，CO，BE等表示桥柱），CO=1米，FG=2米．(1) 求经过A，B，C三点的抛物线的函数解析式；(2) 求桥柱AD的高度．11.有一个抛物线形蔬菜大棚，将其截面放在如图所示的平面直角坐标系中，抛物线可以用函数y=ax2+bx来表示，已知OA=8米，距离O点2米处的棚高BC为9米．4(1) 求该抛物线的解析式；(2) 若借助横梁DE(DE∥OA)建一个门，要求门的高度为1.5米，则横梁DE的长度是多少米？12.如图，在喷水池的中心A处竖直安装一个水管AB．水管的顶端安有一个喷水管，使喷出的抛物线形水柱在与池中心A的水平距离为1m处达到最高点C，高度为3m．水柱落地点D离池中心A处3m，建立适当的平面直角坐标系，解答下列问题．(1) 求水柱所在抛物线的函数解析式；(2) 求水管AB的长．13.如图为一座桥的示意图，已知桥洞的拱形是抛物线．当水面宽为12m时，桥洞顶部离水面4m．(1) 建立平面直角坐标系，并求该抛物线的函数表达式．(2) 若水面上升1m，水面宽度将减少多少？14.如图①，一个横截面为抛物线形的隧道，其底部的宽AB为8m，拱高为4m，该隧道为双向车道，且两车道之间有0.4m的隔离带，一辆宽为2m的货车要安全通过这条隧道，需保持其顶部与隧道间有不少于0.5m的空隙，以AB的中点O为原点，按如图②所示建立平面直角坐标系．(1) 求该抛物线对应的函数关系式；(2) 通过计算说明该货车能安全通过的最大高度．15.秋风送爽，学校组织同学们去颐和园秋游，昆明湖西堤六桥中的玉带桥非常令人喜爱，如图所示，玉带桥的桥拱是抛物线形，水面宽度AB=10m，桥拱最高点C到水面的距离为6m．(1) 建立适当的平面直角坐标系，求抛物线的表达式；(2) 现有一艘游船高度是 4.5m，宽度是4m，为了保证安全，船顶距离桥拱顶部至少0.5m，通过计算说明这艘游船能否安全通过玉带桥．16.如图是一座古拱桥的截面图，拱桥桥洞的上沿是抛物线形状，当水面的宽度为10m时，桥洞与水面的最大距离是5m．(1) 经过讨论，同学们得出三种建立平面直角坐标系的方案（如图），你选择的方案是（填“方案一”“方案二”或“方案三”），则B点坐标是，求出你所选方案中的抛物线的表达式．(2) 因为上游水库泄洪，水面宽度变为6m，求水面上涨的高度．17.如图，隧道的截面由抛物线ADC和矩形AOBC构成，矩形的长OB是12m，宽OA是4m．拱顶D到地面OB的距离是10m．若以O原点，OB所在的直线为x轴，OA所在的直线为y轴，建立直角坐标系．(1) 画出直角坐标系xOy，并求出抛物线ADC的函数表达式；(2) 在抛物线型拱壁E，F处安装两盏灯，它们离地面OB的高度都是8m，则这两盏灯的水平距离EF是多少米？18.如图，足球场上守门员在O处开出一高球，球从离地面1米的A处飞出（A在y轴上），运动员乙在距O点6米的B处发现球在自己头的正上方达到最高点M，距地面约4米高，球落地后又一次弹起，据试验测算，足球在草坪上弹起后的抛物线与原来的抛物线形状相同，最大高度减少到原来最大高度的一半．(1) 求足球开始飞出到第一次落地时，该抛物线的解析式．(2) 足球第一次落地点C距守门员多少米？（取4√3≈7）(3) 运动员乙要在第二个落地点D抢到足球，他应再向前跑多少米？（取2√6≈5）答案一、选择题1. 【答案】D【解析】设该抛物线的表达式为 y =ax 2，把 x =10，代入表达式得 −4=a ×102，解得 a =−125，故此抛物线的表达式为 y =−125x 2，∵ 桥下水面宽度不得小于 18m ，∴ 令 x =9 时，可得 y =−125×81=−3.24(m )， 此时水深 6+4−3.24=6.76(m )， 即桥下水深 6.76m 时正好通过， ∴ 超过 6.76m 时则不能通过．2. 【答案】C3. 【答案】B【解析】建立如图所示的平面直角坐标系，则 MN =4 米，EF =14 米，BC =10 米，DO =32 米，设大孔所在抛物线的解析式为 y =ax 2+32(a ≠0)，∵BC =10 米， ∴ 点 B (−5,0)，∴0=a ×(−5)2+32， ∴a =−350，∴ 大孔所在抛物线的解析式为 y =−350x 2+32，设点 A (b,0)，则设顶点为 A 的小孔所在抛物线的解析式为 y =m (x −b )2， ∵EF =14 米，∴ 点 E 的横坐标为 −7， ∴ 点 E 的坐标为 (−7,−3625)，当 m (x −b )2=−3625 时，解得 x 1=65√−1m +b ，x 2=−65√−1m +b ， ∵MN =4 米， ∴∣∣∣∣65√−1m +b −(−65√−1m +b)∣∣∣∣=4， ∴m =−925，∴ 顶点为 A 的小孔所在抛物线的解析式为 y =−925(x −b )2，∵ 大孔水面宽度为 20 米，∴ 当 x =−10 时，y =−92， ∴−92=−925(x −b )2， ∴x 1=5√22+b ，x 2=−5√22+b ，∴ 当大孔水面宽度为 20 米时，单个小孔的水面宽度 =∣∣∣(5√22+b)−(−5√22+b)∣∣∣=5√2（米）． 故选B ．二、填空题4. 【答案】 36【解析】如图所示：设在 10 秒时到达 A 点，在 26 秒时到达 B ， ∵10 秒时和 26 秒时拱梁的高度相同，∴A ，B 关于对称轴对称，则从 A 到 B 需要 16 秒，则从 A 到 D 需要 8 秒， ∴ 从 O 到 D 需要 10+8=18 秒， 从 O 到 C 需要 2×18=36 秒．5. 【答案】 7.24【解析】设抛物线 D 1OD 8 的解析式为 y =ax 2，将 x =−13，y =−1.69 代入，可得 a =−1100．因为横梁 D 1D 8=C 1C 8=AB −2AC 1=36 m ，所以点 D 1 的横坐标是 −18，代入 y =−1100x 2，得 y =−3.24． 因为 ∠A =45∘，所以 D 1C 1=AC 1=4 m ，所以 OH =3.24+4=7.24 m ．6. 【答案】 92三、解答题7. 【答案】(1) 根据题意，A (−4,2)，D (4,2)，E (0,6)，设抛物线的解析式为 y =ax 2+6(a ≠0)，把 A (−4,2) 或 D (4,2) 代入得 16a +6=2，得 a =−14，抛物线的解析式为 y =−14x 2+6．(2) 根据题意，把 x =±1.2 代入解析式，得 y =5.64， ∵5.64>4.5，∴ 货运卡车能通过．【解析】(1) 方法二：设解析式为y=ax2+bx+c，代入A，D，E三点坐标得{16a−4b+c=216a+4b+c=2c=6，得{a=−14b=0c=6，抛物线的解析式为y=−14x2+6．8. 【答案】(1) 建立如图所示坐标系，设抛物线铁板式为y=ax2；由题意得，B(20,−10)，∴−10=202a，解得a=−140，∴y=−140x2．(2) 由题意得，点D横坐标为28÷2=14，当x=14时，y=−140×142=−4.9，−4.9−(−10)=5.1．∴拱桥内的水深5.1米．9. 【答案】(1) y与x之间的函数表达式是y=12πx2+5x；(2) 当x=2时，y=12π×22+5×2=2π+10≈16.3(m2)．所以隧道截面上部半圆的半径为2m时，隧道截面的面积约是16.3m2．10. 【答案】(1) 由题意可知：点C的坐标为(0,1)，点F的坐标为(−4,2)．设抛物线的函数解析式为y=ax2+c，所以{1=c,2=16a+c,解得{a=116,c=1.所以抛物线的函数解析式为y=116x2+1．(2) 点A的横坐标为−8，当x=−8时，y=5，所以桥柱AD的高度为5米．11. 【答案】(1) 由题意可得，抛物线经过(2,94)，(8,0)，故{64a+8b=0,4a+2b=94,解得{a=−316,b=32,故拋物线的解析式为y=−316x2+32x．(2) 由题意可得，当y=1.5时，1.5=−316x2+32x，解得x1=4+2√2，x2=4−2√2，故DE=x1−x2=4+2√2−(4−2√2)=4√2（米）．12. 【答案】(1) 以池中心A为原点，竖直安装的水管为y轴，与水管垂直的方向为x轴建立平面直角坐标系．由于在距池中心的水平距离为1m时达到最高，高度为3m，则设抛物线的解析式为y =a (x −1)2+3，代入 (3,0)，求得 a =−34， 故所求的函数解析式为 y =−34(x −1)2+3(0≤x ≤3)．(2) 令 x =0，则 y =94=2.25．故水管 AB 的长为 2.25 m ．13. 【答案】(1) 以 C 为坐标原点建立坐标系，则 A (−6,−4)，B (6,−4)，C (0,0)，设 y =ax 2，把 B (6,−4) 代入上式，36a +4=0，解得：a =−19，∴y =−19x 2．(2) 令 y =−3 得：−19x 2=−3，解得：x =±3√3， ∴ 若水面上升 1 m ，水面宽度将减少 12−6√3．14. 【答案】(1) 如图，A (−4,0)，C (0,4)，设抛物线的解析式为 y =ax 2+k (a ≠0)，由题意，得 {16a +k =0,k =4,解得 {a =−14,k =4,∴ 抛物线的解析式为 y =−14x 2+4．(2) 2+0.42=2.2，当 ∣x ∣=2.2 时，y =−14×2.22+4=2.79，2.79−0.5=2.29(m )．答：该货车能够安全通行的最大高度为 2.29 m ．15. 【答案】(1) 以 AB 的中点为原点，建立如下的坐标系， 则点 C (0,6)，点 B (5,0)．设函数的表达式为 y =ax 2+c =ax 2+6(a ≠0)，将点 B 的坐标代入上式，得 0=25a +6，解得 a =−625，故抛物线的表达式为 y =−625x 2+6．(2) 设船从桥的中心进入，则其最右侧点的横坐标为 2，当 x =2 时，y =−625x 2+6=−625×4+6=12625=5.04，船的顶部高为 4.5，4.5+0.5=5<5.04，故顶部通过符合要求，故这艘游船能安全通过玉带桥．16. 【答案】(1) 方案二；(10,0)；由题意知，抛物线的顶点坐标为 A (5,5)，且经过点 O (0,0)，B (10,0)， 设抛物线的解析式为 y =a (x −5)2+5（a ≠0），把点 (0,0) 代入，得 0=a (0−5)2+5，解得a=−15．∴抛物线的解析式为y=−15(x−5)2+5．(2) 在方案二的前提下，由题意知，当x=5−3=2时，−15(x−5)2+5=165，所以水面上涨的高度为165米．17. 【答案】(1) 画出直角坐标系xOy，如图：由题意可知，抛物线ADC的顶点坐标为(6,10)，A点坐标为(0,4)，可设抛物线ADC的函数表达式为y=a(x−6)2+10，将x=0，y=4代入得：a=−16，∴抛物线ADC的函数表达式为y=−16(x−6)2+10．(2) 由y=8得：−16(x−6)2+10=8，解得：x1=6+2√3，x2=6−2√3，则EF=x1−x2=4√3，即两盏灯的水平距离EF是4√3米．18. 【答案】(1) 根据题意，可设足球开始飞出到第一次落地时，抛物线的解析式为y=a(x−6)2+4，将点A(0,1)代入，得36a+4=1，解得a=−112，∴足球开始飞出到第一次落地时，该抛物线的解析式为y=−112(x−6)2+4．(2) 令y=0，得−112(x−6)2+4=0，解得x1=4√3+6≈13，x2=−4√3+6<0（舍去），∴足球第一次落地点C距守门员13米．(3) 如图，足球第二次弹起后的水平距离为CD，根据题意知CD=EF（即相当于将抛物线AEMFC向下平移了2个单位），∴−112(x−6)2+4=2，解得x1=6−2√6，x2=6+2√6，∴CD=x2−x1=4√6≈10（米），∴BD=13−6+10=17（米）．答：运动员乙要在第二个落地点D抢到足球，他应再向前跑17米．。
22.3实际问题与二次函数-拱桥问题解析
试一试：
如图所示，有一座抛物线型拱桥，在正常水位 AB时，水面宽20米，水位上升3米，就达到警戒 线CD,这时水面宽为10米。
（1）求抛物线型拱桥的解析式。
（2）若洪水到来时，水位以每小时0.2米的速度 上升，从警戒线开始，在持续多少小时才能达到 拱桥顶？
抛物线的顶点在象限内，对称轴平行于_y__轴， 抛物线的形式为____y_=_a_(_x_-_h_)_2+_k.
探究1：
如图是某公园一圆形喷水池，水流在各方向沿形状相
同的抛物线落下，如果喷头所在处A距地面1.25米,水流路
线最高处B距地面2.25米,且距水池中心的水平距离为1米.
以A处的竖直方向为y轴,水平方向为x轴建立直角坐标系,
该抛物线的解析式为 y= －(x-1)2 +2.25 ,如果不考虑其他
因素，那么水池的半径至少要 2.5 米，才能使喷出的水流
不致落到池外。
y
. 1 BB．(1,2.25 ） .AA(0,1.25)
1.25 2.25
O
Cx
探究2：
如图的抛物线形拱桥,当水面在 l时,拱桥顶离水面
2 m,水面宽 4 m,水面下降 1 m, 水面宽度增加多少?
所以，水面下降1m，水面的
宽度为2 6 m.
∴水面的宽度增加了 2 6 4 m
y
(0,0)
●
0
解：设这条抛物线表示的二次函数为
y a(x 2)2 2
(2,2)
由抛物线经过点（0，0），可得
(4, 0)
a1
●
2
x 所以，这条抛物线的解析式为：
y 1 (x 2)2 2
2023年中考数学专题复习：二次函数应用之拱桥问题(提优篇)
2023中考数学专题复习：二次函数应用之拱桥问题（提优篇）1.三孔桥横截面的三个孔都呈抛物线形，两小孔形状、大小完全相同．当水面刚好淹没小孔时，大孔水面宽度为10米，孔顶离水面1.5米；当水位下降，大孔水面宽度为14米时，单个小孔的水面宽度为4米，若大孔水面宽度为20米，则单个小孔的水面宽度为( )A．4√3米B．5√2米C．2√13米D．7米2.如图，隧道的截面由抛物线和长方形OABC构成，长方形的长OA是12m，宽OC是4m．按x2+bx+c表示．在抛物线形拱壁上照如图所示的平面直角坐标系，抛物线可以用y=−16需要安装两排灯，使它们离地面的高度相等．如果灯离地面的高度不超过8m，那么两排灯的水平距离最小是( )A．2m B．4m C．4√2m D．4√3m3.【测试2】如图是抛物线型拱桥，当拱顶离水面2m时，水面宽4m．水面上升1.5m，水面宽度为( )A．1m B．2m C．√3m D．2√3m4.【例4】如图是抛物线形拱桥，当拱顶高离水面2m时，水面宽4m，水面下降2.5m，水面宽度增加( )A．1m B．2m C．3m D．6m5.河北省赵县的赵州桥的桥拱是近似的抛物线形，建立如图所示的平面直角坐标系，其函数x2，当水面离桥拱顶的高度DO是4m时，这时水面宽度AB为( )的关系式为y=−125A．−20m B．20m C．10m D．−10m6.某大学的校门（如图所示）是抛物线形水泥建筑物，大门的宽度为8米，两侧距地面4米高处各有一个挂校名横匾用的铁环，两铁环的水平距离为6米，那么校门的高是米．7.如图，一个横截面为抛物线形的隧道底部宽12米、高6米.车辆双向通行，若规定车辆必须米的空在中心线两侧、距离道路边缘2米的能围内行驶，并保持车辆顶部与隧道有不少于13隙，则通过隧道的车辆的高度限制应为米.8.闵行体育公园的圆形喷水池的水柱（如图1），如果曲线APB表示落点B离点O最远的一条水，流（如图2），其上的水珠的高度y（米）关于水平距离x（米）的函数解析式为y=−x2+4x+94那么圆形水池的半径至少为米时，才能使喷出的水流不落在水池外．9.中国石拱桥是我国古代人民建筑艺术上的智慧象征．如图所示，某桥拱是抛物线形，正常水位时，水面宽AB为20m，由于持续降雨，水位上升3m，若水面CD宽为10m，则此时水面距桥面距离OE的长为．10.如图，这是一传媒公司寓意为“大鹏展翅”的大门建筑截面图，它是两条关于线段AB的中垂线对称的抛物线，开口朝向左右，顶点是边长为4米的正方形中心，且分别过正方形的两个顶点．若入口水平宽BE为10.5米，则最高点F到地面的高度FE为米．11.一个拱形桥架可以近似看做是由等腰梯形ABD8D1和其上方的抛物线D1OD8组成的．若建立如图所示的直角坐标系，跨度AB=44米，∠A=45∘，AC1=4米，点D2的坐标为(−13,−1.69)，则桥架的拱高OH=米．12.有一抛物线形拱桥，其最大高度为16米，跨度为40米，现将它的示意图放在平面直角坐标系中，如图，则抛物线的解析式是．13.如图，某广场设计的一座建筑物造型的纵截面是抛物线的一部分，抛物线的顶点O落在水平面上，对称轴是水平线OC．点A，B在抛物线造型上，且点A到水平面的距离AC=4米，点B到水平面距离为2米，OC=8米．(1) 请建立适当的直角坐标系，求抛物线的函数解析式；(2) 为了安全美观，现需在水平线OC上找一点P，用质地、规格已确定的圆形钢管制作两根支柱PA，PB对抛物线造型进行支撑加固，那么怎样才能找到两根支柱用料最省（支柱与地面、造型对接方式的用料多少问题暂不考虑）时的点P？（无须证明）(3) 为了施工方便，现需计算出点O，P之间的距离，那么两根支柱用料最省时，点O，P之间的距离是多少？（请写出求解过程）14.如图①，地面BD上两根等长立柱AB，CD之间悬挂一根近似成抛物线y=110x2−45x+3的绳子．(1) 求绳子最低点离地面的距离．(2) 因实际需要，在离AB为3米的位置处用一根立柱MN撑起绳子（如图②），使左边抛物线F1的最低点距MN为1米，离地面1.8米，求MN的长．(3) 将立柱MN的长度提升为3米，通过调整MN的位置，使抛物线F2对应函数的二次项系，设MN离AB的距离为m，抛物线F2的顶点离地面距离为k，当2≤k≤2.5时，数始终为14求m的取值范围．15.在篮球比赛中，东东投出的球在点A处反弹，反弹后球运动的路线为抛物线的一部分（如图（1）所示建立直角坐标系），抛物线顶点为点B．(1) 求该抛物线的函数表达式．(2) 当球运动到点C时被东东抢到，CD⊥x轴于点D，CD=2.6m．①求OD的长．②东东抢到球后，因遭对方防守无法投篮，他在点D处垂直起跳传球，想将球沿直线快速传给队友华华，目标为华华的接球点E(4,1.3)，东东起跳后所持球离地面高度ℎ1(m)（传球前）与东东起跳后时间t(s)满足函数关系式ℎ1=−2(t−0.5)2+2.7(0≤t≤1)；小戴在点F(1.5,0)处拦截，他比东东晚0.3s垂直起跳，其拦截高度ℎ2(m)与东东起跳后时间t(s)的函数关系如图（2）所示（其中两条抛物线的形状相同）．东东的直线传球能否越过小戴的拦截传到点E？若能，东东应在起跳后什么时间范围内传球？若不能，请说明理由（直线传球过程中运动时间忽略不计）．16.如图，排球运动员站在点O处练习发球，将球从O点正上方2 m的A处发出，把球看成点，其运行的高度y(m)与运行的水平距离x(m)满足关系式y=a(x−6)2+ℎ．已知球网与O点的水平距离为9 m，高度为2.43 m，球场的边界距O点的水平距离为18 m．(1) 当ℎ=2.6时，求y与x的关系式（不要求写出自变量x的取值范围）；(2) 当ℎ=2.6时，球能否越过球网？球会不会出界？请说明理由；(3) 若球一定能越过球网，又不出边界，求ℎ的取值范围．17.在水平的地面BD上有两根与地面垂直且长度相等的电线杆AB，CD，以点B为坐标原点，直线BD为x轴建立平面直角坐标系，得到图1．已知电线杆之间的电线可近似地看成抛物线y=1100x2−45x+30．(1) 求电线杆AB和线段BD的长．(2) 因实际需要，电力公司在距离AB为30米处增设了一根电线杆MN（如图2），左边抛物线F1的最低点离MN为10米，离地面18米，求MN的长．(3) 将电线杆MN的长度变为30米，调整电线杆MN在线段BD上的位置，使右边抛物线F2的二次项系数始终是140，设电线杆MN距离AB为m米，抛物线F2的最低点离地面的距离为k米，当20≤k≤25时，求m的取值范围．18.如图，某隧道口的横截面是抛物线形，已知路宽AB为6米，最高点离地面的距离OC为5米．以最高点O为坐标原点，抛物线的对称轴为y轴，1米为数轴的单位长度，建立平面直角坐标系．求：(1) 以这一部分抛物线为图象的函数解析式，并写出x的取值范围；(2) 一辆宽2.8米，高1米的农用货车（货物最高处与地面AB的距离）能否通过此隧道？19.如图①，一个横截面为抛物线形的隧道，其底部的宽AB为8m，拱高为4m，该隧道为双向车道，且两车道之间有0.4m的隔离带，一辆宽为2m的货车要安全通过这条隧道，需保持其顶部与隧道间有不少于0.5m的空隙，以AB的中点O为原点，按如图②所示建立平面直角坐标系．(1) 求该抛物线对应的函数关系式；(2) 通过计算说明该货车能安全通过的最大高度．20.如图，隧道的截面由抛物线和长方形构成，长方形的长是12m，宽是4m．按照图中所示x2+bx+c表示，且抛物线上的点C到OB的水平的平面直角坐标系，抛物线可以用y=−16m．距离为3m，到地面OA的距离为172(1) 求抛物线的函数表达式，并计算出拱顶D到地面OA的距离．(2) 一辆货运汽车载一长方体集装箱后高为6m，宽为4m，如果隧道内设双向车道，那么这辆货车能否安全通过？(3) 在抛物线型拱璧上需要安装两排灯，使它们离地面的高度相等，如果灯离地面的高度不超过8m，那么两排灯的水平距离最小是多少？21.秋风送爽，学校组织同学们去颐和园秋游，昆明湖西堤六桥中的玉带桥非常令人喜爱，如图所示，玉带桥的桥拱是抛物线形，水面宽度AB=10m，桥拱最高点C到水面的距离为6m．(1) 建立适当的平面直角坐标系，求抛物线的表达式；(2) 现有一艘游船高度是4.5m，宽度是4m，为了保证安全，船顶距离桥拱顶部至少0.5m，通过计算说明这艘游船能否安全通过玉带桥．22.如图1，某穿山隧道纵截面为半圆形，圆心O的左右两边各有一条宽为3.75m的机动车道（OC，OD）和宽为1.25m的非机动车道（AC，BD）．（备注：机动车与非机动车通行时都只能在各自车道行驶，不能越线）(1) 若有一辆宽3.3m的卡车载物从该隧道通行，则其最大高度不能超过多少米？（结果精确到0.1m）(2) 为改善通行条件，地方政府另外修建了一条单向隧道，并打算将如图1所示的隧道改建成如图2所示的抛物线形隧道，并要求：①隧道宽度AB及最大高度均保持不变；②只需保留一条单向机动车道(MN)；③两条非机动车道（AM，BN）均拓宽为2m．问：改建后，若有一辆宽3.8m的卡车载物从该隧道通行，则其最大高度不能超过多少米？（结果精确到0.1m）23.某跳水运动员进行10米跳台跳水训练时，身体（看成一点）在空中的运动路线是如图所示的坐标系中始于原点O的一段抛物线，图中数据为已知条件．在跳某个规定动作时，正常米，入水处距池边的距离为4米，同时，运情况下，这个运动员在空中的最高处距水面1023动员在距水面高度为5米以前，必须完成规定的翻腾动作，并调整好入水姿势，否则就会出现失误．(1) 求这段抛物线的表达式．(2) 在某次试跳中，测得运动员在空中的运动路线是（1）中的抛物线，且运动员在空中米，问此次跳水是否会失误，为什么？调整好入水姿势时，距池边的距离为33524.校园景观设计：如图1，学校计划在流经校园的小河上建造一座桥孔为抛物线的小桥，桥孔的跨径为8m，拱高为5m．(1) 把该桥拱看作一个二次函数的图象，建立适当的平面直角坐标系，写出这个二次函数的表达式；(2) 施工时，工人师傅先要制作如图2的桥孔模型，请你帮助工人师傅设计计算模型中左侧第二根立柱的高．25.如图是立交路上方一座抛物线型拱桥的示意图，桥的跨度AB=12米，拱高OM=4米．按规定，汽车通过桥下时，车顶与桥拱之间的距离CD不小于0.5米．(1) 以AB为x轴，以OM为y轴建立平面直角坐标系，求拱桥所在抛物线的表达式．(2) 一辆宽4米、高2.5米（车顶与地面AB的距离）的平顶货车能否通过拱桥？为什么？。
22.3.2实际问题与二次函数——拱桥问题和运动抛物线问题
一、拱桥问题
探究3
l
图中是抛物线形拱桥， 当水面在l时，拱顶离 时，拱顶离 水面2m，水面宽4m， 水面下降1m，水面宽 度增加多少？
分析：我们知道，二次函数的图象是抛物线，建 立适当的坐标系，就可以求出这条抛物线表示的二 次函数解析式，为解题简便，以抛物线的顶点为原 点，以抛物线的对称轴为y轴建立直角坐标系．
一场篮球赛中，小明跳起投篮，已知球出手时离地面高 20 米，与
篮圈中心的水平距离为8米，当球出手后水平距离为4米时到达最
大高度4米，设篮球运行的轨迹为抛物线，篮圈中心距离地面3米. 问此球能否投中？
9
20 9
4米
3米
4米 8米
y
20 9
（ 4， 4）
1 2 y x 4 4 9
y
4米
20 9
3米
4米 7米 x
O
用抛物线的知识解决拱桥问题和运动 抛物线问题的一般步骤： 建立适当的直角坐标系
设二次函数解析式 由条件求解析式 找出实际问题的答案
20 练习：一场篮球赛中，甲跳起投篮，已知球出手时离地面高 9
米，与篮圈中心的水平距离为7米，当球出手后水平距离为4米 时到达最大高度4米，设篮球运行的轨迹为抛物线，篮圈中心 距离地面3米。 (1)问此球能否投中？
（2）此时，若对方队员乙在甲前面1m处跳起盖帽拦截，已 知乙的最大摸高为3.1m，那么他能否获得成功？
抛物线形拱桥，当水面 y 1 在l 时，拱顶离水面2m， 水面宽度4m，水面下降 当 y 1 时， x 6 2 1m，水面宽度增加多少？ 所以，水面下降1m，水面的
6 m. ∴水面的宽度增加了 2 6 4 m
二次函数应用--拱桥问题
CC A
DB
0
C
h
D
A
B
(1)建立平面直角坐标系；
(2)根据题意构建二次函数图象； (3)问题求解； (4)找出实际问题的答案。
一个涵洞成抛物线形，它的截面如图,现 测得，当水面宽AB＝1.6 m时，涵洞顶点与水 面的距离为2.4 m．这时，离开水面1.5 m处， 涵洞宽ED是多少？是否会超过1 m？
有一抛物线拱桥，在正常水位AB时水面的宽度 是 20m，水位上升3 m时水面CD宽10m. （1）求抛物线的函数表达式。 （此2桥）35一k条m时船，以桥5k下m水/h的位速正度好向在此AB桥处驶4，来3之，后当水船位距每离 小时上涨0.25m,当水位达到CD处时，将禁止船通行。 如果该船按原来的速度行驶，那么它能否安全通过 此桥？
AB=12Leabharlann yCCD=4
A
D
B
x
探究 图中是抛物线形拱桥，当水面在 L 时，拱
顶离水面2m，水面宽4m，水面下降1m时，水面宽度 是多少？
解一
解二
解三
L
解
如图所示，
以抛物线的顶点为原点，以抛物线的对称轴为
y轴，
建立平面直角坐标系。
∴可设这条抛物线所表示
的二次函数的解析式为:
y ax2
返回
解二 如图所示,以抛物线和水面的两个交点的连线为x轴，以抛物线 的对称轴为y轴，建立平面直角坐标系. 此时,抛物线的顶点为(0,2) ∴可设这条抛物线所表示 的二次函数的解析式为:
y ax2 2
返回
解三 如图所示,以抛物线和水面的两个交点的连线为x轴，以其中
的一个交点(如左边的点)为原点，建立平面直角坐标系. 此时,抛物线的顶点为(2,2) ∴可设这条抛物线所表示 的二次函数的解析式为:
二次函数拱桥问题技巧
二次函数拱桥问题技巧拱桥是一种古老而又美丽的建筑结构，广泛应用于城市的交通建设中。
在设计和建造拱桥的过程中，我们必须考虑多个因素，包括拱桥的高度、跨度、荷载以及拱线形状等。
在解决这些问题时，二次函数成为了一种能够帮助我们分析和建模的重要工具。
首先，我们需要明确二次函数的定义。
二次函数是一个以$x$的平方项为最高项的多项式函数。
其一般形式可以表示为$f(x) = ax^2 + bx + c$，其中$a$、$b$和$c$是常系数。
二次函数图像呈现出一条平滑的曲线，其形状可以是开口向上或开口向下的拱形。
在拱桥问题中，我们常常需要根据已知条件建立二次函数模型，以分析和解决实际问题。
例如，假设我们想要设计一座拱桥，使得桥面的高度达到最大值，同时考虑到桥面的跨度应满足一定的要求。
这时，我们可以利用二次函数来描述桥面的高度，并通过优化方法来求解。
为了建立二次函数模型，我们需要首先确定函数的自变量和因变量。
在拱桥问题中，通常$x$轴表示桥面的宽度或跨度，$y$轴表示桥面的高度。
然后，我们需要考虑到已知条件。
例如，已知拱桥的两个支点之间的距离为$d$，那么我们可以设$x$的取值范围为$[0, d]$。
另外，对于一个平滑的拱形，我们可以假设二次函数在两个支点处的斜率为零。
这一条件可以转化为函数的导数为零的条件。
通过求解这些已知条件，我们可以确定二次函数的参数$a$、$b$和$c$的值。
在确定二次函数模型之后，我们可以利用这个模型来解决具体问题。
例如，我们可以利用二次函数模型来求解桥面的最大高度。
首先，求出二次函数的导函数$f'(x)$，然后令其等于零，解得极值点$x_0$。
接下来，我们计算$f(x_0)$，这就是桥面的最大高度。
除了求解最大高度，我们还可以利用二次函数模型来计算拱桥的其他性质。
例如，可以通过求解二次函数的零点来计算拱桥的支点位置。
在这个过程中，我们将二次函数设为零，并解得$x$的值。
这些值就是拱桥的支点的位置。
部编数学九年级上册专题09二次函数的实际应用—拱桥问题(解析版)含答案
2022-2023学年人教版数学九年级上册压轴题专题精选汇编专题09 二次函数的实际应用—拱桥问题考试时间：120分钟 试卷满分：100分一．选择题（共10小题，满分20分，每小题2分）1．（2分）（2021九上·虹口期末）如图所示，一座抛物线形的拱桥在正常水位时，水而AB 宽为20米，拱桥的最高点O 到水面AB 的距离为4米．如果此时水位上升3米就达到警戒水位CD ，那么CD 宽为（ ）A ．B ．10米C ．米D ．12米【答案】B 【解析】【解答】以O 点为坐标原点，AB 的垂直平分线为y 轴，过O 点作y 轴的垂线，建立直角坐标系，设抛物线的解析式为y=ax 2，∵O 点到水面AB 的距离为4米，∴A、B 点的纵坐标为-4，∵水面AB 宽为20米，∴A（-10，-4），B （10，-4），将A 代入y=ax 2，-4=100a ，∴125a =-，∴2125y x =-，∵水位上升3米就达到警戒水位CD ，∴C 点的纵坐标为-1，∴21125x -=-∴x=±5，∴CD=10，故答案为：B ．【思路引导】先建立平面直角坐标系，设抛物线的解析式为y=ax 2，再求出解析式，最后利用二次函数的性质求解即可。
2．（2分）（2021九上·安阳期中）有一拱桥洞呈抛物线形，这个桥洞的最大高度是16m ，跨度为40m ，现把它的示意图(如图)放在坐标系中，则抛物线的解析式为（ ）A ．y ＝125 x 2＋ 58x B ．y ＝－125 x 2＋ 85 x C ．y ＝－ 58 x 2－ 125 x D ．y ＝－ 125 x 2＋ 85 x ＋16【答案】B 【解析】【解答】解：由图可知，该抛物线开口向下，对称轴为x ＝20，最高点坐标为（20，16），且经过原点，由此可设该抛物线解析式为 ()22016y a x =-+ ，将原点坐标代入可得 400160a += ，解得： 125a =- ，故该抛物线解析式为 ()22118201625255y x x x =--+=-+.故答案为：B.【思路引导】由题意可设抛物线解析式为y=a(x-20)2+16，将（0，0）代入可得a的值，据此可得抛物线的解析式.3．（2分）（2021九上·诸暨月考）如图是抛物线形拱桥，当拱顶离水面2m时，水面宽4m，则水面下降1m时，水面宽度增加（ ）A．1m B．2mC．（﹣4）m D．（﹣2）m【答案】C【解析】【解答】解：如图，建立直角坐标系，设y=a（x-2）（x+2），∴2=a（0-2）（0+2），∴a=-12，∴y=-12（x-2）（x+2），当水面下降1米时，y=-1，∴-1=-12（x-2）（x+2），解得，∴水平宽度增加：（-4）m.故答案为：C.【思路引导】根据题意建立直角坐标系，结合数据求出二次函数解析式，再把y=-1代入抛物线解析式，则可求出此时的水面宽度，即可得出答案.4．（2分）（2020九上·郁南期末）如图所示，赵州桥的桥拱用抛物线的部分表示，其函数的关系式为 2125y x =- ，当水面宽度 AB 为20m 时，此时水面与桥拱顶的高度 DO 是（ ）A ．2mB ．4mC ．10mD ．16m【答案】B 【解析】【解答】解：根据题意得B 的横坐标为10，把x=10代入 2125y x =-，得y=-4，∴OD=4m，故答案为：B ．【思路引导】将x=10代入函数解析式求出y=-4，再求解即可。
专题11 二次函数的实际应用-九年级数学上册(解析版)
专题11二次函数的实际应用考点1：拱桥问题；考点2：抛球、喷泉问题；考点3：面积问题；考点4：利润问题。
1．赵州桥的桥拱是近似的抛物线形，建立如图所示的平面直角坐标系，其函数的关系式为y=−125x2，当水面离桥拱顶的高度DO是4m时，这时水面宽度AB为（）A．﹣20m B．10m C．20m D．﹣10m解：根据题意B的纵坐标为﹣4，把y＝﹣4代入y=−125x2，得x＝±10，∴A（﹣10，﹣4），B（10，﹣4），∴AB＝20m．即水面宽度AB为20m．答案：C．2．图2是图1中拱形大桥的示意图，桥拱与桥面的交点为O，B，以点O为原点，水平直线OB为x轴，建立平面直角坐标系，桥的拱形可近似看成抛物线y=−1400（x﹣80）2+16，桥拱与桥墩AC的交点C恰好在水面，有AC ⊥x轴，若OA＝10米，则桥面离水面的高度AC为（）A．16940米B．174米C．16740米D．154米题型01拱桥问题解：∵AC⊥x轴，OA＝10米，∴点C的横坐标为﹣10，当x＝﹣10时，y=−1400（x﹣80）2+16=−1400（﹣10﹣80）2+16=−174，∴C（﹣10，−174），∴桥面离水面的高度AC为174m．答案：B．3．（易错题）三孔桥横截面的三个孔都呈抛物线形，两小孔形状、大小完全相同．当水面刚好淹没小孔时，大孔水面宽度为10米，孔顶离水面1.5米；当水位下降，大孔水面宽度为14米时，单个小孔的水面宽度为4米，若大孔水面宽度为20米，则单个小孔的水面宽度为（）A．43米B．52米C．213米D．7米解：如图，建立如图所示的平面直角坐标系，由题意可得MN＝4，EF＝14，BC＝10，DO=32，设大孔所在抛物线解析式为y＝ax2+32，∵BC＝10，∴点B（﹣5，0），∴0＝a×（﹣5）2+32，∴a=−350，∴大孔所在抛物线解析式为y=−350x2+32，设点A（b，0），则设顶点为A的小孔所在抛物线的解析式为y＝m（x﹣b）2，∵EF＝14，∴点E的横坐标为﹣7，∴点E坐标为（﹣7，−3625），∴−3625b）2，∴x1=b，x2=−b，∴MN＝4，+b﹣（b）|＝4∴m=−925，∴顶点为A的小孔所在抛物线的解析式为y=−925（x﹣b）2，∵大孔水面宽度为20米，∴当x＝﹣10时，y=−92，∴−92925（x﹣b）2，∴x1=b，x2∴单个小孔的水面宽度＝|+b）﹣（+b）|＝52（米），答案：B．4．如图，济南建邦大桥有一段抛物线型的拱梁，抛物线的表达式为y＝ax2+bx．小强骑自行车从拱梁一端O沿直线匀速穿过拱梁部分的桥面OC，当小强骑自行车行驶10秒时和26秒时拱梁的高度相同，则小强骑自行车通过拱梁部分的桥面OC共需36秒．解：如图，设从O到A花10秒，从O到B花26秒，则由对称性可知OA＝BC，故从B到C也花10秒，故从O到C一共花26+10＝36（秒），答案：36．5．如图，一抛物线型拱桥，当拱顶到水面的距离为2米时，水面宽度为4米；那么当水位下降1米后，水面的宽解：如图，建立平面直角坐标系，设横轴x通过AB，纵轴y通过AB中点O且通过C点，则通过画图可得知O为原点，抛物线以y轴为对称轴，且经过A，B两点，OA和OB可求出为AB的一半2米，抛物线顶点C坐标为（0，2），通过以上条件可设顶点式y＝ax2+2，其中a可通过代入A点坐标（﹣2，0），到抛物线解析式得出：a＝﹣0.5，所以抛物线解析式为y＝﹣0.5x2+2，当水面下降1米，通过抛物线在图上的观察可转化为：当y＝﹣1时，对应的抛物线上两点之间的距离，也就是直线y＝﹣1与抛物线相交的两点之间的距离，可以通过把y＝﹣1代入抛物线解析式得出：﹣1＝﹣0.5x2+2，解得：x＝±6，所以水面宽度增加到26米，答案：26米．6．某校想将新建图书楼的正门设计为一个抛物线型门，并要求所设计的拱门的跨度与拱高之积为48m3，还要兼顾美观、大方，和谐、通畅等因素，设计部门按要求价出了两个设计方案．现把这两个方案中的拱门图形放入平面直角坐标系中，如图所示：方案一，抛物线型拱门的跨度ON＝12m，拱高PE＝4m．其中，点N在x轴上，PE⊥ON，OE＝EN．方案二，抛物线型拱门的跨度ON′＝8m，拱高P'E'＝6m．其中，点N′在x轴上，P′E′⊥O′N′，O′E′＝E′N′．要在拱门中设置高为3m的矩形框架，其面积越大越好（框架的粗细忽略不计）．方案一中，矩形框架ABCD的面积记为S1，点A、D在抛物线上，边BC在ON上；方案二中，矩形框架A'B'C′D'的面积记为S2，点A'，D'在抛物线上，边B'C'在ON'上．现知，小华已正确求出方案二中，当A'B'＝3m时，2=1222，请你根据以上提供的相关信息，解答下列问题：（1）求方案一中抛物线的函数表达式；（2）在方案一中，当AB＝3m时，求矩形框架ABCD的面积S1并比较S1，S2的大小．解：（1）由题意知，方案一中抛物线的顶点P（6，4），设抛物线的函数表达式为y＝a（x﹣6）2+4，把O（0，0）代入得：0＝a（0﹣6）2+4，解得：a=−19，∴y=−19（x﹣6）2+4=−19x2+43x；∴方案一中抛物线的函数表达式为y=−19x2+43x；（2）在y=−19x2+43x中，令y＝3得：3=−19x2+43x；解得x＝3或x＝9，∴BC＝9﹣3＝6（m），∴S1＝AB•BC＝3×6＝18（m2）；∵18＞122，∴S1＞S2．7．（易错题）如图1是一座抛物线型拱桥侧面示意图．水面宽AB与桥长CD均为24m，在距离D点6米的E处，测得桥面到桥拱的距离EF为1.5m，以桥拱顶点O为原点，桥面为x轴建立平面直角坐标系．（1）求桥拱顶部O离水面的距离．（2）如图2，桥面上方有3根高度均为4m的支柱CG，OH，DI，过相邻两根支柱顶端的钢缆呈形状相同的抛物线，其最低点到桥面距离为1m．①求出其中一条钢缆抛物线的函数表达式．②为庆祝节日，在钢缆和桥拱之间竖直装饰若干条彩带，求一条彩带长度的最小值．解：（1）根据题意可知点F的坐标为（6，﹣1.5），可设拱桥侧面所在二次函数表达式为：y1＝a1x2．将F（6，﹣1.5）代入y1＝a1x2有：﹣1.5＝36a1，求得a1=−124，∴y1=−124x2，当x＝12时，y1=−124×122＝﹣6，∴桥拱顶部离水面高度为6m．（2）①由题意可知右边钢缆所在抛物线的顶点坐标为（6，1），可设其表达式为y2＝a2（x﹣6）2+1，将H（0，4）代入其表达式有：4＝a2（0﹣6）2+1，求得a2=112，∴右边钢缆所在抛物线表达式为：y2=112（x﹣6）2+1，同理可得左边钢缆所在抛物线表达式为：y3=112（x+6）2+1②设彩带的长度为Lm，则L＝y2﹣y1=112（x﹣6）2+1﹣（−124x2）=182−+4=18(−4)2+2，∴当x＝4时，L最小值＝2，答：彩带长度的最小值是2m．8．某景点的“喷水巨龙”口中C处的水流呈抛物线形，该水流喷出的高度y（m）与水平距离x（m）之间的关系如图所示，D为该水流的最高点，DA⊥OB，垂足为A．已知OC＝OB＝8m，OA＝2m，则该水流距水平面的最大高度AD的长度为（）A．9m B．10m C．11m D．12m解：根据题意，设抛物线解析式为y＝a（x﹣2）2+k，将点C（0，8）、B（8，0）代入，得：4+=836+=0，解得=−14=9，∴抛物线解析式为y=−14（x﹣2）2+9，所以当x＝2时，y＝9，即AD＝9m，答案：A．9．某幢建筑物，从10米高的窗口A用水管和向外喷水，喷的水流呈抛物线（抛物线所在平面与墙面垂直），（如图）如果抛物线的最高点M离墙1米，离地面403米，则水流下落点B离墙距离OB是（）题型02抛球、喷泉问题A．2米B．3米C．4米D．5米解：设抛物线解析式：y＝a（x﹣1）2+403，把点A（0，10）代入抛物线解析式得：a=−103，∴抛物线解析式：y=−103（x﹣1）2+403．当y＝0时，x1＝﹣1（舍去），x2＝3．∴OB＝3米．答案：B．10．竖直上抛物体离地面的高度h（m）与运动时间t（s）之间的关系可以近似地用公式h＝﹣5t2+v0t+h0表示，其中h0（m）是物体抛出时离地面的高度，v0（m/s）是物体抛出时的速度．某人将一个小球从距地面1.5m的高处以20m/s的速度竖直向上抛出，小球达到的离地面的最大高度为（）A．23.5m B．22.5m C．21.5m D．20.5m解：由题意可得，h＝﹣5t2+20t+1.5＝﹣5（t﹣2）2+21.5，因为a＝﹣5＜0，故当t＝2时，h取得最大值，此时h＝21.5，答案：C．11．（易错题）如图，水池中心点O处竖直安装一水管，水管喷头喷出抛物线形水柱，喷头上下移动时，抛物线形水柱随之竖直上下平移，水柱落点与点O在同一水平面．安装师傅调试发现，喷头高2.5m时，水柱落点距O点2.5m；喷头高4m时，水柱落点距O点3m．那么喷头高8m时，水柱落点距O点4m．解：由题意可知，在调整喷头高度的过程中，水柱的形状不发生变化，当喷头高2.5m时，可设y＝ax2+bx+2.5，将（2.5，0）代入解析式得出6.25a+2.5b+2.5＝0，整理得2.5a+b+1＝0①；喷头高4m时，可设y＝ax2+bx+4；将（3，0）代入解析式得9a+3b+4＝0②，联立可求出a=−23，b=23，设喷头高为h时，水柱落点距O点4m，∴此时的解析式为y=−23x2+23x+h，将（4，0）代入可得−23×42+23×4+h＝0，解得h＝8．答案：8．12．如图，以一定的速度将小球沿与地面成一定角度的方向击出时，小球的飞行路线是一条抛物线．若不考虑空气阻力，小球的飞行高度h（单位：m）与飞行时间t（单位：s）之间具有函数关系：h＝﹣5t2+20t，则当小球飞行高度达到最高时，飞行时间t＝2s．解：∵h＝﹣5t2+20t＝﹣5（t﹣2）2+20，且﹣5＜0，∴当t＝2时，h取最大值20，答案：2．13．某学生在一平地上推铅球，铅球出手时离地面的高度为53米，出手后铅球在空中运动的高度y（米）与水平距离x（米）之间的函数关系式为y=−112x2+bx+c，当铅球运行至与出手高度相等时，与出手点水平距离为8米，则该学生推铅球的成绩为10米．解：设铅球出手点为点A，当铅球运行至与出手高度相等时为点B，根据题意建立平面直角坐标系，如图：由题意可知，点A（0，53），点B（8，53），代入y=−112x2+bx+c，得：==−112×82+8+，解得=23=53．∴y=−112x2+23x+53，当y＝0时，0=−112x2+23x+53，解得x1＝10，x2＝﹣2（不符合题意，舍去）．∴该学生推铅球的成绩为10m．答案：10．14．一次足球训练中，小明从球门正前方8m的A处射门，球射向球门的路线呈抛物线．当球飞行的水平距离为6m 时，球达到最高点，此时球离地面3m．已知球门高OB为2.44m，现以O为原点建立如图所示直角坐标系．（1）求抛物线的函数表达式，并通过计算判断球能否射进球门（忽略其他因素）；（2）对本次训练进行分析，若射门路线的形状、最大高度均保持不变，则当时他应该带球向正后方移动多少米射门，才能让足球经过点O正上方2.25m处？解：（1）∵8﹣6＝2，∴抛物线的顶点坐标为（2，3），设抛物线为y＝a（x﹣2）2+3，把点A（8，0）代入得：36a+3＝0，解得a=−112，∴抛物线的函数表达式为y=−112（x﹣2）2+3；当x＝0时，y=−112×4+3=83＞2.44，∴球不能射进球门．（2）设小明带球向正后方移动m米，则移动后的抛物线为y=−112（x﹣2﹣m）2+3，把点（0，2.25）代入得：2.25=−112（0﹣2﹣m）2+3，解得m＝﹣5（舍去）或m＝1，∴当时他应该带球向正后方移动1米射门，才能让足球经过点O正上方2.25m处．15．（易错题）跳台滑雪运动可分为助滑、起跳、飞行和落地四个阶段，运动员起跳后飞行的路线是抛物线的一部分（如图中实线部分所示），落地点在着陆坡（如图中虚线部分所示）上，着陆坡上的基准点K为飞行距离计分的参照点，落地点超过K点越远，飞行距离分越高．2022年北京冬奥会跳台滑雪标准台的起跳台的高度OA为66m，基准点K到起跳台的水平距离为75m，高度为hm（h为定值）．设运动员从起跳点A起跳后的高度y（m）与水平距离x（m）之间的函数关系为y＝ax2+bx+c（a≠0）．（1）c的值为66；（2）①若运动员落地点恰好到达K点，且此时a=−150，b=910，求基准点K的高度h；②若a=−150时，运动员落地点要超过K点，则b的取值范围为b＞910；（3）在（2）的条件下，若运动员飞行的水平距离为25m时，恰好达到最大高度76m，试判断他的落地点能否超过K点，并说明理由．解：（1）∵起跳台的高度OA为66m，∴A（0，66），把A（0，66）代入y＝ax2+bx+c得：c＝66，答案：66；（2）①∵a=−150，b=910，∴y=−150x2+910x+66，∵基准点K到起跳台的水平距离为75m，∴y=−150×752+910×75+66＝21，∴基准点K的高度h为21m；②∵a=−150，∴y=−150x2+bx+66，∵运动员落地点要超过K点，∴x＝75时，y＞21，即−150×752+75b+66＞21，解得b＞910，答案：b＞910；（3）他的落地点能超过K点，理由如下：∵运动员飞行的水平距离为25m时，恰好达到最大高度76m，∴抛物线的顶点为（25，76），设抛物线解析式为y＝a（x﹣25）2+76，把（0，66）代入得：66＝a（0﹣25）2+76，解得a=−2125，∴抛物线解析式为y=−2125（x﹣25）2+76，当x＝75时，y=−2125×（75﹣25）2+76＝36，∵36＞21，∴他的落地点能超过K点．16．（易错题）科研人员为了研究弹射器的某项性能，利用无人机测量小钢球竖直向上运动的相关数据．无人机上升到离地面30米处开始保持匀速竖直上升，此时，在地面用弹射器（高度不计）竖直向上弹射一个小钢球（忽略空气阻力），在1秒时，它们距离地面都是35米，在6秒时，它们距离地面的高度也相同．其中无人机离地面高度y1（米）与小钢球运动时间x（秒）之间的函数关系如图所示；小钢球离地面高度y2（米）与它的运动时间x（秒）之间的函数关系如图中抛物线所示．（1）直接写出y1与x之间的函数关系式；（2）求出y2与x之间的函数关系式；（3）小钢球弹射1秒后直至落地时，小钢球和无人机的高度差最大是多少米？解：（1）设y1与x之间的函数关系式为y1＝kx+b，∵函数图象过点（0，30）和（1，35），则+=35=30，解得：=5=30，∴y1与x之间的函数关系式为y1＝5x+30；（2）∵x＝6时，y1＝5×6+30＝60，∵y2的图象是过原点的抛物线，设y2＝ax2+bx，∴点（1.35），（6.60）在抛物线y2＝ax2+bx上，∴+=3536+6=60，解得：=−5=40，∴y2＝﹣5x2+40x，答：y2与x的函数关系式为y2＝﹣5x2+40x；（3）设小钢球和无人机的高度差为y米，由﹣5x2+40x＝0得，x＝0或x＝8，①1＜x≤6时，y＝y2﹣y1＝﹣5x2+40x﹣5x﹣30＝﹣5x2+35x﹣30＝﹣5（x−72）2+1254∵a＝﹣5＜0，∴抛物线开口向下，又∵1＜x≤6，∴当x=72时，y的最大值为1254；②6＜x≤8时，y＝y1﹣y2＝5x+30+5x2﹣40x＝5x2﹣35x+30＝5（x−72）2−1254，∵a＝5＞0，∴抛物线开口向上，又∵对称轴是直线x=72，∴当x＞72时，y随x的增大而增大，∵6＜x≤8，∴当x＝8时，y的最大值为70，∵1254＜70，∴高度差的最大值为70米．题型03面积问题17．九年级2班计划在劳动实践基地内种植蔬菜，班长买回来8米长的围栏，准备围成一边靠墙（墙足够长）的菜园，为了让菜园面积尽可能大，同学们提出了围成矩形、等腰三角形（底边靠墙）、半圆形这三种方案，最佳方）案是（A．方案1B．方案2C．方案3D．方案1或方案2解：方案1：设AD＝x米，则AB＝（8﹣2x）米，则菜园面积＝x（8﹣2x）＝﹣2x2+8x＝﹣2（x﹣2）2+8，当x＝2时，此时菜园最大面积为8米2；方案2：如图，过点B作BH⊥AC于H，则BH≤AB＝4，=12•AC•BH，∵S△ABC；∴当BH＝4时，△ABC的面积最大为12×4×4＝8方案3：半圆的半径=8米，∴此时菜园最大面积=H(8)22=32米2＞8米2；答案：C．18．在美化校园的活动中，某兴趣小组想借助如图所示的直角墙角（两边足够长），用28m长的篱笆围成一个矩形花园ABCD（篱笆只围AB，BC两边），设AB＝m．若在P处有一棵树与墙CD，AD的距离分别是15m和6m，要将这棵树围在花园内（含边界，不考虑树的粗细），则花园面积S的最大值为（）A．193B．194C．195D．196解：∵AB＝m米，∴BC＝（28﹣m）米．则S＝AB•BC＝m（28﹣m）＝﹣m2+28m．即S＝﹣m2+28m（0＜m＜28）．由题意可知，≥628−≥15，解得6≤m≤13．∵在6≤m≤13内，S随m的增大而增大，∴当m＝13时，S＝195，最大值即花园面积的最大值为195m2．答案：C．19．（易错题）如图，利用一个直角墙角修建一个梯形储料场ABCD，其中∠C＝120°．若新建墙BC与CD总长为12m，则该梯形储料场ABCD的最大面积是（）A．18m2B．183m2C．243m2D．4532m2解：如图，过点C作CE⊥AB于E，则四边形ADCE为矩形，∴CD＝AE，∠DCE＝∠CEB＝90°，设CD＝AE＝xm，则∠BCE＝∠BCD﹣∠DCE＝30°，BC＝（12﹣x）m，在Rt△CBE中，∵∠CEB＝90°，∴BE=12BC＝（6−12x）m，∴AD＝CE=3BE＝（63−32x）m，AB＝AE+BE＝x+6−12x＝（12x+6）m，∴梯形ABCD面积S=12（CD+AB）•CE=12（x+12x+6）•（63−32x）338x2+33x+183=−338（x﹣4）2+243，＝243．∴当x＝4时，S最大即CD长为4m时，使梯形储料场ABCD的面积最大为243m2；答案：C．20．某农场拟建两间矩形饲养室，一面靠现有墙（墙足够长），中间用一道墙隔开，并在如图所示的三处各留1m宽的门．已知计划中的材料可建墙体（不包括门）总长为27m，则能建成的饲养室面积最大为75m2．解：设垂直于墙的材料长为x米，则平行于墙的材料长为27+3﹣3x＝30﹣3x，则总面积S＝x（30﹣3x）＝﹣3x2+30x＝﹣3（x﹣5）2+75，故饲养室的最大面积为75平方米，答案：75．21．如图，一块矩形土地ABCD由篱笆围着，并且由一条与CD边平行的篱笆EF分开．已知篱笆的总长为900m（篱笆的厚度忽略不计），当AB＝150m时，矩形土地ABCD的面积最大．解：设AB＝xm，则BC=12（900﹣3x），由题意可得，S＝AB×BC＝x×12（900﹣3x）=−32（x2﹣300x）=−32（x﹣150）2+33750∴当x＝150时，S取得最大值，此时，S＝33750，∴AB＝150m，答案：150．22．（易错题）为了节省材料，某农场主利用围墙（围墙足够长）为一边，用总长为80m的篱笆围成了如图所示的①②③三块矩形区域，而且这三块矩形区域的面积相等，则能围成的矩形区域ABCD的面积最大值是300m2．解：如图，∵三块矩形区域的面积相等，∴矩形AEFD面积是矩形BCFE面积的2倍，∴AE＝2BE，设BC＝x，BE＝FC＝a，则AE＝HG＝DF＝2a，∴DF+FC+HG+AE+EB+EF+BC＝80，即8a+2x＝80，∴a=−14x+10，3a=−34x+30，∴矩形区域ABCD的面积S＝（−34x+30）x=−34x2+30x，∵a=−14x+10＞0，∴x＜40，则S=−34x2+30x（0＜x＜40）；∵S=−34x2+30x=−34（x﹣20）2+300（0＜x＜40），且二次项系数为−34＜0，∴当x＝20时，S有最大值，最大值为300m2．答案：300．23．为落实国家《关于全面加强新时代大中小学劳动教育的意见》，某校准备在校园里利用围墙（墙长12m）和21m 长的篱笆墙，围成Ⅰ、Ⅱ两块矩形劳动实践基地．某数学兴趣小组设计了两种方案（除围墙外，实线部分为篱笆墙，且不浪费篱笆墙），请根据设计方案回答下列问题：（1）方案一：如图①，全部利用围墙的长度，但要在Ⅰ区中留一个宽度AE＝1m的水池，且需保证总种植面积为32m2，试分别确定CG、DG的长；（2）方案二：如图②，使围成的两块矩形总种植面积最大，请问BC应设计为多长？此时最大面积为多少？解：（1）∵（21﹣12）÷3＝3（m），∴Ⅰ、Ⅱ两块矩形的面积为12×3＝36（m2），设水池的长为am，则水池的面积为a×1＝a（m2），∴36﹣a＝32，解得a＝4，∴DG＝4m，∴CG＝CD﹣DG＝12﹣4＝8（m），即CG的长为8m、DG的长为4m；（2）设BC长为xm，则CD长度为21﹣3x，∴总种植面积为（21﹣3x）•x＝﹣3（x2﹣7x）＝﹣3（x−72）2+1474，∵﹣3＜0，∴当x =72时，总种植面积有最大值为1474m 2，即BC 应设计为72m 总种植面积最大，此时最大面积为1474m 2．24．一件工艺品进价为100元，标价135元售出，每天可售出100件．根据销售统计，一件工艺品每降价1元出售，则每天可多售出4件，要使每天获得的利润最大，每件需降价的钱数为（）A ．5元B ．10元C ．0元D ．36元解：设每件需降价的钱数为x 元，每天获利y 元，则y ＝（135﹣x ﹣100）（100+4x ）即：y ＝﹣4（x ﹣5）2+3600∵﹣4＜0∴当x ＝5元时，每天获得的利润最大．答案：A ．25．某宾馆共有80间客房．宾馆负责人根据经验作出预测：今年7月份，每天的房间空闲数y （间）与定价x （元/间）之间满足y =14x ﹣42（x ≥168）．若宾馆每天的日常运营成本为5000元，有客人入住的房间，宾馆每天每间另外还需支出28元的各种费用，宾馆想要获得最大利润，同时也想让客人得到实惠，应将房间定价确定为（）A ．252元/间B ．256元/间C ．258元/间D ．260元/间解：设每天的利润为W 元，根据题意，得：W ＝（x ﹣28）（80﹣y ）﹣5000＝（x ﹣28）[80﹣（14x ﹣42）]﹣5000=−14x 2+129x ﹣8416=−14（x ﹣258）2+8225，∵当x ＝258时，y =14×258﹣42＝22.5，不是整数，∴x ＝258舍去，∴当x ＝256或x ＝260时，函数取得最大值，最大值为8224元，题型04利润问题又∵想让客人得到实惠，∴x＝260（舍去）∴宾馆应将房间定价确定为256元时，才能获得最大利润，最大利润为8224元．答案：B．26．“闻起来臭，吃起来香”的臭豆腐是长沙特色小吃，臭豆腐虽小，但制作流程却比较复杂，其中在进行加工煎炸臭豆腐时，我们把“焦脆而不糊”的豆腐块数的百分比称为“可食用率”．在特定条件下，“可食用率”P与加工煎炸时间t（单位：分钟）近似满足的函数关系为：P＝at2+bt+c（a≠0，a，b，c是常数），如图记录了三次实验的数据．根据上述函数关系和实验数据，可以得到加工煎炸臭豆腐的最佳时间为（）A．3.50分钟B．4.05分钟C．3.75分钟D．4.25分钟解：将图象中的三个点（3，0.8）、（4，0.9）、（5，0.6）代入函数关系P＝at2+bt+c中，9+3+=0.816+4+=0.925+5+=0.6，解得=−0.2=1.5=−1.9，所以函数关系式为：P＝﹣0.2t2+1.5t﹣1.9，由题意可知：加工煎炸臭豆腐的最佳时间为抛物线顶点的横坐标：t=−2=−1.52×(−0.2)=3.75，则当t＝3.75分钟时，可以得到最佳时间．答案：C．27．某快餐店销售A、B两种快餐，每份利润分别为12元、8元，每天卖出份数分别为40份、80份．该店为了增加利润，准备降低每份A种快餐的利润，同时提高每份B种快餐的利润．售卖时发现，在一定范围内，每份A 种快餐利润每降1元可多卖2份，每份B种快餐利润每提高1元就少卖2份．如果这两种快餐每天销售总份数不变，那么这两种快餐一天的总利润最多是1264元．解：设每份A种快餐降价a元，则每天卖出（40+2a）份，每份B种快餐提高b元，则每天卖出（80﹣2b）份，由题意可得，40+2a+80﹣2b＝40+80，解得a＝b，∴总利润W＝（12﹣a）（40+2a）+（8+a）（80﹣2a）＝﹣4a2+48a+1120＝﹣4（a﹣6）2+1264，∵﹣4＜0，∴当a＝6时，W取得最大值1264，即两种快餐一天的总利润最多为1264元．答案：1264．28．某食品零售店新上架一款冷饮产品，每个成本为8元，在销售过程中，每天的销售量y（个）与销售价格x（元/个）的关系如图所示，当10≤x≤20时，其图象是线段AB，则该食品零售店每天销售这款冷饮产品的最大利润为121元（利润＝总销售额﹣总成本）．解：当10≤x≤20时，设y＝kx+b，把（10，20），（20，10）代入可得：10+=2020+=10，解得=−1=30，∴每天的销售量y（个）与销售价格x（元/个）的函数解析式为y＝﹣x+30，设该食品零售店每天销售这款冷饮产品的利润为w元，w＝（x﹣8）y＝（x﹣8）（﹣x+30）＝﹣x2+38x﹣240＝﹣（x﹣19）2+121，∵﹣1＜0，∴当x＝19时，w有最大值为121，答案：121．29．某电商销售一款夏季时装，进价40元/件，售价110元/件，每天销售20件，每销售一件需缴纳电商平台推广费用a元（a＞0）．未来30天，这款时装将开展“每天降价1元”的夏令促销活动，即从第1天起每天的单价均比前一天降1元．通过市场调研发现，该时装单价每降1元，每天销量增加4件．在这30天内，要使每天缴纳电商平台推广费用后的利润随天数t（t为正整数）的增大而增大，a的取值范围应为0＜a＜6．解：设未来30天每天获得的利润为y，y＝（110﹣40﹣t）（20+4t）﹣（20+4t）a化简，得y＝﹣4t2+（260﹣4a）t+1400﹣20a每天缴纳电商平台推广费用后的利润随天数t（t为正整数）的增大而增大，∴−260−42×(−4)＞29.5，解得，a＜6，又∵a＞0，即a的取值范围是：0＜a＜6．30．（易错题）某商店销售某种商品的进价为每件30元，这种商品在近60天中的日销售价与日销售量的相关信息如下表：时间：第x（天）1≤x≤3031≤x≤60日销售价（元/件）0.5x+3550日销售量（件）124﹣2x（1≤x≤60，x为整数）设该商品的日销售利润为w元．（1）直接写出w与x的函数关系式w=−2+52+620(1≤≤30)−40+2480(31≤≤60)；（2）该商品在第几天的日销售利润最大？最大日销售利润是多少？解：（1）当1≤x≤30时，w＝（0.5x+35﹣30）•（﹣2x+124）＝﹣x2+52x+620，当31≤x≤60时，w＝（50﹣30）•（﹣2x+124）＝﹣40x+2480，∴w与x的函数关系式w=−2+52+620(1≤≤30)−40+2480(31≤≤60)，答案：w=−2+52+620(1≤≤30)−40+2480(31≤≤60)；（2）当1≤x≤30时，w＝﹣x2+52x+620＝﹣（x﹣26）2+1296，∵﹣1＜0，∴当x＝26时，w有最大值，最大值为1296；当31≤x≤60时，w＝﹣40x+2480，∵﹣40＜0，∴当x＝31时，w有最大值，最大值为﹣40×31+2480＝1240，∵1296＞1240，∴该商品在第26天的日销售利润最大，最大日销售利润是1296元．31．（易错题）某工厂计划从A，B两种产品中选择一种生产并销售，每日产销x件．已知A产品成本价m元/件（m 为常数，且4≤m≤6，售价8元/件，每日最多产销500件，同时每日共支付专利费30元；B产品成本价12元/件，售价20元/件，每日最多产销300件，同时每日支付专利费y元，y（元）与每日产销x（件）满足关系式y ＝80+0.01x2．（1）若产销A，B两种产品的日利润分别为w1元，w2元，请分别写出w1，w2与x的函数关系式，并写出x的取值范围；（2）分别求出产销A，B两种产品的最大日利润．（A产品的最大日利润用含m的代数式表示）（3）为获得最大日利润，该工厂应该选择产销哪种产品？并说明理由．【利润＝（售价﹣成本）×产销数量﹣专利费】解：（1）根据题意，得w1＝（8﹣m）x﹣30，（0≤x≤500）．w2＝（20﹣12）x﹣（80+0.01x2）＝﹣0.01x2+8x﹣80，（0≤x≤300）．（2）∵8﹣m＞0，∴w1随x的增大而增大，又0≤x≤500，∴当x＝500时，w1有最大值，即w最大＝﹣500m+3970（元）．∵w2＝﹣0.01x2+8x﹣80＝﹣0.01（x﹣400）2+1520．又∵﹣0.01＜0．对称轴x＝400．∴当0≤x≤300时，w2随x的增大而增大，∴当x＝300时，w2最大＝﹣0.01×（300﹣400）2+1520＝1420（元）．（3）①若w1最大＝w2最大，即﹣500m+3970＝1420，解得m＝5.1，②若w1最大＞w2最大，即﹣500m+3970＞1420，解得m＜5.1，③若w1最大＜w2最大，即﹣500m+3970＜1420，解得m＞5.1．又4≤m≤6，综上可得，为获得最大日利润：当m＝5.1时，选择A，B产品产销均可；当4≤m＜5.1时，选择A种产品产销；当5.1＜m≤6时，选择B种产品产销．答：当A产品成本价为5.1元时，工厂选择A或B产品产销日利润一样大，当A产品4≤m＜5.1时，工厂选择A 产品产销日利润最大，当5.1＜m≤6时，工厂选择B产品产销日利润最大．。
二次函数实际问题之拱桥问题
二次函数实际问题之拱桥问题
拱桥问题是二次函数实际问题的典型案例之一。
拱桥是一种常见的设计结构，
常见于公路、铁路和人行通道等建筑中。
在解决拱桥问题时，使用二次函数可以帮助我们计算并优化拱桥的设计。
拱桥问题的关键在于确定拱桥的形状，使之能够承受最大的荷载。
假设我们要
设计一座高度为h、跨度为d的拱桥，该拱桥的横截面呈现出一个拱形。
为了简化
问题，我们假设拱桥是对称的。
利用二次函数，我们可以建立拱桥的高度h和距离桥中心的距离x之间的关系。
一般来说，拱桥的高度曲线可以表示为：h = ax^2 + bx + c，其中a，b和c是常数。
为了确定拱桥的形状，我们需要满足以下条件：拱桥的高度在两个支撑点处为0，即h(0) = h(d) = 0。
另外，我们还可以设置一些额外的条件，例如拱桥的最大高
度或者其他特定要求。
通过求解这些条件，我们可以得到拱桥的二次函数方程。
进一步地，我们可以
使用二次函数的性质来优化拱桥的设计，例如确定最佳的拱桥高度，使得荷载分布在拱桥结构上最为均衡。
总而言之，拱桥问题是通过二次函数来解决的实际问题之一。
通过建立二次函
数方程并利用二次函数的性质，我们可以设计出最优化的拱桥结构，以满足特定的要求和荷载要求。
这个问题的解决方法不仅有助于工程师们设计出更优秀的拱桥，也有利于我们更好地理解和应用二次函数。
二次函数与拱桥的问题的经典问题解析(同步学习)
二次函数与拱桥的问题的经典问题解析（同步学习）＝4412+-x∴能通过．，2. 同步学习54页例:2： 有一座抛物线型拱桥，正常水位时，桥下水面宽度为20m ，拱顶距水面4m ．（1）如图所示的直角坐标系中，求出该抛物线的关系式．（2）在正常水位的基础上，当水位上升h（m）时，桥下水面的宽度为d（m），求出将d表示为h的函数关系式．（3）设正常水位时，桥下的水深为2m，为保证过往船只的顺利通过，桥下水面的宽度不得小于18m，求水深超过多少米时就会影响过往船只在桥下顺利航行？3.同步学习课堂过关2某幢建筑物，从10米高的窗口A用水管和向外喷水，喷的水流呈抛物线（抛物线所在平面与墙面垂直），（如图）如果抛物线的最高点M离墙1米，离地面3点评：此题考查待定系数法求函数解析式以及利用图象上的点解决实际问题．4.同步学习55页第3题：如图，有一抛物线拱桥，已知水位线在AB 位置时，水面的宽为46m ，水位上升3m 就到达警戒线CD ，这时水面的宽为43m ，若洪水到来时，水位以每小时0.25m 的速度上升，测水过警戒线后几小时淹没到拱桥顶端M 处？先运用待定系数法求出函数的解析式，根据解析式就可以求出OM 的值，根据时间=路程÷速度就可以得出结论．解：设函数的解析式为y=a 2x +k,把B （26,0），D （23,3）由题意，()()⎪⎩⎪⎨⎧=+=+33206222k a k a 得解得a=-41，k=6 则y=-41x 2+6． 当x=0时， y=6，则OM=6．则水过警戒线后淹没到拱桥顶端M 处的时间为：（6-3）÷0.25=12小时． 答：水过警戒线后淹没到拱桥顶端M 处的时间为12小时．本题考查了待定系数法求二次函数的解析式的运用，行程问题时间=路程÷速度的数量关系的运用，解答时求出解析式是关键．5.同步学习56页第3题某菜农搭建了一个横截面为抛物线的大棚，有关尺寸如图所示．（1）求抛物线的解析式；（2）若菜农身高 1.6米，则他在不弯腰的情况下，横向活动的范围有几米（结果精确到0.01米；）？（1）如图可设函数y=ax2+2 因为过点(2,0),所以代入可得a=-,即解析式:y=-x2+2. （2）当y=1.6时,即1.6=-x2+2 解得x=±,所以横向活动范围为×2=≈1. 79（m）.6同步学习56页第4题某地要建造一个圆形喷水池，在水池中央垂直于水面安装一个花形柱子OA，O恰好在水面中心，安装在柱子顶端A处的喷头向外喷水，水流在各个方向上沿形状相同的抛物线路径落下，且在过OA的任一平面上，抛物线的形状如图（1）和（2）所示，建立直角坐标系，水流喷出的高度y(米)与水平距离x(米)之间的关系式是y=-x2+2x +，请你寻求：（1）柱子OA的高度为多少米?（2）喷出的水流距水平面的最大高度是多少?（3）若不计其他因素，水池的半径至少要多少米，才能使喷出的水流不至于落在池外。
二次函数实际问题之拱桥问题
二次函数实际问题之拱桥问题拱桥是一种常见而美丽的建筑形式，它不仅具备实用功能，还能展示人类的工程智慧和美感。
在数学中，我们可以通过二次函数来研究拱桥的形状和特性。
在本文中，我将探讨二次函数在拱桥问题中的应用，并深入分析拱桥的建设、维护和设计过程。
1. 什么是二次函数？二次函数是一种常见的函数形式，它的一般表达式为f(x) = ax^2 +bx + c，其中a、b、c为常数。
二次函数的图像呈现出拱形或倒U形，其特点是在抛物线的顶点处有极值，也就是最高点或最低点。
这个性质使得二次函数在拱桥的研究中十分有用。
2. 拱桥问题的背景拱桥是一种由石头、混凝土等材料构成的桥梁，它通常被用于跨越河流、道路等障碍物。
拱桥在建筑和土木工程领域中扮演着重要的角色，因为它具备良好的承重能力和抗压性能。
为了确保拱桥的稳定和安全，工程师需要对其结构进行精确的设计和分析。
3. 拱桥的建设和维护拱桥的建设需要考虑许多因素，包括地理条件、基础设施、荷载等。
为了使拱桥具备足够的承重能力，工程师需要合理地确定拱的形状和高度。
在这个过程中，二次函数可以帮助我们建立与拱桥形状相关的方程。
通过研究这个方程，我们可以了解拱桥的强度和稳定性，并做出相应的调整和改进。
4. 二次函数在拱桥设计中的应用在拱桥设计中，二次函数可以帮助我们确定拱桥的最高点、最低点和抛物线的形状。
通过调整二次函数的参数，工程师可以得到不同形状和高度的拱桥。
二次函数还可以帮助我们计算拱桥的支持点位置、曲率和承重能力。
通过分析二次函数的图像和方程，我们可以预测拱桥在不同荷载下的行为，并为拱桥的设计提供指导。
5. 个人观点和理解作为一个写手，我对拱桥问题有着浓厚的兴趣。
通过研究二次函数在拱桥设计中的应用，我深刻意识到数学在工程中的重要性。
二次函数不仅能描述拱桥的形状和特性，还可以帮助我们预测和优化拱桥的结构。
在今后的工作中，我希望能继续深入研究拱桥问题，并与工程师们合作，为建设更安全、美观的拱桥贡献自己的力量。
拱桥问题
2.4 二次函数的应用
一 利用二次函数解决拱桥问题 例1 要使运动员坐着船从圣火的拱形桥下穿过入场，现 知拱形底座顶部离水面2 m,水面宽4 m,为了船能顺利通 过，需要把水面下降1 m,问此时水面宽度增加多少?
y
O
x
(-2,-2) ●
4米 -3
● (2,-2)
y O
解：建立如图所示坐标系, 2 y ax . 设二次函数解析式为
池的半径至少要多少米，才能使喷出的水流不落到池外？
A
1.25米 O
解：建立如图坐标系，设抛物线顶点 y B 为B，水流落水处与x轴交于C点.
由题意可知A（ 0，1.25）、
A 1.25 O C x B（ 1，2.25 ）、C（x0，0）. 设抛物线为y=a(x－1)2+2.25 (a≠0),
把点A坐标代入，得a= － 1； ∴抛物线为y=-(x-1)2+2.25. 当y= 0时， x１= － 0.5（舍去）， x２=2.5 ∴水池的半径至少要2.5米.
抛物线经过点（450,81.5），代入上式，得
81.5=a•4502+0.5.
解得
y
a 81 1 4502 2500
y
故所求表达式为
1 x 2 0.5(450 x 450) 2500
-450
O
450
x
(2)计算距离桥两端主塔分别为100m,50m处垂直钢索
的长. 解：当x=450－100=350（m）时，得
y 1 3502 0.5 49.5(m) 2500
当x=450－50=400（m）时，得
y 1 4002 0.5 64.5( x
知识要点 解决拱桥问题的一般步骤
二次函数实际应用-重难点讲解
二次函数实际应用-重难点讲解考点1：拱桥问题利用二次函数的图象和性质解决实际问题，首先要分析问题中的自变量和因变量，以及它们之间的关系，建立一个反映题意的二次函数的表达式；其次结合二次函数的图象或性质进行求解，需特别注意自变量的取值范围要使实际问题有意义.拱形问题最重要的是建立适当的坐标系，把已知线段长度转化为点坐标，根据图形与二次函数联系起来解决问题。
考点2：最大利润问题二次函数的一般式c bx ax y ++=2(0≠a )化成顶点式a b ac a b x a y 44)2(22-++=，如果自变量的取值范围是全体实数，那么函数在顶点处取得最大值（或最小值）．即当0>a 时，函数有最小值，并且当ab x 2-=，a b ac y 442-=最小值； 当0<a 时，函数有最大值，并且当ab x 2-=，a b ac y 442-=最大值． 如果自变量的取值范围是21x x x ≤≤，如果顶点在自变量的取值范围21x x x ≤≤内，则当a b x 2-=，ab ac y 442-=最值，如果顶点不在此范围内，则需考虑函数在自变量的取值范围内的增减性；如果在此范围内y 随x 的增大而增大，则当2x x =时，c bx ax y ++=222最大，当1x x =时，c bx ax y ++=121最小；如果在此范围内y 随x 的增大而减小，则当1x x =时，c bx ax y ++=121最大，当2x x =时，c bx ax y ++=222最小．商品定价一类利润计算公式：经常出现的数据：商品进价；商品售价；商品销售量；涨价或降价；销售量变化；其他成本。
◆ 总利润=总售价-总进价-其他成本=单位商品利润×总销售量－其他成本◆ 单位商品利润=商品定价－商品进价◆ 总售价=商品定价×总销售量；总进价=商品进价×总销售量考点3：面积最值问题实际问题中图形面积的最值问题分析思路为：（1）分析图形的成因（2）识别图形的形状（3）找出图形面积的计算方法（4）把计算中要用到的所有线段用未知数表示（5）把线段长度代入计算方法形成图形面积的函数解析式，注意自变量的取值范围（6）根据函数的性质以及自变量的取值范围求出面积的最值。
二次函数的应用拱形桥
二次函数的应用拱形桥
拱形桥中使用了许多微积分和二次函数的概念，主要是在桥的立面设计中使用了二次函数来处理拱形的美学问题。
比如，当一大段拱形桥建设考虑完美的拱形外形时，决定使用二次函数来实现。
在使用二次函数实现拱形曲线时，首先必须确定拱顶的位置，拱顶的参数可以通过二次函数y=ax2+bx+c来表示，其中a、b、c均为实数。
拱形曲线有以下五个参数：拱顶高度H、拱顶端点X1和X2的横坐标，以及拱形桥的中心位置。
一般来说，拱形桥的首先满足安全性的前提下，使用二次函数的应用尽可能的达到美观的效果。
通过分析拱形桥的安全性，并参考二次函数的曲线来设置拱形曲线，有助于创造出美观的拱形桥。
在设计拱形桥时，要计算好二次函数y＝ax2＋bx＋c系数a、b、c，让拱形外形更顺滑，拱形桥的中心也要满足要求，以保证拱形外表看起来更规整。
2023年中考数学复习难点突破专题18 二次函数与实际问题：拱桥问题(含答案)
专题18 二次函数与实际问题：拱桥问题一、单选题1．某涵洞的截面是抛物线形状，如图所示的平面直角坐标系中，抛物线对应的函数解析式为214y x =-，当涵洞水面宽AB 为16m 时，涵洞顶点O 至水面的距离为( )A ．6m -B ．12mC ．16mD ．24m2．如图是抛物线型拱桥，当拱顶离水面2m 时，水面宽4m ．若水面再下降1.5m ，水面宽度为（ ）m ．A ．4.5B ．C ．D ．3．如图，一抛物线型拱桥，当拱顶到水面的距离为2米时，水面宽度为4米；那么当水位下降1米后，水面的宽度为（ ）A．B ．C ．6 D ．4．我校门口道路的隔离栏通常会涂上醒目的颜色，呈抛物线形状（如图1），图2是一个长为2米，宽为1米的矩形隔离栏，中间被4根栏杆五等分，每根栏杆的下面一部分涂上醒目的蓝色，颜色的分界处（点E ，点P ）以及点A ，点B 落上同一条抛物线上，若第1根栏杆涂色部分（EF ）与第2根栏杆未涂色部分（PQ ）长度相等，则EF 的长度是（ ）A ．13米B ．12米C ．25米D ．35米 5．如图所示的抛物线形构件为某工业园区的新厂房骨架，为了牢固起见，构件需要每隔0.4m 加设一根不锈钢的支柱，构件的最高点距底部0.5m ，则该抛物线形构件所需不锈钢支柱的总长度为（ ）A ．0.8mB ．1.6mC ．2mD ．2.2m6．有一拱桥洞呈抛物线形，这个桥洞的最大高度是16m ，跨度为40m ，现把它的示意图（如图）放在坐标系中，则抛物线的解析式为（ ）A ．215252y x x =+B ．18255x y x x =-+C ．251825y x x =--D ．21816255y x x =-++ 7．图(1)是一个横断面为抛物线形状的拱桥，当水面在L 时，拱顶(拱桥洞的最高点)离水面2m ，水面宽为4m ．如果水面宽度为6m ，则水面下降 ( )A ．3.5 mB ．3mC ．2.5mD ．2 m8．图2是图1中拱形大桥的示意图，拱桥与桥面的交点为O ，B ，以点O 为原点，水平直线OB 为x 轴，建立平面直角坐标系，拱桥可以近似看成抛物线y =－1? 400?（x-80）2 + 16，拱桥与桥墩AC 的交点C 恰好在水面，有AC ⊥x 轴．若OA = 10米，则桥面离水面的高度AC 为（ ）A ．16 9? 40?米B ．1?7? 4?米C ．16 7? 40?米D ．1?5? 4?米 二、解答题9．如图，某隧道的截面由抛物线和长方形构成，长方形的长OA 为12m ，宽OB 为4m ，隧道顶端D 到路面的距离为10m ，建立如图所示的直角坐标系．（1）求该抛物线的解析式；（2）一辆货运汽车载一长方体集装箱，集装箱最高处与地面距离为6m ，宽为4m ，隧道内设双向行车道，问这辆货车能否安全通过？10．某工厂大门是抛物线形水泥建筑，大门地面宽AB为4m，顶部C距离地面的高度为4.4m，现有一辆货车，其装货宽度为2.4m，高度2.8米，请通过计算说明该货车能否通过此大门？11．如图，①为抛物线形拱桥，在正常水位下测得主拱宽24m，最高点离水面8m，以水平线AB为x 轴，AB的中点为原点建立直角坐标系（如图②）．（1）求抛物线的解析式；（2）桥边有一浮在水面部分高4m，最宽处为18m的何鱼餐船，试探索此船在正常水位时能否开到桥下，并说明理由．12．如图，有一座抛物线形拱桥，桥下面在正常水位AB时宽20m，水位上升4m就达到警戒线CD，这时水面宽度为12m．（1）建立适当的直角坐标系，求抛物线的函数解析式；（2）若洪水到来时水位以0.1m/h的速度上升，从正常水位开始，再过几小时就能到达桥面？13．如图1，单孔拱桥的形状近似抛物线形，如图2建立所示的平面直角坐标系，在正常水位时，水面宽度AB为12,m拱桥的最高点C到水面AB的距离为6m．（1）求抛物线的解析式；（2）因为上游水库泄洪，水面宽度变为10m，求水面上涨的高度﹒14．某公园草坪的防护栏形状是抛物线形，为了牢固起见，每段防护栏需要间距0.4m加设一根不锈钢的A B的长度．支柱，防护栏最高点距离底部0.5m（如图），求其中防护支柱1115．有一个抛物线形的单向道路隧道，隧道离地面的最大高度为4m，跨度为10m，把它放在图示平面直角坐标系中．（1）求抛物线所对应的函数表达式；（2）通过计算说明，现有一辆宽4m，高3.2m的厢式货车能否安全通过此隧道?16．图中是抛物线形拱桥，点P处有一照明灯，水面OA宽4 m，以O为原点，OA所在直线为x轴建立平面直角坐标系，已知点P的坐标为（3，32）.(1)点P与水面的距离是________m；(2)求这条抛物线的表达式；(3)当水面上升1 m后，水面的宽变为多少？17．如图所示的是一座拱桥，桥洞的拱形是抛物线的形状，当水面宽AB为12米时，桥洞顶部离水面4米，若水面上涨1米，求此时水面的宽．18．河上有一座桥孔为抛物线形的拱桥，水面宽6m时，水面离桥孔顶部3m.因降暴雨水位上升lm.（1）如图①，若以桥孔的最高点为原点，建立平面直角坐标系，求抛物线的解析式;（2）一艘装满物资的小船，露出水面的高为0.5m、宽为4m(横断面如图②).暴雨后这艘船能从这座拱桥下通过吗?请说明理由.19．如图是把一个抛物线形桥拱，量得两个数据，画在纸上的情形.小明说只要建立适当的坐标系，就能求出此抛物线的表达式.你认为他的说法正确吗？如果不正确，请说明理由；如果正确，请你帮小明求出该抛物线的表达式.20．有一个抛物线形的拱形桥洞，桥面离水面的距离为5.6米，桥洞离水面的最大高度为4m，跨度为10m，如图所示，把它的图形放在直角坐标系中．（1）求这条抛物线所对应的函数关系式．（2）如图，在对称轴右边1m处，桥洞离桥面的高是多少？21．如图是美国开发西部的标志性建筑如果把拱门看作—条抛物线，其拱高和底宽都是192米，请建立适当的平面直角坐标系，并求出该抛物线的解析式．三、填空题22．如图，平面直角坐标系中，桥孔抛物线对应的二次函数关系式是y＝﹣13x2，桥下的水面宽AB为6m，当水位上涨2m时，水面宽CD为_____m（结果保留根号）．23．如图，有一个抛物线形的拱形桥洞，桥洞离水面的最大高度为4m，跨度为10m．把它的截面边缘的图形放在如图所示的直角坐标系中，在对称轴右边1m处，桥洞离水面的高是______米．24．廊桥是我国古老的文化遗产，如图是某座抛物线形的廊桥示意图．已知抛物线的函数表达式为211020y x =-+，为保护廊桥的安全，在该抛物线上距水面AB 高为8米的点E ，F 处要安装两盏警示灯，则这两盏灯的水平距离EF 是__________米．25．图1是苍南县中心湖公园里的一座彩虹桥两条抛物线型钢梁在桥面上的跨度分别为50AB =米和40CD =米（如图2所示），x 轴表示桥面，10BC =米．若两抛物线交y 轴于同一点，且它们的形状相同，则OB OC的值为__________．26．如图，一个拱形桥架可以近似看作是由等腰梯形ABD 3D 1和其上方的抛物线D 1OD 3组成．若建立如图所示的直角坐标系，跨度AB =44米，∠A =45°，AC 1=4米，点D 2的坐标为（-14，-1.96），则桥架的拱高OH =________米．27．如图是抛物线拱桥,当拱顶离水面2米时，水面宽度4米，水面宽度增加2米时，水位下降_________米28．单行隧道的截面是抛物线形，且抛物线的解析式为21 3.258y x =-+，一辆车高3米，宽4米，该车________（填“能”或“不能”）通过该隧道． 29．如图，是一座拱形桥的竖直截面图，水面与截面交于AB 两点，拱顶C 到AB 的距离为4m ，AB=12m ，DE 为拱桥底部的两点，且DE ∥AB ，点E 到AB 的距离为5cm ，则DE 的长度为______________ m ．30．一座石拱桥的桥拱是近似的抛物线形，建立如图所示的平面直角坐标系，其函数关系为2116y x =-，当水面的宽度AB 为16米时，水面离桥拱顶的高度OC 为________m ．31．如图所示，桥拱是抛物线形，其函数解析式是2y x =-，当水位线在AB 位置时，水面宽为12米，这时水面离桥顶的高度h 是________米．32．如图，一座抛物线型拱桥，桥下水面宽度是4m 时，拱高为2m ，一艘木船宽2m.要能顺利从桥下通过，船顶点与桥拱之间的间隔应不少于0.3m，那么木船的高不得超过______m.专题18 二次函数与实际问题：拱桥问题一、单选题1．某涵洞的截面是抛物线形状，如图所示的平面直角坐标系中，抛物线对应的函数解析式为214y x =-，当涵洞水面宽AB 为16m 时，涵洞顶点O 至水面的距离为( )A ．6m -B ．12mC ．16mD ．24m【答案】C【分析】根据抛物线的对称性及解析式求解．【详解】解：依题意，设A 点坐标为(8,)y -， 代入抛物线方程得：164164y =-⨯=-，即水面到桥拱顶点O 的距离为16米．故选：C ．【点睛】本题考查二次函数的应用，熟练掌握二次函数的解析式、图象与性质是解题关键．2．如图是抛物线型拱桥，当拱顶离水面2m 时，水面宽4m ．若水面再下降1.5m ，水面宽度为（）m ．A．4.5B．C．D．【答案】D【分析】以AB所在直线为x轴，以过拱顶C且垂直于AB的直线为y轴，建立平面直角坐标系，由待定系数法求得二次函数的解析式，然后由题意得关于x的一元二次方程，解得x的值，用较大的x值减去较小的x值即可得出答案．【详解】解：如图，以AB所在直线为x轴，以过拱顶C且垂直于AB的直线为y轴，建立平面直角坐标系，则由题意可知A（-2，0），B（2，0），C（0，2），设该抛物线的解析式为y=ax2+2，将B（2，0）代入得：0=a×4+2，解得：a=-12．∴抛物线的解析式为y=-12x2+2，∴若水面再下降1.5m，则有-1.5=-12x2+2，解得：x=±7．-（，∴水面宽度为m．故选：D．【点睛】本题考查了二次函数在实际问题中的应用，明确二次函数的性质是解题的关键．3．如图，一抛物线型拱桥，当拱顶到水面的距离为2米时，水面宽度为4米；那么当水位下降1米后，水面的宽度为（）A．B．C．6D．【答案】A【分析】y=-代入解析式结合已知条件先建立适当的坐标系，然后设出解析式，利用点的坐标求得解析式，再将3求得相应的x的值，进而求得答案．【详解】解：以拱顶为坐标原点建立坐标系，如图：∴设抛物线解析式为：2y ax =∵观察图形可知抛物线经过点()2,2B -∴222a -=⋅ ∴12a =- ∴抛物线解析式为：212y x =- ∴当水位下降1米后，即当213y =--=-时，有2132x -=-∴1x =，2x =∴水面的宽度为：．故选：A【点睛】本题考查了二次函数的应用，根据已知条件建立坐标系从而求得二次函数解析式是解决问题的关键． 4．我校门口道路的隔离栏通常会涂上醒目的颜色，呈抛物线形状（如图1），图2是一个长为2米，宽为1米的矩形隔离栏，中间被4根栏杆五等分，每根栏杆的下面一部分涂上醒目的蓝色，颜色的分界处（点E ，点P ）以及点A ，点B 落上同一条抛物线上，若第1根栏杆涂色部分（EF ）与第2根栏杆未涂色部分（PQ ）长度相等，则EF 的长度是（ ）A ．13米B ．12米C ．25米D ．35米 【答案】C【分析】根据抛物线形状建立二次函数模型，以AB 中点为原点，建立坐标系xOy ，通过已知线段长度求出A(1，0)B(-1,O)，由二次函数的性质确定y ＝ax 2－a ，利用PQ ＝EF 建立等式，求出二次函数中的参数a ，即可得出EF 的值．【详解】解：如图，令P 下方的点为H ，以AB 中点为原点，建立坐标系xOy ，则A(1，0)B(-1,O)，设抛物线的方程为y=ax 2+bx+c∴抛物线的对称轴为x=0，则2b a＝0，即b ＝0． ∴y ＝ax 2 +c ．将A(1，0)代入得a+c ＝0,则c ＝－a ．∴y＝ax2－a．∵OH＝2×15×12＝0.2，则点H的坐标为（-0.2，0）同理可得：点F的坐标为（-0.6，0）．∴PH＝a×(-0.2)2-a＝－0.96aEF＝a×(-0.6)2-a＝－0.64a．又∵PQ＝EF＝1－（－0.96a）＝－0.64a ∴1＋0.96a＝－0.64a．解得a＝58 -．∴y＝58-x2＋58．∴EF＝（58-）×（-0.6）２＋58＝25．故选：C．【点睛】本题考查了二次函数的应用，解题的关键是能在几何图形中建立适当的坐标系并结合图形的特点建立等式求出二次函数表达式．5．如图所示的抛物线形构件为某工业园区的新厂房骨架，为了牢固起见，构件需要每隔0.4m加设一根不锈钢的支柱，构件的最高点距底部0.5m，则该抛物线形构件所需不锈钢支柱的总长度为（）A．0.8m B．1.6m C．2m D．2.2m【答案】B【分析】根据题意建立平面直角坐标系，得出B 、C 的坐标，然后根据待定系数法求出抛物线解析式，然后求出当当0.2x =和0.6x =时y 的值，然后即可求解．【详解】如图，由题意得()0,0.5B ，()1,0C ．设抛物线的解析式为2y ax c =+， 代入得12a =-，12c =， ∴抛物线的解析式为21122y x =-+． 当0.2x =时，0.48y =，当0.6x =时，0.32y =．∴()1122334420.480.32 1.6BC B C B C B C m +++=⨯+=，故选B ．【点睛】本题考查了二次函数的拱桥问题，关键是要根据题意作出平面直角坐标系，并根据所建立的平面直角坐标系求出函数解析式．6．有一拱桥洞呈抛物线形，这个桥洞的最大高度是16m ，跨度为40m ，现把它的示意图（如图）放在坐标系中，则抛物线的解析式为（ ）A ．215252y x x =+B ．18255x y x x =-+ C ．251825y x x =-- D ．21816255y x x =-++ 【答案】B【分析】根据题意设出顶点式，将原点代入即可解题．【详解】由图可知该抛物线开口向下，对称轴为x ＝20，最高点坐标为（20，16），且经过原点，由此可设该抛物线解析式为()22016y a x =-+，将原点坐标代入可得400160a +=，解得：a ＝125-， 故该抛物线解析式为y ＝()21201625x --+ ＝218255x x -+ 故选：B ．【点睛】 本题主要考查二次函数图像性质的实际应用、二次函数顶点式等．难度不大，找到顶点坐标设出顶点式是解题关键．7．图(1)是一个横断面为抛物线形状的拱桥，当水面在L 时，拱顶(拱桥洞的最高点)离水面2m ，水面宽为4m ．如果水面宽度为6m ，则水面下降 ( )A ．3.5 mB ．3mC ．2.5mD ．2 m【答案】C【分析】由图中可以看出，所求抛物线的顶点在原点，对称轴为y 轴，可设此函数解析式为：2y ax =，利用待定系数法求出解析式，再根据水面宽度为6m 时，求出当x=3时，对应y 值即可解答．【详解】解：设此函数解析式为：2y ax =，0a ≠；那么(2,2)-应在此函数解析式上．则24a -= 即得12a =-， 那么212y x =-．当x=3时，25132 4.y =--⨯=∴水面下降(-2)-(-4.5)=2.5（米）故选：C.根据题意得到函数解析式的表示方法是解决本题的关键，关键在于找到在此函数解析式上的点． 8．图2是图1中拱形大桥的示意图，拱桥与桥面的交点为O ，B ，以点O 为原点，水平直线OB 为x 轴，建立平面直角坐标系，拱桥可以近似看成抛物线y =－1? 400?（x-80）2 + 16，拱桥与桥墩AC 的交点C 恰好在水面，有AC ⊥x 轴．若OA = 10米，则桥面离水面的高度AC 为（ ）A ．16 9? 40?米B ．1?7? 4?米C ．16 7? 40?米D ．1?5? 4?米 【答案】B【分析】先确定C 点的横坐标，然后根据抛物线上点的坐标特征求出C 点的坐标，从而可得到AC 的长；【详解】∠AC x ⊥轴，OA=10米，∠点C 的横坐标为10-，当10x =-时， ∠()218016400y x =--+()21171080164004=---+=-， ∠1710,4C ⎛⎫-- ⎪⎝⎭， ∴桥面离水面的高度AC 为174米．【点睛】本题主要考查了二次函数的应用，准确计算是解题的关键．第II 卷（非选择题）请点击修改第II 卷的文字说明二、解答题9．如图，某隧道的截面由抛物线和长方形构成，长方形的长OA 为12m ，宽OB 为4m ，隧道顶端D 到路面的距离为10m ，建立如图所示的直角坐标系．（1）求该抛物线的解析式；（2）一辆货运汽车载一长方体集装箱，集装箱最高处与地面距离为6m ，宽为4m ，隧道内设双向行车道，问这辆货车能否安全通过？【答案】（1）21(6)106y x =-+﹣；（2）能安全通过 【分析】（1）先求出抛物线顶点坐标，再按顶点式设出抛物线解析式，代入解析式；（2）令x ＝10，求出y 与6作比较．（1）根据题意，该抛物线的顶点坐标为（6，10），设抛物线解析式为：2(6)10y a x=+﹣， 将点B （0，4）代入，得：36104a +＝， 解得：16a =-， 故该抛物线解析式为21(6)106y x =-+﹣； （2）根据题意，当x ＝6+4＝10时，y 16=-⨯16+10223=＞6， ∴这辆货车能安全通过．【点评】本题考查了二次函数的应用：构建二次函数模型解决实际问题，利用二次函数解决抛物线形的隧道、大桥和拱门等实际问题时，要恰当地把这些实际问题中的数据落实到平面直角坐标系中的抛物线上，从而确定抛物线的解析式，通过解析式可解决一些测量问题或其他问题．10．某工厂大门是抛物线形水泥建筑，大门地面宽AB 为4m ，顶部C 距离地面的高度为4.4m ，现有一辆货车，其装货宽度为2.4m ，高度2.8米，请通过计算说明该货车能否通过此大门？【答案】能，理由见解析【分析】 首先建立适当的平面直角坐标系，并利用图象中的数据确定二次函数的解析式，进而得到装货后的最大高度，即可求解．【详解】解：以C为坐标原点，抛物线的对称轴为y轴，建立如下图所示的平面直角坐标系，根据题意知，A（﹣2，﹣4.4），B（2，﹣4.4），设这个函数解析式为y＝kx2．将A的坐标代入，得y＝﹣1.1x2，∵货车装货的宽度为2.4m，∴E、F两点的横坐标就应该是﹣1.2和1.2，∴当x＝1.2时y＝﹣1.584，∴GH＝CH﹣CG＝4.4﹣1.584＝2.816（m），因此这辆汽车装货后的最大高度为2.816m，∵2.8＜2.816，所以该货车能够通过此大门．【点睛】本题考查点的坐标的求法及二次函数的实际应用关键是建立数学模型，借助二次函数解决实际问题，注意根据线段长度得出各点的坐标，难度一般．11．如图，①为抛物线形拱桥，在正常水位下测得主拱宽24m ，最高点离水面8m ，以水平线AB 为x 轴，AB 的中点为原点建立直角坐标系（如图②）．（1）求抛物线的解析式；（2）桥边有一浮在水面部分高4m ，最宽处为18m 的何鱼餐船，试探索此船在正常水位时能否开到桥下，并说明理由．【答案】（1）21818y x =-+；（2）不能开到桥下 【分析】 （1）设抛物线解析式为()()88y a x x =+-，代入（0,8）即可求解；（2）求出当x=9时，y 的值，判断其是否大于4即可．【详解】（1）∵AB=24，OC=8∴A （-12,0），B （12,0），C （0,8）设抛物线解析式为()()1212y a x x =+-代入C 点坐标，得()()8012012a =+-，解得118a =- ∴抛物线解析式为21818y x =-+；（2）当x=9时，得2198 3.518y =-⨯+= ∵3.5<4∴不能开到桥下．【点睛】 本题考查了二次函数的拱桥问题，重点是根据题目所给的坐标系求出函数解析式．12．如图，有一座抛物线形拱桥，桥下面在正常水位AB 时宽20m ，水位上升4m 就达到警戒线CD ，这时水面宽度为12m ．（1）建立适当的直角坐标系，求抛物线的函数解析式；（2）若洪水到来时水位以0.1m/h 的速度上升，从正常水位开始，再过几小时就能到达桥面？【答案】（1）如图所示，2116y x =-；（2）1252小时 【分析】（1）设所求抛物线的解析式为y=ax 2．把D （6，b ），则B （10，b －4）代入解方程组即可；（2）由（1）可求得点B 坐标，进而可得拱桥顶O 到正常水位AB 的距离，进而求出时间．【详解】（1）如图所示：设所求抛物线的解析式为y=ax 2，设D （6，b ），则B （10，b －4），把D 、B 的坐标分别代入y=ax 2得：364100b a b a =⎧⎨-=⎩， 解得：11694a b ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩， ∴抛物线的解析式为2116y x =-； （2）∵94b =-， ∴b －4= 944--= 254- ∴拱桥顶O 到正常水位AB 的距离为254m ∴2540.1 2510=41⨯ 125=2小时． 所以再持续1252小时到达拱桥顶． 【点睛】本题考查二次函数的应用，解题的关键是学会构建二次函数，学会利用二次函数的性质解决问题，属于中考常考题型．13．如图1，单孔拱桥的形状近似抛物线形，如图2建立所示的平面直角坐标系，在正常水位时，水面宽度AB 为12,m 拱桥的最高点C 到水面AB 的距离为6m ．（1）求抛物线的解析式；（2）因为上游水库泄洪，水面宽度变为10m ，求水面上涨的高度﹒【答案】（1）2166y x =-+；（2）116m 【分析】（1）根据题意，C 点是抛物线的顶点且位于y 轴上，A 、B 点是抛物线与c 轴交点，所以抛物线的对称轴为y 轴，得A （-6,0）、B （6,0）、C （0，6）然后设二次函数解析式为2y ax k =+，，将点B 、C 带入解析式解出即可.（2）根据题意得，水面宽度的横坐标为5-和5，将其代入解析式求得y 值即可.【详解】解：（1）设二次函数解析式为2y ax k =+ 由题意得，()),6,006,BC （ 26y ax ∴=+2066a ∴=⋅+16a ∴=-∴解析式为2166y x =-+ （2）由题意得，水面宽度的横坐标为5-和5．212511566666y ∴=-⨯+=-+= ∴水面上涨的高度为116m ． 【点睛】本题主要考查二次函数解析式的实际应用问题，运用数形结合的思想，正确理解图像上各点的含义是解题的关键14．某公园草坪的防护栏形状是抛物线形，为了牢固起见，每段防护栏需要间距0.4m 加设一根不锈钢的支柱，防护栏最高点距离底部0.5m （如图），求其中防护支柱11A B 的长度．【答案】防护栏支柱11A B 的长度为0.32m ．【分析】设抛物线的解析式为：y=ax 2，由待定系数法求得解析式，再将点A 1的横坐标代入解析式，即可得出点B 1的纵坐标，则可得出答案．【详解】解： 如图所示，点C 坐标为（1，-0.5）设抛物线的解析式为：2y ax =，将点C 坐标代入得： 0.5a =-，∴抛物线的解析式为：20.5y x =-，由题意可得点1A 的横坐标为0.6-，∴点1B 的纵坐标为：20.5(0.6)0.18y =-⨯-=-，0.5-0.18=0.32，∴防护栏支柱11A B 的长度为0.32m ．【点睛】本题考查了待定系数法在实际问题中的应用，数形结合、正确建立平面直角坐标系以及由待定系数法求得函数解析式是解题的关键．15．有一个抛物线形的单向道路隧道，隧道离地面的最大高度为4m ，跨度为10m ，把它放在图示平面直角坐标系中．（1）求抛物线所对应的函数表达式；（2）通过计算说明，现有一辆宽4m ，高3.2m 的厢式货车能否安全通过此隧道?【答案】（1）y=425-（x-5）2+4；（2）货船能从桥下通过，理由见解析．【分析】（1）先确定抛物线的顶点坐标以及x轴的的交点坐标，然后运用待定系数法解答即可；（2）根据货车宽度求出抛物线解析式中的x值，再求出对应的y的值，再与货车高度比较即可解答．【详解】解：（1）由题意得，抛物线的顶点坐标为（5，4），与x轴的两个交点坐标为（0，0）设抛物线解析式为y=a（x-5）2+4，把（0，0）代入，得：0= a（0-5）2+4，解得a=4 25 -所以抛物线解析式为：y=425-（x-5）2+4；（2）货船能从桥下通过，理由如下：∵货船宽为2米，高为3米，∴当x=6时，y=425-（6-5）2+4=3.84>3．∴货船能从桥下通过．【点睛】本题主要考查了二次函数的应用，解决本题的关键在于熟练运用二次函数解决实际问题．16．图中是抛物线形拱桥，点P处有一照明灯，水面OA宽4 m，以O为原点，OA所在直线为x轴建立平面直角坐标系，已知点P 的坐标为（3，32）. (1)点P 与水面的距离是________m ；(2)求这条抛物线的表达式；(3)当水面上升1 m 后，水面的宽变为多少？【答案】（1）32（2）y ＝－12x 2＋2x.（3）【分析】∠1）根据点P 的横纵坐标的实际意义即可得；∠2）利用待定系数法求解可得；∠3）在所求函数解析式中求出y=1时x 的值即可得．【详解】(1)由点P 的坐标为3(3,)2,知点P 与水面的距离为3m 2， 故答案为32； (2)设抛物线的解析式为2y ax bx =+，将点A (4,0)∠P 3(3,)2代入，得： 16403932a b a b +=⎧⎪⎨+=⎪⎩，解得：122a b ⎧=-⎪⎨⎪=⎩，所以抛物线的解析式为2122y x x =-+； (3)当y =1时,2121,2x x -+=即2420x x -+=，解得：2x =则水面的宽为2(2+=【点睛】考查二次函数的应用，掌握待定系数法求二次函数解析式是解题的关键.17．如图所示的是一座拱桥，桥洞的拱形是抛物线的形状，当水面宽AB 为12米时，桥洞顶部离水面4米，若水面上涨1米，求此时水面的宽．【答案】【分析】由题意建立适当的平面直角坐标系，用待定系数法可求抛物线的函数解析式，然后把y 3=-代入解析式即可求解．【详解】解：如图，以抛物线的顶点为原点，建立平面直角坐标系．由题意可知抛物线过点（6，-4）设抛物线的函数表达式为：2y a x = 把（6，-4）代入2y a x =，可得1a 9=- 则抛物线的函数表达式为：21y 9x =- 当水面上涨1米，水面所在的位置为直线y 3=-令y 3=-，则2139x -=-，解得：x =±∴此时水面的宽为：【点睛】此题主要考查二次函数的实际应用，建立适当的平面直角坐标系，求出抛物线的函数解析式是解题关键． 18．河上有一座桥孔为抛物线形的拱桥，水面宽6m 时，水面离桥孔顶部3m.因降暴雨水位上升lm. （1）如图①，若以桥孔的最高点为原点，建立平面直角坐标系，求抛物线的解析式;（2）一艘装满物资的小船，露出水面的高为0.5m 、宽为4m(横断面如图②).暴雨后这艘船能从这座拱桥下通过吗?请说明理由.【答案】（1）y=-213x （2）能【分析】∠1）根据点A的坐标，利用待定系数法即可求出抛物线的解析式；∠2）代入x=2求出y值，用其减去-2求出可通过船的最高高度，将其与0.5比较后即可得出结论.【详解】解：（1）设抛物线的解析式为y=ax2∠a≠0∠∠将A∠3∠-3）代入y=ax2∠-3=9a，解得：a=-1 3∠∴抛物线的解析式为y=-13x2∠∠2）当x=2时，y=-13×22=-43∠∠-43-∠-2∠=23∠0.5∠∴暴雨后这艘船能从这座拱桥下通过.【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数的应用、二次函数解析式以及二次函数图象上点的坐标特征，解题的关键是：（1）根据点A的坐标，利用待定系数法求出抛物线的解析式；（2）根据二次函数图象上点的坐标特征结合水高求出可通过船的最高高度（宽度固定）．19．如图是把一个抛物线形桥拱，量得两个数据，画在纸上的情形.小明说只要建立适当的坐标系，就能求出此抛物线的表达式.你认为他的说法正确吗？如果不正确，请说明理由；如果正确，请你帮小明求出该抛物线的表达式.【答案】正确. 22003x y =或236200y x =-+ 【分析】根据桥拱的对称性和已知数据，以对称轴为纵轴、水面为横轴建立坐标系，使拱顶在坐标原点最简单．【详解】抛物线依坐标系所建不同而各异，如下图.(仅举两例)①如图1建立坐标系，∵顶点在原点，∴设函数解析式为y=ax 2，∵图像过（20，6），∴6=a ×202，解得：a=-3200， ∴抛物线的表达式为y=-3200x 2. ②如图2建立坐标系，∵图像相当于图1的图像向上平移6，∴抛物线的表达式为y=-3200x 2+6.故正确，抛物线表达式为y=-3200x 2或y=-3200x 2+6. 【点睛】建立适当的坐标系是数学建模的关键，需认真分析图形特征．20．有一个抛物线形的拱形桥洞，桥面离水面的距离为5.6米，桥洞离水面的最大高度为4m ，跨度为10m ，如图所示，把它的图形放在直角坐标系中．（1）求这条抛物线所对应的函数关系式．（2）如图，在对称轴右边1m 处，桥洞离桥面的高是多少？【答案】（1）二次函数解析式为24(5)425y x =--+；（2）桥洞离桥面的高是1.76米． 【分析】 （1）由题意可知抛物线的顶点坐标，设函数关系式为y=a （x-5）2+4，将已知坐标代入关系式求出a 的值．（2）对称轴右边1米处即x=6，代入解析式求出y=值．【详解】解：（1）由题意可知，抛物线的顶点坐标为()5,4，所以设此桥洞所对应的二次函数关系式为2(5)4y a x =-+， 由图象知该函数过原点，将(0,0)O 代入上式，得：20(05)4a =-+，。
(完整)二次函数应用(拱桥问题)
教学过程一、 复习预习平时的时候我们能够看到小船可以从桥的下面通过，但是当夏天雨季到来，水平面上升，这时小船还能从桥的下面通过吗？对于这样的问题我们可以利用我们所学的二次函数来解决。
这节我们就看二次函数解决拱桥问题。
二、知识讲解考点/易错点1 ：二次函数解析式的形式1、一般式：y=ax 2+bx+c （a ≠0)2、顶点式：y=a （x —h ）2+k （a ≠0) 顶点坐标（h ，k ）直线x=h 为对称轴，k 为顶点坐标的纵坐标,也是二次函数的最值3、双根式:y=a(x-1x ）（x —2x ）（a ≠0） (1x ，2x 是抛物线与x 轴交点的横坐标）并不是什么时候都能用双根式，当抛物线与x 轴有交点时才行 4、 顶点在原点：)0(2≠=a ax y 5、过原点：)0(2≠+=a bx ax y 6、 顶点在y 轴：)0(2≠+=a c ax y考点/易错点2：建立平面直角坐标系1、在给定的直角坐标系,中会根据坐标描出点的位置2、能建立适当的直角坐标系,描述物体的位置。
三、例题精析【例题1】【题干】有一座抛物线形拱桥，正常水位时，桥下水面宽度为20m,拱顶距离水面4m．（1）在如图所示的直角坐标系中，求出该抛物线的表达式；（2）在正常水位的基础上,当水位上升h（m）时,桥下水面的宽度为d（m）,求出将d表示为h的函数表达式;（3）设正常水位时桥下的水深为2m，为保证过往船只顺利航行，桥下水面宽度不得小于18m，求水深超过多少米时就会影响过往船只在桥下的顺利航行．【答案】（1）设抛物线的解析式为y＝ax2,且过点（10,－4）∴-==-4101252a a×，故y x=-1252（2）设水位上升h m时，水面与抛物线交于点（dh24，-）则h d -=-412542×∴d h =-104 (3)当d ＝18时,18104076=-=h h ，.0762276..+=∴当水深超过2.76m 时会影响过往船只在桥下顺利航行。
二次函数的应用于建筑业问题
二次函数的应用于建筑业问题二次函数在数学中具有广泛的应用，其中包括在建筑业中解决的一些实际问题。
建筑师和工程师在设计和建造建筑物时，经常会遇到与二次函数相关的问题。
本文将探讨二次函数在建筑业中的应用，并以实际问题为例进行说明。
一、抛物线和拱形结构抛物线是二次函数的常见图像，而在建筑业中，许多结构都采用了抛物线形状。
例如，许多拱门和圆顶都是利用抛物线的形状来设计的。
在使用二次函数的过程中，我们可以通过控制二次函数的参数来调整抛物线的形状和大小，从而满足具体的设计需求。
通过合理地选择二次函数的参数，我们可以确保拱形结构具有所需的强度和稳定性。
二、跳板设计问题在建筑施工中，建筑工人需要使用跳板来搭建和维修建筑物的外墙。
跳板的设计需要考虑最大承重能力和稳定性。
二次函数可以用来模拟跳板的形状，帮助工程师确定跳板的设计参数。
通过将跳板的形状与二次函数的图像相对应，工程师可以通过调整二次函数的参数，使得跳板能够承受预期的负载并保持平衡，确保施工过程的安全性和效率。
三、建筑物的水平线设计在建筑设计中，确定建筑物的水平线非常重要，这直接影响建筑物的外观和整体结构。
二次函数可以用来描述建筑物的水平线形状。
通过调整二次函数的参数，建筑师可以确保建筑物的水平线符合设计要求，实现建筑物的平衡美观，并提高建筑物的结构强度。
四、建筑物的抗风设计建筑物需要经受自然力的考验，其中风力是最常见的一种。
二次函数可以用来模拟风力的作用力，并评估建筑物的抗风设计。
通过分析二次函数的图像和参数，工程师可以确定建筑物所需的阻力和抵抗能力，从而选择适当的建筑材料和加固措施，确保建筑物在强风天气中的安全性和稳定性。
总结：二次函数在建筑业中有着广泛的应用。
从抛物线和拱形结构到跳板设计，再到建筑物的水平线和抗风设计，二次函数帮助建筑师和工程师实现了各种建筑问题的解决。
通过充分理解二次函数的特性和参数的调整，我们可以在建筑设计和施工中更好地应用二次函数，提高建筑物的质量和稳定性，为人们提供更安全、美观的建筑环境。
人教版九年级数学上册第 22章 二次函数11 拱桥问题和运动中的抛物线
10．有一座抛物线形状的拱桥，正常水位时，桥下水面宽度 AB 为 20m， 拱顶距离水面 4m.
(1)建立如图所示的直角坐标系， 求出该抛物线的解析式；
解：设 y＝ax2，将(10，－4)代入，得－4＝a·102，∴a＝－215，∴抛物 线的解析式为 y＝－215x2.
(2)在正常水位的基础上，当水位上升 hm 时，桥下水面宽度 CD 为 dm， 求 d 与 h 的函数解析式；
解得
a=－0.2， k=3.5，
所以该抛物线的表达式为y=－0.2x2+3.5.
当 x=－2.5时，y=2.25 .
y
故该运动员出手时的高度为2.25m.
O
x
当堂练习
1.足球被从地面上踢起，它距地面的高度h(m)可用公式 h=-4.9t2+19.6t来表示，其中t(s)表示足球被踢出后经过 的时间，则球在 4 s后落地.
＝6m)，小孔顶点 N 距水面 4.5m(即 NC＝4.5m)．当水位上涨刚好淹没小孔
10
时，借助图中的平面直角坐标系，则此时大孔的水面宽度 EF 为
m.
9．某蔬菜塑料大棚及其截面如图所示，曲线部分近似看成抛物线，现 测得 AB＝6m，最高点 D 到地面 AB 的距离为 2.5m，点 O 到墙 BC 的距离 OB＝1m，借助图中的直角坐标系回答下列问题：
解：建立如图所示的坐标系，
根据题意得，A点坐标为(0，1.25)，顶点B坐标为 (1，2.25).
数学化
y
●B(1,2.25)
A (0,1.25)
●
D
o
x
●Hale Waihona Puke C设抛物线为y=a(x+h)2+k，由待定系数法可求得抛 物线表达式为：y=－ (x-1)2+2.25.
2022年中考数学专题复习：二次函数实际问题(拱桥问题)
2022年中考数学专题复习：二次函数实际问题（拱桥问题）一、单选题1．如图，一座拱桥的纵向截面是抛物线的一部分，拱桥的跨度为4.9m ，当水面宽4m 时，拱顶离水面2m ，如图，以拱顶为原点，抛物线的对称轴为y 轴，建立平面直角坐标系，抛物线的函数表达式为（ ）A ．22.45y x =-B ．22y x =-C ．212y x =-D ．214y x =- 2．如图，某涵洞的截面是抛物线形，现测得水面宽AB ＝1.6m ，涵洞顶点O 与水面的距离CO 是2m ，则当水位上升1.5m 时，水面的宽度为（ ）A ．0.4mB ．0.6mC ．0.8mD ．1m 3．如图所示，一座抛物线形的拱桥在正常水位时，水而AB 宽为20米，拱桥的最高点O 到水面AB 的距离为4米．如果此时水位上升3米就达到警戒水位CD ，那么CD 宽为（ ）A． B ．10米 C． D ．12米 4．如图所示，一座抛物线形的拱桥在正常水位时，水面AB 宽为20米，拱桥的最高点O 到水面AB 的距离为4米．如果此时水位上升3米就达到警戒水位CD ，那么CD 宽为（ ）A ．B ．10米C ．米 D ．12米 5．如图，一个涵洞的截面边缘是抛物线形．现测得当水面宽 1.6m AB 时，涵洞顶点与水面的距离是2m ．这时，离开水面1.5m 处，涵洞的宽DE 为（ ）ABC ．0.4D ．0.8 6．有一拱桥洞呈抛物线形，这个桥洞的最大高度是16m ，跨度为40m ，现把它的示意图(如图)放在坐标系中，则抛物线的解析式为（ ）A ．y ＝125x 2＋58xB ．y ＝－125x 2＋85x C ．y ＝－58x 2－125x D ．y ＝－125x 2＋85x ＋16 7．如图是抛物线形拱桥，当拱顶离水面2m 时，水面宽4m ，若水面下降2.5m ，那么水面宽度为（ ）m ．A ．3B ．6C ．8D ．98．如图所示的抛物线形构件为某工业园区的新厂房骨架，为了牢固起见，构件需要每隔0.4m 加设一根不锈钢的支柱，构件的最高点距底部0.5m ，则该抛物线形构件所需不锈钢支柱的总长度为（ ）A ．0.8mB ．1.6mC ．2mD ．2.2m二、填空题 9．如图，某拱桥呈抛物线形状，桥的最大高度是16米，跨度是40米，在线段AB 上离中心M 处5米的地方，桥的高度是___________米．10．如图，有一座抛物线形拱桥，在正常水位时水面AB 的宽为20m ，如果水位上升3m 达到警戒水位时，水面CD 的宽是10m ．如果水位以0.25m/h 的速度上涨，那么达到警戒水位后，再过________h 水位达到桥拱最高点O ．11．某桥梁的桥洞可视为抛物线，12m AB =，最高点C 距离水面4m ，以AB 所在直线为x 轴（向右为正向），若以A 为原点建立坐标系时，该抛物线的表达式为21493y x x =-+，已知点D 为抛物线上一点，位于点C 右侧且距离水面3m ，若以点D 为原点，以平C 行于AB 的直线为x 轴（向右为正向）建立坐标系时，该物线的表达式为___________．12．赵州桥的桥拱横截面是近似的抛物线形，其示意图如图所示，其解析式为y ＝﹣125x 2．当水面离桥拱顶的高度DO 为4m 时，水面宽度AB 为____m ．。
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26.3实际问题与二次函数（拱形问题）
【活动一】探索与发现：（学生讨论，三种方法的提示，
让学生理解不同的坐标系，不同的解析式。
1、问题1：
【活动二】
方法1:提示：把坐标原点定在涵洞抛物线的顶点如右图2,
方法2 :提示：把坐标原点定在涵洞抛物线的顶点如右图3
方法3 :提示：把坐标原点定在涵洞抛物线的顶点如右图4
（1）
2、问题2
26.3实际问题与二次函数
如图26.2.9某涵洞是抛物线形，它的截面如图所示，现测得水面宽1．6m，涵洞顶点O到水面的距离为2．4m，在图中直角坐标系内，涵洞所在的抛物线的函数关系式是什么？建立适当的坐标系。