指数函数讲义
指数函数的概念说课课件
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什么是指数函数？
指数函数是一种特殊的代数函数，可以用以下形式表示：
f(x) = a * b^x，其中a 和b 是常数，b 称为底数，x 是自变量。
指数函数的图像通常表现出随着自变量x 增加或减少而呈指数增长或衰减的趋势。
指数函数的性质
1. 底数大于1 时，函数递增；底数在0 和1 之间时，函数递减。
这是指数函数的基本特点。
2. 当x = 0 时，指数函数的值为1。
这是因为任何数的0 次方都等于1。
3. 不同底数的指数函数在相同自变量下的图像形状不同。
例如，当底数大于1 时，图像呈现上升的曲线；当底数在0 和 1 之间时，图像则呈现下降的曲线。
还有许多其他性质，可以通过实际例子和计算来展示。
指数函数的应用
1. 在经济学中，指数函数常用于描述货币的贬值和物价的上涨。
通常情况下，货币的购买力会随着时间的推移而下降。
2. 在生物学和环境科学中，指数函数可以用于描述种群的增长和衰退。
种群的数量通常会受到各种因素的影响，指数函数提供了一种模型来预测种群变化。
3. 在物理学中，指数函数可以用于描述放射性衰变和电路中的电荷放电。
这些过程都与时间的指数关系紧密相关。
指数函数在各个领域都有广泛的应用，并且为我们理解和解决实际问题提供了便利。
总结
指数函数是一种特殊的代数函数，具有许多独特的性质和广泛的应用。
通过深入学习和理解指数函数的概念，我们可以拓宽数学思维、应用数学知识解决实际问题，提高数学素养。
最新指数函数讲义
指数函数讲义知识点睛一、指数与指数幂的运算1. n 次方根的定义及表示（1）定义：一般地，如果n x a =，那么x 叫做a 的n 次方根，其中n >1，且n ∈N *．（2）表示：当n 为奇数时，a 的n 次方根有一个为n a ，a ∈R ；当n 为偶数时，a 的n 次方根有两个为n a ±，a ≥0．2. 根式（1）定义：式子n a 叫做根式，这里n 叫做根指数，a 叫做被开方数．（2）性质：①当n >1，且n ∈N *时，有恒等式：()n n a a =．②当n 为奇数时，nn a a =； 当n 为偶数时，0||0n n a a a a a a ⎧==⎨-<⎩≥，，，． 3. 分数指数幂（1）mnm n a a =（a >0，m ，n ∈N *，且n >1）； （2）0的正分数指数幂等于0，0的负分数指数幂没有意义．（3）运算性质：①r s r s a a a +=（a >0，r ，s ∈Q ）；②()r s rs a a =（a >0，r ，s ∈Q ）；③()r r r ab a b =（a >0，b >0，r ∈Q ）．二、指数函数的定义一般地，函数__________（ ）叫做指数函数，其中x 是自变量，函数的定义域是R ．三、指数函数的图象和性质1. 指数函数x y a =(a >0，且a ≠1)的图象和性质：01a << 1a > 图象y=a x y xO (0，1) y =1y =1x y y=a x(0，1)O 定义域R 值域(0，+∞) 性质 ① 过定点(0，1)，即x =0时，y =1②在R 上是减函数 ②在R 上是增函数2. 指数函数底数变化与图象分布规律1O y x④③②①①x y a =，②x y b =，③x y c =，④x y d =，有01b a d c <<<<<，即：x ∈(0，+∞)时，x x x x b a d c <<<；x ∈(-∞，0)时，x x x x b a d c >>>．题型一：指数的运算1. 下列命题：①n n a a =；②若a ∈R ，则20(1)1a a -+=；③3433x y x y 4+=⋅；④6325(5)-=-．其中正确的有（ ） A ．0个 B ．1个 C ．2个D ．3个 2. 下列根式中，分数指数幂的互化，正确的是（ ） A ．12()0x x x -=->（） B ．16230y y y =<（）C ．34341()0x x x-=>（） D ．1330x x x -=-≠（） 3. 用分数指数幂表示下列各式（其中各式字母均为正数）：（1）3m m =__________；（2）1122a a a =_____________；（3）35xy xy =______________4. 化简下列各式（其中各式字母均为正数）：（1）11112222()()()a b a b a b +-+=_____________；（2）2115113366221(3)()3a b a b a b -÷=_____________；（3）3242294s t r --⎛⎫⎪⎝⎭=______________；（4）3322311442()a b ab b a b a⋅=______________．5. 计算下列各式：（1）423819⨯； （2）36323122⨯⨯；（3）2212332182716()()227---+--．题型二：指数函数的定义1. 下列以x 为自变量的函数中，是指数函数的是____________．①4x y =；②4y x =；③4x y =-；④(4)x y =-；⑤(21)x y a =-（12a >，且a ≠1）；⑥4x y -=．2. 若函数2()(33)x f x a a a =-+是指数函数，则实数a 满足（ ）A ．a =1或a =2B ．a =1C ．a =2D ．a >0且a ≠1题型三：指数函数的定义域值域 3. （1）函数()15x f x =-的定义域是__________；（2）已知函数()f x 的定义域是(1，2)，则函数(2)x f 的定义域是____________．4. 已知对不同的a 值，函数1()2x f x a +=+（a >0，且a ≠1）的图象恒过定点P ，则点P 的坐标是（） A ．(0，3) B ．(0，2) C ．(-1，3) D ．(1，2)5.6. 求下列函数的值域： （1）()32x f x =-，x ∈[-1，1]； （2）()2x f x -=；（3）2211()()3x x f x --=； （4）11()142x x f x =-+，x ∈[-3，2]．题型四：指数函数的单调性7. 若213211()()22a a +-<，则实数a 的取值范围是（ ） A ．(1，+∞) B ．(12，+∞) C ．(-∞，1)D ．(-∞，12) 8.9. 设函数f (x )=||x a -（a >0），且f (2)=4，则（ ）A ．f (-1)>f (-2)B ．f (1)>f (2)C ．f (2)<f (-2)D ．f (-3)>f (-2)10. 若函数()x f x a =（a >0，且a ≠1）在区间[1，2]上的最大值比最小值大2a ，则a 的值为_________．题型五：比较大小11. 在“_____”上填“>”或“<”．（1）1.012.7____1.013.5； （2）0.10.75-____0.10.75；（3） 2.72()5-____ 2.71()5-； （4）0.31.5____ 1.20.8． 12.13. 设y 1=40.9，y 2=80.48，y 3= 1.51()2-，则（ ） A ．y 3>y 1>y 2 B ．y 2>y 1>y 3 C ．y 1>y 2>y 3 D ．y 1>y 3>y 214. 设232555322()()()555a b c ===，，，则a ，b ，c 的大小关系是（ ） A ．b >c >a B ．a >b >c C ．c >a >b D ．a >c >b15. 设111()()1333b a <<<，则（ ） A ．a a <a b <b a B ．a a <b a <a b C ．a b <a a <b a D ．a b <b a <a a16. （1）函数2231()2x x y --=的单调递增区间是________________． （2）已知 f (x )=2x 2-x -3，1()()2x g x =，则函数(())y f g x =的单调递增区间是___________，单调递减区间是___________．。
12553_高中数学《指数函数》ppt课件
拓展延伸：超越方程简介
超越方程的定义
包含超越函数的方程称为超越方 程，如三角函数、指数函数、对
数函数等。
2024/1/27
超越方程的解法
通常无法直接求解，需要借助数值 计算或图形方法近似求解。常见的 解法包括迭代法、牛顿法等。
超越方程的应用
在物理学、工程学、经济学等领域 有广泛应用，如求解振动问题、电 路问题等。
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03 指数函数在生活 中的应用举例
2024/1/27
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复利计算与投资策略分析
复利公式
A=P(1+r/n)^(nt)，其中A为终值， P为本金，r为年利率，n为每年计息 次数，t为时间（年）。通过该公式 可计算投资在固定时间内的复利收益 。
投资策略分析
利用指数函数模型，可以对不同投资 策略进行分析和比较。例如，定期定 额投资与一次性投资在相同时间内的 收益差异。
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指数函数四则运算技巧
乘法运算技巧
当两个指数函数相乘时，如果它们的底数相同， 可以直接应用同底数幂的乘法法则；如果它们的 底数不同，可以先将其中一个函数转换为与另一 个函数相同的底数，再应用乘法法则。
幂的运算技巧
当指数函数进行幂的运算时，可以直接应用幂的 乘方法则。需要注意的是，如果函数的底数是负 数或分数，需要特别注意运算过程中的符号和取 值范围。
递减。
奇偶性
指数函数既不是奇函数 也不是偶函数。
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周期性
指数函数没有周期性。
常见指数函数类型及其特点
自然指数函数
幂指数函数
对数指数函数
复合指数函数
底数为e（约等于2.71828） 的指数函数，记为y=e^x。 其图像上升速度最快，常用 于描述自然增长或衰减现象
指数函数及其性质(讲义)
指数函数及其性质（讲义）➢ 知识点睛一、指数函数的定义一般地，函数__________（ ）叫做指数函数，其中x 是自变量，函数的定义域是R ．二、指数函数的图象和性质1. 指数函数x y a =(a >0，且a ≠1)的图象和性质：2. 指数函数底数变化与图象分布规律①x y a =，②x y b =，③x y c =，④x y d =，有01b a d c <<<<<，即：x ∈(0，+∞)时，x x x x b a d c <<<；x ∈(-∞，0)时，x x x x b a d c >>>．➢ 精讲精练1. 下列以x 为自变量的函数中，是指数函数的是____________．①4x y =；②4y x =；③4x y =-；④(4)x y =-；⑤(21)x y a =-（12a >，且a ≠1）；⑥4x y -=．2. 若函数2()(33)x f x a a a =-+是指数函数，则实数a 满足（ ）A ．a =1或a =2B ．a =1C ．a =2D ．a >0且a ≠14. 已知对不同的a 值，函数()2f x a =+（a >0，且a ≠1）的图象恒过定点P ，则点P 的坐标是（ ）A ．(0，3)B ．(0，2)C ．(-1，3)D ．(1，2)5. 求下列函数的值域：（1）()32x f x =-，x ∈[-1，1]；13. （1）函数223()2x x y --=的单调递增区间是________________．（2）已知f (x )=2x 2-x -3，1()()2x g x =，则函数(())y f g x =的单调递增区间是___________，单调递减区间是___________．【参考答案】➢ 知识点睛一、指数函数的定义01x y a a a =>≠，（且）➢精讲精练 1.①⑤⑥ 2.C 3.（1）(0]∞-，；（2）(01)，4.C5.（1）5[1]3-，；（2）(01]，；（3）(09]，；（4）3[57]4，6.B7.D8.31 22或9.（1）<；（2）>；（3）<；（4）>10.D11.D12.C13.（1）1()4-∞，；（2）(2)(2)+∞-∞，，，。
高一数学指数函数ppt课件
与对数式的转换、对数运算的性质等。
拓展延伸：挑战更高难度题目
复杂指数函数的性质研究
引入更复杂的指数函数形式，如复合指数函 数、分段指数函数等，探讨它们的性质和应 用。
指数函数在实际问题中的应 用
结合实际问题，如复利计算、人口增长等，展示指 数函数的应用价值，并引导学生运用所学知识解决 实际问题。
指数函数与其他数学知识 的综合应用
指数函数图像特征
当a>1时，图像在x轴上方，且随着x 的增大，y值迅速增大；当0<a<1时， 图像在x轴上方，但随着
当a>1时，指数函数在R上是增函数；当0<a<1时，指数函数在R 上是减函数。
指数函数的值域
指数函数的值域为(0, +∞)。
在解题时，要注意判断题目所给 条件是否满足对称性，以便更好
地应用这一性质。
05 复杂问题解决方 法与策略
分段讨论法在处理复杂问题时应用
分段讨论法概念
将复杂问题按照一定条件分成若 干段，每一段内问题相对简单，
易于解决。
分段讨论法应用
在处理指数函数问题时，当自变量 在不同区间内取值时，函数性质可 能发生变化，此时可以采用分段讨 论法。
数形结合思想概念
将数学中的“数”与“形”结合起来，通过图形 直观展示数量关系，帮助理解问题本质。
数形结合思想应用
在处理指数函数问题时，可以通过绘制函数图像 来观察函数性质，如单调性、周期性等。
数形结合思想优势
通过数形结合可以更加直观地理解问题，提高解 题准确性。
06 总结回顾与拓展 延伸
关键知识点总结回顾
幂的乘方规则
$(a^m)^n = a^{m times n}$，幂的乘方，底 数不变，指数相乘。
指数函数讲义
指数函数讲义
1．指数函数的定义
一般地，函数函数叫做指数函数，其中x是自变量，函数的定义域是R。
的含义：，用集合表示则为：（0，1）∪（1，+∞）
问题：指数函数定义中，为什么规定“”如果不这样规定会出现什么情况？因为：(1)若a<0会有什么问题？（如，则在实数范围内相应的函数值不存在）
(2)若a=0会有什么问题？（对于，都无意义）
(3)若 a=1又会怎么样？（无论x取何值,函数值总是1,对它没有研究的必要.）
为了避免上述各种情况的发生,所以规定
指数函数的定义是形式定义,必须在形式上一模一样才行,请看下面事例：1：指出下列函数那些是指数函数：
2：若函数是指数函数，则a=
3：已知y=f(x)是指数函数，且f(2)=4,求函数y=f(x)的解析式。
2．指数函数的图像及性质
画函数图象的步骤：列表、描点、连线。
在理解指数函数定义的基础上掌握指数函数的图像与性质，是重点内容。
关键在于弄清底数a对于函数值变化的影响。
特别地，函数值的分布情况如下：
例1：比较下列各题中两值的大小
答案提示：
（1）（2）两题底相同，指数不同。
（3）（4）两题可化为同底的，可以利用函数的单调性比较大小。
（5）题底不同，指数相同，可以利用函数的图像比较大小。
（6）题底不同，指数也不同，可以借助中介值比较大小。
例2：已知下列不等式 , 比较m,n的大小 :。
高中数学必修一 讲义 专题4.3 指数函数-重难点题型精讲(学生版)
专题4.3 指数函数-重难点题型精讲1．指数函数的定义(1)一般地，函数y=(a>0,且a≠1)叫做指数函数，其中指数x是自变量，定义域是R.(2)指数函数y=(a>0,且a≠1)解析式的结构特征：①的系数为1;②底数a是大于0且不等于1的常数.2．指数函数的图象与性质3．底数对指数函数图象的影响指数函数y=(a>0,且a≠1)的底数对图象的影响可以从不同角度来记忆理解.(1)无论是a>1还是0<a<1，在第一象限内，自下而上，图象越高的指数函数的底数越大，即“底大图高”.(2)左右比较：在直线y=1的上面，a>1时，a越大，图象越靠近y轴；0<a<1时，a越小，图象越靠近y轴.(3)上下比较：比较图象与直线x=1的交点，交点的纵坐标越大，对应的指数函数的底数越大.4．比较幂值大小的方法比较幂值大小的方法：【题型1 指数函数的解析式、定义域与值域】【例1】（2021秋•南宁期末）函数f（x）＝2x的定义域为（）A．[1，+∞）B．（0，+∞）C．[0，+∞）D．R【变式1-1】（2021秋•阎良区期末）函数y＝2x（x≤0）的值域是（）A．（0，1）B．（﹣∞，1）C．（0，1]D．[0，1）【变式1-2】（2021秋•城区校级期中）指数函数y＝f（x）的图象过点（2，4），则f（3）的值为（）A．4B．8C．16D．1【变式1-3】（2021秋•罗湖区校级期中）若函数f（x）＝（a2﹣2a﹣2）a x是指数函数，则a的值是（）A．﹣1B．3C．3或﹣1D．2【题型2 比较幂值的大小】【例2】（2021秋•路南区校级期中）已知a＝0.32，b＝0.31.5，c＝20.3，则（）A ．b ＞c ＞aB ．b ＞a ＞cC ．c ＞b ＞aD ．a ＞b ＞c【变式2-1】（2021秋•厦门期末）下列选项正确的是（ ） A ．0.62.5＞0.63B ．1.7−13＜1.7−12C ．1.11.5＜0.72.1D ．212＞313【变式2-2】（2021秋•怀仁市校级期末）设a ＝0.60.6，b ＝0.60.7，c ＝1.50.6，则a ，b ，c 的大小关系为（ ） A ．a ＞b ＞cB ．a ＞c ＞bC ．b ＞a ＞cD ．c ＞a ＞b【变式2-3】（2021秋•天宁区校级期中）已知a ＝0.3﹣0.2，b =(13)0.3，c ＝3﹣0.2，则（ ）A ．a ＜c ＜bB ．a ＜b ＜cC ．c ＜a ＜bD ．b ＜c ＜a【题型3 解指数不等式】 (2)隐含性质法：解形如>b 的不等式，可先将b 转化为以a 为底数的指数幂的形式，再借助函数y =的【例3】（2020秋•兴庆区校级期中）不等式a x ﹣3＞a 1﹣x （0＜a ＜1）中x 的取值范围是（ ） A ．（﹣∞，2）∪（2，+∞） B ．（2，+∞） C ．（﹣∞，2）D ．（﹣2，2）【变式3-1】（2021秋•北碚区校级月考）不等式(13)x2−8＞3−2x 的解集是（ ）A ．（﹣2，4）B ．（﹣∞，﹣2）C ．（4，+∞）D ．（﹣∞，﹣2）∪（4，+∞）【变式3-2】（2021秋•黄埔区校级期中）已知a ＞0，且a ≠1，若函数y ＝x a﹣1在（0，+∞）内单调递减，则不等式a 3x +1＞a ﹣2x中x 的取值范围是（ ）A ．（﹣∞，−15）B ．（−15，+∞）C ．（﹣∞，−15）∪（−15，+∞）D ．R【变式3-3】（2021秋•丰台区期中）已知指数函数y ＝a x （a ＞0，且a ≠1）的图象过点（1，12）．（I）求函数y＝f（x）的解析式；（II）若不等式满足f（2x+1）＞1，求x的取值范围．【题型4 指数函数的图象及应用】【例4】（2021秋•临渭区期末）函数y＝x+a与y＝a﹣x（a＞0且a≠1）在同一坐标系中的图像可能是（）A．B．C．D．【变式4-1】（2021秋•微山县校级月考）若指数函数y＝a x，y＝b x，y＝c x（其中a、b、c均为不等于1的正实数）的图象如图所示，则a、b、c的大小关系是（）A．a＞b＞c B．c＞a＞b C．c＞b＞a D．b＞a＞c【变式4-2】（2021秋•中宁县校级期中）如图是指数函数①y＝a x，②y＝b x，③y＝c x，④y＝d x的图象，则a，b，c，d与1的大小是（）A．a＜b＜1＜c＜d B．b＜a＜1＜d＜c C．a＜b＜1＜d＜c D．1＜a＜b＜c＜d【变式4-3】（2021•长春模拟）如图，①②③④中不属于函数y＝2x，y＝3x，y=(12)x的一个是（）A．①B．②C．③D．④【题型5 指数型复合函数性质的应用】【例5】（2021秋•蚌埠月考）已知函数f （x ）＝a x ﹣1（a ＞0，a ≠1）的图象经过点（3，19）．（1）求a 的值；（2）求函数f （x ）＝a 2x ﹣a x ﹣2+8，当x ∈[﹣2，1]时的值域．【变式5-1】（2021秋•凌源市期中）设函数f （x ）＝（12）10﹣ax，其中a 为常数，且f （3）=116．（1）求a 的值；（2）若f （x ）≥4，求x 的取值范围．【变式5-2】（2021秋•钦州期末）已知函数f （x ）＝2x ﹣1+a （a 为常数，且a ∈R ）恒过点（1，2）．（1）求a 的值；（2）若f （x ）≥2x ，求x 的取值范围．【变式5-3】（2022秋•新华区校级月考）已知函数f （x ）＝a x +b 的图象如图所示． （Ⅰ）求函数f （x ）的解析式； （Ⅱ）若不等式c⋅10x +6x f(x)+3＞0对任意x ∈（﹣∞，2]成立，求实数c 的取值范围．【题型6 指数函数的实际应用】【例6】（2022春•殷都区校级期末）某医药研究所开发一种新药，据监测，如果成人按规定的剂量服用该药，服药后每毫升血液中的含药量y（μg）与服药后的时间t（h）之间近似满足如图所示的曲线．其中OA是线段，曲线段AB是函数y＝k•a t（t≥1，a＞0，k，a是常数）的图象．（1）写出服药后每毫升血液中含药量y关于时间t的函数关系式；（2）据测定：每毫升血液中含药量不少于2（μg）时治疗有效，假若某病人第一次服药为早上6：00，为保持疗效，第二次服药最迟是当天几点钟？（3）若按（2）中的最迟时间服用第二次药，则第二次服药后再过3h，该病人每毫升血液中含药量为多少μg？（精确到0.1μg）【变式6-1】牛奶保鲜时间因储藏时温度的不同而不同，假定保鲜时间与储藏温度间的关系为指数型函数，若牛奶放在0℃的冰箱中，保鲜时间约是192h，而在22℃的厨房中则约是42h（1）写出保鲜时间y（单位：h）关于储藏温度x（单位：℃）的函数解析式；（2）利用（1）中结论，指出温度在30℃和16℃的保鲜时间（精确到1h）.【变式6-2】（2021秋•朝阳区期末）已知某地区现有人口50万．（I）若人口的年自然增长率为1.2%，试写出人口数y（万人）与年份x（年）的函数关系；20=1.009）（Ⅱ）若20年后该地区人口总数控制在60万人，则人口的年自然增长率应为多少？（√1.2【变式6-3】（2021秋•长丰县校级期末）某医药研究所开发一种抗甲流新药，如果成年人按规定的剂量服用，据监测：服药后每毫升血液中的含药量y（微克）与时间t（小时）之间近似满足如图所示的曲线．（1）结合图，求k与a的值；（2）写出服药后y与t之间的函数关系式y＝f（t）；（3）据进一步测定：每毫升血液中含药量不少于0.5微克时治疗疾病有效，求服药一次治疗有效的时间范围？。
《指数函数》经典讲义(完整版)
指数函数讲义经典整理（含答案）一、同步知识梳理知识点1：指数函数函数(01)xy a a a =>≠且叫做指数函数，其中x 是自变量，函数的定义域是R知识点2：指数函数的图像和性质知识点3：指数函数的底数与图像的关系指数函数在同一直角坐标系中的图像的相对位置与底数大小的关系 如图所示，则01c d a b <<<<<，在y 轴右侧，图像从下到上相应的底数也由小变大， 在y 轴左侧，图像从上到下相应的底数也由小变大 即无论在y 轴左侧还是右侧，底数按逆时针方向变大在第一象限内，“底大图高”知识点4：指数式、指数函数的理解① 分数指数幂与根式或以互化，通常利用分数指数幂进行根式的运算② 根式的运算、变形、求值、化简及等式证明在数学中占有重要的地位，是研究方程、不等式和函数的基础，应引起重视③ 在有关根式、分数指数幂的变形、求值过程中，要注意运用方程的观点处理问题，通过解方程或方程组来求值④ 在理解指数函数的概念时，应抓住定义的“形式”，像1223,,21xx y y x y y =⋅===- 等函数均不符合形式()01x y a a a =>≠且，因此，它们都不是指数函数⑤ 画指数函数x y a =的图像，应抓住三个关键点：()()11,,0,1,1,a a ⎛⎫- ⎪⎝⎭二、同步题型分析题型1：指数函数的定义、解析式、定义域和值域例1：已知函数，且． （1）求m 的值；（2）判定f （x ）的奇偶性；（3）判断f （x ）在（0，+∞）上的单调性，并给予证明．考点：指数函数的定义、解析式、定义域和值域；函数单调性的判断与证明． 专题： 计算题． 分析：（1）欲求m 的值，只须根据f （4）=的值，当x=4时代入f （x ）解一个指数方程即可；（2）求出函数的定义域x|x≠0}，利用奇偶性的定义判断f （x ）与f （﹣x ）的关系，即可得到答案； （3）利用单调性的定义证明即可．任取0＜x1＜x2，只要证明f （x1）＞f （x2），即可． 解答： 解：（1）因为，所以，所以m=1．（2）因为f （x ）的定义域为{x|x≠0}，又，所以f （x ）是奇函数． （3）任取x1＞x2＞0，则，因为x1＞x2＞0，所以，所以f （x1）＞f （x2），所以f（x）在（0，+∞）上为单调增函数．点评：本题主要考查了函数单调性的判断、函数奇偶性的判断，与证明及指数方程的解法．在判定函数奇偶性时，一定注意函数的定义域关于原点对称，属于基础题．例2：已知函数，（1）讨论函数的奇偶性；（2）证明：f（x）＞0．考点：指数函数的定义、解析式、定义域和值域；函数奇偶性的判断；函数奇偶性的性质．专题：计算题．分析：（1）由2x﹣1≠0解得义域为{x|x≠0}，关于原点对称．f（﹣x）=（）（﹣x）=（）x=f（x），故该函数为偶函数．（2）任取x∈{x|x≠0}，当x＞0时，2x＞20=1且x＞0，故，从而．当x＜0时，﹣x＞0，故f（﹣x）＞0，由函数为偶函数，能证明f（x）＞0在定义域上恒成立．解答：解：（1）该函数为偶函数．由2x﹣1≠0解得x≠0即义域为{x|x≠0}关于原点对称…（2分）f（﹣x）=（）（﹣x）=﹣（+）x=（）x=（）x=（）x=f（x）（6分）故该函数为偶函数．…（7分）（2）证明：任取x∈{x|x≠0}当x＞0时，2x＞20=1且x＞0，∴2x﹣1＞0，故从而…（11分）当x＜0时，﹣x＞0，∴f（﹣x）＞0，…（12分）又因为函数为偶函数，∴f（x）=f（﹣x）＞0，…（13分）∴f（x）＞0在定义域上恒成立．…（14分）点评：本题考查函数的奇偶性的判断和证明f（x）＞0．解题时要认真审题，注意指数函数性质的灵活运用．例3：已知函数y=ax（a＞0且a≠1）在[1，2]上的最大值与最小值之和为20，记．（1）求a的值；（2）求f（x）+f（1﹣x）的值；（3）求的值．考点：指数函数的定义、解析式、定义域和值域．专题：综合题；函数的性质及应用．分析：（1）由y=ax单调得a+a2=20，由此可求a；（2）写出f（x），代入运算可得；（3）借助（2）问结论分n为奇数、偶数讨论可求；解答：解：（1）∵函数y=ax（a＞0且a≠1）在[1，2]上的最大值与最小值之和为20，且y=ax单调，∴a+a2=20，得a=4，或a=﹣5（舍去）；（2）由（1）知，∴====1；（3）由（2）知f（x）+f（1﹣x）=1，得n为奇数时，=×1=；n为偶数时，=+f（）==；综上，=．点评：本题考查指数函数的单调性、最值等知识，属中档题．题型2：指数函数的图像变换．例1：已知函数y=|2x﹣2|（1）作出其图象；（2）由图象指出函数的单调区间；（3）由图象指出当x取何值时，函数有最值，并求出最值．考点：指数函数的图像变换．专题：综合题；函数的性质及应用．分析：（1）函数y=|2x﹣2|图象是由y=2x的图象向下平移2个单位，再将x轴下方的部分翻着到x轴上方得到．（2）结合函数的图象，可得函数的减区间和增区间．（3）数形结合可得，当x=1时，ymiin=0．解答：解：（1）函数y=|2x﹣2|图象是由y=2x的图象向下平移2个单位，再将x轴下方的部分翻着到x轴上方得到，如图所示：（2）结合函数的图象，可得函数的减区间为（﹣∞，1]，增区间为（1，+∞）．（3）数形结合可得，当x=1时，ymiin=0．点评：本题主要考查指数函数的图象和性质综合，体现了数形结合的数学思想，属于中档题．题型3：指数函数单调性例1：已知函数f（x）=a•2x+b•3x，其中常数a，b满足a•b≠0（1）若a•b＞0，判断函数f（x）的单调性；（2）若a=﹣3b，求f（x+1）＞f（x）时的x的取值范围．考点：指数函数的单调性与特殊点；函数单调性的判断与证明；函数单调性的性质．专题：函数的性质及应用．分析：（1）分a＞0，b＞0和a＜0，b＜0两种情况讨论，运用单调性的定义可作出判断；（2）当a=﹣3b时，f（x）=﹣3b•2x+b•3x=b（3x﹣3•2x），分b＞0，b＜0两种情况进行讨论，整理可得指数不等式解出即可；解答：解：（1）当a＞0，b＞0时，任意x1，x2∈R，且x1＜x2，则f（x1）﹣f（x2）=a（﹣）+b（﹣），∵＜，＜，a＞0，b＞0，∴a（﹣）＜0，b（﹣）＜0，∴f（x1）﹣f（x2）＜0，即f（x1）＜f（x2），故函数f（x）在R上是增函数；当a＜0，b＜0时，同理，可判断函数f（x）在R上是减函数；（2）当a=﹣3b时，f（x）=﹣3b•2x+b•3x=b（3x﹣3•2x），则f（x+1）＞f（x）即化为b（3x+1﹣3•2x+1）＞b（3x﹣3•2x），若b＞0，则有3x+1﹣3•2x+1＞3x﹣3•2x，整理得，解得x＞1；若b＜0，则有3x+1﹣3•2x+1＜3x﹣3•2x，整理得，解得x＜1；故b＞0时，x的范围是x＞1；当b＜0时，x的范围是x＜1．点评：本题考查函数单调性的判断、指数函数的单调性的应用，考查分类讨论思想，属基础题．例2：已知定义在（﹣1，1）上的奇函数f（x）．在x∈（﹣1，0）时，f（x）=2x+2﹣x．（1）试求f（x）的表达式；（2）用定义证明f（x）在（﹣1，0）上是减函数；（3）若对于x∈（0，1）上的每一个值，不等式t•2x•f（x）＜4x﹣1恒成立，求实数t的取值范围．考点：指数函数综合题；奇偶性与单调性的综合．专题：计算题；函数的性质及应用．分析：（1）由f（x）是定义在（﹣1，1）上的奇函数可得f（0）=0，x∈（0，1）时，f（x）=﹣f（﹣x）=﹣（2x+2﹣x）；从而写出f（x）的表达式；（2）取值，作差，化简，判号，下结论五步；（3）对于x∈（0，1）上的每一个值，不等式t•2x•f（x）＜4x﹣1恒成立转化为对于x∈（0，1）上的每一个值，不等式t＞﹣恒成立，从而可得．解答：解：（1）∵f（x）是定义在（﹣1，1）上的奇函数，∴f（0）=0，设∈（0，1），则﹣x∈（﹣1，0），则f（x）=﹣f（﹣x）=﹣（2x+2﹣x），故f（x）=；（2）任取x1，x2∈（﹣1，0），且x1＜x2，则f（x1）﹣f（x2）=+﹣（+）=，∵x1＜x2＜0，∴﹣＜0，0＜＜1，故f（x1）﹣f（x2）＞0，故f（x）在（﹣1，0）上是减函数；（3）由题意，t•2x•f（x）＜4x﹣1可化为t•2x•（﹣（2x+2﹣x））＜4x﹣1，化简可得，t＞﹣，令g（x）=﹣=﹣1+，∵x∈（0，1），∴g（x）＜﹣1+=0，故对于x∈（0，1）上的每一个值，不等式t•2x•f（x）＜4x﹣1恒成立可化为t≥0．点评：本题考查了函数的性质的综合应用及恒成立问题的处理方法，属于难题．例3：已知函数f（x）=|2x﹣1﹣1|，（x∈R）．（1）证明：函数f（x）在区间（1，+∞）上为增函数，并指出函数f（x）在区间（﹣∞，1）上的单调性；（2）若函数f（x）的图象与直线y=t有两个不同的交点A（m，t），B（n，t），其中m＜n，求m+n 的取值范围．考点：指数函数综合题．专题：计算题；证明题．分析：（1）函数单调性的证明，通常依据定义，步骤为：取值，作差，变形，定号，下结论，由于与指数函数有关，求解时要利用到指数函数的单调性；（2）由（1）可知，函数的值域为（0，1），要使函数f（x）的图象与直线y=t有两个不同的交点，故有t∈（0，1）又函数f（x）的图象与直线y=t有两个不同的交点，所以A（m，t），B（n，t）分别位于直线x=1的两侧，由m＜n，得m＜1＜n，故可以求出m+n，进而由t∈（0，1），可求m+n的取值范围．解答：解：（1）证明：任取x1∈（1，+∞），x2∈（1，+∞），且x1＜x2，=，∵x1＜x2，∴，∴，∴f（x1）＜f（x2）．所以f（x）在区间（1，+∞）上为增函数．（5分）函数f（x）在区间（﹣∞，1）上为减函数．（6分）（2）因为函数f（x）在区间（1，+∞）上为增函数，相应的函数值为（0，+∞），在区间（﹣∞，1）上为减函数，相应的函数值为（0，1），由题意函数f（x）的图象与直线y=t有两个不同的交点，故有t∈（0，1），（8分）易知A（m，t），B（n，t）分别位于直线x=1的两侧，由m＜n，得m＜1＜n，故2m﹣1﹣1＜0，2n ﹣1﹣1＞0，又A，B两点的坐标满足方程t=|2x﹣1﹣1|，故得t=1﹣2m﹣1，t=2n﹣1﹣1，即m=log2（2﹣2t），n=log2（2+2t），（12分）故m+n=log2（2﹣2t）+log2（2+2t）=log2（4﹣4t2），当0＜t＜1时，0＜4﹣4t2＜4，﹣∞＜log2（4﹣4t2）＜2．因此，m+n的取值范围为（﹣∞，2）．（17分）点评：本题的考点是指数函数综合问题，主要考查函数单调性的证明，考查函数图形的性质，有较强的综合性．依据定义，证明函数的单调性的步骤通常为：取值，作差，变形，定号，下结论三、课堂达标检测检测题1：已知函数f（x）=（其中e=2.71828…是一个无理数）．（1）求函数f（x）的定义域；（2）判断奇偶性并证明之；（3）判断单调性并证明之．考点：指数函数的定义、解析式、定义域和值域；函数单调性的判断与证明；函数奇偶性的判断．专题：计算题；证明题．分析：（1）把分子整理变化成和分母相同的一部分，进行分子常数化，则变量只在分母上出现，根据分母是一个指数形式，恒大于零，得到函数的定义域是全体实数．（2）根据上一问值函数的定义域关于原点对称，从f（﹣x）入手整理，把负指数变化为正指数，就得到结果，判断函数是一个奇函数．（3）根据判断函数单调性的定义，设出两个任意的自变量，把两个自变量的函数值做差，化成分子和分母都是因式乘积的形式，根据指数函数的性质，判断差和零的关系．解答：解：f（x）==1﹣（1）∵e2x+1恒大于零，∴x∈R（2）函数是奇函数∵f（﹣x）==又由上一问知函数的定义域关于原点对称，∴f（x）为奇函数（3）是一个单调递增函数设x1，x2∈R 且x1＜x2则f（x1）﹣f（x2）=1﹣=∵x1＜x2，∴∴f（x1）﹣f（x2）＜0即f（x1）＜f（x2）∴f（x）在R是单调增函数点评：本题考查函数的定义域，考查函数的奇偶性的判断及证明．考查函数单调性的判断及证明，考查解决问题的能力，是一个综合题目．检测题2：已知函数f（x）=2ax+2（a为常数）（1）求函数f（x）的定义域．（2）若a=1，x∈（1，2]，求函数f（x）的值域．（3）若f（x）为减函数，求实数a的取值范围．考点：指数函数的定义、解析式、定义域和值域；指数函数的单调性与特殊点．专题：常规题型；转化思想．分析：（1）利用指数函数的定义域来考虑．（2）利用函数f（x）在（1，2]上的单调性求函数的值域．（3）根据复合函数的单调性，函数u=ax+2必须为减函数．解答：解：（1）函数y=2ax+2对任意实数都有意义，所以定义域为实数集R．（2）因为a=1，所以f（x）=2x+2．易知此时f（x）为增函数．又因为1＜x≤2，所以f（1）＜f（x）≤f（2），即8＜f（x）≤16．所以函数f（x）的值域为（8，16]．（3）因为f（x）为减函数，而y=2u是增函数，所以函数u=ax+2必须为减函数．所以得a＜0点评：本题考查指数函数的定义域、值域、单调性，复合函数的单调性，体现转化的数学思想．检测题3：设f（x）的定义域是（﹣∞，0）∪（0，+∞），且f（x）对任意不为零的实数x都满足f（﹣x）=﹣f（x）．已知当x＞0时（1）求当x＜0时，f（x）的解析式（2）解不等式．考点：指数函数的定义、解析式、定义域和值域；函数奇偶性的性质．专题：常规题型．分析：（1）求当x＜0时，f（x）的解析式，在哪个区间上求解析式，就在哪个区间上取值x，再转化到已知区间上求解析式，由f（﹣x）=﹣f（x）解出f（x）即可．（2）解不等式f（x）＜﹣，分x＞0和x＜0两种情况，根据求得的解析式求解即可．解答：解：（1）当x＜0时，﹣x＞0，=又f（﹣x）=﹣f（x）所以，当x＜0时，（2）x＞0时，，∴化简得∴，解得1＜2x＜4∴0＜x＜2当x＜0时，∴解得2x＞1（舍去）或∴x＜﹣2解集为{x|x＜﹣2或0＜x＜2}点评：本题考查分段函数解析式的求法，注意在哪个区间上求解析式，就在哪个区间上取值，再转化到已知的区间上求解析式，再根据奇偶性，解出f（x）来．解不等式也要分段求解，注意x的取值范围．11。
指数函数讲义
指数函数第一部分：知识要点知识点一 指数函数的概念（重点） 1.指数函数的定义一般形如)1≠,0>(=a a a y x且叫做指数函数，其中x 是自变量，定义域是实数集R 。
2.对函数定义的解释（1）定义域必须是实数集R （2）自变量是x ，x 位于指数位置上，且指数位置上只有x 这一项（3）指数式只有一项，并且指数式的系数为1，例如)1≠,0>(•3=a a a y x不是指数函数（4）底数a 的范围必须是1≠0>a a 且。
例 下列函数中，哪些是指数函数？)1≠21>()1-2(=)8(;=)7(;4=)6(;=)5();-4(=)4(;-4=)3(;=)2(;4=)1(2x x 4a a a y x y y πy y y x y y x x x x x 且知识点二 指数函数xy 2=和xy )21(=的图像和性质 两个指数函数的图像和性质如下表：其他性质：（1）当0>x 时，有1>2x ；当0<x 时，有1<2<0x（2）当0>x 时，有1<)21(<0x；当0<x ，有1>)21(x（3）指数函数xy 2=和xy )21(=的图像关于y 轴对称。
知识点三 指数函数()1≠,0>=a a a y x且的图像和性质（重点）知识补充：（1）画指数函数xa y =的图像，应抓住3个关键点：)1,1-(),1,0(),,1(aa 。
（2）指数函数反应了实数与正实数之间的一种一一对应关系。
（3）一般情况下，当函数)∈,1≠,0>(=R x a a a y x与函数Xay )1(=的自变量的取值互为相反数时，其函数值是相等的，这两个函数的图像是关于y 轴对称的。
知识点四 底数对指数函数图像的影响（难点） 1.对函数值变化快慢的影响（1）当1>a 时，指数函数xa y =是R 上的增函数，且当0>x 时，底数a 的值越大，函数图像越“陡”，说明其函数值增长得越快；（2）当1<<0a 时，指数函数xa y =是R 上的减函数，且当0<x 时，底数a 的值越小，函数图像越“陡”，说明其函数值减小的越快。
《指数函数》PPT课件
商的乘方
商的乘方等于乘方的商。 如：$(a/b)^n = a^n div b^n$。
指数函数的极限与连续
极限性质
当底数大于1时，指数函数随着指 数的增大而趋于无穷大；当底数 在0到1之间时，指数函数随着指 数的增大而趋于0。
连续性
指数函数在其定义域内是连续的， 即对于任意两个相邻的点，函数值 之间的差可以无限小。
。
工程学
在工程学中，指数函数可用于 描述材料疲劳、信号处理等问
题。
计算机科学
在计算机科学中，指数函数可 用于算法分析、图像处理等领
域。
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02 指数函数的运算 性质
指数函数的四则运算
加法运算
同底数指数相加，指数 不变，底数相乘。如：
$a^m + a^m = 2a^m$。
减法运算
同底数指数相减，指数 不变，底数相除。如： $a^m - a^m = 0$。
乘法运算
同底数指数相乘，指数 相加，底数不变。如：
$a^m times a^n = a^{m+n}$。
级数展开的定义
将指数函数表示为无穷级数的形式，便于分析和 计算。
泰勒级数展开
通过泰勒公式将指数函数展开为幂级数，适用于 函数在某点的局部逼近。
麦克劳林级数展开
特殊形式的泰勒级数，用于在原点处展开指数函 数。
指数函数的傅里叶变换
傅里叶变换的概念
01
将时间域的函数转换为频域的函数，便于分析信号的频率特性
指数函数在生物学中的应用
细菌增长模型
指数函数可以描述细菌在适宜环 境下的增长情况，用于预测细菌
数量。
药物代谢动力学
指数函数可以模拟药物在体内的 代谢过程，用于计算药物浓度随
指数函数课件
03
指数函数的应用举例
指数函数在经济学中的应用
01
02
03
复利计算
指数函数可以描述资金在 固定利率下的复利增长情 况，用于计算投资回报和 贷款利息。
经济增长模型
指数函数可以模拟经济增 长的趋势，如GDP、人口 增长等。
指数函数和对数函数是互逆的，即如果$y = a^x$，那么$x = log_a y$。这种关系在解决某些问题时非常有用，可以将指数方程转化为 对数方程进行求解。
指数函数与对数函数的图像关系
指数函数的图像与对数函数的图像关于直线$y = x$对称。这意味着， 如果我们知道一个函数的图像，就可以通过关于直线$y = x$作对称 图形来得到另一个函数的图像。
解法
通过常数变易法或积分因子法求解一阶线性微分方程。对 于一阶非齐次线性微分方程，可以先求出对应的齐次方程 的通解，再利用常数变易法求出特解。
应用 在物理学、工程学等领域中，许多问题都可以转化为一阶 线性微分方程进行求解，如电路分析、热力学等。
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除法运算
同底数的指数函数相除时，指 数相减，即a^m / a^n = a^(m-n)，同时需注意除数不能 为0。
指数函数的复合运算
80%
复合函数的定义
指数函数与其他函数复合而成的函 数，如f(g(x))，其中f(x)和g(x)均 为指数函数。
100%
复合函数的运算规则
根据复合函数的定义，遵循“由内 到外”的运算顺序，先计算内层函 数值，再将其代入外层函数中计算。
03
定点
指数函数的图像都经过点 $(0,1)$。
5指数函数 - 中等 - 讲义
指数函数知识讲解一、指数运算1.n 次方根的定义：一般地，如果n x a =（*1n N n ?，），x 就叫a 的n 次方根1）当n 为奇数时，正数的n 次方根是正数，负数的n 次方根是负数． 2）当n 为偶数时，正数的n 次方根有两个且互为相反数，负数没有n 次方根．2.指数运算1）01a =(0a ¹)；1n n a a-=(0a ¹,n N +Î)． 2）(,)m n m n a a a m n R +⋅=∈，()(,)m n mn a a m n R =∈，()()n n n ab a b n R =⋅∈． 3）当n 是奇数时，n n a a =； 4）当n 时偶数时，00n na a a a a ⎧=⎨-<⎩，≥，．5）*(01)mn m na a a m n N n =>∈>，，，； *(01)m nnmaa m n N n a-=>∈>，，，．二、指数函数1.定义：一般地，函数x y a =(0a >且1a ≠，R)x ∈叫做指数函数．2.指数函数的图象和性质对比指数的取值01a <<1a >图象o yxoxy3.根据图像比较指数函数底数的大小曲线1234C C C C ，，，分别是指函数x x x x y a y b y c y d ====，，，的图像． 1）由图像得1b a d c <<<<．2）当底数大于1时，底数越大图像越靠近y 轴，当底数小于1时，底数越小于靠近y 轴．3）指数函数x y a =与1()x y a =（0a >且1a ≠）的图像关于y 轴对称．4）函数值的大小比较①底数相同指数不同：当底数大于1时，指数越大函数值越大．当底数小于1时指数越大函数值越小．②指数相同底数不同：可采用函数图像法，底数大于1时，指数相同底数越大函数值越大，底数小于1时，指数相同底数越小函数值越大．③底数不同指数不同:找中间值（一般为1），用原来的两个值与中间值比较．经典例题一．选择题（共11小题）1．（2016秋•沙河市校级期末）若指数函数的图象过点（﹣1，2），则此指数函数是（）A．y=(12)x B．y=2xC．y=3x D．y=10x【解答】解：设指数函数的解析式为y=a x，函数过点（﹣1，2），则a﹣1=2，解得：a=12，即函数的解析式为y=(12)x．故选：A．2．（2017秋•城关区校级期中）已知a=0.32；b=0.31.5；c=20.3，则（）A．b＞c＞a B．b＞a＞cC．c＞b＞a D．a＞b＞c【解答】解：∵y=0.3x为减函数，2＞1.5＞0，故a=0.32＜b=0.31.5＜0.30=1，∵y=2x为增函数，0.3＞0，故c=20.3＞20=1，故c＞b＞a，故选：C．3．（2017秋•城关区校级期中）下列函数是指数函数的是（）A．y=πx B．y=x2C．y=﹣2x D．y=21 x【解答】解：函数y=πx是指数函数；函数y=x2不是指数函数；函数y=﹣2x不是指数函数；函数y=21x不是指数函数；故选：A．4．（2014•武鸣县校级模拟）函数y=2x﹣1的值域是（）A．（0，+∞）B．（﹣1，+∞）C．（1，+∞）D．（12，+∞）【解答】解：∵x﹣1∈R，∴函数y=2x﹣1的值域是（0，+∞）．故选：A．5．（2015秋•水富县校级期中）函数y=（a2﹣5a+5）a x是指数函数，则a的值为（）A．1B．﹣1C．4D．1和4【解答】解：函数y=（a2﹣5a+5）a x是指数函数，∴{a 2−5a +5=1a ＞0a ≠1，解得a=4， 即a 的值为4． 故选：C ．6．（2014•长宁区一模）函数y=2|x |的定义域为[a ，b ]，值域为[1，16]，当a 变动时，函数b=g （a ）的图象可以是（ ）A ．B ．C ．D ．【解答】解：根据选项可知a ≤0a 变动时，函数y=2|x |的定义域为[a ，b ]，值域为[1，16]， ∴2|b |=16，b=4 故选：B ．7．（2014秋•忻州校级期中）函数y=a x 在[0，1]上的最大值与最小值之和为3，则函数y=3a x ﹣1在[0，1]上的最大值与最小值的差是（ ） A ．6 B ．1C ．3D ．32【解答】解：∵函数y=a x 在[0，1]上的最大值与最小值之和为3， ∴a 0+a 1=1+a=3， 解得a=2．∴函数y=3a x ﹣1=3•2x ﹣1在[0，1]上的最大值是3•20=3，最小值是3•2﹣1=32；∴最大值与最小值的差是3﹣32=32．故选：D ．8．（2012秋•龙井市校级期中）下列以x 为自变量的函数中，是指数函数的是（ ） A ．y=（﹣4）x B ．y=πxC ．y=﹣4xD ．y=a x +2（a ＞0且a ≠1）【解答】解：根据指数函数的定义：形如y=a x （a ＞0，且a ≠1）的函数叫做指数函数，结合选项从而可判断选项B 正确故选：B ．9．（2010秋•台州期末）设函数f （x ）=12−11+2x，[x ]表示不超过x 的最大整数，则函数y=[f （x ）]﹣[f （﹣x ）]的值域为（ ） A ．{0} B ．{﹣1，0}C ．{﹣1，1，0}D ．{﹣2，0}【解答】解：由于f （x ）=12−11+2则当x ＞0 0≤f （x ）＜12，[f （x ）]=0，﹣[f （﹣x ）]=1当x ＜0﹣12＜f （x ）＜0，[f （x ）]=﹣1，﹣[f （﹣x ）]=0当x=0 f （x ）=0，[f （x ）]=0，﹣[f （﹣x ）]=0 所以：当x=0 y=[f （x ）]+[f （﹣x ）]=0 当x ＞0 y=[f （x ）]﹣[f （﹣x ）]=0+1=1 当x ＜0 y=[f （x ）]﹣[f （﹣x ）]=﹣1+0=﹣1 所以，y 的值域：{0，1，﹣1} 故选：C ．10．（2018•湖北模拟）已知a =32e 12，b =43e 23，c =38e 138，则（ ）A ．a ＞b ＞cB ．c ＞b ＞aC ．b ＞c ＞aD ．b ＞a ＞c【解答】解：c a =14e 138−12=14e 98， 由ln c a =98﹣ln4＜0，即有ca ＜1，即c ＜a ；a b =98e −16，由ln ab =ln98﹣16＜0，即a＜b，则c＜a＜b，即b＞a＞c．故选：D．11．（2017•中卫二模）若函数f（x）=a x﹣k﹣1（a＞0，a≠1）过定点（2，0），且f（x）在定义域R上是减函数，则g（x）=log a（x+k）的图象是（）A．B．C．D．【解答】解：由题意可知f（2）=0，解得k=2，所以f（x）=a x﹣2﹣1，又因为是减函数，所以0＜a＜1．此时g（x）=log a（x+2）也是单调减的，且过点（﹣1，0）．故选A符合题意．故选：A．二．填空题（共3小题）12．（2017春•通州区期末）若指数函数f（x）=（a﹣1）x是R上的单调减函数，则实数a的取值范围是（1，2）．【解答】解：指数函数f（x）=（a﹣1）x是R上的单调减函数，∴0＜a﹣1＜1，解得1＜a ＜2；∴实数a 的取值范围是（1，2）． 故答案为：（1，2）．13．（2017秋•定边县校级期中）若函数f （x ）=（a 2﹣2a +2）（a +1）x 是指数函数，则a= 1 ．【解答】解：∵函数f （x ）=（a 2﹣2a +2）（a +1）x 是指数函数，∴{a 2−2a +2=1a +1＞0a +1≠1解得a=1． 故答案为：1．14．（2017秋•密云县月考）已知函数y=（a ﹣1）2x 是指数函数，则a= 2 ． 【解答】解：函数y=（a ﹣1）2x 是指数函数， 则a ﹣1=1，解得a=2． 故答案为：2．三．解答题（共3小题）15．（2015秋•兰考县校级期末）已知函数f （x ）=a x ﹣1（x ≥0）的图象经过点(2，12)，其中a ＞0且a ≠1． （1）求a 的值；（2）求函数y=f （x ）（x ≥0）的值域．【解答】解：（1）由题意得f(2)=a 2−1=a =12 所以a =12（2）由（1）得f(x)=(12)x−1(x ≥0)因为函数f(x)=(12)x−1在[0，+∞）上是减函数所以当x=0时f （x ）由最大值 所以f （x ）max =2 所以f （x ）∈（0，2]所以函数y=f （x ）（x ≥0）的值域为（0，2]．16．（2017春•黄陵县校级月考）已知函数f （x ）=a x （x ≥0）的图象经过点（2，14），其中a ＞0且a ≠1． （1）求a 的值；（2）求函数y=f （x ）（x ≥0）的值域． 【解答】解：（1）∵函数f （x ）=a x （x ≥0）的图象经过点（2，14）， ∴14=a 2， ∴a=12；（2）由（1）知f （x ）=（12）x，∵x ≥0，∴0＜（12）x ≤（12）0=1，即0＜f （x ）≤1．∴函数y=f （x ）（x ≥0）的值域为（0，1]．17．（2016春•济南期末）已知指数函数f （x ）=a x （a ＞0，且a ≠1）过点（﹣2，9）（1）求函数f（x）的解析式（2）若f（2m﹣1）﹣f（m+3）＜0，求实数m的取值范围．【解答】解：（1）将点（﹣2，9）代入到f（x）=a x得a﹣2=9，解得a=13，∴f（x）=(1 3)x（2）∵f（2m﹣1）﹣f（m+3）＜0，∴f（2m﹣1）＜f（m+3），∵f（x）=(13)x为减函数，∴2m﹣1＞m+3，解得m＞4，∴实数m的取值范围为（4，+∞）。
指数函数及其性质PPT课件
05 指数函数与其他函数的比 较
与线性函数的比较
线性函数
y=kx+b，表示的是一种 匀速变化，增加或减少的 趋势。
指数函数
y=a^x，表示的是一种爆 炸式增长或衰减的趋势。
比较
线性函数的变化速率是恒 定的，而指数函数的变化 速率会随着x的增大或减小 而快速增大或减小。
与幂函数的比较
01
幂函数
y=x^n，当n>0时，表示的是一种增长趋势；当n<0时，表示的是一种
包括单调性、奇偶性、周期性等。
指数函数的应用
在数学、物理、工程等领域都有广泛的应用。
练习与思考
练习题
根据指数函数的性质，判断下列哪些是指数函数，哪些不是，并说明理由。
思考题
指数函数在生活和生产中有哪些应用？请举例说明。
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指数函数的运算性质
01
基本运算性质
02
$a^m times a^n = a^{m+n}$
03
$(a^m)^n = a^{mn}$
04
$frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}$
05
复合运算性质：如果 $u(x) = b^x$ 且 $b > 0$ 且 $b neq 1$，则 $y = a^{u(x)}$ 也是指数函数。
04
05
指数函数的值域为 $(0, +infty)$。
指数函数的图像
当 $a > 1$ 时，图像位于第一象限和第四象限 ；
绘制方法：选择一个 $a$ 值，例如 $y = 2^x$ 或 $y = frac{1}{2}^x$，然后使用计算器或数学软件绘制图
知识讲解_指数函数及其性质_基础
指数函数及其性质要点一、指数函数的概念：函数y=a x(a>0且a ≠1)叫做指数函数，其中x 是自变量，a 为常数，函数定义域为R. 要点诠释：（1）形式上的严格性：只有形如y=a x(a>0且a ≠1)的函数才是指数函数．像23xy =⋅，12xy =，31x y =+等函数都不是指数函数．（2）为什么规定底数a 大于零且不等于1：①如果0a =，则000x x ⎧>⎪⎨≤⎪⎩x x时，a 恒等于，时,a 无意义.②如果0a <，则对于一些函数，比如(4)xy =-，当11,,24x x ==⋅⋅⋅时，在实数范围内函数值不存在．③如果1a =，则11xy ==是个常量，就没研究的必要了．要点诠释：（1）当底数大小不定时，必须分“1a >”和“01a <<”两种情形讨论。
（2）当01a <<时，,0x y →+∞→；当1a >时,0x y →-∞→。
当1a >时，a 的值越大，图象越靠近y 轴，递增速度越快。
当01a <<时，a 的值越小，图象越靠近y 轴，递减的速度越快。
（3）指数函数xy a =与1xy a ⎛⎫= ⎪⎝⎭的图象关于y 轴对称。
要点三、指数函数底数变化与图像分布规律 （1）① xy a = ②xy b = ③x y c = ④x y d =则：0＜b ＜a ＜1＜d ＜c又即：x ∈(0,+∞)时，x x x x b a d c <<< （底大幂大） x ∈(－∞,0)时，x x x x b a d c >>> （2）特殊函数112,3,(),()23x x x x y y y y ====的图像：要点四、指数式大小比较方法(1)单调性法：化为同底数指数式，利用指数函数的单调性进行比较. (2)中间量法 (3)分类讨论法 (4)比较法比较法有作差比较与作商比较两种，其原理分别为：①若0A B A B ->⇔>；0A B A B -<⇔<；0A B A B -=⇔=； ②当两个式子均为正值的情况下，可用作商法，判断1A B >，或1AB<即可． 【典型例题】类型一、指数函数的概念例1．函数2(33)xy a a a =-+是指数函数，求a 的值． 【答案】2【解析】由2(33)xy a a a =-+是指数函数，可得2331,0,1,a a a a ⎧-+=⎨>≠⎩且解得12,01,a a a a ==⎧⎨>≠⎩或且，所以2a =．【总结升华】判断一个函数是否为指数函数：（1）切入点：利用指数函数的定义来判断；（2）关键点：一个函数是指数函数要求系数为1，底数是大于0且不等于1的常数，指数必须是自变量x ．举一反三：【变式1】指出下列函数哪些是指数函数？（1）4xy =；（2）4y x =；（3）4xy =-；（4）(4)xy =-；（5）1(21)(1)2xy a a a =->≠且；（6）4x y -=．【答案】（1）（5）（6）【解析】（1）（5）（6）为指数函数．其中（6）4x y -==14x⎛⎫ ⎪⎝⎭，符合指数函数的定义，而（2）中底数x 不是常数，而4不是变数；（3）是-1与指数函数4x 的乘积；（4）中底数40-<，所以不是指数函数．类型二、函数的定义域、值域例2．求下列函数的定义域、值域.(1)313x xy =+；(2)y=4x -2x+1；(4)y =为大于1的常数)【答案】（1）R ，(0，1)；（2）R [+∞,43)；（3）1,2⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭[)0,+∞；（4）(-∞，-1)∪[1，+∞) [1，a)∪(a ，+∞)【解析】(1)函数的定义域为R (∵对一切x ∈R ，3x≠-1).∵ (13)1111313x x xy +-==-++，又∵ 3x >0， 1+3x>1， ∴ 10113x <<+， ∴ 11013x-<-<+，∴ 101113x<-<+， ∴值域为(0，1). (2)定义域为R ，43)212(12)2(22+-=+-=x x x y ，∵ 2x >0， ∴ 212=x即 x=-1时，y 取最小值43，同时y 可以取一切大于43的实数，∴ 值域为[+∞,43). (3)要使函数有意义可得到不等式211309x --≥，即21233x --≥，又函数3x y =是增函数，所以212x -≥-，即12x ≥-，即1,2⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭，值域是[)0,+∞.(4)∵011112≥+-=-+x x x x ∴ 定义域为(-∞，-1)∪[1，+∞)， 又∵111011≠+-≥+-x x x x 且，∴ a ay a y x xx x≠=≥=-+-+1121121且， ∴值域为[1，a)∪(a ，+∞).【总结升华】求值域时有时要用到函数单调性；第(3)小题中值域切记不要漏掉y>0的条件，第(4)小题中112111≠+-=+-x x x 不能遗漏. 举一反三：【变式1】求下列函数的定义域：(1)2-12x y =(2)y =(3)y =0,1)y a a =>≠【答案】（1）R ；（2）(]-3∞，；（3）[)0,+∞；（4）a>1时，(]-0∞，；0<a<1时，[)0+∞，【解析】(1)R(2)要使原式有意义，需满足3-x ≥0，即3x ≤，即(]-3∞，．(3) 为使得原函数有意义，需满足2x-1≥0，即2x≥1，故x ≥0，即[)0,+∞(4) 为使得原函数有意义，需满足10xa -≥，即1xa ≤，所以a>1时，(]-0∞，；0<a<1时，[)0+∞，.【总结升华】本题中解不等式的依据主要是指数函数的单调性，根据所给的同底指数幂的大小关系，结合单调性来判断指数的大小关系.类型三、指数函数的单调性及其应用例3．讨论函数221()3x xf x -⎛⎫= ⎪⎝⎭的单调性，并求其值域．【思路点拨】对于x ∈R ，22103x x-⎛⎫> ⎪⎝⎭恒成立，因此可以通过作商讨论函数()f x 的单调区间．此函数是由指数函数及二次函数复合而成的函数，因此可以逐层讨论它的单调性，综合得到结果．【答案】函数()f x 在区间（－∞，1）上是增函数，在区间[1，+∞）上是减函数 （0，3] 【解析】解法一：∵函数()f x 的定义域为（－∞，+∞），设x 1、x 2∈（－∞，+∞）且有x 1＜x 2，∴222221()3x x f x -⎛⎫= ⎪⎝⎭，211211()3x x f x -⎛⎫= ⎪⎝⎭，222222121212121122()()(2)2211()113()3313x x x x x x x x x x x x f x f x -----+--⎛⎫ ⎪⎛⎫⎛⎫⎝⎭=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎛⎫ ⎪⎝⎭． （1）当x 1＜x 2＜1时，x 1+x 2＜2，即有x 1+x 2－2＜0．又∵x 2－x 1＞0，∴(x 2―x 1)(x 2+x 1―2)＜0，则知2121()(2)113x x x x -+-⎛⎫> ⎪⎝⎭．又对于x ∈R ，()0f x >恒成立，∴21()()f x f x >． ∴函数()f x 在（－∞，1）上单调递增．（2）当1≤x 1＜x 2时，x 1+x 2＞2，即有x 1+x 2－2＞0． 又∵x 2－x 1＞0，∴(x 2―x 1)(x 2+x 1―2)＞0，则知2121()(2)1013x x x x -+-⎛⎫<< ⎪⎝⎭．∴21()()f x f x <．∴函数()f x 在[1，+∞）上单调递减．综上，函数()f x 在区间（－∞，1）上是增函数，在区间[1，+∞）上是减函数．∵x 2―2x=(x ―1)2―1≥－1，1013<<，221110333x x--⎛⎫⎛⎫<≤= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭． ∴函数()f x 的值域为（0，3]．解法二：∵函数()f x 的下义域为R ，令u=x 2－2x ，则1()3uf u ⎛⎫= ⎪⎝⎭．∵u=x 2―2x=(x ―1)2―1，在（―∞，1]上是减函数，1()3uf u ⎛⎫= ⎪⎝⎭在其定义域内是减函数，∴函数()f x 在（－∞，1]内为增函数．又1()3uf u ⎛⎫= ⎪⎝⎭在其定义域内为减函数，而u=x 2―2x=(x ―1)2―1在[1，+∞）上是增函数，∴函数()f x 在[1，+∞）上是减函数．值域的求法同解法一．【总结升华】由本例可知，研究()f x y a =型的复合函数的单调性用复合法，比用定义法要简便些，一般地有：即当a ＞1时，()f x y a=的单调性与()y f x =的单调性相同；当0＜a ＜1时，()f x y a=的单调与()y f x =的单调性相反．举一反三：【变式1】求函数2323xx y -+-=的单调区间及值域.【答案】3(,]2x ∈-∞上单增，在3[,)2x ∈+∞上单减. 14(0,3]【解析】[1]复合函数——分解为：u=-x 2+3x-2， y=3u；[2]利用复合函数单调性判断方法求单调区间； [3]求值域.设u=-x 2+3x-2， y=3u，其中y=3u为R 上的单调增函数，u=-x 2+3x-2在3(,]2x ∈-∞上单增，u=-x 2+3x-2在3[,)2x ∈+∞上单减，则2323xx y -+-=在3(,]2x ∈-∞上单增，在3[,)2x ∈+∞上单减.又u=-x 2+3x-22311()244x =--+≤， 2323x x y -+-=的值域为14(0,3].【变式2】求函数2-2()(01)x x f x a a a =>≠其中，且的单调区间.【解析】当a>1时，外层函数y=a u在()-∞+∞，上为增函数，内函数u=x 2-2x 在区间(1)-∞，上为减函数，在区间[)1+∞，上为增函数，故函数2-2()(-1)xxf x a =∞在区间，上为减函数，在区间[)1+∞，上为增函数；当0<a<1时，外层函数y=a u在()-∞+∞，上为减函数，内函数u=x 2-2x 在区间(1)-∞，上为减函数，在区间[)1+∞，上为增函数，故函数2-2()xxf x a =在区间(1)-∞，上为增函数，在区间[)1,+∞上为减函数.例4．证明函数1()(1)1x xa f x a a -=>+在定义域上为增函数. 【思路点拨】利用函数的单调性定义去证明。
指数函数讲义
指数函数一 、根式的概念①如果,,,1nx a a R x R n =∈∈>，且n N +∈，那么x 叫做a 的n 次方根．当n 是奇数时，a 的n 次方根用n 是偶数时，正数a 的正的nn次方根用符号0的n 次方根是0；负数a 没有n 次方根．这里n 叫做根指数，a 叫做被开方数．当n 为奇数时，a 为任意实数；当n 为偶数时，0a ≥．③根式的性质：n a =；当na =；当n 为偶数时，(0)|| (0) a a a a a ≥⎧==⎨-<⎩．练习（1）化简(x ＋3)2－3(x －3)3得( ) A ．6B ．2xC ．6或－2xD ．－2x 或6或2[答案] C[解析] 原式＝|x ＋3|－(x －3)＝⎩⎪⎨⎪⎧6 x≥－3－2x x<－3.二、分数指数幂的概念①正数的正分数指数幂的意义是：0,,,m na a m n N +=>∈且1)n >．0的正分数指数幂等于0．②正数的负分数指数幂的意义是：1()0,,,m m nn aa m n N a -+==>∈且1)n >．0的负分数指数幂没有意义．注意口诀：底数取倒数，指数取相反数．（2）化简(a 、b>0)的结果是 C ) A.b aB ．ab C.abD ．a 2b三、分数指数幂的运算性质(1)(0,,)r s r s a a a a r s R +⋅=>∈ (2)()(0,,)r s rs a a a r s R =>∈ (3)()(0,0,)r r r ab a b a b r R =>>∈ (4)x 3 -y 3=(x-y)(x 2+xy+y 2)(5)x 3 -y 3=(x-y)(x 2+xy+y 2)练习（3）计算化简① (12)−1+823+(2019)0=__________________②(278)13−(30.5)2+(0.008)−23×425=_______________（4）已知x 12+x −12=3，求下列各式的值：①x +x −1 ；②x 2+x −2；③x 32−x−32x 12−x −12.【答案】（1）7 （2）52 （3）－6a b（4）①7②47③8【解析】(1)(12)−1+823+(2019)0=2+4+1=7（2）(278)13−(30.5)2+(0.008)−23×425，=(32)3×13−312×2+(15)3×(−23)×425 =32−3+4=52． （3）①因为x 12+x −12=3，所以(x 12+x −12)2=x +2+x −1=9,即x +x −1=7.②因为x +x −1=7所以(x +x −1)2=x 2+2x ⋅x −1+x −2=x 2+2+x −2=49，即x 2+x −2=47. ③x 32−x−32x 12−x −12=(x 12)3−(x−12)3x 12−x −12=(x 12−x−12)(x+1+x −1)x 12−x −12=x +1+x −1=8.（5）(江苏文)已知a ＝5－12，函数f(x)＝a x ，若实数m ，n 满足f(m)>f(n)，则m ，n 的大小关系为_______． [答案] m<n [解析] ∵a ＝5－12，∵0<a<1，∵函数f(x)＝ax 在R 上单调递减，∵f(m)>f(n)，∵m<n. （6）下图的曲线C1、C2、C3、C4是指数函数y ＝a x 的图象，而a∵{22，12，3，π}，则图象C1、C2、C3、C4对应的函数的底数依次是______、________、________、________.[答案]22、12、π、3 [解析] 由底数变化引起指数函数图象的变化规律可知，C2的底数<C1的底数<C4的底数<C3的底数．（7）已知()|21|xf x =-，当a b c <<时，有()()()f a f c f b >>，则下列各式中正确的是 ( ) A.22a c > B.22a b > C.22ac -< D.222a c +<（8）函数f(x)＝a x (a>0且a≠1)，在x∵[1,2]时的最大值比最小值大a 2，则a 的值为________．32或12（9）已知，下列不等式（1）；(2)；(3)；(4)；(5) 中恒成立的有（ ） A 、1个 B 、2个 C 、3个 D 、4个（10）(2020年高考数学课标Ⅱ卷理科)若2233x y x y ---<-，则 (A )A ．ln(1)0y x -+>B ．ln(1)0y x -+<C ．ln ||0x y ->D ．ln ||0x y -<（11）①函数y =√4−2x 的定义域为__(-∞，2]____．②设函数f （x ）=√4−4x ，则函数f （x4）的定义域为 (-∞，4] 。
第二章 §2.7 指数与指数函数-2025高中数学大一轮复习讲义人教A版
§2.7指数与指数函数课标要求1.理解有理数指数幂的含义，了解实数指数幂的意义，掌握指数幂的运算性质.2.通过实例，了解指数函数的实际意义，会画指数函数的图象.3.理解指数函数的单调性、特殊点等性质，并能简单应用．知识梳理1．根式(1)一般地，如果x n ＝a ，那么x 叫做a 的n 次方根，其中n >1，且n ∈N *.(2)式子na 叫做根式，这里n 叫做根指数，a 叫做被开方数．(3)(na )n ＝a .当n 为奇数时，na n ＝a ，当n 为偶数时，n a n ＝|a |a ，a ≥0，－a ，a <0.2．分数指数幂正数的正分数指数幂：m na ＝na m (a >0，m ，n ∈N *，n >1)．正数的负分数指数幂：m n a＝1m na＝1na m(a >0，m ，n ∈N *，n >1)．0的正分数指数幂等于0,0的负分数指数幂没有意义．3．指数幂的运算性质a r a s ＝a r ＋s ；(a r )s ＝a rs ；(ab )r ＝a r b r (a >0，b >0，r ，s ∈R )．4．指数函数及其性质(1)概念：一般地，函数y ＝a x (a >0，且a ≠1)叫做指数函数，其中指数x 是自变量，定义域是R .(2)指数函数的图象与性质a >10<a <1图象定义域R 值域(0，＋∞)性质过定点(0,1)，即x ＝0时，y ＝1当x>0时，y >1；当x <0时，0<y <1当x <0时，y >1；当x >0时，0<y <1增函数减函数常用结论1．指数函数图象的关键点(0,1)，(1，a )12.如图所示是指数函数(1)y ＝a x ，(2)y ＝b x ，(3)y ＝c x ，(4)y ＝d x 的图象，则c >d >1>a >b >0，即在第一象限内，指数函数y ＝a x (a >0，且a ≠1)的图象越高，底数越大．自主诊断1．判断下列结论是否正确．(请在括号中打“√”或“×”)(1)4(－4)4＝－4.(×)(2)2a ·2b ＝2ab .(×)(3)指数函数y ＝a x 与y ＝a －x (a >0，且a ≠1)的图象关于y 轴对称．(√)(4)若a m <a n (a >0，且a ≠1)，则m <n .(×)2．已知函数y ＝a ·2x 和y ＝2x ＋b 都是指数函数，则a ＋b 等于()A ．不确定B ．0C ．1D ．2答案C解析由函数y ＝a ·2x 是指数函数，得a ＝1，由y ＝2x ＋b 是指数函数，得b ＝0，所以a ＋b ＝1.3．已知关于x 的不等式－4≥3－2x ，则该不等式的解集为()A ．[－4，＋∞)B ．(－4，＋∞)C ．(－∞，－4)D ．(－4,1]答案A 解析不等式－4≥3－2x ，即34－x ≥3－2x ，由于y ＝3x 是增函数，所以4－x ≥－2x ，解得x ≥－4，所以原不等式的解集为[－4，＋∞)．4．(2023·福州质检)3(－4)3＋120.254＝________.答案5解析3(－4)3＋120.254＝－4＋1＋0.5×16＝5.题型一指数幂的运算例1计算：－2×2310227-⎛⎫ ⎪⎝⎭－2×(2＋π)02；(2)23×331.5×612.解(1)原式＝128116⎛⎫ ⎪⎝⎭－2×236427-⎛⎫⎪⎝⎭－2＝14232⎡⎤⎛⎫⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦－2×23334⎡⎤⎛⎫⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦－2＋916＝94－2×916－2＋916＝94－98－2＋916＝－516.(2)原式＝11132623233(23)2⎛⎫⨯⨯⨯⨯⨯ ⎪⎝⎭1111133362623-+++=⨯⨯＝6×3＝18.思维升华(1)指数幂的运算首先将根式、分数的分数指数幂统一为整数的分数指数幂，以便利用法则计算，还应注意：①必须同底数幂相乘，指数才能相加．②运算的先后顺序．(2)运算结果不能同时含有根号和分数指数，也不能既有分母又含有负指数．跟踪训练1(多选)下列计算正确的是()A.12(－3)4＝3－3B ．2115113366221()(3)9(0,0)3a a b a b a a b ⎛⎫-÷=->> ⎪⎝⎭C.39＝33D ．已知x 2＋x －2＝2，则x ＋x －1＝2答案BC解析对于A ，12(－3)4＝1234＝143123=3＝33≠3－3，所以A 错误；对于B ，2115211115113366326236221()(3)93a b a b a b a b +-+⎛⎫-÷=-⋅ ⎪⎝⎭＝－9a (a >0，b >0)，所以B 正确；对于C ，391163=9=3＝33，所以C 正确；对于D ，因为(x ＋x －1)2＝x 2＋2＋x －2＝4，所以x ＋x －1＝±2，所以D 错误．题型二指数函数的图象及应用例2(1)(多选)已知实数a ，b 满足等式3a ＝6b ，则下列可能成立的关系式为()A ．a ＝bB ．0<b <aC ．a <b <0D ．0<a <b答案ABC解析由题意，在同一平面直角坐标系内分别画出函数y ＝3x 和y ＝6x 的图象，如图所示，由图象知，当a ＝b ＝0时，3a ＝6b ＝1，故选项A 正确；作出直线y ＝k ，当k >1时，若3a ＝6b ＝k ，则0<b <a ，故选项B 正确；作出直线y ＝m ，当0<m <1时，若3a ＝6b ＝m ，则a <b <0，故选项C 正确；当0<a <b 时，易得2b >1，则3a <3b <2b ·3b ＝6b ，故选项D 错误．(2)若函数f(x)＝|2x－2|－b有两个零点，则实数b的取值范围是________．答案(0,2)解析在同一平面直角坐标系中画出y＝|2x－2|与y＝b的图象，如图所示．∴当0<b<2时，两函数图象有两个交点，从而函数f(x)＝|2x－2|－b有两个零点．∴实数b的取值范围是(0,2)．思维升华对于有关指数型函数的图象问题，一般是从最基本的指数函数的图象入手，通过平移、伸缩、对称变换得到．特别地，当底数a与1的大小关系不确定时应注意分类讨论．跟踪训练2(多选)已知函数f(x)＝a x－b(a>0，且a≠1，b≠0)的图象不经过第三象限，则a，b 的取值范围可能为()A．0<a<1，b<0B．0<a<1,0<b≤1C．a>1，b<0D．a>1,0<b≤1答案ABC解析若0<a<1，则函数y＝a x的图象如图所示，要想f(x)＝a x－b的图象不经过第三象限，则需要向上平移，或向下平移不超过1个单位长度，故－b>0或－1≤－b<0，解得b<0或0<b≤1，故A，B正确；若a>1，则函数y＝a x的图象如图所示，要想f(x)＝a x－b的图象不经过第三象限，则需要向上平移，故－b>0，解得b<0，即C正确，D错误．题型三指数函数的性质及应用命题点1比较指数式的大小例3(2024·海口模拟)已知a＝1.30.6，b0.4，c，则()A．c<b<a B．a<b<cC ．c <a <bD ．b <c <a 答案D解析a ＝1.30.6>1.30＝1，b 0.4，c ，因为指数函数y 是减函数，所以＝1，所以b <c <1，所以b <c <a .命题点2解简单的指数方程或不等式例4已知p ：a x <1(a >1)，q ：2x ＋1－x <2，则p 是q 的()A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件答案B解析∵a x <1，当a >1时，y ＝a x 是增函数，∴p ：{x |x <0}．对于不等式2x ＋1<x ＋2，作出函数y ＝2x ＋1与y ＝x ＋2的图象，如图所示．由图象可知，不等式2x ＋1<x ＋2的解集为{x |－1<x <0}，∴q ：{x |－1<x <0}．又∵{x |－1<x <0}⊆{x |x <0}，∴p 是q 的必要不充分条件．命题点3指数函数性质的综合应用例5已知函数f (x )＝8x ＋a ·2xa ·4x (a 为常数，且a ≠0，a ∈R )是奇函数．(1)求a 的值；(2)若∀x ∈[1,2]，都有f (2x )－mf (x )≥0成立，求实数m 的取值范围．解(1)f (x )＝1a ·2x ＋12x ，因为f (x )是奇函数，所以f (－x )＝－f (x )，即1a ·12x ＋2x xx 0，即1a ＋1＝0，解得a ＝－1.(2)由(1)知a ＝－1，所以f (x )＝12x －2x ，x ∈[1,2]，所以122x －22x ≥所以m ≥12x ＋2x ，x ∈[1,2]，令t ＝2x ，t ∈[2,4]，设y ＝12x ＋2x ，则y ＝t ＋1t ，t ∈[2,4]，由于y ＝t ＋1t 在[2,4]上单调递增，所以m ≥4＋14＝174.所以实数m 的取值范围是174，＋思维升华(1)利用指数函数的性质比较大小或解方程、不等式，最重要的是“同底”原则，比较大小还可以借助中间量．(2)求解与指数函数有关的复合函数问题，要明确复合函数的构成，涉及值域、单调区间、最值等问题时，要借助“同增异减”这一性质分析判断．跟踪训练3(1)(多选)(2023·重庆模拟)已知函数f (x )＝e x －1e x ＋1，则下列结论正确的是()A ．函数f (x )的定义域为RB ．函数f (x )的值域为(－1,1)C ．函数f (x )是奇函数D ．函数f (x )为减函数答案ABC解析因为e x >0，所以e x ＋1>0，所以函数f (x )的定义域为R ，故A 正确；f (x )＝e x －1e x ＋1＝1－2e x ＋1，由e x >0⇒e x ＋1>1⇒0<1e x ＋1<1⇒－2<－2e x ＋1<0⇒－1<1－2e x ＋1<1，所以函数f (x )的值域为(－1,1)，故B 正确；因为f (－x )＝e －x－1e －x ＋1＝1e x －11e x ＋1＝1－e x1＋ex ＝－f (x )，所以函数f (x )是奇函数，故C 正确；因为函数y ＝e x ＋1是增函数，所以y ＝e x ＋1>1，所以函数y ＝2e x ＋1是减函数，所以函数y ＝－2e x ＋1是增函数，故f (x )＝e x －1e x ＋1＝1－2e x ＋1是增函数，故D 不正确．(2)(2023·银川模拟)函数f (x )＝a x (a >0，且a ≠1)在区间[1,2]上的最大值比最小值大a2，则a 的值为________．答案32或12解析当a >1时，函数f (x )在区间[1,2]上单调递增，由题意可得，f (2)－f (1)＝a 2－a ＝a2，解得a ＝32或a ＝0(舍去)；当0<a <1时，函数f (x )在区间[1,2]上单调递减，由题意可得，f (1)－f (2)＝a －a 2＝a2，解得a ＝12或a ＝0(舍去)，综上所述，a ＝32或a ＝12.课时精练一、单项选择题1．下列结论中，正确的是()A ．若a >0，则4334·a a ＝a B ．若m 8＝2，则m ＝±82C ．若a ＋a －1＝3，则1122a a-+＝±5D.4(2－π)4＝2－π答案B解析对于A ，根据分数指数幂的运算法则，可得443325334412a a aa +⋅==，当a ＝1时，2512a ＝a ；当a ≠1时，2512a≠a ，故A 错误；对于B ，m 8＝2，故m ＝±82，故B 正确；对于C ，a ＋a －1＝3，则21122a a -⎛⎫+ ⎪⎝⎭＝a ＋a －1＋2＝3＋2＝5，因为a >0，所以1122a a -+＝5，故C 错误；对于D ，4(2－π)4＝|2－π|＝π－2，故D 错误．2．已知函数f (x )＝a x －a (a >1)，则函数f (x )的图象不经过()A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限答案B解析y ＝a x (a >1)是增函数，经过点(0,1)，因为a >1，所以函数f (x )的图象需由函数y ＝a x (a >1)的图象向下平移超过1个单位长度得到，所以函数f (x )＝a x －a 的图象如图所示．故函数f (x )的图象不经过第二象限．3．已知a ＝31.2，b ＝1.20，c 0.9，则a ，b ，c 的大小关系是()A ．a <c <bB ．c <b <aC ．c <a <bD ．b <c <a答案D解析因为b ＝1.20＝1，c 0.9＝30.9，且y ＝3x 为增函数，1.2>0.9>0，所以31.2>30.9>30＝1，即a >c >b .4．(2023·新高考全国Ⅰ)设函数f (x )＝2x (x －a )在区间(0,1)上单调递减，则a 的取值范围是()A ．(－∞，－2]B ．[－2,0)C ．(0,2]D ．[2，＋∞)答案D解析函数y ＝2x 在R 上是增函数，而函数f (x )＝2x (x－a )在区间(0,1)上单调递减，则函数y ＝x (x －a )－a 24在区间(0,1)上单调递减，因此a2≥1，解得a ≥2，所以a 的取值范围是[2，＋∞)．5．(2023·潍坊模拟)“关于x 的方程a (2|x |＋1)＝2|x |没有实数解”的一个必要不充分条件是()A ．a ≤12B ．a >1C ．a ≤12或a ≥1D ．a <12或a ≥1答案C解析a (2|x |＋1)＝2|x |，因为2|x |＋1>0，所以a ＝2|x |2|x |＋1＝1－12|x |＋1，因为2|x |≥20＝1，所以2|x |＋1≥2,0<12|x |＋1≤12，12≤1－12|x |＋1<1，要使a (2|x |＋1)＝2|x |没有实数解，则a <12或a ≥1，由于a <12或a ≥1不能推出a ≤12，故A 不成立；由于a <12或a ≥1不能推出a >1，故B 不成立；由于a <12或a ≥1⇒a ≤12或a ≥1，且a ≤12或a ≥1不能推出a <12或a ≥1，故C 正确；D 为充要条件，不符合要求．6．(2024·辽源模拟)已知函数f (x )＝2x －2－x ＋1，若f (a 2)＋f (a －2)>2，则实数a 的取值范围是()A ．(－∞，1)B ．(－2,1)C ．(－∞，－2)∪(1，＋∞)D ．(－1,2)答案C解析令g (x )＝2x －2－x ，定义域为R ，且g (－x )＝－g (x )，所以函数g (x )是奇函数，且是增函数，因为f (x )＝g (x )＋1，f (a 2)＋f (a －2)>2，则g (a 2)＋g (a －2)>0，即g (a 2)>－g (a －2)，又因为g (x )是奇函数，所以g (a 2)>g (2－a )，又因为g (x )是增函数，所以a 2>2－a ，解得a <－2或a >1，故实数a 的取值范围是(－∞，－2)∪(1，＋∞)．二、多项选择题7．已知函数f (x )＝|2x －1|，实数a ，b 满足f (a )＝f (b )(a <b )，则()A ．2a ＋2b >2B ．∃a ，b ∈R ，使得0<a ＋b <1C ．2a ＋2b ＝2D ．a ＋b <0答案CD解析画出函数f (x )＝|2x －1|的图象，如图所示．由图知1－2a ＝2b －1，则2a ＋2b ＝2，故A 错误，C 正确；由基本不等式可得2＝2a ＋2b >22a ·2b ＝22a ＋b ，所以2a ＋b <1，则a ＋b <0，故B 错误，D 正确．8．已知函数f (x )＝m －e x 1＋e x是定义域为R 的奇函数，则下列说法正确的是()A ．m ＝12B ．函数f (x )在R 上的最大值为12C ．函数f (x )是减函数D ．存在实数n ，使得关于x 的方程f (x )－n ＝0有两个不相等的实数根答案AC 解析因为函数f (x )＝m －e x 1＋e x 是定义域为R 的奇函数，所以f (0)＝m －e 01＋e 0＝0，解得m ＝12，此时f (x )＝12－e x 1＋e x，则f (－x )＝12－e －x 1＋e －x ＝12－11＋e x＝12－1＋e x －e x 1＋e x＝12－1＋e x 1＋e x ＝e x 1＋e x －12＝－f (x )，符合题意，故A 正确；又f (x )＝12－e x 1＋e x ＝12－e x ＋1－11＋ex ＝11＋e x －12，因为e x >0，所以e x ＋1>1，则0<11＋ex <1，所以－12<f (x )<12，即f (x )－12，B 错误；因为y ＝e x 是增函数，y ＝e x >0，且y ＝1x在(0，＋∞)上单调递减，所以f (x )＝11＋e x －12是减函数，故C 正确；因为f (x )是减函数，所以y ＝f (x )与y ＝n 最多有1个交点，故f (x )－n ＝0最多有一个实数根，即不存在实数n ，使得关于x 的方程f (x )－n ＝0有两个不相等的实数根，故D 错误．三、填空题9．013623290.125[(2)]8-⎛⎫-+-+ ⎪⎝⎭＝________.答案81解析原式＝13131326322112(23)2⎛⎫⨯- ⎪⨯⎝⎭⎛⎫-++⨯ ⎪⎝⎭＝2－1＋8＋(23×32)＝81.10．(2023·福州模拟)写出一个同时具备下列性质的函数f (x )＝________.①f (x ＋1)＝f (x )f (1)；②f ′(x )<0.答案e －x (答案不唯一)解析∵f (x ＋1)＝f (x )f (1)是加变乘，∴考虑指数函数类型，又f ′(x )<0，∴f (x )是减函数，∴f (x )＝e －x 满足要求．11．已知函数f (x )＝24313ax x -+⎛⎫ ⎪⎝⎭有最大值3，则a 的值为________．答案1解析令g (x )＝ax 2－4x ＋3，则f (x )(x )，∵f (x )有最大值3，∴g (x )有最小值－1，1，解得a ＝1.12．(2024·宁波模拟)对于函数f (x )，若在定义域内存在实数x 0满足f (－x 0)＝－f (x 0)，则称函数f (x )为“倒戈函数”．设f (x )＝3x ＋m －1(m ∈R ，m ≠0)是定义在[－1,1]上的“倒戈函数”，则实数m 的取值范围是________．答案－23，解析∵f (x )＝3x ＋m －1是定义在[－1,1]上的“倒戈函数”，∴存在x 0∈[－1,1]满足f (－x 0)＝－f (x 0)，∴03x -＋m －1＝03x -－m ＋1，∴2m ＝0033x x ---＋2，构造函数y ＝0033x x ---＋2，x 0∈[－1,1]，令t ＝03x ，t ∈13，3，则y ＝－1t－t ＋2＝2在13，1上单调递增，在(1,3]上单调递减，∴当t ＝1时，函数取得最大值0，当t ＝13或t ＝3时，函数取得最小值－43，∴y ∈－43，0，又∵m ≠0，∴－43≤2m <0，∴－23≤m <0.四、解答题13．如果函数y ＝a 2x ＋2a x －1(a >0，且a ≠1)在区间[－1,1]上的最大值是14，求a 的值．解令a x ＝t ，则y ＝a 2x ＋2a x －1＝t 2＋2t －1＝(t ＋1)2－2.当a >1时，因为x ∈[－1,1]，所以t ∈1a ，a ，又函数y ＝(t ＋1)2－2在1a ，a 上单调递增，所以y max ＝(a ＋1)2－2＝14，解得a ＝3或a ＝－5(舍去)；当0<a <1时，因为x ∈[－1,1]，所以t ∈a ，1a ，又函数y ＝(t ＋1)2－2在a ，1a 上单调递增，则y max －2＝14，解得a ＝13或a ＝－15(舍去)．综上，a ＝3或a ＝13.14．已知定义域为R 的函数f (x )＝a －2x b ＋2x是奇函数．(1)求a ，b 的值；(2)判断f (x )的单调性；(3)若存在t ∈[0,4]，使f (k ＋t 2)＋f (4t －2t 2)<0成立，求实数k 的取值范围．解(1)因为函数f (x )是定义在R 上的奇函数，所以f (0)＝0，即a －1b ＋1＝0，所以a ＝1，又因为f (－x )＝－f (x )，所以a －12x b ＋12x ＝－a －2x b ＋2x ，将a ＝1代入，整理得2x －1b ·2x ＋1＝2x －1b ＋2x，当x ≠0时，有b ·2x ＋1＝b ＋2x ，即(b －1)(2x －1)＝0，又因为当x ≠0时，有2x －1≠0，所以b －1＝0，所以b ＝1.经检验符合题意，所以a ＝1，b ＝1.(2)由(1)知，函数f (x )＝1－2x 1＋2x ＝－(1＋2x )＋21＋2x ＝－1＋21＋2x ，因为y ＝1＋2x 为增函数，且1＋2x >0，则函数f (x )是减函数．(3)因为存在t ∈[0,4]，使f (k ＋t 2)＋f (4t －2t 2)<0成立，且函数f (x )是定义在R 上的奇函数，所以不等式可转化为f (k ＋t 2)<f (2t 2－4t )，又因为函数f (x )是减函数，所以k ＋t 2>2t 2－4t ，所以k >t 2－4t ，令g (t )＝t 2－4t ＝(t －2)2－4，由题意可知，问题等价转化为k >g (t )min ，又因为g (t )min ＝g (2)＝－4，所以k >－4，即实数k 的取值范围为(－4，＋∞)．15．(2023·深圳模拟)已知αa ＝(cos α)sin α，b ＝(sin α)cos α，c ＝(cos α)cos α，则()A ．b >c >aB ．c >b >aC ．c >a >bD ．a >b >c 答案A 解析已知α0<cos α<sin α<1，因为y ＝(cos α)x 在(0,1)上单调递减，故c ＝(cos α)cos α>(cos α)sin α＝a ；因为幂函数y ＝x cos α在(0,1)上单调递增，故c ＝(cos α)cos α<(sin α)cos α＝b ，故b >c >a .16．(2023·徐州模拟)正实数m ，n 满足e 1－2m ＋2－2m ＝e n －1＋n ，则n m ＋1n的最小值为________．答案5 2解析由e1－2m＋2－2m＝e n－1＋n，得e1－2m＋(1－2m)＝e n－1＋(n－1)，令f(x)＝e x＋x，则原等式为f(1－2m)＝f(n－1)，显然函数f(x)为增函数，于是1－2m＝n－1，即2m＋n＝2，而m>0，n>0，因此nm＋1n＝nm＋2m＋n2n＝nm＋mn＋12≥2nm·mn＋12＝52，当且仅当nm＝mn，即m＝n＝23时取等号，所以当m＝n＝23时，nm＋1n取得最小值52.。
高考数学复习知识点讲义课件25---指数函数的概念及其图象和性质
答案：(－1，－1) (2)y＝13x＋1＋2＝3－(x＋1)＋2.作函数 y＝3x 的图象关于 y 轴的对称图象得函数 y＝3－x 的图象，再向左平移 1 个单位长度就得到函数 y＝3－(x＋1)的图象，最后再 向上平移 2 个单位长度就得到函数 y＝3－(x＋1)＋2＝13x＋1＋2 的图象，如图所示．
x0 1
2
3
…
y 200 210 220.5 231.525 …
作直线y＝300与函数y＝200(1＋5%)x的图象交于A点，则A(x0,300)，A点的横 坐标x0的值就是函数值y＝300时(木材蓄积量为300万立方米时)所经过的时间x年 的值．
∵8<x0<9，则取x＝9(计划留有余地，取过剩近似值)，即经过9年后，林区的 木材蓄积量能达到300万立方米．
[解析] (1)函数 y＝13x 是指数函数，且 y＝4x 也是指数函数，其它函数不 符合指数函数的三个特征．
(2)设指数函数 fx＝ax，由 f2－f1＝6 得 a2－a＝6，解得 a＝－2(舍去)或 a＝3，则 f3＝33＝27.
[答案](1)①④ (2)27
[方法技巧] (1)判断一个函数是否为指数函数，只需判断其解析式是否符合y＝ax(a＞0， 且a≠1)这一形式，其具备的特点为：
2.底数与指数函数图象的关系 (1)由指数函数 y＝ax 的图象与直线 x＝1 相交于点(1，a)可知，在 y 轴右侧， 图象从下到上相应的底数由小变大． (2)由指数函数 y＝ax 的图象与直线 x＝－1 相交于点－1，1a 可知，在 y 轴左侧，图象从下到上相应的底数由大变小． 如图所示，指数函数底数的大小关系为 0＜a4＜a3＜1＜a2＜a1.
(一)指数函数的概念 一般地，函数 y＝ax(a>0，且a≠1) 叫做指数函数，其中指数x是自变量，定义 域是 R .
指数函数、对数函数、幂函数讲义
为奇数时，nna =a . ②当n a nm an m-=nm a 1指数与指数函数知识要点1.指数指数（1）n 次方根的定义：若x n =a ，则称x 为a 的n 次方根，“n”是方根的记号. 在实数范围内，正数的奇次方根是一个正数，负数的奇次方根是一个负数，0的奇次方根是0；正数的偶次方根是两个绝对值相等符号相反的数，0的偶次方根是0，负数没有偶次方根. （2）方根的性质）方根的性质①当n 为偶数时，nna =|a |=îíì<-³).0(),0(a aa a（3）分数指数幂的意义）分数指数幂的意义 ①=n ma （a ＞0，m 、n 都是正都是正整数整数，n ＞1）. ②=nma1（a ＞0，m 、n 都是正整数，n ＞1）. 2.指数函数指数函数（1）指数）指数函数的定义函数的定义一般地，函数y =a x （a ＞0且a ≠1）叫做指数函数. （2）指数函数的图象）指数函数的图象OxyOxyy=a x 11a> 1y=ax ((0＜a ＜1)底数互为倒数的两个指数函数的图象关于y 轴对称. （3）指数函数的性质）指数函数的性质 ①定义域：R . ②值域：（0，＋∞）. ③过点（0，1），即x =0时，y =1. ④当a ＞1时，在R 上是增函数；当0＜a ＜1时，在R 上是减函数. 经典例题1.3a ·6a -等于等于 A.－a -B.－aC.a -D. a2.函数y OxyOxyOxyOxy1(1) (2) (3) (4)A.a ＜b ＜1＜c ＜dB.b ＜a ＜1＜d ＜ cC.1＜a ＜b ＜c ＜dD.a ＜b ＜1＜d ＜c 6、若直线y =2a 与函数y =|a x －1|（a ＞0且a ≠1）的图象有两个公共点，则a 的取值范围是=23x的图象与直线y =x 的位置关系是的位置关系是OxyABC D3.若函数y =a x +b －1（a ＞0且a ≠1）的图象经过二、三、四）的图象经过二、三、四象限象限，则一定有，则一定有A.0＜a ＜1且b ＞B.a ＞1且b ＞0 C.0＜a ＜1且b ＜0 D.a ＞1且b ＜0 4.函数y =－e x 的图象的图象A.与y =e x 的图象关于y 轴对称B.与y =e x 的图象关于坐标原点对称的图象关于坐标原点对称C.与y =e －x 的图象关于y 轴对称轴对称D.与y =e －x的图象关于坐标原点对称的图象关于坐标原点对称 5、下图是、下图是指数函数指数函数（1）y =a x，（2）y =b x ，（3）y =c x ，（4）y =d x 的图象，则a 、b 、c 、d 与1的大小关系是___________________. 7、函数y =（21）222+-x x 的递增的递增区间区间是___________. 8、 已知2xx +2（31）1－x C.y =1)21(-xD.y A. 41 B. 21C.2 D.4 4、=a a a a 。
2.1 指数函数讲义
2.1 指数函数一、n 次方根：如果x n ＝a ，那么x 叫做a 的n 次方根，其中n ＞1，且n ∈N*。
n 次方根的性质：（1）当n 为奇数时，正数的n 次方根是正数，负数的n 次方根是负数，这时a (a ∈R)的n 次方根用符号n a 表示；（2）当n 为偶数时，正数的n 次方根有两个，且互为相反数，这时正数a 的n 次方根可用±n a 表示（a ＞0）。
二、根式：式子n a 叫做根式，这里n 叫做根指数，a 叫做被开方数。
（1）(n a )n＝a（2）n n a ＝⎪⎩⎪⎨⎧⎩⎨⎧<-≥===0,0,n a a a a a a n aa n nn n 是偶数时，当是奇数时，当 三、分数指数幂：n m n ma a =(a ＞0,m 、n ∈N*,且n ＞1) nmnm nm aaa11==-(a ＞0,m 、n ∈N*,且n ＞1)0的正分数指数幂等于0，0的负分数指数幂没有意义。
公式：(1) a r ×a s ＝a r ＋s (a ＞0,r 、s ∈Q) (2)( a r )s ＝a rs (a ＞0,r 、s ∈Q) (3) (a b)r ＝a r b r (a ＞0, b ＞0, r ∈Q)例1：化简下列各式（1）a 2×32a ；（2）632)(y x【解析】：（1）a 2×32a ＝a 2×32a ＝38a ，（2）1812yx＝2332y x变式练习1：化简下列各式（1）421x×321-x×(－3y)×33-y（2）(232a 21b )×(－621a 31b )÷(－361a 65b ) 【解析】：（1）－12332y；（2）4a变式练习2：化简下列各式（1）44)4(-π （2）33)8(a - （3）a 8＋aa 21（4）332ba ab b a 【解析】：（1）44)4(-π＝4－π （2）33)8(a -＝a 8-（3）a 22＋22a ＝225a （4）87a 81-b例2：计算(253)0＋22-×21)412(-－5.001.0【解析】：原式＝1＋41×21)94(－21)1001(＝1＋41×32－101＝1516变式练习：计算 5.0)972(＋21.0-＋32)27102(-－3π0＋4837【解析】：100 例3：已知x ＝21，y ＝32，求y x y x -+－yx y x +-的值。
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指数函数及其性质【要点梳理】要点一、指数函数的概念：函数 y=a x(a>0 且 a≠1)叫做指数函数，其中x 是自变量， a 为常数，函数定义域为R. 要点诠释：x 1x（ 1）形式上的严格性：只有形如 y=a x x且 a≠ 1)的函数才是指数函数．像y 2 3 ，y 2 ， 3 1(a>0 y等函数都不是指数函数．（ 2）为什么规定底数 a 大于零且不等于1：①如果 a0 ，则x0时， a x恒等于 0，x 0时 ,a x无意义 .②如果 a 0 ，则对于一些函数，比如y ( 4) x，当x 1 , x 1,时，在实数范围内函数值不存在．2 4③如果 a 1 ，则y1x1是个常量，就没研究的必要了．要点二、指数函数的图象及性质：y=a x0<a<1 时图象a>1 时图象图象①定义域 R，值域（0，+∞）②a0 =1, 即 x=0 时， y=1，图象都经过 (0，1)点性质③ a x=a，即 x=1 时， y 等于底数 a④在定义域上是单调减函数④在定义域上是单调增函数⑤ x<0 时， a x>1 ⑤ x<0 时， 0<a x<1x>0 时， 0<a x<1 x>0 时， a x>1⑥ 既不是奇函数，也不是偶函数要点诠释：（ 1）当底数大小不定时，必须分“ a 1 ”和“ 0 a 1 ”两种情形讨论。
（2）当0 a 1 时，x , y 0 ；当a 1时 x , y 0。
当 a 1 时，a的值越大，图象越靠近y 轴，递增速度越快。
当0 a 1 时， a 的值越小，图象越靠近y 轴，递减的速度越快。
（ 3）指数函数y a x与y 1ax的图象关于y 轴对称。
要点三、指数函数底数变化与图像分布规律（1）①y a x② y b x③ y则： 0＜ b＜ a＜ 1＜ d＜ c 又即： x∈(0,+∞ )时，b x a xx∈(－∞ ,0)时，b x a x （ 2）特殊函数c x ④ yd xd x c x （底大幂大）d x c xy 2x, y 3x , y ( 1 )x , y ( 1 )x的图像：2 3要点四、指数式大小比较方法(1) 单调性法：化为同底数指数式，利用指数函数的单调性进行比较.(2)中间量法(3)分类讨论法(4)比较法比较法有作差比较与作商比较两种，其原理分别为：①若A B 0 A B；A B 0 A B；A B 0 A B；②当两个式子均为正值的情况下，可用作商法，判断【典型例题】类型一、指数函数的概念A A1，或1即可．B B例 1．函数y(a23a 3)a x是指数函数，求 a 的值．举一反三：【变式 1】指出下列函数哪些是指数函数（ 1）y4x；（2） y x4；（3） y4x；（4） y( 4) x；（ 5）y(2a 1)x (a 1 且 a 1)；（6）y 4x．2类型二、函数的定义域、值域例 2．求下列函数的定义域、值域.x1 2 x1(1) y 3 ； (2)y=4x-2x+1； (3) 32 x 1 ； (4) y a x 1 (a 为大于 1 的常数 )1 3x 9举一反三：【变式 1】求下列函数的定义域：(1) y 2x2 -1 (2) y 3 3-x(3) y 2x -1 (4) y 1- a x (a 0, a 1)类型三、指数函数的单调性及其应用例 3．讨论函数 f ( x) 13x2 2 x的单调性，并求其值域．举一反三：2【变式 1】求函数y 3 x 3x 2的单调区间及值域.2【变式 2】求函数 f ( x)a x -2 x (其中 a 0，且a 1) 的单调区间 .例 5．判断下列各数的大小关系：2,34,( 1 )-2(1)与 +1；(2) ( ) 333(3)， 0， ( 1 )2.5(4) a 2 与a 3 (a 0, a 1)2举一反三：【变式 1】比较大小： (1)与 (2) 与(3)与11(4)与(5)1.5 0.2 , ( 2)3 , (4)3.331 1 1【变式 2】利用函数的性质比较 2 2 ， 33 ， 661【变式 3】 比较， ， ( 2)3 的大小 .342例 6. (分类讨论指数函数的单调性)化简：a 3 - 2a a 3举一反三：【变式 1】如果 a 2x 1a x 5 （ a 0，且 a 1 ），求 x 的取值范围．例 7．判断下列函数的奇偶性：f ( x) ( 1 1x( x)为奇函数 )x2 1 2)()(举一反三：【变式 1】判断函数的奇偶性：f ( x)x x1 .2x2类型五、指数函数的图象问题例 8 ．如图的曲线 C 1234 是指数函数yx1 2 3, ，、C、C 、Ca 的图象，而 a,,2 2则图象 C 1、C 2 、C 3、C 4 对应的函数的底数依次是 ________、________、________、________．举一反三：【变式1】 设 f ( x) | 3x1| ，c ＜ b ＜ a 且 f (c)f (a)f (b) ，则下列关系式中一定成立的是 （）A ． 3c3bB ． 3c3bC ． 3c3a2D ． 3c3a2【变式 2】为了得到函数 y 9 3x 5 的图象，可以把函数 y 3x 的图象 ()A ．向左平移 9 个单位长度，再向上平移5 个单位长度 B ．向右平移 9 个单位长度，再向下平移 5 个单位长度 C ．向左平移 2 个单位长度，再向上平移5 个单位长度 D ．向右平移 2 个单位长度，再向下平移5 个单位长度。
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课题：指数函数及其性质（第一课时）
教材：普通高中课程标准实验教科书数学
一、教材分析
１．教材背景
指数函数是在学习了函数的现代定义及其图象、性质，掌握了研究函数的一般思路，并将幂指数从整数扩充到实数范围之后，学习的第一个重要的基本初等函数，是《函数》一章的重要内容。
本节内容分三课时完成，第一课时学习指数函数的概念、图象、性质；第二、三课时为指数函数性质的应用，本课为第一课时。
２．本节课的地位和作用
本节内容既是函数内容的深化，又是今后学习对数函数的基础，具有非常高的实用价值，在教材中起到了承上启下的关键作用。
在指数函数的研究过程中蕴含了数形结合、分类讨论、归纳推理、演绎推理等数学思想方法，通过学习可以帮助学生进一步理解函数，培养学生的函数应用意识，增强学生对数学的兴趣。
3、本节课学习任务
（1）了解指数函数模型的实际背景，认识数学与生活的联系。
（2）理解指数函数的概念，能画出具体指数函数的图象，探索并理解指数函数的性质。
（3）在学习过程中体会研究具体函数及其性质的过程与一般方法。
如：具体到一般的方法，数形结合的思想。
二、学情分析
有利因素：（1）学生刚刚学习了函数的定义、图象、性质，已初步掌握
了研究函数的一般思路。
（2）学生在初中已初步掌握了用描点法画图的方法。
不利因素：本节内容思维较大，对思维的严谨性、分类讨论、归纳推理能力有较高的要求，学生学习起来有一定的难度。
三、教学重点与难点
根据新课程标准及对教材的分析，确定本节课重难点如下：
重点：指数函数的概念和性质。
难点：用数形结合的方法从具体到一般地探索、概括指数函数的性质。
四、教学目标设计
知识技能目标：理解指数函数的定义，掌握指数函数的图象和性质，初步学会运用指数函数解决简单问题；
过程性目标：通过自主探索让学生经历“由特殊到一般，再由一般到特殊”的认知过程，完善认知结构，领会数形结合、分类讨论、归纳推理等数学思想方法；
情感价值目标：通过学习，使学生感受数学问题探索的乐趣和成功的喜悦，体会数学的理性、严谨性以及数与形的和谐统一，展现数学实用价值及其在社会进步、人类文明中的重要作用。
五、教法学法
根据对教材的重点、难点、学习目标以及学生情况的分析，本着教法为学法服务的宗旨，确定以下教法、学法：
探究发现式教学法、类比学习法，并利用多媒体辅助教学。
遵循“以学生为主体、教师是数学课堂活动的组织者、引导者和参与者”的现代教育原
则。
依据本节为概念学习的特点，类比学习函数的一般思路，以问题的提出、问题的解决为主线，始终在学生知识的“最近发展区”设置问题，倡导学生主动参与、自主探索，在师生互动、生生互动中，让学习过程成为学生心灵愉悦的主动认知过程。
六、教学过程
七、教学反思
〈一〉在教学过程中有几个问题值得注意：
１．学生可能把自变量在指数上的函数都认为是指数函数，应予以及时纠正。
２．若学生质疑指数函数单调性结论的正确性，应先肯定质疑是正确的，因为用图象观察归纳出来的结论，必须经过严格证明才是可靠的！但由于教材对此不作要求，因此，鼓励学有余力的同学可自己尝试证明。
〈二〉本课设计有以下几点值得借鉴：
１．本课设计在注重引导学生学习书本知识的同时，还进行了知识的扩展，让学生感受到数学的实用价值。
２．本课设计时考虑了学生在学习中最可能出现的各种情况，并采用合理方式进行引导、解决。
３．教学过程中充分发挥学生主体作用，始终以问题的形式引导学生主动参与，在师生互动、生生互动中让学习过程成为学生心灵愉悦的主动认知过程，做到了把握重点、突破难点。
二零一零年四月二十日。