高中数学题库高一部分-D三角函数-解斜三角形
高一数学三角函数三角恒等变换解三角形试题答案及解析
高一数学三角函数三角恒等变换解三角形试题答案及解析1.已知△ABC的平面直观图△是边长为a的正三角形，则原△ABC的面积为（）A．B．C．D．【答案】D【解析】三角形由平面图形转化到直观图形时，位于上的边长不变，位于轴上的长度减半，因此直观图与平面图比较底边长不变，高为平面图高的倍，【考点】平面图形的直观图2.下列函数中，最小正周期为π的偶函数为A．B．C．D．【答案】D【解析】A中函数为奇函数；B中函数最小周期为；C中由函数图像可知函数不具有周期性；D中函数周期为，且为偶函数【考点】三角函数的周期性奇偶性3.（本小题满分12分）在中，角的对边分别为，且．（1）求的值；（2）若成等差数列，且公差大于0，求的值．【答案】（1）；（2）．【解析】（1）根据正弦定理，将边化为角，直接求得；（2）因为三边成等差数列，所以，同样根据正弦定理，将边化角得到，第二步，考虑两角和的公式，所以将，两个式子平方相加能够解得，第三步，考虑的大小关系，得到．试题解析：（1）由，根据正弦定理得，所以（2）由已知和正弦定理以及（1）得①设，②①2＋②2，得③代入③式得因此【考点】1．正弦定理；2．两角和的余弦公式．4.如果，那么的值为（）A．－2B．2C．－D．【答案】C【解析】上下同时除以，得到：，解得．【考点】同角三角函数基本关系式5.将函数的图象沿轴向左平移个单位后，得到一个偶函数的图象，则的一个可能取值为A．B．C．0D．-【答案】B【解析】平移个单位得到，令知满足，故选B．【考点】三角函数的图像与性质．6.（本小题满分12分）已知．（1）若且=l时，求的最大值和最小值，以及取得最大值和最小值时x的值；（2）若且时，方程有两个不相等的实数根，求b的取值范围及的值．【答案】（1）（2），或【解析】第一问首先利用数量积的坐标运算公式以及倍角公式，两角和的正弦公式化简f（x），再利用得，结合三角函数的图像性质得，第二问要使方程有两个不相等的实数根，须满足，，试题解析：解：当且=l时，当且时，且而，要使方程有两个不相等的实数根，须满足----12分又【考点】向量的数量积公式，倍角公式，两角和的正弦公式，三角函数的图像性质．7.计算的值是．【答案】【解析】【考点】两角和与差的正弦公式8.把函数的图像经过变化而得到的图像，这个变化是（）A．向左平移个单位B．向右平移个单位C．向左平移个单位D．向右平移个单位【答案】B【解析】，与比较可知：只需将向右平移个单位即可【考点】三角函数化简与平移9.已知角的终边过点，则的值是（）A．1B．C．D．－1【答案】C【解析】，，，所以原式等于．【考点】三角函数的定义10.的最大值为（）A．B．C．1D．2【答案】C【解析】函数可化为，显然最大值为1，故选C【考点】•辅助角公式 三角函数求最值11.（本小题满分12分）已知，．（1）求及的值；（2）求满足条件的锐角．【答案】（1）,;（2）【解析】（1）由同角三角函数的基本关系及角的范围即可求出,再由倍角公式及角的范围即可求出。
高考数学-三角函数及解三角形(含22年真题讲解)
高考数学-三角函数及解三角形（含22年真题讲解）1．【2022年全国甲卷】将函数f(x)=sin (ωx +π3)(ω>0)的图像向左平移π2个单位长度后得到曲线C ，若C 关于y 轴对称，则ω的最小值是（ ） A ．16 B ．14C ．13D ．12【答案】C 【解析】 【分析】先由平移求出曲线C 的解析式，再结合对称性得ωπ2+π3=π2+kπ,k ∈Z ，即可求出ω的最小值.【详解】由题意知：曲线C 为y =sin [ω(x +π2)+π3]=sin(ωx +ωπ2+π3)，又C 关于y 轴对称，则ωπ2+π3=π2+kπ,k ∈Z ，解得ω=13+2k,k ∈Z ，又ω>0，故当k =0时，ω的最小值为13. 故选：C.2．【2022年全国甲卷】沈括的《梦溪笔谈》是中国古代科技史上的杰作，其中收录了计算圆弧长度的“会圆术”，如图，AB ⌢是以O 为圆心，OA 为半径的圆弧，C 是的AB 中点，D 在AB ⌢上，CD ⊥AB ．“会圆术”给出AB ⌢的弧长的近似值s 的计算公式：s =AB +CD 2OA．当OA =2,∠AOB=60°时，s =（ ）A ．11−3√32B ．11−4√32C ．9−3√32D ．9−4√32【解析】【分析】连接OC，分别求出AB,OC,CD，再根据题中公式即可得出答案. 【详解】解：如图，连接OC，因为C是AB的中点，所以OC⊥AB，又CD⊥AB，所以O,C,D三点共线，即OD=OA=OB=2，又∠AOB=60°，所以AB=OA=OB=2，则OC=√3，故CD=2−√3，所以s=AB+CD2OA =2+(2−√3)22=11−4√32.故选：B.3．【2022年全国甲卷】设函数f(x)=sin(ωx+π3)在区间(0,π)恰有三个极值点、两个零点，则ω的取值范围是（）A．[53,136)B．[53,196)C．(136,83]D．(136,196]【答案】C 【解析】由x 的取值范围得到ωx +π3的取值范围，再结合正弦函数的性质得到不等式组，解得即可． 【详解】解：依题意可得ω>0，因为x ∈(0,π)，所以ωx +π3∈(π3,ωπ+π3)，要使函数在区间(0,π)恰有三个极值点、两个零点，又y =sinx ，x ∈(π3,3π)的图象如下所示：则5π2<ωπ+π3≤3π，解得136<ω≤83，即ω∈(136,83]． 故选：C ．4．【2022年全国乙卷】函数f (x )=cosx +(x +1)sinx +1在区间[0,2π]的最小值、最大值分别为（ ） A ．−π2，π2 B ．−3π2，π2C ．−π2，π2+2 D ．−3π2，π2+2【答案】D 【解析】 【分析】利用导数求得f (x )的单调区间，从而判断出f (x )在区间[0,2π]上的最小值和最大值. 【详解】f ′(x )=−sinx +sinx +(x +1)cosx =(x +1)cosx ，所以f (x )在区间(0,π2)和(3π2,2π)上f ′(x )>0，即f (x )单调递增； 在区间(π2,3π2)上f ′(x )<0，即f (x )单调递减， 又f (0)=f (2π)=2，f (π2)=π2+2，f (3π2)=−(3π2+1)+1=−3π2， 所以f (x )在区间[0,2π]上的最小值为−3π2，最大值为π2+2.5．【2022年新高考1卷】记函数f(x)=sin(ωx+π4)+b(ω>0)的最小正周期为T．若2π3<T<π，且y=f(x)的图象关于点(3π2,2)中心对称，则f(π2)=（）A．1B．32C．52D．3【答案】A【解析】【分析】由三角函数的图象与性质可求得参数，进而可得函数解析式，代入即可得解.【详解】由函数的最小正周期T满足2π3<T<π，得2π3<2πω<π，解得2<ω<3，又因为函数图象关于点(3π2,2)对称，所以3π2ω+π4=kπ,k∈Z，且b=2，所以ω=−16+23k,k∈Z，所以ω=52，f(x)=sin(52x+π4)+2，所以f(π2)=sin(54π+π4)+2=1.故选：A6．【2022年新高考2卷】若sin(α+β)+cos(α+β)=2√2cos(α+π4)sinβ，则（）A．tan(α−β)=1B．tan(α+β)=1C．tan(α−β)=−1D．tan(α+β)=−1【答案】C【解析】【分析】由两角和差的正余弦公式化简，结合同角三角函数的商数关系即可得解.【详解】由已知得：sinαcosβ+cosαsinβ+cosαcosβ−sinαsinβ=2(cosα−sinα)sinβ,即：sinαcosβ−cosαsinβ+cosαcosβ+sinαsinβ=0，即：sin(α−β)+cos(α−β)=0,所以tan(α−β)=−1,故选：C7．【2022年北京】已知函数f(x)=cos2x−sin2x，则（）A．f(x)在(−π2,−π6)上单调递减B．f(x)在(−π4,π12)上单调递增C．f(x)在(0,π3)上单调递减D．f(x)在(π4,7π12)上单调递增【答案】C【解析】【分析】化简得出f(x)=cos2x，利用余弦型函数的单调性逐项判断可得出合适的选项.【详解】因为f(x)=cos2x−sin2x=cos2x.对于A选项，当−π2<x<−π6时，−π<2x<−π3，则f(x)在(−π2,−π6)上单调递增，A错；对于B选项，当−π4<x<π12时，−π2<2x<π6，则f(x)在(−π4,π12)上不单调，B错；对于C选项，当0<x<π3时，0<2x<2π3，则f(x)在(0,π3)上单调递减，C对；对于D选项，当π4<x<7π12时，π2<2x<7π6，则f(x)在(π4,7π12)上不单调，D错.故选：C.8．【2022年浙江】设x∈R，则“sinx=1”是“cosx=0”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件【答案】A【解析】【分析】由三角函数的性质结合充分条件、必要条件的定义即可得解.【详解】因为sin2x+cos2x=1可得：当sinx=1时，cosx=0，充分性成立；当cosx=0时，sinx=±1，必要性不成立；所以当x∈R，sinx=1是cosx=0的充分不必要条件.故选：A.9．【2022年浙江】为了得到函数y =2sin3x 的图象，只要把函数y =2sin (3x +π5)图象上所有的点（ ）A ．向左平移π5个单位长度B ．向右平移π5个单位长度C ．向左平移π15个单位长度D ．向右平移π15个单位长度【答案】D 【解析】 【分析】根据三角函数图象的变换法则即可求出． 【详解】因为y =2sin3x =2sin [3(x −π15)+π5]，所以把函数y =2sin (3x +π5)图象上的所有点向右平移π15个单位长度即可得到函数y =2sin3x 的图象．故选：D.10．【2022年新高考2卷】（多选）已知函数f(x)=sin(2x +φ)(0<φ<π)的图像关于点(2π3,0)中心对称，则（ ） A ．f(x)在区间(0,5π12)单调递减B ．f(x)在区间(−π12,11π12)有两个极值点 C ．直线x =7π6是曲线y =f(x)的对称轴D ．直线y =√32−x 是曲线y =f(x)的切线 【答案】AD 【解析】 【分析】根据三角函数的性质逐个判断各选项，即可解出． 【详解】由题意得：f (2π3)=sin (4π3+φ)=0，所以4π3+φ=k π，k ∈Z ， 即φ=−4π3+k π,k ∈Z ，又0<φ<π，所以k =2时，φ=2π3，故f(x)=sin (2x +2π3)． 对A ，当x ∈(0,5π12)时，2x +2π3∈(2π3,3π2)，由正弦函数y =sinu 图象知y =f(x)在(0,5π12)上是单调递减；对B ，当x ∈(−π12,11π12)时，2x +2π3∈(π2,5π2)，由正弦函数y =sinu 图象知y =f(x)只有1个极值点，由2x +2π3=3π2，解得x =5π12，即x =5π12为函数的唯一极值点； 对C ，当x =7π6时，2x +2π3=3π，f(7π6)=0，直线x =7π6不是对称轴； 对D ，由y′=2cos (2x +2π3)=−1得：cos (2x +2π3)=−12，解得2x +2π3=2π3+2k π或2x +2π3=4π3+2k π,k ∈Z ,从而得：x =k π或x =π3+k π,k ∈Z , 所以函数y =f(x)在点(0,√32)处的切线斜率为k =y′|x=0=2cos2π3=−1，切线方程为：y −√32=−(x −0)即y =√32−x ．故选：AD ．11．【2022年全国甲卷】已知△ABC 中，点D 在边BC 上，∠ADB =120°,AD =2,CD =2BD ．当AC AB取得最小值时，BD =________．【答案】√3−1##−1+√3 【解析】 【分析】设CD =2BD =2m >0，利用余弦定理表示出AC 2AB 2后，结合基本不等式即可得解.【详解】设CD =2BD =2m >0，则在△ABD 中，AB 2=BD 2+AD 2−2BD ⋅ADcos∠ADB =m 2+4+2m ， 在△ACD 中，AC 2=CD 2+AD 2−2CD ⋅ADcos∠ADC =4m 2+4−4m ， 所以AC 2AB 2=4m 2+4−4m m 2+4+2m =4(m 2+4+2m)−12(1+m)m 2+4+2m=4−12(m+1)+3m+1≥42√(m+1)⋅3m+1=4−2√3，当且仅当m +1=3m+1即m =√3−1时，等号成立，所以当ACAB 取最小值时，m =√3−1. 故答案为：√3−1.12．【2022年全国乙卷】记函数f(x)=cos(ωx +φ)(ω>0,0<φ<π)的最小正周期为T ，若f(T)=√32，x =π9为f(x)的零点，则ω的最小值为____________．【答案】3 【解析】 【分析】首先表示出T ，根据f (T )=√32求出φ，再根据x =π9为函数的零点，即可求出ω的取值，从而得解； 【详解】解： 因为f (x )=cos (ωx +φ)，（ω>0，0<φ<π） 所以最小正周期T =2πω，因为f (T )=cos (ω⋅2πω+φ)=cos (2π+φ)=cosφ=√32， 又0<φ<π，所以φ=π6，即f (x )=cos (ωx +π6)，又x =π9为f (x )的零点，所以π9ω+π6=π2+kπ,k ∈Z ，解得ω=3+9k,k ∈Z ， 因为ω>0，所以当k =0时ωmin =3； 故答案为：313．【2022年北京】若函数f(x)=Asinx −√3cosx 的一个零点为π3，则A =________；f(π12)=________．【答案】 1 −√2 【解析】 【分析】先代入零点，求得A 的值，再将函数化简为f(x)=2sin(x −π3)，代入自变量x =π12，计算即可.【详解】∵f(π3)=√32A−√32=0，∴A=1∴f(x)=sinx−√3cosx=2sin(x−π3)f(π12)=2sin(π12−π3)=−2sinπ4=−√2故答案为：1，−√214．【2022年浙江】我国南宋著名数学家秦九韶，发现了从三角形三边求面积的公式，他把这种方法称为“三斜求积”，它填补了我国传统数学的一个空白．如果把这个方法写成公式，就是S=√14[c2a2−(c2+a2−b22)2]，其中a，b，c是三角形的三边，S是三角形的面积．设某三角形的三边a=√2,b=√3,c=2，则该三角形的面积S=___________．【答案】√234.【解析】【分析】根据题中所给的公式代值解出．【详解】因为S=√14[c2a2−(c2+a2−b22)2]，所以S=√14[4×2−(4+2−32)2]=√234．故答案为：√234.15．【2022年浙江】若3sinα−sinβ=√10,α+β=π2，则sinα=__________，cos2β=____ _____．【答案】3√10104 5【解析】【分析】先通过诱导公式变形，得到α的同角等式关系，再利用辅助角公式化简成正弦型函数方程，可求出α，接下来再求β．【详解】α+β=π2，∴sinβ=cosα，即3sinα−cosα=√10，即√10(3√1010sinα−√1010cosα)=√10，令sinθ=√1010，cosθ=3√1010，则√10sin(α−θ)=√10，∴α−θ=π2+2kπ，k∈Z，即α=θ+π2+2kπ，∴sinα=sin(θ+π2+2kπ)=cosθ=3√1010，则cos2β=2cos2β−1=2sin2α−1=45．故答案为：3√1010；45．16．【2022年全国乙卷】记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c﹐已知sinCsin(A−B)= sinBsin(C−A)．(1)若A=2B，求C；(2)证明：2a2=b2+c2【答案】(1)5π8；(2)证明见解析．【解析】【分析】（1）根据题意可得，sinC=sin(C−A)，再结合三角形内角和定理即可解出；（2）由题意利用两角差的正弦公式展开得sinC(sinAcosB−cosAsinB)=sinB(sinCcosA−cosCsinA)，再根据正弦定理，余弦定理化简即可证出．(1)由A=2B，sinCsin(A−B)=sinBsin(C−A)可得，sinCsinB=sinBsin(C−A)，而0<B<π2，所以sinB∈(0,1)，即有sinC=sin(C−A)>0，而0<C<π,0<C−A<π，显然C≠C−A，所以，C+C−A=π，而A=2B，A+B+C=π，所以C=5π8．(2)由sinCsin(A−B)=sinBsin(C−A)可得，sinC(sinAcosB−cosAsinB)=sinB(sinCcosA−cosCsinA)，再由正弦定理可得，accosB−bccosA=bccosA−abcosC，然后根据余弦定理可知，1 2(a2+c2−b2)−12(b2+c2−a2)=12(b2+c2−a2)−12(a2+b2−c2)，化简得：2a2=b2+c2，故原等式成立．17．【2022年全国乙卷】记△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c，已知sinCsin(A−B)=sinBsin(C−A)．(1)证明：2a2=b2+c2；(2)若a=5,cosA=2531，求△ABC的周长．【答案】(1)见解析(2)14【解析】【分析】（1）利用两角差的正弦公式化简，再根据正弦定理和余弦定理化角为边，从而即可得证；（2）根据（1）的结论结合余弦定理求出bc，从而可求得b+c，即可得解.(1)证明：因为sinCsin(A−B)=sinBsin(C−A)，所以sinCsinAcosB−sinCsinBcosA=sinBsinCcosA−sinBsinAcosC，所以ac⋅a2+c2−b22ac −2bc⋅b2+c2−a22bc=−ab⋅a2+b2−c22ab，即a2+c2−b22−(b2+c2−a2)=−a2+b2−c22，所以2a2=b2+c2；(2)解：因为a=5,cosA=2531，由（1）得b2+c2=50，由余弦定理可得a2=b2+c2−2bccosA，则50−5031bc=25，所以bc=312，故(b+c)2=b2+c2+2bc=50+31=81，所以b+c=9，所以△ABC的周长为a+b+c=14.18．【2022年新高考1卷】记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知cosA1+sinA =sin2B1+cos2B．(1)若C=2π3，求B；(2)求a2+b2c2的最小值．【答案】(1)π6； (2)4√2−5． 【解析】 【分析】（1）根据二倍角公式以及两角差的余弦公式可将cosA 1+sinA =sin2B1+cos2B 化成cos (A +B )=sinB ，再结合0<B <π2，即可求出； （2）由（1）知，C =π2+B ，A =π2−2B ，再利用正弦定理以及二倍角公式将a 2+b 2c 2化成4cos 2B +2cos 2B−5，然后利用基本不等式即可解出．(1)因为cosA1+sinA =sin2B1+cos2B =2sinBcosB 2cos 2B=sinBcosB ，即sinB =cosAcosB −sinAsinB =cos (A +B )=−cosC =12，而0<B <π2，所以B =π6； (2)由（1）知，sinB =−cosC >0，所以π2<C <π,0<B <π2， 而sinB =−cosC =sin (C −π2)， 所以C =π2+B ，即有A =π2−2B ． 所以a 2+b 2c 2=sin 2A+sin 2Bsin 2C=cos 22B+1−cos 2Bcos 2B=(2cos 2B−1)2+1−cos 2Bcos 2B=4cos 2B +2cos 2B −5≥2√8−5=4√2−5．当且仅当cos 2B =√22时取等号，所以a 2+b 2c 2的最小值为4√2−5．19．【2022年新高考2卷】记△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，分别以a ，b ，c 为边长的三个正三角形的面积依次为S 1,S 2,S 3，已知S 1−S 2+S 3=√32,sinB =13．(1)求△ABC 的面积； (2)若sinAsinC =√23，求b ．【答案】(1)√28(2)12 【解析】 【分析】（1）先表示出S 1,S 2,S 3，再由S 1−S 2+S 3=√32求得a 2+c 2−b 2=2，结合余弦定理及平方关系求得ac ，再由面积公式求解即可； （2）由正弦定理得b 2sin 2B=acsinAsinC ，即可求解. (1)由题意得S 1=12⋅a 2⋅√32=√34a 2,S 2=√34b 2,S 3=√34c 2，则S 1−S 2+S 3=√34a 2−√34b 2+√34c 2=√32， 即a 2+c 2−b 2=2，由余弦定理得cosB =a 2+c 2−b 22ac，整理得accosB =1，则cosB >0，又sinB=13，则cosB =√1−(13)2=2√23，ac =1cosB=3√24，则S △ABC =12acsinB =√28； (2)由正弦定理得：bsinB =asinA =csinC ，则b 2sin 2B =asinA ⋅csinC =acsinAsinC =3√24√23=94，则b sinB =32，b =32sinB =12.20．【2022年北京】在△ABC 中，sin2C =√3sinC ． (1)求∠C ；(2)若b =6，且△ABC 的面积为6√3，求△ABC 的周长． 【答案】(1)π6 (2)6+6√3 【解析】 【分析】（1）利用二倍角的正弦公式化简可得cosC 的值，结合角C 的取值范围可求得角C 的值； （2）利用三角形的面积公式可求得a 的值，由余弦定理可求得c 的值，即可求得△ABC 的周长. (1)解：因为C ∈(0,π)，则sinC >0，由已知可得√3sinC =2sinCcosC ，可得cosC =√32，因此，C =π6.(2)解：由三角形的面积公式可得S △ABC =12absinC =32a =6√3，解得a =4√3.由余弦定理可得c 2=a 2+b 2−2abcosC =48+36−2×4√3×6×√32=12，∴c =2√3，所以，△ABC 的周长为a +b +c =6√3+6.21．【2022年浙江】在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ．已知4a =√5c,cosC =35． (1)求sinA 的值；(2)若b =11，求△ABC 的面积．【答案】(1)√55；(2)22． 【解析】 【分析】（1）先由平方关系求出sinC ，再根据正弦定理即可解出； （2）根据余弦定理的推论cosC =a 2+b 2−c 22ab以及4a =√5c 可解出a ，即可由三角形面积公式S=12absinC 求出面积．(1)由于cosC =35， 0<C <π，则sinC =45．因为4a =√5c ， 由正弦定理知4sinA =√5sinC ，则sinA =√54sinC =√55．(2)因为4a =√5c ，由余弦定理，得cosC =a 2+b 2−c 22ab =a 2+121−165a 222a=11−a 252a=35，即a 2+6a −55=0，解得a =5，而sinC =45，b =11， 所以△ABC 的面积S =12absinC =12×5×11×45=22．1．（2022·宁夏·银川一中模拟预测（文））已知点12P ⎛- ⎝⎭在角θ的终边上，且[)0,2πθ∈，则角θ的大小为（ ）． A ．π3B ．2π3C ．5π3D ．4π3【答案】B 【解析】 【分析】根据给定条件，确定角θ的范围，再利用三角函数定义求解作答. 【详解】依题意，点12P ⎛- ⎝⎭在第二象限，又[)0,2πθ∈，则ππ2θ<<，而tan θ=所以2π3θ=. 故选：B2．（2022·安徽省舒城中学三模（理））将函数π()2sin()(0)3f x x ωω=->的图象向左平移3ωπ个单位，得到函数()y g x =的图象，若()y g x =在π[0,]4上为增函数，则ω最大值为（ ）A ．2B ．3C ．4D ．52【答案】A 【解析】 【分析】根据平移法则求出函数()g x 的解析式，进而求出()g x 的含有数0的单调区间，再借助集合的包含关系即可解出. 【详解】依题意，()2sin[()]2sin 33g x x x ππωωω=+-=，由ππ22x ω-≤≤，0>ω得：ππ22x ωω-≤≤，于是得()y g x =的一个单调递增区间是ππ,22[]ωω-，因()y g x =在π[0,]4上为增函数，因此，ππ[π[0,]2]24,ωω-⊆，即有ππ24ω≥，解得02ω<≤，即ω最大值为2． 故选：A.3．（2022·甘肃·武威第六中学模拟预测（理））已知函数()12sin 32f x x πϕϕ⎛⎫⎛⎫=+< ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，直线x π=-为()f x 图象的一条对称轴，则下列说法正确的是（ ）A ．6π=ϕ B ．()f x 在区间,2ππ⎡⎤--⎢⎥⎣⎦单调递减C ．()f x 在区间[],ππ-上的最大值为2D ．()f x θ+为偶函数，则()23k k Z θππ=+∈【答案】D 【解析】 【分析】由已知得()2sin 23f ππϕ⎛⎫-=-+= ⎪⎝⎭，由2πϕ<可求得ϕ，可判断A 选项，由此有()12sin 36x f x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭；对于B ，由,2x ππ⎡⎤∈--⎢⎥⎣⎦得12363x πππ-≤-≤-，由正弦函数的单调性可判断；对于C ，由[],x ππ∈-得12366x πππ-≤-≤，由此得()f x 在区间[],ππ-上的最大值为2sin16π=；对于D ，()11+2sin +336f x x πθθ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，由()1+362k k Z ππθπ-=∈，解得()23k k Z θππ=+∈.【详解】解：因为函数()12sin 32f x x πϕϕ⎛⎫⎛⎫=+< ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，直线x π=-为()f x 图象的一条对称轴，所以()2sin 23f ππϕ⎛⎫-=-+=± ⎪⎝⎭，所以+,32k k Z ππϕπ-+=∈，又2πϕ<，所以6πϕ=-，故A 不正确；所以()12sin 36x f x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，对于B ，当,2x ππ⎡⎤∈--⎢⎥⎣⎦时，12363x πππ-≤-≤-，所以()f x 在区间,2ππ⎡⎤--⎢⎥⎣⎦单调递增，故B 不正确；对于C ，当[],x ππ∈-时，12366x πππ-≤-≤，()f x 在区间[],ππ-上的最大值为2sin 16π=，故C 不正确；对于D ，若()f x θ+为偶函数，则()()111+2sin +2sin +36336f x x x ππθθθ⎡⎤⎛⎫=-=- ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭，所以()1+362k k Z ππθπ-=∈，解得()23k k Z θππ=+∈，故D 正确，故选：D.4．（2022·全国·模拟预测）已知α，()0,πβ∈，πtan 3α⎛⎫+= ⎪⎝⎭，πcos 6β⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则()cos 2αβ-=（ ）A． B．CD【答案】D 【解析】 【分析】根据待求式的结构，πππ22362αβαβ⎛⎫⎛⎫-=+-+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭求解即可．【详解】解：因为πππππcos(2)cos 2sin 236236αβαβαβ⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=+-+-=+-+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎣⎦=ππsin 2()cos()36αβ++-ππcos 2()sin()36αβ++.222πππ2tan 2sin()cos()πππ333sin 22sin()cos()πππ333sin ()cos ()tan 1333ααααααααα⎛⎫+++ ⎪⎡⎤⎛⎫⎝⎭+=++=== ⎪⎢⎥⎛⎫⎝⎭⎣⎦+++++ ⎪⎝⎭，22222222π1tan cos ()sin ()π1333cos 2cos ()sin ()π3333cos ()sin ()tan 1333ππαααππαααππααα⎛⎫-++-+ ⎪⎡⎤⎛⎫⎝⎭+=+-+=== ⎪⎢⎥⎛⎫⎝⎭⎣⎦+++++ ⎪⎝⎭；πcos 6β⎛⎫+ ⎪⎝⎭ππ0,62β⎛⎫⎛⎫+∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以πsin 6β⎛⎫+ ⎪⎝⎭故cos(2)αβ-=． 故选：D.5．（2022·全国·模拟预测（文））已知函数()()()sin 0f x x ωϕω=+>的一个对称中心为,03π⎛-⎫⎪⎝⎭，()f x 在区间5,6ππ⎛⎫⎪⎝⎭上不单调，则ω的最小正整数值为（ ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．4【答案】B【分析】根据题意可得()sin()033f ππωϕ-=-+=，所以13k πϕωπ=+，1k Z ∈，由()f x 在区间5,6ππ⎛⎫⎪⎝⎭上不单调可得()()cos 0f x x ωωϕ'=+=在区间5,6ππ⎛⎫⎪⎝⎭上有解，所以22()2x k k Z πωϕπ+=+∈，在区间5,6ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭上有解，最终可得23k x ππωπ+=+，k Z ∈，取值即可得解.【详解】由函数()()()sin 0f x x ωϕω=+>的一个对称中心为,03π⎛-⎫⎪⎝⎭，可得()sin()033f ππωϕ-=-+=，所以13k πωϕπ-+=，1k Z ∈，13k πϕωπ=+，1k Z ∈，()()cos f x x ωωϕ'=+，由()f x 在区间5,6ππ⎛⎫⎪⎝⎭上不单调， 所以()()cos 0f x x ωωϕ'=+=在区间5,6ππ⎛⎫⎪⎝⎭上有解， 所以22()2x k k Z πωϕπ+=+∈，在区间5,6ππ⎛⎫⎪⎝⎭上有解， 所以122()32x k k k Z ππωωππ++=+∈，所以23k x ππωπ+=+，21k k k Z =-∈，又5,6x ππ⎛⎫∈⎪⎝⎭，所以74(,)363x πππ+∈， 所以36362(,)873k k k x ππωπ+++=∈+， 当2k =时，1515(,)87ω∈，此时ω的最小正整数为2.6．（2022·河南省杞县高中模拟预测（理））已知π02θ<<，若πsin 24θ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，则sin cos θθ+=（ ）A B C D 【答案】B 【解析】 【分析】根据题中所给的角的范围以及三角函数值，可以确定πcos 24θ⎛⎫- ⎪⎝⎭和角正弦求得3sin 25θ=，从而求得()28sin cos 1sin 25θθθ+=+=，根据角的范围确定符号，开方即可得结果. 【详解】 因为π02θ<<，所以ππ3π2444θ-<-<，又πsin 24θ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，所以ππ2044θ-<-<，所以πcos 24θ⎛⎫- ⎪⎝⎭所以ππππππ3sin 2sin 2sin 2cos cos 2sin 4444445θθθθ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+=-+-= ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦，所以()28sin cos 1sin 25θθθ+=+=，又sin cos 0θθ+>，sin cos θθ+= 故选：B ．7．（2022·全国·模拟预测（理））函数()f x 的图象按以下次序变换：①横坐标变为原来的12；②向左平移23π个单位长度；③向上平移一个单位长度；④纵坐标变为原来的2倍，得到sin y x =的图象，则()f x 的解析式为（ ）A ．()112sin 1223f x x π⎛⎫=-- ⎪⎝⎭B ．()11sin 1223f x x π⎛⎫=-- ⎪⎝⎭C ．()12sin 2123f x x π⎛⎫=-- ⎪⎝⎭D ．()1sin 2123f x x π⎛⎫=-- ⎪⎝⎭【答案】A 【解析】 【分析】根据三角函数图象变换的性质逆推求解即可 【详解】由题意，④纵坐标变为原来的2倍，得到sin y x =的图象，故④变换前为1sin 2y x =；③向上平移一个单位长度，故③变换前为1sin 12y x =-；②向左平移23π个单位长度，故②变换前为1si 123n 2y x π⎛⎫=-- ⎪⎝⎭；①横坐标变为原来的12，故①变换前为211si 3n 122y x π⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，故()f x 的解析式为()112sin 1223f x x π⎛⎫=-- ⎪⎝⎭故选：A8．（2022·黑龙江·哈九中三模（文））已知函数()()()sin 0,0,0πf x A x A ωϕωϕ=+>><<的部分图象如图所示，且13π23f ⎛⎫= ⎪⎝⎭．将()f x 图象上所有点的横坐标缩小为原来的14，再向上平移一个单位长度，得到()g x 的图象．若()()129g x g x =，1x ，[]20,4πx ∈，则21x x -的最大值为（ ）A ．πB ．2πC ．3πD ．4π【答案】C 【解析】 【分析】根据函数图象求得()12sin 23f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，再根据图象变换可得()g x 的解析式，结合()()129g x g x =，1x ，[]20,4x π∈，求得21,x x 的值，可得答案.【详解】设()f x 的最小正周期为T ，则由图可知372433T ππ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，得4T π=，则212T πω==，所以()1sin 2f x A x ϕ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，又由题图可知()f x 图象的一个对称中心为点2,03π⎛⎫-⎪⎝⎭， 故1223k πϕπ⎛⎫⨯-+= ⎪⎝⎭，Z k ∈，故3k πϕπ=+，Z k ∈， 因为0ϕπ<<，所以3πϕ=，所以()1sin 23f x A x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭.又因为1323f π⎛⎫= ⎪⎝⎭，故131135sin sin sin 2323322f A A A A πππππ⎛⎫⎛⎫=⨯+==== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 所以()12sin 23f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭；将()f x 图象上所有点的横坐标缩小为原来的14，再向上平移一个单位长度，得到()2sin 213g x x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭的图象；因为()()129g x g x =，所以12,x x 同时令()g x 取得最大值3，由()2sin 2133g x x π⎛⎫=++= ⎪⎝⎭，可得()11212k x π+=，Z k ∈，又[]12,0,4x x π∈，要求21x x -的最大值，故令0k =，得112x π=；令3k =，得23712x π=，所以21x x -的最大值为3731212πππ-=， 故选：C.9．（2022·全国·模拟预测）为了得到函数4sin 23y x π⎛⎫=+⎪⎝⎭的图象，只需将函数sin 26y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象（ ） A ．向左平移712π个单位长度 B ．向左平移76π个单位长度 C ．向右平移712π个单位长度 D ．向右平移76π个单位长度 【答案】A 【解析】 【分析】根据图像平移的规律，算出答案即可. 【详解】由题意，由于函数477sin(2)sin(2)sin 2()366126y x x x πππππ⎡⎤=+=++=++⎢⎥⎣⎦， 观察发现可由函数sin 26y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭向左平移712π个单位长度，得到函数4sin 23y x π⎛⎫=+⎪⎝⎭的图象， 故选：A.10．（2022·贵州·贵阳一中模拟预测（文））如图是函数()()sin (0,0,0)2f x A x A πωϕωϕ=+>><<的图像的一部分，则要得到该函数的图像，只需要将函数()2cos2g x x x -的图像（ ）A ．向左平移4π个单位长度 B ．向右平移4π个单位长度 C ．向左平移2π个单位长度D ．向右平移2π个单位长度【答案】A 【解析】 【分析】先由图像求得()2sin 32f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，再由辅助角公式化简()g x ，最后由三角函数的平移变换即可求解. 【详解】 由题图知：712,1234T T ππππω-=∴==，又()()0,2,sin 2f x A x ωωϕ>∴=∴=+，20,sin 0,0332f A πππϕϕ⎛⎫⎛⎫=∴+=<< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，解得(),sin 233f x A x ππϕ⎛⎫=∴=+ ⎪⎝⎭，又()()()0sin2,2sin 2,cos233f A A f x x g x x x ππ⎛⎫=∴==∴=+=-= ⎪⎝⎭2sin 26x π⎛⎫- ⎪⎝⎭，将()g x 向左平移4π得()2sin 22sin 22sin 246263x x x f x πππππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫+-=+-=+= ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦.故选：A.11．（2022·青海西宁·二模（文））在①6a =；②8a =；③12a =这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，若问题中的三角形存在，求cos A 的值；若问题中的三角形不存在，说明理由．问题：是否存在ABC ，它的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，面积为S ，且2224a b c S +-=，c =________？【答案】答案不唯一，具体见解析 【解析】 【分析】根据题干条件及余弦定理、面积公式，可求得角C 的值，若选①6a =，根据正弦定理，可求得sin A 的值，根据大边对大角原则，可得角A 只有一解，根据同角三角函数关系，可求得cos A 的值；若选②8a =，根据正弦定理，可求得sin A 的值，根据大边对大角原则，可得角A 有两解，根据同角三角函数关系，可求得cos A 的值；若选③12a =，根据正弦定理，可求得sin A 的值，因为sin 1A >，则三角形无解. 【详解】由题意可知在ABC 中， 因为2224a b c S +-=，且in 12s S ab C =， 所以222sin 2a b c C ab+-=， 由余弦定理可知222cos 2a b c C ab+-=， 所以cos sin C C = 因为(0,)C π∈， 所以4Cπ；若选①6a =，由正弦定理可得sin sin a cA C=，解得3sin sin5a A C c ==，在ABC 中，因为c a >，所以C A >， 又因为4Cπ，则角A 只有一解，且0,4A π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以4cos 5A ==．若选②8a =，由正弦定理可得sin sin a c A C=，解得4sin sin5a A C c ==， 在ABC 中，因为c a <，所以C A <， 又因为4Cπ，则角A 有两解，所以3cos 5A ==±．若选③12a =，由正弦定理可得sin sin a c A C=，解得6sin sin5a A C c ==， 因为sin 1A >，所以ABC 无解，即三角形不存在．12．（2022·河南·开封市东信学校模拟预测（理））在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且sinsin 2B Cb a B +=. (1)求角A 的大小；(2)若D 为BC 边中点，且2AD =，求a 的最小值. 【答案】(1)π3【解析】 【分析】（1）利用三角恒等变形及正弦定理即可求解； （2）利用余弦定理及基本不等式即可求解. (1)△sinsin 2B C b a B +=，△πsin sin 2A b aB -=，即cos sin 2Ab a B =.由正弦定理得cos sin sin 2sin AB A B ⋅=⋅. △sin 0B ≠，△cos sin 2sin cos 222A A A A ==. △cos02A ≠，△1sin 22A =，又△π022A <<, △π26A =，△π3A =；(2)△D 为BC 边中点，△2AD AB AC =+，即224()AD AB AC =+, △2AD =，△22162cos c b bc A =++，△2216b c bc +=-,△22216bc b c bc ≤+=-，即163≤bc , 当且仅当b c ==, △222222cos 162a b c bc A b c bc bc =+-=+-=-，△2161616233a ≥-⨯=，即a .故a . 13．（2022·山东聊城·三模）已知ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且sin cos()6b Cc B π=-.(1)求角B ；(2)若b =4，求ABC 周长的最大值. 【答案】(1)3B π=；(2)12. 【解析】 【分析】（1）利用差角的余弦公式，结合正弦定理，化简计算作答. （2）利用余弦定理，结合均值不等式求出a +c 的最大值 (1)因为sin cos()6b C c B π=-，则1sin sin )2b Cc B B =+，在ABC 中，由正弦定理得，1sin sin sin sin )2B C C B B =+，而(0,π)C ∈，即sin 0C >，整理得sin B B =，即tan B =()0,πB ∈，解得π3B =， 所以π3B =. (2)在ABC 中，由余弦定理2222cos b a c ac B =+-得：2216a c ac =+-，即()2163a c ac +-=， 而2()2a c ac +≤，于是得()264a c +≤，当且仅当a =c =4时取“=”， 因此，当a =c =4时，a +c 取最大值8，从而a +b +c 取最大值12， 所以ABC 周长的最大值为12.14．（2022·河南·平顶山市第一高级中学模拟预测（理））在ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且22(cos )2b a b c a B -=-．(1)求角A 的大小；(2)若8c =，ABC 的面积为BC 边上的高． 【答案】(1)3A π=【解析】 【分析】（1）由余弦定理化简可得答案；（2）由三角形的面积公式可得b 值，由余弦定理可得a 值，结合面积公式可得高. (1)22cos 2b a b c a B ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，即222()2cos a b ca B bc -=-．222222()a b c a b bc ∴-=+--，222b c a bc ∴+-=，2221cos =22b c a A bc +-∴=．又(0,)A π∈，3A π∴=．(2)11sin 8sin 223S bc A b π==⨯⨯==2b ∴=．故由余弦定理可知a ==而1122S ah h ==⨯=解得h =，所以BC ． 15．（2022·四川省泸县第二中学模拟预测（理））在ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c cos A A +=b =①：2a =，222sin sin sin B A C >+；条件②：a b <，21cos cos sin 2a A C c A a =+．这两个条件中选择一个作为已知，求：(1)tan 2A 的值； (2)c 和面积S 的值．【答案】(1)条件选择见解析，tan 2A =(2)条件选择见解析，2c =，S =【解析】 【分析】（1）若选①，由已知条件可得πsin 6A ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，得π6A =或π2，由于a b <，则可得π6A =，进而可求出tan 2A ，若选②，由已知条件可得πsin 6A ⎛⎫+ ⎪⎝⎭，得π6A =或π2，由于a b <，则可得π6A =，进而可求出tan 2A ，（2）若选①，由正弦定理得sin B =222sin sin sin B A C >+得222b a c >+，再由余弦定理得cos 0B <，则2π3B =，求得π6C =，然后利用三角形面积公式可求得结果，若选②，由正弦定理结合三角函数恒等变换公式可得1cos 2B =-，从而可得2π3B =，则π6C =，然后利用三角形面积公式可求得结果， (1)若选①：2a =，222sin sin sin B A C >+，在ABC cos A A +=πsin 6A ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，而ππ7π,666A ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，故ππ63A +=或2π3， 则π6A =或π2，△2a b =<=π6A =，△πtan 2tan3A == 若选②：a b <，21cos cos sin 2a A C c A a =+在ABC cos A A +=πsin 6A ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，而ππ7π,666A ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，故ππ63A +=或2π3，则π6A =或π2，由a b <，得：π6A =，△πtan 2tan 3A ==(2)若选①：2a =，222sin sin sin B A C >+，由正弦定理得：sin sin a b A B =，2πsin 6=sin B =， 由222222sin sin sin B A C b a c >+⇒>+知：222cos 02a c b B ac+-=<，故2π3B =， 则π6C =，△2c a ==，11πsin 2sin 226S ab C ==⨯⨯= 若选②：a b <，21cos cos sin 2a A C c A a =+由正弦定理得：21sin cos cos sin sin sin 2A A C C A A =+，△sin 0A ≠△1cos cos sin sin 2A C A C -=，即()1cos 2A C +=，1cos 2B =-， △0πB <<，故2π3B =，则π6C =， △a c =△由余弦定理得2222cos b a c ac B =+-，22211222c c c ⎛⎫=+-⋅- ⎪⎝⎭，得2c =，△11πsin 2sin 226S bc A ==⨯⨯=。
高一数学解斜三角形试题
高一数学解斜三角形试题1.△ABC中，若，则△ABC的形状为（）.A．直角三角形B．等腰三角形C．等边三角形D．锐角三角形【答案】B【解析】由正弦定理及,得;则，即;又因为A,B是三角形的内角，,即三角形为等腰三角形.【考点】正弦定理、三角形形状的判定.2.在△ABC中，a＝4，b＝4，角A＝30°，则角B等于 ()．A．30°B．30°或150°C．60°D．60°或120°【解析】D由正弦定理得，由于，，符合大边对大角.【考点】正弦定理的应用.3.在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为,设S为△ABC的面积，且。
（Ⅰ）求角A的大小；（Ⅱ）若，求△ABC周长的取值范围.【答案】(1);(2）周长的取值范围是.【解析】（1）在解决三角形的问题中，面积公式最常用，因为公式中既有边又有角，容易和正弦定理、余弦定理联系起来；（2）在三角形中，两边和一角知道，该三角形是确定的，其解是唯一的，利用余弦定理求第三边.（3）若是已知两边和一边的对角，该三角形具有不唯一性，通常根据大边对大角进行判断.（4）在三角形中，注意这个隐含条件的使用，在求范围时，注意根据题中条件限制角的范围.试题解析：解：（Ⅰ）由题意可知，所以 4分（Ⅱ）法一：由已知：，由余弦定理得：（当且仅当时等号成立）∴（，又，∴，从而周长的取值范围是. 12分法二：由正弦定理得：∴，，.∵∴，即（当且仅当时，等号成立）从而周长的取值范围是 12分【考点】（1）与面积有关的问题；（2）求三角形周长的范围.4.在中，已知，，则为（）A．等边三角形B．等腰直角三角形C．锐角非等边三角形D．钝角三角形【答案】B【解析】由正弦定理得,在三角形中.,整理的又是等腰直角三角形【考点】判断三角形的形状.5.座落于我市红梅公园边的天宁宝塔堪称中华之最，也堪称佛塔世界之最．如图，已知天宁宝塔AB高度为150米，某大楼CD高度为90米，从大楼CD顶部C看天宁宝塔AB的张角，求天宁宝塔AB与大楼CD底部之间的距离BD．【答案】180米．【解析】本题难点在于选择函数解析式模型,是用余弦定理解三角形,还是取直角三角形表示边.如用余弦定理解三角形,则得,解此方程成为难点;如构造直角三角形就会减少运算量,即作CE AB于E,构造直角三角形CBE和直角三角形CAE,利用两角和的正切公式得到关于BD的方程,解此方程的运算量要少得多.将一个已知角分为两个角的和,这种思维不常见,须多加注意,深刻体会.试题解析：解：如图作CE AB于E．因为AB∥CD，AB=150，CD=90，所以BE=90，AE=60．设CE=，，则． 2分在和中，， 4分因为，所以． 8分化简得，解得或（舍去）． 10分答：天宁宝塔AB与大楼CD底部之间的距离为180米． 12分【考点】两角和的正切公式,函数与方程.6.已知的周长为，且，（Ⅰ）求边AB的长；（Ⅱ）若的面积为，求角C的度数。
高考数学专题复习-三角函数与解三角形
第1讲 三角函数的图象与性质高考定位 三角函数的图象与性质是高考考查的重点和热点内容,主要从以下两个方面进行考查：1.三角函数的图象,涉及图象变换问题以及由图象确定解析式问题,主要以选择题、填空题的形式考查；2.利用三角函数的性质求解三角函数的值、参数、最值、值域、单调区间等,主要以解答题的形式考查.真 题 感 悟1.(全国Ⅰ卷)已知角α的顶点为坐标原点,始边与x 轴的非负半轴重合,终边上有两点A (1,a ),B (2,b ),且cos 2α＝23,则|a －b |＝( ) A.15B.55C.255D.1解析 由题意知cos α>0.因为cos 2α＝2cos 2α－1＝23,所以cos α＝306,sin α＝±66,得|tan α|＝55.由题意知|tan α|＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪a －b 1－2,所以|a －b |＝55. 答案 B2.(全国Ⅲ卷)设函数f (x )＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3,则下列结论错误的是( )A.f (x )的一个周期为－2πB.y ＝f (x )的图象关于直线x ＝8π3对称 C.f (x ＋π)的一个零点为x ＝π6 D.f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π单调递减解析 A 项,因为f (x )的周期为2k π(k ∈Z 且k ≠0),所以f (x )的一个周期为－2π,A 项正确.B 项,因为f (x )图象的对称轴为直线x ＝k π－π3(k ∈Z ),当k ＝3时,直线x ＝8π3是其对称轴,B 项正确.C 项,f (x ＋π)＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋4π3,将x ＝π6代入得到f ⎝ ⎛⎭⎪⎫7π6＝cos 3π2＝0,所以x ＝π6是f (x ＋π)的一个零点,C 项正确.D 项,因为f (x )＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3的递减区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π－π3，2k π＋2π3 (k ∈Z ),递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π＋2π3，2k π＋5π3 (k ∈Z ),所以⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，2π3是减区间,⎣⎢⎡⎭⎪⎫2π3，π是增区间,D 项错误. 答案 D3.(全国Ⅰ卷)已知函数f (x )＝2cos 2x －sin 2x ＋2,则( ) A.f (x )的最小正周期为π,最大值为3 B.f (x )的最小正周期为π,最大值为4 C.f (x )的最小正周期为2π,最大值为3 D.f (x )的最小正周期为2π,最大值为4解析 易知f (x )＝2cos 2x －sin 2x ＋2＝3cos 2x ＋1＝3cos 2x ＋12＋1＝32cos 2x ＋52,则f (x )的最小正周期为π,当2x ＝2k π,即x ＝k π(k ∈Z )时,f (x )取得最大值,最大值为4. 答案 B4.(全国Ⅱ卷)若f (x )＝cos x －sin x 在[－a ,a ]是减函数,则a 的最大值是( ) A.π4B.π2C.3π4D.π解析 f (x )＝cos x －sin x ＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4,且函数y ＝cos x 在区间[0,π]上单调递减,则由0≤x ＋π4≤π,得－π4≤x ≤3π4.因为f (x )在[－a ,a ]上是减函数,所以⎩⎪⎨⎪⎧－a ≥－π4，a ≤3π4，解得a ≤π4,所以0<a ≤π4,所以a 的最大值是π4. 答案 A考 点 整 合1.常用三种函数的图象与性质(下表中k ∈Z )图象递增 区间 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π－π2，2k π＋π2 [2k π－π,2k π]⎝ ⎛⎭⎪⎫k π－π2，k π＋π2 递减 区间 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π＋π2，2k π＋3π2 [2k π,2k π＋π] 奇偶性 奇函数 偶函数 奇函数 对称 中心 (k π,0) ⎝ ⎛⎭⎪⎫k π＋π2，0 ⎝ ⎛⎭⎪⎫k π2，0 对称轴 x ＝k π＋π2 x ＝k π 周期性2π2ππ2.三角函数的常用结论(1)y ＝A sin(ωx ＋φ),当φ＝k π(k ∈Z )时为奇函数；当φ＝k π＋π2(k ∈Z )时为偶函数；对称轴方程可由ωx ＋φ＝k π＋π2(k ∈Z )求得.(2)y ＝A cos(ωx ＋φ),当φ＝k π＋π2(k ∈Z )时为奇函数；当φ＝k π(k ∈Z )时为偶函数；对称轴方程可由ωx ＋φ＝k π(k ∈Z )求得. (3)y ＝A tan(ωx ＋φ),当φ＝k π(k ∈Z )时为奇函数. 3.三角函数的两种常见变换热点一 三角函数的定义【例1】 (1)(北京卷)在平面直角坐标系xOy 中,角α与角β均以Ox 为始边,它们的终边关于y 轴对称.若sin α＝13,则cos(α－β)＝________.(2)如图,以Ox 为始边作角α(0<α<π),终边与单位圆相交于点P ,已知点P 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫－35，45,则sin 2α＋cos 2α＋11＋tan α＝________.解析 (1)法一 由已知得β＝(2k ＋1)π－α(k ∈Z ). ∵sin α＝13,∴sin β＝sin[(2k ＋1)π－α]＝sin α＝13(k ∈Z ). 当cos α＝1－sin 2α＝223时,cos β＝－223,∴cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β＝223×⎝ ⎛⎭⎪⎫－223＋13×13＝－79. 当cos α＝－1－sin 2α＝－223时,cos β＝223,∴cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β＝－79.综上可知,cos(α－β)＝－79.法二 由已知得β＝(2k ＋1)π－α(k ∈Z ),∴sin β＝sin[(2k ＋1)π－α]＝sinα, cos β＝cos[(2k ＋1)π－α]＝－cos α,k ∈Z .当sin α＝13时,cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β＝－cos 2α＋sin 2α＝－(1－sin 2α)＋sin 2α＝2sin 2α－1＝2×19－1＝－79.(2)由三角函数定义,得cos α＝－35,sin α＝45,∴原式＝2sin αcos α＋2cos 2α1＋sin αcos α＝2cos α（sin α＋cos α）sin α＋cos αcos α＝2cos 2α＝2×⎝ ⎛⎭⎪⎫－352＝1825. 答案 (1)－79 (2)1825探究提高 1.当角的终边所在的位置不是唯一确定的时候要注意分情况解决,机械地使用三角函数的定义就会出现错误.2.任意角的三角函数值仅与角α的终边位置有关,而与角α终边上点P 的位置无关.若角α已经给出,则无论点P 选择在α终边上的什么位置,角α的三角函数值都是确定的.【训练1】 (1)(潍坊三模)在直角坐标系中,若角α的终边经过点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫sin 23π，cos 23π,则sin(π－α)＝( ) A.12B.32C.－12D.－32(2)(北京卷)在平面直角坐标系中,AB ︵,CD ︵,EF ︵,GH ︵是圆x 2＋y 2＝1上的四段弧(如图),点P 在其中一段上,角α以Ox 为始边,OP 为终边.若tan α<cos α<sin α,则P 所在的圆弧是( )A.AB ︵B.CD ︵C.EF ︵D.GH ︵解析 (1)∵角α的终边过点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫sin 23π，cos 23π,且|OP |＝1.∴由三角函数定义,知sinα＝cos 2π3＝－12.因此sin(π－α)＝sin α＝－12.(2)设点P 的坐标为(x ,y ),由三角函数的定义得yx <x <y ,所以－1<x <0,0<y <1.所以P 所在的圆弧是EF ︵. 答案 (1)C (2)C 热点二 三角函数的图象 考法1 三角函数的图象变换【例2－1】 (1)要想得到函数y ＝sin 2x ＋1的图象,只需将函数y ＝cos 2x 的图象( )A.向左平移π4个单位长度,再向上平移1个单位长度 B.向右平移π4个单位长度,再向上平移1个单位长度 C.向左平移π2个单位长度,再向下平移1个单位长度D.向右平移π2个单位长度,再向下平移1个单位长度(2)(湖南六校联考)已知函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫ω>0，|φ|<π2,其图象相邻两条对称轴之间的距离为π2,将函数y ＝f (x )的图象向左平移π3个单位长度后,得到的图象关于y 轴对称,那么函数y ＝f (x )的图象( )A.关于点⎝ ⎛⎭⎪⎫π12，0对称B.关于点⎝ ⎛⎭⎪⎫－π12，0对称C.关于直线x ＝π12对称D.关于直线x ＝－π12对称解析 (1)因为y ＝sin 2x ＋1＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π2＋1＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π4＋1,故只需将函数y ＝cos 2x 的图象向右平移π4个单位长度,再向上平移1个单位长度,即可得到函数y ＝sin 2x ＋1的图象. (2)由题意,T ＝π,ω＝2.又y ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋φ＋2π3的图象关于y 轴对称.∴φ＋2π3＝k π＋π2,k ∈Z . 由|φ|<π2,取φ＝－π6,因此f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6,代入检验f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π12＝0,A 正确.答案 (1)B (2)A探究提高 1.“五点法”作图：设z ＝ωx ＋φ,令z ＝0,π2,π,3π2,2π,求出x 的值与相应的y 的值,描点、连线可得.2.在图象变换过程中务必分清是先相位变换,还是先周期变换.变换只是相对于其中的自变量x 而言的,如果x 的系数不是1,就要把这个系数提取后再确定变换的单位长度和方向.考法2 由函数的图象特征求解析式【例2－2】 (1)函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫A >0，ω>0，|φ|<π2的部分图象如图所示,则函数f (x )的解析式为( )A.f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π6B.f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3C.f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π12D.f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6(2)(济南调研)函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫A >0，ω>0，|φ|<π2的部分图象如图所示,若x 1,x 2∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6，π3,且f (x 1)＝f (x 2),则f (x 1＋x 2)＝( )A.1B.12C.22D.32解析 (1)由题意知A ＝2,T ＝4⎝ ⎛⎭⎪⎫5π12－π6＝π,ω＝2,因为当x ＝5π12时取得最大值2,所以2＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2×5π12＋φ, 所以2×5π12＋φ＝2k π＋π2,k ∈Z ,解得φ＝2k π－π3,k ∈Z , 因为|φ|<π2,得φ＝－π3. 因此函数f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3.(2)观察图象可知,A ＝1,T ＝π,则ω＝2. 又点⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6，0是“五点法”中的始点,∴2×⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6＋φ＝0,φ＝π3. 则f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3. 函数图象的对称轴为x ＝－π6＋π32＝π12.又x 1,x 2∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6，π3,且f (x 1)＝f (x 2),所以x 1＋x 22＝π12,则x 1＋x 2＝π6,因此f (x 1＋x 2)＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2×π6＋π3＝32. 答案 (1)B (2)D探究提高 已知函数y ＝A sin(ωx ＋φ)(A >0,ω>0)的图象求解析式时,常采用待定系数法,由图中的最高点、最低点或特殊点求A ；由函数的周期确定ω；确定φ常根据“五点法”中的五个点求解,其中一般把第一个零点作为突破口,可以从图象的升降找准第一个零点的位置.【训练2】 已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A ＞0,ω＞0,|φ|＜π2)的部分图象如图所示.(1)求函数f (x )的解析式；(2)将函数y ＝f (x )的图象上各点的纵坐标保持不变,横坐标缩短到原来的12倍,再把所得的函数图象向左平移π6个单位长度,得到函数y ＝g (x )的图象,求函数g (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π8上的最小值.解 (1)设函数f (x )的最小正周期为T ,由题图可知 A ＝1,T 2＝2π3－π6＝π2,即T ＝π,所以π＝2πω,解得ω＝2,所以f (x )＝sin(2x ＋φ),又过点⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，0,由0＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2×π6＋φ可得π3＋φ＝2k π,k ∈Z , 则φ＝2k π－π3,k ∈Z ,因为|φ|＜π2,所以φ＝－π3,故函数f (x )的解析式为f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3. (2)根据条件得g (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫4x ＋π3,当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π8时,4x ＋π3∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π3，5π6,所以当x ＝π8时,g (x )取得最小值,且g (x )min ＝12. 热点三 三角函数的性质 考法1 三角函数性质【例3－1】 (合肥质检)已知函数f (x )＝sin ωx －cos ωx (ω>0)的最小正周期为π. (1)求函数y ＝f (x )图象的对称轴方程； (2)讨论函数f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上的单调性. 解 (1)∵f (x )＝sin ωx －cos ωx ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx －π4,且T ＝π,∴ω＝2,于是f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π4.令2x －π4＝k π＋π2(k ∈Z ),得x ＝k π2＋3π8(k ∈Z ).即函数f (x )图象的对称轴方程为x ＝k π2＋3π8(k ∈Z ).(2)令2k π－π2≤2x －π4≤2k π＋π2(k ∈Z ),得函数f (x )的单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－π8，k π＋3π8(k ∈Z ).注意到x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2,所以令k ＝0,得函数f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上的单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，3π8；同理,其单调递减区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤3π8，π2.探究提高 1.讨论三角函数的单调性,研究函数的周期性、奇偶性与对称性,都必须首先利用辅助角公式,将函数化成一个角的一种三角函数.2.求函数y ＝A sin(ωx ＋φ)(A >0,ω>0)的单调区间,是将ωx ＋φ作为一个整体代入正弦函数增区间(或减区间),求出的区间即为y ＝A sin(ωx ＋φ)的增区间(或减区间),但是当A ＞0,ω＜0时,需先利用诱导公式变形为y ＝－A sin(－ωx －φ),则y ＝A sin(－ωx －φ)的增区间即为原函数的减区间,减区间即为原函数的增区间. 考法2 三角函数性质与图象的综合应用【例3－2】 已知函数f (x )＝2sin ωx cos ωx ＋23sin 2ωx －3(ω>0)的最小正周期为π.(1)求函数f (x )的单调递增区间.(2)将函数f (x )的图象向左平移π6个单位,再向上平移1个单位,得到函数y ＝g (x )的图象,若y ＝g (x )在[0,b ](b >0)上至少含有10个零点,求b 的最小值. 解 (1)f (x )＝2sin ωx cos ωx ＋3(2sin 2ωx －1) ＝sin 2ωx －3cos 2ωx ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2ωx －π3.由最小正周期为π,得ω＝1, 所以f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3,由2k π－π2≤2x －π3≤2k π＋π2,k ∈Z ,整理得k π－π12≤x ≤kx ＋5π12,k ∈Z ,所以函数f (x )的单调递增区间是⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－π12，k π＋5π12,k ∈Z . (2)将函数f (x )的图象向左平移π6个单位,再向上平移1个单位,得到y ＝2sin 2x ＋1的图象；所以g (x )＝2sin 2x ＋1.令g (x )＝0,得x ＝k π＋7π12或x ＝k π＋11π12(k ∈Z ),所以在[0,π]上恰好有两个零点,若y ＝g (x )在[0,b ]上有10个零点,则b 不小于第10个零点的横坐标即可.所以b 的最小值为4π＋11π12＝59π12.探究提高 1.研究三角函数的图象与性质,关键是将函数化为y ＝A sin(ωx ＋φ)＋B (或y ＝A cos(ωx ＋φ)＋B )的形式,利用正余弦函数与复合函数的性质求解. 2.函数y ＝A sin(ωx ＋φ)(或y ＝A cos(ωx ＋φ))的最小正周期T ＝2π|ω|.应特别注意y ＝|A sin(ωx ＋φ)|的最小正周期为T ＝π|ω|.【训练3】 (湖南师大附中质检)已知向量m ＝(2cos ωx ,－1),n ＝(sin ωx －cos ωx ,2)(ω>0),函数f (x )＝m·n ＋3,若函数f (x )的图象的两个相邻对称中心的距离为π2. (1)求函数f (x )的单调增区间；(2)若将函数f (x )的图象先向左平移π4个单位,然后纵坐标不变,横坐标缩短为原来的12倍,得到函数g (x )的图象,当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，π2时,求函数g (x )的值域.解 (1)f (x )＝m·n ＋3＝2cos ωx (sin ωx －cos ωx )－2＋3 ＝sin 2ωx －cos 2ωx ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2ωx －π4.依题意知,最小正周期T ＝π.∴ω＝1,因此f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π4.令－π2＋2k π≤2x －π4≤π2＋2k π,k ∈Z ,求得f (x )的增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π8＋k π，3π8＋k π,k ∈Z .(2)将函数f (x )的图象先向左平移π4个单位,得y ＝2sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π4－π4＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4的图象. 然后纵坐标不变,横坐标缩短为原来的12倍,得到函数g (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫4x ＋π4的图象.故g (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫4x ＋π4,由π4≤x ≤π2,知5π4≤4x ＋π4≤9π4.∴－1≤sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫4x ＋π4≤22.故函数g (x )的值域是[－2,1].1.已知函数y＝A sin(ωx＋φ)＋B(A＞0,ω＞0)的图象求解析式(1)A＝y max－y min2,B＝y max＋y min2.(2)由函数的周期T求ω,ω＝2πT.(3)利用“五点法”中相对应的特殊点求φ.2.运用整体换元法求解单调区间与对称性类比y＝sin x的性质,只需将y＝A sin(ωx＋φ)中的“ωx＋φ”看成y＝sin x中的“x”,采用整体代入求解.(1)令ωx＋φ＝kπ＋π2(k∈Z),可求得对称轴方程；(2)令ωx＋φ＝kπ(k∈Z),可求得对称中心的横坐标；(3)将ωx＋φ看作整体,可求得y＝A sin(ωx＋φ)的单调区间,注意ω的符号.3.函数y＝A sin(ωx＋φ)＋B的性质及应用的求解思路第一步：先借助三角恒等变换及相应三角函数公式把待求函数化成y＝A sin(ωx ＋φ)＋B(一角一函数)的形式；第二步：把“ωx＋φ”视为一个整体,借助复合函数性质求y＝A sin(ωx＋φ)＋B的单调性及奇偶性、最值、对称性等问题.一、选择题1.(全国Ⅲ卷)函数f(x)＝tan x1＋tan2x的最小正周期为()A.π4 B.π2 C.π D.2π解析f(x)＝tan x1＋tan2x＝sin xcos x1＋sin2xcos2x＝sin x cos xcos2x＋sin2x＝sin x cos x＝12sin 2x,所以f(x)的最小正周期T＝2π2＝π.答案 C2.(全国Ⅲ卷)函数f(x)＝15sin⎝⎛⎭⎪⎫x＋π3＋cos⎝⎛⎭⎪⎫x－π6的最大值为()A.65 B.1 C.35 D.15解析 cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π6＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2－⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3,则f (x )＝15sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3＝65sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3,函数的最大值为65. 答案 A3.(湖南六校联考)定义一种运算⎪⎪⎪⎪⎪⎪a b c d ＝ad －bc ,将函数f (x )＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪2 2sin x 3 cos x 的图象向左平移φ(φ>0)个单位,所得图象对应的函数为偶函数,则φ的最小值是( ) A.π6B.π3C.2π3D.5π6解析 f (x )＝2cos x －23sin x ＝4cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3,依题意g (x )＝f (x ＋φ)＝4cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3＋φ是偶函数(其中φ>0).∴π3＋φ＝k π,k ∈Z ,则φmin ＝23π. 答案 C4.偶函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A >0,ω>0,0<φ<π)的部分图象如图所示,其中△EFG 是斜边为4的等腰直角三角形(E ,F 是函数与x 轴的交点,点G 在图象上),则f (1)的值为( )A.22B.62C. 2D.2 2解析 依题设,T 2＝|EF |＝4,T ＝8,ω＝π4. ∵函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)为偶函数,且0<φ<π. ∴φ＝π2,在等腰直角△EGF 中,易求A ＝2. 所以f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4x ＋π2＝2cos π4x ,则f (1)＝ 2.答案 C5.(天津卷)将函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π5的图象向右平移π10个单位长度,所得图象对应的函数( )A.在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤3π4，5π4上单调递增B.在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤3π4，π上单调递减C.在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤5π4，3π2上单调递增D.在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤3π2，2π上单调递减解析 把函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π5的图象向右平移π10个单位长度得函数g (x )＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝⎛⎭⎪⎫x －π10＋π5＝sin 2x 的图象,由－π2＋2k π≤2x ≤π2＋2k π(k ∈Z )得－π4＋k π≤x ≤π4＋k π(k ∈Z ),令k ＝1,得3π4≤x ≤5π4,即函数g (x )＝sin 2x 的一个单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤3π4，5π4.答案 A 二、填空题6.(江苏卷)已知函数y ＝sin(2x ＋φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2<φ<π2的图象关于直线x ＝π3对称,则φ的值是________.解析 由函数y ＝sin(2x ＋φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2<φ<π2的图象关于直线x ＝π3对称,得sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3＋φ＝±1.因为－π2<φ<π2,所以π6<2π3＋φ<7π6,则2π3＋φ＝π2,φ＝－π6.答案 －π67.已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫A >0，ω>0，|φ|<π2的部分图象如图所示,其中|PQ |＝2 5.则f (x )的解析式为________.解析 由题图可知A ＝2,P (x 1,－2),Q (x 2,2),所以|PQ |＝（x 1－x 2）2＋（－2－2）2＝（x 1－x 2）2＋42＝2 5.整理得|x 1－x 2|＝2,所以函数f (x )的最小正周期T ＝2|x 1－x 2|＝4,即2πω＝4,解得ω＝π2.又函数图象过点(0,－3),所以2sin φ＝－3,即sin φ＝－32.又|φ|<π2,所以φ＝－π3,所以f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2x －π3.答案 f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2x －π38.(北京卷)设函数f (x )＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx －π6(ω>0).若f (x )≤f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4对任意的实数x 都成立,则ω的最小值为________.解析 由于对任意的实数都有f (x )≤f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4成立,故当x ＝π4时,函数f (x )有最大值,故f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＝1,πω4－π6＝2k π(k ∈Z ),∴ω＝8k ＋23(k ∈Z ).又ω>0,∴ωmin ＝23.答案 23 三、解答题9.已知函数f (x )＝4tan x sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－x ·cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π3－ 3. (1)求f (x )的定义域与最小正周期； (2)讨论f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4，π4上的单调性.解 (1)f (x )的定义域为{x |x ≠π2＋k π,k ∈Z },f (x )＝4tan x cos x cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π3－ 3＝4sin x cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π3－ 3＝4sin x ⎝ ⎛⎭⎪⎫12cos x ＋32sin x － 3＝2sin x cos x ＋23sin 2x － 3 ＝sin 2x －3cos 2x ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3.所以f (x )的最小正周期T ＝2π2＝π. (2)由－π2＋2k π≤2x －π3≤π2＋2k π,k ∈Z , 得－π12＋k π≤x ≤5π12＋k π,k ∈Z .设A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4，π4,B ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪－π12＋k π≤x ≤5π12＋k π，k ∈Z ,易知A ∩B ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π12，π4.所以当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4，π4时,f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π12，π4上单调递增,在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4，－π12上单调递减.10.(西安模拟)已知函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－x sin x －3cos 2x ＋32.(1)求f (x )的最大值及取得最大值时x 的值；(2)若方程f (x )＝23在(0,π)上的解为x 1,x 2,求cos(x 1－x 2)的值.解 (1)f (x )＝cos x sin x －32(2cos 2x －1) ＝12sin 2x －32cos 2x ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3. 当2x －π3＝π2＋2k π(k ∈Z ),即x ＝512π＋k π(k ∈Z )时,函数f (x )取最大值,且最大值为1.(2)由(1)知,函数f (x )图象的对称轴为x ＝512π＋k π,k ∈Z ,∴当x ∈(0,π)时,对称轴为x ＝512π.又方程f (x )＝23在(0,π)上的解为x 1,x 2.∴x 1＋x 2＝56π,则x 1＝56π－x 2,∴cos(x 1－x 2)＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫56π－2x 2＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x 2－π3, 又f (x 2)＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x 2－π3＝23,故cos(x 1－x 2)＝23.11.设函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx －π6＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx －π2,其中0＜ω＜3,已知f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＝0.(1)求ω；(2)将函数y ＝f (x )的图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍(纵坐标不变),再将得到的图象向左平移π4个单位,得到函数y ＝g (x )的图象,求g (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4，3π4上的最小值.解 (1)因为f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx －π6＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx －π2,所以f (x )＝32sin ωx －12cos ωx －cos ωx＝32sin ωx －32cos ωx ＝3⎝ ⎛⎭⎪⎫12sin ωx －32cos ωx＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx －π3.由题设知f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＝0,所以ωπ6－π3＝k π,k ∈Z ,故ω＝6k ＋2,k ∈Z . 又0＜ω＜3,所以ω＝2.(2)由(1)得f (x )＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3,所以g (x )＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4－π3＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π12. 因为x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4，3π4,所以x －π12∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，2π3,当x －π12＝－π3,即x ＝－π4时,g (x )取得最小值－32.。
高中数学-解三角形知识点汇总情况及典型例题1
实用标准解三角形的必备知识和典型例题及详解一、知识必备：1．直角三角形中各元素间的关系：在△ABC 中，C ＝90°，AB ＝c ，AC ＝b ，BC ＝a 。
（1）三边之间的关系：a 2＋b 2＝c 2。
（勾股定理） （2）锐角之间的关系：A ＋B ＝90°； （3）边角之间的关系：（锐角三角函数定义） sin A ＝cos B ＝c a ，cos A ＝sin B ＝c b ，tan A ＝ba。
2．斜三角形中各元素间的关系：在△ABC 中，A 、B 、C 为其内角，a 、b 、c 分别表示A 、B 、C 的对边。
（1）三角形内角和：A ＋B ＋C ＝π。
（2）正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等R Cc B b A a 2sin sin sin ===（R 为外接圆半径） （3）余弦定理：三角形任何一边的平方等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ； b 2＝c 2＋a 2－2ca cos B ； c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C 。
3．三角形的面积公式：（1）∆S ＝21ah a ＝21bh b ＝21ch c （h a 、h b 、h c 分别表示a 、b 、c 上的高）； （2）∆S ＝21ab sin C ＝21bc sin A ＝21ac sin B ；4．解三角形：由三角形的六个元素（即三条边和三个内角）中的三个元素（其中至少有一个是边）例1．（1）在∆ABC 中，已知032.0=A ，081.8=B ，42.9=a cm ，解三角形；（2）在∆ABC 中，已知20=a cm ，28=b cm ，040=A ，解三角形（角度精确到01，边长精确到1cm ）。
解：（1）根据三角形内角和定理，0180()=-+C A B 000180(32.081.8)=-+066.2=；根据正弦定理， 0sin 42.9sin81.880.1()sin sin32.0==≈a B b cm A ； 根据正弦定理，0sin 42.9sin66.274.1().sin sin32.0==≈a C c cm A（2）根据正弦定理， 0sin 28sin40sin 0.8999.20==≈b A B a 因为00＜B ＜0180，所以064≈B ，或0116.≈B①当064≈B 时，00000180()180(4064)76=-+≈-+=C A B ，sin 20sin7630().sin sin40==≈a C c cm A ②当0116≈B 时，180()180(40116)24=-+≈-+=C A B ，0sin 20sin2413().sin sin40==≈a C c cm A 点评：应用正弦定理时（1）应注意已知两边和其中一边的对角解三角形时，可能有两解的情形；（2）对于解三角形中的复杂运算可使用计算器 题型2：三角形面积例2．在∆ABC 中，sin cos A A +=22，AC =2，3=AB ，求A tan 的值和∆ABC 的面积。
高一数学三角函数三角恒等变换解三角形试题答案及解析
高一数学三角函数三角恒等变换解三角形试题答案及解析1.如图，在中，是边的中点，且，．（1）求的值；（2）求的值．【答案】（1）；（2）【解析】本题主要考察学生对三角函数的理解，根据三角形余弦定理其中的一个式子，带入对应条件即可求出∠A的余弦；根据上问得出的结论，先求出∠A的正弦值，再根据题中所给条件求出未知线段的长度，最后根据正弦定理，带入数据，进行求解，即可得出结果。
试题解析：（1）在中，，，；（2）由（1）知，，且，．是边的中点，．在中，，解得．由正弦定理得，，．【考点】正弦定理，余弦定理的综合运用2.已知的一个内角为120o，并且三边长构成公差为4的等差数列，则的面积为．【答案】【解析】设三边为，且所对的角为，由余弦定理得【考点】余弦定理与三角形面积公式3.已知，求的值．【答案】-3【解析】本题考察的是三角函数齐次式的化简求值，观察后可以发现需先通过诱导公式化简然后分子分母同时除以化成跟相关的式子，代入化简后的式子即可得到答案．试题解析：原式=，又原式【考点】三角函数化简求值4.在中的内角所对的边分别为，若,则的形状为A．直角三角形B．锐角三角形C．钝角三角形D．不确定【答案】A【解析】由正弦定理得,故选A．【考点】正弦定理，两角和的正弦公式．5.函数的值域是（）A．B．C．D．【答案】B【解析】，又，所以原式的值域为【考点】（1）二倍角公式（2）二次函数的性质6.若且是，则是（）A．第一象限角B．第二象限角C．第三象限角D．第四象限角【答案】C【解析】由于，故可能是第三或者第四象限角；由于，故可能是第一或者第三象限角．由于且，故是第三象限角，故选C．【考点】象限角7.已知，且是第三象限角，则的值为（）A．B．C．D．【答案】D【解析】，，因为是第三象限角，，【考点】（1）两角和与差的正弦函数公式（2）同角三角函数的基本关系8.已知△的三个内角满足，则△是（）A．等腰三角形B．锐角三角形C．直角三角形D．钝角三角形【答案】D【解析】由的三个内角满足，利用正弦定理可得，设，故为最大角，由余弦定理得，可得为钝角，故是钝角三角形，故选D。
高一数学解斜三角形测试题
第一章 解斜三角形1.1 正弦定理、余弦定理例1在ABC ∆中，已知,30,10,50===A c a 则=∠B ( )A.105°B.60°C.15°D.105°或15° 变式1-1在ABC ∆中，若045,25,50===A b a 则=∠B .变式1-2（06）在△ABC 中，已知BC ＝12，A ＝60°，B ＝45°，则AC ＝ .变式1-3在等腰三角形ABC 中，已知2:1sin :sin =B A ，底边10=BC ，则ABC ∆的周长是 .例2在ABC ∆中，已知三边c b a 、、满足ab c b a c b a 3)()(=-+⋅++, 则=∠C ( ) A.15° B.30° C.45° D.60°变式2-1若平行四边形两条邻边的长度分别是4cm 和4cm ，它们的夹角是45°，则这个平行四边形的两条对角线的长度分别为 . 变式2-2（06）在ABC ∆中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c , A =3π,a =3,b =1，则c = （ ） A ．1 B.2 C.3—1 D.3变式2-3边长为5、7、8的三角形的最大角与最小角之和为( )A.90°B.120°C.135°D.150°例3在ABC ∆中，若2cos2cos2cosC c B b A a ==，则ABC ∆的形状是( )A.等腰三角形B.等边三角形C.直角三角形D.等腰直角三角形 变式3-1在△ABC 中，A B B A 22sin tan sin tan ⋅=⋅，那么ABC ∆的形状是（ ） A ．锐角三角形 B ．直角三角形 C ．等腰三角形 D ．等腰三角形或直角三角形变式3-2在ABC ∆中，A 为锐角，2lg sin lg 1lg lg -==⎪⎭⎫⎝⎛+A c b ，则ABC ∆的形状是（ ）A. 等腰三角形B. 等边三角形C. 直角三角形D. 等腰直角三角形例4在ABC ∆中，若,2,2,300===∠AC AB B 则ABC ∆的面积是 . 变式4-1（06）在△ABC 中，已知5,8==AC BC ，三角形面积为12，则=C 2cos . 变式4-2在ABC ∆中，07050sin 2,10sin 4=∠==C b a ，则ABC ∆的面积为（ ）A.81 B.41 C.21D.1 例5（06）在ABC △中，1tan 4A =，3tan 5B =．（Ⅰ）求角C 的大小；（Ⅱ）若ABC △，求最小边的边长．变式5-1（06）已知ABC △1，且sin sin A B C +=．（I ）求边AB 的长；（II ）若ABC △的面积为1sin 6C ，求角C 的度数．变式5-2（06全国Ⅰ）设锐角三角形ABC 的角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，2sin a b A =．（Ⅰ）求B 的大小；（Ⅱ）若a =5c =，求b ．6（06）在ABC △中，角A B C ，，的对边分别为tan a b c C =，，，（1）求cos C ；（2）若25=⋅，且9a b +=，求c ．变式6-1（09理）在ABC ∆中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，且满cos25A =，3AB AC ⋅=．（Ⅰ）求ABC ∆的面积；（Ⅱ）若6b c +=，求a 的值．变式6-2（09理）在ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别为,,,3a b c B π=，4cos ,5A b ==.（Ⅰ）求sin C 的值；（Ⅱ）求ABC ∆的面积.变式6-3（09理）在∆ABC 中，31sin ,2==-B A C π.（Ⅰ）求A sin 的值；（Ⅱ）设，求∆ABC 的面积.变式6-4（09理）△ABC 中，,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，sin sin tan cos cos A BC A B+=+,sin()cos B A C -=.（Ⅰ）求,A C ；（Ⅱ）若3ABC S ∆=,求,a c .1.2 正弦定理、余弦定理的应用例1（09理）如图，A,B,C,D 都在同一个与水平面垂直的平面，B ，D 为两岛上的两座灯塔的塔顶。
高一数学解斜三角形试题答案及解析
高一数学解斜三角形试题答案及解析1.△ABC中，若，则△ABC的形状为．【答案】等腰三角形【解析】由余弦定理可知,代入中得,因此答案是等腰三角形.【考点】余弦定理及其变形应用2..中，角的对边分别为，且,则的面积为 .【答案】【解析】,.【考点】三角形的面积公式.3.在中，若，则△ABC的面积是= ( )．A．9B．9C．18D．18【答案】A【解析】在中，,是等腰三角形，，由三角形的面积公式得．考点:解三角形．4.在中，角所对的边分别为，若，且，则下列关系一定不成立的是（）A．B．C．D．【答案】B【解析】将代入可得，所以或，当时有有.【考点】解三角形.5.已知为的内角，且，则 .【答案】或【解析】依题意可知，且在单调递增，所以当时，，当时，，所以，即，综上可知或.【考点】1.三角形内角的取值范围；2.正弦函数的单调性.6.在中，若，，则的最大值为__________．【答案】【解析】设，最大值为【考点】解三角形与三角函数化简点评：借助于正弦定理，三角形内角和将边长用一内角表示，转化为三角函数求最值，只需将三角函数化简为的形式7.在△ABC中，已知cos A＝.(1)求sin2－cos(B＋C)的值；(2)若△ABC的面积为4，AB＝2，求BC的长．【答案】(1).(2) BC＝.【解析】(1)sin2－cos(B＋C)＝＋cos A＝＋＝. 5分(2)在△ABC中，∵cos A＝，∴sin A＝.＝4，得bcsin A＝4，得bc＝10.∵c＝AB＝2，∴b＝5.由S△ABC∴BC2＝a2＝b2＋c2－2bccos A＝52＋22－2×5×2×＝17.∴BC＝. 10分【考点】本题考查了三角恒等变换及余弦定理的运用点评：已知三角形的三个独立条件（不含已知三个角的情况），应用两定理，可以解三角形8.在中，如果，那么= ．【答案】【解析】因为，所以令a=2k,b=3k,c=4k，由余弦定理得，==。
高三数学解斜三角形试题答案及解析
高三数学解斜三角形试题答案及解析1.在△ABC中，，，△的面积为，则边的值为()A．B．C．D．【答案】C【解析】由题意，，解得，∴，.【考点】解三角形.2.已知P为三角形ABC内部任一点（不包括边界），且满足，则DABC的形状一定为___________.【答案】等腰三角形【解析】由等式，得，即，又由平行四边形法测可知所得向量在底边的中线上，又点为任一点，则此时有底边与其中线垂直，因此的形状为必为等腰三角形，故正确答案为等腰三角形.【考点】向量运算、三角形.3.设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若b cos C＋c cos B＝a sin A，则△ABC的形状为()．A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．不确定【答案】B【解析】由b cos C＋c cos B＝a sin A，得sin B cos C＋sin C cos B＝sin2A，即sin(B＋C)＝sin2A，所以sin A＝1，由0<A<π，得A＝，所以△ABC为直角三角形．4.在所对的边分别为且.（1）求；（2）若,求面积的最大值.【答案】（1）；（2）面积的最大值为．【解析】（1）求，首先利用三角形内角和等于对其转化成单角，再利用倍角公式进行恒等变化得，由已知，带入即可；（2）若,求面积的最大值，由已知，可求出，可利用，因此求即可，又因为，可想到利用余弦定理来解，由余弦定理得，，利用基本不等式可求出的最大值，从而得面积的最大值．试题解析：（1）6分（2）即，，面积的最大值为 12分【考点】三角恒等变换，解三角形5.在中，若，面积记作，则下列结论中一定成立的是（）A．B．C．D．【答案】D【解析】,因为在中，所以。
故D正确。
【考点】三角形面积及正弦函数的值域。
6.在中，角所对的边分别为，若，，则角的值为 .【答案】【解析】利用正弦定理化简，得：，将代入得：，即，∴由余弦定理得：，∵为三角形内角，∴，故答案为：．【考点】解三角形．7.5.在中，，，分别是，，的对边，已知，，成等比数列，且，则的值为( )A．B．C．D．【答案】C【解析】因为，，成等比数列，所以.又，∴.在中，由余弦定理得：，那么.由正弦定理得，又因为，，所以.【考点】1、等比数列的性质；2、正弦定理和余弦定理的应用.8.在中，，，，则的面积为()．A．B．C．D．【答案】C【解析】因为为三角形的内角，所以，所以三角形的面积，选C.【考点】三角形面积公式.9.已知点在球心为的球面上，的内角所对边的长为，且，球心到截面的距离为，则该球的表面积为 .【答案】【解析】如图，在中，由及余弦定理，得再由正弦定理得在中，由勾股定理得所以该球的表面积为．【考点】考查球的截面的性质、正弦定理、余弦定理及球表面积的计算．10.已知A、B、C是三角形ABC的三内角，且，并且（1）求角A的大小。
高一数学解斜三角形试题答案及解析
高一数学解斜三角形试题答案及解析1.在中，角所对的边分别为，若，且，则下列关系一定不成立的是（）A．B．C．D．【答案】B【解析】将代入可得，所以或，当时有有.【考点】解三角形.2.已知ABC中，,, 则= .【答案】【解析】根据题意，由于ABC中，,,则有正弦定理可知，由于b<a,则可知B<A,因此可知=，故答案为。
【考点】解三角形点评：主要是考查了解三角形的运用，属于基础题。
3.在△ABC中，BC＝a，AC＝b，a，b是方程的两个根，且。
求：⑴角C的度数；⑵ AB的长度。
【答案】（1）C＝120°；（2）【解析】（1）C＝120°（2）由题设：【考点】三角形内角和定理，诱导公式，两角和的三角函数，余弦定理的应用。
点评：中档题，本题综合性较强，三角形问题，一般要注意应用三角形内角和定理，适时的变角。
在确定三角形边长的过程中，有时须正弦定理与余弦定理综合应用。
4.在中，内角的对边分别为．已知．（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）若为钝角，，求的取值范围.【答案】（Ⅰ）3（Ⅱ）【解析】（1）由正玄定理，设所以又：A+B+C=因此（2）由，得c=3a由题意【考点】解三角形点评：解三角形时常借助于正弦定理，余弦定理，实现边与角的互相转化5.如图，山脚下有一小塔AB，在塔底B测得山顶C的仰角为60°，在山顶C测得塔顶A的俯角为45°，已知塔高AB＝20 m，求山高CD.【答案】米【解析】先根据三角形内角和求得∠BAC，进而根据正弦定理求得BC，最后在在Rt△BCD中，根据CD=BC•sin∠CBD求得答案。
解：在△ABC中，∵∠ABC=30°，∠ACB=15°，∴∠BAC=135°．又AB=20，由正弦定理，得BC= +1)．∴在Rt△BCD中，CD=BC•sin∠CBD=10(3+)．故山高为10(3+)m．【考点】解三角形点评：本题主要考查了解三角形的实际应用．考查了考生综合运用所学知识的能力6.在△ABC中，A、B、C的对边分别为a、b、c, 且（ 1 ）求；（ 2 ）若，的面积为，求的值.【答案】（1）. ( 2 ) =7。
高二数学解斜三角形试题答案及解析
高二数学解斜三角形试题答案及解析1.已知函数其中在中，分别是角的对边，且．（1）求角Ａ；（2）若，，求的面积．【答案】(1) (2)【解析】(1)根据向量的数量积运算可得函数的解析式.然后将代入可得.(2)根据题中所给条件以及角,利用余弦定理,联立可得.最后根据求得面积.试题解析：（1）因为,且.所以,可得或.解得或（舍）（2）由余弦定理得，整理得联立方程解得或。
所以【考点】向量的数量积运算;三角函数特殊角;余弦定理;三角形面积公式.2.已知两灯塔A和B与海洋观测站C的距离相等，灯塔A在观察站C的北偏东400，灯塔B在观察站C 的南偏东600，则灯塔A在灯塔B的（）A．北偏东100B．北偏西100C．南偏东100D．南偏西100【答案】B【解析】如图所示，，则内，则，所以灯塔A在灯塔B的北偏西100【考点】本题考查方向角.3.在塔底的水平面上某点测得塔顶的仰角为，由此点向塔沿直线行走米，测得塔顶的仰角为，则塔高是米.【答案】【解析】如下图，是塔高，则由，由，所以，解得.【考点】解三角形.4.在中，，，，则的面积是（）A．B．C．D．【答案】C【解析】因为，，所以，所以则的面积故选C【考点】解三角形及三角形面积公式.5.在中，已知，求边的长及的面积.【答案】，.【解析】根据题意，由余弦定理，可求出的值，再由三角形面积公式，可求得的面积.试题解析：在中,由余弦定理得: 3分∴ 6分由三角形的面积公式得： 9分12分【考点】1.余弦定理；2.三角形面积.6.在△ABC中,内角A,B,C的对边分别为,若.(1)求角B;(2)若的面积为,求函数的单调增区间【答案】(1)； (2)单调增区间【解析】(1)∵∴又∵∴∴(2)∴∴∴令得单调增区间【考点】余弦定理的应用，和差倍半的三角函数公式。
点评：中档题，涉及三角形问题，将三角函数问题与正弦定理、余弦定理得应用综合考查，比较典型。
注意发挥三角公式的化简作用。
复合函数的单调性遵循“内外层函数，同增异减”。
高三数学-专题复习-三角函数(2)解斜三角形(正弦定理余弦定理应用)
三角函数（2）解斜三角形（正余弦定理应用）1.正弦定理：A a sin =B b sin =Ccsin =2R.（关键点“比”,用法：边角转化） 利用正弦定理，可以解决以下两类有关三角形的问题. （1）已知两角和任一边，求其他两边和一角；（2）已知两边和其中一边的对角，求另一边的对角.（从而进一步求出其他的边和角） 2.余弦定理：a 2=b 2+c 2－2bccosA ； cos B =cab ac 2222-+；在余弦定理中，令C =90°，这时cos C =0，所以c 2=a 2+b 2. 利用余弦定理，可以解决以下两类有关三角形的问题：（1）已知三边，求三个角； （2）已知两边和它们的夹角，求第三边和其他两个角. 可能出现一解、两解或无解的情况，这时应结合“三角形中大边对大角定理及几何作图来理解”.题型一、判断三角形的形状：1.在△ABC 中，若2cos B sin A =sin C ，则△ABC 的形状一定是（ ） 答案：CA.等腰直角三角形B.直角三角形C.等腰三角形D.等边三角形2.下列条件中，△ABC 是锐角三角形的是（ ） A.sin A +cos A =51B.AB ·BC ＞0C.tan A +tan B +tan C ＞0D.b =3，c =33，B =30° 答案：C解析：由sin A +cos A =51 得2sin A cos A =－2524＜0，∴A 为钝角. 由AB ·BC ＞0，得BA ·BC ＜0，∴cos 〈BA ，BC 〉＜0.∴B 为钝角.由tan A +tan B +tan C ＞0，得tan （A +B ）·（1－tan A tan B ）+tan C ＞0. ∴tan A tan B tan C ＞0，A 、B 、C 都为锐角.由B b sin =C c sin ，得sin C =23，∴C =3π或3π2.3.在△ABC 中，sin A =CB CB cos cos sin sin ++，判断这个三角形的形状.解：△ABC 是直角三角形. 题型二、解斜三角形（求角度和长度）4.已知（a +b +c ）（b +c －a ）=3bc ，则∠A =_______. 解析：由已知得（b +c ）2－a 2=3bc ，∴b 2+c 2－a2=bc .∴bc a c b 2222-+=21.∴∠A =3π. 答案：3π5.在△ABC 中，“A ＞30°”是“sin A ＞21”的 A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件解析：在△ABC 中，A ＞30°⇒0＜sin A ＜1 sin A ＞21；sin A ＞21⇒30°＜A ＜150°⇒A ＞30°答案：B6.在△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别是a 、b 、c ，若三角形的面积S =41（a 2+b 2－c 2），则∠C 的度数是_______.解析：由S =41（a 2+b 2－c 2）得21ab sin C =41·2ab cos C .∴tan C =1.∴C =4π. 答案：45° 7.△ABC 的三个内角A 、B 、C 的对边分别是a 、b 、c ，如果a 2=b （b +c ），求证：A =2B . 证明：用正弦定理，a =2R sin A ，b =2R sin B ，c =2R sin C ，代入a 2=b （b +c ）中，得sin 2A =sin B （sin B +sin C ）⇒sin 2A －sin 2B =sin B sin C ⇒22cos 1A -－22cos 1B- =sin B sin （A +B ）⇒21（cos2B －cos2A ）=sin B sin （A +B ） ⇒sin （A +B ）sin （A －B ）=sin B sin （A +B ）， 因为A 、B 、C 为三角形的三内角，所以sin （A +B ）≠0.所以sin （A －B ）=sin B .所以只能有A －B =B ，即A =2B .该题若用余弦定理如何解决?解：利用余弦定理，由a 2=b （b +c ），得cos A =bc a c b 2222-+=bc c b b c b 222）（）（+-+=b bc 2-，cos2B =2cos 2B －1=2（ac b c a 2222-+）2－1=2222cc b b c c b ）（）（++－1=b b c 2-. 所以cos A =cos2B .因为A 、B 是△ABC 的内角，所以A =2B .评述：高考题中，涉及到三角形的题目，重点考查正弦、余弦定理，考查的侧重点还在于三角转换.这是命题者的初衷.8.△ABC 中，a 、b 、c 分别为∠A 、∠B 、∠C 的对边，如果a 、b 、c 成等差数列，∠B =30°，△ABC 的面积为23，那么b 等于（ ）A.231+ B.1+3 C.232+ D.2+3答案：B9.已知锐角△ABC 中，sin （A +B ）=53，sin （A －B ）=51. （1）求证：tan A =2tan B ； （2）设AB =3，求AB 边上的高. （1）证明：∵sin （A +B ）=53，sin （A －B ）=51，∴⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=+51sin cos cos sin 53sin cos cos sin B A B A B A B A B A B A B A tan tan 51sin cos 52cos sin ⇒⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==⇒=2. ∴tan A =2tan B . （2）解：2π＜A +B ＜π，∴sin （A +B ）=53. ∴tan （A +B ）=－43， 即BA BA tan tan 1tan tan -+=－43.将tan A =2tanB 代入上式整理得2tan 2B －4tan B －1=0，解得tan B =262±（负值舍去）.得tan B =262+，∴tan A =2tan B =2+6. 设AB边上的高为CD ，则AB =AD +DB =A CD tan +B CDtan =623+CD .由AB =3得CD =2+6，所以AB 边上的高为2+6.10.在△ABC 中，a 、b 、c 分别是∠A 、∠B 、∠C 的对边长，已知a 、b 、c 成等比数列，且a 2－c 2=ac －bc ，求∠A 的大小及cBb sin 的值. 解cBb sin =sin A =23.11.在△ABC 中，若∠C =60°，则ca bc b a +++=_______. 解析：c a bc b a +++=））（（c a c b bc b ac a +++++22 =222c bc ac ab bc ac b a ++++++. （*）∵∠C =60°，∴a 2+b 2－c 2=2ab cos C =ab . ∴a 2+b 2=ab +c 2. 代入（*）式得222cbc ac ab bc ac b a ++++++=1. 答案：1题型三、取值范围题目12.在△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，依次成等比数列，求y =BB Bcos sin 2sin 1++的取值范围.解：∵b2=ac ，∴cos B =ac b c a 2222-+=ac ac c a 222-+=21（c a +a c ）－21≥21. ∴0＜B ≤3π，y =BB B cos sin 2sin 1++=B B B B cos sin cos sin 2++）（=sin B +cos B =2sin （B +4π）.∵4π＜B +4π≤12π7， ∴22＜sin （B +4π）≤1. 故1＜y ≤2.13.已知△ABC 中，22（sin 2A －sin 2C ）=（a －b ）sin B ，外接圆半径为2. （1）求∠C ； （2）求△ABC 面积的最大值.解：（1）由22（sin 2A －sin 2C ）=（a －b ）·sin B 得22（224R a －224R c ）=（a －b ）Rb2. 又∵R =2，∴a 2－c 2=ab －b 2.∴a 2+b 2－c2=ab . ∴cos C =ab c b a 2222-+=21.又∵0°＜C＜180°，∴C =60°. （2）S =21ab sin C =21×23ab =23sin A sin B =23sin A sin （120°－A ）=23sin A（sin120°cos A －cos120°sin A ）=3sin A cos A +3sin 2A =23sin2A －23sin2A cos2A +23=3sin （2A －30°）+23. ∴当2A =120°，即A =60°时，S max =233. 14.在锐角△ABC 中，边长a =1，b =2，则边长c 的取值范围是_______.解析：若c 是最大边，则cos C ＞0.∴abc b a 2222-+＞0，∴c ＜5.又c ＞b －a =1， ∴1＜c ＜5.●思悟小结1.在△ABC 中，∵A +B +C =π，∴sin2B A +=cos 2C ，cos 2B A +=sin 2C2.∠A 、∠B 、∠C 成等差数列的充分必要条件是∠B =60°.3.在非直角三角形中，tan A +tan B +tan C =tan A ·tan B ·tan C .。
高一数学三角函数三角恒等变换解三角形试题答案及解析
高一数学三角函数三角恒等变换解三角形试题答案及解析1.(本小题满分12分)已知函数．(1)化简；(2)已知常数，若函数在区间上是增函数，求的取值范围；(3)若方程有解，求实数a的取值范围．【答案】（1）f(x)（2）（3）【解析】(1)························· 4分(2) ∵由∴的递增区间为∵在上是增函数∴当k = 0时，有∴解得∴的取值范围是····················· 8分(3) 解一：方程即为从而问题转化为方程有解，只需a在函数的值域范围内∵当；当∴实数a的取值范围为················ 12分解二：原方程可化为令，则问题转化为方程在［– 1，1］内有一解或两解，设，若方程在［– 1，1］内有一个解，则解得若方程在［– 1，1］内有两个解，则解得∴实数a的取值范围是［– 2，］2.已知函数（1）求函数f（x）的最小正周期及单调递增区间；（2）在中，A、B、C分别为三边所对的角，若a=f（A）=1，求的最大值．【答案】（1），单调增区间；（2）【解析】（1）首先借助于基本三角函数公式将函数式化简为的最简形式，周期由的系数求解，求增区间需令，解得的范围得到单调区间；（2）中由的值求得角，借助于三角形余弦定理可得到关于两边的关系式，进而结合不等式性质得到关于的不等式，求得范围试题解析：（1），所以函数的最小正周期为．由得所以函数的单调递增区间为．（2）由可得，又，所以。
高一数学解斜三角形试题答案及解析
高一数学解斜三角形试题答案及解析1.在中，内角的对边分别为，，，，则等于（）A．1B．C．D．2【答案】A.【解析】由正弦定理得.【考点】正弦定理的应用.2.△ABC中，若，则△ABC的形状为．【答案】等腰三角形【解析】由余弦定理可知,代入中得,因此答案是等腰三角形.【考点】余弦定理及其变形应用3.在△ABC中，已知B=45°，D是BC边上一点，AD=10,AC=14,DC=6，求AB的长.【答案】【解析】中由余弦定理可求，由同角间的基本关系式可求得，在中由正弦定理，可得AB的值.试题解析：解：在△ADC中，AD=10,AC=14,DC=6,由余弦定理得cos ADC==,ADC="120°," ADB=60°在△ABD中，AD="10," B="45°," ADB=60°，由正弦定理得,∴AB=. 12分【考点】余弦定理，正弦定理.4.边长为2的等边三角形，求它水平放置时的直观图的面积 .【答案】【解析】等边三角形ABC的边长为2，故面积为，而原图和直观图面积之间的关系故直观图△A/B/C/的面积为.【考点】斜二测画法，直观图5.已知ABC中，,, 则= .【答案】【解析】根据题意，由于ABC中，,,则有正弦定理可知，由于b<a,则可知B<A,因此可知=，故答案为。
【考点】解三角形点评：主要是考查了解三角形的运用，属于基础题。
6.在中，，，则=（）A．B．C．D．【答案】C【解析】，，有正弦定理得得【考点】解三角形点评：解三角形时常用正余弦定理实现边与角的互相转化，本题中用到了正弦定理7.在中，内角的对边分别为．已知．（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）若为钝角，，求的取值范围.【答案】（Ⅰ）3（Ⅱ）【解析】（1）由正玄定理，设所以又：A+B+C=因此（2）由，得c=3a由题意【考点】解三角形点评：解三角形时常借助于正弦定理，余弦定理，实现边与角的互相转化8.如图,甲船以每小时海里的速度向正北方向航行,乙船按固定方向匀速直线航行,当甲船位于处时,乙船位于甲船的北偏西的方向处,此时两船相距20海里.当甲船航行20分钟到达处时,乙船航行到甲船的北偏西方向的处,此时两船相距海里,问乙船每小时航行多少海里?【答案】：乙船每小时航行海里．【解析】如图，连结，由已知，，，又，是等边三角形，，由已知，，，在中，由余弦定理，．．因此，乙船的速度的大小为（海里/小时）．答：乙船每小时航行海里．【考点】解三角形的实际运用点评：主要是考查了解三角形中的余弦定理的运用，属于中档题。
高中数学题库高一部分-D三角函数-解斜三角形
已知锐角△ABC 中，角C B A ,,的对边分别为c b a ,,，且B tan =.3222bc a ac -+（1）求B ∠； （2）求sin(10)[150)]B B -︒-︒.答案：（1）B=60O (2)原式=1来源：09年浙江金华市月考一题型：解答题，难度：中档在△ABC 中，内角A 满足A A A A sin tan ,0cos sin ->+且<0则A 的取值范围是（ ）A ．)4,0(πB ．)2,4(ππC ．),43(ππD ．)43,2(ππ答案：D来源：题型：选择题，难度：中档在ABC ∆中，C B A 、、 的对边分别是c b a 、、，且满足C b B c a cos cos )2(=-.（1）求B 的大小；（2）设m )2cos ,(sin A A =，n )1,4(k =)1(>k ，且m ·n 的最大值是5，求k 的值.答案：（1） C b B c a cos cos )2(=-，C B B C A cos sin cos )sin sin 2(=-∴ ， 即)sin(cos sin cos sin cos sin 2C B B C C B B A +=+=.sin cos sin 2,A B A C B A =∴=++π0sin 0≠∴<<A A π . 21cos =∴B .30ππ=∴<<B B（2）m·n=)32,0(,1sin 4sin 22cos sin 42π∈++-=+A A k A A A k ， 设,sin t A =则]1,0(∈t .则m·n=,21)(2142222k k t kt t ++--=++-]1,0(∈t 1,1=∴>t k 时，m·n 取最大值.依题意得，(m·n)max =23,5142=∴=++-k k来源：09年山东师大附中月考一题型：解答题，难度：中档如下图，某小区准备绿化一块直径为BC 的半圆形空地，ABC ∆外的地方种草，ABC ∆的内接正方形PQRS 为一水池,其余地方种花.若BC=a, ABC=θ∠,设ABC ∆的面积为1S ，正方形PQRS 的面积为2S ，将比值21S S 称为“规划合理度”. （1）试用a ,θ表示1S 和2S . （2）当a 为定值，θ变化时,求“规划合理度”取得最小值时的角θ的大小.ABC P Q R S答案：（1）在Rt ∆ＡＢＣ中 AC=asin ,AB=acos θθ，211S a sin cos 2θθ=＝221a sin 4θ 设正方形的边长为x 则 x BQ= ,RC=xtan tan θθx +x+xtan =a tan θθ∴ 11a x=+tan +tan θθ∴ ＝222a sin sin θθ+ 222222a sin S x sin θθ⎛⎫== ⎪+⎝⎭（2）、2t sin θ= 而2S ＝2224422a sin sin sin θθθ++1412S 1t S 4t ⎛⎫∴=++ ⎪⎝⎭∵0 < θ < 2π,又0 <２θ <π,∴０<t １ ∴()1144f t t t ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭为减函数 当1t =时 12S S 取得最小值为23此时21sin =4πθθ=∴来源：09年广东中山市月考二题型：解答题，难度：中档1l 、2l 、3l 是同一平面内三条不重合自上而下的平行直线．(1)如果1l 与2l 间的距离是1,2l 与3l 间的距离也是1,可以把一个正三角形ABC 的三顶点分别放在1l ,2l ,3l 上,求这个正三角形ABC 的边长;(2)如图,如果1l 与2l 间的距离是1,2l 与3l 间的距离是2,能否把一个正三角形ABC 的三顶点分别放在1l ,2l ,3l 上,如果能放,求BC 和3l 夹角的正切值并求该正三角形边长;如果不能,说明为什么?(3)如果边长为2的正三角形ABC 的三顶点分别在1l ,2l ,3l 上,设1l 与2l 的距离为1d ,2l 与3l 的距离为2d ,求12d d ⋅的范围?答案：不妨设123,,.A l B l C l ∈∈∈（Ⅰ）∵,A C 到直线2l 的距离相等，∴2l 过AC 的中点M ∴2.l AC ⊥ ∴边长2 2.AC AM ==（Ⅱ）设边长为,a BC 与3l 的夹角为θ，由对称性，不妨设060θ<< ∴sin 2,a θ= sin(60)1,a θ-=两式相比得sin 2sin(60),θθ=-sin 3cos sin ,θθθ=- ∴2sin 3cos ,θθ ∴3tan 2θ=∴sin θ=边长a == （Ⅲ）12d d ⋅4sin(60)sin θθ=-1sin )sin 2θθθ=-=1cos 22(2)22θθ-- =2sin(230) 1.θ+- ∵060θ<<，∴30230150,θ<+< 14分 ∴1sin(230)12θ<+≤，∴(]120,1.d d ⋅∈来源：09年福建福州市月考二题型：解答题，难度：中档在△ABC 中，内角A 、B 、C 的对边分别是a 、b 、c ，已知a 、b 、c 成等比数列，公比为q ，且.43cos =B （I ）求q 的值；（II ）求C A cot cot +的值。
数学高一(下)沪教版(解斜三角形及解三角形测试卷)教师版
解：方案一：①需要测量的数据有：A点到M，N点的俯角；B点到M，
∴ =sin60°= 。
解法二：在△ABC中，
由面积公式得 bcsinA= acsinB。
∵b2=ac，∠A=60°，∴bcsinA=b2sinB。
∴ =sinA= 。
评述：解三角形时，找三边一角之间的关系常用余弦定理，找两边两角之间的关系常用正弦定理。
例8、在△ABC中，已 ，求 的值。
解析：因为 ，又A＋B＋C＝180°，所以A＋C＝120°，
（2）锐角之间的关系：A＋B＝90°；
（3）边角之间的关系：（锐角三角函数定义）
sinA＝cosB＝ ，cosA＝sinB＝ ，tanA＝ 。
2、斜三角形中各元素间的关系：
在△ABC中，A、B、C为其B＋C＝π。
（2）正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等
分析：因给出的是a、b、c之间的等量关系，要求∠A，需找∠A与三边的关系，故可用余弦定理。由b2=ac可变形为 =a，再用正弦定理可求 的值。
解法一：b2=ac。
又a2－c2=ac－bc，∴b2+c2－a2=bc。
在△ABC中，由余弦定理得：cosA= = = ，∴∠A=60°。
在△ABC中，由正弦定理得sinB= ，∵b2=ac，∠A=60°，
4、在△ABC中，a＝12，b＝13，C＝60°，此三角形的解的情况是（）
高一数学解斜三角形 试题
解 斜 三 角 形一、根本知识：〔1〕掌握正弦定理、余弦定理，能根据条件，灵敏选用正弦定理、余弦定理解斜三角形． 〔2〕能根据确定三角形的条件，三角形中边、角间的大小关系，确定解的个数． 〔3〕能运用解斜三角形的有关知识，解决简单的实际问题． 二、例题分析：例1 在△ABC 中，a=3，c=3 3 ，∠A=30°，求∠C 及b分析 两边及一边的对角，求另一边的对角，用正弦定理．注意两边和一边的对角所对应的三角形是不确定的，所以要讨论．解 ∵∠A=30°，a ＜c ，c ·sinA=3 3 2＜a ， ∴此题有两解．sinC=csinA a = 33×123 = 32 ， ∴∠C=60°，或者∠C=120°．∴当∠C=60°时，∠B=90°，b=a 2+b 2 =6． 当∠C=120°时，∠B=30°，b=a=3．点评 两边和一边的对角的三角形是不确定的，解答时要注意讨论． 例2 在△ABC 中，acosA=bcosB ，判断△ABC 的形状．分析 欲判断△ABC 的形状，需将式变形．式中既含有边也含有角，直接变形难以进展，假设将三角函数换成边，那么可进展代数变形，或者将边换成三角函数，那么可进展三角变换．解 方法一：由余弦定理，得 a ·〔b 2+c 2—a 22bc 〕=b ·〔a 2+c 2—b 22ac 〕，∴a 2c 2－a 4－b 2c 2+b 4=0 ． ∴(a 2－b 2)(c 2－a 2－b 2)=0 ． ∴a 2－b 2=0，或者c 2－a 2－b 2=0． ∴a=b ，或者c 2=a 2+b 2．∴△ABC 是等腰三角形或者直角三角形． 方法二：由acosA=bcosB ，得 2RsinAcosA=2RsinBcosB ．∴sin2A=sin2B ． ∴2A=2B ，或者2A=π－2B ． ∴A=B ，或者A+B=π2．∴△ABC 为等腰三角形或者直角三角形．点评 假设式中既含有边又含有角，往往运用余弦定理或者正弦定理，将角换成边或者将边换成角，然后进展代数或者三角恒等变换．例3 圆内接四边形ABCD 的边长分别为AB=2，BC=6，CD=DA=4，求四边形ABCD 的面积．分析 四边形ABCD 的面积等于△ABD 和△BCD 的 面积之和，由三角形面积公式及∠A+∠C=π可知，只需求出∠A 即可．所以，只需寻找∠A 的方程． 解 连结BD ，那么有四边形ABCD 的面积S=S △ABD +S △CDB =12AB ·AD ·sinA+12BC ·CD ·sinC ．·ABCDO∵A+C=180°，∴sinA=sinC．故S=12〔2×4+6×4〕sinA=16sinA．在△ABD中，由余弦定理，得BD2=AB2+AD2－2AB·ADcosA=20－16cosA ．在△CDB中，由余弦定理，得BD2=CB2+CD2－2CB·CD·cosC=52－48cosC．∴20－16cosA=52－48cosC．∵cosC=－cosA，∴64cosA=－32，cosA=－1 2．又∵0°＜A＜180°，∴A=120°．故S=16sin120°=8 3 ．点评注意两个三角形的公用边在解题中的运用．例4墙壁上一幅图画，上端距观察者程度视线b下端距程度视线a米，问观察者距墙壁多少米时，才能使观察者上、下视角最大．分析如图，使观察者上下视角最大，即使∠APB最大，所以需寻找∠APB的目的函数．由于有关边长，所以考虑运用三角函数解之．解设观察者距墙壁x米的P处观察，PC⊥AB，AC=b，BC=a(0＜a＜b)，那么∠APB=θ为视角．y=tan θ=tan(∠APC －∠BPC)= tan ∠APC —tan ∠BPC 1+ tan ∠APC ·tan ∠BPC =xax b x a x b ⋅+-1 =b —a x+ab x≤b —a 2ab ， 当且仅当x= abx , 即x=ab 时，y 最大．由θ∈〔0，π2〕且y=tan θ在〔0，π2〕上为增函数，故当且仅当x=ab 时视角最大．点评 注意运用直角三角形中三角函数的定义解决解三角形的有关问题． 三、训练反应：1．在△ABC 中，a= 2 ，b=2，∠B=45°，那么∠A 等于 〔 A 〕A ．30°B ．60°C ．60°或者120°D ．30°或者150° 2．假设三角形三边之比为3∶5∶7，那么这个三角形的最大内角为 〔 C 〕 A ．60° B ． 90° C ． 120° D ． 150° 3．货轮在海上以40千米/小时的速度由B 到C 航行，航向的方位角∠NBC=140°，A 处有，其方位角∠NBA=110°，在C 处观测A 的方位角∠N ′CA=35°，由B 到C 需 航行半小时，那么C 到A 的间隔 是 〔 C 〕 A ．10 6 km B ．10 2 kmC ．10( 6 － 2 ) kmD ．10〔 6 ＋ 2 〕km 4．△ABC 中，tanA+tanB+ 3 = 3 tanAtanB ，sinAcosA= 34，那么该三角形是 〔 A 〕 A ．等边三角形 B ．钝角三角形C ．直角三角形D ．等边三角形或者直角三角形5．在△ABC 中，〔b+c 〕∶(c+a)∶(a+b)=4∶5∶6，那么此三角形的最大内角为 〔 A 〕 A ．120° B ．150° C ．60° D ．90°6．假设A 、B 是锐角△ABC 的两个内角，那么点P 〔cosB －sinA ，sinB －cosA 〕在 〔 B 〕 A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限7．△ABC 中，假设sinAsinB ＜cosAcosB ，那么△ABC 的形状为 ．钝角三角形8．在△ABC 中，c=10，A=45°，C=30°，那么b= ．5〔 6 + 2 〕9．在△ABC 中，假设sinA ∶sinB ∶sinC=5∶12∶13，那么cosA= ．121310．在△ABC 中，3sinA+4cosB=6，4sinB+3cosA=1，那么∠C 的大小为 ．π611．a 、b 、c 是△ABC 中∠A 、∠B 、∠C 的对边，S 是△ABC 的面积，假设a=4，b=5，s=5 3 ，求c 的长度．21 或者6112．在△ABC 中，sin 2A －sin 2B+sin 2C=sinAsinC ，试求角B 的大小． π313．半圆O 的直径为2，A 为直径延长线上一点，且OA=2B 为半圆上任意一点，以AB 为边向外作等边△ABC点在什么位置时，四边形OACB 的面积最大，并求出这个最 大面积．设∠AOB=θ，θ= 5π6 时，S 最大值 =2+5 34励志赠言经典语录精选句；挥动**，放飞梦想。
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已知锐角△ABC 中，角C B A ,,的对边分别为c b a ,,，且B tan =.3222bc a ac -+（1）求B ∠； （2）求sin(10)[150)]B B -︒+-︒.答案：（1）B=60O (2)原式=1来源：09年浙江金华市月考一题型：解答题，难度：中档在△ABC 中，内角A 满足A A A A sin tan ,0cos sin ->+且<0则A 的取值范围是（ ）A ．)4,0(πB ．)2,4(ππC ．),43(ππD ．)43,2(ππ答案：D来源：题型：选择题，难度：中档在ABC ∆中，C B A 、、 的对边分别是c b a 、、，且满足C b B c a cos cos )2(=-.（1）求B 的大小；（2）设m )2cos ,(sin A A =，n )1,4(k =)1(>k ，且m ·n 的最大值是5，求k 的值.答案：（1） C b B c a cos cos )2(=-，C B B C A cos sin cos )sin sin 2(=-∴ ， 即)sin(cos sin cos sin cos sin 2C B B C C B B A +=+=.sin cos sin 2,A B A C B A =∴=++π0sin 0≠∴<<A A π . 21cos =∴B . 30ππ=∴<<B B（2）m·n=)32,0(,1sin 4sin 22cos sin 42π∈++-=+A A k A A A k ， 设,sin t A =则]1,0(∈t .则m·n=,21)(2142222k k t kt t ++--=++-]1,0(∈t1,1=∴>t k 时，m·n 取最大值. 依题意得，(m·n)max =23,5142=∴=++-k k来源：09年山东师大附中月考一题型：解答题，难度：中档如下图，某小区准备绿化一块直径为BC 的半圆形空地，ABC ∆外的地方种草，ABC ∆的内接正方形PQRS 为一水池,其余地方种花.若BC=a, ABC=θ∠,设ABC ∆的面积为1S ，正方形PQRS 的面积为2S ，将比值21S S 称为“规划合理度”. （1）试用a ,θ表示1S 和2S . （2）当a 为定值，θ变化时,求“规划合理度”取得最小值时的角θ的大小.答案：（1）在Rt ∆ＡＢＣ中 AC=asin ,AB=acos θθ，211S a sin cos 2θθ=＝221a sin 4θ 设正方形的边长为x 则 x BQ= ,RC=xtan tan θθx +x+xtan =a tan θθ∴ 11a x=+tan +tan θθ∴ ＝222a sin sin θθ+ 222222a sin S x sin θθ⎛⎫== ⎪+⎝⎭ （2）、2t sin θ= 而2S ＝2224422a sin sin sin θθθ++1412S 1t S 4t ⎛⎫∴=++ ⎪⎝⎭∵0 < θ< 2π,又0 <２θ <π,∴０<t ≤１ ∴()1144f t t t ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭为减函数 当1t =时12S S 取得最小值为23此时21sin =4πθθ=∴来源：09年广东中山市月考二题型：解答题，难度：中档1l 、2l 、3l 是同一平面内三条不重合自上而下的平行直线．(1)如果1l 与2l 间的距离是1,2l 与3l 间的距离也是1,可以把一个正三角形ABC 的三顶点分别放在1l ,2l ,3l 上,求这个正三角形ABC 的边长;(2)如图,如果1l 与2l 间的距离是1,2l 与3l 间的距离是2,能否把一个正三角形ABC 的三顶点分别放在1l ,2l ,3l 上,如果能放,求BC 和3l 夹角的正切值并求该正三角形边长;如果不能,说明为什么?(3)如果边长为2的正三角形ABC 的三顶点分别在1l ,2l ,3l 上,设1l 与2l 的距离为1d ,2l 与3l 的距离为2d ,求12d d ⋅的范围?答案：不妨设123,,.A l B l C l ∈∈∈（Ⅰ）∵,A C 到直线2l 的距离相等，∴2l 过AC 的中点M ∴2.l AC ⊥ ∴边长2 2.AC AM ==（Ⅱ）设边长为,a BC 与3l 的夹角为θ，由对称性，不妨设060θ<< ∴sin 2,a θ= sin(60)1,a θ-=两式相比得sin 2sin(60),θθ=-sin sin ,θθθ=-∴2sin ,θθ=∴tan ,2θ=∴sin θ=边长3a == （Ⅲ）12d d ⋅4sin(60)sin θθ=-1cos sin )sin 22θθθ=-=1cos 22(2)22θθ-- =2sin(230) 1.θ+- ∵060θ<<，∴30230150,θ<+< 14分 ∴1sin(230)12θ<+≤，∴(]120,1.d d ⋅∈来源：09年福建福州市月考二题型：解答题，难度：中档在△ABC 中，内角A 、B 、C 的对边分别是a 、b 、c ，已知a 、b 、c 成等比数列，公比为q ，且.43cos =B （I ）求q 的值；（II ）求C A cot cot +的值。
答案：（I ）∵a 、b 、c 成等比数列 ac b =∴2由余弦定理：B ac c a b cos 2222-+=ac c a b B 2343cos 222-+=∴= 0522232222=-+-+=∴ac c a ac c a ac 即 0252,242=+-∴==q q aq c aq b222,2122或的值是非负考虑到或q q q ∴=∴（II ）47sin 43cos =∴∆=B ABC B B 的内角是且 由正弦定理：Bb Cc A a sin sin sin == ac b Bb C A ac ==∴222sin sin sin B C A 2sin sin sin =∴CA B C A C A C A A C A C C C A A C A sin sin sin sin sin )sin(sin sin sin cos cos sin sin cos sin cos cot cot =+=+=+=+∴ 774471sin 1sin sin 2====B B B来源：09年四川成都市月考一题型：解答题，难度：中档在ABC ∆中,角A 、B 、C 所对的边是,,a b c ，且22212a cb ac +-= （1）求2sin cos 22A CB ++的值； （2）若2b =，求ABC ∆面积的最大值.答案：（1）22222211cos 224a cb ac b ac B ac +-+-=∴== ……（2分） 221sin cos 2[1cos()][2cos 1]22A C B A C B +∴+=-++-21[1cos ][2cos 1]2B B =++- ……（4分） 111[1][21]2416=++⨯-14=- ……（6分） (2)由1cos 4B =得：sin B = ……（7分） 2b = 221422a c ac ac ∴+=+≥（当且仅当2283a c ==时取“=”号）83ac ∴≤……（10分）118sin 223ABC S ac B ∴=⋅≤⨯故：ABC ……（12分）来源：09年四川成都月考一题型：解答题，难度：中档已知锐角△ABC 中，角C B A ,,的对边分别为c b a ,,，且B tan =.3222bc a ac -+（1）求B ∠； （2）求sin(10)[150)]B B -︒+-︒.答案：(1) 1sin .2cos cos B B B==⇒060B ∠=(2) 2sin 50sin 40sin(10)[150)]1cos10B B ︒︒-︒-︒==︒来源：09年浙江金华月考一题型：解答题，难度：中档在 ABC ∆中,已知角A 为锐角,且A A A A A A A f 222cos )2(sin )22(sin )22(sin )2(sin ]1)2(cos [)(+----+--=πππππ． (1)求 )(A f 的最大值;(2)若 127π=+B A ,1)(=A f ,2=BC ,求 ABC ∆的三个内角和AC 边的长.答案：（1）A A A A A A A A A A A A f 22222cos cos 2cos 2sin cos 2cos 2sin 2cos 2cos 2sin )12cos ()(+=+-+= 21)42sin(22)12cos 2(sin 21cos 2sin 212++=++=+=πA A A A A ． ∵ 角 A 为锐角，∴ 20π<<A ，45424πππ<+<A ． ∴ 当 242ππ=+A 即8A π=时，)(A f 取得最大值，其最大值为212+． （2）由1)(=A f 得121)42sin(22=++πA ，∴22)42sin(=+πA ． ∴ 4342ππ=+A ，4π=A ．又 ∵127π=+B A ，∴ 3π=B ．∴ 125π=C ． 在 △ABC 中，由正弦定理得：B AC A BC sin sin =．∴sin sin BC B AC A ==来源：09年福建福州市月考二 题型：解答题，难度：中档已知矩形纸片ABCD 中，AB=6cm ，AD=12cm ，将矩形纸片的右下角折起，使该角的顶点B 落在矩形的边AD 上，且折痕MN 的两端点，M 、N 分别位于边AB 、BC 上，设,MNB MN l θ∠==。
（ⅰ）试将l 表示成θ的函数； （ⅱ）求l 的最小值。
答案：如图所示，902APM θ∠=-，则MB=sin l θ，()sin sin 90AM l θθ=⋅- 由题设得：sin l θ+()sin sin 902l θθ⋅-=6从而得()6sin sin sin 902l θθθ=+-即6sin sin cos 2l θθθ=+ ， 23sin cos l θθ=⋅设：sin t θ=则()231u t t t t =-=-，即3u t t =-，04πθ<<，213u t '=-令0u '=，得t =当3t <0u '>，当3t >时，0u '<，所以当3t =时，u取到最大值：13339-= l=来源：09年江苏高邮月考一 题型：解答题，难度：中档在ΔＡＢＣ中，,1=⋅.3-=⋅ ⑴求AB 边的长度; ⑵求()CB A sin sin -的值. 答案：（１）()+⋅=⋅=+⋅AB AB .132=-=⋅.2=即AB 边的长度为2.（２）由已知及（１）有:,1cos 2=A b (),3cos 2-=-B a π∴A b B a cos 3cos =由正弦定理得: A B B A cos sin 3cos sin = ∴()C B A sin sin -=()()21sin cos cos sin sin cos cos sin sin sin =+-=+-B A B A B A B A B A B A来源：09年浙江宁波市月考一 题型：解答题，难度：中档已知△ABC 中，2 tan A = 1，3 tan B = 1，且最长边的长度为 1，求角 C 的大小和最短边的长度.答案：解：△ABC 中，tan A = 12 ，tan B = 13 ，∵ tan A > tan B > 0 ，∴ 0 < A < B < π2. 2分∴ tan C = tan (π －A －B ) = －tan (A + B )= －tan A + tan B1－tan A tan B = －1 ， 4分而 0 < C < π， ∴ C = 3π4.6分∴ 最大角为 C ，最小角为 B ，它所对的边b 为最短边， 7分 ∵ tanB =sinB cosB = sinB 1－sin 2B = 13，∴ sinB = 1010 ， 9分 由正弦定理得 bsin B=1sin3π4 ， 11分∴ b = sin B 22= 55 ，故角 C 为 3π4 ，最短边长度为 55 . 12分来源：题型：解答题，难度：中档在ΔABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，且31cos =A 。