2011中考数学第一轮考点专题测试题44

平行四边形
知识考点：理解并掌握平行四边形的判定和性质 精典例题：
【例1】已知如图：在四边形ABCD 中，AB ＝CD ，AD ＝BC ，点E 、F 分别在BC 和AD 边上，AF ＝CE ，EF 和对角线BD 相交于点O ，求证：点O 是BD 的中点。

分析：构造全等三角形或利用平行四边形的性质来证明BO ＝DO 略证：连结BF 、DE
在四边形ABCD 中，AB ＝CD ，AD ＝BC
∴四边形ABCD 是平行四边形 ∴AD ∥BC ，AD ＝BC 又∵AF ＝CE
∴FD ∥BE ，FD ＝BE ∴四边形BEDF 是平行四边形
∴BO ＝DO ，即点O 是BD 的中点。

【例2】已知如图：在四边形ABCD 中，E 、F 、G 、H 分别是AB 、BC 、CD 、DA 边上的中点，求证：四边形EFGH 是平行四边形。

分析：欲证四边形EFGH 是平行四边形，根据条件需从边上
着手分析，由E 、F 、G 、H 分别是各边上的中点，可联想到三角形的中位线定理，连结AC 后，EF 和GH 的关系就明确了，此题
也便得证。

（证明略）
变式1：顺次连结矩形四边中点所得的四边形是菱形。

变式2：顺次连结菱形四边中点所得的四边形是矩形。

变式3：顺次连结正方形四边中点所得的四边形是正方形。

变式4：顺次连结等腰梯形四边中点所得的四边形是菱形。

变式5：若AC ＝BD ，AC ⊥BD ，则四边形EFGH 是正方形。

变式6：在四边形ABCD 中，若AB ＝CD ，E 、F 、G 、H 分别为AD 、BC 、BD 、AC 的中点，求证：EFGH 是菱形。

娈式6图
娈式7图
变式7：如图：在四边形ABCD 中，E 为边AB 上的一点，△ADE 和△BCE 都是等边三角形，P 、Q 、M 、N 分别是AB 、BC 、CD 、DA 边上的中点，求证：四边形PQMN 是菱形。

探索与创新：
【问题】已知如图，在△ABC 中，∠C ＝900，点M 在BC 上，且BM ＝AC ，点N 在AC 上，且AN ＝MC ，AM 和BN 相交于P ，求∠BPM 的度数。

分析：条件给出的是线段的等量关系，求的却是角的度数，为此，我们由条件中的直
例1图 O F
E D C
B A 例2图
角及相等的线段，可联想到构造等腰直角三角形，从而应该平移AN 。

略证：过M 作ME ∥AN ，且ME ＝AN ，连结NE 、BE ，则四边形AMEN 是平行四边形，得NE ＝AM ，ME ∥AN ，AC ⊥BC
∴ME ⊥BC 在△BEM 和△AMC 中，
ME ＝CM ，∠EMB ＝∠MCA ＝900，BM ＝AC ∴△BEM ≌△AMC
∴BE ＝AM ＝NE ，∠1＝∠2，∠3＝∠4，∠1＋∠3＝900
∴∠2＋∠4＝900
，且BE ＝NE
∴△BEN 是等腰直角三角形
∴∠BNE ＝450
∵AM ∥NE
∴∠BPM ＝∠BNE ＝450
跟踪训练：
一、填空题：
1、一个平行四边形的两条对角线的长度分别为5和7，则它的一条边长a 的取值范围是 。

2、□ABCD 的周长是30，AC 、BD 相交于点O ，△OAB 的周长比△OBC 的周长大3，则AB ＝ 。

3、已知□ABCD 中，AB ＝2AD ，对角线BD ⊥AD ，则∠BCD 的度数是 。

4、如图：在□ABCD 中，AE ⊥BD 于E ，∠EAD ＝600，AE ＝2，AC ＋BD ＝16，则△BOC 的周长为 。

第4题图
E
O D
C
B
A
第5题图
21
O
F
E
D
C
B
A
第6、7题图
F
E
D
C
B
A
5、如图：□ABCD 的对角线AC 、BD 相交于O ，EF 过点O ，且EF ⊥BC 于F ，∠1＝300，∠2＝450，OD ＝22，则AC 的长为 。

6、如图：过□ABCD 的顶点B 作高BE 、BF ，已知BF ＝
4
5
BE ，BC ＝16，∠EBF ＝300，则AB ＝ 。

7、如图所示，□ABCD 的周长为30，AE ⊥BC 于点E ，AF ⊥CD 于点F ，且AE ∶AF ＝2∶3，∠C ＝1200，则平行四边形ABCD 的面积为 。

二、选择题：
1、若□ABCD 的周长为28，△ABC 的周长为17cm ，则AC 的长为（ ）
A 、11cm
B 、5.5cm
C 、4cm
D 、3cm
2、如图，□ABCD 和□EAFC 的顶点D 、E 、F 、B 在同一条直线上，则下列关系中正确的是（ ）
A 、DE ＞BF
B 、DE ＝BF
C 、DE ＜BF
D 、D
E ＝FE ＝BF
探索与创新图
E N
A
第2题图 E
F D C
B
A
第3题图
第4题图
E
D C
B
A
3、如图，已知M 是□ABCD 的AB 边的中点，CM 交BD 于E ，则图中阴影部分的面积与□ABCD 的面积之比是（ ） A 、
61 B 、41 C 、31 D 、12
5 4、如图，□ABCD 中，BD ＝CD ，∠C ＝700，AE ⊥BD 于E ，则∠DAE ＝（ ）
A 、200
B 、250
C 、300
D 、350 5、在给定的条件中，能作出平行四边形的是（ ） A 、以60cm 为对角线，20cm 、34cm 为两条邻边
B 、以20cm 、36cm 为对角线，22cm 为一条边
C 、以6cm 为一条对角线，3cm 、10cm 为两条邻边
D 、以6cm 、10cm 为对角线，8cm 为一条边
6、如图，□ABCD 中，E 、F 分别是AD 、BC 边上的中点，直线CE 交BA 的延长线于G 点，直线DF 交AB 的延长线于H 点，CG 、DH 交于点O ，若□ABCD 的面积为4，则OGH S ＝（ ）
A 、3.5
B 、4
C 、4.5
D 、5
第6题图
H
G
F
E
D C B A
第7题图
O
E
D
C
B
A
7、在□ABCD 中，AB ＝6，AD ＝8，∠B 是锐角，将△ACD 沿对角线AC 折叠，点D 落
在△ABC 所在平面内的点E 处，如果AE 过BC 的中点O ，则□ABCD 的面积等于（ ） A 、48 B 、610 C 、712 D 、224 三、解答题：
1、如图，在□ABCD 中，AE ⊥BC 于E ，AF ⊥DC 于F ，∠ADC ＝600，BE ＝2，CF ＝1，连结DE 交AF 于点P ，求EP 的长。

第1题图
P
F
E
D
C
B
A
第2题图
H
G
F E
D
C
B
A
第4题图
F
E
D
C B
A
2、在四边形ABCD 中，E 、F 、G 、H 分别是AB 、BC 、CD 、DA 上的点，且BE AE ＝BF
FC
＝
DG GC ＝HD
AH
＝k （k ＞0），阅读下列材料，然后回答下面的问题： 如上图，连结BD ∵
BE AE ＝HD AH ，BF FC ＝DG
GC
∴EH ∥BD ，FG ∥BD
①连结AC ，则EF 与GH 是否一定平行，答： ； ②当k 值为 时，四边形EFGH 是平行四边形；
③在②的情形下，对角线AC 和BD 只需满足 条件时，EFGH 为矩形； ④在②的情形下，对角线AC 和BD 只需满足 条件时，EFGH 为菱形； 3、已知，在四边形ABCD 中，从①AB ∥DC ；②AB ＝DC ；③AD ∥BC ；④AD ＝BC ；⑤∠A ＝∠C ；⑥∠B ＝∠D 中取出两个条件加以组合，能推出四边形ABCD 是平行四边形的有哪几种情形？请你具体写出这些组合。

4、如图，在△ABC 中，∠ACB ＝900，D 、F 分别为AC 、AB 的中点，点E 在BC 的延长线上，∠CDE ＝∠A 。

（1）求证：四边形DECF 是平行四边形；
（2）若5
3
sin
A ，四边形EBFD 的周长为22，求DE 的长。

跟踪训练参考答案
一、填空题：
1、1＜a ＜6；
2、9；
3、600；
4、12；
5、8；
6、
5
64
或12.8；7、327cm 2； 二、选择题：DBCABCC 三、解答题：
1、提示：由∠B ＝∠ADC ＝600，BE ＝2，AE ⊥BC 可得AB ＝4，再证DF ＝DC －CF ＝3，∴AD ＝6，EC ＝BC －BE ＝4＝DC ，又∠BCD ＝1200，∴∠EDC ＝300，求得∠APE ＝∠EAP ＝600，△AEP 为等边三角形，EP ＝AE ＝32。

2、①是；②任意正数；③BD ⊥AC ；④AC ＝BD
3、①和②；③和④；⑤和⑥；①和⑤；①和⑥；③和⑤；③和⑥；②和④；①和③
4、（1）证EC ∥DF ，ED ∥CF ；（2）DE ＝5。