_平面直角坐标系
平面直角坐标系
平面直角坐标系平面直角坐标系是平面上最常用的坐标系统之一，用于描述平面上的点和其它几何图形的位置。
它由两条相互垂直的直线组成，分别称为x轴和y轴，它们的交点被称为原点。
一、坐标系介绍坐标系是用来刻画空间中各点位置的系统，而平面直角坐标系是坐标系中的一种。
平面直角坐标系的构成：1. x轴：水平的直线，向右延伸为正方向，向左延伸为负方向。
2. y轴：垂直于x轴的直线，向上延伸为正方向，向下延伸为负方向。
3. 原点：x轴和y轴的交点，被称为坐标系的原点。
二、坐标的表示方法在平面直角坐标系中，每个点可以表示为一个有序数对，即(x, y)，其中x表示横坐标，y表示纵坐标。
1. 横坐标：横坐标表示点在x轴上的位置。
在原点的右边为正方向，左边为负方向。
2. 纵坐标：纵坐标表示点在y轴上的位置。
在原点的上方为正方向，下方为负方向。
三、点的位置关系根据坐标系的定义，我们可以判断点的位置关系。
1. 同一直线上的点：如果两个点的横坐标相等，纵坐标不同时，它们在同一条直线上，且与原点的距离相等。
2. 垂直关系：如果两个点的纵坐标相等，横坐标不同时，它们在同一条垂直线上，且与原点的距离相等。
3. 斜率：直线斜率是用来描述直线的倾斜程度的，斜率为0表示水平线，无限大表示垂直线。
4. 象限：根据点的坐标正负关系，可以将平面分为四个象限。
第一象限：x>0，y>0；第二象限：x<0，y>0；第三象限：x<0，y<0；第四象限：x>0，y<0。
四、点、线和图形的表示方法在平面直角坐标系中，我们可以使用坐标来表示点、线和图形。
1. 表示点：一个点的位置可以使用有序数对(x, y)来表示。
如点A(2, 3)表示横坐标为2，纵坐标为3的点A。
2. 表示线段：线段由两个端点组成，可以使用两个点的坐标来表示。
如线段AB由两个点A(2, 3)和B(4, 5)表示。
3. 表示直线：直线的方程可以使用斜率截距形式或一般式来表示。
平面直角坐标系
式中：N———6°带的带号
图2离中央子午线越远，长度变形越大，在要求较小的投影变形时，可采用3°投影带。3°带是在......
应当注意的是，高斯投影没有角度变形，但有长度变形和面积变形，离中央子午线越远，变形就越大。其主 要特点有以下三点：
（1）投影后中央子午线为直线，长度不变形，其余经线投影对称并且凹向于中央子午线，离中央子午线越远， 变形越大。
第一象限还可以写成Ⅰ，第二象限还可以写成Ⅱ，第三象限还可以写成Ⅲ，第四象限也可以写成Ⅳ。 .第一、三象限角平分线上的点横、纵坐标相等；第二、四象限角平分线上的点横、纵坐标互为相反数。
1.关于x轴成轴对称的点的坐标，横坐标相同，纵坐标互为相反数。（横同纵反） 2.关于y轴成轴对称的点的坐标，纵坐标相同，横坐标互为相反数。（横反纵同） 3.关于原点成中心对称的点的坐标，横坐标与横坐标互为相反数，纵坐标与纵坐标互为相反数。（横纵皆反）
发展历程
笛卡尔坐标的思想是法国数学家、哲学家笛卡尔所创立的。
传说：
有一天，笛卡尔（Descartes 1596—1650，法国哲学家、数学家、物理学家）生病卧床，但他头脑一直没 有休息，在反复思考一个问题：几何图形是直观的，而代数方程则比较抽象，能不能用几何图形来表示方程呢？ 这里，关键是如何把组成几何的图形的点和满足方程的每一组“数”挂上钩。他就拼命琢磨。通过什么样的办法、 才能把“点”和“数”联系起来。突然，他看见屋顶角上的一只蜘蛛，拉着丝垂了下来，一会儿，蜘蛛又顺着丝 爬上去，在上边左右拉丝。蜘蛛的“表演”，使笛卡尔思路豁然开朗。他想，可以把蜘蛛看做一个点，它在屋子 里可以上、下、左、右运动，能不能把蜘蛛的每个位置用一组数确定下来呢？他又想，屋子里相邻的两面墙与地 面交出了三条直线，如果把地面上的墙角作为起点，把交出来的三条线作为三根数轴，那么空间中任意一点的位 置，不是都可以用这三根数轴上找到的有顺序的三个数来表示吗？反过来，任意给一组三个有顺序的数，例如3、 2、1，也可以用空间中的一个点 P来表示它们。同样，用一组数（a， b）可以表示平面上的一个点，平面上的 一个点也可以用一组二个有顺序的数来表示。于是在蜘蛛的启示下，笛卡尔创建了直角坐标系。百科x混知：图解 笛卡尔
平面直角坐标系
平面直角坐标系简介平面直角坐标系是数学中一种常见的坐标系，用于描述平面上的点的位置。
它由两条相互垂直且共同交于原点的直线构成，分别称为x轴和y轴。
通过x、y轴上的数值，可以确定平面上的每一个点的坐标。
坐标轴平面直角坐标系由两个垂直的坐标轴组成，分别是x轴和y轴。
x轴是从左到右水平延伸的直线，y轴是从下到上垂直延伸的直线。
两轴交于原点O，原点是坐标系的起点，它的坐标为(0, 0)。
坐标轴上的点的坐标是由数值决定的，正方向上的数值代表右移或上移，负方向上的数值代表左移或下移。
x轴上的正方向可以取右移，y轴上的正方向可以取上移。
在平面上的点的位置是通过坐标值的组合来表示的。
坐标值在平面直角坐标系中，每个点的位置都有唯一的坐标值来确定。
一个坐标值由两个实数(x, y)组成，x表示该点在x轴上的位置，y表示该点在y轴上的位置。
坐标值的顺序可以是(x, y)或者y，x。
根据坐标轴和原点的位置，可以将坐标值分为四个象限。
第一象限的点具有正的x和y值，第二象限的点具有负的x值和正的y值，第三象限的点具有负的x 和y值，第四象限的点具有正的x和负的y值。
坐标变换平面直角坐标系除了可以用来表示点的位置外，还可以进行坐标变换。
坐标变换包括平移、旋转、缩放和倾斜等操作，这些操作可以改变坐标轴的位置和方向，从而达到变换坐标的目的。
平移是将整个坐标系在平面上沿着一个方向移动一定的距离。
例如，将坐标系向右平移3个单位，则所有点的x坐标都会增加3个单位。
类似地，将坐标系向上平移2个单位，则所有点的y坐标都会增加2个单位。
旋转是将整个坐标系绕原点或者其他点旋转一定的角度。
例如，将坐标系逆时针旋转90度，则x轴会变为新的y轴，y轴会变为新的-x轴。
通过旋转，可以改变坐标系中点的位置。
缩放是将整个坐标系沿着x轴和y轴的方向分别进行比例缩放。
例如，对x轴进行2倍缩放，则所有点的x坐标都会乘以2，从而使整个坐标系在x轴方向拉长。
类似地，对y轴进行2倍缩放，则所有点的y坐标都会乘以2，从而在y轴方向拉长。
平面直角坐标系
平面直角坐标系平面直角坐标系是一种常用的二维坐标系统，用于描述平面内的点的位置。
它由两条相互垂直的数轴组成，一条是水平的x轴，另一条是垂直的y轴。
通过这两个轴，我们可以准确地定位和描述平面上的任意点。
在平面直角坐标系中，每个坐标点由一个有序数对（x，y）表示，其中x表示点在x轴上的位置，y表示点在y轴上的位置。
x轴和y轴的交点被称为原点，坐标为（0，0）。
x 轴向右延伸，以正数表示，y轴向上延伸，以正数表示，两个轴上都存在负数，表示左侧和下方的区域。
在这个坐标系中，每个点都与唯一的坐标对应，并且每个坐标都对应唯一的点。
通过给定的坐标，我们可以确定一个点的具体位置，并与其他点进行比较和运算。
平面直角坐标系被广泛应用于几何学、物理学、工程学和计算机图形学等领域。
在几何学中，直角坐标系可以用于描述图形的形状和位置关系。
在物理学中，直角坐标系可以用于描述物体在平面内的运动和受力情况。
在工程学中，直角坐标系可以用于定位和测量物体。
在计算机图形学中，直角坐标系可以用于图像的表示和处理。
在平面直角坐标系中，我们可以进行各种运算，例如点的平移、旋转和缩放等。
通过坐标系的转换和变换，我们可以改变点的位置和形状，实现各种需要的效果。
这为我们提供了解决问题和设计方案的灵活性和便利性。
在使用平面直角坐标系时，我们需要了解一些基本概念和原则。
首先，两个坐标轴之间的距离被称为单位距离，通常用1表示。
其次，两个坐标轴的正向确定了平面直角坐标系的方向。
最后，两个坐标轴的刻度线上的数值表示点到原点在两个轴上的距离，可以是整数、小数或负数。
总之，平面直角坐标系是一种用于描述平面上点位置的常用工具。
通过数轴和坐标系的概念，我们可以准确地定位和描述点在平面上的位置，实现各种运算和变换。
在各个领域的应用中，平面直角坐标系都扮演着重要的角色，为解决问题和实现设计提供了便利和灵活性。
通过深入学习和理解平面直角坐标系的原理和应用，我们可以更好地应用它来解决实际问题和进行创新设计。
平面直角坐标系
平面直角坐标系平面直角坐标系是数学中常用的坐标系之一，用于描述平面上点的位置。
它由两个互相垂直的坐标轴组成，分别称为x轴和y轴。
x轴是平行于地面的水平线，y轴是垂直于地面的竖直线。
两个轴的交点称为原点O，坐标轴上的单位长度分别称为单位长度，在坐标轴上的点用有序数对(x,y)来表示。
概念距离公式是平面直角坐标系中求两点之间距离的一种方法，它利用勾股定理的原理得出。
即：两点之间的距离等于横坐标的差的平方加纵坐标的差的平方再开平方根。
假设平面直角坐标系上有两点A(x1,y1)和B(x2,y2)，则A和B之间的距离d可以表示为：d=√((x2-x1)²+(y2-y1)²)这个公式可以用来计算直线上两个点的距离，也可以用来计算任意两个点之间的距离。
中点公式是指在平面直角坐标系中，已知线段的两个端点的坐标，求线段的中点坐标的一种方法。
中点公式的原理是利用两点的坐标分别求出横坐标的平均值和纵坐标的平均值，得到线段的中点坐标。
假设平面直角坐标系上有线段的两个端点A(x1,y1)和B(x2,y2)，则线段的中点M的坐标可以表示为：M=((x1+x2)/2,(y1+y2)/2)中点公式可以简单地通过将两个端点的横坐标和纵坐标进行平均来计算出线段的中点坐标。
通过概念距离公式和中点公式，我们可以在平面直角坐标系中方便地计算出两点之间的距离和线段的中点坐标。
这些公式在几何学、物理学和计算机图形学等学科中都有广泛的应用。
平面直角坐标系是数学中基础而重要的工具之一，它不仅可以用来描述几何图形和计算空间中的点、线、面，还可以应用于解决实际问题，如测量距离、计算速度等。
同时，平面直角坐标系还可以与其他数学概念和方法相结合，如向量、导数等，形成更加完整和强大的数学分析体系。
总之，平面直角坐标系是数学中重要的工具之一，概念距离公式和中点公式是在平面直角坐标系中求解距离和中点问题时常用的方法。
通过运用这两个公式，我们可以方便地计算出两点之间的距离和线段的中点坐标，以及应用到各种实际问题中。
平面直角坐标系
平面直角坐标系平面直角坐标系是一种描述平面上点位置的坐标系统。
它由两条互相垂直的数轴组成，分别被称为x轴和y轴。
x轴用于表示水平方向的位置，y轴用于表示垂直方向的位置。
这两条轴的交点被称为坐标原点，以此为基准，可以确定平面上任意点的位置。
在平面直角坐标系中，每个点都可以用一对有序实数(x, y)来表示，其中x表示该点在x轴上的位置，y表示该点在y轴上的位置。
这一对实数被称为该点的坐标。
x轴的正方向是向右的，负方向是向左的；y轴的正方向是向上的，负方向是向下的。
因此，平面直角坐标系可以将平面上的每个点都精确地表示出来。
在平面直角坐标系中，每个点在与坐标轴交点相应处有一条与之平行的线段，这些线段被称为坐标轴线。
以坐标原点为顶点的两条坐标轴构成了一个正方形，这个正方形被称为坐标平面。
坐标平面被分成四个象限，分别是第一象限、第二象限、第三象限和第四象限。
第一象限是x轴和y轴都为正的象限；第二象限是x轴为负、y轴为正的象限；第三象限是x轴和y轴都为负的象限；第四象限是x轴为正、y轴为负的象限。
平面直角坐标系的使用极为广泛。
它不仅仅用于描述几何图形的位置，还可以用来表示物体在平面上的运动、函数图像以及解决问题。
在几何学中，平面直角坐标系可以用于确定点、直线、线段、角度和图形的面积等。
在物理学中，平面直角坐标系可以用于描述物体在平面上的受力和运动。
在数学中，平面直角坐标系可以用于表示函数关系，解决方程和不等式的问题。
总之，平面直角坐标系是一种非常有用的工具，它可以帮助我们理解和描述平面上的各种现象和问题。
通过熟练地运用平面直角坐标系，我们能够更好地分析和解决各种与位置、运动和图形相关的数学和物理问题。
因此，学习和掌握平面直角坐标系的基本知识和技能是非常重要的。
平面直角坐标系
02
点在平面直角坐标系中的表示
点在平面直角坐标系中的表示方法
直角坐标法
在平面内选定一个原点O和x、y轴，对于平面内的任意一点P ，通过原点O作一直角与x轴正方向夹角为α，再作一直角与y 轴正方向夹角为β，两直角的交点即为点P的坐标。
极坐标法
以原点O为极点，x轴正方向为极轴，建立极坐标系。对于平 面内的任意一点P，通过原点O作一直线与极轴夹角为θ，再 作一直线与极轴夹角为α，两直线的交点即为点P的极坐标。
点的坐标与位置关系
点的横坐标
表示点在x轴上的投影距离 。
点的纵坐标
表示点在y轴上的投影距离 。
点的位置关系
通过比较点的坐标值，可 以确定点在平面直角坐标 系中的位置关系，如平行 、垂直、相交等。
点在平面直角坐标系中的变换
平移变换
将点沿着x轴或y轴方向移动一定的距离，点的坐 标值会相应地增加或减少。
几何图形的性质研究
利用平面直角坐标系，可以研究几何图形的性质和特点，例如对称性、中心对 称等。
04
平面直角坐标系与极坐标系的 关系
极坐标系的基本概念
1 2
极坐标系
在平面内，以一个固定点为极点，一个固定射线 为极轴，用来研究点的位置的一种坐标系。
极坐标表示
在极坐标系中，一个点的位置由一个实数r和一 个角度θ来确定，记作(r, θ)。
旋转变换
将点绕原点旋转一定的角度，点的坐标值会发生 变化。
缩放变换
将点在x轴或y轴方向上放大或缩小一定的倍数， 点的坐标值会相应地增加或减少。
03
平面直角坐标系的应用
解析几何问题
直线方程的求解
通过平面直角坐标系，可以确定 直线上任意两点的坐标，从而求 出直线的方程。
平面直角坐标系平面直角坐标系
在有些情况下，1个单位长度表示的单位量可能 不是1，需要具体问题具体分析。）
3
特点
坐标轴上的单位长度是等长的，即1个单位长度 上对应的坐标值是等距的。
象限与八分区
• 象限：将平面分成四个区域，左上、右上、左下、右下分别称为第一、第二、第三、第四象限。 • 八分区：将平面分成八个区域，类似于象限的划分方法，但是增加了两条坐标轴上的奇数和偶数分区。具
平面直角坐标系的优化算法
平面直角坐标系也可以用于解决优化问题，例如线 性规划、非线性规划等。
线性规划问题可以定义一个目标函数和一组约束条 件，通过求解目标函数的最大值或最小值，以及满
足约束条件的最优解得到最优解。
非线性规划问题可以定义一个非线性目标函数和 一组约束条件，通过求解目标函数的最小值或最 大值，以及满足约束条件的最优解得到最优解。
特点
平面直角坐标系具有简单易行、直观形象、易于理解与运用 等优点。
平面直角坐标系的重要性
数学科学的基础
平面直角坐标系是数学科学中最为基础和重要的概念之一，它为代数、几何 、分析等多个分支提供了桥梁和工具。
解决实际问题
平面直角坐标系广泛应用于各个领域，如物理学、工程学、经济学等，用于 描述和分析实际问题。
体如下 • 第一象限：(+,+) • 第二象限：(-,+) • 第三象限：(-,-) • 第四象限：(+,-) • x轴正半轴：(+,0) • x轴负半轴：(0,-) • y轴正半轴：(0,+) • y轴负半轴：(-,0)
03
平面直角坐标系的应用
描述点的位置
平面直角坐标系由横轴和纵轴构成，原点表示为 (0,0)，可以在此基础上确定任意点的位置。
平面直角坐标系
平面直角坐标系平面直角坐标系是解析几何中常用的坐标系，用于描述平面上的点和其它几何图形。
本文将详细介绍平面直角坐标系的定义、性质及应用。
一、定义平面直角坐标系由两个互相垂直的数轴（x轴和y轴）构成。
x轴水平放置，从左到右逐渐增大；y轴垂直于x轴，从下往上逐渐增大。
两条轴的交点称为原点，记作O。
平面直角坐标系将平面上的点与有序的实数对（x，y）一一对应。
二、性质1. 坐标轴性质：x轴上的点坐标为(x, 0)，y轴上的点坐标为(0, y)。
2. 坐标线性质：对于坐标系内的一点P(x, y)，以x轴和y轴为边，可以得到4个区域，分别对应第一象限、第二象限、第三象限和第四象限。
3. 距离计算公式：两点P1(x1, y1)和P2(x2, y2)之间的距离d可以通过勾股定理求得：d = √[(x2 - x1)² + (y2 - y1)²]。
三、应用平面直角坐标系在解析几何中有广泛的应用，常与方程、图形和向量等相关联。
1. 方程：通过坐标系可以解决一元和两元方程的问题。
对于一元方程，可以将其在坐标系中表示为一条直线，并求解其根；对于两元方程，可以表示为一条曲线，通过坐标系求解方程组的解。
2. 图形：通过坐标系，可以准确地表示和描述各种几何图形，如直线、抛物线、双曲线等。
在坐标系中，每个点都有唯一的坐标，因此可以使用坐标来确定图形上的点的位置。
3. 向量：向量是平面直角坐标系中的重要概念之一。
向量的起点可以任意选取，表示为一个有向线段，并通过坐标系表示其方向和大小。
向量可以进行加法、减法、数量积等运算，在物理学、工程学等领域有广泛的应用。
总结：平面直角坐标系是解析几何中最基本的坐标系之一，通过两个垂直的坐标轴构成。
它具有一些重要的性质，如坐标轴和坐标线的性质，以及距离计算公式。
平面直角坐标系在方程、图形和向量等方面有广泛的应用，能够准确地描述和解决各种几何问题。
平面直角坐标系平面直角坐标系
感谢您的观看
THANKS
性质
平面直角坐标系是一个正交坐标系，它具有唯一性和可数性 。
平面直角坐标系的建系的中心点 。
确定x轴与y轴
根据定义，x轴是一条与y轴垂直的数轴，y轴是 一条与x轴垂直的数轴。
确定单位长度
选择一个单位长度，通常选择一个合适的长度单 位，如毫米或厘米。
坐标系中的点与坐标
方向向量的计算
方向向量的计算可以通过两个点的坐标进行计算，得到一个向量，该向量的模等于两点之间的距离，方向与连 接两点的线段一致。
三维空间中的坐标系
三维空间中的坐标系定义
三维空间中的坐标系使用三个参数，x、y 、z，来定义空间中的任意一点。
VS
三维空间中的坐标系扩展
三维空间中的坐标系可以扩展到更高维度 的空间中，例如四维空间、五维空间等。
计算机图形学中的应用
像素坐标
在计算机图形学中，每个像素点都有其在平面直角坐标系中的位 置，通过坐标可以方便地对像素点进行操作。
渲染算法
通过平面直角坐标系可以设计各种渲染算法，如阴影算法、反射 算法等。
三维建模
在三维建模中，平面直角坐标系是基础，可以通过它来建立三维模 型的空间关系。
05
平面直角坐标系的扩展
平移平面直角坐标系中的点，其坐标值会相应地发生变化。平移过程中，点 的坐标值沿横轴或纵轴方向移动，移动距离等于平移方向上的坐标增量。
点的旋转
旋转平面直角坐标系中的点，其坐标值不会发生变化，但会围绕旋转中心转 动。旋转过程中，点的坐标值相对于旋转中心转动，旋转角度等于旋转角度 的弧度值。
距离与角度的计算
平面直角坐标系
2023-11-04
目 录
• 平面直角坐标系的基本概念 • 平面直角坐标系中的基本运算 • 平面直角坐标系中的图形变换 • 平面直角坐标系的应用 • 平面直角坐标系的扩展
平面直角坐标系
平面直角坐标系平面直角坐标系是数学上常用的一种表示平面点位置的方法。
它由两条相互垂直的坐标轴组成，通常被称为x轴和y轴。
在平面直角坐标系中，每一个点可以由一个有序数对(x, y)来表示，其中x代表点在x轴上的位置，y代表点在y轴上的位置。
一、坐标轴和坐标平面平面直角坐标系以一个平面为基准面，通过在基准面上选择两条相互垂直的线段作为坐标轴，构成直角坐标系。
x轴和y轴分别与基准面的一个定点O相交于点O，被称为坐标原点。
二、坐标值在平面直角坐标系中，每一条坐标轴被划分为无限个等分，用来表示点在该轴上的位置。
任意一点的坐标值都是由该点在x轴和y轴上的投影决定的。
三、点的位置平面直角坐标系中的点可以分为四个象限：第一象限、第二象限、第三象限和第四象限。
第一象限位于x轴和y轴的正方向，第二象限位于x轴的负方向和y轴的正方向，第三象限位于x轴和y轴的负方向，第四象限位于x轴的正方向和y轴的负方向。
四、距离和斜率在平面直角坐标系中，可以通过坐标值计算两点之间的距离和斜率。
两点之间的距离可以通过使用勾股定理计算，而斜率则可以通过斜率公式计算，斜率公式为：m = (y2 - y1) / (x2 - x1)，其中m为斜率，(x1,y1)和(x2, y2)分别为两点坐标。
五、图形的表示在平面直角坐标系中，不同的图形可以通过将点的集合按照一定规则进行连接而得到。
例如，直线可以由两个点确定，抛物线可以由若干个点确定，圆可以由一个点和半径确定等。
总结：平面直角坐标系是表示平面点位置的常用方法，通过坐标轴和坐标值可以准确地表示点在平面上的位置。
在平面直角坐标系中，可以计算两点之间的距离和斜率，同时可以通过连接点来表示不同的图形。
平面直角坐标系是数学中一个重要的概念，被广泛应用于几何学、代数学等领域。
平面直角坐标系
平面直角坐标系平面直角坐标系是指利用两个垂直的数轴（x轴和y轴）来确定平面上的点位置的一种坐标系统。
它是数学中常用的一种工具，用于描述平面上的几何图形和解决各种问题。
在平面直角坐标系中，点的位置由两个数值（x，y）表示，其中x表示点在x轴上的位置，y表示点在y轴上的位置。
一、坐标轴平面直角坐标系由两条互相垂直的坐标轴组成，分别是x轴和y轴。
坐标轴的交点称为原点，记作O。
x轴向右延伸为正方向，向左延伸为负方向。
y轴向上延伸为正方向，向下延伸为负方向。
x轴和y轴的单位长度可以任意选择，常用的单位长度是1。
二、坐标表示在平面直角坐标系中，每个点的位置都可以用一个有序数对（x，y）表示。
x表示点在x轴上的位置，可以是正数、负数或零。
y表示点在y轴上的位置，也可以是正数、负数或零。
由于存在四个象限，具体的位置表示可能是不同的。
三、象限划分平面直角坐标系将平面划分为四个象限，如下所示：第一象限：x轴和y轴的正半轴构成，x和y均为正数。
第二象限：x轴的负半轴和y轴的正半轴构成，x为负数，y为正数。
第三象限：x轴和y轴的负半轴构成，x和y均为负数。
第四象限：x轴的正半轴和y轴的负半轴构成，x为正数，y为负数。
四、坐标变换在平面直角坐标系中，可以进行坐标变换来描述图形的移动、旋转和缩放等操作。
常见的坐标变换包括平移、旋转和缩放。
平移：平移是将图形沿着x轴或y轴方向进行移动。
平移图形的x坐标和y坐标分别加上相应的平移量。
旋转：旋转是将图形绕着原点或其他点旋转一定角度。
旋转图形可以利用旋转矩阵进行计算。
缩放：缩放是将图形在x轴和y轴方向上进行拉伸或压缩。
缩放图形可以将图形的每个点的x坐标和y坐标分别乘以缩放因子。
五、应用领域平面直角坐标系被广泛应用于各个学科和领域中。
在几何学中，平面直角坐标系被用于描述图形的性质和计算图形的面积、周长等。
在物理学中，平面直角坐标系用于描述物体的运动轨迹和力的作用方向等。
在经济学和社会科学中，平面直角坐标系被用于建立数学模型和分析数据等。
平面直角坐标系
平面直角坐标系什么是平面直角坐标系平面直角坐标系是一个二维的坐标系，由两条相互垂直的坐标轴所组成。
通常用来描述平面内的几何现象，常见于数学、物理、工程等领域。
坐标轴平面直角坐标系由两条互相垂直的坐标轴构成，称为X轴和Y轴。
X轴是水平方向的，与纵向的Y轴垂直。
它们通过坐标原点O相交，坐标原点是坐标系中最靠近两条轴交叉点的点。
轴上的点表示轴向的数值，点的位置与它所表示的数值有直接的对应关系，因此点与数值可以互相转换。
坐标系中的点在平面直角坐标系中，每个点的位置可以用它在X轴和Y轴上的坐标表示。
设点P的坐标为(x,y)，表示点P在X轴上的坐标为x，在Y轴上的坐标为y。
P点在坐标系上的位置就是以O点为起点，延水平方向向右移动x个单位，再延竖直方向向上移动y个单位到达的点。
坐标系上的距离坐标系中的两个点之间的距离可以用勾股定理计算。
设两个点的坐标分别为A(x1,y1)和B(x2,y2)，则它们之间的距离为$d = \\sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2- y_1)^2}$。
因此，坐标系中任意两个点都可以通过它们的坐标计算出它们之间的距离。
坐标系中的几何形状平面直角坐标系中可以用一些基本的几何形状来描述平面内的几何现象，例如：点一个点可以表示为一个坐标值(x, y)。
直线一条直线可以用斜率和截距表示。
斜率表示直线在坐标系中的倾斜程度，截距表示直线与Y轴的交点位置。
圆一个圆可以表示为圆心坐标和半径大小。
圆心坐标表示圆心在坐标系中的位置，半径表示圆的大小。
矩形一个矩形可以表示为两个对角点的坐标值。
一个对角点表示矩形的左上角或右下角，另一个对角点表示矩形的右上角或左下角。
坐标系中的变换在平面直角坐标系中，可以进行一些坐标变换来描述几何形状的变化。
例如：平移平移是指将一个几何形状沿着水平和竖直方向上移动一定的距离。
对于一个点(x,y)，进行平移变换时可以表示为(x + a, y + b)，其中a和b表示在水平和竖直方向上移动的距离。
平面直角坐标系
平面直角坐标系平面直角坐标系，又称直角坐标系或笛卡尔坐标系，是在数学和物理学中常用的坐标系统之一。
它以两条相互垂直的数轴（通常是水平的 x 轴和垂直的 y 轴）作为基准，用来确定平面上的点的位置。
这个坐标系的引入，使得我们可以方便地表示、计算和研究平面上各个点的位置和关系。
一、坐标轴平面直角坐标系中的坐标轴通常是水平的 x 轴和垂直的 y 轴。
在坐标轴上，我们选取一个点作为原点（O），两条轴相交于原点，原点的位置被定义为坐标轴的交点。
二、坐标表示在平面直角坐标系中，每个点都可以用一个有序对 (x, y) 来表示。
其中，x 表示与 x 轴的水平距离，称为横坐标；y 表示与 y 轴的垂直距离，称为纵坐标。
三、象限划分平面直角坐标系将平面划分为四个象限，分别称为第一象限、第二象限、第三象限和第四象限。
在第一象限中，x 和 y 的值都为正；在第二象限中，x 的值为负，y 的值为正；在第三象限中，x 和 y 的值都为负；在第四象限中，x 的值为正，y 的值为负。
在坐标系中，我们可以通过坐标的正负值和象限来确定点所在的位置。
例如，点 (3, 4) 位于第一象限，点 (-2, 3)位于第二象限，点 (-5, -1) 位于第三象限，点 (4, -2) 位于第四象限。
四、距离和斜率在平面直角坐标系中，我们可以通过坐标来计算点之间的距离和直线的斜率。
1. 距离公式：设两点 A(x1, y1) 和 B(x2, y2)，它们之间的距离可以使用勾股定理来计算：AB = √((x2-x1)^2 + (y2-y1)^2)2. 斜率公式：设直线上两点 A(x1, y1) 和 B(x2, y2)，直线的斜率可以使用以下公式计算：k = (y2-y1) / (x2-x1)根据以上公式，我们可以根据给定的坐标计算点之间的距离，或确定直线的斜率，帮助我们解决各种几何和物理问题。
五、应用平面直角坐标系广泛应用于几何、物理、经济学等学科中。
平面直角坐标系
平面直角坐标系
平面直角坐标系，又称笛卡尔坐标系，是一种在二维空间里应用的坐标系。
它是由两个互相垂直的直线组成的，分别叫做X轴和Y轴，可以将二维平面上的任何一点定位。
一般来说，平面直角坐标系的原点为坐标原点(0,0)，X轴水平向右延伸，Y轴垂直向上延伸。
每一点都可以用一对数字来表示，分别表示其在X轴和Y轴上的坐标。
用坐标显示出来形成一个坐标轴，已经有助于理解平面坐标系。
平面直角坐标系的使用非常广泛，应用于数学、物理、地理等诸多学科，是学习和处理二维数据的非常有用的工具。
它可以帮助我们更好地理解物体的位置和运动路径，以及分析函数的结构和趋势。
同时，平面直角坐标系还可以帮助我们将二维地图投影到平面上，帮助人们更清楚地理解地形和地貌。
可以说，平面直角坐标系是研究和处理二维数据的必不可少的工具。
在科学研究中，平面直角坐标系是一种非常重要的技术，它被广泛用于表达空间结构，分析和模拟各种现象，有很多强大的数学工具，可以帮助我们更好地了解这些现象。
当然，也可以用平面直角坐标系来研究各种曲线问题，比如椭圆、抛物线、双曲线等等。
总而言之，平面直角坐标系是一种重要的坐标系，应用于数学、物理和地理等多个领域，被广泛用于研究和处理二维数据。
它是一个强大的工具，对于理解二维空间中的物体结构和现象非常有用，也是研究函数曲线的重要基础。
第一讲--坐标系-平面直角坐标系
x
上述变换实质上就是一个坐标的伸长变换
即：设P(x,y)是平面直角坐标系中任意一点，
设P(x, y)是平面直角坐标系中任意一点，保持横坐标
x不变，将纵坐标y伸长为原来的3倍，得到点P ′(x ′,y ′)坐
标对应关系为：
x x
y
3
y
②
我们把②式叫做平面直角坐标系中的一个坐标伸长变换.
怎样由正弦曲线y=sinx得到曲线y=3sin2x?
E
设A(m, 0), B(n, 0), C(0,p) 求出CF、BE的斜率即可
A
FO B x
坐标法 建系时，根据几何特点选择适当的直角坐标系，
注意以下原则：
(1)如果图形有对称中心，可以选对称中心为坐标原点；
(2)如果图形有对称轴，可以选择对称轴为坐标轴；
(3)使图形上的特殊点尽可能多的在坐标轴上。
③在伸缩变换下，平面直角坐标系不变，在同一直 角坐标系下进行伸缩变换。
例1 在直角坐标系中，求下列方程所对应的图形
经过伸缩变换:
x 2x
y
3
y
后的图形。
(1) 2x+3y=0;
(2) x2+y2=1
x 2x
解：(1)由伸缩变换
y
；
3
y
x
得到
y
1 x 2 1 y
代入
2x+3y=0;
3
得到经过伸缩变换后的图形的方程是 x y 0
练习：CA、CO为半径为1的圆C上 y
互相垂直的两条半径，A、O为定
点，P是以O为端点的动弦的中点，
求A、P间的最短距离
O
分析:以O为原点，OC所在直线为x轴 建立坐标系
平面直角坐标系
平面直角坐标系平面直角坐标系是一种常用的坐标系统，用于描述平面上的几何图形和点的位置关系。
它由两个互相垂直的坐标轴组成，分别称为X轴和Y轴。
每个点在这个坐标系中都可以由一个有序对 (x, y) 表示，其中 x 表示点在X轴上的位置，y表示点在Y轴上的位置。
在平面直角坐标系中，点的位置可以通过坐标进行准确描述。
X轴和Y轴的交点被称为坐标原点，用符号 O 表示。
X轴向右延伸的方向为正方向，Y轴向上延伸的方向为正方向。
根据这个规定，可以得出以下性质：1. 同一平面上的两点可以通过直线连接。
一条直线可以由平面上的两个点确定。
2. X轴和Y轴上的点的坐标有特殊含义。
当某点的Y坐标为0时，说明该点在X轴上；当某点的X坐标为0时，说明该点在Y轴上。
3. 平面上的点可以分为四个象限。
第一象限包含所有X坐标和Y坐标都为正数的点；第二象限包含所有X坐标为负数、Y坐标为正数的点；第三象限包含所有X坐标和Y坐标都为负数的点；第四象限包含所有X坐标为正数、Y坐标为负数的点。
4. 两个点的距离可以通过坐标计算得出。
设两点分别为A(x1, y1) 和 B(x2, y2)，则点 A 到点 B 的距离为 d =√((x2 - x1)^2 + (y2-y1)^2)。
平面直角坐标系在几何学和代数学中有广泛的应用。
通过坐标表示，我们可以方便地计算两点之间的距离、两条线段的交点、图形的面积等。
它简化了几何图形的描述和计算，使得解决几何问题更加直观和高效。
在平面直角坐标系中，我们也可以进行坐标变换和平移。
通过改变坐标轴的位置和方向，我们可以将一个图形在平面上进行平移、旋转和缩放。
这种灵活性使得平面直角坐标系成为数学和工程学科中不可或缺的工具。
总之，平面直角坐标系是一种简单有效的坐标系统，用于描述平面上点的位置关系和几何图形的性质。
通过坐标的运算和计算，我们可以方便地解决各种几何和代数问题。
这种坐标系统在数学、物理、工程等领域中被广泛使用，并为解决实际问题提供了有力的工具。
平面直角坐标系
平面直角坐标系平面直角坐标系是解决平面几何问题的基础。
它通过两条相互垂直的轴线来定位平面上的点，一条轴线称为横轴或X轴，另一条轴线称为纵轴或Y轴。
本文将介绍平面直角坐标系的定义、特点及其应用。
定义及特点平面直角坐标系由两条相互垂直的轴线和一个坐标原点组成。
横轴和纵轴相交于坐标原点，并且原点的坐标为(0, 0)。
根据笛卡尔坐标系的规定，横轴向右为正方向，纵轴向上为正方向。
坐标轴上的刻度表示具体的数值，刻度之间的等距离表示单位长度，一般称为“单位距离”。
在平面直角坐标系中，横轴和纵轴上的刻度可以表示实数。
每一个点都可以用一个有序数对(x, y)来表示，其中x表示横轴上的刻度，y表示纵轴上的刻度。
平面直角坐标系可用于表示平面上的点、直线、曲线等几何对象。
通过坐标系，可以方便地计算两个点之间的距离、两条直线的交点等几何性质。
在平面直角坐标系中，直线可以由一个方程表示，常见的直线方程有斜率截距方程和一般式方程。
平面直角坐标系的应用平面直角坐标系在几何学、代数学以及物理学等学科中都有广泛的应用。
下面将介绍一些典型的应用场景。
1. 几何形状的表示：平面直角坐标系可以用于表示任意几何形状。
通过将图形中的各个点的坐标表示在坐标系中，可以直观地观察图形的性质和关系。
例如，可以用平面直角坐标系表示矩形、圆、椭圆等几何形状，便于计算它们的面积、周长等几何特征。
2. 直线和曲线的方程表示：平面直角坐标系可以用于表示直线和曲线的方程。
例如，对于直线，可以根据已知点和斜率确定直线的方程，或者通过已知两点求解直线的方程。
对于曲线，可以通过解析几何方法将曲线转化为方程，从而研究曲线的特性和性质。
3. 空间位置的定位：平面直角坐标系也可以扩展到三维空间，用于表示点、直线和平面的位置。
通过添加垂直于平面的第三条轴线，可以构建三维直角坐标系，用于表示三维几何对象的位置和性质。
三维直角坐标系在物理学、工程学等领域中有着广泛的应用。
4. 函数的表示和计算：平面直角坐标系可以用于表示数学函数，如直线函数、二次函数等。
平面直角坐标系
平面直角坐标系在数学中，平面直角坐标系是一种常用的坐标系，用于描述平面上的点的位置。
它由两条垂直于彼此的直线所构成，其中一条被称为x 轴，另一条被称为y轴。
本文将介绍平面直角坐标系的概念、性质以及在数学和几何中的应用。
一、平面直角坐标系的定义平面直角坐标系由两条垂直于彼此的直线组成，其中x轴和y轴相交于一个点，被称为坐标原点O。
x轴和y轴将平面分成四个象限，分别为第一象限、第二象限、第三象限和第四象限。
平面直角坐标系中的每个点都可以用一对有序实数(x, y)表示，其中x表示点在x轴上的位置，y表示点在y轴上的位置。
这种表示方式被称为点的坐标。
二、平面直角坐标系的性质1. 对称性：平面直角坐标系关于坐标原点O对称，即如果点P(x, y)在坐标系中，则点P'(-x, -y)也在坐标系中。
2. 距离：平面直角坐标系中，两点P1(x1, y1)和P2(x2, y2)之间的距离可以通过勾股定理计算：d = √[(x2 - x1)² + (y2 - y1)²]3. 倾斜角：平面直角坐标系中，直线与坐标轴之间的夹角被称为倾斜角。
对于x轴，倾斜角为0°或180°；对于y轴，倾斜角为90°或270°。
4. 坐标轴：x轴和y轴分别垂直于彼此，且不相交。
三、平面直角坐标系的应用1. 图形绘制：平面直角坐标系可以用于绘制平面上的各种几何图形，如点、线段、直线、多边形等。
通过给定坐标，可以准确地确定图形的位置和大小。
2. 函数图像：平面直角坐标系常用于绘制函数图像。
函数图像是由平面上满足某一特定函数关系的点组成的曲线或线段。
通过在坐标系中绘制函数的图像，可以直观地了解函数的性质和变化规律。
3. 解析几何：平面直角坐标系在解析几何中具有重要的应用。
通过使用坐标系，可以进行直线的方程、圆的方程、角的度量等相关计算。
4. 数据分析：平面直角坐标系也被广泛应用于数据分析和可视化。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
【解析】(1)y=- 3x+ 3 ；
3
(2)(0， 3 )
9 2
(3)①当点P在线段AO上时，过F作
FG⊥x轴，G为垂足(如图1)
∵OE=FG，EP=FP,∠EOP=∠FGP=90°，
∴△EOP≌△FGP，∴OP=PG.
又∵OE=FG= 3 t,∠A=60°,∴ AG= FG = 1 t ，
3
过F作FQ∥B′C，交EC于点Q, 则△FEQ∽△B′EC
2 ， 3 )， 3 2 3 根据对称性可得，Q关于直线EF的对称点Q′(，3 )也符 3
由
，可得Q的坐标为(-
合条件.
13.(12分)已知：等腰三角形OAB在直角坐标系中的位置如图， 点A的坐标为(－3 为(－6，0). (1)若三角形OAB关于y轴的轴对称图形 是三角形OA′B′，请直接写出A、B的对 ,3)，点B的坐标 3
【解析】(1)A′(3 3 ,3),B′(6,0).
(2)∵y=3,∴3= 6 3 ,
x ∴x= 2 3,∴a= 5 3 .
(3)① ∵α=30°,∴相应B点的坐标是(－3 3 ,－3), ∴k=9 3 .
②能.理由是：当α=60°时，相应A,B点的坐标分别是
(－3 3 ,－3),(－3,－3 3 )， 经检验：它们都在y= 9 3 的图象上. ∴α=60°.
坐标系如图，该坐标系以O为原点，直线OA为x轴，直线OE为y
轴，以正六边形OABCDE的边长为一个单位长.坐标系中的任意 一点P用一有序实数对(a,b)来表示，我们称这个有序实数对
(a,b)为点P的坐标.坐标系中点的坐标的确定方法如下：
(ⅰ)x轴上点M的坐标为(m,0)，其中m为M点在x轴上表示的实
2
(B)- 1 <m<0
2
(C)m<0
(D)m> 1
2
3.在平面直角坐标系xOy中，已知点A(2，3)，若将OA绕原点O
逆时针旋转180°得到OA′，则点A′在平面直角坐标系中的
位置是在(
) C
(B)第二象限 (D)第四象限
(A)第一象限 (C)第三象限
5.(2010·玉溪中考)王芳同学为参加学校组织的科技知识竞 赛，周末到新华书店购买资料.如图，是王芳 离家的距离与时间的函数图象.若黑点表示王 芳家的位置，则王芳走的路线可能是(
(如图2)∵OE=
在Rt△BMP中，BP·cos60°=MP
即2(t-6)· 1 = 9-t ，解得t= 45 .
2 6 7
②存在.理由如下：
∵t=2，∴OE=
2 3 ，AP=2，OP=1 3
将△BEP绕点E顺时针方向旋转90°， 得到△B′EC(如图3) ∵OB⊥EF，∴点B′在直线EF上，
2 C点坐标为(- 2 3， 3 -1) 3 3
(3)若点K(x,y)为射线OD上任一点，
求x与y所满足的关系式.
答案：(1)A(1，0)，B(2，1)，C(2，2) (2)略 (3)y=2x(x≥0)
11.(12分)在平面直角坐标系中，一动点P(x，y)从M(1，0)出
发，沿由A(－1，1)，B(－1，－1)，C(1，－1)，D(1，1)四
点组成的正方形边线(图①)按一定方向运动．图②是P点运动 的路程s(个单位)与运动时间t(秒)之间的函数图象，图③是P
请解答下列问题： (1)过A，B两点的直线解析式是_____；
(2)当t=4时，点P的坐标为_____；当
t=_____，点P与点E重合； (3)①作点P关于直线EF的对称点P′. 在运动过程中，若形成的四边形PEP′F为菱形，则t的值是多 少？ ②当t=2时，是否存在着点Q，使得△FEQ ∽△BEP?若存在， 求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由.
称点A′、B′的坐标；
(2)若将三角形OAB沿x轴向右平移a个单位，此时点A恰好落在 反比例函数y=
6 3 的图象上，求a的值； x
(3)若三角形OAB绕点O按逆时针方向旋转α 度(0<α <90).
①当α =30°时点B恰好落在反比例函数y= 值．
k 的图象上，求k的 x
②问点A、B能否同时落在①中的反比例函数的图象上，若能， 求出α 的值；若不能，请说明理由.
B
)
二、填空题(每小题6分，共24分) 6.点A的坐标为( 2，0)，把点A绕着坐标原点顺时针旋转
135°到点B，那么点B的坐标是_____．
(-1，－1)
4.(2010·遵义中考)在一次“寻宝”游戏中,“寻宝”人找到
了如图所示的两个标志点A(2,3)、B(4,1),
A、B两点到“宝藏”点的距离都是 10，则 “宝藏”点的坐标是( C ) (A)(1，0) (C)(1，0)或(5，4) (B)(5，4) (D)(0，1)或(4，5)
一、选择题(每小题6分，共30分) 1.(2010·珠海中考)在平面直角坐标系中，将点P(-2,3)沿x
轴方向向右平移3个单位得到点Q，则点Q的坐标是( D )
(A)(-2,6) (B)(-2,0)
(C)(-5,3)
(D)(1,3)
2.如果点P(m,1-2m)在第四象限,那么m的取值范围是( D ) (A)0<m< 1
2
10
(3)当3≤s＜5，即P从A到B时，y=4-s；
当5≤s＜7，即P从B到C时，y=-1； 当7≤s≤8，即P从C到M时，y=s-8．图象略．
12.(12分)(2010·金华中考)如图，把含有30°角的三角板
ABO置入平面直角坐标系中，A，B两点坐标分别为(3，0)和
(0， 3).动点P从A点开始沿折线AO-OB-BA运动，点P在AO， 3
点的纵坐标y与P点运动的路程s之间的函数图象的一部分．
(1)s与t之间的函数关系式是________； (2)与图③相对应的P点的运动路径是：________；P点出发 _______秒首次到达点B； (3)写出当3≤s≤8时，y与s之间的函数关系式，并在图③中
补全函数图象．
【解析】(1)s= 1 t(t≥0)(2)M→D→A→N
7.在平面直角坐标系中，点A的坐标为(1，1)，点B的坐标为 (11，1)，点C到直线AB的距离为4，且△ABC是直角三角形， 则满足条件的点C有_____个．
A
B
A
9.(2010·广安中考)如图，在平面直角坐 标系中，等边三角形OAB的边长为4，把 △OAB沿AB所在的直线翻折.点O落在点C处， 则点C的坐标为_____. 【解析】作CD⊥x轴垂足为D，由题意可知 ∠CAB=∠OAB=60°∴∠CAD=180°-∠CAB-∠OAB=60°， ∴CD=AC·sin60°= 2 3 ，AD=AC·cos60°=2，
OB，BA上运动的速度分别为1， 3 ，2 (长度单位/秒).一直尺
的上边缘l从x轴的位置开始以 3 (长度单位/秒)的速度向上
3
平行移动(即移动过程中保持l∥x轴)，且分别与OB，AB交于 E，F两点.设动点P与动直线l同时出发，运动时间为t秒，当 点P沿折线AO-OB-BA运动一周时，直线l和动点P同时停止运动.
数； (ⅱ)y轴上点N的坐标为(0,n)，其中n为N点在y 轴上表示的实
数；
(ⅲ)不在x、y轴上的点Q的坐标为(a,b)，其中a为过点Q且与y 轴平行的直线与x轴的交点在x轴上表示的实数，b为过点Q且 与x轴平行的直线与y轴的交点在y轴上表示的实数.
则：(1)分别写出点A、B、C的坐标
(2)标出点M(2，3)的位置；
∴OD=OA+AD=6，
∴C点的坐标为(6,2 3 ). 答案：(6, 2 3 )
8．(2010·金华中考)如图，在平面直角坐标系中，若△ABC 与△A1B1C1关于E点成中心对称，则对称中心E点的坐标是____.
【解析】连接BB1与CC1，两线交点即为E. 答案：(3，-1)
三、解答题(共46分) 10.(10分)(2010·常州中考)小明在研究苏教版《有趣的坐标 系》后，得到启发，针对正六边形OABCDE，自己设计了一个
tan60
3
而AP=t，∴OP=3-t，PG=AP-AG= 2 t
3
由3-t= 2 t得t= 9 ；
3 5
当点P在线段OB上时，形成的是三角形，
不存在菱形；当点P在线段BA上时， 过P作PH⊥EF，PM⊥OB，H、M分别为垂足
3 3 t,∴BE=3 3t, 3 3 ∴EF= BE =3- t ， tan60 3 ∴MP=EH= 1 EF= 9-t ，又∵BP=2(t-6)， 2 6
x