九年级数学提高练习：二次函数与方程和不等式

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二次函数与一元二次方程、不等式

2．3 二次函数与一元二次方程、不等式(一)教材梳理填空(1)一元二次不等式：一般地，我们把只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的不等式，称为一元二次不等式．一元二次不等式的一般形式是ax 2＋bx ＋c >0或ax 2＋bx ＋c <0，其中a ，b ，c 均为常数，a ≠0.(2)二次函数的零点：一般地，对于二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c ，我们把使ax 2＋bx ＋c ＝0的实数x 叫做二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的零点．(3)二次函数与一元二次方程、不等式的解的对应关系Δ＞0 Δ＝0 Δ＜0y ＝ax 2＋bx ＋c (a >0)的图象ax 2＋bx ＋c ＝0 (a >0)的根有两个不相等的实数根x 1，x 2(x 1<x 2) 有两个相等的实数根x 1＝x 2＝－b2a没有实数根ax 2＋bx ＋c >0 (a >0)的解集 {x |x ＜x 1，或x ＞x 2} ⎩⎨⎧x ⎪⎪⎭⎬⎫x ≠－b 2aRax 2＋bx ＋c <0 (a >0)的解集 {x |x 1＜x ＜x 2}∅∅(二)基本知能小试 1．判断正误(1)mx 2－5x <0是一元二次不等式．( )(2)若a >0，则一元二次不等式ax 2＋1>0无解．( )(3)若一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0的两根为x 1，x 2(x 1<x 2)，则一元二次不等式ax 2＋bx ＋c <0的解集为{x |x 1<x <x 2}．( )(4)不等式x 2－2x ＋3>0的解集为R.( ) 2．不等式2x 2－x －1>0的解集是( )A ．⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪－12<x <1 B ．{x |x >1} C ．{x |x <1或x >2} D ．⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x <－12或x >1 3．不等式－2x 2＋x ＋3<0的解集是( )A ．{x |x <－1}B ．⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪ x >32C ．⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪ －1<x <32D ．⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x <－1或x >32 4．若不等式ax 2＋5x ＋c >0的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪13<x <12，则a ，c 的值分别为________，________.题型一一元二次不等式的解法[学透用活][典例1] 解下列不等式：(1)－2x 2＋x －6＜0； (2)－x 2＋6x －9≥0； (3)x 2－2x －3＞0； (4)－4x 2＋4x －1＞0.[对点练清]1．(2018·全国卷Ⅰ)已知集合A ＝{x |x 2－x －2>0}，则∁R A ＝( ) A ．{x |－1<x <2} B ．{x |－1≤x ≤2} C ．{x |x <－1}∪{x |x >2} D ．{x |x ≤－1}∪{x |x ≥2}2．不等式(x ＋5)(3－2x )≥6的解集是( )A.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x ≤－1或x ≥92B.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪－1≤x ≤92C.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x ≤－92或x ≥1D.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪－92≤x ≤1 3．解不等式：－2<x 2－3x ≤10.题型二二次函数与一元二次方程、不等式间的关系[学透用活][典例2] 已知关于x 的不等式ax 2＋bx ＋c >0的解集为{x |2<x <3}，求关于x 的不等式cx 2＋bx ＋a <0的解集．[对点练清]1．[变结论]本例中条件不变，求关于x 的不等式cx 2－bx ＋a >0的解集．2．[变条件]若将本例的条件“关于x 的不等式ax 2＋bx ＋c >0的解集为{x |2<x <3}”变为“关于x 的不等式ax 2＋bx ＋c ≥0的解集是⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪－13≤x ≤2”．求不等式cx 2＋bx ＋a <0的解集．题型三一元二次不等式的实际应用[学透用活][典例3]某校园内有一块长为800 m，宽为600 m的长方形地面，现要对该地面进行绿化，规划四周种花卉(花卉带的宽度相同)，中间种草坪，若要求草坪的面积不小于总面积的一半，求花卉带宽度的范围．[对点练清]1．某商品在最近30天内的价格y1与时间t(单位：天)的关系式是y1＝t＋10(0<t≤30，t ∈N)；销售量y2与时间t的关系式是y2＝－t＋35(0<t≤30，t∈N)，则使这种商品日销售金额z不小于500元的t的范围为________．2．在一个限速40 km/h的弯道上，甲、乙两辆汽车相向而行，发现情况不对，同时刹车，但还是相碰了．事发后现场测得甲车的刹车距离略超过12 m，乙车的刹车距离略超过10 m. 又知甲、乙两种车型的刹车距离S m与车速x km/h之间分别有如下关系：S甲＝0.1x ＋0.01x2，S乙＝0.05x＋0.005x2.问超速行驶谁应负主要责任．[课堂一刻钟巩固训练]一、基础经典题1．下列不等式：①x 2>0；②－x 2－x ≤5；③ax 2>2；④x 3＋5x －6>0；⑤mx 2－5y <0；⑥ax 2＋bx ＋c >0.其中是一元二次不等式的有( )A ．5个B ．4个C ．3个D ．2个2．不等式－x 2－5x ＋6≥0的解集为( ) A ．{x |x ≥6或x ≤－1} B ．{x |－1≤x ≤6} C ．{x |－6≤x ≤1}D ．{x |x ≤－6或x ≥1}3．二次不等式ax 2＋bx ＋c <0的解集是全体实数的条件是( )A.⎩⎪⎨⎪⎧ a >0，Δ>0B.⎩⎪⎨⎪⎧ a >0，Δ<0C.⎩⎪⎨⎪⎧a <0，Δ>0 D.⎩⎪⎨⎪⎧a <0，Δ<0 4．若a <0，则关于x 的不等式a (x ＋1)⎝⎛⎭⎫x ＋1a <0的解集为________． 5．若关于x 的不等式(k －1)x 2＋(k －1)x －1<0恒成立，则实数k 的取值范围是________．二、创新应用题6．解关于x 的不等式x 2－3ax －18a 2>0.[课下双层级演练过关]A 级——学考水平达标练1．设集合S ＝{x |(x －2)(x －3)≥0}，T ＝{x |x >0}，则S ∩T ＝( )A ．{x |2≤x ≤3}B ．{x |x ≤2或x ≥3}C ．{x |x ≥3}D ．{x |0<x ≤2或x ≥3} 2．下列四个不等式：①－x 2＋x ＋1≥0；②x 2－25x ＋5>0；③x 2＋6x ＋10>0；④2x 2－3x ＋4<1.其中解集为R 的是( )A ．①B ．②C ．③D ．④3．若0<t <1，则不等式(x －t )⎝⎛⎭⎫x －1t <0的解集为( ) A.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪ 1t <x <t B.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪ x >1t 或x <t C.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪ x <1t 或x >t D.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪t <x <1t 4．一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0的两根为－2,3，a <0，那么ax 2＋bx ＋c >0的解集为( ) A ．{x |x >3或x <－2} B ．{x |x >2或x <－3} C ．{x |－2<x <3}D ．{x |－3<x <2}5．若产品的总成本y (万元)与产量x (台)之间的函数关系式是y ＝3 000＋20x －0.1x 2(0<x <240)，若每台产品的售价为25万元，则生产者不亏本(销售收入不小于总成本)时的最低产量是( )A ．100台B ．120台C ．150台D ．180台 6．要使17－6x －x 2有意义，则x 的解集为________．7．已知集合A ＝{x |3x －2－x 2<0}，B ＝{x |x －a <0}，且B ⊆A ，则a 的取值范围为________． 8．若关于x 的不等式ax 2－6x ＋a 2<0的非空解集为{x |1<x <m }，则m ＝________. 9．解下列不等式：(1)2x 2＋7x ＋3>0；(2)－4x 2＋18x －814≥0; (3)－2x 2＋3x －2<0; (4)－12x 2＋3x －5>0.10．某文具店购进一批新型台灯，若按每盏台灯15元的价格销售，每天能卖出30盏；若售价每提高1元，日销售量将减少2盏．为了使这批台灯每天能获得400元以上的销售收入，应怎样制定这批台灯的销售价格？B级——高考水平高分练1．设x2－2x＋a－8≤0对于任意x∈{x|1≤x≤3}恒成立，则a的取值范围是________．2．对于实数x，当且仅当n≤x<n＋1(n∈N*)时，[x]＝n，则关于x的不等式4[x]2－36[x]＋45<0的解集为________．3．解关于x的不等式x2－(a＋a2)x＋a3>0.4．某小商品在2018年的价格为8元/件，年销量是a件．现经销商计划在2019年将该商品的价格下调至5.5元/件到7.5元/件之间，经调查，顾客的期望价格是4元/件．经测算，该商品价格下调后新增的年销量与实际价格和顾客期望价格的差成反比，比例系数为k.该商品的成本价为3元/件．(1)写出该商品价格下调后，经销商的年收益y与实际价格x的关系式；(2)设k＝2a，当实际价格最低定为多少时，仍然可以保证经销商2019年的收益比2018年至少增长20%?5．某热带风暴中心B 位于海港城市A 东偏南30°的方向，与A 市相距400 km.该热带风暴中心B 以40 km/h 的速度向正北方向移动，影响范围的半径是350 km.问：从此时起，经多少时间后A 市将受热带风暴影响，大约受影响多长时间？习题课(提升关键能力) 一元二次函数、方程和不等式高频考点一|比较大小[例1] (1)已知a, b 满足等式x ＝a 2＋b 2＋20, y ＝4(2b －a ), 则x, y 满足的大小关系是( )A ．x ≤yB ．x ≥yC ．x <yD ．x >y (2)对于a ＞0，b ＞0，下列不等式中不正确的是( ) A.ab 2＜1a ＋1b B ．ab ≤a 2＋b 22 C ．ab ≤⎝⎛⎭⎫a ＋b 22D.⎝⎛⎭⎫a ＋b 22≤a 2＋b22(3)若角α，β满足－π2＜α＜π2，－π2＜β＜π2，则2α＋β的取值范围是( )A ．－π<2α＋β<0B ．－π<2α＋β<πC ．－3π2<2α＋β<π2D ．－3π2<2α＋β<3π2[集训冲关]1．若a >b ，x >y ，下列不等式正确的是( )A ．a ＋x <b ＋yB ．ax >byC ．|a |x ≥|a |yD ．(a －b )x <(a －b )y 2．已知a ＋b <0，且a >0，则( )A ．a 2<－ab <b 2B ．b 2<－ab <a 2C ．a 2<b 2<－abD ．－ab <b 2<a 23．若0＜a ＜1,0＜b ＜1，且a ≠b ，则a ＋b,2ab ，2ab ，a 2＋b 2中最大的一个是( ) A ．a 2＋b 2 B ．2ab C ．2ab D ．a ＋b4．已知a <b <c ，试比较a 2b ＋b 2c ＋c 2a 与ab 2＋bc 2＋ca 2的大小．高频考点二|基本不等式及应用[例2] (1)已知不等式(x ＋y )⎝⎛⎭⎫1x ＋a y ≥9对任意正实数x ，y 恒成立，则正实数a 的最小值为( )A ．2B ．4C ．6D ．8(2)已知函数y ＝x －4＋9x ＋1(x >－1)，当x ＝a 时，y 取得最小值b ，则a ＋b ＝________. (3)某商品进货价每件50元，据市场调查，当销售价格(每件x 元)为50<x ≤80时，每天售出的件数为P ＝105(x －40)2，若要使每天获得的利润最多，销售价格每件应定为多少元？[集训冲关]1.(3－a )(a ＋6)(－6≤a ≤3)的最大值为( ) A ．9 B.92 C ．3 D.3222．设a ＞0，若对于任意的正数m ，n ，都有m ＋n ＝8，则满足1a ≤1m ＋4n ＋1的a 的取值范围是________．3．某项研究表明：在考虑行车安全的情况下，某路段车流量F (单位时间内经过测量点的车辆数，单位：辆/小时)与车流速度v (假设车辆以相同速度v 行驶，单位 m/s)、平均车长l (单位：m)的值有关，其公式为F ＝76 000vv 2＋18v ＋20l.(1)如果不限定车型，l ＝6.05，则最大车流量为____辆/小时；(2)如果限定车型，l ＝5，则最大车流量比(1)中的最大车流量增加________辆/小时． 4．若正实数x ，y 满足2x ＋y ＋6＝xy ，求2x ＋y 的最小值．高频考点三|一元二次不等式及其应用[例3] (1)解关于x 的不等式x 2＋(1－a )x －a ＜0.(2)甲厂以x 千克/小时的速度运输生产某种产品(生产条件要求1≤x ≤10)，每小时可获得的利润是100⎝⎛⎭⎫5x ＋1－3x 元． ①要使生产该产品2小时获得的利润不低于 3 000元，求x 的取值范围；②要使生产900千克该产品获得的利润最大，问：甲厂应该选取何种生产速度？并求最大利润．[集训冲关]1．若不等式－x 2＋mx －1＞0有解，则m 的取值范围是( ) A ．m <－2或m >2 B ．－2<m <2 C ．m ≠±2D ．1<m <32．关于x 的不等式x 2－ax －6a 2>0(a <0)的解集为{x |x <x 1或x >x 2}，且x 2－x 1＝52，则a 的值为( )A ．－ 5B ．－32C ．－ 2D ．－523．某摩托车生产企业，上年度生产摩托车的投入成本为1万元/辆，出厂价为1.2万元/辆，年销售量为1 000辆．本年度为适应市场需求，计划提高产品档次，适度增加投入成本．若每辆车投入成本增加的比例为x (0<x <1)，则出厂价相应的提高比例为0.75x ，同时预计年销售量增加的比例为0.6x .已知年利润＝(出厂价－投入成本)×年销售量．(1)写出本年度预计的年利润y 与投入成本增加的比例x 的关系式；(2)为使本年度的年利润比上年度有所增加，问投入成本增加的比例x 应在什么范围内？高频考点四|一元二次函数、方程和不等式[例4] 若不等式x 2＋ax ＋3－a >0对于满足－2≤x ≤2的一切实数x 恒成立，求实数a 的取值范围．[集训冲关]1．若关于x 的方程8x 2－(m －1)x ＋m －7＝0的两根均大于1，则m 的取值范围是________．2．若不等式(1－a )x 2－4x ＋6>0的解集是{x |－3<x <1}． (1)解不等式2x 2＋(2－a )x －a >0；(2)b 为何值时，ax 2＋bx ＋3≥0的解集为R .一、选择题1．若A ＝a 2＋3ab ，B ＝4ab －b 2，则A ，B 的大小关系是( ) A ．A ≤B B ．A ≥B C ．A <B 或A >B D ．A >B2．设集合A ＝{x |x 2－x －2<0}，集合B ＝{x |1<x <3}，则A ∪B ＝( ) A ．{x |－1<x <3} B ．{x |－1<x <1} C ．{x |1<x <2} D ．{x |2<x <3}3．设m >1，P ＝m ＋4m －1，Q ＝5，则P ，Q 的大小关系为( ) A ．P <Q B ．P ＝Q C ．P ≥QD ．P ≤Q4．若不等式ax 2＋bx －2>0的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪－2<x <－14，则a ＋b 等于( ) A ．－18 B ．8 C ．－13 D ．15．当x >1时，不等式x ＋1x －1≥a 恒成立，则实数a 的取值范围是( ) A ．a ≤2 B ．a ≥2 C ．a ≥3D ．a ≤36.《几何原本》第二卷中的几何代数法(以几何方法研究代数问题)成了后世西方数学家处理问题的重要依据，通过这一原理，很多代数的定理都能够通过图形实现证明，并称之为无字证明．现有如图所示的图形，点F 在半圆O 上，点C 在直径AB 上，且OF ⊥AB .设AC ＝a ，BC ＝b ，则该图形可以完成的无字证明为( )A.a ＋b 2≥ab (a >0，b >0) B ．a 2＋b 2≥2ab (a >0，b >0)C.2aba ＋b≤ab (a >0，b >0) D.a ＋b 2≤a 2＋b 22(a >0，b >0) 7．对任意实数x ，不等式(a －2)x 2＋2(a －2)x －4<0恒成立，则a 的取值范围是( ) A ．{a |－2<a ≤2} B ．{a |－2≤a ≤2} C ．{a |a <－2或a >2}D ．{a |a ≤－2或a >2}8．甲、乙两人同时从寝室到教室，甲一半路程步行，一半路程跑步，乙一半时间步行，一半时间跑步，如果两人步行速度、跑步速度均相同，则( )A ．甲先到教室B ．乙先到教室C ．两人同时到教室D ．谁先到教室不确定二、填空题 9．若a ＜b ＜0，则1a －b与1a 的大小关系为________． 10．已知x ＋mx －2(x >2)的最小值为6，则正数m 的值为________．11．关于x 的不等式ax －b >0的解集是{x |x >1}，则关于x 的不等式(ax ＋b )(x －2)>0的解集是________．12．若m 2x －1mx ＋1＜0(m ≠0)对一切x ≥4恒成立，则实数m 的取值范围是________．三、解答题13. 当x >3时，求2x 2x －3的取值范围．14．解关于x 的不等式56x 2＋ax －a 2<0.15．已知a >0，b >0，1a ＋1b ＝1，求1a －1＋9b －1的最小值．16. 国际上钻石的重量计量单位为克拉．已知某种钻石的价值(美元)与其重量(克拉)的平方成正比，且一颗重为3克拉的该钻石的价值为54 000美元．(1)写出钻石的价值y 关于钻石重量x 的关系式；(2)把一颗钻石切割成两颗钻石，若两颗钻石的重量分别为m 克拉和n 克拉，试证明：当m ＝n 时，价值损失的百分率最大．(注：价值损失的百分率＝原有价值－现有价值原有价值×100%；在切割过程中的重量损耗忽略不计)。

九年级数学培优第3讲：二次函数与一元二次方程及不等式

符合题意．
12．在直角坐标系中，抛物线 y＝ax2＋bx＋c(a，b，c 是正整数)与 x 轴有两个不同的交点，若两交点
到原点的距离都小于 1，则 abc 的最小值是__25__，此时 a＋b＋c＝__11__．【解析】设抛物线与 x 轴的交点坐标为(x1，0)，(x2，0)，且 x1＜x2，则 x1，x2 是方程 ax2＋bx＋c
图 1－3－3
8．函数 y＝x2＋bx＋c 与 y＝x 的图象如图 1－3－4 所示，有以下结论：①b2－4c>0；②b＋c＋1＝0； ③3b＋c＋6＝0；④当 1<x<3 时，x2＋(b－1)x＋c<0.其中正确的个数是 (B)
图 1－3－4
A．1
B．2
C．3
D．4
9．已知二次函数 y＝x2－2mx＋m2＋3(m 是常数)．
证法二：因为 a＝1＞0，所以该函数的图象开口向上．
又因为 y＝x2－2mx＋m2＋3＝(x－m)2＋3≥3.
所以该函数的图象在 x 轴的上方．
所以不论 m 为何值，该函数的图象与 x 轴没有公共点．
(2)y＝x2－2mx＋m2＋3＝(x－m)2＋3，
把函数 y＝(x－m)2＋3 的图象沿 y 轴向下平移 3 个单位长度后，得到函数 y＝(x－m)2 的图象，它
的顶点坐标是(m，0)，因此这个函数的图象与 x 轴只有一个公共点．
所以把该函数的图象沿 y 轴向下平移 3 个单位长度后，得到的函数的图象与 x 轴只有一个公共点．
10．如图 1－3－5，已知抛物线 y＝x2＋bx＋c 与 x 轴交于点 A，B，AB＝2，与 y 轴交于点 C，对称
轴为直线 x＝2.
(1)求证：不论 m 为何值，该函数的图象与 x 轴没有公共点；

2020-2021学年九年级数学中考复习知识点综合专题训练：二次函数与不等式2(附答案) (1)

2021年九年级数学中考复习知识点综合专题训练：二次函数与不等式2（附答案）1．二次函数y＝ax2+bx+c的部分图象如图，图象过点A（3，0），对称轴为直线x＝1，下列结论：①a﹣b+c＝0；②2a+b＝0；③4ac﹣b2＞0；④a+b≥am2+bm（m为实数）．其中正确的结论有（）A．1个B．2个C．3个D．4个2．如图，已知顶点为（﹣3，﹣6）的抛物线y＝ax2+bx+c经过点（﹣1，﹣4），则下列结论：①abc＞0；②4a﹣2b+c＜0；③b2＞4ac；④ax2+bx+c≥﹣6；⑤若点M（﹣2，m）与点N（﹣5，n）为抛物线上两点，则m＞n；⑥关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝﹣4的两根为﹣5和﹣1．其中正确结论有（）A．5B．4C．3D．23．如图是抛物线y1＝ax2+bx+c（a≠0）图象的一部分，抛物线的顶点是A，对称轴是直线x ＝1，且抛物线与x轴的一个交点为B（4，0）；直线AB的解析式为y2＝mx+n（m≠0）．下列结论：①2a+b＝0；②abc＞0；③方程ax2+bx+c＝mx+n有两个不相等的实数根；④抛物线与x轴的另一个交点是（﹣1，0）；⑤当1＜x＜4时，则y1＞y2，其中正确的是（）A．①②B．①③⑤C．①④D．①④⑤4．如图所示，y＝mx+n与y＝ax2+k的图象交于（﹣2，b），（5，c）两点，则不等式mx+ax2+k ＜n的解集为（）A．﹣2＜x＜5B．x＜﹣2或x＞5C．﹣5＜x＜2D．x＜﹣5或x＞2 5．二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，下列结论：①bc＞0；②3a+c＞0；③a+b+c≤ax2+bx+c；④a（k12+1）2+b（k12+1）＞a（k12+2）2+b（k12+2）．其中正确结论的个数是（）A．1B．2C．3D．46．如图，直线y1＝2x和抛物线y2＝﹣x2+4x，当y1＞y2时，x的取值范围是（）A．0＜x＜2B．x＜0或x＞2C．x＜0或x＞4D．0＜x＜47．如图是抛物线y1＝ax2+bx+c（a≠0）图象的一部分，抛物线的顶点坐标为B（﹣1，﹣3），与x轴的一个交点为A（﹣4，0）．点A和点B均在直线y2＝mx+n（m≠0）上．①2a+b＝0；②abc＜0；③抛物线与x轴的另一个交点是（4，0）；④方程ax2+bx+c＝﹣3有两个不相等的实数根；⑤a+b+c＞﹣m+n；⑥不等式mx+n＞ax2+bx+c的解集为﹣4＜x＜﹣1．其中结论正确的是（）A．①④⑥B．②⑤⑥C．②③⑤D．①⑤⑥8．二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c为常数，且a≠0）中的x与y的部分对应值如表所示，下列结论，其中正确的个数为（）x﹣1013y﹣1353①ac＜0；②当x＞1时，y的值随x值的增大而减小．③当﹣1＜x＜3时，ax2+（b﹣1）x+c＞0；④对于任意实数m，4m（am+b）﹣6b＜9a总成立．A．1个B．2个C．3个D．4个9．已知抛物线y＝ax2+bx+c（a、b、c是常数，a＜0）经过点A（﹣1，0）、B（3，0），顶点为C，则下列说法正确的个数是（）①当﹣1＜x＜3时，ax2+bx+c＞0；②当△ABC是直角三角形，则a＝﹣；③若m≤x≤m+3时，二次函数y＝ax2+bx+c的最大值为am2+bm+c，则m≥3．A．0B．1C．2D．310．如图，是抛物线y1＝ax2+bx+c（a≠0）图象的一部分，抛物线的顶点坐标是A（1，3），与x轴的一个交点B（4，0），直线y2＝mx+n（m≠0）与抛物线交于A，B两点，下列结论：①2a+b＝0；m+n＝3；②抛物线与x轴的另一个交点是（﹣1，0）；③方程ax2+bx+c ＝3有两个相等的实数根；④当1＜x＜4时，有y2＜y1；⑤若ax12+bx1＝ax22+bx2，且x1≠x2，则x1+x2＝1．正确的个数为（）A．①④⑤B．①③④C．①③⑤D．①②③11．已知二次函数y1＝ax2+bx+c（a≠0）与一次函数y2＝kx+m（k≠0）的图象相交于点A （﹣2，6）和B（8，3），如图所示，则不等式ax2+bx+c＞kx+m的取值范围是．12．若y＝ax2+bx+c是关于x的二次函数且a为整数，不等式4x≤ax2+bx+c≤2（x2+1）在实数范围内恒成立，则二次函数的解析式为．13．如图，已知抛物线y1＝﹣2x2+2，直线y2＝2x+2，当x任取一值时，x对应的函数值分别为y1、y2．若y1≠y2，取y1、y2中的较小值记为M；若y1＝y2，记M＝y1＝y2．例如：当x＝1时，y1＝0，y2＝4，y1＜y2，此时M＝0．下列判断：①当x＞0时，y1＞y2；②当x＜0时，x值越大，M值越小；③使得M大于2的x值不存在；④使得M＝1的x值是﹣或．其中正确的是．14．二次函数y＝﹣x2+bx+c的部分图象如图所示，由图象可知，不等式﹣x2+bx+c＜0的解集为．15．如图，函数y＝ax2+c与y＝mx+n的图象交于A（﹣1，p），B（3，q）两点，则关于x 的不等式ax2+mx+c＞n的解集是．16．对于满足|x|≤2的所有实数x，使不等式p2+px+1＞2p+x恒成立，则p的取值范围为．17．二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图，对称轴是直线x＝﹣1，有以下结论：①abc＞0；②4ac＜b2；③2a﹣b＝0；④a﹣b+c＞0；⑤9a﹣3b+c＞0．其中正确的结论有．18．抛物线y＝ax2+bx+c过点（﹣1，1），且对任意实数x，有4x﹣4≤ax2+bx+c≤2x2﹣4x+4恒成立，则抛物线的解析式为．19．已知关于x的一元二次方程x2+mx+n＝0的两个实数根分别为x1＝﹣1，x2＝2，则二次函数y＝x2+mx+n中，当y＜0时，x的取值范围是．20．如图，抛物线y＝ax2+bx+c与x轴的一个交点是A（﹣1，0），与y轴的交点在（0，2），（0，3）之间（包含端点），对称轴为x＝1．给出下列结论，写出所有正确结论的序号为．①abc＞0；②3a+b＜0；③﹣1≤a≤﹣；④对于任意的实数x，a+b≥ax2+bx总成立．21．如图为抛物线y＝ax2+bx+c在平面直角坐标系上的图象，回答下列问题：（1）关于x的方程ax2+bx+c＝0的解是；（2）关于x的不等式ax2+bx+c＜0的解集是；（3）若关于x的方程ax2+bx+c＝k有实数根，则k的取值范围是．22．如图，已知直线y＝﹣x+6的图象分别交x轴、y轴于点A、B．点P为二次函数y＝（x ﹣b）2+4b+1的顶点．（1）若点P在直线y＝﹣x+6上，求此时b的值；（2）若二次函数图象经过点B，且满足﹣x+6＞（x﹣b）2+4b+1，求出x的取值范围；（3）若二次函数的图象与△OAB的三边恰好只有一个交点，求此时b的值．23．关于x的二次函数y1＝kx2+（2k﹣1）x﹣2（k为常数）和一次函数y2＝x+2．（1）求证：函数y1＝kx2+（2k﹣1）x﹣2的图象与x轴有交点．（2）已知函数y1的图象与x轴的两个交点间的距离等于3，①试求此时k的值；②若y1＞y2，试求x的取值范围．24．如图，在平面直角坐标系中，直线y＝﹣5x+5与x轴、y轴分别交于A，C两点，抛物线y＝x2+bx+c经过A，C两点，与x轴交于另一点B．（1）求抛物线解析式及B点坐标；（2）x2+bx+c≤﹣5x+5的解集是；（3）若点M为抛物线上一动点，连接MA、MB，当点M运动到某一位置时，△ABM面积为△ABC的面积的倍，求此时点M的坐标．25．函数图象在探索函数的性质中有非常重要的作用，下面我们对函数y＝x2+ax﹣4|x+b|+6（b＞0）展开探索，请将以下探索过程补充完整：（1）下表给出了部分x、y的取值：x…﹣6﹣5﹣4﹣3﹣2﹣1012…y…2c﹣2﹣12﹣1﹣2﹣12…由上表可知，a＝，b＝，c＝；（2）用你喜欢的方式在平面坐标系中画出函数y＝x2+ax﹣4|x+b|+6的图象；（3）写出函数图象的一条性质：；（4）结合图象，请直接写出x2+ax﹣4|x+b|+6＜x的解集：．26．小云在学习过程中遇到一个函数y＝|x|（x2﹣x+1）（x≥﹣2）．下面是小云对其探究的过程，请补充完整：（1）当﹣2≤x＜0时，对于函数y1＝|x|，即y1＝﹣x，当﹣2≤x＜0时，y1随x的增大而，且y1＞0；对于函数y2＝x2﹣x+1，当﹣2≤x＜0时，y2随x的增大而，且y2＞0；结合上述分析，进一步探究发现，对于函数y，当﹣2≤x＜0时，y随x的增大而．（2）当x≥0时，对于函数y，当x≥0时，y与x的几组对应值如下表：x0123…y01…结合上表，进一步探究发现，当x≥0时，y随x的增大而增大．在平面直角坐标系xOy 中，画出当x≥0时的函数y的图象．（3）过点（0，m）（m＞0）作平行于x轴的直线l，结合（1）（2）的分析，解决问题：（x≥﹣2）的图象有两个交点，则m的最大值是．若直线l与函数y＝|x|（x2﹣x+1）27．已知函数y＝a|x﹣2|﹣x+b（a、b为常数），当x＝4时，y＝﹣4；当x＝﹣2时，y＝0，请对该函数及其图象进行如下探究：（1）a＝，b＝．（2）请在给出的平面直角坐标系中画出该函数的图象；（3）已知函数y＝x2﹣x的图象如图所示，结合你所画的函数图象，直接写出不等式a|x﹣2|﹣x+b≤x2﹣x的解．28．已知一次函数y1＝kx+m（k≠0）和二次函数y2＝ax2+bx+c（a≠0）部分自变量和对应的函数值如下表：x…﹣2﹣1012…y1…01234…y2…0﹣1038…（1）求y2的表达式；（2）关于x的不等式ax2+bx+c＞kx+m的解集是．参考答案1．解：∵二次函数y＝ax2+bx+c的图象过点A（3，0），对称轴为直线x＝1，∴当x＝﹣1时，y＝0，即a﹣b+c＝0．∴①正确；∵对称轴为直线x＝1，∴﹣＝1，∴b＝﹣2a，∴2a+b＝0，故②正确；∵抛物线与x轴有两个交点，∴△＝b2﹣4ac＞0，∴4ac﹣b2＜0，故③错误；∵当x＝1时，函数有最大值，∴a+b+c≥am2+bm+c，∴a+b≥am2+bm，故④正确．综上，正确的有①②④．故选：C．2．解：①∵抛物线开口向上，与y轴交于负半轴，∴a＞0，b＝6a＞0，c＜0，故abc＜0，结论①错误；②从图象看，当x＝﹣2时，y＝ax2+bx+c＝4a﹣2b+c＜0，故②正确，符合题意；③从图象看，函数和x轴有两个交点，故b2＞4ac，故③正确，符合题意；④从图象看，y≥﹣6，即ax2+bx+c≥﹣6，故④正确，符合题意；⑤∵抛物线的顶点坐标为（﹣3，﹣6），点M（﹣2，m）在抛物线上，∴点（﹣4，m）在抛物线上．∵在x＜﹣3上，y随x值的增大而减小，点N（﹣5，n）在抛物线上，∴m＜n，结论⑤错误；⑥∵抛物线y＝ax2+bx+c经过点（﹣1，﹣4），抛物线的顶点坐标为（﹣3，﹣6），∴抛物线y＝ax2+bx+c经过点（﹣5，﹣4），∴关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝﹣4的两根为﹣5和﹣1，结论⑥正确．故选：B．3．解：①因为抛物线对称轴是直线x＝1，则﹣＝1，2a+b＝0，故①正确，符合题意；②∵抛物线开口向下，故a＜0，∵对称轴在y轴右侧，故b＞0，∵抛物线与y轴交于正半轴，故c＞0，∴abc＜0，故②错误，不符合题意；③从图象看，两个函数图象有两个交点，故方程ax2+bx+c＝mx+n有两个不相等的实数根，正确，符合题意；④因为抛物线对称轴是：x＝1，B（4，0），所以抛物线与x轴的另一个交点是（﹣2，0），故④错误，不符合题意；⑤由图象得：当1＜x＜4时，有y2＜y1，故⑤正确，符合题意；故正确的有：①③⑤；故选：B．4．解：∵y＝mx+n过（﹣2，b），（5，c）两点，∴b＝﹣2m+n，c＝5m+n，当x＝2时，y＝﹣mx+n＝﹣2m+n＝b，当x＝﹣5时，y＝﹣mx+n＝5m+n＝c，∴直线y＝﹣mx+n过（2，b）和（﹣5，c）两点，∵y＝mx+n与y＝ax2+k的图象交于（﹣2，b），（5，c）两点，∴根据二次函数图象的对称性质可知，y＝ax2+k的图象过（2，b）和（﹣5，c）两点，如图所示，y＝﹣mx+n与y＝ax2+k的图象交于（2，b）和（﹣5，c）两点，由图象可知，直线y＝﹣mx+n在抛物线y＝ax2+k上方时，x＜﹣5或x＞2，∴不等式ax2+k＜﹣mx+n的解集为x＜﹣5或x＞2，即不等式mx+ax2+k＜n的解集为x＜﹣5或x＞2，故选：D．5．解：①由图象可以看出，a＜0，b＞0，c＞0，故bc＞0，正确，符合题意；②函数的对称轴为x＝1＝﹣，即b＝﹣2a，根据函数的对称性可知x＝﹣1时，y＜0，即a﹣b+c＜0，故3a+c＜0，故②错误，不符合题意；③抛物线在x＝1时，取得最大值，即a+b+c≥ax2+bx+c，故③错误，不符合题意；④x＝k2+1≥1，而在对称轴右侧，y随x增大而减小，∵+1＜+2，∴a（k12+1）2+b（k12+1）+c＞a（k12+2）2+b（k12+2）+c，故a（k12+1）2+b（k12+1）＞a（k12+2）2+b（k12+2）正确，符合题意；故选：B．6．解：由，解得或，∴两函数图象交点坐标为（0，0），（2，4），由图可知，y1＞y2时，x的取值范围是x＜0或x＞2．故选：B．7．解：∵抛物线的对称轴为直线x＝﹣＝﹣1，∴b＝2a，即2a﹣b＝0，所以①错误；∵抛物线开口向上，∴a＞0，∴b＝2a0，∵抛物线与y轴的交点在x轴下方，∴c＜0，∴abc＜0，所以②正确；∵抛物线的对称轴为直线x＝﹣1，抛物线与x轴的一个交点为B（﹣4，0），∴抛物线与x轴的一个交点为（2，0），所以③错误；∵抛物线的顶点坐标为（﹣1，﹣3），∴抛物线与直线y＝﹣3只有一个交点，∴方程ax2+bx+c＝﹣3有两个相等的实数根，所以④错误；∵抛物线开口向上，对称轴为直线x＝﹣1，﹣1＜1，∴a+b+c＞a﹣b+c，∵直线y2＝mx+n（m≠0）经过抛物线的顶点坐标为B（﹣1，﹣3），∴a﹣b+c＝﹣m+n，∴a+b+c＞﹣m+n，所以⑤正确；∵当﹣4＜x＜﹣1时，y2＞y1，∴不等式mx+n＞ax2+bx+c的解集为﹣4＜x＜﹣1．所以⑥正确．故选：B．8．解：①由图表中数据可得出：x＝1时，y＝5，所以二次函数y＝ax2+bx+c开口向下，a＜0；又x＝0时，y＝3，所以c＝3＞0，所以ac＜0，故①正确；②∵二次函数y＝ax2+bx+c开口向下，且对称轴为x＝1.5，∴当x≥1.5时，y的值随x值的增大而减小，故②错误；③∵x＝﹣1时，ax2+bx+c＝﹣1，∴x＝﹣1时，ax2+（b﹣1）x+c＝0，∵x＝3时，ax2+（b﹣1）x+c＝0，且函数有最大值，∴当﹣1＜x＜3时，ax2+（b﹣1）x+c＞0，故③正确．④将x＝﹣1、y＝﹣1，x＝0、y＝3，x＝1、y＝5代入y＝ax2+bx+c，得，解得：，∴y＝﹣x2+3x+3＝﹣（x﹣）2+，可知当x＝时，y取得最大值，即当x＝m时，am2+bm+c≤a+b+c，变形可得4m（am+b）﹣6b≤9a，故④错误；故选：B．9．解：∵抛物线y＝ax2+bx+c（a、b、c是常数，a＜0）经过点A（﹣1，0）、B（3，0），∴该抛物线开口向下，对称轴为x＝＝1，抛物线与x轴的两个交点分别为点A和点B，∴①正确；∵点C为抛物线的顶点，∴当△ABC是直角三角形时，此三角形为等腰直角三角形，∴对称轴x＝1与x轴的交点将△ABC分成两个全等的等腰直角三角形，其直角边长为＝2，∴此时点C坐标为：（1，2）．设y＝ax2+bx+c＝a（x﹣1）2+2，将A（﹣1，0）代入得：0＝4a+2，∴a＝﹣，故②正确；∵对称轴为x＝1，a＜0，∴当x≥1时，二次函数y＝ax2+bx+c的函数值随着x的增大而减小，∴③中m≥1即可，故③错误．综上，正确的有①②．故选：C．10．解：①∵对称轴x＝﹣＝1，则2a+b＝0，由点A、B的坐标得，直线AB的表达式为y＝﹣x+4，即m＝﹣1，n＝4，故m+n＝3，①正确，符合题意；②对称轴是直线x＝1，与x轴的一个交点是（4，0），则与x轴的另一个交点是（﹣2，0），故②错误，不符合题意；③∵把抛物线y＝ax2+bx+c向下平移3个单位，得到y＝ax2+bx+c﹣3，∴顶点坐标A（1，3）变为（1，0），抛物线与x轴只有一个交点，∴方程ax2+bx+c＝3有两个相等的实数根，③正确，符合题意；④当1＜x＜4时，由图象可知y2＜y1，故④正确，符合题意；⑤若ax12+bx1＝ax22+bx2，即ax12+bx1+c＝ax22+bx2+c，即y1＝y2，则x1、x2关于函数的对称轴对称，故（x1+x2）＝1，故⑤错误，不符合题意；故选：B．11．解：当x＜﹣2或x＞8时，y1＞y2，所以不等式ax2+bx+c＞kx+m的解集为x＜﹣2或x＞8．故答案为x＜﹣2或x＞8．12．解：∵4x≤ax2+bx+c≤2（x2+1）在实数范围内恒成立，∴当x＝1时，a+b+c＝4成立当x＝0时，有0≤c≤2由4x≤ax2+bx+c得：ax2+（b﹣4）x+c≥0在实数范围内恒成立∴（b﹣4）2﹣4ac≤0∵a+b+c＝4∴b＝4﹣a﹣c∴（4﹣a﹣c﹣4）2﹣4ac≤0∴（a﹣c）2≤0∴a＝c．∵ax2+bx+c≤2（x2+1）∴（a﹣2）x2+bx+c﹣2≤0在实数范围内恒成立∴a﹣2＜0，b2﹣4（a﹣2）（c﹣2）≤0∴（4﹣a﹣c）2﹣4（a﹣2）（c﹣2）≤0整理得：（a﹣c）2≤0∴a＝c又∵0≤c≤2，且a为整数∴只能取a＝1，c＝1，b＝2故答案为：y＝x2+2x+1．13．解：当x＞0时，一次函数图象位于二次函数上方，∴y2＞y1故①错误；∵当x＜0，两个函数的函数随着x的增大而增大，∴当x越大时，M越大，故②错误；函数y1＝﹣2x2+2有最大值，最大值为y1＝2，∴不存在使得M大于2的x的值，故③正确；令y1＝1，即：﹣2x2+2＝1．解得：x1＝，x2＝﹣不题意舍去）令y2＝1，得：2x+2＝1，解得：x＝﹣．故④正确．故答案为：③④．14．解：抛物线的对称轴为直线x＝2，而抛物线与x轴的一个交点坐标为（5，0），所以抛物线与x轴的另一个交点坐标为（﹣1，0），所以不等式﹣x2+bx+c＜0的解集为x＜﹣1或x＞5．故答案为x＜﹣1或x＞5．15．解：∵抛物线y＝ax2+c与直线y＝mx+n交于A（﹣1，p），B（3，q）两点，∴﹣m+n＝p，3m+n＝q，∴抛物线y＝ax2+c与直线y＝﹣mx+n交于P（1，p），Q（﹣3，q）两点，观察函数图象可知：当x＜﹣3或x＞1时，直线y＝﹣mx+n在抛物线y＝ax2+c的下方，∴不等式ax2+mx+c＞n的解集为x＜﹣3或x＞1．故答案为：x＜﹣3或x＞1．16．解：∵p2+px+1＞2p+x∴p2﹣2p+1＞﹣px+x∴p2﹣2p+1＞﹣（p﹣1）x∴当p≥1时，不等式两边同时除以（p﹣1）得：p﹣1＞﹣x∵若满足|x|≤2的所有实数x，使不等式p2+px+1＞2p+x恒成立，则p﹣1＞2∴p＞3；当p＜1时，不等式两边同时除以（p﹣1）得：p﹣1＜﹣x若满足|x|≤2的所有实数x，使不等式p2+px+1＞2p+x恒成立，则p﹣1＜﹣2∴p＜﹣1综上所述，p＞3或p＜﹣1．故答案为：p＞3或p＜﹣1．17．解：由图象可知：a＜0，c＞0，又∵对称轴是直线x＝﹣1，∴根据对称轴在y轴左侧，a，b同号，可得b＜0，∴abc＞0，故①正确；∵抛物线与x轴有两个交点，∴△＝b2﹣4ac＞0，∴4ac＜b2，故②正确；∵对称轴是直线x＝﹣1，∴﹣＝﹣1，∴b＝2a，∴2a﹣b＝0，故③正确；∵当x＝﹣1时，y＞0，∴a﹣b+c＞0，故④正确；∵对称轴是直线x＝﹣1，且由图象可得：当x＝1时，y＜0，∴当x＝﹣3时，y＜0，∴9a﹣3b+c＜0，故⑤错误．综上，正确的有①②③④．故答案为：①②③④．18．解：∵抛物线y＝ax2+bx+c过点（﹣1，1）∴a﹣b+c＝1∴b＝1﹣a，c＝2﹣2a而4x﹣4≤ax2+bx+c恒成立∴ax2+（b﹣4）x+c+4≥0，即ax2﹣（a+3）x+6﹣2a≥0恒成立∴△＝（a+3）2﹣4a（6﹣2a）≤0即（a﹣1）2≤0∴a＝1∴b＝0，c＝0又∵当a＝1时，x2≤2x2﹣4x+4恒成立∴抛物线的解析式为y＝x2．故答案为：y＝x2．19．解：∵x2+mx+n＝0的两个实数根分别为x1＝﹣1，x2＝2，∴二次函数y＝x2+mx+n与x轴的两个交点坐标分别为（﹣1，0），（2，0），∵a＝1＞0，∴抛物线开口向上，∴y＜0时，x的取值范围是：﹣1＜x＜2．故答案为：﹣1＜x＜2．20．解：∵抛物线开口向下，∴a＜0，∵抛物线和y轴正半轴相交，∴c＞0，∵对称轴和x正半轴相交，∴b＞0，∴abc＜0，故①错误而抛物线的对称轴为直线x＝﹣＝1，即b＝﹣2a，∴3a+b＝3a﹣2a＝a＜0，故②正确；∵2≤c≤3，把x＝﹣1，y＝0带入y＝ax2+bx+c，得a﹣b+c＝0，∴c＝﹣3a，∴2≤﹣3a≤3，∴﹣1≤a≤﹣，故③正确；∵抛物线的顶点坐标（1，n），∴x＝1时，二次函数值有最大值n，∴a+b+c≥am2+bm+c，即a+b≥am2+bm，故④正确；∴所有正确结论的序号为②③④．故答案为：②③④．21．解：（1）∵抛物线与x轴的两个交点坐标为（0，0）和（2，0），∴方程ax2+bx+c＝0的解为x＝0或x＝2，故答案为x＝0或x＝2；（2）由图象可知，不等式ax2+bx+c＜0解集为0＜x＜2，故答案为0＜x＜2；（3）关于x的方程ax2+bx+c＝k有实数根，相当于抛物线与y＝k有一个或两个不同的交点，∴k≥﹣1，故答案为k≥﹣1．22．解：（1）∵P为二次函数y＝（x﹣b）2+4b+1的顶点，∴顶点P（b，4b+1），把P（b，4b+1）代入y＝﹣x+6，得4b+1＝﹣b+6，解得b＝1；（2）直线y＝﹣x+6中，令x＝0，则y＝6，∴B（0，6），把B（0，6）代入y＝（x﹣b）2+4b+1，解得b＝﹣5或1，当b＝﹣5时，联立，解得x＝11或0，∴﹣11＜x＜0，当b＝1时，联立，解得x＝1或0，∴0＜x＜1；故x的取值范围为﹣11＜x＜0或0＜x＜1；（3）①由（2）可知，当b＝﹣5时，二次函数图象经过点B，且恰好与△OAB的三边只有个交点，所以b＝﹣5②当b＝1时，联立，整理得x2﹣（2b﹣1）x+b2+4b﹣5＝0，令△＝0，则（2b﹣1）2﹣4（b2+4b﹣5）＝0，解得b＝，综上所述：b＝或﹣5．23．解：（1）∵△＝（2k﹣1）2+8k＝4k2﹣4k+1+8k＝4k2+4k+1＝（2k+1）2≥0，∴函数y1＝kx2+（2k﹣1）x﹣2的图象与x轴有交点；（2）①设kx2+（2k﹣1）x﹣2＝0的两根为x1，x2，则，，∴，∵函数y1的图象与x轴的两个交点间的距离等于3，∴|x1﹣x2|＝3，∴，解得，k＝1或k＝﹣；②当k＝1时，y1＝（x+2）（x﹣1），y2＝x+2∵y1＞y2，∴（x+2）（x﹣1）＞x+2，即（x+2）（x﹣2）＞0，解得：x＜﹣2或x＞2；当k＝﹣时，∵y1＞y2，∴﹣（x+2）（x+5）＞x+2，即（x+2）（x+10）＜0，解得：﹣10＜x＜﹣2．24．解：（1）因为直线y＝﹣5x+5与x轴、y轴分别交于A，C两点，所以当x＝0时，y＝5，所以C（0，5）当y＝0时，x＝1，所以A（1，0）因为抛物线y＝x2+bx+c经过A，C两点，所以c＝5，1+b+5＝0，解得b＝﹣6，所以抛物线解析式为y＝x2﹣6x+5．当y＝0时，0＝x2﹣6x+5．解得x1＝1，x2＝5．所以B点坐标为（5，0）．答：抛物线解析式为y＝x2﹣6x+5．B点坐标为（5，0）；（2）观察图象可知：x2+bx+c≤﹣5x+5的解集是0≤x≤1．故答案为0≤x≤1．（3）设M（m，m2﹣6m+5）因为S△ABM＝S△ABC＝××4×5＝8．所以×4•|m2﹣6m+5|＝8所以|m2﹣6m+5|＝±4．所以m2﹣6m+9＝0或m2﹣6m+1＝0解得m1＝m2＝3或m＝3±2．所以M点的坐标为（3，﹣4）或（3+2，4）或（3﹣2，4）．答：此时点M的坐标为（3，﹣4）或（3+2，4）或（3﹣2，4）．25．解：（1）从表格取点（0，﹣2）、（1，﹣1）代入函数表达式得：，解得，故函数表达式为y＝x2+4x﹣4|x+2|+6，当x＝﹣5时，y＝x2+4x﹣4|x+2|+6＝﹣1＝c，故答案为：4，2，﹣1；（2）描点连线作出如下图所示函数图象，（3）从图上看，函数关于x＝﹣2对称（答案不唯一），故答案为：函数关于x＝﹣2对称（答案不唯一）；（4）在图上画出直线y＝x，如图2，从图上看，两个函数的交点为（﹣1，﹣1）、（2，2），故x2+ax﹣4|x+b|+6＜x的解集为：﹣1＜x＜2．26．解：（1）当﹣2≤x＜0时，对于函数y1＝|x|，即y1＝﹣x，当﹣2≤x＜0时，y1随x的增大而减小，且y1＞0；对于函数y2＝x2﹣x+1，当﹣2≤x＜0时，y2随x的增大而减小，且y2＞0；结合上述分析，进一步探究发现，对于函数y，当﹣2≤x＜0时，y随x的增大而减小．故答案为：减小，减小，减小．（2）函数图象如图所示：（3）∵直线l与函数y＝|x|（x2﹣x+1）（x≥﹣2）的图象有两个交点，观察图象可知，x＝﹣2时，m的值最大，最大值m＝×2×（4+2+1）＝，故答案为27．解：（1）把x＝4，y＝﹣4和x＝﹣2，y＝0代入函数y＝a|x﹣2|﹣x+b中，得：，解得：，故答案为：﹣，7；（2）当x≥2时，函数y＝﹣（x﹣2）﹣x+7；当x＜2时，函数y＝﹣（2﹣x）﹣x+7，y与x的部分对应值如下表：根据表格数据，绘制如下函数图象：（3）从图象看，两个函数的交点横坐标为：﹣1和3，∴不等式a|x﹣2|﹣x+b≤x2﹣x的解是：x≤﹣1或x≥3．28．解：（1）根据题意设y2的表达式为：y2＝a（x+1）2﹣1，把（0，0）代入得a＝1，∴y2＝x2+2x；（2）当x＝﹣2时，y1＝y2＝0；当x＝1时，y1＝y2＝3；∴直线与抛物线的交点为（﹣2，0）和（1，3），而x＜﹣2或x＞1时，y2＞y1，∴不等式ax2+bx+c＞kx+m的解集是x＜﹣2或x＞1．故答案为：x＜﹣2或x＞1。

九年级数学下册 2.5 二次函数与一元二次方程能力提升 (新版)北师大版

二次函数与一元二次方程能力提升1.已知函数y=(k-3)x2+2x+1的图象与x轴有交点,则k的取值范围是( )A.k<4B.k≤4C.k<4且k≠3D.k≤4且k≠32.(2015陕西中考)下列关于二次函数y=ax2-2ax+1(a>1)的图象与x轴交点的判断,正确的是( )A.没有交点B.只有一个交点,且它位于y轴右侧C.有两个交点,且它们均位于y轴左侧D.有两个交点,且它们均位于y轴右侧3.关于x的一元二次方程x2-x-n=0没有实数根,则抛物线y=x2-x-n的顶点在( )A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限4.已知一元二次方程ax2+bx+c=0(a>0)的两个实数根x1,x2满足x1+x2=4和x1·x2=3,那么二次函数y=ax2+bx+c(a>0)的图象有可能是( )5.若抛物线y=x2-(2k+1)x+k2+2与x轴有两个交点,则整数k的最小值是.6.已知二次函数y=x2-3x+m(m为常数)的图象与x轴的一个交点为(1,0),则关于x 的一元二次方程x2-3x+m=0的两个实数根是.7.已知二次函数y=x2+ax+a-2.(1)求证:不论a为何实数,此函数图象与x轴总有两个交点.(2)设a<0,当此函数图象与x轴的两个交点的距离为时,求出此二次函数的解析式.(3)由(2)所得二次函数图象与x轴交于A,B两点,在函数图象上是否存在点P,使得△PAB的面积为?若存在,求出点P的坐标;若不存在,请说明理由.创新应用8.据统计,每年由于汽车超速行驶而造成的交通事故是造成人员伤亡的主要原因之一.行驶中的汽车,在刹车后由于惯性的原因,还要继续向前滑行一段距离才能停住,这段距离称为“刹车距离”.为了测定某种型号汽车的刹车性能(车速不超过140 km/h),对这种汽车的刹车距离进行测试,测得的数据如下表:(1)在如图的直角坐标系中以车速为x 轴,以刹车距离为y 轴,描出这些数据所表示的点,并用光滑的曲线连接这些点,得到某函数的大致图象.(2)观察图象估计函数的类型,并确定一个满足这些数据的函数解析式.(3)一辆该型号汽车在国道上发生了交通事故,现场测得刹车距离为46.5 m,请推测刹车时速度是多少?请问在事故发生时,汽车是否超速行驶?参考答案1.B 当函数y=(k-3)x 2+2x+1是二次函数时,图象与x 轴有交点,则解得∴k≤4且k≠3.当k=3时,函数y=2x+1,是一次函数,此时直线与x 轴有交点,综上可知,当k≤4时,函数y=(k-3)x 2+2x+1的图象与x 轴有交点.2.D y=ax 2-2ax+1=a(x-1)2-a+1.∵a>1,∴-a+1<0,∴抛物线y=ax 2-2ax+1的顶点在第四象限.又抛物线与y 轴交于点(0,1),且开口向上,∴抛物线与x 轴交点有两个,它们均位于y 轴右侧.3.A ∵一元二次方程x 2-x-n=0没有实数根,∴抛物线y=x 2-x-n 与x 轴没有交点,且开口向上,对称轴x=,在y 轴右侧, ∴抛物线顶点在第一象限.4.C 由x 1+x 2=4,x 1·x 2=3,知x 1,x 2都是正数,∴抛物线与x 轴相交于x 轴的正半轴.故选C.5.2 由题意,得[-(2k+1)]2-4(k 2+2)>0.解得k>,∴整数k 的最小值是2.6.x1=1,x2=2 ∵二次函数的解析式是y=x2-3x+m(m为常数),∴该抛物线的对称轴是x=.又二次函数y=x2-3x+m(m为常数)的图象与x轴的一个交点为(1,0),∴根据抛物线的对称性质知,该抛物线与x轴的另一个交点的坐标是(2,0).∴关于x的一元二次方程x2-3x+m=0的两个实数根分别是x1=1,x2=2.7.(1)证明:∵Δ=a2-4(a-2)=(a-2)2+4>0,∴不论a为何实数,此函数图象与x轴总有两个交点.(2)解:设x1,x2是x2+ax+a-2=0的两个根,则x1+x2=-a,x1·x2=a-2.∵两交点的距离是,∴|x1-x2|=,即(x1-x2)2=13,变形为(x1+x2)2-4x1·x2=13,∴(-a)2-4(a-2)=13.整理得(a-5)(a+1)=0,解得a=5或a=-1.∵a<0,∴a=-1.∴此二次函数的解析式为y=x2-x-3.(3)解:设点P的坐标为(x0,y),∵函数图象与x轴的两个交点间的距离等于,∴AB=.∴S△PAB =AB·|y|=,即,即|y0|=3,则y=±3.当y0=3时,-x-3=3,即(x-3)·(x+2)=0,解得x=-2或3.当y0=-3时,-x-3=-3,即x0(x-1)=0,解得x=0或1.综上所述,存在这样的点P,点P坐标是(-2,3)或(3,3)或(0,-3)或(1,-3).8.解:(1)描点,连线(画出函数图象如图).(2)根据图象可估计为抛物线.设y=ax2+bx+c.把表内前三对数代入函数解析式,可得解得∴y=0.002x2+0.01x.经检验,其他各数均满足这个函数.(3)当y=46.5 m时,即46.5=0.002x2+0.01x,整理可得x2+5x-23 250=0,解得x1=150,x2=-155(不符合题意,舍去).∴可以推测刹车时速度为150 km/h.∵150>140,∴汽车发生事故时超速行驶.。

二次函数与方程和不等式练习题

练习九二次函数与方程和不等式1、已知二次函数772--=x kx y 与x 轴有交点，则k 的取值范围是.2、关于x 的一元二次方程02=--n x x 没有实数根，则抛物线n x x y --=2的顶点在第_____象限；3、抛物线222++-=kx x y 与x 轴交点的个数为（）A 、0B 、1C 、2D 、以上都不对4、二次函数c bx ax y ++=2对于x 的任何值都恒为负值的条件是（）A 、0,0>∆>aB 、0,0<∆>aC 、0,0>∆<aD 、0,0<∆<a5、12++=kx x y 与k x x y --=2的图象相交，若有一个交点在x 轴上，则k 为（）A 、0B 、-1C 、2D 、41 6、若方程02=++c bx ax 的两个根是－3和1，那么二次函数c bx ax y ++=2的图象的对称轴是直线（）A 、x ＝－3B 、x ＝－2C 、x ＝－1D 、x ＝17、已知二次函数2y x px q 的图象与x 轴只有一个公共点，坐标为1,0，求,p q 的值8、画出二次函数322--=x x y 的图象，并利用图象求方程0322=--x x 的解，说明x 在什么范围时0322≤--x x .9、如图：（1）求该抛物线的解析式；（2）根据图象回答：当x 为何范围时，该函数值大于0.10、二次函数c bx ax y ++=2的图象过A(-3,0),B(1,0),C(0,3),点D 在函数图象上，点C 、D 是二次函数图象上的一对对称点，一次函数图象过点B 、D ，求（1）一次函数和二次函数的解析式，（2）写出使一次函数值大于二次函数值的x 的取值范围.11、已知抛物线22y x mx m .（1）求证此抛物线与x 轴有两个不同的交点；（2）若m 是整数，抛物线22y x mx m 与x 轴交于整数点，求m 的值；（3）在（2）的条件下，设抛物线顶点为A ，抛物线与x 轴的两个交点中右侧交点为B. 若M 为坐标轴上一点，且MA=MB ，求点M 的坐标.。

2023年九年级数学中考专题训练二次函数与不等式含答案解析

中考专题训练——二次函数与不等式1．已知抛物线2y x bx c =++经过点(1，0)和点(0，3)． (1)求此抛物线的解析式；(2)当自变量x 满足13x -≤≤时，求函数值y 的取值范围；(3)将此抛物线沿x 轴平移m 个单位长度后，当自变量x 满足15x ≤≤时，y 的最小值为5，求m 的值． 2．已知二次函数y ＝x 2﹣2x ﹣3．(1)用配方法将y ＝x 2﹣2x ﹣3化成y ＝a （x ﹣h ）2+k 的形式．并写出对称轴和顶点坐标； (2)在平面直角坐标系中，画出这个二次函数的简图； (3)当y 随x 的增大而减小时，求x 的范围．3．如图，直线28y x =-+与x 轴交于点A ，与y 轴交于点B ，抛物线2y x bx c =++经过点A 和点B ．(1)求抛物线的解析式；(2)结合图象直接写出不等式228x bx c x ++>-+的解集；(3)若点1(1,)C y ，2(,)D m y 都在抛物线上，当21y y >时，求m 的取值范围．4．如图，在平面直角坐标系中，直线y =x +2与坐标轴交于A ，B 两点，点A 在x 轴上，点B 在y 轴上，C 点的坐标为（1，0），抛物线y =ax 2+bx +c 经过点A ，B ，C ．(1)求抛物线的解析式；(2)根据图象写出不等式ax 2+（b -1）x +c ＞2的解集；(3)点P 是抛物线上直线AB 上方的一动点，过点P 作直线AB 的垂线段，垂足为Q 点．当PQ P 点的坐标．5．在平面直角坐标系中，二次函数y ＝x 2+bx +c 的图象过（﹣2，0），（4，0）． (1)求二次函数解析式；(2)求当﹣1≤x ≤5时函数值的取值范围；(3)一次函数y ＝（3+m ）x +6+2m 的图象与y ＝x 2+bx +c 的交点的横坐标分别是x 1，x 2，且x 1＜5＜x 2，求m 的取值范围．6．在平面直角坐标系xOy 中，抛物线212y ax x c =-+与x 轴交于A ，()3,0B 两点，与直线AM ：2y kx b=+交于点A 、()4,5M 两点．(1)求抛物线解析式及顶点C 的坐标．(2)求点A的坐标，并结合图象写出不等式22ax x c kx b-+>+的解集．(3)将直线AM向下平移，在平移过程中与抛物线BC部分图象有交点时(包含B，C端点)，请直接写出b的取值范围．7．在平面直角坐标系xOy中，点A（x1，y1），B（x2，y2）在抛物线y＝﹣x2+（2a﹣2）x﹣a2+2a上，其中x1＜x2．(1)求抛物线的对称轴（用含a的式子表示）；(2)①当x＝a时，求y的值；①若y1＝y2＝0，求x1的值（用含a的式子表示）．(3)若对于x1+x2＜﹣4，都有y1＜y2，求a的取值范围．8．如图二次函数2y x bx c=-++的图象与x轴交于点A(－3，0)，B(1，0)两点，与y轴交于点C(0，3)，点C，D是二次函数图象上的一对对称点，一次函数的图象经过B，D(1)求二次函数的解析式；(2)写出使一次函数值大于二次函数值的x的取值范围；(3)若直线BD与y轴的交点为E点，连结AD，AE，求ADE∆的面积9．如图，已知抛物线y1＝ax2＋c过点（﹣4，5），（1，54），直线y2＝kx＋2与y轴交于C点，与抛物线交于A，B两点，点B在点A的右侧．(1)求抛物线的解析式；(2)点P为第一象限抛物线上一个动点，以点P为圆心，PC为半径画圆，求证：x轴是①P的切线；(3)我们规定：当x取任意一个值时，x对应的函数值分别为y1和y2，若y1≠y2，取y1和y2中较大者为M；若y1＝y2，记M＝y1＝y2．①k＝2时，求使M＞y2的x的取值范围；①当k＝﹣1时，求使M＝5的x的值．10．已知二次函数y＝x2+mx+n的图象经过点A（1，0）和D（4，3），与x轴的另一个交点为B，与y轴交于点C．（1）求二次函数的表达式及顶点坐标；（2）将二次函数y＝x2+mx+n的图象在点B、C之间的部分（包含点B、C）记为图象G．已知直线l：y＝kx﹣2k+2总位于图象G的上方，请直接写出k的取值范围；（3）如果点P（x1，c）和点Q（x2，c）在函数y＝x2+mx+n的图象上，且x1＜x2，PQ＝2a，求x12﹣ax2+6a+4的值．11．已知抛物线22=++-．y mx mx m234（1）该抛物线的对称轴为______；（2）若该抛物线的顶点在x 轴上，求抛物线的函数表达式；（3）设点()1,M n y 、()22,N y 在该抛物线上，若12y y >，求n 的取值范围．12．如图，抛物线2y x bx c =-++与y 轴交于点A （0，3），与x 轴交于B （-1，0），C 两点．（1）求抛物线的解析式；（2）连接AB ,点P 为抛物线上一点，且ABP ∠45=︒，求点P 的坐标；（3）()11,M x y ，()22,N x y 是抛物线上两点，当11122m x m -≤≤+，22x ≥ 时，总有12y y ≥，请直接写出m 的取值范围．13．在初中阶段的函数学习中，我们经历了列表、描点、连线、画函数图象，并结合图象研究函数性质的过程．以下是我们研究函数22y x x c =-+的过程．（1已知函数过点()1,4，则这个函数的解析式为：______．（2）在（1）的条件下，在平面直角坐标系中，若函数22y x x c =-+的图象与x 轴有两个交点，请画出该函数的图象，并写出函数图象的性质：_______（写出一条即可）．（3）结合（2）中你所画的函数图象，求不等式221x x c x -+≥+的解集．14．在平面直角坐标系xOy 中，已知抛物线22y ax ax c =-+与直线=3y -有且只有一个公共点．（1）直接写出抛物线的顶点D 的坐标，并求出c 与a 的关系式；（2）若点(),P x y 为抛物线上一点，当1t x t ≤≤+时，y 均满足233y at -≤≤-，求t 的取值范围；（3）过抛物线上动点(),M x y （其中3x ≥）作x 轴的垂线l ，设l 与直线23y ax a =-+-交于点N ，若M 、N 两点间的距离恒大于等于1，求a 的取值范围．15．在平面直角坐标系中，已知抛物线C ：y ＝ax 2＋2x ﹣1（a ≠0）和直线l ：y ＝kx ＋b ，点A （﹣3，﹣3），B （1，﹣1）均在直线l 上．（1）求出直线l 的解析式；（2）当a ＝﹣1，二次函数y ＝ax 2＋2x ﹣1的自变量x 满足m ≤x ≤m ＋2时，函数y 的最大值为﹣4，求m 的值；（3）若抛物线C 与线段AB 有两个不同的交点，求a 的取值范围．16．根据我们学习函数的过程与方法，对函数y ＝x 2＋bx ＋2﹣c |x ﹣1|的图像和性质进行探究，已知该函数图像经过（﹣1，﹣2）与（2，1）两点，（1）该函数的解析式为，补全下表：（2）描点、连线，在所给的平面直角坐标系中画出该函数的图象，写出这个函数的一条性质：．（3）结合你所画的图象与函数y ＝x 的图象，直接写出x 2＋bx ＋2﹣c |x ﹣1|≤x 的解集．17．已知抛物线243y x x =-+．（1）该抛物线的对称轴是______ ，顶点坐标______ ；（2）选取适当的数据填入如表，并在如图的直角坐标系内描点画出该抛物线的图象；（3）根据图象，直接写出当0y >时，x 的取值范围．18．在平面直角坐标系xOy 中，二次函数2224y x mx m =-++-与图象与x 轴交于A ，B 两点（点A 在点B 的左侧）．（1）若点B 的坐标为(3,0)， ①求此时二次函数的解析式；①当2x n ≤≤时，函数值y 的取值范围是13n y --≤≤，求n 的值；（2）将该二次函数图象在x 轴上方的部分沿x 轴翻折，其他部分保持不变，得到一个新的函数图象，若当21x -≤≤-时，这个新函数的函数值y 随x 的增大而增大，结合函数图象，求m 的取值范围．19．已知函数()()2110b y a x a =-++≠，某兴趣小组对其图像与性质进行了探究，请补充完整探究过程．（1）请根据给定条件直接写出,,a b m 的值；（2）如图已经画出了该函数的部分图像，请你根据上表中的数据在平面直角坐标系中描点、连线，补充该函数图像，并写出该函数的一条性质；（3）若()214ba x x x-+≥-，结合图像，直接写出x 的取值范围． 20．已知函数261y x =+，请根据已学知识探究该函数的图像和性质．（1）列表，写出表中a 、b 、c 的值：=a ______，b =______，c =______．（2）描点、连线，在下面的平面直角坐标系中画出该函数的图像，并写出该函数的一条性质：______．（3）已知函数2y x =+的图像如图所示，结合你所画的函数图像，直接写出不等式2621x x ≥++的解集：______．参考答案1．(1)243y x x =-+； (2)18y -≤≤；(3)m 的值为【分析】（1）利用待定系数法求解；（2）先求出x =-1及x =3时的函数值，结合函数的性质得到答案；（3）设此抛物线沿x 轴向右平移m 个单位后抛物线解析式为y = (x -2-m ) 2- l ，利用二次函数的性质，当2+m >5，此时x =5时，y =5，即(5-2-m ) 2- 1=5，设此抛物线沿x 轴向左平移m 个单位后抛物线解析式为y = (x - 2+m ) 2- 1,利用二次函数的性质得到2 - m <l ，此时x =1时，y =5，即(1-2-m ) 2- 1=5，然后分别解关于m 的方程即可． (1)解：①抛物线2y x bx c =++经过点(1，0)和点(0，3)， ①103b c c ++=⎧⎨=⎩，解得43b c =-=⎧⎨⎩，①此抛物线的解析式为243y x x =-+； (2)当x =-1时，y =1+4+3=8，当x =3时，y =9-12+3=0， ①()224321y x x x =-+=--， ①函数图象的顶点坐标为（2，-1），①当13x -≤≤时， y 的取值范围是18y -≤≤； (3)设此抛物线x 轴向右平移m 个单位后抛物线解析式为y = (x -2-m ) 2- 1， ①当自变量x 满足 1≤x ≤5时，y 的最小值为 5， ①2+m >5，即m >3，此时x =5时，y =5，即(5-2-m ) 2-1=5，解得m 1，m 2=3 (舍去)；设此抛物线沿x 轴向左平移m 个单位后抛物线解析式为y = (x - 2+m ) 2- 1， ①当自变量x 满足1≤x ≤5时，y 的最小值为5， ①2-m <1，即m >1，此时x =1时，y =5，即(1-2-m ) 2-1=5，解得m 1=-，m 2=-1 (舍去)，综上所述，m 的值为．【点评】题考查了二次函数图象与几何变换：由于抛物线平移后的形状不变，故a 不变，所以求平移后的抛物线解析式通常可利用两种方法：一是求出原抛物线上任意两点平移后的坐标，利用待定系数法求出解析式；二是只考虑平移后的顶点坐标，即可求出解析式，也考查了二次函数的性质． 2．(1)2(1)4y x =--，对称轴为直线x ＝1，顶点坐标为（1，﹣4）； (2)见解析； (3)1x <【分析】（1）配方成顶点式可得；（2）先确定抛物线与x 和y 轴的交点坐标，再确定抛物线的顶点坐标，然后描点得到二次函数的图象；（3）利用函数图象可得； (1)223y x x =--()22113x x +=---()214x =--①对称轴为直线x ＝1，顶点坐标为（1，﹣4）； (2)抛物线的顶点坐标为（1，﹣4），当x ＝0时，2233y x x =-=--，则抛物线与y 轴的交点坐标为（0，﹣3）；当y ＝0时，2230x x =--，解得x 1＝﹣1，x 2＝3，则抛物线与x 轴的交点坐标为（﹣1，0），（3，0）；如图所示：(3)由题（2）图象知，当x ＜1时，y 随x 的增大而减小．【点评】本题考查二次函数的三种形式及二次函数的性质，熟练掌握二次函数的顶点式及函数性质是解题的关键．3．(1)268y x x =-+(2)0x <或>4x(3)1m <或5m >【分析】（1）先通过直线解析式得到A 、B 的坐标，再代入二次函数解析式进行求解即可；（2）根据图象解答即可；（3）先将1(1,)C y 代入抛物线解析式，得出1y 的值，再解出当13y =时，方程的解，结合图象，求解即可．(1)令0x =，则8y =(0,8)B ∴令0y =，则4x =(4,0)A ∴将A 、B 分别代入2y x bx c =++得80164c b c =⎧⎨=++⎩ 解得 68b c =-⎧⎨=⎩ ∴抛物线的解析式为268y x x =-+；(2)直线28y x =-+与抛物线268y x x =-+交于A 、B 两点0x ∴<或>4x 时，228x bx c x ++>-+；(3)将1(1,)C y 代入抛物线解析式，得 11683y =-+=21y y >23y ∴>将13y =代入抛物线解析式，得 2368x x =-+解得 121,8x x ==根据图象，当21y y >时，1m <或5m >．【点评】本题考查了一次函数与二次函数的综合问题，涉及一次函数图象与坐标轴的交点、待定系数法求二次函数解析式、图像法解一元一次不等式、图像法解一元二次不等式、解一元二次方程，熟练掌握知识点是解题的关键．4．(1)y =-x 2-x +2(2)-2＜x ＜0(3)（-1，2）【分析】（1）先求出A 、B 两点坐标，再代入抛物线中即可求出解析式；（2）将不等式2(1)2ax b x c +-+>变形为22ax bx c x ++>+,进而得到二次函数图象在一次函数图象上方即可求解；（3）先证明①PDQ 为等腰直角三角形，利用勾股定理进而求出21PDPQ ，表示PD 的长度列方程求解即可．（1）解：当x =0，y =0+2=2，当y =0时，x +2=0，解得x =-2，①A （-2，0），B （0，2），把A （-2，0），C （1，0），B （0，2）代入抛物线解析式，得42002a b c a b c c ++=⎧⎪++=⎨⎪=⎩，解得112a b c =-⎧⎪=-⎨⎪=⎩，①该抛物线的解析式为：y =-x 2-x +2；（2）解：由不等式()212ax b x c +-+>，得22ax bx c x ++>+，由图象可知，二次函数图象在一次函数图象上方，结合图象可得：不等式()212ax b x c +-+>的解集为20x -<<；（3）解：作PE ①x 轴于点E ，交AB 于点D ，作PQ ①AB 于Q ，在Rt①OAB中，①OA=OB=2，①①OAB=45°，①①PDQ=①ADE=45°，在Rt①PDQ中，①DPQ=①PDQ=45°，①PQ=DQ=，2①PD1=，设点P（x，-x2-x+2），则点D（x，x+2），①PD=-x2-x+2-（x+2）=-x2-2x，即-x2-2x=1，解得x=-1，①此时P点的坐标为（-1，2），【点评】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式，图象法解不等式、点坐标表示线段以及等腰直角三角形的性质等，求出解析式是解题的关键．5．(1)y＝x2﹣2x﹣8；(2)﹣9≤y≤7(3)m＞﹣2【分析】（1）根据待定系数法即可求得；（2）求得抛物线的对称轴，根据图象即可得出当x＝1，函数有最小值﹣9；当x＝5时函数有最大值7，进而求得当﹣1≤x≤5时函数值的取值范围；（3）由题意得x2﹣2x﹣8＝（3+m）x+6+2m，整理得x2﹣（m+5）x﹣2（m+7）＝0，解方程求得x1＝﹣2，x2＝m+7，根据题意得到m+7＞5，解得m＞﹣2．(1)解：∵二次函数y＝x2+bx+c的图象过（﹣2，0），（4，0）．∴4201640b c b c -+=⎧⎨++=⎩，解得：28b c =-⎧⎨=-⎩， ∴二次函数解析式为y ＝x 2﹣2x ﹣8；(2)∵y ＝x 2﹣2x ﹣8＝（x ﹣1）2﹣9，∴抛物线开口向上，当x ＝1时，函数有最小值﹣9，把x ＝5代入y ＝x 2﹣2x ﹣8得，y ＝25﹣10﹣8＝7，∴当﹣1≤x ≤5时函数值的取值范围为﹣9≤y ≤7；(3)∵一次函数y ＝（3+m ）x +6+2m 的图象与y ＝x 2﹣2x ﹣8的交点的横坐标分别是x 1，x 2，∴x 2﹣2x ﹣8＝（3+m ）x +6+2m ，整理得x 2﹣（m +5）x ﹣2（m +7）＝0，解得：x 1＝﹣2，x 2＝m +7，∵x 1＜5＜x 2，∴m +7＞5，解得m ＞﹣2，即m 的取值范围是m ＞﹣2．【点评】本题考查了待定系数法求二次函数解析式，二次函数化为顶点式，根据自变量的取值范围求得函数值的范围，一次函数与二次函数交点问题，解一元二次方程，掌握二次函数图象与性质是解题的关键． 6．(1)2223(1)4y x x x =--=--，C 的坐标为()1,4-；(2)点()1,0A -，1x <-或>4x ； (3)2134b -≤≤-【分析】（1）根据待定系数法求得二次函数的解析式，把一般式化成顶点式，即可求得顶点C 的坐标；（2）利用抛物线的解析式求得A 的坐标，然后根据图象即可求得；（3）先利用待定系数法求得直线AM 的解析式，即可得到平移后的解析式为y x b =+，分别代入B 、C 点的坐标，求得b 的值，求得平移后的直线与抛物线有一个交点时的b 的值，结合图象即可求得．（1）点30B （，）、M （4，5）是抛物线图象上的点，9601685a c a c -+=⎧∴⎨-+=⎩解得13a c =⎧⎨=-⎩∴抛物线解析式为222314y x x x =--=--（），∴抛物线顶点C 的坐标为14-（，）；（2）对于抛物线2=23y x x --，当0y =时，即2230x x --=，解得1213x x =-=，，∴点A （-1，0）观察函数图象可知，不等式22ax x c kx b -+>+的解集为1x <-或>4x ；（3）点A （-1，0）和点M （4，5）在直线AM ：2y kx b =+的图象上，045k b k b -+=⎧∴⎨+=⎩解得11k b =⎧⎨=⎩， ∴直线AM 的解析式为21y x =+．当直线AM 向下平移经过点30B （，）时，直线AM 的解析式为'y x b =+，则3十'0b =，解得'3b =-，当直线AM 平移经过点C （1，-4）时，则1''4b +=- 解得''5b =-，当直线AM 平移后与抛物线2=23y x x --有一个交点时，联立223y x b y x x =+⎧⎨=--⎩化简得2330x x b ---=则94(3)0m ∆=---= 解得214b =-， b ∴的取值范围是2134b -≤≤-．【点评】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式，求一次函数的解析式，二次函数图象与几何变换，函数与不等式的关系，抛物线与x 轴的交点，二次函数图象上点的坐标特征，数形结合是解题的关键．7．(1)对称轴为直线x ＝a ﹣1(2)①y =0；①x 1＝a ﹣2(3)a ≥﹣1【分析】（1）根据抛物线的对称轴x ＝﹣2b a求解即可；（2）①将x ＝a 代入y ＝﹣x 2+（2a ﹣2）x ﹣a 2+2a 求解即可；①若y 1＝y 2＝0，则﹣x 2+（2a ﹣2）x ﹣a 2+2a ＝0，解方程并根据x 1＜x 2，求出x 1的值．（3）由题意得出x 1＜﹣2，则只需讨论x 1＜a ﹣1的情况，分两种情况：①当a ≥﹣1时，又有两种情况：x 1＜x 2＜a ﹣1，x 1＜a ﹣1＜x 2，分别结合二次函数的性质及x 1+x 2＜﹣4计算即可；①当a ＜﹣1时，令x 1＝a ﹣1，x 2＝﹣2，此时x 1+x 2＜﹣4，但y 1＞y 2，不符合题意．【解析】（1）解：抛物线的对称轴为直线x ＝﹣2(1)2a --＝a ﹣1；（2）解：①当x ＝a 时，y ＝﹣a 2+（2a ﹣2）a ﹣a 2+2a＝﹣a 2+2a 2﹣2a ﹣a 2+2a＝0；①当y 1＝y 2＝0时，﹣x 2+（2a ﹣2）x ﹣a 2+2a ＝0，①x 2﹣（2a ﹣2）x +a 2﹣2a ＝0，①（x ﹣a +2）（x ﹣a ）＝0，①x 1＜x 2，①x 1＝a ﹣2；（3）解：①当a ≥﹣1时，①x 1＜x 2，x 1+x 2＜﹣4，①x 1＜﹣2，只需讨论x 1＜a ﹣1的情况．若x 1＜x 2＜a ﹣1，①x ＜a ﹣1时，y 随着x 的增大而增大，①y 1＜y 2，符合题意；若x 1＜a ﹣1＜x 2，①a ﹣1≥﹣2，①2（a ﹣1）≥﹣4，①x 1+x 2＜﹣4，①x 1+x 2＜2（a ﹣1）．①x 1＜2（a ﹣1）﹣x 2．①x ＝2（a ﹣1）﹣x 2时，y 1＝y 2，x ＜a ﹣1时，y 随着x 的增大而增大，①y 1＜y 2，符合题意．①当a ＜﹣1时，令x 1＝a ﹣1，x 2＝﹣2，此时x 1+x 2＜﹣4，但y 1＞y 2，不符合题意；综上所述，a 的取值范围是a ≥﹣1．【点评】本题属于二次函数的综合题，涉及二次函数的性质、求函数值、运用二次函数求不等式等知识点，灵活运用二次函数的性质成为解答本题的关键．8．(1)223y x x =--+(2)<2x -或1x >(3)4【分析】（1）根据题意可以设出二次函数解析式，根据函数过点A 、B 、C ，即可解答本题；（2）根据题意可以求得点D 的坐标，再根据函数图象即可解答本题；（3）根据题意作出辅助线，即可求得①ADE 的面积．【解析】（1）①二次函数 2y x bx c =-++过(1,0)B ，(0,3)C①103b c c -++=⎧⎨=⎩解得23b c =-⎧⎨=⎩所以解析式为：223y x x =--+（2）223y x x =--+①该函数的对称轴是直线x =-1，①点C （0，3），点C 、D 是二次函数图象上的一对对称点，①点D （-2，3），①一次函数值大于二次函数值的x 的取值范围是x ＜-2或x ＞1（3）连结AE ，设直线BD ：y ＝mx ＋n ，代入B （1，0），D （−2，3）得023m n m n +=⎧⎨-+=⎩，解得：11m n =-⎧⎨=⎩，故直线BD 的解析式为：y ＝−x ＋1把x ＝0代入y ＝−x ＋1得，y =1，所以E （0，1），①OE ＝1，又①AB ＝4114341422ADB S ∆=⨯⨯-⨯⨯=∴ 【点评】本题考查待定系数法求二次函数解析式、抛物线与x 轴的交点，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用二次函数的性质解答．9．(1)y 214x =+1 (2)见解析(3)①x ＜4﹣x ＞4＋①﹣3或4【分析】（1）利用待定系数法将已知点的坐标代入解析式求得a ，c 的值即可得出结论；（2）过点P 作PE ①x 中于点E ，PD ①y 轴于点D ，利用到圆心的距离等于半径的直线是圆的切线，证明PE =PC即可；设P （t ，14t 2＋1），利用勾股定理求出线段PC 的长即可；（3）①当k =2时，将两个解析式联立求出交点坐标，利用函数图象判定出使M ＞y 2的值即为y 1＞y 2的取值范围；①将两个解析式联立求出交点坐标，利用函数图象利用分类讨论的方法得到M 与x 的关系式，将M =5代入解析式即可求得结论．(1)解：①抛物线y 1＝ax 2＋c 过点（﹣4，5），（1，54）， ①16554a c a c +=⎧⎪⎨+=⎪⎩，解得：141a c ⎧=⎪⎨⎪=⎩． ①抛物线的解析式为：y 214x =+1． (2)解：过点P 作PE ①x 中于点E ，PD ①y 轴于点D ，如图，①直线y 2＝kx ＋2与y 轴交于C 点，令x ＝0，则y ＝2，①C （0，2）．①OC ＝2．①点P 为第一象限抛物线上一个动点，①P （t ，14t 2＋1）， ①PE ＝OD 2114t =+，PD ＝t ， ①CD ＝OD ﹣OC 2114t =-． ①PC 214t ====+1． ①PE ＝PC ．①PE ①x 轴，①x 轴是①P 的切线．(3)解：①当k ＝2时，直线y 2＝2x ＋2．①222114y x y x =+⎧⎪⎨=+⎪⎩．解得：11410x y ⎧=+⎪⎨=+⎪⎩22410x y ⎧=-⎪⎨=-⎪⎩ ①y 214x =+1与y ＝2x ＋2的交点为（4＋10＋4﹣10﹣．由图象可知：当x ＜4﹣x ＞4＋y 1＞y 2．①M ＞y 2，①y 1＞y 2．①使M ＞y 2的x 的取值范围为x ＜4﹣x ＞4＋①当k ＝﹣1时，y ＝﹣x ＋2．①21142y x y x ⎧=+⎪⎨⎪=-+⎩．解得：1124x y ⎧=-+⎪⎨=-⎪⎩2224x y ⎧=--⎪⎨=+⎪⎩ 结合图象可知：当﹣2＋x ≤﹣2﹣M ＝﹣x ＋2；当x ＞﹣2＋x ＜﹣2﹣M 2114x =+． ①M ＝5，①﹣x ＋2＝5，①x ＝﹣3．①21154x +=， ①x ＝±4（﹣4不合题意，舍去）．综上，使M ＝5的x 的值为﹣3或4．【点评】本题主要考查了二次函数的图象的性质，待定系数法求函数的关系式，二次函数与一次函数图象上点的坐标的特征，利用数形结合法判定函数值的大小，利用交点坐标结合图象判定函数值的大小是解题的关键．10．（1）y ＝x 2﹣4x +3，（2，﹣1）；（2）﹣2＜k ＜﹣12；（3）8．【分析】（1）代入点A (1,0)和D (4,3)，可求得m 、n 的值，从而可得二次函数的表达式，将表达式化为顶点式，即可求得顶点坐标．（2）由l ；y =kx −2k +2=k （x −2）+2可得，过定点（2，2），再分别代入点B 、C 的坐标，可求得k 的值，要使直线l ；y =kx −2k +2总位于图象G 的上方，则k 的取值范围，即为分别代入点B 、C 的坐标所求得的k 的值之间的部分．（3）由二次函数243y x x =-+的对称轴是直线x=2，点P (x 1，c)和点Q (x 2，c)在函数2y x mx n =++的图象上，且x 1＜x 2，可得x 1=2−a ，x 2=2+a ，代入21264a a x x +++即可求解．【解析】解：（1）根据题意得：1413m n m n +=-⎧⎨+=-⎩，解得43m n =-⎧⎨=⎩．故二次函数的表达式为y ＝x 2﹣4x +3，则函数的对称轴为x ＝﹣2b a＝2，当x ＝2时，y ＝x 2﹣4x +3＝﹣1，故顶点坐标为：（2，﹣1）；（2）在y ＝x 2﹣4x +3中，令x ＝0，解得y ＝3，令y ＝x 2﹣4x +3＝0，解得x ＝1或3，则C 的坐标是（0，3），点B （3，0），①y ＝kx ﹣2k +2＝k （x ﹣2）+2，即直线故点（2，2），设该点为M ，当直线过点C 、M 或过B 、M 时，都符合要求，将点C 的坐标代入y ＝kx ﹣2k +2，即3＝﹣2k +2，解得k ＝﹣12；将点B 的坐标代入3＝kx ﹣2k +2，即0＝3k ﹣2k +2，解得k ＝﹣2；故﹣2＜k ＜﹣12，故答案为：﹣2＜k ＜﹣12；（3）①P （x 1，c ）和点Q （x 2，c ）在函数y ＝x 2﹣4x +3的图象上， ①PQ //x 轴，①二次函数y ＝x 2﹣4x +3的对称轴是直线x ＝2，又①x 1＜x 2，PQ ＝2a ， ①x 1＝2﹣a ，x 2＝2+a ，①x 12﹣2x 2+6a +4＝（2﹣a ）2﹣a （2+a ）+6a +4＝8．【点评】本题考查二次函数的图像和性质，解题的关键是熟练掌握二次函数的性质． 11．（1）直线=1x -；（2）221y x x =---或2484333y x x =++；（3）当0a >时，4n <-或2n >；当a<0时，42n -<<．【分析】（1）利用二次函数的对称轴公式即可求得．（2）根据题意可知顶点坐标，再利用待定系数法即可求出二次函数解析式．（3）分类讨论当m ＞0时和m ＜0时二次函数的性质，即可求出n 的取值范围．【解析】解：（1）利用二次函数的对称轴公式可知对称轴212mx m=-=-．故答案为：=1x -．（2）①抛物线顶点在x 轴上，对称轴为=1x -， ①顶点坐标为(-1，0)．将顶点坐标代入二次函数解析式得：()()22012134m m m =-+⨯-+-，整理得：(1)(34)0m m +-=，解得：1m =-或43m =．①抛物线解析式为221y x x =---或2484333y x x =++；（3）①对称轴为直线=1x -，①点()22,N y 关于直线=1x -的对称点为()24,N y '-，根据二次函数的性质分类讨论．（①）当m ＞0时，抛物线开口向上，若y 1＞y 2，即点M 在点N 或N '的上方，两点NN′外侧，则4n <-或2n >；（①）当m ＜0时，抛物线开口向下，若y 1＞y 2，即点M 在点N 或N '的上方，两点内部，则42n -<<．【点评】本题为二次函数综合题，二次函数对称轴，待定系数法求二次函数解析式，比较函数值大小，掌握二次函数的性质是解答本题的关键．12．（1）y =-x 2+2x +3；（2）点P 坐标为（52，74）；（3）m 的取值范围为1322m ≤≤．【分析】（1）将点A （0，3）、B （-1，0）代入抛物线y =-x 2+bx +c 中即可求得b 、c 的值，进而得到解析式；（2）过点A 作AM ①BP 于点M ，过点M 作MN ①y 轴于点N ，构造等腰直角三角形，利用“一线三垂直模型”证明①ABO ①①MAN ．继而得到点M 坐标，求出直线BM 解析式，联立BM 解析式与抛物线解析式即可得交点P 的坐标；（3）结合抛物线图象，可直观看到当x 2≥2时，y 2≤3．要使y 1≥y 2恒成立，则y 1≥3，得0≤x 1≤2，从而0≤m −12≤x 1≤m +12≤2，解不等式组即可．【解析】解：（1）将点A （0，3）、B （-1，0）代入抛物线y =-x 2+bx +c 中，得：310c b c =⎧⎨--+=⎩，解得：23b c =⎧⎨=⎩， ①该抛物线解析式为：y =-x 2+2x +3；（2）过点A 作AM ①AB 交BP 于点M ，过点M 作MN ①y 轴于点N ．又①ABP =45°，则①ABM 为等腰直角三角形，AM =AB ，①①BAO +①P AO =①BAM =90°，①MAO +①AMN =90°， ①①BAO =①AMN ，在①ABO 和①MAN 中， 90BAO AMN AOB MNA AB AM ∠=∠⎧⎪∠=∠=︒⎨⎪=⎩， ①①ABO ①①MAN （AAS ），①AN =BO =1，ON =OA -AN =3-1=2，MN =AO =3， ①点M 坐标为（3，2）．设直线BM 解析式为y =kx +n ，代入点B （-1，0）、M （3，2）得： 032k n k n -+=⎧⎨+=⎩，解得：1212k n ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩．故直线BM 解析式为y =12x +12．解方程12x +12=-x 2+2x +3得：12512x x =-=，，当52x =时，y =1522⨯+12=74，故点P 坐标为（52，74）；（3）由图可知，当x =2时，y =-x 2+2x +3=-4+4+3=3，当x 2≥2时，y 2≤3．要使y 1≥y 2恒成立，则y 1≥3，即-x 2+2x +3≥3，解得：0≤x ≤2，即0≤x 1≤2， ①0≤m −12≤x 1≤m +12≤2，解不等式0≤m −12得：12m ≥，解不等式m +12≤2得：32m ≤，①m 的取值范围为1322m ≤≤．【点评】本题是二次函数综合题，考查了待定系数法求解析式、全等三角形判定与性质、解不等式组等知识，根据题意作出合理辅助线以及数形结合思考问题是解题的关键．13．（1）225y x x =-+或223y x x =--；（2）图见解析，性质：（写出一条即可）①关于1x =对称；①=1x -或3x =时有最小值为0；①1x ≤-，13x ≤≤，y 随x 的增大而减小；3x ≥，11x -≤≤，y 随x 的增大而增大；（3）4x ≥或2x ≤【分析】（1）由函数过点()1,4，代入124c -+=，求出5c =或3c =-，可得函数；（2）用描点法画图，列表、描点、连线，性质：①关于1x =对称；①=1x -或3x =时有最小值为0；①1x ≤-，13x ≤≤，y 随x 的增大而减小；3x ≥，11x -≤≤，y 随x 的增大而增大，（3）利用图像解法不等式221x x c x -+≥+在图像上表现为225y x x =-+永远在1y x =+图像上方，或223y x x =--图像在1y x =+图像上方；由交点（2,3）的左侧和交点（4,5）的右侧即可得出答案【解析】解：（1）①函数过点()1,4，124c -+= ①14c -=，①14c -=±， ①5c =或3c =-，①225y x x =-+或223y x x =--；故答案为：225y x x =-+或223y x x =--；（2）列表描点连线性质：（写出一条即可） ①关于1x =对称；①=1x -或3x =时有最小值为0；①1x ≤-，13x ≤≤，y 随x 的增大而减小；3x ≥，11x -≤≤，y 随x 的增大而增大，故答案为①关于1x =对称；①=1x -或3x =时有最小值为0；①1x ≤-，13x ≤≤，y 随x 的增大而减小；3x ≥，11x -≤≤，y 随x 的增大而增大;（3）2251x x x -+=+，()2251x x x -+=±+，22340,60x x x x -+=-+=，都无解，或2231x x x --=+，()2231x x x --=±+，2340x x --=或220x x --=，解得x=-1，x=2，x=4，不等式221x x c x -+≥+在图像上表现为225y x x =-+永远在1y x =+图像上方，或223y x x =--图像在1y x =+图像上方；由交点（2,3）的左侧和交点（4,5）的右侧，即不等式2251x x x -+≥+或2251x x x -+≥+的解集为4x ≥或2x ≤．．【点评】本题考查待定系数法求函数解析式，用描点法画函数解析式，观察函数图像写函数性质，利用函数图像求不等式的解集，掌握待定系数法求函数解析式，用描点法画函数解析式，观察函数图像写函数性质，利用函数图像求不等式的解集是解题关键． 14．（1）()1,3-，3c a =-；（2）12t ≥；（3）15a ≤-或15a ≥ 【分析】（1）由题意可得D 在直线y =-3上且D 在二次数对称轴上，由此可以得到D 点坐标并求出c 与a 的关系式；（2）分a >0与a <0两种情况，根据二次函数的增减性进行求解；（3）把MN 用a 表示出来可以得到关于a 的不等式，解不等式即可得到a 的取值范围．【解析】解：（1）由题意得D 在直线y =-3上且D 在二次数对称轴x 222b aa a-=-=-=1上， ①D (1-3)，将其代入22y ax ax c =-+得-3=a -2a +c ，化简得c =a -3；（2）当a >0时，二次函数图象开口向上，如图，抛物线的开口向上，当11t +≤，即0t ≤，此时：当1x t =+时，满足3y -≤，当x t =时，函数值最大，则22233,at at a at -+-≤- 解得：12t ≥，不合题意，舍去当0＜t ＜12时，则1＜1t +＜32，如图，此时：当1x t =+时，满足3y -≤，当x t =时，函数值最大，则22233,at at a at -+-≤- 解得：12t ≥，不合题意，舍去当12t ≥时，则321t ≤+，如图，此时：当x t =时，满足3y -≤，当+1x t =时，函数值最大，则()()22112133t y a t a t a at +=+-++-=- ∴ ()()2212133a t a t a at +-++-≤-恒成立， 1.2t ∴≥当a <0时，二次函数图象开口向下，此时函数有最大值3-，不满足233y at -≤≤-，此情况不存在；综上12t ≥；（3）|MN |≥1即()223231ax ax a ax a -+---+-≥，即21ax ax a --≥①21ax ax a --≥(x ≥3恒成立要求a ＞0，其对称轴为x 1222b a a a -=-=-=，只需要求x =3时21ax ax a --≥即9a -3a -a ≥1，解得15a ≥；①21ax ax a --≤-(x ≥3恒成立要求a ﹤0)，只需要求x =3时21ax ax a --≤-即9a -3a -a ≤-1，解得15a ≤-．【点评】本题考查二次函数的综合应用，熟练掌握二次函数的图象与性质及二次函数、一次函数与不等式的关系是解题关键． 15．（1）1322y x =-；（2）m =-3或m =3；（3）49≤a ＜98或a ≤-2；【分析】（1）用待定系数法直接将点A 和B 代入直线l 中然后得到关于k 和b 的二元一次方程没然后解方程即可得到k 和b 的值，然后得到l 的解析式；（2）根据题意可得，y =-x 2+2x -1，当y =-4时，有-x 2+2x -1=-4，x =-1或x =3； ①在x =1左侧，y 随x 的增大而增大，x =m +2=-1时，y 有最大值-4，m =-3； ①在对称轴x =1右侧，y 随x 增大而减小，x =m =3时，y 有最大值-4；（3）①a ＜0时，x =1时，y ≤-1，即a ≤-2；①a ＞0时，x =-3时，y ≥-3，即a ≥49，直线AB 的解析式为y =12x -32，抛物线与直线联立：ax 2+2x -1=x -32，①=94-2a ＞0，则a ＜98，即可求a 的范围；【解析】解：（1）点A （-3，-3），B （1，-1）代入y =kx +b 可得：3=31k b k b --+⎧⎨-=+⎩解得：1232k b ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩①l 的解析式为：1322y x =-；（2）根据题意可得，y =-x 2+2x -1， ①a ＜0，①抛物线开口向下，对称轴为直线x =1， ①m ≤x ≤m +2时，y 有最大值-4， ①当y =-4时，有-x 2+2x -1=-4， ①x =-1或x =3，①在对称轴直线x =1左侧，y 随x 的增大而增大， ①x =m +2=-1时，y 有最大值-4， ①m =-3；①在对称轴直线x =1右侧，y 随x 增大而减小， ①x =m =3时，y 有最大值-4；综上所述：m =-3或m =3；（3）①a ＜0时，x =1时，y ≤-1，即a ≤-2；①a ＞0时，x =-3时，y ≥-3，即a ≥49，直线AB 的解析式为y=12x -32，抛物线与直线联立：ax 2+2x -1=12x -32，①ax 2+32x +12=0，①=94-2a ＞0，①a ＜98，①a 的取值范围为49≤a ＜98或a ≤-2．【点评】本题考查二次函数的图象及性质，一次函数的图象及性质；熟练掌握待定系数法求解析式，数形结合，分类讨论函数在给定范围内的最大值是解题的关键．16．(1) y ＝x 2﹣x +2﹣3|x ﹣1|，补全表格见解析，(2) 函数图像见解析，当x =-1时，函数有最小值，最小值为-2；(3)x x 【分析】（1）将点（﹣1，﹣2）与（2，1）代入解析式即可；（2）画出函数图象，观察图象得到一条性质即可（3）根据图象，求出两个函数图象的交点坐标，通过观察可确定解解集．【解析】解：（1）∵该函数图象经过（﹣1，﹣2）与（2，1）两点，∴12224221b c b c -+-=-⎧⎨++-=⎩，∴13b c =-⎧⎨=⎩， ∴y ＝x 2﹣x +2﹣3|x ﹣1|，故答案为：y ＝x 2﹣x +2﹣3|x ﹣1|；当x =-4时，y =7；当x =0时，y =-1；补全表格如图，（2）函数图像如图所示，当x =-1时，函数有最小值，最小值为-2；（3）当x ≥1时，x 2﹣x +2﹣3x +3=x ，解得，1x =2x x 当x ＜1时，x 2﹣x +2+3x ﹣3=x ，解得，3x ，4x =x∴不等式x 2+bx +2﹣c |x ﹣1|≤x x x【点评】本题考查二次函数与不等式的关系；掌握描点法画函数图象，利用数形结合解不等式是解题的关键．17．（1）x =2，(2,-1)；（2）答案见解析；（3）x <1或x >3【分析】（1）根据对称轴是2b x a =-，顶点坐标是24,24b ac b a a ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，可得答案；（2）根据对称轴，可在对称轴的左边选两个，右边选两个，它们要关于对称轴对称，可填上表格，根据描点法，可得函数图象；（3）根据函数与不等式的关系，可得答案．【解析】解：（1）抛物线243y xx =-+的对称轴是4222b x a -=-=-=， 4222b x a -=-=-=，()224344144ac b y a ⨯---===-①顶点坐标是(2,-1)，故答案为x =2，(2,-1)；（2）列表：连线：（3）观察图象，函数图象在x 轴上方的部分的相应的自变量的取值范围为x <1或x >3，即当x <1或x >3时，0y >．【点评】本题考查了二次函数图象与性质，函数与不等式的关系．熟悉掌握二次函数()20y ax bx c a =++≠的对称轴是2bx a =-，顶点坐标是24,24b ac b a a ⎛⎫-- ⎪⎝⎭是解（1）题的关键，会用描点法画函数图象是解（2）题的关键；了解函数与不等式的关系是解（3）题的关键．18．（1）①223y x x =-++，①4n =；（2）32m -≤≤-或m 1≥【分析】（1）①令x =3，则y=−x 2+2mx+4−m 2=0，解方程即可得到m 的值，从而得到二次函数的解析式；①由①可得二次函数的对称轴为x=1，然后根据二次函数的增减性可以得解；（2）令y =0，可以得到二次函数图象与x 轴交点，然后根据二次函数的增减性可以得解．【解析】（1）①二次函数为2()4y x m =--+，对称轴为x m =．令3x =有：2(3)40m --+=，解得：1m =或5m =．①(3,0)B 为该二次函数图象与x 轴靠右侧的交点，①点B 在对称轴右侧，①3m <，故1m =．①二次函数解析式为223y x x =-++．①由于二次函数开口向下，且对称轴为1x =．①2x n ≤≤时，函数值y 随x 的增大而减小；①当2x =时，函数取得最大值3；当x n =时，函数取得最小值2231n n n -++=--，①在2n >范围内解得4n =．（2）令0y =，得2()40x m --+=，解得12x m =-，2x m 2=+，将函数图象在x 轴上方的部分向下翻折后，新的函数图象增减性情况为：当2x m ≤-时，y 随x 的增大而增大，当2m x m -≤≤时，y 随x 的增大而减小，当2m x m ≤≤+时，y 随ⅹ的增大而增大，当2x m ≥+时，y 随x 的增大而减小．因此，若当21x -≤≤-时，y 随x 的增大而增大，结合图象有：①12m -≤-，即m 1≥时符合题意；①2m ≤-且12m -≤+，即32m -≤≤-时符合题意．综上，m 的取值范围是32m -≤≤-或m 1≥．【点评】本题考查二次函数的综合应用，熟练掌握二次函数解析式的求法、二次函数的对称轴与增减性是解题关键．19．（1）12a =-，3b =-，174m =-；（2）见解析；（3）x 的取值范围是：-3≤x ＜0或1≤x≤2．【分析】（1）先将（-1，2）和（1，-2）代入函数y=a （x -1）2+b x+1中，列方程组解出可得a 和b 的值，写出函数解析式，计算当x=4时m 的值即可；（2）描点并连线画图，根据图象写出一条性质即可；（3）画y=x -3的图象，根据图象可得结论．。

人教版九年级数学上册 22.2 二次函数与一元一次方程暑假提高训练

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人教版 2020-2021 学年九年级数学上册 22.2 二次函数与一元一次方程暑假提高训练-答案
一、选择题（本大题共 6 道小题） 1. 【答案】C [解析] 当 x＝0 时，y＝－x2＋4x－4＝－4，则抛物线与 y 轴的交点坐标为(0，－4)；当 y＝0 时，－x2＋4x－4＝0，解得 x1＝x2＝2，则抛物线与 x 轴的交点坐标为(2， 0)，所以抛物线与坐标轴有 2 个交点．故选 C.
12. (1)请在如图所示的直角坐标系中画出二次函数 y＝x2－2x 的大致图象； (2)根据方程的根与函数图象的关系，将方程 x2－2x＝1 的根在图上表示出来； (3)观察图象，直接写出方程 x2－2x＝1 的根(精确到 0.1).
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13. 已知函数 y＝(m－1)x2＋4x＋2. (1)当 m 为何值时，函数图象与 x 轴有两个公共点？ (2)当 m 为何值时，函数图象与 x 轴只有一个公共点？ 14. 在平面直角坐标系中，设二次函数 y1＝(x＋a)(x－a－1)，其中 a≠0. (1)若函数 y1 的图象经过点(1，－2)，求函数 y1 的表达式； (2)若一次函数 y2＝ax＋b 的图象与 y1 的图象经过 x 轴上同一点，探究实数 a，b 满足的关系式； (3)已知点 P(x0，m)和 Q(1，n)在函数 y1 的图象上．若 m<n，求 x0 的取值范围．
8. 【答案】x1＝－2，x2＝1 [解析] 方程 ax2＝bx＋c 的解即抛物线 y＝ax2 与直线 y＝bx＋c 交点的横坐标．∵交点是 A(－2，4)，B(1，1)，∴方程 ax2＝bx＋c 的解是 x1＝－2，x2＝1.
9. 【答案】－4 【解析】由题意可知，x1，x2 为方程 2x2－4x－1＝0 的两根，所以 x1＋x2＝2，x1x2＝－12，则x11＋x12＝x1x＋1xx2 2＝－212＝－4.

二次函数章节分类综合提高练习2021—2022学年北师大版数学九年级下册

一．二次函数的图象（共1小题）1．函数y＝|ax2+bx|（a＜0）的图象如图所示，下列说法正确的是（）A．方程|ax2+bx|＝k有四个不等的实数根B．a+b＞1C．2a+b＞0D．5a+3b＜1二．二次函数的性质（共7小题）2．已知抛物线y＝x2﹣（1+m）x+m与直线y＝﹣x两个交点的横坐标是x1，x2，并且x12+mx2＝2，则m的值为（）A．﹣1B．1C．2D．﹣1或23．已知两点A（﹣5，y1），B（﹣1，y2）均在抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）上，点C（x0，y0）是该抛物线的顶点，若y1＞y2≥y0，则x0的取值范围是（）A．x0＞﹣5B．x0＞﹣1C．x0＞﹣3D．﹣5＜x0＜﹣14．已知二次函数y＝x2﹣2bx+5（b为常数），当x≥﹣1时，y的最小值为1，则b的值为（）A．−52B．2或﹣2C．2或﹣2或−52D．2或−525．已知二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c是实数，且a≠0）的图象的对称轴是直线x＝2，点A（x1，y1）和点B（x2，y2）为其图象上的两点，且y1＜y2，（）A．若x1﹣x2＜0，则x1+x2﹣4＜0B．若x1﹣x2＜0，则x1+x2﹣4＞0C．若x1﹣x2＞0，则a（x1+x2﹣4）＞0D．若x1﹣x2＞0，则a（x1+x2﹣4）＜06．已知关于x的二次函数y＝﹣（x﹣k）2+11，当1≤x≤4时，函数有最小值2k，则k的值为．7．已知抛物线的解析式为y＝x2+2x﹣3．关于x的一次函数y＝kx+3k的图象与抛物线交点的横坐标分别为x1和x2，且x1＜x2＜1．则k的取值范围为．8．已知二次函数y＝﹣x2+4x﹣3．（1）若﹣3≤x≤3，则y的取值范围为（直接写出结果）；（2）若﹣8≤y≤﹣3，则x的取值范围为（直接写出结果）；（3）若A（m，y1），B（m+1，y2）两点都在该函数的图象上，试比较y1与y2的大小．三．二次函数图象与系数的关系（共14小题）9．已知二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，则点（ac，bc）在（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限10．已知抛物线y＝ax2+bx+c（a，b，c为常数且a≠0）经过P1（1，y1），P2（2，y2），P3（3，y3），P4（4，y4）四点，若y3＜y2＜y4，则下列说法中正确的是（）A．抛物线开口向下B．对称轴可能为直线x＝3C．y1＞y4D．5a+b＞011．二次函数y＝ax2+bx+c（a、b、c为常数，a≠0）中的x与y的部分对应值如表：x﹣103y n33当n＜0时，下列结论中一定正确的有（）个．①abc＜0；②若点（﹣2，y1），D（π，y2）在该抛物线上，则y1＜y2；③n＜4a；④对于任意实数t，总有4（at2+bt）≤9a+6b．A．1B．2C．3D．412．如图所示的抛物线是二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象，其对称轴为x＝1，过（﹣2，0），则下列结论：①ab2c3＞0；②b+2a＝0；③方程ax2+bx+c＝0的两根为x1＝﹣2，x2＝4；④9a+c＞3b，其中正确的结论有（）A．1个B．2个C．3个D．4个13．抛物线y＝ax2+bx+c的顶点为D（﹣1，2），与x轴的一个交点A在点（﹣3，0）和（﹣2，0）之间，其部分图象如图，则以下结论：①b2﹣4ac＜0；②a+b+c＜0；③c﹣a＝2；④方程ax2+bx+c﹣2＝0有两个相等的实数根，其中正确结论的个数为个．14．抛物线y＝ax2+bx+c（a＜0，a，b，c为常数）的部分图象如图所示，其顶点坐标为（﹣1，n），且与x轴的一个交点在点（﹣3，0）和（﹣2，0）之间．则下列结论：①a+b+c＜0；②2a﹣b＝0；③一元二次方程ax2+（b+n2）x+c−n2=0的两根为x1，x2，则|x1﹣x2|＝2；④对于任意实数m，不等式a（m2﹣1）+（m+1）b≤0恒成立．则上述说法正确的是．（填序号）15．已知关于x的二次函数y＝ax2+bx+c，下列结论中一定正确的是．（填序号即可）①若抛物线与x轴有两个不同交点，则方程cx2+bx+a＝0必有两个不等实数根；②若对任意实数t都有at2+bt≤a ﹣b（a＜0），则b＝2a；③若（am2+bm+c）（an2+bn+c）＜0（m＜n），则方程ax2+bx+c＝0有一个根α，且m＜α＜n；④若a2m2+bam+ac＜0，则方程ax2+bx+c＝0必有两个实数根．16．二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的部分图象如图所示，对称轴为直线x=12，且经过点（﹣1，0）．下列说法：①abc＞0；②﹣2b+c＝0；③点（t−32，y1），（t+32，y2）在抛物线上，则当t＞13时，y1＞y2；④14b+c≤m（am+b）+c（m为任意实数）．其中一定正确的是．17．已知抛物线y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠c），且a﹣b+c＝0．下列四个结论：①若b＝﹣2a，则抛物线经过点（3，0）；②抛物线与x轴一定有两个不同的公共点；③一元二次方程﹣a（x﹣2）2+bx＝2b+c有一个根x＝﹣1；④点A（x1，y1），B（x2，y2）在抛物线上，若当x1＞x2＞2时，总有y1＞y2，则5a+c≥0．其中正确的是．（填写序号）18．抛物线y＝ax2+bx+c经过点（﹣2，0），且对称轴为直线x＝1，其部分图象如图所示．对于此抛物线有如下四个结论：①b＝﹣2a；②4a+2b+c＞0；③若n＞m＞0，则x＝1+m时的函数值小于x＝1﹣n时的函数值；④点（−c2a，0）一定在此抛物线上．其中正确的结论是．19．已知二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c为常数，a≠0）的图象开口向下，对称轴为直线x＝1，且与x轴的一个交点在点（﹣1，0），（0，0）之间，下列结论正确的是（填写序号）．①abc＞0；②a﹣b+c＜0；③a+b≥m（am+b）（m是一个常数）；④若方程ax2+bx+c＝mx﹣2m（m是一个常数）的根为x1，x2，则（x1﹣2）（x2﹣2）＜0．20．已知二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c为常数，a≠0，c＞0）上有五点（﹣1，p）、（0，t）、（1，n）、（2，t）、（3，0），有下列结论：①b＞0；②关于x的方程ax2+bx+c＝0的两个根是﹣1和3；③p+2t＜0；④m（am+b）≤﹣4a ﹣c（m为任意实数）．其中正确的结论（填序号即可）．21．如图，二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象与x轴的正半轴交于点A，对称轴为直线x＝1．下面结论：①abc＜0；②2a+b＝0；③3a+c＞0；④方程ax2+bx+c＝0（a≠0）必有一个根大于﹣1且小于0．其中正确的是．（只填序号）22．已知抛物线y＝x2﹣2（m﹣1）x+m2与x轴分别交于（x1，0），（x2，0）两点．（1）求m 的取值范围．（2）若x 1，x 2满足（x 1+2）（x 2+2）＝5，求m 的值．（3）点（a ，y 1），（b ，y 2），（−12，y 3）均在抛物线上，若−13＜a ＜b ，请直接写出y 1，y 2，y 3的大小关系（用“＜”连接）．四．二次函数图象上点的坐标特征（共6小题）23．已知点（﹣4，y 1）、（﹣1，y 2）、（53，y 3）都在函数y ＝﹣x 2﹣4x +5的图象上，则y 1、y 2、y 3的大小关系为（）A ．y 1＞y 2＞y 3B ．y 3＞y 2＞y 1C ．y 2＞y 1＞y 3D ．y 3＞y 1＞y 224．二次函数y ＝x 2﹣2x +c 的图象经过A （﹣3，y 1），B （﹣1，y 2），C （2，y 3），D （4，y 4）四个点，下列说法一定正确的是（） A ．若y 1＞0，则y 2y 3＜0 B ．若y 2＞0，则y 1y 4＜0 C ．若y 3＜0，则y 1y 2＞0D ．若y 4＜0，则y 2y 3＞025．如图，二次函数y ＝ax 2+bx +c 的图象经过点A （﹣1，0），点B （3，0），交y 轴于点C ，给出下列结论：①a ：b ：c ＝﹣1：2：3；②若0＜x ＜4，则5a ＜y ＜﹣3a ；③对于任意实数m ，一定有am 2+bm +a ≤0；④一元二次方程cx 2+bx +a ＝0的两根为﹣1和13，其中正确的结论是（）A ．①②③④B ．①③C ．①③④D ．②③④26．若点A （﹣3，y 1），B （1，y 2），C （m ，y 3）在抛物线y ＝ax 2+4ax +c 上，且y 1＜y 3＜y 2，则m 的取值范围是（） A ．﹣3＜m ＜1 B ．﹣5＜m ＜﹣1或﹣3＜m ＜1C ．m ＜﹣3或m ＞1D ．﹣5＜m ＜﹣3或﹣1＜m ＜127．抛物线y ＝﹣x 2+2x +6在直线y ＝﹣9上截得的线段长度为（） A ．6B ．7C ．8D ．928．点P 1（﹣1，y 1），P 2（2，y 2），P 3（5，y 3）均在二次函数y ＝﹣x 2+2x +c 的图象上，则y 1，y 2，y 3的大小关系是．五．二次函数图象与几何变换（共4小题）29．将二次函数y＝x2+1的图象绕点（1，﹣1）旋转180°，得到的图象的解析式为（）A．y＝﹣（x﹣2）2﹣3B．y＝（x﹣2）2﹣3C．y＝﹣（x﹣3）2﹣2D．y＝﹣（x+2）2﹣330．要将抛物线y＝2x2平移后得到抛物线y＝2x2+4x+5，下列平移方法正确的是（）A．向左平移1个单位，再向上平移3个单位B．向左平移1个单位，再向下平移3个单位C．向右平移1个单位，再向上平移3个单位D．向右平移1个单位，再向下平移3个单位31．将抛物线y＝2x2平移到抛物线y＝2x2﹣4x﹣1，正确的平移方法是（）A．向左平移1个单位长度，向上平移3个单位长度B．向左平移1个单位长度，向下平移3个单位长度C．向右平移1个单位长度，向上平移3个单位长度D．向右平移1个单位长度，向下平移3个单位长度32．在平面直角坐标系中，抛物线y＝x2+4x经变换后得到抛物线y＝x2﹣4x，则这个变换可以是（）A．向左平移4个单位B．向右平移4个单位C．向左平移8个单位D．向右平移8个单位六．二次函数的最值（共1小题）33．当﹣2≤x≤1时，二次函数y＝﹣（x﹣m）2+m2+1有最大值4，则实数m的值为（）A．−74B．√3或−√3C．2或−√3D．2或√3或−74七．抛物线与x轴的交点（共11小题）34．如图，抛物线C1：y＝x2﹣2x（0≤x≤2）交x轴于O，A两点；将C1绕点A旋转180°得到抛物线C2，交x 轴于A1；将C2绕点A1旋转180°得到抛物线C3，交x轴于A2，…，如此进行下去，则抛物线C10的解析式是（）A．y＝﹣x2+38x﹣360B．y＝﹣x2+34x﹣288C．y＝x2﹣36x+288D．y＝﹣x2+38x+36035．方程ax2+bx+c＝0（a＜0）有两个不相等的实数根，则抛物线y＝ax2+bx+c的顶点一定在（）A．在x轴上方B．在x轴下方C．在y轴右侧D．在y轴左侧36．抛物线y＝x2+ax+3的对称轴为直线x＝1．若关于x的方程x2+ax+3﹣t＝0（t为实数）在﹣2＜x＜3的范围内有实数根，则t的取值范围是（）A．6＜t＜11B．t≥2C．2≤t＜11D．2≤t＜637．已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象经过（﹣1，0）与（3，0）两点，关于x的方程ax2+bx+c+p＝0（p ＞0）有两个不同的实数根，其中一个根是x＝m（m＜﹣1）．如果关于x的方程ax2+bx+c+q＝0（q＜0）有两个不同的整数根，则这两个整数根是（）A．x1＝0，x2＝﹣2B．x1＝2，x2＝0C．x1＝﹣2，x2＝4D．x1＝﹣3，x2＝538．已知y＝x2+mx+n与x轴交于点（1，0）、（﹣3，0），则分解因式x2+mx+n＝．39．已知抛物线y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数）的图象经过（﹣1，0），对称轴在y轴的右侧．下列四个结论：①abc＞0；②b2﹣4ac＞0；③若A（x1，n），B（x2，n）是抛物线上两点，当x＝x1+x2时，则y＝c．其中正确的是．（填写序号）40．关于抛物线y＝ax2﹣2x+1（a≠0），给出下列结论：①当a＜0时，抛物线与直线y＝2x+2没有交点；②若抛物线与x轴有两个交点，则其中一定有一个交点在点（0，0）与（1，0）之间；③若抛物线的顶点在点（0，0），（2，0），（0，2）围成的三角形区域内（包括边界），则a≥1．其中正确结论的序号是．41．在平面直角坐标系中，已知二次函数解析式为y＝x2﹣2x﹣3．（1）完成表格，根据数据在平面直角坐标系中画出二次函数的图象；x…﹣10123…y……（2）当x满足时，函数值大于0；（3）当﹣2＜x＜2时，y的取值范围是．42．如图，利用函数y＝x2﹣4x+3的图象，直接回答：（1）方程x2﹣4x+3＝0的解是．（2）当x满足时，y随x的增大而增大．（3）当x满足时，函数值大于0．（4）当0＜x＜5时，y的取值范围是．43．已知二次函数y＝x2﹣6x+5，请回答下列问题：（1）其图象与x轴的交点坐标为；（2）当x满足时，y＜0；（3）当﹣1≤x≤4时，函数y的取值范围是．44．在平面直角坐标系中，已知二次函数解析式为y＝x2﹣4x+3．（1）完成表格，根据数据在平面直角坐标系中画出二次函数的图象：x…01234…y……（2）当x满足时，函数值大于0；（3）当1＜x＜4时，y的取值范围是．八．二次函数与不等式（组）（共4小题）45．如图，二次函数y＝ax2+bx+c的图象过点A（3，0），对称轴为直线x＝1．给出以下结论：①abc＞0；②2a+b+c ≥ax2+bx+c；③若M（n2+1，y1），N（n2+2，y2）为函数图象上的两点，则y1＞y2；④若关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝p（p＞0）有整数根，则对于a的每一个值，对应的p值有2个．其中正确的有．（写出所有正确结论的序号）46．如图所示，二次函数y＝ax2+bx+c的图象与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C．对称轴为直线x＝1，直线y ＝﹣x+c与抛物线交于C，D两点，D点在x轴下方且横坐标小于3，现有下列结论：①2a+b+c＞0；②a﹣b+c ＜0；③x（ax+b）＜a+b；④a＜﹣1．其中正确的结论是（只填写序号）．47．如图，抛物线y＝﹣x2+bx+c图象经过（﹣1，0）和（3，0）．（1）求出抛物线的解析式；（2）直接写出x满足什么条件时，y随x的增大而减小；（3）直接写出不等式﹣x2+bx+c＞0的解集；（4）当0＜x＜3时，直接写出y的取值范围．48．二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，对称轴为直线x＝1，图象交x轴于A（3，0）、B（﹣1，0）两点，交y轴于点C（0，3），根据图象解答下列问题：（1）直接写出方程ax2+bx+c＝0的两个根；（2）直接写出不等式ax2+bx+c＞0的解集；（3）直接写出不等式ax2+bx+c＜3的解集．九．二次函数的应用（共12小题）49．从底面竖直向上抛出一小球，小球的高度h（单位：m）与小球运动时间t（单位：s）之间的关系式是：h＝30t ﹣5t2，这个函数图象如图所示，则小球从第3s到第5s的下降的高度为（）A．15m B．20m C．25m D．30m50．如图是抛物线形的拱桥，当水面宽4m时，顶点离水面2m，当水面宽度增加到6m时，水面下降（）A．1m B．1.5m C．2.5m D．2m51．一座拱桥的轮廓是抛物线型（如图所示），桥高为8米，拱高6米，跨度20米．相邻两支柱间的距离均为5米，则支柱MN的高度为米．52．如图，要修建一个圆形喷水池，在池中心竖直安装一根长度为3.2m水管AB，在水管的顶端A点处安一个喷水头，使喷出的抛物线形水柱在与池中心的水平距离BC＝3m处达到最高，水柱落地处离池中心距离BD＝8m，则抛物线形水柱的最高点到地面的距离EC是m．53．把一个物体从地面以10m/s速度竖直上抛，那么物体经过x（s）时，离地面高度为h（m），h与x的函数关系为h＝10x﹣4.9x2，则物体回到地面的时间为s．54．加工爆米花时，爆开且不糊的粒数的百分比称为“可食用率”．在特定条件下，可食用率y与加工时间x（单位：min）满足函数表达式y＝﹣0.2x2+1.5x﹣2，则最佳加工时间为min．55．如图，一名男生推铅球，铅球行进高度y（单位：m）与水平距离x（单位：m）之间的关系是y=−112x2+23x+53．则他将铅球推出的距离是m．56．某超市销售一种成本为30元/千克的食品，设第x天的销售量为n千克，销售价格为y元/千克，现已知以下条件：①y与x满足一次函数关系，且当x＝10时，y＝50；当x＝20时，y＝45；②n与x的关系式为n＝6x+60．（1）直接写出y与x的函数关系式；（2）设每天的销售利润为W元，在整个销售过程中，第几天的销售利润最大？最大利润是多少？（3）如果该超市把销售价格在当天的基础提高a元/千克（a为整数），那么在前30天（包含第30天）每天的销售利润随x的增大而增大，求a的最小值．57．某商场要求所有商家商品的利润率不得超过40%，一商家以每件16元的价格购进一批商品．该商品每件售价定为x元，每天可卖出（170﹣5x）件，每天销售该商品所获得的利润为y元．（1）求y与x的函数关系式；（2）若每天销售该商品要获得280元的利润，每件商品的售价应定为多少元？（3）请直接写出这个商家每天销售该商品可获得的最大利润为元．58．某医疗器械商店经营销售A，B两种型号的医疗器械，该店5月从厂家购进A，B型号器械各10台，共用去1100万元；6月购进5台A型、8台B型器械，共用去700万元．根据器械的特点和使用要求，A，B两种型号器械需搭配销售，且每月A的销售数量与B的销售数量须满足1：2的关系．据统计，该商店每月A型器械的销量n A（台）与售价x（万元）有如下关系：n A＝﹣x+100；B型器械的销量n B（台）与售价y（万元）有如下关系：n B＝﹣2y+150．（1）试求A，B两种器械每台的进货价格；（2）若该店今年7月销售A，B两种型号器械的利润恰好相同（利润不为0），试求本月A型器械的销售数量；（3）在A，B两种器械货源充足的情况下，试计算该店每月销售这两种器械能获得的最大利润．59．农经公司以30元/千克的价格收购一批农产品进行销售，为了得到日销售量p（千克）与销售价格x（元/千克）之间的关系，经过市场调查获得部分数据如表：3035404550销售价格x元（元/千克）6004503001500日销售量p（千克）（1）请直接写出p与x之间的函数关系式；（2）农经公司应该如何确定这批农产品的销售价格，才能使日销售利润最大？（3）若农经公司每销售1千克这种农产品需支出a元（a＞0）的相关费用，当40≤x≤45时，农经公司的日获利的最大值为2430元，求a的值．60．某公司经过市场调查，整理出某种商品在某个月的第x天的售价与销量的相关信息如下表：第x天售价（元/件）日销售量（件）1≤x≤30x+60300﹣10x已知该商品的进价为40元/件，设销售该商品的日销售利润为y元．（1）求y与x的函数关系式；（2）问销售该商品第几天时，日销售利润最大？最大日销售利润为多少元？（3）问在当月有多少天的日销售利润不低于5440元，请直接写出结果．。

2.3二次函数与一元二次方程、不等式同步练习

2.3二次函数与一元二次方程、不等式同步练习一、基础巩固1.(2020-四川省三台中学高一月考)不等式(Λ-3)(X+5)>O的解集是( )A. {Λf∣-5<x<3)∣B. {xlx<—5或兀>3}C. {ΛT∣-3<X<5)∣D. {xlx<—3或x>5}【答案】B【解析】与不等式对应的一元二次函数为：y = (x-3)(x+5),如图函数开口向上，与X轴的交点为：(—5,0), (3,0),可得不等式的解集为：{x∣ XV-5或X >3}.2.(2020-江苏省高一期末)不等式X1 2 >8的解集是()A. (-2√2,2√2)B. (-OO,-2√2)<J(2√2,-+<O)C. (-4√2,4√2)D. (-s,-4>^)u(4√∑,+s)【答案】B【解析】由”〉8得x2-8>0,即(x-2√2)(x + 2√2)>0,解得X< -2√2或％> 2√Σ，所以不等式的解集为(―s,_2血)u(2√∑, +∞)■3.(2020-吉林省实验高一期中)不等式X(4-Λ)<3的解集为()A. {xlXVI或x>3}B. {∙φvθ或x>4}C. {x∣l<x<3}D. {x∣0<x<4}【答案】A【解析】由题：等式X(4-J)<3化简为：X2-4X +3>0, (X-I)(X-3)>0,解得：兀< 1或χ>3.1 31 3 1 3A. {χ∣χv--或x> 二}B. {xlxS--或ΛY二}2 2 2 24.(2020-安徽省怀宁县第二中学高一期中)不等式(x + -)(--x)≥0的解集是()221 3C. {x I —≤ x ≤ —}【答案】C221 3所以不等式的解集为.{xl-≤x≤-}2 25. (2020.浙江省髙一期末)不等式3√÷2x-l<0的解集是(【答案】A【解析】由3√+2x-l≤0> 可得，(x + l)(3x-l)≤0,所以，一15x5*,故选：A6.(2020-盘锦市第二高级中学髙一期末)不等式9-X2< 0的解集为()A. {x∣x>3}B. {xprv-3}C. {x∣-3VXV3}D. {尤卜<一3或/>3}【答案】D【解析】将不等式9-x2<0变形为x2-9>0,解此不等式得Λ<-3或X>3∙因此,不等式9-X2<0的解集为{x∖x<-3或X>3}.7.(2020-浙江省高一期末)不等式X2-3X-∖0< 0的解集是()A. (—2,5)B. (-5,2)C. (YO5)U(2,+°o)D. (Y)2)U(5,+c<>)【答案】A【解析】解：因为F_3X —10V0,所以(x + 2)(x-5)<0,解得-2<x<5,所不等式的解集为{Λ-∣-2<X<5},故选：A8.(2020-邢台市第二中学高一开学考试)已知集合M ={x∣Y<xv2}, N = {x∖x2-x-6 <0},则MCN =A. {X H<XV3}B. {x∖-A<x<-2}C. {x∖-2<x<2}D. {x∣2<x<3}【答案】C【解析】由题意得，M={Λ∣M<X <2},∕√ = {X ∣-2<X <3},则 MCN = {x|—2vxv2}.故选 C.9. （2020-元氏县第四中学髙一月考）一元二次不等式2/+龙一62O 的解集为（）【答案】A【解析】原不等式可化为（2x-3）（x+2）≥0,解得，χ≤-2,或∏∙∣.10. （2020-浙江省诸暨中学髙一期中）关于X 的不等式（Or-I ）（X-I ）<0（Λ>1）的解集为（）A. I h — B ・-G O,— IU （h+cc ） C. I 丄,1 D ・（一8,1）U —.+CCj∖ a ）U 丿 W ）【答案】C【解析】方程（Or-I ）（X-I ）=O 的两根分别为丄,1,又a>∖,所以丄<1,故此不等式的解集为（丄,1 aa ∖ ClH. （2019∙天津市双菱中学高一月考）一元二次不等式ax 2+bx+2> O 的解集是卜∣ΛL 则d+b 的值【解析】X 2—(d + l)x + dv θu>(x-d)(x-l)v θ,因解集中恰好有两个正整数，可判断解集为 XW(I,d),是（）A. 10【答案】DB. -10C. 14D. -14【解析】解：根据题意，一元二次不等式ax 2+bx+2> O 的解集是-∣Λ则方程心+反+ 2 = 0的两根为冷和扌,则有<1<~2>「刃31 h+ —=——3G,解可得 a = —12 ♦ b = —2、1 2则α+b = -14,故选：D.12. （2020•安徽省六安中学髙一期末（理））关于X 的不等式X 2- 3+l ）x+d <0的解集中恰有两个正整数,则实数"的取值范国是（）A. [2, 4)【答案】CB. [3, 4]C. (3, 4]D. (3, 4)D.两正整数为2/5,故Λ∈(3,4]V2 - 2 r - ?13.(2020-吉林省实验髙一期末)不等式A、」-V 2的解集为()Jr + X +1A. {x∣x≠-2}B. RC. 0D. {xlXV-2或x>2}【答案】A【解析】由≤≡-2<2得：M二2 =TjTVOΛβ +X+1 χ∙+X+l ΛΓ+X + 1∙.∙χ2 +x + l >0恒成立.∖ -X1 -4x-4 VO又-X2-4Λ--4=-(X +2)2.∙.(X +2)2 >0 .∙.x≠-2不等式I7' 一： < 2的解集为{x∖x ≠ -2}14.(2020-宁夏回族自治区银川一中高一期末)不等式X2+(IX+ ↑≥0对于一切x∈[θ,∣J成立，则α的最小值为()A. YB. 一?C. 2D. -22 2【答案】B【解析】记/(x) = F+dX+l,不等式x2+iιx + ↑≥0对于一切"|°，£|成立，则必须有7(0) = l≥0〔1 1 1 1 n，解得α 2_才，a = _才时，f(x) = X2Λ +1 =(牙_；)2 _77，在Iak j∖ - =- + -a + ∖≥0 2 2 2 4 16 k 2」(2 丿4 2上单调递减，∕ωmin=∕d)=o^满足题意，∙∙.α的最小值是一？.2 215.(2020-浙江省髙一期末)不等式A-2-1<0的解集是()A. (T,l)B. (→×>,-l)C. (-oo,l)D. (v,-l)U(l,P)【答案】A【解析】解：因为A -2-I <0,所以(X-I)(Λ÷1)<0,解得-1<A-<1,即X∈(-l,l) 故选：A16. (2020-重庆高一期末)若关于X 的一元二次不等式ax 2+2x + ∖> 0的解集为R ，则实数。

新人教版九年级数学上册同步提升训练：22.1.4 二次函数y= ax2+bx+c的图象与性质(2)

优质文档新人教版九年级数学上册同步提升训练：22.1.4 二次函数y= ax2＋bx＋c的图象与性质(2)———提优清单———提优点1：用待定系数法求二次函数的解析式提优点2：二次函数图象与系数的关系提优点3：二次函数图象与性质综合运用———典型例题———【例1】（2012•广东佛山）（1）任选以下三个条件中的一个，求二次函数y=ax2＋bx＋c的解析式：①y随x变化的部分数值规律如下表：x －1 0 1 2 3y 0 3 4 3 0②有序数对（－1，0）、（1，4）、（3，0）满足y=ax2＋bx＋c；③已知函数y=ax2＋bx＋c的图象的一部分（如图）．（2）直接写出二次函数y=ax2＋bx＋c的三个性质．【方法总结】用待定系数法求二次函数的解析式，常见的由以下三种：（1）已知二次函数图象上三个点的坐标（三点式）：设y=ax2＋bx＋c，列出关于a、b、c的方程组，并求出a、b、c；（2）已知二次函数图象的顶点（h，k）（顶点式）：设y=a（x－h）2＋k，由已知条件求出a；（3）已知二次函数图象与x轴的两个交点（x1，0）和（x2，0，）（交点式）：设y=a（x－x1）（x－x2），由已知条件求出a．【例2】（2014•广东深圳）二次函数y=ax2＋bx＋c图象如图，下列正确的个数为（）①bc＞0；②2a－3c＜0；③2a＋b＞0；④ax2＋bx＋c=0有两个解x1，x2，x1＞0，x2＜0；⑤a＋b＋c＞0；⑥当x ＞1时，y随x增大而减小．A．2 B．3 C．4 D．5【方法总结】字母的符号图象的特征aa＞0 开口向上a＜0 开口向下bb =0 对称轴为y轴a、b同号（a b＞0）对称轴在y轴左侧a、b异号（a b＜0）对称轴在y轴右侧cc =0 经过原点c＞0 与y轴正半轴相交c＜0 与y轴负半轴相交b2－4acb2－4ac =0 与x轴有唯一交点（原点）b2－4ac＞0 与x轴有两个交点b2－4ac＜0 与x轴有没有交点另外还需注意，当x=1时，y=a＋b＋c，即点（1，a＋b ＋c）在抛物线上；当x=－1时，y=a－b＋c，即点（－1，a －b＋c）在抛物线上．变式：（2014•四川资阳）二次函数y=ax2＋bx＋c（a≠0）的图象如图，给出下列四个结论：①4ac－b2＜0；②4a＋c＜2b；③3b＋2c＜0；④m（am＋b）＋b＜a（m≠－1）．其中正确结论的个数是（）A．4个B．3个C．2个D．1个【例3】（2014•重庆A卷）如图，抛物线y=－x2－2x＋3 的图象与x轴交于A、B两点（点A在点B的左边），与y轴交于点C，点D为抛物线的顶点．（1）求A、B、C的坐标；（2）点M为线段AB上一点（点M不与点A、B重合），过点M作x轴的垂线，与直线AC交于点E，与抛物线交于点P，过点P作PQ∥AB交抛物线于点Q，过点Q作QN⊥x轴于点N．若点P在点Q左边，当矩形PQMN的周长最大时，求△AEM的面积；（3）在（2）的条件下，当矩形PMNQ的周长最大时，连接DQ．过抛物线上一点F作y轴的平行线，与直线AC交于点G（点G在点F的上方）．若FG=22DQ，求点F的坐标．【方法总结】本题考查了二次函数与坐标轴的交点的求法，矩形的性质，一元二次方程的解法，二次函数最值的求法，综合性较强．运用数形结合、方程思想是解题的关键．———分层提优———复习巩固提优1．（☆☆2014•湖南长沙模拟）若y=ax2＋bx＋c，则由表格中信息可知y与x之间的函数关系式是（）x －1 0 1ax2 1 ax2＋bx＋c8 3A．y=x2－4x＋3 B．y=x2－3x＋4C．y=x2－3x＋3 D．y=x2－4x＋82．（☆☆）抛物线y=ax2＋bx＋c与x轴的两个交点为（－1，0），（3，0），其形状与抛物线y=－2x2相同，则y=ax2＋bx＋c的函数关系式为（）A．y=－2x2－x＋3 B．y=－2x2＋4x＋5C．y=－2x2＋4x＋8 D．y=－2x2＋4x＋6 3．（☆☆☆2014•山东日照）如图，是抛物线y=ax2＋bx＋c（a≠0）图象的一部分．已知抛物线的对称轴为x=2，与x轴的一个交点是（－1，0）．有下列结论：①abc＞0；②4a－2b＋c＜0；③4a＋b=0；④抛物线与x轴的另一个交点是（5，0）；⑤点（－3，y1），（6，y2）都在抛物线上，则有y1＜y2．其中正确的是（）A．①②③B．②④⑤C．①③④D．③④⑤（第3题图）（第6题图）4．（☆☆2014•黑龙江牡丹江）抛物线y=ax2＋bx＋c经过点A（－3，0），对称轴是直线x=－1，则a＋b＋c= ．5．（☆☆☆2015•甘肃兰州模拟）请选择一组你喜欢的a、b、c的值，使二次函数y=ax2＋bx＋c（a≠0）的图象同时满足下列条件：①开口向下；②当x＜2时，y随x的增大而增大；当x＞2时，y随x的增大而减小．这样的二次函数的解析式可以是．6．（☆☆☆2015•浙江嘉兴模拟）如图，已知二次函数y=x2＋bx＋c的图象经过点（－1，0），（1，－2），当y随x的增大而增大时，x的取值范围是．7．（☆☆☆☆2012•江苏扬州）已知抛物线y=ax2＋bx＋c经过A（－1，0）、B（3，0）、C（0，3）三点，直线l是抛物线的对称轴．（1）求抛物线的函数关系式；（2）设点P是直线l上的一个动点，当△PAC的周长最小时，求点P的坐标；（3）在直线l上是否存在点M，使△MAC为等腰三角形？若存在，直接写出所有符合条件的点M的坐标；若不存在，请说明理由．综合运用提优8．（☆☆ 2011•广西桂林）在平面直角坐标系中，将抛物线y =x 2＋2x ＋3绕着它与y 轴的交点旋转180°，所得抛物线的解析式是（）A ．y =－（x ＋1）2＋2B ．y =－（x －1）2＋4C ．y =－（x －1）2＋2 D ．y =－（x ＋1）2＋4 9．（☆☆2014•全国初中数学竞赛预赛）已知二次函数y =ax 2＋bx ＋c 的图象如图所示，则下列7个代数式ab ，ac ，bc ，b 2－4ac ，a ＋b ＋c ，a －b ＋c ，2a ＋b 中，其值为正的式子的个数为（）A ．2个B ．3个C ．4个D ．4个以上（第9题图）（第12题图）10．（☆☆☆2012•四川乐山）二次函数y =ax 2＋bx ＋1（a ≠0）的图象的顶点在第一象限，且过点（－1，0）．设t =a ＋b ＋1，则t 值的变化范围是（）A ．0＜t ＜1B ．0＜t ＜2C ．1＜t ＜2D ．－1＜t ＜111．（☆☆☆）如果抛物线y =x 2－6x ＋c －2的顶点到x 轴的距离是3，那么c 的值等于（）A ．8B ．14C ．8或14D ．－8或－14 12．（☆☆☆☆2014•江苏扬州）如图，抛物线y =ax 2＋bx ＋c （a ＞0）的对称轴是过点（1，0）且平行于y 轴的直线，若点P （4，0）在该抛物线上，则4a －2b ＋c 的值_____________．13．（☆☆☆☆2015•浙江舟山模拟）如图，直线y =x ＋2与x 轴交于点A ，与y 轴交于点B ，AB ⊥BC ，且点C 在x 轴上，若抛物线y =ax 2＋bx ＋c 以C 为顶点，且经过点B ，则这条抛物线的关系式为．（第13题图）（第15题图）14．（☆☆☆☆2014•浙江杭州）设抛物线y =ax 2＋bx ＋c 过A（0，2），B （4，3），C 三点，其中点C 在直线x =2上，且点C 到抛物线对称轴的距离等于1，则抛物线的函数解析式为．15．（☆☆☆☆2014•贵州安顺）如图，二次函数y =ax 2＋bx ＋c （a ＞0）图象的顶点为D ，其图象与x 轴的交点A 、B 的横坐标分别为－1，3．与y 轴负半轴交于点C ，在下面五个结论中：①2a －b =0；②a ＋b ＋c ＞0；③c =－3a ；④只有当a =12时，△ABD 是等腰直角三角形；⑤使△ACB 为等腰三角形的a 值可以有四个．其中正确的结论是．（只填序号）16．（☆☆☆☆2012•辽宁营口）在平面直角坐标系中，已知抛物线y =ax 2＋bx ＋c 经过点A （－3，0）、B （0，3）、C （1，0）三点．（1）求抛物线的解析式和顶点D 的坐标；（2）如图1，将抛物线的对称轴绕抛物线的顶点D 顺时针旋转60°，与直线y =－x 交于点N ．在直线DN 上是否存在点M ，使∠MON =75°．若存在，求出点M 的坐标；若不存在，请说明理由；（3）点P 、Q 分别是抛物线y =ax 2＋bx ＋c 和直线y =－x 上的点，当四边形OBPQ 是直角梯形时，求出点Q 的坐标．拓广探究提优17．（☆☆☆☆☆2011•四川自贡）已知抛物线y =ax 2＋2x＋3（a ≠0）有如下两个特点：①无论实数a 怎样变化，其顶点都在某一条直线l 上；②若把顶点的横坐标减少1a ，纵坐标增大1a 分别作为点A 的横、纵坐标；把顶点的横坐标增加1a ，纵坐标增加1a分别作为点B 的横、纵坐标，则A ，B 两点也在抛物线y =ax 2＋2x ＋3（a ≠0）上．（1）求出当实数a 变化时，抛物线y =ax 2＋2x ＋3（a ≠0）的顶点所在直线l 的解析式；（2）请找出在直线l 上但不是该抛物线顶点的所有点，并说明理由；（3）你能根据特点②的启示，对一般二次函数y =ax 2＋bx ＋c （a ≠0）提出一个猜想吗？请用数学语言把你的猜想表达出来，并给予证明．———参考答案———例1．【解析】（1）若选择①：根据表格可知，将点（－1，0）、（0，3），（1，4）代入，得0,3,4,a b c c a b c -+=⎧⎪=⎨⎪++=⎩解得1,2,3.a b c =-⎧⎪=⎨⎪=⎩∴抛物线解析式为y =－x 2＋2x ＋3；若选择②，点（－1，0），（3，0）在轴上，设抛物线解析式为y =a （x ＋1）（x －3），将点（1，4）代入，得－4a =4，解得a =－1，∴抛物线解析式为y =（x ＋1）（x －3），即y =－x 2＋2x ＋3；若选择③，由图象得到抛物线顶点坐标为（1，4），且过（0，3），设抛物线解析式为y =a （x －1）2＋4，将（0，3）代入，得a =－1，∴抛物线解析式为y =－（x －1）2＋4，即y =－x 2＋2x ＋3；（2）抛物线y =－x 2＋2x ＋3的性质：①对称轴为直线x =1，②当x =1时，函数有最大值为4，③当x ＜1时，y 随x 的增大而增大．例2．【答案】B【解析】①∵抛物线开口向上，∴a ＞0，∵对称轴在y 轴右侧，∴a ，b 异号即b ＜0，∵抛物线与y 轴的交点在负半轴， ∴c ＜0，∴bc ＞0，故①正确；②∵a ＞0，c ＜0，∴2a －3c ＞0，故②错误； ③∵对称轴x =－2ba＜1，a ＞0，∴－b ＜2a ，∴2a ＋b ＞0，故③正确； ④由图形可知二次函数y =ax 2＋bx ＋c 与x 轴的两个交点分别在原点的左右两侧，即方程ax 2＋bx ＋c =0有两个解x 1，x 2，当x 1＞x 2时，x 1＞0，x 2＜0，故④正确；⑤由图形可知x =1时，y =a ＋b ＋c ＜0，故⑤错误；⑥∵a ＞0，对称轴x =1，∴当x ＞1时，y 随x 增大而增大，故⑥错误．综上所述，正确的结论是①③④，共3个．变式：【答案】B【解析】∵抛物线和x 轴有两个交点，∴b 2－4ac ＞0，∴4ac －b 2＜0，∴①正确；∵对称轴是直线x =－1，和x 轴的一个交点在点（0，0）和点（1，0）之间，∴抛物线和x 轴的另一个交点在（－3，0）和（－2，0）之间，∴把（－2，0）代入抛物线得y =4a －2b ＋c ＞0，∴4a ＋c ＞2b ，∴②错误；∵把（1，0）代入抛物线得：y =a ＋b ＋c ＜0，∴2a ＋2b ＋2c ＜0，∵b=2a ，∴3b ＋2c ＜0，∴③正确；∵抛物线的对称轴是直线x =－1，∴y =a －b ＋c 的值最大，即把（m ，0）（m ≠－1）代入得：y =am 2＋bm ＋c ＜a －b ＋c ，∴am 2＋bm ＋b ＜a ，即m （am ＋b ）＋b ＜a ，∴④正确．综上所述，正确的有3个．例3．【解析】（1）由抛物线y =－x 2－2x ＋3可知，C （0，3），令y =0，则0=－x 2－2x ＋3，解得x =－3或x =1， ∴A （－3，0），B （1，0）．（2）由抛物线y=－x 2－2x ＋3可知，对称轴为x =－1，设M 点的横坐标为m ，则PM =－m 2－2m ＋3，MN =（－m －1）×2=－2m －2，∴矩形PMNQ 的周长=2（PM ＋MN ）=（－m 2－2m ＋3－2m －2）×2=－2m 2－8m ＋2=－2（m ＋2）2＋10， ∴当m =－2时矩形的周长最大．∵A （－3，0），C （0，3），设直线AC 解析式为y =kx ＋b ，解得k =1，b =3， ∴直线AC 的解析式为y =x ＋3，当x =－2时，则E （－2，1）， ∴EM =1，AM =1， ∴S =12•AM •EM =12．（3）∵M 点的横坐标为－2，抛物线的对称轴为x =－1， ∴N 应与原点重合，Q 点与C 点重合，∴DQ =DC ，把x =－1代入y =－x 2－2x ＋3，解得y =4． ∴D （－1，4），∴DQ =DC 2．∵FC 2，∴FG =4．设F （n ，－n 2－2n ＋3），则G （n ，n ＋3）， ∵点G 在点F 的上方，∴（n ＋3）－（－n 2－2n ＋3）=4，解得n =－4或n =1． ∴F （－4，－5）或（1，0）． 1．【答案】A【解析】将x =1代入y =ax 2得a =1．将（－1，8），（0，3）分别代入y =x 2＋bx ＋c 中，得⎩⎨⎧==+-,3,81c c b 解得⎩⎨⎧=-=.3,4c b ∴函数解析式是y =x 2－4x ＋3． 2．【答案】D【解析】根据题意a =－2，所以设y =－2（x －x 1）（x －x 2），求出解析式y =－2（x ＋1）（x －3），即是y =－2x 2＋4x ＋6． 3．【答案】C【解析】①∵二次函数的图象开口向上，∴a ＞0，∵二次函数的图象交y 轴的负半轴于一点，∴c ＜0，∵对称轴是直线x =2，∴－2ba=2，∴b =－4a ＜0，∴abc ＞0．故①正确； ②把x =－2代入y =ax 2＋bx ＋c 得y =4a －2b ＋c ，由图象可知，当x =－2时，y ＞0，即4a －2b ＋c ＞0．故②错误； ③∵b =－4a ，∴4a ＋b =0．故③正确；④∵抛物线的对称轴为x =2，与x 轴的一个交点是（－1，0），∴抛物线与x 轴的另一个交点是（5，0）．故④正确； ⑤∵（－3，y 1）关于直线x =2的对称点的坐标是（7，y 1），又∵当x ＞2时，y 随x 的增大而增大，7＞6，∴y 1＞y 2．故⑤错误；综上所述，正确的结论是①③④． 4．【答案】0【解析】抛物线y =ax 2＋bx ＋c 与x 轴的另一交点为（1，0），∴a ＋b ＋c =0． 5．【答案】y =－x 2＋4x （答案不唯一）【解析】由①知a ＜0，由②知抛物线的对称轴为x =2，可设抛物线的解析式为y =a （x －2）2＋h （a ＜0）．当a =－1，h =4时，抛物线的解析式为y =－（x －2）2＋4=－x 2＋4x ．（答案不唯一） 6．【答案】x ＞21【解析】把（－1，0），（1，－2）代入二次函数y =x 2＋bx ＋c 中，得⎩⎨⎧-=++=+-,21,01c b c b 解得⎩⎨⎧-=-=,2,1c b 那么二次函数的解析式是y =x 2－x －2．函数的对称轴是x =21，因而当y 随x 的增大而增大时，x 的取值范围是x ＞21． 7．【解析】（1）将A （－1，0）、B （3，0）、C （0，3）代入抛物线y =ax 2＋bx ＋c 中，得⎪⎩⎪⎨⎧==++=+-,3,039,0c c b a c b a 解得⎪⎩⎪⎨⎧==-=,3,2,1c b a ∴抛物线的解析式为y =－x 2＋2x ＋3．（2）连接BC ，直线BC 与直线l 的交点为P ． ∵点A 、B 关于直线l 对称，∴PA =PB ， ∴BC =PC ＋PB =PC ＋PA ．设直线BC 的解析式为y =kx ＋n （k ≠0），将B （3，0），C （0，3）代入上式，得⎩⎨⎧==+,3,03n n k 解得⎩⎨⎧=-=,3,1n k ∴直线BC 的函数关系式为y =－x ＋3．当x =1时，y =2，即P 的坐标（1，2）．（3）抛物线的对称轴为x =－ab2=1，设M （1，m ），已知A （－1，0）、C （0，3），则MA 2=m 2＋4，MC 2=（3－m ）2＋1=m 2－6m ＋10，AC 2=10． ①若MA =MC ，则MA 2=MC 2，得m 2＋4=m 2－6m ＋10，解得m =1； ②若MA =AC ，则MA 2=AC 2，得m 2＋4=10，解得m =±6；③若MC =AC ，则MC 2=AC 2，得m 2－6m ＋10=10，解得m 1=0，m 2=6；当m =6时，M 、A 、C 三点共线，构不成三角形，不合题意，故舍去．综上可知，符合条件的M 点，且坐标为 M （1，6），（1，－6），（1，1），（1，0）．8．【答案】B【解析】由原抛物线解析式可变为y =（x ＋1）2＋2，∴顶点坐标为（－1，2），与y 轴交点的坐标为（0，3），又由抛物线绕着它与y 轴的交点旋转180°，∴新的抛物线的顶点坐标与原抛物线的顶点坐标关于点（0，3）对称，∴新的抛物线的顶点坐标为（1，4），∴新的抛物线解析式为y =－（x －1）2＋4． 9．【答案】C【解析】由图象可得：，，，∴，，．抛物线与轴有两个交点，∴．当=1时，，即．当=时，，即．从图象可得，抛物线对称轴在直线=1的左边，即，∴．因此7个代数式中，其值为正的式子的个数为4个．10．【答案】B【解析】∵二次函数y =ax 2＋bx ＋1的顶点在第一象限，且经过点（－1，0），∴易得a －b ＋1=0，a ＜0，b ＞0，由a =b －1＜0得到b ＜1，结合b ＞0，所以0＜b ＜1①，由b =a ＋1＞0得到a ＞－1，结合a ＜0，所以－1＜a ＜0②，∴由①②得：－1＜a ＋b ＜1，且c =1，得到0＜a ＋b ＋1＜2，∴0＜t ＜2．11．【答案】C【解析】根据题意，知顶点的纵坐标是3或－3，列出方程4)6()2(42---c =±3，解得c =8或14．12．【答案】0【解析】∵抛物线的对称轴是过点（1，0），与x 轴的一个交点是P （4，0），∴与x 轴的另一个交点为（－2，0），把（－2，0）代入得0=4a －2b ＋c ，∴4a －2b ＋c =0． 13．【答案】y =21x 2－2x ＋2 【解析】当x =0时，y =2，所以B 点的坐标是（0，2）．当y =0时，x =－2，所以A 点的坐标是（－2，0）．∴OA =OB ，∴∠OAB =45°，∵∠ABC =90°，∴∠OAB =∠OCB =45°，∴OC =OB =OA =2，∴C 点的坐标是（2，0）．设抛物线的表达式为y =a （x －2）2，抛物线过B （0，2），所以4a =2，a =21，因此抛物线的解析式为y =21（x －2）2=21x 2－2x ＋2． 14．【答案】211284y x x =-+或213284y x x =-++【解析】∵点C 在直线x =2上，且到抛物线的对称轴的距离等于1，∴抛物线的对称轴为直线x =1或x =3．当对称轴为直线x =1时，设抛物线解析式为y =a （x －1）2＋k ，则2,93,a k a k +=⎧⎨+=⎩解得1,815.8a k ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩所以，y =18（x －1）2＋158=211284x x -+；当对称轴为直线x =3时，设抛物线解析式为y =a （x －3）2＋k ，则92,3,a k a k +=⎧⎨+=⎩解得1,825.8a k ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩所以，y =－18（x －3）2＋258=－213284x x ++．综上所述，抛物线的函数解析式为211284y x x =-+或213284y x x =-++．15．【答案】③④【解析】①∵图象与x 轴的交点A ，B 的横坐标分别为－1，3，∴AB =4，∴对称轴x =－2ba=1，即2a ＋b =0．故①错误； ②根据图示知，当x =1时，y ＜0，即a ＋b ＋c ＜0．故②错误；③∵A 点坐标为（－1，0），∴a －b ＋c =0，而b =－2a ，∴a ＋2a ＋c =0，即c =－3a ．故③正确； ④当a =12，则b =－1，c =－32，对称轴x =1与x 轴的交点为E ，如图，∴抛物线的解析式为y =12x 2－x －32，把x =1代入得y =12－1－32=－2，∴D 点坐标为（1，－2），∴AE =2，BE =2，DE =2，∴△ADE 和△BDE 都为等腰直角三角形，∴△ADB 为等腰直角三角形．故④正确；⑤要使△ACB 为等腰三角形，则必须保证AB =BC =4或AB =AC =4或AC =BC ．当AB =BC =4时，∵AO =1，△BOC 为直角三角形，又∵OC 的长即为|c |，∴c 2=16－9=7，∵由抛物线与y 轴的交点在y 轴的负半轴上，∴c =－7，与2a ＋b =0、a－b ＋c =0联立组成解方程组，解得a =73；当AB =AC =4时同理．∵AO =1，△AOC 为直角三角形，又∵OC 的长即为|c |，∴c 2=16－1=15，∵由抛物线与y 轴的交点在y 轴的负半轴上，∴c =－15与2a ＋b =0、a －b ＋c =0联立组成解方程组，解得a =153；当AC =BC 时同理．在△AOC 中，AC 2=1＋c 2，在△BOC 中BC 2=c 2＋9，∵AC =BC ，∴1＋c 2=c 2＋9，此方程无解．经解方程组可知只有两个a 值满足条件．故⑤错误．综上所述，正确的结论是③④．16．【解析】（1）解：由题意把A （－3，0）、B （0，3）、C （1，0）代入y =ax 2＋bx ＋c 列方程组得⎪⎩⎪⎨⎧=++==+-,0,3,039c b a c c b a 解得 ⎪⎩⎪⎨⎧=-=-=,3,2,1c b a ∴抛物线的解析式是y =－x 2－2x ＋3． ∵y =－x 2－2x ＋3=－（x ＋1）2＋4， ∴抛物线的顶点D 的坐标为（－1，4）．（2）存在．理由：由旋转得∠EDF =60°，在Rt △DEF 中，∵∠EDF =60°，DE =4，∴EF =43．∴OF =OE ＋EF =1＋43．∴F 点的坐标为（－1－43，0）．设过点D 、F 的直线解析式是y =kx ＋b ，把D （－1，4），F （－1－43，0）代入求得 y =33x ＋433．分两种情况：①当点M 在射线ND 上时， ∵∠MON =75°，∠BON =45°，∴∠MOB =∠MON －∠BON =30°，∴∠MOC =60°． ∴直线OM 的解析式为y =3x ．∴点M 的坐标为方程组⎪⎩⎪⎨⎧=++=x y x y 3,33433的解，解方程组得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=+=.236,2132y x ∴点M 的坐标为（23＋21，623）．②当点M 在射线NF 上时，不存在点M 使得∠MON =75°理由：∵∠MON =75°，∠FON =45°，∴∠FOM =∠MON －∠FON =30°． ∵∠DFE =30°，∴∠FOM =∠DFE ． ∴OM ∥FN ．∴不存在．综上所述，存在点M ，且点M 的坐标为（23＋21，623）．（3）有两种情况：①直角梯形OBPQ 中，PQ ∥OB ，∠OBP =90°．如图2，∵∠OBP =∠AOB =90°，∴PB ∥OA ．所以点P 、B 的纵坐标相同都是3．因为点P 在抛物线y =－x 2－2x ＋3上，把y =3代入抛物线的解析式中得x 1=0（舍去），x 2=－2．由PQ ∥OB 得到点P 、Q 的横坐标相同，都等于－2．把x =－2代入y =－x 得y =2．所以Q 点的坐标为（－2，2）．②在直角梯形OBPQ 中，PB ∥OQ ，∠BPQ =90°．如图3，∵D （－1，4），B （0，3），∴DB ∥OQ ．∵PB ∥OQ ，点P 在抛物线上，∴点P 、D 重合．∴∠EDF =∠EFD =45°．∴EF =ED =4． ∴OF =OE ＋EF =5．作QH ⊥x 轴于H ，∵∠QOF =∠QFO =45°， ∴OQ =FQ ．∴OH =21OF =25． ∴Q 点的横坐标－25． ∵Q 点在y =－x 上，∴把x =－25代入y =－x 得y =25． ∴Q 点的坐标为（－25，25）．综上，符合条件的点Q 有两个，坐标分别为（－2，2），（－25，25）． 17．【解析】（1）取a =1，得抛物线y =x 2＋2x ＋3，其顶点为P 1（－1，2）．取a =－1，得抛物线y =－x 2＋2x ＋3，其顶点为P 2（1，4）．由题意有P 1、P 2在直线l 上，设直线l 的解析式为y =kx ＋b ，则⎩⎨⎧=+=+-,4,2b k b k 解得⎩⎨⎧==,3,1b k∴直线l 的解析式为y =x ＋3．（2）∵抛物线y =ax 2＋2x ＋3的顶点P 坐标为(－a 1，3－a1)．显然P (－a 1，3－a1)在直线y =x ＋3上．又－a1能取到除0以外的所有实数，∴在y =x ＋3上仅有一点（0，3）不是该抛物线的顶点．（3）猜想：对于抛物线y =ax 2＋bx ＋c （a ≠0），将其顶点的横坐标减少a 1，纵坐标增加a1分别作为点A 的横、纵坐标；把顶点的横坐标增加a 1，纵坐标增加a1分别作为点B 的横、纵坐标，则A ，B 两点也在抛物线y =ax 2＋bx ＋c （a ≠0）上．证明如下： ∵抛物线y =ax 2＋bx ＋c （a ≠0）的顶点坐标为（－a b 2，a b ac 442-），∴点A 的坐标为(－a b 22+，a b ac 4442+-)，点B 的坐标为(a b 22+-，a b ac 4442+-)． ∵x =a b 22+时，y =ax 2＋bx ＋c =a (a b 22+-)2＋b (ab 22+-)＋c =a b ac 4442+-， ∴点A (－a b 22+，a b ac 4442+-)在抛物线y =ax 2＋bx ＋c （a ≠0）上，同理有B (ab 22+-，a b ac 4442+-)也在抛物线上，故结论成立．。

4初中数学中考[函数]二次函数的应用与方程和不等式(有答案)

⎧⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎩二次函数与一次函数及反比例函数的综合二次函数的几何变换二次函数应用二次函数与方程二次函数与不等式二次函数的实际应用一．直线与抛物线的交点（1）y 轴与抛物线2y ax bx c =++的交点为()0c ，. （2）与y 轴平行的直线x h =与抛物线2y ax bx c =++有且只有一个交点()2h ah bh c ++，. （3）抛物线与x 轴的交点:二次函数2y ax bx c =++的图像与x 轴的两个交点的横坐标1x 、2x ，是对应一元二次方程20ax bx c ++=的两个实数根.抛物线与x 轴的交点情况可以由对应的一元二次方程的根的判别式判定：①有两个交点⇔0∆>⇔抛物线与x 轴相交；②有一个交点（顶点在x 轴上）⇔0∆=⇔抛物线与x 轴相切； ③没有交点⇔0∆<⇔抛物线与x 轴相离.（4）直线与抛物线的交点，可以联立方程来求交点，交点的个数可以通过判断联立方程的△的正负性，可能有0个交点、1个交点、2个交点.（5）抛物线与x 轴两交点之间的距离．若抛物线2y ax bx c =++与x 轴两交点为()()1200A x B x ，，，，12AB x x =- 【方法技巧】第四节二次函数的图象、性质与解析【知识梳理】二、二次函数常用的解题方法（1）求二次函数的图象与x 轴的交点坐标，需转化为一元二次方程；（2）求二次函数的最大（小）值需要利用配方法将二次函数由一般式转化为顶点式；（3）根据图象的位置判断二次函数2y ax bx c =++中a ，b ，c 的符号，或由二次函数中a ，b ，c 的符号判断图象的位置，要数形结合；（4）二次函数的图象关于对称轴对称，可利用这一性质，求和已知一点对称的点坐标，或已知与x 轴的一个交点坐标，可由对称性求出另一个交点坐标.三、二次函数图象的平移变换平移规律：在原有函数的基础上“左加右减”，（1）若为一般式2y ax bx c =++，往左（右）平移m 个单位，往上（下）平移n 个单位，则解析式为()()2y a x m b x m c n =±+±+±（2）若为顶点式()2y a x h k =-+，往左（右）平移m 个单位，往上（下）平移n 个单位，则解析式为()2y a x h m k n =-±+±（3）若为双根式()()12y a x x x x =--，往左（右）平移m 个单位，往上（下）平移n 个单位，则解析式为()()12y a x x m x x m n =-±-±±四、二次函数图象的几何变换二次函数图象的对称一般有五种情况，可以用一般式或顶点式表达 1. 关于x 轴对称2y ax bx c =++关于x 轴对称后，得到的解析式是2y ax bx c =---；()2y a x h k =-+关于x 轴对称后，得到的解析式是()2y a x h k =---；2. 关于y 轴对称2y ax bx c =++关于y 轴对称后，得到的解析式是2y ax bx c =-+；()2y a x h k =-+关于y 轴对称后，得到的解析式是()2y a x h k =++；3. 关于原点对称2y ax bx c =++关于原点对称后，得到的解析式是2y ax bx c =-+-； ()2y a x h k =-+关于原点对称后，得到的解析式是()2y a x h k =-+-；4. 关于顶点对称2y ax bx c =++关于顶点对称后，得到的解析式是222b y ax bx c a=--+-；()2y a x h k =-+关于顶点对称后，得到的解析式是()2y a x h k =--+．5. 关于点()m n ，对称 ()2y a x h k =-+关于点()m n ，对称后，得到的解析式是()222y a x h m n k =-+-+- 根据对称的性质，显然无论作何种对称变换，抛物线的形状一定不会发生变化，因此a 永远不变．求抛物线的对称抛物线的表达式时，可以依据题意或方便运算的原则，选择合适的形式，习惯上是先确定原抛物线（或表达式已知的抛物线）的顶点坐标及开口方向，再确定其对称抛物线的顶点坐标及开口方向，然后再写出其对称抛物线的表达式．五、二次函数与实际应用 1、二次函数求最值的应用依据实际问题中的数量关系，确定二次函数的解析式，结合方程、一次函数等知识解决实际问题．【注意】对二次函数的最大（小）值的确定，一定要注意二次函数自变量的取值范围，同时兼顾实际问题中对自变量的特殊要求，结合图像进行理解． 2、利用图像信息解决问题两种常见题型：（1）观察点的特点，验证满足二次函数的解析式及其图像，利用二次函数的性质求解；（2）由图文提供的信息，建立二次函数模型解题．【注意】获取图像信息，如抛物线的顶点坐标，与坐标轴的交点坐标等． 3、建立二次函数模型解决问题利用二次函数解决抛物线的隧道、大桥和拱门等实际问题时，要恰当地把这些实际问题中的数据落实到平面直角坐标系中的抛物线上，从而确定抛物线所对应的函数解析式，通过解析式解决一些测量问题或其他问题．【注意】构建二次函数模型时，建立适当的平面直角坐标系是关键。

新人教版九年级数学上册二次函数与一元二次方程不等式的关系同步测试

二次函数与一元二次方程( 不等式 ) 的关系( 教材 P47 习题 22.2 第 5 题)画出函数 y＝ x2－2x－3的图象，利用图象回答：(1)方程 x2－2x－3＝0的解是什么；(2)x 取什么值时，函数值大于0；(3)x 取什么值时，函数值小于0.解：函数图象如下图：(1) 方程可化简为 ( x－ 3)( x＋ 1) ＝ 0，解得x1＝－ 1x2＝3(2)由图象张口向上，且方程的两个根为－1 和 3，可知，当x<－ 1 或x>3 时函数值大于 0.(3)由图象张口向上，且方程的两个根为－1 和 3，可知，当－ 1<x<3 时函数值小于 0.已知二次函数y＝ ax2＋ bx＋ c 的图象如图 1 所示，对称轴为直线x＝1，则以下结论正确的选项是( B )图1A．ac>0B．方程ax2＋bx＋c＝ 0 的两根是x1＝－1， x2＝3C． 2a－b＝ 0D．当x>0 时，y随x的增大而减小若二次函数2的图象与x 轴有两个交点，坐标分别为( x， 0)， ( x， 0) ，且y＝ ax ＋ bx＋ c( a≠ 0)12x1<x2，图象上有一点M( x0， y0)在 x 轴下方，则以下判断正确的选项是( D )A．a>0B．b2－4ac≥ 0C．x<x<x2D ．a( x－x )( x－x )<0100102[201 2·兰州 ] 二次函数y ＝2＋＋ (a≠ 0) 的图象如图 2 所示，若 |ax2＋bx＋| ＝ (k≠ 0) ax bx c c k有两个不相等的实数根，则k 的取值范围是(D)图2A．k＜－ 3 B ．k＞－ 3C．k＜3 D ．k＞ 3【分析】先依据题意画出 y＝| ax2＋bx＋ c|的图象，即可得出| ax2＋bx＋c| ＝k( k≠ 0) 有两个不相等的实数根时 k 的取值范围．依据题意得y＝| ax2＋ bx＋c|的图象如下图，因此若 |ax2＋ bx＋c|＝ k( k≠0)有两个不相等的实数根，则k＞3.若抛物线y＝ x2＋bx＋ c 与x 轴只有一个交点，且过点A( m， n)， B( m＋6，n)，则n＝__9__．【分析】∵抛物线y＝ x2＋ bx＋ c 与 x 轴只有一个交点，∴当bx＝－2时， y＝0.且2b－4c＝0，即2b＝4c.又∵点 A( m， n)， B( m＋6， n)的纵坐标同样，b b b∴点 A、 B 对于直线 x＝－2对称，∴ A(－2－3， n)，B(－2＋ 3，n)b2b b2将 A 点坐标代入抛物线分析式，得：n＝(－2－3)＋ b(－2－ 3) ＋c＝－4＋c＋ 9∵ b2＝4c，1∴ n ＝－ 4× 4c ＋c ＋ 9＝ 9.在一次数学活动课上，老师出了一道题：(1) 解方程 x 2－ 2x － 3＝ 0.巡视后，老师发现同学们解本题的方法有公式法、配方法和十字相乘法( 分解因式法 ) ．接着，老师请大家用自己熟习的方法解第二题：2(2) 解对于 x 的方程 mx ＋ ( m － 3) x －3＝ 0( m 为常数，且 m ≠ 0) ．老师继续巡视，实时察看、点拨大家．再接着，老师将第二道题变式为第三道题：2x 轴、(3) 已知对于 x 的函数 y ＝ mx ＋ ( m －3) x － 3( m 为常数 ) ．求证：不论 m 为什么值，此函数的图象恒过 y 轴上的两个定点．请你也用自己熟习的方法解上述三道题．解： (1) 由 x 2－ 2x － 3＝ 0，得 ( x ＋ 1)( x － 3) ＝0，∴ x 1＝－ 1， x 2＝ 3.(2) 由2＋ ( －3) － 3＝ 0 得 (＋ 1)(－ 3) ＝ 0. ∵ ≠0，∴1＝－ 1，3mxx x x2＝ .mmxmxm(3) ①当 m ＝ 0 时，函数 y ＝ mx 2 ＋ ( m － 3) x － 3＝－ 3x － 3，令 y ＝0，得 x ＝－ 1，令 x ＝ 0，得 y ＝－ 3，∴直线 y ＝－ 3x － 3 过点 ( － 1， 0) ，(0 ，－ 3) ；2②当 m ≠ 0 时，函数 y ＝ mx ＋ ( m － 3) x － 3＝ ( x ＋ 1)( mx － 3) ，∴抛物线 y ＝ ( x ＋ 1)( mx － 3) 过点 ( －1， 0) ，(0 ，－ 3) ．∴不论 m 为什么值，此函数的图象恒过 x 轴上的点 ( －1， 0) 和 y 轴上的点 (0 ，－ 3) ．已知二次函数y ＝ ax 2＋bx ＋ c ( a >0) 的图象与 x 轴交于 A ( x 1， 0) ， B ( x 2， 0)( x 1<x 2) 两点，与 y轴交于点 C ， x 1， x 2 是方程 x 2＋ 4x － 5＝ 0 的两根．(1) 若抛物线的极点为 ABCACDD ，求 S △ ∶ S △ 的值；(2) 若∠＝ 90°，求二次函数的分析式．ADC解： (1) 由于 x 2＋ 4x － 5＝ 0 的两根是 x ＝－ 5，x ＝ 1.因此 A ， B 两点的坐标为 A ( － 5，0) ， B (1 ，0) ，因此抛物线的对称轴为x＝－2.依二次函数图象与一元二次方程解的关系，可设二次函数的分析式为y＝a( x2＋4x－5)( a＞0)则C，D的坐标分别为 C(0，－5a)， D(－2，－9a)，进而可画出大概图象，如图1因此 S△ABC＝2AB· OC＝15a.设 AC与抛物线的对称轴交于点E，则由三角形相像可求得 E 点的坐标为(－2，－3a)11因此 S△ACD＝ S△AED＋ S△DEC＝2(9 a－3a)×3＋2(9 a－ 3a) × 2＝ 15a.因此△ ABC∶△ ACD＝1.S S(2) 当∠＝ 90°时，△是直角三角形，依勾股定理2＝2＋2ADC ADC AC AD DC222222222由于 AC＝5＋ (5 a)， AD＝3＋(9 a) ，DC＝2 ＋ (9 a－ 5a)因此 52＋ (5 a) 2＝ 32＋(9 a) 2＋ 22＋ (9 a－ 5a) 2解得 a＝±66 ( 负值不合题意，舍去)62622656因此二次函数的分析式为y＝6( x＋ 4x－ 5)＝6 x＋3x－6.7、我们各样习惯中再没有一种象战胜骄傲那麽难的了。

新人教版九年级数学上册同步提升训练：22.3 实际问题与二次函数(1)

优质文档新人教版九年级数学上册同步提升训练：22.3 实际问题与二次函数（1）———提优清单———提优点1：二次函数建模提优点2：几何图形中的最值问题———典型例题———【例1】（2013•河北省）某公司在固定线路上运输，拟用运营指数Q量化考核司机的工作业绩．Q=W＋100，而W 的大小与运输次数n及平均速度x（km/h）有关（不考虑其他因素），W由两部分的和组成：一部分与x的平方成正比，另一部分与x的n倍成正比．试行中得到了表中的数据．次数n 2 1速度x40 60指数Q420 100（1）用含x和n的式子表示Q；（2）当x=70，Q=450时，求n的值；（3）若n=3，要使Q最大，确定x的值；（4）设n=2，x=40，能否在n增加m%（m＞0）同时x 减少m%的情况下，而Q的值仍为420？若能，求出m的值；若不能，请说明理由．【方法总结】运用一定的数学方法处理后构建出二次函数，可以把的问题理清思路，通过画出二次函数的草图，观察图象，解出答案．.【例2】（2013•福建莆田）如图所示，某学校拟建一个含内接矩形的菱形花坛（花坛为轴对称图形）．矩形的四个顶点分别在菱形四条边上，菱形ABCD的边长AB=4米，∠ABC=60°．设AE=x米（0＜x＜4），矩形EFGH的面积为S米2．（1）求S与x的函数关系式；（2）学校准备在矩形内种植红色花草，四个三角形内种植黄色花草．已知红色花草的价格为20元/米2，黄色花草的价格为40元/米2．当x为何值时，购买花草所需的总费用最低，并求出最低总费用（结果保留根号）？【方法总结】解几何图形中的最值问题，一般先应用几何图形的面积公式，写出图形的面积与边长之间的关系，再用配方法或公式法求顶点坐标，结合二次函数性质与自变量的取值范围确定最大面积．一般步骤是：①根据几何图形的面积公式可求关于面积的函数解析式，②利用二次函数的有关性质，在自变量的取值范围内确定面积的最大值．【例3】（2014•四川达州）如图，在平面直角坐标系中，己知点O（0，0），A（5，0），B（4，4）．（1）求过O、B、A三点的抛物线的解析式．（2）在第一象限的抛物线上存在点M，使以O、A、B、M为顶点的四边形面积最大，求点M的坐标．（3）作直线x=m交抛物线于点P，交线段OB于点Q，当△PQB为等腰三角形时，则m的值为．【方法总结】通过构建函数模型，可以解决几何图形中面积的最值问题，用料的最佳方案以及动态几何中的最值的讨论．———分层提优——— 复习巩固提优1．（☆ 2014•河北省）某种正方形合金板材的成本y （元）与它的面积成成正比，设边长为x 厘米，当x =3时，y =18，那么当成本为72元时，边长为（）A ．6厘米B ．12厘米C ．24厘米D ．36厘米 2．（☆☆2011•河北省）一小球被抛出后，距离地面的高度h （米）和飞行时间t （秒）满足下面函数关系式h =－5（t －1）2＋6，则小球距离地面的最大高度是（） A ．1米 B ．5米 C ．6米 D ．7米 3．（☆☆2015•河南郑州模拟）向空中发射一枚炮弹，经x 秒后的高度为y 米，且时间与高度的关系为y =ax 2+bx +c （a ≠0）．若此炮弹在第7秒与第13秒时的高度相等，则在下列时间中炮弹所在高度最高的是（） A ．第8秒 B ．第10秒 C ．第12秒 D ．第15秒4．（☆☆2015•四川成都模拟）如图，在△ABC 中，∠B =90°，AB =12mm ，BC =24mm ，动点P 从点A 开始沿边AB 向B 以2mm/s 的速度移动（不与点B 重合），动点Q 从点B 开始沿边BC 向C 以4mm/s 的速度移动（不与点C 重合）．如果P 、Q 分别从A 、B 同时出发，那么经过秒，四边形APQC 的面积最小．（第4题图）（第5题图）5．（☆☆☆2013•湖北仙桃）2013年5月26日，中国羽毛球队蝉联苏迪曼杯团体赛冠军，成就了首个五连冠霸业．比赛中羽毛球的某次运动路线可以看作是一条抛物线（如图）．若不考虑外力因素，羽毛球行进高度y （米）与水平距离x （米）之间满足关系y ＝−92x 2＋98x ＋910，则羽毛球飞出的水平距离为米．6．（☆☆☆2014•四川成都）在美化校园的活动中，某兴趣小组想借助如图所示的直角墙角（两边足够长），用28m 长的篱笆围成一个矩形花园ABCD （篱笆只围AB ，BC两边），设AB =x m ．（1）若花园的面积为192m 2，求x 的值；（2）若在P 处有一棵树与墙CD ，AD 的距离分别是15m和6m ，要将这棵树围在花园内（含边界，不考虑树的粗细），求花园面积S 的最大值．7．（☆☆☆2014•甘肃天水）如图，排球运动员站在点O 处练习发球，将球从点O 正上方2米的点A 处发出把球看成点，其运行的高度y （米）与运行的水平距离x （米）满足关系式y =a （x －6）2，已知球网与点O 的水平距离为9米，高度为2.43米，球场的边界距点O 的水平距离为18米．（1）当h =2.6时，求y 与x 的函数关系式．（2）当h =2.6时，球能否越过球网？球会不会出界？请说明理由．（3）若球一定能越过球网，又不出边界．则h 的取值范围是多少？综合运用提优8．（☆☆2013•山东临沂）如图，正方形ABCD 中，AB =8cm ，对角线AC ，BD 相交于点O ，点E ，F 分别从B ，C 两点同时出发，以1cm/s 的速度沿BC ，CD 运动，到点C ，D 时停止运动，设运动时间为t （s ），△OEF 的面积为s （cm 2），则s （cm 2）与t （s ）的函数关系可用图象表示为（）A BC D9．（☆☆2010•南宁）如图，从地面竖直向上抛出一个小球，小球的高度h（单位：m）与小球运动时间t（单位：s）之间的关系式为h=30t－5t2，那么小球从抛出至回落到地面所需要的时间是（）A．6s B．4s C．3s D．2s10．（☆☆2012•湖北襄阳）某一型号飞机着陆后滑行的距离y（单位：m）与滑行时间x（单位：s）之间的函数关系式是y=60x－1.5x2，该型号飞机着陆后滑行m才能停下来．11．（☆☆☆2012•山东济南）如图，济南建邦大桥有一段抛物线型的拱梁，抛物线的表达式为y=ax2＋bx．小强骑自行车从拱梁一端O沿直线匀速穿过拱梁部分的桥面OC，当小强骑自行车行驶10秒时和26秒时拱梁的高度相同，则小强骑自行车通过拱梁部分的桥面OC共需秒．12．（☆☆☆2014•湖北咸宁）科学家为了推测最适合某种珍奇植物生长的温度，将这种植物分别放在不同温度的环境中，经过一定时间后，测试出这种植物高度的增长情况，部分数据如下表：温度t/℃－4 －2 0 1 4植物高度增长量l/mm41 49 49 46 25科学家经过猜想、推测出l与t之间是二次函数关系．由此可以推测最适合这种植物生长的温度为℃．13．（☆☆☆☆2014•山东潍坊）经统计分析，某市跨河大桥上的车流速度v（千米∕小时）是车流密度x（辆∕千米）的函数，当桥上的车流密度达到220辆∕千米时，造成堵塞，此时车流速度为0千米/小时；当车流密度不超过20辆∕千米时，车流速度为80千米∕小时．研究表明：当20≤x≤220时，车流速度v是车流密度x的一次函数．（1）求大桥上车流密度为100辆∕千米时的车流速度．（2）在交通高峰时段，为使大桥上的车流速度大于40千米∕小时且小于60千米∕小时时，应控制大桥上的车流密度在什么范围内？（3）车流量（辆∕小时）是单位时间内通过桥上某观测点的车辆数，即：车流量=车流速度×车流密度．求大桥上车流量y的最大值．拓广探究提优14．（☆☆☆☆☆2014•四川达州）若矩形的周长为1，则可求出该矩形面积的最大值.我们可以设矩形的一边长为x，面积为s，则s与x的函数关系式为xxxs(212+-=﹥0），利用函数的图象或通过配方均可求得该函数的最大值．提出新问题若矩形的面积为1，则该矩形的周长有无最大值或最小值？若有，最大（小）值是多少？分析问题若设该矩形的一边长为x，周长为y，则y与x的函数关系式为：)1(2xxy+=（x﹥0），问题就转化为研究该函数的最大（小）值了．解决问题借鉴我们已有的研究函数的经验，探索函数)1(2xxy+=（x﹥0）的最大（小）值．（1）实践操作：填写下表，并用描点法画出函数)1(2xxy+=（x﹥0）的图象：温度越适合，植物高度增长量越大．（2）观察猜想：观察该函数的图象，猜想当x=时，函数)1(2xx y +=（x ﹥0）有最值（填“大”或“小”），是．（3）推理论证：问题背景中提到，通过配方可求二次函数x x x s (212+-=﹥0）的最大值，请你尝试通过配方求函数)1(2xx y +=（x ﹥0）的最大（小）值，以证明你的猜想．（提示：当x＞0时，2)(x x =）———参考答案———例1．【解析】（1）设W =k 1x 2＋k 2nx ，则Q =k 1x 2＋k 2nx ＋100，由表中数据，得⎪⎩⎪⎨⎧+⨯+=+⨯+=,10060160100,10040240420212212k k k k解得⎪⎩⎪⎨⎧=-=.6,10121k k ∴Q =－101x 2＋6nx ＋100；（2）将x =70，Q =450代入Q 得，450=－101×702＋6×70n ＋100，解得n =2；（3）当n =3时，Q =－101x 2＋18x ＋100=－101（x －90）2＋910， ∵－101＜0，∴函数图象开口向下，有最大值，则当x =90时，Q 有最大值，即要使Q 最大，x =90；（4）由题意得，420=－101[40（1－m %）]2＋6×2（1＋m %）×40（1－m %）＋100，即2（m %）2－m %=0，解得m %=21或m %=0（舍去），∴m =50．例2．【解析】（1）连接AC 、BD ，∵花坛为轴对称图形，四边形ABCD 是菱形，∴AB =BC ，又∵∠ABC =60°，∴△ABC 是等边三角形．同理，得到△BEF 是等边三角形，∴EF =BE =AB －AE =4－x ．在Rt △AEM 中，∠AEM =∠ABD =30°，则EM =23x ，∴EH =2EM =3x ，故可得S =（4－x ）×3x =－3x 2＋43x ．（2）易求得菱形ABCD的面积为83m2，由（1）得，矩形EFGH的面积S=－3x2＋43x．则可得四个三角形的面积为（83＋3x2－43x）．设总费用为W，则W=20（－3x2＋43x）＋40（83＋3x2－43x）=203x2－803x＋3203=203（x－2）2＋2403，∵0＜x＜4，∴当x=2时，W取得最小，W最小=2403元．即当x为2时，购买花草所需的总费用最低，最低费用为2403元．例3．【解析】（1）∵该抛物线经过点A（5，0），O（0，0），∴该抛物线的解析式可设为y=a（x－0）（x－5）=ax（x－5）．∵点B（4，4）在该抛物线上，∴a×4×（4－5）=4，a=－1．∴该抛物线的解析式为y=－x（x－5）=－x2＋5x．（2）以O、A、B、M为顶点的四边形中，△OAB的面积固定，因此只要另外一个三角形面积最大，则四边形面积即最大．①当0＜x≤4时，点M在抛物线OB段上时，如答图1所示．∵B（4，4），∴易知直线OB的解析式为y=x．设M（x，－x2＋5x），过点M作ME∥y轴，交OB于点E，则E（x，x），∴ME=（－x2＋5x）－x=－x2＋4x．S△OBM=S△MEO＋S△MEB=12ME（x E－0）＋12ME（x B－x E）=12ME•x B=12ME×4=2ME，∴S△OBM=－2x2＋8x=－2（x－2）2＋8，∴当x=2时，S△OBM最大值为8，即四边形的面积最大．②当4＜x≤5时，点M在抛物线AB段上时，图略．可求得直线AB解析式为y=－4x＋20．设M（x，－x2＋5x），过点M作ME∥y轴，交AB于点E，则E（x，－4x＋20），∴ME=（－x2＋5x）－（－4x＋20）=－x2＋9x－20．S△ABM=S△MEB＋S△MEA=12ME（x E－x B）＋12ME（x A－x E）=12ME•（x A－x B）=12ME×1=12ME，∴S△ABM=－12x2＋92x－10=－12（x－92）2＋18，∴当x =92时，S △ABM最大值为18，即四边形的面积最大．比较①②可知，当x =2时，四边形面积最大．当x =2时，y =－x 2＋5x =6，∴M （2，6）．（3）由题意可知，点P 在线段OB 上方的抛物线上．设P （m ，－m 2＋5m ），则Q （m ，m ），当△PQB 为等腰三角形时， ①若点B 为顶点，即BP =BQ ，如答图2－1所示．过点B 作BE ⊥PQ 于点E ，则点E 为线段PQ 中点，∴E （m ，262m m -+）．∵BE ∥x 轴，B （4，4），∴262m m-+=4，解得m =2或m =4（与点B 重合，舍去），∴m =2；②若点P 为顶点，即PQ =PB ，如答图2－2所示．易知∠BOA =45°，∴∠PQB =45°，则△PQB 为等腰直角三角形．∴PB ∥x 轴，∴－m 2＋5m =4，解得m =1或m =4（与点B 重合，舍去），∴m =1； ③若点P 为顶点，即PQ =QB ，如答图2－3所示． ∵P （m ，－m 2＋5m ），Q （m ，m ），∴PQ =－m 2＋4m ．又∵QB 2（x B －x Q ）2（4－m ），∴－m 2＋4m 2（4－m ），解得m 2或m =4（与点B 重合，舍去），∴m 2．综上所述，当△PQB 为等腰三角形时，m 的值为1，22．1．【答案】A【解析】设y 与x 之间的函数关系式为y =kx 2，由题意，得18=9k ，解得k =2，∴y =2x 2．当y =72时，72=2x 2，∴x =6． 2．【答案】C【解析】∵高度h 和飞行时间t 满足函数关系式h =－5（t －1）2＋6，∴当t =1时，小球距离地面高度最大，∴h =6米． 3．【答案】B【解析】抛物线的对称轴是直线x =2137+=10，∴炮弹所在高度最高时，时间是第10秒． 4．【答案】3【解析】设P 、Q 同时出发后经过的时间为t s ，四边形APQC 的面积为S mm 2，则有S =S △ABC －S △PBQ =21×12×24−21×4t ×(12−2t )=4t 2－24t ＋144=4（t －3）2＋108．∵4＞0，∴当t =3s 时，S 取得最小值． 5．【答案】5【解析】当y =0时，0=−92x 2＋98x ＋910，解得x 1=－1（舍去），x 2=5，故羽毛球飞出的水平距离为5m ． 6．【解析】（1）∵AB =x m ，则BC =（28－x ）m ， ∴x （28－x ）=192，解得x 1=12，x 2=16．答：x 的值为12m 或16m ；（2）由题意可得出：S =x （28－x ）=－x 2＋28x =－（x －14）2＋196， ∵在P 处有一棵树与墙CD ，AD 的距离分别是15m 和6m ， ∴6≤x ≤13，∴x =13时，S 取到最大值为S =－（13－14）2＋196=195．答：花园面积S 的最大值为195平方米．7．【解析】（1）∵h =2.6，球从O 点正上方2m 的A 处发出，∴抛物线y =a （x －6）2＋h 过点（0，2），∴2=a （0－6）2＋2.6，解得a =−160，故y 与x 的关系式为y =－160（x －6）2＋2.6．（2）当x =9时，y =−160（x －6）2＋2.6=2.45＞2.43，所以球能过球网；当y =0时，－160（x －6）2＋2.6=0，解得x 1=6＋3918，x 2=6－39，故会出界；（3）当球正好过点（18，0）时，抛物线y =a （x －6）2＋h 还过点（0，2），代入解析式得236,0144,a h a h =+⎧⎨=+⎩解得1,548.3a h ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩此时二次函数解析式为y =−154（x －6）2＋83，此时球若不出边界h ≥83．当球刚能过网，此时函数解析式过（9，2.43），抛物线y =a （x －6）2＋h 还过点（0，2），代入解析式得222.43(96),2(06),a h a h ⎧=-+⎪⎨=-+⎪⎩解得43,2700193.75a h ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩此时球要过网h ≥19375．故若球一定能越过球网，又不出边界，h 的取值范围是h ≥83． 8．【答案】B【解析】根据题意BE =CF =t ，CE =8－t ，∵四边形ABCD 为正方形，∴OB =OC ，∠OBC =∠OCD =45°，∵在△OBE 和△OCF中，OB ＝OC ，∠OBE ＝∠OCF ，BE ＝CF ，∴△OBE ≌△OCF （SAS ），∴S △OBE =S △OCF ，∴S 四边形OECF =S △OBC =41×82=16，∴S =S 四边形OECF －S △CEF =16－21（8－t ）•t =21t 2－4t ＋16=21（t －4）2＋8（0≤t ≤8），∴s （cm 2）与t （s ）的函数图象为抛物线一部分，顶点为（4，8），自变量为0≤t ≤8． 9．【答案】A【解析】由小球高度h 与运动时间t 的关系式h =30t －5t 2．令h =0，－5t 2＋30t =0，解得t 1=0，t 2=6．t 2－t 1 =6，小球从抛出至回落到地面所需要的时间是6秒． 10．【答案】600【解析】∵－1.5＜0，∴函数有最大值．∴s 最大值=)5.1(4602-⨯-=600，即飞机着陆后滑行600米才能停止． 11．【答案】36【解析】设在10秒时到达A 点，在26秒时到达B ，∵10秒时和26秒时拱梁的高度相同，∴A ，B 关于对称轴对称．则从A 到B 需要16秒，则从A 到D 需要8秒．∴从O 到D 需要10＋8=18秒．∴从O 到C 需要2×18=36秒． 12．【答案】－1【解析】由（－2，49），（0，49）知抛物线的对称轴是直线t =－1，所以当t =－1时，植物高度增长量l 最大． 13．【解析】（1）由题意得：当20≤x ≤220时，v 是x 的一次函数，则可设v =kx ＋b （k ≠0），由题意得：当x =20时，v =80，当x =220时，v =0，所以2080,2200,k b k b +=⎧⎨+=⎩解得2,588.k b ⎧=-⎪⎨⎪=⎩ 所以当20≤x ≤220时，v =－52x ＋88 ，则当x =100时，y =－52×100＋88=48．即当大桥上车流密度为100辆∕千米时，车流速度为48千米∕小时．（2）当20≤v ≤220时，v =－52x ＋88（0≤v ≤80），由题意，得28840,528860,5x x ⎧-+>⎪⎪⎨⎪-+<⎪⎩解得70＜x ＜120，所以应控制车流密度的范围是大于70辆∕千米且小于120辆∕千米．（3）①当0≤x ≤20时，车流量y 1=vx =80x ，因为k =80>0，，所以y 1随x 的增大面增大，故当x =20时，车流量y 1的最大值为1600． ②当20≤x ≤220时，车流量y 2=vx =（－52x ＋88）x =－（x －110）2＋4840，当x =110时，车流量y 2取得最大值4840，因为4840>1600，所以当车流密度是110辆∕千米，车流量y 取得最大值． 14．【解析】(1)（2）1、小、4；（3）证明：⎥⎦⎤⎢⎣⎡+=22)(1)(2x x y ⎥⎦⎤⎢⎣⎡++-=2)(12)(222x x =4)1(22+-x x ，当01=-xx 时，y 的最小值是4，即x =1时，y 的最小值是4．。

九年级上册数学同步培优：第4讲二次函数与方程、不等式综合--提高班

第4讲二次函数与方程、不等式综合知识点1二次函数与x 轴的交点（二次函数与一元二次方程的关系）抛物线与x 轴交点的个数是由一元二次方程)0(02≠=++a c bx ax 中的ac b 42-=∆决定。

若0>∆，抛物线与x 轴有两个交点，方程)0(02≠=++a c bx ax 有两个不等的实根，这两个与x 轴交点的横坐标就是一元二次方程的两个实根。

若0=∆，抛物线与x 轴有一个交点，方程)0(02≠=++a c bx ax 有两个相等的实根，此时一元二次方程的根就是抛物线顶点的横坐标。

若0<∆ ，抛物线图象与x 轴没有交点，方程)0(02≠=++a c bx ax 无实根，0>a 抛物线在x 轴上方，0<a ，抛物线在x 轴下方。

【典例】1.下列关于二次函数y=ax 2﹣2ax+1（a ＞1）的图象与x 轴交点的判断，正确的是（）A. 没有交点B. 只有一个交点，且它位于y 轴右侧C. 有两个交点，且它们均位于y 轴左侧D. 有两个交点，且它们均位于y 轴右侧2.二次函数y=﹣x 2+mx 的图象如图，对称轴为直线x=2，若关于x 的一元二次方程﹣x 2+mx ﹣t=0（t 为实数）在1＜x ＜5的范围内有解，则t 的取值范围是______3.已知二次函数y=ax 2+bx+c 中，y 与x 的部分对应值如下：则一元二次方程ax 2+bx+c=0的一个解x 满足条件（）A. 1.2＜x ＜1.3B. 1.3＜x ＜1.4C. 1.4＜x ＜1.5D. 1.5＜x ＜1.64.若方程ax 2+bx+c=0的两个根是﹣3和1，那么二次函数y=ax 2+bx+c 的图象的对称轴是直线（）A. x=﹣3B. x=﹣2C. x=﹣1D. x=1【方法总结】解这类题的方法是：求二次函数与x 轴交点问题，可以转化成对应的一元二次方程根的问题。

当一元二次程的0>∆，二次函数与x 轴有两个交点，0∆=时，二次函数与x 轴有一个交点，0<∆时，二次函数与x 轴没有交点。

浙教版九年级数学上册作业本：专题提升二二次函数和一元二次方程(不等式)的关系

专题提升二二次函数与一元二次方程(不等式)的关系1．已知抛物线y＝ax2＋bx＋c的图象如图所示，那么关于x的方程ax2＋bx＋c＝0的根为___________，不等式ax2＋bx＋c>0解集为___________．第1题图第2题图2．已知函数y＝ax2＋bx＋c的图象如图所示，那么关于x的方程ax2＋bx＋c＋2＝0的根的情况是()A．无实数根B．有两个相等实数根C．有两个异号实数根D．有两个同号不等实数根3．已知点A(4，y1)，B(2，y2)，C(－2，y3)都在二次函数y＝(x－2)2－1的图象上，则y1、y2、y3的大小关系是___________.1．方程ax2＋bx＋c＝0的根就是抛物线y＝ax2＋bx＋c与x轴(y＝0)两交点的横坐标；不等式ax2＋bx＋c>0的解集最好结合图象解题．2．方程ax2＋bx＋c＋2＝0的根可看作抛物线y＝ax2＋bx＋c向上平移2个单位后与x 轴交点的横坐标，也可看作抛物线y＝ax2＋bx＋c与直线y＝－2交点的横坐标．例1若m、n(m＜n)是关于x的方程1－(x－a)(x－b)＝0的两根，且a＜b，则a、b、m、n的大小关系是()A．m＜a＜b＜n B．a＜m＜n＜bC．a＜m＜b＜n D．m＜a＜n＜b例2设二次函数y＝x2＋bx＋c，当x≤1时，总有y≥0，当1≤x≤3时，总有y≤0，那么c的取值范围是()A．c＝3B．c≥3 C．1≤c≤3D．c≤3例3(黄石中考)大学毕业生小王响应国家“自主创业”的号召，利用银行小额无息贷款开办了一家饰品店．该店购进一种今年新上市的饰品进行销售，饰品的进价为每件40元，售价为每件60元，每月可卖出300件．市场调查反映：调整价格时，售价每涨1元每月要少卖10件；售价每下降1元每月要多卖20件．为了获得更大的利润，现将饰品售价调整为(60＋x)元/件(x＞0即售价上涨，x＜0即售价下降，x为整数)，每月饰品销量为y(件)，月利润为w(元)．(1)直接写出y与x之间的函数关系式；(2)如何确定销售价格才能使月利润最大？求最大月利润；(3)为了使每月利润不少于6000元应如何控制销售价格？第1题图1．如图，抛物线y＝ax2＋c与直线y＝3相交于A、B，点A的横坐标为－4，与y轴相交于点C(0，－1)，从图象可知，当0≤ax2＋c≤3时，自变量x的取值范围是() A．－4≤x≤3B．－4≤x≤－2或2≤x≤4C．－4≤x≤4D．x≤－2或x≥22．已知抛物线y＝ax2＋bx＋c(a＞0)的对称轴为直线x＝1，且经过点(－2，y1)，(－3，y2)，试比较y1和y2的大小：y1________y2(填“＞”、“＜”或“＝”)．第3题图3．(广元中考)有一次函数y1＝kx＋m和二次函数y2＝ax2＋bx＋c的大致图象如图，请根据图中信息回答问题(在横线上直接写上答案)：(1)不等式ax2＋bx＋c＜0的解集是________；kx＋m＞ax2＋bx＋c的解集是_________；(2)当x＝____________时，y1＝y2；(3)要使y2随x的增大而增大，x的取值范围应是___________．第4题图4．如图，已知二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象与x轴交于点A(－2，0)，对称轴为直线x＝2，与y轴的交点B在(0，2)和(0，3)之间(包括这两点)，则a的取值范围为______________________．5.(内江中考)某中学课外兴趣活动小组准备围建一个矩形苗圃园，其中一边靠墙，另外三边用长为30米的篱笆围成．已知墙长为18米(如图所示)，设这个苗圃园垂直于墙的一边长为x米．(1)若苗圃园的面积为72平方米，求x；(2)若平行于墙的一边长不小于8米，这个苗圃园的面积有最大值和最小值吗？如果有，求出最大值和最小值；如果没有，请说明理由；(3)当这个苗圃园的面积不小于100平方米时，直接写出x的取值范围．第5题图参考答案【课前热身】1．3或－1－1<x<3 2.D 3.y3>y1>y2【典型例题】例1 A 例2 B 例3 (1)由题意可得：y ＝⎩⎪⎨⎪⎧300－10x （0≤x ≤30），300－20x （－20≤x<0）； (2)由题意可得：w ＝ ⎩⎪⎨⎪⎧（20＋x ）（300－10x ）（0≤x ≤30），（20＋x ）（300－20x ）（－20≤x<0），化简得：w ＝ ⎩⎪⎨⎪⎧－10x 2＋100x ＋6000（0≤x ≤30），－20x 2－100x ＋6000（－20≤x<0），即w ＝ ⎩⎪⎨⎪⎧－10（x －5）2＋6250（0≤x ≤30），－20⎝⎛⎭⎫x ＋522＋6125（－20≤x<0），由题意可知x 应取整数，故当x ＝－2或x ＝－3时，w<6125<6250，故当销售价格为65元时，利润最大，最大利润为6250元；(3)由题意得w ≥6000，草图如图，令w ＝6000，即6000＝－10(x －5)2＋6250，6000＝－20⎝⎛⎭⎫x ＋522＋6125，解得：x 1＝－5，x 2＝0，x 3＝10，－5≤x ≤10，故将销售价格控制在55元到70元之间(含55元和70元)才能使每月利润不少于6000元．【针对练习】1．B 2.＜ 3.(1)2<x<6 1<x<8 (2)1或8 (3)x ≥4 4.－14≤a ≤－165.(1)苗圃园与墙平行的一边长为(30－2x)米．依题意得0≤30－2x ≤18，6≤x ≤15.x(30－2x)＝72，即x 2－15x ＋36＝0，解得x 1＝3(舍去)，x 2＝12； (2)依题意，得8≤30－2x ≤18，解得6≤x ≤11.面积S ＝x(30－2x)＝－2(x －152)2＋2252(6≤x ≤11)．①当x ＝152时，S 有最大值，S 最大＝2252(m 2)．②当x ＝11时，S 有最小值，S 最小＝11×(30－22)＝88(m 2)； (3)令x(30－2x)＝100，得x 2－15x ＋50＝0，解得x 1＝5，x 2＝10.∴5≤x ≤10.又∵6≤x ≤15，∴x 的取值范围是6≤x ≤10.。

浙教版九年级数学上册作业本：专题提升二二次函数和一元二次方程(不等式)的关系

2023年九年级数学中考专题训练——二次函数与不等式练习附答案

2023年九年级数学中考专题训练——二次函数与不等式练习附答案1．二次函数y＝a2x+bx+c的图像如图所示，根据图像解答下列问题：（1）方程a2x+bx+c＝0的两个根为，不等式a2x+bx+c＞0的解集为；（2）若关于x的一元二次方程a2x+bx+c＝k的两个不相等的实数根，则k的取值范围为；（3）若关于x的一元二次方程a2x+bx+c﹣t＝0在1＜x＜4的范围内有实数根，求t的取值范围．-，且过点(0,3)．2．已知抛物线的顶点坐标是()1,4()1求这个抛物线对应的函数表达式．()2在所给坐标系中画出该函数的图象．()3当x取什么值时，函数值小于0?3．在平面直角坐标系xOy 中，二次函数212y x bx c =++的图象经过()2,0-和()3,0两点．（1）求此二次函数图象的顶点坐标．（2）直接写出当32x -<<时，y 的取值范围．（3）将一次函数()12y k x =-+的图象向下平移(0)k k >个单位后，与二次函数212y x bx c =++图象交点的横坐标分别是m 和n ，其中4m n <<，试求k 的取值范围．4．已知抛物线2y x bx c =++经过两点A （4，0），B （2，-4）．（1）求该抛物线的表达式；（2）在平面直角坐标系xOy 内画出抛物线的示意图；（3）若直线y=mx+n 经过A ，B 两点，结合图象直接写出不等式2x bx c mx n ++<+的解集．5．在平面直角坐标系xOy 中，点()1,P m y 在二次函数2y x bx c =++的图象上，点()2,Q m y 在一次函数4y x =-+的图象上．（1）若二次函数图象经过点(0,4)，(4,4)．①求二次函数的解析式与图象的顶点坐标；②判断0m <时，1y 与2y 的大小关系；（2）若只有．．当m 1≥时，满足120y y ⋅≤，求此时二次函数的解析式．6．如图，二次函数()()11444y x m x =--+的图象经过直线4y =上的A ，B 两点，点A 坐标为(),4m ，其中0m <．（1）求点B 的坐标；（2）若1y 的图象过点()1,2C m +，求m 的值；（3）在（2）的条件下，已知点D 和点C 关于1y 的图象的对称轴对称．若函数2y kx b =+的图象过B ，D 两点，则当12y y <时，求x 的取值范围．7．已知抛物线的顶点为(4,3)-，并且经过点(5,2)-．（1）试确定此抛物线的解析式；（2）在如图所示的平面直角坐标系内画出这个函数的大致图案；（3）请直接写出0y <时，x 的取值范围．8．已知抛物线2142y x x =--+．（1）用配方法求它的顶点坐标、对称轴；（2）当x 的值在什么范围内时，y 随x 的增大而增大？当x 的值在什么范围内时，y 随x 的增大而减小？（3）当x 的值在什么范围内时，抛物线在x 轴上方？9．二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，经过（﹣1，0）、（3，0）、（0，﹣3）．（1）求二次函数的解析式；（2）不等式ax2+bx+c＞0的解集为；（3）方程ax2+bx+c＝m有两个实数根，m的取值范围为．10．观察下表：（1）求a、b、c的值，并在表内空格处填入正确的数；（2）根据上面的结果解答问题：①在方格纸中画出函数y＝ax2+bx+c的图象；②根据图象回答：当x的取值范围是时，y≤0？11．在函数的学习中，读图能力是一项很重要的基本功.请仔细阅读如图，解决下列问题：（1）函数1(0)y x x x =+>在x =时，有最小值y =最小；（2）依据（1）的结论，结合换元思想求1(1)1y x x x =+>-的最小值，并求函数值最小时的x 的取值；（3）求函数221223y x x x x =++++的最小值.12．如图，抛物线y ＝x 2+bx +c 与x 轴交于A （﹣1，0）和B 点，与y 轴交于点C （0，﹣3）．（1）求该抛物线的解析式；（2）观察图象，直接写出不等式x 2+bx +c ＞0的解集；（3）设（1）中的抛物线上有一个动点P ，点P 在该抛物线上滑动且满足S △PAB ＝8，请求出此时P 点的坐标．13．已知二次函数y ＝﹣x 2﹣2x+3（1）求出顶点，并画出二次函数的图象．（2）根据图象解决下列问题①若y ＞0，写出x 的取值范围．②求出﹣32≤x≤2时，y 的最大值和最小值．③求出﹣5＜y ＜3时，x 的取值范围．14．已知二次函数223y x x =--+.（1）求抛物线顶点M 的坐标；（2）设抛物线与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于C 点，求A 、B 、C 的坐标（点A 在点B 的左侧），并画出函数图像的大致示意图；（3）根据图像，写出不等式2230x x --+>的解集.15．根据下列二次函数部分图象信息，已知顶点D （1,4），与x 轴的一交点B (3,0)．（1）求二次函数的解析式；（2）当0y ＞时，直接写出x 的取值范围；（3）当-22x 时，求y 的最大值与最小值．16．已知抛物线21y ax bx c =++的顶点坐标为（32，-14）且经过点A （1，0），直线2y x m =+恰好也经过点A（1）分别求抛物线和直线的解析式；（2）当x 取何值时，函数值12y y >；（3）当02x ≤≤时，直接写出2y 和1y 的最小值分别为多少？17．设x i （i=1，2，3，，n ）为任意代数式，我们规定：y=max{x 1，x 2，x 3，…，x n }表示x 1，x 2，…，x n 中的最大值，如y=max{1，2}=2．（1）求y=max{x ，3}；（2）借助函数图象，解决以下问题：①解不等式max{x+1，2x}≥2；②若函数y=max{|x ﹣1|，12x+a ，x 2﹣4x+3}的最小值为1，求实数a 的值．18．已知抛物线2y x mx n =-++经过点A （1，0）,B （6，0）.（1）求抛物线的解析式；（2）当y ＜0,直接写出自变量x 的取值范围．（3）抛物线与y 轴交于点D ，P 是x 轴上一点，且△PAD 是以AD 为腰的等腰三角形，试求P 点坐标．19．设二次函数2143y x x =-+的图象为C 1．二次函数22(0)y ax bx c a =++≠的图象与C 1关于y 轴对称．（1）求二次函数22y ax bx c =++的解析式；（2）当3x -<≤0时，直接写出2y 的取值范围；（3）设二次函数22(0)y ax bx c a =++≠图象的顶点为点A ，与y 轴的交点为点B ，一次函数3y kx m =+（k ，m 为常数，k≠0）的图象经过A ，B 两点，当23y y <时，直接写出x 的取值范围．20．关于x 的二次函数21(21)2y kx k x =+--（k 为常数）和一次函数22y x =+(1)若k =2，求函数1y 的顶点坐标(2)若函数1y 的图像不经过第一象限，求k 的取值范围．(3)已知函数1y 的图像与x 轴的两个交点间的距离等于3．①试求此时k 的值②若12y y >，试求x 的取值范围．参考答案：1．（1）11x =，23x =，1＜x＜3；（2）2k ＜；（3）6t -≤＜2．【分析】（1）抛物线与x 轴交点的横坐标就是对应一元二次方程的根，利用数形结合思想确定解集即可；（2）看直线y=k 与抛物线有两个不同的交点即可；（3）根据图像信息，确定抛物线的解析式为y=2-2x 86x +-，根据2-2x 86x +--t=0在1＜x ＜4的范围内有实数根，确定x=1时，函数值小于0，当x=2时，函数值大于等于0，确定x=3时，函数值大于0，当x=4时，函数值小于0，建立不等式，并确定解集即可．【解析】（1）∵抛物线y ＝a 2x +bx+c 与x 轴交点的横坐标分别是1和3，∴a 2x +bx+c=0的两个根为11x =，23x =，∵当1＜x＜3时，y ＞0，∴a 2x +bx+c ＞0的解集为1＜x＜3，故答案为：11x =，23x =，1＜x＜3；（2）当y=2时，与抛物线有一个交点即顶点，∴当y ＜2时，与抛物线有两个不同的交点，∴一元二次方程a 2x +bx+c ＝k 的两个不相等的实数根，则k 的取值范围为k ＜2，故答案为：k ＜2；（3）设抛物线的解析式为y=a 2(x-2)2+，把（1，0）代入解析式，得a 2(1-2)2+=0，解得a=-2，∴抛物线的解析式为y=-22(x-2)2+=2-2x 86x +-，∵2-2x 86x +--t=0在1＜x ＜4的范围内有实数根，∴-8166t +--≥0，-32326t +--＜0，∴6t -≤＜2．【点评】本题考查了抛物线与x 轴的交点问题，抛物线与一元二次方程的关系，函数解析式的待定系数确定法，熟练掌握关系，灵活运用数形结合思想是解题的关键．2．()()2114y x =-++或223y x x =--+；()2见解析；()33x <-或1x >【分析】（1）由抛物线的顶点坐标是()1,4-，设抛物线的解析式为()214y a x =++，由抛物线()214y a x =++过点(0,3)，1a =-即可；（2）列表，描点在平面直角坐标系中描出点（-3，0），（-2，3），（-1，4），（0，3），（1，0）用平滑曲线连接即可；（3）由函数值小于0，可得函数图像再x 轴下方，在-3左侧和1右侧即可．【解析】解：（1）∵抛物线的顶点坐标是()1,4-，设抛物线的解析式为()214y a x =++，抛物线()214y a x =++过点(0,3)，4=3a +，1a =-，抛物线的解析式为()214y x =-++；（2）列表：x …-3-2-101…y…343…描点：在平面直角坐标系中描出点（-3，0），（-2，3），（-1，4），（0，3），（1，0）连线：用平滑曲线连接，（3）∵函数值小于0，∴函数图像再x 轴下方，在-3左侧和1右侧，当x<-3或x>1时，函数值小于0．【点评】本题考查抛物线的解析式，画函数图像，函数图像的位置关系，掌握抛物线的解析式的求法，描点画函数图像的方法，函数图像与x 轴关系自变量范围是解题关键．3．（1）125,28⎛⎫- ⎪⎝⎭；（2）2538y -≤<；（3）305k <<【分析】（1）根据待定系数法直接求出二次函数的解析式，从而得到顶点坐标；（2）先画出函数的准确图象，从图象上观察即可得出结论；（3）根据题意，得到平移后的一次函数表达式，由4m n <<得()21112322k x k x x >--+--，取4x =解出即可．【解析】（1）由二次函数的图象经过()2,0-和()3,0两点，则0229032b cb c =-+⎧⎪⎨=++⎪⎩，解得123b c ⎧=-⎪⎨⎪=-⎩∴此二次函数的表达式22111125322228y x x x ⎛⎫=-=--- ⎪⎝⎭，∴二次函数的顶点坐标是125,28⎛⎫- ⎪⎝⎭；（2）如图，当3x =-时，3y =，∴当32x -<<时，y 的取值范围是2538y -≤<；（3）将一次函数()12y k x =-+的图象向下平移k 个单位后的一次函数表达式为()12y k x k =-+-，根据一次函数定义可知其中1k ≠，且0k >，∵()12y k x k =-+-与二次函数212y x bx c =++图象交点的横坐标为m 和n ，∴得方程()21131222x x k x k -=-+--，整理得2135022x k x k ⎛⎫ ⎪⎝+-+-=⎭，∵()223154560222k k k ⎛⎫⎛⎫∆=--⨯⨯-=-+> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，∴上述方程无论k 取何值，均能够满足有两个不相等的实数根m 和n ，即：无论k 取何值，()12y k x k =-+-的图象与212y x bx c =++的图象总有两个交点，∵m 和n 满足4m n <<，∴当4x =时，满足()21112322k x k x x >--+--即可，∴把4x =代入()21112322k x k x x >--+--，解得35k <，∴k 的取值范围为305k <<．【点评】本题考查了求二次函数的解析式，指定自变量的取值范围求对应函数值的范围，以及二次函数与一次函数交点问题，熟练运用数形结合的思想对两个函数的交点问题与一元二次方程联系起来求解是解题关键．4．（1）24y x x =-；（2）见解析；（3）24x <<【分析】（1）根据待定系数法将点A 、B 坐标代入解析式即可求解；（2）根据二次函数解析式画出函数图象即可；（3）根据已求的图象即可求解．【解析】解：（1）∵抛物线2y x bx c =++经过两点(4,0),(2,4)-∴1640424b c b c ++=⎧⎨++=-⎩解得：4b c =-⎧⎨=⎩∴该抛物线的表达式为24y x x =-；（2）画出函数图象，如图所示：（3）由图象可知：2x bx c mx n ++<+即抛物线24y x x =-图象在直线y=mx ＋n 图象的上方，即点A 、B 之间的部分符合题意，∴2x bx c mx n ++<+不等式的解集：24x <<．【点评】本题考查待定系数法求解析式、二次函数的图象和性质，正确画出二次函数图象，利用数形结合的思想是解题的关键．5．（1）①二次函数的解析式为244y x x =-+，顶点坐标为()2,0；②12y y ＞；（2）254y x x =-+【分析】（1）①由二次函数图象经过点(0,4)，(4,4)，代入2y x bx c =++即可得二次函数的解析式，化为顶点式即可得顶点坐标；②画出二次函数和一次函数的图象，利用图像即可求解；（2）由120y y ⋅≤得出()()240m mb c m ++-+≤，分两种情况考虑可得出2y x bx c =++过点()1,0，()4,0，代入2y x bx c =++即可得二次函数的解析式．【解析】解：（1）①∵二次函数图象经过点(0,4)，(4,4)，∴41644c b c =⎧⎨++=⎩，解得44b c =-⎧⎨=⎩，∴244y x x =-+，∵()22442y x x x =-+=-，∴二次函数的顶点坐标为()2,0；②如图，画出二次函数和一次函数的图象，由图像可得0m <时，12y y >；（2）∵当m 1≥时，满足120y y ⋅≤，∴当m 1≥时，()()240m mb c m ++-+≤，分两种情况：40m -+≥即14m ≤≤时，20m mb c ++≤；40m -+＜即4m ＞时，20m mb c ++＞；∴二次函数2y x bx c =++过点()1,0，()4,0，∴101640b c b c ++=⎧⎨++=⎩，解得54b c =-⎧⎨=⎩，∴此时二次函数的解析式为254y x x =-+．【点评】本题属于二次函数综合题，考查了二次函数的性质，一次函数的性质，待定系数法等知识，解题的关键是理解题意，学会利用参数解决问题．6．（1）B （4，4）；（2）m ＝−5；（3）3＜x ＜4.【分析】（1）利用函数值为4求对应的自变量的值，即解方程()()14444x m x --+=可得B 点坐标；（2）把C （m ＋1，2）代入()()11444y x m x =--+中得到关于m 的方程，然后解方程求出m 即可；（3）由m ＝−5，B （4，4），易得C （−4，2），A （−5，4），利用A 、B 为对称点得到抛物线的对称轴为直线x ＝12-，再利用点D 和点C 关于y 1的图象的对称轴对称得到D （3，2），然后利用函数图象写出一次函数图象在二次函数图象上方所对应的自变量的范围即可．【解析】解：（1）当y ＝4时，即()()14444x m x --+=，解得x 1＝m ，x 2＝4，∴B （4，4）；（2）把C （m ＋1，2）代入()()11444y x m x =--+中得()()1211444m m m =+-+-+，解得m ＝−5；（3）∵m ＝−5，B （4，4），∴C （−4，2），A （−5，4），∴抛物线的对称轴为直线x ＝45122-=-，∵点D 和点C 关于y 1的图象的对称轴对称，∴D （3，2），且点D 也在y 1的图象上，如图所示，∴当3＜x ＜4时，y 1＜y 2．【点评】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，二次函数与不等式（组）：利用两个函数图象在直角坐标系中的上下位置关系求自变量的取值范围，可作图利用交点直观求解．7．（1）2813y x x =-+；（2）见解析；（3）44x -<+【分析】（1）根据顶点坐标，设二次函数的解析式为2(4)3y a x =--，然后将(5,2)-代入即可求出结论；（2）列表、描点、连线即可画出二次函数的图象；（3）先求出二次函数的图象与x 轴的交点坐标，然后根据图象即可得出结论．【解析】解：（1）设二次函数的解析式为2(4)3y a x =--将(5,2)-代入，得∴2(54)32a --=-，∴1a =2(4)3y x =--2813x x =-+（2）列表：x 23456y1-2-3-21描点、连线，如图所示，该图象即为所求．（3）将y=0代入2813y x x =-+中，得28130x x -+=解得：1244x x ==+∴二次函数2813y x x =-+的图象与x 轴的交点为（4-）和（4）由图象可知：当0y <时，44x -<+【点评】此题考查的是求二次函数的解析式、画二次函数的图象和利用二次函数的函数值的取值范围，求自变量的取值范围，掌握利用待定系数法求二次函数的解析式、函数图象的画法和利用图象求取值范围是解决此题的关键．8．（1）顶点坐标是91,2⎛⎫- ⎪⎝⎭，对称轴是直线=1x -；（2）当1x <-时，y 随x 的增大而增大；当1x >-时，y 随x 的增大而减小；（3）当42x -<<时，抛物线在x 轴上方．【分析】（1）根据配方法的要求把一般式转化为顶点式，根据顶点式的坐标特点，写出顶点坐标及对称轴；（2）结合对称轴及开口方向确定抛物线的增减性；（3）结合抛物线与x 轴的交点坐标来确定抛物线位于x 轴上方时，自变量的取值范围．【解析】解：（1）()22114211422y x x x x =--+=-++-+，211(1)422x =-+++219(1)22x =-++则顶点坐标是91,2⎛⎫- ⎪⎝⎭对称轴是直线=1x -．（2）∵a=12-且对称轴为直线=1x -∴当1x <-时，y 随x 的增大而增大；当1x >-时，y 随x 的增大而减小．（3）令0y =，则21402x x --+=，解得14x =-，22x =，102a =-< ，∴抛物线开口向下，∴当42x -<<时，抛物线在x 轴上方．【点评】本题考查二次函数的性质，结合图像采用数形结合思想解题是本题的解题关键．9．（1）y ＝x 2﹣2x ﹣3；（2）x ＜﹣1或x ＞3；（3）m ≥﹣4．【分析】（1）把（﹣1，0）、（3，0）、（0，﹣3）代入y ＝ax 2+bx +c 解方程组即可得到结论；（2）根据图象即可得到结论；（3）设y ＝ax 2+bx +c 和y ＝m ，方程ax 2+bx +c ＝m 有两个实数根，即二次函数图象与直线y ＝m 有两个交点或一个交点，结合一元二次方程根的判别式即可求出m 的取值范围．【解析】解：（1）把（﹣1，0）、（3，0）、（0，﹣3）代入y ＝ax 2+bx +c 得09303a b c a b c c -+=⎧⎪++=⎨⎪=-⎩，解得：123a b c =⎧⎪=-⎨⎪=-⎩，∴二次函数的解析式为y ＝x 2﹣2x ﹣3；（2）由函数图象可知抛物线和x 轴的两个交点横坐标为﹣1，3，所以不等式ax 2+bx +c ＞0的解集为x ＜﹣1或x ＞3；（3）设y ＝ax 2+bx +c 和y ＝m ，方程ax 2+bx +c ＝m 有两个实数根，则二次函数图象与直线y ＝m 有两个交点或一个交点，即223x x m --=有两个实数根，∴0∆≥，即()()224130m --⨯⨯--≥，解得m ≥﹣4．【点评】本题考查二次函数与不等式，抛物线与x 轴的交点问题，数形结合是数学中的重要思想之一，解决函数问题更是如此，同学们要引起重视．10．（1）a ＝1，b ＝﹣2，c ＝3，表格中的空格填0，4，﹣4；（2）①详见解析；②﹣1≤x≤3【分析】（1）设函数的解析式为：y ＝ax 2+bx+c ，由表格知，当x ＝0时，ax 2+bx+c ＝﹣3；当x ＝1时，ax 2＝1；当x ＝2时，ax 2+bx+c ＝﹣3，根据待定系数法求出函数的解析式，从而求解；（2）①描点、连线画出函数y ＝ax 2+bx+c 的图象；②找到函数图象在x 轴下方部分对应的x 的取值范围即可．【解析】解：（1）由表知，当x ＝0时，ax 2+bx+c ＝﹣3；当x ＝1时，ax 2＝1；当x ＝2时，ax 2+bx+c ＝﹣3．∴31423c a a b c =-⎧⎪=⎨⎪++=-⎩，解得：123a b c =⎧⎪=-⎨⎪=-⎩，∴函数解析式为：y ＝x 2﹣2x ﹣3，∴表格中的空格填0，4，﹣4，故答案为：0，4，﹣4；（2）①画出函数图象如图：②由图象可知，当﹣1≤x≤3时，y≤0，故答案为﹣1≤x≤3．【点评】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式，二次函数的图象和性质，解答此题时，同学们要认真观察表格，正确求出函数解析式．11．（1）1、2；（2）2x =时，y 有最小值3；（3）=1x -时，12最小y =-.【分析】（1）正确的观察图像即可求解；（2）先将11y x x =+-变形为11=1111y x x x x =+-++--，再由（1）的结论即可求解；（3）先将221223y x x x x =++++变形为221(23)323y x x x x =+++-++，再由2223(1)22x x x ++=++≥，所以当2232x x ++=时，有最小值.【解析】解：（1）有图像知，当x=1时，有最小值y =最小2，故答案为1；2；（2）1-1y x x =+=1112131x x -++≥+=-当11x -=时，即2x =时，y 有最小值3（3）221223y x x x x =++++221(23)323x x x x =+++-++2223(1)22x x x ++=++≥ ∴当2232x x ++=时，即=1x -时，112322y =+-=-最小【点评】此题主要考查了读图能力及用换元法求函数最值.正确的将函数解析式变形是解决问题的关键.12．（1）y ＝x 2﹣2x ﹣3；（2）x ＜﹣1或x ＞3；（3）（4）或（1﹣，4），（1，﹣4），【分析】（1）直接把A ，C 点代入进而求出函数解析式；（2）直接求出B 点坐标进而利用函数图象得出答案；（3）分点P 在x 轴上方时，点P 在x 轴下方时两种情况，分别求解得出答案．【解析】解：（1）把A （﹣1，0）和C （0，﹣3）代入抛物线解析式得：310c b c =-⎧⎨-+=⎩，解得：23b c =-⎧⎨=-⎩，故抛物线解析式为：y ＝x 2﹣2x ﹣3；（2）当y ＝0时，0＝x 2﹣2x ﹣3，则（x ﹣3）（x +1）＝0，解得：x 1＝﹣1，x 2＝3，故B （3，0），则不等式x 2+bx +c ＞0的解集是：x ＜﹣1或x ＞3；（3）设P 的纵坐标为|yP |，∵S △PAB ＝8，∴12AB •|yP |＝8，∵AB ＝3+1＝4，∴|yP |＝4，∴yP ＝±4，当点P 在x 轴上方时，∴yP ＝4，把yP ＝4代入解析式得，4＝x 2﹣2x ﹣3，解得，x＝，∴点P在该抛物线上滑动到（4）或（1﹣，4）．当点P在x轴下方时，∴yP＝﹣4，把yP＝﹣4代入解析式得，﹣4＝x2﹣2x﹣3，解得，x＝1，∴点P在该抛物线上滑动到（1，﹣4），综上所述：P点坐标为：（，4）或（1，﹣4）或（1﹣，4）．【点评】本题考查待定系数法求函数解析式、二次函数的性质、二次函数与不等式组，解题的关键是利用待定系数法得到关于b、c的方程，掌握三角形面积计算公式．13．（1）（﹣1，4），见解析（2）①﹣3＜x＜1②4和﹣5③﹣4＜x＜﹣2或0＜x＜2【分析】（1）y＝﹣x2﹣2x+3＝﹣（x+1）2+4，即可求解；（2）①若y＞0，则﹣3＜x＜1；②﹣32≤x≤2时，y在顶点处取得最大值4，y在x＝2时，取得最小值，当x＝2时，y＝﹣5，即可求解；③当y＝﹣5时，即y＝﹣x2﹣2x+3＝﹣5，解得：x＝2或﹣4，即可求解．【解析】解：（1）y＝﹣x2﹣2x+3＝﹣（x+1）2+4，顶点坐标为：（﹣1，4），令y＝0，则x＝1或﹣3，令x＝0，则y＝3，则函数图象如下：（2）①若y＞0，则﹣3＜x＜1；②﹣32≤x≤2时，y在顶点处取得最大值4，y在x＝2时，取得最小值，当x＝2时，y＝﹣5，故y 的最大值和最小值分别为：4和﹣5；③当y ＝﹣5时，即y ＝﹣x 2﹣2x+3＝﹣5，解得：x ＝2或﹣4，当y ＝3时，同理x ＝0或﹣2，从图象看：﹣5＜y ＜3时，﹣4＜x ＜﹣2或0＜x ＜2．【点评】本题考查了画图像以及利用图像解不等式，数形结合的思想是解题的关键14．（1）(1,4)M -；（2）(3,0)A -(1,0)B (0,3)C ；（3）31x -<<【分析】（1）利用配方法即可解决问题．（2）对于抛物线的解析式，分别令x=0，y=0，解方程即可解决问题．（3）利用抛物线的图象写出在x 轴上方部分的x 取值范围．【解析】（1）∵y=-x 2-2x+3=-（x+1）2+4，∴顶点M 的坐标为（-1，4）．（2）对于抛物线y=-x 2-2x+3，令x=0，得y=3，令y=0，得-x 2-2x+3=0，解得x=-3或1，所以A （-3，0）B （1，0）C （0，3）（3）由图象可知，-3＜x ＜1时，y ＞0．【点评】本题考查二次函数与x 轴的交点、二次函数与不等式等知识，解题的关键是熟练掌握求抛物线与坐标轴的交点坐标，学会利用函数图象，确定坐标自变量的取值范围．15．（1）()214y x =--+；（2）13x -<<；（3）最大值为4，最小值为5-.【分析】（1）设出抛物线顶点式，代入B 点坐标即可求出函数的解析式；（2）求出抛物线与x 轴的另一个交点坐标，根据函数图象可得答案；（3）根据对称轴的位置可知，当x=－2时，y 取最小值，当x=1时，y 取最大值，分别计算即可.【解析】解：（1）设抛物线解析式为：()214y a x =-+，代入(3,0)得：()20314a =-+，解得：1a =-，故二次函数的解析式为：()214y x =--+；（2）∵抛物线的对称轴为x=1，与x 轴的一个交点坐标为（3，0），∴与x 轴的另一个交点坐标为（－1，0），由函数图象可得，当0y ＞时，x 的取值范围为：13x -<<；（3）∵抛物线的对称轴为x=1，顶点坐标为（1，4），∴在-22x 的范围内，当x=－2时，y 取最小值，最小值为()22145---+=-，当x=1时，y 取最大值，最大值为4.【点评】本题考查了待定系数法求二次函数解析式、二次函数的对称性以及图象法解不等式等知识，熟练掌握二次函数的图象和性质是解题关键.16．（1）2132y x x =-+；21y x =-；（2）当x <1或x >3时，函数值12y y >；（3）1y 的最小值为14-；2y 的最小值为-1．【分析】（1）由于已知顶点坐标，则可设顶点式y 1=a （x -32）2-14，然后把点（1，0）代入求出a 即可；再把（1，0）代入2y x m =+，求出m 的值即可；（2）解由抛物线和直线解析式所组成的方程即可得到它们的交点坐标，由此得到答案；（3）由于抛物线开口向上，则当02x ≤≤时，即可得解．【解析】（1）根据题意设二次函数解析式为y 1=a （x -32）2-14，把点（1，0）代入上式得：a =1，∴二次函数解析式为：221313224y x x x ⎛⎫=--=-+ ⎪⎝⎭；把（1，0）代入2y x m =+得：m =-1，∴21y x =-；（2）当2132y x x =-+与2y 1x =-相交时，解方程2321x x x -+=-，解得121,3x x ==，故当x <1或x >3时，函数值12y y >；（3）∵2132y x x =-+的顶点坐标为（32，-14），且开口向上，0232≤≤，∴当02x ≤≤时，1y 的最小值为14-；∵21y x =-，当x =0时y =-1；当x =2时y =1，且函数值y 随着x 的增大而增大，∴当02x ≤≤时，2y 的最小值为-1．【点评】此题考查待定系数法求二次函数解析式，判定一次函数与二次函数函数值的大小，求函数的交点坐标，正确掌握二次函数与一次函数的知识并应用是解题的关键．17．（1）y =()33(3)x x x ⎧≥⎨<⎩；（2）①x ＞0；②．【解析】（1）解：由题意得：y=()33(3)x x x ⎧≥⎨<⎩；（2）①由图可知，两函数图象交点为（1，2），∴不等式max{x+1，2x}≥2的解集为x ＞0；②∵函数y 的最小值为1由图可知，最小值为y=12x+a 与抛物线y=x 2﹣4x+3的交点的纵坐标，∴x 2﹣4x+3=1，解得x 1=2x 2（舍去），∴12×（2+a=1，解得18．（1）（2）（3）P （-1，0）或P （，0）或P （，0）【解析】试题分析：（1）把点A 、B 的坐标代入函数解析式求出m 、n 即可得解；（2）根据二次函数开口方向向下写出x 轴下方部分的x 的取值范围即可；（3）分三种情况解答.试题解析：（1）将A （1，0），B （6，0）代入抛物线得：1m n 0{366m n 0-++=++=解得7{6m n ==-，所以276y x x =-+-（2）根据图形得：y ＜0时，x 的范围为x ＜1或x ＞6；（3）令x=0.则y=-6.所以点D 坐标是（0，-6），所以=,△PAD 是以AD 为腰的等腰三角形，分三种情况：①当AP=AD 且点P 在点A 右边时，所以点P （，0）;②当AP=AD 且点P 在点A 左边时，，所以点P （，0）；③当AD=PD 时，点P 在点O 左边且OP=OA=1,所以点P 的坐标是：）P （-1，0）.综上点P 坐标是：P （-1，0）或P （，0）或P （，0）.考点：1.待定系数法求二次函数解析式；2.二次函数图象上点的坐标特征；3.等腰三角形.．19．（1）y 2=x 2+4x+3；（2）-1≤y 2≤3；（3）-2＜x ＜0．【分析】（1）求出抛物线C1的顶点坐标，再根据关于y 轴对称的点的横坐标互为相反数，纵坐标相同求出抛物线C2的顶点坐标，然后利用顶点式形式写出即可；（2）作出函数图象，然后根据图形写出y2的取值范围即可；（3）根据函数图象写出抛物线C2在直线AB 的下方部分的x 的取值范围即可．【解析】解：（1）二次函数y 1=x 2-4x+3=（x-2）2-1图象的顶点（2，-1），关于y 轴的对称点坐标为（-2，-1）所以，所求的二次函数的解析式为y 2=（x+2）2-1，即y 2=x 2+4x+3；（2）如图，-3＜x≤0时，y 2的取值范围为：-1≤y 2≤3；（3）由图象可知，y 2＜y 3时，-2＜x ＜0．考点：1.二次函数图象与几何变换；2.二次函数与不等式（组）．20．(1)325(,)48--(2)0k ≤(3)①k =1或k =-15②当k =1时，x ＜-2或x ＞2；当k =-15时-10＜x ＜-2【分析】（1）将k =2时的函数解析式配方成顶点式即可得；（2）由该抛物线与x 轴的交点为（-2，0）、（1k ，0），与y 轴的交点为（0，-2），根据函数1y 的图象不经过第一象限知点（1k，0）必不在x 轴的正半轴上，据此解答即可；（3）①根据两点间的距离公式列出关于k 的方程求解可得；②分k =1和k =-15两种情况，依据12y y >列出关于x 的不等式，解之可得．（1）解：当k =2时，21232y x x =+-=23252()48x +-，∴顶点坐标为325(,)48--．（2）解：∵21(21)2y kx k x =+--12(2)()x x k=+-，∴该抛物线与x 轴的交点为（-2，0）、（1k，0），与y 轴的交点为（0，-2），而函数1y 的图象不经过第一象限，∴点（1k ，0）必不在x 轴的正半轴上，∴1k＜0，即k ＜0．（3）解：①∵1y 的图象与x 轴的两个交点间的距离等于3，∴1k+2=±3，解得：1211,5k k ==-；②当k =1时，1(2)(1)y x x =+-，22y x =+，∵12y y >，∴（x +2）（x -1）＞x +2，即（x +2）（x -2）＞0，解得：x ＜-2或x ＞2；当k =-15时，∵12y y >，∴-15（x +2）（x +5）＞x +2，即（x +2）（x +10）＜0，解得：-10＜x ＜-2．故当k =1时，x ＜-2或x ＞2；当k =-15时-10＜x ＜-2．【点评】本题主要考查二次函数与不等式组及二次函数与x 轴的交点，熟练掌握二次函数的图象和性质是解题的关键．。

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第8讲二次函数的与方程和不等式
函数的各种交点
1、求抛物线12222+-=x x y 与坐标轴的交点坐标。

2、求抛物线132
--=x x y 与直线3=y 的交点坐标。

3、求抛物线132--=x x y 与直线3=x 的交点坐标。

4、求抛物线222--=x x y 与直线2+=x y 的交点坐标。

5、小兰画了一个函数b ax x y ++=2
的图象如图，则关
于x 的方程02=++b ax x 的解是_______________。

6、【三种方法】已知二次函数y=x 2-3x+m （m 为常数）的图象与x 轴的一个交点为（1，0），求关于x 的一元二次方程x 2-3x+m=0的两实数根。

7、二次函数y=ax 2+bx 的图象如图，若一元二次方程ax 2+bx+m=0有实数根，求m 的取值范围。

8、若二次函数y=ax 2-2ax+c 的图象经过点(-1,0)，则方程ax 2-2ax+c=0的解为_______________________。

9、二次函数y=x 2+bx 的图象如图，对称轴为直线x=1，若关于x 的一元二次方程x 2+bx-t=0（t 为实数）在-1＜x ＜4的范围内有解，则t 的取值范围是___________。

10、已知正比例函数x y =与二次函数c bx ax y ++=2的图象如图所示，则二次函数c x b ax y +-+=)1(2的图象可能是( )
A B C D
11、不解方程组，判断函数322+-=x x y 与函数
12-=x y 的交点个数。

12、已知二次函数m x x y ++-=22的部分图象如图所示，求关于x
的一元二次方程
2
2
=
+
+-m x x 的解。

13、若二次函数1422--=x x y 的图象与x 轴交于
)0,(a A ，)0,(b B 两点，则
b
a 1
1+的值为______。

参考答案 1、)1,0( ),0,2
2
(
2、)3,4( ),3,1(-
3、)1,3(-
4、)6,4( ),1,1(-
5、x=-1或x=4
6、x 1=1，x 2=2
7、3≤m
8、x 1=-1，x 2=3
9、-1≤t ＜8 10、C 11、两函数有1个交点 12、x=-1或x=3 13、-4
二次函数与不等式
1、c bx ax y ++=2中，0<a ，抛物线与x 轴有两个
交点A （2，0）B （-1，0），则02
>++c bx ax 的解集是______________；02
<++c bx ax 的解集是______________
2、如图是二次函数c bx ax y ++=21和一次函数
n mx y +=2的图像，观察图像写出12y y ≥时，x 的取
值范围___________．
3、已知函数y 1＝x 2与函数y 2＝－
1
2
x ＋3的图象大致如图，若y 1＜y 2，则自变量x 的取值范围是
A ．－
3
2
＜x ＜2 B ．x ＞2或x ＜－
32 C ．－2＜x ＜3
2
D ． x ＜－2或x ＞
3
2
4、如图，是二次函数y=ax 2+bx+c 图象的一部分，其对称轴为直线x =1，若其与x 轴一交点为A （3，0），则由图象可知，不等式ax 2+bx+c ＜0的解集是__________.
5、如图，抛物线与两坐标轴的交点分别为（-1，0），（2，0），（0，2），则当y ＞2时，自变量x 的取值范围是_____________。

6、【复习】如图，抛物线221+-=x y 向右平移1个单位得到抛物线2y 。

回答下列问题：
（1）抛物线2y 的解析式是____________，顶点坐标为______；
（2）图中阴影部分的面积S=____________；（3）若再将抛物线2y 绕原点O 旋转180°得到抛物线
3y ，则抛物线3y 的解析式为_______________，开口方向________，顶点坐标为____________．
参考答案
1、21<<-x ；1-<x 或2>x
2、12≤≤-x
3、C
4、31<<-x
5、10<<x
6、（1）2)1(22+--=x y ；
)2,1(；（2）2；（3）2)1
(2
3-
+=x y ；向上；)2,1(--。

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