现代控制理论-6-状态反馈和状态观测器-第10、11讲

只需要求系统不变量 , 然后确定 c 2即可 i P
系统不变量： f ( ) I A n n1 n1 1 0
0 1 1 n 1 Pc 2 [ An1b, An 2b, , b] 2 1 2
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（4）确定K阵 由 f * ( ) f ( ) 得 6 k3 14, 5 k2 60, 1 k1 200
求得： k1 199, k2 55, k3 8 所以状态反馈矩阵K为： K [199 55 8]
[例2] 对如下的线性定常系统，讨论状态反馈对系统极点的影响
由 f ( ) f * ( )，可以确定能控标准型下的反馈矩阵为：
K [ 0 0 a1 a1 n1 n1 ]
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能控标准型法，求反馈增益矩阵K的步骤： (1)判断系统能控性。如果状态完全能控，按下列步骤继续。 (2)确定将原系统化为能控标准型 ( A, B , C ) 的变换阵 Pc 2 若给定状态方程已是能控标准型，那么 Pc 2 I ，无需转换
8
y Cx
h11 h 输出反馈增益矩阵： H 21 hr 1
h12 h22 hr 2
h1m h2 m hrm
闭环传递函数矩阵为： GH ( s) C[ sI ( A BHC)]1 B 结论1：当HC＝K时，输出到参考输入的反馈与状态反馈等价。 即对于任意的输出反馈系统，总可以找到一个等价的状态反馈， 即K＝HC。故输出反馈不改变系统的能控性。 结论2：对于状态反馈，从K＝HC中，给定K值，不一定能够解 出H。所以，输出反馈是部分状态反馈，输出信息所包含的不一 定是系统的全部状态变量，适合工程应用，性能较状态反馈差。 结论3：由于反馈引自系统输出，所以输出反馈不影响系统的可 观测性。
1 0 0 x x 1 u 0 2
[解]： （1）先判断该系统的能控性
由对角线标准型判据可知，特征值为－1的状态不能控。 (2)假如加入状态反馈阵K，得到反馈后的特征多项式为：
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f ( ) det[I ( A BK )]
1
k1
从中可以看出，对于－1的极点，状态反馈不起作用，状态
0 ( 1)( 2 k2 ) 2 k2
反馈只能通过k2去影响2这个极点。即状态反馈对不能控
部分状态，不能任意配置其极点。
2）能控标准型法求反馈矩阵（维数较大时，n>3）
求 f ( ) | I ( A BK ) | 将相当繁琐，所以引入能控标准型法。
Gk ( s) C[ sI ( A BK )]1 B 状态反馈闭环传递函数矩阵为：
状态反馈系统的特征方程为： I ( A BK ) 0
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二、输出到参考输入的反馈（又称为输出反馈） 将系统输出量乘以相应的反馈系数馈送到参考输人，其和作为 受控系统的控制输入。（同古典控制，不作过多说明）
(4)由 f ( ) f * ( ) 确定反馈矩阵K： K [ k1 k2 kn ]
[例1] 考虑线性定常系统 x Ax Bu , y Cx
0 其中： A 0 1 1 0 5 0 0 1 , B 0 , C 1 0 0 1 6
能控标准型下，加入状态反馈后，系统矩阵为：
0 1 0 0 0 1 A BK 0 0 ( 0 k1 ) ( 1 k 2 ) ( 2 k 3 )
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0 0 1 ( n1 k n ) 0
经典控制：只能用系统输出作为反馈控制器的输入； 现代控制：由于状态空间模型刻画了系统内部特征， 故而还可用系统内部状态作为反馈控制器的输入。 根据用于控制的系统信息：状态反馈、输出反馈 • • 控制系统的动态性能，主要由其状态矩阵的特征 值（即闭环极点）决定。 基于状态空间表达式，可以通过形成适当的反馈 控制，进而配置系统的极点，使得闭环系统具有 期望的动态特性。
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第6章 状态反馈和状态观测器
目前为止，我们已经：
建立了系统的状态空间模型
提出了基于状态空间模型的系统的运动分析
探讨了系统的性能：稳定性、能控性、能观性 “认识了世界” ⇒ 如何来“改变世界”？！ 设计控制系统！ 系统的控制方式----反馈？：开环控制、闭环控制
第6章 状态反馈和状态观测器
三、输出到状态微分的反馈 将系统的输出量乘以相应的负反馈系数，馈送到状态微分处。 这种反馈在状态观测器中应用广泛，结构和观测器很相似。
u
B



x


A
H nm
x
C

ym1
x Ax Bu 原受控系统 0 ( A, B, C )： y Cx
x ( A HC) x Bu 输出反馈系统状态空间描述为： y Cx
1、首先将原系统 ( A, B, C ) 化为能控标准型 ( A, B , C )
2、求出在能控标准型的状态 x 下的状态反馈矩阵 K
3、求出在原系统的状态 x 下的状态反馈矩阵 K KPc1 2
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证明： K KPc1 2
原系统： x ( A BK ) x Bv 式（ 1 ）
式（1）和式（2）比较，得：K KPc1 2
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[能控标准型下，状态反馈后闭环系统特征多项式及 K ] 能控标准型：此时的系统不变量和原系统相同。
0 0 1 A Pc 2 APc 2 0 0 1 0 0 1 0 1 2 0 , 0 1 n 1 0 0 B Pc1 B 2 0 1
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(2)求状态反馈后闭环系统的特征多项式： f ( ) de t[I ( A BK )] (3)根据给定（或求得）的期望闭环极点，写出期望特征多项式。
f * ( ) 1（ 2 ) n ) n n1 n1 1 0 （ ) （
能控标准型： x ( A BK ) x Bv
x 其中： Pc 2 x, A Pc1 APc 2 , 2 B Pc1 B 2
x Pc 2 x Pc 2 ( A BK ) x Bv Pc 2 ( Pc1 APc 2 Pc1 BK ) Pc1 x Pc1Bv 2 2 2 2 ( A BKPc1 ) x Bv 2 式（2）
v

u
B

x


A
H r m
x
C

ym1
x Ax Bu 原受控系统 0 ( A, B, C )： y Cx Du
输出反馈控制规律： u v Hy 输出反馈系统状态空间描述为：
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x ( A BHC) x Bv
k11 k 反馈增益矩阵： K 21 kr 1 k12 k 22 kr 2 k1 n k2n k rn
K维数是 n r
一般D=0，可化简为：
x ( A BK ) x Bv y Cx
状态反馈闭环系统表示： k ( A BK , B, C )
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四、状态反馈极点配置条件和算法 极点配置：通过反馈增益矩阵K的设计，将加入状态反馈后的 闭环系统的极点配置在S平面期望的位置上。
定理：(极点配置定理) 对线性定常系统 0 ( A, B, C ) 进行状态反馈，反馈后的系统其全部极点得到任意
配置的充要条件是：0 ( A, B, C ) 状态完全能控。 注意：矩阵 A BK 的特征值就是所期望的闭环极点。对 不能控的状态，状态反馈不能改变其特征值。 1、极点配置算法 1）直接法求反馈矩阵K（维数较小时，n≤ 3） (1)判断系统能控性。如果状态完全能控，按下列步骤继续。
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与状态反馈相比较，输出反馈：
缺点
在不增加补偿器的条件下，输出反馈
改变系统性能的效果不如状态反馈 好，不能任意配置系统的全部特征值；
（输出反馈只是状态反馈的一种特例，它能 达到的系统性能，状态反馈一定能达到；反之 则不然。） 优点
输出反馈在技术实现上很方便； 而状态反馈所用的系统状态可能不能直接 测量得到（需要状态观测器重构状态）。
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k3 ]

0 1 k1
1

0 1
3 (6 k3 ) 2 (5 k2 ) 1 k1
5 k 2 6 k3
（3）计算期望的特征多项式
f * ( ) ( 2 4 j )( 2 4 j )( 10) 3 142 60 200
第6章 状态反馈和状态观测器
1. 状态反馈及极点配置 2. 系统的镇定问题
3. 状态观测器 4. 带有观测器的状态反馈系统
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第一节 状态反馈及极点配置
1. 状态反馈与输出反馈 2. 状态反馈极点配置条件和算法 3. 状态反馈闭环系统的能控性和能观测性
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反馈的两种基本形式：状态反馈（1种）、输出反馈（2种） 一、状态反馈 将系统每一个状态变量乘以相应的反馈系数馈送到输入 端与参考输人相加，其和作为受控系统的控制输入。
试设计状态反馈矩阵K，使闭环系统极点为-2±j4和-10。 [解]： （1）先判断该系统的能控性