广东省2018届高考高三数学模拟试题
【高三数学试题精选】2018年普通高等学校招生全国统一考试(广东模拟卷一)数学试题及答案(理科)20
2018年普通高等学校招生全国统一考试(广东模拟卷一)数
学试题及答案(理科)20
5 绝密★启用前试卷类型A
2018年普通高等学校招生全国统一考试(广东模拟卷一)
数学(理科)
本试卷共4页，21小题，满分150分。
考试用时120分钟。
注意事项
1．答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号、试室号、座位号填写在答题卡上。
用2B铅笔将试卷类型（B）填涂在答题卡相应位置上。
将条形码横贴在答题卡右上角“条形码粘贴处”。
2．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上。
3．非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液。
不按以上要求作答的答案无效。
4．作答选做题时．请先用2B铅笔填涂选做题的题号对应的信息点，再作答。
漏涂、错涂、多涂的．答案无效。
5．考生必须保持答题卡的整洁。
考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。
一、选择题本大题共8小题，每小题5分，满分40分．在每小题给出的四个选项中，
只有一项是符合题目要求的．
1．下列说法中，正确的是（）
A．命题“若，则”的逆命题是真命题。
【高三数学试题精选】广东省2018届高三全真数学文科模拟试卷(5)及答案
广东省2018届高三全真数学文科模拟试卷(5)及答案
5 c 广东省AFN的体积．
18 （本小题满分13分）已知定点A（0，1），B（0，－1），c（1，0），动点P满足
（1）求动点P的轨迹方程，并说明方程表示的曲线。
（2）当
19（本小题满分14分）
已知函数，是的一个零点，又在处有极值，在区间和上是单调的，且在这两个区间上的单调性相反．
（1）求的取值范围；
（2）当时，求使成立的实数的取值范围．
--2分
频率分布直方图如右图示--------------------------------------------------4分（2）由表1、表2知，样本中身高在的学生人数为5+14+13+6+3+1=42，样本容量为70 ，所以样本中学生身高在的频率 ----------------6分
故由估计该校学生身高在
的概率．----------------------------8分
（3）样本中身高在180 185c之间的男生有
4人，设其编号为①②③④ 样本中身高在185 190c
之间的男生有2人，设其编号为⑤⑥从上述6人中任取2人
的树状图为
--12分
故从样本中身高在180 190c之间的男生中任选2人得所有可能结果数为15，求至少有1人身高在185 190c之间的可能结果数为9，。
2018年广东省全境 所有市 高考数学模拟试题汇总
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通过我们的努力，能够为您解决问题，这是我们的宗旨，欢迎您下载使用!（11套）2018年广东省所有市高考数学模拟试题汇总2018年广东省东莞市高考数学二调试卷（文科）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）已知A={1，2，4，8，16}，B={y|y=log2x，x∈A}，则A∩B=（）A．{1，2}B．{2，4，8}C．{1，2，4}D．{1，2，4，8}2．（5分）若复数z满足（1+2i）z=（1﹣i），则|z|=（）A．B．C．D．3．（5分）已知sinα﹣cosα=，则sin2α=（）A．﹣ B．﹣ C．D．4．（5分）直线l经过椭圆的一个顶点和一个焦点，若椭圆中心到l的距离为其短轴长的，则该椭圆的离心率为（）A．B．C．D．5．（5分）在△ABC中，B=，BC边上的高等于BC，则sinA=（）A．B．C．D．6．（5分）已知，则z=22x+y的最小值是（）A．1 B．16 C．8 D．47．（5分）执行如图所示的程序框图，则输出的结果为（）A．7 B．9 C．10 D．118．（5分）设函数f（x）=x3+ax2，若曲线y=f（x）在点P（x0，f（x0））处的切线方程为x+y=0，则点P的坐标为（）A．（0，0） B．（1，﹣1）C．（﹣1，1）D．（1，﹣1）或（﹣1，1）9．（5分）在正四棱锥P﹣ABCD中，PA=2，直线PA与平面ABCD所成角为60°，E为PC的中点，则异面直线PA与BE所成角为（）A．90°B．60°C．45°D．30°10．（5分）已知函数f（x）=sinx+λcosx（λ∈R）的图象关于x=﹣对称，则把函数f（x）的图象上每个点的横坐标扩大到原来的2倍，再向右平移，得到函数g（x）的图象，则函数g（x）的一条对称轴方程为（）A．x=B．x=C．x=D．x=11．（5分）函数y=2x2﹣e|x|在[﹣2，2]的图象大致为（）A．B．C．D．12．（5分）已知函数f（x）=xsinx+cosx+x2，则不等式的解集为（）A．（e，+∞）B．（0，e） C．D．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．（5分）设向量=（x，x+1），=（1，2），且⊥，则x=．14．（5分）在各项都为正数的等比数列{a n}中，已知a1=2，，则数列{a n}的通项公式a n=．15．（5分）已知|x|≤2，|y|≤2，点P的坐标为（x，y），当x，y∈R时，点P 满足（x﹣2）2+（y﹣2）2≤4的概率为．16．（5分）已知函数，其中m＞0，若存在实数b，使得关于x的方程f（x）=b有三个不同的零点，则m的取值范围是．三．解答题：共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共60分．17．（12分）已知数列{a n}的前n项和为S n，且S n=2a n﹣2（n∈N*）．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）求数列{S n}的前n项和T n．18．（12分）某城市随机抽取一年（365天）内100天的空气质量指数API的监测数据，结果统计如下：API[0，50]（50，100]（100，150]（150，200]（200，250]（250，300]＞300空气质量优良轻微污染轻度污染中度污染中度重污染重度污染天数413183091115记某企业每天由空气污染造成的经济损失S（单位：元），空气质量指数API为ω．在区间[0，100]对企业没有造成经济损失；在区间（100，300]对企业造成经济损失成直线模型（当API为150时造成的经济损失为500元，当API为200时，造成的经济损失为700元）；当API大于300时造成的经济损失为2000元；（1）试写出是S（ω）的表达式：（2）试估计在本年内随机抽取一天，该天经济损失S大于200元且不超过600元的概率；（3）若本次抽取的样本数据有30天是在供暖季，其中有8天为重度污染，完成下面2×2列联表，并判断能否有95%的把握认为该市本年空气重度污染与供暖有关？附：P（K2≥k0）0.250.150.100.050.0250.0100.0050.001k0 1.32 2.07 2.70 3.848.02 6.637.8710.82K2=非重度污染重度污染合计供暖季非供暖季合计10019．（12分）如图1，矩形ABCD中，AB=12，AD=6，E、F分别为CD、AB边上的点，且DE=3，BF=4，将△BCE沿BE折起至△PBE位置（如图2所示），连结AP、PF，其中PF=2．（1）求证：PF⊥平面ABED；（2）求点A到平面PBE的距离．20．（12分）已知椭圆C：的离心率为，且过点A（2，1）．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）若P，Q是椭圆C上的两个动点，且使∠PAQ的角平分线总垂直于x轴，试判断直线PQ的斜率是否为定值？若是，求出该值；若不是，说明理由．21．（12分）已知函数f（x）=x2﹣（a﹣2）x﹣alnx（a∈R）．（Ⅰ）求函数y=f（x）的单调区间；（Ⅱ）当a=1时，证明：对任意的x＞0，f（x）+e x＞x2+x+2．（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分．答题时请写清题号并将相应信息点涂黑．[选修4-4参数方程与极坐标系]22．（10分）在直角坐标系中，直线的参数方程为（t为参数）在以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C：ρ=2．（Ⅰ）求直线的普通方程和曲线的直角坐标方程；（Ⅱ）求曲线上的点到直线的距离的最大值．[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f（x）=|x+a﹣1|+|x﹣2a|．（1）若f（1）＜3，求实数a的取值范围；（2）若a≥1，x∈R，求证：f（x）≥2．2018年广东省东莞市高考数学二调试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）已知A={1，2，4，8，16}，B={y|y=log2x，x∈A}，则A∩B=（）A．{1，2}B．{2，4，8}C．{1，2，4}D．{1，2，4，8}【解答】解：∵A={1，2，4，8，16}，∴B={y|y=log2x，x∈A}={0，1，2，3，4}，∴A∩B={1，2，4}．故选：C．2．（5分）若复数z满足（1+2i）z=（1﹣i），则|z|=（）A．B．C．D．【解答】解：由（1+2i）z=（1﹣i），得=，则|z|=．故选：C．3．（5分）已知sinα﹣cosα=，则sin2α=（）A．﹣ B．﹣ C．D．【解答】解：∵sinα﹣cosα=，∴（sinα﹣cosα）2=1﹣2sinαcosα=1﹣sin2α=，∴sin2α=﹣，故选：A．4．（5分）直线l经过椭圆的一个顶点和一个焦点，若椭圆中心到l的距离为其短轴长的，则该椭圆的离心率为（）A．B．C．D．【解答】解：设椭圆的方程为：，直线l经过椭圆的一个顶点和一个焦点，则直线方程为：，椭圆中心到l的距离为其短轴长的，可得：，4=b2（），∴，=3，∴e==．故选：B．5．（5分）在△ABC中，B=，BC边上的高等于BC，则sinA=（）A．B．C．D．【解答】解：∵在△ABC中，B=，BC边上的高等于BC，∴AB=BC，由余弦定理得：AC===BC，故BC•BC=AB•AC•sinA=•BC•BC•sinA，∴sinA=，故选：D6．（5分）已知，则z=22x+y的最小值是（）A．1 B．16 C．8 D．4【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图，设m=2x+y，则得y=﹣2x+m，平移直线y=﹣2x+m，由图象可知当直线y=﹣2x+m经过点A时，直线的截距最小，此时m最小，z也最小，由，解得，得A（1，1）此时m=2×1+1=3，z=22x+y=z=23=8，故选：C．7．（5分）执行如图所示的程序框图，则输出的结果为（）A．7 B．9 C．10 D．11【解答】解：模拟程序的运行，可得：，否；，否；，否；，否；，是，输出i=9，故选：B．8．（5分）设函数f（x）=x3+ax2，若曲线y=f（x）在点P（x0，f（x0））处的切线方程为x+y=0，则点P的坐标为（）A．（0，0） B．（1，﹣1）C．（﹣1，1）D．（1，﹣1）或（﹣1，1）【解答】解：∵f（x）=x3+ax2，∴f′（x）=3x2+2ax，∵函数在点（x0，f（x0））处的切线方程为x+y=0，∴3x02+2ax0=﹣1，∵x0+x03+ax02=0，解得x0=±1．当x0=1时，f（x0）=﹣1，当x0=﹣1时，f（x0）=1．故选：D．9．（5分）在正四棱锥P﹣ABCD中，PA=2，直线PA与平面ABCD所成角为60°，E为PC的中点，则异面直线PA与BE所成角为（）A．90°B．60°C．45°D．30°【解答】解：连接AC，BD交于点O，连接OE，OP因为E为PC中点，所以OE∥PA，所以∠OEB即为异面直线PA与BE所成的角．因为四棱锥P﹣ABCD为正四棱锥，所以PO⊥平面ABCD，所以AO为PA在面ABCD内的射影，所以∠PAO即为PA与面ABCD所成的角，即∠PAO=60°，因为PA=2，所以OA=OB=1，OE=1．所以在直角三角形EOB中∠OEB=45°，即面直线PA与BE所成的角为45°．故选：C．10．（5分）已知函数f（x）=sinx+λcosx（λ∈R）的图象关于x=﹣对称，则把函数f（x）的图象上每个点的横坐标扩大到原来的2倍，再向右平移，得到函数g（x）的图象，则函数g（x）的一条对称轴方程为（）A．x=B．x=C．x=D．x=【解答】解：根据函数f（x）=sinx+λcosx（λ∈R）的图象关于x=﹣对称，可得，可得λ=﹣1，所以．把f（x）的图象横坐标扩大到原来的2倍，可得y=sin（x﹣）的图象，再向右平移，得到函数g（x）=sin[（x﹣）﹣]=sin（x﹣）的图象，即g（x）=sin（﹣），令=kπ+，求得x=2kπ+，k∈Z，故函数g（x）的图象的对称轴方程为x=2kπ+，k∈Z．当k=0时，对称轴的方程为，故选：D．11．（5分）函数y=2x2﹣e|x|在[﹣2，2]的图象大致为（）A．B．C．D．【解答】解：∵f（x）=y=2x2﹣e|x|，∴f（﹣x）=2（﹣x）2﹣e|﹣x|=2x2﹣e|x|，故函数为偶函数，当x=±2时，y=8﹣e2∈（0，1），故排除A，B；当x∈[0，2]时，f（x）=y=2x2﹣e x，∴f′（x）=4x﹣e x=0有解，故函数y=2x2﹣e|x|在[0，2]不是单调的，故排除C，故选：D12．（5分）已知函数f（x）=xsinx+cosx+x2，则不等式的解集为（）A．（e，+∞）B．（0，e） C．D．【解答】解：函数f（x）=xsinx+cosx+x2的导数为：f′（x）=sinx+xcosx﹣sinx+2x=x（2+cosx），则x＞0时，f′（x）＞0，f（x）递增，且f（﹣x）=xsinx+cos（﹣x）+（﹣x）2=f（x），则为偶函数，即有f（x）=f（|x|），则不等式，即为f（lnx）＜f（1）即为f（|lnx|）＜f（1），则|lnx|＜1，即﹣1＜lnx＜1，解得，＜x＜e．故选：D．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．（5分）设向量=（x，x+1），=（1，2），且⊥，则x=．【解答】解：∵；∴；即x+2（x+1）=0；∴．故答案为：．14．（5分）在各项都为正数的等比数列{a n}中，已知a1=2，，则数列{a n}的通项公式a n=．【解答】解：设等比数列{a n}的公比为q＞0，∵a1=2，，∴+=4，化为：q4﹣4q2+4=0，解得q2=2，q＞0，解得q=．则数列{a n}的通项公式a n==．故答案为：．15．（5分）已知|x|≤2，|y|≤2，点P的坐标为（x，y），当x，y∈R时，点P 满足（x﹣2）2+（y﹣2）2≤4的概率为．【解答】解：如图，点P所在的区域为正方形ABCD及其内部满足（x﹣2）2+（y﹣2）2≤4的点位于的区域是以C（2，2）为圆心，半径等于2的圆及其内部∴P满足（x﹣2）2+（y﹣2）2≤4的概率为P1===．故答案为：16．（5分）已知函数，其中m＞0，若存在实数b，使得关于x的方程f（x）=b有三个不同的零点，则m的取值范围是（3，+∞）．【解答】解：当m＞0时，函数的图象如下：∵x＞m时，f（x）=x2﹣2mx+4m=（x﹣m）2+4m﹣m2＞4m﹣m2，∴y要使得关于x的方程f（x）=b有三个不同的根，必须4m﹣m2＜m（m＞0），即m2＞3m（m＞0），解得m＞3，∴m的取值范围是（3，+∞），故答案为：（3，+∞）．三．解答题：共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共60分．17．（12分）已知数列{a n}的前n项和为S n，且S n=2a n﹣2（n∈N*）．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）求数列{S n}的前n项和T n．【解答】解：（Ⅰ）列{a n}的前n项和为S n，且S n=2a n﹣2①．=2a n+1﹣2②，则：S n+1=2a n，②﹣①得：a n+1即：（常数），当n=1时，a1=S1=2a1﹣2，解得：a1=2，所以数列的通项公式为：，（Ⅱ）由于：，则：，=，=2n +1﹣2．﹣2﹣2﹣ (2)=2n+2﹣4﹣2n．18．（12分）某城市随机抽取一年（365天）内100天的空气质量指数API的监测数据，结果统计如下：API[0，50]（50，100]（100，150]（150，200]（200，250]（250，300]＞300空气质量优良轻微污染轻度污染中度污染中度重污染重度污染天数413183091115记某企业每天由空气污染造成的经济损失S（单位：元），空气质量指数API为ω．在区间[0，100]对企业没有造成经济损失；在区间（100，300]对企业造成经济损失成直线模型（当API为150时造成的经济损失为500元，当API为200时，造成的经济损失为700元）；当API大于300时造成的经济损失为2000元；（1）试写出是S（ω）的表达式：（2）试估计在本年内随机抽取一天，该天经济损失S大于200元且不超过600元的概率；（3）若本次抽取的样本数据有30天是在供暖季，其中有8天为重度污染，完成下面2×2列联表，并判断能否有95%的把握认为该市本年空气重度污染与供暖有关？附：P（K2≥k0）0.250.150.100.050.0250.0100.0050.001k0 1.32 2.07 2.70 3.848.02 6.637.8710.82K2=非重度污染重度污染合计供暖季非供暖季合计100【解答】解：（1）根据在区间[0，100]对企业没有造成经济损失；在区间（100，300]对企业造成经济损失成直线模型（当API为150时造成的经济损失为500元，当API为200时，造成的经济损失为700元）；当API大于300时造成的经济损失为2000元，可得S（ω）=；（2）设“在本年内随机抽取一天，该天经济损失S大于200元且不超过600元”为事件A；由200＜S≤600，得100＜ω≤175，频数为33，∴P（A）=；（2）根据以上数据得到如表：非重度污染重度污染合计供暖季22830非供暖季63770合计8515100K2的观测值K2=≈4.575＞3.841所以有95%的把握认为空气重度污染与供暖有关．19．（12分）如图1，矩形ABCD中，AB=12，AD=6，E、F分别为CD、AB边上的点，且DE=3，BF=4，将△BCE沿BE折起至△PBE位置（如图2所示），连结AP、PF，其中PF=2．（1）求证：PF⊥平面ABED；（2）求点A到平面PBE的距离．【解答】解：（1）连结EF，由翻折不变性可知，PB=BC=6，PE=CE=9，在△PBF中，PF2+BF2=20+16=36=PB2，所以PF⊥BF…（2分）在图1中，利用勾股定理，得EF==，在△PEF中，EF2+PF2=61+20=81=PE2，∴PF⊥EF…（4分）又∵BF∩EF=F，BF⊂平面ABED，EF⊂平面ABED，∴PF⊥平面ABED．…（6分）（2）解：由（1）知PF⊥平面ABED，∴PF为三棱锥P﹣ABE的高．…（8分）设点A到平面PBE的距离为h，由等体积法得V A=V P﹣ABE，…（10分）﹣PBE即∴h=，即点A到平面PBE的距离为．…（14分）20．（12分）已知椭圆C：的离心率为，且过点A（2，1）．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）若P，Q是椭圆C上的两个动点，且使∠PAQ的角平分线总垂直于x轴，试判断直线PQ的斜率是否为定值？若是，求出该值；若不是，说明理由．【解答】解：（Ⅰ）因为椭圆C的离心率为，且过点A（2，1），所以，．…（2分）因为a2=b2+c2，解得a2=8，b2=2，…（3分）所以椭圆C的方程为．…（4分）（Ⅱ）解法一：因为∠PAQ的角平分线总垂直于x轴，所以PA与AQ所在直线关于直线x=2对称．设直线PA的斜率为k，则直线AQ的斜率为﹣k．…（5分）所以直线PA的方程为y﹣1=k（x﹣2），直线AQ的方程为y﹣1=﹣k（x﹣2）．设点P（x P，y P），Q（x Q，y Q），由，消去y，得（1+4k2）x2﹣（16k2﹣8k）x+16k2﹣16k﹣4=0．①因为点A（2，1）在椭圆C上，所以x=2是方程①的一个根，则，…（6分）所以．…（7分）同理．…（8分）所以．…（9分）又．…（10分）所以直线PQ的斜率为．…（11分）所以直线PQ的斜率为定值，该值为．…（12分）解法二：设点P（x1，y1），Q（x2，y2），则直线PA的斜率，直线QA的斜率．因为∠PAQ的角平分线总垂直于x轴，所以PA与AQ所在直线关于直线x=2对称．所以k PA=﹣k QA，即，①…（5分）因为点P（x1，y1），Q（x2，y2）在椭圆C上，所以，②．③由②得，得，④…（6分）同理由③得，⑤…（7分）由①④⑤得，化简得x1y2+x2y1+（x1+x2）+2（y1+y2）+4=0，⑥…（8分）由①得x1y2+x2y1﹣（x1+x2）﹣2（y1+y2）+4=0，⑦…（9分）⑥﹣⑦得x1+x2=﹣2（y1+y2）．…（10分）②﹣③得，得．…（11分）所以直线PQ的斜率为为定值．…（12分）解法三：设直线PQ的方程为y=kx+b，点P（x1，y1），Q（x2，y2），则y1=kx1+b，y2=kx2+b，直线PA的斜率，直线QA的斜率．…（5分）因为∠PAQ的角平分线总垂直于x轴，所以PA与AQ所在直线关于直线x=2对称．所以k PA=﹣k QA，即=，…（6分）化简得x1y2+x2y1﹣（x1+x2）﹣2（y1+y2）+4=0．把y1=kx1+b，y2=kx2+b代入上式，并化简得2kx1x2+（b﹣1﹣2k）（x1+x2）﹣4b+4=0．（*）…（7分）由，消去y得（4k2+1）x2+8kbx+4b2﹣8=0，（**）则，…（8分）代入（*）得，…（9分）整理得（2k﹣1）（b+2k﹣1）=0，所以或b=1﹣2k．…（10分）若b=1﹣2k，可得方程（**）的一个根为2，不合题意．…（11分）若时，合题意．所以直线PQ的斜率为定值，该值为．…（12分）21．（12分）已知函数f（x）=x2﹣（a﹣2）x﹣alnx（a∈R）．（Ⅰ）求函数y=f（x）的单调区间；（Ⅱ）当a=1时，证明：对任意的x＞0，f（x）+e x＞x2+x+2．【解答】解：（Ⅰ）函数f（x）的定义域是（0，+∞），f′（x）=2x﹣（a﹣2）﹣=…（2分）当a≤0时，f′（x）＞0对任意x∈（0，+∞）恒成立，所以，函数f（x）在区间（0，+∞）单调递增；…（4分）当a＞0时，由f′（x）＞0得x＞，由f′（x）＜0，得0＜x＜，所以，函数在区间（，+∞）上单调递增，在区间（0，）上单调递减；（Ⅱ）当a=1时，f（x）=x2+x﹣lnx，要证明f（x）+e x＞x2+x+2，只需证明e x﹣lnx﹣2＞0，设g（x）=e x﹣lnx﹣2，则问题转化为证明对任意的x＞0，g（x）＞0，令g′（x）=e x﹣=0，得e x=，容易知道该方程有唯一解，不妨设为x0，则x0满足e x0=，当x变化时，g′（x）和g（x）变化情况如下表x（0，x0）x0（x0，∞）g′（x）﹣0+g（x）递减递增g（x）min=g（x0）=e x0﹣lnx0﹣2=+x0﹣2，因为x0＞0，且x0≠1，所以g（x）min＞2﹣2=0，因此不等式得证．（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分．答题时请写清题号并将相应信息点涂黑．[选修4-4参数方程与极坐标系]22．（10分）在直角坐标系中，直线的参数方程为（t为参数）在以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C：ρ=2．（Ⅰ）求直线的普通方程和曲线的直角坐标方程；（Ⅱ）求曲线上的点到直线的距离的最大值．【解答】解：（Ⅰ）直线的参数方程为（t为参数），转化为：x+y﹣4=0．曲线C：ρ=2．转化为：x2+y2=2x+2y，即：x2+y2﹣2x﹣2y=0．（Ⅱ）圆的方程x2+y2﹣2x﹣2y=0，转化为标准式为：（x﹣1）2+（y﹣1）2=2，则：圆心（1，1）到直线的距离d=，所以：曲线上的点到直线的最大距离为：．[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f（x）=|x+a﹣1|+|x﹣2a|．（1）若f（1）＜3，求实数a的取值范围；（2）若a≥1，x∈R，求证：f（x）≥2．【解答】解：（1）因为f（1）＜3，所以|a|+|1﹣2a|＜3．①当a≤0时，得﹣a+（1﹣2a）＜3，解得a＞﹣，所以﹣＜a≤0；②当0＜a＜时，得a+（1﹣2a）＜3，解得a＞﹣2，所以0＜a＜；③当a≥时，得a﹣（1﹣2a）＜3，解得a＜，所以≤a＜；综上所述，实数a的取值范围是（﹣，）．（2）因为a≥1，x∈R，所以f（x）=|x+a﹣1|+|x﹣2a|≥|（x+a﹣1）﹣（x﹣2a）|=|3a﹣1|=3a﹣1≥2．2018年安徽省淮北市高考数学一模试卷（理科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分1．（5分）设复数Z满足（1+i）Z=i，则|Z|=（）A．B．C．D．22．（5分）已知A={x|x2﹣2x﹣3≤0}，B={y|y=x2+1}，则A∩B=（）A．[﹣1，3]B．[﹣3，2]C．[2，3]D．[1，3]3．（5分）函数f（x）=+ln|x|的图象大致为（）A．B．C．D．4．（5分）《九章算术》是我国古代第一部数字专著，是《算经十书》中最重要的一种，成于公元一世纪左右，它是一本综合性的历史著作，是当时世界上最简练有效的应用数学，“更相减损术”便是《九章算术》中记录的一种求最大公约数的算法，按其算理流程有如图所示程序框图，若输入的a、b分别为96、42，则输出的i为（）A．4 B．5 C．6 D．75．（5分）如果实数x，y满足关系，又≥λ恒成立，则λ的取值范围为（）A．（﹣∞，]B．（﹣∞，3]C．[，+∞）D．（3，+∞）6．（5分）某空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A．B．C．D．7．（5分）已知等比数列{a n}中，a5=3，a4a7=45，则的值为（）A．3 B．5 C．9 D．258．（5分）已知F是双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的右焦点，若点F关于双曲线的一条渐近线对称的点恰好落在双曲线的左支上，则双曲线的离心率为（）A．B．C．D．9．（5分）函数f（x）在定义域R内可导，若f（1+x）=f（3﹣x），且当x∈（﹣∞，2）时，（x﹣2）f（x）＜0，设a=f（0），b=f（），c=f（3），则a，b，c的大小关系是（）A．a＞b＞c B．c＞a＞b C．c＞b＞a D．b＞c＞a10．（5分）已知函数f（x）=asinx﹣2cosx的一条对称轴为x=﹣，且f（x1）•f（x2）=﹣16，则|x1+x2|的最小值为（）A．B．C． D．11．（5分）对于向量a，b，定义a×b为向量a，b的向量积，其运算结果为一个向量，且规定a×b的模|a×b|=|a||b|sinθ（其中θ为向量a与b的夹角），a ×b的方向与向量a，b的方向都垂直，且使得a，b，a×b依次构成右手系．如图，在平行六面体ABCD﹣EFGH中，∠EAB=∠EAD=∠BAD=60°，AB=AD=AE=2，则=（）A．4 B．8 C．D．12．（5分）若存在实数x使得关于x的不等式（e x﹣a）2+x2﹣2ax+a2≤成立，则实数a的取值范围是（）A．{} B．{} C．[，+∞）D．[，+∞）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分13．（5分）已知等差数列{a n}前15项的和S15=30，则a2+a9+a13=．14．（5分）若的二项展开式中的所有二项式系数之和等于256，则该展开式中常数项的值为．15．（5分）已知函数f（x）的定义域为R，其导函数f′（x）的图象如图所示，则对于任意x1，x2∈R（x1≠x2），下列结论正确的序号是①f（x）＜0恒成立；②（x1﹣x2）[f（x1）﹣f（x2）]＜0；③（x1﹣x2）[f（x1）﹣f（x2）]＞0；④f（）＞f（）⑤f（）＜f（）16．（5分）在△ABC中，D、E分别是AB、AC的中点，M是直线DE上的动点．若△ABC的面积为2，则•+2的最小值为．三、解答题17．（12分）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且acosB=（3c ﹣b）cosA．（1）求cosA的值；（2）若b=3，点M在线段BC上，=2，||=3，求△ABC的面积．18．（12分）在如图所示的圆台中，AB，CD分别是下底面圆O，上底面圆O′的直径，满足AB⊥CD，又DE为圆台的一条母线，且与底面ABE成角．（Ⅰ）若面BCD与面ABE的交线为l，证明：l∥面CDE；（Ⅱ）若AB=2CD，求平面BCD的与平面ABE所成锐二面角的余弦值．19．（12分）如图为2017届淮北师范大学数学与应用数学专业N名毕业生的综合测评成绩（百分制）分布直方图，已知80～90分数段的学员数为21人．（Ⅰ）求该专业毕业总人数N和90～95分数段内的人数n；（Ⅱ）现欲将90～95分数段内的n名毕业生随机的分配往A、B、C三所学校，若每所学校至少分配两名毕业生，且甲乙两人必须进同一所学校，共有多少种不同的分配方法？（Ⅲ）若90～95分数段内的这n名毕业生中恰有两女生，设随机变量ξ表示n 名毕业生中分配往乙学校的两名学生中女生的人数，求ξ的分布列和数学期望．20．（12分）已知椭圆C：+=1（a＞b＞0），其左右焦点为F1，F2，过F1直线l：x+my+=0与椭圆C交于A，B两点，且椭圆离心率e=；（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）若椭圆存在点M，使得2=+，求直线l的方程．21．（12分）设函数f（x）=x2﹣alnx，其中a∈R．（1）若函数f（x）在[，+∞）上单调递增，求实数a的取值范围；（2）设正实数m1，m2满足m1+m2=1，当a＞0时，求证：对任意的两个正实数x1，x2，总有f（m1x1+m2x2）≤m1f（x1）+m2f（x2）成立；（3）当a=2时，若正实数x1，x2，x3满足x1+x2+x3=3，求f（x1）+f（x2）+f（x3）的最小值．[选修4-4：坐标系与参数方程选讲]22．（10分）在直角坐标系xOy中，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，圆C的极坐标方程为ρ=2sin（θ﹣），直线l的参数方程为t为参数，直线l和圆C交于A，B两点．（Ⅰ）求圆C的直角坐标方程；（Ⅱ）设l上一定点M（0，1），求|MA|•|MB|的值．[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f（x）=|x﹣m|﹣3，且f（x）≥0的解集为（﹣∞，﹣2]∪[4，+∞）．（Ⅰ）求m的值；（Ⅱ）若∃x∈R，使得f（x）≥t+|2﹣x|成立，求实数t的取值范围．2018年安徽省淮北市高考数学一模试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分1．（5分）设复数Z满足（1+i）Z=i，则|Z|=（）A．B．C．D．2【解答】解：由（1+i）Z=i，得Z=，∴|Z|=．故选：A．2．（5分）已知A={x|x2﹣2x﹣3≤0}，B={y|y=x2+1}，则A∩B=（）A．[﹣1，3]B．[﹣3，2]C．[2，3]D．[1，3]【解答】解：A={x|x2﹣2x﹣3≤0}={x|﹣1≤x≤3}，B={y|y=x2+1}={y|y≥1}，则A∩B={x|1≤x≤3}=[1，3]，故选：D3．（5分）函数f（x）=+ln|x|的图象大致为（）A．B．C．D．【解答】解：当x＜0时，函数f（x）=，由函数y=、y=ln（﹣x）递减知函数f（x）=递减，排除CD；当x＞0时，函数f（x）=，此时，f（1）==1，而选项A的最小值为2，故可排除A，只有B正确，故选：B．4．（5分）《九章算术》是我国古代第一部数字专著，是《算经十书》中最重要的一种，成于公元一世纪左右，它是一本综合性的历史著作，是当时世界上最简练有效的应用数学，“更相减损术”便是《九章算术》中记录的一种求最大公约数的算法，按其算理流程有如图所示程序框图，若输入的a、b分别为96、42，则输出的i为（）A．4 B．5 C．6 D．7【解答】解：由程序框图可知：当a=96，b=42时，满足a＞b，则a=96﹣42=54，i=1由a＞b，则a=54﹣42=12，i=2由a＜b，则b=42﹣12=30，i=3由a＜b，则b=30﹣12=18，i=4由a＜b，则b=18﹣12=6，i=5由a＞b，则a=12﹣6=6，i=6由a=b=6，输出i=6．故选：C．5．（5分）如果实数x，y满足关系，又≥λ恒成立，则λ的取值范围为（）A．（﹣∞，]B．（﹣∞，3]C．[，+∞）D．（3，+∞）【解答】解：设z==2+，z的几何意义是区域内的点到D（3，1）的斜率加2，作出实数x，y满足关系对应的平面区域如图：由图形，可得C（，），由图象可知，直线CD的斜率最小值为=，∴z的最小值为，∴λ的取值范围是（﹣∞，]．故选：A．6．（5分）某空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A．B．C．D．【解答】解：由三视图得该几何体是从四棱锥P﹣ABCD中挖去一个半圆锥，四棱锥的底面是以2为边长的正方形、高是2，圆锥的底面半径是1、高是2，∴所求的体积V==，故选：B．7．（5分）已知等比数列{a n}中，a5=3，a4a7=45，则的值为（）A．3 B．5 C．9 D．25【解答】解：根据题意，等比数列{a n}中，a5=3，a4a7=45，则有a6==15，则q==5，则==q2=25；故选：D．8．（5分）已知F是双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的右焦点，若点F关于双曲线的一条渐近线对称的点恰好落在双曲线的左支上，则双曲线的离心率为（）A．B．C．D．【解答】解：设F（c，0），渐近线方程为y=x，对称点为F'（m，n），即有=﹣，且•n=•，解得m=，n=﹣，将F'（，﹣），即（，﹣），代入双曲线的方程可得﹣=1，化简可得﹣4=1，即有e2=5，解得e=．故选：C．9．（5分）函数f（x）在定义域R内可导，若f（1+x）=f（3﹣x），且当x∈（﹣∞，2）时，（x﹣2）f（x）＜0，设a=f（0），b=f（），c=f（3），则a，b，c的大小关系是（）A．a＞b＞c B．c＞a＞b C．c＞b＞a D．b＞c＞a【解答】解：∵f（1+x）=f（3﹣x），∴函数f（x）的图象关于直线x=2对称，∴f（3）=f（1）．当x∈（﹣∞，2）时，（x﹣2）f′（x）＜0，∴f′（x）＞0，即f（x）单调递增，∵0＜＜1，∴f（0）＜f（）＜f（2），即a＜b＜c，故选：D．10．（5分）已知函数f（x）=asinx﹣2cosx的一条对称轴为x=﹣，且f（x1）•f（x2）=﹣16，则|x1+x2|的最小值为（）A．B．C． D．【解答】解：f（x）=asinx﹣2cosx=sin（x+θ），由于函数f（x）的对称轴为：x=﹣，所以f（﹣）=﹣a﹣3，则|﹣a﹣3|=，解得：a=2；所以：f（x）=4sin（x﹣），由于：f（x1）•f（x2）=﹣16，所以函数f（x）必须取得最大值和最小值，所以：x1=2kπ+或x2=2kπ﹣，k∈Z；所以：|x1+x2|的最小值为．故选：C．11．（5分）对于向量a，b，定义a×b为向量a，b的向量积，其运算结果为一个向量，且规定a×b的模|a×b|=|a||b|sinθ（其中θ为向量a与b的夹角），a ×b的方向与向量a，b的方向都垂直，且使得a，b，a×b依次构成右手系．如图，在平行六面体ABCD﹣EFGH中，∠EAB=∠EAD=∠BAD=60°，AB=AD=AE=2，则=（）A．4 B．8 C．D．【解答】解：据向量积定义知，向量垂直平面ABCD，且方向向上，设与所成角为θ．∵∠EAB=∠EAD=∠BAD=60°，∴点E在底面ABCD上的射影在直线AC上．作EI⊥AC于I，则EI⊥面ABCD，∴θ+∠EAI=．过I作IJ⊥AD于J，连EJ，由三垂线逆定理可得EJ⊥AD．∵AE=2，∠EAD=60°，∴AJ=1，EJ=．又∵∠CAD=30°，IJ⊥AD，∴AI=．∵AE=2，EI⊥AC，∴cos∠EAI==．∴sinθ==cos∠EAI=，cosθ=．故=||||sin∠BAD||cosθ=8××=，故选D．12．（5分）若存在实数x使得关于x的不等式（e x﹣a）2+x2﹣2ax+a2≤成立，则实数a的取值范围是（）A．{} B．{} C．[，+∞）D．[，+∞）【解答】解：不等式（e x﹣a）2+x2﹣2ax+a2≤成立，即为（e x﹣a）2+（x﹣a）2≤，表示点（x，e x）与（a，a）的距离的平方不超过，即最大值为．由（a，a）在直线l：y=x上，设与直线l平行且与y=e x相切的直线的切点为（m，n），可得切线的斜率为e m=1，解得m=0，n=1，切点为（0，1），由切点到直线l的距离为直线l上的点与曲线y=e x的距离的最小值，可得（0﹣a）2+（1+a）2=，解得a=，则a的取值集合为{}．故选：A．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分13．（5分）已知等差数列{a n}前15项的和S15=30，则a2+a9+a13=6．【解答】解：∵设等差数列的等差为d，{a n}前15项的和S15=30，∴=30，即a1+7d=2，则a2+a9+a13=（a1+d）+（a1+8d）+（a1+12d）=3（a1+7d）=6．故答案为：6．14．（5分）若的二项展开式中的所有二项式系数之和等于256，则该展开式中常数项的值为1120．【解答】解：由题意可知，2n=256，解得n=8．∴=，其展开式的通项=，令8﹣2r=0，得r=4．∴该展开式中常数项的值为．故答案为：1120．15．（5分）已知函数f（x）的定义域为R，其导函数f′（x）的图象如图所示，则对于任意x1，x2∈R（x1≠x2），下列结论正确的序号是②⑤①f（x）＜0恒成立；②（x1﹣x2）[f（x1）﹣f（x2）]＜0；③（x1﹣x2）[f（x1）﹣f（x2）]＞0；④f（）＞f（）⑤f（）＜f（）【解答】解：由导函数的图象可知，导函数f′（x）的图象在x轴下方，即f′（x）＜0，故原函数为减函数，并且是，递减的速度是先快后慢．所以f（x）的图象如图所示：f（x）＜0恒成立，没有依据，故①不正确；②表示（x1﹣x2）与[f（x1）﹣f（x2）]异号，即f（x）为减函数．故②正确；③表示（x1﹣x2）与[f（x1）﹣f（x2）]同号，即f（x）为增函数．故③不正确，④⑤左边边的式子意义为x1，x2中点对应的函数值，即图中点B的纵坐标值，右边式子代表的是函数值得平均值，即图中点A的纵坐标值，显然有左边小于右边，故④不正确，⑤正确，综上，正确的结论为②⑤．故答案为：②⑤．16．（5分）在△ABC中，D、E分别是AB、AC的中点，M是直线DE上的动点．若△ABC的面积为2，则•+2的最小值为2．【解答】解：∵D、E是AB、AC的中点，∴M到BC的距离等于点A到BC的距离的一半，∴S△ABC =2S△MBC，而△ABC的面积2，则△MBC的面积S△MBC=1，S△MBC=丨MB丨•丨MC丨sin∠BMC=1，∴丨MB丨•丨MC丨=．∴•=丨MB丨•丨MC丨cos∠BMC=．由余弦定理，丨BC丨2=丨BM丨2+丨CM丨2﹣2丨BM丨•丨CM丨cos∠BMC，显然，BM、CM都是正数，∴丨BM丨2+丨CM丨2≥2丨BM丨•丨CM丨，∴丨BC丨2=丨BM丨2+丨CM丨2﹣2丨BM丨×丨CM丨cos∠BMC=2×﹣2×．∴•+2≥+2×﹣2×=2•，方法一：令y=，则y′=，令y′=0，则cos∠BMC=，此时函数在（0，）上单调减，在（，1）上单调增，∴cos∠BMC=时，取得最小值为，•+2的最小值为2；方法二：令y=，则ysin∠BMC+cos∠BMC=2，则sin（∠BMC+α）=2，tanα=，则sin（∠BMC+α）=≤1，解得：y≥，则•+2的最小值为2；故答案为：2．三、解答题17．（12分）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且acosB=（3c ﹣b）cosA．（1）求cosA的值；（2）若b=3，点M在线段BC上，=2，||=3，求△ABC的面积．【解答】（本题满分为12分）解：（1）因为acosB=（3c﹣b）cosA，由正弦定理得：sinAcosB=（3sinC﹣sinB）cosA，即sinAcosB+sinBcosA=3sinCcosA，可得：sinC=3sinCcosA，在△ABC中，sinC≠0，所以．…（5分）（2）∵=2，两边平方得：=4，由b=3，||=3，，可得：，解得：c=7或c=﹣9（舍），所以△ABC的面积．…（12分）18．（12分）在如图所示的圆台中，AB，CD分别是下底面圆O，上底面圆O′的直径，满足AB⊥CD，又DE为圆台的一条母线，且与底面ABE成角．（Ⅰ）若面BCD与面ABE的交线为l，证明：l∥面CDE；（Ⅱ）若AB=2CD，求平面BCD的与平面ABE所成锐二面角的余弦值．【解答】（Ⅰ）证明：如图，在圆台OO′中，∵CD⊂圆O′，∴CD∥平面ABE，∵面BCD∩面ABE=l，∴l∥CD，∵CD⊂平面CDE，l⊄平面CDE，∴l∥面CDE；（Ⅱ）解：连接OO′、BO′、OE，则CD∥OE，由AB⊥CD，得AB⊥OE，又O′B在底面的射影为OB，由三垂线定理知：O′B⊥OE，∴O′B⊥CD，∴∠O′BO就是求面BCD与底面ABE所成二面角的平面角．设AB=4，由母线与底面成角，可得OE=2O′D=2，DE=2，OB=2，OO′=，∴cos∠O′BO=．19．（12分）如图为2017届淮北师范大学数学与应用数学专业N名毕业生的综合测评成绩（百分制）分布直方图，已知80～90分数段的学员数为21人．（Ⅰ）求该专业毕业总人数N和90～95分数段内的人数n；（Ⅱ）现欲将90～95分数段内的n名毕业生随机的分配往A、B、C三所学校，若每所学校至少分配两名毕业生，且甲乙两人必须进同一所学校，共有多少种不同的分配方法？（Ⅲ）若90～95分数段内的这n名毕业生中恰有两女生，设随机变量ξ表示n 名毕业生中分配往乙学校的两名学生中女生的人数，求ξ的分布列和数学期望．【解答】解：（Ⅰ）80～90分数段的毕业生的频率为：p1=（0.04+0.03）×5=0.35，此分数段的学员总数为21人，∴毕业生的总人数N为N==60，90～95分数段内的人数频率为：p2=1﹣（0.01+0.04+0.05+0.04+0.03+0.01）×5=0.1，∴90～95分数段内的人数n=60×0.1=6．（Ⅱ）将90～95分数段内的6名毕业生随机的分配往A、B、C三所学校，每所学校至少分配两名毕业生，且甲乙两人必须进同一所学校，共有：=18不同的分配方法．（Ⅲ）ξ所有可能取值为0，1，2，P（ξ=0）==，P（ξ=1）==，P（ξ=2）==，所以ξ的分布列为：ξ012P所以随机变量ξ数学期望为E（ξ）==．20．（12分）已知椭圆C：+=1（a＞b＞0），其左右焦点为F1，F2，过F1直线l：x+my+=0与椭圆C交于A，B两点，且椭圆离心率e=；（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）若椭圆存在点M，使得2=+，求直线l的方程．【解答】解：（Ⅰ）过F1直线l：x+my+=0，令y=0，解得x=﹣，∴c=，∵e==，∴a=2，∴b2=a2﹣c2=4﹣3=1，∴椭圆C的方程为+y2=1；（Ⅱ）设A（x1，y1），B（x2，y2），M（x3，y3），由2=+，得：x3=x1+x2，y3=y1+y2代入椭圆方程可得：（x1+x2）2+（y1+y2）2﹣1=0，∴（x12+y12）+（x22+y22）+（x1x2+4y1y2）=1，∴x1x2+4y1y2=0联立方程消x可得（m2+4）y2+2my﹣1=0，∴y1+y2=，y1y2=，∴x1x2+4y1y2=（my1+）（my2+）+4y1y2=（m2+4）4y1y2+m（y1+y2）+3=0，即m2=2，解得m=±所求直线l的方程：x±y+=0．21．（12分）设函数f（x）=x2﹣alnx，其中a∈R．（1）若函数f（x）在[，+∞）上单调递增，求实数a的取值范围；（2）设正实数m1，m2满足m1+m2=1，当a＞0时，求证：对任意的两个正实数x1，x2，总有f（m1x1+m2x2）≤m1f（x1）+m2f（x2）成立；（3）当a=2时，若正实数x1，x2，x3满足x1+x2+x3=3，求f（x1）+f（x2）+f（x3）的最小值．【解答】解：（1）函数f（x）=x2﹣alnx，导数为f′（x）=x﹣，函数f（x）在[，+∞）上单调递增，可得f′（x）=x﹣≥0在[，+∞）恒成立，即为a≤x2的最小值，由x2在[，+∞）的最小值为，可得a≤；（2）证明：由f（x）=x2﹣alnx，a＞0，可得f′（x）=x﹣，f″（x）=1+＞0，即有f（x）为凹函数，由m1+m2=1，可得对任意的两个正实数x1，x2，总有f（m1x1+m2x2）≤m1f（x1）+m2f（x2）成立；（3）由f（x）=x2﹣2lnx，可得导数为f′（x）=x﹣，f″（x）=1+＞0，则f（x）为凹函数，有f（）≤[f（x1）+f（x2）+f（x3）]，即为f（x1）+f（x2）+f（x3）≥3f（）=3f（1）=3×=，则f（x1）+f（x2）+f（x3）的最小值为．。
普通高等学校2018届高三招生全国统一考试模拟试题(二)数学(文)试题word含答案
普通高等学校2018届高三招生全国统一考试模拟试题(二)数学(文)试题word含答案普通高等学校招生全国统一考试模拟试题——文科数学（二）本试卷满分150分，考试时间120分钟。
注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题纸上。
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题纸上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
回答非选择题时，将答案写在答题纸上，写在本试卷上无效。
3.考试结束后，将本试卷和答题纸一并交回。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合 $A=\{x|x-\frac{1}{2}<0\}$，$B=\{x|x-\frac{(2a+8)}{a(a+8)}<0\}$，若 $A\cap B=A$，则实数 $a$ 的取值范围是A。
$(-4,-3)$B。
$[-4,-3]$C。
$(-\infty,-3)\cup(4,+\infty)$D。
$(-3,4)$2.已知复数 $z=\frac{3+i}{2-3i}$，则 $z$ 的实部与虚部的和为A。
$-\frac{2}{5}+\frac{1}{5}i$B。
$-\frac{2}{5}-\frac{1}{5}i$C。
$\frac{2}{5}+\frac{1}{5}i$D。
$\frac{3}{5}+\frac{2}{5}i$3.某景区管理部门为征求游客对景区管理方面的意见及建议，从景区出口处随机选取 $5$ 人，其中 $3$ 人为跟团游客，$2$ 人为自驾游散客，并从中随机抽取 $2$ 人填写调查问卷，则这 $2$ 人中既有自驾游散客也有跟团游客的概率是A。
$\frac{2}{3}$B。
$\frac{1}{5}$C。
$\frac{2}{5}$D。
$\frac{3}{5}$4.已知双曲线 $E:\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1(a>0,b>0)$ 的离心率为$\frac{\sqrt{10}}{3}$，斜率为 $-\frac{3}{2}$ 的直线 $l$ 经过双曲线的右顶点 $A$，与双曲线的渐近线分别交于 $M$，$N$ 两点，点 $M$ 在线段$AN$ 上，则 $\frac{AN}{AM}$ 等于A。
高三数学-[原创]2018高考模拟题(广东卷) 精品
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绝密★启用前 试卷类型：A2018年普通高等学校招生模拟考试（广东卷）数 学 命题：高贵彩 2018-5-28本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择）题两部分，共4页。
满分150分.考试用时120分钟. 注意事项：1．答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号填写在答题卡上。
用2B 铅笔将答题卡试卷类型（A ）填涂在答题卡上。
在答题卡右上角的“试室号”和“座位号”栏填写试室号、座位号，并用2B 铅笔将相应的试室号、座位号信息点涂黑。
2．选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上。
3．非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液。
不按以上要求作答的答案无效。
4．考生必须保持答题卡的整洁，考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。
参考公式：如果事件A 、B 互斥，那么 球是表面积公式)()()(B P A P B A P +=+ 24R S π=如果事件A 、相互独立，那么 其中R 表示球的半径)()()(B P A P B A P ⋅=⋅ 球的体积公式如果事件A 在一次试验中发生的概率是P ，334R V π=那么n 次独立重复试验中恰好发生k 次的概率 其中R 表示球的半径k n kk n n P P C k P --=)1()(第一部分 选择题（共50分）一、选择题：本大题共10小题；每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
（1）已知复数()z a i a R =+∈对应的点在第一象限,且2z 为纯虚数,则z 的值是(A)1 (B（2）已知(*)nn N ∈的展开式中含有常数项,则n 的最小值为 (A)3 (B)4 (C )5 (D)6 （3）已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若24a =-，58a =，则15S = (A)60 (B)120 (C)240 (D )300（4）已知集合{}2230M x x x =--=，{}24210N x x x =-->，则()U C M N =(A){}2230x x x --< (B){}2230x x x -->(C ){}24210x xx --> (D){}24210x xx --≤（5）已知m 、n 、l 是互不重合的直线，α、β、γ是互不重合的平面，下列命题：①若//m l ，//n l 则//m n ； ②若//l α，//l β，则//αβ；③若α、β、γ两两互相垂直，m 、n 、l 是它们的交线，则m 、n 、l 两两互相垂直； ④若m αβ=，n βγ=，l γα=，则////m n l ；其中正确的个数是(A)1 (B )2 (C)3 (D)4（6）若椭圆与抛物线24(0)y px p =>有相同的焦点F ，抛物线的准线l 关于F 的对称直线1l 恰好是椭圆的焦点F 对应的准线，则椭圆的离心率为 (A)12(C)13 (D（7）一排共有8个座位，甲、乙、丙三人按如下方式入坐：每人左、右两旁都有空座位，且甲必须在另两人之间，则不同的坐法共有(A )8种 (B)24种 (C)40种 (D)120种（8）已知由下列各组命题构成的复合命题中同时满足：p 或q 为真，p 且q 为假，非p 为真的是(A)p2与224x x --≥同解； q ：2256045x x x x -+≤-+的解为23x ≤≤；(B)p ：集合{}(,)|260x y x y +-<表示的是直线260x y +-=左下方的平面区域；q ：不等式组5003x y x y x -+≥⎧⎪+≥⎨⎪≤⎩表示的平面区域是一个斜三角形；(C )p ：函数()y f x =在定义域内单调是()y f x =有反函数的充要条件；q ：若()y f x =是定义在R 上的奇函数，则(0)0f =；(D)p ：导数为零的点一定是极值点， q ：函数的极大值一定是最大值 （9）设函数()y f x =的定义域为R ，对于任意x 、y R ∈，都有()()()f x y f x f y +=+，当0x >时，()0f x <，则函数()y f x =为(A)奇函数，且在R 上为增函数； (B )奇函数，且在R 上为减函数； (C)偶函数，且在R 上为增函数； (D)偶函数，且在R 上为减函数；（10）已知G 为ABC ∆的重心,过G 的直线分别交AB 、AC 于M 、N ，AM xAB =，AN yAC =，则11x y+= (A)2 (B )3 (C)12(D)13第二部分 非选择题（共100分）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.答案填在题中横线上. （11）已知tan 2α=,则cos 2α=___________.（12）已知P 、A 、B 、C 是同一球面上的四个点，且PA 、PB 、PC 两两互相垂直，2PA PB PC ===，则三棱锥P ABC -的体积为______ ,所在球的表面积为_________.（13）已知254(1)()17(1)x x x f x x ax x ⎧+-<-⎪=+⎨⎪+≥-⎩在R 上连续,则(1)f =______________. （14）从原点出发的某质点,按向量(0,1)a =移动的概率为23,按向量(0,2)a =移动的概率为13,设质点到达点(0,)n 的概率为n p ,则2p =______ ,n p 、1n p +、2n p +满足的关系式是________. 三、解答题：本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.（15）（本小题满分12分）在四边形ABCD 中,对角线AC 恰好平分DAB ∠,060B ∠=,7AC =,6AD =,ADC S ∆=求AB 的长度. （16）（本小题满分14分）游客甲与射击馆教练乙进行娱乐性射击比赛,已知甲每次射击击中目标的概率是0.3, 乙每次射击击中目标的概率是0.7.(Ⅰ)比赛规定:若命中目标就停止射击,不中则继续射击,但每人最多射击3次.记甲射击的次数为1ξ,乙射击的次数为1η,写出1ξ与1η的分布列;(Ⅱ)比赛规定:乙先让甲4分,然后每人射击5次,甲每击中一次4分,乙每击中一次记3分;试比较甲的最后分数2ξ与乙的最后分数2η的期望值.（17）（本小题满分14分）若函数32()f x x ax bx c =+++在1x =-与1x =处均有极值,且该函数的极大值为2. (Ⅰ)求()f x 的解析式;(Ⅱ)设()y f x =的图象对应的曲线为M ,点111(,)P x y 在曲线M 上,过点1P 引曲线M 的切线,切于点222(,)P x y ,再过点2P 引曲线M 的切线,切于点333(,)P x y ,…,如此继续下去,依次得到点444(,)P x y …(,)n n n P x y …,任意*n N ∈均有1n n x x +≠， 若11x =,求123n x x x x +++++的值.CDB A（18）（本小题满分14分）如图所示,ABCD 是边长为2a 的正方形,PB ⊥面ABCD ,//MA PB ,2PB MA =,PM 与面ABCD 所成的角为1arctan2,E 是PD 的中点 (Ⅰ)求证://ME 面ABCD ;(Ⅱ)求点B 到平面PMD 的距离;(Ⅲ)求平面PMD 与面ABCD 所成的锐二面角的余弦值.（19）（本小题满分14分）如图,ABC ∆的周长为18,且2CA CB =,以A 、B 为焦点，32为离心率的双曲线M 恰好经过点C ，(Ⅰ)求双曲线M 的标准方程；(Ⅱ)设E 、F 是双曲线M 上的两点，点5(2,)2N 为线段EF 的中点，线段EF 的垂直平分线交双曲线M 于G 、H 两点，判断E 、F 、G 、H 四点是否共圆？若共圆，写出该圆的方程，若不共圆，说明理由.（20）（本小题满分12分） 设0t >,()f t =()g t =(Ⅰ)求()f t 的最小值及()g t 的最大值; (Ⅱ)设a =,b =,c x y =+,试讨论是否存在正数p ,对于任意的正数x和y ,以a 、b 、c 为三边长的三角形存在?若存在,求出p 的取值范围,若不存在,说明理由.参考答案及评分标准一、选择题：本大题考查基本知识和基本运算，每小题5分，满分50分.1.B2.C3.D4.C5.B6.D7.A8.C9.B 10.B 二、填空题：本大题考查基本知识和基本运算，每小题5分，满分20分. 第12与14小题的第一空均为2分，第二空均为3分，11. 35-； 12. 43， 12π； 13. 8 14. 79， 211233n n n p p p ++=+三、解答题：本大题共6小题，共80分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15．本小题主要考查三角函数的基本公式、三角形的面积公式、正弦定理、余弦定理等基本知识，以及推理和运算能力.满分12分.[解]由题设知：176sin 22CAD =⨯⨯∠，得sin 14CAD ∠=……3分 ∵对角线AC 恰好平分DAB ∠∴sin 14CAB ∠=，………4分 法一：∴11cos 14CAB ∠=……………………5分 ∵060B ∠=∴111sin 1421427ACB ∠=+⨯=…………………9分 ∵sin sin AB ACACB B=∠ ∴8AB =………………12分法二：∵060B ∠=， sin sin BC ACCAB B=∠ ∴5BC =…………7分∴22249525cos60AC AB AB ==+-⨯ 即25240AB AB --=………10分 ∴8AB =………12分16．本小题主要考查概率、随机变量的基本知识，运用数学知识解决问题的能力，以及推理和运算能力.满分14分 [解](Ⅰ)由题设知：11ξ=、2、3； 则1(1)P ξ==0.3, 1(2)P ξ==0.7×0.3=0.21, 1(3)P ξ==0.72=0.49∴1ξ的分布列………………………………………3分1(1)P η==0.7,1(2)P η==0.3×11η=、2、3；0.7=0.21,1(3)P η==0.32=0.18CDBA∴1η的分布列………………………………………6分数为ξ, 乙击中的次数为η.则(Ⅱ)设甲击中的次~(5,0.3)B ξ,~(5,0.7)B η……………9分 ∴50.3 1.5E ξ=⨯=，50.7 3.5E η=⨯=………………11分 由题设知：244ξξ=+, 23ηη=∴24410E E ξξ=+=, 2310.5E E ηη==………………………13分 ∴22E E ξη<…………………………14分17．本小题主要考查导数的应用、数列及数列极限等知识，考查运用数学知识，分析问题和解决问题的能力.满分14分.[解](Ⅰ)由题设知：2'()32f x x ax b =++ 且 '(1)0'(1)0f f -=⎧⎨=⎩ 即2323a b a b -=⎧⎨+=-⎩…………2分 ∴03a b =⎧⎨=-⎩'()3(1)(1)f x x x =-+ 3()3f x x x c=-+……………4分 ∴当(,1)(1,)x ∈-∞-+∞时'()0f x >，当(1,1)x ∈-时'()0f x <∴(1)2f -= 即132c -++=……………………………………6分 ∴0c = 3()3f x x x =-……………………………………7分 (Ⅱ)由题设知：111'()n nn n ny y f x x x +++-=-………………………………9分由(Ⅰ)得222111333n n n n n x x x x x +++++-=- ∴11(2)()0n n n n x x x x +++-= 即112n n x x +=-………………………………11分 ∴由11x =知{}n x 是以1为首项，12-为公比的等比数列…………………………12分 ∴1231121()3n x x x x +++++==--…………………………14分18．本小题主要考查直线与平面位置及所成角、二面角及点到平面的距离、空间向量等基础知识，考查空间想象能力，逻辑思维能力与运算能力. 满分14分. [解法一](Ⅰ)证明：设AC BD O =，连OE∵ABCD 是边长为2a 的正方形，E 是PD 的中点∴//OE PB ,2PB OE = ∵//MA PB ,2PB MA =∴四边形MAOE 为平行四边形……………2分∴//ME OA∴//ME 面ABCD (4)分(Ⅱ)解：作BG PD ⊥于G ，取PB 的中点N ,连MN ,由(Ⅰ)知AC BD ⊥,//MN AB ,BD =∵PB ⊥面ABCD∴AC PB ⊥，AB 为PM 在面ABCD 内的射影. ∴AC ⊥面PBD ∴ME ⊥面PBD ∴ME BG ⊥∴BG ⊥面PMD ，即BG 点B 到平面PMD 的距离………………………7分 ∵PM 与面ABCD 所成的角为1arctan2∴22a AB MN PN PB ====……………………………9分∴BG =,即点B 到平面PMD …………………………11分 (Ⅲ)由题设及(Ⅱ)知:BG 与BP 所成的角与平面PMD 与面ABCD 所成的二面角相等或互补,……12分cos BG PBG PB ∠==∴平面PMD 与面ABCD 14分 [解法二]由题设知:以B 为原点, BC 、AB 、BP 所在直线分别为x 轴、轴y 、z 轴如图示建立空间直角坐标系. …………………1分取PB 的中点N ,连MN ,由PB ⊥面ABCD ,//MA PB 知AB 为PM 在面ABCD 内的射影∵PM 与面ABCD 所成的角为1arctan2,2PB MA =,E 是PD 的中点. ∴22a AB MN PN PB ====2PB MA =…………………3分∴(0,2,0)A a -，(0,0,0)B ，(2,0,0)C a ，(0,0,2)P a ，(0,2,)M a a -，(,,)E a a a -∴(,,0)ME a a =，(0,2,0)BA a =-，(2,0,0)BC a =，(0,2,)PM a a =--，(0,0,2)BP a =∴1()2ME BC BA =-…………………6分 ∴//ME 面ABCD …………………7分设点B 到平面PMD 的距离为d ，平面PMD 与面A B C D 所成的锐二面角为θ，(,,)n x y z =，且n ⊥面PMD∴002n ME ax ay n PM ay az⎧==+⎪⎨==--⎪⎩ 即2x y z y =-⎧⎨=-⎩ 取1y =-得(1,1,2)n =-……………10分∴6n BP dn===…………………12分cos θ=26n BP n BP==…………………14分 19．本小题主要考查直线、圆、双曲线的基本知识，平面解析几何的基本方法和综合解题能力.满分14分.[解](Ⅰ)设双曲线M 的标准方程为22221(0,0)x y a b a b-=>>，c =则2C A C Ba-=由题设知：4CA a =，2CB a =，6218a c +=，32c a =………………3分 ∴2a =，3c =，b =4分∴双曲线M 的标准方程为22145x y -=………………5分 (Ⅱ)法一：设11(,)E x y 、22(,)F x y ，33(,)G x y 、33(,)H x y ， 线段GH 的中点为00(,)P x y ，则由题设知：124x x +=，125y y +=，由(Ⅰ)知：2222112214545x y x y -==- 得12121y y x x -=- ∴直线EF 的方程为2210x y -+=，直线GH 的方程为2290x y +-=………8分由224522101y x x y -+=⎧⎪⎨-=⎪⎩知24210x x --=有1221x x =-，得EF =9分由224522901y x x y +-=⎧⎪⎨-=⎪⎩知2361010x x +-=有3436x x +=-，34101x x =-，得10GH =∴018x =-，4502y =，PN =，PA PB ===11分∴E 、F 在以线段G H 为直径的圆上，即E 、F 、G 、H 四点共圆. ……………12分∴该圆的方程为2245(18)()850x y ++-=………………14分 法二：由题设知：直线EF 的斜率存在且不为零，设直线EF 的方程为52(2)y k x -=-， 11(,)E x y 、22(,)F x y ，33(,)G x y 、33(,)H x y ，线段GH 的中点为00(,)P x y ，由225245(2)1y x y k x -=-⎧⎪⎨-=⎪⎩知2225522(54)8(2)4(2)0k x k k x k -+---=有521228(2)454k k x x k -+==-， 得1k =，1221x x =-，EF =8分∴直线EF 的方程为2210x y -+=，直线GH 的方程为2290x y +-=………10分由224522901y x x y +-=⎧⎪⎨-=⎪⎩知2361010x x +-=有3436x x +=-，34101x x =-，得GH =∴018x =-，4502y =，PN =，PA PB ===11分∴E 、F 在以线段G H 为直径的圆上，即E 、F 、G 、H 四点共圆. ……………12分∴该圆的方程为22452(18)()850x y ++-=………………14分 20．本小题主要考查函数、不等式等基础知识，考查逻辑思维能力、运用知识分析问题和解决问题的能力.满分12分. [解](Ⅰ)法一：∵0t >，()f t =()g t =2≥，12t t +≥，且两者均在1t =时取等号；1()()g t f t =……………4分∴min [()](1)2f t f ==max [()](1)2g t g ==6分法二：设x =()()(y f t x F x x ===≥……2分∴'()10F x =>，即()y F x =在区间)+∞上单调递增∴min min [()][()]2f t F x F ===………………………………4分 ∵1()()g t f t =∴max [()](1)2g t g ==6分 (Ⅱ)由题设知：c a >，0x >，0y >∴当c a b a c -<<+时以a 、b 、c 为三边长的三角形存在……………9分∴x y x y ++(0)xp y<<>……………11分∴22p <12分。
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（11套）2018年广东省所有市高考数学模拟试题汇总2018年广东省东莞市高考数学二调试卷（文科）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）已知A={1，2，4，8，16}，B={y|y=log2x，x∈A}，则A∩B=（）A．{1，2}B．{2，4，8}C．{1，2，4}D．{1，2，4，8}2．（5分）若复数z满足（1+2i）z=（1﹣i），则|z|=（）A．B．C．D．3．（5分）已知sinα﹣cosα=，则sin2α=（）A．﹣ B．﹣ C．D．4．（5分）直线l经过椭圆的一个顶点和一个焦点，若椭圆中心到l的距离为其短轴长的，则该椭圆的离心率为（）A．B．C．D．5．（5分）在△ABC中，B=，BC边上的高等于BC，则sinA=（）A．B．C．D．6．（5分）已知，则z=22x+y的最小值是（）A．1 B．16 C．8 D．47．（5分）执行如图所示的程序框图，则输出的结果为（）A．7 B．9 C．10 D．118．（5分）设函数f（x）=x3+ax2，若曲线y=f（x）在点P（x0，f（x0））处的切线方程为x+y=0，则点P的坐标为（）A．（0，0） B．（1，﹣1）C．（﹣1，1）D．（1，﹣1）或（﹣1，1）9．（5分）在正四棱锥P﹣ABCD中，PA=2，直线PA与平面ABCD所成角为60°，E为PC的中点，则异面直线PA与BE所成角为（）A．90°B．60°C．45°D．30°10．（5分）已知函数f（x）=sinx+λcosx（λ∈R）的图象关于x=﹣对称，则把函数f（x）的图象上每个点的横坐标扩大到原来的2倍，再向右平移，得到函数g（x）的图象，则函数g（x）的一条对称轴方程为（）A．x=B．x=C．x=D．x=11．（5分）函数y=2x2﹣e|x|在[﹣2，2]的图象大致为（）A．B．C．D．12．（5分）已知函数f（x）=xsinx+cosx+x2，则不等式的解集为（）A．（e，+∞）B．（0，e） C．D．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．（5分）设向量=（x，x+1），=（1，2），且⊥，则x=．14．（5分）在各项都为正数的等比数列{a n}中，已知a1=2，，则数列{a n}的通项公式a n=．15．（5分）已知|x|≤2，|y|≤2，点P的坐标为（x，y），当x，y∈R时，点P 满足（x﹣2）2+（y﹣2）2≤4的概率为．16．（5分）已知函数，其中m＞0，若存在实数b，使得关于x的方程f（x）=b有三个不同的零点，则m的取值范围是．三．解答题：共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共60分．17．（12分）已知数列{a n}的前n项和为S n，且S n=2a n﹣2（n∈N*）．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）求数列{S n}的前n项和T n．18．（12分）某城市随机抽取一年（365天）内100天的空气质量指数API的监测数据，结果统计如下：记某企业每天由空气污染造成的经济损失S（单位：元），空气质量指数API为ω．在区间[0，100]对企业没有造成经济损失；在区间（100，300]对企业造成经济损失成直线模型（当API为150时造成的经济损失为500元，当API为200时，造成的经济损失为700元）；当API大于300时造成的经济损失为2000元；（1）试写出是S（ω）的表达式：（2）试估计在本年内随机抽取一天，该天经济损失S大于200元且不超过600元的概率；（3）若本次抽取的样本数据有30天是在供暖季，其中有8天为重度污染，完成下面2×2列联表，并判断能否有95%的把握认为该市本年空气重度污染与供暖有关？附：K2=19．（12分）如图1，矩形ABCD中，AB=12，AD=6，E、F分别为CD、AB边上的点，且DE=3，BF=4，将△BCE沿BE折起至△PBE位置（如图2所示），连结AP、PF，其中PF=2．（1）求证：PF⊥平面ABED；（2）求点A到平面PBE的距离．20．（12分）已知椭圆C：的离心率为，且过点A（2，1）．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）若P，Q是椭圆C上的两个动点，且使∠PAQ的角平分线总垂直于x轴，试判断直线PQ的斜率是否为定值？若是，求出该值；若不是，说明理由．21．（12分）已知函数f（x）=x2﹣（a﹣2）x﹣alnx（a∈R）．（Ⅰ）求函数y=f（x）的单调区间；（Ⅱ）当a=1时，证明：对任意的x＞0，f（x）+e x＞x2+x+2．（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分．答题时请写清题号并将相应信息点涂黑．[选修4-4参数方程与极坐标系]22．（10分）在直角坐标系中，直线的参数方程为（t为参数）在以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C：ρ=2．（Ⅰ）求直线的普通方程和曲线的直角坐标方程；（Ⅱ）求曲线上的点到直线的距离的最大值．[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f（x）=|x+a﹣1|+|x﹣2a|．（1）若f（1）＜3，求实数a的取值范围；（2）若a≥1，x∈R，求证：f（x）≥2．2018年广东省东莞市高考数学二调试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）已知A={1，2，4，8，16}，B={y|y=log2x，x∈A}，则A∩B=（）A．{1，2}B．{2，4，8}C．{1，2，4}D．{1，2，4，8}【解答】解：∵A={1，2，4，8，16}，∴B={y|y=log2x，x∈A}={0，1，2，3，4}，∴A∩B={1，2，4}．故选：C．2．（5分）若复数z满足（1+2i）z=（1﹣i），则|z|=（）A．B．C．D．【解答】解：由（1+2i）z=（1﹣i），得=，则|z|=．故选：C．3．（5分）已知sinα﹣cosα=，则sin2α=（）A．﹣ B．﹣ C．D．【解答】解：∵sinα﹣cosα=，∴（sinα﹣cosα）2=1﹣2sinαcosα=1﹣sin2α=，∴sin2α=﹣，故选：A．4．（5分）直线l经过椭圆的一个顶点和一个焦点，若椭圆中心到l的距离为其短轴长的，则该椭圆的离心率为（）A．B．C．D．【解答】解：设椭圆的方程为：，直线l经过椭圆的一个顶点和一个焦点，则直线方程为：，椭圆中心到l的距离为其短轴长的，可得：，4=b2（），∴，=3，∴e==．故选：B．5．（5分）在△ABC中，B=，BC边上的高等于BC，则sinA=（）A．B．C．D．【解答】解：∵在△ABC中，B=，BC边上的高等于BC，∴AB=BC，由余弦定理得：AC===BC，故BC•BC=AB•AC•sinA=•BC•BC•sinA，∴sinA=，故选：D6．（5分）已知，则z=22x+y的最小值是（）A．1 B．16 C．8 D．4【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图，设m=2x+y，则得y=﹣2x+m，平移直线y=﹣2x+m，由图象可知当直线y=﹣2x+m经过点A时，直线的截距最小，此时m最小，z也最小，由，解得，得A（1，1）此时m=2×1+1=3，z=22x+y=z=23=8，故选：C．7．（5分）执行如图所示的程序框图，则输出的结果为（）A．7 B．9 C．10 D．11【解答】解：模拟程序的运行，可得：，否；，否；，否；，否；，是，输出i=9，故选：B．8．（5分）设函数f（x）=x3+ax2，若曲线y=f（x）在点P（x0，f（x0））处的切线方程为x+y=0，则点P的坐标为（）A．（0，0） B．（1，﹣1）C．（﹣1，1）D．（1，﹣1）或（﹣1，1）【解答】解：∵f（x）=x3+ax2，∴f′（x）=3x2+2ax，∵函数在点（x0，f（x0））处的切线方程为x+y=0，∴3x02+2ax0=﹣1，∵x0+x03+ax02=0，解得x0=±1．当x0=1时，f（x0）=﹣1，当x0=﹣1时，f（x0）=1．故选：D．9．（5分）在正四棱锥P﹣ABCD中，PA=2，直线PA与平面ABCD所成角为60°，E为PC的中点，则异面直线PA与BE所成角为（）A．90°B．60°C．45°D．30°【解答】解：连接AC，BD交于点O，连接OE，OP因为E为PC中点，所以OE∥PA，所以∠OEB即为异面直线PA与BE所成的角．因为四棱锥P﹣ABCD为正四棱锥，所以PO⊥平面ABCD，所以AO为PA在面ABCD内的射影，所以∠PAO即为PA与面ABCD所成的角，即∠PAO=60°，因为PA=2，所以OA=OB=1，OE=1．所以在直角三角形EOB中∠OEB=45°，即面直线PA与BE所成的角为45°．故选：C．10．（5分）已知函数f（x）=sinx+λcosx（λ∈R）的图象关于x=﹣对称，则把函数f（x）的图象上每个点的横坐标扩大到原来的2倍，再向右平移，得到函数g（x）的图象，则函数g（x）的一条对称轴方程为（）A．x=B．x=C．x=D．x=【解答】解：根据函数f（x）=sinx+λcosx（λ∈R）的图象关于x=﹣对称，可得，可得λ=﹣1，所以．把f（x）的图象横坐标扩大到原来的2倍，可得y=sin（x﹣）的图象，再向右平移，得到函数g（x）=sin[（x﹣）﹣]=sin（x﹣）的图象，即g（x）=sin（﹣），令=kπ+，求得x=2kπ+，k∈Z，故函数g（x）的图象的对称轴方程为x=2kπ+，k∈Z．当k=0时，对称轴的方程为，故选：D．11．（5分）函数y=2x2﹣e|x|在[﹣2，2]的图象大致为（）A．B．C．D．【解答】解：∵f（x）=y=2x2﹣e|x|，∴f（﹣x）=2（﹣x）2﹣e|﹣x|=2x2﹣e|x|，故函数为偶函数，当x=±2时，y=8﹣e2∈（0，1），故排除A，B；当x∈[0，2]时，f（x）=y=2x2﹣e x，∴f′（x）=4x﹣e x=0有解，故函数y=2x2﹣e|x|在[0，2]不是单调的，故排除C，故选：D12．（5分）已知函数f（x）=xsinx+cosx+x2，则不等式的解集为（）A．（e，+∞）B．（0，e） C．D．【解答】解：函数f（x）=xsinx+cosx+x2的导数为：f′（x）=sinx+xcosx﹣sinx+2x=x（2+cosx），则x＞0时，f′（x）＞0，f（x）递增，且f（﹣x）=xsinx+cos（﹣x）+（﹣x）2=f（x），则为偶函数，即有f（x）=f（|x|），则不等式，即为f（lnx）＜f（1）即为f（|lnx|）＜f（1），则|lnx|＜1，即﹣1＜lnx＜1，解得，＜x＜e．故选：D．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．（5分）设向量=（x，x+1），=（1，2），且⊥，则x=．【解答】解：∵；∴；即x+2（x+1）=0；∴．故答案为：．14．（5分）在各项都为正数的等比数列{a n}中，已知a1=2，，则数列{a n}的通项公式a n=．【解答】解：设等比数列{a n}的公比为q＞0，∵a1=2，，∴+=4，化为：q4﹣4q2+4=0，解得q2=2，q＞0，解得q=．则数列{a n}的通项公式a n==．故答案为：．15．（5分）已知|x|≤2，|y|≤2，点P的坐标为（x，y），当x，y∈R时，点P满足（x﹣2）2+（y﹣2）2≤4的概率为．【解答】解：如图，点P所在的区域为正方形ABCD及其内部满足（x﹣2）2+（y﹣2）2≤4的点位于的区域是以C（2，2）为圆心，半径等于2的圆及其内部∴P满足（x﹣2）2+（y﹣2）2≤4的概率为P1===．故答案为：16．（5分）已知函数，其中m＞0，若存在实数b，使得关于x的方程f（x）=b有三个不同的零点，则m的取值范围是（3，+∞）．【解答】解：当m＞0时，函数的图象如下：∵x＞m时，f（x）=x2﹣2mx+4m=（x﹣m）2+4m﹣m2＞4m﹣m2，∴y要使得关于x的方程f（x）=b有三个不同的根，必须4m﹣m2＜m（m＞0），即m2＞3m（m＞0），解得m＞3，∴m的取值范围是（3，+∞），故答案为：（3，+∞）．三．解答题：共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共60分．17．（12分）已知数列{a n}的前n项和为S n，且S n=2a n﹣2（n∈N*）．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）求数列{S n}的前n项和T n．【解答】解：（Ⅰ）列{a n}的前n项和为S n，且S n=2a n﹣2①．=2a n+1﹣2②，则：S n+1=2a n，②﹣①得：a n+1即：（常数），当n=1时，a1=S1=2a1﹣2，解得：a1=2，所以数列的通项公式为：，（Ⅱ）由于：，则：，=，=2n +1﹣2．﹣2﹣2﹣ (2)=2n +2﹣4﹣2n ．18．（12分）某城市随机抽取一年（365天）内100天的空气质量指数API 的监测数据，结果统计如下：记某企业每天由空气污染造成的经济损失S （单位：元），空气质量指数API 为ω．在区间[0，100]对企业没有造成经济损失；在区间（100，300]对企业造成经济损失成直线模型（当API 为150时造成的 经济损失为500元，当API 为200时，造成的经济损失为700元）；当API 大于300时造成的 经济损失为2000元； （1）试写出是S （ω）的表达式：（2）试估计在本年内随机抽取一天，该天经济损失S 大于200元且不超过600元的概率；（3）若本次抽取的样本数据有30天是在供暖季，其中有8天为重度污染，完成下面2×2列联表，并判断能否有95%的把握认为该市本年空气重度污染与供暖有关？ 附： K 2=【解答】解：（1）根据在区间[0，100]对企业没有造成经济损失；在区间（100，300]对企业造成经济损失成直线模型（当API为150时造成的经济损失为500元，当API为200时，造成的经济损失为700元）；当API大于300时造成的经济损失为2000元，可得S（ω）=；（2）设“在本年内随机抽取一天，该天经济损失S大于200元且不超过600元”为事件A；由200＜S≤600，得100＜ω≤175，频数为33，∴P（A）=；（2）根据以上数据得到如表：K2的观测值K2=≈4.575＞3.841所以有95%的把握认为空气重度污染与供暖有关．19．（12分）如图1，矩形ABCD中，AB=12，AD=6，E、F分别为CD、AB边上的点，且DE=3，BF=4，将△BCE沿BE折起至△PBE位置（如图2所示），连结AP、PF，其中PF=2．（1）求证：PF⊥平面ABED；（2）求点A到平面PBE的距离．【解答】解：（1）连结EF，由翻折不变性可知，PB=BC=6，PE=CE=9，在△PBF中，PF2+BF2=20+16=36=PB2，所以PF⊥BF…（2分）在图1中，利用勾股定理，得EF==，在△PEF中，EF2+PF2=61+20=81=PE2，∴PF⊥EF…（4分）又∵BF∩EF=F，BF⊂平面ABED，EF⊂平面ABED，∴PF⊥平面ABED．…（6分）（2）解：由（1）知PF⊥平面ABED，∴PF为三棱锥P﹣ABE的高．…（8分）设点A到平面PBE的距离为h，由等体积法得V A=V P﹣ABE，…（10分）﹣PBE即∴h=，即点A到平面PBE的距离为．…（14分）20．（12分）已知椭圆C：的离心率为，且过点A（2，1）．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）若P，Q是椭圆C上的两个动点，且使∠PAQ的角平分线总垂直于x轴，试判断直线PQ的斜率是否为定值？若是，求出该值；若不是，说明理由．【解答】解：（Ⅰ）因为椭圆C的离心率为，且过点A（2，1），所以，．…（2分）因为a2=b2+c2，解得a2=8，b2=2，…（3分）所以椭圆C的方程为．…（4分）（Ⅱ）解法一：因为∠PAQ的角平分线总垂直于x轴，所以PA与AQ所在直线关于直线x=2对称．设直线PA的斜率为k，则直线AQ的斜率为﹣k．…（5分）所以直线PA的方程为y﹣1=k（x﹣2），直线AQ的方程为y﹣1=﹣k（x﹣2）．设点P（x P，y P），Q（x Q，y Q），由，消去y，得（1+4k2）x2﹣（16k2﹣8k）x+16k2﹣16k﹣4=0．①因为点A（2，1）在椭圆C上，所以x=2是方程①的一个根，则，…（6分）所以．…（7分）同理．…（8分）所以．…（9分）又．…（10分）所以直线PQ的斜率为．…（11分）所以直线PQ的斜率为定值，该值为．…（12分）解法二：设点P（x1，y1），Q（x2，y2），则直线PA的斜率，直线QA的斜率．因为∠PAQ的角平分线总垂直于x轴，所以PA与AQ所在直线关于直线x=2对称．所以k PA=﹣k QA，即，①…（5分）因为点P（x1，y1），Q（x2，y2）在椭圆C上，所以，②．③由②得，得，④…（6分）同理由③得，⑤…（7分）由①④⑤得，化简得x1y2+x2y1+（x1+x2）+2（y1+y2）+4=0，⑥…（8分）由①得x1y2+x2y1﹣（x1+x2）﹣2（y1+y2）+4=0，⑦…（9分）⑥﹣⑦得x1+x2=﹣2（y1+y2）．…（10分）②﹣③得，得．…（11分）所以直线PQ的斜率为为定值．…（12分）解法三：设直线PQ的方程为y=kx+b，点P（x1，y1），Q（x2，y2），则y1=kx1+b，y2=kx2+b，直线PA的斜率，直线QA的斜率．…（5分）因为∠PAQ的角平分线总垂直于x轴，所以PA与AQ所在直线关于直线x=2对称．所以k PA=﹣k QA，即=，…（6分）化简得x1y2+x2y1﹣（x1+x2）﹣2（y1+y2）+4=0．把y1=kx1+b，y2=kx2+b代入上式，并化简得2kx1x2+（b﹣1﹣2k）（x1+x2）﹣4b+4=0．（*）…（7分）由，消去y得（4k2+1）x2+8kbx+4b2﹣8=0，（**）则，…（8分）代入（*）得，…（9分）整理得（2k﹣1）（b+2k﹣1）=0，所以或b=1﹣2k．…（10分）若b=1﹣2k，可得方程（**）的一个根为2，不合题意．…（11分）若时，合题意．所以直线PQ的斜率为定值，该值为．…（12分）21．（12分）已知函数f（x）=x2﹣（a﹣2）x﹣alnx（a∈R）．（Ⅰ）求函数y=f（x）的单调区间；（Ⅱ）当a=1时，证明：对任意的x＞0，f（x）+e x＞x2+x+2．【解答】解：（Ⅰ）函数f（x）的定义域是（0，+∞），f′（x）=2x﹣（a﹣2）﹣=…（2分）当a≤0时，f′（x）＞0对任意x∈（0，+∞）恒成立，所以，函数f（x）在区间（0，+∞）单调递增；…（4分）当a＞0时，由f′（x）＞0得x＞，由f′（x）＜0，得0＜x＜，所以，函数在区间（，+∞）上单调递增，在区间（0，）上单调递减；（Ⅱ）当a=1时，f（x）=x2+x﹣lnx，要证明f（x）+e x＞x2+x+2，只需证明e x﹣lnx﹣2＞0，设g（x）=e x﹣lnx﹣2，则问题转化为证明对任意的x＞0，g（x）＞0，令g′（x）=e x﹣=0，得e x=，容易知道该方程有唯一解，不妨设为x0，则x0满足e x0=，当x变化时，g′（x）和g（x）变化情况如下表g（x）min=g（x0）=e x0﹣lnx0﹣2=+x0﹣2，因为x0＞0，且x0≠1，所以g（x）min＞2﹣2=0，因此不等式得证．（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分．答题时请写清题号并将相应信息点涂黑．[选修4-4参数方程与极坐标系]22．（10分）在直角坐标系中，直线的参数方程为（t为参数）在以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C：ρ=2．（Ⅰ）求直线的普通方程和曲线的直角坐标方程；（Ⅱ）求曲线上的点到直线的距离的最大值．【解答】解：（Ⅰ）直线的参数方程为（t为参数），转化为：x+y﹣4=0．曲线C：ρ=2．转化为：x2+y2=2x+2y，即：x2+y2﹣2x﹣2y=0．（Ⅱ）圆的方程x2+y2﹣2x﹣2y=0，转化为标准式为：（x﹣1）2+（y﹣1）2=2，则：圆心（1，1）到直线的距离d=，所以：曲线上的点到直线的最大距离为：．[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f（x）=|x+a﹣1|+|x﹣2a|．（1）若f（1）＜3，求实数a的取值范围；（2）若a≥1，x∈R，求证：f（x）≥2．【解答】解：（1）因为f（1）＜3，所以|a|+|1﹣2a|＜3．①当a≤0时，得﹣a+（1﹣2a）＜3，解得a＞﹣，所以﹣＜a≤0；②当0＜a＜时，得a+（1﹣2a）＜3，解得a＞﹣2，所以0＜a＜；③当a≥时，得a﹣（1﹣2a）＜3，解得a＜，所以≤a＜；综上所述，实数a的取值范围是（﹣，）．（2）因为a≥1，x∈R，所以f（x）=|x+a﹣1|+|x﹣2a|≥|（x+a﹣1）﹣（x﹣2a）|=|3a﹣1|=3a﹣1≥2．2018年安徽省淮北市高考数学一模试卷（理科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分1．（5分）设复数Z满足（1+i）Z=i，则|Z|=（）A．B．C．D．22．（5分）已知A={x|x2﹣2x﹣3≤0}，B={y|y=x2+1}，则A∩B=（）A．[﹣1，3]B．[﹣3，2]C．[2，3]D．[1，3]3．（5分）函数f（x）=+ln|x|的图象大致为（）A．B．C．D．4．（5分）《九章算术》是我国古代第一部数字专著，是《算经十书》中最重要的一种，成于公元一世纪左右，它是一本综合性的历史著作，是当时世界上最简练有效的应用数学，“更相减损术”便是《九章算术》中记录的一种求最大公约数的算法，按其算理流程有如图所示程序框图，若输入的a、b分别为96、42，则输出的i为（）A．4 B．5 C．6 D．75．（5分）如果实数x，y满足关系，又≥λ恒成立，则λ的取值范围为（）A．（﹣∞，]B．（﹣∞，3]C．[，+∞）D．（3，+∞）6．（5分）某空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A．B．C．D．7．（5分）已知等比数列{a n}中，a5=3，a4a7=45，则的值为（）A．3 B．5 C．9 D．258．（5分）已知F是双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的右焦点，若点F关于双曲线的一条渐近线对称的点恰好落在双曲线的左支上，则双曲线的离心率为（）A．B．C．D．9．（5分）函数f（x）在定义域R内可导，若f（1+x）=f（3﹣x），且当x∈（﹣∞，2）时，（x﹣2）f（x）＜0，设a=f（0），b=f（），c=f（3），则a，b，c的大小关系是（）A．a＞b＞c B．c＞a＞b C．c＞b＞a D．b＞c＞a10．（5分）已知函数f（x）=asinx﹣2cosx的一条对称轴为x=﹣，且f（x1）•f（x2）=﹣16，则|x1+x2|的最小值为（）A．B．C． D．11．（5分）对于向量a，b，定义a×b为向量a，b的向量积，其运算结果为一个向量，且规定a×b的模|a×b|=|a||b|sinθ（其中θ为向量a与b的夹角），a ×b的方向与向量a，b的方向都垂直，且使得a，b，a×b依次构成右手系．如图，在平行六面体ABCD﹣EFGH中，∠EAB=∠EAD=∠BAD=60°，AB=AD=AE=2，则=（）A．4 B．8 C．D．12．（5分）若存在实数x使得关于x的不等式（e x﹣a）2+x2﹣2ax+a2≤成立，则实数a的取值范围是（）A．{} B．{} C．[，+∞）D．[，+∞）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分13．（5分）已知等差数列{a n}前15项的和S15=30，则a2+a9+a13=．14．（5分）若的二项展开式中的所有二项式系数之和等于256，则该展开式中常数项的值为．15．（5分）已知函数f（x）的定义域为R，其导函数f′（x）的图象如图所示，则对于任意x1，x2∈R（x1≠x2），下列结论正确的序号是①f（x）＜0恒成立；②（x1﹣x2）[f（x1）﹣f（x2）]＜0；③（x1﹣x2）[f（x1）﹣f（x2）]＞0；④f（）＞f（）⑤f（）＜f（）16．（5分）在△ABC中，D、E分别是AB、AC的中点，M是直线DE上的动点．若△ABC的面积为2，则•+2的最小值为．三、解答题17．（12分）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且acosB=（3c ﹣b）cosA．（1）求cosA的值；（2）若b=3，点M在线段BC上，=2，||=3，求△ABC的面积．18．（12分）在如图所示的圆台中，AB，CD分别是下底面圆O，上底面圆O′的直径，满足AB⊥CD，又DE为圆台的一条母线，且与底面ABE成角．（Ⅰ）若面BCD与面ABE的交线为l，证明：l∥面CDE；（Ⅱ）若AB=2CD，求平面BCD的与平面ABE所成锐二面角的余弦值．19．（12分）如图为2017届淮北师范大学数学与应用数学专业N名毕业生的综合测评成绩（百分制）分布直方图，已知80～90分数段的学员数为21人．（Ⅰ）求该专业毕业总人数N和90～95分数段内的人数n；（Ⅱ）现欲将90～95分数段内的n名毕业生随机的分配往A、B、C三所学校，若每所学校至少分配两名毕业生，且甲乙两人必须进同一所学校，共有多少种不同的分配方法？（Ⅲ）若90～95分数段内的这n名毕业生中恰有两女生，设随机变量ξ表示n 名毕业生中分配往乙学校的两名学生中女生的人数，求ξ的分布列和数学期望．20．（12分）已知椭圆C：+=1（a＞b＞0），其左右焦点为F1，F2，过F1直线l：x+my+=0与椭圆C交于A，B两点，且椭圆离心率e=；（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）若椭圆存在点M，使得2=+，求直线l的方程．21．（12分）设函数f（x）=x2﹣alnx，其中a∈R．（1）若函数f（x）在[，+∞）上单调递增，求实数a的取值范围；（2）设正实数m1，m2满足m1+m2=1，当a＞0时，求证：对任意的两个正实数x1，x2，总有f（m1x1+m2x2）≤m1f（x1）+m2f（x2）成立；（3）当a=2时，若正实数x1，x2，x3满足x1+x2+x3=3，求f（x1）+f（x2）+f（x3）的最小值．[选修4-4：坐标系与参数方程选讲]22．（10分）在直角坐标系xOy中，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，圆C的极坐标方程为ρ=2sin（θ﹣），直线l的参数方程为t为参数，直线l和圆C交于A，B两点．（Ⅰ）求圆C的直角坐标方程；（Ⅱ）设l上一定点M（0，1），求|MA|•|MB|的值．[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f（x）=|x﹣m|﹣3，且f（x）≥0的解集为（﹣∞，﹣2]∪[4，+∞）．（Ⅰ）求m的值；（Ⅱ）若∃x∈R，使得f（x）≥t+|2﹣x|成立，求实数t的取值范围．2018年安徽省淮北市高考数学一模试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分1．（5分）设复数Z满足（1+i）Z=i，则|Z|=（）A．B．C．D．2【解答】解：由（1+i）Z=i，得Z=，∴|Z|=．故选：A．2．（5分）已知A={x|x2﹣2x﹣3≤0}，B={y|y=x2+1}，则A∩B=（）A．[﹣1，3]B．[﹣3，2]C．[2，3]D．[1，3]【解答】解：A={x|x2﹣2x﹣3≤0}={x|﹣1≤x≤3}，B={y|y=x2+1}={y|y≥1}，则A∩B={x|1≤x≤3}=[1，3]，故选：D3．（5分）函数f（x）=+ln|x|的图象大致为（）A．B．C．D．【解答】解：当x＜0时，函数f（x）=，由函数y=、y=ln（﹣x）递减知函数f（x）=递减，排除CD；当x＞0时，函数f（x）=，此时，f（1）==1，而选项A的最小值为2，故可排除A，只有B正确，故选：B．4．（5分）《九章算术》是我国古代第一部数字专著，是《算经十书》中最重要的一种，成于公元一世纪左右，它是一本综合性的历史著作，是当时世界上最简练有效的应用数学，“更相减损术”便是《九章算术》中记录的一种求最大公约数的算法，按其算理流程有如图所示程序框图，若输入的a、b分别为96、42，则输出的i为（）A．4 B．5 C．6 D．7【解答】解：由程序框图可知：当a=96，b=42时，满足a＞b，则a=96﹣42=54，i=1由a＞b，则a=54﹣42=12，i=2由a＜b，则b=42﹣12=30，i=3由a＜b，则b=30﹣12=18，i=4由a＜b，则b=18﹣12=6，i=5由a＞b，则a=12﹣6=6，i=6由a=b=6，输出i=6．故选：C．5．（5分）如果实数x，y满足关系，又≥λ恒成立，则λ的取值范围为（）A．（﹣∞，]B．（﹣∞，3]C．[，+∞）D．（3，+∞）【解答】解：设z==2+，z的几何意义是区域内的点到D（3，1）的斜率加2，作出实数x，y满足关系对应的平面区域如图：由图形，可得C（，），由图象可知，直线CD的斜率最小值为=，∴z的最小值为，∴λ的取值范围是（﹣∞，]．故选：A．6．（5分）某空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A．B．C．D．【解答】解：由三视图得该几何体是从四棱锥P﹣ABCD中挖去一个半圆锥，四棱锥的底面是以2为边长的正方形、高是2，圆锥的底面半径是1、高是2，∴所求的体积V==，故选：B．7．（5分）已知等比数列{a n}中，a5=3，a4a7=45，则的值为（）A．3 B．5 C．9 D．25【解答】解：根据题意，等比数列{a n}中，a5=3，a4a7=45，则有a6==15，则q==5，则==q2=25；故选：D．8．（5分）已知F是双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的右焦点，若点F关于双曲线的一条渐近线对称的点恰好落在双曲线的左支上，则双曲线的离心率为（）A．B．C．D．【解答】解：设F（c，0），渐近线方程为y=x，对称点为F'（m，n），即有=﹣，且•n=•，解得m=，n=﹣，将F'（，﹣），即（，﹣），代入双曲线的方程可得﹣=1，化简可得﹣4=1，即有e2=5，解得e=．故选：C．9．（5分）函数f（x）在定义域R内可导，若f（1+x）=f（3﹣x），且当x∈（﹣∞，2）时，（x﹣2）f（x）＜0，设a=f（0），b=f（），c=f（3），则a，b，c的大小关系是（）A．a＞b＞c B．c＞a＞b C．c＞b＞a D．b＞c＞a【解答】解：∵f（1+x）=f（3﹣x），∴函数f（x）的图象关于直线x=2对称，∴f（3）=f（1）．当x∈（﹣∞，2）时，（x﹣2）f′（x）＜0，∴f′（x）＞0，即f（x）单调递增，∵0＜＜1，∴f（0）＜f（）＜f（2），即a＜b＜c，故选：D．10．（5分）已知函数f（x）=asinx﹣2cosx的一条对称轴为x=﹣，且f（x1）•f（x2）=﹣16，则|x1+x2|的最小值为（）A．B．C． D．【解答】解：f（x）=asinx﹣2cosx=sin（x+θ），由于函数f（x）的对称轴为：x=﹣，所以f（﹣）=﹣a﹣3，则|﹣a﹣3|=，解得：a=2；所以：f（x）=4sin（x﹣），由于：f（x1）•f（x2）=﹣16，所以函数f（x）必须取得最大值和最小值，所以：x1=2kπ+或x2=2kπ﹣，k∈Z；所以：|x1+x2|的最小值为．故选：C．11．（5分）对于向量a，b，定义a×b为向量a，b的向量积，其运算结果为一个向量，且规定a×b的模|a×b|=|a||b|sinθ（其中θ为向量a与b的夹角），a ×b的方向与向量a，b的方向都垂直，且使得a，b，a×b依次构成右手系．如图，在平行六面体ABCD﹣EFGH中，∠EAB=∠EAD=∠BAD=60°，AB=AD=AE=2，则=（）A．4 B．8 C．D．【解答】解：据向量积定义知，向量垂直平面ABCD，且方向向上，设与所成角为θ．∵∠EAB=∠EAD=∠BAD=60°，∴点E在底面ABCD上的射影在直线AC上．作EI⊥AC于I，则EI⊥面ABCD，∴θ+∠EAI=．过I作IJ⊥AD于J，连EJ，由三垂线逆定理可得EJ⊥AD．∵AE=2，∠EAD=60°，∴AJ=1，EJ=．又∵∠CAD=30°，IJ⊥AD，∴AI=．∵AE=2，EI⊥AC，∴cos∠EAI==．∴sinθ==cos∠EAI=，cosθ=．故=||||sin∠BAD||cosθ=8××=，故选D．12．（5分）若存在实数x使得关于x的不等式（e x﹣a）2+x2﹣2ax+a2≤成立，则实数a的取值范围是（）A．{} B．{} C．[，+∞）D．[，+∞）【解答】解：不等式（e x﹣a）2+x2﹣2ax+a2≤成立，即为（e x﹣a）2+（x﹣a）2≤，表示点（x，e x）与（a，a）的距离的平方不超过，即最大值为．由（a，a）在直线l：y=x上，设与直线l平行且与y=e x相切的直线的切点为（m，n），可得切线的斜率为e m=1，解得m=0，n=1，切点为（0，1），由切点到直线l的距离为直线l上的点与曲线y=e x的距离的最小值，可得（0﹣a）2+（1+a）2=，解得a=，则a的取值集合为{}．故选：A．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分13．（5分）已知等差数列{a n}前15项的和S15=30，则a2+a9+a13=6．【解答】解：∵设等差数列的等差为d，{a n}前15项的和S15=30，∴=30，即a1+7d=2，则a2+a9+a13=（a1+d）+（a1+8d）+（a1+12d）=3（a1+7d）=6．故答案为：6．14．（5分）若的二项展开式中的所有二项式系数之和等于256，则该展开式中常数项的值为1120．【解答】解：由题意可知，2n=256，解得n=8．∴=，其展开式的通项=，令8﹣2r=0，得r=4．∴该展开式中常数项的值为．故答案为：1120．15．（5分）已知函数f（x）的定义域为R，其导函数f′（x）的图象如图所示，则对于任意x1，x2∈R（x1≠x2），下列结论正确的序号是②⑤①f（x）＜0恒成立；②（x1﹣x2）[f（x1）﹣f（x2）]＜0；③（x1﹣x2）[f（x1）﹣f（x2）]＞0；④f（）＞f（）⑤f（）＜f（）【解答】解：由导函数的图象可知，导函数f′（x）的图象在x轴下方，即f′（x）＜0，故原函数为减函数，并且是，递减的速度是先快后慢．所以f（x）的图象如图所示：f（x）＜0恒成立，没有依据，故①不正确；②表示（x1﹣x2）与[f（x1）﹣f（x2）]异号，即f（x）为减函数．故②正确；③表示（x1﹣x2）与[f（x1）﹣f（x2）]同号，即f（x）为增函数．故③不正确，④⑤左边边的式子意义为x1，x2中点对应的函数值，即图中点B的纵坐标值，右边式子代表的是函数值得平均值，即图中点A的纵坐标值，显然有左边小于右边，故④不正确，⑤正确，综上，正确的结论为②⑤．故答案为：②⑤．16．（5分）在△ABC中，D、E分别是AB、AC的中点，M是直线DE上的动点．若△ABC的面积为2，则•+2的最小值为2．【解答】解：∵D、E是AB、AC的中点，∴M到BC的距离等于点A到BC的距离的一半，=2S△MBC，而△ABC的面积2，则△MBC的面积S△MBC=1，∴S△ABCS△MBC=丨MB丨•丨MC丨sin∠BMC=1，∴丨MB丨•丨MC丨=．∴•=丨MB丨•丨MC丨cos∠BMC=．由余弦定理，丨BC丨2=丨BM丨2+丨CM丨2﹣2丨BM丨•丨CM丨cos∠BMC，显然，BM、CM都是正数，∴丨BM丨2+丨CM丨2≥2丨BM丨•丨CM丨，∴丨BC丨2=丨BM丨2+丨CM丨2﹣2丨BM丨×丨CM丨cos∠BMC=2×﹣2×．∴•+2≥+2×﹣2×=2•，方法一：令y=，则y′=，令y′=0，则cos∠BMC=，此时函数在（0，）上单调减，在（，1）上单调增，∴cos∠BMC=时，取得最小值为，•+2的最小值为2；方法二：令y=，则ysin∠BMC+cos∠BMC=2，则sin（∠BMC+α）=2，tanα=，则sin（∠BMC+α）=≤1，解得：y≥，则•+2的最小值为2；故答案为：2．三、解答题17．（12分）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且acosB=（3c ﹣b）cosA．（1）求cosA的值；（2）若b=3，点M在线段BC上，=2，||=3，求△ABC的面积．【解答】（本题满分为12分）解：（1）因为acosB=（3c﹣b）cosA，由正弦定理得：sinAcosB=（3sinC﹣sinB）cosA，即sinAcosB+sinBcosA=3sinCcosA，可得：sinC=3sinCcosA，在△ABC中，sinC≠0，所以．…（5分）（2）∵=2，两边平方得：=4，由b=3，||=3，，可得：，解得：c=7或c=﹣9（舍），所以△ABC的面积．…（12分）18．（12分）在如图所示的圆台中，AB，CD分别是下底面圆O，上底面圆O′的直径，满足AB⊥CD，又DE为圆台的一条母线，且与底面ABE成角．（Ⅰ）若面BCD与面ABE的交线为l，证明：l∥面CDE；（Ⅱ）若AB=2CD，求平面BCD的与平面ABE所成锐二面角的余弦值．【解答】（Ⅰ）证明：如图，在圆台OO′中，∵CD⊂圆O′，∴CD∥平面ABE，∵面BCD∩面ABE=l，∴l∥CD，∵CD⊂平面CDE，l⊄平面CDE，∴l∥面CDE；（Ⅱ）解：连接OO′、BO′、OE，则CD∥OE，由AB⊥CD，得AB⊥OE，又O′B在底面的射影为OB，由三垂线定理知：O′B⊥OE，∴O′B⊥CD，∴∠O′BO就是求面BCD与底面ABE所成二面角的平面角．设AB=4，由母线与底面成角，可得OE=2O′D=2，DE=2，OB=2，OO′=，∴cos∠O′BO=．19．（12分）如图为2017届淮北师范大学数学与应用数学专业N名毕业生的综合测评成绩（百分制）分布直方图，已知80～90分数段的学员数为21人．（Ⅰ）求该专业毕业总人数N和90～95分数段内的人数n；（Ⅱ）现欲将90～95分数段内的n名毕业生随机的分配往A、B、C三所学校，若每所学校至少分配两名毕业生，且甲乙两人必须进同一所学校，共有多少种不同的分配方法？（Ⅲ）若90～95分数段内的这n名毕业生中恰有两女生，设随机变量ξ表示n 名毕业生中分配往乙学校的两名学生中女生的人数，求ξ的分布列和数学期望．【解答】解：（Ⅰ）80～90分数段的毕业生的频率为：p1=（0.04+0.03）×5=0.35，此分数段的学员总数为21人，∴毕业生的总人数N为N==60，90～95分数段内的人数频率为：p2=1﹣（0.01+0.04+0.05+0.04+0.03+0.01）×5=0.1，∴90～95分数段内的人数n=60×0.1=6．（Ⅱ）将90～95分数段内的6名毕业生随机的分配往A、B、C三所学校，每所学校至少分配两名毕业生，且甲乙两人必须进同一所学校，共有：=18不同的分配方法．（Ⅲ）ξ所有可能取值为0，1，2，P（ξ=0）==，P（ξ=1）==，P（ξ=2）==，所以ξ的分布列为：所以随机变量ξ数学期望为E（ξ）==．20．（12分）已知椭圆C：+=1（a＞b＞0），其左右焦点为F1，F2，过F1直线l：x+my+=0与椭圆C交于A，B两点，且椭圆离心率e=；（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）若椭圆存在点M，使得2=+，求直线l的方程．【解答】解：（Ⅰ）过F1直线l：x+my+=0，令y=0，解得x=﹣，∴c=，∵e==，∴a=2，∴b2=a2﹣c2=4﹣3=1，∴椭圆C的方程为+y2=1；（Ⅱ）设A（x1，y1），B（x2，y2），M（x3，y3），由2=+，得：x3=x1+x2，y3=y1+y2代入椭圆方程可得：（x1+x2）2+（y1+y2）2﹣1=0，∴（x12+y12）+（x22+y22）+（x1x2+4y1y2）=1，∴x1x2+4y1y2=0联立方程消x可得（m2+4）y2+2my﹣1=0，∴y1+y2=，y1y2=，∴x1x2+4y1y2=（my1+）（my2+）+4y1y2=（m2+4）4y1y2+m（y1+y2）+3=0，即m2=2，解得m=±所求直线l的方程：x±y+=0．21．（12分）设函数f（x）=x2﹣alnx，其中a∈R．（1）若函数f（x）在[，+∞）上单调递增，求实数a的取值范围；（2）设正实数m1，m2满足m1+m2=1，当a＞0时，求证：对任意的两个正实数x1，x2，总有f（m1x1+m2x2）≤m1f（x1）+m2f（x2）成立；（3）当a=2时，若正实数x1，x2，x3满足x1+x2+x3=3，求f（x1）+f（x2）+f（x3）的最小值．【解答】解：（1）函数f（x）=x2﹣alnx，导数为f′（x）=x﹣，函数f（x）在[，+∞）上单调递增，可得f′（x）=x﹣≥0在[，+∞）恒成立，即为a≤x2的最小值，由x2在[，+∞）的最小值为，可得a≤；（2）证明：由f（x）=x2﹣alnx，a＞0，可得f′（x）=x﹣，f″（x）=1+＞0，即有f（x）为凹函数，由m1+m2=1，可得对任意的两个正实数x1，x2，总有f（m1x1+m2x2）≤m1f（x1）+m2f（x2）成立；（3）由f（x）=x2﹣2lnx，可得导数为f′（x）=x﹣，f″（x）=1+＞0，则f（x）为凹函数，有f（）≤[f（x1）+f（x2）+f（x3）]，即为f（x1）+f（x2）+f（x3）≥3f（）=3f（1）=3×=，则f（x1）+f（x2）+f（x3）的最小值为．[选修4-4：坐标系与参数方程选讲]22．（10分）在直角坐标系xOy中，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，圆C的极坐标方程为ρ=2sin（θ﹣），直线l的参数方程为t为参数，直线l和圆C交于A，B两点．（Ⅰ）求圆C的直角坐标方程；（Ⅱ）设l上一定点M（0，1），求|MA|•|MB|的值．【解答】（本小题满分10分）解：（Ⅰ）∵圆C的极坐标方程为：ρ=2sin（θ﹣）=2（sinθcos﹣cosθsin）=2sinθ﹣2cosθ，∴ρ2=2ρsinθ﹣2ρcosθ，∴圆C的直角坐标方程x2+y2=2y﹣2x，即（x+1）2+（y﹣1）2=2．（Ⅱ）直线l的参数方程为，t为参数，直线l的参数方程可化为，t′为参数，代入（x+1）2+（y﹣1）2=2，得（﹣+1）2+（）2=2，化简得：t'2﹣﹣1=0，∴=﹣1，∴|MA|•|MB|=||=1．[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f（x）=|x﹣m|﹣3，且f（x）≥0的解集为（﹣∞，﹣2]∪[4，+∞）．（Ⅰ）求m的值；（Ⅱ）若∃x∈R，使得f（x）≥t+|2﹣x|成立，求实数t的取值范围．【解答】（本小题满分10分）选修4﹣5：不等式选讲解：（Ⅰ）∵函数f（x）=|x﹣m|﹣3，且f（x）≥0的解集为（﹣∞，﹣2]∪[4，+∞）．即|x﹣m|﹣3≥0的解集为（﹣∞，﹣2]∪[4，+∞）．∴m+3=4，m﹣3=﹣2，解得m=1．（Ⅱ）∵∃x∈R，使得f（x）≥t+|2﹣x|成立，即|x﹣1|﹣3≥t+|2﹣x|，∴∃x∈R，|x﹣1|﹣|2﹣x|≥t+3，令g（t）=|x﹣1|﹣|x﹣2|=，∴∃x∈R，|x﹣1|﹣|2﹣x|≥t+3成立，∴t+3≤g（x）max=1，∴t≤﹣2．2018年广东省佛山市高考数学一模试卷（文科）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）已知集合A={﹣1，0，1}，B={x|x﹣x2=0}，则A∩B=（）A．{0}B．{1}C．（0，1） D．{0，1}2．（5分）设复数z 1=2+i，z2=1+ai，若，则实数a=（）A．﹣2 B．C．D．23．（5分）若变量x，y满足约束条件，则z=3x﹣2y的最小值为（）A．﹣1 B．0 C．3 D．94．（5分）袋中有5个球，其中红色球3个，标号分别为1，2，3；篮色球2个，标号分别为1，2；从袋中任取两个球，则这两个球颜色不同且标号之和不小于4的概率为（）A．B．C．D．5．（5分）已知命题p：∀x＞1，log2x+4log x2＞4，则¬p为（）。
广东省2018届高三第一次模拟考试数学(理)试题 Word版含解析
2018年普通高等学校招生全国统一考试广东省理科数学模拟试卷（一）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知集合）B. C.【答案】BB.2. （）A. -1B. 1C. 2D. -2【答案】D【解析】为纯虚数，，解得，故选D.3. 下图为射击使用的靶子，靶中最小的圆的半径为1，靶中各图的半径依次加1，在靶中随机取一点，则此点取自黑色部分（7环到9环）的概率是（）【答案】A【解析】根据圆的面积公式以及几何概型概率公式可得，此点取自黑色部分的概率是A.4. 已知函数，则函数的图象在）A. 0B. 9C. 18D. 27【答案】C数的几何意义可得函数的图象在 C.5. 的一个焦点，则双的离心率为（）【答案】C，C.6. 的展开式中，的系数为（）A. 120B. 160C. 100D. 80【答案】A的展开式中含的项为的系数为故选A.【方法点晴】本题主要考查二项展开式定理的通项与系数，属于简单题. 二项展开式定理的问题也是高考命题热点之一，关于二项式定理的命题方向比较明确，主要从以下几个方面命题：（1（可以考查某一项，也可考查某一项的系数）（2）考查各项系数和和各项的二项式系数和；（3）二项展开式定理的应用.7. 如图，网格纸上的小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的表面积为（）【答案】B【解析】由三视图可知，该几何体为一个长方体截去了两个半圆柱而形成的，则该几何体的B.【方法点睛】本题利用空间几何体的三视图重点考查学生的空间想象能力和抽象思维能力，属于难题.三视图问题是考查学生空间想象能力最常见题型，也是高考热点.观察三视图并将其“翻译”成直观图是解题的关键，不但要注意三视图的三要素“高平齐，长对正，宽相等”，还要特别注意实线与虚线以及相同图形的不同位置对几何体直观图的影响.8. 已知曲线（）A. 向左平移个单位长度，得到的曲线关于原点对称B. 个单位长度，得到的曲线关于C.D.【答案】D【解析】对于选项轴对称，故选D.9. 大衍数列，来源于《乾坤谱》中对易传“大衍之数五十”的推论.主要用于解释中国传统文化中的太极衍生原理.数列中的每一项，都代表太极衍生过程中，曾经经历过的两仪数量总和，是中华传统文化中隐藏着的世界数学史上第一道数列题.其规律是：偶数项是序号平方再除以2，奇数项是序号平方减1再除以2，其前10项依次是0，2，4，8，12，18，24，32，40，50，…，如图所示的程序框图是为了得到大衍数列的前100项而设计的，中，可以先后填入（）是偶数，是偶数，【答案】DD.10.的面积的最大值为（）D.【答案】C，由余弦定理可得，解得，所以11. 轴负半轴上的动点，（）【答案】A，根据导数的几何意义可得，故的最小值为 A.12. 设函数，若互不相等的实数满足，则的取值范围是（）B. C.【答案】B【解析】，则，故选B.【方法点睛】本题主要考查分段函数的图象与性质、指数与对数的运算以及数形结合思想的应用，属于难题. 数形结合是根据数量与图形之间的对应关系，通过数与形的相互转化来解决数学问题的一种重要思想方法，.函数图象是函数的一种表达形式，它形象地揭示了函数的性质，为研究函数的数量关系提供了“形”的直观性．归纳起来，图象的应用常见的命题探究角度有：1、确定方程根的个数；2、求参数的取值范围；3、求不等式的解集；4、研究函数性质．二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13. ．【答案】114. __________．【答案】2【解析】过点取得最大值，此时【方法点晴】本题主要考查线性规划中利用可行域求目标函数的最值，属简单题.求目标函数最值的一般步骤是“一画、二移、三求”：（1）作出可行域（一定要注意是实线还是虚线）；（2）找到目标函数对应的最优解对应点（在可行域内平移变形后的目标函数，最先通过或最后通过的顶点就是最优解）；（3）将最优解坐标代入目标函数求出最值.15. ．可得，案为.16..沿虚线剪为折痕折起个四棱锥.当该四棱锥的侧面积是底面积的2倍时，该四棱锥的外接球的体积为__________．【解析】如图，交，重合于点倍，设该四棱锥的外接球的球心，三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17-21题为必考题，每道试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共60分.17. .（1）求数列（2【答案】【解析】试题分析：（1；（2）结合（1.试题解析：（1（2.【方法点睛】本题主要考查等差数列的通项、等比数列的求和公式以及错位相减法求数列的项和，属于中档题.一般地，如果数列是等差数列，求数列作差求解,”的表达式.18. “微信运动”是一个类似计步数据库的公众账号.用户只需以运动手环或手机协处理器的运动数据为介，然后关注该公众号，就能看见自己与好友每日行走的步数，并在同一排行榜上得以体现.现随机选取朋友圈中的50人，记录了他们某一天的走路步数，并将数据整理如下：规定：人一天行走的步数超过8000步时被系统评定为“积极性”，否则为“懈怠性”.（1）以这50人这一天行走的步数的频率代替1人一天行走的步数发生的概率，抽取3.（2）为调查评定系统的合理性，拟从这50人中先抽取10人（男性6人，女性4人）.其中男性中被系统评定为“积极性”的有4人，“懈怠性”的有2人，从中任意选取3人，记选其中女性中被系统评定为“积极性”和“懈怠性”的各有2人，从中任意选取2人，记选到.【答案】【解析】试题分析：（1）根据古典概型概率公式可得被系统评为“积极性”的概率为（2“”，“ ”，“ ”，“ ”，“分别根据独立事件的概率公式求出六个互斥事件的概率，然后求和即可得到.试题解析：（1.的数学期望（2”包含“，，所以.19. 如图，在直角梯形中，折起，使.（1（2.【答案】(1)见解析【解析】试题分析：（1）由因（2）为坐标原点，.试题解析：（1，所以，所以平面（2）解：的方向为轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系【方法点晴】本题主要考查利用空间向量求二面角，以及面面垂直的证明，属于难题.空间向量解答立体几何问题的一般步骤是：（1）观察图形，建立恰当的空间直角坐标系；（2）写出相应点的坐标，求出相应直线的方向向量；（3）设出相应平面的法向量，利用两直线垂直数量积为零列出方程组求出法向量；（4）将空间位置关系转化为向量关系；（5）根据定理结论求出相应的角和距离.20. 已知椭圆（1）求椭圆的方程；（2）若直线均在第一象限）（其中.. 【答案】(1) ;(2)见解析.【解析】试题分析：（1、的方程组，求出、，即可得椭圆的方程；（2）达定理可得，进而可得结果.试题解析：（1，故椭圆（2）由题意可知直线的斜率存在且不为0，的方程为化简得，，即，消去，，所以，又结合图象可知，，所以直线.21. 已知函数.（1（2）若函数的最小值为.【答案】(1)见解析【解析】试题分析：（1）先求出，则至少存在一个零点，讨论的范围，利用导数研究函数的单调性，结合单调性与函数图象可得结果；（2）求出，分五种情况讨论的范围，分别令求得的范围，可得函数增区间，求得的范围，可得函数的减区间，利用函数的单调性，结合函数图象可排除不合题意的的范围，筛选出符合题意的的范围.试题解析：（1，故在上单调递增，，（2，则函数，则.，故不符合题意.与函数的最小值为矛盾，（二）选考题：共10分.请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22. 【选修4-4：坐标系与参数方程】（1的极坐标方程和（2.【答案】(1)见解析【解析】试题分析：（1程；（2的几何意义，利用三角形面积公式可得结果.试题解析：（1（2）分别将的面积为23. 【选修4-5：不等式选讲】（1（2）若存在.【答案】【解析】试题分析：（1）对分三种情况讨论，取掉绝对值符号，分别求解不等式组，然后求（2集的定义列不等式求解即可.试题解析：（1，得，无解；，得，即时，，综上，（2，使得）可知，解得. 的取值范围为.。
高三数学-2018届高三数学各地一模调研卷——广州市 精品
试卷类型：A2018年广州市普通高中毕业班第一次模拟考试数 学 试 题（2018年3日20日）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四处备选项中，只有一项是符合题目要求的．1. 函数()213f x x π⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭的最小正周期是（ ）A ．B ．1C ．πD ．2π2. 在复平面中，复数1iz i=+（i 为虚数单位）所对应的点位于（ ） A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限3. 函数y =1x ≥）的反函数是（ ）A ．y 1x ≥）B ．y 0x ≥）C ．y =1x ≥）D ．y =0x ≥）4. 已知向量(2,3)a =，||213b =，且//a b ，则向量b 的坐标为（ ）A ．(4,6)-B ．(4,6)C ．(6,4)-或(6,4)-D ．(4,6)--或(4,6)5. 已知集合2{|10}M x x =-<，01xN x x ⎧⎫=<⎨⎬-⎩⎭，则下列关系中正确的是（ ）A ．M N =B ．M N ⊂≠C ．N M ⊂≠D ．M N =∅6. 在长方体1111ABCD A B C D -中，4AB =，5AD =，13AA =，则四棱锥111B A BCD -的体积是（ ） A ．10B ．20C ．30D ．607. 若(41)n x -（n *∈N ）的展开式中各项系数的和为729，则展开式中3x 的系数是（ ）A ．1280-B ．64-C ．20D ．12808. 设a 、b 是两条不同的直线，α、β是两个不同的平面，是下列命题中正确的是（ ）A ．若//a b ，//a α，则//b αB ．若αβ⊥，//a α，则a β⊥C ．若αβ⊥，a β⊥，则//a αD ．若a b ⊥，a α⊥，b β⊥，则αβ⊥9. 函数()y f x =是定义在R 上的增函数，()y f x =的图像经过点(0,1)-和下面哪一个点时，能确定不等式|(1)|1f x +<的解集为{|12}x x -<<（ ） A ．(3,0)B ．(4,0)C ．(3,1)D ．(4,1)10. 已知(,)P t t ，t ∈R ，点M 是圆221(1)4x y +-=上的动点，点N 是圆221(2)4x y -+=上的动点，则||||PN PM -的最大值是（ ）A 1BC ．1D ．2二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中相应的横线上．11. 224lim2x x x →--=+ ． 12. 设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，715a =，则13S = ．13. 某学校招收的12名体育特长生中有3名篮球特长生．现要将这12名学生平均分配到3个班中去，每班都分到1名篮球特长生的分配方法共有 种，3名篮球特长生被分配到同一个班的分配方法共有 种．（用数字作答）14. 如图，已知(0,5)A ，(1,1)B ，(3,2)C ，(4,3)D ，动点(,)P x y 所在的区域为四边形ABCD （含边界）．若目标函数z ax y =+只在点D 处取得最优解，则实数a 的取值范围是 ．三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明、演算步骤或推证过程． 15. （本小题满分12分）某射击运动员射击1次，击中目标的概率为45．他连续射击5次，且每次射击是否击中 目标相互之间没有影响．（Ⅰ）求在这5次射击中，恰好击中目标2次的概率； （Ⅱ）求在这5次射击中，至少击中目标2次的概率．16. （本小题满分12分）已知sincos22αα-=,2παπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，1tan 2β=． （Ⅰ）求sin α的值； （Ⅱ）求tan()αβ-的值．如图，长度为2的线段AB 夹在直二面角l αβ--的两个半平面内，A α∈，B β∈， 且AB 与平面α、β所成的角都是30︒，AC l ⊥，垂足为C ，BD l ⊥，垂足为D ．（Ⅰ）求直线AB 与CD 所成角的大小；（Ⅱ）求二面角C AB D --所成平面角的余弦值．18. （本小题满分14分）已知数列{}n x 满足下列条件：1x a =，2x b =，11(1)0n n n x x x λλ+--++=（n *∈N 且 2n ≥），其中a 、b 为常数，且a b <，λ为非零常数．（Ⅰ）当0λ>时，证明：1n n x x +>（n *∈N ）； （Ⅱ）当||1λ<时，求lim n n x →∞．如图，在OAB ∆中，||||4OA OB ==，点P 分线段AB 所成的比3:1，以OA 、OB 所在 直线为渐近线的双曲线M 恰好经过点P ，且离心率为2．（Ⅰ）求双曲线M 的标准方程；（Ⅱ）若直线y kx m =+（0k ≠，0m ≠）与双曲线M 交于不同的两点E 、F ，且E 、F 两点都在以(0,3)Q -为圆心的同一圆上，求实数m 的取值范围．已知函数()f x 是定义在[,0)(0,]e e -上的奇函数，当(0,]x e ∈时，有()ln f x ax x =+ （其中e 为自然对数的底，a ∈R ）．（Ⅰ）求函数()f x 的解析式；（Ⅱ）设ln ||()||x g x x =（[,0)(0,]x e e ∈-），求证：当1a =-时，1|()|()2f xg x >+； （Ⅲ）试问：是否存在实数a ，使得当[,0)x e ∈-，()f x 的最小值是3？如果存在，求出实数a 的值；如果不存在，请说明理由．2018年广州市普通高中毕业班第一次模拟考试数学试题参考答案一、选择题：二、填空题：1,2⎛+∞ ⎝三、解答题：15. 解：设此人在这5次射击中击中目标的次数为ξ，则45,5Bξ⎛⎫⎪⎝⎭，因此，有 （Ⅰ）在这5次射击中，恰好击中目标2次的概率为232554132(2)55625P C ⎛⎫⎛⎫=⋅⋅=⎪⎪⎝⎭⎝⎭； （Ⅱ）在这5次射击中，至少击中目标2次的概率为541555514131041(0)(1)15553125P P P C C ⎛⎫⎛⎫=--=-⋅-⋅⋅=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭． 16. 解：（Ⅰ）2214sin cos sin cos 1sin sin 222255αααααα⎛⎫-=⇒-=⇒-=⇒= ⎪⎝⎭⎝⎭； （Ⅱ）4sin 54tan 3,2ααπαπ⎫=⎪⎪⇒=-⎬⎛⎫⎪∈ ⎪⎪⎝⎭⎭，由此及1tan 2β=得 41tan tan 1132tan()411tan tan 2132αβαβαβ----===-+⎛⎫+-⨯ ⎪⎝⎭． 17. 解：（Ⅰ）如图所示，连结BC ，设直线AB 与 CD 所成的角为θ，则由AC β⊥知：cos cos cos ABC DCB θ=∠⋅∠，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，cos302==， 故45θ=︒；（Ⅱ）如图建立空间直角坐标系，则(0,0,0)D，(0A ， (1,0,0)B，(00)C ，所以(0,0,1)CA =，(1,0)CB =，设1(,,)n x y z =是平面ABC 的法向量，则110CA n z CB n x ⎧⋅==⎪⇒⎨⋅==⎪⎩可以取1(20)n =．同理，2(0,1,n =是平面ABD 的法向量．设二面角C AB D --所成的平面角为γ，则显然γ是锐角，从而有12121cos 3||||3n n n n γ⋅===⋅．18. （Ⅰ）证明：由已知得11()n n n n x x x x λ+--=-及210x x b a -=->知：数列1{}n n x x +-是首项为b a -，公比为λ的等比数列，故11()n n n x x b a λ-+-=-⋅，由此及0λ>知：10n n x x +->，即1n n x x +>；（Ⅱ）由已知得1121n n n n x x x x x x b a λλλλ+--=-==-=-，由此及（Ⅰ）的结论得1()1n n b a b a x λλλ----⋅=-，由此及1||1lim 0lim 1n n n n b ax λλλλ-→∞→∞-<⇒=⇒=-．19. 解：（Ⅰ）因为双曲线M的离心率为2，所以可设双曲线M 的方程为222213xy a a-=，由此可得渐近线的斜率60k BOx =∠=︒，从而(2,B ，(2,A -． 又因为点P 分线段AB 所成的比为3:1，故(2,P ，代入双曲线方程得23a =，故双曲线M 的方程为22139x y -=；（Ⅱ）如图所示，由方程组22222(3)290139y kx mk x kmx m x y =+⎧⎪⇒-+++=⎨-=⎪⎩，设11(,)E x y 、22(,)F x y ，线段EF 的中点为00(,)N x y ，则有2222222230344(3)(9)093k k k m k m m k ⎧⎧-≠≠⎪⎪⇒⎨⎨∆=--+>+>⎪⎪⎩⎩． ……①由韦达定理得120223x x km x k +==--，00233my kx m k =+=--．因为E 、F 两点都在以(0,3)Q -为圆心的同一圆上，所以NQ EF ⊥，即2200333913490NQy m k k k m x km k+-+-===-⇒=+--． ……②由①、②得294994904040m m m m or m m ⎧+>+⎪+>⇒>-<<⎨⎪≠⎩．20. 解：（Ⅰ）当[,0)x e ∈-时，(0,]x e -∈，故有()ln()f x ax x -=-+-，由此及()f x 是奇 函数得()ln()()ln()f x ax x f x ax x -=-+-⇒=--，因此，函数()f x 的解析式为ln()(0)()ln (0)ax x e x f x ax xx e ---≤<⎧=⎨+<≤⎩；（Ⅱ）证明：令1()|()|()2F x f x g x =--。
高三数学-2018年广东省高考数学模拟试题 精品
2018年广东省高考数学模拟试题第一部分 选择题（共50分）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1 已知cos θ＝cos30°，则θ等于 （ ）A 30°B k ²360°＋30°(k ∈Z )C k ²360°±30°(k ∈Z )D k ²180°＋30°(k ∈Z )2．已知b a ,0,0>> b 的等差中项是111,,,2m a n b m n a b=+=++且则的最小值是( C ) A ．3B ．4C ．5D ．63 设曲线y ＝1x 2和曲线y ＝1x 在它们交点处的两切线的夹角为θ，则tan θ＝ （ ）A ．1B ．12C ．13D ．234 袋中有不同的白球5只，不同的黑球6只，连续取出3只球，则顺序为“黑白黑”的概率为 （ ） A29 B 322 C 334 D 3355 下列命题不正确．．．的是 ( ) (A) 如果 f (x ) =1x，则 lim x →+ ∞ f (x ) = 0 (B) 如果 f (x ) = 2 x －1，则 lim x →0 f (x ) = 0(C) 如果 f (n ) = n 2－2nn + 2 ，则 lim n →∞f (n ) 不存在(D) 如果 f (x ) = ⎩⎨⎧ x ， x ≥0x + 1，x < 0，则 lim x →0 f (x ) = 06 已知点)0,2(-A ,)0,3(B ，动点2),(x PB PA y x P =⋅满足，则点P 的轨迹是（ ）A 圆B 椭圆C 双曲线D 抛物线7 若D 点在三角形的BC 边上，且4CD DB r AB sAC ==+，则3r s +的值为 （ ） A165 B 125 C 85 D 458. 若一条曲线既是轴对称图形又是中心对称图形，则我们称此曲线为双重对称曲线．下列四条曲线中，双重对称曲线的条数是 （ ）（1）4212516x y -=（2）221y x x =-+-（3）5sin 23y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭（4）31y x =+ A ．1 B ． 2 C ．3 D ．4 9．有一条信息, 若1人得知后用1小时将其传给2人, 这2人又用1小时分别传给未知此信息的另外2人, 如此继续下去, 要传遍100万人口的城市, 所需的时间大约是 （ ） A ．10天 B ． 2天 C ．1天 D ． 半天10 函数2312x y e π-=的部分图象大致是（ ）A B C D第二部分（非选择题 共100分）二、填空题：本大题共4小题，每题5分，共20分.11 将抛物线)0()3(42≠-=+a y a x 按向量v =（4，－3）平移后所得抛物线的焦点坐标为若两个向量与的夹角为x ，则称向量“³”为“向量积”，其长度|a ³b |=|a |•|b |•sinx 今已知|a |=1，|b |=5，a •b =－4，则|a ³b |=13 有一组数据：1231,,,(n x x x x x ＜2x ＜…＜n x )的算术平均值为10，若去掉其中最大的一个，余下数据的算术平均值为9；若去掉其中最小的一个，余下数据的算术平均值为11，第一个数1x 关于的表达式是___ ，第个数n x 关于的表达式是____14．已知()f x 是定义在R 上的函数，且[](1)1()1(),(1)3f x f x f x f +-=+=则(2)f =________；(2005)f =___3_____三、解答题：本大题共6小题，共80分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15．（本小题满分12分）设函数)(cos sin 322cos )(R x x x x x f ∈+=的最大值为M ，最小正周期为T （1）求M T ；(2)若有10个互不相等的正数i x 满足M x f i =)(，且)10,,2,1(10 =<i x i π， 求1021x x x +++ 的值16．（本小题满分12分）某市出租车的起步价为6元，行驶路程不超过3km 时，租车费为6 元，若行驶路程过3km ，则按每超出1km （不足1km 也按1km 计程）收费3元计费 设出租车一天行驶的路程数ξ（按整km 数计算，不足1km 的自动计为1km ）是一个随机 变量，则其收费数η也是一个随机变量 已知一个司机在某个月中每次出车都超过了3km ，且一天的总路程数可能的取值是200 220 240260280 300（km ），它们出 现的概率依次是0 12 0 18 0 200 20 100a 2+3a 4a（1）求作这一个月中一天行驶路程ξ的分布列，并求ξ的数学期望和方差； （2）求这一个月中一天所收租车费η的数学期望和方差17 （本小题满分14分）正四面体A-BCD 的棱长为1，（Ⅰ）如图(1)M 为CD 中点，求异面直线AM 与BC 所成的角； （Ⅱ）将正四面体沿AB BD DC BC 剪开，作为正四棱锥的侧面如图(2)，求二面角M-AB-E 的大小；（Ⅲ）若将图(1)与图(2)面ACD 重合，问该几何体是几面体 （不需要证明），并求这几何体的体积DCBA M图(1)NEDCBAM图(2)P QH18．（本小题满分14分）对于任意实数x ，符号[]x 表示x 的整数部分，即[]x 是不超过x 的最大整数 在实数轴（箭头向右）上[]x 是在点x 左侧的第一个整数点，当x 是整数时[]x 就是 这个函数[]x 叫做“取整函数”也叫高斯（Gauss ）函数从[]x 的定义可得下列性质：1x -＜[]x ≤x ＜[1x +与[]x 有关的另一个函数是{}x ，它的定义是{}x =x -[]x ，{}x 称为x 的“小数部分”（1）根据上文，求{}x 的取值范围和[]5.2-的值； （2）求的和19 （本小题满分14分）过椭圆)0(12222>>=+b a by a x 的左焦点F 任作一条与两坐标轴都不垂直的弦AB ，若点M 在x 轴上，且使得MF 为AMB ∆的一条内角平分线，则称点M 为该椭圆的“左特征点”.①求椭圆1522=+y x 的“左特征点”M 的坐标； ②试根据①中的结论猜测：椭圆)0(12222>>=+b a by a x 的“左特征点”M 是一个怎样的点？并证明你的结论20（本小题满分14分）有一块边长为4的正方形钢板，现对其进行切割焊接成一个长方体无盖容器（切焊损耗忽略不计），有人应用数学知识作了如下设计：如图（a），在钢板的四个角处各切去一个小正方形，剩余部分围成一个长方体，该长方体的高为小正方形边长，如图（b）,；（I）请你求出这种切割焊接而成的长方体的最大容积V1（II）由于上述设计存在缺陷（材料有所浪费），请你重新设计切焊方法，使材料浪费减少，．而且所得长方体容器的容积V2>V1图（a）图（b）。
广东省2018届高考模拟考试数学理科试题(二)含答案
元
商品单价 /
a
元
0.9a
0.85a
0.8 a
0.75a
0.7 a
为了研究该商品购买单价的情况，为此调查并整理了
50 个经销商一年的销售额，得到下面的
柱状图 .
已知某经销商下一年购买该商品的单价为
X （单位： 元），且以经销商在各段销售额的频率作
为概率 .
（ 1）求 X 的平均估计值 .
（ 2）该工厂针对此次的调查制定了如下奖励方案：经销商购买单价不高于平均估计单价的获
y2 8px p 0 交于 A ， B 两点， 直线 OP 与抛物线 y2 8 px p 0 的另一个交点为 Q ，
则 S ABQ
．
S ABO
三、解答题 （本大题共 6 小题，共 70 分 . 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 . ）
17. 在 ABC 中，内角 A ， B ， C 所对的边分别为 a ， b ， c ，已知 B 60 ， c 8 .
A． 7
B
． 2 C ．5
D ．8
4. 如图， AD 是以正方形的边 AD 为直径的半圆，向正方形内随机投入一点，则该点落在阴
影区域内的概率为（
）
A．
16
3
B．
C.
16
4
1
D．
4
5. 已知等比数列 an 的首项为 1 ，公比 q 1 ，且 a5 a4 3 a3 a2 ，则 9 a1a2a3 a9
（）
A． 9
B
． 9 C.
81 D ． 81
2
2
6. 已知双曲线
C
:
x a2
y b2
1a
0, b
广东省深圳市2018届高考模拟测试数学试卷及解析
………○………学校:______………○………广东省深圳市2018届高考模拟测试数学试卷注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上第I 卷（选择题）一、选择题1.(1−i)(−2+i)i 3= （ ）A. 3+iB. −3−iC. −3+iD. 3−i2.的值为 ( )A ．0B ．1C ．D ．3.有以下四个命题： 其中真命题的序号是 （ ） ①若且，则； ②若且，则； ③若且，则；④若且，则．①② ③④ ① ④ ②③4.设满足约束条件，则取值范围是 （ ）A ．B ．C ．D ．5.某次文艺汇演，要将A 、B 、C 、D 、E 、F 这六个不同节目编排成节目单，如下表：如果A 、B 两个节目要相邻，且都不排在第3号位置，则节目单上不同的排序方式有（ ）种 A. 192 B. 144 C. 96 D. 726.已知为非零向量，命题，命题的夹角为锐角，则命题是命题的( )A.充分不必要的条件B. 既不充分也不必要的条件C.充要条件D. 必要不充分的条件 7.已知圆的图象分别交于862lim22+--→x x x x 21-31//,//m n αβ//αβ//m n ,m n αβ⊥⊥αβ⊥m n ⊥,//m n αβ⊥//αβm n ⊥//,m n αβ⊥αβ⊥//m n 、A 、B 、C 、D ,x y 04312x y x x y ≥⎧⎪≥⎨⎪+≤⎩231x y x +++[3,11][2,6][3,10][1,5]→→b a ,0:>•→→b a p →→b 、a q :p q答案第2页，总20页……○……○的值为 （ ）A. 16B. 8C. 4D. 28.在平面直角坐标系中,横坐标、纵坐标均为整数的点称为整点，如果函数f(x)的图象恰好通过n(n∈N +)个整点，则称函数f(x)为n 阶整点函数.有下列函数：①f(x)=sin2x ； ②g(x)=x 3③ℎ(x)=(13)x ;④ϕ(x)=lnx ，其中是一阶整点函数的是( )A. ①②③④B. ①③④C. ①④D. ④第II 卷（非选择题）请点击修改第II 卷的文字说明二、填空题（题型注释）9.双曲线x 29−y 216=1的一个焦点到一条渐近线的距离为______________10.若为等差数列中的第8项，则二项式展开式中常数项是第 项11.如图，棱长为的正方体中，为中点，则直线与平面所成角的正切值为 ；若正方体的八个顶点都在同一球面上，则此球的表面积为 .12.在中，分别为三个内角A 、B 、C 所对的边,设向量，若向量，则角A 的大小为13.顺义二中对文明班的评选设计了五个方面的多元评价指标，并通过经验公式来计算各班的综合得分，的值越高则评价效果越好．若某班在自测过程中各项指标显示出，则下阶段要把其中一个指标的值增加个单位，而使得的值增加最多，那么该指标应为 ．（填入中的某个字母）14.一种计算装置，有一个数据入口和一个运算出口，执行某种运算程序．n ,0,2,4--n x x )2(2+a 1111D C B A ABCD -M BC M D 1ABCD ABC ∆c b a ,,→m (),,b c c a =--→n (),b c a =+→→⊥n m e d c b a ,,,,ed c b a S 1++=S a b e d c <<<<<01S e d c b a ,,,,A B AB MC D ABCD 1…………外…………………内………（1）当从口输入自然数时，从口得到实数，记为； （2）当从口输入自然数时，在口得到的结果是前一结果倍．当从口输入时，从口得到 ；要想从口得到，则应从口输入自然数 . 三、解答题（题型注释）15.(1)、已知函数若角 （2）函数的图象按向量平移后,得到一个函数g(x)的图象，求g(x)的解析式.16.如图，直角三角形的顶点坐标，直角顶点，顶点在轴上，点为线段的中点（Ⅰ）求边所在直线方程；（Ⅱ）为直角三角形外接圆的圆心，求圆的方程；（Ⅲ）若动圆过点且与圆内切，求动圆的圆心的轨迹方程．17.如图，四棱锥中，底面是边长为2的正方形，，且，为中点.A 1B 31=)1(f 31A )2(≥n n B )(n f 3)1(21)1(2)1(+----n n n f 的A 3B B 23031A .)2sin()42cos(21)(ππ+-+=x x x f ).(,53cos αααf 求在第一象限且=x x x x f cos sin 32cos 2)(2-=(,)m π=-16ABC (20)A -，(0,B -C x P OA BC M ABC M N P M N N ABCD P -ABCD CD PD BC PB ⊥⊥,2=PA E PD答案第4页，总20页外…………○…………装…………○…………订………※※请※※不※※要※※在※※装※※订※※线※※内※※答※※题内…………○…………装…………○…………订………（Ⅱ）求二面角的大小；（Ⅲ）在线段上是否存在点，使得点到平 面的距离为？若存在，确定点的位置； 若不存在，请说明理由.18.(本题满分12分)将一个半径适当的小球放入如图所示的容器最上方的入口处,小球将自由下落.小球在下落过程中,将3次遇到黑色障碍物,最后落入A 袋或B 袋中.已知小球每次遇到黑色障碍物时向左、右两边下落的概率都是.（Ⅰ）求小球落入A 袋中的概率P(A);（Ⅰ）在容器入口处依次放入4个小球,记为落入A 袋中小球的个数,试求的概率和的数学期望.19.对任意都有 （Ⅰ）求和的值．（Ⅰ）数列满足：=+，数列是等差数列吗？请给予证明； （Ⅰ）令试比较与的大小．20.已知：在函数的图象上，以为切点的切线的倾斜角为． （Ⅰ）求，的值；（Ⅱ）是否存在最小的正整数，使得不等式对于恒成立？如果存在，请D ACE --BCF E PAF 552F x mx x f -=3)(),1(n N 4πm n k 1993)(-≤k x f ]3,1[-∈x求出最小的正整数；如果不存在，请说明理由；（Ⅲ）求证：（，）． k )21(2|)(cos )(sin |tt f x f x f +≤+R x ∈0>t答案第6页，总20页……装…………○※不※※要※※在※※装※……装…………○参数答案1.B【解析】1.根据复数概念及运算法则，即可求解. 由题意得，复数(1−i )(−2+i )i3=−1+3i −i=(−1+3i )⋅i−i⋅i=−3−i ，故选B.2.C【解析】2. 试题分析：22211lim lim (2)(4)42x x x x x x →→-===----。
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广东省广州市2018届高三12月模拟考试数学理试题 含答案
2018届广州市普通高中毕业班模拟考试 理科数学 2018.12本试卷共4页，23小题， 满分150分。
考试用时120分钟。
第Ⅰ卷一、选择题：本题共12小题，每小题5分, 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.（1）已知集合{}2A x x =≤，{}2230B x x x =--≤，则A B =(Ａ) []2,3- (Ｂ) []1,2- (Ｃ) []2,1- (Ｄ) []1,2 （2）设(1i)(i)x y ++2=，其中,x y 是实数，则2i x y +=（A ）1 （B（C（D（3）等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，若230a S +=，则公比q =(A) 1- (B) 1 (C) 2- 错误！未找到引用源。
(D) 2（4）已知双曲线：C 12222=-bx a y （0,0>>b a ）的渐近线方程为x y 21±=, 则双曲线C 的离心率为 (A)25 (B) 5 (C) 26(D) 6 （5）若将函数()sin 2cos 2f x x x =+的图象向左平移ϕ个单位，所得图象关于y 轴对称，则ϕ的最小正值是（A ）8π （B ）4π （C ）38π （D ）34π（6）GZ 新闻台做“一校一特色”访谈节目, 分A, B, C 三期播出, A 期播出两间学校, B 期， C 期各播出1间学校, 现从8间候选学校中选出4间参与这三项任务, 不同的选法共有 （A ）140种 （B ）420种 （C ）840种 （D ）1680种（7）已知函数2,0,()1,0,x x f x x x⎧≥⎪=⎨<⎪⎩ ()()g x f x =--，则函数()g x 的图象是yxO（8）设0.40.7a =，0.70.4b =，0.40.4c = ，则,,a b c 的大小关系为(A) b a c << (B) a c b << (C) b c a << (D) c b a << （9）阅读如下程序框图，运行相应的程序，则程序运行后输出的结果为（10）已知抛物线:C y交于M ，N (Ａ)221 （11）如图, (A) π25 (C) π29(12) 若函数()x f =(A) (],1-∞第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分。
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2018年广东高考数学测试题（理科）本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分．共150分．考试时间120分钟．（考试时间：2018年8月26日）参考公式：如果事件A 、B 互斥，那么球的表面积公式P （A +B ）＝P （A ）+P （B ） S ＝4πR 2如果事件A 、B 相互独立，那么其中R 表示球的半径 P （A ·B ）＝P （A ）·P （B ）球的体积公式 如果事件A 在一次试验中发生的概率是P .334R V π=那么n 次独立重复试验中恰好发生k 次的概其中R 表示球的半径率kn k k n n P P C k P --=)1()(第 I 卷 （选择题 共40分）一．选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分． 1．设集合{|1A x =-≤x ≤2},B={x |0≤x ≤4},则A ∩B=A ．［0,2］B ．［1,2］C ．［0,4］D ．［1,4］ 2．已知=+-=+ni m i n m ni im 是虚数单位，则是实数，，，其中11A ．1+2iB ． 1–2iC ．2+iD ．2–i 3．已知0＜a ＜1，lo g lo g 0a a m n <<，则A ．1＜n ＜mB ． 1＜m ＜nC ．m ＜n ＜1D ．n ＜m ＜1 4．若α是第二象限的角，且2s in 3α=，则=αcosA ．13B ． 13- C ． 3D ． 3-5．等差数列{}n a 中，12010=S ，那么29a a +的值是 A ． 12 B ． 24 C ．16 D ． 486．三棱锥D —ABC 的三个侧面分别与底面全等，且AB ＝AC ＝3，BC ＝2，则二面角A —BC —D 的大小为A ． 300B ． 450C ．600D ．900 7． 已知变量a ，b 已被赋值，要交换a 、b 的值，采用的算法是A ．a=b, b=aB ．a=c, b=a, c=bC ．a=c, b=a, c=aD ．c=a, a=b, b=c8．已知点M （－3，0），N （3，0），B （1，0），圆C 与直线MN 切于点B ，过M 、N 与圆C 相切的两直线相交于点P ，则P 点的轨迹方程为A ．221(1)8yx x -=<- B ．)1(1822>=-x yxC ．1822=+yx （x > 0） D ．221(1)10yx x -=>第 Ⅱ 卷 （非选择题 共110分）二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
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2018年普通高等学校招生全国统一考试广东省理科数学模拟试卷（二）第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知，集合，集合，若，则（）A. B. C. D.【答案】C【解析】分析：首先应用确定出，从而求出的值，再进一步确定出的值，最后求得结果即可. 详解：因为，所以，解得，所以，所以，故选C.点睛：该题考查的是有关集合的知识点，涉及到集合的交集中元素的特征，从而找到等量关系式，最后求得结果.2. 若复数，，则下列结论错误的是（）A. 是实数B. 是纯虚数C.D.【答案】D【解析】分析：根据题中所给的条件，将两个复数进行相应的运算，对选项中的结果一一对照，从而选出满足条件的项.详解：，是实数，故A正确，，是纯虚数，故B正确，，，故C正确，，所以D项不正确，故选D.点睛：该题考查的是复数的有关概念和运算，在做题的时候，需要对选项中的问题一一检验，从而找到正确的结果.3. 已知，，，若，则（）A. B. C. D.【答案】A【解析】分析：利用，结合向量共线时坐标所满足的关系，求出的值，从而确定出的坐标，之后应用向量数量积坐标公式求得的值.详解：由，得到，即，从而求得，则，从而求得，故选A.点睛：该题考查了向量共线的条件，以及向量数量积的坐标公式，在解题的过程中，求的值是先决条件，这就要求我们不要将公式混淆.4. 如图，是以正方形的边为直径的半圆，向正方形内随机投入一点，则该点落在阴影区域内的概率为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】分析：先由圆的对称性得到图中阴影部分的面积，再用几何概型的概率公式进行求解.详解：连接，由圆的对称性得阴影部分的面积等于的面积，易知，由几何概型的概率公式，得该点落在阴影区域内的概率为.故选D..点睛：本题的难点是求阴影部分的面积，本解法利用了圆和正方形的对称性，将阴影部分的面积转化为求三角形的面积.5. 已知等比数列的首项为，公比，且，则（）A. B. C. D.【答案】B【解析】分析：首先利用等比数列的项之间的关系，求得公比的值，之后判断根式的特征，化简求得是有关数列的第几项，再结合题中所给的数列的首项得出结果.详解：根据题意可知，而，故选B.点睛：该题考查的是等比数列的有关问题，涉及到项与项之间的关系，还有就是数列的性质，两项的脚码和相等，则数列的两项的积相等，将式子化简，利用首项和公比求出结果.6. 已知双曲线的一个焦点坐标为，且双曲线的两条渐近线互相垂直，则该双曲线的方程为（）A. B. C. D. 或【答案】A【解析】分析：先利用双曲线的渐近线相互垂直得出该双曲线为等轴双曲线，再利用焦点位置确定双曲线的类型，最后利用几何元素间的等量关系进行求解.详解：因为该双曲线的两条渐近线互相垂直，所以该双曲线为等轴双曲线，即，又双曲线的一个焦点坐标为，所以，即，即该双曲线的方程为.故选D.点睛：本题考查了双曲线的几何性质，要注意以下等价关系的应用：等轴双曲线的离心率为，其两条渐近线相互垂直.7. 已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】分析：先利用三视图得到该组合体的结构特征，再分别利用球的表面积公式、圆柱的侧面积公式求出各部分面积，再求和即可.详解：由三视图可得该几何体是由圆柱的一半（沿轴截面截得，底面半径为1，母线长为3）和一个半径为1的半球组合而成（部分底面重合），则该几何体的表面积为.点睛：处理几何体的三视图和表面积、体积问题时，往往先由三视图判定几何体的结构特征，再利用相关公式进行求解.8. 设，满足约束条件则的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】分析：首先根据题中所给的约束条件画出相应的可行域，是两个三角形区域，结合目标函数的属性，可知其为截距型的，从而确定出在哪个点处取得最小值，哪个点处取得最大值，从而确定出目标函数的范围.详解：直线与轴交于点，与轴交于点，直线与轴交于点，与交于点，题中约束条件对应的可行域为两个三角形区域，移动直线，可知直线过点A时截距取得最小值，过点C时截距取得最大值，从而得到，从而确定出目标函数的取值范围是，故选B.点睛：该题属于线性规划的问题，需要首先根据题中所给的约束条件画出相应的可行域，判断目标函数的类型，属于截距型的，从而判断出动直线过哪个点时取得最小值，过哪个点时取得最大值，最后求得对应的范围，在求解的时候，判断最优解最关键.9. 在印度有一个古老的传说：舍罕王打算奖赏国际象棋的发明人——宰相西萨·班·达依尔.国王问他想要什么，他对国王说：“陛下，请您在这张棋盘的第个小格里，赏给我粒麦子，在第个小格里给粒，第小格给粒，以后每一小格都比前一小格加一倍.请您把这样摆满棋盘上所有的格的麦粒，都赏给您的仆人吧！”国王觉得这要求太容易满足了，就命令给他这些麦粒.当人们把一袋一袋的麦子搬来开始计数时，国王才发现：就是把全印度甚至全世界的麦粒全拿来，也满足不了那位宰相的要求.那么，宰相要求得到的麦粒到底有多少粒？下面是四位同学为了计算上面这个问题而设计的程序框图，其中正确的是（）A. B.C. D.【答案】C【解析】分析：先分析这个传说中涉及的等比数列的前64项的和，再对照每个选项对应的程序框图进行验证.详解：由题意，得每个格子所放麦粒数目形成等比数列，且首项，公比，所设计程序框图的功能应是计算，经验证，得选项B符合要求.故选B.点睛：本题以数学文化为载体考查程序框图的功能，属于基础题.10. 已知数列的前项和为，，且满足，已知，，则的最小值为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】分析：首先对题中所给的数列的递推公式进行变形，整理得出数列为等差数列，确定首项和公差，从而得到新数列的通项公式，接着得到的通项公式，利用其通项公式，可以得出哪些项是正的，哪些项是负的，哪些项等于零，从而能够判断出在什么情况下取得最小值，并求出最小值的结果.详解：根据题意可知，式子的每一项都除以，可得，即，所以数列是以为首项，以为公差的等差数列，所以，即，由此可以判断出这三项是负数，从而得到当时，取得最小值，且，故选C.点睛：该题考查的是数列的有关问题，需要对题中所给的递推公式变形，构造出新的等差数列，从而借助于等差数列求出的通项公式，而题中要求的的值表示的是连续若干项的和，根据通项公式判断出项的符号，从而确定出哪些项，最后求得结果.11. 已知菱形的边长为，，沿对角线将菱形折起，使得二面角的余弦值为，则该四面体外接球的体积为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】分析：首先根据题中所给的菱形的特征，结合二面角的平面角的定义，先找出二面角的平面角，之后结合二面角的余弦值，利用余弦定理求出翻折后的长，借助勾股定理，得到该几何体的两个侧面是共用斜边的两个直角三角形，从而得到该四面体的外接球的球心的位置，从而求得结果.详解：取中点,连结，根据二面角平面角的概念，可知是二面角的平面角，根据图形的特征，结合余弦定理，可以求得，此时满足，从而求得，，所以是共斜边的两个直角三角形，所以该四面体的外接球的球心落在中点，半径，所以其体积为，故选B.点睛：该题所考查的是有关几何体的外接球的问题，解决该题的关键是弄明白外接球的球心的位置，这就要求对特殊几何体的外接球的球心的位置以及对应的半径的大小都有所认识，并且归类记忆即可.12. 已知函数，则下面对函数的描述正确的是（）A. ，B. ，C. ，D.【答案】B【解析】分析：首先应用导数研究函数的单调性，借助于二阶导来完成，在求函数的极值点的时候，发现对应的方程，在中学阶段是解不出来的，所以用估算的办法求出来，之后进行比较，对题中各项的结果进行对比，排除不正确的，最后得到正确答案.详解：根据题意，可以求得函数的定义域为，，，可以确定恒成立，所以在上是增函数，又，，所以，满足，所以函数在上是减函数，在上是增函数，是最小值，满足，在上是增函数，从而有，结合该值的大小，可知最小值是负数，可排除A,D，且，从而排除C项，从而求得结果，故选B.点睛：该题考查的是利用导数研究函数的性质，本题借着二阶导来得到一阶导函数是增函数，从而利用零点存在性定理对极值点进行估算，最后不是求出的确切值，而是利用估算值对选项进行排除，从而求得最后的结果.第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13. 将函数的图象向左平移个单位长度，得到偶函数的图象，则的最大值是__________．【答案】【解析】分析：先利用三角函数的变换得到的解析式，再利用诱导公式和余弦函数为偶函数进行求解.详解：函数的图象向左平移个单位长度，得到，即，又为偶函数，所以，即，又因为，所以的最大值为.点睛：本题的易错点是：函数的图象向左平移个单位长度得到的解析式时出现错误，要注意平移的单位仅对于自变量而言，不要得到错误答案“”. 14. 已知，，展开式的常数项为，则的最小值为__________．【答案】【解析】分析：由题意在二项展开式的通项公式中，令的幂指数等于零，求得的值，可得展开式的常数项，再根据展开式的常数项为，确定出，再利用基本不等式求得的最小值.详解：展开式的通项公式为，令，得，从而求的，整理得，而，故答案是.点睛：该题考查的是有关二项式定理以及基本不等式的问题，解题的关键是要清楚二项展开式的通项公式以及确定项的求法，之后是有关利用基本不等式求最值的问题，注意其条件是一正二定三相等.15. 已知函数，当时，关于的不等式的解集为__________．【答案】【解析】分析：首先应用条件将函数解析式化简，通过解析式的形式确定函数的单调性，解出函数值1所对应的自变量，从而将不等式转化为，进一步转化为，求解即可，要注意对数式中真数的条件即可得结果.详解：当时，是上的增函数，且，所以可以转化为，结合函数的单调性，可以将不等式转化为，解得，从而得答案为.点睛：解决该题的关键是将不等式转化，得到所满足的不等式，从而求得结果，挖掘题中的条件就显得尤为重要.16. 设过抛物线上任意一点（异于原点）的直线与抛物线交于，两点，直线与抛物线的另一个交点为，则__________．【答案】【解析】分析：画出图形，将三角形的面积比转化为线段的长度比，之后转化为坐标比，设出点的坐标，写出直线的方程，联立方程组，求得交点的坐标，最后将坐标代入，求得比值,详解：画出对应的图就可以发现，设，则直线，即，与联立，可求得，从而得到面积比为，故答案是3.点睛：解决该题的关键不是求三角形的面积，而是应用面积公式将面积比转化为线段的长度比，之后将长度比转化为坐标比，从而将问题简化，求得结果.三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17. 在中，内角，，所对的边分别为，，，已知，.（1）若点，是线段的两个三等分点，，，求的值；（2）若，求的面积.【答案】（1）（2）.【解析】分析：第一问根据题意得出两个点的位置，从而设出对应的边长，在三角形中，应用余弦定理求得所满足的等量关系式，求得对应的值，再放在三角形中应用余弦定理求得对应的边长，第二问根据正弦定理找出角所满足的条件，最后利用面积公式求得三角形的面积.详解：（1）由题意得，是线段的两个三等分点，设，则，，又，，在中，由余弦定理得，解得（负值舍去），则.在中，.(2）在中，由正弦定理，得.又，所以，则为锐角，所以.则，所以的面积.点睛：该题所考查的是有关利用正余弦定理解三角形的问题，在解题的过程中，需要时刻关注正余弦定理的内容，在求解的过程中，注意边长所满足的条件，对解出的结果进行相应的取舍，将面积公式要用活.18. 如图：在五面体中，四边形是正方形，，，.（1）证明：平面平面；（2）求直线与平面所成角的正弦值.【答案】（1）见解析（2）【解析】分析：第一问证明面面垂直，在证明的过程中，利用常规方法，抓住面面垂直的判定定理，找出相应的垂直关系证得结果，第二问求的是线面角的正弦值，利用空间向量，将其转化为直线的方向向量与平面的法向量所成角的余弦值的绝对值，从而求得结果.详解：（1）证明：因为，，，平面，且，所以平面.又平面，故平面平面.（2）解：由已知，所以平面.又平面平面，故.所以四边形为等腰梯形.又，所以，易得，令，如图，以为原点，以的方向为轴正方向，建立空间直角坐标系，则，，，，所以，，.设平面的法向量为，由所以取，则，，得，.设直线与平面所成的角为，则.所以直线与平面所成角的正弦值为.点睛：该题在解题的过程中，第一问用的是常规法，第二问用的是空间向量法，既然第二问要用空间向量，则第一问也可以用空间向量的数量积等于零来达到证明垂直的条件，所以解题方法是不唯一的.19. 经销商第一年购买某工厂商品的单价为（单位：元），在下一年购买时，购买单价与其上年度销售额（单位：万元）相联系，销售额越多，得到的优惠力度越大，具体情况如下表：为了研究该商品购买单价的情况，为此调查并整理了个经销商一年的销售额，得到下面的柱状图.已知某经销商下一年购买该商品的单价为（单位：元），且以经销商在各段销售额的频率作为概率.（1）求的平均估计值.（2）该工厂针对此次的调查制定了如下奖励方案：经销商购买单价不高于平均估计单价的获得两次抽奖活动，高于平均估计单价的获得一次抽奖活动.每次获奖的金额和对应的概率为记（单位：元）表示某经销商参加这次活动获得的资金，求的分布及数学期望.【答案】（1）0.873a（2）见解析【解析】分析：第一问根据题意，列出对应的变量的分布列，利用离散型随机变量的期望公式求得对应的平均值；第二问也是分析题的条件，将事件对应的情况找全，对应的概率值算对，最后列出分布列，利用公式求得其数学期望.详解：（1）由题可知：的平均估计值为：.（2）购买单价不高于平均估计单价的概率为.的取值为，，，.，，，.所以的分布列为（元）.点睛：该题属于离散型随机变量的分布列及其期望值的运算，在解题的过程中，一定要对题的条件加以分析，正确理解，那些量有用，会提示我们得到什么样的结果，还有就是关于离散型随机变量的期望公式一定要熟记并能灵活应用.20. 已知椭圆的左、右焦点分别为，，点也为抛物线的焦点.（1）若，为椭圆上两点，且线段的中点为，求直线的斜率；（2）若过椭圆的右焦点作两条互相垂直的直线分别交椭圆于，和，，设线段，的长分别为，，证明是定值.【答案】（1）（2）见解析【解析】分析：（1）先利用抛物线的焦点是椭圆的焦点求出，进而确定椭圆的标准方程，再利用点差法求直线的斜率；（2）设出直线的方程，联立直线和椭圆的方程，得到关于的一元二次方程，利用根与系数的关系进行求解.详解：因为抛物线的焦点为，所以，故.所以椭圆.（1）设，，则两式相减得，又的中点为，所以，.所以.显然，点在椭圆内部，所以直线的斜率为.（2）椭圆右焦点.当直线的斜率不存在或者为时，.当直线的斜率存在且不为时，设直线的方程为，设，，联立方程得消去并化简得，因为，所以，.所以，同理可得.所以为定值.点睛：在处理直线与椭圆相交的中点弦问题，往往利用点差法进行求解，比联立方程的运算量小，另设直线方程时，要注意该直线的斜率不存在的特殊情况，以免漏解.21. 已知为函数的导函数，.（1）求的单调区间；（2）当时，恒成立，求的取值范围.【答案】（1）见解析（2）【解析】分析：第一问给自变量赋值求得解析式，利用导数研究函数的单调性即可，第二问关于恒成立问题可以转化为求函数最值问题来解决，最值也离不开函数图像的走向，所以离不开求导确定函数的单调区间.详解：（1）由，得.因为，所以，解得.所以，，当时，，则函数在上单调递减；当时，，则函数在上单调递增.（2）令，根据题意，当时，恒成立..①当，时，恒成立，所以在上是增函数，且，所以不符合题意；②当，时，恒成立，所以在上是增函数，且，所以不符合题意；③当时，因为，所有恒有，故在上是减函数，于是“对任意都成立”的充要条件是，即，解得，故.综上，的取值范围是.点睛：该题属于导数的综合应用问题，在解题的过程中，确定函数解析式就显得尤为重要，在这一步必须保持头脑清醒，第二问在证明不等式恒成立的时候，可以构造新函数，恒成立问题转化为最值来处理即可，需要注意对参数进行讨论.请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22. 选修4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系中，直线的参数方程为（为参数），圆的标准方程为.以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系.（1）求直线和圆的极坐标方程；（2）若射线与的交点为，与圆的交点为，，且点恰好为线段的中点，求的值.【答案】（1）,（2）【解析】分析：（1）将直线的参数方程利用代入法消去参数，可得直线的直角坐标方程，利用，可得直线的极坐标方程，圆的标准方程转化为一般方程，两边同乘以利用利用互化公式可得圆的极坐标方程；（2）联立可得，根据韦达定理，结合中点坐标公式可得，将代入，解方程即可得结果.详解：（1）在直线的参数方程中消去可得，，将，代入以上方程中，所以，直线的极坐标方程为.同理，圆的极坐标方程为.（2）在极坐标系中，由已知可设，，.联立可得，所以.因为点恰好为的中点，所以，即.把代入，得，所以.点睛：消去参数方程中的参数，就可把参数方程化为普通方程，消去参数的常用方法有：①代入消元法；②加减消元法；③乘除消元法；④三角恒等式消元法，极坐标方程化为直角坐标方程，只要将和换成和即可. 23. 选修4-5：不等式选讲已知.（1）当，时，求不等式的解集；（2）当，时，的图象与轴围成的三角形面积大于，求的取值范围.【答案】（1）（2）【解析】分析：（1）利用零点分段讨论法去掉绝对值符号转化为几个不等式组的解集的并集；（2）利用零点分段讨论法去掉绝对值符号，得到分段函数，利用数形结合思想和三角形的面积公式进行求解.详解：（1）当，时，.不等式等价于或或解得或，即.所以不等式的解集是.（2）由题设可得，所以函数的图象与轴围成的三角形的三个顶点分别为，，.所以三角形的面积为.由题设知，，解得.点睛：求解含两个绝对值的不等式时，往往利用零点分段讨论法去掉绝对值符号，将问题转化为分段函数对应的不等式组进行求解.。
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2018高考高三数学模拟试题满分150分,时间120分钟第Ⅰ卷（选择题，共50分）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个备选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．已知a 是实数，i1ia +-是纯虚数，则a 等于（ ）.A 1- .B 1 .C .D2.在等比数列{}n a 中，若4a ，8a 是方程0342=+-x x 的两根，则6a 的值是（ ）.D 3±3.“平面α上存在不共线四个点到平面β的距离都相等”是“平面α//平面β”的（ ） .A 充要条件 .B 必要不充分条件 .C 充分不必要条件 .D 既不充分也不必要条件4. 下列不等式一定成立的是( ).A 当y x <<0 时y x sin sin < .B sin x ＋1sin x ≥2(x ≠k π，k ∈Z ).C x 2＋1≥2|x |(x ∈R ) .D 1x 2＋1＞1(x ∈R )5. 已知一个几何体是由上下两部分构成的组合体，其三视图如下，若图中圆的半径为1，等（ ） .A 43π .B 2π .C 83π .D 103π6．小明同学有4本不同的数学书，3本不同的物理书和3本不同的化学书，从中任取2本，则这2本书属于不同学科的概率为（ ） .A 13 .B 710 .C 415 .D 15117. ()|2||4|f x x x =++-的最小值为n ，则二项式nx x ⎪⎭⎫ ⎝⎛-12展开式中常数项是（ ） .A 160- .B 160 .C 40 .D 40-8.已知函数()|lg |f x x =.若()k x f =有两个不等的实根βα,，则βα+的取值范围是（ ）.A (1,)+∞ .B [1,)+∞ .C (2,)+∞ .D [2,)+∞9.1by +=与圆221x y +=相交于A,B 两点(其中a,b 是实数),且△AOB 是直角三角形(O 是坐标原点),则点P(a,b)与点(0,1)之间距离的最大值为 ( ).A 1 .B 2 .C .D 110.定义域是一切实数的函数()x f y =，其图像是连续不断的，且存在常数λ(R λ∈)使得()()0f x f x λλ++=对任意实数x 都成立，则称()f x 是一个“λ—和谐函数”． 有下列关于“λ—和谐函数”的结论：①()0f x =是常数函数中唯一一个“λ—和谐函数”；②()x x f =不是一个“λ—和谐函数”； ③2()f x x =是一个“λ—和谐函数”；④“12—和谐函数”至少有一个零点。
其中正确结论的个数是 （ ） .A 0个 .B 1个 .C 2个 .D 3个第Ⅱ卷（非选择题，共100分)二、填空题：本大题共6小题，考生作答5小题，每小题5分，共25分. 把答案填写在答题卡相应位置上. 11. 已知3(,),sin ,tan 225παπαα∈=则=1213．1,2,,n 共有!n 种排列12,,,n a a a （2,n n N *≥∈），其中满足“对所有1,2,,k n =都有2k a k ≥-”的不同排列有 种。
考生注意：14，15，16三题为选作题，请从中任选两题作答，若三题全做，则按前两题给分。
14.如图，BC 是半径为2的圆O 的直径，点P 在BC 的延长线上，PA 是圆O 的切线，A 为切点，点A 在直径BC 上 的射影是OC 的中点，则PB PC ⋅=15.已知直线l 方程是22x ty t =+⎧⎨=-⎩（t 为参数），以坐标原点为极点。
X 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，圆C 的极坐标方程为ρ＝2，则圆C 上的点到 直线l 的距离最小值是{}-≤>≤+-x x a x a x 的解集其中不等式,1)0(03.16三.解答题.（本大题6个小题，共75分.各题解答必须答在答题卷上相应题目指 定的方框内,必须写出必要的文字说明、演算步骤或推理过程）17.（本小题满分13分）已知ABC ∆的三个内角C B A ,,所对的边分别为a ，b ，c ，向量),(a b c a m -+=，),(b c a n -=,且⊥。
(1)求角C 的大小；(2)若向量)1,0(-=,)2cos 2,(cos 2BA =,+的取值范围。
18.（本小题满分13分）一位游客计划游览重庆市的白公馆、朝天门、解放碑、园博园4个旅游景点，此客人游览这四个景点的概率分别是0.3,0.4,0.5,0.6，且客人是否游览哪个景点互不影响，设ξ表示客人离开该城市时游览的景点数与没有游览的景点数之差的绝对值。
(1)求ξ＝0对应的事件的概率； (2)求ξ的分布列及数学期望。
19.（本小题满分13分） 已知()f x =1xnx k e+在点(1,(1))f 处的切线与y 轴垂直,()()xF x xe f x '=． （1）求k 的值及()F x 的单调区间；（2）已知函数2()2g x x ax =-+(a 为正实数),若对于任意2[0,1]x ∈，总存在1(0,)x ∈+∞， 使得21()()g x F x <，求实数a 的取值范围。
B20.（本小题满分12分）如图,在直角梯形ABCP 中，AP //BC ，AP ⊥AB ，AB =BC =12AP =2，D 是AP 的中点，E ，F ，G 分别为PC 、PD 、CB 的中点，将△PCD 沿CD 折起，使得PD ⊥平面ABCD 。
(1) 求证：平面PCD ⊥平面PAD ；(2) 求面GEF 与面EFD 所成锐二面角的大小。
21. （本小题满分12分）设F 是椭圆22221,(0)x y a b a b+=>>的左焦点，直线l 方程为ca x 2-=，直线l 与x 轴交于P 点，M 、N 分别为椭圆的左右顶点，已知22=MN ，且MF PM 2=。
(1) 求椭圆的标准方程；(2) 过点P 的直线交椭圆于A 、B 两点，求三角形ABF 面积的最大值。
22.（本小题满分12分）设函数2()(1)n n f x x x =-在1[,1]2上的最大值为n a （1,2,3,n =）．（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）求证：对任何正整数(2)n n ≥，都有21(2)n a n ≤+成立；（3）设数列{}n a 的前n 项和为n S ，求证：对任意正整数n ，都有716n S <成立。
答 案二.填空题.(每小题5分,共25分)11.247- ； 12. 102； 13. 223n -⋅； 14. 12； 15. 222- ； 16.2三.解答题.(共75分)17.解：(1)由题意得0),)(,(222=-+-=--+=⋅ab b c a b c a a b c a n m ， 即ab b a c -+=222.由余弦定理得212cos 222=-+=ab c b a C ,3,0ππ=∴<<C C . （2）∵ )cos ,(cos )12cos2,(cos 2B A BA =-=+，)32(cos cos cos cos 2222A A B A -+=+=+π1)62sin(21+--=πA . ∵ 320π<<A ，∴67626πππ<-<-A ，∴1)62sin(21≤-<-πA .∴ 4521<+≤，故2522<+≤.18解：(1)分别记“该客人游览白公馆景点”，“该客人游览朝天门景点”，“该客人游览解放碑景点”，“该客人游览园博园景点”为事件A 1，A 2，A 3，A 4.由题意，知A 1，A 2，A 3，A 4相互独立，且P (A 1)＝0.3，P (A 2)＝0.4，P (A 3)＝0.5，P (A 4)＝0.6.客人游览的景点数的可能取值为0,1,2,3,4.相应地，客人没有游览的景点数的可能取值为4,3,2,1,0.所以ξ的可能取值为0,2,4.故P (ξ＝0)＝P (A1A 2A 3A 4)＋P (A 1A 2A 3A 4)＋P (A 1A 2A 3A 4)＋P (A 1A2A 3A 4)＋P (A 1A 2A 3A 4)＋P (A 1A 2A 3A 4)＝0.38.(2)P (ξ＝4)＝P (A 1A 2A 3A 4)＋P (A 1A2A3A 4)＝0.12.P (ξ＝0)＝0.38，P (ξ＝2)＝1－P (ξ＝0)－P (ξ＝4)＝0.5.所以ξ的分布列为:Eξ＝0×0.38＋2×0.5＋419解：（1）由已知可得()x ek Inx x x f --='1，所以1(1)0k f e -'==，∴1k =∴()()x F x xe f x '=1(ln 1)1ln x x x x x x=--=--所以()ln 2F x x '=-- ，由21()ln 200F x x x e '=--≥⇒<≤，由21()ln 20F x x x e '=--≤⇒≥()F x ∴的增区间为21(0,]e，减区间为21[,)e +∞ （2）对于任意2[0,1]x ∈，总存在1(0,)x ∈+∞， 使得21()()g x F x <，∴max max ()()g x F x < 由（1）知，当21x e =时，()F x 取得最大值2211()1F e e =+. 对于2()2g x x ax =-+，其对称轴为x a = 当01a <≤时，2max ()()g x g a a ==， ∴2211a e<+，从而01a <≤。
当1a >时，max ()(1)21g x g a ==-， ∴21211a e -<+，从而21112a e<<+。
综上可知： 21012a e<<+。
20.解 (1) 证明:∵PD ⊥平面ABCD ∴PD ⊥CD ∵CD ⊥AD ∴CD ⊥平面PAD∵CD ⊂平面PCD ∴平面PCD ⊥平面PAD 。
（2） 如图以D 为原点,以,,DA DC DP 为方向向量建立空间直角坐标系D －xyz .则有关点及向量的坐标为:G （1，2，0）,E （0，1，1），F （0，0，1） EF =（0，－1，0），EG =（1，1，－1） 设平面EFG 的法向量为n =（x ，y ，z ）∴00.000n EF y x z x y z y n EG ⎧⋅=-==⎧⎧⎪⇒⇒⎨⎨⎨+-==⋅=⎩⎩⎪⎩ 取n =(1,0,1) 平面PCD 的一个法向量, DA =(1,0,0)。
∴cos ,||||22DA n DA n DA n ⋅===⋅ ∴面GEF 与面EFD 所成锐二面角的大小45。