第七讲 行程问题
第七讲 行程问题2
第七讲行程问题(二)1、某船在静水中的速度是每小时19千米，水速是每小时2千米，这船从甲地到乙地逆水行驶需1.5小时，则甲、乙两地相距多少千米？2、一列火车通过530米地桥需要40秒，以同样的速度穿过380米的山洞需要30秒。
求这列火车的速度与车身长各是多少米？3、甲、乙两船分别从A港逆流而上。
静水中甲船每小时行15千米，乙船每小时行12千米，水速为每小时3千米。
乙船出发2小时候，甲船才开始出发，当甲船追上乙船时，乙离开A港多少千米？4、甲、乙两个港口相距77千米。
船速为每小时9千米，水流速度为每小时2千米，那么由甲港到乙港顺水航行需多少小时？5、一列火车通过440米的桥需要40秒，以同样的速度穿过310米地隧道需要30秒。
这列火车的速度和车身长各是多少？6、一支队伍1200米长，以每分钟71.2米地速度行进。
队伍前面的联络员用6分钟的时间跑到队伍末尾传达命令，问联络员每分钟行多少米？7、两列火车，一列长120米，每秒行20米；另一列长160米，每秒行15米。
两车相向而行，从车头相遇到车尾离开需要几秒钟？8、静水中，甲、乙两船的速度为22千米、18千米，两船先后自港口顺水开出，乙比甲早出发2小时，若水速是每小时4千米，问甲开出后几小时可追上乙？9、铁路沿线的电杆间距是40米，某旅客在运行的火车中，从看到第一根电线杆到看到第51根电线杆正好是2分钟，火车每小时行多少千米？10、一条轮船在两码头间航行，顺水航行需4小时，逆水航行需5小时，水速是每小时2千米，求这轮船在静水中的速度。
11、甲、乙两码头相距560千米，一只船从甲码头顺水航行20小时到达乙码头，已知船在静水中每小时行驶24千米，问这船返回甲码头需几小时？12、甲、乙两地相距48千米，一船顺流从甲地去乙地，需航行3小时，返回时间因雨后涨水，所以用了8小时才回到甲地，平时水速为4千米，涨水后水速增加多少？13、已知快车长182米，每秒行20米；慢车长434米，每秒行18米。
小学数学中的行程问题公式及解析
小学数学中的行程问题公式及解析一、基本行程问题行程问题的三个基本量是距离、速度和时间，按所行方向的不同可分为三种:(1)相遇问题:(2)相离问题;(3)追及问题。
行程问题的主要数量关系是:距离=速度x时间。
它大致分为以下三种情况:(1)相向而行:相遇时间=距离÷速度和(2)相背而行:相背距离=速度和*时间。
(3)同向而行:速度慢的在前，快的在后。
追及时间=追及距离÷速度差在环形跑道上，速度快的在前，慢的在后。
追及距离=速度差x时间。
解决行程问题时，要注意充分利用图示把题中的情节形象地表示出来，有助于分析数量关有助于迅速地找到解题思路。
（一）相遇问题行程问题是研究相向运动中的速度、时间和路程三者之间关系的问题，(涉及两个或两个物体运动的问题)指两个运动的物体同时由两地出发相向而行，在途中相遇，这类应用题相遇问题。
数量关系:路程÷速度和=相遇时间路程÷相遇时间=速度和速度和x相遇时间=路程温馨提示:（1）在处理相遇问题时，一定要注意公式的使用时二者发生关系那一时刻所处的状态;(2)在行程问题里所用的时间都是时间段，而不是时间点(非常重要);(3)无论是在哪类行程问题里，只要是相遇，就与速度和有关。
（2）解题秘诀:（3）(1)必须弄清物体运动的具体情况，运动方向(相向)，出发地点(两地)，出发时间(同时、先后)，运动路径(封闭、不封闭)，运动结果(相遇)等。
（4）(2)要充分运用图示、列表等方法，正确反映出数量之间的关系，帮助我们理解题意，迅速的找到解题思路。
（二）追及问题追及问题也是行程问题中的一种情况。
这类应用题的特点是:①两个物体同时同一方向运动;②出发的地点不同(或从同一地点不同时出发，向同一方向运动);迫及路程=路程差=两个物体之间相距的路程迫及速度=速度差=快的速度-慢的速度慢的物体追上快的物体的所用的时间为追及时间③慢者在前，快者在后，因而快者离慢者越来越近，最后终于可以追上。
数学-奥数竞赛-小学五年级奥数----第七讲--行程问题
例3、学校操场的环形跑道一圈长400米, 甲在这里 练习骑自行车, 乙在这里练习长跑。一旁的丙同学发 现, 当两人同向而行时, 3分20秒相遇一次, 当他 们背向而行时, 40秒就能相遇一次。求甲乙二人的 速度各是多少?
解:3分20秒＝200秒
这是一个和差问题,
背向而行时, 甲乙的速度和是 400÷40＝10（米/秒）
解:晶晶计划的上学时间是 路程差 ÷ 时间差 ＝ 时间 （60×5＋75×2）÷（75－60） ＝450 ÷15 ＝30（分钟） 60×5 75×2
60×（30－5）1500（米） 上学时间的路 答:晶晶到学校的路程是1500程米差。
四、有趣的环形跑道
环形跑道中的路程关系 背向而行相遇时: （两人的路程和等于跑道的长） 即:速度和×相遇时间=跑道一圈的长度 同向而行相遇时: （两人的路程差等于跑道的长） 即:速度差×相遇时间=跑道一圈的长度
我们看动画来分析一下: 两车相遇又分离, 所行的路程和是车长的和,
速度和是车速的和, 需要的时间=车长和÷速度和
慢车路程
快车路程
过桥过涵洞
一列长230米的火车, 每秒钟行30米, 完全 通过一座长5800米的大桥, 需多长时间?
你能自己画出线段图吗?
桥长
车长
开始
总路程
过完
过桥时路程=桥长＋车长
分析; 这里, 路程和速度都不知道, 因此, 可以设出路程, 例如设环形跑道的长是1200 米。就转化为前面的问题了
三、综合运用举例
（分层次考虑的问题）
例5、（课本例2）
甲、乙、丙三人行路, 丙每分钟走40米。甲从A地,
乙和丙从B地同时出发相向而行, 甲和乙相遇
过桥时间=（桥长车长）÷车速
第7讲：行程问题之火车过桥问题
行程问题之火车过桥问题知识要点：火车通过大桥是指从车头上桥算起到车尾离桥为止，全车通过大桥，列车需要运动的总距离为列车车场与桥长之和。
例题解析例1：一列火车通过180米长的桥用时40秒，用同样的速度，穿过300米长的隧道用时48秒，求这列火车的速度和列车长度。
分析：火车过180米厂的桥用时40秒，可以理解为火车40秒行的路程是桥长180米加上火车长，穿过300米长的隧道用时48秒，可以理解为48秒行的路程是300米加上火车长，火车过隧道比过桥多行了48-40=8（秒），多行了300-180=120米，因此火车的速度是120÷8=15米每秒。
40秒行的路程是：40×15=600米，所以火车长为600-180=420米。
解：（300-180）÷（48-40）=15米每秒，15×40-180=420米。
答这列火车的速度是每秒15米，车身长420米。
例2：一列快车和一列慢车相向而行，快车的车长是280米，慢车的车长是385米，坐在快车上的人看见慢车行驶过的时间是11秒，那么坐在慢车上的人看见快车行驶过的时间是多少秒？分析：本题要弄清楚是：坐在快车上的人看见慢车行驶过，是从慢车车头与他相遇，到车尾离开他。
行驶的路程是一个慢车车身长，用的时间是11秒，慢车车身长385米，可以求出两车的速度和是385÷11=35米每秒，坐在慢车上的人看见快车行驶过，行驶的路程是一个快车车身长，速度和相同，可以求出需要时间：280÷35=8秒。
解：280÷（385÷11）8秒答：慢车上的人看见快车行驶过的时间是8秒。
拓展练习A级1、一列火车长192千米，从路边的一根电线杆旁经过用了12秒，这列火车以同样的速度通过288米得桥，需要多长的时间？（288+192）÷（192÷12）=480÷16=30秒提示：列车经过电线杆也就是车头到电线杆至车尾离开电线杆，一共行了一个车长192米，用了12秒，可求出火车的速度。
行程问题PPT教学课件
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2020/12/10
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王欣和陆亮两人同时从相距2000米的两地相 向而行，王欣每分钟行110米，陆亮每分钟行 90米，如果一只狗与王欣同时同向而行，每 分钟行500米，遇到陆亮后，立即回头向王欣 跑去，遇到王欣再向陆亮跑去。这样不断的来 回，直到王欣和陆亮相遇为止，狗一共行了多 少千米？
2020/12/10
2020/12/101ຫໍສະໝຸດ 相遇问题、追及问题、列车过桥问题
指两个运动的物体以不同的地点为出发点做 相向运动的问题。
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路程=速度和×相遇时间 相遇时间=路程÷速度和 速度和=路程÷相遇时间
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甲乙两人分别从相距20千米的两地同时出发相 向而行，甲每小时走6千米，乙每千米走4千米。 两人几小时后相遇？
四年级行程问题ppt课件
画图法
通过画图直观地表示物体 的运动轨迹和相对位置， 帮助理解问题并找出解决 方案。
代数法
通过设立代数式表示物体 的速度、时间和距离，通 过代数运算求解。
追及问题的实例
小明和小华在环形跑道上跑步，小明跑一圈需要5分钟，小华 跑一圈需要6分钟。两人从同一点同向出发，多少分钟后两人 再次相遇？
一辆货车和一辆客车在同一条公路上同向行驶，货车的速度 是60千米/小时，客车的速度是75千米/小时。客车在行驶了 2小时后发现货车在前方54千米处，问货车行驶了多少时间 追上了客车？
环形跑道问题的解决方法
总结词
解决环形跑道问题需要先确定每个物体的速度和方向，然后根据问题描述分析物 体的相对运动关系，最后通过计算得出答案。
详细描述
解决环形跑道问题需要先理解物体的相对运动关系，即哪个物体在追赶哪个物体 ，或者哪个物体在等待哪个物体。然后根据相对速度和距离，计算出物体相遇或 追及的时间和地点。
03
CATALOGUE
追及问题
追及问题的定义
01
追及问题是行程问题中的一种， 主要研究两个或多个物体在同一 直线上运动，一个物体追赶另一 个物体的过程。
02
追及问题的关键在于找出两者之 间的速度差和距离差，以及追赶 所需的时间。
追及问题的解决方法
01
02
03
公式法
利用速度、时间和距离之 间的关系，列出方程求解 。
05
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环形跑道问题
环形跑道问题的定义
总结词
环形跑道问题是指两个或多个物体在同一条环形跑道上按照不同的速度进行运 动，并涉及到追及和相遇的问题。
详细描述
环形跑道问题通常涉及到两个或多个物体在同一环形跑道上运动，每个物体都 有自己的速度。这类问题通常涉及到追及和相遇的情况，需要找出物体何时、 何地能够相遇或者追及。
101中学坑班2012年春季四年级第七讲行程问题(一)及答案
101中学坑班2012年春季四年级第七讲行程问题（一）及答案一、知识要点1、路程、时间和速度这三者的关系：常用公式：速度×时间=路程；路程÷速度=时间；路程÷时间=速度；常用比例关系：1)速度相同，时间比等于路程比；2)时间相同，速度比等于路程比；3)路程相同，速度比等于时间的反比.2、掌握相向相遇及同向追及问题的常规解法：相遇问题中的基本数量关系：相遇距离=速度和×相遇时间。
追及问题中的基本数量关系：追及距离=速度差×追及时间。
3、反向相离问题：两个运动物体由于反向运动而相离，就是相离问题。
解答相离问题的关键是求出两个运动物体共同趋势的距离（速度和）。
基本公式：两地距离=速度和×相离时间相离时间=两地距离÷速度和速度和=两地距离÷相离时间4、环形路程内的相遇和追及问题两次相遇时两者所走的路程之和（差）=跑道一圈的路程5、火车过桥问题路程=桥长+车长车速=（桥长+车长）÷通过时间通过时间=（桥长+车长）÷车速桥长=车速×通过时间－车长车长=车速×通过时间－桥长二、典型例题：例1、已知甲的步行的速度是乙的1.4倍。
甲、乙两人分别由A，B两地同时出发。
如果相向而行，0.5小时后相遇；如果他们同向而行，那么甲追上乙需要多少小时？例2、甲、乙、丙三人从同一地点A地前往B地，甲、乙二人早上8点一起从A地出发，甲每小时走6千米，乙每小时走4千米，丙上午11点才从A地出发。
晚上8点，甲、丙同时到达B地。
求：丙在几点钟追上了乙？例3、甲乙两站相距360千米.客车和货车同时从甲站出发驶向乙站,客车每小时行60千米,货车每小时行40千米,客车到达乙站后停留0.5小时,又以原速返回甲站,两车对面相遇的地点离乙站多少千米?例4、甲每分钟走50米,乙每分钟走60米,丙每分钟70米,甲乙两人从A地,丙一人从B地同时相向出发,丙遇到乙后2分钟又遇到甲,A、B两地相距多少米?例5、A 、B 两地相距21千米,甲从A 地出发,每小时行4千米,同时乙从B 地出发相向而行,每小时行3千米.在途中相遇以后,两人又相背而行.各自到达目的地后立即返回,在途中二次相遇.两次相遇点间相距多少千米?例6、一列客车和一列货车同时从两地相向开出,经过18小时两车在某处相遇,已知两地相距1488千米,货车每小时比客车少行8千米,货车每行驶3小时要停驶1小时,客车每小时行多少千米?例7、 一排解放军从驻地出发去执行任务，每小时行5千米。
第七讲 行程问题追击问题
B拔高篇
1、在一条笔直的公路上，有两个汽车从相差500米的A、B两地同时出发。甲 从A地出发，每分钟行驶600米，乙从B地出发，每分钟行驶500米。经过多 少分钟两人相距2500米？
2、一人骑摩托车匀速行驶到火车站乘火车，若每小时行驶30千米，则可早 到15分钟，若每小时行驶15千米则迟到5分钟，如果打算提前5分钟，那 么摩托车的速度应该是多少？第讲 行程问题简单相遇和追及
A基础篇
1、判断：速度与时间成反比（ ）
2、一辆卡车以每小时45千米的速度行驶，在它后面2000米处一辆轿车以每小 时60千米的速度行驶。照此速度开下去，求在轿车追上卡车之前1分钟时 两辆车相距的路程。
3、从甲地到乙地，骑车去、返回时步行共用时30分钟，往返都骑车只要18分 钟，那么往返都步行要多少时间？
4、甲、乙两人同时从A地出发到B地，甲在一半时间内每小时走5千米，另 一半时间内每小时走4千米；乙在一半路程内每小时走5千米，另一半路程 内每小时走4千米，结果到达B地的情况是（ ） A、甲先到达 B、乙先到达 C、同时到达 D、无法确定
5、两个骑车同时从相距180千米的两个城市相向开出，甲车每小时行50千米， 乙车每小时比甲车多行20%。1.5小时后，两车相距多少千米？
1 6
8、小华从A到C，先下坡再上坡共用7 小时。如果两地相距24千米，下坡每 小时行4千米，上坡每小时行3千米，那么原路返回要多少小时？
A
C
B
9、甲每小时跑14.4千米，乙每小时跑10.8千米，乙比甲多跑了2分钟，结果 比甲少跑了120米，那么甲跑了多少米？
10、在周长为200米的圆形跑道一条直径的两段，甲、乙两人分别以6米/秒， 5米/秒的骑车速度同时同向出发，沿跑道行驶。问：16分钟内，甲追上 乙多少次？
第七讲行程问题解答[五B]
![第七讲行程问题解答[五B]](https://img.taocdn.com/s3/m/14588f1bbed5b9f3f90f1c58.png)
第七讲行程问题（一）知识导航讨论有关物体运动的速度、时间、路程三者关系的应用题叫做行程应用题。
行程问题的主要数量关系是：路程=速度×时间速度=路程÷时间，时间=路程÷速度行程问题内容丰富多彩、千变万化。
主要有一个物体的运动和两个或几物体的运动两大类。
两个或几个物体的运动又可以分为相遇问题、追及问题两类。
我们在做行程问题时首先要判断所做的题属于哪种类型，然后再选择适当解答策略与方法进行解答。
精典例题例1：A、B两村相距2800米，小明从A村出发步行5分钟后，小军骑车从B村出发，又经过10分钟两人相遇。
已知小军骑车比小明步行每分钟多行130米，小明每分钟步行多少米？思路点拨 A、B两地并不是两人在相同时间走完的，所以我们先要知道各自走了多少分钟，然后把小军速度也看成每分钟少行130千米，则小军与小明速度相同，可求出小明的速度。
模仿练习东、西两地间有一条公路长217.5千米，甲车以每小时25千米的速度从东到西地，1.5小时后，乙车从西地出发，再经过3小时两车还相距15千米。
乙车每小时行多少千米？例2：小轿车、面包车和大客车的速度分别为60千米/时、48千米/时和42千米/时，小轿车和大客车从甲地、面包车从乙地同时相向出发，面包车遇到小轿车后30分钟又遇到大客车。
问：甲、乙两地相距多远？思路点拨当面包车与小轿车相遇后，再经过30分钟面包车又与大客车相遇，这断路程实际是面包车与小轿车相遇时，小轿车与大客车的路程差，再根据路程差求出面包车与小轿车的相遇时间，便可求出甲乙两地相距多远。
模仿练习有甲、乙、丙三人同时同地出发，绕一个花圃行走，乙、丙二人同方向行走，甲与乙、丙相背而行。
甲每分钟走40米，乙每分钟走38米，丙每分钟走36米。
在途中，甲和乙相遇后3分钟和丙相遇。
问：这个花圃的周长是多少米？例3：甲、乙两车同时从A、B两地出发相向而行，两车在离B地64千米处第一次相遇，相遇后两车仍以原速继续行驶，并且在到达对方出发点后，立即沿原路返回，途中两车在距A地48千米处第二次相遇，问A、B两地相距多少千米？模仿练习甲、乙两人以均匀的速度分别从A、B两地同时出发，相向而行，他们第一次相遇地点离A地4千米，相遇后二人继续前进，走到对方出发点后立即返回，在距B地3千米处第二次相遇，求A、B两地相距多少千米？例4：小亮从家步行去学校，每小时行5千米，回家时骑车，每小时行13千米，骑车的时间比步行的时间少0.4小时，小亮家到学校的距离是多少千米。
苏教版五年级上册数学奥数第七讲 行程问题(二)
第七讲行程问题（二）【知识概述】我们将要研究的是行程问题中一些综合性较强的题目.为此，我们需要先回顾一下已学过的基本数量关系：路程=速度×时间；总路程=速度和×时间；路程差=速度差×追及时间。
【例题精学】例1 甲、乙、丙三人行路，甲每分钟走60米，乙每分钟走50米，丙每分钟走40米.甲从A地，乙和丙从B地同时出发相向而行，甲和乙相遇后，过了15分钟又与丙相遇，求A、B两地间的距离。
画图如下：【分析与解答】结合上图，如果我们设甲、乙在点C相遇时，丙在D点，则因为过15分钟后甲、丙在点E相遇，所以C、D之间的距离就等于（40＋60）×15=1500（米）。
又因为乙和丙是同时从点B出发的，在相同的时间内，乙走到C点，丙才走到D点，即在相同的时间内乙比丙多走了1500米，而乙与丙的速度差为50-40＝10（米/分），这样就可求出乙从B到C的时间为1500÷10＝150（分钟），也就是甲、乙二人分别从A、B出发到C点相遇的时间是150分钟，因此，可求出A、B的距离。
【同步精练】甲、乙、丙三人行路，甲每分钟走60米，乙每分钟走67.5米，丙每分钟走75米，甲乙从东镇去西镇，丙从西镇去东镇，三人同时出发，丙与乙相遇后，又经过2分钟与甲相遇，求东西两镇间的路程有多少米？例2甲、乙、丙三人进行200米赛跑，当甲到终点时，乙离终点还有20米，丙离终点还有25米，如果甲、乙、丙赛跑的速度都不变，那么当乙到达终点时，丙离终点还有多少米？【分析与解答】在相同的时间内，乙行了（200-20）=180（米），丙行了200-25【同步精练】老王从甲城骑自行车到乙城去办事，每小时骑15千米，回来时改骑摩托车，每小时骑33千米，骑摩托车比骑自行车少用1.8小时，求甲、乙两城间的距离。
例3甲、乙二人分别从A、B两地同时出发，如果两人同向而行，甲26分钟赶上乙；如果两人相向而行，6分钟可相遇，又已知乙每分钟行50米，求A、B两地的距离。
行程问题ppt课件
Part
06
行程问题述：通过画图的方式，将行程问题中的信息以图形的方式呈现出来，有助 于直观地理解问题，找出关键信息，从而解决问题。
代数法
总结词：通用性强
详细描述：将行程问题中的未知数用代数式表示，通过设立方程或方程组来求解，这种方法通用性强，适用于各种行程问题 。
02 03
详细描述
追及问题涉及到两个物体在同一方向上移动，一个物体追赶另一个物体 直到它们相遇。这类问题需要考虑物体的速度、时间和距离，以及它们 之间的相对运动关系。
公式
距离 = 速度 × 时间
环形跑道问题
总结词
环形跑道问题主要研究在环形跑道上运动的物体之间的相对位置关系。
详细描述
在环形跑道问题中，物体在同一起点出发，沿着环形跑道运动，直到再次相遇。这类问题 需要考虑物体的速度、时间和距离，以及它们之间的相对运动关系。
Part
02
基础行程问题解析
匀速直线运动
总结词
物体在直线运动中，速度保持不变。
详细描述
匀速直线运动是速度恒定的运动，即单位时间内通过的距离相等。在匀速直线 运动中，速度、时间和距离之间的关系可以用公式表示为：速度 = 距离 / 时间。
匀加速直线运动
总结词
物体在直线运动中，速度逐渐增加。
详细描述
行程问题ppt课件
• 行程问题简介 • 基础行程问题解析 • 复杂行程问题解析 • 行程问题的数学模型 • 行程问题的实际应用 • 行程问题的解题技巧
目录
Part
01
行程问题简介
行程问题的定义
总结词
行程问题是指在一定条件下，寻找一条满足特定要求的旅行路线，通常需要考虑时间、 距离、成本等因素。
小学奥数行程问题之追及问题
小学奥数行程问题之追及问题本文介绍了奥数第七讲行程问题中的追及问题，给出了解决追及问题的基本关系式和公式，并通过三个例子进行了讲解。
在解决追及问题时，需要注意追赶者和被追赶者所用时间相等的不变量，以及“追及距离”和“追赶者追上被追赶者所走的距离”这两个量之间的区别。
通过例子的讲解，学生可以熟练掌握追及问题的三个公式，并灵活运用公式求解问题。
例子中涉及了同时出发的同向而行的追及问题和先后出发的追及问题，需要画出线段图进行分析，求解速度差和追及时间，最终得出答案。
1、哥哥和弟弟同时在学校上学。
弟弟先走，以每分钟80米的速度，3分钟后，哥哥以每分钟200米的速度骑车向学校骑去。
问哥哥几分钟后能追上弟弟？2、姐妹在同一小学上学。
妹妹以每分钟50米的速度从家走向学校，姐姐比妹妹晚10分钟出发，为了不迟到，她以每分钟150米的速度从家跑步上学。
结果两人同时到达学校。
求家到学校的距离有多远？追及问题的基本公式为：路程差=速度差×追及时间，速度差=路程差÷追及时间，追及时间=路程差÷速度差。
教学目标为掌握不同形式的追及问题的解题思路和基本规律。
教学重点为通过图形分析追及问题，难点为找准解决环形路程的追及问题的突破口。
例4为一条环形跑道长400米的问题。
甲骑自行车平均每分钟骑300米，乙跑步，平均每分钟跑250米。
两人同时同地同向出发，经过多少分钟两人相遇？甲乙的速度差为50米每分钟，甲追上乙所用的时间为8分钟，因此经过8分钟两人相遇。
例5为在周长400米的圆的一条直径的两端，甲、乙两人分别以每分钟60米和50米的速度，同时同向出发，沿圆周行驶。
问2小时内，甲追上乙多少次？路程差为200米，甲追上乙一次所用的时间为4小时，因此2小时内甲追上乙的次数为1次。
2小时本文主要介绍了环形跑道的追及问题和和差问题的综合运用。
文章中给出了两个例子，分别是在圆形跑道上，甲、乙两人分别以每秒7米，每秒5米的骑车速度同时顺时针方向行驶，20分钟内甲追上乙几次？以及在480米的环形跑道上，甲、乙两人同时同地起跑，如果同向而行3分钟20秒相遇，如果背向而行40秒相遇，已知甲比乙快，求甲、乙的速度？文章给出了详细的解题方法和答案，并提供了课后练和小结。
六年级奥数第7讲巧解行程问题
第七讲 巧解行程问题例一、A 、B 两地相距960米。
甲乙两人分别从AB 两地同时出发，如相向而行，经过6分钟相遇；如同向而行，经过80分钟甲可以追上乙。
甲从A 地走到B 地要用多少分钟？ 分析：“960米”是甲乙两人同时出发相向而行6分钟一共行的路程。
那么两人的速度和是960÷6=160（米/分）。
甲乙两人同时出发通向而行到甲追上乙要用80分钟，甲追乙的路程是960米，甲乙速度差是960÷8=12（米/分）。
根据甲乙的速度和与速度差可以求出甲的速度（160+12）÷2=86（米/分）。
甲从A 地到B 地要用的时间是960÷86=43711960÷【（960÷6+960÷80）÷2】=43711（分） 答：甲从A 地走到B 地要用43711分。
巩固练习11、AB 两地相距1800米。
甲乙两人同时从AB 两地出发，若相向而行经过12分钟相遇；若同向而行经过90分钟甲追上乙。
甲从A 地出发走到B 地要用几分钟？2、甲乙两人在一条长400米的环形跑道上散步。
他俩同时从同一地点出发。
若相背而行，经过762分钟相遇；若同向而行，经过3226分钟甲可以追上乙。
在跑道上走一圈，甲乙各要几分钟？3、两条公路成十字交叉。
甲从十字路口南1350米向北直行，乙从十字路口处向东直行。
甲乙两人同时出发10分钟后，二人距十字路口距离相等；二人仍保持原速直行，又经过80分钟二人离十字路口的距离又相等。
求甲乙两人的速度。
例二、客车从甲地、货车从乙地同时相对开出5小时后，客车距乙地还有全程的61，货车距甲地还有142千米。
客车每小时比货车多行驶12千克。
甲乙两地相距多少千米？ 分析：客车每小时比货车多行驶12千米，所以客车剩下的路程就比货车少12×5=60（千米），客车距乙地的路程实际上是142-60=82（千米）。
（142-12×5）÷61=492（千米）答：甲乙两地相距492千米。
小学六年级奥数专项-行程问题(包括解题过程).
第七讲行程问题〔一〕教学目标：1、比例的基本性质2、熟练掌握比例式的恒等变形及连比问题3、能够进行各种条件下比例的转化，有目的的转化；4、单位“1”变化的比例问题5、方程解比例应用题知识点拨：发车问题〔1〕、一般间隔发车问题。
用3个公式迅速作答；汽车间距=〔汽车速度+行人速度〕×相遇事件时间间隔汽车间距=〔汽车速度-行人速度〕×追及事件时间间隔汽车间距=汽车速度×汽车发车时间间隔〔2〕、求到达目的地后相遇和追及的公共汽车的辆数。
标准方法是：画图——尽可能多的列3个好使公式——结合s全程＝v×t-结合植树问题数数。
（3）当出现多次相遇和追及问题——柳卡火车过桥火车过桥问题常用方法⑴火车过桥时间是指从车头上桥起到车尾离桥所用的时间，因此火车的路程是桥长与车身长度之和.⑵火车与人错身时，忽略人本身的长度，两者路程和为火车本身长度；火车与火车错身时，两者路程和则为两车身长度之和.⑶火车与火车上的人错身时，只要认为人具备所在火车的速度，而忽略本身的长度，那么他所看到的错车的相应路程仍只是对面火车的长度.对于火车过桥、火车和人相遇、火车追及人、以及火车和火车之间的相遇、追及等等这几种类型的题目，在分析题目的时候一定得结合着图来进行.接送问题根据校车速度〔来回不同〕、班级速度〔不同班不同速〕、班数是否变化分类为四种常见题型：〔1〕车速不变-班速不变-班数2个〔最常见〕〔2〕车速不变-班速不变-班数多个〔3〕车速不变-班速变-班数2个〔4〕车速变-班速不变-班数2个标准解法：画图＋列3个式子1、总时间=一个队伍坐车的时间+这个队伍步行的时间；2、班车走的总路程；3、一个队伍步行的时间=班车同时出发后回来接它的时间。
时钟问题：时钟问题可以看做是一个特殊的圆形轨道上2人追及问题，不过这里的两个“人”分别是时钟的分针和时针。
时钟问题有别于其他行程问题是因为它的速度和总路程的度量方式不再是常规的米每秒或者千米每小时，而是2个指针“每分钟走多少角度”或者“每分钟走多少小格”。
学生第七讲 行程问题
第七讲行程问题[画龙点睛]走路、行车、一个物体的移动，总是要涉及到三个数量：很明显，只要知道其中两个数量，就马上可以求出第三个数量.从数学上说，这是一种最基本的数量关系，在小学的应用题中，这样的数量关系也是最常见的，例如总量=每个人的数量×人数.工作量=工作效率×时间.因此，我们从行程问题入手，掌握一些处理这种数量关系的思路、方法和技巧，就能解其他类似的问题.当然，行程问题有它独自的特点，在小学的应用题中，行程问题的内容最丰富多彩，饶有趣味.它不仅在小学，而且在中学数学、物理的学习中，也是一个重点内容.因此，我们非常希望大家能学好这一讲，特别是学会对一些问题的思考方法和处理技巧.[真题欣赏]例1 小轿车的速度比面包车速度每小时快6千米，小轿车和面包车同时从学校开出，沿着同一路线行驶，小轿车比面包车早10分钟到达城门，当面包车到达城门时，小轿车已离城门9千米，问学校到城门的距离是多少千米？解：先计算，从学校开出，到面包车到达城门用了多少时间.此时，小轿车比面包车多走了9千米，而小轿车与面包车的速度差是6千米/小时，因此所用时间=9÷6＝1.5（小时）.小轿车比面包车早10分钟到达城门，面包车到达时，小轿车离城门9千米，说明小轿车的速度是：9÷10=0.9（千米/分钟）=54（千米/小时）.面包车速度是 54-6＝48（千米/小时）.城门离学校的距离是48×1.5＝72（千米）例2一辆自行车在前面以固定的速度行进，有一辆汽车要去追赶.如果速度是30千米/小时，要1小时才能追上；如果速度是 35千米/小时，要 40分钟才能追上.问自行车的速度是多少？解：自行车1小时走了： 30×1-已超前距离，自行车40分钟走了：35×-已超前距离，自行车多走20分钟，走了：30×1-35×千米因此，自行车的速度是：（30×1-35×=20千米/小时例3小张从甲地到乙地，每小时步行5千米，小王从乙地到甲地，每小时步行4千米.两人同时出发，然后在离甲、乙两地的中点1千米的地方相遇，求甲、乙两地间的距离.解：离中点1千米的地方是A点，小张走了两地距离的一半多1千米，小王走了两地距离的一半少1千米.从出发到相遇，小张比小王多走了2千米，小张比小王每小时多走（5-4）千米，从出发到相遇所用的时间是2÷（5-4）＝2（小时）.因此，甲、乙两地的距离是（5＋ 4）×2＝18（千米）.本题表面的现象是“相遇”，实质上却要考虑“小张比小王多走多少？”岂不是有“追及”的特点吗？对小学的应用题，不要简单地说这是什么问题.重要的是抓住题目的本质，究竟考虑速度差，还是考虑速度和，要针对题目中的条件好好想一想.千万不要“两人面对面”就是“相遇”，“两人一前一后”就是“追及”例4 小张和小王各以一定速度，在周长为500米的环形跑道上跑步.小王的速度是180米/分.（1）小张和小王同时从同一地点出发，反向跑步，75秒后两人第一次相遇，小张的速度是多少米/分？（2）小张和小王同时从同一点出发，同一方向跑步，小张跑多少圈后才能第一次追上小王？解：（1 ）75秒-1.25分.两人相遇，也就是合起来跑了一个周长的行程.小张的速度是500÷1.25-180=220（米/分）（2）在环形的跑道上，小张要追上小王，就是小张比小王多跑一圈（一个周长），因此需要的时间是500÷（220-180）＝12.5（分）.220×12.5÷500＝5.5（圈）例5 小王的步行速度是4.8千米/小时，小张的步行速度是5.4千米/小时，他们两人从甲地到乙地去.小李骑自行车的速度是10.8千米/小时，从乙地到甲地去.他们3人同时出发，在小张与小李相遇后5分钟，小王又与小李相遇.问：小李骑车从乙地到甲地3需要多少时间？解：5分钟后小王与小李相遇，也就是5分钟的时间，小王和小李共同走了B与A之间这段距离，它等于（10.8+4.8）÷=1.3（千米）。
行程应用题举一反三：第7讲 钟面行程问题1
行程应用题举一反三：第7讲钟面行程问题1行程应用题举一反三：第7讲钟面行程问题1行程应用题举一反三：第7讲钟面行程问题1典型例题1从时钟指向4点已经开始，再经过多少分钟时针刚好与分针重合？举一反三11、从时针指向3点已经开始，再经过多少分钟时针刚好与分针重合？2、12时整，时针与分针重合，下一次时针与分针重合是几时几分？3、小明在9点与10点之间已经开始求解一道题。
当时时针与分针刚好成一条直线，解完题后两针刚好第一次重合。
小明求解这道题共用了多少时间？典型例题2在7点多8点没的时候，时针与分针差距10小格，应当就是什么时间？举一反三21、在6点多7点没的时候，时针与分针差距12小格，应当就是什么时刻？2、在9点多10点不到的时候，时针与分针相差5小格，应是什么时刻？3、8点至9点时针与分针夹角为60°时，应当就是什么时刻？典型例题3钟面上3时过几分，时针与分针离“3”的距离相等，并且在“3”的两旁？举一反三31、钟面上4时过几分，时针与分针离“4”的距离相等，并且在“4”的两旁？2、12天前多少分时，时针与分针距“12”的距离成正比，并且在“12”的两旁？3、有一天课间休息时，小明看了一下墙上的挂钟，时间是9点多，他发现时针和分针正好处在铅垂线对称位置。
请问：此时是几点几分？典型例题4当时钟钟面显示的时刻为5点零8分时，时针与分针的夹角是多少度？举一反三41、当时钟钟面显示的时刻为4点12分时，时针与分针的夹角就是多少度？2、当时钟钟面显示的时刻为8点50分时，时针与分针的夹角是多少度？3、当时钟钟面表明的时刻为3点34分时，时针与分针的夹角就是多少度？典型例题52时几分，时针与分针成平角？举一反三51、3时几分，时针与分针成平角？2、9点后时针与分针成一条直线在什么时刻？3、6点几分，时针与分针夹角为30°？典型例题6存有一个时钟，它每小时快30秒，今年3月1日中午12点它的命令恰当，答：这个时钟下次命令恰当的时间的几月几日几点钟？举一反三61、存有一个时钟，它每小时快1分钟，如果这个钟现在所命令的就是精确时间，从现在起至少经过多少个小时它将再次命令精确的时间？2、有一个时钟，它每小时慢25秒，今年3月21日中午12点它的指示正确，请问：这个时钟下次指示正确的时间的几月几日几点钟？3、李大爷的闹钟一昼夜慢了3分钟，他想要使这个钟在明天上午北京时间8点按时惹出，那么，当闹钟跑至今天下午4点时必须往慢挥几分钟？典型例题7科技馆里存有一只美妙的钟，一圈共计20个格，每7分钟指针冲一次，每冲一次就要UX21LI2677E9个格，今天早晨8八点的时候，指针恰好从0冲到9，问昨天晚上8八点的时候指针对着几？举一反三71、存有一只玩具钟，共计24个格，每9分钟指针冲一次，每冲一次就要UX21LI2677E7格，今天早晨8八点的时候，指针恰好从0冲到7，问明天早晨8八点的时候指针对着几？2、有一只跳钟，共有16个格，每7分钟指针跳一次，每跳一次就要跳过5格，今天早晨6点整的时候，指针恰好从0跳到5，问昨天晚上6点整的时候指针指着几？3、小明家存有一只美妙的钟，一圈共计20格，每8分钟指针冲一次，每冲一次就要UX21LI2677E9格，今天早晨6八点的时候，指针恰好从0冲到9，问昨天晚上8八点的时候指针对着几？典型例题8甲乙两时钟都不精确，甲钟每跑24小时，恰好慢1分钟；乙钟每跑24小时，恰好快2分钟。
第七讲行程问题9
第七讲行程问题（9）——涉及比例关系的行程问题【知识精要】到现在为止，大家已经接触了很多很多的行程问题，从平均速度，到火车进山洞，以及相遇问题啊，追及问题啊，还有环形跑道这些形形色色的问题一定给大家留下了深刻的印象，不能否认，行程问题确实是小学应用题当中非常重要的一部分，而从前面的讲解中我们多少会有这样的感觉，当我们的知识深入之后，行程问题也一步一步地变得复杂起来，分数知识的加入和比例关系的引进使得这类问题的解决变得困难，但同时比例关系也让我们有了更厉害的“武器”，合理地利用比，正比例和反比例关系，一些困难题目的解决会焕然一新。
利用比例关系解决行程问题，关键在于弄明白速度，时间和路程之间的比例关系，我们已经知道，在一个人的行程问题中，当时间一定，速度和路程成正比例；当速度一定，路程和时间成正比例；当路程一定，速度和时间成反比例，但是，在两个人的行程问题中，也存在着如下的规律：（1）当时间一定时，两人的速度比是a:b，那么，他们的路程比也是a:b。
（2）当速度一定时，两人的时间比是a:b，那么，他们的路程比也是a:b。
（3）当路程一定时，两人的速度比是a:b，那么，它们所花的时间比为b:a。
此外，由于分数和比例的同源性，很多分数的关系也可以用比例的方法来解决，我们知道，分数的计算相对比较复杂，而比例的计算偏向于整数的计算，则在很多方面显得比较简单，这讲的题目里面，我们可以看到很多分数的题目在引入比例的计算之后，就变得简洁易懂。
【例1】五（1）班同学徒步去山顶上看日出，去时每小时行8千米，按原路返回时每小时行6千米。
他们往返的平均速度是多少【分析】这个题目也许并不陌生，但是问题在于，现在我们并不知道路程和时间，而是仅仅知道两个速度就要求平均速度，我们知道平均速度的公式是：“平均速度=总路程÷总时间”，这里总路程和总时间都不知道，所以我们只能假设路程为“1”，这样，总路程就是一个来回为“2”，而去的时间和回来的时间都可以求出来，加起来就是我们要的“总时间“。
行程问题课内知识点总结
行程问题课内知识点总结行程问题概述行程问题是指在给定的资源限制下，如何安排任务的时间和顺序，使得整个项目可以在最短的时间内完成。
行程问题通常涉及到时间、资源、风险等多个方面因素，需要综合考虑。
它在实际生活和工作中有着广泛的应用，比如生产调度、项目管理、交通规划等领域。
在行程问题的解决过程中，我们通常需要考虑以下几个方面的知识点：1. 资源分配资源分配是指在有限的资源情况下，如何合理地分配资源，以满足不同任务的需求。
这里的资源可以是人力、物资、资金等。
在行程问题中，我们需要考虑如何有效地分配资源，以提高整个项目的效率和完成时间。
2. 时间管理时间管理是指如何管理和利用时间，使得任务得以按时完成。
在行程问题中，时间管理是非常重要的，因为我们需要安排不同的任务的时间顺序和持续时间，从而保证整个项目不会延误。
3. 风险管理风险管理是指在项目实施过程中，如何识别、评估和应对各种可能出现的风险。
在行程问题中，我们需要考虑可能出现的各种不确定因素，如延迟、资源短缺、技术问题等，以及相应的应对措施。
4. 优化算法优化算法是指寻找最优解的一种数学方法，它能够帮助我们找到满足各种约束条件下的最佳方案。
在行程问题中，我们通常需要借助一些优化算法，如线性规划、动态规划、遗传算法等，来帮助我们找到最合理的行程安排。
以上就是行程问题的一些基本知识点，接下来我们将详细介绍每个知识点以及它们在解决行程问题中的应用。
资源分配资源分配是行程问题中的一个非常重要的概念，它涉及到了如何合理地分配资源，以满足不同任务的需求。
在实际项目管理中，资源通常是有限的，我们需要尽可能地合理利用有限的资源，以提高整个项目的效率和完成时间。
常见的资源包括人力、物资、资金等。
在资源分配中，我们通常需要考虑以下几个方面的知识点：1. 人力资源分配人力资源是项目管理中最重要的资源之一，如何合理地分配人力资源，使得各个任务得到最佳的执行，是项目管理中的一个关键问题。
小学奥数行程问题之追及问题
小学奥数行程问题之追及问题奥数第七讲行程问题（一）——追及问题四年级奥数教案第七讲行程问题（一）——追及问题解决追及问题的基本关系式是：路程差=速度差×追及时间；速度差=路程差÷追及时间；追及时间=路程差÷速度差在解决追及问题中，我们要抓住一个不变量，即追赶者所用时间与被追赶者所用的时间是相等的，都等于追及时间。
大家还要注意区别“追及距离”与“追赶者追上被追赶者所走的距离”这两个量之间的区别。
就像刚才的例子，“追及距离”为150米，而狗追上兔一共走了3×150=450（米）二、新授课：【例1】甲、乙两人相距150米，甲在前，乙在后，甲每分钟走60米，乙每分钟走75米，两人同时向南出发，几分钟后乙追上甲？【思路分析】这道问题是典型的追及问题，求追及时间，根据追及问题的公式：追及时间=路程差÷速率差150÷（75-60）=10（分钟）答：10分钟后乙追上甲。
【小结】提醒学生闇练掌握追及问题的三个公式。
【例2】骑车人与行人同一条街同方向前进，行人在骑自行车人前面450米处，行人每分钟步行60米，两人同时出发，3分钟后骑自行车的人追上行人，骑自行车的人每分钟行多少米？【思路阐发】这道问题，是同时动身的同向而行的追及问题，请求其中某个速率，就必须先求出速率差，按照公式：速率差=路程差÷追及时间：速度差：450÷3=150（千米）自行车的速度：150+60=210（千米）答：骑自行车的人每分钟行210千米。
【小结】这道题目在于灵活运用追及问题的三个基本公式求其中任意三个量。
【例3】两辆汽车从A地到B地，第一辆汽车每小时行54千米，第二辆汽车每小时行63千米，第一辆汽车先行2小时后，第二辆汽车才出发，问第二辆汽车出发后几小时追上第一辆汽车？【思路阐发】按照题意可知，第一辆汽车先行2小时后，第二辆汽车才动身，画线段图分析：从图中可以看出第一辆行2小时的路程为两车的路程差，即54×2=108（千米），两车相差108米，第二辆车去追第一辆车，第二辆车去追第一辆车，第二辆车每小时比第一辆车每多行63-54=9（千米），即为速度差，用追及时间=路程差÷速率差。
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第七讲行程问题
1、基本关系式：路程=速度×时间
2、比例关系：（1）当两个过程的路程相同时，即当路程一定时，速度与时间成反比；
（2）当两个过程的时间相同时，即当时间一定时，路程与速度成正比；
（3）当两个过程的速度相同时，即当速度一定时，路程与时间成正比。
例题1
求下面的几个比：
（1）小明和小刚的速度比是3 ：4，所花的时间比为5 ：6，那么所走的路程比是多少？
（2）小明和小刚的速度比是3 ：4，所走的路程比是5：6，那么所花的时间比是多少？
（3）小明和小刚的时间比是3 ：4，所走的路程比是5 ：6，那么他们的速度比是多少？分析：速度比、时间比或者路程比，这三个比例只要知道其中两个，就可以求出第三个。
解：（1）所走的路程比是：3×5 ：4×6=5 ：8
（2）所花的时间比是：（5÷3）：（6÷4）=10 ：9
（3）他们的速度比是：（5÷3）：（6÷4）=10 ：9
答：所走的路程比是5 ：8，所花的时间比是10 ：9，他们的速度比是10 ：9。
求下面几个比
（1）货车和客车的速度比为1 ：2，所花的时间比为2 ：3，那么所走的路程比是多少？
（2）货车和客车的速度比为1 ：2，所走的路程比为2 ：3，那么所花的时间比是多少？
（3）货车和客车的时间比为1 ：2，所走的路程比是2 ：3，那么速度比是多少？
甲、乙两人同时从A 地出发去B 地，经过3小时，甲先到达B 地，乙还需要1小时 到达B 地，此时甲、乙共行了35千米。
求A 、B 两地的距离？
分析：甲用了3小时行完全程，而乙用了4小时，说明两人的时间比为3 ：4，则速度之比为4 ：3，那么在3小时内的路程之比也为4 ：3；又知道两人路程之和为35千米，所以甲所走的路程为35×4
34+=20（千米），即A 、B 两地的距离为20千米。
解：由题意知，甲、乙两人的速度比为4 ：3，则在3小时内的路程之比为4 ：3 所以A 、B 两地间的距离即为甲3小时所走的路程：35×
434+=20（千米） 答：A 、B 两地间的距离为20千米。
客车和货车同时从甲、乙两地的中点向相反方向行驶，3小时后客车到达甲地，货车离乙地还有22千米，已知客车与货车的速度比为6 ：5，甲、乙两地距离多少千米？
例题2 例题3
甲、乙二人分别从 A 、 B 两地同时出发，相向而行，甲、乙的速度之比是 4 : 3，二人相遇后继续行进，甲到达 B 地和乙到达 A 地后都立即沿原路返回，已知二人第二次相遇的地点距第一次相遇的地点 30千米，则 A 、 B 两地相距多少千米
分析：两个人同时出发相向而行，相遇的时候时间相等，路程比等于速度之比，即两个人相遇时所走过的路程比为 4 : 3．第一次相遇时甲走了全程的
74；第二次相遇时甲、乙两个人共走了 3个全程，三个全程中甲走了453177
⨯=个全程，与第一次相遇地点的距离为542(1)777--=个全程．所以 A 、 B 两地相距2301057
÷= (千米)．
解：由速度与路程成正比得：
相遇时路程比：4 : 3
第一次相遇时甲走了全程的：434+=7
4 第二次相遇，甲乙共走了3个全程，甲走了：743⨯
751= 与第一相遇地点的距离为：
542(1)777--= 所以，A 、B 两地相距：2301057÷=（千米） 答：A 、B 两地相距105千米。
甲、乙两车分别从 A 、B 两地出发，在 A 、B 之间不断往返行驶，已知甲车的速度是乙车的速度的3
2，并且甲、乙两车第 1次相遇的地点与第 2 次相遇的地点恰好相距 20 千米，那么，A 、B 两地之间的距离等于多少 千米？
例题
4
客车和货车同时从甲、乙两地相向开出，已知客车行完全程需10小时，货车行完全程 需15小时。
两车在中途相遇后，客车又行了90千米，这时客车已经行完了全程的80%。
甲乙两地相距多少千米？
分析：两车行完全程所花的时间比是10 ：15=2 ：3，可得速度比是3 ：2.由于两车相遇的时候，所行的时间是相同的，所以相遇时所走的路程比也是3 ：2.即相遇时，客车行驶了全程的
53，从相遇时刻到客车行完全程的80%，客车多行驶了全程的80%－53=5
1， 所以；全程为90÷51=450（千米）。
解：两车行完全程的时间比是10 ：15=2 ：3 得 速度比是3 ：2
时间一定，路程与速度成正比，路程比是3 ：2，即客车行驶了全程的
53。
从相遇到行完全程的80%，客车又行了全程的80%－
53=51 所以全程为：90÷5
1=450（千米） 答：甲乙两地相距450千米。
客车和货车同时从甲、乙两地出发，已知甲、乙两地的距离是600千米，客车行完全程需要9小时，货车行完全程需要18小时。
两车在中途相遇后，货车又行了80千米，这时客车距离乙地多少千米？。