第3章条件平差原理

A矩阵存在逆矩阵的充分必要条件 矩阵存在逆矩阵的充分必要条件 是A的行列式不等于0，称A为非奇 的行列式不等于 ， 为非奇 异矩阵，否则为奇异矩阵。 异矩阵，否则为奇异矩阵。
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第三章 条件平差
复习知识
矩阵求逆方法 （1）伴随矩阵法： 伴随矩阵法： 设Aij为A的第i行j列元素aij的代数余 的第i 列元素a 子式，A的伴随矩阵A*为 子式， 的伴随矩阵A （2）初等变换法： 初等变换法：
OA = AO = O IA = AI = A A(B + C) = AB + AC ABC = A(BC)
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第三章 条件平差
复习知识
三、矩阵的转置 对于任意矩阵C 对于任意矩阵Cmn: 矩阵的转置的性质如下: 矩阵的转置的性质如下:
(4) (kA)T = kAT 将其行列互换，得到一个n*m阶矩阵， 阶矩阵， 将其行列互换，得到一个 阶矩阵
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第三章 条件平差
第一节
条件平差的数学模型为 函数模型： 函数模型： AV −W = 0
2 2 −1 随机模型： D 随机模型： n,n = σ 0 Q = σ 0 P,n n n,n
条件平差原理
L1 L L = 2 n ,1 M Ln
条件平差就是在满足 条件平差就是在满足r个条件方程 , , , 条件下，求解满足最小二乘法（V 条件下，求解满足最小二乘法（ TPV = min）的V值，在数学中就是 min） 求函数的条件极值问题。 求函数的条件极值问题。 条件方程 一、条件平差原理
第三章 条件平差
复习知识
一、矩阵的定义及其某些特殊矩阵 (2) 若m=n，即行数与列数相同，称A ，即行数与列数相同， 为方阵。元素a 为方阵。元素 11、a22……，ann， ， （1）由个数有个数排列成 行n列的表 个数有个数排列成m行 列的表 m×n个数排列成 称为主对角元素。 称为主对角元素。 叫矩阵，通常用一个大写字母表示， 叫矩阵，通常用一个大写字母表示， (3)若一个矩阵的元素全为 称零矩阵， 若一个矩阵的元素全为0， (3)若一个矩阵的元素全为 ，称零矩阵， 如： 一般用O表示 表示。 一般用 表示。
1× n
n× n n×1
A x ，式中 T， 式中A=A
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第三章 条件平差
补充知识
九、函数对向量的微分 m元函数向量对于 维向量 x的微分有 元函数向量对于n维向量 元函数向量对于 如下性质：(以下 为常数向量，F，G 如下性质： 以下C为常数向量， ， 以下 为常数向量 为函数向量) 为函数向量 （1） dC = 0 （5 ） （4）当A为常数矩阵时 为常数矩阵时
复习知识
七、幂等矩阵 定义： 定义：称满足条件 为幂等矩阵。 为幂等矩阵。 幂等矩阵有下述重要性质： 幂等矩阵有下述重要性质： (1) 幂等矩阵 的特征值为 或1。 幂等矩阵A的特征值为 的特征值为0或 。 (2) 幂等矩阵A的秩，等于它的迹，即 幂等矩阵A的秩 等于它的迹， 的秩， R(A)=tr(A) (3) 若方阵A为R(A)=r的幂等矩阵 则E- A 若方阵 为 的幂等矩阵,则 的幂等矩阵 也为幂等矩阵， 也为幂等矩阵，且R(E-A)=n-r A2=A*A=A 八、二次型和正定阵
1 * 1 A = A = A* A det( A)
a11 a 21 L an1
0 a22 L a2n M 0 1 L L LML L an2 L ann M 0 0
a12 L a1n M 1
L L L L
0 0 L 1
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第三章 条件平差
复习知识
f 的方阵A 定义： ( x) = x 定义： 的方阵
T
上式称为二次型，A称为二次型矩阵。 上式称为二次型， 称为二次型矩阵。 称为二次型矩阵 若对于任意x≠0 若对于任意 称二次型是正定的， （1）xTAx＞0 , 称二次型是正定的， ） A为正定矩阵，记为A A为正定矩阵，记为A＞0 为正定矩阵 称二次型是半正定的， （2）xTAx≥0, 称二次型是半正定的， ） A为半正定矩阵，记为A≥0 为半正定矩阵，记为 为半正定矩阵 称二次型是负定的， （3）xTAx＜0, 称二次型是负定的， ） A称为负定矩阵，记为A＜0 称为负定矩阵，记为 称为负定矩阵 称二次型是半负定的， （4）xTAx≤0,称二次型是半负定的， ） 称二次型是半负定的 A称为半负定矩阵，记为A≤0 称为半负定矩阵，记为 称为半负定矩阵
d ( AF ) dF =A dx dx
dx
dF dG (F + G) = + dx dx dx T （3）d T d T T dG T dF 当A=A 时， (F G) = (G F) = F +G d ( xT Ax) dx dx dx dx = 2 xT A dx
（2 ） d
d ( xT Ax) T d T dx =x ( Ax) + ( Ax) dx dx dx = xT A + xT AT = xT ( A + AT )
b11 b A−1 = 21 n×n L bn1
b12 L b1n b22 L b2n L L L bn2 L bnn
R ( AB ) ≤ min { R( A), R ( B)}
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第三章 条件平差
复习知识
五、矩阵的迹 定义：方阵A 定义：方阵A的主对角元素之和称 为该方阵的迹，记为 为该方阵的迹， 六、满秩矩阵 定义： 阶方阵A的秩 定义：若n阶方阵 的秩 阶方阵 的秩R(A)=n，则称 ， A为满秩方阵。若m*n阶矩阵 的秩 为满秩方阵。 阶矩阵A的秩 为满秩方阵 阶矩阵 R(A)=m，称A为行满秩阵；若R(A)=n， 为行满秩阵； 为行满秩阵 ， 则称A为列满秩阵。 则称 为列满秩阵。 为列满秩阵 对于任意一m*n阶矩阵A， R(A)=r， 对于任意一m*n阶矩阵A，若R(A)=r， 阶矩阵 则A可分解为 可分解为
v1 v 2 V = n ,1 M v n
ˆ L1 ˆ L ˆ L = 2 n ,1 M ˆ Ln
n ,1
L = L+V
n ,1
n ,1
p1 ˆ L1 L1 + v1 ˆ L2 + v 2 P = L2 = M M n ,n ˆ Ln + v n Ln
m×n
tr ( A) = ∑ aii
i =1
n
对于矩阵的迹有下面的性质： 对于矩阵的迹有下面的性质： tr (AT)=tr (A) tr (A+B)=tr (A)+tr (B) tr (kA)=k tr (A) tr (AB)=tr (BA)
A = R⋅ S
m×r r ×n
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第三章 条件平差
p2
O pn
L 有n个观测值 n ,1 ，均含有相互独立 P 的偶然误差， 的偶然误差，相应的权阵为 n , n ， L 改正数为 V1 ，平差值为 nˆ1 ，用 n, , 矩阵表示为： 矩阵表示为：
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必要 观测 数t, 多余 观测 数为r 数为r r=nr=n-t
(1) ( AB) = B A
(2) ( A−1)−1 = A (3) (I )−1 = I
−1
−1
−1
B= A
−1
(4) ( AT )−1 = ( A−1)T
(5) 对称矩阵的逆仍为对称矩阵。
(6) 对角矩阵的逆仍为对角矩阵且： A−1 = (diag(a11, a22 ,Lann ))−1 = diag( 1 1 1 , L ) a11 a22 ann
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第三章 条件平差
第一节
改正数方程： 改正数方程：
条件平差原理
a1 b A= 1 r ,n L r1 a2 b2 L r2 L L L L an wa bn W = wb L r ,1 M rn wr
a 0 b A0 = 0 M r ,1 r0
a11 a12 a a22 21 A= m×n L L am1 am2
L a1n L a2n L L L amn
(4)对于 的方阵， (4)对于 n× n 的方阵，除主对角元素 外，其它全为零，称为对角矩阵。 其它全为零，称为对角矩阵。 如：
a11 0 0 a 22 A = m×n L L 0 0 L 0 L 0 L L L amn
（2）初等变换法： 初等变换法： 四、矩阵的秩
1 0 ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ L 0
则：
0 L 0 Mb11 1 L 0 Mb21 L L LL M 0 L 1 Mbn1
b12 L b1n b22 L b2n L L L bn2 L bnn
定义：矩阵A的最大线性无关的行( 定义：矩阵A的最大线性无关的行( 列)向量的个数r，称为矩阵A的行( 向量的个数r 称为矩阵A的行( 列)秩。由于矩阵的行秩等于列秩， 由于矩阵的行秩等于列秩， 故统称为矩阵的秩，记为R(A)。对 故统称为矩阵的秩，记为R(A)。 于矩阵的秩有性质： 于矩阵的秩有性质：
= diag(a11, a22 ,Lann )
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第三章 条件平差
复习知识
(5)对于对角阵， (5)对于对角阵，若a11=a22=……=ann =1， 对于对角阵 ， 称为单位阵，一般用 、 表示 表示。 称为单位阵，一般用E、I表示。 则称A为对称矩阵。 （6）若aij=aji，则称A为对称矩阵。 二、矩阵的运算 （1）若具有相同行列数的两矩阵各对 应元素相同， 应元素相同，则： （2）具有相同行列数的两矩阵A、B相 具有相同行列数的两矩阵 、 相 A= B 加减，其行列数与 、 相同 相同， 加减，其行列数与A、B相同，其元 素等于A 对应元素之和、 素等于 、B对应元素之和、差。 对应元素之和 且具有可交换性与可结合性。 且具有可交换性与可结合性。 (3) 设A为m*s的矩阵，B为s*n的矩阵 为 的矩阵， 为 的矩阵, 的矩阵 的矩阵 相乘才有意义， 则A、B相乘才有意义，C=AB，C 、 相乘才有意义 ， 的阶数为m*n。 。 的阶数为