弯曲内力1
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材料力学弯曲内力
材料力学弯曲内力材料力学是研究物质在外力作用下的变形和破坏规律的科学。
而弯曲内力则是材料力学中的一个重要概念，它在工程实践中有着广泛的应用。
弯曲内力是指在梁或梁式结构中由外力引起的内部应力状态，它是由梁的外部受力状态和几何形状决定的。
在工程设计和结构分析中，了解和计算弯曲内力是非常重要的，本文将对材料力学中的弯曲内力进行详细的介绍。
首先，我们来看一下弯曲内力的产生原理。
当梁受到外力作用时，梁内部会产生弯曲变形，这时梁内部就会产生弯曲应力。
弯曲内力包括正应力和剪应力两部分，正应力是沿梁的纵向方向产生的拉压应力，而剪应力则是梁内部产生的剪切应力。
这些内力的大小和分布是由梁的受力情况和截面形状决定的。
其次，我们来讨论一下弯曲内力的计算方法。
在工程实践中，我们通常采用梁的截面性质和外力矩的大小来计算弯曲内力。
对于矩形截面的梁，我们可以通过简单的公式来计算出弯曲内力的大小和分布。
而对于复杂形状的截面，我们则需要借助数值计算或者有限元分析来得到准确的结果。
在实际工程中，我们通常会使用专业的结构分析软件来进行弯曲内力的计算，这样可以大大提高计算的准确性和效率。
接着，我们来谈一下弯曲内力的影响因素。
弯曲内力的大小和分布受到多种因素的影响，包括外力的大小和方向、梁的截面形状和材料性质等。
在设计和分析过程中，我们需要充分考虑这些因素，以确保结构的安全性和稳定性。
此外，梁的支座条件和边界约束也会对弯曲内力产生影响，这些因素需要在计算中进行合理的考虑和处理。
最后，我们来总结一下弯曲内力的重要性。
弯曲内力是梁和梁式结构中非常重要的内部应力状态，它直接影响着结构的安全性和稳定性。
在工程设计和分析中，准确计算和合理分析弯曲内力是非常重要的，它可以帮助工程师们更好地理解和把握结构的受力情况，从而保证结构的安全性和可靠性。
总之，弯曲内力是材料力学中一个重要的概念，它在工程实践中有着广泛的应用。
通过对弯曲内力的了解和计算，我们可以更好地设计和分析工程结构，保证结构的安全性和稳定性。
材料力学之弯曲内力1
Fs F F P
剪力发生突变, 突变量为 P
sc
sc
16
x
RA
A
x
M
RB
B
a
C
b
Fs
M L
M
Ma L
Mb L
M M R R M M B RA R R A B R R R L AA B B L LL AC ::( 0 x a ) AC ( 0 x a AC :0 ( 0x xa AC :( ) a)) M M F ( x ) R M M s 1 A F ( x ) R R A L sx 1) F ( x ) F ( R s1 s1 A A L LL M Mx M ( x ) R x M 1 A M( RA x x 1( M xx )) R x L x 1 A CB :( (a a x x l l ) LL CB x ) CB :: ( a l ) CB : (a x l ) M M M M Fss2 (x x)) R ( R 2 B B ( x )R Fs 2 ( x) F R s 2B LLB L L M2 ( x) R (( LL xB) R x R () L x) B) 2 ( x) M B 2 (x
FRA
A
m
F B
m x
FRB
弯曲构件内力
剪力 弯矩
C RA
Fs
M F
M 1. 弯矩 M : 它是与横截面垂直的 分布内力系的合力偶矩。 FS C 2. 剪力 FS ： 它是与横截面相切的分布内力系的合力。
FRB
7
二. 内力的符号规定 1. 剪力符号 使 dx 微段有 左端向上而右端向下的相对错动时, 横截面 m-m 上的剪力为正。 使 dx 微段有左端向下而右端向上的相对错动时， 横截面 m-m 上的剪力为负.
土木工程力学基础多学时四单元1直梁弯曲弯曲内力1
三．梁的内力图
例 4－ 2 悬臂梁在自由端受集中力作用如 图4－7所示。试写出梁的剪力方程和弯矩方 程、画出剪力图和弯矩图，并确定梁的最大 剪力和最大弯矩。
剪力方程：Q=P=-Px，各 横截面的弯矩沿轴线呈直 线变化，故可由弯矩方程 确定两点：
x=0, M=0 x=l, M=-Pl
M
max
Pl
三．梁的内力图
例4－3 简支梁受集中力作用如图4－8所示，求 梁的剪力方程和弯矩方程，画出Q、M图并确定最 大剪力和最大弯矩。
例4－4 简支梁受均布荷载作用如图4－9所示，求梁的剪力 方程和弯矩方程，画Q、M图，确定最大剪力和弯矩。
解：（1）计算支座反力
R A RB 1 ql 2
x 0, M 0
x
x l, M 0
1 1 l , M ql 2 2 8
三．梁的内力图
3.单跨梁在简单荷载 作用下的内力图特点 与规律
三．梁的内力图
2．运用简捷作图法绘制梁的剪力图和弯矩图
解：（1）计算支座反力
R A 8kN Rc 20 kN
（2）作剪力图
AB段：梁上无荷载，Q图为一条水平线，
一端为固定铰支座， 另一端为可动铰支座。
一．梁的形式
2.外伸梁
简支梁的一端或两端 伸出支座之外的梁,
一．梁的形式
3.悬臂梁
一端为固定端， 另一端为自由端的梁。
二．梁的内力
1.梁的内力——剪力和弯矩 梁发生弯曲时，横截面上同时存在两个内 力—剪力Q 和弯矩 M 剪力的常用单位为牛顿（N）或千牛顿（kN）， 弯矩的常用单位为牛顿米（N· m）或千牛顿米 （kN· m）。
右 QA ＝R A 8kN
材料力学---弯曲内力课件(1)
FS/kN20
FsA右-5kN；FsB左5kN ; o + -
FS(+)
FS(–)
FS(+)
FS(–)
②弯矩M：使梁变成凹形的弯矩为正；使梁变成凸形 的弯矩为负。或者说：左顺右逆的M为正， 反之相反。
M(+)
M(+) M(–)
M(–)
9
[例5-1]：求图示梁1-1、2-2截面处的内力。
ql 1
2q
解：1-1截面:
F y 0 : F S 1 ql
1a ql
M(x) RA x FS(x)
AC段：F S(x)R AF l b 0xa
RA x
Fb /l
FS
+
F M(x)
M (x)R A xF l xb 0xa
FS(x)
CB段：F S (x )R A F F l a a xl
-
M (x ) R A x F x a F ll a x a x l
Fa /l (3)绘制剪力图、弯矩图：
M
+
在集中力F作用点处，FS图发生突
Fab /l
变，M图出现尖角。
15
A
mC
B
xx
RA
a
b RB
l
解：(1)计算支反力：
M A 0 : R B m / l M B 0 : R A m / l
(2)建立剪力、弯矩方程：分AC、
M(x)
CB两段考虑，以A为原点。
RA RA FS
4
F x 0 :F N ( x 1 ) 0 0 x 1 2 a
3a
F y 0 :F s ( x 1 ) 9 4 q0 a x 1 2 a
工力041章弯曲内力
RA l 2 l 2 RB
AC 段
RA
M(x)
x Q(x)
CB
AC程
段 y 0, RA Q(x) 0,
RA Q(x) P 2 ,
x (0, l ) 2
M 0, RA x M 0,
M RA x Px 2,
x [0, l ] 2
段M(x)
CB
Q(x) l x RB
段Q(x) RB P 2,
M
o
Q lx
RB
例题：简支梁，求1-1，2-2截面上的内力
P 8kN q 2kN m （1）求支反力RA、RB
1
2
M A 0,
A
B RB 4 2 23 81 0
1m 1m
2m
RA 1.5m 1
3m
2
P 8kN
M1
RB 5kN
RB
∑Y=0,
RA–8–2 2 + RB =0
RA= 7kN
M 弯矩
o
(Bending moment)
x Q 剪力(shear
force)
•利用梁弯曲后的形状可以快速判断梁内弯矩的符号. 例如
梁弯曲后的形状
P A
D
B
C
P
a
2a
a
+M
-M
M
Pa 2
Pa 2
取左侧位研究对象：
IP
Y 0: Q RA 0
x Il
Q RA
RA
RB
剪力Q — 截面一侧所有竖向分力的代数和;
2
M x ql x qx x, x [0,l]
22
q
RA
RA x
Q ql / 2
弯曲内力的知识点总结
弯曲内力的知识点总结1. 弯曲内力的产生原因弯曲内力的产生原因主要是由于外力作用在梁上产生的弯矩。
当梁在弯曲作用下，上部会产生拉应力，下部产生压应力，由于这些应力的存在，会产生相应的应变。
这些内部的应力和应变就是弯曲内力。
2. 弯曲内力的计算弯曲内力可以通过弯曲方程进行计算。
弯曲方程描述了弯曲时材料内部应力的大小和分布。
在梁的不同截面上，受到的弯曲内力的大小和方向是不同的，需要通过弯曲方程计算得出。
3. 弯曲内力的影响因素弯曲内力的大小和分布受多种因素影响，包括弯矩的大小和方向、梁的截面形状和尺寸、材料的力学性质等。
在进行结构设计时，需要综合考虑这些因素，确保结构受力合理、安全可靠。
4. 弯曲内力的作用弯曲内力是结构中非常重要的一种内力，直接影响结构的稳定性和安全性。
对于梁、柱、桁架等结构，弯曲内力是决定其受力性能的关键因素之一。
合理地分析和设计弯曲内力，可以保证结构的稳定性和安全性。
5. 弯曲内力的分布规律弯曲内力的分布规律是指在杆件或梁上受弯矩作用时，内部产生的应力和应变的分布规律。
这些规律直接影响结构的受力性能和变形特性。
通过对弯曲内力的分布规律进行研究，可以更好地理解结构的受力行为并进行合理的设计与分析。
6. 弯曲内力的应力分析弯曲内力还涉及到应力分析的问题，因为在杆件或梁上不同位置受到的弯曲内力有所不同，从而产生的应力也不同。
合理地进行弯曲内力的应力分析可以帮助工程师更好地理解结构的受力性能，进行合理的设计和施工。
7. 弯曲内力的变形分析弯曲内力还会引起结构的变形，这种变形对于结构的使用性能和安全性都有很大的影响。
通过对弯曲内力的变形分析，可以帮助工程师更好地理解结构的变形特性，并进行合理的设计和施工。
总之，弯曲内力是结构工程中非常重要的一种内力，对结构的稳定性和安全性有着直接的影响。
对弯曲内力的认识和分析是结构工程设计的重要内容之一。
希望以上的知识点总结对您有所帮助。
第6章弯曲内力(1,2)
背口诀，快速记（42字）
剪力等于外力和;
弯矩等于力矩和; 左上右下剪为正;
左上右上弯为正;
左顺右逆弯为正; 与上不符皆为负。
3、简便法求梁内力的步骤 步骤： （1）先分别判断梁上各外力在截面上 引起的内力符号，并求出相应的内力数 值。 （2）由外力与内力大小规律，将截面 上的各内力代数和，即为所有外力作用 下梁截面的内力。
F 0, M 0,
y F
FSF FRB 0 M F FRB d 0
解得：
FSF FRB
-
M F FRB d +
（二）简便法求内力
1、外力与内力大小规律
a A
F1
m
F2 b B x
F
y
0:
m
FAy
a F1
x
F By
F2 b
FAy F1 FQ 0
FQ FAy F1
FAy
x
FQ
FQ
F By
任一横截面上的剪力等于该横截面任一侧所有外力的 代数和。
a
F1
m
F2 b B x
M
C
0:
A
m
x
FAy x F1 x a M 0 M FAy x F1 x a
FAy
FAy
a F1
F By
F2 b
M
M
x
四. 剪力方程和弯矩方程· 剪力图和弯矩图
剪力方程和弯矩方程实际上是表示梁的横截面上的剪力 和弯矩随截面位置变化的函数式，它们分别表示剪力和弯矩
随截面位置的变化规律，或称为内力方程。显示这种变化规
律的图形则分别称为剪力图和弯矩图，它们是梁配钢筋和承 载能力计算的依据。 梁剪力图的画法：取纵横坐标轴，横坐标轴与梁轴线平行，表 示梁的截面位置，纵坐标轴表示梁截面对应的剪力的大小，规 定正剪力画在横坐标轴的上方，负剪力画在横坐标轴的下方， 画出的图形即为梁的剪力图。 梁弯矩图的画法：取纵横坐标轴，横坐标轴与梁轴线平行，表 示梁的截面位置，纵坐标轴表示梁截面对应的弯矩的大小，规 定梁的弯矩图画在梁的受拉侧，因为正弯矩使梁下侧受拉，所 以正弯矩画在横坐标轴的下方；负弯矩使梁的上侧受拉，所以 负弯矩画在横坐标轴的上方，画出的图形即为梁的弯矩图。
《工程力学》教学课件第十一章弯曲内力
引发裂缝扩展
弯曲内力还可能导致结构中的裂缝扩展，进一步降低结构强度。
优化措施降低弯曲内力影响
合理布置荷载
通过合理布置荷载，降低结构 受到的弯曲内力，提高结构稳 定性。
采用预应力技术
对结构施加预应力，使结构在受到荷 载作用前产生一定的反弯曲内力，从 而抵消部分外荷载产生的弯曲内力。
加强结构刚度
增加结构刚度，提高结构抵抗 弯曲内力的能力，保证结构整 体性能。
机械工程
分析机械零件在受力时的弯曲变形和应力分布，提高零件的强度和刚 度，延长使用寿命。
案例分析中问题探讨
载荷与边界条件的确定
在实际工程中，如何准确确定结构所受的载荷和边界条件是进行 内力分析的关键问题。
内力与变形的计算精度
由于实际结构的复杂性和计算方法的局限性，如何保证内力和变形 计算的精度是另一个需要探讨的问题。
优化截面形状和尺寸
通过优化截面形状和尺寸，使 得截面在受力时能够更好地抵 抗弯曲内力，提高结构强度。
06 实验验证与工程应用案例
实验验证方法介绍
1 2
载荷实验
通过对实际结构或模型施加静态或动态载荷，观 察和分析结构的变形和内力分布情况。
应变测量
利用应变片、应变计等测量工具，定量测量结构 在载荷作用下的应变值，进而推算出内力大小。
性能。
弯曲内力与材料性质关系
弹性模量
材料的弹性模量越大，梁 的抗弯刚度越大，承受弯
曲内力的能力越强。
屈服强度
材料的屈服强度越高， 梁在承受弯曲内力时越 不容易发生塑性变形。
韧性
材料的韧性越好，梁在 承受弯曲内力时越不容
易发生脆性断裂。
疲劳强度
对于承受交变弯曲内力的 梁，材料的疲劳强度也是 一个重要的考虑因素。
弯曲内力还可能导致结构中的裂缝扩展，进一步降低结构强度。
优化措施降低弯曲内力影响
合理布置荷载
通过合理布置荷载，降低结构 受到的弯曲内力，提高结构稳 定性。
采用预应力技术
对结构施加预应力，使结构在受到荷 载作用前产生一定的反弯曲内力，从 而抵消部分外荷载产生的弯曲内力。
加强结构刚度
增加结构刚度，提高结构抵抗 弯曲内力的能力，保证结构整 体性能。
机械工程
分析机械零件在受力时的弯曲变形和应力分布，提高零件的强度和刚 度，延长使用寿命。
案例分析中问题探讨
载荷与边界条件的确定
在实际工程中，如何准确确定结构所受的载荷和边界条件是进行 内力分析的关键问题。
内力与变形的计算精度
由于实际结构的复杂性和计算方法的局限性，如何保证内力和变形 计算的精度是另一个需要探讨的问题。
优化截面形状和尺寸
通过优化截面形状和尺寸，使 得截面在受力时能够更好地抵 抗弯曲内力，提高结构强度。
06 实验验证与工程应用案例
实验验证方法介绍
1 2
载荷实验
通过对实际结构或模型施加静态或动态载荷，观 察和分析结构的变形和内力分布情况。
应变测量
利用应变片、应变计等测量工具，定量测量结构 在载荷作用下的应变值，进而推算出内力大小。
性能。
弯曲内力与材料性质关系
弹性模量
材料的弹性模量越大，梁 的抗弯刚度越大，承受弯
曲内力的能力越强。
屈服强度
材料的屈服强度越高， 梁在承受弯曲内力时越 不容易发生塑性变形。
韧性
材料的韧性越好，梁在 承受弯曲内力时越不容
易发生脆性断裂。
疲劳强度
对于承受交变弯曲内力的 梁，材料的疲劳强度也是 一个重要的考虑因素。
弯曲内力1
u CB段 取x截面，
x
FS
M
27
u CB段
取x截面， 左段受力如图。
由平衡方程，可得:
FS
(
x)
Fa l
(a<x<l)
M (x) Fa (l x) l (a x l)
(3) 画剪力图和弯矩图
x
FS
x
M
28
(3) 画剪力图和弯矩图
FS (x)
Fb l
FS
(
x)
Fa l
(0<x<a)
Fb l
,
FRB
Fa l
(2) 求剪力方程和弯矩方程
需分段求解。 分为两段：AC和CB段。 u AC段 取x截面，左段受力如图。
26
(2) 求剪力方程和弯矩方程
u AC段
取x截面，左段受力如图。
由平衡方程，可得:
FS (x)
Fb l
(0<x<a)
M (x) Fb x l
(0 x a)
1
4. 1 弯曲的概念和实例
因承受横向载荷，或作用平面平行于轴线的力偶矩， 而使杆件的轴线变形后成为曲线的基本变形称为弯曲 变形。 工程问题中，有很多杆件是受弯曲的。
2
l工程中的弯曲实例
3
l 弯曲变形
以弯曲变形为主的杆件 称为梁。
l 对称弯曲
若梁 (1) 具有纵向对称面; (2) 所有外力都作用 在纵向对称面内。 则轴线变形后也是 该对称面内的曲线。
FS = 截面一侧所有横向外力代数和 M = 截面一侧所有外力对截面形心力矩的代数和
17
六章弯曲内力
(5)集中力作用的截面上剪力有“跳跃“（突 变），其跳跃的值就是这个集中力的大小；集中 力偶作用的截面上弯矩有”跳跃”，其跳跃的值 就是这个集中力偶的大小．
第六章 弯曲内力
三 剪力方程与弯矩方程、剪力图与弯矩图
第六章 弯曲内力/三 剪力方程与弯矩方程、剪力图与弯矩图
1 剪力方程与弯矩方程 在一般情况下，梁横截面上的剪力和弯矩随截面的位置而变化。
Cx a
M(x)mPa(0xa)
第六章 弯曲内力/三 剪力方程与弯矩方程、剪力图与弯矩图
BC段:
m=Pa
P
FQ(x)P (ax2a) A
xB
M (x)m P (xa)
a
a
2PaPx (ax2a)
Cx
2、作梁的剪力图和弯矩图
3、求
FQ
和
max
M
max
FQ max P（在BC段的各截面） Pa
MmaxPa（在AB段的各截面）
M0 8KN.m
A E
q=2KN/m
C
B
P=2KN
F D
1m 1m
2m
1m 1m
因此，剪力和弯矩均可表示为截面位置x的函数，即
F QF Q (x), M M (x)称为剪力方程和弯矩方程
第六章 弯曲内力/三 剪力方程与弯矩方程、剪力图与弯矩图 2 内力与外力的相依关系
某一截面上的内力与作用在该截面一侧局部杆件上的外 力相平衡；
例题 一外伸梁受力如图所示。试求D左、D右、B左、B右截面
上的内力。
M0 8KN.m
q=2KN/m
P=2KN
A D
F Ay 1m
1m
B
F By
2m
1m
第六章 弯曲内力
三 剪力方程与弯矩方程、剪力图与弯矩图
第六章 弯曲内力/三 剪力方程与弯矩方程、剪力图与弯矩图
1 剪力方程与弯矩方程 在一般情况下，梁横截面上的剪力和弯矩随截面的位置而变化。
Cx a
M(x)mPa(0xa)
第六章 弯曲内力/三 剪力方程与弯矩方程、剪力图与弯矩图
BC段:
m=Pa
P
FQ(x)P (ax2a) A
xB
M (x)m P (xa)
a
a
2PaPx (ax2a)
Cx
2、作梁的剪力图和弯矩图
3、求
FQ
和
max
M
max
FQ max P（在BC段的各截面） Pa
MmaxPa（在AB段的各截面）
M0 8KN.m
A E
q=2KN/m
C
B
P=2KN
F D
1m 1m
2m
1m 1m
因此，剪力和弯矩均可表示为截面位置x的函数，即
F QF Q (x), M M (x)称为剪力方程和弯矩方程
第六章 弯曲内力/三 剪力方程与弯矩方程、剪力图与弯矩图 2 内力与外力的相依关系
某一截面上的内力与作用在该截面一侧局部杆件上的外 力相平衡；
例题 一外伸梁受力如图所示。试求D左、D右、B左、B右截面
上的内力。
M0 8KN.m
q=2KN/m
P=2KN
A D
F Ay 1m
1m
B
F By
2m
1m
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M
b>a时 M max
M eb l
发生在C截面右侧
Mea l
控制面的概念
外力规律发生变化截面—集中力、集中力偶 作用点、分布荷载的起点和终点处的横截面。
Thanks
由其右边分离体的平衡条件同样可得
FA F l a l
F
y
0
FA A
a m
F
FB
Fa l
FB
B
F l a FS F FB l MC 0
FS F FB 0
x
m
M F a x FB l x 0
M F a x FB l x 0
(-)
M
x
在梁的自由端点处，如果没有集中力偶的作用，则端点弯矩为零； 如果没有集中力作用，则剪力为零。
例2: 图示简支梁受集度为q的满布荷载作用。 试作梁的剪力图和弯矩图。 q A FA x l B FB
解：1、求支反力
A
FA
2、列剪力方程和弯矩方程 ql q qx M(x) FS x FA qx
纵对称面内的平面曲线,这种弯曲称为平面弯曲.
RB
§4-1弯曲的概念和实例: 概念
F1 q
F2
M
纵向对称面
受力特点——作用于杆件上的外力都垂直于杆的轴线，且都在 梁的纵向对称平面内。 变形特点——杆的轴线在梁的纵向对称面内由直线变为一条平 面曲线。
基本变形回顾
拉压：
受力特点：作用于杆端外力的合力作用线与杆件轴线重合。 变形特点：沿轴线方向产生伸长或缩短。
显示剪力和弯矩随截面位置的变化规律的图形则分别称为剪力图和弯矩图。 画剪力图和弯矩图的三定： 1.定坐标原点及正向 原点：一般在梁的左端；正向：自左向右 纵坐标：按比例表示梁的内力（弯矩和剪力） 2.定方程区间，即找分段点 原则：载荷有突变处即为分段点(集中力作用点、 集中力偶作用点、分布力的起点、终点) 3.定内力正负号 分析时，总是先设正号的剪力和弯矩
FS m M C m
F
FB
B
左侧
FS FA F l a l F l a M FA x x l
F l a M FB l x F a x x l
F a l M x l
例2: 求图示外伸梁在截面1—1、2—2、 3—3和4—4横截面上的剪力和弯矩。 y F a Me =3Fa
Fb l
M max
Fa l
Fab l
x
Fab l
发生在集中 荷载作用处
x a b l / 2时，
M
* 在 集中力F 作用处，剪力图有突变，突变值为 集中力的大小；弯矩图有转折
M max
Fl 为极大值。 4
例4：图示简支梁在C点受矩为Me 的集中力偶 作用。试作梁的剪力图和弯矩图。 a Me C l b
剪力(Shear force) FS 构件受弯时，横截面上其作用线平 行于截面的内力.
M F
C
FRB
§4-3 剪力和弯矩:符号规则
剪力符号：使该微段有顺时 针转动趋势的为正；反之为 负。
弯矩符号：使该微段有下凸变 形趋势的为正（底部受拉）； 反之为负。
作用左侧截面，使得截开部分 逆时针转为正；作用右侧截面 ，使得截开部分顺时针转为正 ；反之为负
ql FA FB 2
x
FS(x)
2 x qlx qx2 M x FA x qx 2 2 2
3、作剪力图和弯矩图 q A FS ql 2
ql FS x qx 2 B qlx qx2 M x 2 2
l
FS,max
ql2 8 M l/2
* 载荷对称、结构对称则剪力图反对称，弯矩图对称
A A A
A
FRA
§4-2 梁的力学模型的简化：梁的基本形式
4、梁的基本形式
(1)悬臂梁
FRx
MR FRy
(2)简支梁
FRx
FRy1
FRy2
静定梁
(3)外伸梁
FRx
FRy1
FRy2
§4-2 梁的力学模型的简化：梁的基本形式
静定梁
梁的支反力均可由平面力系的三个独立 的平衡方程求出。
超静定梁 梁的支反力单独利用平衡方程不能确定。
M(x) FA
x
FS(x)
FS(x)
Fa Fb 0 x a FS x FB l a x l FS x l Fa Fb l x M x x0 x a M x FB (l x) l l a x l
a
F C
l
b
A FA
x
B FB
解：1、求支反力
Fb FA l
Fa FB l
2、列剪力方程和弯矩方程 ——需分两段列出
注意： 如果不能用一个函数表达，则需要分段表示，分段点为： 集中力作用点、集中力偶作用点、分布力的起点、终点。
a
F C
l
b
A FA AC段 A
x
B FB M(x) B CB段 FB
A FA
B FB
解: 1、求支反力
M
B
0
M e FA l 0
Me FB l
Me FA l
பைடு நூலகம்
2、列剪力方程和弯矩方程
A
FA
a
x
b C l
B
FB
剪力方程无需分段： F x F M e 0 x l S A M(x) M(x) l A B x FS(x) FA FS(x) FB 弯矩方程——两段： Me 0 x a AC段： M x FA x x
在集中力作用处，剪力值发生突变，突变值=集中力大小； 在集中力偶作用处，弯矩值发生突变，突变值=集中力偶矩大小。
§4-4 剪力方程和弯矩方程 .剪力图和弯矩图
§4-4 剪力方程和弯矩方程 .剪力图和弯矩图
剪力方程
弯矩方程
FS FS ( x)
M M ( x)
反映梁的横截面上的剪力和弯矩 随截面位置变化的函数式
MA FAx
A
FAy
B
FB FAx
A
FAy
C
FC
B
FB
§4-3 剪力和弯矩
§4-3
剪力和弯矩
a
F
B
l
弯曲内力的确定－截面法
剪力
A
弯曲构件内力
弯矩 弯矩(Bending moment) M 构件受弯时，横截面上其作用面垂直
FRAxA FRAy
x
m
m
F
B
FRB
FS FRAy M FS
C
于截面的内力偶矩.
§4-3
剪力和弯矩
规律总结：
①求指定截面上的内力时，既可取梁的左段为脱离体，也可取右段为脱离体， 两者计算结果一致。一般取外力比较简单的一段进行分析。 ②在解题时，一般在需要内力的截面上把内力（Q、M）假设为正号。最后计算 结果是正，则表示假设的内力方向是正确的。若计算结果为负，则表示该截面上 的剪力和弯矩均是负的，其方向应与所假设的相反。 ③梁内任一截面上的剪力Q的大小，等于这截面左边（或右边）所有与截面平 行的各外力的代数和。 ④梁内任一截面上的弯矩的大小，等于这截面左边（或右边）所有外力（包括力 偶）对于这个截面形心的力矩的代数和。
F
FA=3F 1 2 A1 2 1 —1 -F -Fa
Me =3Fa FB =-2F 3 4 B 3 4 x 3—3 2F Fa 4—4 2F -2Fa
内力
2 —2 2F -Fa
FS M
剪力 (集中力)
弯矩（集中力偶）
指向上加, 指向下减
逆时针减, 顺时针加
在集中力作用处，剪力值发生突变，突变值=集中力大小； 在集中力偶作用处，弯矩值发生突变，突变值=集中力偶矩大小。
注意：
a.正的剪力和负的弯矩画 在横坐标的上边 b.负的剪力和正的弯矩 画在横坐标的下边
弯矩图与教材相反！！
例1: 图示悬臂梁受集度为q的满布均布荷载作用。 试作梁的剪力图和弯矩图。
q A B
解：1、以自由端为坐标原点，则可不求反力 列剪力方程和弯矩方程：
FS x qx0 x l
楼房的横梁： 阳台的挑梁：
§4-1弯曲的概念和实例: 概念
P
q
M
2.弯曲变形
RA
* 受力特点： 外力（包括力偶）的作用线垂直于杆轴线 * 变形特点：变形前为直线的轴线,变形后成为曲线. 3.梁 (Beam) 以弯曲变形为主的杆件 4.平面弯曲
作用于梁上的所有外力都在纵向对称面内,弯曲变形后的轴线是一条在该
剪切：
构件受两组大小相等、方向相反、作用线相
受力特点：
互很近的平行力系作用.
F
变形特点： 构件沿两组平行力系的交界面发生相对错动.
扭转：
受力特点： 杆两端作用着大小相等、方向相反的力偶， 且力偶作用面垂直于杆的轴线。
变形特点： 杆任意两截面绕轴线发生相对转动。
§4-2 梁的力学模型的简化
1、 梁的简化: 通常取梁的轴线来代替梁。 2、载荷类型: 集中力、集中力偶和分布载荷
第4章 弯曲内力
§4-1 弯曲的概念和实例
§4-2 梁的力学模型的简化
§4-3 剪力和弯矩
§4-4 剪力方程和弯矩方程 . 剪力图和弯矩图
§4-1弯曲的概念和实例：工程实例
1. 工程实例
F
F
工厂厂房的天车大梁：
§4-1弯曲的概念和实例：工程实例
火车的轮轴：
F